HOME
SK/KD
MATERI
SOAL
REFERENSI
QUIZ
PENYUSUN
LIMIT FUNGSI ALJABAR
1
HOME
SK/KD
MATERI
SOAL
REFERENSI
QUIZ
PENYUSUN
SK/KD
SANDAR KOMPETENSI1.Mendiskripsikan konsep limit fungsi aljabar dengan menggunakan konsep nyata dan menerapkannya. 2.Merumuskan aturan dan sifat limit fungsi ljabar melalui pengamatan contoh contoh.
KOMPETENSI DASARSetelah mengikuti pembelajaran limit fungsi,siswa mampu:1.Menghayati pola hidup disiplin,krtis,bertanggung jawab,konsisten dan jujur serta menerapkannya dalam kehidupan sehari hari.2.menghayati kesadaran hak dan kewajiban serta toleransi terhadap berbagai perbedaan didlam masyarakat majemuk sebagai gambaran menerapkan nilai nilai matematis.3.memahami konsep limit fungsi aljabar dengan menggunakan konteks nyata dan menerapkannya.4.merumuskan aturan dan sifat limit fungsi aljabar melalui pengamatan contoh contoh.5.Memilih strategi yang efektif dan menyajikan model matematika dalam memecahkan masalah nyata tentang limit fungsi aljabar.
HOME
SK/KD
MATERI
SOAL
REFERENSI
QUIZ
PENYUSUN
LIMIT FUNGSI ALJABAR
HOME
SK/KD
MATERI
SOAL
REFERENSI
QUIZ
PENYUSUN
Bab 10.LIMIT FUNGSI
LIMIT FUNGSI ALJABAR
Dasar pemikiran limit atau sering disebut nilai batas adalah pendekatan terhadap suatu nilai atau harga tertentu. Jadi harga batas (limit) bukanlah harga yang sebenarnya melainkan harga yang mendekati.
Bentuk umum limit sebuah fungsi f(x)
)x(flimax ®
artinya menghitung nilai fungsi f(x) pada nilai x mendekati nilai a. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut ini.
Nilai-nilai fungsi terletak di sekitar x = 1, dapat
dilihat pada tabel berikut :1x1xlim
2
1x --
®
Penulisan limit secara matematika soal di atas sebagai berikut :
Diketahui : dengan daerah asal Df = { x| x R dan }
Carilah nilai limit fungsi f(x) pada titik x mendekati 1 1x1x)x(f
2
--= Î 1x ¹
Jawab :
1x1xlim
2
1x --
®
x 0,7 0,8 0,9 0,99 0,999 1,001 1,01 1,1 1,2 1,3
1,7 1,8 1,9 1,99 1,999 . . . 2,001 2,01 2,1 2,2 2,31x1x2
00,1
Berdasarkan tabel di atas, mendekati nilai 2 ketika
x mendekati 1, baik dari sisi kiri maupun dari sisi kanan 1x1x)x(f
2
--=
Langkah – langkah yang perlu diperhatikan tentang
yaitu : 1x1x)x(f
2
--=
1. untuk x = 1 ( bentuk tak
tentu dan tidak didefenisikan) 1x1x)x(f
2
--= ®
00)1(f =
00
2. Untuk dapat disederhanakan
dengan pembilang diuraikan menjadi faktor-faktornya.1X 1x)x(f1x
2
--=®¹
211)1(f)1x(
)1x)(1x()x(f1x1x)x(f
2=+=®
-+-=®
--=
Pada grafik di bawah ini dapat dilihat bahwa nilai fungsi pada x=1 tidak terdefenisi karena pembagian dengan 0. Tetapi limit (dibaca x mendekati 1) menghasilkan 2
1x ®
y
x
3
2
1
0 1 2
1x1x2
)x(fy
Pada x = 1 fungsi f(x) tidak terdefenisi karena pembagian dengan 0 atau penyebutnya bernilai 0
Tetapi limit menghasilkan 2 1x ®
Contoh :
Tentukan nilai dari
Untuk semua fungsi limit tahap pertama yang harus
dilakukan adalah : metode substitusi
)x(flimax ®
Jawab :
)1x3(lim 2
2x+
®
131)2(3)1x3(lim 22
2x=+=+
®
13)1x3(lim,Jadi 2
2x=+
®
2. Metode pemaktoran
Atau
Setelah dilakukan substitusi ternyata bernilai
Maka, Lakukan :0
0
3. Merasionalkan bentuk akar
4. Bagi semua fungsi dengan variabel yang pangkatnya tertinggi
Jika nilai yang didapat ternyata bernilai
¥¥
2. Metode Pemfaktoran
Contoh :
Jawab :
1x10x9x
lim2
1x --+
®
1x10x9x
lim2
1x --+
® )1x()10x)(1x(
lim1x -
+-=
®
)10x(lim1x
+=®
)101( +=
11=
111x
10x9xlim,Jadi
2
1x=
--+
®
00
=
3. Metode merasionalkan bentuk akar dengan cara mengalikan akar dengan bentuk sekawannya
Contoh :
Jawab :2x
1x43lim
2x -+-
®
2x1x43
lim2x -
+-®
=1x431x43
x2x
1x43lim
2x ++++
-+-
®
)1x43)(2x()1x4(3
lim22
2x ++-+-
=®
)1x43)(2x()1x4(9
lim2x ++-
+-=
®
)1x43)(2x(x48
lim2x ++-
-=
®
--
)1x43)(2x()2x(4
lim2x ++-
=®
00
=
)1x43) (2x()2x(4
lim2x ++-
--=
®
)1x43(4
lim2x ++
-=
®
1)2(434
++-
=
334
+-
=
64-
=
-32=
32
2x1x43
lim,Jadi2x
-=-
+-®
4. Metode membagikan dengan pangkat tertinggi, berguna untuk limit mendekati tak terhingga
Contoh :
Jawab :
3x6x21x3x
lim 2
2
x -++-
¥®
¥¥
Jika digunakan metode substitusi langsung akan
diperoleh (bentuk tak tentu).
Oleh karena itu bentuk dimodifikasi
terlebih dahulu dengan cara membagi dengan derajat pangkat tertinggi, dalam hal ini berderajar 2, maka diperoleh :
3x6x21x3x
2
2
-++-
¥¥
=
3x6x21x3xlim 2
2
x -++-
¥®2
2
2
2
x3x6x2
x1x3x
xlim -+
+-
¥®=
2
2
x3
x6
x1
x3
x 21
lim -++-
=¥®
002001
-++-=
21
3x6x21x3xlim,Jadi 2
2
x=
-++-
¥®
Teorema 2 : Jika f(x) = k, maka , untuk a bilangan real
Dapat dikatakan bahwa nilai limit suatu fungsi identitas sama dengan nilai pendekatan peubahnya
Teorema 1 : Jika f(x) = k, maka untuk k dan a bilangan real
Dapat dikatakan bahwa nilai limit suatu fungsi konstanta sama dengan konstanta itu
Terdapat 7 (tujuh) teorema atau sifat-sifat limit fungsi aljabar, yaitu :
kklimax
=®
x)x(flimax
=®
Teorema 5 :
Limit hasil kali fungsi-fungsi sama dengan hasil kali masing-masing limit fungsi
Teorema 4 :
Limit hasil kali fungsi-fungsi sama dengan hasil kali masing-masing limit fungsi
Teorema 3; Jika f(x) = g(x) + h(x), maka
Limit jumlah atau selisih fungsi-fungsi sama dengan jumlah atau selisih masing-masing limit fungsi
)x(hlim)x(glim)x(h)x(glimaxaxax ®®®
±=+
{ }{ })x(glim.)x(flim)}x(g).x(f{limaxaxax ®®®
=
)x(glim
)x(flim
)x(g)x(flim
ax
ax
ax®
®
®=
Teorema 6 :
Limit hasil bagi fungsi-fungsi sama dengan hasil bagi masing-masing limitnya dengan penyebut limit tidak sama dengan nol
)x(glim
)x(flim
)x(g)x(flim
ax
ax
ax®
®
®=
Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh penggunaan teorema-teorema tersebut dalam contoh soal.
Jawab :
Hitunglah nilai limit berikut :
2x4lim4x
+®
2x4lim4x
+® 2limx4lim
4x4x ®®+=
2limxlim44x4x ®®
+=
2)4(4 +=
10=2x4lim,Jadi
4x+
®
)x(hlim)x(glim)x(h)x(glimaxaxax ®®®
±=+3Teorema
10=
Jawab :
Hitunglah nilai limit berikut :
2x4limax
+®
2x4limax
+®
2limx4lim4x4x ®®
+=
2limxlim44x4x ®®
+=
2)4(4 +=
10=2x4lim,Jadi
4x+
®
4Teorema{ } { }{ })x(glim)x(flim)x(g).x(flim
axaxax ®®®=
Jawab :
Hitunglah nilai limit berikut :
2x4limax
+®
2x4limax
+®
2limx4lim4x4x ®®
+=
2limxlim44x4x ®®
+=
2)4(4 +=
10=2x4lim,Jadi
4x+
®
1 dan 2Teoremak)x(flimdankklim
axax==
®®
4. Bagi semua fungsi dengan variabel yang pangkatnya tertinggi
Jika nilai yang didapat ternyata bernilai
¥¥
2. Metode Pemfaktoran
Contoh :
Jawab :
1x10x9x
lim2
1x --+
®
1x10x9x
lim2
1x --+
® )1x()10x)(1x(
lim1x -
+-=
®
)10x(lim1x
+=®
)101( +=
11=
111x
10x9xlim,Jadi
2
1x=
--+
®
00
=
HOME
SK/KD
MATERI
SOAL
REFERENSI
QUIZ
PENYUSUN
SOAL LATIHAN
HOME
SK/KD
MATERI
SOAL
REFERENSI
QUIZ
PENYUSUN
Soal 1
Soal 2
HOME
SK/KD
MATERI
SOAL
REFERENSI
QUIZ
PENYUSUN
BUKU PAKET
HOME
SK/KD
MATERI
SOAL
REFERENSI
QUIZ
PENYUSUN
PENYUSUNHOTNA PURBA