Download - Limit di Tak Hingga; Limit Tak Hingga - USD
Limit di Tak Hingga;Limit Tak Hingga
Limit di Tak Hingga
Apa yang terjadi pada g(x) ketika nilai x semakin besar terus menerus?
5β5 0
0,5
β0,5
x
yππ π₯π₯ =
π₯π₯π₯π₯2 + 1
Tabel Nilai-Nilai Fungsi
Dari tabel dapat dilihat bahwa g(x) semakin kecil ketika x semakin besar.
limπ₯π₯ββ
π₯π₯π₯π₯2 + 1
= 0
Dengan cara yang serupa dapat ditunjukkan bahwa
limπ₯π₯βββ
π₯π₯π₯π₯2 + 1
= 0
π₯π₯π₯π₯2
π₯π₯2 + 110 0,0990100 0,01001.000 0,001010.000 0,0001
β ββ ?
Definisi Formal Limit Ketika π₯π₯ β Β±β
Limit Ketika π₯π₯ β β Misalkan f terdefinisi pada [a, β) untuk beberapa bilangan a. Kita mengatakan lim
π₯π₯ββππ π₯π₯ = πΏπΏ jika untuk
setiap Ξ΅ > 0 ada bilangan M sedemikian sehinggajika π₯π₯ > ππ maka ππ π₯π₯ β πΏπΏ < ππ
Limit Ketika π₯π₯ β ββ Misalkan f terdefinisi pada (ββ, a] untuk beberapa bilangan a. Kita mengatakan lim
π₯π₯βββππ π₯π₯ = πΏπΏ jika untuk
setiap Ξ΅ > 0 ada bilangan M sedemikian sehinggajika π₯π₯ < ππ maka ππ π₯π₯ β πΏπΏ < ππ
Contoh 1
Tunjukkan bahwa jika k adalah bilangan bulat positif, maka
limπ₯π₯ββ
1π₯π₯ππ
= 0
Analisis Pendahuluan Diberikan Ξ΅ > 0. Kita akan menemukan bilangan M sedemikian sehingga
jika π₯π₯ > ππ maka 1π₯π₯ππβ 0 < ππ
Pembahasan
Perhatikan bahwa1π₯π₯ππβ 0 < ππ
1π₯π₯ππ
< ππ
Misalkan kita pilih M > 0. Akibatnya x > 0. Sehingga
1π₯π₯ππ
< ππ
π₯π₯ππ > 1ππ
π₯π₯ > ππ β1 ππSehingga, kita akan memilih
ππ = ππ β1 ππ
Pembahasan
Bukti Formal Misalkan diberikan ππ > 0. Pilih ππ = ππ β1 ππ, sedemikian sehingga jika π₯π₯ > ππ, maka
1π₯π₯ππβ 0 = 1
π₯π₯ππ< 1
ππππ = ππ
Latihan 1
Buktikan bahwa
limπ₯π₯βββ
1π₯π₯ππ
= 0
Contoh 2
Buktikan bahwa
limπ₯π₯ββ
π₯π₯π₯π₯2 + 1
= 0
PEMBAHASAN Kita bagi pembilang dan penyebut dengan π₯π₯berpangkat tertinggi yang muncul di penyebut, yaitu π₯π₯2.
limπ₯π₯ββ
π₯π₯π₯π₯2 + 1
= limπ₯π₯ββ
1π₯π₯
1 + 1π₯π₯2
=limπ₯π₯ββ
1π₯π₯
limπ₯π₯ββ
1 + limπ₯π₯ββ
1π₯π₯2
=0
1 + 0= 0
Latihan 2
Tentukan limπ₯π₯βββ
3π₯π₯3
1βπ₯π₯3.
Definisi
Limit Suatu Barisan Misalkan sn terdefinisi untuk semua bilangan asli lebih dari atau sama dengan beberapa bilangan a. Kita mengatakan bahwa lim
ππββπ π ππ = πΏπΏ jika untuk setiap Ξ΅ > 0 ada bilangan
asli M sedemikian sehinggajika ππ > ππ maka π π ππ β πΏπΏ < ππ
Latihan 3
Tentukan limit barisan berikut.
limππββ
2ππ + 1ππ β 2
Limit Tak Hingga
Definisi Kita mengatakan bahwa limπ₯π₯βππ+
ππ π₯π₯ = β jika untuk setiap bilangan positif M, ada Ξ΄ > 0 sedemikian sehingga
jika 0 < π₯π₯ β ππ < πΏπΏ maka ππ π₯π₯ > ππ
Contoh 3
Tentukan limπ₯π₯β3+
1π₯π₯β3 2 dan lim
π₯π₯β3β1
π₯π₯β3 2.
PEMBAHASAN Ketika π₯π₯ β 3+ penyebutnya tetap positif tetapi mendekati 0, sedangkan pembilanganya tetap 1. Sehingga β1 π₯π₯ β 3 2
dapat dibuat besar dengan membatasi x untuk dekat, tetapi di kanan 3. Sehingga,
limπ₯π₯β3+
1π₯π₯β3 2 = β
Dengan alasan yang serupa
limπ₯π₯β3β
1π₯π₯β3 2 = β
0 2 4 6
2
x
yπ¦π¦ =
1π₯π₯ β 3 2
Limit Tak Hingga & Asimtot
Garis π₯π₯ = ππ merupakan asimtot vertikal grafik π¦π¦ = ππ π₯π₯ jika sembarang dari empat pernyataan berikut benar.1. lim
π₯π₯βππ+ππ π₯π₯ = β 2. lim
π₯π₯βππ+ππ π₯π₯ = ββ
3. limπ₯π₯βππβ
ππ π₯π₯ = β 4. limπ₯π₯βππβ
ππ π₯π₯ = ββ
#HaveANiceDay