Download - Laboratorio N 5
INTEGRANTES:
BRAVO SANTIVAÑEZ MARCO INCISO POMA KEVIN MEDINA PONCE PEDRO TORRES MÉNDEZ ÁNGEL
Laboratorio N°5 Dinámica de Rotación
1.OBJETIVO:
Estudio de la ley dinámica de rotación de un sólido rígido
alrededor de un eje fijo. Conservación del momento angular.
Relacionar las cantidades lineales con las cantidades angulares
como también el momento de inercia de un cuerpo rígido
Resolver problemas de torque, de energía rotacional y del
principio de conservación de la energía rotacional.
Aplicar el teorema de los ejes paralelos para el cálculo del
momento de inercia.
Observar y comprender el movimiento de rodadura de una
rueda de Maxwell y a partir de las mediciones efectuadas
poder determinar el momento de inercia de la rueda con
respecto al eje perpendicular que pasa por su centro de su
gravedad.
2.MATERIALES:
Un par de rieles paralelos
Una rueda de maxwell
Un cronometro digital
Un pie de rey
Una balanza
Regla milimetrada
Un nivel
3.PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL:
Al recoger los materiales con los cuales se trabajaran, se procede a acoplar
las varillas sobre el tablero, luego, se utilizan los tornillos de abajo para
poder nivelar el tablero. Se debe asegurar que la volante (Rueda de
Maxwell) no se escape para los costados, para esto se regula con el uso del
nivel el cual indica si el tablero está debidamente alineado. Así es la
manera de llegar al perfecto balance del tablero.
A continuación, se segmenta el soporte con las medidas requeridas para la
experiencia, de tal manera que se puedan efectuar las medidas de tiempo
con el cronómetro. Estos resultados luego se insertan en las tablas
requeridas en la guía del laboratorio. Para poder obtener los resultados
deseados, el ángulo de inclinación de las varillas no debe exceder el límite
que haga que la rueda de Maxwell se deslice en vez de que gire. En la
eventualidad que esto suceda, se debe disminuir la pendiente para asegurar
que la volante realice el movimiento deseado.
La primera forma de segmentar las varillas es separando los puntos A0, A1,
A2, A3, A4, cada uno con 10 centímetros de separación entre ellos. Luego,
se utiliza el cronómetro para tomar las medidas de tiempo que toma a la
volante de deslizarse desde el punto A0 hasta A1. Se repite el procedimiento
3 veces y se anota en una tabla. Luego, se repite el procedimiento para los
tamos A0 A2, A0 A3 y para A0 A4 se toman 10 mediciones.
Antes de pasar a la segunda parte de la experiencia, se debe medir la altura
del punto A0 con respecto al tablero, también la del punto A4. Se toma ese
lugar como referencia, debido que el tablero ha sido nivelado con respecto
a la mesa. La medida del peso de la volante también debe ser tomado, para
esto se utiliza la balanza.
Para la segunda experiencia, se modifica la inclinación de las varillas, de
tal manera que tenga mayor pendiente. En este caso, se vuelven a tomar
medidas de tiempo, pero solo desde A0 hasta A4, y solo 3 repeticiones. Por
otro lado, las alturas de los puntos son también medidas, y anotadas.
Finalmente, se indica tomar las dimensiones de la rueda de Maxwell de tal
manera que luego, se pueda calcular el momento de inercia de toda la
volante. Para esto, se utiliza el vernier, el cual es un instrumento de
medición preciso para pequeñas medidas. Así es como se estudia también
el diámetro del eje cilíndrico que se apoya sobre las rieles.
Además, de la mayor cantidad de valores de la rueda. Por ejemplo, se
considera la rueda externa, la rueda interna, las barras que se encuentran
entre ambas ruedas y el eje cilíndrico del medio.
Estas 4 secciones, forman la rueda de Maxwell.
4.MARCO TEORICO:
Laboratorio N°5 Dinámica de Rotación
1
I. Cuerpo Rígido
Sistema dinámico que no presenta deformaciones entre sus partes ante la acción de fuerzas. Matemáticamente, se define como cuerpo rígido aquel en que la distancia entre dos puntos cualesquiera del cuerpo permanece invariante. En estricto rigor, todos los cuerpos presentan algún grado de deformación. Sin embargo, la suposición de rigidez total es aceptable cuando las deformaciones son de magnitud despreciable frente a los desplazamientos de cuerpo rígido y no afectan la respuesta del cuerpo ante las acciones externas.
Un sólido rígido se caracteriza por ser indeformable, las posiciones relativas de los puntos del sólido se mantienen fijas aunque se apliquen fuerzas al mismo
II. Movimiento del cuerpo rígido
Cuando un objeto real gira alrededor de algún eje, su movimiento no se puede analizar como si fuera una partícula, porque en cualquier instante, diferentes partes del cuerpo tienen velocidades y aceleraciones distintas. Por esto es conveniente considerar al objeto real como un gran número de partículas, cada una con su propia velocidad, aceleración. El análisis se simplifica si se considera al objeto real como un cuerpo rígido.
III. Traslación pura
Laboratorio N°5 Dinámica de Rotación
2
El cuerpo rígido puede tener un movimiento de traslación pura; en este tipo de movimiento, las velocidades de cada una de las partículas que componen al sólido, en cada instante de tiempo, son iguales (tener presente que la velocidad es un vector; esto implica que el módulo, la dirección y el sentido de la velocidad son iguales para todas las partículas en un instante dado). En general, el movimiento del sólido será curvilíneo y, por lo tanto, tendrá componentes de aceleración tangencial y normal.
IV. Rotación pura
Si el único movimiento del cuerpo rígido es de rotación alrededor de un eje, decimos que el movimiento es de rotación pura; en este caso, las trayectorias de todas las partículas del sólido son circunferencias concéntricas; la velocidad de cada partícula tendrá la dirección y sentido del versor tangente a la circunferencia en cada instante de tiempo. Asimismo, las velocidades de las distintas partículas que integran el sólido no serán las mismas; la única velocidad común será la velocidad angular del cuerpo.
V. Movimiento roto-traslatorio
Laboratorio N°5 Dinámica de Rotación
3
El sólido rígido puede trasladarse y rotar simultáneamente. En esta circunstancia, diremos que elmovimiento es roto-traslatorio; es el movimiento más general que puede tener. Un típico ejemplo del movimiento roto-traslatorio lo constituye el movimiento de la Tierra1: se traslada en una órbita elíptica alrededor del Sol y simultáneamente gira en torno a un eje que pasa por sus polos.
VI. Momento angular de una partícula
Se define momento angular de una partícula respecto de del punto O, como el producto vectorial del vector posición r por el vector momento lineal m v⃗ .
L=rp⇒L=rm v⃗
Laboratorio N°5 Dinámica de Rotación
4
VII. Momento angular de un sólido rígido
Las partículas de un sólido rígido en rotación alrededor de un eje fijo describen circunferencias centradas en el eje de rotación con una velocidad que es proporcional al radio
de la circunferencia que describenvi¿w∗¿ r
i¿
L=∑ Li=¿∑ (mr2)w ¿
VIII. Momento de inercia
Inercia:
La inercia es la propiedad de la materia de resistir a cualquier cambio en su movimiento, ya sea en dirección o velocidad.
Esta propiedad se describe claramente en la Primera Ley del Movimiento de Newton, que postula:
“Un objeto en reposo tiende a permanecer en reposo, y un objeto en movimiento tiende a continuar moviéndose en línea recta, a no ser que actúe sobre ellos una fuerza externa”.
la Rotación:
Laboratorio N°5 Dinámica de Rotación
5
Cualquier cuerpo que efectúa un giro alrededor de un eje, desarrolla inercia a la rotación, es decir, una resistencia a cambiar su velocidad de rotación y la dirección de su eje de giro. La inercia de un objeto a la rotación está determinada por su Momento de Inercia, siendo ésta ‘’la resistencia que un cuerpo en rotación opone al cambio de su velocidad de giro’’.
Momento de inercia
El momento de inercia es una medida de la inercia rotacional de un cuerpo. Cuando un cuerpo gira en torno a uno de los ejes principales de inercia, la inercia rotacional puede ser representada como una magnitud escalar llamada momento de inercia. Sin embargo, en el caso más general posible la inercia rotacional debe representarse por medio de un conjunto de momentos de inercia y componentes que forman el llamado tensor de inercia. La descripción tensorial es necesaria para el análisis de sistemas complejos, como por ejemplo en movimientos giroscópicos. El momento de inercia refleja la distribución de masa de un cuerpo o de un sistema de partículas en rotación, respecto a un eje de giro. El momento de inercia sólo depende de la geometría del cuerpo y de la posición del eje de giro; pero no depende de las fuerzas que intervienen en el movimiento .El momento de inercia desempeña un papel análogo al de la masa inercial en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme. Es el valor escalar del momento angular longitudinal de un sólido rígido.
Laboratorio N°5 Dinámica de Rotación
6
Teorema de Steiner
El teorema de Steiner es una fórmula que nos permite calcular el momento de inercia de un sólido rígido respecto de un eje de rotación que pasa por un punto O, cuando conocemos el momento de inercia respecto a un eje paralelo al anterior y que pasa por el centro de masas.
El momento de inercia del sólido respecto de un eje que pasa por O es
El momento de inercia respecto de un eje que pasa por C es
Para relacionar IO e IC hay que relacionar ri Ri
En la figura, tenemos que
El término intermedio en el segundo miembro es cero ya que obtenemos la posición xC del centro de masa desde el centro de masa. M es la masa total del sólido.
Momento de inercia de algunos solidos
Laboratorio N°5 Dinámica de Rotación
7
Energía cinética
La energía cinética es aquella que se deriva del movimiento. En efecto, si observamos la experiencia cotidiana es posible evidenciar fácilmente que cuando un elemento en movimiento toma contacto con otro es capaz de afectarlo de modo tal que modifique su trayectoria. Esto significa, en otras palabras que el movimiento de un cuerpo cualquiera, por el mero hecho de existir puede provocar trabajo, puede mover a otro. Esta circunstancia se debe a que el cuerpo es movido por una fuerza. En este caso, la masa del cuerpo en movimiento es un elemento de importancia también que debe considerarse. Así, por ejemplo una pelota de futbol puede moverse a la misma velocidad que una bola de bolos, pero la segunda empleará mayorenergía cinética al tener una masa superior.
Energía cinética del solido rígido
Energía cinética del sólido rígido.- Entendemos por energía cinética del sólido rígido la suma de las energía cinéticas del todas las partículas que lo constituyen. Como ya sabemos, la energía cinética es una magnitud física escalar relativa al observador en el referencial fijo XYZ.
Laboratorio N°5 Dinámica de Rotación
8
Trabajo y energía en el movimiento de rotación
En otro apartado relacionamos el trabajo de la resultante de las fuerzas que actúan sobre una partícula con la variación de energía cinética de dicha partícula.
Considérese un cuerpo rígido que puede girar alrededor de un eje fijo tal como se indica en la figura. Supongamos que se aplica una fuerza exterior F en el punto P. El trabajo realizado por dicha fuerza a medida que el cuerpo girarecorriendo una distancia infinitesimal ds=rd en el tiempo dt es
Fsen es la componente tangencial de la fuerza, la componente de la fuerza a lo largo del desplazamiento. La componente radial de la fuerza no realiza trabajo, ya que es perpendicular al desplazamiento.
El momento de la fuerza es el producto de la componente tangencial de la fuerza por el radio. La expresión del trabajo la podemos escribir de forma alternativa
El trabajo total cuando el sólido gira un ángulo q es:
En la deducción se ha tenido en cuenta la ecuación de la dinámica de rotación M=Ia , y la definición de velocidad angular y aceleración angular.
Laboratorio N°5 Dinámica de Rotación
9
Se obtiene una ecuación análoga al teorema trabajo-energía para una partícula. El trabajo de los momentos de las fuerzas que actúan sobre un sólido rígido en rotación alrededor de un eje fijo modifica su energía cinética de rotación.
Laboratorio N°5 Dinámica de Rotación
10
A3A2
A4
A1
A0
0.1 m0.1 m
0.1 m0.1 m
3.CALCULOS Y RESULTADOS
CALCULO 1.
CUADRO NUMERO1:
angulo entre los rieles y la base=8.870
HALLAMOS LOS TIEMPOS PROMEDIOS
TRAMO A0A1
t1 = {6.09’’; 5.38’’; 5.43} TRAMO A0A2
t2 = {7.74’’; 8.07’’; 8.37’’} TRAMO A0A3
t3 = {10.20’’; 9.85’’; 10.29} TRAMO A0A4
t4 = {11.35’’;12.08’’; 11.37’’ } De los datos proporcionados se hallan los tiempos promedios: t1 = (6.09’’ + 5.38’’ + 5.43’’)/3 = 5.28 s t2 = (7.74’’ + 8.07’’ + 8.37’’)/3 = 8.06s t3 = (10.20’’ + 9.85’’ + 10.29’’)/3 = 10.113s t4 = (11.35’’+12.08’’+11.37’’)/3= 11.6 s
ANÁLISIS DE LA ACELERACIÓN PARA EL TRAMO A0A1:
Sabiendo que: A0A1 = V0t + (1/2)at2
Y también que V0 = 0 , entonces:10 cm = (0)( 5.28 s) + (1/2)a(5.28 s)2
De donde se obtiene que: a1 = 0.717cm/s2
Laboratorio N°5 Dinámica de Rotación
11
h0 = 0.0617 mh1 = 0.046m
h2 = 0.03 mh3 =
0.015m
ANÁLISIS DE LA ACELERACIÓN PARA EL TRAMO A 0A2:
Sabiendo que: A0A2 = V0t + (1/2)at2
Y también que V0 = 0 , entonces:20 cm = (0)(8.06 s) + (1/2)a(8.06 s)2
De donde se obtiene que:a2 = 0.616cm/s2
ANÁLISIS DE LA ACELERACIÓN PARA EL TRAMO A 0A3:
Sabiendo que: A0A3 = V0t + (1/2)at2
Y también que V0 = 0 , entonces:30 cm = (0)( 10.113 s) + (1/2)a(10.113 s)2
De donde se obtiene que:a3 = 0.587 cm/s2
ANÁLISIS DE LA ACELERACIÓN PARA EL TRAMO A 0A4:
Sabiendo que: A0A4= V0t + (1/2)at2
Y también que V0 = 0 , entonces:40 cm = (0)( 11.6 s) + (1/2)a(11.6 s)2
De donde se obtiene que:a4 = 0.59cm/s2
CUADRO RESUMEN DE LOS DATOS YA ANALIZADOS
ACELERACIONES a1 (TRAMO A0A1)
a2 (TRAMO A0A2)
a3 (TRAMO A0A3)
a4 (TRAMO A0A4)
ACELERACIONES (cm/s2)
a1 = 0.717cm/s2
a2 = 0.616 cm/s2
a3 = 0.587cm/s2
a4 = 0.59 cm/s2
Laboratorio N°5 Dinámica de Rotación
12
angulo entre los rieles y la base=11.830
A3A2
A4
A1
A0
0.1 m0.1 m
0.1 m0.1 m
CUADRO NÚMERO 2:
HALLAMOS LOS TIEMPOS PROMEDIOS
TRAMO A0A1
t1 = {4.13’’; 4.54’’; 4.29} TRAMO A0A2
t2 = {6.31’’; 6.55’’; 6.67’’} TRAMO A0A3
t3 = {8.37’’; 8.52’’; 8.63} TRAMO A0A4
t4 = {10.06’’;10.62’’; 9.94’’} De los datos proporcionados se hallan los tiempos promedios: t1 =4.13’’+ 4.54’’+ 4.29 =4.82 s t2=6.31’’+ 6.55’’;+6.67’’= 6.51s t3 =8.37’’+ 8.52’’+ 8.63 = 8.506s t4 = 10.06’’+10.62’’+ 9.94’’ =10.206s
ANÁLISIS DE LA ACELERACIÓN PARA EL TRAMO A0A1:
Sabiendo que: A0A1 = V0t + (1/2)at2
Y también que V0 = 0 , entonces:10 cm = (0)( 4.82 s) + (1/2)a(4.82 s)2
De donde se obtiene que:a1 = 0.539cm/s2
Laboratorio N°5 Dinámica de Rotación
13
h0 = 0.082 mh1 =
0.0615mh2 = 0.041mh3 =
0.0205m
ANÁLISIS DE LA ACELERACIÓN PARA EL TRAMO A0A2:
Sabiendo que: A0A2 = V0t + (1/2)at2
Y también que V0 = 0 , entonces:20 cm = (0)( 6.51 s) + (1/2)a(6.51 s)2
De donde se obtiene que:a2 = 0.94 cm/s2
ANÁLISIS DE LA ACELERACIÓN PARA EL TRAMO A 0A3:
Sabiendo que: A0A3 = V0t + (1/2)at2
Y también que V0 = 0, entonces:30 cm = (0) (8.506 s) + (1/2) a (8.506 s)2
De donde se obtiene que:a3 = 0.829 cm/s2
DE LA ACELERACIÓN PARA EL TRAMO A 0A4:
Por cinemática se sabe: A0A4= V0t + (1/2)at2
Y también que V0 = 0, entonces:40 cm = (0) (10.206 s) + (1/2) a (10.206 s)2
De donde se obtiene que:a4 = 0.768cm/s2
RESUMEN DE LAS ACELERACIONES
ACELERACIONES a1 (TRAMO A0A1
a2 (TRAMO A0A2)
a3 (TRAMO A0A3)
a4 (TRAMO A0A4)
ACELERACIONES (cm/s2)
a1 = 0.539 cm/s2
a2 = 0.94 cm/s2
a3 = 0.829cm/s2
a4 = 0.768 cm/s2
Notamos que las aceleraciones tienen cierto porcentaje de error, que en realidad no es mucha, entonces podemos aproximar y decir que el movimiento de traslación si está siendo uniformemente acelerado.
Laboratorio N°5 Dinámica de Rotación
14
CALCULO 2.
PARA EL CUADRO 1.
Valore para la distancia en cm valores para el tiempo en s.10 5.2820 8.0630 10.11340 11.6
0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.450
2
4
6
8
10
12
14
f(x) = − 32.0750000000001 x² + 37.0405 x + 1.90624999999999
Valores Y
GRAFICA d v.s t 2
Valore para la distancia en cm valores para el tiempo al cuadrado en s.10 27.878420 64.9630 102.2740 134.56
Laboratorio N°5 Dinámica de Rotación
15
PARA EL CUADRO 2.
Valore para la distancia en cm valores para el tiempo en m¿ s2
10 23.2320 42.3830 72.3540 104.16
5 10 15 20 25 30 35 40 450
20
40
60
80
100
120
f(x) = 0.03165 x² + 1.1451 x + 8.16499999999999
Valores Y
Laboratorio N°5 Dinámica de Rotación
16
5 10 15 20 25 30 35 40 450
20
40
60
80
100
120
140
160
f(x) = − 0.011979 x² + 4.172498 x − 12.9111
Valores Y
CALCULO NUMERO 3.
Considerando la aceleración constante y aplicando la desviación estándar y propagación de errores, calcular:
a) La aceleración del centro de masa aG:
Aplicando desviación estándar para encontrar el grado de centralización de los datos:
S2aCG = (ai
2)/n – a2
Primero hallamos a:
a = (a1 + a2 + a3 + a4)/4 = (0.539 cm/s2 + 0.94 cm/s2 + 0.829cm/s2 + 0.59 cm/s2)/4
a= 0.7245 cm/s2
de donde obtenemos a2:
a2 = 0.5249cm2/s4
Entonces:
S2aCG = (a1
2 + a22 + a3
2 + a42 )/4 - a2
S2aCG = ((0.2905cm/s2) + (0.8836 cm/s2) + (0.687 cm/s2) + (0.3481 cm/s2))/4 – (0.5249 cm/s)2
S2aCG = 0.5534– 0.5249 = 0.028525
De donde S (desviación estándar) es :
S aCG = 0.16889
Como la desviación es relativamente podemos aproximar la aceleración con la aceleración del centro de masa.
aG= 0.7245 cm/s2
b) La velocidad de traslación, V4, del centro de masa en la posición G4:
A0A4 =0+ (1/2)at2 y V4 =at, entonces :
V4 = (2 A0A4)/t
Reemplazando: V4 = (2)(40 cm)/( 11.87 s)
Laboratorio N°5 Dinámica de Rotación
17
8.87º
0.1 m
0.1 sen8.87º
0.1 cos8.87º
Por lo tanto: V4 = 6.9747 cm/s
c) Hallar la velocidad angular de la rueda en el instante t4:V4 = 4. R
Entonces:
Como se sabe de los datos experimentales tomados en el laboratorio R = 6.1cmDe donde:
6.9747 cm/s = 4 . (6.1)
Por lo tanto:
4 = 1.143 rad/s
d) El momento de inercia en la volante usando la ecuación (13.5) l:
Hallando los valores de h1, h2, h3, h4 de los cuadros:
CUADRO NÚMERO 1:
TOMANDO COMO REFERENCIA EL PUNTO A4:
Hallando h1:
h1 = h0 – 0.1sen8.87º
h1 = 0.0617 – 0.1(0.1541930705)
h1 = 0.0617 – 0.01541930705
Por lo tanto: h1 = 0.0462 m
Laboratorio N°5 Dinámica de Rotación
18
8.87º
0.1 m
0.1 sen8.87º
0.1 cos8.87º
8.87º
0.1 m
0.1 sen8.87º
0.1 cos8.87º
8.87º
A3A2
A4
A1
A0
0.1 m0.1 m
0.1 m0.1 m
Hallando h2:
h2 = h1 – 0.1sen8.87º
h2 = 0.0462 – 0.1(0.1541930705)
h2 = 0.0462 – 0.01541930705
Por lo tanto: h2 = 0.0307m
Hallando h3:
h3 = h2 – 0.1sen8.87º
h3 = 0.0307 – 0.1(0.1541930705)
h3 = 0.0307 – 0.01541930705
Por lo tanto: h3 = 0.015 m
Entonces agregando los datos al cuadro:
Mgh0 = Mgh4 + (½)MVG42 + (½)IG4.(VG
2/R2)
Reemplazando los datos obtenidos en el laboratorio:
M volante = 446.5 g
Radio=6.1cm
Laboratorio N°5 Dinámica de Rotación
h0 =
0.0617mh1 = 0.0462mh2 = 0.0307
mh3 = 0.015m
19
N.R
11.83º
0.1 m
0.1 sen11.83º
0.1 cos11.83º
11.83º
0.1 m
0.1 sen11.83º
0.1 cos11.83º
11.83º
0.1 m
0.1 sen11.83º
0.1 cos11.83º
Velocidad =6.89cm/s=0.0689m/s
(0.4465)(9.81)(0.0617) = (0.4465)(9.81)(0.0) + (1/2)(0.4735)(0.0689)2 + (1/2)IG(0.0689)2/(0.061)2
De donde se obtiene:
CUADRO NÚMERO 2:
TOMANDO COMO REFERENCIA EL PUNTO A4:
Hallando h1:
h1 = h0 – 0.1sen11.83º
h1 = 0.082 – 0.1(0.1541930705)
h1 = 0.082 – 0.01541930705
Por lo tanto: h1 = 0.06658 m
Hallando h2:
h2 = h1 – 0.1sen11.83º
h2 = 0.06658 – 0.1(0.1541930705)
h2 = 0.06658 – 0.01541930705
Por lo tanto: h2 = 0.05116m
Hallando h3:
h3 = h2 – 0.1sen11.83º
h3 = 0.05116 – 0.1 (0.1541930705)
h3 = 0.05116 – 0.01541930705
Por lo tanto: h3 = 0.03574 m
Laboratorio N°5 Dinámica de Rotación
20
IG4 = 0.4219072712 Kg.m2
8.87º
A3A2
A4
A1
A0
0.1 m0.1 m
0.1 m0.1 m
Entonces agregando los datos al cuadro:
Mgh0 = Mgh4 + (½)MVG42 + (½)IG4. (VG
2/R2)
Reemplazando los datos obtenidos en el laboratorio:
M volante = 446.5 g
Radio=6.1cm
Velocidad =7.84cm/s=0.0784m/s
(0.4465)(9.81)(0.0617) = (0.4465)(9.81)(0.0) + (1/2)(0.4735)( 0.0784)2 + (1/2)IG(0.0784)2/(0.061)2
De donde se obtiene:
e) ¿Cuáles son las mediciones que introducen mayor incertidumbre en el cálculo del momento de inercia?
RESPUESTA: La medición que introduce mayor incertidumbre es el tiempo, ya que la medida de
este depende de la rapidez con la que se presiona el botón del cronometro, es por ello que tenemos que hacer muchos intentos y hallar un tiempo promedio. Al operar con este tiempo promedio introducimos el error, y el tiempo se relacionaron la velocidad, aceleración, velocidad angular instantánea, esto hace que la incertidumbre y error aumente en mayor proporción al calcular el momento de inercia.
Otra variable es la altura qué se toman para el cálculo de la energía potencial gravitatoria, dato que se reemplazará en la fórmula:
Mgh0 = Mghf + (½)MVG2 + (½)IG. (VG
2/R2)
Laboratorio N°5 Dinámica de Rotación
21
h0 =
0.082mh1 = 0.06658mh2 =
0.05116 mh3 = 0.03574m
N.R
IG4 = 0.4254530845Kg.m2
En donde estas ALTURAS dependen del ángulo de elevación, y para el cálculo de este ángulo se utilizó el transportador, instrumento que para el cálculo de ángulos no posee decimales, motivo por el cual se incrementa el porcentaje de incertidumbre.
f) ¿Cómo influye la longitud del recorrido sobre el valor de I?
Para dar respuesta a esta pregunta se calculará el momento de inercia en los puntos G1, G2,G3 y G4 de los dos cuadros :
CUADRO NUMERO 1:
CALCULANDO I EN G1:
Primero hallamos V1:
A0A1= (1/2)at2 y V1 =at, entonces:
V1 = (2 A0A1)/t
Reemplazando: V1 = (2)(10 cm)/(5.28)
Por lo tanto: V1 = 3.7878cm/s
Luego reemplazamos los datos en la fórmula:
Mgh0 = Mgh1 + (½)MVG12 + (½)IG1.(VG1
2/R2)
(0.4465)(9.81)(0.0617) = (0.4465)(9.81)(0.0462) + (1/2)(0.4465)(0.037878)2 + (1/2)IG(0.037878)2/(0.061)2
Por lo tanto: IG1 = 0.4504967327 Kg.m2
CALCULANDO I EN G2:
Primero hallamos V2:
A0A2 =(1/2)at2 y V2 =at, entonces :
V2 = (2 A0A2)/t
Reemplazando: V2 = (2)(20 cm)/(6.51)
Por lo tanto: V2 = 6.1444cm/s
Laboratorio N°5 Dinámica de Rotación
22
Luego reemplazamos los datos en la fórmula:
Mgh0 = Mgh2 + (½)MVG22 + (½)IG2.(VG2
2/R2)
(0.4465)(9.81)(0.0617) = (0.4465) (9.81) (0.0307) + (1/2)(0.4465)(0.061444)2 + (1/2)IG(0.061444)2/(0.061)2
Por lo tanto: IG2 = 0.4386293778 Kg.m2
CALCULANDO I EN G3:
Primero hallamos V3:
A0A3= (1/2)at2 y V3 =at, entonces :
V3 = (2 A0A3)/t
Reemplazando: V3 = (2) (30 cm)/ (10.113s)
Por lo tanto: V3 = 5.933cm/s
Luego reemplazamos los datos en la fórmula:
Mgh0 = Mgh3 + (½)MVG32 + (½)IG3.(VG3
2/R2)
(0.4465)(9.81)(0.0617) = (0.4465)(9.81)(0.015) + (1/2)(0.4465)(0.05933)2 + (1/2)IG(0.05933)2/(0.061)2
Por lo tanto: IG3 = 0.4308009397 Kg.m2
CALCULANDO I EN G4:
Ya ha sido calculado líneas arriba :
Por lo tanto: IG4 = 0.4219072712 Kg.m2
CUADRO RESUMEN DE LOS DATOS YA ANALIZADOS
IG1 IG2 IG3 IG4
Laboratorio N°5 Dinámica de Rotación
23
MOMENTOS DE INERCIA
(Kg.m2)
0.4504967327
Kg.m2
0.4386293778 Kg.m2
0.4308009397 Kg.m2
0.4219072712 Kg.m2
CUADRO NÚMERO 2:
CALCULANDO I EN G1:
Primero hallamos V1:
A0A1 =(1/2)at2 y V1 =at, entonces :
V1 = (2 A0A1)/t
Reemplazando: V1 = (2)(10 cm)/(4.32)
Por lo tanto: V1 = 4.6296cm/s
Luego reemplazamos los datos en la fórmula:
Mgh0 = Mgh1 + (½)MVG12 + (½)IG1.(VG1
2/R2)
(0.4465)(9.81)(0.082) = (0.4465)(9.81)(0.06658) + (1/2)(0.4465)(0.046296)2 + (1/2)IG(0.046296)2/(0.061)2
Por lo tanto: IG1 = 0.4328573238 Kg.m2
CALCULANDO I EN G2:
Primero hallamos V2:
A0A2 =(1/2)at2 y V2 =at, entonces :
V2 = (2 A0A2)/t
Reemplazando: V2 = (2)(20 cm)/( 8.06s)
Por lo tanto: V2 = 4.96278cm/s
Laboratorio N°5 Dinámica de Rotación
24
Luego reemplazamos los datos en la fórmula:
Mgh0 = Mgh2 + (½)MVG22 + (½)IG2.(VG2
2/R2)
(0.4465)(9.81)(0.082) = (0.4465)(9.81)(0.05116) + (1/2)(0.4465)(0.0496278)2 + (1/2)IG(0.0496278)2/(0.061)2
Por lo tanto: IG2 = 0.4420305244 Kg.m2
CALCULANDO I EN G3:
Primero hallamos V3:
A0A3 =(1/2)at2 y V3 =at, entonces :
V3 = (2 A0A3)/t
Reemplazando: V3 = (2)(30 cm)/( 8.506s)
Por lo tanto: V3 = 7.054cm/s
Luego reemplazamos los datos en la fórmula:
Mgh0 = Mgh3 + (½)MVG32 + (½)IG3.(VG3
2/R2)
(0.4465)(9.81)(0.082) = (0.4465)(9.81)(0.03574) + (1/2)(0.4465)(0.07054)2 + (1/2)IG(0.07054)2/(0.061)2
Por lo tanto: IG3 = 0.4013889683 Kg.m2
CALCULANDO I EN G4:
Ya ha sido calculado líneas arriba:
Por lo tanto: IG4 = 0.4254530845 Kg.m2
CUADRO RESUMEN DE LOS DATOS YA ANALIZADOS
Laboratorio N°5 Dinámica de Rotación
25
8.87º
h0 = 0.0617mA4
A0
0.4 m
IG1 IG2 IG3 IG4
MOMENTOS DE INERCIA
(Kg.m2)
0.2328573238 Kg.m2
0.4328573238 Kg.m2
0.4420305244 Kg.m2
0.4013889683 Kg.m2
0.4254530845 Kg.m2
Al momento de comparar los valores obtenidos, se observa que la variación entre estos no es mucho, puesto que todos yacen en un valor más o menos parecido. Esto comprueba que el momento de inercia no tiene efecto alguno debido a la inclinación observada por la trayectoria, ni la longitud del recorrido. Los efectos de estas diferencias vienen a ser factores externos, mas no diferencias en el momento de inercia.
g) ¿Cómo influye la inclinación de los rieles sobre el valor de I?
Para dar respuesta a esta pregunta compararemos el momento de inercia tomados de los dos cálculos hechos en el laboratorio:
CUADRO NUMERO 1:
Para = 8.87º:θ
IG4 = 0.4219072712 Kg.m2
CUADRO NÚMERO 2:
Laboratorio N°5 Dinámica de Rotación
26
N.R.
11.83º
h0 = 0.082mA4
A0
0.4 m
Para = 11.83º:θ
IG4 = 0.4254530845 Kg.m2
CUADRO RESUMEN DE LOS YA ANALIZADOS
MOMENTO DE INERCIAPARA = 8.87º:θ PARA = 11.83º:θ
IG4 0.4219072712 Kg.m2 0.4254530845 Kg.m2
Su valor de influencia es mínimo, diríamos casi despreciable, pues recurriendo a la teoría veríamos que el momento de inercia depende solo de la masa y de la posición geométrica del centro de masa respecto al eje de giro, mas no de las fuerzas externas que le podamos generar al cuerpo a analizar.
h) Calcular en momento de inercia a partir de la definición I=R2 d(M) y las mediciones geométricas efectuadas sobre la rueda y el eje cilíndrico:
Como sabemos: Mtotal = 446.5 = M1 + M2
a = ancho = 2.41cm
En donde: M1 = M rueda = V rueda = ( Rπ 2a – (4.805)π 2a)
Laboratorio N°5 Dinámica de Rotación
27
M2 = Meje =Veje = (7.8) (0.31)π 2(15.9) = 37.4235 g
Entonces: M = (20.43198 R2 -434.3153)
de M se deduce que: R2 = (M+434.3153)/20.43198
Reemplazando en la definición de Momento de Inercia:
I=R2d (M), entonces: I = (M+434.3153)/20.43198 d (M)
I= (1/20.43198)(M+434.3153) d (M)
Integrando se obtiene: I=(1/20.43198)((1/2)M2 +434.3153M)
Reemplazando el valor de M y operando se obtiene que
IG4 = 0.4428753278 Kg.m2
CON UN MARGEN DE ERROR:
CUADRO NÚMERO 1:
% incertidumbre=(0.4428743278 -0.4219072712)(100%)/0.4219072712
Kg.m2=4.96958 % de incertidumbre
CUADRO NÚMERO 2:
% incertidumbre= (0.4428743278 -0.4254530845)(100%)/0.4254530845 Kg.m2 =4.09475 % de incertidumbre
5. Conclusiones:
Laboratorio N°5 Dinámica de Rotación
28
El comportamiento de cada fenómeno no se debe a la casualidad sino a las leyes físicas que rigen el comportamiento de la naturaleza.
Con este trabajo en el laboratorio logramos aprender que el comportamiento real de un cuerpo tiene más variables complejas que lo analizado en un sistema llamado partícula así mismo Comprobamos la conservación de la energía mecánica y la descomposición de la energía cinética en energía de traslación y energía de rotación.
La conservación de la energía manifestada en la trasformación de la energía de una forma a otra se debe a que la naturaleza y las leyes físicas facilitan el mejor aprovechamiento de la energía.
Sobre el momento de inercia se puede decir que es único para cada cuerpo rígido dependiendo del sistema de referencia que nos ubiquemos.
El error es muy pequeño que presenta no diverge mucho de los cálculos realizados en el laboratorio.
En este último laboratorio cabe mencionar el agradecimiento al profesor del área de física del laboratorio por tolerarnos, comprendernos y guiarnos.
GRACIAS…
Laboratorio N°5 Dinámica de Rotación
29