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La Ecuación de Schrödinger
I think it is safe to say that no one understands quantum mechanics. Do not keep saying to yourself, if you can possibly avoid it, “But how can it be like that?” because you will get “down the drain” into a blind alley from which nobody has yet escaped. Nobody knows how it can be like that.
- Richard FeynmanRichard Feynman (1918-1988)
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Recapitulemos:
• de Broglie: dualidad onda-partícula
• Experimento de Young: interpretación probabilística
• Principio de Heisenberg: imposible determinar totalmente x y p al mismo tiempo
No se puede determinar exactamente la trayectoria de una partícula .... Pero sí la probabilidad de encontrarla a tiempo t en determinado punto x.
La probabilidad está relacionada con la función de ondas x,t) asociada a la partícula
es solución de la ec. de ondas: Ec. de Schrödinger
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Ecuación de Ondas Clásica
2 2
2 2 2
2 2 2
2 2
2 2
2 2
1( , ) cos(2 ) ( )
v
4( ) 0
v
4como v= ( ) 0
( ) cos(2 / )
u uu x t t x
t x
xx
xx
x A x
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Hacia la ecuación de Schrodinger
21/ 2
1/ 2
2 2 2
2 2 2 2
2 2
2
v( ), v={2m[E- ( )]}
2
de Broglie v {2m[E- ( )]}
4 2m[E- ( )] eqn. ondas clásica ( ) ( ) 0
( / 2 )
( / 2 )eqn. Schrodinger - ( ) ( ) ( )
2m
mE V x despejando m V x
h h
m V x
V xx x
x x h
hV x x E x
x
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La Ecuación de Schrödinger
La ec. de Schrödinger para una partícula de energía E que se mueve en una dimensión bajo un potencial V es
where V = V(x,t)
La ecuación de Schrödinger es la ecuación fundamental en Mecánica Cuántica.Igual que las ecuaciones de Newton en mecánica clásica, no se demuestra, sino que se postula.
),(),(),(
2
),(2
22
txtxVx
tx
mt
txi
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La Ecuación de Schrödinger en 3-D
La ec. de Schrödinger para una partícula de energía E que se mueve en una dimensión bajo un potencial V(r,t) es
where V = V(x,t)2 2 2 2
2 2 2
( , ) ( , ) ( , ) ( , )( , ) ( , )
2
r t r t r t r ti V r t r t
t m x y z
22( , )
( , ) ( , ) ( , )2
r ti r t V r t r t
t m
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Solución General para V = 0
Probando con una onda plana
( )i kx ti Ae it
( )( )i i it
2 2 2 2
22 2
k
m x m
LuegoLa onda plana es solución de la ec. de Schrödinger para una partícula libre
)(),( tkxieAtx 2
22 ),(
2
),(
x
tx
mt
txi
22
2
kx
m
k
2
22
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Normalización y Probabilidad
La probabilidad P(x) dx de encontrar la partícula entre x y x + dx está dada por
La probabilidad de estar entre x1 y x2 es
Como la probabilidad de encontrar la partícula en “algún x” debe ser 1, debe estar normalizada
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Características de la función de ondas
es una función compleja. Los observables (x, p, E, …) deben ser reales, pero en gral es compleja
debe ser finita debe ser monovaluada Tanto como d /dx deben ser continuas. (Para
que exista la derivada segunda.) Para que esté normalizada, 0 para x
• Las soluciones de la ecuación de ondas que no cumplan las propiedades anteriores no tienen sentido físico.
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para el estado fundamental del átomo de H
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Comparación
de orbitales
y
probabilidad
es
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Valor EsperadoEl valor esperado de una magnitud dada es el promedio de
dicha magnitud.
Donde Pi es la probabilidad correspondiente al valor xi. Si x es continua:
1 1 2 2 N N i i
i
x Px P x P x P x
( )x P x x dx* *( ) ( ) ( ) ( )x x x x dx x x x dx
En mecánica cuántica:
Y el valor esperado de una función de x, g(x):
*( ) ( ) ( ) ( )g x x g x x dx
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• Para encontrar el valor esperado de p se necesita representar p en función de x y t. Considerando la derivada respecto a x de la función de onda para una partícula libre .
Operador Momento
p
iikexx
tkxi )(
x
txitxp
),(
),(
Esto sugiere definir el operador momento
Y el valor esperado
xipop
dxx
txtxip
),(),(*
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• Considerando la derivada respecto a t de la función de onda para una partícula libre .
Operador Energía
E
iiett
tkxi )(
t
txitxE
),(
),(
Esto sugiere definir el operador momento
Y el valor esperado
tiEop
dxt
txtxiE
),(),(*
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Sustituyendo los operadores:
E:
K+V:
La Ec. de Schrödinger usando operadores
2
2
pE K V V
m La energía es:
E it
22 1
2 2
pV i V
m m x
2
2
pE V
m
2 2
22V
m x
2 2
22i V
t m x
Sustituyendo
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Cuando el potencial no depende explícitamente del tiempo la ecuación de Schrödinger es separable en variables espaciales y temporales.
Ec. de Schrödinger Independiente del Tiempo
)()(),( tfxtx
)()()()(
2
)()()(
2
22
tfxxVx
x
m
tf
t
tfxi
)()(
)(
1
2
)(
)(
12
22
xVdx
xd
xmdt
tdf
tfi
luego
Dividiendo por (x,t)
Sólo función de t
Sólo función de x
Cada término debe ser cte. B
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Integrando:
Ec. Schrödinger Independiente de t
Comparando con la solución para la partícula libre:
Bdt
df
fi
1 /
) (iBt
e t f
)(),( tkxieAtx
tE
ititf
)(
)()()()(
2 2
22
xExxVdx
xd
m
Y se obtiene
Ec. de Schrödinger Independiente del tiempo
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Estados Estacionarios
• Si el potencial V no depende explícitamente del tiempo la función de onda se puede escribir
• La densidad de probabilidad:
• Que es cte. en el tiempo. Estados estacionarios.
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Postulados de la Mecánica Cuántica• El estado de un sistema está completamente definido por su
función de onda (x,t)
• Para cada observable clásico hay un operador lineal y hermítico en mecánica cuántica
• En la medida de un observable A sólo se pueden encontrar valores a que son autovalores del operador correspondiente
A (x,t) = a (x,t)
• El valor promedio de un observable está dado por su valor esperado
• La función de ondas obedece la ec. de Schrödinger,
*A A d
( , )( , )
2
h x ti H x t
t