Structural Engineering - Lund University 1
Krav på Konstruktioner• Säkerhet mot brott (säkerhetskrav)
• Människors liv och hälsa
• Kostnader för skador
• God funktion (brukarkrav)
• Begränsa nedböjningar
• Begränsa svikt och svängningar
• Undvika skador på sekundära konstruktioner, ytskikt, dörrar fönster o.d.
• Beständighet
Structural Engineering - Lund University 2
Gränstillstånd”Tillstånd då konstruktionen är på gränsen till att inte uppfylla de krav den är dimensionerad för”
Vi använder två gränstillstånd
•Brottgränstillstånd
•Bruksgränstillstånd
Matematisk beskrivning av gränstillstånd:
Lasteffekt S = Bärförmåga R
R och S är stokastiska variabler (statistisk spridning)
Structural Engineering - Lund University 3
Definition av lastFrekvens
Q1
Total area 1
Qk
Q1 årsmaximum av variabel last QQk värde som överskrids med
sannolikheten 0.02 (1 gång på 50 år)
Täthetsfunktion för last fS(s)
Structural Engineering - Lund University 4
Definition av materialvärden
Frekvens
Hållfasthet
Total area 1
Karakteristiskt värde
5 % fraktilen
Täthetsfunktion för material fR(r)
Structural Engineering - Lund University 5
Partialkoefficientmetoden
)M
(RR)QG(SSm
kdkqdkgdd γ
γγγγ =<+=
Varje variabel får sin egen (partiell) säkerhetsfaktor som tar hänsyn till osäkerheten för just den variabeln.
Partialsäkerhetsfaktorer har beteckningen γ
Structural Engineering - Lund University 7
Definition av brottP
roba
bilit
y D
ensi
ty
fS(s) fR(r)
R, SμRμS Sk Rk
Sannolikheten för att hamna inom detta område beror på val av säkerhetsklass
Säkerhetsklass γd Konsekvens av brott Brottsannolikhet (per år)
1mindre allvarlig
0.83 Obetydlig risk för allvarliga personskador
10-4
2allvarlig
0.91 Någon risk för allvarliga personskador
10-5
3mycket allvarlig
1.0 Betydande risk för allvarliga personskador
10-6
13
Klassificering av laster
Qk = Karakteristiskt lastvärde (50 årslasten)
ψ0Qk = Kombinationslastvärde (≈5 års lasten)
ψ1Qk = Frekvent lastvärde (överskrids ≈1% av tiden)
ψ2Qk = Kvasipermanent lastvärde (≈Lastens tidsmedelvärde)
1 > ψ0 > ψ1 > ψ2 > 0
Structural Engineering - Lund University 14
Lastkombinationer i brottgränstillståndet
Stjälpning, lyftning, glidning
Structural Engineering - Lund University 16
Kombination av Lasterp1(t)
p1max
t1 tid
tid
tid
p2(t)
p12(t)= p1(t)+p2(t)
t2
p2max
t3
p12max
17
Lastkombinationsfaktorer
Qk = Karakteristiskt lastvärde (50 årslasten)
ψ0Qk = Kombinationslastvärde (≈5 års lasten)
ψ1Qk = Frekvent lastvärde (överskrids ≈1% av tiden)
ψ2Qk = Kvasipermanent lastvärde (≈Lastens tidsmedelvärde)
1 > ψ0 > ψ1 > ψ2 > 0
Structural Engineering - Lund University 19
Lastkombinationer i bruksgränstillståndet
Permanent skada Långtidslast
Tillfällig olägenhet
Bunden och Fri lastBunden last
Fri last
Fri last
Fri last
Hela den nyttiga lasten är fri dvs. får flyttas runt för att fåmaximala snittkrafter och upplagsreaktioner
Structural Engineering - Lund University 28
Bärförmåga
m
kd
ff
γη=
Dimensionerande materialvärde
fk karakteristiskt värdeγm partialkoefficient för materialegenskap, tar
hänsyn till• osäkerheter i hållfasthetsvärden• osäkerheter i värden för tvärsnittsmått• osäkerheter i beräkningsmodeller
η η är en omräkningsfaktor som tar hänsyn till systematiska skillnader mellan hållfastheten i en provkropp och i en konstruktion
Structural Engineering - Lund University 30
Måttavvikelser
α
a
l la
=α
N αα NtanN ≈⋅
NcosN ≈αα
l 0e
Oavsiktlig snedställning
Oavsiktlig krokighet
KonstruktionselementKrav på konstruktionselement
• Tillräcklig bärförmåga (brott av något slag)brottgränstillstånd
• Tillräcklig styvhet (nedböjningar, svikt, vibrationer)bruksgränstillstånd
Faktorer som har betydelse• Materialets egenskaper
• Tvärsnittets utformning
• Spännvidd
• Upplagsförhållanden
• Typ av belastning (statisk, dynamisk, varaktighet etc)
Instabilitet hos konstruktionselement
Knäckning av tryckt element
(pelare)
Buckling av tryckta
tvärsnittsdelar
Vippning av balk (tryckt
kant)
Spänningsfördelning vid brott
fu
fufy
fy
fy
fy
Elastiskt material
Elastoplastiskt material
Plastiskt material
64
Exempel på horisontell stabilisering
Takbalk
Sträva
Pendel-pelare
Takskiva
Väggskiva
Fackverk Ramverkan Skivverkan
71
Stomstabilisering med skivor
AB
C
b a
c
m n o
AB
C
D
Två väggskivor och en takskiva – inte stabil
Tre väggskivor och en takskiva – stabilVäggskivornas plan får inte skära varandra i samma punkt
74
Kantbalk
vindförband
takplåtfasadpelare
primärbalk
kantbalkgavelbalk
gavelpelare
vindlast q
N NMVb
takbalk
takplåtkantbalk
takbalk
takplåtTakås/kantbalk
a) plåt direkt påtakbalkar – speciell kantbalksprofil
b) plåt på takåsar –yttersta åsen (här en Z-profil av tunnplåt) fungerar som kantbalk
Stabilisering av flervåningsbyggnader• Hiss- och trapphustorn som ”kärna”
– Hiss-/trapphustorn fungerar som en inspänd pelare
– Sluten låda krävs för vridstyvhet
– Kärna så långt från husets vridcentrum som möjligt stor vridstyvhet
– Bjälklag överför horisontella laster till kärnan bjälklag av prefabelementmåste fungera som EN skiva
76
Byggnadskonstruktion Konstruktionsteknik LTH 81
Arbetskurva för stål
Övre sträckgräns Undre sträckgräns
Brottgräns
Kallbearbetat/seghärdat
Varmbearbetat
Brottgräns 0.2-gräns
Gränstöjning
Brottöjning
0.2 %
yf
uf
uf2.0f
gε
uε
Kallbearbetning: högre hållfasthet, mindre töjbarhet
Profilerad plåt och lättbalkar görs av kallbearbetat stål
Egenspänningar
• Valsade profiler har egenspänningar pga ojämn avsvalning, storleken på egenspänningar cirka hälften som för svetsade profiler
• Egenspänningar kan elimineras/minimeras med avspänningsglödning (jämn upphettning av hela elementet), detta är dock svårt att göra i praktiken
Byggnadskonstruktion Konstruktionsteknik LTH 89
Byggnadskonstruktion Konstruktionsteknik LTH 91
Idealiserad arbetskurva för stål
εbrott
mått för seghet
Instabilitet • För slanka konstruktioner kan brott inträffa
innan spänningar uppnått sträckgränsen
• instabilitetsfenomen– Knäckning tryckt element– Vippning tryckt fläns
[behandlas i kursen Stål- och träbyggnadsteknik ÅK4]
– Buckling tunna plåtar som utsätts för tryckkrafter eller skjuvkrafter [behandlas mer utförligt i kursen Stål- och träbyggnadsteknik ÅK4]
Byggnadskonstruktion Konstruktionsteknik LTH 94
Buckling av plåt med fri kant
Aktuellt för slanka flänsar
97Byggnadskonstruktion Konstruktionsteknik LTH
Byggnadskonstruktion Konstruktionsteknik LTH 99
Tvärsnittsklasser
• Vid dimensionering av stålkonstruktioner måste man ta hänsyn till buckling men med en enklare metodik
• Olika tvärsnittsklasser som tar hänsyn till– buckling– Egenspänningar– Initiella bucklor och imperfektioner
101
Tvärsnittsklasser, spänningsfördelning och momentkapacitet
, ,c Rd pl Rd pl yd ydM M W f Zf= = =
, , ,el yd el Rd c Rd pl Rd pl ydW f M M M W f= ≤ ≤ =
, 0, ,minc Rd Rd eff ydM M W f= =
Tvärsnittsklass
1 & 2
3
4
103
Tvärsnittsklasser• Upplagssätt
– längs 2 kanter t ex livet i H-balk, lådbalk
– Längs 1 kant, t ex fläns i H-balk
• Böjningsaxel– Styva riktningen– Veka riktningen
• Belastningssätt– Böjning– Tryck– Tryck och böjning
• Kontrollera slankheten för tryckta tvärsnittsdelar
• Slankhetsgränser är empiriska och beräknas m h t stålets hållfasthet
104
Tvärsnittsklasser• Upplagssätt
– längs 2 kanter t ex livet i H-balk, lådbalk
– Längs 1 kant, t ex fläns i H-balk
• Böjningsaxel– Styva riktningen– Veka riktningen
• Belastningssätt– Böjning– Tryck– Tryck och böjning
• Kontrollera slankheten för tryckta tvärsnittsdelar
• Slankhetsgränser är empiriska och beräknas m h t stålets hållfasthet
Träets egenskaper beror på• Densitet• Fuktkvot• Riktning (L,R,T)• Defekter • Volym• Spänningstillstånd (t ex vinkeln mellan kraftriktning och
fiberriktning)• Lastvaraktighet
Byggnadskonstruktion Konstruktionsteknik LTH 110
Böjhållfasthet för K-virke och limträ
Skillnad i böjhållfasthetens medelvärde
Skillnad i böjhållfasthetens karakteristiska värde
Antal balkar
Böjhållfasthetfmk fmk
lamelleringseffekt
GL28c-GL32c (L40)
Gruppindelning av laster mht lastens varaktighet
Den kortvarigaste lasten i en lastkombination bestämmer grupptillhörigheten vid bestämning av materialvärde i brottgränstillstånd
115
Klimatklasser (inverkan av fukt)
• Klimatklass 1: karakteriseras av en miljö, vars relativa fuktighet endast under några få veckor per år överstiger 65 procent. Medelfuktkvot för de flesta barrträslag överstiger inte 12 %.
– Exempel: ytterväggskonstruktion runt varaktigt uppvärmd lokal, skyddad med tät ventilerad ytterbeklädnad
• Klimatklass 2: karakteriseras av en miljö vars relativa fuktighet endast under några få veckor per år överstiger 85 procent. Medelfuktkvot för de flesta barrträslag överstiger inte 20 %.
– Exempel: Konstruktioner som är ventilerade och skyddade mot direkt nederbörd, t ex takstolar, vinds- och kryprumsbjälklag, konstruktioner i icke-varaktigt uppvärmda lokaler
• Klimatklass 3: karakteriseras av en miljö, som ger ett större fuktinnehåll i trämaterialet än det som svarar mot klimatklass 2. Medelfuktkvot för de flesta barrträslag överstiger 20 %.
– Exempel: konstruktioner, oskyddade för väta eller i direkt kontakt med mark, byggnadsställningar och betongformar
Byggnadskonstruktion Konstruktionsteknik LTH 118
Spännings-töjningssamband för betong
Verklig spänningskurva
Förenklad spänningskurva
ccf
ctf
0cε =0.0035cuε
Tryck
Drag
brottstukningDraghållfastheten brukar försummas vid dimensioneringenPlötsligt brott
Dimensionerande värde för tryckhållfasthet, draghållfasthet och E-modul hos betong i brottgränstillstånd
Byggnadskonstruktion Konstruktionsteknik LTH 119
I bruksgränstillstånd gällerfcd=fck
Ecd=Ecm
Konstruktionsteknik LTH 122
Armeringsstålvarmvalsad
KallbearbetadIstället för sträckgräns används 0.2gräns
Deformations-hårdnande
Konstruktionsteknik LTH 123
Samverkan mellan armeringsstål och betong
Vidhäftningskapacitet beror på
- Stångdiameter- Betongkvalitet- Täckskikt- Närvaro av byglar
Täckande betongskikt• Täckskiktets tjocklek m h t
– Armeringen skyddas mot korrosion
– Förankring och skarvning är möjlig utan risk för spjälkning
124
Böjmoment
,max max
,max
max
yy
y yy
yyy
My
I MWI
Wy
σσ
⎫= ⋅ ⎪
⎪ ⇒ =⎬⎪= ⎪⎭
TP
σmax
σmax
M
WfM yR ⋅=Böjmomentkapacitet
127
Stål
TP
fyd
M
fyd
fyd fyd
drag
tryck< fyd
fyd
TK1&2 TK4TK3
Risken för buckling påverkar trycksidan
R y plM f W= ⋅ R y elM f W= ⋅ R y elM f W< ⋅
128
Konstruktionsteknik LTH 131
Momentkapacitet, Trä, Eurokod
M Rd = fmd W kcrit
fmd är böjhållfastheten
W är böjmotståndet kring aktuell axel
kcrit är en faktor ( kcrit ≤ 1 ) som tar hänsyn till vippning.
Beräkningen görs med elasticitetsteori
2
6bhW = För rektangulärt
tvärsnitt
Lund University / Structural Engineering
Armering
Armeringen placeras i dragzonen – tar upp alla dragkrafter (efter att betongen spruckit)
Vid dimensionering i brottgränstillståndet bortser man från betongens draghållfasthet, dvs fct = 0.
Lund University / Structural Engineering
Armerat betongtvärsnitt
Tre olika fall beroende på armeringsmängden:
1. Normalarmerad – armeringen flyter innan betongen krossas i tryckzonen, inträffar vid liten armeringsmängd.
2. Överarmerad – betongen krossas innan armeringen flyter
3. Balanserad armering – anger övergången mellan 1 och 2
Stålets arbetskurva:
fst
εsy
εs
σs
1
2
3
Lund University / Structural Engineering
Momentbelastade armerade betongtvärsnitt
Fs
Stadium II Stadium III
1. Plana tvärsnitt förblir plana 2. Draghållfasthet (fct) för betong kan försummas
efter uppsprickning 3. Spännings-töjningskurvan för stål och betong är linjär 4. Små deformationer
Lund University / Structural Engineering
Enkelarmerat tvärsnittccf
d0.8xSdM
sA
sε
cuε
x
sF
cF
sF
Kraft i armering:
Kraft i betong:
Kraftjämvikt:
Momentjämvikt, kring Fs:
Töjningsdiagram, likformiga trianglar
Om εS≥ εSy σS = fst
Om εS< εSy σS = εS ES
xdxscu
−=
εε
Lund University / Structural Engineering
Dubbelarmerat tvärsnitt
Fördelar med dubbelarmering:1. Ökad seghet2. Mindre deformationer3. Mindre total mängd armering4. Förstärker tryckzonen
Lund University / Structural Engineering
Dubbelarmerat tvärsnitt d´
d
sε
cuε'sε x
sss AF σ=
's
's
's AF σ=
x.bfF ccc 80= 0.8x
SdM
sA
'sA
Flera olika fall kan vara aktuella:
1. Både drag- och tryckarmering flyter:
εS ≥ εSy och ε’S ≥ ε’Sy σS = fst , σ’S = fst
2. Endast dragarmering flyter:
εS > εSy och ε’S < ε’Sy σ’S = ε’SEs , σS = fst
3.Endast tryckarmering flyter:
ε’S > ε’Sy och εS < εSy σS = εSEs , σ’S = fst
Byggnadskonstruktion Konstruktionsteknik LTH 136
Kontroll enligt Eurokodelastiskt tillstånd (TK3)
För I eller H-tvärsnitt:
0.6Sd fSd
ww
V Aom AAτ = ≥
där Af = flänsareaoch Aw=hwtw = livarea
Byggnadskonstruktion Konstruktionsteknik LTH 137
Kontroll enligt Eurokodplastiskt tillstånd (TK1&2)
0
3M
v
Rd,pl
fAV
γ=
där skjuvarean Av för I-, H-tvärsnitt och lådtvärsnitt bestäms av, exempelvis:Valsade I- och H-tvärsnitt, last parallell med livet
( ) fwfv trtbtAA 22 ++−=
Byggnadskonstruktion Konstruktionsteknik LTH 139
Trä, tvärkraftsdimensionering
för rektangulärt tvärsnitt:
Effekten av sprickor bör beaktas vid bestämning av tvärkraftskapacitet:
bef=kcrb
kcr=0.67 för konstruktionsvirke och limträ ochkcr=1 för träbaserade produkter
vdmitt
VS fIb
τ = ≤
Lund University / Structural Engineering
Skjuvsprickor
Böjskjuvsprickorna initieras i underkant p.g.a. normalspänningar som överstiger draghållfastheten
Livskjuvsprickor uppträder i snitt med stora skjuvspänningar
Lund University / Structural Engineering
Tvärkraftskapacitet utan tvärkraftsarmering
Tvärkraftskapaciteten bestäms enligt:
( ) dbfkCV wcklcRdRdc3
, 100ρ=
ck
wRdc
fkv
dbvV3
min
min
035.0där
för gräns Nedre
=
=
bredd minsta balklivets:
area ngensdragarmeri - 0.02,
mm i med 0.22001
18,0,
w
slw
sll
CcRd
b
Adb
A
dd
k
C
<=
≤+=
=
ρ
γ
Där:
Lund University / Structural Engineering
Tvärkraftsarmering
Tvärkraftsarmering läggs in som byglar som omsluter drag- och tryckarmeringen
s = centrumavstånd på byglar
Lund University / Structural Engineering
Tvärkraftsarmering
Fördelar med tvärkraftsarmering:
− Dymlingsverkan blir effektivare då den längsgående armeringen får stöd av byglarna
− Ett fackverksbeteende i konstruktionen erhålls
− De sneda sprickorna hålls samman vilket ökar betongens förmåga att överföra friktionskrafter i sprickan
− Förankringen mellan betong och dragarmering förbättras då dragzonen hålls samman
Lund University / Structural Engineering
Tvärkraftskapacitet med tvärkraftsarmering
Efter uppsprickning bidrar betongen i sprickan ej till tvärkraftskapaciteten
Konstruktionen beskrivs med fackverksanalogi (efter uppsprickning):
Lund University / Structural Engineering
Tvärkraftskapacitet med tvärkraftsarmering
( )
byglarmellan avståndet är där
sincotcot9.0
ss
dfAV ywdswRdsααθ +
=
MPa i med 250
16.0 ckck ff⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=ν
Tvärkraftskapacitet för byglar:
Betongsträvans kapacitet:
där:
(Ju högre fck desto sprödare brott)
Byggnadskonstruktion Konstruktionsteknik LTH 140
Dimensionering för Normalkraft
a) c)
b)
Drag
Tryck kort
pelare
Tryck slank pelarefAN Rt =
fAN Rc ω=
RcN fA=
143
Tryckt stålpelare
,1
yb Rd
M
f AN
χγ
=
Reduktionsfaktorn χberor på slankheten λ
cr
pl
NN
=λ
0.2
0.8
0.6
1
0.4
Relativ brottlast
3.53.02.50.5 2.01.51.0
Ren stukning
Euler hyperbeln
Reducerad brottlast p.g.a. att förutsättningar för Eulerknäcklast inte är uppfyllda
cr
pl
NN
=λ
pl
u
NN
=χ
Avvikelser från Eulerknäcklasten p g a- Egenspänningar- Initialkrokighet och initialexcentricitet av tryckkraften- Plasticering i kombination med pelarknäckning
144
Tryckt Stålpelare
, 1
2 2
2
/
1
där 0,5(1 ( 0, 2) )
b Rd y M
yc
N f A
fli E
χ γ
χφ φ λ
φ α λ λ
λπ
=
=+ −
= + − +
=
00.13 för tvärsnitt i grupp a0.21 för tvärsnitt i grupp a0.34 för tvärsnitt i grupp b0.49 för tvärsnitt i grupp c0.76 för tvärsnitt i grupp d
ααααα
=
====
Byggnadskonstruktion Konstruktionsteknik LTH 147
Tryckt träpelareTryck parallellt fiberriktningen
AfkN d,,ccRd,c 0=
kc reduktionsfaktor för knäckning kring aktuell axelfc,0,d dimensionerande hållfasthet för tryck parallellt
fibrernaA tvärsnittsarea
Byggnadskonstruktion Konstruktionsteknik LTH 150
Tryckt betongpelare
Normalkraft
Stål
Betong
Töjning
Här uppnås N
N
Pelare
sydccd AfAfN +=0
Betongpelare beskrivs i nästa avsnitt om samtidig normalkraft och moment
0N
Byggnadskonstruktion Konstruktionsteknik LTH 151
Tryckt betongpelare
Minimiarmering i pelareMinsta diameter på längsgående armering: φ8
Minsta diameter på tvärgående armering: φ6
Minsta mängd längsgående armering: 0,002Ac
Avstånd mellan tvärgående armering (byglar) bör inte överstiga det minsta av:
o 20 gånger längsgående armerings minsta diameter
o Pelarens minsta tvärsnittsmått
o 400 mm
152
Moment och normalkraft
P (kN)
q (kN/m)
L
Laster Snittkrafter och moment
M N
Mmax=
qL2/8Nmax=P
Snittkrafterna jämförs med bärförmågan, t.ex. MR>ME där ME=Mmax
Samtidig normalkraft och böjningelastiskt interaktionsdiagram
153
fWM
AN EE ≤+=σ
1≤+fWM
fAN EE
1≤+R
E
R
E
MM
NN
NS = NEMS = ME
154
Samtidig normalkraft och böjningplastiskt interaktionsdiagram
Kontroll påtvärsnittsnivå
12
≤+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
pl
E
pl
E
MM
NN
för rektangulärt tvärsnitt
Elementkontroll
157
Elementkontroll innebär att man tar hänsyn till effekter som har med hela elementet att göra:
• Knäckning• Andra ordningens moment• Imperfektioner
• initialkrokighet, • initiallutning, • oavsiktlig lastexcentricitet
• Egenspänningar• Plasticering • m.m.
Interaktionsdiagram för böjknäckning, stål
158
•Andra ordningens moment
•Plasticering
•Egenspänningar
•Initialexcentricitet och initialkrokighet
Slanka tvärsnitt är känsligare för interaktion än själva tvärsnittet i snittkontroll
Kontroller enligt Eurokod, stål
Konstruktionsteknik LTH 8
Hänsyn tas till att materialet kan plasticeras (TK1, TK2), samt till följande:•Knäckning•Andra ordningens moment•Imperfektioner•Egenspänningar•m.m.
Detta gör beräkningarna relativt komplexa. I denna kurs genomförs dimensioneringen med enklare samband som i många fall ger resultat på säkra sidan.
Konstruktionsteknik LTH 9
Snittkontroll
därNRd = fydA tryckkraftskapaciteten utan hänsyn till
knäckning
elastiska momentkapaciteten
0,1Rd
Ed
Rd
Ed
M
M
N
N
0M
ely
Rd
WfM
Snittkontroll
Konstruktionsteknik LTH 10
1 moment ordningens andra 0
MM Ed
lastEulerknäck
2
2
L
EINcr
Ed
cr
N
N
moment ordningens första0 M
Böjknäckning, elementkontroll
Konstruktionsteknik LTH 11
Samtidig böjning och normalkraft
0,1,
Rd
Ed
Rdb
Ed
M
M
N
N
Nb,Rd normalkraftskapacitet med hänsyn till knäckning
MRd momentkapacitet
1M
y
Rd,b
AfN
1M
ely
Rd
WfM
Böjknäckning
Byggnadskonstruktion Konstruktionsteknik LTH 16
lasteffekt EdN
1 moment ordningens andra 0
MM Ed
lastEulerknäck
2
2
L
EINcr
175
TRÄ: Drag och moment
Nt,Ed Normalkraft av dimensionerande lastMy,Ed Mz,Ed Moment av dimensionerande last
kring x- och y-axelnNt,Rd Normalkraftskapacitet = Aftd
My,Rd Mz,Rd Momentkapacitet = Wfmd
km Reduktionsfaktor för böjning kring 2 axlar= 0,7 för rektangulära tvärsnitt= 1,0 för övriga tvärsnitt
1≤++Rd,t
Ed,t
Rd,z
Ed,zm
Rd,y
Ed,y
NN
MM
kMM
”elastiskt interaktionssamband”
176
TRÄ: Tryck och momentej risk för knäckning λrel ≤ 0,3
12
≤⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
Rd,c
Ed,c
Rd,z
Ed,zm
Rd,y
Ed,y
NN
MM
kMM
Nc,Ed Normalkraft av dimensionerande lastMy,Ed Mz,Ed Moment av dimensionerande last
kring x- och y-axelnNc,Rd Normalkraftskapacitet = kcAfcd
kc,y Reduktionsfaktor för knäckning kring y-axeln kc,y = 1 när λrel ≤ 0,3
My,Rd Mz,Rd Momentkapacitet = Wfmd
km Reduktionsfaktor för böjning kring 2 axlar= 0,7 för rektangulära tvärsnitt= 1,0 för övriga tvärsnitt
”plastiskt interaktionssamband”
177
TRÄ: Tryck och momentKnäckning λrel > 0,3
Nc,Ed Normalkraft av dimensionerande lastMy,Ed Mz,Ed Moment av dimensionerande last
kring x- och y-axelnNc,Rd Normalkraftskapacitet = kcAfcd
kc,y Reduktionsfaktor för knäckning kring y-axeln My,Rd Mz,Rd Momentkapacitet = Wfmd
km Reduktionsfaktor för böjning kring 2 axlar= 0,7 för rektangulära tvärsnitt= 1,0 för övriga tvärsnitt
1≤++Rd,c
Ed,c
Rd,z
Ed,zm
Rd,y
Ed,y
NN
MM
kMM
”elastiskt interaktionssamband”
Moment och normalkraftDel 3: betong
Tvärsnittskontroll
Elementkontroll m h t imperfektioner och andra
ordningens moment
180
BETONG: tvärsnittskontrollTöjnings- och spänningsfördelning
sσsε
´sε
b
d´
dhx
fcd
0.8x
N
M
Tvärsnittet Töjning Spänning Förenklad spännings-fördelning
sA
´sA
´sσcuε
´sσ
sσ
181
BETONG: tvärsnittskontrollJämviktsekvationer och töjningsfördelning
d´
d
sε
cuε'sε x
sss AF σ=
's
's
's AF σ=
x.bfF cdc 80=0.8x
SdN
SdM
sA
'sA
182
BETONG: tvärsnittskontrollInteraktionssamband
SdN
SdM SdN
SdM
Rent tryck
Balanserat brott
Ren böjning
A
C
B
184
ImperfektionerOavsiktlig initiallutning(representerar initiallutning och krokighet)
mh0i ααθ=θ
005.00 =θ
lh2=α 13
2 ≤≤ hα
( )m.m1150 +=α
Reduktionsfaktor för längd eller höjd
Reduktionsfaktor för antal konstruktionsdelar
I denna kurs gäller: l = pelarlängdm = 1 (enstaka pelare, inte hela system)
185
ImperfektionerFör enskilda bärverksdelar får inverkan av imperfektionerbeaktas som en excentricitet ei
där θi = lutningl0 = effektiv längd
För väggar och enstaka pelare i avstyvade system fåranvändas.
20 /le ii θ=
4000 /lei =
Andra ordningens effekter
187
Andra ordningens effekter kan försummas om slankhetstalet λ är mindre än
n/CBAlim ⋅⋅⋅= 20λ
il0=λl0 = knäckningslängdi = tröghetsradien för det ospruckna betongtvärsnittet
slankhet
FALL 1: ej ta hänsyn till andra ordningens moment
• Bestäm första ordningens moment med hänsyn till yttre laster och imperfektioner.
• Kontrollera tvärsnittets bärförmåga (jämviktsekvationer eller interaktionsdiagram)
189
FALL 2: ta hänsyn till andra ordningens effekter
• Bestäm andra ordningens moment
M0Ed = första ordningens moment med hänsyn till yttre laster och imperfektioner
NEd = normalkraft av yttre lasterNB = knäckningslasten (Euler)β = faktor som beror på fördelningen av första och andra
ordningens moment190
( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
+=1
10EdB
EdEd NNMM β
Nominell stvhet EI
Ecd dimensioneringsvärdet för betongens elasticitetsmodulIc tröghetsmomentet för betongtvärsnittetEs dimensioneringsvärdet för armeringens elasticitetsmodulIs armeringens tröghetsmoment kring betongareans tyngdpunktKc faktor för inverkan av sprickbildning, krypning etc. Ks faktor för armeringens bidrag
192
sssccdc IEKIEKEI +=
193
Dimensionering av betongpelare - Arbetsgång1. Bestäm NEd
2. Bestäm moment M0Ed av yttre laster och imperfektioner
3. Beräkna slankheten λ och λlim
a. om λ < λlim dimensionerande moment MEd = M0Ed
b. om λ > λlim bestäm andra ordningens moment
4. Krav MEd > NEd * oavsiktlig lastexcentricitet
5. Kontrollera att tvärsnittet klarar NEd och MEd samtidigt m h a diagram.
( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
+=1
10EdB
EdEd NNMM β
Konstruktionsteknik VBK013 / 2012-04-18 5
Fungerar konstruktionen under sin livstid?• funktionen hos konstruktionen och/eller byggnaden under
normal användning• människors upplevelse och bekvämlighet • utseendet hos konstuktionsdelen/byggnaden
Kontrol av:• formändringar (deformations)• förskjutningar (displacements)• svängningar (vibrations) och • sprickor (cracks).
Bruksgränstillstånd
Konstruktionsteknik VBK013 / 2012-04-18 7
Bruksgränstillstånd
• Byggnadsdelar och upplag skall ha sådan styvhet att deformationer eller förskjutningar vid avsedd användning inte inverkar menligt på dess funktion eller skadar andra byggnadsdelar.
• Byggnadsdelar skall utformas så att uppkomna svängningar inte upplevs som besvärande.
• Sprickbildning skall begränsas i den mån det är nödvändigt för att säkerställa byggnadsdelarnas avsedda funktion och beständighet.
Konstruktionsteknik VBK013 / 2012-04-18 8
Bruksgränstillstånd
Deformationer, svängningar och sprickor bestäms med beaktande av• lastens storlek• lastens varaktighet och variationer• byggnadsdelens miljö, innefattande temperatur och
fuktighet• materialets långtidsegenskaper
Konstruktionsteknik VBK013 / 2012-04-18 11
2Motsvarar permanent skada – irreversibla gränstillstånd3Motsvarar tillfällig olägenhet – reversibla gränstillstånd4Motsvarar långtidlast – långtidseffekter och effekter rörande bärverkets utseende
Lastkombinationer i bruksgränstillstånd
Konstruktionsteknik VBK013 / 2012-04-18 14
BKR:• Deformationer och svängningar bör beräknas enligt
elasticitetsteori med en beräkningsmodell som på ett rimligt sätt tar beskriver konstruktionens styvhet, massa, dämpning och randvillkor.
Deformationer
Konstruktionsteknik VBK013 / 2012-04-18 17
Lösningen av ekvationerna beror på belastning och randvillkor.
I balktabeller hittar vi uppgifter på hur nedböjningen kan beräknas, kräver värden på last och styvhet EI.
Nedböjning
Konstruktionsteknik VBK013 / 2012-04-18 18
Dimensionering enligt elasticitetsteori även om plasticitetsteori använts i brottgränstillståndet
E-modul = Ek = 210 GPa
Deformationer av stålkonstruktioner
Karakteristisk lastkombination
Konstruktionsteknik VBK013 / 2012-04-18 21
Deformation av träkonstruktioner
Faktorer som påverkar deformationerna i trä:
• Lastens varaktighet
Tid
Tidt0 t1
P
momentan
momentan
permanent
• Klimatklass (fukt)
Krypning
Konstruktionsteknik VBK013 / 2012-04-18 22
ningInitialtöjEi
i0
)()()( kryptalettti
c
)())(1(
))(1(
)(
0 ngtotaltöjnitE
t
t
i
i
ci
tot
Deformation av träkonstruktionerKrypning
Konstruktionsteknik VBK013 / 2012-04-18 23
Material Klimatklass
1 2 3
Konstruktionsvirke 0,60 0,80 2,00
Limträ 0,60 0,80 2,00
Deformation av träkonstruktioner
(t) heter kdef i EC5
Konstruktionsteknik VBK013 / 2012-04-18 30
Omedelbar utböjning:
)(384
5
,0
4
kkmean
inst QGIE
Lw
)1()1(384
52
,0
4
defQkdefkmean
fin kQkGIE
Lw
02,0
4
, )1()1(384
5 wkQkGIE
Lw defQkdefkmean
finnet
Slutlig utböjning :
Slutlig netto utböjning :
Deformation av träkonstruktioner
Konstruktionsteknik VBK013 / 2012-04-18 37
Antaganden:1. Plana tvärsnitt förblir plana2. Draghållfasthet (fct) för betong kan försummas
efter uppsprickning3. Spännings-töjningskurvan för stål och betong är linjär
cc < cu s < sy
4. Små deformationer
Deformation av betongkonstruktioner
Konstruktionsteknik VBK013 / 2012-04-18 38
Armering försumbar(EI)I = Ec Itot
Nedböjning kan bestämmas med balktabell
Betongen tar dragArmering ej verksam
Deformation av betongkonstruktioner
Osprucket tvärsnitt: Stadium I
Konstruktionsteknik VBK013 / 2012-04-18 39
• Spänning i betong linjär• Armering tar all kraft i dragna zonen
,
,s
s
ss
s
s
c
cc EEE
dNeutrala lagrets läge:
Betongen spruckenArmering verksam
Deformation av betongkonstruktioner
Sprucket tvärsnitt: Stadium II
Konstruktionsteknik VBK013 / 2012-04-18 41
•Betongens krympning (shrinkage) p.g.a. uttorkning
M MBetongens krymper vilket leder till större spricka och därmed större deformation
•Krypeffekter (creep) i betong (eff)•Hur uppsprickning sker (storlek på sprickor och antal)
Beräknad nedböjning ± 20% jämfört med verkliga
Faktorer som påverkar nedböjningens storlek
Deformation av betongkonstruktioner
Konstruktionsteknik VBK013 / 2012-04-18 42
Deformationens storlek beror på spänningsnivå och hur lång tid den varit belastad
Krypning
Deformation av betongkonstruktioner
Konstruktionsteknik VBK013 / 2012-04-18 43
c
ctcr E
tt
Kryptöjning
Krypeffekt beaktas genom en effektiv E-modul
1,c
effcEE
Deformation av betongkonstruktioner
Konstruktionsteknik VBK013 / 2012-04-18 46
Stadium I (osprucket):
totcI
I
IEEIvNedböjning
Stadium II (sprucket):
III vvv 1
315.0
23 CII
II
EdbEI
vNedböjning
Nedböjningen för delvis sprucken balk kan beräknas m.h.a.
Deformation av betongkonstruktioner
Sprickor
Konstruktionsteknik VBK013 / 2012-04-18 50
Sprickor i betong
• Plastiska sprickor • Tidiga temperatursprickor• Krympning• Korrosion• Alkalikiselreaktioner• Yttre last
Konstruktionsteknik VBK013 / 2012-04-18 51
Böjning
Drag
Skjuvning
Vridning
Koncentrerad last
Vidhäftning
Orsakade av yttre last
Sprickor i betong
Konstruktionsteknik VBK013 / 2012-04-18 55
Svängningar
Vibration of floors It is hard to quantify what constitutes acceptable and unacceptable vibrations, and it is difficult to predict the vibration response of a floor from the design drawings.
The two main problem areas of vibration are:•the vibration induced by footfall, and•vibration induced by machinery.
Armeringens funktionI armerade betongkonstruktioner används armering för att:
• Ta upp dragkrafter• Begränsa sprickförekomst och sprickbredd• Ta upp tryckkrafter i de fall då betongens tryckkapacitet
inte är tillräcklig• Stabilisera tryckt armering mot knäckning• Innesluta tryckt betong för att öka dess förmåga att ta
upp tryckkrafter• Skydda mot avspjälkning vid brand
Betong - Armering
Krav: armering och betong måste samverka på ett tillfredställande sätt.
God vidhäftning: betong och stål kan uppnå spänningsnivåer som motsvarar deras bärförmåga.
Upphängningsarmering
Sekundärbalk
Primärbalk
Upphängningsarmring
Bjälklag
Lasten från sekundärbalken söker sig mot underdelen av primärbalken, vilket kräver inhängningsarmering
Upplagskonsoler
P P P P PP
N
a) b) c) d) e) f)
a) böjbrott; c) glidskjuvning e) tryckbrott lokalt under lasten
b) sneda sprickor d) förankringsbrott; f) uppsprickning p.g.a. horisontal dragkraft.
Momentstyvt ramhörn
Krav på ramhörnet, följande måste vara bättre än anslutande element:•Bärförmåga•Sprickkontroll•Seghet
Ståldetaljer
• Statistiskt bestämda konstruktioner är bättre än statiskt obestämda
• Undvik svetsanhopningar
• Undvik skarpa sektionsändringar
• Undvik fickor och spalter som samlar smuts och vatten
Trä - Pelarfot
spikningsplåtar
plattstål
vinkelstålInlimmad skruv
inlimmad skruvmed ändplåt
stolpsko
Håltagning• Hela tvärsnittet behövs för
tvärkraften
• Maximala tvärkraften vid upplag, minimala tvärkraften i balkmitt håltagning i balkmitt
• Under- och överkant behövs för böjmoment håltagning i mitten av balkhöjden
Håltagningar• Hål stör kraftflödet
• I hål tas material bort deltar inte i bärförmågan
• Hål placeras mitt på balkhöjden
• Hål placeras i ett snitt där momentet är maximalt / tvärkraften är minimal (eftersom tvärkraften överförs över hela balkhöjden)
• Begränsning av hålstorlek
• I limträ INGA HÅL i krökta balkar, sadelbalkar eller bågar
Byggnadskonstruktion Konstruktionsteknik LTH 202
Dimensionering enligt brandtekniska klasser
.Byggnadsdelar indelas efter tre grundläggande funktioner som skall uppfyllas med avseende på brandmotstånd
Klass R: BärförmågaKlass E: Integritet (täthet)Klass I: Isolering
Dessa funktioner kan kombineras på olika sätt och åtföljs av tidskrav på 15 till 360 minuter, t ex REI 60, EI 30
Byggnadskonstruktion Konstruktionsteknik LTH 203
Bärförmåga R
.
Bärande byggnadsdelar, inkl. upplag, fogar, förband o d skall utföras så att de bibehåller sin bärande funktion under hela branden eller under specificerad tid
Byggnadskonstruktion Konstruktionsteknik LTH 204
Integritet E
.
Flam- och rökavskil-jande funktion under föreskriven tid eller hel brand
Byggnadskonstruktion Konstruktionsteknik LTH 205
Isolering I (EI)
.Avskiljande funktionInga lågor får släppas igenomTemperaturökningen på den icke brandutsatta sidan får inte överskrida angivna gränsvärdenGränsvärden:•Maximal medeltemperatur-ökning på 140 °C
•Maximal temperaturstegring på enstaka punkter på 180
°C
Byggnadskonstruktion Konstruktionsteknik LTH 212
Bärförmåga vid brand (Eurokod)
.Generella krav
Bärverkets delar, inklusive upplag, fogar, förband o.d., skall utföras antingen så att kollaps inte inträffar
• under en given tidsperiod enligt kraven på brandteknisk klass för byggnadsdelar i avsnitt 5:82 i BBR, (BFS 1998:39)
• under ett fullständigt brandförlopp eller
• under del av ett fullständigt brandförlopp, om det genom särskild utredning kan påvisas att utrymningssäkerheten inte försämras och att riskerna för räddningstjänstpersonalen och påverkan på omgivningen inte ökar.
Krav på brandmotstånd beror på•Byggnadens användning•Byggnadens höjd•Brandbelastning•Byggnadsdelens betydelse för konstruktionens totala bärförmåga
Byggnadskonstruktion Konstruktionsteknik LTH 213
Dimensionerande lastkombinationi brandlastfallet
.
brand av följd somlast termisk
0.10.10.11
,,21,1,1
ak
aki
ikikkd
Q
QQQGQ +++= ∑>
ψψ
Dimensionerande materialvärden
tbrandfalleförfficentpartialkoe
ff
fm
fm
kd
=
=
,
,
ηγ
ηγ
Byggnadskonstruktion Konstruktionsteknik LTH 217
Brandskydd av stålstommar
. •Inbyggda konstruktioner
•Överdimensionerat stål
•Samverkan med betong
•Brandskyddsfärg
•Sprutisolering
•Stenullsskivor
•Gipsskivor
•Fibersilikatskivor
Brandegenskaper hos armerad betong
• Betong tappar hållfasthet med ökad temperatur på liknandesätt som stål
• Betongens volym och lägre värmeledningsförmåga gör attökningen av temperatur sker mycket långsammare än förstål
• Detta ger normal väsentligt högre brandmotstånd utanspeciella åtgärder
Byggnadskonstruktion Konstruktionsteknik LTH 218
Byggnadskonstruktion Konstruktionsteknik LTH 221
Brandskydd av betongkonstruktioner
.
Åtgärder för att minska risken för avspjälkning•Begränsa fukthalten i betongen
•Inblandning av plastfibrer för ökad permeabilitet vid brand
•Luftporbildare (osäker effekt)
•Välja lämplig geometri (undvika tunna sektionsdelar och skarpa hörn)
•Isolera ytan med skyddskikt