KONTROL OPTIMAL UPAYA PENGOBATAN PENYAKIT CAMPAK MENGGUNAKAN
MODEL ENDEMI SIR
Ida Ayu Putu Ari Utari, S.Si, M.Si
Prodi Matematika, FMIPA
Universitas Udayana
2019
PENDAHULUAN
• Penyakit campak adalah suatu penyakit akut yang
sangat yang disebabkan oleh virus campak golongan
Paramyxovirus.
• Perkembangan ilmu pengetahuan di bidang
matematika juga turut memberikan peranan penting
dalam mencegah meluasnya penyakit campak.
PENDAHULUAN
• Kejadian penularan wabah penyakit campak yang
terjadi pada suatu populasi dapat dimodelkan ke
dalam model matematika.
• Salah satunya adalah model SIR (Susceptible,
Infected,Recovered).
PENDAHULUAN
• Model SIR ini menjelaskan pengobatan penyakit
campak dapat direpresentasikan sebagai sistem
persamaan diferensial biasa nonlinear dengan variabel
tak bebas yang meliputi :
1. Susceptible (S)
2. Infected (I)
3. Recovered (R)
PENDAHULUAN
• Penelitian ini akan mengaplikasikan teori kontol
optimal yang tepat dan dapat digunakan untuk
menekan laju pertambahan individu yang terinfeksi
penyakit campak.
DATA DAN METODE
• Model matematika SIR diambil dari penelitian
Kurniawan, dkk.
• Model matematika SIR dapat digambarkan sebagai
berikut :
Susceptible (S)
Infected (I)
Recovered (R)
(1 − 𝜎)𝜃
𝜇
𝛽 𝛼 𝛾
𝜇 𝜇
𝜎𝜃
DATA DAN METODE
Hubungan antara S, I dan R dapat dibentuk dalam
persamaan diferensial sebagai berikut :
𝑑𝑆(𝑡)
𝑑𝑡= 1 − 𝜎 𝜃 − 𝛽𝑆(𝑡)𝐼(𝑡) − 𝜇𝑆(𝑡)
𝑑𝐼(𝑡)
𝑑𝑡= 𝛽𝑆(𝑡)𝐼(𝑡) − 𝛼𝐼(𝑡) − 𝜇𝐼(𝑡) (1)
𝑑𝑅(𝑡)
𝑑𝑡= 𝜎𝜃 + 𝛼𝐼 𝑡 − 𝛾𝑅 𝑡 − 𝜇𝑅 𝑡
dengan 𝑆 + 𝐼 + 𝑅 = 1
DATA DAN METODE
• Langkah-langkah menentukan sistem kontrol optimal pengobatan
penyakit campak :
1. Memodifikasi persamaan (1) dengan melibatkan variabel kontrol
optimal yang dinyatakan dengan 𝑢(𝑡).
2. Menentukan fungsi tujuan.
3. Untuk mendapatkan kontrol optilmal maka dibentuk fungsi
Hamilton.
4. Menurut prinsip Pontryagin, fungsi Hamilton mencapai solusi
optimal jika persamaan state, costate dan kondisi stasioner
terpenuhi .
HASIL DAN PEMBAHASAN
• Pada penelitian ini akan diaplikasikan teori kontrol
optimal pada sistem persamaan diferensial dari model
matematika SIR yang terbentuk dari persamaan (1).
• Laju pengobatan (treatment) dimodifikasi dengan
melibatkan variabel kontrol optimal yang dinyatakan
dengan 𝑢(𝑡).
HASIL DAN PEMBAHASAN
• Secara matematis, model deterministik penyakit
campak yang mengandung variabel kontrol dapat
ditulis :
𝑑𝑆(𝑡)
𝑑𝑡= 1 − 𝜎 𝜃 − 𝛽𝑆(𝑡)𝐼(𝑡) − 𝜇𝑆(𝑡)
𝑑𝐼(𝑡)
𝑑𝑡 = 𝛽𝑆(𝑡)𝐼(𝑡) − 𝛼𝐼(𝑡) 1 − 𝑢 𝑡 − 𝜇𝐼(𝑡) (2)
𝑑𝑅(𝑡)
𝑑𝑡= 𝜎𝜃 + 𝛼𝐼(𝑡) 1 − 𝑢 𝑡 − 𝛾𝑅(𝑡) − 𝜇𝑅(𝑡)
HASIL DAN PEMBAHASAN
• Secara matematis, model deterministik penyakit
campak yang mengandung variabel kontrol dapat
ditulis :
𝑑𝑆(𝑡)
𝑑𝑡= 1 − 𝜎 𝜃 − 𝛽𝑆(𝑡)𝐼(𝑡) − 𝜇𝑆(𝑡)
𝑑𝐼(𝑡)
𝑑𝑡 = 𝛽𝑆(𝑡)𝐼(𝑡) − 𝛼𝐼(𝑡) 1 − 𝑢 𝑡 − 𝜇𝐼(𝑡) (2)
𝑑𝑅(𝑡)
𝑑𝑡= 𝜎𝜃 + 𝛼𝐼(𝑡) 1 − 𝑢 𝑡 − 𝛾𝑅(𝑡) − 𝜇𝑅(𝑡)
HASIL DAN PEMBAHASAN
• Koefisien 1 − 𝑢 𝑡 adalah usaha pengontrolan
terhadap kemungkinan timbulnya penderita penyakit
campak yang baru.
• Kontrol 𝑢 𝑡 menunjukkan tingkat efisiensi dari
pengobatan yang diberikan pada penderita campak
yang terinfeksi.
HASIL DAN PEMBAHASAN
• Jika 𝑢 𝑡 = 1 maka pengobatan yang diberikan sangat
efektif.
• Sebaliknya, jika 𝑢 𝑡 = 0 maka pengobatan yang diberikan
sama sekali tidak efektif.
• Jadi akan dicari bentuk 𝑢 𝑡 optimal, dimana 0 ≤ 𝑢∗ 𝑡 ≤
1 sehingga upaya pengobatan yang dilakukan dapat
maksimal.
HASIL DAN PEMBAHASAN
• Teori kontrol optimal pada model penyakit SIR
bertujuan untuk meminimumkan jumlah individu yang
terinfeksi campak dengan fungsi tujuan
𝐽 𝑢 = 𝐼 𝑡 +1
2𝐶𝑢2(𝑡) 𝑑𝑡
𝑇
0 (3)
• Koefisien 𝐶 ≥ 0 adalah koefisien bobot untuk
meminimumkan jumlah individu yang terinfeksi dari
pengobatan yang dilakukan.
HASIL DAN PEMBAHASAN
• Selanjutnya akan ditentukan 𝑢∗ sehingga berlaku :
𝐽 𝑢∗ = min 𝐽 𝑢 : 𝑢 ∈ 𝑈 (4)
dengan 𝑈 = 𝑢 𝑡 : 0 ≤ 𝑢 𝑡 ≤ 1, ∀𝑡 ∈ [0, 𝑇]
• Selanjutnya untuk mendapatkan kontrol optimal maka
dibentuk fungsi Hamilton yaitu
𝐻 = 𝐻(𝑆 𝑡 , 𝐼 𝑡 , 𝑅 𝑡 , 𝑢 𝑡 , 𝜆1, 𝜆2, 𝜆3)
HASIL DAN PEMBAHASAN
𝐻 = 𝐼 𝑡 +1
2𝐶𝑢2 𝑡 + 𝜆1(𝑡) 1 − 𝜎 𝜃 − 𝛽𝑆(𝑡)𝐼(𝑡) − 𝜇𝑆(𝑡)
+𝜆2(𝑡) 𝛽𝑆(𝑡)𝐼(𝑡) − 𝛼𝐼(𝑡) 1 − 𝑢 𝑡 − 𝜇𝐼(𝑡)
+𝜆3(𝑡) 𝜎𝜃 + 𝛼𝐼(𝑡) 1 − 𝑢 𝑡 − 𝛾𝑅(𝑡) − 𝜇𝑅(𝑡) (5)
• Menurut prinsip Pontryagin, fungsi Hamilton mencapai
solusi optimal jika persamaan state dan costate serta
kondisi stasioner terpenuhi.
HASIL DAN PEMBAHASAN
i. Persamaan State
𝜕𝐻
𝜕𝜆1= 1 − 𝜎 𝜃 − 𝛽𝑆(𝑡)𝐼(𝑡) − 𝜇𝑆(𝑡)
𝜕𝐻
𝜕𝜆2= 𝛽𝑆(𝑡)𝐼(𝑡) − 𝛼𝐼(𝑡) + 𝛼𝐼(𝑡) 𝑢(𝑡) − 𝜇𝐼(𝑡)
𝜕𝐻
𝜕𝜆3= 𝜎𝜃 + 𝛼𝐼 𝑡 − 𝛼𝐼 𝑡 𝑢(𝑡) − 𝛾𝑅(𝑡) − 𝜇𝑅(𝑡)
HASIL DAN PEMBAHASAN
ii. Persamaan Costate
−𝜕𝐻
𝜕𝑆= − 𝜆1 𝑡 −𝛽𝐼 𝑡 − 𝜇 + 𝜆2(𝑡) 𝛽𝐼 𝑡
−𝜕𝐻
𝜕𝐼= − 1 + 𝜆1 𝑡 −𝛽𝑆 𝑡 + 𝜆2 𝑡 𝛽𝑆 𝑡 − 𝛼 + 𝛼 𝑢 𝑡 − 𝜇
+ 𝜆3(𝑡) 𝛼 − 𝛼 𝑢 𝑡
−𝜕𝐻
𝜕𝑅= −𝜆3 −𝛾 − 𝜇
dengan syarat batas (kondisi tranvesal) 𝜆𝑗 𝜖𝑓 = 0, ∀𝑗 = 1,2,3
HASIL DAN PEMBAHASAN
iii. Kondisi Stasioner
−𝜕𝐻
𝜕𝑢= 0
𝐶𝑢 𝑡 + 𝜆2𝛼𝐼 𝑡 − 𝜆3𝛼𝐼 𝑡 = 0
𝑢 (𝑡) =𝜆2𝛼𝐼 𝑡 −𝜆3𝛼𝐼 𝑡
𝐶
Karena 0 ≤ 𝑢 ≤ 1, diperoleh
𝑢∗ = 0, 𝑢 ≤ 0
𝑢 , 0 < 𝑢 < 11, 𝑢 ≥ 0
HASIL DAN PEMBAHASAN
Jadi diperoleh bentuk kontrol optimal 𝑢∗ untuk
mengoptimalkan fungsi tujuan yang diberikan sebagai
berikut :
𝑢∗ = min 1,max 0, 𝑢
atau
𝑢∗ = min 1,max 0,𝜆2𝛼𝐼 𝑡 −𝜆3𝛼𝐼 𝑡
𝐶
SIMPULAN
• Pada penelitian ini telah diaplikasikan teori kontrol optimal
pada model endemi SIR penyakit campat untuk menentukan
bentuk kontrol optimal yang dapat menekan laju
pertambahan jumlahindividu yang terinfeksi.
• Bentuk kontrol optimal yang diperoleh sebagai berikut :
𝑢∗ = min 1,max 0, 𝑢 atau 𝑢∗ = min 1,max 0,𝜆2𝛼𝐼 𝑡 −𝜆3𝛼𝐼 𝑡
𝐶
SIMPULAN
• Dari bentuk persamaan di atas bahwa kontrol optimal
yang diperoleh bergantung pada beberapa parameter
diantaranya :
a. Parameter rata-rata pengobatan penyakit campak
b. Jumlah individu yang terinfeksi
c. Nilai bobot C
SIMPULAN
• Jika jumlah individu yang terinfeksi campak cukup besar
maka diperlukan usaha yang cukup besar untuk
mengoptimalkan usaha pengobatan penyakit campak
yang dilakukan.
SARAN
• Pada penelitian ini, ada parameter vaksinasi yang
mempengaruhi jumlah individu yang terinfeksi penyakit
campak, sehingga penelitian kedepannya diharapkan
melakukan kontrol optimal untuk pencegahan campak
dengan vaksinasi.
DAFTAR PUSTAKA
[1] S.K. Widoyono, “Penyakit Tropis Epidemiologi, Penularan, Pencegahan & Pemberantasannya”.Jakarta : Erlangga,2005
[2] H. Castellini, and L.Romanelli, On the Propagation of Social Epidemic in Social, Networks under SIR Model, 70:40-53,2009.
[3] M.A. Kuniawan, dan F. Yuli, “Analisis Kestabilan Penyebaran Penyakit Campak (Measles) dengan Vaksinasi Menggunakan Model Endemi SIR”, Universitas Negeri Yogyakarta,2012.
[4] C. Dewi,”Kontrol Optimal Model Pertumbuhan Kanker Kandung Kemih dengan Imunoterapi BCG”,Universitas Brawijaya,2014.
DAFTAR PUSTAKA
[5] Sulfayanti, S. Toaha, dan Khaeruddin, “Aplikasi Kontrol Optimal pada Perubahan Perilaku Manusia”, Jurnal Matematika, Statistika,& Komputasi, Vol. 8,No.1,12-24,2011.
[6] Kasbawati, “Kontrol Optimal Upaya Pencegahan Infeksi Virus Flu Burung H5N1 dalam Populasi Burung dan Manusia”, Jurnal Matematika, Statistika,& Komputasi, Vol. 8,No.1,12-24,2011.
TERIMA KASIH