-
INŽENJERSKE SIMULACIJE
Aleksandar Karač
Kancelarija 1111
tel: 44 91 20, lok. 129
http://ptf.unze.ba/inzenjerske-simulacije
MREZA
Nermin Redžić
Kancelarija 4202
tel: 44 91 20, lok.128
www.ptf.unze.ba
-
IS: 2019-2020 http://ptf.unze.ba/inzenjerske -simulacije 2
Izvođenje nastave• predavanja: 2 časa sedmično
• vježbe (laboratorijske, RC): 3 časa sedmično
Obaveze studenata• redovno prisustvo na predavanjima i vježbama
• kolokviranje praktičnog dijela (računari - konstrukcije)
Cilj predmeta • savladati korištenje informatičkih tehnologija za proračun građevinskih konstrukcija korištenjem savremenih softverskih alata (CAE)
• samostalno koristiti računar za statičke i dinamičke simulacije građevinskih konstrukcija
Kompetencije (Ishodi učenja)
Po završetku kursa studenti će biti u stanju:• koristiti savremene CAE programske pakete za analizu naprezanja• razlikovati tipove konačnih elemenata i graničnih uslova• odrediti raspodjelu deformacija i naprezanja za ravninske i 3D probleme za različite
slučajeve opterećenja i oslanjanja• primijeniti stečena znanja na proračun građevinskih konstrukcija
O kursu Računarske simulacije
-
IS: 2019-2020 http://ptf.unze.ba/inzenjerske -simulacije 3
Provjera znanja
Konačna ocjena
• praktična provjera/ispit – rad na računaru
• pismeni dio ispita (zadaci + teorija)
• prisustvo nastavi: 0 %
• praktična provjera (računari) 50 %
• pismeni dio ispita (zadaci + teorija) 50 %
Napomena: Svaka od stavki mora biti ispunjena minimalno 51%!!!
Ocjena 6 55-65%
Ocjena 7 65-75%
Ocjena 8 75-85%
Ocjena 9 85-95%
Ocjena 10 95-100%
O kursu Računarske simulacije
-
IS: 2019-2020 http://ptf.unze.ba/inzenjerske -simulacije 4
Sadržaj kursa - predavanja1. O računarskom inženjersvu 1 sedmica
2. Osnove (Numeričke) Mehanike kontinuuma (CCM) 2 sedmice
3. Diskretizacija domene 1 sedmica
4. Metod konačnih razlika (FDM) 1 sedmica
5. Metod konačnih volumena (FVM) 1 sedmica
6. Metod konačnih elemenata (FEM) 4 sedmice
7. Primjeri primjene u FEM 5 sedmica
Sadržaj kursa - vježbe
Primjena računara u rješavanju konstrukcija (grede, ramovi, ...) 13 sedmica
Praktična provjera (rad na računarima) – 28.05. i 04.06. 2020.
Pismeni dio ispita – termini završnih ispita
O kursu Računarske simulacije
-
IS: 2019-2020 http://ptf.unze.ba/inzenjerske -simulacije 5
LITERATURA
• Autodesk Robot Structural Analysis (2015) Verification Manual Eurocodes, https://knowledge.autodesk.com/support• K-J. Bathe, Finite Element Procedures, Prentice Hall, 1996.• I. Demirdžić, A. Ivanković, Computational Continuum Mechanics (CCM), Lecture notes, UCD, Dublin
dodatna
osnovna
• Predavanja, vježbe
• Zaimović-Uzunović N., Lemeš S. (2002) Metod konačnih elemenata, Dom štampe Zenica, ISBN 9958-42-079-1
• Autodesk Robot Structural Analysis (2011) Metric Getting Started Guide, https://knowledge.autodesk.com/support
• Autodesk Robot Structural Analysis (2010) Metric Training Manual, https://knowledge.autodesk.com/support
• I. Demirdžić, Predavanja iz Mehanike kontinuuma, Mašinski fakultet u Sarajevu, 1998.
• M. Schäfer, Computational Engineering – Introduction to Numerical Methods, Springer, 2006.
O kursu Računarske simulacije
-
IS: 2019-2020 http://ptf.unze.ba/inzenjerske -simulacije 6
Značaj numeričkih istraživanja
Neophodnost poznavanja raznih osobina čvrstih tijela i tečenja
- deformacije i naponi,
- brzina strujanja, raspodjela pritiska i temperature,
- sile uzgona i potiska,
- gubici pritiska ili energije,
- brzina prenosa toplote ili mase, ...
u svrhu:
- poboljšanja efikasnosti,
- smanjenja potrošnje energije,
- povećanja granice tečenja,
- poboljšanja izdržljivosti,
- smanjenja zagađenja,
- smanjenja buke, • M. Schäfer, Computational Engineering – Introduction to Numerical Methods, Springer, 2006.
O kursu Računarske simulacije
-
IS: 2019-2020 http://ptf.unze.ba/inzenjerske -simulacije 7
O računarskom inženjerstvu*Značaj numeričkih istraživanja
- poznavanja procesa, ...
Smanjenje troškova!!!
Kako doći do znanja o sistemu???
Teoretske metode:
- Analitička rješenja jednačina koji opisuju probleme su uslovno primjenljiva na rješavanje realnih problema
- Problemi su veoma kompleksni, opisani sistemima parcijalnih diferencijalnih jednačina, pa time analitički nerješivi
- Pojednostavljenja, neophodna za rješavanje jednačina, obično nisu validna i vode pogrešnim rezultatima
- Aproksimacijski izrazi koji se često koristi obišno nisu dobivena čistim analitičkim postupcima.
• M. Schäfer, Computational Engineering – Introduction to Numerical Methods, Springer, 2006.
-
IS: 2019-2020 http://ptf.unze.ba/inzenjerske -simulacije 8
O računarskom inženjerstvu*Značaj numeričkih istraživanja
Kako doći do znanja o sistemu??? – nastavak ....Eksperimentalna istraživanja
- Korištenje mjerne opreme u svrhu dobivanja traženih informacija putem eksperimenata (testova)
- Mjerenja mogu biti otežana ili nemoguća (dimenzije mjerenog objekta, vrijeme trajanja eksperimenta, mjesta mjerenja, ...)
- Ograničenja u korištenju modela/uslova eksperimenata
- Zabrana obavljanja eksperimenata zbog sigurnosti ili utjecaja na okolinu
- Cijena eksperimentaNumeričke simulacije
- Naučna disciplina ‚sama za sebe‘
- Upotreba numeričkih metoda na računarima
- Brže dobivanje rezultata nego u testovima, manji troškovi
- Jednostavne parametarske varijacije
- Mogućnost dobivanja mnogo više rezultata/informacija o simuliranom problemu• M. Schäfer, Computational Engineering – Introduction to Numerical Methods, Springer, 2006.
-
IS: 2019-2020 http://ptf.unze.ba/inzenjerske -simulacije 9
O računarskom inženjerstvu*Značaj numeričkih istraživanja
Kako doći do znanja o sistemu??? – nastavak ....Bez obzira na prednosti numeričkih simulacija u odnosu na eksperimentalna istraživanja
- Simulacije NIKAD neće u potpunosti zamijeniti eksperimente
- Simulacije I eksperimenti OBOJE treba da se i dalje razvijaju i međusobno nadopunjavaju kako bi se došlo do optimalnog rješenja
• M. Schäfer, Computational Engineering – Introduction to Numerical Methods, Springer, 2006.
-
IS: 2019-2020 http://ptf.unze.ba/inzenjerske -simulacije 10
O računarskom inženjerstvu*Razvoj numeričkih metoda
- Mogućnost korištenja približnih rješenja pomoću Metode Konačnih Razlika poznata još u XIX vijeku (Gauss, Euler) – neupotrebljivo zbog prevelikog broja računaskih operacija
- Razvoj (elektronskih) računara (2018, IBM, 122.3 petaflops)Razvoj snage i capaciteta računara
- Stalno povećanje brzine računara
- Stalno povećanje efikasnosti algoritama
- Sve tačniji rezultati eksperimenata
• M. Schäfer, Computational Engineering – Introduction to Numerical Methods, Springer, 2006.
-
IS: 2019-2020 http://ptf.unze.ba/inzenjerske -simulacije 11
O računarskom inženjerstvu*Razvoj numeričkih metoda
Razvoj numeričkih metoda (lijevo) i u računarskim tehnologijama (desno)
• M. Schäfer, Computational Engineering – Introduction to Numerical Methods, Springer, 2006.
-
IS: 2019-2020 http://ptf.unze.ba/inzenjerske -simulacije 12
O računarskom inženjerstvu*Karakterizacija numeričkih metoda
• M. Schäfer, Computational Engineering – Introduction to Numerical Methods, Springer, 2006.
Procedure za primjenu tehnika numeričkih simulacija za rješavanje inženjerskih problema
1. Izbor matematičkog modela/softvera
2. Diskretizacija
- domena (vrijeme, prostor)
- jednačina
- Metod Konačnih razlika (FDM)
- Metod Konačnih Volumena (FVM) – mehanika fluida
- Metod Konačnih elemenata (FEM) – mehanika konstrukcija
3. Rješenje sistema algebarskih jednačina
4. Vizualizacija i interpretacija rezultata
5. Provjera
- Validacija: riješene su odgovarajuće jednačine
- Verifikacija: jednačine korektno riješene
-
IS: 2019-2020 http://ptf.unze.ba/inzenjerske -simulacije 13
O računarskom inženjerstvu*Karakterizacija numeričkih metoda
• M. Schäfer, Computational Engineering – Introduction to Numerical Methods, Springer, 2006.
Neophodne oblasti i međusobne relacije za numeričke simulacije praktičnih inženjerskih problema
Interdiciplinarnost numeričkih simulacija u inženjerskim problemima
-
IS: 2019-2020 http://ptf.unze.ba/inzenjerske -simulacije 14
Osnove (Numeričke) Mehanike kontinuuma
*I. Demirdžić, Predavanja iz Mehanike kontinuuma, Mašinski fakultet u Sarajevu, 1998
I. Demirdžić, A. Ivanković, Computational Continuum Mechanics (CCM), Lecture notes, UCD
Dva pristupa u analiziranju kretanja materijala:
1. Statistički pristup
materijal se tretira kao skup molekula
makroskopski fenomeni se objašnjavaju kao posljedica molekularne aktivnosti
računanje primjenom zakona mehanike i vjerovatnoće
2. Fenomenološki pristup
• Koncept kontinuuma: zanemaruje se diskretna struktura materije. Materijal ispunjava prostor kontinuirano.
Mehanika se bavi proučavanjem sila koje djeluju na tijela i nastalog kretanja i deformacija. Zasnovana je na konceptima vremena, prostora, materije, sile i energije. Dijeli se (u širem smislu):
1. Klasična mehanika – čestice i mehanika krutog tijela
2. Mehanika kontinuuma – obuhvata mehaniku čvrstog tijela i mehaniku fluida
Osnovni pojmovi i koncepti mehanike kontinuuma*
-
IS: 2019-2020 http://ptf.unze.ba/inzenjerske -simulacije 15
Osnove (Numeričke) Mehanike kontinuumaOsnovni pojmovi i koncepti mehanike kontinuuma*
*I. Demirdžić, Predavanja iz Mehanike kontinuuma, Mašinski fakultet u Sarajevu, 1998
I. Demirdžić, A. Ivanković, Computational Continuum Mechanics (CCM), Lecture notes, UCD
Osnovne pretpostavke (u pogledu materije)
• Neprekidnost – materijal ispunjava prostor kontinuirano bez prisustva pora i šupljina i osobine se mogu opisati jednoznačnom neprekidnom funkcijom
• Homogenost – osobine materijala su iste u svim tačkama
• Izotropnost – osobine materijala su iste u svim pravcima
Matematske osnove
• Karakteristike kontinuuma (npr. gustina, brzina, napon, ...) se izražavaju kao neprekidne funkcije prostora i vremena
• Razvoj matematske discipline teorije polja (radi primjene u mehanici kontinuuma)
• skalarna, vektorska, tenzorska
• invarijantnost geometrijskih i fizičkih veličina
• odabir koordinatnog sistema
• operacije s poljima (algebarske, diferencijalne, integralne teoreme)
-
IS: 2019-2020 http://ptf.unze.ba/inzenjerske -simulacije 16
Osnove (Numeričke) Mehanike kontinuumaOsnovni pojmovi i koncepti mehanike kontinuuma*
Matematske osnove - nastavak
Proizvod skalara s i vektora v je vektor
Proizvod skalara s i tenzora T je tenzor
Zbir dva tenzora S i T je tenzor
( , , )i i x y zs sv sv sv sv v i
xx xy xz
ij i j yx yy yz
zx zy zz
sT sT sTs sT sT sT sT
sT sT sT
T i i
( ) ( , , )i i i x x y y z za b a b a b a b a b i
( )xx xx xy xy xz xz
ij ij i j yx yx yy yy yz yz
zx zx zy zy zz zz
S T S T S TS T S T S T S T
S T S T S T
S T i i
Zbir dva vektora a i b je vektor
*I. Demirdžić, Predavanja iz Mehanike kontinuuma, Mašinski fakultet u Sarajevu, 1998
I. Demirdžić, A. Ivanković, Computational Continuum Mechanics (CCM), Lecture notes, UCD
-
IS: 2019-2020 http://ptf.unze.ba/inzenjerske -simulacije 17
Osnove (Numeričke) Mehanike kontinuuma
*I. Demirdžić, Predavanja iz Mehanike kontinuuma, Mašinski fakultet u Sarajevu, 1998
I. Demirdžić, A. Ivanković, Computational Continuum Mechanics (CCM), Lecture notes, UCD
Osnovni pojmovi i koncepti mehanike kontinuuma*
Skalarni proizvod dva vektora je skalar
Vektorski proizvod dva vektora je vektor
Tenzorski (dijadski) proizvod dva vektora je tenzor (dijada)
i i x x y y z za b a b a b a b a b
ijk j k i x y z
x y z
e a b a a ab b b
i j k
a b i ( )
(Levy-Civita permutacijski simbol)ijk i j ke i i i
x x x y x z x x x y x z
i j i j y x y y y z y x y y y z
z x z y z z z x z y z z
a b a b a b a b a b a ba b a b a b a b a b a b a b
a b a b a b a b a b a b
ii ij ikab i i ji jj jk
ki kj kk
Matematske osnove - nastavak
-
IS: 2019-2020 http://ptf.unze.ba/inzenjerske -simulacije 18
Osnove (Numeričke) Mehanike kontinuumaOsnovni pojmovi i koncepti mehanike kontinuuma*
Matematske osnove - nastavak
Skalarni proizvod vektora v i tenzora T je vektor
Skalarni proizvod vektora v i diade ab je vektor
Vektorski proizvod vektora v i tenzora T je tenzor
( )( )( )
x xx y yx z zx x xx y yx z zx
i ij j x xy y yy z zy x xy y yy z zy
x xz y yz z zz x xz y yz z zz
v T v T v T v T v T v Tv T v T v T v T v T v T v T
v T v T v T v T v T v T
iv T i j
k
( ) i i j jv a b v ab i
ijk i jl k le v Tv×T i i
*I. Demirdžić, Predavanja iz Mehanike kontinuuma, Mašinski fakultet u Sarajevu, 1998
I. Demirdžić, A. Ivanković, Computational Continuum Mechanics (CCM), Lecture notes, UCD
-
IS: 2019-2020 http://ptf.unze.ba/inzenjerske -simulacije 19
Osnove (Numeričke) Mehanike kontinuumaOsnovni pojmovi i koncepti mehanike kontinuuma*
Matematske osnove - nastavak
Skalarni proizvod dva tenzora je skalar
Vektorski proizvod dva tenzora je vektor
Skalarni proizvod dva tenzora je tenzor
:xx xx xy yx xz zx
ij ji yx xy yy yy yz zy
zx xz zy yz zz zz
S T S T S TS T S T S T S T
S T S T S T
S T
*I. Demirdžić, Predavanja iz Mehanike kontinuuma, Mašinski fakultet u Sarajevu, 1998
I. Demirdžić, A. Ivanković, Computational Continuum Mechanics (CCM), Lecture notes, UCD
ijk jl lk ie S TS×T i
ik kj i jS T S T i i
-
IS: 2019-2020 http://ptf.unze.ba/inzenjerske -simulacije
Gradijent skalarnog polja (vektor)
Divergencija (skalar), rotor (vektor) i gradijent (tenzor) vektorskog polja
20
Osnove (Numeričke) Mehanike kontinuumaOsnovni pojmovi i koncepti mehanike kontinuuma*
*I. Demirdžić, Predavanja iz Mehanike kontinuuma, Mašinski fakultet u Sarajevu, 1998
I. Demirdžić, A. Ivanković, Computational Continuum Mechanics (CCM), Lecture notes, UCD
Jedinični tenzor, nula tenzor, Kronecker delta, trag tenzora (tr), determinanta tenzora (det), simetrični i antisimetrični tenzor, sferni i devijatorski tenzor
Matematske osnove - nastavak
grad jj
s s s ss sx x y z
i i j k
div j yx zj
v vv vx x y z
v v
rot kijk ij
x y z
vex x y z
v v v
i j k
v v i
grad
yx z
yx z
yx z
vv vx x x
vv vy y y
vv vz z z
v v
-
IS: 2019-2020 http://ptf.unze.ba/inzenjerske -simulacije 21
Osnove (Numeričke) Mehanike kontinuuma
Divergencija tenzorskog polja (vektor)
Nabla (Hamiltonov) operator
Osnovni pojmovi i koncepti mehanike kontinuuma*
Matematske osnove - nastavak
div
yxxx zx
ji xy yy zyi
j
yzxz zz
TT Tx y z
T T T Tx x y z
TT Tx y z
i
T T i j
k
*I. Demirdžić, Predavanja iz Mehanike kontinuuma, Mašinski fakultet u Sarajevu, 1998
I. Demirdžić, A. Ivanković, Computational Continuum Mechanics (CCM), Lecture notes, UCD
0
1(...) lim (...)dSV
SV
n(...) (...) (...) (...)(...) j
jx x y z
i i j k
-
IS: 2019-2020 http://ptf.unze.ba/inzenjerske -simulacije 22
Osnove (Numeričke) Mehanike kontinuuma
Matematske osnove - nastavak
Osnovni pojmovi i koncepti mehanike kontinuuma*
*I. Demirdžić, Predavanja iz Mehanike kontinuuma, Mašinski fakultet u Sarajevu, 1998
I. Demirdžić, A. Ivanković, Computational Continuum Mechanics (CCM), Lecture notes, UCD
Fluks ili protok vektorskog polja kroz površinu
Cirkulacija vektorskog polja duž zatvorene krive C
Gaussova teorema za protok vektorskog polja
Stokesova teorema za cirkulaciju vektorskog polja
d dS S
V S
v n v S
dC
v x
d div dS V
S V v n v
d rot dC S
S v x v n
-
IS: 2019-2020 http://ptf.unze.ba/inzenjerske -simulacije 23
Osnove (Numeričke) Mehanike kontinuuma
Matematske osnove - nastavak
Osnovni pojmovi i koncepti mehanike kontinuuma*
Tipovi polja
Nestacionarno, stacionarno
Dvodimenzionalno. jednodimenzionalno, ...
Vektorsko uniformno
Vektorsko potencijalno (v=grad s) – s je potencijal polja v
Potencijalno polje je i nevrtložno [rot v = rot (grad s)= ∇⨯(∇s)=0]
Bezizvorno ili solenoidno (div v = 0)
Bezizvorno i potencijalno je Laplaceovo (harmonijsko)
2
=grad div div(grad ) ( ) 0
ss s s
vv
*I. Demirdžić, Predavanja iz Mehanike kontinuuma, Mašinski fakultet u Sarajevu, 1998
I. Demirdžić, A. Ivanković, Computational Continuum Mechanics (CCM), Lecture notes, UCD
-
IS: 2019-2020 http://ptf.unze.ba/inzenjerske -simulacije 24
Osnove (Numeričke) Mehanike kontinuumaOsnovni pojmovi i koncepti mehanike kontinuuma*
Deformacija i tečenje
Deformacija – promjena oblika kontinuuma između početne (nedeformisane) i tekuće (deformisane) konfiguracije
Tečenje – neprekidno kretanje kontinuuma definisano nestacionarnim poljem brzine
*I. Demirdžić, Predavanja iz Mehanike kontinuuma, Mašinski fakultet u Sarajevu, 1998
I. Demirdžić, A. Ivanković, Computational Continuum Mechanics (CCM), Lecture notes, UCD
Materijalni i prostorni opis
Lagrangeov ili materijalni opis – referentni položaj je uvijek isti, može se promijeniti samo tekući položaj. Osobine su funkcije materijalnih (referentnih) koordinata
Eulerov ili prostorni opis – Osobine su funkcije prostornih (lokalnih) koordinata
-
IS: 2019-2020 http://ptf.unze.ba/inzenjerske -simulacije 25
Osnove (Numeričke) Mehanike kontinuumaOsnovni pojmovi i koncepti mehanike kontinuuma*
Osnovni zakoni mehanike kontinuuma
Osnovni (opšti) zakoni fizike:
Zakon o održanju mase
Zakon o održanju količine kretanja (prvi Eulerov, drugi Newtonov zakon)
Zakon o održanju momenta količine kretanja (drugi Eulerov zakon)
Zakon o održanju energije (Prvi zakon termodinamike)
Zakon o proizvodnji entropije (Drugi zakon termodinamike)
Konstitutivne relacije
Hookeov zakon (elastičnosti)
Stokesov zakon (viskoznosti)
Fourierov zakon (provođenja toplote)
... *I. Demirdžić, Predavanja iz Mehanike kontinuuma, Mašinski fakultet u Sarajevu, 1998I. Demirdžić, A. Ivanković, Computational Continuum Mechanics (CCM), Lecture notes, UCD
-
IS: 2019-2020 http://ptf.unze.ba/inzenjerske -simulacije 26
Osnove (Numeričke) Mehanike kontinuumaOsnovni pojmovi i koncepti mehanike kontinuuma*
Zakon o održanju mase (mass conservation)
D D dD D VM Vt t
Zakon o održanju količine kretanja (momentum conservation)
D d dS dD V S V
V Vt
v n f
Promjena količine kretanja
Površinske sile
Zapreminske sile
*I. Demirdžić, Predavanja iz Mehanike kontinuuma, Mašinski fakultet u Sarajevu, 1998
I. Demirdžić, A. Ivanković, Computational Continuum Mechanics (CCM), Lecture notes, UCD
-
IS: 2019-2020 http://ptf.unze.ba/inzenjerske -simulacije 27
Osnove (Numeričke) Mehanike kontinuumaOsnovni pojmovi i koncepti mehanike kontinuuma*
Zakon o održanju momenta količine kretanja (moment of momentum conservation)
D d dS dD V S V
V Vt
x× v x× n x× f
Promjena momentakoličine kretanja
Moment površinskih sile
Momentzapreminskih sila
ij jiT T
Zakon o održanju energije (energy conservation)
D D ( )D D V S V V S
E edV dS hdV dV dSt t
bq n f v v n
Promjena ukupneenergije
Dovedena toplota
Izvršeni rad (snaga)*I. Demirdžić, Predavanja iz Mehanike kontinuuma, Mašinski fakultet u Sarajevu, 1998
I. Demirdžić, A. Ivanković, Computational Continuum Mechanics (CCM), Lecture notes, UCD
Toplotniizvor
-
IS: 2019-2020 http://ptf.unze.ba/inzenjerske -simulacije 28
Osnove (Numeričke) Mehanike kontinuumaOsnovni pojmovi i koncepti mehanike kontinuuma*
Zakon o proizvodnji entropije (entropy production)
Brzina promjene entropije sistema veća je ili jednaka odnosu ukupno na povratan način razmijenjene toplote i temperature sistema:
*I. Demirdžić, Predavanja iz Mehanike kontinuuma, Mašinski fakultet u Sarajevu, 1998
I. Demirdžić, A. Ivanković, Computational Continuum Mechanics (CCM), Lecture notes, UCD
pov pov nepovD 1 1 1 0D
S dQ dQ dQt T dt T dt T dt
Opšta transportna jednačina
m p m p
d
D d dS div dD
V
V S V
H V
H V Vt
n
-
IS: 2019-2020 http://ptf.unze.ba/inzenjerske -simulacije 29
Osnove (Numeričke) Mehanike kontinuumaOsnovni pojmovi i koncepti mehanike kontinuuma*
(Klasične) Konstitutivne relacije
*I. Demirdžić, Predavanja iz Mehanike kontinuuma, Mašinski fakultet u Sarajevu, 1998
I. Demirdžić, A. Ivanković, Computational Continuum Mechanics (CCM), Lecture notes, UCD
Hookeov zakon (elastičnosti)
E
Nelinearni materijali, plastični materijali, viskoelastični materijali
m 0: E TC T N Cauchyjev tenzor napona
m 0m(tr ) 2 T T N E I E IGeneralisani Hookeov zakon
2(1 )EG
(1 )(1 2 )
E
2 3 3(1 2 )
E K
Elastično čvrsto tijelo
-
IS: 2019-2020 http://ptf.unze.ba/inzenjerske -simulacije 30
Osnove (Numeričke) Mehanike kontinuumaOsnovni pojmovi i koncepti mehanike kontinuuma*
(Klasične) Konstitutivne relacije - nastavak
*I. Demirdžić, Predavanja iz Mehanike kontinuuma, Mašinski fakultet u Sarajevu, 1998
I. Demirdžić, A. Ivanković, Computational Continuum Mechanics (CCM), Lecture notes, UCD
Pascalov zakon
Newtonov zakon (viskoznosti)
p Fp pSS
f n
= =F duS dy
Newtonov fluid
: (tr ) 2p C p N I D I D I D
2 03
2 (tr ) 23
p
N I D I D
-
IS: 2019-2020 http://ptf.unze.ba/inzenjerske -simulacije 31
Osnove (Numeričke) Mehanike kontinuumaOsnovni pojmovi i koncepti mehanike kontinuuma*
(Klasične) Konstitutivne relacije - nastavak
*I. Demirdžić, Predavanja iz Mehanike kontinuuma, Mašinski fakultet u Sarajevu, 1998
I. Demirdžić, A. Ivanković, Computational Continuum Mechanics (CCM), Lecture notes, UCD
Nenewtonovi fluidi
Fourierov zakon (provođenja toplote)
= grad dTq k k Tdx
-
IS: 2019-2020 http://ptf.unze.ba/inzenjerske -simulacije 32
Osnove (Numeričke) Mehanike kontinuumaOsnovni pojmovi i koncepti mehanike kontinuuma*
Matematski modeli
Linearno elastično čvrsto tijelo
*I. Demirdžić, Predavanja iz Mehanike kontinuuma, Mašinski fakultet u Sarajevu, 1998
I. Demirdžić, A. Ivanković, Computational Continuum Mechanics (CCM), Lecture notes, UCD
T
0 m
d grad grad d
div 3 2 d d
V S
S V
V St t
T T S V
u u u n
u n f
03 2 div dd grad d dV S VVcT
V k T S h V Ttt
V
un
-
IS: 2019-2020 http://ptf.unze.ba/inzenjerske -simulacije 33
Osnove (Numeričke) Mehanike kontinuuma
*I. Demirdžić, Predavanja iz Mehanike kontinuuma, Mašinski fakultet u Sarajevu, 1998
I. Demirdžić, A. Ivanković, Computational Continuum Mechanics (CCM), Lecture notes, UCD
Matematski modeli
Newtonov nestišljivi fluid
Osnovni pojmovi i koncepti mehanike kontinuuma*
T md d grad grad d dV S VS
V S p S Vt
vvv n I v v n f
Td d grad d d
grad grad : grad d
V S S V
V
cTV cT S k T S h V
tV
v n n
v v v
d 0S
S v n
-
IS: 2019-2020 http://ptf.unze.ba/inzenjerske -simulacije 34
Osnove (Numeričke) Mehanike kontinuuma
*I. Demirdžić, Predavanja iz Mehanike kontinuuma, Mašinski fakultet u Sarajevu, 1998
I. Demirdžić, A. Ivanković, Computational Continuum Mechanics (CCM), Lecture notes, UCD
Klasifikacija parcijalnih diferencijalnih jednačina (jednačine matematičke fizike)
Osnovni pojmovi i koncepti mehanike kontinuuma*
Hiperbolički problemi (talasna jednačina)
Parabolički problemi (difuziona jednačina)
Eliptički problemi (Poissonova jednačina, Laplaceova jednačina)
2 22
2 2
u uct x
2
2 ( )u v x
x
2
2
u uDt x
-
IS: 2019-2020 http://ptf.unze.ba/inzenjerske -simulacije 35
Osnove (Numeričke) Mehanike kontinuuma
Početni i granični uslovi
Osnovni pojmovi i koncepti mehanike kontinuuma*
Granični uslovi (za stacionarne probleme)
o Dirichletov granični uslov – definiše se vrijednost varijable na granici
o Neumannov granični uslov – definiše se gradijent varijable na granici
o Miješani granični uslov – definiše se vrijednost varijable na granici u jednom pravcu (na primjer, normalno na graničnu površinu) i gradijent varijable u drugom pravcu (na primjer, tangentno na graničnu površinu)
o Simetrični granični uslov – u slučaju simetrije na ravni simetrije vrijedi da je pomjeranje normalno na površinu jednako nuli i svi gradijenti i pravcu normale na površinu su jednaki nuli
Početni uslovi (za nestacionarne probleme)
Vrijednosti varijabli (pomjeranje, brzina, temperatura) moraju biti poznate u svim tačkama domene u početnom trenutku
*I. Demirdžić, Predavanja iz Mehanike kontinuuma, Mašinski fakultet u Sarajevu, 1998
I. Demirdžić, A. Ivanković, Computational Continuum Mechanics (CCM), Lecture notes, UCD
-
IS: 2019-2020 http://ptf.unze.ba/inzenjerske -simulacije 36
Diskretizacija*
• M. Schäfer, Computational Engineering – Introduction to Numerical Methods, Springer, 2006.
Cilj: aproksimirati kontinuiranu domenu (u vremenu i prostoru) pomoću diskretne reprezentacije
Diskretizacija vremena – podjela intervala vremena na određeni broj vremenskih pointervala (sheme diskretizacije); nestacionarne simulacije
*I. Demirdžić, Predavanja iz Mehanike kontinuuma, Mašinski fakultet u Sarajevu, 1998
I. Demirdžić, A. Ivanković, Computational Continuum Mechanics (CCM), Lecture notes, UCD
Diskretizacija prostora – definisanje numeričke mreže, koja se sastoji od konačnog broja računarskih tačaka (generisanje mreže)
Osnovne jednačine neophodno je transformisati u sistem (ne)linearnih algebarskih jednačina
Diskretizacija jednačina – zamjena pojedinačnih članova u osnovnim jednačinama algebarskim izrazima koji povezuju čvorne tačke na numeričkoj mreži
-
IS: 2019-2020 http://ptf.unze.ba/inzenjerske -simulacije 37
• M. Schäfer, Computational Engineering – Introduction to Numerical Methods, Springer, 2006.
Diskretizacija prostora
o Modeliranje geometrije – CAD programi, IGES, STEP, ...
Modeliranje zapremine
Modeliranje graničnih površina/linija
o Numerička mreža
Što je mreža regularnija to su algoritni za rješavanje efikasniji, ali i nefleksibilnija u odnosu na kompleksnu geometriju
Diskretizacija*
-
IS: 2019-2020 http://ptf.unze.ba/inzenjerske -simulacije 38
• M. Schäfer, Computational Engineering – Introduction to Numerical Methods, Springer, 2006.
o Tipovi numeričke mreže – veza sa diskretizacijom i metodama rješavanja
1D – podintervali
2D – trougli, četverokuti, ..., mnogouglovi
3D – tetraedri, heksaedri, prizme, piramide, ..., poliedri
Boundary-fitted Cartesian overlapping
Diskretizacija*Diskretizacija prostora
-
IS: 2019-2020 http://ptf.unze.ba/inzenjerske -simulacije 39
• M. Schäfer, Computational Engineering – Introduction to Numerical Methods, Springer, 2006.
Diskretizacija prostora
o Struktura mreže
struktuirane – uređena raspodjela; postoji uređena veza između susjednih entiteta
(jednostavnost generisanja, lakše programiranje, manja memorija, rješenje ASJ, paralelizacija)
nestruktuirane – neregularna raspodjela
(modeliranje kompleksne geometrije, lokalno rafiniranje mreže, automatsko generisanje mreže)
structured unstructured
Diskretizacija*
-
IS: 2019-2020 http://ptf.unze.ba/inzenjerske -simulacije 40
o Struktura mreže - nastavak
Block-structured
Hierarchically-structured
Block-wise locally refined
• M. Schäfer, Computational Engineering – Introduction to Numerical Methods, Springer, 2006.
Diskretizacija prostoraDiskretizacija*
-
IS: 2019-2020 http://ptf.unze.ba/inzenjerske -simulacije 41
o Generisanje mreže
Struktuirane: algebarsko i eliptičko
• M. Schäfer, Computational Engineering – Introduction to Numerical Methods, Springer, 2006.
Nestruktuirane: metoda napredovanja, Delaunay triangulacija, quadtree/octreemetode
Diskretizacija prostoraDiskretizacija*
-
IS: 2019-2020 http://ptf.unze.ba/inzenjerske -simulacije 42
Osobine numeričkih metoda
*I. Demirdžić, Predavanja iz Mehanike kontinuuma, Mašinski fakultet u Sarajevu, 1998
I. Demirdžić, A. Ivanković, Computational Continuum Mechanics (CCM), Lecture notes, UCD
Osnovni aspekti
Tačnost – greška mora težiti nuli s povećanjem broja računarskih tačaka ka beskonačnosti (konsistentnost, red diskretizacije)
Stabilnost – implicitne i eksplicitne metode
Efikasnost – računarska memorija i CPU vrijeme
Konzervativnost – fizičkih karakteristika
Ograničenost - rješenja
Diskretizacija*
-
IS: 2019-2020 http://ptf.unze.ba/inzenjerske -simulacije 43
Diskretizacija jednačinaDiskretizacija
Tri klasične metode za rješavanje PDJ
• Metod konačnih razlika
• Metod konačnih volumena
• Metod konačnih elemenata
• ...
-
IS: 2019-2020 http://ptf.unze.ba/inzenjerske -simulacije 44
Metod konačnih razlika
• Najstarija metoda za rješavanje PDJ
• Najjednostavnija metoda za jednostavne geometrije
Postupak:
1. Osnova je jednačina održanja u diferencijalnom obliku
2. Domena je podijeljena mrežom
3. U svakoj čvornoj tački diferencijalna jednačina se aproksimira zamjenom parcijalnih derivacija aproksimacijama u odnosu na vrijednosti funkcija u čvornim tačkama
4. Dobija se po jedna jednačina po čvornoj tački u kojoj su vrijednosti varijable u čvornoj tački i određenom broju susjednih čvorova nepoznanice
U principu, metod se može primijeniti na sve vrste mreža, ali (je uobičajeno da) se primijenjuje na struktuirane mreže.
Za dobivanje aproksimacija prvog i drugog izvoda u odnosu na koordinate koriste se razvoj u Taylorov red ili aproksimacija polinomima
• J.H. Ferziger, M. Perić, Computational Methods for Fluid Dynamics, Springer, 2002.
-
IS: 2019-2020 http://ptf.unze.ba/inzenjerske -simulacije 45
Metod konačnih razlika*
PREDNOSTI: vrlo jednostavna i efikasna metoda za struktuiranu mrežu; jednostavno dobivanje shema višeg reda na regularnim mrežama
MANE: konzervativnost nije nametnuta; ograničenje na jednostavniju geometriju
• J.H. Ferziger, M. Perić, Computational Methods for Fluid Dynamics, Springer, 2002.
Osnovni princip
• Lokalno struktuirana mreža – mrežne linije se poklapaju s lokalnim koordinatnim osama
• Mrežne linije iz iste ‚porodice‘ se ne sijeku; linije iz različitih ‚porodica‘ se sijeku samo jednom
• Čvor je definisan skupom indeksa, pri čemu se indeksi susjeda razlikuju za jedan
• Broj jednačina jednak je broju nepoznatih; za granične čvorove s poznatom vrijednošću (Dirichlet granični uslov) jednačina nije potrebna
-
IS: 2019-2020 http://ptf.unze.ba/inzenjerske -simulacije 46
Metod konačnih razlika*
Osnovni princip - nastavak
Taylorov red
211
2 311
2 32 6i i ii ii
i i ii i
x xx x yy yyx x
y ČVRx xx
22 312 3
1
11
2 6i i ii
i i
i i
i ii
x xx x y y Čy yy VRx xx x x
2 2 3 32 31 11 1 1
22 31 1 1 1
1
1 1 2 6i i i i i i i i
i
i i
i i i iii ii
x x x x x x x xy y ČVRx x x xx x
y yyx x x
Greška skraćivanja (tačnost)
• J.H. Ferziger, M. Perić, Computational Methods for Fluid Dynamics, Springer, 2002.
-
IS: 2019-2020 http://ptf.unze.ba/inzenjerske -simulacije 47
Metod konačnih razlika*
Osnovni princip - nastavak
x
f (x)
x x1 x2
f (xi-h) f (xi)
A
f (xi+h)
B
C t
tc
t-
t+
Aproksimacija prvog izvoda (Taylorov red)
-
IS: 2019-2020 http://ptf.unze.ba/inzenjerske -simulacije 48
Metod konačnih razlika*
Osnovni princip - nastavak
Aproksimacija prvog izvoda – ostale metode
2 2 2 21 1 1 1
1 1
i i i i i i i
i i i i i
y x y x y x xyx x x x x
• parabola (aproksimacija polinomom)
• Kompaktne sheme, spektralne metode – uniformne mreže
• J.H. Ferziger, M. Perić, Computational Methods for Fluid Dynamics, Springer, 2002.
-
IS: 2019-2020 http://ptf.unze.ba/inzenjerske -simulacije 49
Metod konačnih razlika*
Osnovni princip - nastavak
• J.H. Ferziger, M. Perić, Computational Methods for Fluid Dynamics, Springer, 2002.
Aproksimacija drugog izvoda (na primjer ...)
21
21
i i
i ii
y yy x x
x x x
21 1
22
2i i ii
y y yyx x
-
IS: 2019-2020 http://ptf.unze.ba/inzenjerske -simulacije 50
Metod konačnih razlika*
.I. Trako, Numeričko rješavanje greda na elastičnim osloncima upotrebom softvera MathCAD, PTF UNZE, 2019.
2 2
2 2
d d yEI w kydx dx
Primjer: greda na elastičnim osloncima (Winklerov model tla)
Aproksimacija izvoda
1 1
2i i
i
y ydydx L
21 2
221
2i i ii
y y yd ydx L
32 1 1 2
33
2 22
i i i i
i
y y y yd ydx L
42 1 4 2
44
4 6 4i i i i ii
y y y y yd ydx L
-
IS: 2019-2020 http://ptf.unze.ba/inzenjerske -simulacije 51
Metod konačnih razlika*
.I. Trako, Numeričko rješavanje greda na elastičnim osloncima upotrebom softvera MathCAD, PTF UNZE, 2019.
ii
i MdxydEI
2
2
2 2
2 2
d d yEI w kydx dx
iii
i
ykwdx
Md
2
2
2
11 2L
yyyEIM iiiii
2121
12
LyyyEIM iiiii
2
2111
2L
yyyEIM iiiii
iii
iii ykwL
MMM
211 2
LykPLMMM
iiiiii
11 2
LykPyIyIIyIIIyIIyI
LE
iiiiiiiiiiiiiiiii 21111111213)(2)4()(2
iiiiiiiiiiiiiiii PyIyIIyELkIIIyIIyIL
E
21114
1111213 )(2)/4()(2
Primjer: greda na elastičnim osloncima (Winklerov model tla)
-
IS: 2019-2020 http://ptf.unze.ba/inzenjerske -simulacije 52
Metod konačnih razlika*Primjer: greda na elastičnim osloncima (Winklerov model tla)
.I. Trako, Numeričko rješavanje greda na elastičnim osloncima upotrebom softvera MathCAD, PTF UNZE, 2019.
iiiiiiiiiiiiiiii PyIyIIyELkIIIyIIyIL
E
21114
1111213 )(2)/4()(2
E
LkIII
LEd iiiiii
4
113, 4
3
11,11,
2L
IIEdd iiiii
31
,22, LEI
dd iiiii
3
11,11,
2L
IIEdd iiiii
31
,22, LEI
dd iiiii
D_
Di iE
L3Ii 1 4 Ii Ii 1
ki L4
E
Di i 12 E
L3Ii Ii 1
Di i 2E
L3Ii 1
Di i 12 E
L3Ii 1 Ii
Di i 2E
L3Ii 1
Di 1 i Di i 1
Di 2 i Di i 2
Di 1 i Di i 1
Di 2 i Di i 2
i 2 n 2for
D
Unutrašnji čvorovi
-
IS: 2019-2020 http://ptf.unze.ba/inzenjerske -simulacije 53
Metod konačnih razlika*
.I. Trako, Numeričko rješavanje greda na elastičnim osloncima upotrebom softvera MathCAD, PTF UNZE, 2019.
Primjer: greda na elastičnim osloncima (Winklerov model tla)Slobodni krajevi
ELkI
LEd
41
231,15,0
32
1,22,12LEIdd
32
1,33,1 LEIdd
ELkII
LEd
42
3232,2 4
3
322,33,2
2L
IIEdd
33
2,44,2 LEI
dd
E
LkI
LEd nnnn
4
13,5,0
31
,11,2
LEI
dd nnnnn
31
,22, LEI
dd nnnnn
E
LkII
LEd nnnnni
41
1231,1 4
312
1,22,1)(2
LIIE
dd nnnnnn
32
1,33,1 LEI
dd nnnnn
-
IS: 2019-2020 http://ptf.unze.ba/inzenjerske -simulacije 54
Metod konačnih razlika*
.I. Trako, Numeričko rješavanje greda na elastičnim osloncima upotrebom softvera MathCAD, PTF UNZE, 2019.
Primjer: greda na elastičnim osloncima (Winklerov model tla)Jednostavno oslonjeni krajevi (zglobni oslonac)
-
IS: 2019-2020 http://ptf.unze.ba/inzenjerske -simulacije 55
Metod konačnih razlika*
.I. Trako, Numeričko rješavanje greda na elastičnim osloncima upotrebom softvera MathCAD, PTF UNZE, 2019.
Primjer: greda na elastičnim osloncima (Winklerov model tla)Uklješteni krajevi
-
IS: 2019-2020 http://ptf.unze.ba/inzenjerske -simulacije 56
Metod konačnih razlika*
.I. Trako, Numeričko rješavanje greda na elastičnim osloncima upotrebom softvera MathCAD, PTF UNZE, 2019.
Primjer: greda na elastičnim osloncima (Winklerov model tla)Sistem algebarskih jednačina
inn
i
i
i
n
i
nnnnn
n
n
n
dP
dPdPdP
y
y
yyy
dddd
dddddddddddd
,
,33
,22
,11
3
2
1
,3,2,1,
,33,32,31,3
,23,22,21,2
,13,12,11,1
.
.
.
.
...
.
.0.
.
......
0..1..000.........
..0..
..0..
..0..
1Y D P
-
IS: 2019-2020 http://ptf.unze.ba/inzenjerske -simulacije 57
Metod konačnih razlika*
.I. Trako, Numeričko rješavanje greda na elastičnim osloncima upotrebom softvera MathCAD, PTF UNZE, 2019.
Primjer: greda na elastičnim osloncima (Winklerov model tla)
-
IS: 2019-2020 http://ptf.unze.ba/inzenjerske -simulacije 58
Metod(e) konačnih volumena
• Uveden(e) 1970-tih
• Uglavnom se primijenjuje za probleme tečenja fluida, ali nema ograničenja ni za ostale probleme
• Principi održanja (osnovi mehanike kontinuuma) su ispunjeni i za diskretne jednačine -konzervativnost
• M. Schäfer, Computational Engineering – Introduction to Numerical Methods, Springer, 2006.
Postupak:
1. Osnova je jednačina održanja u integralnom obliku
2. Domena je podijeljena na kontrolne volumene
3. Aproksimacija integrala numeričkom integracijom
4. Aproksimacija funkcija veličina i izvoda interpolacijom između čvornih vrijednosti (u kojima se nalaze nepoznate varijable)
5. Formiranje i rješavanje diskretnog algebarskog sistema
CVčvor
-
IS: 2019-2020 http://ptf.unze.ba/inzenjerske -simulacije 59
*I. Demirdžić, Predavanja iz Mehanike kontinuuma, Mašinski fakultet u Sarajevu, 1998
I. Demirdžić, A. Ivanković, Computational Continuum Mechanics (CCM), Lecture notes, UCD
Metod(e) konačnih volumenaDiskretizacija jednačina – stacionarna 1D toplotna kondukcija
d d 0xS V
Tk n S h Vx
03 2 div dd grad d dV S VVcT
V k T S h V Ttt
V
un
2
2 0Tk h
x
+ granični uslovi
( )( )
k f xh f x
-
IS: 2019-2020 http://ptf.unze.ba/inzenjerske -simulacije 60
*I. Demirdžić, Predavanja iz Mehanike kontinuuma, Mašinski fakultet u Sarajevu, 1998
I. Demirdžić, A. Ivanković, Computational Continuum Mechanics (CCM), Lecture notes, UCD
Metod(e) konačnih volumenad d 0x
S V
Tk n S h Vx
Diskretizacija jednačina – stacionarna 1D toplotna kondukcija
iLx xN
, ,, , 1e w i x e x wS S S V S x n n
1 1
1 1
( )( )( )
i i P
i i W
i i E
T x T TT x T TT x T T
d d 0 d d d 0e w
x x xS V S S V
T T Tk n S h V k n S k n S h Vx x x
0e e w w Pe w
T Tk S k S h Vx x
Računanje integrala (Teorem srednje vrijednosti) i gradijenata
-
IS: 2019-2020 http://ptf.unze.ba/inzenjerske -simulacije 61
*I. Demirdžić, Predavanja iz Mehanike kontinuuma, Mašinski fakultet u Sarajevu, 1998
I. Demirdžić, A. Ivanković, Computational Continuum Mechanics (CCM), Lecture notes, UCD
Metod(e) konačnih volumenaDiskretizacija jednačina – stacionarna 1D toplotna kondukcija
0e e w w Pe w
T Tk S k S h Vx x
Računanje integrala i gradijenata
( ), ( ), ( )2 2e i w i P ix xk k x k k x h h x
X 1 1i i E Pe i i P Ww
T T T TTx x x
T T T TTx x x
Tx
?
w eS S S
-
IS: 2019-2020 http://ptf.unze.ba/inzenjerske -simulacije 62
*I. Demirdžić, Predavanja iz Mehanike kontinuuma, Mašinski fakultet u Sarajevu, 1998
I. Demirdžić, A. Ivanković, Computational Continuum Mechanics (CCM), Lecture notes, UCD
Metod(e) konačnih volumena
Diskretizirane jednačine
Diskretizacija jednačina – stacionarna 1D toplotna kondukcija
1 1 0
e wi i i i P i
i e i e i P
k kT T S T T S h Vx x
Q Q Q Q H H
1 1
, 1 1 , , 1 1
w w e ei i i P i
i i i i i i i i i i
k S k S k S k ST T T h Vx x x x
a T a T a T b
, 1 , 1 ,, , e w w ei i i i i i
i i P i
k S k S k S k Sa a ax x x x
b H h V
Implicitna shema
Proračunaska molekula
-
IS: 2019-2020 http://ptf.unze.ba/inzenjerske -simulacije 63
*I. Demirdžić, Predavanja iz Mehanike kontinuuma, Mašinski fakultet u Sarajevu, 1998
I. Demirdžić, A. Ivanković, Computational Continuum Mechanics (CCM), Lecture notes, UCD
Metod(e) konačnih volumena
Sistem jednačina
Diskretizacija jednačina – stacionarna 1D toplotna kondukcija
, 1 1 , , 1 1i i i i i i i i i ia T a T a T b
11 1 12 2 1
21 1 22 2 32 3 2
32 2 33 3 34 4 3
, 1 1 , , 1 1
.......................................... .
i i i i i i i i i i
a T a T ba T a T a T b
a T a T a T b
a T a T a T b
1, 2 2 1, 1 1 1, 1
, 1 1 ,
......................................
N N N N N N N N N N
N N N N N N N
a T a T a T ba T a T b
Matrica sistema rijetka (tridijagonalna)
-
IS: 2019-2020 http://ptf.unze.ba/inzenjerske -simulacije 64
*I. Demirdžić, Predavanja iz Mehanike kontinuuma, Mašinski fakultet u Sarajevu, 1998
I. Demirdžić, A. Ivanković, Computational Continuum Mechanics (CCM), Lecture notes, UCD
Metod(e) konačnih volumenaDiskretizacija jednačina – stacionarna 1D toplotna kondukcija
Konzervativnost
• Toplotni fluks na svakoj površini ćelije se predstavlja istim izrazom za dva susjedna kontrolna volumena
• Ukupni toplotni fluks je tačno zadovoljen (osim za grešku zaokruživanja) bez obzira na broj kontrolnih volumena
• Konzervativnost je prirođena MKV, ali se može narušiti nesmotrenom diskretizacijom
0 1 1
1 2 2
2 3 3
1
1
00
000
.............................0
.............................0
i i i
N N N
N
N ii
Q Q HQ Q HQ Q H
Q Q H
Q Q H
Q Q H
-
IS: 2019-2020 http://ptf.unze.ba/inzenjerske -simulacije 65
*I. Demirdžić, Predavanja iz Mehanike kontinuuma, Mašinski fakultet u Sarajevu, 1998
I. Demirdžić, A. Ivanković, Computational Continuum Mechanics (CCM), Lecture notes, UCD
Metod(e) konačnih volumenaDiskretizacija jednačina – stacionarna 1D toplotna kondukcija
Ograničenost
• Da li je numeričko rješenje fizički moguće?
• Fizički nestabilne situacije s izvorom koji je ovisan o temperaturi i raste s povećanjem temperature; prenos toplote konvekcijom i kondukcijom
Stabilnost
• Nema povećanja greške (bilo koje) u toku numeričkog rješavanja
• Primjer nestacionarne kondukcije i različitih shema diskretizacije (eksplicitna, implicitna/Euler, Cranck-Nicolsonova)
-
IS: 2019-2020 http://ptf.unze.ba/inzenjerske -simulacije 66
*I. Demirdžić, Predavanja iz Mehanike kontinuuma, Mašinski fakultet u Sarajevu, 1998
I. Demirdžić, A. Ivanković, Computational Continuum Mechanics (CCM), Lecture notes, UCD
Metod(e) konačnih volumenaDiskretizacija jednačina – stacionarna 1D toplotna kondukcija
Tačnost
2''
1( )d ( ) ( ), ( , )
24
e
w
x ne w
mi e w e wix
x x xf x x f x x f x xn
Integrali
Teorem srednje vrijednosti – drugi red tačnosti
Gradijenti na površima ćelija
v. slajd 46!!!
Vremenska tačnost
Prvi red tačnosti – implicitna (Euler), eksplicitna
Drugi red tačnosti – Crank-Nicolson
-
IS: 2019-2020 http://ptf.unze.ba/inzenjerske -simulacije 67
*I. Demirdžić, Predavanja iz Mehanike kontinuuma, Mašinski fakultet u Sarajevu, 1998
I. Demirdžić, A. Ivanković, Computational Continuum Mechanics (CCM), Lecture notes, UCD
Metod(e) konačnih volumenaDiskretizacija jednačina – stacionarna 1D toplotna kondukcija
Tačnost
Disipacija i disperzija – usljed odbacivanja članova višeg reda
Tačnorješenje
Disipacija(tipično za prvi
red tačnosti)
Disperzija(tipično za drugi
red tačnosti)
-
IS: 2019-2020 http://ptf.unze.ba/inzenjerske -simulacije 68
Metod(e) konačnih elemenata
• Razvoj metode u 1940-, 1960-tim (Boing)(https://www.simscale.com/blog/2015/11/75-years-of-the-finite-element-method-fem/)
• U početku prvenstveno za statičku analizu mehanike čvrstih tijela, ali danas i za dinamičku, prenos toplote, tečenja fluida, ...
• Veliki broj komercijalnih softvera: NASTRAN, ABAQUS, ANSYS, ADINA, DYNA, ..., PLAXIS, SW, ...
Postupak (Galerkinov metod):
1. Osnova je PDE u tzv. slaboj formulaciji (integralna jednačina)
2. Domena je podijeljena na elemente s vrhovima (čvorovima) – mreža konačnih elemenata
3. Pomjeranja se definišu funkcijama oblika (interpolacionim funkcijama), koje ovise o diskretnim nepoznatim pomjeranjima u čvorovima, te poznatim funkcijama oblika
4. Virtualna jednačina (jednakost sila unutrašnjih čvorova sa silama spoljašnjih) se svodi na sistem KU=f; K – matrica krutosti, U, vektor nepoznatih pomjeranja, f – vektor sila u čvorovima
Elementi mogu biti različiti, ali su za 2D najčešće trougaoni, pravougaoni (kvadratni) ili krivolinijski, a za 3D probleme tetraedri, heksaedri, prizme i krivolinijski elementi.
-
IS: 2019-2020 http://ptf.unze.ba/inzenjerske -simulacije 69
Metod(e) konačnih elemenata
* KJ Bathe, Finite Element Procedures, Prentice Hall, Inc., 1996.
1. Idealizacija: sistem se idealizira skupom/asamblom elemenata
2.Ravnoteža elementa: zahtjev za ravnotežom u svakom elementu je postavljen u odnosu na varijable stanja
3.Povezivanje elemenata: vrši se međusobno povezivanje elemenata radi dobijanja seta simultanih jednačina za varijable stanja
4.Računanje odgovora: simultane jednačine se rješavaju za varijable stanja, a preko ravnoteže elemenata se računa i odgovor/ponašanje svakog elementa
-
IS: 2019-2020 http://ptf.unze.ba/inzenjerske -simulacije 70
Metod(e) konačnih elemenata
Određivanje matrice krutosti (metode)
1.Direktni metod – povezuju se sile elemenata i pomjeranja čvorova elemenata na osnovu ravnoteže sila za svaki element: 1D elementi (ramovi, ...)
2.Variijacioni metod – princip stacionarnosti funkcionala (princip minimuma potencijalne energije)
3.Metode težinskog reziduala (Galerkinova metoda) – diferencijalne jednačine
4.Metode energetskog balansa
N.Zaimović-Uzunović, S.Lemeš, Metod konačnih elemenata, Dom štampe, Zenica, 2002..
Svaki konačni element ima svoju matricu krutosti [k] za koju važi
f k dpri čemu k zavisi od lokalnog koordinatnog sistema, čvornih pomjeranja d i vektora sila f.
Struktura koja analizira sastoji se od međusobno povezanih konačnih elemenata za koju se postavlja globalna matrica krutosti K (definisana u globalnom koordinatnom sistemu, kao i pomjeranja čvorova).
-
IS: 2019-2020 http://ptf.unze.ba/inzenjerske -simulacije 71
Metod(e) konačnih elemenata
Definisanje funkcija oblika za element (N)
1( ) ( )
nNa
i a ia
u N U
x x
1( ) ( )
NELe a
i a ia
u N U
x x
1 u čvoru 0 u ostalim čvorovima
ea
aN
11
NELea
aN
0 izvan elementa eaN e
Uslovi za funkcije oblika
I. Demirdžić, A. Ivanković, N. O’Dowd, Computational Continuum Mechanics (CCM), Lecture notes, UCD
Osnovni zadatak je izračunavanje/postavljanje i inverzija matrice krutosti sistema.
Princip: svi proračini koji se izvode na nivou elementa trebaju informaciju samo od tog elementa – ovo se postiže preko tzv. funkcija oblika
-
IS: 2019-2020 http://ptf.unze.ba/inzenjerske -simulacije 72
Metod(e) konačnih elemenata
Definisanje funkcija oblika za element (N) – 1D linearna funkcija (‚element roditelj‘)
1
2
1( ) (1 )21( ) (1 )2
N x x
N x x
1
2
1 1( ) (1 ) (1 )2 2
Uu x x x
U
Postoji li drugi oblik?
2
1( ) ( ) aa
au x N x U
I. Demirdžić, A. Ivanković, N. O’Dowd, Computational Continuum Mechanics (CCM), Lecture notes, UCD
-
IS: 2019-2020 http://ptf.unze.ba/inzenjerske -simulacije 73
Metod(e) konačnih elemenata
Definisanje funkcija oblika za element (N) – 1D kvadratna funkcija
1
2
23
( 1)( )2
( 1)( )2
( ) 1
x xN x
x xN x
N x x
1
2 2
3
( 1) ( 1)( ) 12 2
Ux x x xu x x U
U
3
1( ) ( ) aa
au x N x U
I. Demirdžić, A. Ivanković, N. O’Dowd, Computational Continuum Mechanics (CCM), Lecture notes, UCD
-
IS: 2019-2020 http://ptf.unze.ba/inzenjerske -simulacije 74
Metod(e) konačnih elemenata
Definisanje funkcija oblika za element (N) – 2D (bi)-linearna funkcija
1
2
3
4
1( , ) (1 )(1 )41( , ) (1 )(1 )41( , ) (1 )(1 )41( , ) (1 )(1 )4
N x y x y
N x y x y
N x y x y
N x y x y
, , diakb ijkl a j b lV
K c N N V Globalna matrica krutosti:1
(x) (x)eN
ea a
eN N
I. Demirdžić, A. Ivanković, N. O’Dowd, Computational Continuum Mechanics (CCM), Lecture notes, UCD
-
IS: 2019-2020 http://ptf.unze.ba/inzenjerske -simulacije 75
Metod(e) konačnih elemenata
Matrica krutosti štapnog elementa – funkcije oblika
N.Zaimović-Uzunović, S.Lemeš, Metod konačnih elemenata, Dom štampe, Zenica, 2002..
const.d const.d
d d 0d d
xT AuAEx
uAEx x
2 11
11 2
2
x xx
x
x
d du x dL
du N N
d
1 2
1 1
2 2 1
(0)( )
x
x x
u a a xu d au L d a L d
1
2
1 xNL
xNL
dd
Eux
Izbor tipa elementa, izbor funkcije oblika
-
IS: 2019-2020 http://ptf.unze.ba/inzenjerske -simulacije 76
Metod(e) konačnih elemenata
Matrica krutosti štapnog elementa
2 1
x x
x x
T A AEd dT AE
L
1 1 2
2 2 1
x x x
x x x
AEf T d dL
AEf T d dL
1 1
2 2
1 11 1
x x
x x
f dAEf dL
1 11 1
AEkL
2 1dd
x xx
x x
d dux L
E
N.Zaimović-Uzunović, S.Lemeš, Metod konačnih elemenata, Dom štampe, Zenica, 2002..
-
IS: 2019-2020 http://ptf.unze.ba/inzenjerske -simulacije 77
Metod(e) konačnih elemenata
Matrica strukture/konstrukcije (globalna matrica krutosti)
1
1
Ne
e
Ne
e
F K d
K k
F f
Koristi se za izračunavanje pomjeranja i sila u čvorovima
1.Određuju se nepoznate nakon unošenja graničnih uslova
2.Napišu se skalarne jednačine iz kojih se izračunaju nepoznata pomjeranja
3.Određuju se deformacije i naponi na osnovu pomjeranja
4.Nalaze se sile F
N.Zaimović-Uzunović, S.Lemeš, Metod konačnih elemenata, Dom štampe, Zenica, 2002..
-
IS: 2019-2020 http://ptf.unze.ba/inzenjerske -simulacije 78
Metod(e) konačnih elemenata
1 11 1
AEkL
61 2 6
63 6
1 1 1 11 30 10 101 1 1 130
1 1 1 12 15 10 101 1 1 130
k k
k
61 1 0 01 1 1 1 0
100 1 1 1 10 0 1 1
K
d1x d2x d3x d4x
Primjer: statički neodređen 1D problem
Matrica strukture/konstrukcije (globalna matrica krutosti)
1 2 - elementi elementa 12 3 - elementi elementa 2
3 4 - elementi elementa 1
1 i 2: E=30e6 N/cm2 , A=1 cm2
3: E=15e6 N/cm2 , A=2 cm2
N.Zaimović-Uzunović, S.Lemeš, Metod konačnih elemenata, Dom štampe, Zenica, 2002..
-
IS: 2019-2020 http://ptf.unze.ba/inzenjerske -simulacije 79
Metod(e) konačnih elemenata
Matrica konstrukcije – linearna konstrukcija
15
2 65
3
4
1 1 0 0 01 2 1 0 2 10
100 1 2 1 1 100 0 1 1 0
x
x
x
x
FFFF
1 4 2
26
3
0, 3000
3000 2 110
0 1 2
x x x
x
x
d d F
dd
1
2
3
4
3
4
6
1
2
1 1 0 01 2 1 0
100 1 2 10 0 1 1
xx
x
x
x
x
x
x
dFF
d
Fdd
F
Granični uslovi
N.Zaimović-Uzunović, S.Lemeš, Metod konačnih elemenata, Dom štampe, Zenica, 2002..
-
IS: 2019-2020 http://ptf.unze.ba/inzenjerske -simulacije 80
Metod(e) konačnih elemenata
Matrica konstrukcije – ravanska konstrukcija
Transformacione matrice koordinatnih sistema
N.Zaimović-Uzunović, S.Lemeš, Metod konačnih elemenata, Dom štampe, Zenica, 2002..
1 1
1 2
cos( ) sin( )sin( ) cos( )
x
y
d dd d
Transformaciona matrica (2D)
Globalna matrica krutosti (štapnog elementa)
1 1
1 1
2 2
2 2
x x
y y
x x
y y
f df d
kf df d
f k d
-
IS: 2019-2020 http://ptf.unze.ba/inzenjerske -simulacije 81
Metod(e) konačnih elemenata
Matrica konstrukcije – ravanska konstrukcija
N.Zaimović-Uzunović, S.Lemeš, Metod konačnih elemenata, Dom štampe, Zenica, 2002..
Globalna matrica krutosti
1 1
1 1
2 2
2 2
cos( ) sin( ) 0 0sin( ) cos( ) 0 0
0 0 cos( ) sin( )0 0 sin( ) cos( )
cos( ) sin( ) 0 0sin( ) cos( ) 0 0
0 0 cos( ) sin( )0 0 sin( ) cos( )
lx x
l y y
x x
y y
d dd d
d T dd dd d
T
lf T f
1 1
1 2
cos( ) sin( )sin( ) cos( )
x
y
d dd d
-
IS: 2019-2020 http://ptf.unze.ba/inzenjerske -simulacije 82
Metod(e) konačnih elemenata
Matrica konstrukcije – ravanska konstrukcija
N.Zaimović-Uzunović, S.Lemeš, Metod konačnih elemenata, Dom štampe, Zenica, 2002..
1 1
1
/ ( )
l ll l
l T
l T l
T l
f k d k T d T f
T f k T d T T T
f T k T d T k T d
k T k T
-
IS: 2019-2020 http://ptf.unze.ba/inzenjerske -simulacije 83
Metod(e) konačnih elemenata
Matrica konstrukcije – ravanska konstrukcija 1 11 1
AEkL
N.Zaimović-Uzunović, S.Lemeš, Metod konačnih elemenata, Dom štampe, Zenica, 2002..
1 1
2 2
1 11 1
x xa
x x
f dAEf dL
1 1
2 2
1 11 1
y yt
y y
f dAEf dL
1 1
1 1
2 2
2 2
1 0 1 00 0 0 01 0 1 0
0 0 0 0
x x
y y
x x
y y
f df dAEf dLf d
, 0a tE E E
1 0 1 00 0 0 01 0 1 0
0 0 0 0
AEkL
-
IS: 2019-2020 http://ptf.unze.ba/inzenjerske -simulacije 84
Metod(e) konačnih elemenata
Matrica konstrukcije – ravanska konstrukcija
2 2
2 2
2 2
2 2
cos ( ) sin( ) cos( ) cos ( ) sin( ) cos( )sin( ) cos( ) sin ( ) sin( ) cos( ) sin ( )
cos ( ) sin( ) cos( ) cos ( ) sin( ) cos( )sin( ) cos( ) sin ( ) sin( ) cos( ) sin ( )
AEkL
N.Zaimović-Uzunović, S.Lemeš, Metod konačnih elemenata, Dom štampe, Zenica, 2002..
cos( ) sin( ) 0 0sin( ) cos( ) 0 0
0 0 cos( ) sin( )0 0 sin( ) cos( )
T
1 0 1 00 0 0 01 0 1 0
0 0 0 0
AEkL
T lk T k T
-
IS: 2019-2020 http://ptf.unze.ba/inzenjerske -simulacije 85
Metod(e) konačnih elemenata
Matrica konstrukcije – ravanska konstrukcija
N.Zaimović-Uzunović, S.Lemeš, Metod konačnih elemenata, Dom štampe, Zenica, 2002..
Naponi u štapovima
2
1 1
2 2
12
2
1
2
1 11 1
1 1
1 1
lx
l lx x
x x
lxl
xx
lx
x
fA
f dAEf dL
dAEfdL
dEdL
1 1
1 1
2 2
2 2
1
11
22
2
cos( ) sin( ) 0 0sin( ) cos( ) 0 0
0 0 cos( ) sin( )0 0 sin( ) cos( )
cos( ) sin( ) 0 00 0 cos( ) sin( )
lx x
l y y
x x
y y
xl
yx
xx
y
d dd d
d T dd dd d
dddddd
1
1
2
2
1
1
2
2
cos( ) sin( ) 0 01 1
0 0 cos( ) sin( )
cos( ) sin( ) cos( ) sin( )
x
y
x
y
x
y
x
y
ddEdLd
ddEdLd
-
IS: 2019-2020 http://ptf.unze.ba/inzenjerske -simulacije 86
Metod(e) konačnih elemenata
Matrica konstrukcije – ravanska konstrukcija
N.Zaimović-Uzunović, S.Lemeš, Metod konačnih elemenata, Dom štampe, Zenica, 2002..
Primjer 1: Naći matricu krutosti sistema
2 2
2 2
2 2
2 2
cos ( ) sin( )cos( ) cos ( ) sin( )cos( )sin( )cos( ) sin ( ) sin( )cos( ) sin ( )
cos ( ) sin( ) cos( ) cos ( ) sin( )cos( )sin( ) cos( ) sin ( ) sin( )cos( ) sin ( )
AEkL
E=30e6 N/cm2 , A=2 cm2
Štap 1 - 90°
6
(1)
0 0 0 00 1 0 12 30 100 0 0 0100 1 0 1
k
d1x d1y d2x d2y
(Sila od 10000 N djeluje u čvoru 1 prema dole)
-
IS: 2019-2020 http://ptf.unze.ba/inzenjerske -simulacije 87
Metod(e) konačnih elemenata
Matrica konstrukcije – ravanska konstrukcija
N.Zaimović-Uzunović, S.Lemeš, Metod konačnih elemenata, Dom štampe, Zenica, 2002..
Matrica konstrukcije – ravanska konstrukcija
Primjer 1 – nastavak
2 2
2 2
2 2
2 2
cos ( ) sin( )cos( ) cos ( ) sin( )cos( )sin( )cos( ) sin ( ) sin( )cos( ) sin ( )
cos ( ) sin( ) cos( ) cos ( ) sin( )cos( )sin( ) cos( ) sin ( ) sin( )cos( ) sin ( )
AEkL
E=30e6 N/cm2 , A=2 cm2
Štap 2 - 45°
6
(2)
1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 21/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 22 30 101/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 210 21/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2
k
d1x d1y d3x d3y
-
IS: 2019-2020 http://ptf.unze.ba/inzenjerske -simulacije 88
Metod(e) konačnih elemenata
Matrica konstrukcije – ravanska konstrukcija
N.Zaimović-Uzunović, S.Lemeš, Metod konačnih elemenata, Dom štampe, Zenica, 2002..
Matrica konstrukcije – ravanska konstrukcija
Primjer 1 – nastavak
2 2
2 2
2 2
2 2
cos ( ) sin( )cos( ) cos ( ) sin( )cos( )sin( )cos( ) sin ( ) sin( )cos( ) sin ( )
cos ( ) sin( ) cos( ) cos ( ) sin( )cos( )sin( ) cos( ) sin ( ) sin( )cos( ) sin ( )
AEkL
E=30e6 N/cm2 , A=2 cm2
Štap 3 - 0°
6
(3)
1 0 1 00 0 0 02 30 101 0 1 010
0 0 0 0
k
d1x d1y d4x d4y
-
IS: 2019-2020 http://ptf.unze.ba/inzenjerske -simulacije 89
Metod(e) konačnih elemenata
Matrica konstrukcije – ravanska konstrukcija
N.Zaimović-Uzunović, S.Lemeš, Metod konačnih elemenata, Dom štampe, Zenica, 2002..
Primjer 1 – nastavak
6
(1)
0 0 0 00 1 0 12 30 100 0 0 0100 1 0 1
k
d1x d1y d2x d2y
6
(2)
1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 21/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 22 30 101/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 210 21/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2
k
d1x d1y d3x d3y
6
(3)
1 0 1 00 0 0 02 30 101 0 1 010
0 0 0 0
k
d1x d1y d4x d4y
6
2 / 4 1 2 / 4 0 0 2 / 4 2 / 4 1 0
2 / 4 2 / 4 1 0 1 2 / 4 2 / 4 0 00 0 0 0 0 0 0 00 1 0 1 0 0 0 0
6 102 / 4 2 / 4 0 0 2 / 4 2 / 4 0 0
2 / 4 2 / 4 0 0 2 / 4 2 / 4 0 01 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 0 0
K
d1x d1y d2x d2y d3x d3y d4x d4y
-
IS: 2019-2020 http://ptf.unze.ba/inzenjerske -simulacije 90
Metod(e) konačnih elemenata
Matrica konstrukcije – ravanska konstrukcija
N.Zaimović-Uzunović, S.Lemeš, Metod konačnih elemenata, Dom štampe, Zenica, 2002..
1
2
2 6
3
3
4
4
2 / 4 1 2 / 4 0 0 2 / 4 2 / 4 1 0010000 2 / 4 2 / 4 1 0 1 2 / 4 2 / 4 0 0
0 0 0 0 0 0 0 00 1 0 1 0 0 0 0
6 102 / 4 2 / 4 0 0 2 / 4 2 / 4 0 0
2 / 4 2 / 4 0 0 2 / 4 2 / 4 0 01 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 0 0
x
x
y
x
y
x
y
d
FFFFFF
1
2
2
3
3
4
4
000000
y
x
y
x
y
x
y
ddddddd
16
1
1
1
0 1.354 0.3546 10
10000 0.354 1.354
0.0035435 cm0.013209 cm
x
y
x
y
dd
dd
Primjer 1 – nastavak
-
IS: 2019-2020 http://ptf.unze.ba/inzenjerske -simulacije 91
Metod(e) konačnih elemenata
Matrica konstrukcije – ravanska konstrukcija
N.Zaimović-Uzunović, S.Lemeš, Metod konačnih elemenata, Dom štampe, Zenica, 2002..
1
2
2 6
3
3
4
4
2 / 4 1 2 / 4 0 0 2 / 4 2 / 4 1 0010000 2 / 4 2 / 4 1 0 1 2 / 4 2 / 4 0 0
0 0 0 0 0 0 0 00 1 0 1 0 0 0 0
6 102 / 4 2 / 4 0 0 2 / 4 2 / 4 0 0
2 / 4 2 / 4 0 0 2 / 4 2 / 4 0 01 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 0 0
x
x
y
x
y
x
y
d
FFFFFF
1
2
2
3
3
4
4
0.00354350.013209
000000
y
x
y
x
y
x
y
ddddddd
Primjer 1 – nastavak
Sile u štapovima
-
IS: 2019-2020 http://ptf.unze.ba/inzenjerske -simulacije 92
Metod(e) konačnih elemenata
Matrica konstrukcije – ravanska konstrukcija
N.Zaimović-Uzunović, S.Lemeš, Metod konačnih elemenata, Dom štampe, Zenica, 2002..
Primjer 1 – nastavak Naponi u štapovima
1
1
2
2
cos( ) sin( ) cos( ) sin( )
x
y
x
y
ddEdLd
1
1(1)
2
2
6(1)
2
cos(90 ) sin(90 ) cos(90 ) sin(90 )
0.00345350.01320930 10 N0 1 0 1 39627
010 cm0
x
y
x
y
ddEdLd
1
1(2)
3
3
6(2)
2
cos(45 ) sin(45 ) cos(45 ) sin(45 )
0.00345350.01320930 10 2 2 2 2 N14633.2
02 2 2 2 cm10 20
x
y
x
y
ddEdLd
1
61(3)
24
4
0.00345350.01320930 10 Ncos(0 ) sin(0 ) cos(0 ) sin(0 ) 1 0 1 0 10360.5
010 cm0
x
y
x
y
ddEdLd
-
IS: 2019-2020 http://ptf.unze.ba/inzenjerske -simulacije 93
Metod(e) konačnih elemenata
Matrica konstrukcije – ravanska konstrukcija
N.Zaimović-Uzunović, S.Lemeš, Metod konačnih elemenata, Dom štampe, Zenica, 2002..
Primjer 2: Naći matricu krutosti sistema
2 2
2 2
2 2
2 2
cos ( ) sin( )cos( ) cos ( ) sin( )cos( )sin( )cos( ) sin ( ) sin( )cos( ) sin ( )
cos ( ) sin( ) cos( ) cos ( ) sin( )cos( )sin( ) cos( ) sin ( ) sin( )cos( ) sin ( )
AEkL
Štap 1 – (cos=3/5, sin=4/5)
9
(1)
0.36 0.48 0.36 0.480.64 0.48 0.640.0006 210 10
0.36 0.4850.64
k
d1x d1y d2x d2y
E=210 GPa , A=0.0006 m2
=50 mm
-
IS: 2019-2020 http://ptf.unze.ba/inzenjerske -simulacije 94
Metod(e) konačnih elemenata
Matrica konstrukcije – ravanska konstrukcija
N.Zaimović-Uzunović, S.Lemeš, Metod konačnih elemenata, Dom štampe, Zenica, 2002..
Primjer 2 – nastavak
2 2
2 2
2 2
2 2
cos ( ) sin( )cos( ) cos ( ) sin( )cos( )sin( )cos( ) sin ( ) sin( )cos( ) sin ( )
cos ( ) sin( ) cos( ) cos ( ) sin( )cos( )sin( ) cos( ) sin ( ) sin( )cos( ) sin ( )
AEkL
E=210 GPa , A=0.0006 m2
=50 mm
Štap 2 – 90°
9
(2)
0 0 0 01 0 10.0006 210 10
0 041
k
d1x d1y d3x d3y
-
IS: 2019-2020 http://ptf.unze.ba/inzenjerske -simulacije 95
Metod(e) konačnih elemenata
Matrica konstrukcije – ravanska konstrukcija
N.Zaimović-Uzunović, S.Lemeš, Metod konačnih elemenata, Dom štampe, Zenica, 2002..
Primjer 2 – nastavak
9
(1)
0.36 0.48 0.36 0.480.64 0.48 0.640.0006 210 10
0.36 0.4850.64
k
d1x d1y d2x d2y
9 9
(1)
0 0 0 0 0 0 0 01 0 1 5 / 4 0 5 / 40.0006 210 10 0.0006 210 10
0 0 0 04 51 5 / 4
k
d1x d1y d3x d3y
0.36 0.48 0.36 0.48 0 01.89 0.48 0.64 0 1.25
0.36 0.48 0 025200000
0.64 0 00 0
1.25
K
d1x d1y d2x d2y d3x d3y
d1x d1y d3x d3y
-
IS: 2019-2020 http://ptf.unze.ba/inzenjerske -simulacije 96
Metod(e) konačnih elemenata
Matrica konstrukcije – ravanska konstrukcija
N.Zaimović-Uzunović, S.Lemeš, Metod konačnih elemenata, Dom štampe, Zenica, 2002..
1 1
1
2 2
2 2
3 3
3 3
0.36 0.48 0.36 0.48 0 01000 1.89 0.48 0.64 0 1.25
00.36 0.48 0 025200000
00.64 0 000 001.25
x x
y
x x
y y
x x
y y
F dd
F dF dF dF d
1
1
1
0.36 0.4825200000
1000 0.48 1.89
0.0337 m
x
y
y
Fd
d
Primjer 2 – nastavak
-
IS: 2019-2020 http://ptf.unze.ba/inzenjerske -simulacije 97
Metod(e) konačnih elemenata
Matrica konstrukcije – ravanska konstrukcija
N.Zaimović-Uzunović, S.Lemeš, Metod konačnih elemenata, Dom štampe, Zenica, 2002..
1
2 2
2 2
3 3
3 3
0.050.36 0.48 0.36 0.48 0 01000 0.003371.89 0.48 0.64 0 1.25
00.36 0.48 0 025200000
00.64 0 000 001.25
x
x x
y y
x x
y y
F
F dF dF dF d
Primjer 2 – nastavakReakcije oslonaca
-
IS: 2019-2020 http://ptf.unze.ba/inzenjerske -simulacije 98
Metod(e) konačnih elemenata
Matrica konstrukcije – ravanska konstrukcija
N.Zaimović-Uzunović, S.Lemeš, Metod konačnih elemenata, Dom štampe, Zenica, 2002..
Primjer 2 – nastavak
Naponi u štapovima
1
1
2
2
cos( ) sin( ) cos( ) sin( )
x
y
x
y
ddEdLd
9(1)
9(2)
0.050.0337210 10 0.6 0.8 0.6 0.8 127.68 MPa
050
0.050.0337210 10 0 1 0 1 1769.25 MPa
040
-
IS: 2019-2020 http://ptf.unze.ba/inzenjerske -simulacije 99
Metod(e) konačnih elemenata
Matrica konstrukcije – ravanska konstrukcija
N.Zaimović-Uzunović, S.Lemeš, Metod konačnih elemenata, Dom štampe, Zenica, 2002..
Primjer 3: Naći matricu krutosti sistema
2 2
2 2
2 2
2 2
cos ( ) sin( )cos( ) cos ( ) sin( )cos( )sin( )cos( ) sin ( ) sin( )cos( ) sin ( )
cos ( ) sin( ) cos( ) cos ( ) sin( )cos( )sin( ) cos( ) sin ( ) sin( )cos( ) sin ( )
AEkL
Svi štapovi, E A
Štap 3 – (cos= - 4/5, sin= - 3/5)
(3)0.64 0.48 0.64 0.48 0.128 0.096 0.128 0.096
0.36 0.48 0.36 0.072 0.096 0.0720.64 0.48 0.128 0.0965
0.36 0.072
EA EAkL L
d1x d1y d3x d3y
-
IS: 2019-2020 http://ptf.unze.ba/inzenjerske -simulacije 100
Metod(e) konačnih elemenata
Matrica konstrukcije – ravanska konstrukcija
N.Zaimović-Uzunović, S.Lemeš, Metod konačnih elemenata, Dom štampe, Zenica, 2002..
Primjer 3 - nastavak
2 2
2 2
2 2
2 2
cos ( ) sin( )cos( ) cos ( ) sin( )cos( )sin( )cos( ) sin ( ) sin( )cos( ) sin ( )
cos ( ) sin( ) cos( ) cos ( ) sin( )cos( )sin( ) cos( ) sin ( ) sin( )cos( ) sin ( )
AEkL
Svi štapovi, E A
Štap 1 – (cos= 4/5, sin= - 3/5)
(1)0.64 0.48 0.64 0.48 0.128 0.096 0.128 0.096
0.36 0.48 0.36 0.072 0.096 0.0720.64 0.48 0.128 0.0965
0.36 0.072
EA EAkL L
d1x d1y d2x d2y
-
IS: 2019-2020 http://ptf.unze.ba/inzenjerske -simulacije 101
Metod(e) konačnih elemenata
Matrica konstrukcije – ravanska konstrukcija
N.Zaimović-Uzunović, S.Lemeš, Metod konačnih elemenata, Dom štampe, Zenica, 2002..
Primjer 3 - nastavak
2 2
2 2
2 2
2 2
cos ( ) sin( )cos( ) cos ( ) sin( )cos( )sin( )cos( ) sin ( ) sin( )cos( ) sin ( )
cos ( ) sin( ) cos( ) cos ( ) sin( )cos( )sin( ) cos( ) sin ( ) sin( )cos( ) sin ( )
AEkL
Svi štapovi, E A
Štap 2 – (cos = - 1, sin=0)
(2)1 0 1 0 0.125 0 0.125 0
0 0 0 0 0 01 0 0.125 08
0 0
EA EAkL L
d2x d2y d3x d3y
-
IS: 2019-2020 http://ptf.unze.ba/inzenjerske -simulacije 102
Metod(e) konačnih elemenata
Matrica konstrukcije – ravanska konstrukcija
N.Zaimović-Uzunović, S.Lemeš, Metod konačnih elemenata, Dom štampe, Zenica, 2002..
(2)0.125 0 0.125 0
0 0 00.125 0
0
EAkL
d2x d2y d3x d3y
(1)0.128 0.096 0.128 0.096
0.072 0.096 0.0720.128 0.096
0.072
EAkL
d1x d1y d2x d2y
(3)0.128 0.096 0.128 0.096
0.072 0.096 0.0720.128 0.096
0.072
EAkL
d1x d1y d3x d3y
0.256 0 0.128 0.096 0.128 0.0960.144 0.096 0.072 0.096 0.072
0.253 0.096 0.125 00.072 0 0
0.253 0.0960.072
EAKL
d1x d1y d2x d2y d3x d3y
Primjer 3 - nastavak
-
IS: 2019-2020 http://ptf.unze.ba/inzenjerske -simulacije 103
Metod(e) konačnih elemenata
Matrica konstrukcije – ravanska konstrukcija
N.Zaimović-Uzunović, S.Lemeš, Metod konačnih elemenata, Dom štampe, Zenica, 2002..
1
1
2
2 2
3 3
3 3
0.256 0 0.128 0.096 0.128 0.0960.144 0.096 0.072 0.096 0.072
0 0.253 0.096 0.125 000.072 0 000.253 0.09600.072
x
y
x
y y
x x
y y
F dF d
dEAF dLF dF d
1
1
2
11
1
2
0.256 0 0.1280 0.144 0.096
0 0.128 0.096 0.253
0.256 0 0.128 5.906 2.667 40 0.144 0.096 2.667 10.
0.128 0.096 0.253 0
x
y
x
x
y
x
F dEAF dL
d
d FL FLd F
EA EAd
1 8.5735 5.333 1 13.167
4 5.333 8 0 9.333
FLEA
Primjer 3 – nastavak
-
IS: 2019-2020 http://ptf.unze.ba/inzenjerske -simulacije 104
Metod(e) konačnih elemenata
Matrica konstrukcije – ravanska konstrukcija
N.Zaimović-Uzunović, S.Lemeš, Metod konačnih elemenata, Dom štampe, Zenica, 2002..
Primjer 3 – nastavakReakcije oslonaca
2
3
3
0.096 0.072 0.096 8.572 0.8750.128 0.096 0.125 13.167 10.096 0.072 0 9.333 0.125
y
x
y
FEA FLF FL EA
F
1
1
2
2 2
3 3
3 3
0.256 0 0.128 0.096 0.128 0.0960.144 0.096 0.072 0.096 0.072
0 0.253 0.096 0.125 000.072 0 000.253 0.09600.072
x
y
x
y y
x x
y y
F dF d
dEAF dLF dF d
-
IS: 2019-2020 http://ptf.unze.ba/inzenjerske -simulacije 105
Metod(e) konačnih elemenata
Matrica konstrukcije – ravanska konstrukcija
N.Zaimović-Uzunović, S.Lemeš, Metod konačnih elemenata, Dom štampe, Zenica, 2002..
Primjer 3 – nastavak
Naponi u štapovima
1
1
2
2
cos( ) sin( ) cos( ) sin( )
x
y
x
y
ddEdLd
(1)
(2)
(3)
8.57213.167
0.8 0.6 0.8 0.6 1.469.3335
0
9.3330
1 0 1 0 1.17080
8.57213.167
0.8 0.6 0.8 0.6 0.21050
E FL FL EA A
E FL FL EA A
E FL FL EA A
-
IS: 2019-2020 http://ptf.unze.ba/inzenjerske -simulacije 106
Metod(e) konačnih elemenata
Matrica konstrukcije – ravanska konstrukcija – (pokretni) oslonci (pod uglom)
N.Zaimović-Uzunović, S.Lemeš, Metod konačnih elemenata, Dom štampe, Zenica, 2002..
3 3 33
3 3 3
3
cos( ) sin( )sin( ) cos( )
0 00 00 0
lx x x
y y y
l
T l
d d dt
d d d
d T d
d T d
IT I
t
I – jedinična matrica 2x2
-
IS: 2019-2020 http://ptf.unze.ba/inzenjerske -simulacije 107
Metod(e) konačnih elemenata
Matrica konstrukcije – ravanska konstrukcija – (pokretni) oslonci (pod uglom)
N.Zaimović-Uzunović, S.Lemeš, Metod konačnih elemenata, Dom štampe, Zenica, 2002..
lf T f
f K d
T f T K d
1 1
1 1
2 2
2 2
33 3
3 3
0 00 0
0 0
lx x
y y
x x
y yT
x x
y y
d dd d
Id d
Id d
td dd d
1 1
1 1
2 2
2 23
3 3
3 3
0 00 00 0
x x
y y
x x
y yl
x xl
y y
f ff f
If f
If f
tf ff f
T lT f T K T d
1 1
1 1
2 2
2 2
3 3
3 3
x x
y y
Tx x
y yl lx x
l ly y
F dF dF d
T K TF dF dF d
-
IS: 2019-2020 http://ptf.unze.ba/inzenjerske -simulacije 108
Metod(e) konačnih elemenata
Matrica konstrukcije – ravanska konstrukcija – (pokretni) oslonci (pod uglom)
N.Zaimović-Uzunović, S.Lemeš, Metod konačnih elemenata, Dom štampe, Zenica, 2002..
Primjer 4
E=210 GPa , A1,2=0.0006 m2,
A3=0.000848 m2
2 2
2 2
2 2
2 2
cos ( ) sin( )cos( ) cos ( ) sin( )cos( )sin( )cos( ) sin ( ) sin( )cos( ) sin ( )
cos ( ) sin( ) cos( ) cos ( ) sin( )cos( )sin( ) cos( ) sin ( ) sin( )cos( ) sin ( )
AEkL
Štap 1 – (cos= 0, sin= 1)
9 4
(1)
0 0 0 01 0 1210 10 6 10
0 011
k
d1x d1y d2x d2y
-
IS: 2019-2020 http://ptf.unze.ba/inzenjerske -simulacije 109
Metod(e) konačnih elemenata
Matrica konstrukcije – ravanska konstrukcija – (pokretni) oslonci (pod uglom)
N.Zaimović-Uzunović, S.Lemeš, Metod konačnih elemenata, Dom štampe, Zenica, 2002..
Primjer 4 - nastavak
E=210 GPa , A1,2=0.0006 m2,
A3=0.000848 m2
2 2
2 2
2 2
2 2
cos ( ) sin( )cos( ) cos ( ) sin( )cos( )sin( )cos( ) sin ( ) sin( )cos( ) sin ( )
cos ( ) sin( ) cos( ) cos ( ) sin( )cos( )sin( ) cos( ) sin ( ) sin( )cos( ) sin ( )
AEkL
Štap 2 – (cos= 1, sin= 0)
9 4
(2)
1 0 1 00 0 0210 10 6 10
1 010
k
d2x d2y d3x d3y
-
IS: 2019-2020 http://ptf.unze.ba/inzenjerske -simulacije 110
Metod(e) konačnih elemenata
Matrica konstrukcije – ravanska konstrukcija – (pokretni) oslonci (pod uglom)
N.Zaimović-Uzunović, S.Lemeš, Metod konačnih elemenata, Dom štampe, Zenica, 2002..
Primjer 4 - nastavak
E=210 GPa , A1,2=0.0006 m2,
A3=0.000848 m2
2 2
2 2
2 2
2 2
cos ( ) sin( )cos( ) cos ( ) sin( )cos( )sin( )cos( ) sin ( ) sin( )cos( ) sin ( )
cos ( ) sin( ) cos( ) cos ( ) sin( )cos( )sin( ) cos( ) sin ( ) sin( )cos( ) sin ( )
AEkL
Štap 3 – (cos= 0.707, sin= 0.707)
9 4 9 4
(3)
0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.50.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5210 10 8.48 10 210 10 6 10
0.5 0.5 0.5 0.51.41 10.5 0.5
k
d1x d1y d3x d3y
-
IS: 2019-2020 http://ptf.unze.ba/inzenjerske -simulacije 111
Metod(e) konačnih elemenata
Matrica konstrukcije – ravanska konstrukcija – (pokretni) oslonci (pod uglom)
N.Zaimović-Uzunović, S.Lemeš, Metod konačnih elemenata, Dom štampe, Zenica, 2002..
Primjer 4 - nastavak
9 4
(1)
0 0 0 01 0 1210 10 6 10
0 011
k
d1x d1y d2x d2y
9 4
(2)
1 0 1 00 0 0210 10 6 10
1 010
k
d2x d2y d3x d3y
9 4
(3)
0.5 0.5 0.5 0.50.5 0.5 0.5210 10 6 10
0.5 0.510.5
k
d1x d1y d3x d3y
5
0.5 0.5 0 0 0.5 0.51.5 0 1 0.5 0.5
1 0 1 01260 10
1 0 01.5 0.5
0.5
K
d1x d1y d2x d2y d3x d3y
-
IS: 2019-2020 http://ptf.unze.ba/inzenjerske -simulacije 112
Metod(e) konačnih elemenata
Matrica konstrukcije – ravanska konstrukcija – (pokretni) oslonci (pod uglom)
N.Zaimović-Uzunović, S.Lemeš, Metod konačnih elemenata, Dom štampe, Zenica, 2002..
Primjer 4 - nastavak
1 1
1 1
2 2
2 2
3 3
3 3
x x
y y
Tx x
y yl lx x
l ly y
F dF dF d
T K TF dF dF d
1 0 0 0 0 00 1 0 0 0 00 0 1 0 0 00 0 0 1 0 0
0 0 0 0 2 / 2 2 / 2
0 0 0 0 2 / 2 2 / 2
T
3
3
cos( ) sin( )sin( ) cos( )
0 00 00 0
t
IT I
t
-
IS: 2019-2020 http://ptf.unze.ba/inzenjerske -simulacije 113
Metod(e) konačnih elemenata
Matrica konstrukcije – ravanska konstrukcija – (pokretni) oslonci (pod uglom)
N.Zaimović-Uzunović, S.Lemeš, Metod konačnih elemenata, Dom štampe, Zenica, 2002..
Primjer 4 - nastavak
1 1
1 1
2 2
2 2
3 3
3 3
x x
y y
Tx x
y yl lx x
l ly y
F dF dF d
T K TF dF dF d
1 0 0 0 0 00 1 0 0 0 00 0 1 0 0 00 0 0 1 0 0
0 0 0 0 2 / 2 2 / 2
0 0 0 0 2 / 2 2 / 2
T
1 1
1 13
2
2 2
3 3
3 3
00
1000 100
00
x x
y y
T x
y yl lx x
l ly y
F dF d
dT K T
F dF d
F d
5
0.5 0.5 0 0 0.5 0.51