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Introduzione alla Fisica
• Ripasso di matematica
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Elementi di matematica utilizzati in questo corso
• Frazioni • Proprietà delle potenze • Potenze di dieci e notazione scientifica • Manipolazione, semplificazione di espressioni algebriche • Soluzione di equazioni di primo grado • Proporzioni • Conversioni tra unità di misura • Percentuali • Funzioni e loro rappresentazione grafica • Angoli, elementi di trigonometria • Elementi di geometria • Operazioni coi vettori
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Algebra dei numeri relativi Numeri relativi: numeri preceduti dal segno + o dal segno –
a = - 5,2
modulo o valore assoluto (si indica con |a|) segno
Due numeri relativi sono • concordi se hanno lo stesso segno es: (–3 ; –7,15 ; –6001); • discordi se hanno segno contrario es: (+73,6 ; –12,2); • opposti se hanno stesso modulo e segno contrario es: (–2,13 ; +2,13) • reciproci (inversi) se hanno lo stesso segno e modulo inverso
es: (–4/5 ; –5/4)
Chiamiamo espressione algebrica una espressione matematica che contiene numeri relativi
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−34
21 2
22 53 abba −numerica: letterale:
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... dove le lettere rappresentano
In una espressione matematica
un generico numero
• intero (0; 1; 2; 3; ...)
• intero relativo (.. –2; -1; 0; 1; ...)
• reale (-1/2; 136,11111; √7; e2,7...)
In una legge fisica
una grandezza fisica
valore numerico + unità di misura
• m ( 3,7 kg; 8 mg; 12 lb; ...)
• t ( 8,7 ms; 3 h; 2,7 giorni; ...)
Stessa algebra !!
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Nell’algebra dei numeri relativi, una espressione contenente addizioni e sottrazioni numeriche e letterali
48523 −−+− yzviene sempre considerata come una somma algebrica, ovvero intesa come somma di numeri relativi:
)4()8()5()2(3 −+−+++−++ yz
Nota: per lo scioglimento delle parentesi in una espressione
• si elimina la parentesi se preceduta dal segno +
• si elimina la parentesi cambiando segno a tutti i fattori al suo interno se preceduta dal segno -
zyxzyx 324)324( +−=+−+
zyxzyx 324)324( −+−=+−−
Somma algebrica
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Le 4 operazioni
• Addizione (somma)
• Sottrazione (differenza)
• Moltiplicazione (prodotto)
• Divisione (quoziente o rapporto)
4)9()13(8)6()2(−=++−−=−+−
Addendi concordi:somma dei moduli stesso segno
Addendi discordi:differenza dei moduli segno dell’addendo di modulo
maggiore
5)9()4()9()4( +=++−=−−−
Si ottiene sommando al primo numero (minuendo) l’opposto del secondo (sottraendo)
84)7)(3)(4( −=−−−Il modulo è il prodotto dei moduli Il segno è positivo -> numero pari di segni - negativo -> numero dispari di segni -
Si ottiene moltiplicando il dividendo per il reciproco del divisore
371)21()7(:)21( −=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+−=+−
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Frazioni
Una frazione è un rapporto tra due numeri a e b ba
Frazioni equivalenti
numeratore
denominatore
Dividendo o moltiplicando numeratore e denominatore per un fattore comune, la frazione non cambia.
Es: 63
21
126
sono frazioni equivalenti bxax
ba
⋅
⋅=
Riduzione ai minimi termini Esprimere una frazione in una forma equivalente con valori minimi del numeratore e denominatore (divisione per tutti i fattori comuni)
52
5222
104
=⋅
⋅=
56
532
357327
315378
2
3
=⋅
=⋅⋅
⋅⋅=
3
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Frazioni
Somma/differenza di frazioni:
bdbcad
dc
ba +
=+
bdbcad
dc
ba −
=−
Es: 47
643
32
21
=+
=+
1211
1229
61
43
=+
=+ (12 = minimo comune multiplo di 6 e 4)
2
1
Moltiplicazione di due frazioni
bdac
dc
ba
=⋅ Es: 415
2235
23
25
=⋅
⋅=⋅
5362
56
32
⋅
⋅=⋅
54
522=
⋅=
2
21
105
1049
52
109
==−
=−
Es:
cd
ba
dcba
⋅=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
Divisione di due frazioni:
21
43
32
3432
=⋅=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
2
Inverso di una frazione:
ab
ba
=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
1Es: 2
3321
=/
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Esempi:
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −21
31
5231
61
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−431:
32
232:
67
[ ]2. −=R
[ ]5. −=R
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58
18
51
8151
=⋅=
211
91
73
973
=⋅=
Le frazioni di frazioni si risolvono facilmente ricordando le proprietà viste finora
Esempi:
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3/4 e’ maggiore di 5/6 ? Equivalentemente, 3/4-5/6 > 0 ?
Confronto tra frazioni Per confrontare due frazioni e’ opportuno esprimerle in forma equivalente con denominatore comune Il minimo comune denominatore tra 4 e 6 e’ 12
129
43=
1210
65=
65
43<
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −>−65
43 :Nota
0121
121
12109
65
43
<−=−
=−
=−65
43<
Frazioni
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Elevamento a Potenza
Proprietà delle potenze:
a = base, b = esponente
• an + am à (nessuna particolare proprietà) a3 + a2 = (a·a·a) + (a·a) = … dipende!
• an·am = an+m a3·a2 = (a·a·a)·(a·a) = a·a·a·a·a = a5
• an/am = an-m a3/a2 = (a·a·a)/(a·a) = a = a1
• (an)m = an*m (a3)2 = (a·a·a)·(a·a·a) = a·a·a a·a·a·a = a6
Ma attenzione:
a2/a3 = (a·a)/(a·a·a) = 1/a = a-1 = a2-3 a3/a3 = (a·a·a)/(a·a·a) = 1 = a0 = a3-3
Perchè la regola continua a valere, occorre definire
a-n = 1/an potenza a esponente negativo
a0 = 1 potenza a esponente nullo
volte)( baaaab !⋅⋅⋅=
• an·bn = (a·b)n a2·b2 = a·a·b·b = a·b·a·b = (a·b)2
• una potenza di esponente pari e`sempre positiva;
• una potenza di esponente dispari e` negativa se la base e negativa.
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Esempi:
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−43
21
21
( )( ) =+− 222
( ) ( ) =−+ 33 32
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−84
21
21
( ) =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−−−3
5
313
=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −
−32
121
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=1281.R
[ ]8. −=R[ ]216. −=R
[ ]16.=R
[ ]9.=R
[ ]64.=R
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m√an = an/m
Esempio: 2√a6 = a6/2 = √(a*a*a)*(a*a*a) = √(a*a*a)2 = a*a*a = a3
Radice di un numero E` l’operazione inversa dell’elevamento a potenza:
è quel numero la cui potenza n-esima è uguale ad a : n a
( ) anaaa nnnn =⋅⋅= volte)( !
• la radice di indice pari di un numero negativo non esiste
• la radice di indice dispari di un numero esiste ed è unica
• esistono sempre due radici di indice pari di un numero positivo
4−
327;28 33 −=−=
525 ±=
Nota: una potenza con esponente frazionario è uguale ad un radicale che ha per indice il denominatore della frazione
a = radicando, n = indice
Infatti an/m·an/m·an/m··· (m volte) = amn/m= an
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Esempi:
=⋅ −223
44
=6 122
=−⋅− −223
)4()4(
=⋅⋅⋅
−
−
34
24
10102104
[ ]4.=R
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ±=21.R
[ ]assurdo.=R
[ ]200.=R
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n mnp mp aa =
11;00;1 === nnaa
aan n =
Proprietà dei radicali: si verificano facilmente utilizzando potenze con esponenti frazionari !
nnnn cbacba !! ⋅⋅=⋅⋅
nnn baba :: =
( ) n kkn aa =
nmm n aa ⋅=
da cui si ha
(prodotto di radicali dello stesso indice)
(quoziente di radicali dello stesso indice)
(potenza di un radicale)
(radice di un radicale)
n n
n nn
ba
baba
⋅−
⋅=⋅ se a >0
se n è pari e a<0
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Monomio: una qualunque espressione algebrica che si presenta sotto forma di prodotto di fattori numerici e letterali
3
34 ab−
Monomi e Polinomi
Coefficiente Parte letterale
Grado nella lettera b
identici se hanno stesso coefficiente e stessa parte letterale
simili se hanno la stessa parte letterale e diverso coefficiente
…;6,0;64;
32 222 bababa
!;2,5;75;8 424242 bcabcabca−
Polinomio: è una somma algebrica di più monomi non simili
9243;42;32 −+−−+− baabnmnbabinomio trinomio
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Le operazioni algebriche con monomi si eseguono seguendo le regole viste in precedenza, e ricordando che solo monomi simili possono essere
sommati algebricamente
=−−+ 2222 523 abbaabba
( ) ( )=−⋅ baab 22 36
=− 3
25
28abba
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛22
3
92:
32
caab
cba
( ) =2323 bca
Esempi:
[ ]baabR 22 2. −=
[ ]3318. baR −=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=baR4
4.
[ ]caR 43. −=
[ ]6249. cbaR =
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Il prodotto di due polinomi si ottiene come somma algebrica dei prodotti di ciascun termine del primo polinomio per tutti i termini del secondo.
Esempi:
( )( )=−+− baaba 22 32
( )( )=−+ yxyx 5423
I calcoli possono essere semplificati utilizzandi i prodotti notevoli:
32233
222
22
33)(2)(
))((
babbaababababa
bababa
±+±=±
+±=±
−=−+
[ ]333 36. babaR −
[ ]22 10712. yxyxR −−
triangolo di Tartaglia
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
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Il quoziente di un polinomio per un monomio è uguale alla somma algebrica dei quozienti di ciascun termine del polinomio per il
monomio divisore.
Esempi:
( ) ( )=− ababba 4:128 22 [ ]baR 32. −
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ − 543223
41:
49
41 bababa [ ]31229. −−−− − babaR
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Il quoziente di due polinomi non è in generale risolubile.
Tuttavia, è spesso possibile semplificare una frazione algebrica raccogliendo ed eliminando i fattori moltiplicativi comuni a tutti i
termini del numeratore e del denominatore (scomposizione in fattori)
=−
−
babaa4422 2
=−
−
xxx
41219
2
2
=315378
=++
++
3536116
yxyx
Esempi:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +
xxR413.
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡baR2
.
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡56.R
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+
++
++ y restocon 2 oppure 3536116.
yxyxR
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Potenze di dieci
105 (si legge “dieci alla quinta”)
è uguale a 1 moltiplicato per 105 1*100000 = 100000
è uguale a 1.0 spostando la virgola
a destra di 5 posti
10-5 (si legge “dieci alla meno 5”)
è uguale a 1 diviso per 105 1/100000 = 0.00001
è uguale a 1.0 spostando la virgola
a sinistra di 5 posti
100 = 1 101 = 10 102 = 10·10 = 100 103 = 10·10·10 =1000 ……. 106 = 1000000 …….
10-1 = 1/101 = 0,1 10-2 = 1/102 = 0,01 10-3 = 1/103 = 0,001 ……. 10-6 = 0,000001 …….
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Consideriamo un numero, ad es. 12,43 Questo numero lo posso scrivere in varie forme equivalenti:
1102431102431101043124312 ⋅=⋅=⋅⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛= ,,,,Posso spostare la virgola di una posizione verso sinistra moltiplicando il numero risultante per 101
1103,124103,124
10)1043,12(43,12 −⋅==
⋅=
210124301001243010010043124312 ⋅=⋅=⋅⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛= ,,,, Virgola spostata di due posizioni verso sinistra numero risultante moltiplicato per 102
3100124304312 ⋅= ,,Virgola spostata di 3 posizioni a sinistra
Fattore moltiplicativo: 103
Virgola spostata di una posizione verso destra numero risultante moltiplicato per 101
21012434312 −⋅=, 310124304312 −⋅=,Virgola spostata di 3 posizioni a destra
Fattore moltiplicativo: 10-3
E’ possibile esprimere qualsiasi numero come il prodotto di un fattore per una potenza di dieci. Il fattore numerico è ottenuto spostando la virgola del numero iniziale di un numero di posizioni pari al valore assoluto dell’esponente, verso sinistra se l’esponente è positivo, verso destra se negativo.
Potenze di dieci
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Notazione scientifica (forma esponenziale)
Si usa nei calcoli scientifici per esprimere numeri molto grandi e molto piccoli
5,213·10-7 parte numerica numero compreso
tra 1 e 9,999..
potenza di 10 l’esponente rappresenta
il numero di posti decimali di cui occorre spostare la
virgola prodotto
si usano anche i simboli * e ×
Potenze di dieci e notazione scientifica
Esempi: l = 345000 m = 3,45·105 m l = 0,00038 m = 3,8·10-4 m
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Conversione di un numero da notazione ordinaria a notazione scientifica
274 =274,0 = 2,74·100 = 2,74·102
Esempi:
0,35 = 3,5/10 = 3,5·10-1
4250000 = 4,25·106 (virgola spostata di 6 posizioni verso sinistra)
0,001 = 1/1.000 = 1/103 = 1·10-3 (virgola spostata di 3 posizioni verso destra)
0,000043 = 4,3/100.000 = 4,3·10-5 (virgola spostata di 5 posizioni verso destra)
Per convertire un numero in notazione scientifica si sposta la virgola decimale fino ad ottenere un fattore numerico compreso tra 1 e 10 che moltiplica una potenza di dieci con esponente pari al numero di posizioni di cui si è spostata la virgola. L’esponente è positivo se la virgola decimale è spostata verso sinistra (numero grande), negativo se è spostata verso destra (numero piccolo).
In conclusione:
Potenze di dieci e notazione scientifica
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Conversione di un numero da notazione scientifica a notazione ordinaria
Il prodotto di un numero per una potenza 10n con esponente positivo si ottiene dal numero iniziale spostandone la virgola di n posizioni verso destra
Esempi: 3·10 = 3,0·101 = 30
1,5·102 = 1,5·100 = 150 1,5·104 = 15000
Il prodotto di un numero per un potenza 10-n con esponente negativo, si ottiene invece spostando la virgola del numero iniziale di n posizioni verso sinistra.
Esempi: 3·10-1 = 3/101 = 3/10 =0,3 1,5·10-2 = 1,5/100 = 0,015
1,5·10-4 = 0,00015
Potenze di dieci e notazione scientifica
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Esempi: convertire da notazione numerica scientifica a notazione numerica ordinaria (o viceversa)
=⋅
=⋅
==
−7
4
102,31026,8
97200000321,0
Le proprietà delle potenze permettono di eseguire velocemente operazioni complicate, con risultati esatti
=×
=
=×
×=×
704447987
0016,04,060
300002,00003,000002,0
4
[ ]-3103,21. ⋅R[ ]5109,72. ⋅R[ ]82600.R
[ ]0,00000032.R
[ ]-9106. ⋅R[ ]2,5.R
[ ]8105,6. ⋅≈Ro con risultati approssimati (cioè non lontani dal risultato vero).
[ ]0,2.R
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Sommando (sottraendo) una stessa quantità a entrambi i membri Moltiplicando (dividendo) per una stessa quantità entrambi i membri
Equazione = relazione di uguaglianza tra due membri verificata per particolari valori di una variabile incognita
ax + b = 0 à x = -b/a
à il risultato non cambia
Es 1: 7x43
=+437
43x
43
−=−+43-7x =
425
43-28x ==
Es 2: 7x43
=⋅ 347
34x
43
⋅=⋅⋅ 347x ⋅=
328
347x =⋅
=
Equazioni
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Esempio:
fedcx
ba
+=+⋅ cfedccx
ba
−+=−+⋅
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+=⋅ cfedx
ba
fedcx
ba
+=+⋅
bcfedxa ⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+=⋅
abcf
edx ⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+=
La variabile incognita compare elevata alla prima potenza: x1 = x
Equazioni di 1o grado
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( ) xx +=+ 5523
( )bba +−=+ xx 22
bc=
−a1
)2(3)5(2 +−=− xxx
)2(3)3(2 +−=−− xxx
Esempi: risolvere le equazioni rispetto alle variabili evidenziate
[ ]2. −=xR
[ ]abxR 2. −=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ += cb
aR 1.
[ ]eimpossibil.R
[ ]verificato sempre.R
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Proporzioni Prodotto dei medi = prodotto degli estremi Nulla di magico: sono solo normali equazioni! a:b = c:d à ad = bc
a/b = c/d à a = bc/d c = ad/b b = ad/c d = bc/a
Es 1: Conversione tra unità di misura (Lire ↔ euro): euro 1lire N lire 1936,27 euro X euro 1 :lire 1936,27 euro X :lire N ⋅=⋅⇒=
Es 2: Se un corridore percorre a velocità costante 19,2 m in 2 s, quanto impiega a percorrere 100 m?
s10,4 m 19,2
m100 s 2 Xm100 s 2 m 19,2s X s 2: m 19,2 s X : m100 =⋅
=⇒⋅=⋅⇒=
Es 3: Un corridore percorre una distanza a velocità 5 m/s in 2 s. Quanto tempo impiega a percorrere la medesima distanza se la velocità 10 m/s ?
Per usare una proporzione le due grandezze devono essere tra loro DIRETTAMENTE PROPORZIONALI
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Mediante perfusione intravenosa vengono somministrate 50 gocce al min di soluzione fisiologica (20 gocce = 1mlitro). Dopo 30 min, quanti mlitri di soluzione sono stati somministrati ?
Esempio: risolvere usando le proporzioni
[ ]ml75.R
Soluzione:
Si impostano le seguenti proporzioni
a) 50 gocce : 1 min = x : 30 min da cui x = 1500 gocce
b) 20 gocce : 1 ml = 1500 gocce : x da cui x = 75 ml
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Relazione di uguaglianza tra due membri
tutto ciò che è a 1o membro (numeri + unità di misura) deve essere uguale a tutto ciò che è a 2o membro
a
b
A
Es. Area di un rettangolo: A = ab = (50 cm)*(1 m) = 50 cm*m (da evitare!) = 50 cm * 100 cm = 5000 cm2
= 5000 cm NO! = 0.5 m * 1 m = 0.5 m2
= 0.5 m NO!
a = 50 cm, b = 1 m
Equivalenze tra unità di misura
Equazioni nella Fisica
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Es. Velocità km/h à m/s m/s à km/h 1 km/h = 1000 m / 3600 s 1m/s = 0,001 km / (1/3600) h = 0,28 m/s = 3,6 km/h n km/h = n · 0,28 m/s n m/s = n · 3,6 km/h Velocità di un atleta dei 100 m: 10 m/s = 10 · 3.6 km/h = 36 km/h di un’automobile: 120 km/h = 120 · 0,28 m/s = 33,6 m/s della luce: 300000 km/s = 3 · 108 m/s = 3 · 108 · 3,6 km/h = 1,08 · 109 km/h
Ovviamente il fattore di conversione inverso è l’inverso del fattore di conversione! Es. 0,28 = 1 / 3,6
Equivalenze tra unità di misura Occorre conoscere il fattore di conversione tra le diverse unità di misura
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Multipli e sottomultipli di una unità di misura possono essere espressi usando prefissi:
Prefisso Simbolo Fattore di moltiplicazione
peta P 1015
tera T 1012 giga G 109 mega M 106 kilo k 103 etto h 102 deca da 101
Prefisso Simbolo Fattore di moltiplicazione
deci d 10-1 centi c 10-2 milli m 10-3 micro µ 10-6 nano n 10-9 pico p 10-12 femto f 10-15
1 km = 103 m 1 Mm = 106 m 1 Gm = 109 m
1 dm = 10-1 m 1 cm = 10-2 m 1 mm = 10-3 m
Es: 1 µm = 10-6 m 1 nm = 10-9 m 1 pm = 10-12m
(1 mm = 1/1000 m = 1/103 m = 10-3 m)
Multipli e Sottomultipli
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• 12 in/min in cm/s
• 6,7 litri in m3 (ricordare che 1 litro = 1 dm3)
• 33 kg/m3 in mg/cm3
• 1h 7’ 30’’ in min
Esempi: convertire le seguenti grandezze nelle unità di misura indicate
ss
cm51,0 60cm 54,212
minin12 ==
( ) 336
33
32
3
3 cmmg33
cm10)mg10(1033
cm10g1033
mkg33 =
⋅==
min 67,5 min 6030 min 7 min 60 30 71h ''' =++=
33313 m107,6)m10(7,6dm7,6l7,6 −− ⋅=⋅==
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Percentuale Metodo “comodo” per esprimere variazioni (aumenti o diminuzioni) rispetto a una situazione nota
1 % = 1/100 = 10-2 = 0.01 n % = n/100 = 10-2•n = 0.01•n
Esempi: • 3% di 150 = 3/100 · 150 = 0,03 · 150 = 4,5
• 20% di 10000 = 0,20 · 10000 = 2000
• 20% di 0,003 = 0,20 · 0,003 = 2 · 10-1 · 3 · 10-3 = 6 · 10-4 = 0,0006
• 200% di 1000 = 2 · 1000 = 2000 (raddoppiare ⇒ aumentare del 100% ⇒ passare al 200 %)
“Per mille”: 1 ‰ = 1/1000 = 0.001 = 0.1%
“Parte per milione”: 1 ppm = 1/1000000 = 0.000001 = 0.0001% = 0.001 ‰
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Esempi: • 20% di 1000 grammi = (0.20 · 1000) grammi = 200 grammi
• Aumentare una quantità Q del 5%:
Q ⇒ Q + 5%Q = Q + 0,05 · Q = Q · (1 + 0,05) = 1,05· Q • Diminuire una quantità Q del 5%:
Q ⇒ Q - 5%Q = Q - 0,05 · Q = Q · (1 - 0,05) = 0,95 · Q • Soluzione di una sostanza in acqua al 5% =
in volume: ad es. in 1 litro di soluzione, 950 cm3 d’acqua e 50 cm3 di soluto
in peso: ad es. in 1 kg di soluzione, 950 g d’acqua e 50 g di soluto
Attenzione: la percentuale e’ sempre relativa alla grandezza a cui si riferisce!
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1 m2 = (1 m)2 = (102 cm)2 = 104 cm2 = 10000 cm2
1 m3 = (1 m)3 = (102 cm)3 = 106 cm3 = 1000000 cm3
1 cm2 = (1 cm)2 = (10-2 m)2 = 10-4 m2 = 0.0001 m2
1 cm3 = (1 cm)3 = (10-2 m)3 = 10-6 m3 = 0.000001 m3
1 litro = 1 dm3 = (1 dm)3 = (10-1 m)3 = 10-3 m3
= (101 cm)3 = 103 cm3
cerchio sfera
quadrato cubo
cilindro parallelepipedo
c=2πr r
A=πr2 r S=4πr2 V=(4/3)πr3
P=4l A=l2 S=6l2 V=l3 l l
S S
V = S·l = πr2·l V = S·l l l
Superfici e volumi Il perimetro di una figura si misura sempre in m, cm, … L’area della superficie di un corpo si misura sempre in m2, cm2,… Il volume (o capacità) di un corpo si misura sempre in m3, cm3,…
1 ml = 1 cm3
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Triangoli rettangoli Teorema di Pitagora
222 cba +=a
b
c
22 cab −=Esempio:
a
b
b
2
22 22
ab
baba
=
⋅=
⋅=
Casi particolari
c
b a 30o
60o
ac21
=
22
2
222
43
21 aaa
cab
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−=
=−=
ab23
=
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R
s α
Unità di misura
es: 32° 27' 38" 1° = 60' 1' = 60"
gradi, minuti, secondi
α (rad) = lunghezza arco s
R angolo giro 360° ≡ 2π rad angolo piatto 180° ≡ π rad angolo retto 90° ≡ π/2 rad
Angolo piano α
Esempio: convertire 60o in radianti
Per convertire tra gradi e radianti si può utilizzare la semplice proporzione
x rad : y gradi = π : 180° Sulla calcolatrice: RAD
DEG GRAD
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Funzioni e loro rappresentazione grafica Funzione = relazione univoca tra due grandezze variabili
y=f(x) Definire la funzione y=f(x) significa stabilire come varia la variabile dipendente y al variare della variabile indipendente x.
variabile dipendente variabile indipendente
variabile indipendente X
vari
abile
dip
ende
nte
Y Assi Cartesiani
0
La funzione che lega le due grandezze X ed Y può essere rappresentata graficamente attraverso una curva in un
piano cartesiano
Esempi:
y=x y=2x
ascisse
ordinate
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La relazione tra due grandezze fisiche può essere rappresentata in modo grafico nel piano cartesiano (x,y):
s = v·t
Proporzionalità diretta
O
s (km)
t (h)
ordinate
ascisse
1 2 3
5
10
15
[ ] [ ]ttLL ⋅⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=
t s
1 h
2 h
3 h
5 km
10 km
15 km h
km 5 v =
retta Es.:
s direttamente proporzionale a t
Relazioni tra grandezze fisiche: Proporzionalità lineare diretta
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Proporzionalità inversa
pV = nRT
O V (m3)
Iperbole equilatera
1 2
1
4
3 4
2
3 V
cost p =
p (Pa) p inversamente
proporzionale a V Es.:
con nRT = costante
V p
1 m3
2 m3
3 m3
4 Pa
2 Pa
4/3 Pa
cost = 4
Proporzionalità inversa
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Proporzionalità quadratica
2at21s =
O t (s)
s (m)
parabola
1 2
1/2
2
[ ]22 ttL]L[ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
Es.:
t s
1 s
2 s
0.5 m
2 m a = 1 m/s2
s quadraticamente proporzionale a t
Proporzionalità quadratica diretta
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Esempi di funzioni in Fisica 1o grado
y raddoppia al raddoppiare di x y si dimezza ⇒ proporz.diretta ⇒ proporz.inversa s = v•t v=s/t λ = c•T λ = c/f F = m•a ΔV = R•I
t
s
Retta t 2t
s
2s
t
v
Iperbole t 2t
v
v/2
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y quadruplica al raddoppiare di x y si riduce a ¼ ⇒ proporz.dir. quadr. ⇒ proporz.inv. quadr. s = ½ a t2 Fg = G•m1m2/r2
Ek = ½ m v2 Fe = K•q1q2/r2
t
s
Parabola t 2t
s
4s
r
F
Proporz.inv.quadr
r 2r
F
¼F
Esempi di funzioni in Fisica
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O 1
1
-1
-1
θ cos θ
sen θ
dal teorema di Pitagora: sen2θ+cos2θ=1
θ tgθ cosθsen =
1 θ cos , θ sen 1- ≤≤
y
x
Trigonometria di base
-1
0
1
1/2
0
sen θ
∞ 0 270o = 3π/2
0 1 0o
0 -1 180o = π
∞ 0 90o = π/2
1/2 60o = π/3
1 45o = π/4
30o = π/6
tg θ cos θ θ
2/3
2/2 2/22/3
3/3
3
Per definizione:
B
A
Le funzioni trigonometriche sono funzioni del solo angolo θ: se scegliamo R≠1
BOCOθtan
AOCOθsin
AOBOθcos ===
C
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Trigonometria di base: il triangolo rettangolo
A B
C
θ
AC = CB·sen θ AB = CB·cos θ
θ tg θ cosCBθsen CB
ABAC
=⋅
⋅= AC = AB·tg θ
AC2+AB2=CB2(sen2θ+cos2θ)=CB2
Le principali applicazioni della trigonometria sono:
• descrizione dei fenomeni di tipo periodico (es. oscillazioni ed onde)
• proiezioni parallele e perpendicolari rispetto ad una direzione scelta
… riprendiamo il nostro triangolo rettangolo: si ha
AB è la proiezione di CB nella direzione parallela ad AB
AC è la proiezione di CB nella direzione perpendicolare ad AB
direzione arbitraria
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seno e coseno
ο α
y
90° 180° 270° 360°
+1
–1 π /2 π 3 π /2 2 π 5 π /2 3 π radianti
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ο α 90° 180° 270° 360°
π /2 π 3 π /2 2 π 5 π /2 3 π
+1
–1 radianti
y The image cannot be displayed. Your computer may not have enough memory to open the image, or the image may have been corrupted. Restart your computer, and then open the file again. If the red x still appears, you may have to delete the image and then insert it again.y = cos α
Le funzioni trigonometriche
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Le funzioni trigonometriche
ο α
y
180° 360°
+1
–1
270° 90°
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π/2 π 3π/2 2π -π/2 -π -3π/2 -2π
( )( )
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −
−=−
=−
απ
απ
αα
αα
2sin
2sin
sinsincoscos
rad
ααπ cos2
sin =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
Relazioni trigonometriche
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Tempo (t) = variabile indipendente Alcuni esempi:
• Moti: s=s(t), v=v(t), a=a(t) • Oscillazioni: s(t) = A cos(ωt) • Decadimenti: n(t) = n0 e-λt
Funzioni dipendenti dal tempo Vasta classe di fenomeni della Fisica (e della vita quotidiana)
Le leggi fisiche in cui il tempo appare come variabile indipendente sono dette Leggi Orarie
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direzione modulo verso
punto di applicazione
v →
• si indicano con v (oppure con la lettera v in grassetto)
• sono caratterizzate da 3 dati modulo (v o |v|) direzione verso
Esempio di vettore: spostamento Δs
•modulo Δs = |Δs|= 2,7 m
•direzione : verticale
•verso : dall’alto verso il basso
altri vettori: velocità, accelerazione, ...
Le grandezze che non hanno natura vettoriale sono chiamate grandezze scalari
Esempio: temperatura, pressione, densità,....
Grandezze vettoriali
vettore
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Vettori uguali
Vettori opposti
Nota:
• due vettori possono essere uguali anche se il punto di applicazione è differente;
• il vettore opposto di v è il vettore (-v).
• L’unità di misura di una grandezza vettoriale e l’unità di misura con cui viene espresso il suo modulo.
stesso modulo stessa direzione stesso verso
stesso modulo stessa direzione verso opposto
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regola del parallelogramma (metodo grafico)
a →
b →
s → a
→b →
s →+ =
Due vettori opposti hanno risultante nulla !!
s è anche chiamato vettore risultante di a e b
→
→ →
Somma di due vettori
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regola del parallelogramma (metodo grafico)
a →
b →
d →a
→ b → d
→– =
a →
b → b
→ d →
a →
+ =
d →
d →
-b →
Differenza di due vettori
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v →αv//
v// = v cos αv⊥ = v sen α
v⊥
Un vettore può sempre essere scomposto in una somma di due vettori detti componenti, uno parallela (//) ed uno perpendicolare (⊥)
rispetto ad una qualsiasi direzione e verso stabiliti.
Per chi conosce la trigonometria:
... altrementi: usare (quando possibile) le proprietà dei triangoli
Scomposizione di un vettore
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x
vx = |v| cos αvy = |v| sen α vx
2 + vy2 =
= v2 cos2α + v2 sen2α = = v2 (cos2α+sen2α) = v2
2y
2x v v v v +==
!v →
y
α
vy
vx
Nel piano cartesiano bidimensionale (x,y) un vettore può essere scomposto nelle sue due componenti ortogonali vx e vy
Componenti di un vettore nel piano cartesiano
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v1 →
v2 →
o
y
v1x
v1y
v2x
v2y
v3 →
v3x
v3y α
v3 = v1 + v2
v3x = v1x + v2x v3y = v1y + v2y
23y
23x33 vv v v +==
!
3x
3y
vv
α tg =
Somma di vettori
Differenza di vettori v3 = v1 - v2 v3x = v1x - v2x v3y = v1y - v2y
Somma e differenza in componenti
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Moltiplicazione o divisione di un vettore per uno scalare
Moltiplicare o dividere un vettore per uno scalare equivale a moltiplicare o dividere il modulo del
vettore, lasciando invariata la direzione ed il verso.
Esempio:
v 2·v ½·v
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b
a
θ
b'
a•b = |a||b|cos θ = |a|b'
b' = |b|cos θ : componente di b lungo a
θ = 0o a ⋅ b = ab cos φ = ab → →
b →a
→
θ = 90° a ⋅ b = ab cos θ = 0 → →b
→a →
θ = 180° a ⋅ b = ab cos θ = – ab → →
a → b
→
Es.:
Prodotto scalare di due vettori
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θ
a
b c
b"
c = a ∧ b
Modulo di c : |c| = |a||b|sen θ = |a|b” b’’: componente di b ortogonale ad a
b” Direzione di c: ortogonale ad a e b
Verso di c: verso di avanzamento di una vite che ruota sovrapponendo a su b
θ
a
b b''
Prodotto vettoriale di due vettori
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Vettori: caso unidimensionale
Se tutti i vettori nel problema considerato hanno la stessa direzione, il problema si semplifica notevolmente
(problema unidimensionale)
somma e differenza di vettori
somma algebrica dei corrispondenti moduli
prodotto scalare di due vettori
Prodotto algebrico dei corrispondenti moduli
algebra ordinaria delle grandezze scalari
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= uguale a
approssimativamente uguale a
≈ oppure ~ circa uguale, dell’ordine di grandezza di
≠ diverso da
> (<) maggiore (minore) di
>> (<<) molto maggiore (minore) di
≤ (≥) maggiore (minore) o uguale
∝ direttamente proporzionale a
|x| modulo (o valore assoluto) di x
Δx variazione (aumento) di x (xdopo-xprima)
-Δx diminuzione (o differenza) di x (xprima-xdopo)
~ =
Simbologia Matematica