INTRODUÇÃO AO MÉTODO MULTIGRID
Prof. Diomar Cesar LobãoUFF - Volta Redonda, RJ
Nov. 2006
Método Multigrid
2 / 31Nov 2006
§ Técnica para acelerar a convergência dos métodos iterativos de solução de sistemas de equações algébricas lineares e ou não-lineares.
§ Reduz em ordens de magnitude o tempo de solução de sistemas algébricos.
O que é multigrid?
INTRODUÇÂO
Método Multigrid
3 / 31Nov 2006
§ Métodos de solução dos sistemas algébricos:
• Diretos – Eliminação de Gauss, Fatoração de Crout.
• Iterativos - Jacobi, Gauss-Seidel e Sobre-relaxação.
§§ MMéétodos iterativos são mais geraistodos iterativos são mais gerais
Resolução numérica de sistemas algébricos
INTRODUÇÂO
Método Multigrid
4 / 31Nov 2006
§ Sistema linear:
§ Aproximação para u dada pelo método iterativo: v
§ Erro:
§ Infelizmente, não sabemos nada do comportamento do erro! Usa-se...
bAu =
vue -=
Resolução numérica de sistemas algébricos
INTRODUÇÂO
Método Multigrid
5 / 31Nov 2006
§§ NormaNorma: função real que fornece valor do “comprimentocomprimento” de um vetor ou matriz
§§ Tipos de NormasTipos de Normas mais comuns:
Infinita: Euclidiana:
jNje
££¥ = 1maxe
2/1
1
22
þýü
îíì
= å=
N
jjee
Resolução numérica de sistemas algébricos
INTRODUÇÂO
Comportamento do erro é monitorado por:
¥L 2L
Método Multigrid
6 / 31Nov 2006
§§ ResResííduoduo
§§ ResResííduoduo: mede o quanto a aproximação v não satisfaz o sistema algébrico.
Avbr -=
Resolução numérica de sistemas algébricos
INTRODUÇÂO
Método Multigrid
7 / 31Nov 2006
§ Substituindo-se a expressão no sistema algébrico, obtemos:
§ Chamada de equação do resíduo. Mostra que o erro “e”satisfaz a mesma equação que o sistema algébrico, quando b é substituído por r.
vue -=
rAe =
Resolução numérica de sistemas algébricos
INTRODUÇÂO
Método Multigrid
8 / 31Nov 2006
§ A equação do resíduo é muito importante paramultigridmultigrid!!
§ Uma dica!: se resolvermos a equação do resíduo, podemos encontrar a solução u a partir de
evu +=
Resolução numérica de sistemas algébricos
rAe =
INTRODUÇÃO
Método Multigrid
9 / 31Nov 2006
Revisão
§ Problemas Modelo
§ Método de Relaxação
§ Erro de convergência
§ Malhas(Grids) Múltiplas-Multigrid
§ Desempenho
§ Considerações Teóricas
Método Multigrid
10 / 31Nov 2006
Problema Modelo 1D
§ Equação Diferencial in 1D
§
para 0 £ x £ 1 , a > 0 Fronteira: u(0) = u(1) = 0
§§ DiscretizarDiscretizar o problema contínuo em “n” subintervalossubintervalos“avaliando” nos pontos xj = jDh, com Dh = 1/(n)
§ Malha(Grid) Mh:
u0 u1 u2 u3 u4 u5[ ] ¬ Vetor u (solução)
u
)()()(
2
2
xfxaux
xu=+
¶¶
-
Método Multigrid
11 / 31Nov 2006
Problema Modelo 1D
§ Aproximação de diferença finita de segunda ordem
v0 = vn = 0; com v sendo a solução aproximada de u
§ Escrevendo na forma Matricial
§ Escrevendo na forma compacta: Av = f
§ Obs: os termos para j=0, j=n foram agregados ao lado direitoos termos para j=0, j=n foram agregados ao lado direito
11 com )(²
2 11 -££=+D
-+- +- njxfavh
vvvjj
jjj
úúúú
û
ù
êêêê
ë
é
=
úúúú
û
ù
êêêê
ë
é
=
úúúú
û
ù
êêêê
ë
é
×
úúúú
û
ù
êêêê
ë
é
+-
-+--+
D
--- 1
1
1
1
1
1
)(
)(
²21
1²21
1²2
²1
nnn f
f
xf
xf
v
v
ah
ah
ah
h MM
MM
MM
O
Método Multigrid
12 / 31Nov 2006
Problema Modelo 2D
§ Equação Diferencial Parcial Elíptica 2D
para 0 £ x,y £ 1 , a > 0Fronteira: “Plano = 0”
§ Discreta por uma malha bi-dimensional (com: x(i),i=1,...,m-1,y(i),j=1,...,n-1 nodosnodos interioresinteriores)
Wh
Y(j)
X(i)
u3,2
),(2
2
2
2
yxfauyu
xu
=+¶¶
-¶¶
-
Método Multigrid
13 / 31Nov 2006
Problema Modelo 2D
§ Aproximando em diferenças finitas de segunda ordem
§ Escrevendo na forma Matricial
Bloco) de diagonal-i(Matrix tr
1)-(n1)-(m1)-(n1)-(m é matriz da Dimensão
identidade matriz 1)-(n1)-(n uma é I
1)-(n1)-(n são dimensões as -1D problema do matriz a com parece B²
1
²1
²1
²1
1
1
1
1
×´×Þ´
´
úúúú
û
ù
êêêê
ë
é
=
úúúú
û
ù
êêêê
ë
é
×
úúúúúúú
û
ù
êêêêêêê
ë
é
D-
D-
D-
D-
-- mm f
f
v
v
BIh
Ih
BIh
Ih
B
MM
MM
O
( )( )Tniii
Tniii
fff
vvv
1,1
1,1
-
-
==
LLLL
11 sendo ,0
11 com22
,,0,0,
,,21,,1,
2,1,,1
-££====
-££=+D
-+-+
D
-+- +-+-
mivvvv
njfavh
vvv
h
vvv
jmjnii
jijijijijijijiji
Método Multigrid
14 / 31Nov 2006
Problema Modelo 2D
§ Examplo: Sistema para a=0, n=4, h=1
§ Escrevendo na forma compacta: Av = f (montagem por coluna)
úúúúúúúúúúúú
û
ù
êêêêêêêêêêêê
ë
é
=
úúúúúúúúúúúú
û
ù
êêêêêêêêêêêê
ë
é
×
úúúúúúúúúúúú
û
ù
êêêêêêêêêêêê
ë
é
-----
-----
-------
-----
--
3,3
2,3
1,3
3,2
2,2
1,2
3,1
2,1
1,1
3,3
2,3
1,3
3,2
2,2
1,2
3,1
2,1
1,1
410
141
014
410
141
014
410
141
014
f
f
f
f
f
f
f
f
f
v
v
v
v
v
v
v
v
v
I
I
I
II
II
II
I
I
I
0
B
0
Método Multigrid
15 / 31Nov 2006
Revisão
§ Problemas Modelo
§ Método de Relaxação
§ Erro de convergência
§ Malhas(Grids) Múltiplas-Multigrid
§ Desempenho
§ Considerações Teóricas
Método Multigrid
16 / 31Nov 2006
§ E.D.P. modelo:
§ 1 dimensão
§ Discretização pelo método de diferenças finitas, fórmula dos 3 pontos, segunda ordem.
îíì
¶==Ñ
Ru
Ru
em 0
em 02
Solução numérica de EDPs
Revisão
Método Multigrid
17 / 31Nov 2006
§ Malha computacional com N=64 nodos.
§ Equações:
0 : Contorno de Condição
11 ,02
0
11
==
-££=-+- +-
N
jjj
uu
Njuuu
Malha computacional
Revisão
Método Multigrid
18 / 31Nov 2006
§ Pode ser escrito como: , onde:bAu =
úúúú
û
ù
êêêê
ë
é
-
---
=
21
121
12
OA
úúúúúú
û
ù
êêêêêê
ë
é
=
-
-
1
2
2
1
N
N
u
u
u
u
Mu
úúúúúú
û
ù
êêêêêê
ë
é
=
Nu
u
0
00
Mb
Sistema linear
Revisão
Método Multigrid
19 / 31Nov 2006
§ Funções seno (ou modos de Fourier)
§ indica a j-ésima componente do vetor v(0).
§ k é o número de onda.
§ vk é o vetor com número de onda k.
11
0 , sen)0(
-££££
÷øö
çèæ p=
Nk
Nj
Njk
v j
)0(jv
Aproximação inicial da solução
Revisão
Método Multigrid
20 / 31Nov 2006
§ Indica quantas meiameia--sensenóóidesides existem no domínio.
§ Se , os modos de Fourier são denominados suaves.
§ Se , os modos de Fourier são denominados de oscilatórios.
2/1 Nk <£
12/ -££ NkN
Número de onda k
Revisão
Método Multigrid
21 / 31Nov 2006
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
0 20 40 60 80
vk
k=1
k=2
k=6
Gráfico da aproximação inicial da solução
Revisão
Método Multigrid
22 / 31Nov 2006
§§ GaussGauss--SeidelSeidel
§§ JacobiJacobi com Relaxacom Relaxaççãoão
§ Fator de relaxação:
§ Aproximação inicial: v1, v2 e v6.
§§ Norma infinitaNorma infinita após 100 iterações:
2
)(1
)1(1)1(
kj
kjk
j
uuu +
+-+ +
=
÷÷ø
öççè
æ ++-= +-+
2)1(
)(1
)(1)()1(
kj
kjk
jkj
uuuu ww
10 £w<
Solução do sistema algébrico
jNje
££¥ = 1maxe
Revisão
Método Multigrid
23 / 31Nov 2006
¥e
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 20 40 60 80 100
No. de iterações
k=1
k=2
k=6
Jacobi com fator de relaxação: w = 2/3
Revisão
Método Multigrid
24 / 31Nov 2006
¥e
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 20 40 60 80 100
No. de iterações
k=1
k=2
k=6
Gauss-Seidel
Revisão
Método Multigrid
25 / 31Nov 2006
¥e
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 20 40 60 80 100
No. de iterações
k=1
k=2
k=6
k=1, GS
k=2, GS
k=6, GS
Gauss-Seidel e Jacobi comparados
Revisão
Método Multigrid
26 / 31Nov 2006
§ Que os métodos JacobiJacobi e GaussGauss--SeidelSeidel (e métodos iterativos em geral):
eliminam com eficiência apenas as componentes de eliminam com eficiência apenas as componentes de alta freqalta freqüüência do erroência do erro
§ Que as componentes de baixa freqbaixa freqüüênciaência são eliminadas lentamentelentamente.
É importante notar...
Revisão
Método Multigrid
27 / 31Nov 2006
§ Problemas Modelo
§ Métodos de Relaxação
§ Erro de convergência
§ Malhas (Grids) Múltiplas-Multigrid
§ Desempenho
§ Considerações Teóricas
Método Multigrid
28 / 31Nov 2006
Erro de convergência
§ Problema Simplificado : Au = 0Þ v deve convergir para 0, implica que ® e = u
§ Em qual maneira JacobiJacobi RelaxadoRelaxado decresce o error?Þ Análise dos auto-vetores da matriz de iteração
§ Auto-vetores wk das matrizes A e Rj (n - número de nodos)
• Vetor wk é também a késimo modo demodo de FourierFourier
§ Auto-valores lk da matriz Rj (geralmente: Rjwk = lkwk)
• Para: lkwk < 1 Þ | lk| < 1, iteraiteraçção convergeão converge
njnknjk
sinw jk ££-££÷øö
çèæ= 0 ,11 com,,
p
11 com,2
21)( 2 -££÷øö
çèæ-= nk
nk
sinRk
pwl w
Método Multigrid
29 / 31Nov 2006
Erro de convergência
§ Auto-valores
§ Suave, baixa-freqüência modos de Fourier : 1 < k < ½n
• |lk| é próximo de 1 Þ amortecimento insatisfatamortecimento insatisfatóóriorio§ Oscilatório, alta-freqüência modos de Fourier:
½n < k < n-1
• Para l, |lk| próximo de 0 Þ bom amortecimentobom amortecimento
11 com,2
21)( 2 -££÷øö
çèæ-= nk
nk
sinRk
pwl w
0 2 4 6 8-1
-0.5
0
0.5
1
0 2 4 6 8-1
-0.5
0
0.5
1
kl kl
j j
Método Multigrid
30 / 31Nov 2006
Erro de convergência
§ Diagrama de amortecimento do mméétodo detodo de JacobiJacobi com com RelaxaRelaxaççãoão
§§ Modos OscilatModos Oscilatóório do errorio do erro são muito bem amortecido (Associados às malhas finas).
§§ Modos SuaveModos Suave são difíceis de amortecer (Associados às malhas grossas).
11 com,2
21)( 2 -££÷øö
çèæ-= nk
nk
sinRk
pwl w
Método Multigrid
31 / 31Nov 2006
Revisão
§ Problemas Modelo
§ Método de Relaxação
§ Erro de convergência
§ Malhas (Grids) Múltiplas - Multigrid
§ Desempenho
§ Considerações Teóricas
Método Multigrid
32 / 31Nov 2006
Malhas Múltiplas
§§ IdIdééia fundamental do mia fundamental do méétodotodo multigridmultigrid
• Faz modos suave parecer oscilatório!
• Modo suave em Mh parece oscilatório na malha Mnh
0 2 4 6 8 10 12-1
-0.5
0
0.5
1
0 1 2 3-1
-0.5
0
0.5
1
Mh M4h
kl
jj
kl
Método Multigrid
33 / 31Nov 2006
Malhas Múltiplas
§ Transferência da malha grossa p/ fina: ProlongamentoProlongamento
• M2h Mh .
• Método usado: InterpolaInterpolaççãoão Linear,Linear, é efetiva
njvvv
vvh
jh
jhj
hj
hj
£<+=
=
++ 1),( 21
221
12
22
h
hh
hhh
v
v
v
v
v
v
I vv =úúú
û
ù
êêê
ë
é=
úúú
û
ù
êêê
ë
é
úúú
û
ù
êêê
ë
é=
3
2
1
23
2
12
2
110
110
011
21
hhI 2
hhI 2
Fronteira:®
Interior: ®
Método Multigrid
34 / 31Nov 2006
Malhas Múltiplas
Fina: hFina: h
Grossa:2h
h h h h
2h 2h
Prolongamento (InterpolaProlongamento (Interpolaçção)ão)RestriRestriççãoão
1 2 43 5
13 5
hhh
h MIM 22hh
hh MIM 22
Método Multigrid
35 / 31Nov 2006
Malhas Múltiplas
§ Transferência de malha fina grossa: RestriRestriççãoão
• Mh M2h.
• Método simples: Injeção(Injection)
• Melhor: “Full weighting”
•• Operador de RestriOperador de Restriççãoão:
• Operação de Transferência: Mh M2h , é suficiente
njvvvv hj
hj
hj
hj ££++= +- 1),2( 122124
12
hh
h
h
h
h
hh
v
v
v
v
v
I
úúúúúú
û
ù
êêêêêê
ë
é
úúú
û
ù
êêê
ë
é=
5
4
3
2
1
2 ;
12100
01210
00121
41 hh
hh I vv 22 =
hhI2
hhI2
hhI2
Método Multigrid
36 / 31Nov 2006
Malhas Múltiplas
§§ ErrosErros: modos oscilatmodos oscilatóóriosrios em Mh serão representados como modos suavemodos suave sobre M2h
§§ Simples esquema de correSimples esquema de correçção para ão para ““duasduas--malhasmalhas””§ Na malha Mh, relaxar w1 vezes Ahvh = 0, usando v(0)h
- Restringir o resíduo rh da malha fina para a malha grossa
- Na malha M2h, relaxar w2 vezes A2he2h = r2h usando e(0)h = 0
-- Prolongar (Interpolar)Prolongar (Interpolar) o erro da malha grossa M2h para malha fina Mh
• Corrigir a malha-fina: vh ¬ vh + eh
• Na malha Mh, relaxar w1 vezes Ahvh = 0 usando vh
Método Multigrid
37 / 31Nov 2006
Malhas Múltiplas
§ Estratégias MultigridMultigrid
•• IteraIteraçção aninhadaão aninhada: Use malha grossa p/ gear valor inicial melhorado
•• CorreCorreçção Malha Grossaão Malha Grossa: Aproxima erro relaxando sobre a equação do resíduo na malha grossa
V-ciclo W-ciclo Esquema FMG
Método Multigrid
38 / 31Nov 2006
Malhas Múltiplas
§ Esquema V-Ciclo (Correção Malha Grossa)
• V-Ciclo(vh, fh)- Relaxar w1 vezes em Ahvh = 0 com condição inicial vh
- If (malha atual = malha grossa) goto último ponto- Else: f2h = Restrict(fh – Ahvh)- v2h = 0- Call v2h = V-Ciclo(v2h, f2h)
- Corrigir: vh += Interpolate(v2h)- Relaxar w2 vezes em Ahvh = 0 com condição inicial vh
Método Multigrid
39 / 31Nov 2006
Problema Modelo 2D
Gauss-Seidel para equação de Laplace: Definição do operador ““LL””
21,,1,
2,1,,1
,
22
y
uuu
x
uuuLu jijijijijiji
ji D
+-+
D
+-= -+-+
Definimos o resíduo (erro) como:jiji LuR ,, =
Este resíduo tende a zero na Convergência:
0lim ,, ==¥® jijiiter LuR
Método Multigrid
40 / 31Nov 2006
Problema Modelo 2D
Termo de correção escrito na forma do “ Delta Form “
numérica Solução
Exata Solução sendo ,
,
,,,,
=
=-=Dnji
jinjijiji
u
uuuu
Aplicando o operador “L” no termo de correção, malha regular, obtemos:
njijiji LuLuuL ,,, -=D
0
[ ]2,1,1,,1,1,
2,1,1,,1,,1
,,
41
4
xRuuuuu
xRuuuuu
RuL
jijijijijiji
jijijijijiji
jiji
D+D+D+D+D=D
D-=D+D+D+D-D
-=D
-++-
-++-
Malha regular
Método Multigrid
41 / 31Nov 2006
Problema Modelo 2D
• Se depois de calcular R mante-lo fixo, é possível calcular Delta u que seráadicionado as condições iniciais no processo de obter a solução convergida.
•Pode também atualizar R depois de cada iteração, e então a medida que o processo converge, Delta u irá convergir para zero.
•Esta última equação é a chave mestra do método Multigrid, desde que ela éusada na malha grossa.
•Uma vez achado Delta u, então calcula-se a solução, como:
jinjiji uuu ,,, D+=
jiji RuL ,, -=D
Método Multigrid
42 / 31Nov 2006
Problema Modelo 2D
Método Multigrid
43 / 31Nov 2006
Problema Modelo 2D
Malha 1
Malha 2Malha 3
Método Multigrid
44 / 31Nov 2006
Problema Modelo 2D
Passos de ImplementaPassos de Implementaçção para 2 malhas:ão para 2 malhas:
1. Faça algumas iterações na malha #1 usando Gauss-Seidel
2. Calcule o resíduo R em cada ponto (i,j) sobre a malha #1 e então onde a malha #2 e malha #1 coincidem, copie o resíduo para a malha #2 (Restrição), caso contrário use FW
3. Sobre a malha #2, resolva a equação de correção:
4. Copie a correção (Delta u) na malha #1 (Malha fina), nos pontos que situam entre a malha #2 (grossa), utilize Prolongamento (Interpolação). Simples média é suficiente
5. Repete
jiji RuL ,, -=D
Método Multigrid
45 / 31Nov 2006
Problema Modelo 2D
Malha 1
Malha 2
Faça algumas iterações sobre Lu=0 e calcule R
Copie R da malha #1 para a malha #2 (grossa)
Resolva L(Delta u)=-R
Copie (Delta u)sobre a malha #1
Interpole sobre a malha #1 (fina)
Repita até obter solução convergida
Método Multigrid
46 / 31Nov 2006
Equação Não-Linear: 02
22
=¶¶
+¶¶
uxx
u
Aplicando diferença finita centrada de segunda ordem na derivas contínuas, obtém-se:
02
2 211
21
21 =
D+-
+D- -+-+
xuuu
xuu iiiii
•Produz um sistema não-linear de equações algébricas...
•Para obter um sistema algébrico linear da E.D.P. acima fazemos uso da “Forma Delta” da seguinte maneira:
Problema Não-Linear
Método Multigrid
47 / 31Nov 2006
Problema Não-Linear
ini
ni
ni
nii
uuu
uuu
D+=
-=D+
+
1
1 :escrever podemos então ,
Substituindo esta relação na equação de diferença finita anterior, obtém-se:
0)()(2)(
2)()(
21111
211
211
=D
D++D+-D+
+D
D+-D+
--++
--++
xuuuuuu
xuuuu
inii
nii
ni
inii
ni
Método Multigrid
48 / 31Nov 2006
Problema Não-Linear
Esta equação pode ainda ser re-escrita como:
02
2)()(
2)()(
22
22
211
21
21
21
21
2111111
=úû
ùêë
éD
+-+
D-
-
=D
D-D
+D
D+D-D+
DD-D
-+-+
-+
-+--++
xuuu
xuu
xuu
xuuu
xuuuu
ni
ni
ni
ni
ni
ii
iiiinii
ni
Assumir negligenciável
Método Multigrid
49 / 31Nov 2006
Problema Não-Linear
Finalmente,
úû
ùêë
éD
+-+
D-
-
=D
D+D-D+
DD-D
-+-+
-+--++
211
21
21
2111111
22
)()(
22
22
xuuu
xuu
xuuu
xuuuu
ni
ni
ni
ni
ni
iiiinii
ni
nii
ni RHSuuA =D).(Em forma linear matricial compacta:
Esta forma é muito usada em CFD e é chamada de “Full Approximation Storage Multigrid Method”. É necessário armazenar, Delta u, u, resíduo RHS e LHS em cada nível de iteração para cada nível de malha.
)( ni
ni uALHS = Então:
ni
ni
ni RHSuLHS =D.
Método Multigrid
50 / 31Nov 2006
Revisão
§ Problemas Modelo
§ Método de Relaxação
§ Erro de convergência
§ Malhas (Grids) Múltiplas - Multigrid
§ Desempenho
§ Considerações Teóricas
Método Multigrid
51 / 31Nov 2006
Desempenho
§ Requerimentos de armazenamento
• Vetores v e f para n = 16 com valores de fronteira(n=0, n=16)
• Para d = 1, requerimento de memória é menor que o dobro do problema de malha fina sozinho
Mh M2h M4h M8h
17 9 5 3
v
Mh M2h M4h M8h
17 9 5 3
f
problema do Dimensão :d ,21
2com
nriaEspaçoMemo
d
d
--<
Obs: EM=64 < 2x(17+17)=68
Método Multigrid
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Desempenho
§§ Custo ComputacionalCusto Computacional• 1 unidade de trabalho (UT): uma varredura de
relaxação sobre Mh
• O(UT) = O(N), com N: Número Total de pontos de malhas
• Transferência entre malha é negligenciada• Uma varredura de relaxação por nível (wi = 1)
• Problema 1D : Simples V-Ciclo custa ~4UT,Completo FMG ciclo ~8UT.
UTCusto
UTCusto
d
d
2CicloFMG
Ciclo-V
)21(2
212
-
-
-<
-<
Método Multigrid
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Desempenho
§§ Ferramentas de DiagnosticoFerramentas de Diagnostico
• Ajuda a “debugar” seu código
• Plano Metódico para testar módulos
• Iniciar Simples com pequenos problemas!
• Expor Problema – dificuldades podem estar escondidas
• Propriedade de Ponto Fixo – relaxação pode não mudar a solução (ProblemasProblemas stiffstiff)
• Problema Homogêneo: norma do erro e resíduo devem decrescer para zero
Método Multigrid
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Revisão
§ Problemas Modelo
§ Método de Relaxação
§ Erro de convergência
§ Malhas (Grid) Múltiplas- Multigrid
§ Desempenho
§ Considerações Teóricas
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Teoria
§ O Impacto da transferência Intermalha e o método iterativo pode ser expressado e provado de maneira formal (ananáálise de complexidade de algoritmolise de complexidade de algoritmo).
§ Quadro Espectral do método multigrid
• Relaxação amortece modos oscilatmodos oscilatóóriosrios
• Interpolação & Restrição amortece modos suaveamortece modos suave
§ Quadro Algébrico do método multigrid
• Decompõe o espaço do erro: Mh = L Å H • L é similar a P, e H é similar a R
)( 22
hhh AIPP = )( 2 hh
h AIRR =
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Teoria
§ Operações de método de multigridmultigrid, visualizada
• Plano representando: Mh
• Erro eh é sucessivamente projetado sobre um dos eixos- Relaxação sobre a malha fina (1)- Correção Duas-Malhas (2)
- Novamente, relaxação sobre a malha fina (3)
P
R
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Bibliografia
1. A. Brandt. "Multi-level adaptive solutions to boundary-value problems." Math. Comp., 31, 333-390, (1977)
2. W. L.Briggs et al. A Multigrid Tutorial, Second Edition. SIAM. 2000
3. T. L. Beck Rev. Mod. Phys. 72 1041. 2000.
4. Anderson, Tannehill, & Pletcher, 1984.
5. W. Hackbusch and U. Trottenberg. Lecture Notes in Mathematics , 960, (Multigrid Methods), (1982)
6. A. Brandt. "Guide to multigrid development.", ibid., 220-312, (1982)
7. W. Hackbusch. "Multi-grid convergence theory.", ibid., 177-219, (1982)
8. S. F. McCormick. Frontiers in Applied Mathematics , 3, (Multigrid Methods), (1987)
9. P. Wesseling. An Introduction to Multigrid Methods , (1992)
10.U. Rude. "Fully adaptive multigrid methods." SIAM J.Numer. Anal. , 30, 230-248, (1993)
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Fim da Apresentação
§ Pense nisso...?