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Introduccion a los AlgoritmosCalculo Proposicional
Pedro Sanchez Terraf
CIEM-FaMAF — Universidad Nacional de Cordoba
FaMAFUNC
26 de abril de 2017
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Contenido
1 Validez y SatisfactibilidadTablas de Verdad
2 Repaso de demostraciones
3 Demostraciones con expresiones booleanasVariantes en demostraciones con booleanos
Asociatividad de ≡Conmutatividad de ≡
Axiomas y TeoremasReglas para demostrar teoremas
4 Tarea.
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Expressiones Booleanas Validas y Satisfactibles
Una expresion de tipo Bool puede ser:
1 valida si es True para todos los valores de sus variables (puedodemostrar que es equivalente a True);
P. ej.: 2∗ x = x+ x.
2 satisfactible si hay al menos un valor de las variables que las hace True(hay un ejemplo);
P. ej.: x < 5.
3 no valida si es False para algun valor de sus variables; (hay uncontraejemplo);
P. ej.: 2∗ x = 0.
4 no satisfactible si es False para todos los valores de sus variables(puedo demostrar que es equivalente a False);
P. ej.: x+1 = x.
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Expressiones Booleanas Validas y Satisfactibles
Una expresion de tipo Bool puede ser:
1 valida si es True para todos los valores de sus variables (puedodemostrar que es equivalente a True);
P. ej.: 2∗ x = x+ x.
2 satisfactible si hay al menos un valor de las variables que las hace True(hay un ejemplo);
P. ej.: x < 5.
3 no valida si es False para algun valor de sus variables; (hay uncontraejemplo);
P. ej.: 2∗ x = 0.
4 no satisfactible si es False para todos los valores de sus variables(puedo demostrar que es equivalente a False);
P. ej.: x+1 = x.
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Expressiones Booleanas Validas y Satisfactibles
Una expresion de tipo Bool puede ser:
1 valida si es True para todos los valores de sus variables (puedodemostrar que es equivalente a True); P. ej.: 2∗ x = x+ x.
2 satisfactible si hay al menos un valor de las variables que las hace True(hay un ejemplo);
P. ej.: x < 5.
3 no valida si es False para algun valor de sus variables; (hay uncontraejemplo);
P. ej.: 2∗ x = 0.
4 no satisfactible si es False para todos los valores de sus variables(puedo demostrar que es equivalente a False);
P. ej.: x+1 = x.
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Expressiones Booleanas Validas y Satisfactibles
Una expresion de tipo Bool puede ser:
1 valida si es True para todos los valores de sus variables (puedodemostrar que es equivalente a True); P. ej.: 2∗ x = x+ x.
2 satisfactible si hay al menos un valor de las variables que las hace True(hay un ejemplo);
P. ej.: x < 5.
3 no valida si es False para algun valor de sus variables; (hay uncontraejemplo);
P. ej.: 2∗ x = 0.
4 no satisfactible si es False para todos los valores de sus variables(puedo demostrar que es equivalente a False);
P. ej.: x+1 = x.
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Expressiones Booleanas Validas y Satisfactibles
Una expresion de tipo Bool puede ser:
1 valida si es True para todos los valores de sus variables (puedodemostrar que es equivalente a True); P. ej.: 2∗ x = x+ x.
2 satisfactible si hay al menos un valor de las variables que las hace True(hay un ejemplo); P. ej.: x < 5.
3 no valida si es False para algun valor de sus variables; (hay uncontraejemplo);
P. ej.: 2∗ x = 0.
4 no satisfactible si es False para todos los valores de sus variables(puedo demostrar que es equivalente a False);
P. ej.: x+1 = x.
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Expressiones Booleanas Validas y Satisfactibles
Una expresion de tipo Bool puede ser:
1 valida si es True para todos los valores de sus variables (puedodemostrar que es equivalente a True); P. ej.: 2∗ x = x+ x.
2 satisfactible si hay al menos un valor de las variables que las hace True(hay un ejemplo); P. ej.: x < 5.
3 no valida si es False para algun valor de sus variables; (hay uncontraejemplo);
P. ej.: 2∗ x = 0.
4 no satisfactible si es False para todos los valores de sus variables(puedo demostrar que es equivalente a False);
P. ej.: x+1 = x.
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Expressiones Booleanas Validas y Satisfactibles
Una expresion de tipo Bool puede ser:
1 valida si es True para todos los valores de sus variables (puedodemostrar que es equivalente a True); P. ej.: 2∗ x = x+ x.
2 satisfactible si hay al menos un valor de las variables que las hace True(hay un ejemplo); P. ej.: x < 5.
3 no valida si es False para algun valor de sus variables; (hay uncontraejemplo); P. ej.: 2∗ x = 0.
4 no satisfactible si es False para todos los valores de sus variables(puedo demostrar que es equivalente a False);
P. ej.: x+1 = x.
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Expressiones Booleanas Validas y Satisfactibles
Una expresion de tipo Bool puede ser:
1 valida si es True para todos los valores de sus variables (puedodemostrar que es equivalente a True); P. ej.: 2∗ x = x+ x.
2 satisfactible si hay al menos un valor de las variables que las hace True(hay un ejemplo); P. ej.: x < 5.
3 no valida si es False para algun valor de sus variables; (hay uncontraejemplo); P. ej.: 2∗ x = 0.
4 no satisfactible si es False para todos los valores de sus variables(puedo demostrar que es equivalente a False);
P. ej.: x+1 = x.
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Expressiones Booleanas Validas y Satisfactibles
Una expresion de tipo Bool puede ser:
1 valida si es True para todos los valores de sus variables (puedodemostrar que es equivalente a True); P. ej.: 2∗ x = x+ x.
2 satisfactible si hay al menos un valor de las variables que las hace True(hay un ejemplo); P. ej.: x < 5.
3 no valida si es False para algun valor de sus variables; (hay uncontraejemplo); P. ej.: 2∗ x = 0.
4 no satisfactible si es False para todos los valores de sus variables(puedo demostrar que es equivalente a False); P. ej.: x+1 = x.
P. Sanchez Terraf (CIEM-FaMAF — UNC) Calculo Proposicional IntroAlg, 26/04/2017 3 / 15
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Tablas de Verdad
Temporariamente, vamos a utilizar tablas de verdad para decidirsatisfactibilidad y validez de formulas proposicionales. Luego usaremosdemostraciones.
p q p∨q p∨q≡ qTrue True True TrueTrue False True FalseFalse True True TrueFalse False False True
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Tablas de Verdad
Temporariamente, vamos a utilizar tablas de verdad para decidirsatisfactibilidad y validez de formulas proposicionales. Luego usaremosdemostraciones.
p q p∨q p∨q≡ qTrue True True TrueTrue False True FalseFalse True True TrueFalse False False True
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Repaso
5∗ (x+3) = 20≡ { Conmutativa + }
5∗ (3+ x) = 20
Justificacion
Conmutativa de +:
a+b = b+a
Sustituyo a por xSustituyo b por 3para obtener
x+3 = 3+ x.
Debo justificar usando propiedades validas o definiciones.
P. Sanchez Terraf (CIEM-FaMAF — UNC) Calculo Proposicional IntroAlg, 26/04/2017 5 / 15
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Repaso
5∗ (x+3) = 20≡ { Conmutativa + }
5∗ (3+ x) = 20
Justificacion
Conmutativa de +:
a+b = b+a
Sustituyo a por xSustituyo b por 3para obtener
x+3 = 3+ x.
Debo justificar usando propiedades validas o definiciones.
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Repaso
5∗ (x+3) = 20≡ { Conmutativa + }
5∗ (3+ x) = 20
Justificacion
Conmutativa de +:
a+b = b+a
Sustituyo a por xSustituyo b por 3para obtener
x+3 = 3+ x.
Debo justificar usando propiedades validas o definiciones.
P. Sanchez Terraf (CIEM-FaMAF — UNC) Calculo Proposicional IntroAlg, 26/04/2017 5 / 15
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Calculo Proposicional (I)
Justificaremos ahora usando expresiones booleanas validas. Un ejemplo es laConmutatividad de ≡.
r ≡ p∧q≡ r≡ { Conmutatividad ≡ }
p∧q≡ r ≡ r
Justificacion
Conmutatividad de ≡:
(P≡ Q)≡ (Q≡ P)
Sustituyo P por rSustituyo Q por p∧q; obtengo
(r ≡ p∧q)≡ (p∧q≡ r).
P. Sanchez Terraf (CIEM-FaMAF — UNC) Calculo Proposicional IntroAlg, 26/04/2017 6 / 15
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Calculo Proposicional (I)
Justificaremos ahora usando expresiones booleanas validas. Un ejemplo es laConmutatividad de ≡.
r ≡ p∧q≡ r≡ { Conmutatividad ≡ }
p∧q≡ r ≡ r
Justificacion
Conmutatividad de ≡:
(P≡ Q)≡ (Q≡ P)
Sustituyo P por rSustituyo Q por p∧q; obtengo
(r ≡ p∧q)≡ (p∧q≡ r).
P. Sanchez Terraf (CIEM-FaMAF — UNC) Calculo Proposicional IntroAlg, 26/04/2017 6 / 15
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Calculo Proposicional (II)
Otra expresion booleana valida es la Definicion⇒.
q≡ r⇒ q≡ r≡ { Definicion⇒ }
q≡ r∨q≡ q≡ r
Justificacion
Definicion⇒:
(P⇒ Q)≡ (P∨Q≡ Q)
Sustituyo P por rSustituyo Q por q; obtengo
(r⇒ q)≡ (r∨q≡ q).
P. Sanchez Terraf (CIEM-FaMAF — UNC) Calculo Proposicional IntroAlg, 26/04/2017 7 / 15
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Calculo Proposicional (II)
Otra expresion booleana valida es la Definicion⇒.
q≡ r⇒ q≡ r≡ { Definicion⇒ }
q≡ r∨q≡ q≡ r
Justificacion
Definicion⇒:
(P⇒ Q)≡ (P∨Q≡ Q)
Sustituyo P por rSustituyo Q por q; obtengo
(r⇒ q)≡ (r∨q≡ q).
P. Sanchez Terraf (CIEM-FaMAF — UNC) Calculo Proposicional IntroAlg, 26/04/2017 7 / 15
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Asociando y Conmutando con ≡Hasta ahora todo es igual. Pero las demostraciones con formulasproposicionales (las expresiones booleanas hechas con ≡, ∧, ∨,. . . yvariables de tipo Bool) permiten mucha mas flexibilidad.
Asociando con ≡Puedo agrupar las expresiones separadas por ≡ de la manera que quiera,poniendo parentesis.
EjemploPara la Conmutatividad de ≡, tenemos
(P≡ Q)≡ (Q≡ P)
P≡ (Q≡ Q≡ P)
(P≡ Q≡ Q)≡ P
. . .
P. Sanchez Terraf (CIEM-FaMAF — UNC) Calculo Proposicional IntroAlg, 26/04/2017 8 / 15
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Asociando y Conmutando con ≡Hasta ahora todo es igual. Pero las demostraciones con formulasproposicionales (las expresiones booleanas hechas con ≡, ∧, ∨,. . . yvariables de tipo Bool) permiten mucha mas flexibilidad.
Asociando con ≡Puedo agrupar las expresiones separadas por ≡ de la manera que quiera,poniendo parentesis.
EjemploPara la Conmutatividad de ≡, tenemos
(P≡ Q)≡ (Q≡ P)
P≡ (Q≡ Q≡ P)
(P≡ Q≡ Q)≡ P
. . .
P. Sanchez Terraf (CIEM-FaMAF — UNC) Calculo Proposicional IntroAlg, 26/04/2017 8 / 15
![Page 23: Introduccion a los Algoritmos´ Calculo Proposicional´pedro/introalg/calculo_proposicional_2017.pdfCalculo Proposicional´ ... P. S´anchez Terraf (CIEM-FaMAF — UNC) C´alculo Proposicional](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022040205/5f3799e252a6cb50a534b4b6/html5/thumbnails/23.jpg)
Asociando y Conmutando con ≡Hasta ahora todo es igual. Pero las demostraciones con formulasproposicionales (las expresiones booleanas hechas con ≡, ∧, ∨,. . . yvariables de tipo Bool) permiten mucha mas flexibilidad.
Conmutando con ≡Puedo ordenar las expresiones separadas por ≡ de la manera que quiera (yluego agrupar a placer).
EjemploPara la Definicion de⇒, tenemos
P⇒ Q≡ P∨Q≡ Q
P∨Q≡ P⇒ Q≡ Q
Q≡ P⇒ Q≡ P∨Q
. . .
P. Sanchez Terraf (CIEM-FaMAF — UNC) Calculo Proposicional IntroAlg, 26/04/2017 9 / 15
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Calculo Proposicional (III): Reagrupando con Asociatividad
r ≡ p∧q≡ r≡ { Conmutatividad ≡ }
p∧q≡ r ≡ r≡ { Conmutatividad ≡ }
p∧q
Justificacion
Conmutatividad de ≡:
(P≡ Q)≡ (Q≡ P)
Sustituyo P por rSustituyo Q por p∧q; obtengo
(r ≡ p∧q)≡ (p∧q≡ r).
P. Sanchez Terraf (CIEM-FaMAF — UNC) Calculo Proposicional IntroAlg, 26/04/2017 10 / 15
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Calculo Proposicional (III): Reagrupando con Asociatividad
r ≡ p∧q≡ r≡ { Conmutatividad ≡ }
p∧q≡ r ≡ r≡ { Conmutatividad ≡ }
p∧q
Justificacion
Conmutatividad de ≡:
(P≡ Q≡ Q)≡ P
Sustituyo P por p∧qSustituyo Q por r ; obtengo
(p∧q≡ r ≡ r)≡ (p∧q).
P. Sanchez Terraf (CIEM-FaMAF — UNC) Calculo Proposicional IntroAlg, 26/04/2017 10 / 15
![Page 26: Introduccion a los Algoritmos´ Calculo Proposicional´pedro/introalg/calculo_proposicional_2017.pdfCalculo Proposicional´ ... P. S´anchez Terraf (CIEM-FaMAF — UNC) C´alculo Proposicional](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022040205/5f3799e252a6cb50a534b4b6/html5/thumbnails/26.jpg)
Calculo Proposicional (IV): Reordenando con Conmutativa
q≡ r⇒ q≡ r≡ { Definicion⇒ }
r∨q≡ r
Justificacion
Definicion⇒:
(P⇒ Q)≡ (P∨Q≡ Q)
Sustituyo P por rSustituyo Q por q; obtengo
q≡ r⇒ q≡ r∨q.
P. Sanchez Terraf (CIEM-FaMAF — UNC) Calculo Proposicional IntroAlg, 26/04/2017 11 / 15
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Calculo Proposicional (IV): Reordenando con Conmutativa
q≡ r⇒ q≡ r≡ { Definicion⇒ }
r∨q≡ r
Justificacion
Definicion⇒:
P⇒ Q≡ P∨Q≡ Q
Sustituyo P por rSustituyo Q por q; obtengo
q≡ r⇒ q≡ r∨q.
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Calculo Proposicional (IV): Reordenando con Conmutativa
q≡ r⇒ q≡ r≡ { Definicion⇒ }
r∨q≡ r
Justificacion
Definicion⇒:
Q≡ P⇒ Q≡ P∨Q
Sustituyo P por rSustituyo Q por q; obtengo
q≡ r⇒ q≡ r∨q.
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Calculo Proposicional (IV): Reordenando con Conmutativa
q≡ r⇒ q≡ r≡ { Definicion⇒ }
r∨q≡ r
Justificacion
Definicion⇒:
Q≡ P⇒ Q≡ P∨Q
Sustituyo P por rSustituyo Q por q; obtengo
q≡ r⇒ q≡ r∨q.
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Axiomas y Teoremas
Fijaremos un conjunto de formulas proposicionales validas y justificaremosnuestras pruebas usando al principio solo ellas.Los axiomas que usaremos estan en la Lista Completa (“Digesto”) en mi web.Definimos intuitivamente (de manera “recursiva”) la nocion de teorema.
Definicion
Un teorema es:
1 un axioma; o sino
2 una formula proposicional equivalente a un axioma o a un teorema yademostrado.
Una version mucho mas detallada y formal de esta definicion la puedenencontrar en el libro “Calculo de Programas”, Capıtulo 3, pp.15-27.
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Axiomas y Teoremas
Fijaremos un conjunto de formulas proposicionales validas y justificaremosnuestras pruebas usando al principio solo ellas.Los axiomas que usaremos estan en la Lista Completa (“Digesto”) en mi web.Definimos intuitivamente (de manera “recursiva”) la nocion de teorema.
Definicion
Un teorema es:
1 un axioma; o sino
2 una formula proposicional equivalente a un axioma o a un teorema yademostrado.
Una version mucho mas detallada y formal de esta definicion la puedenencontrar en el libro “Calculo de Programas”, Capıtulo 3, pp.15-27.
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Axiomas y Teoremas
Fijaremos un conjunto de formulas proposicionales validas y justificaremosnuestras pruebas usando al principio solo ellas.Los axiomas que usaremos estan en la Lista Completa (“Digesto”) en mi web.Definimos intuitivamente (de manera “recursiva”) la nocion de teorema.
Definicion
Un teorema es:
1 un axioma; o sino
2 una formula proposicional equivalente a un axioma o a un teorema yademostrado.
Una version mucho mas detallada y formal de esta definicion la puedenencontrar en el libro “Calculo de Programas”, Capıtulo 3, pp.15-27.
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Teoremas: Como demostrarlos
En la practica, admitiremos un par de reglas extra (que, de todos modos, soncorrectas desde el punto de vista del libro).
1 Todo teorema es equivalente a True.
2 Si pruebo que algo es equivalente a True, entonces es un teorema.
3 Si salgo de una formula E y llego a otra F justificando con teoremas,entonces E ≡ F es un teorema.
Por ejemplo, en ultimo ejemplo probamos que
q≡ r⇒ q≡ r ≡ r∨q≡ r
es un teorema.
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Teoremas: Como demostrarlos
En la practica, admitiremos un par de reglas extra (que, de todos modos, soncorrectas desde el punto de vista del libro).
1 Todo teorema es equivalente a True.
2 Si pruebo que algo es equivalente a True, entonces es un teorema.
3 Si salgo de una formula E y llego a otra F justificando con teoremas,entonces E ≡ F es un teorema.
Por ejemplo, en ultimo ejemplo probamos que
q≡ r⇒ q≡ r ≡ r∨q≡ r
es un teorema.
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Teoremas: Como demostrarlos
En la practica, admitiremos un par de reglas extra (que, de todos modos, soncorrectas desde el punto de vista del libro).
1 Todo teorema es equivalente a True.
2 Si pruebo que algo es equivalente a True, entonces es un teorema.
3 Si salgo de una formula E y llego a otra F justificando con teoremas,entonces E ≡ F es un teorema.
Por ejemplo, en ultimo ejemplo probamos que
q≡ r⇒ q≡ r ≡ r∨q≡ r
es un teorema.
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Calculo Proposicional (IV): Reordenando con Conmutativa
q≡ r⇒ q≡ r≡ { Definicion⇒ }
r∨q≡ r
Justificacion
Definicion⇒:
Q≡ P⇒ Q≡ P∨Q
Sustituyo P por rSustituyo Q por q; obtengo
q≡ r⇒ q≡ r∨q.
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Tareas para ahora mismo
1 Hacer Ejercicios 4a, 4b y 4c del Practico 3 usando tablas de verdad.
2 Leer los axiomas, poniendoles parentesis de acuerdo a la precedencia.
3 ¿De cuantas maneras se puede leer la Definicion de ¬? (es el axiomaA4).
4 ¿Que teorema demostramos en la filmina 10 (pagina 24)?
5 Completar los espacios en blanco, justificando con los axiomas:
¬p≡ q∨ r≡ { }
¬(p≡ q∨ r)≡ { }
p 6≡ q∨ r
6 Entender el ejemplo en el ejercicio 6 del Practico 3.
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