Tem
a 7:
Intro
ducc
ión
a las
Máq
uina
s Hid
rául
icas
1 HIDRAULICA APLICADACódigo 325, 3º Curso, 1º Semestre, INGENIERÍA INDUSTRIAL
Área Mecánica de Fluidos. Dpto. Tecnología
TEMA 7
INTRODUCCIÓN A LAS MÁQUINAS
HIDRAULICAS
HIDRAULICA APLICADACódigo 325
3º Curso, INGENIERÍA INDUSTRIAL
Curso 2004/05
Tem
a 7:
Intro
ducc
ión
a las
Máq
uina
s Hid
rául
icas
2 HIDRAULICA APLICADACódigo 325, 3º Curso, 1º Semestre, INGENIERÍA INDUSTRIAL
Área Mecánica de Fluidos. Dpto. Tecnología
1.1.- Introducción a las Bombas Centrífugas
1.2.- Clasificación de las máquinas de fluidos
1.2.1.- Introducción: generalidades
1.2.2.- Algunos tipos de bombas
1.2.3.- Clasificación de las turbobómbas hidráulicas
1.3.- Teorema Fundamental de las Turbomáquinas o Teorema de Euler
1.4.- Altura teórica aportada por una bomba
1.5.- Derivación alternativa de la ecuación fundamental de las turbomáquinas
ANEXOS
Tem
a 7:
Intro
ducc
ión
a las
Máq
uina
s Hid
rául
icas
3 HIDRAULICA APLICADACódigo 325, 3º Curso, 1º Semestre, INGENIERÍA INDUSTRIAL
Área Mecánica de Fluidos. Dpto. Tecnología
1.1.- Introducción a las Bombas Centrífugas
Este es el esquema típico de un bomba centrífuga.
Entrada Caudal
Salida Caudal
Brida de Aspiración
Brida de Impulsión
El sistema de funcionamiento es bastante sencillo. El caudal entra a la bomba a través de la brida de aspiración. Pasa a través del rodete, dispositivo con aspas que se mueve sobre su eje gracias al motor al que está acoplado. El rodete le comunica energía centrífuga al fluido, siendo expulsado hacia la voluta, especie de caracol que recoge el caudal que sale del rodete, el cual lo conduce hacia la brida de impulsión, salida de la bomba.
Tem
a 7:
Intro
ducc
ión
a las
Máq
uina
s Hid
rául
icas
4 HIDRAULICA APLICADACódigo 325, 3º Curso, 1º Semestre, INGENIERÍA INDUSTRIAL
Área Mecánica de Fluidos. Dpto. Tecnología
Entrada Caudal Eje
Salida Caudal Esquema de una bomba centrífuga
monobloc típica.
Motor: Eléctrico o Diessel
Rodete
Motor: Eléctrico o Diessel
Tem
a 7:
Intro
ducc
ión
a las
Máq
uina
s Hid
rául
icas
5 HIDRAULICA APLICADACódigo 325, 3º Curso, 1º Semestre, INGENIERÍA INDUSTRIAL
Área Mecánica de Fluidos. Dpto. Tecnología
Veamos que hace la bomba de forma breve: El fluido entra por la brida de impulsión, y sale por la de aspiración. Si aplicamos Bernoulli:
impimpimp
bombaaspaspasp z
gVp
Hzg
Vp++=+++
.2.2
22
γγ
Dasp
Dimp
Qentrada
Qsalida
∆z[ ]aspimpaspimpaspimp
bomba zzg
Vg
VppH −+
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−=
.2.2
22
γγ
La diferencia de cotas entre la entrada y la salida es muy pequeña, y casi la podemos despreciar
0≈
Obviamente el caudal a la entrada es el mismo que a la salida, y si los diámetros de aspiración e impulsión son parecidos, las velocidades del fluido en esos puntos también lo serán, por lo que la diferencia la podríamos despreciar en un primer momento.
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−=
gV
gVpp
H aspimpaspimpbomba .2.2
22
γγ
0≈bomba
aspimp Hpp
+=γγ
Tem
a 7:
Intro
ducc
ión
a las
Máq
uina
s Hid
rául
icas
6 HIDRAULICA APLICADACódigo 325, 3º Curso, 1º Semestre, INGENIERÍA INDUSTRIAL
Área Mecánica de Fluidos. Dpto. Tecnología
O lo que es lo mismo, toda la energía de bombeo, o energía que entrega la bomba al fluido, éste lo invierte, o la almacena, en forma de presión a la salida de la bomba.
bombaaspimp H
pp+=
γγ
Por tanto, las bombas lo que hacen es aumentar la energía en forma de presión del fluido. Consumen Energía de la red, energía eléctrica normalmente, y entregan energía al fluido, el cual la almacena en forma de presión.
Energía consumida de la red
Perdidas en el motorEléctrico
Perdidas Mecánicas( en el eje )
Perdidas Hidráulicas( Rozamiento, turbulencias, Choques, etc.. )
Energía Hidráulica Útil Entregada al Fluido
Tem
a 7:
Intro
ducc
ión
a las
Máq
uina
s Hid
rául
icas
7 HIDRAULICA APLICADACódigo 325, 3º Curso, 1º Semestre, INGENIERÍA INDUSTRIAL
Área Mecánica de Fluidos. Dpto. Tecnología
¿ Cuál es la potencia necesaria para elevar el líquido de la tubería ?
( ) HQHAVPAVFVP imphimpimppotencia ........ γγ ====
Por tanto, la potencia útil que posee el fluido a la salida de la bomba será: HQPutil ..γ=
La potencia eléctrica que toma de la red será ( si el motor es trifásico ): ϕcos...3 IUPelectrica =
Así, el rendimiento de la bomba, será la relación entre la potencia útil que le entregamos al fluido y la potencia eléctrica que tomamos de la red, y que pagamos:
electricaútil
PP
=η
ηγ HQPelectrica
..=Es decir, la potencia consumida por la bomba será:
Donde el rendimiento será un parámetro de la bomba que el fabricante nos dará en forma de curva, en función del caudal que trasiega.
Tem
a 7:
Intro
ducc
ión
a las
Máq
uina
s Hid
rául
icas
8 HIDRAULICA APLICADACódigo 325, 3º Curso, 1º Semestre, INGENIERÍA INDUSTRIAL
Área Mecánica de Fluidos. Dpto. Tecnología
De forma preliminar vamos a intentar entender el comportamiento de la bomba. Supongamos que no existen ningún tipo de pérdidas en la bomba. Así toda la energía que extraemos de la red se la comunicamos a la bomba. Esto es debido a que el motor eléctrico mantiene las rpm constantes, por tanto, la energía disponible para el fluido se mantiene de alguna manera constante. Si pasa poco líquido, la energía que le daremos al fluido por unida de volumen será mayor que si pasa mucho fluido por la bomba. Por tanto, es de esperar que el comportamiento de la bomba sea de una forma parecida a esta:
Si por la bomba pasa Q1, la bomba le da energía al fluido el cual la almacena en forma de presión, correspondiéndole una altura H1, si pasa más caudal, Q2, la misma energía se reparte entre más y por tanto, a cada unidad de caudal le corresponde menos energía, por lo que la energía almacena es menor, y por tanto sale de la bomba con menos presión ( altura ), H2.
Tem
a 7:
Intro
ducc
ión
a las
Máq
uina
s Hid
rául
icas
9 HIDRAULICA APLICADACódigo 325, 3º Curso, 1º Semestre, INGENIERÍA INDUSTRIAL
Área Mecánica de Fluidos. Dpto. Tecnología
La bomba no sabe cuanto caudal ha de trasegar, quien marca el caudal es la instalación sobre la que va montada la bomba. Supongamos que tenemos la instalación de la figura
Curva Resistiva de la Instalación, HA
La bomba si la colocamos es la instalación anterior, tendrá su punto de funcionamiento en H0,Q0. Que como vemos depende de la fricción, la válvula y la cota.
Tem
a 7:
Intro
ducc
ión
a las
Máq
uina
s Hid
rául
icas
10 HIDRAULICA APLICADACódigo 325, 3º Curso, 1º Semestre, INGENIERÍA INDUSTRIAL
Área Mecánica de Fluidos. Dpto. Tecnología
Matemáticamente esto se expresa como:
Curva Motriz2.. QCQBAHbomba ++=
Curva Resistiva de la instalación.22 .. QrQrZH valvulafricciónA ++∆=
Así, si queremos un caudal en concreto, lo que hemos de hacer es variar la curva resistiva, y para eso está la válvula que en función de su grado de abertura introducirá una resistencia u otra. Así, si por ejemplo cerramos la válvula aumentando la resistencia hidráulica de la misma, el sistema reducirá el caudal, Q1, y aumentando la altura, H1, que proporciona la bomba.
Tem
a 7:
Intro
ducc
ión
a las
Máq
uina
s Hid
rául
icas
11 HIDRAULICA APLICADACódigo 325, 3º Curso, 1º Semestre, INGENIERÍA INDUSTRIAL
Área Mecánica de Fluidos. Dpto. Tecnología
Partes principales de las Bombas Centrífugas
ImpulsiónDifusor
Impulsión
Aspiración
Aspiración
RodeteCámara Espiral o Caracol o Voluta
Tem
a 7:
Intro
ducc
ión
a las
Máq
uina
s Hid
rául
icas
12 HIDRAULICA APLICADACódigo 325, 3º Curso, 1º Semestre, INGENIERÍA INDUSTRIAL
Área Mecánica de Fluidos. Dpto. Tecnología
Rodete
Voluta o Caracol
Linea de flujo
Punto de entrada al rodeteBOMBA CENTRÍFUGA SIN DIFUSOR
Tem
a 7:
Intro
ducc
ión
a las
Máq
uina
s Hid
rául
icas
13 HIDRAULICA APLICADACódigo 325, 3º Curso, 1º Semestre, INGENIERÍA INDUSTRIAL
Área Mecánica de Fluidos. Dpto. Tecnología
EL aumento de energía se refleja a la salida del rodete como un aumento del momento cinético. SI queremos comunicar mucha energía al fluido, y por tanto una mayor presión, la velocidad absoluta a la salida del rodete será muy grande. Al pasar este fluido con alta velocidad por la voluta, se producirán muchas perdidas de energía por fricción ya que estas dependen de la velocidad al cuadrado. Para evitarlo, se coloca entre el rodete y la voluta unos álabes fijos que reducen la velocidad de salida aumentando la presión ( transforma energía cinética en potencial, no se pierde ), con lo que se reduce las perdidas posteriores en el paso por el caracol.
DIFUSOR
RODETE
CARACOL
CARCASAIMPULSIÓN
ASPIRACIÓN
Tem
a 7:
Intro
ducc
ión
a las
Máq
uina
s Hid
rául
icas
14 HIDRAULICA APLICADACódigo 325, 3º Curso, 1º Semestre, INGENIERÍA INDUSTRIAL
Área Mecánica de Fluidos. Dpto. Tecnología
1.2.- Clasificación de las máquinas de fluidos
1.2.1.- Introducción: generalidadesLas bombas son máquinas de fluidos, es decir, dispositivos que transforman energía:
• TURBINAS : Máquinas de fluidos absorben energía del fluido que trasiegan.
• BOMBAS : Máquinas de fluidos que comunican energía al fluido que trasiegan.
La primera gran clasificación de las máquinas de fluidos es atendiendo a su principio de funcionamiento:
• MÁQUINAS DE DESPLAZAMIENTO POSITIVO: Máquinas en las que el fluido es trasegado de forma discreta, es decir, el fluido se encierra en un volumen, desde la aspiración hasta la descarga, aplicándole una serie de trasformaciones trasformación.
• TURBOMÁQUINAS: Máquinas en las que el intercambio de energía es debido a la variación del momento cinético al pasar por la máquina. El intercambio se hace de forma continuo.
Tem
a 7:
Intro
ducc
ión
a las
Máq
uina
s Hid
rául
icas
15 HIDRAULICA APLICADACódigo 325, 3º Curso, 1º Semestre, INGENIERÍA INDUSTRIAL
Área Mecánica de Fluidos. Dpto. Tecnología
Otra gran división en la clasificación de las máquinas de fluidos será atendiendo al tipo de fluido que trasiegan, y sobre todo, a variación de la densidad del fluido en el interior de la máquina. Así podemos distinguir:
• Máquinas Hidráulicas: El fluido no experimenta cambios en su densidad en su paso por la máquina.
Bombas, ventiladores, turbinas hidráulicas
• Máquinas Térmicas: El fluido experimenta cambios en su densidad en su paso por la máquina
Turbinas de vapor y gas, turbocompresores
Así, nosotros dedicaremos la mayor parte de nuestro tiempo a las TURBOBÓMBAS HIDRÁULICAS, algo de tiempo a las BOMBAS HIDRÁULICAS DE DESPLAZAMIENTO POSITIVO, y sólo se comentará el funcionamiento y principales aplicaciones de las TURBINAS HIDRÁULICAS. Lo relativo a las TURBINAS TÉRMICAS queda fuera del ámbito de esta asignatura.
Tem
a 7:
Intro
ducc
ión
a las
Máq
uina
s Hid
rául
icas
16 HIDRAULICA APLICADACódigo 325, 3º Curso, 1º Semestre, INGENIERÍA INDUSTRIAL
Área Mecánica de Fluidos. Dpto. Tecnología
• Descripción general de una Bomba
1. Parte eléctrica: Motor y conexiones.
Motor de inducción o de jaula de ardilla, de potencia superior a la solicitud más desfavorable.
Tem
a 7:
Intro
ducc
ión
a las
Máq
uina
s Hid
rául
icas
17 HIDRAULICA APLICADACódigo 325, 3º Curso, 1º Semestre, INGENIERÍA INDUSTRIAL
Área Mecánica de Fluidos. Dpto. Tecnología
2.- Parte mecánica: Eje y rodamientos y sellos.– Muy simplificada al tratarse de un equipo compacto.– Eje y rodamientos sometidos a menos esfuerzos.
Tem
a 7:
Intro
ducc
ión
a las
Máq
uina
s Hid
rául
icas
18 HIDRAULICA APLICADACódigo 325, 3º Curso, 1º Semestre, INGENIERÍA INDUSTRIAL
Área Mecánica de Fluidos. Dpto. Tecnología
• Sellos: es vital en una bomba sumergible.• El más apropiado es la junta mecánica.
Tem
a 7:
Intro
ducc
ión
a las
Máq
uina
s Hid
rául
icas
19 HIDRAULICA APLICADACódigo 325, 3º Curso, 1º Semestre, INGENIERÍA INDUSTRIAL
Área Mecánica de Fluidos. Dpto. Tecnología
2.- Parte mecánica: Cámara de aceite para la lubricación y refrigeración de la junta mecánica.
Tem
a 7:
Intro
ducc
ión
a las
Máq
uina
s Hid
rául
icas
20 HIDRAULICA APLICADACódigo 325, 3º Curso, 1º Semestre, INGENIERÍA INDUSTRIAL
Área Mecánica de Fluidos. Dpto. Tecnología
Las juntas mecánicas pueden ser de distintos materiales según su aplicación:• Carburo de Tungsteno con base de cobalto (WCCo) ó VIDEA. Para ph un por encima de 6 y hasta 13 y temperatura máxima 90ºC. Consiste en pequeñas partículas cementadas en conjunto con un material ligante como base. En este caso el material ligante es el Cobalto (Co). Es duro, rígido y conduce bien el calor. Tiene buenas propiedades mecánicas en cuanto al deslizamiento y buena resistencia mecánica. Tiene también una capacidad muy buena para hacerse un repulido asimismo, por lo que resulta excelente de cara al mantenimiento.
• Carburo de Tungsteno (WCCR) Para un ph por encima de 3 y hasta 14. El carburo de tungsteno lleva como material ligante o base una aleación de cromo, níquel, molibdeno y otros metales. Este tipo de videa es resistente a la corrosión y resulta ideal frente a altas conductividades y alto contenido en cloruros (agua de mar).
• Carburo de Silicio (RSiC). Existen tres tipos de carburo de Silicio. El obtenido por transformación, el obtenido por síntesis, y el obtenido por adhesión y reacción. Es un material muy duro y con buenas propiedades para el deslizamiento, así como buena conductividad térmica, buena rigidez, y excelente resistencia a phs muy bajos y frente al ataque de cloruros. Cuando el líquido lleva partículas abrasivas, se suele utilizar el carburo de silicio por ser más resistente al desgaste que la videa. Sus limitaciones radican en su fragilidad, requiriendo especial cuidado en su manipulación y montaje. Los sellos de carburo de Silicio obtenidos por adhesión y reacción, tienen escasa resistencia en medios alcalinos.
• Oxido de aluminio, Al2O3 (cerámica). Es un material cerámico obtenido por síntesis.Tiene buena dureza y, por lo tanto, buena resistencia al desgaste. Al ser químicamente inerte, presenta buena resistencia a la corrosión. Se utiliza en casos de velocidades bajas o presiones reducidas, por su baja capacidad de deslizamiento. De todas formas, su resistencia al desgaste y a la filtración hacen de él un material a considerar en ciertas aplicaciones.
• Grafito (CSb). La estructura es porosa y se le puede añadir una impregnación metálica de antimonio (Sb). Su resistencia a la corrosión es relativamente buena y sus propiedades para el deslizamiento son excelentes, pero es un material débil mecánicamente y no es suficientemente duro para usarlo en sellados exteriores frente al medio. Es también muy frágil y debe tratarse con cuidado. Solo o en combinación con la cerámica se suele usar en juntas para aceite. Tanto el grafito como la cerámica tienen el límite de temperatura en 70ºC.
Tem
a 7:
Intro
ducc
ión
a las
Máq
uina
s Hid
rául
icas
21 HIDRAULICA APLICADACódigo 325, 3º Curso, 1º Semestre, INGENIERÍA INDUSTRIAL
Área Mecánica de Fluidos. Dpto. Tecnología
3.- Parte Hidráulica: Voluta, impulsor y anillos de desgaste.
Tem
a 7:
Intro
ducc
ión
a las
Máq
uina
s Hid
rául
icas
22 HIDRAULICA APLICADACódigo 325, 3º Curso, 1º Semestre, INGENIERÍA INDUSTRIAL
Área Mecánica de Fluidos. Dpto. Tecnología
Existen muchas formas de clasificarlo
Tem
a 7:
Intro
ducc
ión
a las
Máq
uina
s Hid
rául
icas
23 HIDRAULICA APLICADACódigo 325, 3º Curso, 1º Semestre, INGENIERÍA INDUSTRIAL
Área Mecánica de Fluidos. Dpto. Tecnología
Tem
a 7:
Intro
ducc
ión
a las
Máq
uina
s Hid
rául
icas
24 HIDRAULICA APLICADACódigo 325, 3º Curso, 1º Semestre, INGENIERÍA INDUSTRIAL
Área Mecánica de Fluidos. Dpto. Tecnología
A parte de esta existen un gran número de clasificaciones alternativas. En la literatura anglosajona es muy común este tipo de clasificación, en la que se llaman bombas dinámicas o cinemáticas a las turbobombas, y se llaman bombas centrífugas al conjunto de bombas radiales, centrífugas y helicocentrífugas
Tem
a 7:
Intro
ducc
ión
a las
Máq
uina
s Hid
rául
icas
25 HIDRAULICA APLICADACódigo 325, 3º Curso, 1º Semestre, INGENIERÍA INDUSTRIAL
Área Mecánica de Fluidos. Dpto. Tecnología
1.2.3.- Clasificación de las turbobómbas hidráulicas
Existe una gran cantidad de clasificaciones para las bombas hidráulicas. La más popular es la que las clasifica en función de la dirección del fluido en el rodete:
Radial o Centrífugo Helicocentrífugo o Mixo
• RADIAL o CENTRÍFUGA:
Toda partícula de fluido recorre una trayectoria situada en un plano normal al eje de giro.
• AXIAL:
Las partículas recorren trayectorias situadas en superficies cilíndricas coaxiales al eje de giro
• HELICOCENTRÍFUGAS:
Las partículas recorren trayectorias situadas sobre superficies cónicas o de revolución no desarrollables
Tem
a 7:
Intro
ducc
ión
a las
Máq
uina
s Hid
rául
icas
26 HIDRAULICA APLICADACódigo 325, 3º Curso, 1º Semestre, INGENIERÍA INDUSTRIAL
Área Mecánica de Fluidos. Dpto. Tecnología
Centrifuga
RadialAxial
Tem
a 7:
Intro
ducc
ión
a las
Máq
uina
s Hid
rául
icas
27 HIDRAULICA APLICADACódigo 325, 3º Curso, 1º Semestre, INGENIERÍA INDUSTRIAL
Área Mecánica de Fluidos. Dpto. Tecnología
Radial
Axial
Tem
a 7:
Intro
ducc
ión
a las
Máq
uina
s Hid
rául
icas
28 HIDRAULICA APLICADACódigo 325, 3º Curso, 1º Semestre, INGENIERÍA INDUSTRIAL
Área Mecánica de Fluidos. Dpto. Tecnología
• Según la disposición:
CAMARA SECA
SUMERGIBLES
Tem
a 7:
Intro
ducc
ión
a las
Máq
uina
s Hid
rául
icas
29 HIDRAULICA APLICADACódigo 325, 3º Curso, 1º Semestre, INGENIERÍA INDUSTRIAL
Área Mecánica de Fluidos. Dpto. Tecnología
• Cámara Seca:
• VERTICAL
• HORIZONTAL
Tem
a 7:
Intro
ducc
ión
a las
Máq
uina
s Hid
rául
icas
30 HIDRAULICA APLICADACódigo 325, 3º Curso, 1º Semestre, INGENIERÍA INDUSTRIAL
Área Mecánica de Fluidos. Dpto. Tecnología
• Sumergibles
1.- De pozo profundo. 2.- De Voluta. 3.- De hélice.
Tem
a 7:
Intro
ducc
ión
a las
Máq
uina
s Hid
rául
icas
31 HIDRAULICA APLICADACódigo 325, 3º Curso, 1º Semestre, INGENIERÍA INDUSTRIAL
Área Mecánica de Fluidos. Dpto. Tecnología
• Sumergibles: De pozo
1.- De eje largo. 2.- De motor sumergible
Tem
a 7:
Intro
ducc
ión
a las
Máq
uina
s Hid
rául
icas
32 HIDRAULICA APLICADACódigo 325, 3º Curso, 1º Semestre, INGENIERÍA INDUSTRIAL
Área Mecánica de Fluidos. Dpto. Tecnología
• Sumergibles: Con Voluta
1.- De motor exterior. 2.- De motor sumergible:
Tem
a 7:
Intro
ducc
ión
a las
Máq
uina
s Hid
rául
icas
33 HIDRAULICA APLICADACódigo 325, 3º Curso, 1º Semestre, INGENIERÍA INDUSTRIAL
Área Mecánica de Fluidos. Dpto. Tecnología
• Sumergibles: de Hélice
1.- De motor exterior.
2.- De motor sumergible:
Tem
a 7:
Intro
ducc
ión
a las
Máq
uina
s Hid
rául
icas
34 HIDRAULICA APLICADACódigo 325, 3º Curso, 1º Semestre, INGENIERÍA INDUSTRIAL
Área Mecánica de Fluidos. Dpto. Tecnología
• Según el tipo de eje:
• MONOBLOC: Cuando el eje es único para el motor y la bomba
• DE EJE LIBRE: Cuando la bomba y el motor tiene su propio eje, y se unen mediante algún mecanismo para que la bomba sea arrastrada por el motor.
Eje Libre
Acoplamiento entre ejes
Monobloc
Eje Común
Tem
a 7:
Intro
ducc
ión
a las
Máq
uina
s Hid
rául
icas
35 HIDRAULICA APLICADACódigo 325, 3º Curso, 1º Semestre, INGENIERÍA INDUSTRIAL
Área Mecánica de Fluidos. Dpto. Tecnología
• Según el Número de rodetes:
• MONOCELULAR ( monostage ): Cuando sólo tiene un rodete
• MULTICELULAR ( multistage ): Cuando tiene una serie de rodetes acoplados.
Múltiples
rodetes
Tem
a 7:
Intro
ducc
ión
a las
Máq
uina
s Hid
rául
icas
36 HIDRAULICA APLICADACódigo 325, 3º Curso, 1º Semestre, INGENIERÍA INDUSTRIAL
Área Mecánica de Fluidos. Dpto. Tecnología
Múltiples rodetes
Tem
a 7:
Intro
ducc
ión
a las
Máq
uina
s Hid
rául
icas
37 HIDRAULICA APLICADACódigo 325, 3º Curso, 1º Semestre, INGENIERÍA INDUSTRIAL
Área Mecánica de Fluidos. Dpto. Tecnología
• Según la configuración del conjunto álabes-discos externos que constituyen el rodete ( impeller ) :
• Abierto
• Semi-abierto
• Cerrado
Tem
a 7:
Intro
ducc
ión
a las
Máq
uina
s Hid
rául
icas
38 HIDRAULICA APLICADACódigo 325, 3º Curso, 1º Semestre, INGENIERÍA INDUSTRIAL
Área Mecánica de Fluidos. Dpto. Tecnología
• Según la configuración del conjunto álabes-discos externos que constituyen el rodete ( impeller ) :
MONOCANALBICANAL
VORTEX ABIERTO
CORTADOR TIPO TORNILLO
Tem
a 7:
Intro
ducc
ión
a las
Máq
uina
s Hid
rául
icas
39 HIDRAULICA APLICADACódigo 325, 3º Curso, 1º Semestre, INGENIERÍA INDUSTRIAL
Área Mecánica de Fluidos. Dpto. Tecnología
1.3.- Teorema Fundamental de las Turbomáquinas o Teorema de Euler
Podemos partir de la aplicación de la ecuación de conservación del momento angular para unos ejes fijos ( ver anexo A para su deducción )
( ) ( ) ( )∫∫∫ ×+∀×=+∀×+×∀∀ vcvc A
otrosC
erficie AdVVrdVrdtdTdgrFr ρρρ
.sup ..
( ) ( ) ( )∫ ×+∫ ×=∫ ×=ΣΣ 12
AdVVrAdVVrAdVVrMvcA
ext ρρρ
Entendiendo el volumen de control como todo al rotedete, y simplificando, suponiendo la ausencia de rozamiento con los álabes y estado estacionario, obtendremos:
Tem
a 7:
Intro
ducc
ión
a las
Máq
uina
s Hid
rául
icas
40 HIDRAULICA APLICADACódigo 325, 3º Curso, 1º Semestre, INGENIERÍA INDUSTRIAL
Área Mecánica de Fluidos. Dpto. Tecnología
• El único par exterior al V.C. Será el par motor, Mmotor , necesario para mover el rodete con una velocidad angular ω.
• Podemos suponer que la velocidad del flujo tanto a la entrada como a la salida del rodete es uniforme, es decir, no depende del punto del área en el que nos situemos.
Con estas dos suposiciones la ecuación anterior queda como:
( ) ( ) ∫×+∫×=ΣΣ 2
21
1ˆ. AdVVrAdVVrkMmotor ρρ
Teniendo en cuenta los triángulos de velocidades:
Tem
a 7:
Intro
ducc
ión
a las
Máq
uina
s Hid
rául
icas
41 HIDRAULICA APLICADACódigo 325, 3º Curso, 1º Semestre, INGENIERÍA INDUSTRIAL
Área Mecánica de Fluidos. Dpto. Tecnología
Entrada:( ) ( ) ( )∫=∫=∫=∫
ΣΣΣΣ 1111cos.1.cos.ˆ.ˆ. dAVdAnVdAnVAdV θρθρρρ
rm QvVdAVAdV ....cos..cos.. 11111
ρρθρθρρ −=Σ−=Σ−=∫−=∫ΣΣ
Salida:( ) ( ) ( )∫=∫=∫=∫
ΣΣΣΣ 2222cos.1.cos.ˆ.ˆ. dAVdAnVdAnVAdV θρθρρρ
rm QvVdAVAdV ....cos..cos.. 12222
ρρθρθρρ =Σ=Σ=∫=∫ΣΣ
( ) ( ) ( ) ( )[ ]1221 ..)..().(ˆ. VrVrQQVrQVrkM rrrmotor ×−×=×+−×= ρρρ
Así, la ecuación anterior queda como:
Aplicando la definición de producto vectorial de dos vectores:
( )( ) u
u
vrVrVrVrVr
vrVrVrVrVr
22222222
11111111
.cos..sin..sin..
.cos..sin..sin..
====×
====×
αθθ
αθθ
Tem
a 7:
Intro
ducc
ión
a las
Máq
uina
s Hid
rául
icas
42 HIDRAULICA APLICADACódigo 325, 3º Curso, 1º Semestre, INGENIERÍA INDUSTRIAL
Área Mecánica de Fluidos. Dpto. Tecnología
Sustituyendo en la ecuación queda:
[ ]uurmotor vrvrQkM 1122 ....ˆ. −= ρ TEOREMA DE EULER BÁSICO DE LAS TURBOMÁQUINAS
La suposiciones que se han considerado son:
• No existen pérdidas hidráulicas en el rodete
• El rodete tiene un número infinito de álabes. O lo que es lo mismo todas las trayectorias de las partículas en el interior del rodete están perfectamente guiadas y son idénticas
• El régimen es permanente
• El flujo es incompresible
Tem
a 7:
Intro
ducc
ión
a las
Máq
uina
s Hid
rául
icas
43 HIDRAULICA APLICADACódigo 325, 3º Curso, 1º Semestre, INGENIERÍA INDUSTRIAL
Área Mecánica de Fluidos. Dpto. Tecnología
Vamos ahora a analizar un poco la expresión del teorema de Euler:
[ ]uurmotor vrvrQkM 1122 ....ˆ. −= ρ
Si nos fijamos en la velocidad del flujo, V, vemos que ésta se puede descomponer en dos , una componente radial, vm, la cual es obvio que no producirá ningún tipo de par, ya que su línea de acción pasa por el centro de giro, y una componente vu , tangencial, la cual será la responsable del par producido.
Se puede entender que el momento será proporcional a la distancia de aplicación, por tanto, queda claro que el momento creado sobre el fluido será proporcional a r.vu.
El motor de la bomba ha de proporcionar un par al fluido proporcional a r2.v2u, pero si el fluido a la entrada ya posee un par proporcional a r1.v1u, el motor sólo tendrá que proporcionarle el resto, es decir la resta de ambas cantidades.
Qr es el caudal que circula por el rodete, es decir el caudal que trasiega la bomba
[ ]uu vrvr 1122 .. −
[ ]
[ ] mNvrQ
ms
mkgmsm
skg
smm
sm
mkgvrQ
ur
ur
....
..........
22
2
3
322
=
==⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=
ρ
ρ
Tem
a 7:
Intro
ducc
ión
a las
Máq
uina
s Hid
rául
icas
44 HIDRAULICA APLICADACódigo 325, 3º Curso, 1º Semestre, INGENIERÍA INDUSTRIAL
Área Mecánica de Fluidos. Dpto. Tecnología
1.4.- Altura teórica aportada por una bomba
Del teorema de Euler, podemos extraer la potencia teórica de que la bomba ha de proporcionar:
[ ] [ ] [ ]uuruuruurmotormotor vuvuQvrvrQvrvrQMP 112211221122 ................ −=−=−== ρωωρωρω
La potencia comunicada al fluido en su paso por el rodete será:
¿ Cuál es la potencia necesaria para elevar el líquido de la tubería ?
HQHAvPPAvFvP h
........
γγ ====
∞∞ = ,, .. tt HQP γ
[ ] ∞=−= ,1122 ...... truurmotor HQvuvuQP γρSustituyendo:
[ ]g
vuvuH uut
1122,
.. −=∞
ALTURA TEÓRICA PRODUCIDA POR UNA BOMBA DE INFINITOS ÁLABES
Como la mayoría de bombas están pensadas para que el flujo entre de forma radial al rodete, es decir con α = 90º , o lo que es lo mismo v1u = 0, la altura teórica para esta bombas será:
gvuH u
t22
,.
=∞
Tem
a 7:
Intro
ducc
ión
a las
Máq
uina
s Hid
rául
icas
45 HIDRAULICA APLICADACódigo 325, 3º Curso, 1º Semestre, INGENIERÍA INDUSTRIAL
Área Mecánica de Fluidos. Dpto. Tecnología
Es evidente que los parámetros que caracterizan una bomba son ALTURA y CAUDAL, por lo que sería adecuado intentar encontrar una relación entre ambos parámetros.
22
11 Σ
=Σ
= rm
rm
QvQvEl caudal es quien determina la componente radial vm de la velocidad V:
Mientras que la velocidad angular del rodete es quien marca la velocidad tangencial u y por tanto la velocidad de arrastre.vu
60...
60.2..
60.2. 2
222DNrNrurNru ππωπω ===→==
222 cos. αvv u =
Si nos fijamos en la figura, el ángulo geométrico más físico es β2, ya que viene marcado por la curvatura de los álabes, y es fijo, por lo que es mejor trabajar con este ángulo que con α2 el cual varía en función del caudal y la velocidad.
2222
222 cot. β
βgvu
tgvuv m
mu −=−=
w2
Sustituyendo en la ecuación de la altura:
Tem
a 7:
Intro
ducc
ión
a las
Máq
uina
s Hid
rául
icas
46 HIDRAULICA APLICADACódigo 325, 3º Curso, 1º Semestre, INGENIERÍA INDUSTRIAL
Área Mecánica de Fluidos. Dpto. Tecnología
( ) ( )
rr
t
mmut
QggDNND
gQ
ggDNDN
gH
ggvu
gu
ggvuu
gvuH
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡Σ
−⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
Σ−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
−=−
==
∞
∞
2
2222
2
2
222
2,
22222222222
,
1cot60
...60..1cot
60..
60...1
cot..cot...
βππβππ
ββ
rt QBNAH .. 2, −=∞
Para una velocidad de rotación dada N0, podemos determinar en función del ángulo de salida de las paletas lo siguiente:
rrt QBguQ
ggDN
guH .1cot
60.. 2
2
2
2222
, −=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡Σ
−=∞βπ
-15
-10
-5
0
5
10
15
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180
grados
cota
n
βtg1
β
N0 Régimen de Giro Nominal
Si β < 90º -> ctg β >0 -> B>0-> PENDIENTE NEGATIVA
si Qr aumenta, Ht Disminuye
Si β > 90º -> ctg β <0 -> B<0-> PENDIENTE POSITIVA
si Qr aumenta, Ht Aumenta
Tem
a 7:
Intro
ducc
ión
a las
Máq
uina
s Hid
rául
icas
47 HIDRAULICA APLICADACódigo 325, 3º Curso, 1º Semestre, INGENIERÍA INDUSTRIAL
Área Mecánica de Fluidos. Dpto. Tecnología
Veamos que ocurre con la potencia teórica comunicada al fluido por la bomba. La podemos calcular como:
( )rrtrt QBNAQHQP .... 2,, −== ∞∞ γγ
Como se puede observar, sólo las bombas con los álabes con ángulo b2 <90º son viables, ya que en el resto sería necesario motores de potencia infinita.
β 2>90
º β 2=90
º
β2 < 90º
( )
BNAQ
QBNAQP
r
rrt2
max
2,
.
...0
=
−==∞ γ
( )
22.
0.2..
max2
max
2,,
,r
Pr
rr
tt
QBNAQ
QBNAQP
MÁXIMAP
t==
=−=∂∂
→
∞
∞∞ γ
El caudal máximo que proporciona la bomba será:
El caudal que de la potencia máxima será:
Tem
a 7:
Intro
ducc
ión
a las
Máq
uina
s Hid
rául
icas
48 HIDRAULICA APLICADACódigo 325, 3º Curso, 1º Semestre, INGENIERÍA INDUSTRIAL
Área Mecánica de Fluidos. Dpto. Tecnología
1.5.- Derivación alternativa de la ecuación fundamental de las turbomáquinas
Supongamos que el rodete está parado, y que por tanto el fluido entra y sale de él con una velocidad w1 y w2 respectivamente. Aplicando el teorema de Bernoulli:
gwp
gwp
22
222
211 +=+
γγ
Donde p es la presión a la entrada y salida del rodete.
SI el rodete se pone en marcha y gira con velocidad angular constante ω, lo que hará será añadir al fluido una energía extra, E, derivada por la fuerza centrífuga en su camino desde 1 a 2.
gwpE
gwp
22
222
211 +=++
γγ
La fuerza centrífuga se puede determinar como: rmF mc .. 2, ω=
Así, el trabajo que realizará la fuerza centrífuga sobre una partícula que va de 1 a 2 estará determinado por:
2.
2.....
21
22
21
2222
.2
1
uumrrmdrrmWr
rCentr
−=
−=∫= ωω
Tem
a 7:
Intro
ducc
ión
a las
Máq
uina
s Hid
rául
icas
49 HIDRAULICA APLICADACódigo 325, 3º Curso, 1º Semestre, INGENIERÍA INDUSTRIAL
Área Mecánica de Fluidos. Dpto. Tecnología
Para una el fluido que circula entre dos álabes cuando el rodete esta quieto, según Bernoulli tenemos que:
2
222
1
211
2222221
21111
2222221
21111
.2.2
..
.....21..
..
.....21..
.....21.......
21..
zg
wgpz
gw
gp
Qg
QgzQwwAp
Qg
QgzQwwAp
QgzQwwApQgzQwwAp
r
rr
r
rr
rrrr
++=++
++=
++
++=++
ρρ
ρ
ρρ
ρ
ρρ
ρρρρ
Para una el fluido que circula entre dos álabes cuando el rodete esta girando con velocidad constante ω, según Bernoulli tendremos que:
2
222
21
22
1
211
222222
21
22
121111
222222
21
22
121111
.2.2.2
..
.....21..
..
..2
.....21..
.....21....
2.....
21..
zg
wgp
guuz
gw
gp
Qg
QgzQwwAp
Qg
QuuQgzQwwAp
QgzQwwApQuuQgzQwwAp
r
rr
r
rrr
rrrrr
++=−
+++
++=
−+++
++=−
+++
ρρ
ρ
ρρ
ρ
ρρρ
ρρρρρ
ρgpp
guu
gww 12
21
22
22
21
.2.2−
=−
+−Como usualmente z2=z1
Tem
a 7:
Intro
ducc
ión
a las
Máq
uina
s Hid
rául
icas
50 HIDRAULICA APLICADACódigo 325, 3º Curso, 1º Semestre, INGENIERÍA INDUSTRIAL
Área Mecánica de Fluidos. Dpto. Tecnología
ρgpp
guu
gww 12
21
22
22
21
.2.2−
=−
+−
γγ2
22
221
21
21
.2.2p
guwp
guw
+−
=+−
..2
121
21 ctep
guw
=+−
γECUACIÓN DE BERNOULLI GENERALIZADA
En el caso en en que existan pérdidas por fricción o por choques en el paso del fluido a través del rodete tendremos:
122
22
221
21
21
.2.2hp
guwp
guw
++−
=+−
γγ Perdidas por fricción y choques en el rodete ( en m.c.a )
Ahora, teniendo en cuenta el triangulo de velocidades tendremos que:
( ) ( )
( )
α
α
ααα
ααα
αα
cos...2
cos...2
cos...2sincos.
sin.cos...2cos.
sin.cos.
222
222
22222
222222
222
vuvuw
vuvuw
vuvuw
vvuvuw
vvuw
−=−
−+=
−++=
+−+=
+−=
Tem
a 7:
Intro
ducc
ión
a las
Máq
uina
s Hid
rául
icas
51 HIDRAULICA APLICADACódigo 325, 3º Curso, 1º Semestre, INGENIERÍA INDUSTRIAL
Área Mecánica de Fluidos. Dpto. Tecnología
En el caso de perdidas despreciables en el interior del rodete ( h12 = 0 ):
γα
γα 2222
221111
21
.2cos...2
.2cos...2 p
gvuvp
gvuv
+−
=+−
uvv 2cos. =α
gvup
gv
gvup
gv
pg
vuvpg
vuv
uu
uu
2222
21112
1
2222
21112
1
..2
..2
.2..2
.2..2
−+=−+
+−
=+−
γγ
γγ
Según Bernoulli, este sumatorio es la energía por unidad de peso que el fluido posee a la entrada del rodete
La energía por unidad de peso que el fluido posee a la salida del rodete
gvu
gvup
gvp
gv uu 11221
212
22 ..
.2.2−=+−+
γγ
gvuvuBB uu 1122
12.. −
=−g
vuvuH uut
1122,
.. −=∞
∞=− ,12 tHBB
Energía ganada por el fluido a su paso por el rodete
Tem
a 7:
Intro
ducc
ión
a las
Máq
uina
s Hid
rául
icas
52 HIDRAULICA APLICADACódigo 325, 3º Curso, 1º Semestre, INGENIERÍA INDUSTRIAL
Área Mecánica de Fluidos. Dpto. Tecnología
En el caso en que se consideren perdidas podemos determinar
gvuvuBBH uu
t1122
12,.. −
=−=∞
Si existe fricción en el rodete:
erot hBBH det12, −−=∞
Si queremos tener en cuenta tanto los efectos de fricción con el efecto producido por un número finito de álabes, englobándolo todo en perdidas en el rodete:
∑−−= rzt hBBH 12,
Si se quiere tener en cuenta la existencia de perdidas en la boca de entrada del rodete antes de la sección 1 y las perdidas producidas después de la sección 2, tanto en el caracol como en difusor, la altura útil creada por la bomba será:
∑−∑−∑−−=−= cdrASPIRACIÓNIMPULSIONu hhhBBBBH 12
Tem
a 7:
Intro
ducc
ión
a las
Máq
uina
s Hid
rául
icas
53 HIDRAULICA APLICADACódigo 325, 3º Curso, 1º Semestre, INGENIERÍA INDUSTRIAL
Área Mecánica de Fluidos. Dpto. Tecnología
kzjyixr .ˆ.ˆ. ++=
De la geometría obtenemos:
y definiendo:
dtkdz
dtjdy
dtidxv
dtkdz
dtjdy
dtidxk
dtdzj
dtdyi
dtdx
dtrd
p .ˆ
.ˆ
..ˆ
.ˆ
..ˆ.ˆ. +++=+++++=
rRX +=
dtrdV
dtrd
dtRd
dtXdV ref +=+==
Ahora podemos definir la velocidad de la partícula referida al sistema fijo como:
Donde es la velocidad del origen de coordenadas del marco móvil.
refV
A.1.- Relación entre las velocidades de una partículas tomadas respecto a un sistema de coordenadas fijo y móvil
ANEXOS
Donde es la velocidad de la partícula respecto del marco móvil
De la expresión anterior, que relaciona la velocidad de la partícula en los dos marcos de coordenadas, sólo que por averiguar una expresión para:
pvdtkdz
dtjdy
dtidxvV
dtXdV pref .
ˆ.
ˆ. ++++==
dtkd
dtjd
dtid ,
ˆ,
ˆ
Tem
a 7:
Intro
ducc
ión
a las
Máq
uina
s Hid
rául
icas
54 HIDRAULICA APLICADACódigo 325, 3º Curso, 1º Semestre, INGENIERÍA INDUSTRIAL
Área Mecánica de Fluidos. Dpto. Tecnología
Cálculo de la derivada del vector unitario :
Giro respecto al eje z con una velocidad angular wz :i
( ) ( ) jt
jt
tittidtid
zttadebido z
ˆˆ).1(limˆˆ
limˆ
00ωθ
ω=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡∆∆
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∆−+∆
=→∆→∆
Giro respecto al eje y con una velocidad angular wy :
( ) ( ) kt
kt
tittidtid
yttadebido y
ˆ)ˆ.().1(limˆˆ
limˆ
00ωθ
ω−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡∆
−∆=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡∆−+∆
=→∆→∆
Tem
a 7:
Intro
ducc
ión
a las
Máq
uina
s Hid
rául
icas
55 HIDRAULICA APLICADACódigo 325, 3º Curso, 1º Semestre, INGENIERÍA INDUSTRIAL
Área Mecánica de Fluidos. Dpto. Tecnología
Giro respecto al eje x con una velocidad angular wx : No tiene ningún efecto sobre el eje x. Por lo que al combinarlos:
kjdtid
yz ˆ.ˆ.ˆ
ωω −=
Para los otros ejes: jidtkdik
dtjd
xyzx ˆ.ˆ.ˆˆ.ˆ.
ˆωωωω −=−=
( ) ( ) ( )kxyjzxiyzdtkdz
dtjdy
dtidx yxxzzy ˆ...ˆ...ˆ....
ˆ.
ˆ. ωωωωωω −+−+−=++
( ) ( ) ( )kxyjzxiyzzyx
kjir yxxzzykyx ˆ...ˆ...ˆ...
ˆˆˆωωωωωωωωωω −+−+−==×
rdtkdz
dtjdy
dtidx ×=++ ω.
ˆ.
ˆ.
Por tanto, resumiendo tenemos que: rvVV pref ×++= ω
Nota:
Velocidad de la partícula p respecto C.Móviles
Velocidad del origen del sistema de C.Móviles respecto a C . Fijas
Velocidad angular del sistema C. Móviles
Vector Posición de la partícula P respecto C. Móviles
Velocidad de la partícula p respecto C.Fija
Tem
a 7:
Intro
ducc
ión
a las
Máq
uina
s Hid
rául
icas
56 HIDRAULICA APLICADACódigo 325, 3º Curso, 1º Semestre, INGENIERÍA INDUSTRIAL
Área Mecánica de Fluidos. Dpto. Tecnología
A.2.- Ecuación del momento para un volumen de control con aceleración arbitraria
Si la cantidad de momento de un sistema respecto a unos ejes coordenados fijos o con velocidad constante:
P
∫=∫=∫∫ ==→=syssyssyssys MMMM sys
dmadmdtVddmV
dtd
dtPdFdmVP ....
rvVV pref ×++= ωComo:
( )rdtd
dtvd
adtVd p
ref ×++= ω
ppp
p vadtvd
rvdtrd
×+=→×+= ωω
( ) ( )
( ) rvrrdtd
rvrdtrdr
dtdr
dtd
p
p
××+×+×=×
×+×+×=×+×=×
ωωωωω
ωωωωωω
rrvaaa ppref ×+××+×++= ωωωω.2
Tem
a 7:
Intro
ducc
ión
a las
Máq
uina
s Hid
rául
icas
57 HIDRAULICA APLICADACódigo 325, 3º Curso, 1º Semestre, INGENIERÍA INDUSTRIAL
Área Mecánica de Fluidos. Dpto. Tecnología
rrvaaa ppref ×+××+×++= ωωωω.2(1) (2) (3) (4) (5) (6)
(1) Aceleración rectilínea absoluta de una partícula relativa al marco de referencia fijo
(2) Aceleración rectilínea absoluta del sistema de coordenadas relativa al marco de referencia fijo
(3) Aceleración rectilínea rectilínea de una partícula relativa al marco de referencia en movimiento
(4) Aceleración de Corilolis debida al movimiento de una partícula dentro del marco en movimiento
(5) Aceleración centrípeta debida a la rotación del marco en movimiento
(6) Aceleración tangencial debida a la aceleración angular dentro del marco en movimiento
Tem
a 7:
Intro
ducc
ión
a las
Máq
uina
s Hid
rául
icas
58 HIDRAULICA APLICADACódigo 325, 3º Curso, 1º Semestre, INGENIERÍA INDUSTRIAL
Área Mecánica de Fluidos. Dpto. Tecnología
Sustituyendo esta aceleración en la expresión de la segunda ley:
[ ]
[ ] [ ]sysM
pM
p
Mp
Mprefsys
Mpprefsys
dtpddmv
dtddm
dtvd
dmadmrrvaF
dmrrvaaF
syssyssyssys
sys
=∫=∫=∫=∫ ×+××+×+−
∫ ×+××+×++=
.....2
..2
ωωωω
ωωωω
Donde es la cantidad de movimiento relativo al marco de coordenadas en movimientop
[ ]sysM
prefsys dtpddmrrvaF
sys
=∫ ×+××+×+− ..2 ωωωω
Ahora, aplicando el Teorema de Arrastre de Reynolds:
( ) Advvdvtdt
pd
C CSppp
sys∫ ∫+∀
∂∂
=∀. ..
.... ρρ
Se obtiene, con una pequeña modificación que:
[ ] ( ) Advvdvt
drrvaFC CS
pppC
prefsys ∫ ∫+∀∂∂
=∀∫ ×+××+×+−∀∀ . ...
.......2 ρρρωωωω
Tem
a 7:
Intro
ducc
ión
a las
Máq
uina
s Hid
rául
icas
59 HIDRAULICA APLICADACódigo 325, 3º Curso, 1º Semestre, INGENIERÍA INDUSTRIAL
Área Mecánica de Fluidos. Dpto. Tecnología
A.3.- La Ecuación de Cantidad de Movimiento Angular: V.C. Fijo
El momento Angular de un sistema homogéneo se define como:
Para un sistema genérico lo definiremos como:
El principio del Momento Angular para un sistema será:
Donde es el momento de torsión total sobre el sistema ejercido por lo alrededores
Normalmente las fuerzas de volumen son la gravedad, por lo que podemos escribir:
VrH ×=
∀×=×= ∫∫∀
dVrdmVrHCMsys
....
ρ
syssys dt
HdT =
sysT
otrosvolumenerficiesyssys TFrFrFrT +×+×=×= sup
( ) otrosC
erficiesyssys TdgrFrFrT +∀×+×=×= ∫∀.
sup ..ρ
Tem
a 7:
Intro
ducc
ión
a las
Máq
uina
s Hid
rául
icas
60 HIDRAULICA APLICADACódigo 325, 3º Curso, 1º Semestre, INGENIERÍA INDUSTRIAL
Área Mecánica de Fluidos. Dpto. Tecnología
∫∫ +∀=∀ vcvc A
sis AdVddtd
dtdN ρηρη
sismVr ×
=η
Aplicando el Teorema de Arrastre de Reynolds para el cálculo de la variación del momento angular:
Ahora, introduciendo estas expresiones en la anterior:
( ) ( )∫∫ ×+∀×=∀ vcvc A
sis AdVVrdVrdtd
dtHd ρρ
( ) ( ) ( )∫∫∫ ×+∀×=+∀×+×∀∀ vcvc A
otrosC
erficie AdVVrdVrdtdTdgrFr ρρρ
.sup ..
Se trata de un V.C fijo, y por tanto todas las velocidades y vectores se determinan respecto al sistema fijo
Tem
a 7:
Intro
ducc
ión
a las
Máq
uina
s Hid
rául
icas
61 HIDRAULICA APLICADACódigo 325, 3º Curso, 1º Semestre, INGENIERÍA INDUSTRIAL
Área Mecánica de Fluidos. Dpto. Tecnología
A.4.- La Ecuación de Cantidad de Movimiento Angular: V.C. Rotatorio
Se va a desarrollar una formulación para un V.C que gira con el móvil, es decir, para un sistema de referencia no inercial.
Para un sistema:
Si el origen de coordenadas del sistema móvil coincide
con el del sistema fijo:
( ) ( ) ∀×+=×+= ∫∫∀
dVrRdmVrRHCMsys
....
ρ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛×==→∀×=→= ∫∫
∀dmVr
dtd
dtHdTdVrHR
sysMsyssys
C..0
.ρ
Como la masa de un sistema es fija, podemos introducir la diferencial dentro de la integral:
( ) dmdtVdrV
dtrddmVr
dtddmVr
dtdT
syssyssys MMMsys ∫∫∫ ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛×+×=×=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛×=
( ) dmardmdtVdrT
dtrd
dtrdV
dtrd
dtrdV
dtrdVV
syssys MMsysRref ∫∫ ×=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛×=→=×=×→=⎯⎯→⎯+=
=00
Utilizando la deducción del apartado anterior:
El producto vectorial de un vector por si mismo siempre vale 0
Tem
a 7:
Intro
ducc
ión
a las
Máq
uina
s Hid
rául
icas
62 HIDRAULICA APLICADACódigo 325, 3º Curso, 1º Semestre, INGENIERÍA INDUSTRIAL
Área Mecánica de Fluidos. Dpto. Tecnología
( )dmrrvarTsysM
ppsys ∫ ×+××+×+×= ωωωω.2
Recordando la expresión de la aceleración deducida con anterioridad:rrvaaa ppref ×+××+×++= ωωωω.2
0, ya que coinciden ambos orígenes de coordenadas
( ) ( ) dmdtvd
rdmardmrrvrTsyssyssys M
p
Mp
Mpsys ∫∫∫ ×=×=×+××+××− ωωωω.2
sysMp
M
p
dthddmvr
dtddm
dtvd
rsyssys
=×=× ∫∫Que es la variación del momento angular referido únicamente al sistema no inercial ( móvil )
( ) otrosC
erficiesys TdgrFrT +∀×+×= ∫∀.
sup ..ρComo:
Y utilizando el teorema de arrastre de Reynolds:
( ) ( )∫∫ ×+∀×=∀ vcvc A
pppsis Advvrdvr
dtd
dthd ρρ `
Tem
a 7:
Intro
ducc
ión
a las
Máq
uina
s Hid
rául
icas
63 HIDRAULICA APLICADACódigo 325, 3º Curso, 1º Semestre, INGENIERÍA INDUSTRIAL
Área Mecánica de Fluidos. Dpto. Tecnología
Sustituyendo:
( ) ( )dthddmrrvrTdgrFr sis
Mpotros
Cerficie
sys
=×+××+××−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+∀×+× ∫∫
∀ωωωωρ .2..
.sup
Obtenemos que:
( ) ( )
( ) ( )∫∫
∫∫
×+∀×=
∀×+××+××−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+∀×+×
∀
∀∀
vcvc Appp
Cpotros
Cerficie
Advvrdvrdtd
drrvrTdgrFr
ρρ
ρωωωωρ
`
.2....
sup
Se trata de un V.C que gira en torno de un eje fijo,un sistema no inercial ( móvil y con aceleración ) y que coincide con el origen de coordenadas del sistema inercial ( fijo ), y por tanto todas las velocidades y vectores se determinan respecto al volumen de control, es decir, sistema móvil.