Download - Introdução Aos Vetores
-
VETORES
-
Vetores
Segmentos orientados
Conceitos e exemplos de vetor.
-
Segmentos orientados
.
Segmento orientado: segmento de reta com um sentido fixado. => liga dois pontos do plano ou do espao tridimensional.
Um segmento orientado definido por dois pontos: o ponto inicial A e o ponto final B, logo dois segmentos orientados com mesma direo, mesmo sentido e mesmo comprimento que tem, por exemplo, pontos iniciais diferentes so segmentos orientados diferentes (Segmentos Equipolentes)
A
B
-
Segmentos orientados
.
Dados os segmentos orientados AB, CD e EF, temos as seguintes propriedades da Equipolncia: 1. AB ~ AB. -> Propriedade Reflexiva. 2. Se AB ~ CD ento CD ~ AB -> Propriedade Simtrica. 3. Se AB ~ CD e CD ~ EF, ento AB ~ EF. -> Propriedade Transitiva. Quando uma relao tem as propriedades reflexiva, simtrica e transitiva
dizemos que esta relao uma relao de equivalncia.
-
Vetores: Definio
=> Como segmento orientado
=> Como vetor
Vetor: o conjunto de todos segmentos orientados de mesma direo, mesmo sentido e mesmo comprimento. Uma classe de equivalncia ou Equipolncia
-
Vetores: Definio
EXEMPLO 2- Na figura abaixo contida no plano (R2) temos 30 segmentos orientados. Quantos vetores temos na figura?
-
Vetores: Definio
EXEMPLO 2- Na figura abaixo contida no plano (R2) temos 30 segmentos orientados. Quantos vetores temos na figura?
Se v um vetor, ou seja, v pertence a V , ento v um conjunto de segmentos orientados equipolentes.
-
Vetores exemplos
Quantidades como massa, comprimento ou tempo -> descritas apenas atravs de nmeros.=> grandeza escalar
Quantidades como fora, velocidade e posio so necessrios: o nmero, a direo e o sentido, nos quais ela atua. => quantidade ou grandeza vetorial (representado por um segmento de reta orientado).
Vetor velocidade da figura a cima aponta na direo e no sentido do movimento e seu comprimento a magnitude desta velocidade.
-
As quatros setas (segmentos de retas orientados) tem o mesmo comprimento, direo e sentido. ==> REPRESENTAM O MESMO VETOR (vetor anda no espao)
Notao de vetores:
Letras latinas minsculas: u, v e w.
Letras latinas maisculas: F - vetor fora.
Letras latinas maisculas e minsculas com uma seta em cima:
-
Este vetor v especificado atravs das coordenadas do seu ponto final (v1 ,v2 ,v3).
cujo o seu ponto inicial a origem.
Chamamos de posio padro de um vetor v aquele segmente de reta
-
Um vetor tridimensional um trio ordenado de nmeros reais.
Dois vetores u e v so iguais se, e somente se, seus segmentos orientados em posio padro so idnticos. Ou seja,
A magnitude ou mdulo de um vetor o comprimento de qualquer uma das representaes equivalentes de seus segmentos de reta orientados, i.e.
O nico vetor sem direo especfica e com comprimento nulo o vetor nulo:
Vetor nulo
Observe que se v for representado pelo segmento de reta cujo o
ponto inicial P(x1 ,y1 ,z1) e o ponto final Q(x2 ,y2 ,z2) ento as suas componentes so dadas por,
-
Exemplo 3: Componentes e comprimento de um vetor
-
Operaes entre Vetores
Operaes algbricas com vetores.
Vetores unitrios (versores).
Construes geomtricas.
-
Operaes algbricas com vetores Definiremos duas operaes no tratamento de quantidades vetoriais:
Adio de vetores e multiplicao de um vetor por um escalar real.
Adio de vetores corresponde a soma de suas componentes.
Multiplicao por um escalar => multiplicamos cada uma das componentes do vetor pelo escalar.
-
A adio de vetores pode ser interpretada geometricamente de duas formas:
O ponto inicial de um vetor colocado no ponto final de outro. Soma das componentes = vetor resultante.
Regra do paralelogramo onde a soma, denominada vetor resultante, a diagonal do paralelogramo.
-
A interpretao geomtrica do produto ku do escalar k e do vetor u mostrada na figura ao lado.
O comprimento de ku o valor absoluto de k multiplicado pelo mdulo de u, veja:
A diferena de dois vetores a soma u - v = u + (-v). Assim, Observe que
(u - v) + v = u .
-
Provas de algumas propriedades:
P. 8:
P. 1:
-
Exemplo : Operaes com vetores
-
Vetores unitrios
Um vetor v dito unitrio (versor) se ele possui comprimento 1.
Os vetores unitrios padro so:
Qualquer vetor v pode ser escrito como combinao linear destes vetores padro:
Os vetores i, j e k formam uma base chamada base cannica.
Seguindo esta abordagem o vetor de P1(x1 ,y1 ,z1) a P2(x2 ,y2 ,z2) escrito como:
-
Exemplo : Direo de um vetor
-
Exemplo : Direo e mdulo do vetor velocidade
-
Construes geomtricas
Ponto mdio de um segmento de reta