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Introdução à Nanotecnologia
Dualidade onda-partícula
“Não leve essa aula muito a sério… apenas relaxe e desfrute dela. Vou contar para vocês como a natureza se comporta. Se você admitir simplesmente que ela tem esse comportamento, você a considerará encantadora e cativante. Não fique dizendo para si próprio: “Mas como ela pode ser assim?” porque nesse caso você entrará em um beco sem saída do qual ninguém escapou ainda. Ninguém sabe como a natureza pode ser assim”.
Richard Feynman (1918-1988)
Prêmio Nobel de Física 1965
Introdução à Mecânica Quântica
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Mecânica clássica - Mecânica dos objetos macroscópicos: Leis de Newton. Partículas ou corpúsculos. Física corriqueira, intuitiva.
Física das ondas: Ondas sonoras, eletromagnéticas. Difração e interferência.
Mecânica quântica: Mecânica dos objetos microscópicos (átomos e elétrons, por exemplo). Se comportam em muitas situações como partículas e em outras como ondas.
1.1 - A mecânica dos objetos microscópicos
Mecânica quântica: teoria abstrata ou aplicada? Invenções que só foram possíveis por causa da mecânica quântica: computador, laser, energia nuclear, imagens de ressonância magnética, etc. Em 2000, a revista Scientific American estimou que 1/3 do produto interno bruto dos EUA estava ligado à mecânica quântica!
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1.2 - A experiência de fenda dupla com projéteishttp://www.physik.uni-muenchen.de/didaktik/Computer/Doppelspalt/dslit.html
• Descrição
• Simulação
• Projéteis chegam em pacotes idênticos
• Projéteis não apresentam interferência 2112 PPP
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http://www.upscale.utoronto.ca/GeneralInterest/Harrison/DoubleSlit/DoubleSlit.html
P1
P2
P12
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1.3 - A experiência de fenda dupla com ondas
Fonte
Anteparo
Detetor
móvel
x x
I1
I2
I12
• Ondas podem ter qualquer intensidade: contínua, não discreta.
• Ondas mostram interferência: 2112 III
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cos2 212112 IIIII
Casos especiais:
Interferência construtiva (=0):
Interferência destrutiva (=):
x
1
2
d1
d2
ndd 21
ndd 21
2
1221
ndd
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1.3 - A experiência de fenda dupla com elétrons
• Podemos medir a probabilidade ou taxa média de chegada do elétron em uma certa posição x.
• Simulação
Supondo que o impacto de um elétron no detetor produza um som de “clique”:
(a) Todos os “cliques” são idênticos.
(b) Os “cliques” acontecem de forma bastante errática. O instante de chegada dos elétrons parece ser imprevisível.
(c) Nunca escutamos dois “cliques” simultaneamente, ou seja, os elétrons chegam um de cada vez.
Elétrons chegam em pacotes idênticos: são como
“bolinhas”!
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Elétrons apresentam interferência!!!
Fonte de
elétrons
Anteparo
Detetor
móvel
x x
P1
P2
P12
2112 PPP
Para elétrons: Decididamente, elétrons
NÃO são como “bolinhas”…
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Resumo• Projéteis chegam em pacotes idênticos e não apresentam interferência:
• Ondas podem ter qualquer intensidade e apresentam interferência:
• Elétrons chegam em pacotes idênticos e apresentam interferência!
2112 PPP
2112 III
2112 PPP
Dualidade onda-partícula: Elétrons às vezes se comportam como ondas, outras vezes como
partículas
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1.4 - A luz como partícula: O Efeito Fotoelétrico
Hertz (1886) Lenard Millikan
(1914) Nobel 1923
Corrente vs. voltagem para luz de mesma frequência mas intensidades diferentes
Elétrons são emitidos com energia cinética máxima: 0max eVT
Potencial de retardo ou potencial de corte
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V0
0
V0 em função da frequência da luz
Tmax = 0 , elétrons não são mais arrancados do eletrodo
Problemas com a teoria clássica:
1. Intensidade: Energia máxima dos elétrons emitidos deveria depender da intensidade da onda eletromagnética.
2. Frequência: Efeito fotoelétrico deveria ocorrer para qualquer frequência.
3. Tempo de atraso: Para luz suficientemente fraca, o elétron só poderia ser emitido quando acumulasse energia suficiente da onda, que deveria ser absorvida de forma contínua. Nenhum tempo de atraso jamais foi detectado.
Frequência de corte
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A hipótese do fóton - Albert Einstein, 1905 (Nobel 1921)
• Energia da luz é quantizada em “pacotes” (fótons) de valor E = h, onde h = 6,63×10-34 J.s é a constante de
Planck
• O fóton carrega também momento linear:
h
c
h
c
Ep
• Energia é transferida de forma discreta, através de processos individuais de colisões entre 1 fóton e 1
elétronW
W
W : função trabalho (propriedade do
material)
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• Fótons com energia h < W não vão conseguir arrancar elétrons do metal: h 0= W
V0
0
e
hV
h
WheVT
)(
)(
00
0
0max
Inclinação da reta fornece a constante de
Planck!
Millikan obteve h = 6,57×10-34 J.s
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Aplicação: célula fotoelétrica
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Como obter P12? Use a matemática das ondas!
Associar uma onda ao elétron: Louis de Broglie (Tese de Doutorado, 1924; Nobel
1929)
Mesmas relações sugeridas por Einstein para fótons:
1.4 – Ondas de matéria
h
p
hE
Exemplo: elétron com energia cinética de 100 eV, qual o comprimento de onda?
nm 12,02
;22
2
mT
h
p
h
mTpm
pT
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Verificação experimental: difração de elétrons por cristais
(Davisson-Germer e Thomson, 1927; Nobel 1937)
Davisson Thomson
Nanopartícula de CdSe
Microscopia eletrônica de transmissão de alta
resolução
“J. J. Thomson (pai) mostrou que o elétron é uma
partícula, G. P. Thomson (filho) mostrou que o elétron
é uma onda”
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Por que as propriedades ondulatórias da matéria não são notadas no dia-a-dia?
Problema: qual o comprimento de onda de um objeto de 1 kg movendo-se a 10 m/s?
m1063,6kg.m/s 10
J.s1063,6 3534
mv
h
p
h
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Os Postulados da Mecânica Quântica
2.1 – A Função de Onda
Uma partícula quântica é descrita por uma função de onda (r,t), que:
• Contém toda a informação sobre a dinâmica da partícula
• É uma função complexa
• É unívoca, finita e contínua
• Tem derivadas unívocas, finitas e contínuas
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(Na maior parte dos exemplos, vamos nos restringir a uma dimensão, por simplicidade)
Exemplo: partícula livre (não sofre a ação de forças).
• Momento linear é constante.
• Função de onda deve reproduzir os postulados de de Broglie:
2 ;
2
angular) a(frequenci 2
onda) de(vetor 2
plana) (onda ),(
;)(
hEkk
hp
k
Aetx
hEphtkxi
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Interpretação probabilística da função de onda Max Born 1926 (Nobel 1954)
Se, no instante t, é feita uma medida da localização da partícula associada à função de onda (x,t), então a probabilidade P (x,t)dx de que a partícula seja encontrada entre x e x+dx é igual a *(x,t) (x,t)dx.
-
*
*
1),(),( :aoNormalizac
),(),(),( :adeprobabilid de Densidade
txtx
txtxtxP
Note que P (x,t) é real e não-negativa, como toda probabilidade…
“Deus não joga dados
com o universo”
(Albert Einstein)
“Einstein, pare de dizer a Deus o que
fazer”
(Niels Bohr)
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2.2 – A Equação de Schroedinger
(Schroedinger 1926, Nobel 1933)
t
txitxtxV
x
tx
m
),(
),(),(),(
2 2
22
V(x,t): energia potencial
2
2
2
2
2
22
22
:Laplaciano
;),(
),(),(),(2
:3D Em
zyx
t
tritrtrVtr
m
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Exemplo: partícula livre (V=0)
)()(
222
2
2
22
2
2
22
2
22
2
22
2
22
),( :geral Solucao
2)( :Solucao
2
2
)( )(
1
2
1
)]()([)]()([
2
)()(),( : variaveisde Separacao
),(),(
2
tkxitkxi
ikx
tiiEt
BeAetx
m
kEk
dx
dex
mE
dx
dE
dx
d
m
EeetiE
dt
dE
dt
di
Edt
di
dx
d
m
t
txi
x
tx
m
txtxt
txi
x
tx
m
Relação de dispersão (k)
(eletrons)
2
2
m
k
(fotons)
ck
k
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2.3 – Operadores Quânticos
A cada grandeza física corresponde um operador matemático, que opera na função de onda.
),(),(),(
livre? particula da onda de funcao na operamos quando acontece que O
:linear momentoOperador
)()( txptxkekex
itxp
px
ip
p
tkxitkxiop
op
op
op
Quando aplicamos um operador a e obtemos de volta a própria multiplicada por uma constante, diz-se que é uma
autofunção do operador, com autovalor igual à constante obtida. Quando isso acontece, diz-se que a grandeza física
associada tem valor bem definido, com incerteza nula.
Assim, a da partícula livre é uma autofunção do operador momento, com autovalor ħk.
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),(),(),(
livre? particula da onda de funcao na operamos quando acontece que O
: energiaOperador
)()( txEtxeet
itxE
Et
iE
E
tkxitkxiop
op
op
op
A da partícula livre também é uma autofunção do operador energia, com autovalor ħ.
2
22
222
: cinetica energiaOperador
xmmx
ix
i
m
ppT
T
opopop
op
Cxex
xx
tkxi
op
)(
:posicao da autofuncao uma e' nao livre particula da a que Note
posicaoOperador
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Note que a equação de Schroedinger pode ser escrita em termos dos operadores:
op
opop
opopop
EH
HVT
EVTt
txitxtxV
x
tx
m
no)Hamiltonia(operador
),(),(),(
),(
2 2
22
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2.4 – Valores Esperados
• Em geral, o resultado de uma medida de uma certa grandeza física tem uma natureza aleatória: não pode ser previsto com total certeza.
• Pergunta: qual o valor esperado ou valor mais provável (do ponto-de-vista estatístico) do resultado de uma medida?
dxtxQtxQ
tQ
op
op
),(),(
:por dado e' instante no medida da esperado valor O
.operador ao associada fisica grandeza certa uma Seja
*
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2.5 – A Equação de Schroedinger independente do tempo
tempodo teindependener Schroeding de Equacao
)(2
)( )(
1)(
2
1
)]()([)()()(
)]()([
2
)()(),( : variaveisde separacao Novamente,
),(),()(
),(
2
)(),( : tempodo depende nao potencial o
quandoer Schroeding de equacao a Considere
2
22
2
22
2
22
2
22
ExVdx
d
m
EeetiE
dt
dE
dt
di
Edt
dixV
dx
d
m
t
txitxxV
x
tx
m
txtxt
txitxxV
x
tx
m
xVtxV
tiiEt
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energia da
sautovalore osencontrar permite solucao Sua
sautovalore de Equacao
)(2
:noHamiltoniaoperador o se-Define
2
22
EH
xVdx
d
mVTH opop
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Exemplos de aplicação da Equação da Schroedinger em 1D
3.1 – Partícula livre (revisão)
m
kE
BeAex
Edx
d
m
xV
ikxikx
2 :Energias
)( :Solucoes
2 :erSchroeding Eq.
0)( Potencial
22
2
22
2
22
m
kE
k
E
Qualquer energia positiva é permitida
(energia varia de forma contínua)
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V
x0 L
0ou ,
0 ,0)(
:Potencial
xLx
LxxV
3.2 – Poço de potencial infinitoR
egiã
o
pro
ibid
a Regiã
o
pro
ibid
a
m
kEBeAex
Edx
d
m
xVLx
x
xLx
ikxikx
2 ;)( :Solucao
livre) particula a (como 2
:erSchroeding Eq.
:0)( temos,0 Em
0)(
:proibida) (regiao 0ou Em
22
2
22
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xkAxmL
n
m
kE
L
nk
nnkLkLALLx
kxAeeAx
BABAx
L
Lxx
nnn
nnn
ikxikx
sen)( :onda de Funcoes
)quantizada (energia 22
...)3,2,1(0sen)( : Em
..)constante. uma de menos (a sen)(
0)0( :0 Em
0)()0(
:CONTORNO DE CONDICAO
e 0 em continuaser deve onda de Funcao
2
22222
n : número quântico
V
x0 L
Regiã
o
pro
ibid
a Regiã
o
pro
ibid
a
E1
E2
E3
0 L 0 L
0 L 0 L
n = 1 n = 2
n = 3 n = 4
(x)
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Comentários de validade geral:
•Partículas que estão confinadas a uma região do espaço têm um espectro discreto de energias, ou seja, têm energias quantizadas
• Matematicamente, isto decorre das condições de contorno impostas nas extremidades (como numa corda vibrante)
• Quanto maior o número de zeros (nós) da função de onda, maior a energia do estado
Exemplo em nanotecnologia: Poços
quânticos semicondutores
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Efeito túnel: Atravessando barreiras
P < 100 %100% - P
P = 100 %Barreira
3.3 – Potencial degrau, barreira de potencial e efeito túnel
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V
x0
V0
E < V0E
1 2
EVm
DeCex
EVEVm
dx
d
EVdx
d
m
xx
0
2
020
2
2
02
22
2 onde
,)( :Solucao
0 ,2
2
:erSchroeding Eq.- 2 Regiao
mE
km
kE
BeAex ikxikx
2
2
refletida) (incidente )(
:livreeletron - 1 Regiao
22
1
Potencial degrau
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Encontrar B, C e D em termos de A
)1(
:0 em continuaser Deve
0
:divergir pode nao onda de Funcao
0,)(
0,)(
2
1
DBA
x
C
xDeCex
xBeAexxx
ikxikx
Aik
ikDDA
ik
ikA
Aik
ikBBABAik
DikBikA
dx
d
dx
d
x
xx
2
)()(
:obtemos (2), e (1) Combinando
)2(
:0 em continuas derivadas ter Deve
0
2
0
1
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Barreira de potencial e Efeito TúnelV
x0
V0 (x)
xe
Existe uma probabilidade de
encontrar o elétron na região classicamente
proibida
V
x0
(x)
a
incidente
refletido
transmitido
Se a barreira for suficientemente
pequena (largura a) o elétron poderá ser
transmitido (tunelar) com uma certa
probabilidade: EFEITO TÚNEL
atrans eaP 22
2 )( Simulações: http://www.neti.no/java/sgi_java/WaveSim.html
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“Efeito túnel” em ondas clássicas: Ondas evanescentes
Reflexão interna total
Acoplamento entre guias de onda
http://wwwhome.math.utwente.nl/~hammerm/Metric/Illust/parcoreM.html
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Aplicação em nanotecnologia: STM(scanning tunneling microscope)
Visualização e manipulação de átomos
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Heinrich Rohrer (à esquerda) e Gerd K. Binnig (direita), cientistas do IBM's Zurich Research Laboratory, na Suíça, receberam
o Prêmio Nobel de Física de 1986 por seu trabalhono desenvolvimento do microscópio de varredura por tunelamento.
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STMVisualizando átomos
Superfície de Silício(Naval Research Lab, Wash DC, USA)
Superfície de Níquel(IBM Research Labs, California)
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Referências:• “Materiais e Dispositivos Eletrônicos”, Sergio M. Rezende, Editora Livraria da Física – Seções 2.3, 2.4, 3.1, 3.2, 3.3 e 3.4.
• “Física Quântica”, Eisberg e Resnick, Editora Campus - Seções 2.2, 2.3, 2.5, 2.4, Cap. 3, 5.1 a 5.5, 6.1, 6.2, 6.3, 6.5, 6.8 e 6.9
• “Lectures on Physics”, Feynman, Vol. 1, Cap. 37 (interferência com fenda dupla)
Problemas:
Rezende 2.8, 2.9, 2.12, 2.13, 3.2, 3.6, 3.7. 3.9, 3.10 Reproduza os cálculos realizados nesta aula.
Apresentação de Rodrigo Capaz