Integrationsunterricht zum Thema Differenzialgleichungen
Daniel Diserens und Martin Lehner Deutsches Gymnasium Biel
Workshop Köniz, 27.10.03
http://www2.dgb.ch/users/le/iwshop.html
Workshop Übersicht• Die fächerübergreifende Kursform
‚Integrationsunterricht‘ (IU) am Deutschen Gymnasium Biel (DGB)
• Maturprüfung im Schwerpunktfach PAM am DGB• Inhalt und Hauptziele unseres IU‘s• Organisation des IU‘s Differenzialgleichungen• Zwei konkrete Beispiele aus dem IU• Erfahrungen, Material zum IU• Diskussion
Die fächerübergreifende Kursform ‚Integrationsunterricht‘ (IU) am
Deutschen Gymnasium Biel (DGB)
• Dauer 1 Semester (2 Lektionen/Woche)• Die zwei Lehrkräfte der beiden Fächer sind in beiden
Lektionen anwesend.• Kosten: In jedem Fach eine zusätzliche Lehrer/innen-
Lektion.• Die Anzahl Lektionen für die Klasse bleibt
unverändert.• Inhalt: Ein fächerübergreifendes Thema.
Die Maturprüfung im SPF PAM am DG Biel
• Schriftliche AM-Prüfung mit einer ‚physiknahen‘, obligatorischen Aufgabe aus dem IU
• Beispiele siehe mat-am.doc auf http://www2.dgb.ch/users/le/wshop/• Mündliche Physikprüfung
Hauptziele des IU Differenzialgleichungen
• Verbindung der Teile P+AM zu PAM
• Erkennen des Zusammenhangs zwischen physikalischem Problem und Differenzialgleichung
• Programmierung und Anwendung numerischer Verfahren
Semesterplanung
Woche Inhalt Unterricht
1 Einführung (Freier Fall,Euler, Begriffe)
Gemeinsam
2 Einführung (Runge-Kutta II, Übungen)
Gemeinsam
3-6 FederpendelEinschaltvorgängeDiffgl. 2. OrdnungAnalytische Lös.wege
4 Gruppenje 2 betreutvon 1 LK
Semesterplanung
Woche Inhalt Unterricht
7-10 FadenpendelEinschaltvorgängeLogistischesWachstumRäuber-Beute-Modell
4 Gruppenje 2 betreutvon 1 LK
11 Übungen Gemeinsam
12 Probe Gemeinsam
Semesterplanung
Woche Inhalt Unterricht
13 Rückgabe, Projektthemen und–organisation
Gemeinsam
14-16 Projekte:TaylorreiheKettenlinie, GekoppelteSchwingung, Schiefer Wurfmit Luftwiderstand
Gemeinsam
17 Abschluss, Präsentation derProjekte
Gemeinsam
Einschaltvorgänge
• Kondensatorladung (Einfaches RC-Glied)
• RLC-Glied
R
L
CU
ULI, PC
• Messung mit ULI (Interface) und PC• Rechnung mit MATHEMATICA
0)0y(,0y(t)C
1Ry'(t)Ly''(t)
RC-Glied mit MATHEMATICAClearR, c, U;c 0.00105; R 480; U 2.624; L 630.;
sol1 DSolveR y't 1c yt U, y0 0, yt, t;p1 PlotEvaluate1cyt.sol1,t, 0, 2
0.5 1 1.5 2ts0.5
1
1.5
2
2.5
UV
Eulerverfahren
xen_ x0 nh;yen_: yen hfxen 1, yen 1 yen 1;ye0 y0;euler Tablexen, yenc,n, 0, 20;TableFormeuler
fx_, y_ UR yRc;h 0.1; x0 0; y0 0;
0.5 1 1.5 2ts0.5
1
1.5
2
2.5
UV
Runge-Kutta 2. Ordnung
xrn_ x0 nh;yrn_: yrn yrn 1 1
2hfxrn 1, yrn 1
12hfxrn 1 h, yrn 1hfxrn 1, yrn 1
yr0 y0;0.5 1 1.5 2
t s0.5
1
1.5
2
2.5
U V
RLC-Glied (Messung und Theorie)
2 4 6 8 10ts
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
UV
IU Klasse 1e, Messung 4.11.02
Simulation MATHEMATICADSolveLy''tRy't1Cyt Uo,
y00, y'00, yt, t
data ReadList"mess.txt",Number, Number;plomess ListPlotdata, PlotStyle PointSize0.007;
Eulerverfahren für RLC-Gliedft_, x_, y_ x;gt_, x_, y_ UL RLx 1cLy;h 0.1;
tn_: t0 nh;t0 0;
xen_: xen xen 1 hgtn 1, xen 1, yen 1;yen_: yen yen 1 hftn 1, xen 1, yen 1;xe0 0;ye0 0;
Eulerverfahren für RLC-Glied
Abweichung von der exakten Kurve für h = 0.1 s
2 4 6 8 10ts0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
UV
Populationsmodelle
• Modell 1: Exponentielles Wachstum
• Modell 2: Logistisches Wachstum
• Modell 3: Räuber-Beute Modell von Lotka/Volterra
Exponentielles Wachstum
kan(t): Anzahl Kaninchen zum Zeitpunkt t
tc
tc
eatkan
eytcytyc
dtdyyc
dtyc
dyyc
dt
dy
)(
lnln1
11
)()(' tkanctkan
Logistisches Wachstum
)()(' tkanctkan
Die Differenzialgleichung zum exponentiellen Wachstum wird um den Faktor in der Klammer erweitert.
K
tkan )(1
K ist die Kapazitätsgrenze.
Beispiel: Hefewachstum
http://www.learn-line.nrw.de/angebote/modell/hefe/hefe.htmbefindet sich eine Tabelle mit Messdaten des Hefe-Wachstums.Tab. 1: Wachstum einer Hefekultur (Carlson 1913)Zeit t (in Std.) Hefemenge, N(t) (in mg) Zeit t Hefemenge
0 9,6 10 513,31 18,3 11 559,72 29,0 12 594,83 47,2 13 629,44 71,1 14 640,85 119,1 15 651,16 174,6 16 655,97 257,3 17 659,68 350,7 18 661,89 441,0 Quelle: Krebs 1972,S.218
Hefewachstum (2)
Die Messdaten ergeben folgenden Kurve:
2 4 6 8 10 12 14 16 18
100
200
300
400
500
600
Hefewachstum (3)Durch Ausprobieren finden die Schüler
c=0.29, K=665 und f(0)=9.6: (Euler-Verfahren)
2 4 6 8 10 12 14 16 18
100
200
300
400
500
600
Räuber-Beute Modell
• kan(t): Kaninchen zum Zeitpunkt t• fu(t): Füchse zum Zeitpunkt t• Gekoppelte Differenzialgleichung
)()()()('
)()()(
1)()('
tfustkantfugftfu
tkantfujK
tkantkanctkan
Parameter
• c und K aus dem Modell logistisches Wachstum
• j: Jagderfolg der Füchse
• gf: Vermehrung der Füchse aufgrund von Fresserfolg
• s: Sterben der Füchse aufgrund von Konkurrenz
Berechnung mit Euler-Verfahren
kan(0)=2000, K=4000, fu(0)=10,
c=0.1, j=0.05, gf=0.00005, s=0.025.
200 400 600 800 1000
500
1000
1500
2000
2500
3000
Kaninchen
Berechnung mit Euler-Verfahren
200 400 600 800 1000
5
10
15
20
25
30Füchse
Populationen konvergieren gegen ein Gleichgewicht
250 500 750 1000 1250 1500 1750 2000Kaninchen
5
10
15
20
25
30
35Füchse
Material zum IU
Skripte, MATHEMATICA-Dateien, Einführungsübungen, etc. siehe http://www2.dgb.ch/users/le/iwshop.html