Indice
��� Premessa � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���� Introduzione � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
����� Un semplice esempio � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
� Teoria dell� errore �M�Frontini� ���� De�nizioni �M�F� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� Numeri macchina ��oating point �M�F� � � � � � � � � � � � � ����� Propagazione degli errori �M�F� � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
����� Somma algebrica � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������� Prodotto � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������� Divisione � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������� Radice quadrata � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
��� Alcuni esempi �M�F� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����� Cancellazione numerica � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����� Instabilit�a algoritmica � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������� Sensitivit�a del problema � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
�� Riepilogo �M�F� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���� �� Esercizi � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
� Algebra lineare numerica �M�Frontini� ����� Sistemi lineari �M�F� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
����� Richiami di algebra lineare � � � � � � � � � � � � � � � � ������ Operazioni sulle matrici � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��� Metodi diretti �M�F� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������� Il metodo di eliminazione di Gauss � � � � � � � � � � � ������� Decomposizione LU � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������� Decomposizione di Cholesky � � � � � � � � � � � � � � � �
��� Analisi dell�errore �M�F� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������� Richiami sulle norme di vettore � � � � � � � � � � � � � ��
�
� INDICE
����� Stima dell�errore � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����� Metodi iterativi �M�F� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
����� Ra�namento iterativo di Wilkinson � � � � � � � � � � � � ����� Metodo di Jacoby � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����� Metodo di Gauss�Seidel � � � � � � � � � � � � � � � � � ������� Metodi di rilassamento SOR � � � � � � � � � � � � � � � ����� Metodi non stazionari � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
�� Sistemi sovradeterminati �M�F� � � � � � � � � � � � � � � � � � ����� Riepilogo �M�F� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
����� Esercizi � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����� Autovalori di matrici �M�F� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
����� Richiami e de�nizioni � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������� Metodi locali � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������ Metodi globali � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������ Analisi dell�errore � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
��� Riepilogo �M�F� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����� Esercizi � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
� Zeri di funzioni �M�Frontini� ���� Metodo di bisezione �M�F� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
����� Falsa posizione � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����� Metodi di punto �sso �M�F� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����� Metodo di Newton �M�F� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
����� Metodo delle secanti � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������� Metodo di Ste�ensen � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��� Sistemi non lineari �M�F� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������� Metodi di punto �sso � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������� Metodo di Newton per sistemi � � � � � � � � � � � � � � ��
�� Zeri di polinomi �M�F� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���� �� Schema di Horner � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���� �� Radici multiple � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��� Riepilogo �M�F� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������� Esercizi � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
Teoria dell�approssimazione �M�Frontini� ����� Interpolazione �M�F� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
����� Polinomi di Lagrange � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������� Sistema di Vandermonde � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
INDICE �
����� Stima dell�errore � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����� Di�erenze divise � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������ Interpolazione di Hermite � � � � � � � � � � � � � � � � ������� Spline � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������ Derivazione numerica � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
��� Minimi quadrati �M�F� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����� Polinomi trigonometrici � � � � � � � � � � � � � � � � � �
��� Riepilogo � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������ Esercizi � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
� Formule di Quadratura �M�Frontini� � � �� Formule di Newton�Cotes �M�F� � � � � � � � � � � � � � � � � ���
���� Formule composite � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� �� Formule adattive �M�F� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� �� Formule gaussiane �M�F� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
���� Integrali impropri � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� �� Riepilogo �M�F� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
���� Esercizi � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
Equazioni di�erenziali ordinarie �M�Frontini� ������ Metodi ad un passo �M�F� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
����� Metodi di Taylor � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �������� Metodi Runge�Kutta � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �������� Sistemi del primo ordine � � � � � � � � � � � � � � � � � �������� Stabilit�a numerica � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
��� Metodi a pi�u passi �M�F� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �������� Metodi di Adams � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �������� Stabilit�a numerica � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
��� Riepilogo �M�F� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �������� Esercizi � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
� INDICE
��� Premessa
La continua richiesta da parte degli studenti dei corsi di Calcolo Numericoda me tenuti mi ha spinto� dopo non pochi ripensamenti� alla stesura diqueste brevi note� Sebbene sia sempre convinto che esistono sulla piazzamolti ottimi libri di Calcolo Numerico� mi sono altres�i convinto che per glistudenti pu�o essere di grande aiuto� per la preparazione dell� esame� un testoguida che contenga gli argomenti svolti nel corso dell� anno� Per questaseconda ragione i presenti appunti sono stati stesi� giorno per giorno� durantelo svolgimento del corso di Calcolo Numerico ��� annualita� del secondosemestre ��� Nonostante l�aspetto tipogra�co �grazie al �favoloso� TeXrestano dei semplici appunti per cui si invitano �n d�ora gli studenti adepurare il testo dei vari errori di stampa e dalle eventuali imprecisioni�
Questo sforzo �e stato fatto principalmente per gli studenti che� a causadelle sovapposizioni d�orario� non riescono a seguire le lezioni� Per quelliche seguono un invito a segnalarmi le discrepanze fra appunti e lezioni� Leprime bozze di questi appunti saranno disponibili� per gli studenti del corso�sulla mia pagina Web �http���marfro�mate�polimi�it sotto forma di �le post�script o DVI �sperimentale utilizzo didattico del potente mezzo informatico�Internet�
��� Introduzione
Gli argomenti del corso� divisi in � capitoli� sono i seguenti�
�� Teoria dell� errore
�� Algebra lineare numerica
Sistemi lineari
Autovalori
�� Zeri di equazioni e sistemi non lineari
�� Teoria dell� approssimazione
Interpolazione
Minimi quadrati
���� INTRODUZIONE
� Formule di quadratura
�� Equazioni di�erenziali ordinarie
Nel capitolo �� dopo aver introdotto i concetti di errore relativo� di nu�mero macchina e di epsilon macchina� viene studiata la propagazione dell�errore relativo nelle operazioni elementari di macchina� Vengono presentatianche i concetti di stabilit�a algoritmica e di condizionamento di un problemanumerico� Con semplici esempi si introducono anche il concetto di erroredi troncamento� di convergenza ed accuratezza �o stima dell� errore per unprocesso numerico iterativo�
Nel capitolo �� vengono presentati i principali metodi� sia di tipo direttoche di tipo iterativo� per la risoluzione di sistemi lineari� Per i metodi diretti siporr�a l� accento sulla loro complessit�a computazionale� mentre per gli iterativisi analizzeranno in dettaglio le condizioni di convergenza e maggiorazionedell� errore� Il problema del condizionamento di matrici e la sua in�uenzasulla �buona� risolubilit�a di un sistema lineare verr�a trattato in dettaglio�Viene fatto un cenno sulla risoluzione di sistemi lineari nel senso dei minimiquadrati�
Per il calcolo degli autovalori e autovettori di matrici si presenta in det�taglio il metodo delle potenze ed alcune sue varianti� facendo solo un cennoai metodi globali �algoritmo QR�
Nel capitolo �� vengono presentati alcuni metodi iterativi generali peril calcolo degli zeri di funzioni e sistemi non lineari� Dopo aver introdottoil classico metodo di bisezione� viene presentata la famiglia dei metodi dipunto �sso �metodi di ordine k� con le relative condizioni di convergenzaed accuratezza� Il metodo di Newton e le sue varianti vengono studiati indettaglio anche per sistemi� Per le equazioni algebriche vengono presentatimetodi basati sull� uso della matrice di Frobenious o companion matrix� Vie�ne inoltre discusso il problema della sensitivit�a delle radici di un polinomioalle variazioni dei suoi coe�cienti�
Nel capitolo �� si fornisce una breve introduzione alle problematiche dell�approssimazione� Dopo aver richiamato i concetti base di miglior approssi�mazione si d�a spazio all� interpolazione polinomiale con qualche cenno all�interpolazione mediante funzioni spline� Per quanto riguarda l� approssima�zione nel senso dei minimi quadrati verr�a considerato il caso polinomiale e diFourier�
Nel capitolo � vengono presentate le formule di tipo interpolatorio diNewton�Cotes semplici e composte� de�nendone l� accuratezza e provando�
� INDICE
ne la convergenza �composte� Si far�a inoltre un breve cenno alle formuleGaussiane e alla loro propriet�a di ottimalit�a�
Nel capitolo �� si forniscono gli strumenti essenziali per a�rontare in modocritico la risoluzione dei problemi di�erenziali che tanto interessano i moder�ni ingegneri� Vengono presentate in dettaglio le formule ad un passo �qua�li i metodi Runge�Kutta dandone una semplice deduzione e so�ermandosisui concetti di consistenza� stabilit�a e convergenza� Per le formule a pi�upassi verr�a fatta una breve introduzione al �ne di evidenziarne gli aspetticomputazionali�
����� Un semplice esempio
Prima di addentrarci nel vivo dello studio dei metodi numerici mi sembraopportuno dare una pur semplice giusti�cazione dell� importanza di tali me�todi� A tal �ne pu�o essere utile considerare il seguente problema modello�modello di Malthus� �
y� � �yy�� � y�� y� � �
��
la cui soluzione �e y�t � y�e�t� Se il problema �� simula la crescita di una
colonia di batteri� pu�o essere interessante individuare il tasso di crescita ��A tal �ne �e su�ciente conoscere il valore y�t� � y�� per risolvere�
y�e�t� � y�t� ��
mediante la formula�
� ��
t�ln
�y�t�y�
���
��e necessaria una calcolatrice tascabile con la funzione logaritmo�Se si complica un poco il modello includendo il fenomeno di immigrazio�
ne ed emigrazione l� equazione di�erenziale del problema di Cauchy �� sicomplica di poco divenendo
y� � �y � d ��
dove la costante d tiene conto del nuovo fenomeno� La soluzione di �� tenutoconto delle condizioni iniziali date in �� �e quindi�
y�t � e�t�y� �
d
�
��� e��t
���
���� INTRODUZIONE �
dalla � si ha�
e��t�
y�t� � y� �d
�
��� e��t
��
equazione NON lineare in � per la cui risoluzione sono necessari metodinumerici�
Il semplice esempio riportato suggerisce uno schema generale di lavoroquando si debba risolvere un problema reale�
Schema risolutivo di un problema
Problema realeerrori�
modello
Corsi speci�ci
Modello matematico � Soluzione analitica �errori �troncamento
Modello numerico � � �nito passierrori � arrotondamento
Algoritmo� programma � � �nito bit�
Soluzione numerica�
�l
Analisi risultati
� INDICE
Capitolo �
Teoria dell� errore �M�Frontini�
��� De�nizioni �M�F��
Introduciamo alcune de�nizioni che ci serviranno in seguito� Dati due numerireali x e x dove x �e il valore �vero� e x �e il valore approssimato �di x�de�niamo�
De�nizione ����� Errore assoluto la quantit�a�
jx� xj � ex
De�nizione ����� Errore relativo la quantit�a�
jx� xjjxj �
exjxj � �x
De�nizione ����� Numero troncato a t cifre chopping� valore che si ot�tiene ignorando le cifre dopo la t�esima� Es� ��� � �e il troncato alla quartacifra di ��� ��������
De�nizione ���� Numero arrotondato a t cifre rounding� valore che siottiene ignorando le cifre dopo la t�esima se la �t � ��esima �e in base ��� � ed aumentando la t�esima di una unit�a se la �t� ��esima �e in base ��� � Es� ��� � �e l� arrotondato alla quarta cifra di ��� ��������
De�nizione ����� Intervallo d�indeterminazione� intervallo in cui �e com�preso il valore esatto
x� ex � x � x � ex
�� CAPITOLO �� TEORIA DELL� ERRORE �M�FRONTINI�
Dalle de�nizioni date per l� errore assoluto e relativo si vede subito che �el� errore relativo quello che pi�u interessa nelle applicazioni �numero di cifreesatte� si pu�o osservare altres�i che se x �e �piccolo� in modulo �prossimo azero l� errore assoluto �e sicuramente pi�u signi�cativo� Per questo motivosi preferisce usare nella pratica la seguente de�nizione di errore �relativo abuon senso��
jx� xj� � jxj �
ex� � jxj � �rx
dove il pedice r sta per �ragionevole�� �E facile osservare che per x �grandi��rx � �x mentre per x �piccoli� si ha �rx � ex� In questo modo un �rx � ����
�e indice di una buona stima di x sia che esso sia �grande� o �piccolo��L� importanza dell� uso dell� errore relativo viene ra�orzata dal fatto che
i numeri che vengono gestiti da un elaboratore elettronico non sono i classicinumeri reali dell� analisi ma sono un sottoinsieme �nito di questi�
��� Numeri macchina ��oating point� �M�F��
�E nota a tutti la rappresentazione posizionale dei numeri per cui�
�� ��� � � ��� � � ��� � ��� � � ���� � � ����
tale rappresentazione non �e utile nel calcolo scienti�co in quanto si devepresupporre a priori quante cifre utilizzare per la parte intera e per la partedecimale� Pi�u conveniente �e la rappresentazione esponenziale per cui�
�� ��� � ���� �� ��� � ����� �� ��� � ��� �� ��� � ���
se si usa la rappresentazione esponenziale non si ha unicit�a a meno di con�siderarla normalizzata ovvero la mantissa deve essere minore di � e la cifrapi�u signi�cativa deve essere diversa da zero �la prima delle � rappresentazioniesponenziali date�
Quanto detto per la base �� si estende in modo naturale alla base ��la base naturale dei calcolatori� Pu�o essere il caso di far osservare chela rappresentazione di un numero razionale decimale �nito pu�o� in base ��generare un numero razionale binario in�nito �periodico� come illustrato dalseguente esempio�
����� ���� ��
���
����� �������
���� NUMERI MACCHINA �FLOATING POINT� �M�F�� ��
come �e facile veri�care eseguendo la divisione fra �� e �����Dato un numero reale x indicheremo d�ora in poi con x il suo rappresen�
tante nell� insieme dei numeri macchina� dove
De�nizione ����� Numero macchina �e una stringa di bit della forma�
x � �d��
�d���
�d���
� ��� �dt�t
� �e
dove�� � di � �� i���������t d� �� �� normalizzatoL � e � U� L ed U sono i valori min e max che pu�o assumere e � Z�t �e il numero di cifre utilizzate per la mantissa��
Da quanto sopra si evincono le seguenti propriet�a dell� insieme F deinumeri �oating point�
�� F R
�� F �e limitato tra un minimo ed un massimo �xmin� xmax � F
�� F �e formato da un numero �nito di elementi pari a�
Card�F � �t �U � L � � � �
�� Gli elementi dell� insieme F non sono equidistanziati sulla retta reale�
Queste propriet�a di F generano le seguenti conseguenze
�� Due numeri reali distinti x ed y possono avere lo stesso rappresentantein F �
�� Esistono numeri reali per cui non esiste il rappresentate in F �Over��ow�
�� �x � � �� � � �e lo zero macchina� x � R �e rappresentato in F da x � ��Under�ow�
�� L� errore relativo di rappresentazione di un numero reale mediante ilsuo rappresentante in F �e sempre lo stesso�
�� CAPITOLO �� TEORIA DELL� ERRORE �M�FRONTINI�
� Dati due numeri in F la loro somma pu�o non appartenere ad F �
L� aritmetica di un elaboratore digitale pu�o quindi essere caratterizzatadalla terna �t� L� U� Di seguito rappresentiamo l� insieme F che si ottieneconsiderando un elaboratore che ha le seguenti caratteristiche�
�t� L� U � ������ �
il numero degli elementi di F �e quindi ��� le quattro di�erenti rappresenta�zioni della mantissa sono�
f���� � ��� ���� � �� ���� � ��� ���� � ��ged i quattro esponenti� �
�
��
�
�� �� �
�per cui i �� numeri positivi rappresentabili sono�
f���� ��� ���� ���� ���� ��� ���� ���� ��� �� ��� ��� ��� �� ��� ��ga cui vanno aggiunti i �� opposti e lo zero�
Dalla de�nizione di insieme F �e facile dedurre l� errore che si commettequando si inserisce un numero reale in un elaboratore� precisamente proviamoche�
Teorema ����� L�errore dovuto alla memorizzazione all�interno di un ele�boratore binario �e�
jx� xjjxj �
����t chopping��t rounding
dove t �e il numero di cifre utilizzato per la mantissa�
Dimostrazione �����
x � �d�d����dt��� �e mentre x � �d�d����dt �e
con d� �� � �oating point normalizzato� per cui
jx� xj ��
��t�e chopping��t�e�� rounding
ed essendojxj � �e��
segue la tesi� �
��� PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI �M�F�� ��
Essendo l� errore relativo legato al numero di cifre utilizzate per la man�tissa �e chiaro perch�e l� uso della doppia precisione possa risultare utile nellacomputazione�
La precisione di macchina pu�o essere caratterizzata dalla seguente de��nizione
De�nizione ����� Si chiama epsilon macchina o precisione di macchinail pi�u piccolo numero positivo di F che sommato ad � fornisce un risultatomaggiore di ��
eps �� fminx � F j � � x � �g ��
Un semplice programma �MATLAB like che fornisce eps �e il seguente
eps���while �eps�� � ��
eps���eps
end
eps���eps
�E importante non confondere il concetto di epsilon macchina con quellodi zero macchina de�nito da�
De�nizione ����� Lo zero macchina �e il pi�u piccolo numero macchina invalore assoluto
zero macchina �� fmin jxj � x � Fg
e dipende dal minimo valore attribuibile all� esponente��
�� Propagazione degli errori �M�F��
Ci proponiamo ora di analizzare come l� errore relativo �errore di rappresen�tazione si propaga nelle operazioni elementari� Siano dati due numeri realix� y � R �non nulli ed i loro �rappresentanti in F�� x� y � F � si ha�
x � x�� � �x� j�xj � epsy � y�� � �y� j�yj � eps
�� CAPITOLO �� TEORIA DELL� ERRORE �M�FRONTINI�
dove eps �e la precisione di macchina� Ricordando lo sviluppo in serie diTaylor di una funzione di due variabili arrestato al primo ordine si ha
f�x� y � f�x�� � �x� y�� � �y � f�x� y � fx�x� yx�x � fy�x� yy�y
per cui
�f �f�x� y� f�x� y
f�x� y� xfx�x � yfy�y
f�x� y����
Mediante la ���� �e facile dedurre le seguenti valutazioni per le operazionielementari
����� Somma algebrica
Essendo f�x� y � x y� supposto x y �� �� si ha�
�x y� �x y
x y� �x�y �
x�x y�yx y
�x
x y�x y
x y�y ����
dalla ���� �e facile osservare che l� errore nella somma algebrica viene am�pli�cato �se x y � � dai fattori x
x�y e yx�y � che possono essere �grandi�
�cancellazione numerica�
����� Prodotto
Essendo f�x� y � x y� si ha�
�x y� �x y
x y � �x�y � xy�x � xy�yx y � �x � �y ����
dalla ���� �e facile osservare che l� errore relativo nel prodotto non vieneampli�cato�
����� Divisione
Essendo f�x� y � xy� supposto y �� �� si ha�
�xy� �xy
xy� �x�y �
�yx�x � x
y�y�y
xy� �x � �y ����
dalla ���� �e facile osservare che l� errore relativo nella divisione non vieneampli�cato�
��� ALCUNI ESEMPI �M�F�� �
����� Radice quadrata
Sia f�x �px� supposto x �� �� si ha�
px�pxp
x� �px �
��pxx�xpx
��
��x ���
e la ��� ci mostra come l� errore relativo venga dimezzato� �x �� �� quandosi estrae la radice quadrata�
L� analisi dei risultati precedenti ci fa capire che non tutte le operazionidi macchina si comportano allo stesso modo per quanto riguarda la propaga�zione degli errori� ma esistono operazioni pi�u� �delicate� �somma algebricaed altre pi�u �robuste� �prodotto� estrazione di radice�
�E doveroso osservare che le stime fornite sono �deterministiche�� Nellapratica� quando si eseguono milioni di operazioni macchina� gli arrotonda�menti nelle operazioni migliorano le cose �non abbiamo qui il tempo di con�siderare la propagazione degli errori da un punto di vista statistico per cui�a parte casi patologici� le computazioni forniscono �mediamente� risultatiragionevoli�
�� Alcuni esempi �M�F��
Diamo ora alcuni esempi di come le operazioni di macchina e gli algoritmi dicalcolo possano in�uenzare la bont�a di un risultato�
����� Cancellazione numerica
Prende il nome di cancellazione numerica quel fenomeno che si manifestaquando si sommano due numeri macchina quasi uguali in modulo ma di segnoopposto� In questo caso �cfr� ���� la somma di macchina �e �instabile� enon gode della proprieta associativa� Consideriamo il seguente esempio� sianoa � �������� �e� �� b � ���������e� �� c � �����������e� � tre numeridati� Supponiamo di operare con una calcolatrice che lavori in base �� con �cifre signi�cative �cifre della mantissa� Veri�chiamo che
a � �b � c �� �a � b � c
infatti si ha�
a � �b � c � �������� �e� � � ����������e� � � ����������e� ��a � b � c � �������� �e� � � ������������e � � � ����������e� �
�� CAPITOLO �� TEORIA DELL� ERRORE �M�FRONTINI�
����� Instabilit�a algoritmica
�E quel fenomeno per cui un algoritmo di calcolo propaga �ampli�ca gli errorisui dati� Supponiamo di dover fornire una tabella contenente i primi �� valoridei seguenti integrali
En �
Z �
�
xnex��dx� n � �� �� ��� ����
integrando per parti si ottiene la relazione ricorrente
En � �� nEn��� n � �� �� ��� ����
sapendo che E� � �e� �e facile ricavare i valori cercati dalla ����� Sfortuna�
tamente� pur dovendo essere En � �� �n� la ���� fornisce� utilizzando uncomune personal computer� valori negativi gi�a per n � � �
Se si inverte la ricorrenza ���� nella forma
En�� ��� En
n� n � ���� �� � ����
ponendo E�� � �� si possono ottenere i primi �� valori di En alla precisione dimacchina� Una pi�u attenta analisi delle ���� e ���� mostra come nel primocaso l� errore su E� venga ampli�cato� ad ogni passo di un fattore che� dopon passi� �e pari ad n�� mentre nel secondo l� errore su E�� � �� viene ridottoad ogni passo di un fattore che� dopo n passi� �e pari ad �
n�
����� Sensitivit�a del problema
Esistono problemi che sono� per loro natura� sensibili alle variazioni sui dati�Un semplice esempio �e fornito dalla ricerca delle radici del seguente polinomiodi secondo grado
�x� �� � ���� ���
che puo�� ovviamente� essere scritto nella forma
x� � �x � ��� ���� � � �����
le radici di ����� sono�
x � � ����
���� RIEPILOGO �M�F�� ��
se nella ��� sostituiamo ���� con ����� introduciamo un errore di �����
sul termine noto della ����� le cui radici divengono
x � � � ����
per cui si induce un errore dell� ordine di ���� sulle radici� Tutto questo ope�rando �con carta e matita� �non ci sono errori dovuti alla rappresentazionedei numeri macchina�
��� Riepilogo �M�F��
Dalle precedenti note emerge che�
�� gli errori sono sempre presenti nella computazione ��nitezza della pa�rola di un elaboratore�
�� gli elaboratori che arrotondano sono meglio di quelli che troncano�
�� bisogna utilizzare algoritmi stabili per non propagare gli errori�
�� esistono problemi sensibili alle variazione sui dati �mal condizionatiche vanno trattati con molta attenzione�
� l� uso della doppia �multipla precisione �e utile come veri�ca dei risul�tati pi�u che come strumento naturale di lavoro �aumento del tempo dicalcolo� ine�cacia sui problemi mal condizionati�
����� Esercizi
Esercizio ����� Qual �e il risultato della seguente sequenza di istruzioni MA�TLAB �
x��
while x � ��
x�x�����
x sqrt�x�
end
Esercizio ����� Qual �e il risultato della seguente sequenza di istruzioni MA�TLAB �
�� CAPITOLO �� TEORIA DELL� ERRORE �M�FRONTINI�
x��
while x � ��
x�x����
x sqrt�x�
end
Esercizio ����� Dire come si opererebbe per calcolare la seguente espressio�ne
f�x � x�px � ��px
per valori di x � ��n� n � � � �
Esercizio ���� Dire come si opererebbe per calcolare la seguente espressio�ne
f�x ��� cos�x
x�
per valori di x � ���n� n � � � �
Esercizio ����� Commentare il gra�co che si ottiene eseguendo il plot inMATLAB della funzione
f�x � x� � �x � � x� � ��x� � � x� � �x � �
per ��� � x � ������
Esercizio ���� Dovendo calcolare z �px� � y� si suggeriscono le seguenti
formulejxjp� � �yx�� � � jyj � jxjjyj
p� � �xy�� � � jxj � jyj
giusti�care la bont�a delle formule proposte�
Capitolo �
Algebra lineare numerica�M�Frontini�
��� Sistemi lineari �M�F��
����� Richiami di algebra lineare
Per sistema lineare si intende un insieme di m equazioni in n incognite dellaforma �����
a��x�� a��x�� ���� a�nxn � b�a��x�� a��x�� ���� a�nxn � b���� ��� ��� ��� ���am�x�� am�x�� ���� amnxn � bm
����
dove aij � R �eventualmente a C� bi � R �eventualmente a C� In formamatriciale ���� si pu�o scrivere
Ax � b
dove A �e una matrice in Rm�n di elementi aij� b �e un vettore in Rm ed x �e inRn�
Richiamiamo le seguenti de�nizioni� perch�e utili in seguito�
De�nizione ����� Vettore �e una n�pla ordinata di numeri in colonna�
De�nizione ����� Matrice �e una tabella rettangolare o quadrata di numeriinsieme di vettori colonna�
�
�� CAPITOLO �� ALGEBRA LINEARE NUMERICA �M�FRONTINI�
De�nizione ����� Versore i�esimo ei �e un vettore colonna formato da tutti� tranne l�elemento i�esimo che vale ��
ei �
����������
�����������
������������ i
De�nizione ���� Matrice identit�a I �e la matrice formata dagli n versoriei� i���������n�
De�nizione ����� Matrice diagonale �e una matrice con gli elementi aii �� ��i���������n e gli altri nulli�
De�nizione ���� Matrice tridiagonale �e una matrice per cui solo aii �� ��ai��i �� �� aii�� �� ��
T �
�������
a�� a�� � � � � �
a�� a�� a��� � �
���
�� � � � � � � � � �
���� � � an��n�� an��n�� an��n
� � � � � ann�� ann
��������De�nizione ����� Matrice bidiagonale inferiore superiore �e una matriceper cui solo aii �� �� ai��i �� �� aii �� �� aii�� �� ���������
a�� � � � � � � � �
a�� a��� � � � � �
���
�� � � � � � � � �
������
� � � an��n�� an��n�� �� � � � � ann�� ann
�������� �
�������
a�� a�� � � � � �
� a�� a��� � �
������
� � � � � � � � � ����
� � � � � � an��n�� an��n� � � � � � � � ann
��������
���� SISTEMI LINEARI �M�F�� ��
De�nizione ����� Matrice triangolare inferiore superiore �e una matriceper cui aij � �� j � i aij � �� j � i��������
a�� � � � � � � � �
a�� a��� � �
� � ����
���� � � � � � � � �
���
an���� � � an��n�� an��n�� �
an� an� � � � ann�� ann
�������� �
�������
a�� a�� � � � a�n�� a�n
� a�� a��� � � a�n
���� � � � � � � � �
������
� � � � � � an��n�� an��n� � � � � � � � ann
��������De�nizione ����� Matrice in forma di Hessemberg inferiore superiore �euna matrice per cui aij � �� j � i � � aij � �� j � i� ���������
a�� a�� � � � � �
a�� a��� � � � � �
������
� � � � � � � � � �
an���� � � an��n�� an��n�� an��n
an� an� � � � ann�� ann
�������� �
�������
a�� a�� � � � a�n�� a�n
a�� a�� a��� � � a�n
�� � � � � � � � �
������
� � � � � � an��n�� an��n� � � � � ann�� ann
��������De�nizione ����� Matrice trasposta �e una matrice che si ottiene scam�biando le righe con le colonne si indica con AT �
De�nizione ������ Matrice simmetrica �e una matrice ad elementi reali� percui A � AT �
De�nizione ������ Matrice de�nita positiva �e una matrice ad elementi rea�li� per cui xTAx � �� �x ����
De�nizione ������ Matrice inversa di una matrice quadrata A �e una ma�trice per cui A��A � AA�� � I�
De�nizione ����� Matrice ortogonale �e una matrice ad elementi reali� percui ATA � AAT � I AT � A���
De�nizione ������ Matrice a diagonale dominante �e una matrice per cui
jaiij �nX
j���j ��ijaijj � �i�
�� CAPITOLO �� ALGEBRA LINEARE NUMERICA �M�FRONTINI�
����� Operazioni sulle matrici
Richiamiamo brevemente la de�nizione delle operazioni de�nite fra vettori ematrici�
De�nizione ����� Somma� di�erenza di due vettori x� y � Rn e� un vettorez� Rn i cui elementi sono dati da zi � xi yi
De�nizione ������ Somma� di�erenza di due matrici A�B � Rm�n e� unamatrice C � Rm�n i cui elementi sono dati da cij � aij bij�
De�nizione ������ Prodotto scalare fra due vettori x� y � Rn �e lo scalare
s � yTx �nPi��
xiyi� Il costo computazionale per ottenere s �e di n �ops per
�ops si intende un prodotto � una somma�
De�nizione ������ Prodotto fra una matrice A � Rm�n ed un vettore x� Rn
�e un vettore y � Rm i cui elementi sono dati da yi �nP
k��
aik xk� Il costo
computazionale per ottenere y �e di mn �ops�
De�nizione ����� Prodotto fra due matrici A � Rm�n e B � Rn�p �e una
matrice C � Rm�p i cui elementi sono dati da cij �nP
k��
aik bkj� Il costo
computazionale per ottenere C �e di mnp �ops�Il prodotto fra matrici quadrate non �e� in generale� commutativo AB ��
BA�
��� Metodi diretti �M�F��
Data una matrice quadrata A� dovendo risolvere il sistema lineare
Ax � b ����
�e noto� dai corsi di Analisi e Geometria� che la condizione det�A �� � �eequivalente all�esistenza della matrice inversa A�� di A per cui
x � A��b� ����
La determinazioine di x� soluzione di ����� nota la matrice inversa ha uncosto computazionale di n� �ops�
���� METODI DIRETTI �M�F�� ��
Prima di addentrarci nel calcolo della soluzione di ����� quando l�inversanon �e nota� �e istruttivo dare una chiara rappresentazione geometrica di cosavuol dire risolvere un sistema lineare� E� chiaro che una matrice A applicataad un vettore x lo trasforma in un vettore y� �e naturale chiedersi� tutti ivettori y sono immagine di qualche vettore x mediante la A� La risposta �e
s�i� se e solo se det�A �� � �o equivalentemente se �A���La ricerca della soluzione di un sistema lineare pu�o quindi essere vista
come la ricerca di una n�pla di numeri �le componenti del vettore x cheentrano nella combinazine lineare delle colonne della matrice A �Ai perrappresentare il termine noto �vettore b � ovvero
x�A� � x�A� � x�A� � ��� � xnAn � b�
L�esistenza di una soluzione di un sistema lineare �e quindi legata al fattoche il vettore b appartenga allo spazio generato dalle colonne della matriceA�
De�nizione ����� Spazio delle colonne range di A
R�A ���y � Rnjy � Ax� �x � Rn
���
Per l�unicit�a della soluzione �e importante la de�nizione di spazio nullo�nucleo di una matrice�
De�nizione ����� Spazio nullo null di A
N�A �� fx � RnjAx � �g ��E� facile far vedere che se ex �e soluzione di un sistema lineare e bx �� �
appartiene allo spazio nullo allora anche il vettore � ex� bx �e soluzione dellostesso sistema lineare �A ex � b� Abx � ���� A�ex� bx � b � � � b�
Esempio ����� Come esempio si considerino la matrice A ed il vettore b
A �
�� �� �
�� b �
���
�la matrice A �e singolare ed il suo spazio delle colonne coincide con i puntidella retta y� � �y�� per cui il sistema Ax � b non ammette soluzione essendob � R�A� Lo spazio nullo di A �e formato dai punti della retta x� � �x��infatti A
�x��x�
�� �� ovvio��
�� CAPITOLO �� ALGEBRA LINEARE NUMERICA �M�FRONTINI�
Se la matrice A �e diagonale con elementi diagonali tutti diversi da zero �eimmediato risolvere il corrispondente sistema lineare �disaccoppiato con ndivisioni�
Se la matrice A �e triangonale superiore �inferiore con elementi diagonalitutti diversi da zero �e possibile risolvere il sistema lineare associato con lasostituzione all�indietro �in avanti �back�forward�substitution con un costodell�ordine di n�
��ops�
Osservazione ����� Per �ops si intende una moltiplicazione divisione pi�uuna somma sottrazione in virgola mobile �oating�point� In algebra lineare�e naturale questa unit�a di misura in quanto il prodotto scalare� che �e alla basedel calcolo matriciale� costa proprio n prodotti ed n� � addizioni n �ops�
Si fa osservare che in entrambi i casi il sistema �e non singolare essendo ildeterminante diverso da zero �prodotto degli elementi diagonali�
Il problema �e quindi passare da un sistema con matrice piena ad unsistema equivalente con matrice diagonale o triangolare� Gauss forn�i perprimo un tale algoritmo combinando in modo opportuno le righe della matricee il termine noto�
����� Il metodo di eliminazione di Gauss
L�idea di Gauss si basa sulla semplice osservazione che il vettore soluzio�ne veri�ca tutte le equazioni del sistema lineare e quindi veri�ca anche un�equazione ottenuta combinando linearmente fra loro due di tali equazioni� E�quindi possibile passare da un sistema �pieno� ad uno equivalente triangolarein n�� passi eliminando al j�esimo passo l�incognita xj da tutte le equazionidalla �j���esima �no alla n�esima� Schematicamente scriviamo la ���� nellaforma� �����
a��x�� a��x�� ���� a�nxn � b�a��x�� a��x�� ���� a�nxn � b���� ��� ��� ��� ���
an�x�� an�x�� ���� annxn � bn
�
�� passso Si moltiplica la prima riga per��a��
a��
�e si sostituisce la seconda riga
con la somma delle prime due� si moltiplica la prima riga per��a��
a��
�e si sostituisce la terza riga con la somma fra la prima e la terza� ���� si
���� METODI DIRETTI �M�F�� �
moltiplica la prima riga per��an�
a��
�e si sostituisce la n�esima riga con
la somma fra la prima e la n�esima� giungendo a�����a��x�� a��x�� ���� a�nxn � b�
a���x�� ���� a��nxn � b����� ��� ��� ���
a�n�x�� ���� a�nnxn � b�n
�� passo Si opera analogamente sul sottosistema�a���x�� ���� a��nxn � b����� ��� ��� ���
a�n�x�� ���� a�nnxn � b�n
usando come moltiplicatori��a�
��
a���
����
��a�n�
a���
�si otterr�a
�����a���x�� a���x�� ���� a��nxn � b��
a���x�� ���� a��nxn � b����� ��� ��� ���
a�n�x�� ���� a�nnxn � b�n
j� passo Si opera analogamente sul sottosistema�aj��jj xj� ���� aj��jn xn � bj��j
��� ��� ��� ���
aj��nj xj� ���� aj��nn xn � bj��n
usando come moltiplicatori
��aj��j��j
aj��jj
����
��aj��nj
aj��jj
��
In n�� passi si arriva �se tutti gli aj��jj �� � ad un sistema equivalente
triangolare superiore� Il costo computazionale dell�algoritmo di Gauss �e n�
�
�ops� infatti sono necessarie �n���n�� �ops al primo passo� �n���n��al secondo� �n��n al terzo� �no a �� al passo �n���esimo� per cui in totale
flops �n��Xi��
i�i � � �n��Xi��
i� � �n��Xi��
i �
�n�n� ���n� �
�� �
n�n� �
��
n�
�� O�n��
�� CAPITOLO �� ALGEBRA LINEARE NUMERICA �M�FRONTINI�
Vale la pena di ricordare che la risoluzione di un sistema lineare mediantela regola di Cramer �calcolo di n� � determinanti utilizzando la de�nizionenel calcolo dei determinanti �det�A �
P���sa�s�a�s� ���ansn� �s�� s�� ���� sn
permutazione degli indici ��� �� ���� n � s numero di scambi fra �s�� s�� ���� sn e��� �� ���� n ha una complessit�a dell�ordine di �n � ��n� �n� �ops�
Su un elaboratore che esegue ���Mega�ops al secondo la risoluzione diun sistema lineare di �� equazioni in �� incognite richiede circa
��� ��� sec con l�algoritmo di Gauss�� ���� sec con la regola di Cramer
sfortunatamente ���� sec sono circa ���� anni ��Nell�algoritmo di Gauss abbiamo supposto che ad ogni passo fosse ben
de�nito il fattore moltiplicativo �aj��rj
aj��jj
� �r � j � �� ���� n il che equivale a
supporre aj��jj �� �� �j� Se aj��jj � �� per qualche j� l�algoritmo di Gaussnaturale si blocca� E� possibile modi�care l�algoritmo eseguendo la ricercadell�elemento di massimo modulo ��� � fra i restanti elementi della colonna�pivoting parziale e� se esiste� scambiare fra loro le righe j ed s �se s �e lariga contenente il massimo� Questa variante non richiede ulteriori �ops percui non aumenta la complessit�a computazionale� Va osservato che se tuttigli elementi della j�esima colonna sono nulli �partendo dalla j�esima riga allora il sistema non �e determinato �il determinante di A �e uguale a zero�La tecnica del pivoting parziale �e stabile computazionalmente per cui vienesempre e�ettuata la ricerca del massimo anche se aj��jj �� ��
����� Decomposizione LU
Il metodo di Gauss permette� se tutti i minori principali di testa della ma�trice A sono diversi da zero �il che �e equivalente a dire aj��jj �� �� �j� pro�varlo per esercizio� di decomporre la matrice A nel prodotto di due matrici�L triangolare inferiore �con � sulla diagonale principale ed U triangolaresuperiore
A � LU� ����
La matrice U coincide con la vecchia matrice triangolare superiore delsistema equivalente� mentre
L�� � Ln��Ln��Ln�����L�L�
���� METODI DIRETTI �M�F�� ��
�e ottenuta moltiplicando le matrici Lj del j�esimo passo del processo di Gauss
Lj �
������������
� � � � � � � � � � � �
�� � � �
���
�� � � �
� � ����
� �aj��j��j
aj��jj
� ����
�� � � � � � �
� � � � �aj��nj
aj��jj
� � � � �
��������������
Con il metodo di Gauss si ha quindi
Ln��Ln��Ln�����L�L�A � L��A � U ���
dalla ��� segue immediatamente la ����� Come si calcola la matrice L�Essendo� veri�carlo per esercizio� L��j � �I � Lj� si ha che la matrice L �
L��� L��� L��� ���L��n�� �e� senza eseguire alcuna operazione�
L �
������������
� � � � � � � � � � � �
�a��a��
� � � ����
�a��a��
� � � �� � �
������ �
aj��jj��
aj��j��j��
�aj��j��j
aj��jj
� ����
�an���a��
���� � � � � � �
�an�a��
� � � �aj��nj
aj��jj
� � � �an��nn��
an��nn�
�����������������
�la ���� si ottiene semplicemente tenendo conto della particolare strutturadelle matrici L��j �
La seguente matrice
A �
�� �� �
�non ammette decomposizione LU �a�� � �� primo minore principale di testanullo� �e facile osservare che� se si scambiano la prima e la seconda riga� la
matrice A diviene la matrice U �
�� �� �
�� per cui la decomposizione �e
implicita �L � I� Possiamo quindi formulare il seguente
�� CAPITOLO �� ALGEBRA LINEARE NUMERICA �M�FRONTINI�
Teorema ����� Data una matrice A� se det�A �� �� esiste una matrice Pdi permutazione per cui
PA � LU�
Dimostrazione ����� La dimostrazione del ����� �e costruttiva coincidecon il metodo di Gauss con pivoting parziale��
L�importanza della decomposizione PA � LU nasce dal fatto che non�e necessario conoscere il vettore dei termini noti quando si esegue la fasedi decomposizione� La risoluzione di un sistema lineare pu�o quindi essereschematizzata nel modo seguente
�� No pivoting
Ax � bA � LU
��� LUx � b ��
�Ly � bUx � y
�
�� pivoting
Ax � bPA � LU
��� LUx � Pb ��
�Ly � PbUx � y
�
Si fa osservare che la parte computazionalmente onerosa �e la decompo�sizione LU �n� �ops� mentre la risoluzione dei � sistemi triangolari� partedestra dello schema� costa solo n� �ops� La fase di determinazione del vettorePb� nel secondo schema� costa zero �ops �sono solo scambi di righe��
Anche la costruzione della matrice P �e immediata e pu�o essere fattautilizzando solo un vettore di n interi� Precisamente� de�nito
sp � ��� �� �� ���� n� �� n ����
il vettore dei primi n interi �sp�k � k� per costruire la matrice P bastaspostare� al j�esimo passo dell�eliminazione di Gauss� il contenuto della cella jcon quello della cella r del vettore sp �dove r �e l�indice di riga del pivot al passoj� Il vettore de�nito in ���� rappresenta� in modo compatto� la matriceidentit�a �� in posizione �k� sp�k� k � �� �� ���n� � altrove� analogamentela matrice P avr�a � ovunque e � solo nelle posizioni �k� sp�k� k � �� �� ���n�
���� METODI DIRETTI �M�F�� �
����� Decomposizione di Cholesky
Se la matrice A �e simmetrica e de�nita positiva �e possibile dimostrare l�esi�stenza della seguente decomposizione �decomposizione di Cholesky
A � V TV ����
dove V �e una matrice triangolare superiore con elementi diagonali positivi�La dimostrazione dell�esistenza di tale decomposizione �e costruttiva� e
viene qui riportata perch�e evidenzia come sia proprio la decomposizione diCholesky la via per determinare se una matrice data A �e de�nita positiva�Essendo
V T �
������ v��v�� v�����
���� � �
vn��� vn��� � � � vn��n��vn� vn� � � � vnn�� vnn
������� �
V �
������ v�� v�� � � � vn��� vn�
v�� � � � vn��� vn�� � �
������
vn��n�� vnn��vnn
������� �dalla ���� si ha� eseguendo il prodotto righe per colonne� partendo dallaprima riga
v��v�� � v��� � a�� � v�� �pa��
v��vj� � a�j � aj� � vj� �aj�v��
� j � �� �� ���� n
per la seconda riga� vj� sono ora noti �j � �� si ha
v��� � v��� � a�� � v�� �qa�� � v���
v��vj� � v��vj� � a�j � aj� � vj� �aj� � v��vj�
v��� j � �� �� ���� n
in generale al passo k�esimo si ottiene
vkk �
vuutakk �k��Xm��
v�mk� k � �� ���� n ���
�� CAPITOLO �� ALGEBRA LINEARE NUMERICA �M�FRONTINI�
vki �
aki �k��Pm��
vkmvmi
vkk� k � �� ���� n� �� i � k � �� ���� n �����
nelle �������� la sommatoria va ignorata se il valore d�arrivo �e minore delvalore di partenza�
Il costo computazionale della decomposizioni di Cholesky �e n�
��ops �oltre
a n estrazioni di radice quadrata� Proprio la necessit�a di dover estrarre laradice quadrata permette di veri�care se la matrice di partenza era de�nitapositiva� infatti se un radicando risulta negativo l�algoritmo si interrompe�non esiste la decomposizione per cui la matrice di partenza non era de�nitapositiva� E� facile dimostrare che� ad ogni passo k� il radicando �e dato dalquoziente fra il minore principale di testa� della matrice di partenza� di ordinek e quello di ordine k � ��
Si pu�o osservare che nelle �������� i prodotti scalari indicati possonoessere eseguiti in doppia precisione� pur lasciando le variabili in sempli�ce� aumentando cos�i l�accuratezza del risultato �algoritmo stabile oltre chee�ciente�
E� evidente che una volta nota la decomposizione di Cholesky il sistemalineare
Ax � b
pu�o essere risolto mediante il seguente schema
Ax � bA � V TV
��� V TV x � b ��
�V Ty � bV x � y
�
�� Analisi dell�errore �M�F��
La soluzione del sistema lineare Ax � b calcolata con uno dei metodi proposti�chiamiamola xc di�erir�a� per l�inevitabile presenza di errori �cfr� capitolo�� dalla soluzione vera �chiamiamola xv� quanto grande sar�a questa di�eren�za� Dipender�a solo dal metodo usato� Dipender�a dalla matrice del sistemalineare�
Prima di rispondere a queste domande �e necessario de�nire una misuradi distanza fra vettori e matrici�
��� ANALISI DELL�ERRORE �M�F�� ��
����� Richiami sulle norme di vettore
De�nizione ����� Dato un vettore x si de�nisce norma del vettore x kxkuna funzione a valori non negativi che gode delle seguenti propriet�a
�� kxk � � �x � Rn� kxk � � � x � �
�� kxk � jj kxk �x � Rn e � � R
�� kx � yk � kxk� kyk �x� y � Rn
Tre classici esempi di norma di vettore sono
�� kxk� � jx�j� jx�j� ��� � jxnj�� kxk� �
px�� � x�� � ��� � x�n
�� kxk � maxifjxijg
Analogamente per le matrici
De�nizione ����� Data una matrice A si de�nisce norma della matrice AkAk una funzione a valori non negativi che gode delle seguenti propriet�a
�� kAk � � �A � Rn�n� kAk � � � A � �
�� kAk � jj kAk �A � Rn�n e � � R
�� kA � Bk � kAk� kBk �A�B � Rn�n
�� kABk � kAkkBk �A�B � Rn�n
Norme di matrice possono essere ricavate dalle norme di vettore �normaindotta o naturale ponendo
kAk � maxx
kAxkkxk �A � Rn�n� x � Rn�
norme di vettore e norme di matrice si dicono compatibili se
kAxk � kAkkxk�Esempi di norme di matrice sono
�� CAPITOLO �� ALGEBRA LINEARE NUMERICA �M�FRONTINI�
�� kAk� � maxj
�nPi��
jaijj�
�� kAk� �p��ATA �dove ��A �e il raggio spettrale di A�
�� kAk � maxi
�nP
j��
jaijj�
�� kAkE �
snP
j��
nPi��
a�ij �questa norma �e compatibile con la norma � di
vettore ma non �e indotta�
����� Stima dellerrore
Dato il sistema lineare Ax � b� detta xc la soluzione calcolata si pu�o deter�minare il residuo
r � Axc � b�
essendo xv � A��b� posto e � xc � xv� si ha
r � Axc � b � Axc � Axv � A�xc � xv � Ae
per cuie � A��r
da cui seguekek � kxc � xvk � kA��rk � kA��kkrk �����
la ����� non �e molto signi�cativa in quanto anche se krk �e piccola l�errorepu�o essere grande se kA��k �e grande� Quello che si pu�o dire �e che se krk �egrande allora la soluzione calcolata non �e �buona��
Possiamo dimostrare il seguente
Teorema ����� Dato il sistema Ax � b� con A matrice non singolare� ed ilsistema A�x � �x � b � �b� si ha
�
K�A
k�bkkbk � k�xk
kxk � K�Ak�bkkbk �����
dove K�A � kAkkA��k �e il numero di condizionamento della matrice A�
��� ANALISI DELL�ERRORE �M�F�� ��
Dimostrazione ����� Valgono le seguenti � uguaglianze
�� Ax � b �� �� x � A��b�� A�x � �b �� �� �x � A���b
per cui� usando la � e la �� si ha
kxk � kA��bk � kA��kkbkk�bk � kA�xk � kAkk�xk
��� kxkk�bk � K�Akbkk�xk
da cui�
K�A
k�bkkbk � k�xk
kxk �
Analogamente� usando la � e la �� si ha
kbk � kAxk � kAkkxkk�xk � kA���bk � kA��kk�bk
��� k�xkkbk � K�Ak�bkkxk
da cuik�xkkxk � K�A
k�bkkbk
che prova la ����� �
Si pu�o dimostrare un risultato pi�u generale se si considera una variazioneanche sugli elementi della matrice�
Osservazione ����� Valgono le seguenti relazioni
�� K�A � K�A���
�� K�A dipende dalla norma scelta�
�� K�A � �� infatti � � kIk � kAA��k � kAkkA��k � K�A��
�� Le matrici ortogonali �QTQ � QQT � I hanno K��A � �� Infattiessendo kAk� �
p��ATA si ha
kQk� �p��QTQ �
p��I � ���
�� CAPITOLO �� ALGEBRA LINEARE NUMERICA �M�FRONTINI�
� Se A �e simmetrica �A � AT allora K��A �����max�A �min�A
��� � Infatti si pu�o
facilmente dimostrare che kAk� � j�max�Aj
kAk� �p��ATA �
p��A� �
q��max � j�max�Aj
per cui� essendo ��A�� � ���A
�
kA��k� ��
j�min�Aj ��
�� Un classico esempio di matrice mal condizionata �e la matrice di Hilbertdi ordine n
Hn �
������ � �
�� � � �
n���n
��
��
� � � �n
�n��
������ � � � ���
����
n���n
� � � ��n��
��n��
�n
�n��
� � � ��n��
��n��
������� �
�� Metodi iterativi �M�F��
Quando la matrice A del sistema lineare ���� risulta sparsa e non strutturata�quindi con un numero di elementi diversi da zero dell�ordine di n e nondisposti a banda o con altra particolare struttura pu�o essere convenientel�uso di metodi iterativi� Il vantaggio nasce dal fatto che i metodi iterativi�sfruttando la sparsit�a della matrice� eseguono il prodotto matrice vettorein meno di n� �ops� per cui possono essere assai e�cienti� Per contro imetodi diretti� applicati a matrici sparse non strutturate� generano il �ll�in�riempimento della matrice durante la fase di eliminazione� per cui hannouna complessit�a computazionale che �e sempre di n� �ops� Poich�e la soluzionedel sistema di partenza �e ottenuta come limite di una successione
xk�� � Bxk � g �����
dove la matrice d�iterazione B �e scelta in modo che il sistema
x � Bx � g �����
sia equivalente al sistema ����� bisogner�a garantire non solo la convergenzadella ����� alla soluzione x� ma anche essere in grado di stimare l�errore chesi commette arrestandosi ad una data iterazione�
��� METODI ITERATIVI �M�F�� �
����� Ranamento iterativo di Wilkinson
Un primo metodo� proposto da Wilkinson� viene utilizzato anche quando lamatrice A non �e sparsa per ottenere una miglior stima della soluzione delsistema ���� calcolata con un metodo diretto�
Sia xc la soluzione del sistema ���� calcolata� per esempio� mediantel�algoritmo di Gauss� calcoliamo il residuo
r � Axc � b ����
in doppia precisione �l�uso di una precisione superiore nel calcolo del residuo�e fondamentale per non rischiare di ottenere un residuo identicamente nullo�sia ec la soluzione del sistema
Ae � r
calcolata utilizzando la stessa decomposizione LU della matrice del sistema�Si pu�o osservare che� se i calcoli sono eseguiti �senza errori� allora
xv � xc � ec � xc � A��r � xc � A���Axc � b � A��b
di fatto� a causa degli inevitabili errori dovuti alla �nitezza della macchina�si ha
kxvera � xck � kxvera � xvked� in generale� sono su�cienti � o � iterazioni per raggiungere la soluzionenella precisione di macchina�
Se keck non decresce vuol dire che la matrice del sistema �e mal condizio�nata� Se �e nota la decomposizione LU di A il metodo non �e molto costoso�bastano solo n� �ops per iterazione�
����� Metodo di Jacoby
Si trasforma il sistema ���� nella forma equivalente ����� utilizzando ilseguente splitting �partizionatura della matrice A � L � D � U � dove L �etriangolare inferiore con zeri sulla diagonale principale� D �e diagonale e U �etriangolare superiore con zeri sulla diagonale principale� La matrice B ed ilvettore g sono quindi dati da
B � �D���L � U� g � D��b�
�� CAPITOLO �� ALGEBRA LINEARE NUMERICA �M�FRONTINI�
Il metodo diventa quindi
xk�� � �D���L � Uxk � D��b� �����
Per l�equivalenza con il sistema ����� detta xvera la soluzione del sistema�si avr�a� dalla �����
xvera � �D���L � Uxvera � D��b
o� equivalentemente�xvera � �I �B��g�
La convergenza del metodo di Jacoby� ed in generale di tutti i metodidella forma ������ dipender�a quindi dalle propriet�a di B� pi�u precisamentevale il seguente
Teorema ���� Condizione necessaria e su�ciente per la convergenza delmetodo ���� �e che ��B � ��
Dimostrazione ����� Preso un vettore iniziale x� arbitrario la ���� cifornisce
x� � Bx� � g �����
x� � Bx� � g � B�x� � �B � Ig
x� � Bx� � g � B�x� � �B� � B � Ig
� � � � � �xk � Bxk�� � g � Bkx� � �Bk�� � � � �� B � Ig
vale il seguente lemma la cui dimostrazione �e lasciate come esercizio�
Lemma ����� Se e solo se ��B � � allora
limk
Bk � �
limk
�kXi��
Bi
�� I � B � � � � � �I � B����
per cui� dalle ��� � utilizzando il lemma ����� si ha
k ��� xvera � �I � B��g��
��� METODI ITERATIVI �M�F�� ��
Osservazione ���� Ricordando che� data una matrice A� per ogni de�ni�zione di norma si ha
j��Aj � kAkvale il seguente
Teorema ���� Condizione su�ciente per la convergenza della sucessione���� �e che esista una norma di B per cui kBk � ���
Oltre a garantire la convergenza del metodo �e importante poter stimarel�errore che si commette fermandosi alla k�esima delle iterazioni ����� �erroredi troncamento� Vale il seguente risultato
Teorema ��� Se kBk � � allora per l�errore alla k�esima iterazione si ha
kxvera � xkk � kBkk kxvera � x�k
kxvera � xkk � kBkk�� kBk kx� � x�k
Dimostrazione ����� Per la prima disuguaglianza si ha
xk � Bxk�� � g
xvera � Bxvera � g
sottraendoxvera � xk � B�xvera � xk��
e quindixvera � xk � Bk�xvera � x�
passando alle norme
kxvera � xkk ���Bk�xvera � x�
�� � ��Bk�� kxvera � x�k � �����
Per la seconda disuguaglianza� osserviamo che
kxvera � x�k � kxvera � x� � x� � x�k � kxvera � x�k� kx� � x�k� kBk kxvera � x�k� kx� � x�k
essendo kBk � �� si ha
��� kBk kxvera � x�k � kx� � x�k ����
kxvera � x�k � �
�� kBk kx� � x�k
�� CAPITOLO �� ALGEBRA LINEARE NUMERICA �M�FRONTINI�
dalle ��������� si ha
kxvera � xkk �kBkk
�� kBk kx� � x�k �� �����
Osservazione ���� Nella ���� la quantit�a kx� � x�k �e nota dopo il primopasso per cui si pu�o calcolare quanti passi saranno necessari per ottenere unapre�ssata accuratezza essendo kBk � ��
����� Metodo di Gauss�Seidel
Sia dato il sistemaAx � b
e la matrice A sia partizionata come
A � L � D � U
la j�esima componente del vettore xk �xjk fornita dal metodo di Jacoby �edata da
Djjxjk � �Ljxk�� � Ujxk�� � bj� k � �� �� � � � �����
dove Lj e Uj sono le righe j�esime delle matrici L e U � Essendo le componentidel vettore Lj
Lji � �� i � j
nella ����� al generico passo k�esimo� il primo vettore xk�� pu�o essere so�stituito dal vettore xk in quanto sono gi�a state calcolate le prime �j�� com�ponenti del vettore xk stesso� In questo modo si tiene subito conto dellevariazioni apportate nell�iterazione� Si osservi che le restanti n� j � � com�ponenti� non ancora note� vengono moltiplicate per zero� Si ottiene quindi ilmetodo �di Gauss�Seidel
Djjxjk � �Ljxk � Ujxk�� � bj� k � �� �� � � � � n
che� con ovvio signi�cato dei simboli� pu�o essere scritto in forma matriciale
Dxk � �Lxk � Uxk�� � b�
La matrice d�iterazione del metodo ed il vettore g sono quindi
B � ��D � L��U � g � �D � L��b
��� METODI ITERATIVI �M�F�� �
per cui sono applicabili� per la convergenza del metodo� i teoremi �������������Si pu�o osservare� analizzando la struttura dei due metodi� che se entrambii metodi convergono� in generale� il metodo di Gauss�Seidel converger�a pi�urapidamente del metodo di Jacoby�
Diamo ora due teoremi di convergenza
Teorema ���� Se la matrice A del sistema lineare ��� �e fortemente diago�nalizzata allora i metodi di Jacoby e Gauss�Seidel convergono per ogni sceltadel vettore iniziale�
Dimostrazione ����� La dimostrazione� per il metodo di Jacoby� �e imme�diata ricordando che� essendo A fortemente diagonalizzata� allora
jaiij �nX
j��j ��i
jaijj � �i � �� �� � � � � n
per cui kBk � ���
Teorema ��� Se la matrice A del sistema lineare ��� �e simmetrica ede�nita positiva allora il metodo di Gauss�Seidel converge per ogni scelta delvettore iniziale��
����� Metodi di rilassamento SOR
Si basano sulle seguenti due osservazioni�
�� la velocit�a di convergenza di un metodo iterativo della forma �����dipende dal raggio spettrale della matrice d�iterazione B� pi�u preci�samente pi�u ��B �e prossimo a zero tanto pi�u velocemente convergeil metodo ����� �se ��B � � il metodo converge al pi�u in n passi�diventa un metodo diretto�
�� se la matrice B dipende da un parametro �B � B� si pu�o pensaredi trovare un valore ottimale di � opt per cui il raggio spettrale risultiminimo ���B� opt � ��B� � ��
Partendo dal metodo di Gauss�Seidel� scritto nella forma
xk�� � D�� ��Lxk�� � Uxk � b�
�� CAPITOLO �� ALGEBRA LINEARE NUMERICA �M�FRONTINI�
sottraendo ad entrambi i membri xk si ha
xk�� � xk � D�� ��Lxk�� � Uxk � b�� xk �����
de�nito il vettore vk
vk � D�� ��Lxk�� � Uxk � b�� xk
la ����� si pu�o scrivere� introducendo il parametro � �� nella forma
xk�� � xk � vk� �����
Nella ����� il vettore variato �e ottenuto dal vettore precedente muoven�dosi nella direzione di vk con un passo pari a kvkk� l�importante sar�a trovareil passo in modo che xk�� sia pi�u vicino a xvera di quanto non lo sia xk� Informa matriciale la ����� �e equivalente a
xk�� � xk � D�� ��Lxk�� � �D � Uxk � b�
ovvero�D � Lxk�� � ���� D � U xk � b
e in de�nitiva
xk�� � �D � L�� ���� D � U xk � b� �����
Nella ����� la matrice d�iterazione �e quindi
B� � �D � L�� ���� D � U
che si riduce� per � �� alla matrice del metodo di Gauss�Seidel� mentreper la convergenza del metodo �e necessario �non su�ciente che � � � ��Se �e costante ad ogni passo si ha un metodo stazionario� se viene variatoad ogni iterazione si ha un metodo non stazionario �si cambia il passo� Laricerca del valore ottimale di dipende da problema a problema e non pu�oessere qui trattata�
����� Metodi non stazionari
L�idea alla base dei metodi non stazionari �e quella di cercare ad ogni iterazionedi muoversi lungo un�opportuna direzione con un opportuno passo in modo
��� METODI ITERATIVI �M�F�� ��
che l�iterata �k���esima sia �pi�u vicina� alla soluzione dell�iterata k�esima�Dedurremo i metodi nel caso di matrici simmetriche e de�nite positive�
De�niamo l�errore alla generica iterazione k
ek � xvera � xk
ed associamogli la seguente forma quadratica de�nita positiva
��ek � �Aek� ek � eTkAek � �xvera � xkTA�xvera � xk ����
� xTveraAxvera � �xTveraAxk � xTkAxk
in modo analogo si de�nisce ��ek��� Cerchiamo� analogamente a quantofatto in ������
xk�� � xk � vk� �����
Utilizzando le ���� ����� si pu�o cercare e vk in modo che
��ek�� � ��ek�
e la succesione ����� converga� per k ���� a xvera�Per la determinazione di vale il seguente
Teorema ���� Se A �e simmetrica e de�nita positiva
��ek�� � ��ek�
per ogni dato da
� �rTk vkvTkAvk
� � � � � �� �����
dove rTk �e il residuo �����
Dimostrazione ����� Dalle ��������� si ha
��ek�� � �xvera � xk��TA�xvera � xk��
� xTveraAxvera � �xTveraAxk�� � xTk��Axk��
� xTveraAxvera � �xTveraA�xk � vk � �xk � vkTA�xk � vk
� ��ek� �xTveraAvk � �xTkAvk � �vTkAvk� ��ek� �eTkAvk � �vTkAvk�
�� CAPITOLO �� ALGEBRA LINEARE NUMERICA �M�FRONTINI�
Perch�e sia��ek�� � ��ek�
deve essere�vTkAvk � �eTkAvk � � �����
ovvero� essendo Aek � rk�
� �eTkAvkvTkAvk
� �rTk vkvTkAvk
��
Osservazione ���� La condizione su � �e la stessa data su nei metodiSOR� E� necessaria per la convergenza� ma non su�ciente bisogna ancorascegliere la direzione lungo cui muoversi� Il valore di � � � �e quello che o�re�in generale� il miglior guadagno essendo corrispondente al valore minimodella �����
Metodo delle coordinate
Il vettore vk che compare nella ����� viene scelto �metodo delle coordinateciclico ciclicamente uguale al versore ej
vk � ej� k � j modn
mentre � dato dalla ������ risulta uguale a
� �rjkajj
����
dove rjk �e la componente j�esima di rk� Con queste scelte �e garantita laconvergenza del metodo�
Se il vettore vk che compare nella ����� viene scelto uguale al versoreej� dove j �e l�indice della massima componente in modulo di rk� ed �edato dalla ����� questo �e equivalente ad annullare� al passo k�esimo� lamassima delle componenti del residuo� si ha il metodo delle coordinate NONciclico� La convergenza NON �e pi�u garantita �potrebbero esserci componentidi xk che non vengono mai modi�cate per ripristinare la convergenza bisognagarantire che dopo m passi �ovviamente m � n tutte le componenti di xksiano state modi�cate� Se ci�o non avviene si devono modi�care ciclicamentele componenti non variate�
���� SISTEMI SOVRADETERMINATI �M�F�� ��
Metodo del gradiente
Si sceglie come direzione vk che compare nella ����� il vettore residuo rk cherisulta essere il gradiente della forma quadratica ���� �da qui il nome delmetodo� Lo scalare � dato dalla ������ risulter�a quindi uguale a
� �rTk rkrTkArk
�
Vale la pena di osservare che la velocit�a di convergenza del metodo delgradiente dipende dal valore
K�A� �
K�A � �
per cui la convergenza pu�o essere molto lenta se A �e mal condizionata�
��� Sistemi sovradeterminati �M�F��
In svariati problemi si ha a che fare con modelli lineari in cui �e importanteindividuare dei parametri �vettore delle incognite x� potendo disporre diun numero di osservazioni �vettore dei termini noti b superiore al numerodei parametri� per cui la matrice del sistema lineare �A risulta rettangolare�sistemi sovradeterminati� Le osservazioni sono sovente a�ette da errori�errori di misura per cui non esiste una soluzione� in senso classico� delproblema �il vettore termini noti non appartiene allo spazio delle colonne diA�
Dato il sistema lineareAx � b
con A � Rmn� x � Rn� e b � Rm� � m � n� si cerca il vettore x che veri�ca
minxkAx� bk�� �����
� x �e soluzione nel senso dei minimi quadrati�Vale il seguente
Teorema ����� Se �y�� con y� � A x�� tale per cui
�b� y�Ty � �� �y � R�A�
il vettore �b�y� risulta ortogonale a tutti i vettori di R�A allora x� �e unasoluzione di �����
�� CAPITOLO �� ALGEBRA LINEARE NUMERICA �M�FRONTINI�
Dimostrazione ����� Utilizzeremo la tecnica del completamento del qua�drato
� � ��b� y����
� �b� yT �b� y � bT b� �bTy � yTy
aggiungendo ��b� y�Ty � �� per ipotesi� si ha
� � bT b� �bTy � yTy � ��b� y�Ty
� bT b � �bTy � �y�T y � �bTy � yTy
� bT b� �y�Ty � yTy
aggiungendo e togliendo y�Ty�
� � bT b� y�T y� � �y�Ty� � �y�T y � yTy
� kbk�� ���y����
�� �y� � yT �y� � y
in conclusione
� � ��b� y����
� kbk�� ���y����
�� �y� � yT �y� � y
che risulta minima quando y � y���
Osservazione ����� Risolvere un sistema lineare nel senso dei minimi qua�drati �e quindi equivalente a trovare un vettore x la cui immagine� mediante A��e il vettore y proiezione ortogonale del vettore termine noto b sullo spaziodelle colonne di A� Se A ha rango massimo tale soluzione sar�a unica�
Per determinare il vettore x� soluzione� osserviamo che� in virt�u delteorema ��� �� e della propriet�a commutativa del prodotto scalare� si ha
�b� y�Ty � yT �b� y� � �� �y � R�A�
ed� essendoy� � Ax�� y � Ax
si ha
yT �b� y� � xTAT �b� Ax� � �� �x � Rn
� � xT �AT b� ATAx�
da cuiAT b� ATAx� � �
���� SISTEMI SOVRADETERMINATI �M�F�� �
e quindiATAx� � AT b �����
che prende il nome di equazione normale� Se A �e a rango massimo alloraATA �e invertibile� per cui
A� � �ATA��AT
ex� � A�b
�e l�unica soluzione �la matrice A� prende il nome di pseudo inversa di Moore�Penrose�
Se A �e mal condizionata peggio sar�a il condizionamento di ATA� percui la risoluzione di ����� pu�o risultare poco accurata� Facciamo un brevecenno ad una tecnica risolutiva� utile quando A �e a rango massimo ma malcondizionata� che si basa sul seguente teorema
Teorema ����� Data una matrice A � Rmn� a rango massimo� esistonodue matrici� Q � Rmm ortogonale e R � Rmn pseudo�triangolare superioreil pre�sso pseudo per ribadire che �e rettangolare� con elementi rii �� �� taliper cui
A � QR�� �����
�Forniremo un algoritmo per la determinazione della decomposizione QRnel paragrafo ������ relativo al calcolo degli autovalori�
Utilizzando il teorema ��� �� si ha
minxkAx� bk�� � min
xkQRx� bk�� � min
x
��Q�Rx�QT b����
� minx
��Rx�QT b����
� minx
���Rx�bb������
Scriviamo la matrice R ed il vettore bb � QT b� nella forma
R �
������ r�� � � � r�n
�� � �
������
� � � rnn� � � � �� � � � �
������� �
�R��
�
�� bb �
�������
bb����bbn���bbm
�������� �
� bb�bb�
�� CAPITOLO �� ALGEBRA LINEARE NUMERICA �M�FRONTINI�
dove R�� � Rnn� bb� � Rn e bb� � Rm�n� �e su�ciente quindi risolvere il sistema�quadrato non singolare
R��x � bb�mantenendo il condizionamento in norma � uguale �K��A � K��R �K��R���
Se A non �e a rango massimo allora ATA �e singolare� si pu�o ancoraparlare di soluzione nel senso dei minimi quadrati e di pseudo�inversa� mal�argomento va oltre i con�ni di questo corso�
�� Riepilogo �M�F��
Sintetizziamo quanto esposto relativamente alla risoluzione dei sistemi lineariabbiamo
�� Matrici piene �elementi diversi da zero dell�ordine di n�
�a NON simmetriche� metodo di Gauss e sue varianti �A�LU� PA�LUcon costo di n�
��ops�
�b matrici sparse e strutturate� Gauss� A�LU� PA�LU con costodipendente dalla ampiezza della banda�
�c simmetriche de�nite positive� decomposizione di Choleshy concosto di n�
��ops�
�� Matrisci sparse �numero di elementi diversi da zero �� n�
�a NON de�nite positive� Jacoby� Gauss�Seidel e SOR� Convergenzae velocit�a di convergenza dipendono da ��B�
�b simmetriche e de�nite positive� Coordinate e Gradiente� Velocit�adi convergenza dipende da K�A�
�� Accuratezza della soluzione dipende dal numero di condizionamento�K�A � kAk kA��k �
�� Ra�namento iterativo di Wilkinson per migliorare la soluzione� quandoK�A non �e troppo grande�
� Soluzione nel senso dei minimi quadrati per sistemi sovradeterminati�Decomposizione QR�
���� RIEPILOGO �M�F�� ��
����� Esercizi
Esercizio ���� Calcolare� se esiste� la decomposizione LU della seguentematrice
A �
��� � � � �� � � �� � � �� � � �
���� �Giusti�care la risposta�
Esercizio ���� Risolvere� mediante il metodo di Jacoby� il seguente sistemalineare Ax � b� dove
A �
����� � � � �
� � � � �
�
������ � b �
����� ����
������usando diversi valori per la tolleranza richiesta nel test di arresto e partendosempre da x� � b� Giusti�care i risultati ottenuti�
Esercizio ���� Se una matrice �e triangolare allora �e ben condizionata �Giusti�care la risposta proponendo anche un esempio�
Esercizio ��� Sia A una matrice simmetrica e fortemente diagonalizzatadimostrare che pu�o essere decomposta nel prodotto
A � LDLT
dove L �e triangolare inferiore con � sulla diagonale principale e D �e diago�nale�
Esercizio ���� Dati i punti del piano xy� le cui coordinate sono date nellaseguente tabella
xi ��� �� ��� ��� �yi ���� ���� � ���� ��
calcolare la retta di regressione�
�� CAPITOLO �� ALGEBRA LINEARE NUMERICA �M�FRONTINI�
��� Autovalori di matrici �M�F��
�� �� Richiami e de�nizioni
Data una matrice quadrata A si de�niscono autovalori e autovettori rispet�tivamente quei valori reali o complessi e quei vettori non nulli che veri�canol�equazione
Au � �u� �����
Il sistema ����� �e equivalente al sistema omogeneo
�A� �Iu � �
che ammette soluzioni non banali �u �� � se e solo se � �e tale per cui
det�A� �I � pn�� � �
dove pn�� �e un polinomio di grado n�
Teorema ����� Se la matrice A �e diagonalizzabile allora ammette n auto�vettori linearmente indipendenti�
Dimostrazione ����� Se A �e diagonalizzabile allora
Au � C��DCu � �u
DCu � �Cu
posto
Cu � w
segue
Dw � �w
ed essendo D diagonale �i � Dii sono autovalori e w � ei sono i corri�spondenti autovettori� per cui� essendo u � C��w anche gli u risulterannolinearmente indipendenti��
Teorema ����� Se la matrice B �e trasformata per similitudine della matriceA B � C��AC� allora ��A � ��B e u�A � Cu�B�
�� � AUTOVALORI DI MATRICI �M�F�� �
Dimostrazione ����� Essendo B � C��AC� da Bu � �u segue
C��ACu � �u
ACu � �Cu
Aw � �w��
Teorema ����� Se la matrice A ha autovalori ��A �� �� allora la matri�ce A�� ha autovalori ��A�� � �
��A e gli autovettori sono uguali u�A �
u�A����
Teorema ���� Se la matrice A ha autovalori ��A� allora la matrice �A�I ha autovalori ��A�I � ��A� e gli autovettori sono uguali u�A �u�A� I��
Si lascia al lettore� come esercizio� la dimostrazione di questi due ultimiteoremi�
Per il calcolo degli autovalori ed autovettori considereremo due famigliedi metodi� i metodi locali� che permettono il calcolo di un particolare auto�valore e del corrispondente autovettore� ed i metodi globali che� basandosisu trasformazioni per similitudine� permettono di stimare simultaneamentetutti gli autovalori ed autovettori�
Vale la pena di notare che� se si conosce un autovettore della matrice A��e immediato il calcolo del corrispondente autovalore� vale infatti �quozientedi Rayleigh
Ax � �x
xTAx � �xTx
� �xTAx
xTx��
al contrario� noto � il calcolo di x mediante la de�nizione ����� risulta dif��coltoso� se non impossibile� in quanto anche un piccolo errore su � rende ilsistema ����� non pi�u omogeneo� per cui solo x � � veri�ca la ������
�� �� Metodi locali
Fra i metodi locali presenteremo il metodo delle potenze� che permette ilcalcolo dell�autovalore di modulo massimo� ed il metodo delle potenze inverse�
� CAPITOLO �� ALGEBRA LINEARE NUMERICA �M�FRONTINI�
Metodo delle potenze
Per sempli�care la dimostrazione della convergenza del metodo delle potenzefaremo l�ipotesi che
�� la matrice A abbia n autovettori linearmente indipendenti�
�� che esista un solo autovalore di modulo massimo ���
�� il vettore iniziale x�� della successione xk�� � Axk� dipenda da u�autovettore associato a ���
Vale il seguente
Teorema ����� Data una matrice A con un solo autovalore di modulo mas�simo
j��j � j��j � j��j � � � � � j�nje n autovettori ui linearmente indipendenti� posto
x� � �u� � �u� � � � �� nun �nXi��
iui
con � �� �� la successionexk�� � Axk �����
converge ad u� mentre
�jk �xjk��
xjk� xjk �� �
converge a ���
Dimostrazione ����� Dalla ����� per la de�nizione di autovalore e au�tovettore� si ha
x� � Ax� �nXi��
iAui �nXi��
i�iui
x� �nXi��
i�iAui �nXi��
i��iui
� � �xk�� �
nXi��
i�kiAui �
nXi��
i�k��i ui
�� � AUTOVALORI DI MATRICI �M�F�� �
ovvero� raccogliendo �k���
xk�� � �k���
��u� �
�����
�k��
�u� � � � ����n��
�k��
nun
�����
dalla ���� sia halimk
xk�� � u�
si ricordi che gli autovettori sono de�niti a meno di una costante�La ����� scritta per k� diviene
xk � �k�
��u� �
�����
�k
�u� � � � ����n��
�k
nun
�
facendo il quoziente fra le j�esime componenti non nulle�
�jk �xjk��
xjk� ��
�uj� �
�����
�k��
�uj� � � � �
�uj� �
�����
�k�u
j� � � � �
per cuilimk
�jk � ����
Dalla ���� si vede che la velocit�a di convergenza a u� e �� dipende dallavelocit�a con cui il quoziente ��
��va a zero �convergenza lineare�
Il fattore �k pu�o essere calcolato in generale nella forma
�k �vTk xk��
vTk xk
dove vk �e un generico vettore �la scelta precedente equivale a vk � ej� Se sipone vk � xk� si ottiene il quoziente di Rayleigh
�k �xTkAxkxTk xk
�xTk xk��
xTk xk
che garantisce una convergenza quadratica� dipendente da�����
��
� se la ma�
trice A �e simmetrica�
� CAPITOLO �� ALGEBRA LINEARE NUMERICA �M�FRONTINI�
Vediamo ora se si possono rilassare� o modi�care� le ipotesi fatte nelprecedente teorema� La lineare indipendenza degli autovettori pu�o esseresostituita con la diagonalizzabilit�a di A o dall�ipotesi che gli autovalori sianodistinti �perch�e �� Il vincolo � �� �� se rimosso fa si che inizialmente siabbia convergenza su �� �ovviamente se � �� �� ma con il crescere delleiterazioni� a causa degli inevitabili errori di arrotondamento� si converge an�cora a ��� Se esistono due autovalori di modulo massimo reali il metodo dellepotenze funziona ancora pur di applicarlo alla matrice A� �basta ricordareche ��A� � ��A��
Operativamente� nella pratica� converr�a normalizzare i vettori xk al �nedi evitare l�over�ow�
Un semplice programma in MATLAB per il metodo delle potenze �e ilseguente
x�rand�max�size�A�� ���
x�x�norm�x ���
betaold���
beta���
for i�������
if abs��beta�betaold��beta� � eps�e��
break
end
betaold�beta�
y�Ax�
beta�y�x�
x�y�norm�y ���
end
Metodo delle potenze inverse
E� una variante del metodo delle potenze che si basa sull�osservazione che� seuna matrice �e invertibile� allora
��A�� ��
��A
ed i corrispondenti autovettori coincidono�Si pu�o quindi calcolare l�autovalore di modulo minimo di A� ed il corri�
spondente autovettore� calcolando l�autovalore di modulo massimo di A���
�� � AUTOVALORI DI MATRICI �M�F�� �
Per evitare il calcolo della matrice inversa presente in
xk�� � A��xk
basta risolvere �per esempio mediante la decomposizione LU il sistema equi�valente
Axk�� � xk�
Il valore
�k �xTk xk��
xTk xkconverger�a al valore
� � limk
�k � �max�A�� �
�
�min�A
mentre xk�� converger�a al corrispondente autovettore�Ricordando inoltre che
��A� I � ��A�
mentre i corrispondenti autovettori coincidono� il metodo delle potenze in�verse pu�o essere utilizzato per stimare l�autovalore pi�u prossimo ad un valorepre�ssato ed il suo corrispondente autovettore� Posto
B � �A� I��
il metodo delle potenze applicato alla matrice B �e equivalente a
�A� Ixk�� � xk
per cui il valore
�k �xTk xk��
xTk xkadesso converger�a al valore
� � limk
�k � �max�A� I�� ��
���A�
dove con ���A si �e indicato l�autovalore di A pi�u prossimo ad � ed allora
���A ��
�� �
Per poter applicare il metodo delle potenze inverse con shift �e necessarioavere una idea di dove sono dislocati� nel piano complesso� gli autovalori diA� A tale �ne richiamiamo� senza dimostrazione� alcuni classici risultati�
� CAPITOLO �� ALGEBRA LINEARE NUMERICA �M�FRONTINI�
Teorema ���� Se una matrice A �e simmetrica allora i suoi autovalori sonoreali�
Teorema ����� Se una matrice A �e simmetrica e de�nita positiva allora isuoi autovalori sono reali e positivi�
Teorema ����� Per ogni autovalore di A vale la limitazione
j��Aj � kAk
per ogni norma di A�
Teorema ����� di Gerschgorin Data la matrice A di elementi aij� de��niamo
rk �nX
j��j ��k
jakjj � ck �nX
j��j ��k
jajkj
Rk � fzj jz � akkj � rkgCk � fzj jz � akkj � ckg
gli autovalori di A appartengono ai cerchi Rk e Ck� Pi�u precisamente appar�tengono alla regione del piano complesso che �e data dall�intersezione delleunioni dei due insiemi di cerchi��
Sebbene grossolane� le limitazioni fornite dai precedenti teoremi� in alcunicasi risultano su�cienti per stimare alcuni autovalori ed autovettori dellamatrice A�
�� �� Metodi globali
Sono quei metodi che permettono di calcolare tutti gli autovalori della matriceA trasformando� mediante trasformazioni per similitudine� la matrice in unamatrice in forma diagonale o triangolare �forme per le quali �e immediatoil calcolo degli autovalori� E� importante osservare che tali trasformazioniporteranno� in generale per n � � ad una matrice triangolare o diagonalesolo dopo un �numero in�nito� di passi� �E� una naturale conseguenza delteorema di Abel sul calcolo delle radici di equazioni algebriche�
�� � AUTOVALORI DI MATRICI �M�F��
Le matrici di trasformazione� che stanno alla base di questi metodi� so�no le stesse che permettono la decomposizione QR di una matrice o la suatrasformazione in forma di Hessemberg�
Fra le diverse tecniche di trasformazione presenteremo in dettaglio quel�la basata sulle matrici di ri�essione di Householder che� a di�erenza dellematrici di rotazione� ri�ettono i vettori a cui sono applicate rispetto degliiper�piani�
Matrici di Householder
De�nizione ����� Dato un vettore u de�niamo matrice di Householder lamatrice
Q � I � �uuT
kuk���
Teorema ����� La matrice Q �e simmetrica� ortogonale ed e�ettua la ri��essione di un vettore rispetto all�iper�piano ortogonale al vettore u�
Dimostrazione ����� La simmetria segue dalla de�nizione di Q� Perl�ortogonalit�a
QTQ �
�I � �uuT
kuk��
�T �I � �uuT
kuk��
��
�I � �uuT
kuk��
��
�
� I � �uuT
kuk���
�u�uTu
�uT
kuk��� I�
essendo�uTu
�� kuk�� �
Sia z un vettore dell�iper�piano ortogonale ad u� ovvero zTu � �� allora
Qz �
�I � �uuT
kuk��
�z � z
mentre
Qu �
�I � �uuT
kuk��
�u � �u
essendo x � u � �z� �x � Rn� il vettore x �e decomposto nelle sue duecomponenti rispetto a u e z� allora
Qx � Q�u � �z � �u � �z
risulta il ri�esso di x rispetto all�iper�piano ortogonale ad u��
� CAPITOLO �� ALGEBRA LINEARE NUMERICA �M�FRONTINI�
Nasce spontanea la domanda� �e possibile costruire delle matrici Q cheapplicate a sinistra ad una matrice A �eventualmente anche rettangolaregenerino una matrice triangolare superiore � Questa operazione �e simile alladecomposizione LU ma adesso la matrice sinistra �e ortogonale� La risposta�e a�ermativa basta osservare che �e possibile �mediante una opportuna Qrendere nulle tutte le componenti di un dato vettore da un certo indice inpoi� mantenendone inalterata la norma �� In de�nitiva vale il seguente
Teorema ������ Dato un vettore v arbitrario� per ottenere il vettore w �Qv della forma
w �
�wj � vj� j � �� � � � � k � �
wkj kwk � kvk �wj � �� j � k � �� � � � � n
�����
basta prendere u della forma
u �
�������uj � � j � �� � � � � k � �
uk � vk s
nPj�k
v�j �
uj � vj� j � k � �� � � � � n� �����
Dimostrazione ����� Si ha
kuk�� � uTu � v�k �nX
j�k
v�j �vk
vuut nXj�k
v�j �nX
j�k��
v�j �
� �nX
j�k
v�j �vk
vuut nXj�k
v�j �
e
uTv � v�k vk
vuut nXj�k
v�j �nX
j�k��
v�j �
�nX
j�k
v�j vk
vuut nXj�k
v�j �kuk��
��
�� � AUTOVALORI DI MATRICI �M�F�� �
essendo w � Qv� si ha
w � Qv �
�I � �uuT
kuk��
�v � v � �u
�uTv
�kuk��
� v � u�
che �e della forma ������
La fattorizzare QR di una matrice A si pu�o quindi ottenere in n�� passicostruendo le opportune matrci Qj di Householder che� al j�esimo passo� an�nullano gli elementi della j�esima colonna della matrice Aj sotto la diagonaleprincipale� dove con Aj � Qj��Qj�� � � �Q�A� abbiamo indicato la matrice alj�esimo passo e A� � A�
Qn��Qn�� � � �Q�Q�A � R�
Osservazione ����� Il prodotto Qy pu�o essere eseguito con n �ops al postodi n� osservando che
Qy �
�I � �uuT
kuk��
�y � y � �uTy
kuk��u � y � �u
essendo
� ��uTy
kuk���
Osservazione ����� Nella ��� il segno viene scelto in modo da ridurrela cancellazione numerica � se vk � �� � se vk � ��
Algoritmo QR
Data la fattorizzazioneA � A� � Q�R� �����
si consideri la matriceA� � R�Q� ����
�e immediato dimostrare che la matrice A� �e simile alla A� infatti
A� � R�Q� ��QT
�Q�
�R�Q� � QT
� �Q�R�Q� � QT�A�Q���
Iterando la decomposizione ����� ed il prodotto ���� si genera unasuccesione di matrici Ak per la quali vale il seguente
� CAPITOLO �� ALGEBRA LINEARE NUMERICA �M�FRONTINI�
Teorema ������ Se la matrice A ha autovalori reali distinti� j��j � j��j �� � � � j�nj� allora
limk
Ak � R
dove R �e triangolare superiore� se A �e simmetrica R � D diagonale��
Poich�e l�algoritmo QR salva la forma di Hessemberg di una matrice� �e con�veniente trasformare preventivamente la matrice A in forma di Hessemberg�tridiagonale se A �e simmetrica� Tale trasformazione pu�o essere e�ettuata�mantenendo la similitudine� ancora con matrici di Householder in n�� passi�Questa volta si dovr�a moltiplicare� sia a sinistra che a destra� per le matriciQj costruite in modo di azzerare gli elementi della colonna j�esima della ma�trice Aj sotto la sotto�diagonale principale� Senza entrare nei dettagli �chevengono lasciati al lettore come esercizio di veri�ca
H � Qn��Qn�� � � �Q�Q�AQ�Q� � � �Qn��Qn��� �����
Osservazione ����� La ���� �e ovviamente una trasformazione per simili�tudine essendo le Qj ortogonali e simmetriche�
La velocit�a di convergenza dell�algoritmo QR dipende dallo spettro del�la matrice A per cui� nella pratica� si preferisce utilizzare al posto delle��������� le
A� I � A� � I � Q�R�
eA� � R�Q� � I
dove �e un opportuno valore di shift� scelto per accelerare la velocit�a diconvergenza del metodo�
�� �� Analisi dellerrore
Analogamente a quanto fatto per la risoluzione di un sistema lineare �e natu�rale chiedersi di quanto pu�o variare la stima di un autovalore a fronte di unavariazione degli elementi della matrice� Vale il seguente
Teorema ������ di Bauer�Fike Se � �e un autovalore della matrice �A � Ee
X��AX � D � diag���� ��� � � � � �n
���� RIEPILOGO �M�F��
alloramin j�� �j � Kp�X kEkp
dove k�kp denota una norma p di matrice��
E� interessante osservare che �e il condizionamento della matrice X chediagonalizza la A che in�uenza il calcolo degli autovalori e non il condiziona�mento di A�
Se A �e simmetrica� essendo diagonalizzabile mediante una matrice orto�gonale� non crea problemi per il calcolo degli autovalori �si pensi alla matricedi Hilbert� cos�i per�da per la risoluzione dei sistemi lineari� ma di cui siriescono a calcolare bene gli autovalori�
Essendo le colonne della matrice X gli autovettori della matrice A� ilteorema di Bauer�Fike evidenzia come siano gli autovettori ad in�uire sulcalcolo degli autovalori �pi�u gli angoli formati da questi sono prossimi a �
�e
pi�u le cose vanno bene�
��� Riepilogo �M�F��
Sintetizzando quanto esposto relativamente al calcolo di autovalori ed auto�vettori abbiamo
�� Metodi locali� permettono il calcolo di un autovalore� Metodo dellepotenze e sue varianti
�a autovalori distinti non creano problemi �autovettori linearmenteindipendenti�
�b velocit�a di convergenza dipende da ����� matrici simmetriche
�����
��
�
�c shift per accellerare convergenza e calcolare autovettore associatoad un dato autovalore�
�� Metodi globali� tutti gli autovalori� Trasformazioni per similitudine�Algoritmo QR�
�a velocit�a di convergenza legato allo spettro della matrice�
�b shift per accellerare convergenza�
�� Condizionamento� dipende dagli autovettori� non ci sono problemi perle matrici simmetriche essendo gli autovettori ortogonali�
�� CAPITOLO �� ALGEBRA LINEARE NUMERICA �M�FRONTINI�
����� Esercizi
Esercizio ����� Dato il vettore x � ��� �� �� �� � � costruire la matrice Q diHouseholder in modo che y � Qx � ��� �� y�� �� �� � �
Esercizio ����� Utilizzare il metodo delle potenze per calcolare gli autovaloridi modulo massimo e minimo della matrice di Hilbert di ordine �� e quindi ilsuo condizionamento in norma ��
Esercizio ����� Sapendo che e� � ��� �� �� �� � T �e autovettore della matricedell�esercizio ����� calcolare il corrispondente autovalore utilizzando� nel quo�ziente di Rayleigh� e� ed e� ��e�� dove �e� �e una perturbazione di e�� Provareper varie perturbazioni �e� e commentare i risultati ottenuti�
Capitolo �
Zeri di funzioni�M�Frontini�
La risoluzione di molti problemi conduce al calcolo degli zeri di una funzione�si veda per esempio il problema della determinazione del tasso di crescita nelmodello di Maltius presentato nell�introduzione� oppure il problema dellaricerca del minimo �massimo di una funzione e tutti quei problemi legatialla massimizzazione del pro�tto o minimizzazione della spesa�
Considereremo in dettaglio il caso monodimensionale estendendo� ove pos�sibile� alcuni risultati al caso di sistemi non lineari� Partiremo quindi dalproblema� data f�x � C��a� b con f�af�b � �� trovare � � �a� b tale chef�� � ��
Un primo algoritmo per la determinazione di � ci viene fornito dal teoremadegli zeri visto nel corso di Analisi�
Teorema �� �� degli zeri Sia f�x � C��a� b con f�af�b � �� alloraesiste almeno uno � � �a� b tale che f�� � ���
Se alle ipotesi del teorema degli zeri si aggiunge la monotonia della f�xsi ha anche l�unicit�a del punto ��
�� Metodo di bisezione �M�F��
Sotto le ipotesi precedenti de�niamo la seguente sequenza di operazioni�
x� � a� x� � b� i � �
��
�� CAPITOLO � ZERI DI FUNZIONI �M�FRONTINI�
xi�� �xi � xi��
�� valuta f�xi��
f�xi�� � � � � � xi�� FINE�
altrimenti f�xif�xi�� � � � xi�� � xi��� i � i � �
altrimenti f�xi��f�xi�� � � � xi � xi��� i � i � �
continua�
Nella pratica non si arriver�a mai ad avere f�xi�� � �� per cui nellasequenza precedente bisogna introdurre un opportuno test di arresto in modod�ottenere un algoritmo utilizzabile� Un buon test �e il seguente
jxi � xi��j � toll ����
dove toll �e la precisione richiesta sul risultato� Essendo � � �xi� xi�� la ����fornisce l�intervallo di indeterminazione di ��
Osservazione ����� Nel calcolo del punto medio �e pi�u stabile l�uso dellaseguente formula
xi�� � xi �xi�� � xi
��
che permette di evitare l�over�ow ed assicura� come deve essere� che xi�� �xi�� � xi xi � xi�� � xi���
E� possibile sapere a priori il numero di iterazioni necessarie per raggiun�gere la tolleranza richiesta essendo
xi � xi�� �b� a
�i��
per cui� dalla �����
i � � �log� b�a
toll
log ��
Il costo computazionale del metodo �e dato dal calcolo� ad ogni passo� dellaf�xi��� La convergenza �e lenta� si dimezza l�intervallo ad ogni passo� ma siha il vantaggio d�avere sempre una stima per difetto e una per eccesso dellaradice� Il metodo non pu�o essere usato per problemi in dimensione maggioredi ��
��� METODO DI BISEZIONE �M�F�� ��
����� Falsa posizione
E� una variante del metodo di bisezione� l�unica di�erenza �e che il punto xi��
viene calcolato come intersezione della retta congiungente i punti �xi� f�xie �xi��� f�xi�� ovvero
xi�� �xif�xi��� xi��f�xi
f�xi��� f�xi
e� per il resto� si procede analogamente� Un inconveniente di questa variante�e che� in generale� non fornisce pi�u l�intervallo di indeterminazione della � e�se la f�x �e monotona� uno dei due estremi �a o b non viene mai modi�cato�confronta �gura ����
−1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
6
f(x)
^
>
Corde
x
f(x)
o
Falsa Posizione
Figura ����
Anche il test di convergenza deve essere modi�cato per contemplare sia ilcaso in cui la derivata prima di f�x sia �piccola� �funzioni piatte vicono a �che quando �e �grande� �funzioni ripide vicono a �� Un buon test di arresto�e dato quindi dalla contemporanea veri�ca delle seguenti disuguaglianze
jf�xi��j � zero
jxi � xi��j � toll
dove zero e toll sono in generale diversi �confronta �gure ��� e ����
�� CAPITOLO � ZERI DI FUNZIONI �M�FRONTINI�
0 ξa
b
Figura ����
�� Metodi di punto �sso �M�F��
Sono i metodi che si ottengono trasformando il problema del calcolo dellozero di f�x nel problema equivalente della costruzione di una successione�convergente
xk�� � g�xk ����
dove g�x �e scelta in modo che
� � g�� ����
sef�� � ��
Osservazione ����� Si invita lo studente a so�ermarsi sulle analogie con imetodi iterativi stazionari� presentati per la risoluzione dei sistemi lineari�
Vediamo un semplice esempio
Esempio �����
f�x � x� � �x � �
g��x �x� � �
�
g��x �p
�x� �� x � �
�g��x � x� � x � �
��� METODI DI PUNTO FISSO �M�F�� �
ξ0
a
b
Figura ����
Le tre gi�x ammettono tutte � � � come �punto unito�� ma non tuttee tre vanno bene per generare una successione convergente partendo� peresempio� da x� � �
��
La convergenza della ���� a � dipender�a quindi dalla g�x�Valgono iseguenti teoremi�
Teorema ����� Se la funzione g�x � C��a� b e se g�a� b � �a� b � alloraesiste almeno un punto unito � � �a� b per la trasformazione g�x�
Dimostrazione ����� Essendo
g�a� b � �a� b
si ha
a � g�a � b
a � g�b � b�
Se g�a � a oppure g�b � b si ha la tesi con � � a oppure � � b�altrimenti si ha
g�a� a � �
g�b� b � ��
�� CAPITOLO � ZERI DI FUNZIONI �M�FRONTINI�
PostoF �x �� g�x� x
allora F �x � C��a� b ed inoltre F �aF �b � �� per cui� applicando il teoremadegli zeri F �� � � � g��� � � � � g����
Teorema ����� Se la funzione g�x � C��a� b e se g�a� b � �a� b � ed inol�tre jg��xj � L � � allora esiste un solo punto unito � � �a� b per latrasformazione g�x�
Dimostrazione ����� per assurdo Supponiamo che esistano due distintipunti uniti �� e ��
�� � g���� �� � g���� �� �� ��
per il teorema della media �� � ���� �� per cui
j�� � ��j � jg���� g���j � jg����� � ��j� L j�� � ��j � j�� � ��j
che �e assurdo��
Teorema ����� Se la funzione g�x � C��a� b e se g�a� b � �a� b � conjg��xj � L � � allora la sucessione xk�� � g�xk converge a � ed inoltre�de�nito en � xn � �� si ha
jenj � Ln
�� Ljx� � x�j ��
Osservazione ����� Sebbene le condizioni indicate nel teorema ����� pos�sano essere di�cili da veri�care a priori� il teorema fornisce una chiara ri�sposta riguardo alle condizioni di convergenza e� se �e nota L� il numero diiterazioni necessarie per ottenere � con una pre�ssata tolleranza�
Osservazione ����� Vale la pena di osservare che l�equazione ��� �e l�e�quazione risolvente il sistema �
y � xy � g�x
per cui il metodo ��� pu�o essere interpretato geometricamente come indicatoin �gura ����
��� METODI DI PUNTO FISSO �M�F�� ��
y=x
0x
y
g(x)
Figura ����
Per quanto riguarda la velocit�a di convergenza e l�ordine di un metododel tipo ���� diamo la seguente de�nizione
De�nizione ����� Un metodo del tipo ��� si dice di ordine k se
limn
en��
ekn� c costante�
dove en � xn � �� g�i �� � � per i � k e g�k �� �� ��
I metodi per cui g��� �� �� vengono detti del primo ordine �a convergenzalineare� infatti
en�� � xn�� � � � g�xn� g�� � � � �Taylor � � � ����
� g���en �g�� ��
��e�n � � � �� g�k �n
k�ekn
dove n � �xn� � � Per k � � si ha
en�� � g��nen
e per il teorema ������ essendo
limn
xn � �
sar�a anchelimn
n � �
�� CAPITOLO � ZERI DI FUNZIONI �M�FRONTINI�
per cui
limn
en��
en� g��� � L � ���
In generale se g��� � g�� �� � � � � � g�k�� �� � � dalla ���� segue
limn
en��
ekn�
g�k ��
k�� c�
Osservazione ���� Mentre per i metodi del primo ordine il guadagno adogni passo �e costante tanto pi�u si guadagna quanto pi�u L �e minore di ��nei metodi di ordine superiore pi�u si �e vicini alla soluzione maggiore �e ilguadagno al passo sucessivo poco importa il valore di c� ci�o che conta �e chek � ��
� Metodo di Newton �M�F��
Si pu�o ottenere un metodo del secondo ordine dalla seguente osservazione�sia
g�x � x � h�xf�x
dove la nuova funzione h�x verr�a scelta in modo che g��� � �� E� immediatoosservare che� se f�� � � allora � � g��� costruiamoci la h�x� derivando siha
g��x � � � h��xf�x � h�xf ��x
per x � �� essendo f�� � �� si ha
g��� � � � h��� f����
�h��f ��� � � � h��f ���
da cui
h�� � � �
f ����
Otteniamo quindi il metodo� almeno del secondo ordine �metodo di New�ton� nella forma
xn�� � xn � f�xn
f ��xn�
Vale il seguente
�� METODO DI NEWTON �M�F�� �
Teorema ����� Se la f �� �x �e continua e la f ��x �� � in un aperto con�tenente �� allora esiste un � � � per cui � jx� � �j � � il metodo di Newtonconverge quadraticamente a ���
Osservazione ����� Il precedente teorema a�erma che� pur di partire �ab�bastanza vicino� alla soluzione� la convergenza �e quadratica� Nulla dice se siparte �lontano��
Per garantire la convergenza �comunque si parta� bisogna richiedere chela f�x non cambi concavit�a in �a� b � ovvero
Teorema ����� Se f�x � C��a� b � f�af�b � �� f �� �x �e di segno costantein �a� b e f ��x �� �� allora il metodo di Newton converge quadraticamente a� se si parte da un x� � �a� b tale per cui f�x�f
�� �x� � ���
Una chiara interpretazione del precedente teorema �e data nella �gura �� �
0 x
y
ξ
f(x)x
x1
x2
Figura �� �
Il metodo di Newton �e� in generale� un metodo del secondo ordine ma adogni iterazione richiede la valutazione di due funzioni la f�x e la f ��x� Sela f ��x non �e nota� o se �e molto oneroso il suo computo� il metodo non pu�oessere usato o pu�o risultare lento� Vedremo pi�u avanti come si pu�o ovviare aquesti inconvenienti�
Se la radice � �e multipla �per esempio doppia il metodo non �e pi�u delsecondo ordine ma decade al primo �con costante L � �
�� infatti
g��x � �� f ��x� � f�xf �� �x
f ��x��
f�xf �� �x
f ��x�
�� CAPITOLO � ZERI DI FUNZIONI �M�FRONTINI�
per cui� utilizzando il teorema di de L�Hopital�
limx�
g��x � limx�
f ��xf �� �x � f�xf �� �x
�f ��xf �� �x�
� limx�
f �� �x� � �f ��xf �� �x � f�xf �� �x
��f �� �x� � f ��xf �� �x�
�
���
E� facile dimostrare che se p �e la molteplicita� della radice �� allora
xn�� � xn � pf�xn
f ��xn
�e ancora del secondo ordine� mentre il metodo classico di Newton sarebbe delprimo con costante L � �� �
p�
Presentiamo due varianti al metodo di Newton che permettono d�evitareil calcolo della f ��x�
����� Metodo delle secanti
Si approssima la derivata prima con il rapporto incrementale per cui
f ��xn � f�xn� f�xn��xn � xn��
ed il metodo diviene
xn�� � xn � f�xn�xn � xn��f�xn� f�xn��
�
Il metodo delle secanti richiede ad ogni passo il calcolo della funzione inun solo punto� La convergenza �e iperlineare� ovvero
limn
en��
epn� c� p �
p � �
�� �����
La successione generata dal metodo delle secanti NON coincide con quellagenerata dal metodo della falsa posizione �cfr� �gura ����
�� SISTEMI NON LINEARI �M�F�� ��
0 x
0
y f(x)x
ξ1
23
4c
4f
4c:=corde
4f:=falsa posizione
Figura ����
����� Metodo di Ste�ensen
Si approssima la f ��x con
f ��xn � f�xn � f�xn� f�xn
f�xn
per cui il metodo diviene
xn�� � xn � f�xn�
f�xn � f�xn� f�xn�
Il metodo di Ste�ensen richiede il calcolo della funzione in due punti adogni passo �come Newton ed �e un metodo del secondo ordine�
� Sistemi non lineari �M�F��
����� Metodi di punto �sso
Dato il sistema non linearef�x � � ���
lo si trasforma nel problema equivalente
xk�� � ��xk ����
�� CAPITOLO � ZERI DI FUNZIONI �M�FRONTINI�
per cui se� �jf�� � � allora � � ����Indicata con
J���xk �
�������
����x�
����x�
� � � ����xn��
����xn
����x�
����x�
� � � ����xn��
����xn
������
� � ����
�����n���x�
��n���x�
� � � ��n���xn��
��n���xn
��n�x�
��n�x�
� � � ��n�xn��
��n�xn
��������x�xk
����
la matrice jacobiana di ��x valutata nel punto xk� vale il seguente
Teorema ���� Condizione su�ciente per la convergenza del metodo ����e che ��J���xk
�� � L � �� �k��
Osservazione ���� Si confronti il teorema ����� con il teorema ������
����� Metodo di Newton per sistemi
E� la generalizzazione ai sistemi non lineari del metodo di Newton visto alparagrafo ����� Per calcolare la soluzione del sistema non lineare ��� sicostruisce la successione
xk�� � xk � hk
dove il vettore hk �e ottenuto come soluzione del sistema lineare
J�f�xkhk � �f �xk ����
dove con J�f�xk si �e indicata �cfr� ���� la matrice jacobiana di f�xvalutata nel punto xk� Il metodo pu�o essere dedotto facilmente sviluppandola f�xk in un intorno di xk� Dopo aver posto � � xk � hk� si ha
f�� � � � f�xk � hk � ���sviluppando������������f��xk � hk�
��f��x�
�x�xk
� � � �� hkn
��f��xn
�x�xk
� � � � � �
� � � � � � �fn�xk � hk�
��fn�x�
�x�xk
� � � �� hkn��fn�xn
�x�xk
� � � � � �
���
�� SISTEMI NON LINEARI �M�F�� ��
dove con hki si �e indicata la i�esima componente di hk� La ���� trascurando itermini di ordine superiore al primo� pu�o essere scritta nella forma matriciale�����
Vale la pena d�osservare che nella determinazione del vettore xk�� la partepi�u onerosa computazionalmente �e la risoluzione del sistema lineare ����� percui pu�o essere utile tenere �ssa la matrice J�f�xk per un numero �ssato�diciamo r di iterazioni� in modo da poter utilizzare la decomposizione LUgi�a e�ettuata al passo k� e riaggiornare la matrice solo al passo �k � r�
Osservazione ���� Anche nel caso monodimensionale esiste una varianteanaloga che consiste nel non calcolare ad ogni passo la f ��xk mandando� adogni passo k� la retta parallela alla precedente non pi�u la tangente passanteper il punto �xk� f�xk cfr� �gura �� �
0 x
y f(x)x
NON tangenti
x1
xξ x23
Rette parallele
Figura ����
Molto costoso �e anche il preventivo calcolo simbolico della matrice jaco�biana �n� derivate parziali da calcolare � per cui� quando queste derivatesono molto complicate o non sono computabili �non si hanno le f�x in for�ma analitica� si pu�o operare con una variante� simile al metodo delle corde�Precisamente si approssimano gli elementi della matrice jacobiana con deirapporti incrementali nella forma��
�fj�xi
�x�xk
� Bji �fj�xk � ekhki� fj�xk
hki� ekj � �kj
dove� per esempio� hki � xki � xk��i�
�� CAPITOLO � ZERI DI FUNZIONI �M�FRONTINI�
�� Zeri di polinomi �M�F��
Una trattazione a parte pu�o essere fatta per le equazioni algebriche in quan�to� oltre ai metodi visti in precedenza� si possono considerare altri metodinumerici sfruttando il legame che esiste fra un polinomio e la sua matrice diFrobenious �o Companion matrix � vale infatti il seguente
Teorema ����� Dato il polinomio monico
pn�x � xn � a�xn�� � � � �� an��x � an �����
questi risulta essere il polinomio caratteristico della matrice
Cn �
�������
� � � � � � �an�
� � �� � �
��� �an��� �
� � � ����
���� � �
� � � � �a�� � � � � � �a�
�������� �� �����
In virt�u del risultato precedente �e quindi possibile calcolare gli zeri di����� mediante il calcolo degli autovalori di ����� �cfr� capitolo sugli auto�valori�
����� Schema di Horner
Il polinomio ����� pu�o essere scritto nella forma �dovuta ad Horner
pn�x � an � x�an�� � x�an�� � x�� � � � x�a� � x � � � �����
�si lascia al lettore la facile veri�ca�La forma ����� permette di valutare il polinomio pn�x nel punto
mediante il seguente schema��� � ��k � �k�� � ak
� k � �� �� � � � � n �����
per cui
pn� � �n�
��� ZERI DI POLINOMI �M�F�� �
E� facile veri�care che i valori �k �k � �� � � � � n� � sono i coe�cienti delpolinomio quoziente pn���x della divisione per �x� di pn�x� mentre �n�e il resto r�� Lo schema ����� rappresenta quindi un modo compatto pere�ettuare la divisione sintetica
pn�x � �x� pn���x � r�� �����
Dimostrazione ����� Scriviamo il polinomio
pn���x � xn�� � ��xn�� � � � �� �n��x � �n��
dalla ����� eguagliando i coe�cienti dei termini di ugual grado� tenendoconto della ���� si ha
��� ����� � � a� �� � � a��� � �� � a� �� � �� � a�� � � � � ��n�� � �n�� � an�� �n�� � �n�� � an��r� � �n�� � an r� � �n�� � an � �n
��
Analogamente si pu�o calcolare la derivata prima di pn�x in x � operando la stessa divisione con pn���x� infatti� posto
pn���x � �x� pn���x � r�
si hapn�x � �x� �pn���x � �x� r� � r�
e derivando
p�n�x � ��x� pn���x � �x� �p�n���x � r�
da cui�p�n� � r���
Si lascia al lettore� per esercizio� la veri�ca che
p�m n � � m�rm� m � �� �� � � � � n�
Lo schema di Horner� o divisione sintetica� fornisce un algoritmo e�cienteper valutare il polinomio e la sua derivata prima in un punto permettendo�con un costo di �n �ops� di eseguire un passo del metodo di Newton
xn�� � xn � pn�xn
p�n�xn�
�� CAPITOLO � ZERI DI FUNZIONI �M�FRONTINI�
����� Radici multiple
Abbiamo gi�a visto che� nel caso di radici multiple� il metodo di Newton nonconverge pi�u quadraticamente� Per quanto riguarda i polinomi �e semprepossibile operare con polinomi che hanno radici semplici� infatti il polinomio
pn�r�x �pn�x
qr�x
ha tutte e sole le radici di pn�x ma semplici� essendo
qr�x � MCD fpn�x� p�n�xg
dove con MCDfg si �e indicato il massimo comun divisore fra i polinomi inparentesi fg�
Ovviamente se le radici di pn�x sono semplici allora qr�x � q��x � k�costante� Ricordiamo che il MCD pu�o essere calcolato agevolmente con ilnoto algoritmo euclideo�
� Riepilogo �M�F��
Possiamo sintetizzare i risultati presentati nel modo seguente
�� f�x � C��a� b �funzione poco regolare
�a metodo di bisezione�
�b metodo della falsa posizione�
�� f�x � Ck�a� b �k � �� funzione regolare
�a metodi di ordine k �punto �sso�
�� Complessit�a computazionale
�a � valutazione per passo� bisezione� falsa posizione e corde�
�b � valutazioni per passo� Newton e Ste�ensen�
�� Velocit�a di convergenza
��� RIEPILOGO �M�F�� ��
�a metodi del primo ordine �lineare� dipende da L �jg��xj � L � ��
�b ���� corde�
�c � Newton e Ste�ensen�
� Equazioni algebriche�
�a tutti i metodi precedenti�
�b metodi dell�algebra lineare �calcolo degli autovalori della compa�nion matrix�
I metodi di Newton� corde ed i metodi di punto �sso possono essere estesial caso di sistemi non lineari�
����� Esercizi
Esercizio ���� Quanti passi sono necessari per stimare� con errore minoredi ����� la radice di
ex � � � �
utilizzando il metodo di bisezione partendo dall�intervallo ��� � �
Esercizio ���� Utilizzare� per calcolare la radice dell�equazione
�e�x � ��ex � � � �
�� il metodo di Newton
�� il metodo
xn�� �xne
xn � exn � �
exn�
partendo sempre da x� � �� Quale metodo converge prima� Perch�e�
Esercizio ���� Utilizzare� se possibile� i seguenti metodi
�� xn�� � � lnx�
�� xn�� � e��x
�� xn�� � xn�e��xn
�
per calcolare la radice di�x � lnx � ��
Quale metodo converge pi�u velocemente� Perch�e� Si fornisca un metodomigliore di quelli proposti�
�� CAPITOLO � ZERI DI FUNZIONI �M�FRONTINI�
Esercizio ��� Dato il sistema non lineare�x � y�
��
�
y � x�
��
�
studiare la convergenza del seguente metodo iterativo�xn�� � �y�n
��
�
yn�� � �x�n�
� �
�
Esercizio ���� Calcolare le radici del seguente polinomio
x� � �x� � x� �� � �
�� utilizzando il metodo di Newton�
�� il calcolo degli autovalori della companion matrix associata�
Capitolo
Teoria dell�approssimazione�M�Frontini�
Il problema che vogliamo a�rontare ora �e quello della ricostruzione di unafunzione� o semplicemente la determinazione del suo valore in un punto� notii valori che la funzione stessa assume in un numero �nito di punti assegnati�E� evidente che cos�i formulato il problema non �e ben posto� nel senso che pu�oavere un numero in�nito di soluzioni o nessuna soluzione� Si pensi al caso incui la funzione deve essere continua e si hanno due punti con uguale ascissa ediversa ordinata� Per ripristinare l�esistenza ed unicit�a bisogner�a aggiungeredelle condizioni
�� sulla regolarit�a della funzione
�� sul tipo di approssimazione da usare
�� sulle funzioni approssimanti�
In generale� data una funzione f�x nota in n punti yi � f�xi �i ��� ����� n� si cerca un�approssimante della forma
g�x �nXi��
i�i�x
dove i pesi i sono scelti secondo un dato criterio di merito� mentre le�i�x sono funzioni opportune che veri�cano date condizioni di regolarit�ae sono facilmente manipolabili �ovvero facilmente computabili� derivabili edintegrabili�
�
�� CAPITOLO � TEORIA DELL�APPROSSIMAZIONE �M�FRONTINI�
Come esempi di funzioni �i�x si possono considerare
�� i polinomi di grado n���
�� i polinomi a tratti di grado m�
�� le funzioni spline di grado m�
�� i polinomi trigonometrici di Fourier�
� le funzioni razionali�
Come criteri di merito per determinare gli i si possono considerare
�� l�interpolazione �g�xi � f�xi � yi� i � �� ����� n�
�� i minimi quadrati �norma L� �minai
�Pni�� �g�xi� yi
���
�� minimo massimo errore �minimax� norma L �minai
nmax
ijg�xi� yij
o�
�� minima somma dei moduli �norma L� �minaifPn
i�� jg�xi� yijg�
che danno una misura della distanza fra la funzione incognita f�x el�approssimante g�x� A seconda dei campi d�applicazione �e meglio utilizzareun criterio piuttosto che un altro
L�interpolazione polinomiale �e utile quando si hanno pochi dati �n piccoloper cui si ottiene un polinomio di grado basso� La regolarit�a del polinomiointerpolante �e utile poi nella deduzione di formule approssimate per il calcolointegrale e per l�intergrazione di equazione di�erenziali �cfr� capitoli e ��
L�interpolazione mediante spline �e utile nelle applicazioni di gra�ca �CAD�non a caso il termine �spline� indica in inglese il �curvilineo mobile� deldisegno tecnico�
I minimi quadrati sono utilizzati nei problemi di identi�cazione di para�metri e modelli� quando si hanno a disposizione pi�u dati ma a�etti da errori�di misura casuali ecc��
Il criterio del minimo massimo errore �e essenziale quando si deve garantireuna certa accuratezza �routine di calcolo delle funzioni elementari�
Contrariamente a quanto avviene in Rn� nel caso dell�approssimazionedi funzioni le norme non sono pi�u equivalenti come mostrato dal seguenteesempio
��
Esempio � �� Data la funzione f�x identicamente nulla in ��� � conside�riamo la successione di funzioni gk�x cfr� �gura ��� cos�i de�nite
gk�x �
�k�k�x� � �
k�� x � �
k�
�k�k�x� � �k�� x � �
k�
� altrove�
0 x
g(x)k
1/k
k
2 2/k 2 3/k 2 3
k
g(x)
Figura ����
Considerando le tre classiche de�nizioni di norma di funzioni� si ha�
kf � gkk� � �k
kf � gkk� �q
��
kf � gkk � k
per cui la succesione gk�x converge a f�x in norma L� ma non converge innorma L� e L��
Valgono i seguenti teoremi
Teorema � �� La convergenza in norma L garantisce la convergenza del�le altre due norme�
Dimostrazione ���� Dalla de�nizione di norma e dal teorema della me�dia si ha
kf � gk� �
Z b
a
jf�x� g�xj dx � ���teorema media���
�� CAPITOLO � TEORIA DELL�APPROSSIMAZIONE �M�FRONTINI�
� jf��� g��jZ b
a
dx �� max
xjf�x� g�xj � �b� a �
� C kf�x� g�xk �
essendo kf�x� g�xk � maxxjf�x� g�xj e C � b� a� Analogamente per
la norma L���
De�nito con !N lo spazio dei polinomi di grado N valgono i seguentiteoremi
Teorema � �� di Weierstrass Data una funzione f�x � C��a� b allora��� � � esiste un N tale per cui �e possibile trovare un polinomio p�x � !N�
per cui
kf � pk � ���
Teorema � �� di miglior approssimazione Data una funzione f�x �C��a� b e un numero positivo N � esiste un unico polinomio p��x � !N percui kf � p�k � kf � pk � �p � !N ��
Osservazione � �� Questo teorema vale per ogni norma� anche se p��xvaria al variare della norma�
Osservazione � �� Il teorema di Weierstrass a�erma l�esistenza del poli�nomio p�x di grado N ma non dice come il grado N dipenda da ��
�� Interpolazione �M�F��
Il problema che vogliamo a�rontare ora �e la costruzione di una funzione g�xinterpolante la f�x in n � � nodi xi� La g�x sar�a quindi caratterizzata dalfatto che
g�xi � f�xi � yi� i � �� �� �� ���� n�
Fra tutte le possibili g�x interpolanti considereremo solo il caso deipolinomi� delle funzioni spline e dei polinomi trigonometrici�
��� INTERPOLAZIONE �M�F�� ��
����� Polinomi di Lagrange
Per costruire g�x � !n de�niamo i seguenti n � � polinomi di Lagrange �digrado n lj�x de�niti sui nodi d�interpolazione e caratterizzati dal nodo xj
lj�x ��x� x��x� x� � � � �x� xj���x� xj�� � � � �x� xn���x� xn
�xj � x��xj � x� � � � �xj � xj���xj � xj�� � � � �xj � xn���xj � xn�
De�nito il polinomio monico �con coe�ciente della potenza di gradomassimo uguale ad � di grado n � �
�n���x �nYi��
�x� xi
si ha
lj�x ��n���x
�x� xj��n���xj�
Osservazione ���� Ogni polinomio lj�x gode delle seguenti propriet�a
�� �e un polinimio di grado n�
�� lj�xi � �ij simbolo di Kroneker vale � nel nodo x � xj e vale � neinodi x �� xj�
Si ottiene quindi �esistenza il polinomio interpolante
g�x � pn�x �nXi��
yili�x
per il quale si veri�ca banalmente che
yi � pn�xi�
Se i nodi xi sono distinti vale il seguente
Teorema ���� unicit�a Se i nodi xi� i � �� �� ���� n� sono distinti il polino�mio pn�x � !n interpolante �e unico�
�� CAPITOLO � TEORIA DELL�APPROSSIMAZIONE �M�FRONTINI�
Dimostrazione ���� per assurdo supponiamo che esista qn�x � !n taleche
qn�x �� pn�x� qn�xi � pn�xi � yi� i � �� �� ���� n
de�niamorn�x � pn�x� qn�x � !n
si avr�arn�xi � pn�xi� qn�xi � yi � yi � �
per cui il polinomio rn�x di grado n avendo n � � zeri �e identicamentenullo� da cui
qn�x � pn�x��
����� Sistema di Vandermonde
Il polinomio interpolante pu�o essere scritto nella forma
pn�x � a� � a�x � a�x� � � � �� an��xn�� � anx
n
gli n� � parametri ai possono essere determinati mediante la risoluzione delsistema lineare ����� che si ottiene imponendo il passaggio del polinomio pergli n � � punti d�interpolazione �xi� yi�����
a��a�x� � a�x��� � � � �anx
n� � y�
a��a�x� � a�x��� � � � �anx
n� � y�
� � � � � � � � � � � � �a��a�xn � a�x
�n� � � � �anx
nn � yn
����
che in foma matriciale diviene
V a � y
dove
V �
���� � x� � � � xn�� x� � � � xn����
������
���� xn � � � xnn
������e la matrice di Vandermonde �che �e noto essere non singolare quando xi �� xjper i �� j�
��� INTERPOLAZIONE �M�F�� �
Esempio ���� Costruiamo i polinomi di Lagrange ed il polinomio interpo�lante i seguenti punti
xi � � �yi �� � �
si ha
l��x ��x� ��x� �
��� ���� �� l��x �
�x� ��x� �
��� ���� �� l��x �
�x� ��x� �
��� ���� ��
e quindi
p��x � ��x� � �x � �
�� �
x� � �x
��� �
x� � x
�� x� � �x� ��
Si lascia al lettore la costruzione dello stesso polinomio interpolante con latecnica di Vandermonde��
����� Stima dellerrore
E� possibile valutare� sotto opportune ipotesi di regolarit�a della funzione f�x�l�errore che si commette sostituendo per ogni x il polinomio interpolante allafunzione f�x stessa� vale infatti il seguente
Teorema ���� Se la funzione f�x � Cn���a� b � de�nito �n���x �nQi��
�x�xi� con xi � �a� b � allora �x � �a� b
en�x � f�x� pn�x �f �n�� ��
�n � ���n���x� ����
Dimostrazione ����� De�niamo la funzione u�t � Cn���a� b come
u�t � f�t� pn�t� f�x� pn�x
�n���x�n���t
la u�t ha n � � zeri t � x� t � xi i � �� �� ���� n� applicando il teorema diRolle generalizzato alla derivata n���esima di u�t si ha
u�n�� �� � f �n�� ��� f�x� pn�x
�n���x�n � �� � � ����
pn�t �e un polinomio di grado n per cui p�n�� n �t � �� �n���t �e un polinomio
di grado n � � monico per cui ��n�� n�� �t � �n � �� mentre � � ��x �e un
punto dell�intervallo determinato da x ed i nodi xi� dalla ��� segue la tesi��
�� CAPITOLO � TEORIA DELL�APPROSSIMAZIONE �M�FRONTINI�
Osservazione ���� La ��� �e una valutazione �locale� dell�errore dipendedal punto x� Se per x � xi si ottiene come ovviamente deve essere errorenullo� possono esistere valori di x per cui la ��� pu�o fornire valori troppograndi si pensi ad x lontani dall�intervallo de�nito dai nodi xi� Questo nondeve stupire in quanto �e logico che lontano dai punti dati dove si hanno leinformazioni su f sia pi�u di�cile ricostruire la funzione�
Se��f �n�� ��
�� � Kn�� costante� �� � �a� b allora dalla ���� si ottiene
maxxjen�xj � max
xjf�x� pn�xj � Kn��
�n � ��maxxj�n���xj �
e� se i nodi sono equidistanti in �a� b � maxx j�n���xj �e ottenuto per x prossi�mo al bordo di �a� b �in generale l�approssimazione �e pi�u accurata al centrodell�intervallo che ai bordi� perch�e��
Osservazione ���� L�uso dei polinomi di Lagrange ha l�inconveniente chel�aggiunta di un nodo d�interpolazione comporta il ricalcolo di tutti i polinomili�x� Inoltre anche il calcolo della derivata del polinomio interpolante� scrittonella forma
pn�x �nXi��
yili�x
risulta poco agevole�
����� Di�erenze divise
Un generico polinomio di grado n� che assume pre�ssati valori yi in n � �nodi xi �i � �� �� ���� n� pu�o essere scritto nella forma
pn�x � a� � a��x� x� � a��x� x��x� x� � � � � ����
� � �� an�x� x��x� x� � � � �x� xn��
dove i coe�cienti ai vengono determinati imponendo i pre�ssati valori yi�E� immediato osservare che
pn�x� � a�� a� � y��
ed inoltre
pn�x� � a� � a��x� � x�� a� �y� � y�x� � x�
�
��� INTERPOLAZIONE �M�F�� ��
mentre� dopo alcuni calcoli�
pn�x� � a� � a��x� � x� � a��x� � x��x� � x�� a� �
y��y�x��x� �
y��y�x��x�
x� � x��
Senza entrare nei dettagli si pu�o dimostrare che
ak � f �x�� x�� ���� xk
dove con f �x�� x�� ���� xk si �e indicata la di�erenza divisa k�esima sui nodix�� x�� ���� xk de�nita dalle seguenti relazioni
f �xi � � f�xi
f �xi� xi�� � �f �xi�� � f �xi
xi�� � xi���
����
f �xi� xi��� ���� xi�k � �f �xi��� ���� xi�k � f �xi� ���� xi�k��
xi�k � xi�
Le ��� permettono di costruire� ricorsivamente� tutti i coe�cienti ak� Ilvantaggio di scrivere un polinomio nella forma delle ���� risiede nel fattoche l�aggiunta di un nuovo nodo xn�� non richiede il ricalcolo dei primi ncoe�cienti� Si ha infatti
pn���x � pn�x � an���x� x��x� x� � � � �x� xn���x� xn
e baster�a calcolare an�� mediante le ��� �
����� Interpolazione di Hermite
Se oltre ai valori della funzione in dati punti si conoscono anche i valoridella�e derivate nei punti si pu�o cercare �se esiste il polinomio che interpolasia la funzione che le sue derivate� Un esempio in questo senso �e dato dalpolinomio di Taylor che� come noto� ha gli stessi valori della funzione e dellesue prime n derivate in un dato punto x�
pn�x �nX
j��
f �j �x�
j��x� x�
j
che esiste ed �e unico essendo ricavabile dalle condizioni
p�j n �x � f �j �x�� j � �� �� ���� n
�� CAPITOLO � TEORIA DELL�APPROSSIMAZIONE �M�FRONTINI�
che portano al sistema lineare triangolare superiore� non singolare���������a� �a�x� �a�x
�� � � � �� � � � �anx
n� � f�x�
�a� ��a�x� � � � �� � � � �nanxn��� � f ��x�
� � � � � � �� � � � � � � � � � ��n� ��an�� �n�anx� � f �n�� �x�
�n�an � f �n �x�
�
Osservazione ��� Val la pena di osservare che nodi� valori della funzio�ne e derivate non possono essere assegnati arbitrariamente� pena la nonesistenza o la non unicit�a del polinomio interpolante� come dimostra ilseguente
Esempio ����� Costruire se esiste�� la parabola passante per i punti��� e ��� con derivata �� nel punto di ascissa �� Dalle condizioni date siha
p��x � a� � a�x � a�x�
e quindi il sistema lineare �a� � ��a� ��a� � �a� ��a� � ��
che �e impossibile�� Cosa succede se la derivata in � vale ���
Se conosciamo la funzione �yi e la derivata prima �y�i negli n � � nodixi �e possibile costruire il polinomio interpolante di Hermite di grado �n � �dato da
p�n���x �nX
j��
�yjAj�x � y�jBj�x
�dove Aj�x e Bj�x sono polinomi di grado �n � � de�niti da
Aj�x ���� ��x� xjl
�
j�xj�l�j �x
Bj�x � �x� xjl�j �x
e lj�x sono i polinomi di Lagrange sui nodi xi�Si pu�o dimostrare �si lasciano i conti al lettore che
Aj�xi � �ji� Bj�xi � �A
�
j�xi � �� B�
j�xi � �ji�i� j
��� INTERPOLAZIONE �M�F�� �
per cuip�n���xi � yi� p��n���xi � y�i� i � �� �� ���� n�
Con tecnica analogo a quella usata per l�interpolazione di Lagrange si pu�odimostrare che per l�errore si ha
e�n���x � f�x� p�n���x �f ��n�� ��
��n � ����n���x�
����� Spline
Quando il numero n di nodi in cui �e nota la funzione f�x �e elevato �problemidi gra�ca ecc�� non �e conveniente utilizzare il polinomio interpolante inquanto
�� �e di grado troppo elevato�
�� pu�o presentare troppe oscillazioni �gra�co non �liscio�� non smooth�
�� la costruzione diviene instabile �matrice di Vandermonde mal condizio�nata�
Per ovviare a questi inconvenienti �e preferibile l�interpolazione polino�miale a tratti o l�uso delle spline� L�idea dell�interpolazione a tratti nascedall�esigenza di mantenere basso il grado del polinomio� per cui gli n nodidi interpolazione vengono divisi in k gruppi di m �n � k � m in modo dacostruire k polinomi di grado m� � che si raccordano� a due a due� nel nodocomune �la funzione risultante �e quindi a priori solo continua� Per le splinesi aggiunge la richiesta di regolarit�a della funzione �in generale C�m�� cos�ida ottenere una curva approssimante �pi�u liscia��
Per la costruzione dell�approssimante data dall�interpolazione polinomialea tratti basta applicare k volte quanto visto nei paragra� precedenti� Perquanto riguarda le spline so�ermeremo la nostra attenzione su quelle linearie le cubiche�
De�nizione ���� Dati i nodi x��x�� ���� xn � �a� b si de�nisce spline inter�polante di grado k una funzione Sk�x che gode delle seguenti propriet�a
�� Sk�x � Ck���a� b � regolarit�a
�� Sk�xj � f�xj� j � �� �� ����� n� interpolazione
� CAPITOLO � TEORIA DELL�APPROSSIMAZIONE �M�FRONTINI�
�� Skj�x � !k �x � �xj� xj�� � j � �� �� ����� n� �� forma�
E� immediato osservare che esistono k�� gradi di libert�a per la costruzionedelle Sk�x� infatti si devono determinare n�k � � incognite �i coe�cientidegli n polinomi di grado k de�niti sugli n intervalli dei nodi� mentre sipossono scrivere solo k�n � � � �n � � equazioni imponendo la regolarit�adella funzione e l�interpolazione�
Spline lineari
E� l�equazione della �spezzata� �funzione solo continua passante per gli n��punti dati� E� immediata la dimostrazione dell�esistenza ed unicit�a� la co�struzione pu�o essere e�ettuata banalmente utilizzando la tecnica di Lagrange�retta per due punti��
Consideriamo
S�j�x �
�������� x � xj��
x�xj��xj�xj�� � xj�� � x � xjxj���xxj���xj � xj � x � xj��
� x � xj��
il cui gra�co �e dato in �gura ���
0x x x x x x x n
1
S(x) S(x) S(x) S(x)
x
S(x)
0 j j+1 n
1 j-1 j j+1 j+2 n-1
Figura ����
si pu�o allora rappresentare S��x nella forma
S��x �nX
j��
f�xjS�j�x�
��� INTERPOLAZIONE �M�F�� �
Le S�j�x godono delle seguenti propriet�a
�� sono linearmente indipendenti� �la funzione identicamente nulla in �a� b si ottiene solo combinando con pesi tutti nulli le S�j�
��Pn
j�� S�j�x � �� �sono una partizione dell�unit�a�
�� in ogni intervallo �xj� xj�� ci sono solo due S�j�x diverse da zero�
�� la generica S�j�x �e diversa da zero solo in �xj��� xj�� �bi�spline linea�ri�
Per quanto riguarda l�errore d�interpolazione che si commette sostituendoalla f�x la spline lineare �e possibile dimostrare il seguente risultato
Teorema ���� Se f�x � C��a� b allora
jf�x� S��xj � h�
�
��f �� �x�� � �x � �a� b � ����
Dimostrazione ����� Dalla de�nizione di S�j�x� �x � �xj� xj�� si ha�ricordando l�errore nell�interpolazione in Lagrange�
f�x� S��x � �x� xj�x� xj��f �� ��
��
� � ��x � �xj� xj�� � per cui
jf�x� S��xj � h�j�
maxx
��f �� �x��
��
e� posto h � maxj
hj� allora
jf�x� S��xj � h�
�
��f �� �x�� ��
Dalla ����� al crescere del numero di nodi �quindi per h� �� si ottienela convergenza uniforme delle spline lineari�
� CAPITOLO � TEORIA DELL�APPROSSIMAZIONE �M�FRONTINI�
Spline cubiche
Per k � � si hanno le spline cubiche che possono essere costruite parten�do dall�interpolazione d�Hermite nel modo seguente� Dati gli n � � nodix�� x�� ���� xn �presi equidistanti� per sempli�care la notazione� si ha
�� S�i�x � !� �forma
�� S�i�xi�� � yi��� i � �� �� ���� n
�� S�i�xi � yi� �interpolazione
�� S ��i�xi � S ��i���xi� i � �� �� ���� n� �
� S��
�i�xi � S��
�i���xi� �regolarit�a
Postof ��xi � mi� h � xi � xi��
dove i valori mi NON sono noti� ma verranno determinati per costruire laspline� si ha� per l�interpolazione d�Hermite�
S�i�x �
�� �
�
h�x� xi��
��x� xi�h
��
yi�� � ����
�
��� �
h�x� xi
��x� xi��
h
��
yi �
��x� xi���x� xi�h
��
mi�� � �x� xi
�x� xi��
h
��
mi
dalle ���� segue che le S�i�x veri�cano le prime � condizioni date� per laquinta condizione� essendo
S��
�i�xi�� � �h�
���yi � yi��� h�mi � �mi��
S��
�i�xi � �h�
���yi�� � yi � h��mi � mi��
si ottiene il sistema lineare� di ordine n � � ����������������
�m� �m� � �h�y� � y�
m� ��m� �m� � �h�y� � y�
�m� ��m� �m� � �h�y� � y�
� � � � � � � � ����
�mn�� ��mn�� �mn � �h�yn � yn��
�mn�� ��mn � �h�yn � yn��
����
��� INTERPOLAZIONE �M�F�� �
dove la prima e l�ultima equazione sono ottenute �spline naturali imponendo
S��
���x� � S��
�n���xn � ��
Il sistema ���� �e tridiagonale e fortemente diagonalizzato per cui esisteun�unica soluzione calcolabile con un numero di �ops dell�ordine di n� Per lespline con data tangente �m� e mn date� spline vincolate il sistema ���� siriduce a n� � equazione in n� � incognite �scaricando� m� e mn nel vettoretermini noti�
Una giusti�cazione della liscezza �smoothness delle spline cubiche natu�rali �e data dal seguente
Teorema ��� Fra tutte le funzioni f�x � C��a� b con f�xi � yi e xi ��a� b � la spline cubica naturale S��x interpolante �e tale per cuiZ b
a
hS
��
� �xi�dx �
Z b
a
hf��
�xi�dx��
Il teorema ����� pu�o essere parafrasato dicendo che la spline cubica natu�rale passa per tutti i punti �ssati �oscillando� il meno possibile�
Per quanto riguarda l�errore �e possibile dimostrare i seguenti risultati
Teorema ���� Se f�x � C��a� b la spline cubica interpolante S��x �e taleper cui
kf�x� S��xk � �
�h���f �� �x
�� ��
Teorema ��� Se f�x � C��a� b la spline cubica interpolante S��x �e taleper cui� per r � �� �� �� ����f �r �x� S
�r � �x
���� crh
��r ��f �� �x�� ��
Gli ultimi due teoremi non solo ci garantiscono la convergenza uniformedella spline S
�r � �x alla f �r �x� ma ci evidenziano come questa sia pi�u rapida
al crescere della regolarit�a di f�x �pi�u lenta al crescere dell�ordine delladerivata��
� CAPITOLO � TEORIA DELL�APPROSSIMAZIONE �M�FRONTINI�
���� Derivazione numerica
Con il termine di derivazione numerica si intende il calcolo della derivataprima �o superiore di un funzione f�x nota solo in un numero �nito di puntixi� Avendo calcolato il polinomio o la spline interpolanti �e naturale pensaredi utilizzare le loro derivate come stime delle derivate della funzione f�x�Mentre per le funzioni spline il teorema ����� ci garantisce la convergenzauniforme �sulle prime � derivate altrettanto non si pu�o dire per le formulederivanti dall�interpolazione polinomiale� In generale �e anzi vero il contrario�al crescere del numero dei nodi �tendere a zero della distranza fra due nodiconsecutivi� a parit�a d�errore sui dati� l�errore totale cresce�
In de�nitiva derivare numericamente con polinomi di grado elevato pu�oessere assai pericoloso� Per meglio comprendere la precedente a�ermazioneconsideriamo la seguente formula di derivazione �di�erenza centrale
f ��xi �f�xi��� f�xi��
�h� h�
�f �� ��
dove h � xi���xi e � � �xi��� xi�� � L�errore di troncamento che tale formulacomporta va a zero come h�� si pu�o per�o osservare che se i dati f�xi sononoti con un errore pre�ssato � nel calcolo di
f�xi��� f�xi���h
si commente un errore di arrotondamento dell�ordine di h
che �e sempremaggiore al diminuire di h� Pi�u precisamente posto M � max
��f �� ���� si
ha
E�h �
����f ��xi� f�xi��� f�xi���h
���� � �
h� M
h�
����
che �e minimo� come �e facile veri�care derivando rispetto ad h� quando
h � h� ��
r��
M� �����
Il valore h� prende il nome di h�ottimo in quanto minimizza l�errore totaledato dalla ���� Dalla ����� si vede bene che se � �e grande �errori grandi suidati anche h deve essere preso grande �punti �distanti� per ridurre l�e�ettodell�errore d�arrotondamento �anche se l�errore di troncamento crescer�a��
��� MINIMI QUADRATI �M�F��
Lasciamo al lettore la veri�ca dell�errore di troncamento introdotto dalleseguenti formule di derivazione
f ��xi �f�xi��� f�xi
h� h
�f �� ��
f ��xi �f�xi� f�xi��
h�h
�f �� ��
f��
�xi �f�xi��� �f�xi � f�xi��
h�� h�
��f �� ��� �����
Altre formule di derivazione� anche per derivate di ordine pi�u elevato�possono essere reperite in letteratura�
�� Minimi quadrati �M�F��
Analogamente a quanto fatto nel paragrafo �� � relativamente alla risoluzionedi sistemi lineari nel senso dei minimi quadrati� ci proponiamo ora di costruireil polinomio di grado m approssimante� nel senso dei minimi quadrati� unadata funzione� Questo polinomio �e pi�u generale del polinomio interpolante �idue coincidono quando m coincide con il numero n dei punti d�interpolazioneed esiste anche se m � n�
Siano dati gli n punti �xi� yi i � �� �� ���� n� dove yi � f�xi �e il valoreassunto dalla funzione f in xi� consideriamo il polinomio di grado m
pm�x �mXj��
jxj� m � n
e cerchiamo gli m � � valori j che minimizzano
J� �nXi��
�f�xi� pm�xi � �
nXi��
�f�xi�
mXj��
jxji
�
� �����
Derivando la ����� rispetto ad k �k � �� �� ���� m ed uguagliando a zerole m � � equazioni che si ottengono si ha
�J�
�k� ��
nXi��
��f�xi�
mXj��
jxji
xki
�� �� k � �� �� ���� m�
� CAPITOLO � TEORIA DELL�APPROSSIMAZIONE �M�FRONTINI�
che� scritto in forma matriciale diviene�������������������������
n� ��
Pi
xi � � � �m
Pi
xmi �Pi
yi
�
Pi
xi ��
Pi
x�i � � � �m
Pi
xm��i �
Pi
yix�i
�
Pi
x�i ��
Pi
x�i� � � �m
Pi
xm��i �
Pi
yix�i
������
� � ����
����
Pi
xm��i ��
Pi
xmi � � � �m
Pi
x�m��i �Pi
yixm��i
�
Pi
xmi ��
Pi
xm��i � � � �m
Pi
x�mi �Pi
yixmi
� �����
De�niamo la matrice �di Vandermonde rettangolare
V �
������ � x� x�� � � � xm�� x� x�� � � � xm����
������
������
� xn�� x�n�� � � � xmn��� xn x�n � � � xmn
������� �����
ed i vettori
�
������ �
����
m��m
������� � y �
������ y�y����
yn��yn
�������il sistema ����� si pu�o scrivere nella forma
V TV � V Ty�
�si confronti il paragrafo �� sui sistemi sovradeterminati�
Osservazione ���� La matrice ���� �e stata ottenuta considerando la basedi polinomi xk k � �� �� ���� m� che compaiono nella rappresentazione dipm�x �
Pmj�� jx
j� valutati nei nodi xi i � �� �� ���� n� Se si cambia la baseo se si considerano di�erenti funzioni approssimanti� per esempio splinebasta cambiare la matrice ����� restando tutto il resto inalterato�
��� MINIMI QUADRATI �M�F�� �
����� Polinomi trigonometrici
Consideriamo brevemente il caso dei polinomi trigonometrici di Fourier ilcui utilizzo� ed importanza nelle applicazioni� non �e certo il caso di ricordarequi�
Data una funzione f�x� periodica in ��� �� � in n nodi equidistanti xi�i � �� �� ���� n si vuole determinare il polinomio trigonometrico
Fm�x �a��
�mXj��
aj cos�jx �mXj��
bj sin�jx
che minimizza
J�aj� bj �nXi��
�f�xi� Fm�xi � �
�nXi��
�f�xi�
�a��
�mXj��
aj cos�jx �mXj��
bj sin�jx
� �
�
Per quanto precisato nell�osservazione ����� il calcolo dei coe�cienti aj ebj richiede la risoluzione� nel senso dei minimi quadrati� del sistema lineare
F TFc � F Ty ����
dove F � c ed y sono dati da
F �
������ � cos�x� � � � cos�mx� sin�x� � � � sin�mx�� cos�x� � � � cos�mx� sin�x� � � � sin�mx����
������
������
� cos�xn�� � � � cos�mxn�� sin�xn�� � � � sin�mxn��� cos�xn � � � cos�mxn sin�xn � � � sin�mxn
�������
c �
����������
a��
a����amb����bm
������������ y �
��������
y�y�y����
yn��yn
����������
� CAPITOLO � TEORIA DELL�APPROSSIMAZIONE �M�FRONTINI�
La risoluzione del sistema ���� � se i nodi xi sono equidistanti� non ri�chiede� come ci si potrebbe aspettare� un numero di operazioni dell�ordinen� �mn �ops� ma solo mn� in quanto la matrice F risulta �quasi�ortogonale�per cui basta calcolare il vettore F Ty�
Osservazione ���� Si veri�chi� utilizzando il programma MATLAB� che
F TF � diag�m�m
�� ����
m
��
Osservazione ���� Se si cerca il polinomio di Fourier interpolante m �n la matrice F risulta quadrata per cui basta risolvere il sistema
Fc � y�
che� sfruttando le propriet�a di F pu�o essere risolto in soli n log� n �opstrasformata veloce di Fourier FFT�
� Riepilogo
Sintetizzando quanto visto nel presente capitolo possiamo dire che
�� L�interpolazione polinomiale di Lagrange �e utile quando si hanno pochipunti d�interpolazione�
�� Le di�erenze divise sono pi�u e�cienti computazionalmente quando sidevono aggiungere dei nodi �si salvano i calcoli gi�a fatti�
�� L�nterpolazione d�Hermite �e utile quando si hanno informazioni anchesulle derivate della funzione�
�� Le spline sono preferibili quando si devono ricostruire linee �lisce��computer graphics� CAD ecc��� sono molto accurate se la funzioned�approssimare �e regolare�
� La derivazione numerica �e pericolosa in quanto gli errori d�arrotonda�mento crescono al tendere a zero della distanza fra i nodi�
�� I minimi quadrati sono utili per individuare �modelli� quando i datisono a�etti da errore� La scelta delle funzioni di base dipendono dalmodello� mentre i coe�cienti lo caratterizzano�
�� RIEPILOGO
�� L�utilizzo dell�approssimazione mediante polinomi di Fourier� indipen�dentemente dalle innumerevoli applicazioni pratiche� �e anche computa�zionalmete poco oneroso grazie alle peculiarit�a delle funzioni di base eall�algoritmo FFT�
����� Esercizi
Esercizio ���� Costruire il polinomio interpolante i dati
xi � � � �yi ���� ��� ���� ���� �
Esercizio ���� Sapendo che un certo fenomeno si evolve nel tempo con laseguente legge
f�t � at � b log t
determinare� nel senso dei minimi quadrati� i parametri a e b sapendo che
t � �� �� �f�t ��� � ����� ����� � �� �
Esercizio ���� Dati tre punti nel piano� non allineati� costruire la cubicapassante per il primo ed il terzo ed ivi tangente alle � rette uscenti dal secondopunto� E� unica � Perch�e �
Esercizio ��� Scrivere un programma in MATLAB che risolva l�esercizioprecedente e disegni i � punti� le � rette e la cubica� Meglio se il programmaprevede l�input gra�co dei � punti�
Esercizio ���� Ricavare la formula di derivazione �����
���CAPITOLO � TEORIA DELL�APPROSSIMAZIONE �M�FRONTINI�
Capitolo
Formule di Quadratura�M�Frontini�
Data una funzione f�x continua nell�intervallo �a� b dovendo calcolare
I�f �
Z b
a
f�xdx � ��
�e ben noto �teorema fondamentale del calcolo integrale che esiste F �x �C��a� b funzione primitiva di f�x �F ��x � f�x� ed inoltre
I�f � F �b� F �a� � ��
E� interessante osservare che mentre la � �� rappresenta un numero reale�la � �� a�erma che tale numero pu�o essere determinato se si conosce unadelle in�nite funzioni primitive di f�x� E� chiara la di�erenza di �quantit�adi informazioni� in gioco � �La conoscenza di un numero contro la conoscenzadi una� anzi in�nite� funzioni���
Non sempre la funzione primitiva� che pur esiste se f�x �e continua� �enota o �e facilmente computabile� per cui ci si propone il compito di calcolareI�f utilizzando solo le informazioni date in � �� �intervallo d�integrazione�a� b e funzione integranda f�x�
Le formule di quadratura che considereremo� ricavabili dall�interpolazionedi Lagrange� sono della forma
I�f � Qn�f � R�Qn� f �nX
j��
A�n j f�xj � R�Qn� f � ��
���
��� CAPITOLO �� FORMULE DI QUADRATURA �M�FRONTINI�
dove gli n pesi A�n j e gli n nodi xj � �a� b � della formula di quadratura Qn�f�
sono scelti in modo che il resto R�Qn� f sia �piccolo� �in dipendenza dellaregolarit�a di f�x e dal numero di nodi n�
��� Formule di Newton�Cotes �M�F��
Dall�interpolazione di Lagrange abbiamo che� �ssati i nodi xi � �a� b � �epossibile costruire il polinomio interpolante pn�x tale per cui
f�x � pn�x � en�x � ��
dove en�x �e l�errore d�interpolazione�Integrando la � �� si ottieneZ b
a
f�xdx �
Z b
a
pn�xdx �
Z b
a
en�xdx
essendo
pn�x �nX
j��
f�xjlj�x
dove lj�x sono i polinomi di Lagrange sui nodi xi� si ha
Qn�f �nX
j��
f�xj
Z b
a
lj�xdx �nX
j��
A�n j f�xj
dove
A�n j �
Z b
a
lj�xdx � �
sono i pesi della formula di quadratura e
R�Qn� f �
Z b
a
en�xdx
�e l�errore che si commette sostituendo ad I�f il valore Qn�f�
Osservazione ����� Dalla ��� �e immediato osservare che i pesi dipendo�no dai nodi d�interpolazione zeri della formula di quadratura ed inoltre laformula sar�a esatta se la f�x �e un polinomio di grado al pi�u n�
���� FORMULE DI NEWTON�COTES �M�F�� ���
De�nizione ����� Una formula del tipo ��� si dice di ordine n se �e esattaper polinomi di grado al pi�u n�
Dall�osservazione ���� e dalla precedente de�nizione segue che le formuledi quadratura interpolatorie si possono costruire utilizzando il concetto diordine di precisione determinando i pesi in modo che l�ordine risulti massimo�
Posto
Qn�f �nX
j��
A�n j f�xj
consideriamo i monomi xk �k � �� �� ���� n ed imponiamo che
I�xk �
Z b
a
xkdx ��
k � ��bk�� � ak�� �
nXj��
A�n j xkj � Qn�xk
otteniamo il sistema lineare� nelle incognite A�n j �
nXj��
A�n j xkj �
�
k � ��bk�� � ak��� � ��
Esempio ����� Dato l�intervallo ��� h � posto x� � � e x� � h� costruiamola formula del primo ordine�
Avremo
Q��f � A�f�x� � A�f�x�
da cui � R h
�dx � h � A� � A�R h
�xdx � h�
�� A�� � A�h
e quindi �A� � A� � h
A�h � h�
�
�� A� � A� �h
�
che �e la formula dei Trapezi
Q��f �h
��f�x� � f�x� �� � ��
��� CAPITOLO �� FORMULE DI QUADRATURA �M�FRONTINI�
Analogamente �e possibile costruire la formula di Simpson su tre nodiequidistanti nell�intervallo ��h� h �x� � �h� x� � �� x� � h
Q��f �h
��f�x� � �f�x� � f�x� �� � ��
La formula dei trapezi poteva essere ottenuta� mediante l�interpolazionedi Lagrange� costruendo la retta passante per i punti ��� f�� e �h� f�h�
Ricordando che� in questo caso� l�errore d�interpolazione �e
e��x � f�x� p��x �x�x� h
�f��
��� � � ��x � ��� h
abbiamo
R�Q�� f �
Z h
�
e�xdx �
Z h
�
x�x� h
�f��
��dx�
Applicando il teorema della media �essendo x�x�h di segno costante in��� h si ha
R�Q�� f �
Z h
�
x�x� h
�f��
��dx � f��
��
Z h
�
x�x� h
�dx �
�
�x�
�� hx�
�
�h�
f��
�� � �h�
��f��
���
che ci fornisce l�errore per la formula dei trapezi�
Osservazione ����� La presenza� nella formula dell�errore� della derivataseconda della funzione integranda riconferma che la formula �e esatta perpolinomi di primo grado�
Per ottenere l�errore nella formula di Simpson osserviamo cheZ h
�hx�dx � � �
h
�
��h� � � � � � h��
per cui la formula risulta esatta �sorpresa� anche per polinomi di terzogrado�
Se applichiamo la formula di Simpson al monomio x�� abbiamoZ h
�hx�dx �
�
h �� h
�
���h� � � � � � h�
��
�
�h
���� FORMULE DI NEWTON�COTES �M�F�� ��
per cui� in questo caso� si commette un errore pari a � ��h�
Se la funzione f�x �e su�cientemente regolare possiamo considerarne losviluppo di Mac�Laurin arrestato al quarto ordine� per cui
f�x � f�� � xf ��� �x�
�f ���� �
x�
��f���
�� �x�
��f iv��
ed integrando termine a termine si commetter�a errore solo sull�ultimo adden�do �i primi � termini sono polinomi di grado minore od uguale al terzo� percui
R�Q�� f � � �
� h
�
��f iv�� � � �
�hf iv���
Osservazione ����� Il guadagno di un ordine di precisione con � nodi siha ordine � e non � non �e peculiare del metodo di Simpson ma �e proprio ditutte le formule di Newton�Cotes su un numero dispari di nodi equidistanti�
A sostegno della precedente osservazione ricordiamo che per la formuladei rettangoli �si ricordano gli �scaloidi � nella de�nizione di integrabilit�asecondo Reimann� sull�intervallo ��h� h
Q��f � �hf��
comporta un errore
R�Q�� f � �h�
�f��
�� � �
per cui risulta esatta non solo per costanti� ma anche per rette� Una chiarainterpretazione geometrica di questo risultato �e dato dalla seguente �gura ���La scelta� del tutto arbitraria� dell�intervallo ��� h piuttosto che ��h� h � nelladeterminazione delle formule precedenti� �e giusti�cata dal fatto che �e semprepossibile passare� con un opportuno cambio di variabile� da un intervallod�integrazione ad un altro� Analogamente �e possibile� nota una formula diquadratura �nodi e pesi su un certo intervallo� ottenere l�equivalente formulasu un altro intervallo�
Supponiamo di dover calcolare
I�f �
Z b
a
f�xdx
avendo a disposizione la formula di quadratura
Qn�f �nX
j��
Ajf�tj �Z ��
��f�tdt� � ���
��� CAPITOLO �� FORMULE DI QUADRATURA �M�FRONTINI�
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.20
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
Punto medio
Trapezi
Uguale Area
Uguale Area
Figura ���
Come �e possibile ottenere la formula
Q�n�f �
nXj��
A�jf�xj �Z b
a
f�xdx � ���
dalla � ��� � Basta considerare il cambiamento di variabile
x �b� a
�t �
b � a
�� ���
per cui si ha Z b
a
f�xdx �
Z ��
��f�b� a
�t �
b � a
�b� a
�dt
� b� a
�
nXj��
Ajf�tj �nX
j��
A�jf�xj
e quindi i pesi della Q�n�f sono dati da
A�j �b� a
�Aj
mentre i nodi xj� ottenuti dalla � ��� sono
xj �b� a
�tj �
b � a
���
���� FORMULE DI NEWTON�COTES �M�F�� ���
Esistono due tipi di formule di Newton�Cotes
�� formule di tipo chiuso� comprendono fra i nodi anche gli estremi del�l�intervallo d�integrazione �vedi Trapezi e Simpson�
�� formule di tipo aperto� utilizzano solo nodi interni all�intervallo d�inte�grazione �vedi punto medio�
Le formule di tipo aperto sono utili� per esempio� quando si hanno singo�larit�a agli estremi�
Per formule di Newton�Cotes di ordine pi�u elevato si rimanda alla biblio�gra�a�
����� Formule composite
Le stime dell�errore fornite sono state ottenute considerando� �ssato l�inter�vallo d�integrazione ed il numero di nodi� il polinomio interpolante globale�Se �e vero che� al crescere del numero dei nodi� cresce l�ordine della derivatadella f�x che compare nella formula dell�errore �maggiore ordine d�accura�tezza� �e altres�i vero che si ha anche una potenza crescente dell�intervallod�integrazione �che �e per�o �ssato� quindi costante� Come nell�interpolazionesi �e passati� per motivi di convergenza� dal polinomio interpolante globale aipolinomi a tratti �spline cos�i ora converr�a suddividere l�intervallo d�integra�zione �a� b �additivit�a dell�integrale in tanti sotto intervalli di ampiezza hed applicare� su ogni sotto intervallo� la formula prescelta �convergenza perh� �� E� l�applicazione del vecchio principio di Cesare Augusto �divide etimpera��
Si ottengono cos�i le formule composite �o generalizzate� di cui proveremola convergenza nel caso dei trapezi� Consideriamo
I�f �
Z b
a
f�xdxadditivit�a
�m��Xk��
Z xk��
xk
f�xdx �m��Xk��
Ik�f
dove
x� � a� xm � b� h �b� a
m
��� CAPITOLO �� FORMULE DI QUADRATURA �M�FRONTINI�
e
Ik�f �
Z xk��
xk
f�xdx �nX
j��
Ajf�xj � Qn�f � Ik�
con Qn�f � Ik si �e indicata la formula Qn�f� di ordine n� applicata sull�in�tervallo Ik�
Per la formula dei trapezi� applicata a Ik� abbiamoZ xk��
xk
f�xdx �h
��f�xk � f�xk�� � h�
��f ����k
da cui la formula composta
Tm�f �h
�
m��Xk��
�f�xk � f�xk�� �
Per l�errore abbiamo quindi
ET � I�f� Tm�f � �m��Xk��
h�
��f ����k� � ���
che pu�o essere sempli�cata nella forma
ET � �f ��
��m��Xk��
h�
��� �mh�
��f��
�� � ��b� ah�
��f��
���� � ���
Per ottenere dalla � ��� la � ���� abbiamo fatto uso del seguente
Lemma ����� Data una funzione g�x � C��a� b e dei coe�cienti di segnocostante ak� allora esiste un � � �a� b tale per cui� �xk � �a� b � si ha
m��Xk��
akg�xk � g��m��Xk��
ak��
Osservazione ���� Si osservi che l�errore nella formula dei trapezi com�posita �e quindi della forma ch� dove
c � ��b� a
��f��
��
e va a zero� quando h� �� come h� convergenza quadratica�
���� FORMULE ADATTIVE �M�F�� ��
Analogamente per la formula di Simpson composita si pu�o dimostrare chel�errore �e della forma Ch�� infatti� postoZ xk��
xk
f�xdx �h
��f�xk � �f�xk�� � f�xk�� � h
�f iv��k
si ha
Sm�f �m��Xk��
h
��f�x�k � �f�x�k�� � f�x�k��
dove
x� � a� xm�� � b� h �b� a
�m
per cui� sempre in virt�u del Lemma �����
ES � I�f� Sm�f � �m��Xk��
h
�f iv��k � ��b� a
h�
���fiv
���� � ��
Osservazione ����� Dalle ��������� si sarebbe tentati di prendere n �in��nitamente grande� per avere h �in�nitamente piccolo�� ed ottenere quindiun errore �trascurabile�� Nella pratica NON ha senso prendere n �troppogrande� in quanto� oltre ad aumentare il tempo di calcolo troppe valutazionidella funzione integranda� si rischia che� da un certo punto in poi� gli erroridi calcolo epsilon macchina non facciano guadagnare in precisione si pu�oanzi peggiorare il risultato��
��� Formule adattive �M�F��
In tutte le stime dell�errore fornite �e implicitamente sottointesa una certaregolarit�a della funzione integranda f�x �devono almeno esistere le derivatein gioco nelle varie formule ma non si dice quanto valgono le costanti c e Cche dipendono dal punto �� per cui alla domanda� �quanti punti si devonoprendere per avere un errore pre�ssato� � Non possiamo dare una rispostaa priori� senza conoscere ��
Sovente non �e possibile determinare preventivamente � ��e di�cile� se nonimpossibile� maggiorare la derivata di f�x che compare nella formula dell�er�rore� in questi casi sono utili le formule adattive �note anche come integratoriautomatici o programmi con controllo automatico dell�errore�
��� CAPITOLO �� FORMULE DI QUADRATURA �M�FRONTINI�
Chiariamo con un semplice esempio di cosa si tratta�L�idea di base �e quella di fornire� se possibile� noti la funzione integranda
f�x e l�intervallo d�intregrazione �a� b � il valore dell�integrale I�f con unapre�ssata precisione �toll� Cercheremo di fare questo seguendo le seguentidue linee
�� usare l�errore locale per controllare l�errore globale�
�� ridurre al minimo le valutazioni della funzione integranda�
Esempli�chiamo tale processo mediante la ben nota formula di Simpson�Utilizzando il metodo di Simpson sull�intero intervallo �a� b � si haZ b
a
f�xdx� S��f � � �
�
�b� a
�
�
fiv
�� � ���
mentre� dividendo in due parti l�intervallo� si haZ b
a
f�xdx� S��f � ���
�
�b� a
�
�
fiv
�� � ���
dove � �e� in generale� diverso da �� Supponendo� e questa �e una condizioneforte se �a� b �e grande� mentre �e �ragionevole�� se f�x �e abbastanza regolaree �a� b �e �piccolo�� che
fiv
�x � costante in �a� b �
posto
I�f �
Z b
a
f�xdx
si ottiene� dalle � ���� ���� che
I�f� S��f � �
���I�f� S��f
per cui�� �I�f� S��f � I�f� S��f�
Sottraendo ad entrambi i menbri la quantit�a I�f� S��f� si ha
� �I�f� S��f � S��f� S��f
���� FORMULE ADATTIVE �M�F�� ���
e quindi
I�f� S��f � S��f� S��f
� � � ���
Nella � ��� l�errore commesso intregrando con la formula di Simpson su� sotto intervalli �e controllato dalla quantit�a a secondo membro che� essendolegata alla di�erenza fra due integrazioni numeriche� �e computabile�
Osservazione ����� Volendo essere pessimisti� e quindi salvaguardarsi nel�la stima dell�errore� la costante �
�che compare nella ���� pu�o essere sosti�
tuita da ���
Un algoritmo che sintetizza quanto detto pu�o essere cos�i formulato�
�� si parte dall�intervallo �a� b e con la tolleranza toll�
�� si calcolano S��f e S��f�
�a se���S��f �S��f �
��� � tolleranza� allora S��f �e uguale all�integrale
nella precisione richiesta�
�� altrimenti si dimezzano l�intervallo e la tolleranza�
�a se NON si sono fatte �troppe� sottodivisioni� si opera analoga�mente sul nuovo intervallo�
�b altrimenti l�integrale non pu�o essere calcolato con la tolleranza tollrichiesta�
�� calcolato� nella nuova precisione� l�integrale sul sotto intervallo� si tornaal punto � con l�intervallo restante e ridotta tolleranza��
Quanto visto per la formula di Simpson pu�o essere esteso� con le dovutevarianti� ad altre formule� Non potendoci dilungare oltre si rimanda il lettoreinteressato alla bibliogra�a speci�ca�
Quando la funzione f�x ha derivata seconda di segno costante in �a� b �supponiamola per esempio negativa si pu�o fornire una stima dell�errore�che si commette integrando numericamente la f�x in �a� b � utilizzando leformule del punto medio e dei trapezi� E� facile osservare �si confronti la�gura �� che
��� CAPITOLO �� FORMULE DI QUADRATURA �M�FRONTINI�
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.20
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
f(x)
Trapezi
Punto medio
Figura ���
IT �f � I�f � IMP �f�
dove con IT �f si �e indicato il valore ottenuto con la formula dei trapezi econ IMP �f quello ottenuto con la formula del punto medio�
Utilizzando le formule composite� suddividendo l�intervallo �a� b in sottointervalli di ampiezza h� si ha� con ovvio signi�cato dei simboli�
IhT �f � I�f � IhMP �f
da cui
� � IhT �f� IhT �f � I�f� IhT �f � IhMP �f� IhT �f
ed inoltre
� �IhMP � IhT �f
� � I�f� IhMP �f � IhMP �f� IhMP �f � �
sommando� termine a termine� la prima relazione e la seconda� si ha
� �IhMP � IhT �f
� � �I�f� �IhT �f � IhMP �f
� � IhMP �f� IhT �f
per cui ����I�f� IhT �f � IhMP �f
�
���� � IhMP �f� IhT �f
��
dove la quantit�a a secondo membro �e computabile�
��� FORMULE GAUSSIANE �M�F�� ���
�� Formule gaussiane �M�F��
Se nella formula � �� i nodi xj non sono �ssati a priori� �equidistanti nelleformule di Newton�Cotes imponendo che la formula abbia il massimo ordinedi accuratezza si ottiene un sistema non lineare nelle �n � � incognite xj eAj� Gauss fu il primo a dimostrare che� sotto opportune ipotesi� tale sistemaammette una ed una sola soluzione� dando origine ad uno dei pi�u proli�cisettori della matematica�
Alla base delle formule di quadratura gaussiane sta la teoria dei polino�mi ortogonali� Non potendo qui dedicarle il dovuto spazio ci limiteremo ariassumere solo alcuni degli aspetti pi�u signi�cativi relativi alle formule diquadratura�
De�nita con
Q�n�f �nX
j��
A�n j f�xj � ��
la formula di quadratura con n nodi liberi� vale il seguente
Teorema ����� Il sistema non lineare ��� dove i nodi xj sono incogniti�con �a� b � ���� � � ammette una ed una sola soluzione ed inoltre nella Q�n�f
�� i pesi A�n j sono positivi�
�� i nodi xj sono gli zeri del polinomio ortogonale di Legendre di grado nLn�x�
�� tale formula di quadratura gaussiana �e esatta per ogni polinomio digrado minore o uguale a �n � ���
Che la formula Q�n�f non possa essere di grado maggiore di �n � � �efacilmente dimostrabile considerando il polinomio
��n�x �nY
j��
�x� xj�� �xj zeri di Ln�x
in quanto il suo integraleZ �
����n�xdx �
Z �
��
nYj��
�x� xj�dx � �
��� CAPITOLO �� FORMULE DI QUADRATURA �M�FRONTINI�
�e una quantit�a strettamente maggiore di zero� mentre verr�a valutato ugualea zero dalla � ��� �Si osservi che �e nullo il valore del polinomio ��n�x intutti i nodi della formula di quadratura�
La positivit�a dei pesi A�n j �e importante perch�e permette d�assicurare
la convergenza� al crescere del numero dei nodi �n � �� delle formulegaussiane in virt�u del seguente
Teorema ����� Se f�x � C��a� b data una formula di quadratura dellaforma
Qn�f �nX
j��
A�n j f�xj
se esiste una costante k tale per cui
nXj��
���A�n j
��� � k� �n
alloralimn
Qn�f � I�f��
Osservazione ����� EssendoPn
j��A�n j � b � a e A
�n j � � per ogni j�
baster�a prendere� nel teorema ������ k � b� a�
Osservazione ����� Il teorema ����� non pu�o essere applicato nel caso delleformule di Newton�Cotes perch�e� per n � �� compaiono pesi A
�n j negativi�
L�esistenza delle formule gaussiane �e legata all�esistenza di una famiglia dipolinomi ortogonali sull�intervallo �non necessariamente �nito �a� b rispettoad una opportuna funzione peso �x� non negativa in �a� b �
De�nizione ����� Si dicono ortogonali in �a� b rispetto alla funzione peso �x� non negativa in �a� b i polinomi pn�x che veri�canoZ b
a
pi�xpj�x �xdx � ci�ij� ci � ���
Se ci � � per ogni i� i polinomi si dicono ortonormali�
Osservazione ����� Nel caso dei polinomi Ln�x di Legendre� �a� b � ���� � e �x � ��
��� FORMULE GAUSSIANE �M�F�� ��
Vale il seguente
Teorema ����� Se esiste la famiglia di polinomi ortogonali in �a� b rispettoalla funzione peso non negativa �x allora� dato
I�f �
Z b
a
f�x �xdx � ���
esiste la formula di quadratura gaussiana
Q�n�f �nX
j��
A�n j f�xj � ���
dove
A�n j �
Z b
a
l�j �x �xdx
dove l�j �x �e il j�esimo polinomio di Lagrange di grado n sui nodi xk k ��� �� ���� n ed i nodi xk sono gli zeri interni all�intervallo �a� b del polinomioortogonale di grado n��
Osservazione ���� Si fa osservare che mentre la funzione integranda in���� comprende anche la funzione peso �x� nella ���� compare solo laf�x valutata nei nodi� Questo ci permette di rimuovere eventuali singolarit�anella funzione integranda� scaricandole sulla funzione peso �x�
����� Integrali impropri
Per concludere il capitolo faremo solo un breve cenno al problema del calcolodegli integrali della forma
I��f �
Z �
�
f�xdx� I��f �
Z �
�
f�xpxdx
�integrali impropri dove f�x e g�x � f�x px
sono funzioni integrabili rispetti�
vamente in R e in ��� � � Vedremo che in questi casi si possono ancora utilizzarele formule di Newton�Cotes �eventualmente aperte� anche se le formule diGauss risultano in generale pi�u e�cienti�
��� CAPITOLO �� FORMULE DI QUADRATURA �M�FRONTINI�
Per calcolare l�integrale I� con pre�ssata precisone ��� si pu�o operare�sfruttando l�additivit�a dell�integrale� nel modo seguente� si pone
I��f �
Z �
�
f�xdx �
Z a
�
f�xdx �
Z �
a
f�xdx � Ia�f � I�f
e si sceglie a in modo che ����Z �
a
f�xdx
���� � ��
�tale a deve esistere per l�integrabilit�a di f�x e si calcola Ia�f con unaopportuna formula di Newton�Cotes Qn�f in modo che
jIa�f�Qn�fj � ��
dove �� e �� sono stati scelti in modo che �� � �� � ��Per calcolare l�integrale I� �e possibile utilizzare la formula del punto medio
composita in modo da evitare il calcolo della funzione integranda in x � ��singolarit�a� Se la funzione g�x �e su�cientemente regolare la formula delpunto medio converge all�integrale I�� anche se tale convergenza pu�o essereassai lenta�
Osservazione ����� Dall�osservazione ����� segue che basta costruire la fa�miglia di polinomi ortogonali in ��� � rispetto alla funzione pesi �x � �p
x
per ottenere una formula di quadratura gaussiana che permette di calcolarein modo esatto I� ogniqualvolta f�x �e un polinomio� Di fatto tale formulaesiste ed �e correlata ai polinomi di Chebyshev�
Per una pi�u esauriente trattazione dell�uso delle formule gaussiane sirimanda alla bibliogra�a speci�ca�
�� Riepilogo �M�F��
Sintetizzando quanto esposto nel presente capitolo abbiamo
�� Se l�intervallo �a� b �e �nito� e f�x �e regolare le formule di Newton�Cotescomposite funzionano in generale bene�
��� RIEPILOGO �M�F�� ���
�� Si possono avere problemi coi tempi di calcolo se si richiede moltaaccuratezza �numero eccesivo di sottodivisioni dell�intervallo�
�� La convergenza� per le formule di Newton�Cotes� �e garantita al cresceredel numero di nodi �composite non al crescere dell�ordine �grado delpolinomio interpolante�
�� Volendo ottenere un risultato �con una pre�ssata precisione� �e meglioutilizzare formule adattive �integratori automatici� anche se in generalei programmi sono pi�u complessi�
� Se l�intervallo �a� b �e in�nito si possono ancora usare le Newton�Cotespur di spezzare opportunamente l�integrale �additivit�a�
�� Le formule gaussiane sono pi�u accurate� convergenti e permettono ditrattare� in alcuni casi� gli integrali singolari� �Solo cenni nel corso�
����� Esercizi
Esercizio ���� Dimostrare che il sistema ��� �e non singolare se i nodi xisono distinti�
Esercizio ���� Costruire la formula ����
Esercizio ���� Dimostrare la formula ���� Suggerimento� costruito ilpolinomio di Lagrange su un punto� integrando l�errore d�interpolazione������
Esercizio ��� Veri�care che la formula del punto medio �e gaussiana Gauss�Legendre con n � ��
Esercizio ���� Calcolare� se possibile� con errore relativo minore di ���� iseguenti integrali
I� �
Z �
�
e�x���dx� I� �
Z �
�
e�x���
xdx� I� �
Z �
�
cos x
x � �dx�
��� CAPITOLO �� FORMULE DI QUADRATURA �M�FRONTINI�
Capitolo �
Equazioni di�erenziali ordinarie�M�Frontini�
Molti problemi della �sica� dell�ingegneria e delle discipline scienti�che ingenerale sono governati da equazioni di�erenziali ordinarie� come esempio sipensi alle equazioni
m��x� f �equazione della dinamica
Ri � Ldi
dt� vc � Vs �equazione circuito RLC
che permettono rispettivamente di studiare� date le opportune condizioniiniziale� il moto di un corpo di massa m soggetto ad una forza f � ed il varia�re� nel tempo� dell�intensit�a di corrente �i e del voltaggio del condensatore�vc in un circuito elettrico con una resistenza �R� un�induttanza �L� uncondensatore �di capacit�a C� con i � C dvc
dt ed un generatore �Vs�
Non sempre �e possibile determinare in �forma chiusa�� mediante i meto�di forniti nei corsi di Analisi Matematica� la soluzione di tali problemi� edanche quando ci�o �e possibile tale soluzione pu�o risultare tanto complicatada non essere facilmente utilizzabile� Va notato inoltre che spesso in molteapplicazioni non �e necessario conoscere la soluzione ovunque ma basta averneuna �buona stima� solo in alcuni punti� Per questi motivi i metodi numericirivestono un ruolo sempre pi�u importante nel calcolo scienti�co�
Prima di addentrarci nella presentazione dei metodi numerici richiamiamoalcuni risultati classici nella teoria delle equazioni di�erenziali ordinarie�
��
���CAPITOLO �� EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE �M�FRONTINI�
Dato un problema ai valori iniziali �problema di Cauchy nella forma�y� � f�x� yy�a � y�
����
dove f�x� y esprime il legame fra una funzione e la sua derivata prima�mentre la condizione iniziale y�a � y� impone il passaggio della soluzioneper il punto �a� y�� vale il seguente
Teorema � �� Se la funzione f�x� y del problema ��� �e de�nita e conti�nua in a � x � b per ogni y ed inoltre veri�ca la condizione di Lipschitz
jf�x� u� f�x� vj � L ju� vj
a � x � b� �u� v ed L � costante�
allora esiste ed �e unica la soluzione del problema� cio�e
��y�xjy� � f�x� y con y�a � y���
Corollario � �� Condizione su�ciente per l�esistenza ed unicit�a della so�luzione di ��� �e che esista la derivata parziale di f rispetto ad y ed inoltre�
jfy�x� yj � L� a � x � b� �y��
Oltre a richiedere l�esistenza e l�unicit�a della soluzione del problema �����e importante che il problema ���� sia ben posto �nel senso di Hadamard ov�vero che� la soluzione� che esiste ed �e unica� dipenda con continuit�a dai dati�Il concetto di problema ben posto �e importante nelle applicazioni perch"e cipermette di risolvere un problema partendo anche da condizioni a�ette da er�rori ��non troppo grandi� ed ottenere comunque una soluzione �abbastanzavicina� alla soluzione vera del problema�
Esempio � �� Come esempio di problema ben posto si consideri l�equazionedi�erenziale
y� � y
che ammette come soluzione la famiglia di curve
y�x � cex� c � R�
���
Se si considera il corrispondente problema di Cauchy con la condizioneiniziale
y�� � �
si ottiene l�unica soluzioney�x � ex�
Il problema �e ben posto� infatti� se si considera il problema perturbato�y� � yy�� � � � �
si ottiene la soluzioney�x � �� � � ex
che� per � piccoli� poco si discosta� dalla soluzione y�x � ex si valuti l�errorerelativo��
Per trattare equazioni di�erenziali di ordine superiore al primo� ricordia�mo che un�equazione di ordine m
y�m � f�x� y� y�� y��� ���� y�m�� �
pu�o essere scritta sotto forma di sistema di m equazioni del primo ordine�����������
z���x � z��xz���x � z��x���z�m���x � zm�xz�m�x � f�x� z�� z�� ���� zm
�
dove si �e posto
z��x � y�x� z��x � y��x� z��x � y���x� ���� zm�x � y�m�� �x
per cui� date le opportune condizioni iniziali� siamo ricondotti ad un problemadi Cauchy �
z� � f�x� zz�a � z�
formalmente equivalente al sistema �����
Fatte salve le ipotesi dei teoremi precedenti� ci proponiamo ora di forniremetodi numerici che� partendo dal valore iniziale dato nel problema �����forniscano la soluzione in pre�ssati punti xi di un dato intervallo �a� b �
���CAPITOLO �� EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE �M�FRONTINI�
�� Metodi ad un passo �M�F��
I metodi ad un passo sono metodi numerici che� �ssato un passo d�integrazio�ne h� determinano la soluzione nel punto x� � a� h� x� � a� �h���� partendodal valore noto in x� � a� mediante relazioni della forma
yn�� � yn � h��xn� yn� h� n � �� �� �� ���
dove con yn si �e indicata la stima numerica di y� xn� mentre ��xn� yn� h �euna funzione che dipender�a da f�xn� yn ed h� �I valori trovati al passo n� �dipendono solo dai valori ottenuti al passo precedente� metodi ad un passo�
Esistono due grandi famiglie di metodi ad un passo di cui parleremo nelseguito
�� i metodi di Taylor�
�� i metodi di Runge�Kutta�
����� Metodi di Taylor
I metodi di Taylor si basano sull�utilizzo dello sviluppo in serie di Taylor dellafunzione incognita y�x� pi�u precisamente dato il problema�
y� � f�x� yy�x� � y�
� ����
supposta y�x �su�cientemente regolare� si ha
y�x� � h � y�x� � y�x� � hy��x� �h�
�y���x� � ��� �
hk
k�y�k �� ����
� � �x�� x� � h � x� � x��
Arrestandoci� nella ����� alla derivata prima� tenuto conto della ����� siha
y�x� � y�x� � hy��x� � y�x� � hf�x�� y� ����
che� dopo n passi� fornisce
yn�� � yn � hf�xn� yn� ���
La ��� prende il nome di metodo di Eulero� in questo caso ��xn� yn� h �f�xn� yn�
���� METODI AD UN PASSO �M�F�� ���
Dalle ���� e ��� con n � �� �e immediato ottenere l�errore di troncamentoche si commette ad ogni passo� precisamente si ha
Ee � y�x�� y� �h�
�y�����
Osservazione ���� Il metodo di Eulero gode di una chiara interpretazionegeometrica cfr� la �gura ���� il valore assunto dalla soluzione nel punto x�y�x� �e approssimato con il valore y� assunto� nello stesso punto� dallaretta tangente la linea integrale y�x nel punto x��
−1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2−1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
X0 X1
y(X1)
y1
Errore
Eulero
y(x)
0
^
>
Figura ����
Il metodo di Eulero �e esatto �errore di troncamento nullo se la soluzioney�x del problema ���� �e una retta� diremo quindi che il metodo di Eulero �eun metodo del primo ordine�
Volendo ottenere un metodo d�ordine superiore �maggiore accuratezzasar�a necessario introdurre un altro termine dello sviluppo ���� contenentey���x�� Dal problema ���� �e facile ricavare tale termine osservando che
y���x �d
dx�y��x �
d
dx�f�x� y�x �
� fx�x� y�x � fy�x� y�xy��x �
� fx�x� y�x � fy�x� y�xf�x� y�x�
���CAPITOLO �� EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE �M�FRONTINI�
Si ottiene cos�i un metodo del secondo ordine ponendo
yn�� � yn � hf�xn� yn �h�
��fx�xn� yn � fy�xn� ynf�xn� yn
che comporta� veri�carlo per esercizio� un errore di troncamento
E� � y�x�� y� �h�
�y������
In generale un metodo di Taylor di ordine k si ottiene ponendo
��xn� yn� h � Tk�xn� yn� h
dove
Tk�xn� yn� h � f�xn� yn �h
�y���xn � ��� �
hk��
k�y�k �xn
e le derivate y�j �x �j � �� �� ���� k sono calcolate derivando successivamentey��x � f�x� y� Il metodo diviene quindi
yn�� � yn � hTk�xn� yn� h
con errore di troncamento
Ek � y�x�� y� �hk��
�k � ��y�k�� ���
Osservazione ���� Nei metodi di Taylor Eulero escluso si ha l�incon�veniente che devono essere calcolate preventivamente le derivate y�j �x de�rivando �simbolicamente� l�equazione y��x � f�x� y� Questo pu�o portare�per k elevati� ad espressioni di Tk�xn� yn� h molto complesse anche quandof�x� y �e semplice� rendendo il metodo poco e�ciente bench�e accurato�
Prima di procedere nella determinazione di altri metodi �e opportuno sof�fermarci sulla seguente domanda� cosa vuole dire risolvere un problema diCauchy� Se la variabile indipendente x rappresenta il tempo possiamo direche risolvere un problema di Cauchy vuole dire� essere in grado di prevederel�evolvere nel tempo di un fenomeno �rappresentato dalla y�x che all�istan�te a � x� si trovava nella con�gurazione y�� Sar�a quindi cruciale riuscire adottenere� con il metodo numerico scelto� una buona stima della soluzione delproblema� non solo vicino� ma anche �lontano� dalla condizione iniziale�
���� METODI AD UN PASSO �M�F�� ��
Nella determinazione dei precedenti metodi abbiamo supposto d�eseguireun solo passo d�integrazione �dalla condizione iniziale in x� al punto x� �x� �h� Nella pratica essendo interessati a conoscere la soluzione in tutto unintervallo �a� b �dalla condizione iniziale in a � x� al punto b � xn � x��nhdovremo eseguire� �ssato h� n passi d�integrazione� E� chiaro che� essendo�a� b �ssato� se si riduce l�ampiezza del passo h si dovr�a aumentare il numeron di passi in modo che nh � b � a� Questa banale constatazione �e crucialeper far so�ermare il lettore sul fatto che� contrariamente a quanto avvieneper i metodi iterativi per il calcolo degli zeri �metodi di punto �sso� l�indiced�iterazione nei metodi per equazioni di�erenziali fa spostare da un �istante��n al �successivo� �n�� e non �convergere� verso un punto �sso�
Per quanto sopra detto introduciamo le seguenti de�nizioni
De�nizione ���� Errore di troncamento globale� �e la di�erenza frala soluzione y�xn�� soluzione �vera� del problema nel punto xn�� e yn��
soluzione �calcolata� dopo n � � passi� Con ovvio signi�cato dei simboliabbiamo
en�� � y�xn��� yn���
De�nizione ���� Errore di troncamento locale� �e la di�erenza fra lasoluzione y�xn�� soluzione �vera� del problema nel punto xn�� e un�� so�luzione �calcolata� partendo dalla condizione y�xn eseguendo un solo passod�integrazione� Per cui
�n�� � y�xn��� un�� ����
doveun�� � y�xn � h��xn� y�xn� h
�e la soluzione del problema di Cauchy�u� � f�x� uu�xn � y�xn
calcolata numericamente nel punto xn � h�
De�nizione ���� Errore di troncamento locale unitario� �e l�errore�hn�� di troncamento locale rapportato al passo d�integrazione h�
�hn�� ��n��
h�
���CAPITOLO �� EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE �M�FRONTINI�
De�nizione ��� Ordine� un metodo di integrazione numerica si dice diordine p se l�errore di troncamento locale unitario va a zero come hp
�hn�� � O�hp�
De�nizione ���� Consistente� un metodo di integrazione numerica �econsistente se �e del primo ordine o� equivalentemente� se
limh�
Tk�xn� yn� h � f�xn� yn� ����
Osservazione ���� E� facile veri�care l�equivalenza fra la �� e il fattoche
�hn�� � O�h
dalla ��� si ha
�hn�� �y�xn��� y�xn
h� ��xn� y�xn� h ����
e passando al limite nella ���� essendo
limh�
�hn�� � �
si ha
limh�
y�xn��� y�xn
h� y��xn � f�xn� yn � ��xn� y�xn� ���
De�nizione ��� Convergenza� un metodo di integrazione numerica �econvergente se
limh�nh�x
yn � y�x
riducendo il passo h� tenendo �sso il punto d�arrivo x� la soluzione numericastima sempre meglio la soluzione analitica�
Una chiara interpretazione delle precedenti de�nizioni �e data in �gura����
Per quanto detto la sola consistenza non ci basta per garantire la bont�adei risultati ottenuti con il metodo numerico ma �e necessario garantire laconvergenza� D�altro canto mentre �e� in generale� relativamente sempliceveri�care la consistenza �basta considerare un passo d�integrazione assai pi�ucomplesso �e veri�care la convergenza �n�� passi d�integrazione���
Dimostriamo il seguente
���� METODI AD UN PASSO �M�F�� ���
x
y(x)
y(x )
u(x )
y n+1
Consistenza
n+1
n+1
0
y(x)u(x)
y(x )-y = y(x )-u(x )+u(x )-yn+1 n+1 n+1 n+1 n+1 n+1
Errore Stabilita’
Figura ����
Teorema ���� Sotto le ipotesi del teorema d�esistenza ed unicit�a il metododi Eulero �e convergente�
Dimostrazione ���� Dalla ��� si ha
yn�� � yn � hf�xn� yn
dallo sviluppo in serie di Taylor segue
y�xn�� � y�xn � hf�xn� y�xn �h�
�y�����
Per l�errore al passo �n � ��esimo si avr�a
en�� � y�xn��� yn�� � en � h �f�xn� y�xn� f�xn� yn �h�
�y����
per le condizioni di esistenza ed unicit�a
jf�xn� y�xn� f�xn� ynj � L jy�xn� ynjper cui
en�� � en � hL jy�xn� ynj� h�
�y����
ovvero
jen��j � �� � hL jenj� h�
�jy����j �
���CAPITOLO �� EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE �M�FRONTINI�
Posto n � �� �� ���� �n � �� si ha
je�j � �� � hL je�j� h�
�jy����j ���
je�j � �� � hL� je�j� �� � hLh�
�jy����j� h�
�jy����j
� � �jen��j � �� � hLn�� je�j�
nXj��
�� � hLjh�
�jy����j �
Supposto e� � � errore su condizione iniziale nullo� moltiplicando e divi�dendo l�ultima delle ��� per ��� � hL� � � si ottiene
jen��j � �� � hLn�� � �
hL
h�
�jy����j
ricordando che ehL � � � hL si ricordi lo sviluppo di Taylor ��� si ha
jen��j � e�n�� hL � �
hL
h�
�jy����j � e�n�� hL � �
�Ljy����j h � Ch �����
per cui l�errore globale va a zero come il passo d�integrazione h convergenza��
Il risultato appena dimostrato per il metodo di Eulero pu�o essere genera�lizzato a tutti i metodi ad un passo in virt�u del seguente
Teorema ���� Dato un metodo numerico di tipo Taylor ad un passo sela Tk�x� y� h �e �lipschitziana� ed il metodo �e consistente allora il metodo �econvergente��
Osservazione ��� La consistenza� se la Tk�x� y� h �e �lipschitziana�� �equindi condizione necessaria e su�ciente per la convergenza�
Osservazione ���� Essendo� nel metodo di Eulero ed in tutti i metodi adun passo di tipo Taylor
limh�
Tk�x� y� h � f�x� y
la �lipschitzianeit�a� �e garantita dal teorema di esistenza ed unicit�a� per cuisi ha garantita� in virt�u del teorema precedente� la convergenza�
���� METODI AD UN PASSO �M�F�� ��
Osservazione ��� Nella ���� l�errore va a zero come h� si �e persa unapotenza di h rispetto all�errore locale di discretizzazione� Questo fatto nondeve stupire in quanto� esattamente come per le formule di quadratura com�poste� l�aver diviso l�intervallo d�integrazione in n parti nh � xn � x�� ciobbliga ad eseguire n passi d�integrazione� Questa osservazione giusti�ca an�che l�introduzione della de�nizione di errore di troncamento locale unitariola divisione per h ci fa perdere una potenza nell�ordine di convergenza�
Nella deduzione della ����� abbiamo trascurato gli errori d�arrotonda�mento che si commettono ad ogni singolo passo� Volendo tener conto anchedi questi si avrebbe� detto � l�errore d�arrotondamento�
jen��j � e�n�� hL � �
hL
�h�
�jy����j� �
������
��
h
�Ljy����j� �
hL
��e�n�� hL � �
�per cui� mentre l�errore di discretizzazione va a zero con h� l�errore d�arro�tondamento cresce come h��� Nasce quindi� come nel caso della derivazionenumerica� la necessit�a di scegliere� �ssata la precisione di macchina �� un hottimo� Derivando rispetto ad h il secondo membro della ������ ignorandole costanti� ed uguagliando a zero� si ha
d
dh
�h
�jy����j� �
h
��
�
�jy����j� �
h�� �
per cui� indicato con y��M � max�jy����j � si ha
hott �s
��
y��M� c�
�
� � �����
La ����� ci fornisce un legame fra h ed � che pu�o essere cos�i parafrasato�pi�u �e piccolo � �maggiore �e l�accuratezza nei calcoli pi�u si pu�o prendere hpiccolo �indipendentemente dalla costante c� purtroppo l�esponente �
�con�
trolla male la riduzione del passo in quanto� per avere h dell�ordine del ����� �enecessario prendere � dell�ordine del �����
���CAPITOLO �� EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE �M�FRONTINI�
����� Metodi Runge�Kutta
I metodi di Rung�Kutta di ordine p sono metodi ad un passo in cui ��x� y� hviene determinata in modo d�ottenere� senza e�ettuare il calcolo delle derivated�ordine superiore della y�x� un ordine d�accuratezza p� Per fare questo siusa una combinazione di r �metodi di Runge�Kutta a r stadi derivate primedi y�x in opportuni punti dell�intervallo �x� x � h �
Osservazione ���� Il metodo d�Eulero �e un metodo di Runge�Kutta delprimo ordine ad uno stadio si usa solo la y��xn � f�xn� yn�
Vediamo come �e possibile costruire un metodo del secondo ordine a duestadi� Scriviamo ��xn� yn� h nella forma
��xn� yn� h � a�K� � a�K�
dove a� e a� sono opportuni coe�cienti e
K� � f�xn� yn
K� � f�xn � �h� yn � �hK�
con � � � � �� sono approssimazioni dei valori di y��x nei punti xn e xn��hottenute mediante f�xn� yn e f�xn � �h� yn � �hK� rispettivamente� Ilmetodo diviene quindi
yn�� � yn � h �a�f�xn� yn � a�f�xn � �h� yn � �hK� �
Una chiara interpretazione geometrica �e fornita in �gura �����Per determinare i parametri a�� a� e � imponiamo la massima accuratezza
possibile per il metodo� il che equivale ad eguagliare� nello sviluppo in seriedi Taylor di y�xn e di ��xn� yn� h in un intorno di xn� pi�u termini possibili�Arrestando lo sviluppo ai termini del secondo ordine si ha� per la ��xn� yn� h
��xn� yn� h � a�f�xn� yn � a�f�xn � �h� yn � �hK� �����
� a�f�xn� yn � a��f�xn� yn � �hfx�xn� yn �
��hf�xn� ynfy�xn� yn � O�h�
� �a� � a�f�xn� yn � �ha��fx�xn� yn �
�f�xn� ynfy�xn� yn � O�h��
���� METODI AD UN PASSO �M�F�� ���
x
y(x)
0
y(x)u(x)
x x+hx+ μ h
k
y(x+h)
2=f(x+ μ h,y+ μ hk1
)
k 1 =f(x,y)
a1 k 1 +a2 k 2
y
yh
Figura ����
mentre per y�xn si ha
y�xn � h� y�xn
h� f�xn� yn �
h
��fx�xn� yn � f�xn� ynfy�xn� yn �O�h��
�����
Eguagliando i coe�cienti dei termini corrispondenti nei due sviluppi siottiene il seguente sistema non lineare�
a� � a� � ��a� � �
�
����
che� fra le in�nite soluzioni� ammette anche
�� metodo di Eulero modi�cato �a� � �a� � �� � �
�
che �e della forma
yn�� � yn � hf
�xn �
h
�� yn �
h
�f�xn� yn
��
���CAPITOLO �� EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE �M�FRONTINI�
�� metodo di Heun �a� � �
�
a� � ��
� � �
che �e della forma
yn�� � yn �h
��f�xn� yn � f �xn � h� yn � hf�xn� yn �
Dalle ����� e ����� �e immediato osservare che i metodi risultano delsecondo ordine essendo l�errore di troncamento locale unitario O�h��
In �gura ���� �e riportata l�interpretazione geometrica del metodo diHeun�
x
y(x)
0 x
y n+1y(x)
f(x ,y )n n
n x n +h
f(x +h,y +hf(x +y ))n n n n
media
Figura ����
Osservazione ���� Nella ���� la condizione a� � a� � � implica la con�sistenza del metodo� per cui� sotto le consuete ipotesi di esistenza ed unicit�a�tutti i metodi ricavati dalla ���� risultano convergenti�
Quanto visto per due stadi pu�o essere esteso �non con facili conti� alcaso generale di r stadi� per cui otteniamo
��xn� yn� h �rX
i��
aiKi�x� y� h
���� METODI AD UN PASSO �M�F�� ���
dove
K� � f�xn� yn �����
Ki � f�xn � �ih� yn � hi��Xj��
�ijKj� i � �� �� ���� r
che prendono il nome di metodi Runge�Kutta a r stadi espliciti� dove l�agget�tivo esplicito evidenzia il fatto che ogni Ki dipende solo dai Kj precedenti�Nella ����� i parametri ai� �i e �ij verranno scelti in modo d�ottenere unmetodo il pi�u accurato possibile�
Per i metodi espliciti� detto p l�ordine del metodo ed r il numero di stadi�vale la seguente regola� �al crescere del numero degli stadi non si guadagnasempre parimenti in accuratezza�� si ha infatti che
� esistono metodi con p � r solo per r � �� �� �� �
� per r � � �� � si hanno solo metodi di ordine p � r � �
� per r � �� si hanno solo metodi di ordine p � r � �
� per r � �� l�ordine �e p � r � ��
Per concludere ricordiamo il classico metodo di Runge�Kutta del quartoordine a quattro stadi
��xn� yn� h ��
��K� � �K� � �K� � K�
dove
K� � f�xn� yn
K� � f�xn �h
�� yn �
h
�K�
K� � f�xn �h
�� yn �
h
�K�
K� � f�xn � h� yn � hK��
Se nella ����� l�indice j della sommatoria pu�o andare �no ad r �ogniKi dipende da tutti gli altri si hanno i metodi di Runge�Kutta impliciti�se l�indice j della sommatoria pu�o andare �no ad i �ogni Ki dipende daiprecedenti Kj e da se stesso si hanno i metodi di Runge�Kutta semi�impliciti�per i quali si rimanda alla letteratura speci�ca�
���CAPITOLO �� EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE �M�FRONTINI�
����� Sistemi del primo ordine
Quanto visto per un�equazione del primo ordine pu�o essere facilmente estesosia a sistemi del primo ordine che ad equazioni di grado superiore al primo�come di seguito illustrato per un�equazione del secondo ordine�
Dato il seguente problema del secondo ordine�y�� � f�x� y� y�y�a � y��a � �
abbiamo visto che �e possibile trasformarlo nel sistema equivalente�y� � zz� � f�x� y� z
con
�y�a � z�a � �
ed i metodi precedenti possono essere generalizzati al nuovo sistema utiliz�zando� con ovvio signi�cato dei simboli� la seguente notazione vettoriale
u� � f�x� u
ove
u �
�yz
�� u� �
�y�
z�
�� f �
�z
f�x� y� z
�con le condizioni
u�a � �� ove � �
��
��
Per cui� dato il metodo numerico
yn�� � yn � h��xn� yn� h
si potr�a scrivere� per il sistema precedente
un�� � un � h��xn� un� h�
Esempli�chiamo quanto sopra nel caso del metodo di Heun
yn�� � yn �h
��f�xnyn � f �xn��� yn � hf�xn� yn �
� yn �h
��K� � K�
���� METODI AD UN PASSO �M�F�� ��
ed all�equazioney��� � x�y�� � y�y��
posto �y � u�y� � u�y�� � u�
si ha� in forma vettoriale� �u�� � u�u�� � u�u�� � x�u� � u��u�
�
Un semplice programma in Matlab� per risolvere il problema precedente�pu�o essere il seguente
function uprime�uprim�x u�
uprime��u����u����u���x���u���u�������
return
end
������ definizioni iniziali
h����
x����
uold���
while x � xfin
k��uprim�x uold��
x�x�h�
utemp�uold�hk��
k��uprim�x utemp��
unew�uold�h�k��k�����
uold�unew�
����continua fino a che x � xfin
end�����fine while
Come si pu�o osservare dall�attenta lettura del listato del programma� pertrattare� con il metodo di Heun� altri sistemi di�erenziali basta modi�careopportunamente solo la function uprim�
���CAPITOLO �� EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE �M�FRONTINI�
����� Stabilit�a numerica
Per i metodi precedenti abbiamo garantito un certo ordine di accuratezza ela convergenza per h � �� Quando si deve integrare numericamente� in unintervallo pre�ssato �a� b � un�equazione di�erenziale� il passo h deve essere�ovviamente� preso diverso da zero� Nasce spontanea la domanda� per ognipasso h la soluzione numerica sar�a una buona stima di quella reale � O equi�valentemente� gli errori introdotti in ogni singolo passo d�integrazione nonfanno �esplodere� la soluzione numerica � Questi interrogativi permettonodi introdurre il concetto di stabilit�a numerica� Diamo le seguenti
De�nizione ���� La soluzione di un problema di Cauchy �e detta inerente�mente stabile se
jy�xn��j � C jy�xnj � C � �� �n�De�nizione ���� Un metodo numerico si dice assolutamente stabile se
jyn��j � c jynj � c � �� �n�dove yn �e la soluzione numerica nel punto xn�
Per studiare la stabilit�a numerica considereremo �per semplicit�a d�espo�sizione l�equazione test �
y� � �yy�� � y�
� Re���� �����
che ammette come soluzione
y�x � y�e�x �����
che� essendo Re�� � �� �e inerentemente stabile�Se consideriamo il metodo di Eulero� otteniamo la soluzione
yn�� � yn � h�yn � �� � h� yn
e quindiyn�� � �� � h�n�� y�� ����
La soluzione ���� si comporta� per n��� come la soluzione ����� see solo se
j� � h�j � �� �����
���� METODI A PI �U PASSI �M�F�� ���
La ����� rappresenta la regione di stabilit�a assoluta del metodo di Eulero�se non stiamo all�interno di questa regione �cerchio del piano complesso concentro in ���� � e raggio unitario la soluzione numerica crescer�a in moduloallontanandosi sempre pi�u dalla soluzione vera y�x �che tende a zero pern���
Analogamente si potrebbe calcolare la regione di stabilit�a assoluta per imetodi di Heun e di Runge�Kutta del quarto ordine� per i quali si rimandaalla bibliogra�a speci�ca�
Per tutti i metodi ad un passo visti esiste quindi una condizione sulpasso d�integrazione h che� se violata� produce una soluzione inattendibi�le� Questo fatto si traduce dicendo che i metodi Runge�Kutta e di Taylorsono condizionatamente stabili�
�� Metodi a pi�u passi �M�F��
I metodi a p passi sono metodi che approssimano la soluzione in un puntoutilizzando i valori trovati in p passi precedenti� Si possono scrivere nellaforma
yn�p � �p��Xj��
jyn�j � h
pXj��
�jy�n�j � �����
� �p��Xj��
jyn�j � h
pXj��
�jf�xn�j� yn�j
dove i �p � � parametri j e �j individuano il singolo metodo� Se �p � �il metodo si dir�a esplicito� mentre se �p �� � il metodo sar�a detto implicito�Per determinare i parametri j e �j si possono seguire di�erenti approcci
�� utilizzando le formule di derivazione numerica� l�equazione di�erenzialefornisce un legame fra la funzione y�x e la sua derivata prima�
�� utilizzando le formule di quadratura� il problema ���� �e equivalente alproblema Z x��h
x�
y��xdx �
Z x��h
x�
f�x� ydx
ovvero
y�x� � h � y�x� �
Z x��h
x�
f�x� ydx� �����
���CAPITOLO �� EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE �M�FRONTINI�
in cui compare il calcolo di un integrale�
�� utilizzando il concetto di ordine d�accuratezza� imponendo che la for�mula sia esatta ogniqualvolta la soluzione della ���� �e un polinomio digrado al pi�u �p�
Esempio ���� dalle formula di derivazione� consideriamo la formula
y��x �y�x � h� y�x� h
�h� O�h� �����
si ottiene il metodoyn�� � yn � �hy�n�� �����
per cui � � ��� � � �� �� � �� �� � �� �� � � che �e un LMM Linear Multystep Method a due passi� Il passaggio dalla ���� alla ���� si giusti�cafacilmente considerando� dovendo integrare la ��� nell�intervallo �x�h� x�h � il seguente schema�
yn�
y�x�k ���� yn��
�y�x
���� yn���
y�x�k ����
Esempio ���� dalle formule di quadratura� consideriamo la formula delpunto medio Z x��h
x��hf�xdx � �hf�x� �
h�
�f ����
applichiamola� tenuto conto del cambio d�intervallo e dello schema �����alla ���� ed otteniamo ancora
yn�� � yn � �hy�n��
che �e lo stesso metodo ottenuto nell�esempio precedente�
Esempio ���� imponendo l�ordine d�accuratezza� imponiamo che il metodonumerico a � passi
yn�� � � ��yn � �yn�� � h���y
�n � ��y
�n�� � ��y
�n��
������
sia esatto errore di troncamento nullo quando la soluzione �e un polinomiodi grado minore od uguale a �� Ricordando che i monomi �� x ed x� veri�canorispettivamente i problemi di Cauchy�
y� � �y��h � �
�
�y� � �y��h � �h �
�y� � �xy��h � h�
���� METODI A PI �U PASSI �M�F�� ��
le soluzioni ottenute con il metodo ���� nell�intervallo ��h� h si confrontilo schema seguente
�h�n���� �
�n��
���� h�n��
portano al seguente sistema lineare�� � � �� � � � h � �h � � ����h � � � � � h ��� � �� � ��h� � � ��h
� � � � � � h ���h�� � �� � � � �h���
Imponendo al metodo di essere esplicito �� � � si ha�� � �� � �
� � � � �� � ��
� � �� � ���
�
avendo ancora un grado di libert�a � equazioni e � parametri possiamo porre� � �� ottenendo cos�i � � ��� � � �� �� � �� �� � �� �� � � che �e ancorail metodo �����
Dall�ultimo esempio considerato si ottiene che il metodo del punto medio
yn�� � yn � �hy�n��
�e un metodo LMM a � passi esplicito e del secondo ordine�
Osservazione ���� Che l�errore di troncamento locale unitario sia O�h�lo si evince dalla ����� che poi il metodo non sia esatto per polinomi digrado � �e facilmente veri�cabile sul problema di Cauchy�
y� � �x�
y��h � �h� �
I metodi della forma ����� devono appoggiarsi� nei primi p� � passi� adun metodo di integrazione ad un passo �Taylor o Runge�Kutta che forniscale prime p� � valutazioni necessarie ad innescare il metodo� Se il metodo �eesplicito proceder�a poi automaticamente nelle iterazioni sucessive mentre� se�e implicito� bisogner�a risolvere ad ogni passo un�equazione implicita� A frontedi questi due inconvegnenti si ha il vantaggio che ad ogni singolo passo si ha
���CAPITOLO �� EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE �M�FRONTINI�
un metodo di ordine p � p � � se implicito con una sola nuova valutazionedella f�xn� yn�
L�equazione implicita da risolvere ad ogni passo si presenta nella forma�cfr� �����
yn�p � h�pf�xn�p� yn�p � gn �����
dove
gn � �p��Xj��
jyn�j � h
p��Xj��
�jf�xn�j� yn�j
non dipende da yn�p� Per risolvere la ����� si pu�o utilizzare un metodo dipunto �sso nella forma
y�i�� n�p � h�pf�xn�p� y
�i n�p � gn� i � �� �� ��� �����
partendo da un punto iniziale y�� n�p �per esempio y
�� n�p � yn�p��� Ricordando
la condizione di convergenza per i metodi del primo ordine �cfr� teorema����� si ha il seguente
Teorema ���� Se f�x� y �e lipschitziana
kf�x� y�� f�x� yk � L ky� � yk � �a � x � b� y� y� � R
ed inoltreh���p��L � � ����
allora la successione ���� converge��
Osservazione ���� La condizione ���� a�erma che� pur di prendere hsu�cientemente piccolo� l�equazione implicita ��� pu�o essere risolta con ilmetodo di punto �sso �����
Come per i metodi ad un passo possiamo dare le de�nizioni di consistenzaed ordine per i LMM�
De�nizione ���� Un LMM della forma ���� �e consistente se l�errrore ditroncamento locale unitario va a zero con h� ovvero�
limh�
�hn � limh�
�y�xn � h �
Pp��j�� jy�xn � jh
h�
pXj��
�jy��xn � jh
� ��
���� METODI A PI �U PASSI �M�F�� ���
De�nizione ���� Un LMM della forma ���� �e di ordine r se
�hn � O�hr�
Osservazione ���� E� interessante osservare che mentre un LMM di or�dine r integra esattamente a meno degli errori di arrotondamento un qua�lunque problema di Cauchy la cui soluzione �e un polinomio di grado minoreod ugual ad r� questo non �e pi�u vero� in generale� se si usa un metodo diRunge�Kutta di ordine r� Si veda l�esercizio ������
Per quanto riguarda la convergenza nei metodi LMM la consistenza �datala lischipzianit�a di f�x� y �e solo condizione necessaria ma non pi�u su�cien�te� Infatti� mentre nei metodi ad un passo l�equazione di�erenziale del primoordine viene sostituita con un� equazione alle di�erenze anch� essa del primoordine� la cui unica soluzione �e un� approssimazione della soluzione del pro�blema di�erenziale� nei LMM l�equazione alle di�erenze� di ordine p � �� pu�oammettere �no a p soluzioni distinte� di cui una sola �soluzione principaleapprossima correttamente la soluzione del problema di�erenziale� mentre lerimanenti �soluzioni parassite introducono solo dell�errore� E� chiaro quin�di che� per avere convergenza� al tendere di h a zero� le soluzioni parassitedovranno essere inin�uenti�
Ricordando che data l�equazione alle di�erenze �a coe�cienti costanti
yn�p � �p��Xj��
jyn�j �����
�ottenuta� guarda caso� dalla ����� per h � � ammette la soluzione generale
ym �
p��Xj��
�j�rjm
dove le rj sono le p radici distinte del polinomio di grado p� associato alla����� �polinomio caratteristico�
�p �
p��Xj��
j�j � �
e le �j sono p costanti arbitrarie �determinabili una volta dati i primi p valoriy�� y�� ���� yp��� possiamo dare la seguente
���CAPITOLO �� EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE �M�FRONTINI�
De�nizione ���� Un LMM della forma ���� �e zero stabile se
jrjj � �� �j �����
e se jrjj � � allora rj �e semplice� La ���� �e detta anche root condition ocondizione delle radici�
Si pu�o dimostrare il seguente
Teorema ���� Un metodo LMM �e convergente se e solo se �e consistente ezero stabile��
Dipendendo le radici del polinomio caratteristico dai coe�cienti j que�sti potranno essere scelti in modo opportuno� non solo per garantire laconsistenza e l�ordine ma anche la zero stabilit�a�
����� Metodi di Adams
I metodi di Adams�Bashforth e Adams�Moulton sono della forma
yn�p � yn�p�� � h
p��Xj��
�jy�n�j� �Adams� Bashforth
yn�p � yn�p�� � h
pXj��
�jy�n�j� �Adams�Moulton
dove i coe�cienti �j dipendono dalla particolare formula di quadratura uti�lizzata per approssimare� nell�identit�a
yn�p � yn�p�� �
Z xn�p
xn�p��
y��xdx
l�integrale a secondo membro� Se nella formula di quadratura si usa ilnodo xn�p �si �e costruito il polinomio interpolante su tutti i p � � nodixn� xn��� ���� xn�p si hanno i metodi di Adams�Moulton che sono impliciti�se invece nella formula di quadratura non si usa il nodo xn�p �si �e costruito ilpolinomio interpolante solo sui p nodi xn� xn��� ���� xn�p�� si hanno i metodidi Adams�Bashforth che sono espliciti�
Per l�ordine di accuratezza si pu�o dimostrare che� a parit�a di passi p� gliAdams�Bashforth hanno ordine p� mentre gli Adams�Moulton hanno ordinep � ��
���� METODI A PI �U PASSI �M�F�� ���
Questi metodi fanno tutti parte della famiglia dei metodi LMM con lacaratteristica di essere sicuramente zero stabili in quanto il loro polinomiocaratteristico� essendo p�� � �� e j � � per j � �� �� ���� p� �� �e
�p � �p�� � �
e quindi ha radici tutte nulle tranne una uguale ad � �root condition veri��cata�
Fra i metodi di Adams ricordiamo�
�� Adams�Bashforth
�a yn�� � yn � hf�xn� yn� metodo di Eulero �p � � � ordine ��
�b yn�� � yn�� � h�
��f�xn��� yn��� f�xn� yn � �p � � � ordine ��
�� Adams�Moulton
�a yn�� � yn� h�
�f�xn��� yn�� � f�xn� yn � metodo dei Trapezi �p �� � ordine �
�b yn�� � yn���h��
� f�xn��� yn�� � �f�xn��� yn��� f�xn� yn � �p �� � ordine �
����� Stabilit�a numerica
Per i metodi LMM oltre che di stabilit�a assoluta �come per i metodi ad unpasso si pu�o parlare anche di stabilit�a relativa� in quanto� anche quandola soluzione �e inerentemente instabile non �e garantito che �h la soluzionenumerica� che dipende da tutte le radici del polinomio caratteristico� �segua�bene la soluzione analitica� Analizzeremo brevemente questi concetti su dueclassici metodi� il metodo dei trapezi ed il metodo del punto medio�
Stabilit�a assoluta
Come per i metodi ad un passo ci proponiamo di studiare� �ssato il passo hd�integrazione� come si comporta la soluzione numerica calcolata con i LMM�Ci limiteremo� per motivi di tempo� ad analizzare la formula dei Trapezi�per una trattazione di carattere generale si rimanda ai testi in bibliogra�a�
���CAPITOLO �� EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE �M�FRONTINI�
Consideriamo la solita equazione test ������ il metodo dei Trapezi ad essaapplicato produce
yn�� � yn �h
���yn�� � �yn
che� risolta rispetto a yn��� fornisce
yn�� �� � h�
�
�� h��
yn
ed� essendo Re�� � �� si ha ������ � h��
�� h��
����� � �� �����
per cui la soluzione numerica �e assolutamente stabile per ogni scelta del passoh�
Osservazione ��� La regione di stabilit�a del metodo dei Trapezi �e quinditutto il semipiano negativo del piano complesso� Questa maggiore �libert�a�nella scelta del passo h �e stata pagata con la necessit�a di dover risolvere� adogni passo� un�equazione implicita� In generale i metodi impliciti sono �pi�ustabili� degli espliciti�
Nella ����� la quantit�a��h�
�
��h��
�e l�unica radice del polinomio associato al
metodo dei Trapezi applicato all�equazione test ������ in generale� dette �ile p radici �supposte distinte del polinomio associato al generico LMM ap�plicato all�equazione test ������ la condizione di assoluta stabilit�a si traducein
j�ij � �� i � �� �� ���� p�
Stabilit�a relativa
Se nel problema test ����� abbiamo Re�� � � la soluzione tender�a� pern��� ad in�nito� Per i LMM si pu�o quindi introdurre il concetto di stabilit�arelativa� nel senso che� �e ragionevole richiedere che la soluzione numerica �chedovr�a anch�essa crescere si mantenga �vicino� alla soluzione vera �errorerelativo limitato� Poich�e la soluzione generale dell�equazione alle di�erenzedipende da tutte le p radici �i dovremo avere
j�ij � j��j � i � �� �� ���� p
���� METODI A PI �U PASSI �M�F�� ��
dove con �� si �e indicata la radice principale e con �i� i � �� �� ���� p leradici parassite le radici parassite devono essere controllate dalla radiceprincipale�
Vediamo di chiarire le ultime a�ermazioni fatte studiando la stabilit�a delmetodo del punto medio ������ Dal metodo
yn�� � yn � �hy�n��
e dal problema test ����� si ottiene l�equazione alle di�erenze
yn�� � �h�yn�� � yn � �
il cui polinomio caratteristico �e
p�r � r� � �h�r � � �����
se � � � allora si hanno due radici distinte� � � r� � � e r� � ��� come �efacile veri�care osservando che
p��� � �p�� � �h� � �� p�� � ���
La soluzione generale dell�equazione alle di�erenze
yn � Arn� � Brn�
�dove A e B sono costanti da determinarsi� si comporta� per n��� comeyn � Arn� in quanto il termine in r� tende a zero� Essendo r� � �� la soluzio�ne cresce in modulo per cui il metodo non �e assolutamente stabile� Se venisseutilizzato per risolvere un problema di Cauchy con soluzione inerentementestabile produrrebbe� al crescere di n� una soluzione numerica inattendibile�
Se nel problema test � � � �soluzione inerentemente instabile le radicidel polinomio ����� divengono �� � r� � � e r� � �� come �e facile veri�careosservando che
p��� � �p�� � �h� � �� p�� � ���
La soluzione generale dell�equazione alle di�erenze si comporta� in questocaso come yn � Brn� � poich�e� per n � �� il termine in r� tende a zero�Il metodo �e quindi relativamente stabile e fornir�a una soluzione numericacon errore relativo limitato �la radice parassita r� al crescere di n in�uenzasempre meno la soluzione�
���CAPITOLO �� EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE �M�FRONTINI�
Osservazione ���� Garantita la stabilit�a relativa bisogner�a scegliere il pas�so d�integrazione h su�cientemente piccolo per garantire l�accuratezza�
Osservazione ��� Nei metodi ad un passo si parla solo di stabilit�a asso�luta in quanto non ha senso parlare di stabilit�a relativa si osservi al riguardoche il polinomio caratteristico ha una sola radice�
� Riepilogo �M�F��
Sintetizzando quanto esposto nel presente capitolo abbiamo
�� I metodi ad un passo �Taylor e Runge�Kutta� possono essere uti�lizzati sfruttando la sola condizione iniziale fornita nel problema diCauchy� mentre� per utilizzare i metodi LMM a p passi� �e necessariopreventivamente ottenere le prime p� � valutazioni�
�� Per aumentare l�accuratezza nei metodi di Taylor e Runge�Kutta �enecessario aumentare il numero di valutazioni funzionali ad ogni passo�mentre� per i LMM a p passi basta sempre una sola valutazione puravendo ordine p �espliciti o p � � �impliciti�
�� Il concetto di consistenza permette di legare l�errore di troncamentolocale alla convergenza e precisamente
�a la consistenza �e condizione necessaria e su�ciente per la conver�genza nei metodi a un passo�
�b la consistenza �condizione necessaria � la zero stabilit�a �rootcondition garantiscono la convergenza nei metodi a p passi�
�� Il concetto di zero stabilit�a si introduce solo per i metodi a p passi inquanto� con questi metodi� si sostituisce al problema continuo� dipen�dente da una sola condizione iniziale� un problema discreto dipenden�te da p condizioni �per �ssare le p costanti arbitrarie della soluzionegenerale dell�equazione alle di�erenze associata al metodo numerico�
� Per lo stesso motivo solo per i LMM si pu�o parlare di stabilit�a relativa�
��� RIEPILOGO �M�F�� ���
�� Oltre all�accuratezza �e cruciale il concetto di assoluta stabilit�a che pu�ovincolare il passo h d�integrazione �regione di assoluta stabilit�a tantoda rendere praticamente inutilizzabile un metodo �se h �e troppo piccolonon si procede nell�integrazione�
�� I metodi impliciti� pur essendo pi�u laboriosi �equazione da risolvere adogni passo� hanno regioni di stabilit�a pi�u ampie �permettono passi hpi�u grandi�
����� Esercizi
Esercizio ���� Dato il problema di Cauchy�y� � y � x� � �x� �y�� � �
la cui soluzione �e y�x � x� � �� calcolare con passo h � ��� la soluzione in��� � con
�� il metodo di Heun�
�� il metodo dei Trapezi esplicitando yn�� in funzione di yn�
Giusti�care i risultati ottenuti�
Esercizio ���� Integrare nell�intervallo ��� � il seguente problema di Cau�chy �
y� � �� yy�� � �
come passi d�integrazione h � ���� e h � ��� utilizzando
�� la formula del punto medio�
�� la formula dei trapezi�
Giusti�care i risultati ottenuti�
Esercizio ���� Dato il metodo numerico
yn�� ��
�yn�� � �yn�� �
�
�yn � �hf�xn��� yn���
���CAPITOLO �� EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE �M�FRONTINI�
�� �e consistente �
�� E� convergente�
Giusti�care le risposte date�
Esercizio ��� Scrivere una function in MATLAB richiamabile con
�xn� yn���adabas��xn xn� h yn yn� f�
che esegua un passo del metodo d�integrazione di Adams�Bashforth diordine ��
Esercizio ���� Integrare nell�intervallo ��� �� � utilizzando diversi passi d�in�tegrazione� il sistema �
y� � x�tx� � �y�t
�
�y�� � �x�� � �
�
mediante
�� il metodo di Eulero�
�� il metodo di Heun�
Dire qual��e la linea i cui punti hanno coordinate P �t � �x�t� y�t etracciarne il gra�co�
Bibliogra a
�� K�E�Atkinson� An Introduction to Numerical Analysis� John Wiley #Sons� New York� ���
�� J�C�Butcher� The Numerical Analysis od Ordinary Di�erential Equa�tions� Runge�Kutta and General Linear Methods� John Wiley # Sons�Chichester� ���
�� S�D�Conte e C�de Boor� Elementary Numerical Analysis� McGraw�HillKogakusha� Ltd�� Tokio� ���
�� G�Dahlquist e A�Bjorck� Numerical Methods� Prentice�Hall� EnglewoodCli�s� NJ� ����
� F�Fontanella e A�Pasquali� Calcolo Numerico� Metodi e algoritmi�Vol����� Pitagora Editrice� Bologna� ���
�� G�Gambolati� Metodi Numerici� Cortina� Padova� ��
�� L�Gotusso� Calcolo Numerico� Clup� Milano� ���
�� G�H�Golub e C��Van Loan� Matrix Computation� The John HopkinsPress� Baltimore� ��
� J�D�Lambert� Numerical Methods for Ordinary Di�erential Systems�The Initial Value Problem� John Wiley # Sons� Chichester� ��
��� A�M�Ostrowski� Solution of equations and systems of equations�Academic Press� New York� ���
��� J�R�Rice� The Approximation of functions� Vol I�II� Addison�Wesley�New York� ��
��
� � BIBLIOGRAFIA
��� J�Stoer e R�Bulish� Introduction to Numerical Analysis� Springer�Verlag�New York� ���
��� G�Strang� Linear algebra and its applications� Academic Press� NewYork� ���
��� A�Stroud� Numerical Quadrature and Solutio of Ordinary Di�erentialEquations� Springer�Verlag� New York� ���