Download - (indefinite integral)¹€อกสาร อ.... · 2010-08-16 · 1 อินทิัลกร ปฏิยานุพั นธและอิินทกรัลไม จํัากดเขต
1
อินทิกรัล
ปฏิยานุพันธและอินทิกรัลไมจํากัดเขต
ให f เปนฟงกชัน เราเรียกฟงกชัน วาปฏิยานุพันธ (anti - derivative) ของF f ถา ( ) ( )'F x f x=
ตัวอยางเชนปฏิยานุพันธของฟงกชัน ซึ่งนิยามโดย f ( ) 2f x = x คือฟงกชัน ซึ่งนิยามโดย
F2( ) F x x c= + เมื่อ เปนคาคงตัวใด ๆ เพราะวา c
( )2 2d x cdx
+ = x
ดังนั้นปฏิยานุพันธของฟงกชันหนึ่งจึงมีมากมายนับไมถวน
ทฤษฎีบท ถาฟงกชัน และ G ตางเปนปฏิยานุพันธของฟงกชัน F f บนชวง I แลว และ G ตางกันเพียงคาคงตัวเทานั้น นั่นคือมีคาคงตัว C ที่ทําให
สําหรับแตละ
F
( ) ( ) CG x F x= + x I∈
เราใชสัญลักษณ ( )f x dx∫ แทนปฏิยานุพันธของ ( )f x ที่รวม
คาคงตัว C เขาไวดวยและเรียก ( )f x dx∫ วาอินทิกรัลไมจํากัดเขต
บทนิยาม อินทิกรัลไมจํากัดเขต (indefinite integral) ของฟงกชัน f คือฟงกชันซึ่งกําหนดโดย
( ) ( ) f x dx F x C= +∫
เมื่อ เปนปฏิยานุพันธหนึ่งของ F f และ เปนคาคงตัว C
เราเรียก ( )f x วาอินทิแกรนด (integrand) ของอินทิกรัล เปนตัวแปรของฟงกชัน และเรียกการกระทําเพื่อไดฟงกชัน
x( )f x dx∫ วาการอินทิเกรต (integration)
ทฤษฎีบท ให f และ เปนฟงกชันซึ่ง g ( )f x dx∫ และ ( )g x dx∫ หาไดและ เปนคาคงตัว แลว
k
1. ( ) ( ) k f x dx k f x dx=∫ ∫
2. ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x dx f x dx g x dx± = ±⎡ ⎤⎣ ⎦∫ ∫ ∫
2
สูตรพ้ืนฐานการอินทิเกรต
1. และ dx x C= +∫ 0dx C=∫ (จาก 1dxdx
= และ 0dCdx
= )
2.1
1
nn xx dx C
n
+
= ++∫ สําหรับ 1n ≠ − (จาก 1
nndx nx
dx−= )
3. lndx x Cx= +∫ (จาก 1lnd x
dx x= )
4. x xe dx e C= +∫ (จาก x
xde edx
= )
5. ln
xx aa dx C
a= +∫ (จาก ln
xxda a a
dx= )
6. sin cosxdx x C= − +∫ (จาก cos sind x xdx
= − )
7. cos sinxdx x C= +∫ (จาก sin cosd x xdx
= )
8. 2sec tanxdx x C= +∫ (จาก 2d tanx = sec xdx
)
9. 2csc cotxdx x C= − +∫ (จาก 2cot cscd x xdx
= − )
10. sec tan secx xdx x C= +∫ (จาก sec sec tand x x xdx
= )
11. csc cot cscx xdx x C= − +∫ (จาก csc csc cotd x x xdx
= − )
12. 1
2sin
1dx x C
x−= +
−∫ (จาก 1
2
1sin1
d xdx x
− =−
)
13. 12 tan
1dx x C
x−= +
+∫
14. 1
2sec | |
1dx x C
x x−= +
−∫
(จาก 12
1tan1
d xdx x
− =+
)
3
ในตัวอยางนี้ จะแสดงการอินทิเกรตดวยสูตรพ้ืนฐาน
1. 131 21-
3 313
3 = 1 2
xx dx C x C− +
+ = +− +∫
2. 24 4 33 3 3 4 4ln
2dx xx dx xdx dx xdx x
x x x⎛ ⎞+ = + = + = + +⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫ ∫ ∫ ∫ C
ตัวอยาง จงอินทิเกรต ( )2 2x x x+∫ dx
ตัวอยาง จงอินทิเกรต 2 1x dx
x+
∫
ตัวอยาง จงอินทิเกรต 1 1 23 22x x x
−⎛ ⎞⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠∫ dx
4
ตัวอยาง ให f เปนฟงกชันที่มีอนุพันธคือ ( )' sin cosf x x x= + โดยที่
( )0f = 3 จงหา ( )f x
ตัวอยาง จงหาสมการเสนโคง ( ) y f x= ซึ่งผานจุด ( )2, 3− และความชันที่จุดใดๆ ของเสนโคงถูกกําหนดโดยสมการ 2 3y x= −
5
ตัวอยาง ลูกบอลลูกหนึ่งถูกโยนขึน้ในแนวดิ่งดวยอัตราเรงคงที่เทากับ เมตร/(วินาที)10− 2
ถาความเร็วเมื่อเริ่มโยนลูกบอลเปน 60 เมตร/ วินาที จงหา
1. ความเร็วของลูกบอลเมื่อเวลา t ใด ๆ
2. ความสูงของลูกบอล ณ เวลา ใด ๆ t
วิธีทํา เนื่องจากปฏิยานุพันธของความเรง ( )a t คือความเร็ว ( )v t ดังนั้นปญหาขอ 1 คือใหหาปฏิยานุพันธของ นั่นเอง เราจึงได ( ) 10a t = −
( ) 10v t t C= − +
โดยที่ C เปนคาคงตัว แตเมื่อเริ่มโยนลูกบอลมีความเร็ว 60 เมตร/วินาที
นั่นคือ ( )0 6v = 0 จึงได และสมการ 60C =
( ) 10 60v t t= − +
จึงเปนสมการความเร็วของลูกบอลเมื่อเวลา t ใด ๆ
อีกครั้งหนึ่งเมื่อพิจารณาวาตําแหนงของลูกบอล ณ เวลา ใด ๆ คือ t ( )S t เปนปฏิยานุพันธของความเร็ว เราจะได ( )v t
( ) 2 5 60 S t t t k= − + +
เมื่อ k เปนคาคงตัว และเพื่อหาคา เราแทนคา k 0t = และ 0S = ในสมการของ ( )S t ซึ่งจะได และทําใหได 0k =
( ) 2 5 60S t t t= − +
เปนความสูงของลูกบอลขณะเวลา t ใด ๆ
แบบฝกหัด
1. จงหาสมการเสนโคงเสนหนึ่งซึ่งมีความชัน ณ จุด ( )x, y ใดๆ เปน ( )23 1x x −
และ ทราบวาเสนโคงนี้ตัดแกน ที่ y 2y =
2. จงหาระยะทางที่วัตถุช้ินหนึ่งเคลื่อนที่จากเวลา 1t = วินาทีจนถึง วนิาที ถาความเร็วของวัตถุเมื่อเวลา วินาทีเปน ฟุตตอวินาที
t = 2
t 5t
6
การอินทิเกรตโดยการแทน (integration by substitution)
ในการอินทิเกรต จะเห็นวาอินทิกรัลไมเขาสูตรใดๆของสูตร
พื้นฐานการอินทิเกรต แตสังเกตวาฟงกชัน
( )52 1 2x +∫ xdx51)2(x + ในอินทิแกรนดเปนผลประกอบ
ของสองฟงกชัน กับ 2( )u x x= +1 5( )h x x= โดยเฉพาะอยางยิ่งตัวประกอบที่เหลือ
ในอินทิแกรนดคือ เปนอนุพันธของ 2x 2( )u x x 1= + เราจึงเปล่ียนตัวแปรใหมโดย
ให แลวได ซึ่งทําใหได 2 1u x= + 2du xdx=
( ) ( )62652 5
11 2
6 6
xux xdx u du C+
C+ = = + =∫ ∫ +
ถา เปนปฏิยานุพันธของ F f แลวโดยกฎลูกโซของอนุพันธจะได
( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )' 'd F g x F g x g x f g x g xdx
′= =
และเพราะวา ถา ( ) u g แลว x= ( )'du g x dx= เราจะได
สูตรการอินทิเกรตโดยการแทน
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )' f g x g x dx f u du F u C F g x C= = + =∫ ∫ +
เมื่อ ( )u g x=
ตัวอยาง จงอินทิเกรต 2 1xdx
x +∫
7
ตัวอยาง จงอินทิเกรต 21
xdxx+∫
ตัวอยาง จงอินทิเกรต ( )2
2 33 2
xdx
x x+
+ +∫
ตัวอยาง จงอินทิเกรต 2tan sec dθ θ θ∫
ตัวอยาง จงอินทิเกรต ( )4ln xdx
x∫
8
ตัวอยาง จงอินทิเกรต 32 xx e dx∫
ตัวอยาง จงอินทิเกรต 1x xe e+∫ dx
ตัวอยาง จงอินทิเกรต ( )3
12 1
x dx+
+∫x
ตัวอยาง จงอินทิเกรต lndx
x x∫
9
ตัวอยาง จงอินทิเกรต 3sin cosx xd∫ x
การอินทิเกรตทีละสวน (integration by parts)
จากกฎผลคูณของการหาอนุพันธ ดังนี้ A
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )' ' 'f x g x f x g x f x g x= +
ถาเราอินทิเกรตทั้งสองขางของสมการนี้จะได
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )' ' 'f x g x dx f x g x dx f x g x dx= +∫ ∫ ∫
ซึ่งทางซายมือของสมการจะคือ ( ) ( )f x g x เพราะเปนปฏิยานุพันธของ
( ) ( )( ')f x g x และเมื่อจัดพจนใหม เราจะไดสูตรการอินทิเกรตทีละสวนดังตอไปนี้
สูตรการอินทิเกรตทีละสวน
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 'f x g x dx f x g x g x f x dx′ = −∫ ∫
เราอาจให ( ) u f x= และ ( ) v g แลวได ( ) du f x dx′= และ ทําใหไดสูตรการอินทิเกรตทีละสวนในรูปตัวแปร u และ ดังนี้ ( ) dv g x dx′= dv
x=
สูตรการอินทิเกรตทีละสวน
udv uv vdu= −∫ ∫
10
ตัวอยาง จงหา ln xdx∫วิธีทํา ให และ dv แลวได lnu x= dx= dxdu
x= และ ซึ่งทําใหได v x=
ln ln ln lndxxdx x x x x x dx x x x Cx
= − = − = − +∫ ∫ ∫
ตัวอยาง จงอินทิเกรต 1 x x dx−∫
ตัวอยาง จงอินทิเกรต 1cos axdx−∫
11
ตัวอยาง จงอินทิเกรต xxe dx∫
ตัวอยาง จงอินทิเกรต 2 xx e dx∫
12
ตัวอยาง จงอินทิเกรต sin x x d∫ x
ตัวอยาง จงอินทิเกรต 2ln x dxx∫
13
ตัวอยาง จงอินทิเกรต ( )cos ln x dx∫
ตัวอยาง จงหา cosxe x∫ dx
การอินทิเกรตฟงกชันตรรกยะ
14
ในหัวขอนี้เราจะแสดงวิธีการหา ( )f x dx∫ เมื่ออินทิแกรนด ( )f x เปน
ฟงกชันตรรกยะ (rational function) กลาวคือ ( ) ( )( )
p xf x
q x= เมื่อ และ ( )p x ( )q x
เปนพหุนามและ ( ) 0q x ≠
ถากําลังของ ( )p x นอยกวากําลังของ ( )q x เราจะเรียก ( )( )
p xq x
วา
ฟงกชันตรรกยะแท (proper rational function) แตถากําลังของ ( )p x มากกวาหรือเทากับกําลังของ ( )q x เราก็สามารถหาพหุนาม ( )q x และ ( )r x ไดเสมอที่ทําให
( )( ) ( ) ( )
( )
p x r xg x
q x q x= +
โดยที่ ( )( )
r xq x
เปนฟงกชันตรรกยะแท ดังนั้น
( )( ) ( ) ( )
( )
p x r xdx g x dx dx
q x q x= +∫ ∫ ∫
และเนื่องจากการอินทิเกรตฟงกชันพหุนาม ( )g x dx∫ ทําไดโดยงาย เราจึงกลาวถึงการ
อินทิเกรต ( )( )
p xdx
q x∫ เฉพาะเมื่อ ( )( )
p xq x
เปนฟงกชันตรรกยะแท ดวยเทคนิคที่เรียกวา
การเขียนฟงกชันตรรกยะในรูปเศษสวนยอย (partial fraction expansion) โดยดําเนินการตามลําดับขั้นตอนตอไปนี้
ขั้นที่ 1 : แยกตัวประกอบ ( )q x
ฟงกชันพหุนามใดๆ ที่มีกําลังมากกวาหรือเทากับ จะเขียนไดในรูปผลคูณของฟงกชันพหุนามเชิงเสนและ/หรือพหุนามกําลังสองซึ่งลดทอนไมได [หมายเหตุ : พหุนาม
กําลังสอง ลดทอนได ก็ตอเมื่อ ดังนั้น เขียนได
ในรูปผลคูณของพหุนามเชิงเสน แตถา
2
2 ax bx c+ + 2 4b a≥ c
c
2 ax bx c+ +2 4b a< แลว 2ax bx c+ + จะลดทอนไมได
15
(นั่นคือแยกตัวประกอบในรูปผลคูณของพหุนามเชิงเสนไมได)] ตัวอยางเชน สําหรับพหุ
นาม ลดทอนไมได เพราะ 2 1x + 20 4b ac 4= < = เปนตน
ตัวอยาง จงแยกตัวประกอบ
1. 2. 3 22 2x x x+ + +1 63 22 5x x x− − +
วิธีทํา 1. เพราะวา ( ) ( ) ( )3 21 2 1 2 1 1 ังนั้น ( )1x + เปนตัวประกอบ
หนึ่งของ 3 2 1x x x+ + +2 2 าใหได
0− + − + − + = ด
ทํ
( )( )3 2 22 2 1 1x x x x x x+ + + = + + +1
โดยที่ ลดทอนไมได เพราะ 2 1x x+ + ( )( )21 4 4 1 1b ac 4= < = =
2. เพราะวา ดังนั้น ( ) ( ) ( )3 21 2 1 5 1 6− − + 0= ( )1x − เปนตัวประกอบหนึ่ง ทําใหได
( )( ) ( )( )( )2 2 2 2 5 6 1 6 1 2x x x x x x x x x− − + = − − − = − + − 3
ขั้นที่ 2 : เขียน ( )( )
p xq x
ในรูปผลบวกของเศษสวนยอยที่มีสวนเปนตัวประกอบของ ( )q x
ถามีพหนุามเชิงเสน ปรากฏเปนตัวประกอบของ เราจะเขียนใหมในรูปผลบวก
(ax b+ )n)(q x
( ) ( ) ( )1 2
2n
nkk k
ax b ax b ax b+ + +
+ + +
เปนสวนหนึ่งของผลบวกของ ( )( )
p xq x
เมื่อ เปนคาคงตัวซึ่งเราจะหาในขั้น
ตอๆไป
1 2, ,...,k k nk
16
ตัวอยาง ( ) ( )
231 2
2 33
2 3 3( 1) 1 1 1
kk kx xx x x x+ +
= + ++ + + +
ถามีพหุนามกําลังสอง 2ax bx c ซึ่งลดทอนไมได ปรากฏในผลคูณของ ( )q x ทั้งหมด ครั้ง เราจะเขียนผลบวก m
+ +
( ) ( )1 1 2 2
22 2 2
m mm
c x dc x d c x d ...ax bx c ax bx c ax bx c
++ ++ + +
+ + + + + +
ตัวอยางนี้แสดงการเขียนฟงกชันตรรกยะในรูปผลบวกของเศษสวนยอย โดยไมแสดงการหาคาคงตัว
1. ( )( )
2 2
3
2 3 2 31 1 1
1
x x x x A B Cx x x x x x x x+ + + +
= = +− − + −
++
2. ( ) ( )
231 2
22
7 12 1( 1) (2 1) 1 1
kk kx xxx x x x
+ += + +
++ + + +
3. ( )( ) 22
2 61 11 1
x k cx dx x xx x x
− + += +
+ ++ + + +
4. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 2
32 13 31 2 1 1 2 2
3 2 222 2 2
2 6 21 111 1 1
c x dk k c x d c x dx xx x xxx x x x x x x
++ +− += + + + +
+ + +++ + + + + + +
ขั้นที่ 3 : หาคาคงตัวของขั้นที่ 2
การหาคาคงตัวในผลบวกของเศษสวนยอย กระทําได วิธีคือโดยพิจารณาการเปนเอกลักษณ(identities) หรือโดยการเทียบสัมประสิทธิ์(equating coefficients)
2
ตัวอยาง จงหาคาคงตัว และ ของ 1 2k ,k 3k( )( )
231 22 3
1 1 1kk kx x
1x x x x x x+ +
= + +− + −
+
วิธีทํา รวมพจนทางขวามือกอน และเนื่องจากตัวเศษของทั้งสองขางจะตองเทากัน เราจึงไดเอกลักษณ
( )( ) ( ) ( )21 2 32 3 1 1 1 x x k x x k x x k x x+ + = − + + + + − 1
ซึ่งเปนจริงสําหรับทุกๆ จํานวนจริง ดังนั้นถาเราแทนคา x 1 0 x ,= − และ 1 จะไดสมการตามลําดับตอไปนี้เปนจริงเชนกัน
17
ถา จะได ( )1x = − ( ) ( )( )231 2 1 3 0 0 1 1 1 2k − + − + = + + − − − = 3k ดังนั้น 3 1k =
ถา จะได ดังนั้น 0x = ( )( )13 1 1 k = − 1 3k = −
ถา จะได 1x = ( ) ( )( )21 2 1 3 1 1 1 k + + = + ดังนั้น 2 3 k =
ทําใหได
( )( )2 2 3 3 3 1
1 1 1 x x
1x x x x x x+ + −
= + +− + − +
ตัวอยาง จงหาคาคงตัวของสมการ ( ) ( ) ( ) ( )
21 2
2 27 1
1 21 2 1 1k kx x A
x xx x x+ +
= + +1+ ++ + +
วิธีทํา หลังจากรวมพจนทางขวาแลว ตัวเศษของทั้งสองขางสมการจะเทากัน ทําใหได
( )( ) ( ) ( )221 27 1 1 2 1 2 1 1x x k x x k x A x+ + = + + + + + +
18
ตัวอยาง จงหาคาคงตัวของสมการ ( )( ) 22
2 61 11 1
x k cx dx x xx x x
− + += +
+ + ++ + +
วิธีทํา รวมพจน 21k cx d
1x x x+
++ + +
แลวจะไดเอกลักษณ
( ) ( )( )22 6 1 1x k x x x cx d− + = + + + + +
ซึ่งเปนจริงสําหรับทุกจํานวนจริง ดังนั้นเมือ่เราแทน x 1x = − จะได และเมื่อแทน และ ตามลําดับ จะไดสมการ
8k =
0x = 1x =
6k d + = และ 3 2 2k c d 4+ + =
ซึ่งเมื่อแทน จะได และดังนั้น 8k = 2d = − 8c = − ทําใหได
( )( ) 22
2 6 8 8 21 11 1
x xx x xx x x
− + += −
+ + ++ + +
หรือเราอาจหาคาคงตัวเหลานี้อีกวิธีหนึ่ง โดยการเทียบสัมประสิทธิ์ของสมการ
( ) ( ) ( )22 6x k C x k c d x k d− + = + + + + + +
เราจะไดระบบสมการ 0k c + =
2k c d + + = −
ซึ่งมีคําตอบของระบบสมการคือ 8 2k , d และ 8c เชนกัน
= − = = −
ตัวอยาง จงหาคาคงตัวของสมการ
( )( ) ( )3 2
1 1 2 22 222 2
2 3 11 2 21 2 2 2 2
c x d c x dx x x kx x xx x x x x
+ ++ + −= + +
+ + ++ + + + +
วิธีทํา เมื่อรวมพจน ( )
1 1 2 222 21 2 2 2 2
c x d c x dkx x x x x
+ ++ +
+ + + + + แลวจะไดเอกลักษณ
( )23 2 2 21 1 2 22 3 1 2 2 ( )( 1)( 2 2) ( )( 1 x x x k x x c x d x x x c x d x+ + − = + + + + + + + + + + )
ซึ่งเมื่อแทน จะได 1x = −
( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 2 22 1 3 1 1 1 1 2 1 2 k ⎡ ⎤− + − + − − = − + − +⎣ ⎦ ดังนั้น 1 k = −
19
ถา และ จะได 0x = 1k = − 1 22 3d d + =
ถา และ จะได 1x = 1k = − 1 1 2 25 5 1 c d c d 5+ + + =
ถา และ จะได 2x = 1k = − 1 1 2 220 10 2 43 c d c d + + + =
ถา และ จะได 2x =− 1k = − 1 1 2 24 2 2c d c d 3− + − =−
เราไดคําตอบของระบบสมการขางตนเปน 1 1 21 3 c , d , c 2= = = − และ 2 3 d = −
ตัวอยาง จงหา 2 1
x dxx −∫
วิธีทํา
20
ตัวอยาง จงหา 3 2
2
31
x x dxx++∫
วิธีทํา
ตัวอยาง จงหา 3
3
2x dxx x+−∫
วิธีทํา
21
ตัวอยาง จงหา ( ) ( )
2
27 1
1 2 1x x dx
x x+ +
+ +∫
วิธีทํา
ตัวอยาง จงหา 3 1dx
x +∫
วิธีทํา