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Cornisa: SECCIONES CÓNICAS 1
Aplicaciones de la Geometría Analítica: Secciones Cónicas.
Jairzinho
Colegio de Bachilleres del Estado de Chihuahua.
Nota de Autor:
Colegio de Bachilleres del Estado de Chihuahua, Plantel 3.
Persona de Contacto: Jairzinho Arturo Quintana Torres, Privada de Novena #5607, Santa Rosa,
31050, Chihuahua, Chihuahua, México, Cel. +0526141643799, correo electrónico:
Citar en APA (3a. Edición en español): Quintana Torres, J. A. (2013). Aplicaciones de la
Geometría Analítica: Secciones Cónicas.
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Resumen.
La geometría analítica nos permite apreciar las aplicaciones de matemáticas de una manera muy
diversa estudiando las secciones cónicas, con sus cortes podemos observar cómo se forman
algunas de las más importantes figuras geométricas con el mayor numero de aplicaciones y
desarrollos en el mundo, son de dos tipos: las cónicas no degeneradas son curvas entre la
intersección de un cono y el plano, este plano no contiene al vértice y son cuatro: circunferencia,
parábola, elipse e hipérbola. Las cónicas degeneradas cuando el plano contiene al vértice, son
tres: un punto, una recta y dos rectas secantes. La finalidad es que los jóvenes entiendan y
observen como las aplicaciones los rodean, a diario están presentes de manera implícita.
Palabras clave: Geometría analítica, Secciones cónicas, Plano, Figuras geométricas.
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Introducción.
Las figuras geométricas que conocemos desde las primeras clases de matemáticas desde
el preescolar son el triangulo, el cuadrado, el circulo, el rectángulo, conforme avanza uno en
nivel educativo conocemos los nombres de las personas que los estudiaron por primera vez, nos
platican como ellos determinaron sus características, elementos y sus formulas, todo para
determinar su área, el perímetro, midiendo sus lados, bases y alturas, incluso aprendemos
teoremas como el de Pitágoras y Tales, propiedades de algunas figuras, formulas enlazadas a
dichas propiedades y llegamos a la parte donde nos dicen que las figuras geométricas de cuatro
lados se llaman cuadriláteros, que hay diferencia entre circulo y circunferencia, entonces
llegamos a un punto donde nos indican que las formulas eran solo una parte de esas figuras, que
también existen ecuaciones asociadas con ellas, volvemos a preguntarnos, eso para qué sirve?,
este articulo trata de describir esas aplicaciones que tanto buscamos entender en la escuela y de
esta manera obtener esa formación integral, relacionando los contenidos temáticos con la vida
real.
Geometría Analítica.
La geometría analítica estudia las figuras geométricas por medio de un análisis
matemático que utiliza el algebra y un sistema de coordenadas cartesiano, esta parte de las
ciencias matemáticas representa la mayor cantidad de aplicaciones que podamos encontrar.
Sistema Coordenado en el Plano.
Este sistema nos enseña la relación que existe entre un punto y los números reales, por
medio de expresar una coordenada con ese punto P(x,y), puede moverse en todas direcciones,
siempre y cuando se mantengan en el plano, esto se conoce como sistema de coordenadas
cartesianas o sistema de coordenadas rectangular en honor a René Descartes "no sé nada de física
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si tan solo fuese capaz de expresar como deben de hacerse las cosas, pero fuese incapaz de
demostrar que no pueden ser de otra manera, no obstante, habiendo logrado reducir la física a las
matemáticas, la demostración es entonces posible y pienso que puedo realizarla con el reducido
alcance de mi conocimiento". (Descartes, 1596-1650), como lo menciona Jiménez R. (2006).
Lugar Geométrico.
Se le considera así a la relación existente entre la variable dependiente y la independiente,
estas dos cantidades y la forma de presentarse en una ecuación, equivalente a una grafica, esta
representa como una variable depende de otra, es a lo que se le conoce como lugar geométrico.
Secciones Cónicas.
La primera definición de sección cónica (de un cono circular recto) apareció en la
civilización Griega. Apolonio de Perge (siglo II a. C.) efectuó estudios matemáticos sobre las
secciones cónicas, de los cuales compuso el tratado sobre las curvas cónicas. Durante muchos
siglos, las cónicas no tuvieron un papel relevante en los estudios matemáticos, hasta que se
descubrió que el mundo que nos rodea está lleno de secciones cónicas.
Secciones Cónicas Degeneradas.
Se definen como la intersección de un cono circular recto de dos hojas con un plano que
pasa por el vértice, existen 3 tipos el punto, la recta y dos rectas secantes (Figura 1).
El Punto.
Es uno de los elementos fundamentales para la geometría, se considera una figura
geométrica adimensional, no tiene medida, ni superficie, ni ángulo, ni un objeto, describe la
posición de una coordenada en el plano, pueden ser colineales todos aquellos que pertenecen a
una recta ya que se encuentran alineados o coplanares aquellos que no tienen un orden y
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pertenecen a un plano. La alineación de diferentes puntos permite formar distintas figuras
geométricas planas y curvas, así como diferentes figuras en un plano.
La Recta.
La línea recta se extiende sobre un número infinito de puntos, no tiene inicio ni fin, su
característica esencial es que siempre conserva su misma dirección, es una figura geométrica
elemental, tiene dos tipos de pendiente (la pendiente se representa con la m), analizándolas de
izquierda a derecha, si la variable independiente aumenta también la dependiente lo hace, su
pendiente se considera positiva, si la variable independiente aumenta y la dependiente
disminuye, su pendiente se considera negativa. Tiene diferentes formas de representarla
algebraicamente y se utiliza cada uno de ellos según el análisis que sea necesario y son las
siguientes:
a). Forma general de la recta, 0CByAx .
b). Forma punto pendiente, 11 xxmyy .
c). Forma pendiente y ordenada al origen, bmxy .
d). Forma simétrica, 1byax .
Aplicaciones.
Se considera que la aplicación mas grande de la línea recta la podemos observar en la
construcción, la topografía, etc., donde el desarrollo del plano de la casa o el edificio, nivelar el
terreno de forma horizontal, hasta ver la casa construida, las pendientes ayudan en los techos
para que no se estanque el agua, regularmente observamos los 4 tipos de pendiente (cero, nula,
positiva y negativa) de la recta en estas construcciones. En economía se representan la oferta y la
demanda, ya que son funciones lineales, solo en el primer cuadrante pueden ser representadas de
acuerdo a sus características. En las líneas de irrigación de algunas culturas antiguas junto al rio,
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las hacían rectas con pendiente dirigidas a los campos para que se regaran solos. Las carreteras
presentan inclinación en las curvas (llamado peralte) para evitar que la inercia del automóvil
haga que salgan de ella, algunos diseños industriales para almacenamiento o automatización con
bandas, diseños de juegos recreativos, por mencionar algunas (Figura 3).
Las Dos Rectas.
Es una representación grafica de dos rectas en un plano, existen dos tipos: las rectas
paralelas y las rectas secantes (Figura 4).
Rectas Paralelas.
Se consideran así cuando las dos rectas se encuentran a la misma distancia una de la otra
en cualquier punto que recorran, deben cumplir una condición, las rectas son paralelas si y solo si
sus pendientes son iguales, 21 mm .
Rectas Secantes.
Se consideran así cuando las dos rectas se intersecan o cortan en cualquier punto en el
plano. Pueden llegar a ser rectas perpendiculares, si y solo si sus pendientes son reciprocas y de
signo contrario, su producto es igual a menos uno, 121mm .
Secciones Cónicas No Degeneradas.
Se consideran también como secciones cónicas y se definen de acuerdo a los diferentes
cortes que un plano puede realizar en el cono circular recto, sin cruzar el vértice, se pueden
formar cuatro curvas, son: la circunferencia, la parábola, la elipse y la hipérbola, (Figura 2).
La Circunferencia.
Es también uno de los elementos más importantes para la geometría. Se define como un
lugar geométrico determinado por el movimiento de un punto en el plano, siempre y cuando
permanezca a una misma distancia llamada radio, de un punto central. Se considera
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circunferencia solo a la longitud (perímetro) y circulo a los puntos que se encuentran en su
superficie (área). En el plano se consideran dos tipos de circunferencia: con centro en el origen y
con centro fuera del origen. Sus ecuaciones se basan en la importancia del Teorema de Pitágoras
(Figura 5). Las representaciones algebraicas de estas circunferencias son como se muestran a
continuación:
a). Forma general de la circunferencia, 022 FEyDxyx .
b). En el origen, 222 ryx .
c). Fuera del origen, 222
rkyhx .
Aplicaciones.
La aplicación mas grande data desde tiempos antiguos en la prehistoria, con la creación
de la rueda,. En la música con los CD's, las baterías musicales con los tambores y los platillos.
En las películas con las DVD's, Las armas también tienen circunferencias en los cañones que son
las que definen el calibre de cada una de ellas, de uso personal o militar. Para el transporte en las
llantas y los rines para diferentes tipos de vehículos: bicicletas, automóviles, camiones de
pasajeros o de carga, de trabajo. El uso en el sistema horario, los relojes y sus engranes. En
algunos deportes, las circunferencia de los balones o pelotas que se utilizan, algunas partes de
campos donde se encuentran pintadas. En la naturaleza los troncos de los arboles, los anillos que
determinan su edad, en el ser humano puede ser observado en el ojo su iris, la pupila, el
cristalino. En el sistema económico, con las monedas, la representación de estadísticos por medio
de gráficos circulares en la bolsa de valores. En la industria poleas, carretes, discos para cortes,
piezas metálicas para maquinaria, industriales y automotrices. En las lentes de las cámaras, de
un telescopio o microscopio. Algunos juegos mecánicos en las ferias. En el campo, los silos para
guardar semillas o granos. En diseños arquitectónicos o acabados de herrería. Circuitos en
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principales avenidas. Incluso en casa las podemos observar vasos, platos, botes. En fin se puede
considerar que tiene la mayor cantidad de aplicaciones (figura 6).
La Parábola.
Se define como lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de una recta
llamada directriz y un punto externo llamado foco, su forma se relaciona con la ecuación
cuadrática 2xxf y aparece en muchas ramas de las ciencias aplicadas. También debemos
aclarar que la excentricidad siempre es igual a 1, esta unicidad nos permite observar parábolas
semejantes pero a diferentes escalas, ya que al hacer un análisis de la parábola cometemos el
error de indicar que sus parámetros, son los que cambian la forma de la parábola. Las
representaciones algebraicas tiene que considerar como su eje focal tiene una relación con los
ejes coordenados y serian las siguientes:
a). Forma general de la parábola, 02 FEyDxx ó 02 FExDyy .
b). Con vértice en el origen, pxy 42 ó pyx 42 .
c). Con vértice fuera del origen, hxpky 42
ó kyphx 42
.
Aplicaciones.
Algunas de sus aplicaciones son las antenas parabólicas y los radiotelescopios como: el
radar para recibir y enviar haces de señales, faros de vehículos o lámparas de casas para
concentrar y enviar energía como haces de luz, concentradores parabólicos solares para la
concentración de energía solar y su almacenamiento. Algunas construcciones en puentes o
diseños arquitectónicos para edificios o casas. Las trayectorias ideales de cuerpos que se mueven
bajo la influencia de la gravedad como: lanzamientos de algunas pelotas, lanzamientos de
flechas, una trayectoria balística, lanzamiento de objetos. En algunos juegos mecánicos e
infantiles. Incluso se hacen diseños exclusivos de objetos por su estética, (figura 7).
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La Elipse.
Se define como el lugar geométrico de todos los puntos de un plano para los cuales se
cumple que el cociente entre sus distancias a un punto fijo que se denomina foco y a una recta
dada llamada directriz, permanece constante y es igual a la excentricidad de la misma. Presenta
una excentricidad que puede tomar valores entre cero y uno, ella indicara la forma que tendrá esa
elipse, cuando se acerca a uno la elipse será alargada, pero si se acerca a cero se asemeja a una
circunferencia. Las representaciones algebraicas tienen que considerar como su eje focal tiene
una relación con los ejes coordenados de manera paralela y donde se encuentra el vértice, son
las siguientes:
a). Forma general de la elipse, 022 FEyDxCyAx .
b). Con vértice en el origen, 12222 byax ó 1
2222 aybx .
c). Con vértice fuera del origen, 12222
bkyahx ó 12222
akybhx .
Aplicaciones.
Las propiedades de la elipse son similares a las de la parábola. Una de las primeras
aplicaciones esta en el sistema solar ya que se determino la relación que tiene con las orbitas
elípticas de los planetas con el sol con el sol que representa a su foco. En medicina un aparato
llamado litotripto para desintegrar cálculos renales por medio de ondas intra-acuáticas de
choque. Estructuras en la construcción como en capillas, galerías de los murmullos o de los
secretos, foros, que tienen formas elipsoidales en los techos para mejor transmisión del sonido.
Algunos estadios deportivos tienen forma elíptica, para atletismo, bicicletas, velocidad en el
hielo. La criptografía de curva elíptica, también utiliza esta forma. En el deporte para el
acondicionamiento físico o cardio, la bicicleta elíptica. Las aplicaciones de la elipse también se
relacionan con las de la parábola (figura 8).
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La Hipérbola.
Se define como el lugar geométrico de los puntos de un plano tales que el valor absoluto
de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es igual a la distancia entre
los vértices, la cual es una constante positiva. La excentricidad, al igual que en la elipse, es la
relación entre las distancias de foco a foco y de vértice a vértice, entonces la excentricidad en la
hipérbola siempre es mayor que la unidad, sus representaciones algebraicas son:
a). Forma general de la hipérbola, 022 EDyCxByAx .
b). Con vértice en el origen, 12222 byax ó 1
2222 aybx .
c). Con vértice fuera del origen, 12222
bkyahx ó 12222
akybhx .
Aplicaciones.
En astronomía, Las órbitas de algunos cometas son hipérbolas, estos cometas sólo se
acercan una vez al sol, que es uno de los focos de su trayectoria, después se alejarán perdiéndose
en los confines del sistema solar. Un avión que vuela a velocidad supersónica paralelamente a la
superficie de la tierra, deja una huella acústica hiperbólica sobre la superficie. La intersección de
una pared y el cono de luz que emana de una lámpara de mesa con pantalla troncocónica, es una
hipérbola. En mecánica, se usan en el diseño de estructuras hay algunas veces que los resultados
de las fuerzas sobre una viga dan en forma de hipérbola. Es bastante común verla en edificios y
construcciones arquitectónicas. Si tienes una construcción de sección cuadrada o rectangular
con un remate o cúpula cónica, la unión de ambos cuerpos produce hipérbolas. Las aplicaciones
de la hipérbola son similares a las de la parábola y la elipse, (Figura 9).
Conclusiones.
En el tiempo los secciones cónicas nunca representaron un papel relevante para las
matemáticas, pero los estudios de algunos personajes como Galileo (1564-1642) o Kepler (1571-
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1630), empezaron a demostrar las relaciones existentes de estas, en Astronomía e Ingeniería,
tanto ha sido su uso que los podemos observar casi en cualquier parte a las que volteemos,
mediante este articulo trato de que los jóvenes que están renuentes a entender como las
matemáticas están presentes en sus vidas, entiendan que las clases les sirven para prepararse y
ayudarlos a entender la forma de razonar los problemas, para con esa formación integral que
obtengan, puedan desenvolverse en cualquier campo laboral que ellos decidan desarrollar, no
porque tengan que utilizar todas las ecuaciones o graficas que tuvieron que aprender semestre
tras semestre, sino porque entendieron que sus clases tienen un valor de preparación y que sus
aplicaciones siempre las tendrán alrededor de ellos. Antes de tocar el tema de secciones conicas,
ello se les encarga a los alumnos desarrollen una actividad de tema como se menciona en el
anexo A.
Lista de Referencias.
Jiménez, R. (2006). Geometría Analítica. Chihuahua, México: Editorial Pearson.
ISBN 970-26-0709-4
Secciones Cónicas (2009, septiembre). Recuperado de
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Seccion_conica_degenerada.png
Sección Cónica, (2010). Recuperado de
http://es.wikipedia.org/wiki/Secci%C3%B3n_c%C3%B3nica
Sección Cónica Degenerada. (2013, marzo). Recuperado de
http://es.wikipedia.org/wiki/Secci%C3%B3n_c%C3%B3nica_degenerada
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Anexo A.
Actividad por Equipo: Secciones cónicas.
Para la mejor comprensión e inicio del tema de secciones cónicas, se les encarga que
desarrollen una maqueta con las siguientes características:
a). Los equipos serán conformados por 2, 3 o hasta 4 alumnos máximo, no se permite de manera
individual.
b). Debe ser hecha en una superficie de cartón duro de 40 por 40 cm.
c). Debe contener las definiciones de los 2 tipos de secciones cónicas que existen descritas
brevemente.
d). Por medio de una imagen pequeña mostrar los tipos de cortes que se pueden realizar al cono.
e). Debe contener una figura que represente alguna aplicación en el caso de la recta y las cuatro
curvas a describir.
f). La revisión se lleva a cabo por 5 alumnos de quinto semestre, seleccionados por el maestro,
con calificaciones de 5 al 10, de acuerdo con los siguientes criterios:
Criterio Calificación
Cumplieron con las especificaciones dadas para la maqueta.
Tiene secuencia y orden el acomodo en la maqueta.
Muestran todas las imágenes de los cortes del cono.
Tienen las cinco figuras que se piden agregar.
Fueron creativos en el diseño de su maqueta.