Il concetto di vincolo
Analisi cinematica dei vincoli
Strutture isostatiche, ipostatiche e
iperstatiche
Labilità
Obiettivo della lezione: comprendere il concetto di vincolo strutturale e le sue implicazioni di
carattere cinematico, saper computare il numero di gradi di libertà e di gradi di vincolo di una
struttura formata da una o più aste, definire se questa è isostatica, iperstatica o ipostatica e
analizzare alcuni semplici casi di labilità
Movimento di un punto materiale
• Descrivere il movimento di un punto materiale nello spazio, significa
assegnarne la posizione in funzione del tempo rispetto ad un sistema di
riferimento ritenuto fisso
• In un sistema cartesiano ortogonale, ciò equivale ad assegnare i valori di tre parametri, ossia le coordinate x, y, z del punto che ne definiscono la
posizione durante il movimento.
z
x
y
P (x,y,z)
Movimento di un corpo rigido
In modo analogo, per descrivere completamente
il movimento di un corpo rigido nello spazio si
dovrebbe definire, istante per istante, la
posizione di ogni suo punto rispetto al sistema di riferimento
Tuttavia, ricordando che i punti che costituiscono
il corpo rigido mantengono inalterata la distanza
relativa, tale condizione equivale di fatto ad assegnare i valori di sei parametri (nel caso di
corpo libero) che ne definiscono la posizione
durante il movimento
Ad esempio è possibile fornire le coordinate di due punti P1 e P2 del corpo (6 parametri) più
l’angolo di rotazione del corpo attorno all’asse
formato dalla congiungente i due punti (+1
parametro), e ricordando che si ha una relazione che lega la distanza tra i due punti (-1
parametro).
z
x
y
P1 (x1,y1,z1)
P2 (x2,y2,z2)
Un corpo si dice rigido quando la
distanza di due punti qualsiasi del
corpo si mantiene indefinitamente
costante nel tempo
Movimento di un corpo rigido nel piano
Per le nostre trattazioni rivestono particolare interesse i
movimenti dei corpi rigidi nel piano, che richiedono la
conoscenza di solo tre parametri di posizione.
Le coordinate necessarie a definire la posizione del corpo rigido
sono: 2 coordinate dell’origine degli assi locali rispetto agli assi
fissi; 1 parametro angolare che definisce l’orientamento degli
assi locali rispetto agli assi fissi (ad esempio l’angolo θ che forma
l’asse x con l’asse X).
Le tipologie di movimento di un corpo rigido nel piano si possono
così classificare:
1. Traslazione: il corpo si muove in modo tale che tutte le
direzioni rettilinee, individuabili sul corpo, restano parallele a
se stesse durante il moto (es. cabina di ascensore)
2. Rotazione: il corpo si muove in modo tale che un punto
denominato centro della rotazione ha spostamento nullo (es.
trottola con punto P0 fisso).
3. Rototraslazione: il corpo si muove con movimento generico,
ottenuto per sovrapposizione di traslazione e rotazione
Centro di istantanea rotazione (CIR)
Nel moto rigido piano (ovvero nel moto di un corpo
rigido su di un piano) esiste in ogni istante del moto
un punto del piano mobile (ovvero equivalentemente
un punto del corpo rigido) la cui velocità è nulla. Tale punto viene definito centro di istantanea rotazione.
Negli istanti in cui il moto ha carattere traslatorio il
CIR si trova all'infinito nella direzione normale a quella della velocità del moto traslatorio
Nel caso di ruota rotolante e non strisciante, la
rotazione infinitesima attorno al punto di contatto
ruota-piano provoca in ogni punto del corpo rigido
uno spostamento diretto lungo la normale al
segmento congiungente il CIR con i punti
considerati, con grandezza proporzionale alla
distanza dei punti dal centro stesso.
Il CIR è utilizzato anche per definire un movimento
infinitesimo virtuale (consentito dai vincoli).
Il concetto di vincolo
Nelle strutture gli spostamenti rigidi vengono impediti mediante particolari dispositivi, detti vincoli, che possono essere distinti in esterni ed interni. I vincoli esterni collegano i
tratti della struttura col sistema di riferimento assoluto (mondo esterno) mentre quelli interni collegano due o più tratti tra di loro.
Ai fini delle successive trattazioni, si assumeranno alcune ipotesi sulla natura dei vincoli che
sono considerati puntiformi, perfetti, fissi, bilateri e privi d'attrito.
• Un vincolo si dice perfetto cioè non cedevole, quando è in grado di bloccare
completamente lo spostamento a cui si oppone. La sua azione, quindi, non dipende
dall’entità̀ delle forze agenti
• Puntiforme, se privo di estensione
• Fisso se la sua posizione non dipende dal tempo
• Bilatero quando agisce in una prefissata direzione e impedisce gli spostamenti in
entrambi i versi.
L’azione che il vincolo esplica è inoltre considerata indipendente dalle forze d’attrito.
I vincoli si possono caratterizzare dal punto di vista cinematico, ovvero in relazione agli
spostamenti impediti e permessi, e da quello statico definendo le forze reattive (reazioni vincolari) con le quali vengono annullati determinati gradi di libertà.
Il concetto di vincolo
Quindi, in definitiva, un vincolo rappresenta di
fatto una condizione che limita il moto di un corpo.
Dal punto di vista cinematico, ricordiamo che nel piano, il corpo rigido ha tre gradi di libertà (GdL) ossia:
• due traslazioni secondo i due assi di
riferimento
• una rotazione intorno ad un asse ortogonale
al piano, e passante per il polo di riferimento
La classificazione cinematica dei vincoli, dipende
quindi dal fatto che essi sopprimano uno, due o
tre gradi di libertà al corpo rigido.
Noi ci occuperemo sempre di corpi rigidi nel piano (3 GdL) o di sistemi di corpi rigidi nel piano (n corpi, 3n GdL).
Simbologia
Il nostro corpo rigido di riferimento è l’asta (o trave). Essa si simboleggia con
un segmento rettilineo (caso più semplice) o di geometria più complessa e
orientato in modo opportuno.
Il vincolo tipicamente è posizionato su
una delle estremità dell’asta o su
entrambe.
Ogni vincolo ha una sua simbologia
peculiare riconosciuta a livello
internazionale
Incastro
Si schematizza il corpo considerato con
un elemento lineare (trave, asta).
Immaginiamo di «bloccare» una delle
due estremità
Il vincolo così ottenuto impedisce qualunque traslazione e la rotazione dell’asta.
Incastro
L’incastro è, quindi, un vincolo triplo
GdL = 3
GdV = 3
GdL residui = 0
Incastro: esempi pratici
Cerniera
Si schematizza il corpo considerato con
un elemento lineare (trave, asta).
Una delle due estremità è libera di
ruotare
Il vincolo così ottenuto impedisce qualunque traslazione dell’asta (ma non la rotazione).
Cerniera tra due aste
La cerniera è quindi un vincolo doppio
GdL = 3
GdV = 2
GdL residui = 1
Cerniera a terra
Cerniera: esempi pratici
Carrello (cerniera con carrello)
Questo vincolo toglie la traslazione al corpo sulla
direzione normale alla sua retta di scorrimento,
consentendo contemporaneamente:
traslazione lungo la retta di scorrimento (rotazione
attorno al punto all’infinito della normale alla retta di
scorrimento);
rotazione attorno al perno della propria cerniera.
Il vincolo così ottenuto impedisce solo la traslazione verticale dell’asta
Il carrello è quindi un vincolo semplice
GdL = 3
GdV = 1
GdL residui = 2
Carrello
Pattino e manicotto
Questi vincoli permettono la traslazione in una direzione ma non la rotazione.
Il pattino si rappresenta come in figura
con una linea parallela al piano di
scorrimento ed un'asta, che può avere
inclinazione libera, ma fissa.
Il manicotto rappresenta il caso in cui
l'inclinazione dell'asta è parallela a quella
del piano di scorrimento: si usa infatti
disegnare una semplice linea che
attraversa due superfici vicine e parallele
(la cui area è tratteggiata se
rappresentano la terra).
Entrambi i vincoli permettono la sola traslazione in una sola direzione e
bloccano sia la traslazione in direzione
ortogonale al vincolo, che la rotazione
dell'asta sul pattino o attorno al manicotto.
Il pattino è quindi un vincolo semplice
GdL = 3
GdV = 2
GdL residui = 1
Pattino
Manicotto
Vincoli su più corpi
Esistono casi in cui il vincolo esplica la sua azione su più corpi uniti tra loro
Se uniamo due aste con un vincolo rigido (incastro interno)
otteniamo un sistema che da due corpi rigidi (6 GdL) si è ridotto ad
un solo corpo rigido (3 GdL), quindi è stato introdotto un vincolo triplo.
La cerniera sopprime due
gradi di libertà
Il pattino sopprime un
grado di libertà
Il carrello sopprime un
grado di libertà
Analisi cinematica dei corpi rigidi
Parlando di singolo corpo rigido, e avendo definito i vincoli semplici che permettono il collegamento con l’esterno, l’analisi cinematica prevede i seguenti passi:
• bilancio tra GdL e GdV (verifica della isostaticità della struttura);
• valutazione eventuale labilità del corpo (spostamenti virtuali infinitesimi permessi).
Un corpo rigido o un sistema di corpi rigidi vincolati tra loro e al mondo esterno può contenere vincoli:
• in numero insufficiente a togliere ogni libertà di movimento (sistema ipostatico);
• in numero strettamente necessario all’obiettivo precedente (sistema isostatico);
• in numero sovrabbondante all’obiettivo precedente (sistema iperstatico).
Il sistema più semplice per effettuare tale valutazione è il conteggio di GdL e GdV e il
successivo confronto
In particolare potremo avere: - GdL > GdV (sistema ipostatico); - GdL = GdV (sistema isostatico); - GdL < GdV (sistema iperstatico).
Analisi cinematica dei corpi rigidi
Nei sistemi ipostatici La determinazione delle reazioni vincolari (ossia dell’effetto del vincolo in termini
di forze in conseguenza dell’applicazione di carichi esterni) e quindi la
determinazione della configurazione di equilibrio sono possibili solo per
determinate configurazioni di forze applicate.
Nei sistemi isostatici (caso di maggior interesse) L’equilibrio è garantito e si possono sempre determinare le reazioni vincolari per
qualunque sistema di forze applicate
Nei sistemi iperstatici L’equilibrio è garantito e si possono sempre determinare le reazioni vincolari per
qualunque sistema di forze applicate a patto che si considerino anche le
deformazioni della struttura e non solo le equazioni cardinali della statica. In
seguito si vedrà che la risoluzione delle strutture iperstatiche si basa su un
doppio studio: equilibrio e deformazione
Esempio 1
Esempio 1
Consideriamo il singolo corpo rigido (asta
semplice) in figura.
Effettuiamo il bilancio tra gradi di libertà e gradi di vincolo.
GdL: asta semplice = 3GdL
GdV: due carrelli = 2 • (1 vincolo) = 2GdV
3 > 2, GdL > GdV
Il sistema è ipostatico
Esempio 2
Esempio 2
3 = 3, GdL = GdV
Il sistema è isostatico
In questo caso l’asta è vincolata alle due estremità con:
Carrello (sinistra) = 1 GdV
Cerniera (destra) = 2 GdV
Effettuiamo il bilancio tra gradi di libertà e gradi di vincolo.
GdL: asta semplice = 3 GdL
GdV: 1 (carrello) + 2 (cerniera) = 3 GdV
Esempio 3
Esempio 3
3 = 3, GdL = GdV
Il sistema è isostatico
Trave incastrata ad una delle estremità. L’altro estremo è libero
Incastro = 3 GdV
Effettuiamo il bilancio tra gradi di libertà e gradi di vincolo.
GdL: asta semplice = 3 GdL
GdV: incastro = 3 GdV
Esempio 4
Esempio 4
3 < 4, GdL < GdV
Il sistema è 1 volta iperstatico
In questo caso abbiamo una trave che è vincolata ad entrambi gli estremi. A sinistra è
presente un incastro e a destra un carrello
Incastro (sinistra) = 3 GdV
Carrello (destra) = 1 GdV
Effettuiamo il bilancio tra gradi di libertà e gradi di vincolo.
GdL: asta semplice = 3 GdL
GdV: incastro + carrello = 3 +1 = 4 GdV
Esempio 5
Esempio 5
3 < 5, GdL < GdV
Il sistema è 2 volte iperstatico
In questo caso abbiamo una trave che è vincolata ad entrambi gli estremi. A sinistra è
presente un incastro e a destra una cerniera
Incastro (sinistra) = 3 GdV
Cerniera (destra) = 2 GdV
Effettuiamo il bilancio tra gradi di libertà e gradi di vincolo.
GdL: asta semplice = 3 GdL
GdV: incastro + cerniera = 3 + 2 = 5 GdV
Esempio 6
Esempio 6
3 < 6, GdL < GdV
Il sistema è 3 volte iperstatico
In questo caso abbiamo una trave che è vincolata ad entrambe le estremità con un
incastro (trave doppiamente incastrata)
Incastro (sinistra) = 3 GdV
Incastro (sinistra) = 3 GdV
Effettuiamo il bilancio tra gradi di libertà e gradi di vincolo.
GdL: asta semplice = 3 GdL
GdV: incastro + incastro = 3 + 3 = 6 GdV
Vincoli efficaci e non efficaci
La valutazione del rapporto tra gradi di libertà e gradi di vincolo di una struttura deve tenere
conto anche della reale efficacia dei vincoli. Si parla di vincolo “non efficace” o “inefficace” riferendosi ad un vincolo che, se aggiunto ad una situazione esistente, non è
in grado di alterare la stabilità della struttura
Esempio: Consideriamo il singolo corpo rigido (asta semplice) in figura.
Effettuiamo il bilancio tra gradi di libertà e gradi di vincolo.
GdL: asta semplice = 3GdL
GdV: due carrelli = 2 • (1 vincolo) = 2GdV
Il sistema è ipostatico
Aggiungiamo un terzo vincolo semplice Il bilancio ora lascerebbe pensare ad una
struttura isostatica….ma è realmente così?
Quali possibilità di movimento ha l’asta?
Sistemi complessi (o articolati)
Nella pratica costruttiva spesso si ha a che fare con sistemi cosiddetti articolati che sono costituiti da più aste collegate tra loro mediante vincoli interni ed esterni
Esempio: telaio
1
2
3
Sistemi complessi (o articolati)
Nella pratica costruttiva spesso si ha a che fare con sistemi cosiddetti articolati che sono costituiti da più aste collegate tra loro mediante vincoli interni ed esterni
Esempio 1
2
3 4
Sistemi complessi (o articolati)
I sistemi articolati sono costituiti da più aste collegate tra loro mediante vincoli
interni ed esterni
Esempio 1
2
3 4
Le aste 1 e 2, pur non essendo rettilinee, sono da
considerarsi come un unico corpo perché, presi due
punti qualsiasi, essi non possono mutare la loro
distanza
Sistemi complessi (o articolati)
GdL degli n corpi liberi (aste) = 3•n
GdL residui = n (1 rotazione per ogni asta)
GdV = 3••••n – n = 2••••n
GdL degli n corpi liberi (aste) = 3•n
GdL residui = n +1 (1 rotazione per ogni
asta + la traslazione del carrello)
GdV = 3••••n – (n+1) = 3••••n-n-1 = 2n -1
Nei sistemi articolati, il computo dei gradi di vincolo deve tenere conto delle aste
concorrenti sul vincolo e delle residue possibilità di movimento
Sistemi complessi
Il calcolo è differente a seconda che si abbia a che fare con vincoli “a terra” o vincoli “interni”
Vincoli a terra
Vincoli interni
Esempio 7
Esempio 7
9 < 10, GdL < GdV
Il sistema è iperstatico
Effettuiamo il bilancio tra gradi di libertà e gradi di vincolo.
GdL: 3 aste = 3 • 3 = 9 GdL
GdV: 2+2+2+2+2 = 10 GdV
Cerniera interna GdV = 2•n -2 = 2•2 -2 = 4-2 = 2
Cerniera a terra GdV = 2•n = 2•1 = 2
Cerniera a terra GdV = 2•n = 2•1 = 2
Cerniera interna GdV = 2•n -2 = 2•1 -2 = 4-2 = 2
Cerniera interna GdV = 2•n -2 = 2•1 -2 = 4-2 = 2
Esempio 8
Esempio 8
9 = 9, GdL = GdV
Il sistema è isostatico
Effettuiamo il bilancio tra gradi di libertà e gradi di vincolo.
GdL: 3 aste = 3 • 3 = 9 GdL
GdV: 2+4+1+2 = 9 GdV
Cerniera a terra GdV = 2
Pattino a terra GdV = 2
Cerniera interna GdV = 2•n -2 = 2•3 -2 = 6-2 = 4
Carrello a terra GdV = 1
Esempio 9
Esempio 9
9 = 9, GdL = GdV
Il sistema è isostatico
Effettuiamo il bilancio tra gradi di libertà e gradi di vincolo.
GdL: 3 aste = 3 • 3 = 9 GdL
GdV: 2+2+3+2 = 9 GdV
Pattino a terra GdV = 2
Carrello a terra GdV = 2•n -1 = 2•2 -1 = 4-1 = 3
Cerniera interna GdV = 2•n -2 = 2•2 -2 = 4-2 = 2
Cerniera interna GdV = 2•n -2 = 2•2 -2 = 4-2 = 2
Esempio 10
Esempio 10
15 = 15, GdL = GdV
Il sistema è isostatico
Effettuiamo il bilancio tra gradi di libertà e gradi di vincolo.
GdL: 5 aste = 5 • 3 = 15 GdL
GdV: 4+5+2+4 = 15 GdV
1 2
3
4
5
Cerniera a terra GdV = 2•n = 2•2 = 4
Cerniera interna GdV = 2•n -2 = 2•3 -2 = 6-2 = 4
Cerniera interna GdV = 2•n -2 = 2•2 -2 = 4-2 = 2
Carrello a terra GdV = 2•n -1 = 2•3 -1 = 6-1 = 5
Esempio 11
Esempio 11
6 > 4, GdL > GdV
Il sistema è ipostatico
Effettuiamo il bilancio tra gradi di libertà e gradi di vincolo.
GdL: 2 aste = 2 • 3 = 6 GdL
GdV: 2+2 = 4 GdV
In particolare rimangono due libertà di movimento possibili: 1. la rotazione di tutto il sistema attorno alla cerniera fissa
2. la rotazione relativa dell’asta 2 rispetto alla cerniera interna.
1
2
Cerniera interna GdV = 2•n -2 = 2•2 -2 = 4-2 = 2
Cerniera a terra GdV = 2•n = 2•1 = 2
Esempio 12
Esempio 12
Effettuiamo il bilancio tra gradi di libertà e gradi di vincolo.
GdL: 4 aste = 4 • 3 = 12 GdL
GdV: 1+1+2+2+2+2 = 10 GdV
1
2
3
4
Carrello a terra GdV = 1
Carrello a terra GdV = 1
Cerniera interna GdV = 2•n -2 = 2•2 -2 = 4-2 = 2
Cerniera interna GdV = 2•n -2 = 2•2 -2 = 4-2 = 2
Cerniera interna GdV = 2•n -2 = 2•2 -2 = 4-2 = 2
Cerniera interna GdV = 2•n -2 = 2•2 -2 = 4-2 = 2
12 > 10, GdL > GdV
Il sistema è ipostatico
Esempio 13
Esempio 13
Effettuiamo il bilancio tra gradi di libertà e gradi di vincolo.
GdL: 3 aste = 3 • 3 = 9 GdL
GdV: 2+2+2+2 = 8 GdV
1
2
3
Cerniera a terra GdV = 2
Cerniera interna GdV = 2•n -2 = 2•2 -2 = 4-2 = 2
Cerniera interna GdV = 2•n -2 = 2•2 -2 = 4-2 = 2
9 > 8, GdL > GdV
Il sistema è ipostatico
Cerniera a terra GdV = 2
Esempio 14
Esempio 14
Effettuiamo il bilancio tra gradi di libertà e gradi di vincolo.
GdL: 4 aste = 3 • 4 = 12 GdL
GdV: 3+2+2+2+1+2 = 12 GdV
12 = 12, GdL = GdV
Il sistema è isostatico
1
2
3
4
Incastro GdV = 3
Cerniera interna GdV = 2•n -2 = 2•2 -2 = 4-2 = 2
Cerniera a terra GdV = 2
Pattino interno GdV = 3•n -4 = 3•2 -4 = 6-4 = 2
Pattino interno GdV = 3•n -4 = 3•2 -4 = 6-4 = 2
Carrello interno GdV = 2•n -3 = 2•2 -3 = 4-3 = 1
Esempio 15
Esempio 15
Effettuiamo il bilancio tra gradi di libertà e gradi di vincolo.
GdL: 7 aste = 3 • 7 = 21 GdL
GdV: 4+4+4+4+6 = 22 GdV
21 < 22, GdL < GdV
Il sistema è 1 volta iperstatico
3 1
2
4 5
6 7
Cerniera a terra GdV = 2•n = 2•2 = 4
Cerniera interna GdV = 2•n -2 = 2•3 -2 = 6-2 = 4
Cerniera interna GdV = 2•n -2 = 2•3 -2 = 6-2 = 4
Cerniera interna GdV = 2•n -2 = 2•4 -2 = 8-2 = 6
Cerniera a terra GdV = 2•n = 2•2 = 4
Esempio 16
Infine va ricordato che il caso di un anello chiuso
• L’anello chiuso può essere immaginato come un’asta ripiegata su sè stessa e i cui lembi
vengono saldati tra loro
• L’asta chiusa si definisce «internamente ipervincolata» e il grado di vincolo in eccesso è
pari a 3
• I tre vincoli interni aggiuntivi possono essere rimossi (ad esempio con un taglio nella
struttura), senza modificarne l’ equilibrio.
Strutture labili
La condizione di uguaglianza tra GdL e GdV è una condizione necessaria ma non sufficiente affinchè la struttura sia in equilibrio
Infatti deve essere impedita ogni sua possibile mobilità, anche solo virtuale Negli esempi riportati nelle figure sottostanti, il numero di GdV eguaglia quello dei GdL ma
esiste la possibilità di movimenti rigidi.
Carrello a terra GdV = 1
Manicotto GdV = 2
Incastro GdV = 3
Cerniera interna GdV = 2•n -2 = 2•2 -2 = 4-2 = 2
Carrello a terra GdV = 1
GdL = GdV = 6
GdL = GdV = 3
Strutture labili
• Il caso più frequente di labilità riguarda però la possibilità di eseguire movimenti virtuali
infinitesimi consentiti dai vincoli
• Una tipica esemplificazione di questa condizione è riscontrabile nella struttura in figura
(trave con vincolo cerniera – carrello mal disposto).
• Il CIR si trova nella cerniera a terra
GdL = GdV = 3
Arco a tre cerniere
• Un caso molto frequente di struttura semplice isostatica è l’arco a tre cerniere
Cerniera interna GdV = 2•n -2 = 2•2 -2 = 4-2 = 2
Cerniera a terra GdV = 2
Cerniera a terra GdV = 2
GdL: 2 aste = 3 • 2 = 6 GdL
GdV: 2+2+2 = 6 GdV Il sistema è isostatico
Arco a tre cerniere labile
• L’asta AB può ruotare rispetto all’asta BC attorno ad un punto qualsiasi che sta sulla
retta congiungente i punti B e C
• In particolare l’asta AB può ruotare attorno al punto A, che è anche il movimento
permesso dal vincolo a terra della stessa asta.
• Si ha labilità ogniqualvolta tre articolazioni (cerniere) sono allineate
Cerniera a terra GdV = 2
Cerniera a terra GdV = 2
A C
B
Altri casi di labilità
• Nel caso precedente abbiamo visto che la labilità della struttura era causata da una
errata disposizione dei vincoli
• Tuttavia può capitare che la labilità sia originata anche da una cattiva disposizione delle aste
2
2 2
2 4
2 4
6
GdL = 24 GdV = 24
Il sistema è isostatico
Altri casi di labilità
• Nel caso precedente abbiamo visto che la labilità della struttura era causata da una
errata disposizione dei vincoli
• Tuttavia può capitare che la labilità sia originata anche da una cattiva disposizione delle
aste
Parallelogramma articolato
2
2 2
2
2 2
6 6
GdL = 24 GdV = 24
Il sistema è isostatico