III-Caos
ReferênciaPrincipal:ChaosK.Alligood,T.D.Sauer,J.A.Yorke
Springer(1997)
1-Expoentes de Lyapunov
Expoente de Lyapunov para Órbitas Periódicas
Mapa unidimensional xn+1 = f ( xn ) Órbita de periodo k (f k (x1) ʹ) = ʹf (xk ) ʹf (xk−1)... ʹf (x1) Note que (f k (xi ) ʹ) =(f k (x j) ʹ)
Em média, para cada iteração (f k (x j) ʹ) = A1 k
Distância entre dois pontos iniciais x1 e ʹx1
Após uma iteração x2 − ʹx2 = A1 k x1− ʹx1
Após k iterações xk+1− ʹxk+1 = A x1− ʹx1
Se A = ak, a seria o número de LyapunovA < 1→ aproximação entre as órbitasA > 1→ afastamento entre as órbitas
Expoente de Lyapunov para Órbitas Caóticas
[ ]
n )(xf ln ... )(xf ln )(xf ln
lim)(xh
Lln h Lyapunov de Expoente
)(xf...)(xf)(xf lim )(x L Lyapunov de Número
}...x ,x,{x ÓrbitaR em suave imensional unid mapa um f Seja :Definição
n21
n 1
n1
n21 n 1
n21
ʹ++ʹ+ʹ=
≡
ʹʹʹ=
∞→
∞→
k)(xfln ...)(xfln
)h(x k, período de órbita Para
)(xfln h , xfixo ponto Para
L número terá)(x f xmapa o
L, Lyapunov de número tiver )(x f xmapa o Se
k11
11
kn
k1n
n1n
ʹ++ʹ=
ʹ=
=
=
+
+
2- Órbitas Caóticas
nte.eventualme periódica termoo se-usa periódica, exatamente órbita uma Para
n para periódica órbita uma para converge ela se periódica amenteassintotic é ...} , x... ,{x Órbita
Definições
n1
∞→
Órbitas Caóticas
0 h positivo,for Lyapunov de expoente o -2amenteassintotic periódicafor não -1
se caótica é ...}, x...,x,{x limitada não órbitaR em suave f mapa Para : Definição
n21
>
Alligood Chaos
Exemplos de Mapas com Órbitas Caóticas
1/2 por x passe não queperiódica não órbitaqualquer para valeresultado Esse
2ln n
2ln lim
n
)(xfln lim h
1/2, xcom órbitas Para
1/2 x em odescontínu Mapa1) (mod x2 x
h de Cálculo do Exemplo
n
1 i n
n
1 ii
n
j
i1i
=
==ʹ
=
≠
=
=
∑∑=
∞→
=
∞→
+
Mapa da Tenda
periódica órbita5/45/2 4/5 2/5 4/5 3/5 10/7x
periódica órbita13/613/10 8/13 4/13 2/13 12/13 13/6x
fixo ponto0 0 1/2 3/4 3/8 16/3x
instável) (variedade (0) Ux0xlim
estável) (variedade (0) Sx0xlim 1/4 xPara
1 x 1/2 para x)- (1 21/2 x 0 para x 2
)(x T Mapa
0
0
0
0n - n
0n n 0
→→→→→→=
→→→→→→=
→→→→→=
⎪⎩
⎪⎨⎧
⊂→=
⊂→==
⎩⎨⎧
≤<
≤≤=
∞→
∞→
3- Conjugação de Mapas
Itinerários do Mapa Logístico
Órbitasdomapa logístico G, com a=4 xn+1=4xn (1−xn )
Cada intervalo assinalado contêm ospontos cuja órbita passapelasequência doseunome.
Regras (intervalo com final L )
LL → LLL, LLR (número par de R )RL → RLR, RLL (número impar de R )
(intervalo com finalR)RR → RRL, RRR (número par de R)LR → LRR, LRL (número impar de R)
Intervalo S1S2.....Sk ; S1 = L ou R
Itinerários do Mapa Logístico
Alligood et al. Chaos
Transições do Mapa Logístico
Alligood et al. Chaos
Alligood Chaos
Itinerários do Mapa da Tenda
k-k1 2 é S.......S
intervalo do larguraA iguais. intervalos todos Simetria →
Alligood Chaos
Conjugação dos Mapas da Tenda e Logístico
Pontos Fixos Conjugados
12- (3/4)f 3/4 x
instável fixo Ponto Logístico Mapa
12- (2/3)f 2/3 x
instável fixo Ponto Tenda da Mapa
>=ʹ
=
>=ʹ
=
Órbitas Periódicas Conjugadas
{ }
{ }1451-5- 1- (0.905)f (0.346)f
0.905 , 0.346 2 período com instável Órbita
Logístico Mapa
142-2 (0.8)f (0.4)f 0.8 , 0.4
2 período com instável Órbita Tenda da Mapa
>=+=ʹʹ
>==ʹʹ
C. contínuo mapa o para CG T C é, isto ,biunívocas scoordenada de mação transforumapor
osrelacionad são eles se conjugados sãoG e T mapas Os :Definição
de.estabilida mesma a com logístico mapa no {C(x)}entecorrespond órbita uma há tendada mapa no {x} órbita cada Para
=
Alligood Chaos
Conjugação entre os Mapas da Tenda e Logístico
( )
(x) T C (x) CG Portanto
xsen2
x2 cos - 12
T(x) cos - 1 ) (x) T ( C
xsenxcos 12
x cos 12
x cos - 14))C(x - (1 )C(x 4 ) C(x) (G
intervalo outro no feitoser pode mesmo o1/2 x 0 intervalo No
1 x 1/2 ) x1- 1 ( 21/2 x 0 x2
) x( Tx tendada Mapa
) x- (1 x4) x(G xlogístico Mapa
2
22
nn
nn
nnn1 n
nnn1 n
=
===
=−=
=+
==
≤≤
⎩⎨⎧
≤<
≤≤==
==
+
+
πππ
ππ
ππ
Alligood Chaos
Trajetórias Conjugadas
(x) C (x)T C (x)CCT C (x) C G poisC(x) C(x) G ,G de fixo ponto (x) C
x (x) T , T de fixo pontox
C(x) T(x) C (x) CG poisC(x) C(x)G G, de fixo ponto (x) C
x (x) T , T de fixo pontox
CCTCTC....CTCCTCG Assim,
C (x) T C (x)G (x) T C (x) CG que Note
k1-kk
kk
kk
1-n1-1-1-n
-1
===
=
→=
==
=
→=
==
=→=
periódicas órbitas para ocorre ênciacorrespond essa Portanto,
) (x) C ( )(G (x) )(T obtemos , x (x) T Para
G e T de fixos pontos dos deestabilida na ênciacorrespond uma há Portanto,
) (x) C ( G (x) T (x) C ) (x) C ( G (x) T )x (Cobtemos , x (x) T Para
(x) C ) (x) C ( G (x) T ) (x) T(Cobtemos ) (x) C (G ) (x) T ( C De
Periódicas Órbitas e Fixos Pontos dos deEstabilida
kkk ʹ=ʹ=
ʹ=ʹ→ʹʹ=ʹʹ
=
ʹʹ=ʹʹ
=
x)( C)x( CG para12 (x) C)(G12 )x()(T x,)x(T Para
instáveis são 4) (bG logístico mapa doperiódicas órbitas e fixos pontos os Todos
kkk
kkk
=>=ʹ
→>=ʹ=
=
Cálculo do Expoente de Lyapunov do Mapa Logístico (b=4)
{ }{ }
)(xC)(xC ) )C(x ( G ............ ) )C(x ( G
)(xC )(xC ) )C(x ( G
)(xC )(xC ) )C(x ( G.............
)(xC )(xC ) )C(x ( G
)(x T)(x T...)(x T obtemos)(xC ) )C(x ( G )(x T ) )(x T ( C e x)(x T Como
G mapa do conjugada caótica órbita )(x CT mapa do conjugada caótica órbita x
1 k
11k
2
11
3
22
1 k
kk
12k
iiii1 ii
i
i
+
+
+
ʹ
ʹʹʹ=
=ʹ
ʹʹ
ʹ
ʹʹ
ʹ
ʹʹ=
=ʹʹʹ
ʹʹ=ʹʹ=
ln ʹT (xk )........ ʹT (x1) = ln ʹT (xi )i =1
k
∑
= ln ʹC (x1) − ln ʹC (xk + 1) + ln ʹG (xi )i =1
k
∑ →
limk→∞
ln ʹT (xi )i =1
k
∑
k= lim
k→∞
ln ʹG (xi )i =1
k
∑
k⇒ h ( mapa T) = h ( mapa G )
Portanto, o mapa logístico G (b = 4) tem órbitas caóticas
Alligood Chaos
Itinerários do Mapa da Tenda
k-k1 2 é S.......S
intervalo do larguraA iguais. intervalos todos Simetria →
Itinerários do Mapa Logístico
Alligood et al. Chaos
Larguras dos intervalos são desiguais
1 k 12
x
x
x
x
x
x
x
x21
21
22)xx(dx
2dx) x(sen
2
dx dxdCdx)(x C])(x C ,)(x C[
conjugado intervalo um de largura G, Mapa
2] x,x[ intervalo um de largura T, Mapa
2
1
2
1
2
1
2
1
+
−
=−
=≤=
==ʹ=
=
∫∫
∫∫
ππππ
π
k
Alligood Chaos
4- Bacias de Atração
Alligood Chaos
I em fixo ponto um possue f I (I) f que tal b] [a, I intervalo
reais dos linha na contínuo mapa f:fixo ponto do Teorema
⇒
⊇=
Existência de Órbitas Periódicas
Alligood Chaos
b (c) f c] (b, em x x, (x) f b e b (b) f se 2)
b (a) f b) [a, em x b, (x) f x e b (b) f se 1)
R em contínuo mapa f: Teorema
k
k
1
→⇒
∀<<=
→⇒
∀<<=
Existência de Bacia de Atração de Pontos Fixos Atratores
reais números dos conjunto :fixo ponto desse Baciafixo ponto 0 x
1a xa)(x f,R em Mapa :Exemplo
0 )p(f - )x(flim que talx
pontos de conjunto o é p de atração de baciaA atrativo. fixo ponto p,R em mapa f :Definição
Atração de Bacia
n1 n
kk
k
n
=
<=
→
+
∞→
!!!
!!
Alligood Chaos
Bacias de Atração
Bacia do ponto fixo x = 1, x > 0 Bacia do ponto fixo x = -1, x<0
Pontos fixos x = 0 repulsor x = 1, x = -1 atratores
Alligood Chaos
Bacia de Atração
∞→
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≤≤≥
=
r Atrator
) (1,
0) (1,atrator 0) (0,
:fixos Pontos
2 00r ) sen - ,r ( ) r, ( f 2
π
πθ
θθθ
Mapa Logístico0 < a < 1 → x = 0 é atrator; bacia: [0, 1]
1 < a < 3 →x = 0 é repulsor
x = a - 1a
é atrator; bacia: [0, 1]
⎧
⎨⎪
⎩⎪
3<a →x = 0 repulsor
x = a - 1a
repulsor
⎧
⎨⎪
⎩⎪
Diagrama de Bifurcação
Alligood et al. Chaos
MudançadeVariáveisparaoMapalogísLco
Alligood Chaos
Alligood Chaos
Alligood Chaos