Hydrauliczne podstawy obliczania przepustowości
koryt rzecznych
Akademia Rolnicza w KrakowieAkademia Rolnicza w KrakowieKatedra Inżynierii WodnejKatedra Inżynierii Wodnej
Schemat do wyprowadzenia równania jednostajnego ruchu cieczy w korycie
Akademia Rolnicza w KrakowieAkademia Rolnicza w KrakowieKatedra Inżynierii WodnejKatedra Inżynierii Wodnej
Składowa ciężaru wody w kierunku przepływu
Akademia Rolnicza w KrakowieAkademia Rolnicza w KrakowieKatedra Inżynierii WodnejKatedra Inżynierii Wodnej
gALJgALFG sinsin
- gęstość wody,A - pole całego przekroju strumienia,g - przyśpieszenie ziemskie,J - spadek hydrauliczny (spadek linii energii)
w ruchu jednostajnym dla małych wartości : sin tg = J
Wartość naprężeń stycznych uśredniona wzdłuż obwodu zwilżonego
Akademia Rolnicza w KrakowieAkademia Rolnicza w KrakowieKatedra Inżynierii WodnejKatedra Inżynierii Wodnej
gRJJO
Ag
R jest promieniem hydraulicznym przekroju poprzecznego koryta wyrażonym zależnością:
O
AR
Chezy powiązał naprężenia styczne na obwodzie zwilżonym przekroju koryta ze średnią prędkością
przepływu wody w przekroju
Akademia Rolnicza w KrakowieAkademia Rolnicza w KrakowieKatedra Inżynierii WodnejKatedra Inżynierii Wodnej
- ciężar objętościowy wody ( = g),v - średnia prędkość przepływu wody w przekroju,C - współczynnik prędkości wprowadzony przez Chezy'ego
dla scharakteryzowania oporów przepływu w korycie.
2
2
C
Średnia prędkość przepływu wody w korycie
Akademia Rolnicza w KrakowieAkademia Rolnicza w KrakowieKatedra Inżynierii WodnejKatedra Inżynierii Wodnej
Wpływ chropowatości ścian i dna koryta na średnią prędkość przepływu scharakteryzował Chezy współczynnikiem prędkości C. Kształt przekroju poprzecznego koryta we wzorze uwzględnia promień hydrauliczny przekroju.
RJCv
Gauckler, Manning i Strickler podali empiryczne zależności do obliczania średniej prędkości
przepływu
Akademia Rolnicza w KrakowieAkademia Rolnicza w KrakowieKatedra Inżynierii WodnejKatedra Inżynierii Wodnej
kst - współczynnik szorstkości powierzchni dna i ścian koryta wprowadzony przez Stricklera dla scharakteryzowania oporów przepływu w korycie,
n - współczynnik szorstkości powierzchni dna i ścian koryta wprowadzony przez Manninga dla scharakteryzowania oporów przepływu w korycie.
2/13/2 JRkv st 2/13/21JR
nv
Porównanie wzoru Chezy na średnią prędkość przepływu w korycie ze wzorami podanymi przez Gaucklera, Manninga i Stricklera pozwala podać
zależności pomiędzy współczynnikami
Akademia Rolnicza w KrakowieAkademia Rolnicza w KrakowieKatedra Inżynierii WodnejKatedra Inżynierii Wodnej
6/11R
nC
6/1RkC stn
kst1
Wzory te są powszechnie stosowane w hydraulice rzecznej. Wartości współczynników szorstkości wyznaczane na podstawie tych wzorów są zależne od wartości promienia hydraulicznego przekroju
Współczynnik szorstkości n
min średni max A. Koryto umocnione Betonowe dno wygładzone kielnią i ściany wykonane z: - ciosanego kamienia na zaprawie - nieciosanego kamienia na zaprawie - wyprawionego muru z kamienia łamanego na zaprawie - kamienia łamanego bez zaprawy lub kamiennego narzutu Żwirowe dno i ściany wykonane z: - betonu - nieciosanego kamienia na zaprawie
0.015 0.017 0.016 0.020
0.017 0.020
0.017 0.020 0.016 0.030
0.020 0.023
0.020 0.024 0.024 0.035
0.025 0.026
B. Koryto ziemne nie umocnione Koryto ziemne o stałym przekroju - czyste bezpośrednio po wykonaniu - czyste zwietrzałe - czyste, łożysko kanału żwirowe - w korycie nieliczna roślinność Koryto ziemne o zmiennym przekroju - bez roślinności - porosłe trawą - z gęstą trawą i wodorostami - o dnie ziemnym i ścianami z kamienia łamanego - o dnie ziemnym, skarpy porośnięte wodorostami - o brukowanym dnie i czystych skarpach Koryto wykonane za pomocą koparki zbierakowej lub pogłębiarki - bez roślinności - z niewielką roślinnością przy brzegach Koryto wykute w skale - o gładkich ścianach i stałym przekroju - o nierównych ścianach Koryta zaniedbane (nie oczyszczone z trawy i krzaków) - gęsta roślinność wysokości równej głębokości cieku - czyste dno, zarośla przy brzegach - czyste dno, zarośla przy brzegach w przypadku wysokiego poziomu wody - gęsta wiklina przy brzegach, wysoki poziom wody
0.016 0.018 0.022 0.022
0.023 0.025 0.030 0.028 0.025 0.030
0.025 0.035
0.025 0.035
0.050 0.040
0.045 0.080
0.018 0.022 0.025 0.027
0.025 0.030 0.035 0.030 0.035 0.040
0.028 0.050
0.035 0.040
0.080 0.050
0.070 0.100
0.020 0.025 0.030 0.033
0.030 0.030 0.040 0.035 0.040 0.050
0.033 0.060
0.040 0.050
0.120 0.080
0.110 0.140
C. Naturalne cieki wodne Małe cieki (w czasie wielkiej wody szerokość mniejsza od 30 m) • cieki nizinne - czyste, proste, bez mielizn i dołów - j.w., lecz z dużymi, kamieniami i roślinnością - czyste, kręte z łachami i dołami - j.w., lecz z kamieniami i roślinnością - j.w., przy niskich stanach wody, nieznacznych spadkach i małych przekrojach poprzecznych - czyste, kręte, z łachami i dołami, z dużą ilością kamieni - z odcinkami o małej prędkości przepływu z zaroślami i głębokimi dołami - odcinki całkowicie zarośnięte z głębokimi dołami lub z wikliną i pniami zwalonych drzew • potoki górskie bez roślinności w korycie, brzegi kręte, drzewa i
0.025 0.030 0.033 0.035
0.040 0.045
0.050
0.075
0.030 0.035 0.040 0.045
0.048 0.050
0.070
0.100
0.033 0.040 0.045 0.050
0.055 0.060
0.080
0.150
Współczynniki szorstkości koryt n do wzoru Manninga wg Ven Te Chow
Akademia Rolnicza w KrakowieAkademia Rolnicza w KrakowieKatedra Inżynierii WodnejKatedra Inżynierii Wodnej
W praktyce dobór współczynnika szorstkości w zgodzie z tzw. „dobrą praktyką inżynierską”.
Prędkość dynamiczna
Akademia Rolnicza w KrakowieAkademia Rolnicza w KrakowieKatedra Inżynierii WodnejKatedra Inżynierii Wodnej
Zależności stosowane do obliczania współczynnika prędkości C dzieli się na dwie grupy:- empiryczne, z których korzysta się rzadko,- oparte na teorii warstwy przyściennej.Zastosowanie teorii warstwy przyściennej do określenia współczynnika oporów sprowadza się do wykorzystania powiązania współczynnika oporów przepływu z prędkością średnią i prędkością dynamiczną v
vv8*
Prandtl podał związek pomiędzy prędkością dynamiczną i naprężeniami stycznymi na obwodzie
zwilżonym przekroju koryta
Akademia Rolnicza w KrakowieAkademia Rolnicza w KrakowieKatedra Inżynierii WodnejKatedra Inżynierii Wodnej
Wyznaczając z zależności iloraz:
*v
/1
*8
1
v
v
Prandtl podał związek pomiędzy prędkością dynamiczną i naprężeniami stycznymi na obwodzie
zwilżonym przekroju koryta
Akademia Rolnicza w KrakowieAkademia Rolnicza w KrakowieKatedra Inżynierii WodnejKatedra Inżynierii Wodnej
i wyrażając średnią prędkość jako: AdAvv i /
otrzymano: dAvAv
i
*8
11
vi - prędkość w strudze o polu powierzchni dA,v - średnia prędkość w przekroju obliczana z zależności v = Q/A.
Natężenie przepływu wody w korycie
Akademia Rolnicza w KrakowieAkademia Rolnicza w KrakowieKatedra Inżynierii WodnejKatedra Inżynierii Wodnej
dAvQ i
Naprężenia w przepływach turbulentnych według Boussinesqa
Akademia Rolnicza w KrakowieAkademia Rolnicza w KrakowieKatedra Inżynierii WodnejKatedra Inżynierii Wodnej
dz
zdvzKz
K(z) - współczynnik lepkości/dyfuzji turbulentnej,v(z) - prędkość w punkcie na głębokości z.
Współczynnik lepkości turbulentnej - według koncepcji Prandtla o tzw. drodze mieszania
Akademia Rolnicza w KrakowieAkademia Rolnicza w KrakowieKatedra Inżynierii WodnejKatedra Inżynierii Wodnej
l - długość drogi mieszania obliczana z zależności: l = z - stała Karmana.
Współczynnik lepkości turbulentnej K(z) nie jest wartością stałą i zmienia się wraz z odległością od dna koryta, poszukiwano w teorii turbulencji związku, który wystarczająco dokładnie opisywałby jego zmienność wraz z głębokością.
dz
zdvlzK 2
Naprężenia w przepływach turbulentnych
Akademia Rolnicza w KrakowieAkademia Rolnicza w KrakowieKatedra Inżynierii WodnejKatedra Inżynierii Wodnej
a po przekształceniach:
Ponieważ K(z) » v, gdzie v jest kinematycznym współczynnikiem lepkości, zatem pomijając opory przepływu spowodowane lepkością otrzymuje się następujące wyrażenie na naprężenia w ruchu turbulentnym:
dz
zdv
dz
zdvzkz 22
dz
zdvkzv *
Logarytmiczny rozkład prędkości
Akademia Rolnicza w KrakowieAkademia Rolnicza w KrakowieKatedra Inżynierii WodnejKatedra Inżynierii Wodnej
Zależność opisująca zmiany prędkości na głębokości
Akademia Rolnicza w KrakowieAkademia Rolnicza w KrakowieKatedra Inżynierii WodnejKatedra Inżynierii Wodnej
kz
v
dz
zdv *
scałkowanie w granicach od z=o do z prowadzi do zależności:
0*
ln1
z
z
kv
zv
Równanie to nazwano prawem logarytmicznego rozkładu prędkości na głębokości szerokiego koryta.
Zależność opisująca zmiany prędkości na głębokości
Akademia Rolnicza w KrakowieAkademia Rolnicza w KrakowieKatedra Inżynierii WodnejKatedra Inżynierii Wodnej
Colebrook i White podali formułę interpolacyjną pozwalającą obliczyć wartość stosunku v(z)/v* dla zadanej głębokości przy założeniu v(zo) = 0 oraz zo = k:
skCv
zvCz 2
*10
ks - bezwzględna chropowatość powierzchni koryta,C1, C2 - stałe charakteryzujące warunki przepływu
odpowiednio w przewodzie hydraulicznie gładkim C1 i szorstkim C2, wyznaczane eksperymentalnie.
Współczynnik oporów liniowych
Akademia Rolnicza w KrakowieAkademia Rolnicza w KrakowieKatedra Inżynierii WodnejKatedra Inżynierii Wodnej
Colebrook i White, wykorzystując przedstawione wcześniej formuły, scałkowali równanie dla turbulentnego przepływu pod ciśnieniem w przewodzie kołowym o średnicy d:
111,0
/
Re
535,2log
8
10ln1 21 dkCC
k
Współczynnik oporów liniowych
Akademia Rolnicza w KrakowieAkademia Rolnicza w KrakowieKatedra Inżynierii WodnejKatedra Inżynierii Wodnej
W badaniach laboratoryjnych wyznaczano wartości stałych K=0.407, C1=0.099 i C2=0.030. Podstawienie tych wartości prowadzi do równania znanego w literaturze pod nazwą wzoru Colebrooka-White'a:
71,3
/
Re
51,2log2
1 dk
gdzie Re jest liczbą Reynoldsa
v
vdRe
Współczynnik oporów liniowych
Akademia Rolnicza w KrakowieAkademia Rolnicza w KrakowieKatedra Inżynierii WodnejKatedra Inżynierii Wodnej
Równanie to można uogólnić dla zwartego kształtu przekroju poprzecznego koryta otwartego. Po wprowadzeniu zależności d = 4R przyjmuje ono postać:
Wartość liczby Reynoldsa strumienia w przekroju koryta obliczana jest więc z zależności:
84,14
/
Re
51,2log2
1 Rk s
v
Rv4Re
Współczynnik oporów liniowych
Akademia Rolnicza w KrakowieAkademia Rolnicza w KrakowieKatedra Inżynierii WodnejKatedra Inżynierii Wodnej
Współczynnik oporów w ruchu jednostajnym w korycie jest uzależniony od liczby Reynoldsa i chropowatości względnej dna i ścian koryta.
R
k sRe,
Współczynnik oporów liniowych
Akademia Rolnicza w KrakowieAkademia Rolnicza w KrakowieKatedra Inżynierii WodnejKatedra Inżynierii Wodnej
Stwierdzenie to stanowiło podstawę nomogramu Moody. Współczynnik oporów dla ustalonego jednostajnego i laminarnego przepływu przy liczbach Reynoldsa Re < 500 wyrażany jest zależnością:
Re
64
Współczynnik oporów liniowych
Akademia Rolnicza w KrakowieAkademia Rolnicza w KrakowieKatedra Inżynierii WodnejKatedra Inżynierii Wodnej
Podawano sugestie dotyczące wartości współczynników liczbowych we wzorze Colebrooka-White'a:
RK
kKK s
2
31
Re4log
1
Współczynnik oporów liniowych
Akademia Rolnicza w KrakowieAkademia Rolnicza w KrakowieKatedra Inżynierii WodnejKatedra Inżynierii Wodnej
Współczynniki do wzoru Colebrooka-White'a wg Ben Chie Yen 2002
Przekrój koryta
Autor
K1
K2
K3
Uwagi
kołowy
Collebrook-White (1939)
2.0
14.83
2.52
szeroki
prostokątny
Keulegan (1938)
2.03
11.09
3.41
szeroki
prostokątny
Rouse (1946)
2.03
10.95
1.70
szeroki
prostokątny
Thijsse (1949)
2.03
12.2
3.033
szeroki
prostokątny
Sayre i Albertson (1961)
2.14
8.888
7.17
szeroki
prostokątny
Henderson(1966)
2.0
12.0
2.5
szeroki
prostokątny
Graf(1971)
2.0
12.9
2.77
szeroki
prostokątny
Reinus (1961)
2.0
12.4
3.4
prostokątny
Reinus (1961)
2.0
14.4
2.9
b/h = 4 prostokątny
Reinus (1961)
2.0
14.8
2.8
b/h = 2 prostokątny
Zegżda (1938)
2.0
11.55
0
piasek zwięzły
Współczynnik oporów liniowych
Akademia Rolnicza w KrakowieAkademia Rolnicza w KrakowieKatedra Inżynierii WodnejKatedra Inżynierii Wodnej
Ponieważ zwykle wartości liczby Reynoldsa obliczane dla przepływu w korytach są większe od 25000, więc można stosować uproszczoną formę wzoru :
71,3
/log2
1 dk s
2
84,14log2
R
k s
Naprężenia styczne w przekroju koryta o stałej chropowatości
Akademia Rolnicza w KrakowieAkademia Rolnicza w KrakowieKatedra Inżynierii WodnejKatedra Inżynierii Wodnej
2
8v
Średnia prędkość przepływu nazywana równaniem Darcy - Weisbacha
gRJ
v8
Związek pomiędzy współczynnikiem prędkości Chezy i bezwymiarowym współczynnikiem oporu
Akademia Rolnicza w KrakowieAkademia Rolnicza w KrakowieKatedra Inżynierii WodnejKatedra Inżynierii Wodnej
3/1
8
R
gC
związki pomiędzy pozostałymi współczynnikami szorstkości:
3/1
81
R
g
nk st
Zależność chropowatości bezwzględnej od średnicy charakterystycznej materiału
Akademia Rolnicza w KrakowieAkademia Rolnicza w KrakowieKatedra Inżynierii WodnejKatedra Inżynierii Wodnej
Taylor i Brooks - ks = d50
Einstein - ks = d65
Engelund i Hansen - ks = 2 d65
Hey - ks = 3.5 d84
Garbrecht - ks = d90
Kamphuis - ks = 2 d90
Van Rijn - ks = 3 d90
Chropowatość bezwzględna narzutu kamiennego
Akademia Rolnicza w KrakowieAkademia Rolnicza w KrakowieKatedra Inżynierii WodnejKatedra Inżynierii Wodnej
Kobus - ks = 2 d50
Thompson i Campbell - ks = 4.5 d50
Kamphuis - ks = 2 d90
Przytoczone zależności posiadają według Ritterbacha następujące wady:- pomiary, na podstawie których ustalono te związki, najczęściej nie uwzględniały wpływu kształtu ziaren,- średnice miarodajne ziaren piasku określano na podstawie analizy sitowej, a w przypadku występowania narzutu kamiennego lub kamieni, ich średnice określano na podstawie pomiarów bezpośrednich.
Akademia Rolnicza w KrakowieAkademia Rolnicza w KrakowieKatedra Inżynierii WodnejKatedra Inżynierii Wodnej
W przypadku chropowatości wywołanej formami dennymi Heinzelmann i Hofer zalecają przyjmować jako wartości chropowatości bezwzględnej wysokość form dennych, tzn. ks = hd (gdzie hd jest wysokością formy dennej).
Ograniczenia stosowalności metody
Hydrauliczne podstawy obliczania przepustowości
koryt rzecznych
Akademia Rolnicza w KrakowieAkademia Rolnicza w KrakowieKatedra Inżynierii WodnejKatedra Inżynierii Wodnej
c.d.n.