Graf CayleyDafar Pustaka
GRAF CAYLEY
Sigit PancahayaniNo Ujian: 3010-3-34730-8
Surabaya, 23 Desember 2013
Tes Calon Pegawai Negeri Sipil-DosenJurusan Matematika
Institut Teknologi Sepuluh Nopember
Sigit Pancahayani, 3010-3-34730-8 Micro Teaching
Graf CayleyDafar Pustaka
Graf dan Graf BerarahGraf Cayley
Graf
Definisi Graf:Diestel (2005) mendefinisikan graf G sebagai pasanganhimpunan (V ,E), dimana V adalah himpunan titik danhimpunan sisi E ⊆ [V ]2; artinya elemen dari E merupakansubhimpunan dari V yang berbentuk 2-elemen.
Dari definisi tersebut, maka bisa dipastikan bahwa grafyang terbentuk merupakan graf sederhana, yaitu graf yangtidak memuat loop maupun sisi ganda yangmenghubungkan dua titik yang sama.Misalkan V = {1,2,3,4}, maka[V ]2 = {(1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4)}. Misalkanpula E = {(1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4)} ⊆ [V ]2. GrafG = (V ,E) ditunjukkan oleh Gambar 1
Sigit Pancahayani, 3010-3-34730-8 Micro Teaching
Graf CayleyDafar Pustaka
Graf dan Graf BerarahGraf Cayley
Graf
Definisi Graf:Diestel (2005) mendefinisikan graf G sebagai pasanganhimpunan (V ,E), dimana V adalah himpunan titik danhimpunan sisi E ⊆ [V ]2; artinya elemen dari E merupakansubhimpunan dari V yang berbentuk 2-elemen.Dari definisi tersebut, maka bisa dipastikan bahwa grafyang terbentuk merupakan graf sederhana, yaitu graf yangtidak memuat loop maupun sisi ganda yangmenghubungkan dua titik yang sama.
Misalkan V = {1,2,3,4}, maka[V ]2 = {(1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4)}. Misalkanpula E = {(1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4)} ⊆ [V ]2. GrafG = (V ,E) ditunjukkan oleh Gambar 1
Sigit Pancahayani, 3010-3-34730-8 Micro Teaching
Graf CayleyDafar Pustaka
Graf dan Graf BerarahGraf Cayley
Graf
Definisi Graf:Diestel (2005) mendefinisikan graf G sebagai pasanganhimpunan (V ,E), dimana V adalah himpunan titik danhimpunan sisi E ⊆ [V ]2; artinya elemen dari E merupakansubhimpunan dari V yang berbentuk 2-elemen.Dari definisi tersebut, maka bisa dipastikan bahwa grafyang terbentuk merupakan graf sederhana, yaitu graf yangtidak memuat loop maupun sisi ganda yangmenghubungkan dua titik yang sama.Misalkan V = {1,2,3,4}, maka[V ]2 = {(1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4)}. Misalkanpula E = {(1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4)} ⊆ [V ]2. GrafG = (V ,E) ditunjukkan oleh Gambar 1
Sigit Pancahayani, 3010-3-34730-8 Micro Teaching
Graf CayleyDafar Pustaka
Graf dan Graf BerarahGraf Cayley
Figure: Graf G = (V ,E)
Sigit Pancahayani, 3010-3-34730-8 Micro Teaching
Graf CayleyDafar Pustaka
Graf dan Graf BerarahGraf Cayley
Graf Berarah
Definisi Graf Berarah:Diestel (2005) juga mendefinisikan graf berarah D sebagaipasangan himpunan (V ,A), dimana V adalah himpunantitik dan himpunan sisi berarah A ⊆ [V ]2; artinya elemendari A merupakan subhimpunan dari V yang berbentuk2-elemen.
Dalam D terdapat dua buah pemetaan init : A→ V danter : A→ V . Keduanya merupakan pemetaan yangmenghasilkan titik awal init(a) dan titik akhir ter(a) bagisetiap sisi berarah a ∈ A.Graf berarah D sering disebut sebagai digraf.Berdasarkan definisi yang diberikan, maka digraf Dmerupakan digraf sederhana, yaitu digraf yang tidakmemuat loop maupun sisi berarah ganda yangmenghubungkan dua titik yang sama.
Sigit Pancahayani, 3010-3-34730-8 Micro Teaching
Graf CayleyDafar Pustaka
Graf dan Graf BerarahGraf Cayley
Graf Berarah
Definisi Graf Berarah:Diestel (2005) juga mendefinisikan graf berarah D sebagaipasangan himpunan (V ,A), dimana V adalah himpunantitik dan himpunan sisi berarah A ⊆ [V ]2; artinya elemendari A merupakan subhimpunan dari V yang berbentuk2-elemen.Dalam D terdapat dua buah pemetaan init : A→ V danter : A→ V . Keduanya merupakan pemetaan yangmenghasilkan titik awal init(a) dan titik akhir ter(a) bagisetiap sisi berarah a ∈ A.
Graf berarah D sering disebut sebagai digraf.Berdasarkan definisi yang diberikan, maka digraf Dmerupakan digraf sederhana, yaitu digraf yang tidakmemuat loop maupun sisi berarah ganda yangmenghubungkan dua titik yang sama.
Sigit Pancahayani, 3010-3-34730-8 Micro Teaching
Graf CayleyDafar Pustaka
Graf dan Graf BerarahGraf Cayley
Graf Berarah
Definisi Graf Berarah:Diestel (2005) juga mendefinisikan graf berarah D sebagaipasangan himpunan (V ,A), dimana V adalah himpunantitik dan himpunan sisi berarah A ⊆ [V ]2; artinya elemendari A merupakan subhimpunan dari V yang berbentuk2-elemen.Dalam D terdapat dua buah pemetaan init : A→ V danter : A→ V . Keduanya merupakan pemetaan yangmenghasilkan titik awal init(a) dan titik akhir ter(a) bagisetiap sisi berarah a ∈ A.Graf berarah D sering disebut sebagai digraf.
Berdasarkan definisi yang diberikan, maka digraf Dmerupakan digraf sederhana, yaitu digraf yang tidakmemuat loop maupun sisi berarah ganda yangmenghubungkan dua titik yang sama.
Sigit Pancahayani, 3010-3-34730-8 Micro Teaching
Graf CayleyDafar Pustaka
Graf dan Graf BerarahGraf Cayley
Graf Berarah
Definisi Graf Berarah:Diestel (2005) juga mendefinisikan graf berarah D sebagaipasangan himpunan (V ,A), dimana V adalah himpunantitik dan himpunan sisi berarah A ⊆ [V ]2; artinya elemendari A merupakan subhimpunan dari V yang berbentuk2-elemen.Dalam D terdapat dua buah pemetaan init : A→ V danter : A→ V . Keduanya merupakan pemetaan yangmenghasilkan titik awal init(a) dan titik akhir ter(a) bagisetiap sisi berarah a ∈ A.Graf berarah D sering disebut sebagai digraf.Berdasarkan definisi yang diberikan, maka digraf Dmerupakan digraf sederhana, yaitu digraf yang tidakmemuat loop maupun sisi berarah ganda yangmenghubungkan dua titik yang sama.
Sigit Pancahayani, 3010-3-34730-8 Micro Teaching
Graf CayleyDafar Pustaka
Graf dan Graf BerarahGraf Cayley
ContohMisalkan V = {1,2,3,4}, maka[V ]2 = {(1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4)}. Misalkan pulaE = {(1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4)} ⊆ [V ]2. Graf G = (V ,E)ditunjukkan oleh Gambar 2
Figure: Digraf D = (V ,A)
Sigit Pancahayani, 3010-3-34730-8 Micro Teaching
Graf CayleyDafar Pustaka
Graf dan Graf BerarahGraf Cayley
Pendahuluan Graf Cayley
Biggs (1974) menjelaskan bahwa definisi graf Cayleypertama kali diperkenalkan oleh Arthur Cayley pada tahun1878 untuk menggambarkan graf dari sebuah grup yangdibangkitkan oleh sebuah generator.
Misalkan Γ adalah grup berhingga dengan e sebagaielemen identitasnya.Misalkan pula S adalah suatu subhimpunan dari Γ dengansyarat e /∈ S dan jika s ∈ S maka s−1 ∈ S.Elemen dari S disebut generator Γ dan S adalah himpunangenerator, jika setiap elemen dari Γ dapat dituliskansebagai perkalian berhingga dari generator-generator di S.Dalam hal ini, kita katakan bahwa Γ dibangkitkan oleh S.
Sigit Pancahayani, 3010-3-34730-8 Micro Teaching
Graf CayleyDafar Pustaka
Graf dan Graf BerarahGraf Cayley
Pendahuluan Graf Cayley
Biggs (1974) menjelaskan bahwa definisi graf Cayleypertama kali diperkenalkan oleh Arthur Cayley pada tahun1878 untuk menggambarkan graf dari sebuah grup yangdibangkitkan oleh sebuah generator.Misalkan Γ adalah grup berhingga dengan e sebagaielemen identitasnya.
Misalkan pula S adalah suatu subhimpunan dari Γ dengansyarat e /∈ S dan jika s ∈ S maka s−1 ∈ S.Elemen dari S disebut generator Γ dan S adalah himpunangenerator, jika setiap elemen dari Γ dapat dituliskansebagai perkalian berhingga dari generator-generator di S.Dalam hal ini, kita katakan bahwa Γ dibangkitkan oleh S.
Sigit Pancahayani, 3010-3-34730-8 Micro Teaching
Graf CayleyDafar Pustaka
Graf dan Graf BerarahGraf Cayley
Pendahuluan Graf Cayley
Biggs (1974) menjelaskan bahwa definisi graf Cayleypertama kali diperkenalkan oleh Arthur Cayley pada tahun1878 untuk menggambarkan graf dari sebuah grup yangdibangkitkan oleh sebuah generator.Misalkan Γ adalah grup berhingga dengan e sebagaielemen identitasnya.Misalkan pula S adalah suatu subhimpunan dari Γ dengansyarat e /∈ S dan jika s ∈ S maka s−1 ∈ S.
Elemen dari S disebut generator Γ dan S adalah himpunangenerator, jika setiap elemen dari Γ dapat dituliskansebagai perkalian berhingga dari generator-generator di S.Dalam hal ini, kita katakan bahwa Γ dibangkitkan oleh S.
Sigit Pancahayani, 3010-3-34730-8 Micro Teaching
Graf CayleyDafar Pustaka
Graf dan Graf BerarahGraf Cayley
Pendahuluan Graf Cayley
Biggs (1974) menjelaskan bahwa definisi graf Cayleypertama kali diperkenalkan oleh Arthur Cayley pada tahun1878 untuk menggambarkan graf dari sebuah grup yangdibangkitkan oleh sebuah generator.Misalkan Γ adalah grup berhingga dengan e sebagaielemen identitasnya.Misalkan pula S adalah suatu subhimpunan dari Γ dengansyarat e /∈ S dan jika s ∈ S maka s−1 ∈ S.Elemen dari S disebut generator Γ dan S adalah himpunangenerator, jika setiap elemen dari Γ dapat dituliskansebagai perkalian berhingga dari generator-generator di S.
Dalam hal ini, kita katakan bahwa Γ dibangkitkan oleh S.
Sigit Pancahayani, 3010-3-34730-8 Micro Teaching
Graf CayleyDafar Pustaka
Graf dan Graf BerarahGraf Cayley
Pendahuluan Graf Cayley
Biggs (1974) menjelaskan bahwa definisi graf Cayleypertama kali diperkenalkan oleh Arthur Cayley pada tahun1878 untuk menggambarkan graf dari sebuah grup yangdibangkitkan oleh sebuah generator.Misalkan Γ adalah grup berhingga dengan e sebagaielemen identitasnya.Misalkan pula S adalah suatu subhimpunan dari Γ dengansyarat e /∈ S dan jika s ∈ S maka s−1 ∈ S.Elemen dari S disebut generator Γ dan S adalah himpunangenerator, jika setiap elemen dari Γ dapat dituliskansebagai perkalian berhingga dari generator-generator di S.Dalam hal ini, kita katakan bahwa Γ dibangkitkan oleh S.
Sigit Pancahayani, 3010-3-34730-8 Micro Teaching
Graf CayleyDafar Pustaka
Graf dan Graf BerarahGraf Cayley
Definisi Graf Cayley (Tak Berarah)
Graf Cayley G = Cay(Γ,S) = (V ,E) adalah graf yangdibentuk dari sebuah grup Γ dengan himpunan titik V = Γdan himpunan sisi E = {(g,gs) : g ∈ Γ, s ∈ S}.
Tidak adanya elemen identitas pada S mengakibatkan grafCay(Γ,S) tidak memuat loop
Sigit Pancahayani, 3010-3-34730-8 Micro Teaching
Graf CayleyDafar Pustaka
Graf dan Graf BerarahGraf Cayley
Definisi Graf Cayley (Tak Berarah)
Graf Cayley G = Cay(Γ,S) = (V ,E) adalah graf yangdibentuk dari sebuah grup Γ dengan himpunan titik V = Γdan himpunan sisi E = {(g,gs) : g ∈ Γ, s ∈ S}.Tidak adanya elemen identitas pada S mengakibatkan grafCay(Γ,S) tidak memuat loop
Sigit Pancahayani, 3010-3-34730-8 Micro Teaching
Graf CayleyDafar Pustaka
Graf dan Graf BerarahGraf Cayley
Contoh
Diberikan Z4 = {0̄, 1̄, 2̄, 3̄}, kita tahu bahwa (Z4,+) adalah grupdengan identitas 0̄. Pilih S = {1̄, 3̄} sebagai generator dari(Z4,+). Graf Cay(Z4,S) ditunjukkan oleh Gambar 2
Figure: Graf Cay(Z4,S)
Sigit Pancahayani, 3010-3-34730-8 Micro Teaching
Graf CayleyDafar Pustaka
Graf dan Graf BerarahGraf Cayley
Contoh
Gambarkan graf Cayley Cay(S3,S) dari grup permutasi S3 dengan generatorS = {(12), (13), (23)}.
solusi:Diketahui, S3 = {(1), (12), (13), (23), (123), (132)} danS = {(12), (13), (23)}. Ketetanggan setiap titik pada graf Cayley Cay(S3,S)diperoleh dengan memeriksa hasil komposisi p ◦ s dengan p ∈ S3 dan s ∈ S.Graf Cayley Cay(S3,S) ditunjukkan oleh Gambar 4
Figure: Graf Cay(S3,S)Sigit Pancahayani, 3010-3-34730-8 Micro Teaching
Graf CayleyDafar Pustaka
Graf dan Graf BerarahGraf Cayley
Definisi Graf Cayley (Berarah)
Fehr (2006) mendefinisikan Graf Cayley berarahD =
−−→Cay(Γ,S) = (V ,A) sebagai graf berarah yang
dibentuk dari sebuah grup Γ dengan himpunan titik V = Γdan himpunan sisi berarah A = {(g,gs) : g ∈ Γ, s ∈ S}.
Untuk g1 dan g2 di Γ, terdapat sisi berarah dari g1 ke g2jika dan hanya jika g1s = g2 untuk suatu s ∈ S.
Dengan kata lain, D =−−→Cay(Γ,S) diperoleh dari graf
Cay(Γ,S) dengan memberi arah pada setiap sisinya.
Sigit Pancahayani, 3010-3-34730-8 Micro Teaching
Graf CayleyDafar Pustaka
Graf dan Graf BerarahGraf Cayley
Definisi Graf Cayley (Berarah)
Fehr (2006) mendefinisikan Graf Cayley berarahD =
−−→Cay(Γ,S) = (V ,A) sebagai graf berarah yang
dibentuk dari sebuah grup Γ dengan himpunan titik V = Γdan himpunan sisi berarah A = {(g,gs) : g ∈ Γ, s ∈ S}.Untuk g1 dan g2 di Γ, terdapat sisi berarah dari g1 ke g2jika dan hanya jika g1s = g2 untuk suatu s ∈ S.
Dengan kata lain, D =−−→Cay(Γ,S) diperoleh dari graf
Cay(Γ,S) dengan memberi arah pada setiap sisinya.
Sigit Pancahayani, 3010-3-34730-8 Micro Teaching
Graf CayleyDafar Pustaka
Graf dan Graf BerarahGraf Cayley
Definisi Graf Cayley (Berarah)
Fehr (2006) mendefinisikan Graf Cayley berarahD =
−−→Cay(Γ,S) = (V ,A) sebagai graf berarah yang
dibentuk dari sebuah grup Γ dengan himpunan titik V = Γdan himpunan sisi berarah A = {(g,gs) : g ∈ Γ, s ∈ S}.Untuk g1 dan g2 di Γ, terdapat sisi berarah dari g1 ke g2jika dan hanya jika g1s = g2 untuk suatu s ∈ S.
Dengan kata lain, D =−−→Cay(Γ,S) diperoleh dari graf
Cay(Γ,S) dengan memberi arah pada setiap sisinya.
Sigit Pancahayani, 3010-3-34730-8 Micro Teaching
Graf CayleyDafar Pustaka
Graf dan Graf BerarahGraf Cayley
Contoh
Gambarkan graf Cayley dari grup Γ = Z2 ⊕ Z4 dengan Z2 = {0, 1},Z4 = {0, 1, 2, 3}, dan generator S = {(1, 0), (0, 1)}.
solusi:Z2 ⊕ Z4 = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3), (1, 0), (1, 1), (1, 2), (1, 3)}. Cekketetanggaan dari setiap ttik:
(0, 0) + (1, 0) = (1, 0); (0, 0) + (0, 1) = (0, 1);(0, 1) + (1, 0) = (1, 1); (0, 1) + (0, 1) = (0, 2);(0, 2) + (1, 0) = (1, 2); (0, 2) + (0, 1) = (0, 3);(0, 3) + (1, 0) = (1, 3); (0, 3) + (0, 1) = (0, 0);(1, 0) + (1, 0) = (0, 0); (1, 0) + (0, 1) = (1, 1);(1, 1) + (1, 0) = (0, 1); (1, 1) + (0, 1) = (1, 2);(1, 2) + (1, 0) = (0, 2); (1, 2) + (0, 1) = (1, 3);(1, 3) + (1, 0) = (0, 3); (1, 3) + (0, 1) = (1, 0).
Graf Cayley−−→Cay(Z2 ⊕ Z4,S) ditunjukkan oleh Gambar 7
Sigit Pancahayani, 3010-3-34730-8 Micro Teaching
Graf CayleyDafar Pustaka
Graf dan Graf BerarahGraf Cayley
Figure: Digraf Cay(Z2 ⊕ Z4,S)
Sigit Pancahayani, 3010-3-34730-8 Micro Teaching
Graf CayleyDafar Pustaka
Daftar Pustaka
Daftar Pustaka
N. Biggs (1974): Algebraic Graph Theory, CambridgeUniversity, Great Britain.
R. Diestel (2005): Graduate Text in Mathematics, GraphTheory, Third Edition, Springer-Verlag, New York.
M. Fehr, S. Gosselin, O.R. Oellermann (2006): The MetricDimension of Cayley Digraphs, Discrete Mathematics 306:31-41.
Sigit Pancahayani, 3010-3-34730-8 Micro Teaching