Geometría y Topología en Sistemas CuánticosProblema físico de Dirac-Landau
Marina de la Torre Mayado
Máster en Métodos Matemáticos Avanzados
Departamento de Física Fundamental e IUFFyM
2014
Marina de la Torre (USAL) Geometría y Topología en Sistemas Cuánticos GyTSC 2014 1 / 83
Outline
1 Introducción
2 Ecuación de Schrödinger y niveles de Landau
3 Traslaciones magnéticas. Simetría W∞ en el problema de LandauTeoría clásica
Acción de las traslaciones magnéticas: Grupo de HeisenbergFunción generatriz de las traslaciones magnéticas finitasSimetría w∞. Reducción al espacio de fases bidimensional: Límite topológico.
Teoría cuánticaTraslaciones magnéticas finitas: Álgebra trigonométricaSimetría W1+∞. Reducción al primer nivel de Landau (LLL): Teoría de Chern-Simons.
4 Ecuación de Dirac-Landau y modos ceroSimetría de conjugación y modos cero: Número fermiónicoAsimetría y flujo espectralLímite no-relativista y Supersimetría
5 Bibliografía
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Introducción
• Problema de Landau:
Niveles de energía de una partícula cargada, moviéndose en el espacio, en un campomagnético homogéneo constante.
Diamagnetismus der Metalle, Z. Phys. 64 (1930) 629
• Efecto Hall Cuántico Entero y Fraccionario:
Niveles de energía de una partícula cargada moviéndose en el plano perpendicular aun campo magnético homogéneo constante.
Problema no-relativista: Ecuación de Schrödinger.Problema relativista (masa cero): Ecuación de Dirac.
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IntroducciónEl campo electromagnético
Ecuaciones de Maxwell:
∇ · E = ρ (1)
∇× B =1c
j +1c∂E∂t
(2)
∇ · B = 0 (3)
∇× E = −1c∂B∂t
(4)
ρ(x, t) densidad de carga y j(x, t) densidad de corriente.
(1) Ley de Gauss
(2) Ley de Ampere
(4) Ley de Faraday
Utilizaremos unidades racionalizadas de Lorentz-Heaviside.
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IntroducciónDe las ecuaciones (3) y(4) se deduce:
B = ∇× A , E = −∇φ− 1c∂A∂t
(5)
donde φ(x, t) es el potencial escalar y A(x, t) es el potencial vector.
Las ecuaciones dadas en (5) no determinan los potenciales de forma única.
Para una función arbitraria f (x, t) la transformación:
φ→ φ′ = φ+1c∂f∂t
, A→ A′ = A−∇f (6)
deja los campos E y B invariantes.
La transformación (6) se conoce como transformación gauge de segundo tipo.
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IntroducciónEn función de los potenciales las ecuaciones de Maxwell (3) y (4) se satisfacenautomáticamente, mientras que las dos primeras (1) y (2) dan lugar a:
−∇2φ− 1c∂
∂t(∇ · A) = ρ (7)
(1c2
∂2
∂t2 −∇2)
A +∇(
1c∂φ
∂t+ (∇ · A)
)=
1c
j (8)
En ausencia de cargas y corrientes ρ = 0, j = 0 podemos elegir el gauge de Coulombo gauge de radiación:
∇ · A = 0 (9)
A es un campo transversal:k · A = 0
donde k es la dirección de propagación de la onda.
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Introducción• En ausencia de cargas la ecuación (7) es:
∇2φ = 0⇒ φ ≡ 0
• La ecuación (8) reduce a:
A = 0 (10)
donde
≡ 1c2
∂2
∂t2 −∇2
• Los campos eléctrico y magnético en este gauge son
B = ∇× A , E = −1c∂A∂t
y, como A, son campos transversales. Las soluciones de (10) son ondaselectromagnéticas transversales en el espacio libre.
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IntroducciónElectrodinámica clásica
• Lagrangiano de una partícula de masa m y carga q moviéndose en un campoelectromagnético:
L(x, x) =12
mx2 +qc
A · x− qφ (11)
donde A(x, t) y φ(x, t) son el potencial vector y escalar del campo electromagético enla posición de la partícula a tiempo t.
•Momento conjugado de xi:
pi =∂L∂xi
= mxi +qc
Ai ⇒ p = mx +qc
A (12)
• Ecuaciones de Euler-Lagrange
ddt
(∂L∂xi
)− ∂L∂xi
= 0 (13)
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IntroducciónEn función de los campos E y B tomados en la posición instantánea de la carga:
mddt
x = q[
E +1c
x× B]
(14)
Fuerza de Lorentz• El Hamiltoniano es, por tanto,
H =∑
i
xipi − L(x, x)
H =1
2m
(p− q
cA)2
+ qφ (15)
Las ecuaciones de Hamilton nos dan de nuevo (12) y (14).
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IntroducciónMecánica cuántica no-relativista
• Cuantización canónica:xi → xi , pi → pi
Relaciones de conmutación canónicas1:
[xi, pj] = i~δij (16)
[xi, xj] = 0 = [pi, pj] (17)
1Se define el conmutador de dos operadores A y B:
[A, B] = AB− BA
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Introducción
• Hamiltoniano para una partícula cargada en presencia de un campoelectromagnético,
H =1
2m
(p− q
cA)2
+ qφ (18)
H =1
2mp2 − q
2mc(A · p + p · A) +
q2
2mc2 A2 + qφ
p · A− A · p = −i~∇ · A
En el gauge de Coulomb ∇ · A = 0⇒ p y A conmutan.
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IntroducciónInvariancia gauge y acoplamiento mínimo
La ecuación de Schödinger:
i~∂ψ(x, t)∂t
= Hψ(x, t) (19)
Transformación gauge en los potenciales (6):
φ→ φ′ = φ+1c∂f∂t
, A→ A′ = A−∇f
Transformación de la función de onda:
ψ(x, t)→ ψ′(x, t) = ei q~c f (x,t) ψ(x, t) (20)
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Ecuación de Schrödinger y niveles de LandauProblema de Landau en el plano
Movimiento de un electrón, q = −e, e > 0, en un plano en presencia de un campomagnético homogéneo constante perpendicular al mismo, B = −B k.
φ = 0 , A = A(x1, x2)⇒ E = 0 , B = ∇× A
⇒ B = ∂2A1 − ∂1A2
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Ecuación de Schrödinger y niveles de LandauEn el gauge de Coulomb,∇ · A = 0, tenemos dos posibilidades:
Gauge simétrico: A1(x1, x2) = B2 x2
A2(x1, x2) = −B2 x1
Ai = εij∂jχ(x1, x2) , χ(x1, x2) =B4
(x21 + x2
2) (21)
Gauge de Landau: A1(x1, x2) = Bx2
A2(x1, x2) = 0
ALi = AS
i + ∂if (x1, x2) , f (x1, x2) =B2
x1x2 (22)
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Ecuación de Schrödinger y niveles de Landau• Acción clásica
S =∫
dt(
12
mx2i −
ec
Aixi
)≡ m
2
∫dt x2
i +eB2c
∫(x1dx2 − x2dx1) (23)
• Formalismo canónico:
p = mx− ec
A , H =1
2m
(p +
ec
A)2
• En el gauge simétrico el Hamiltoniano cuántico es:
H =1
2m(p2
1 + p22) +
e2B2
8mc2 (x21 + x2
2)− eB2mc
(x1p2 − x2p1) (24)
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Ecuación de Schrödinger y niveles de Landau• El operador momento angular orbital es:
L3 = (x1p2 − x2p1) (25)
• Se define la frecuencia característica:
ω =eB
2mc, [ω] = T−1
El Hamiltoniano para el problema de Schödinger-Landau, en el plano, y en el gaugesimétrico es:
H =1
2m(p2
1 + p22) +
12
mω2(x21 + x2
2)− ωL3 (26)
[H, L3] = 0
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Ecuación de Schrödinger y niveles de Landau• Representación de coordenadas:
xi = xi , pi = −i~∂
∂xi, i = 1, 2
H = − ~2
2m
(∂2
∂x21
+∂2
∂x22
)+
12
mω2(x21 + x2
2)− ωL3 (27)
L3 = −i~(
x1∂
∂x2− x2
∂
∂x1
)(28)
• Ecuación de Schrödinger:
i~∂ψ(x, t)∂t
=[− ~2
2m∆ +
12
mω2(x21 + x2
2) + i~ω(
x1∂
∂x2− x2
∂
∂x1
)]ψ(x, t) (29)
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Ecuación de Schrödinger y niveles de Landau• Soluciones estacionarias: espectro.
ψ(x, t) = e−i E~ tψ(x1, x2)⇒ Hψ(x1, x2) = Eψ(x1, x2)
• Coordenadas complejas en el plano: z = x1 + ix2 , ∂∂z = 1
2
(∂∂x1− i ∂∂x2
)z = x1 − ix2 , ∂
∂ z = 12
(∂∂x1
+ i ∂∂x2
)• Operadores escalera:
a =12l
(z + 2l2
∂
∂z
), a† =
12l
(z− 2l2
∂
∂z
)(30)
b =12l
(z + 2l2
∂
∂z
), b† =
12l
(z− 2l2
∂
∂z
)(31)
Donde se define la longitud característica: l2 = ~mω ⇒ l =
√~
mω .
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Ecuación de Schrödinger y niveles de Landau•Momentos canónicos conjugados de z y z:
pz =12
(p1 − ip2) , pz =12
(p1 + ip2)
[z, pz] = i~ = [z, pz]
Resulta pues:
[a, a†] = 1 = [b, b†]
los demás conmutadores son cero.• El Hamiltoniano (27)y el momento angular orbital (28) en función de losoperadores escalera vienen dados por:
H = ~ω(a†a + aa†) ≡ ~ωc
(a†a +
12
)(32)
L3 = ~(b†b− a†a) (33)
donde ωc = 2ω = eBmc es la frecuencia ciclotrón. Es inmediato que: [H, L3] = 0.
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Ecuación de Schrödinger y niveles de Landau• Tenemos dos representaciones número:
Na = a†a , Nb = b†b
con autovalores na = 0, 1, 2, · · · y nb = 0, 1, 2, · · · .
• Podemos construir una base ortonormal y completa de estados propios delHamiltoniano y el momento angular, |n,m〉, tal que:
H|n,m〉 = ~ωc
(n +
12
)|n,m〉 (34)
L3|n,m〉 = ~m|n,m〉 (35)
donde n y m son dos números cuánticos dados por
n = na = 0, 1, 2, · · ·
m = nb − na ≡ nb − n = −n,−n + 1, · · · ⇒ m ≥ −n
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Ecuación de Schrödinger y niveles de Landau• Los operadores escalera (30) y (31) actúan sobre esta base de la forma:
a|n,m〉 =√
n |n− 1,m + 1〉 , b|n,m〉 =√
n + m |n,m− 1〉 (36)
a†|n,m〉 =√
n + 1 |n + 1,m− 1〉 , b†|n,m〉 =√
n + m + 1 |n,m + 1〉 (37)
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Ecuación de Schrödinger y niveles de Landau• Degeneración:
Cada nivel de Landau, n, está infinitamente degenerado.
La degeneración está asociada con el entero m, que toma los valores:m = −n,−n + 1, · · · ,∞.
• La base de estados propios |n,m〉 cumple:
Ortonormalidad:〈n,m|n′,m′〉 = δnn′δmm′
Completitud:∞∑
n=0
∞∑m=−n
|n,m〉〈n,m| = 1
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Ecuación de Schrödinger y niveles de Landau• Primer nivel de Landau n = 0: |0,m〉 , m = 0, 1, 2, · · ·
E0 =~ωc
2≡ ~ω
a|0, 0〉 = 0 = b|0, 0〉 ⇒
|0,m〉 =1√m!
(b†)m|0, 0〉 (38)
H|0,m〉 = ~ω|0,m〉
L3|0,m〉 = ~m|0,m〉
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Ecuación de Schrödinger y niveles de Landau• Nivel de Landau n 6= 0: |n,m〉 , n = 1, 2, · · · , m ≥ −n
En = ~ωc
(n +
12
)
a|0, 0〉 = 0 = b|0, 0〉 ⇒ |0, n + m〉 =1√
(n + m)!
(b†)n+m
|0, 0〉
m = −n,−n + 1, · · · , |0, n + m〉 ⇒ |n,m〉
|n,m〉 =1√
n!(n + m)!
(a†)n(
b†)n+m
|0, 0〉 (39)
H|n,m〉 = ~ωc(n + 1
2
)|n,m〉
L3|n,m〉 = ~m|n,m〉
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Ecuación de Schrödinger y niveles de LandauFunciones de onda propias del Hamiltoniano en representación de coordenadas:
Primer nivel de Landau n = m = 0:
a|0, 0〉 = 0 = b|0, 0〉
〈z, z|a|0, 0〉 = 0⇒ 12l
(z + 2l2
∂
∂z
)〈z, z|0, 0〉 ⇒ 〈z, z|0, 0〉 = f (z)e−
12l2
zz
〈z, z|b|0, 0〉 = 0⇒ 12l
(z + 2l2
∂
∂z
)〈z, z|0, 0〉 ⇒ ψ00(z, z) = f (z)e−
12l2
zz
ψ00(z, z) =1
l√π
e−1
2l2zz (40)
donde ψ00(z, z) ≡ 〈z, z|0, 0〉 y∫dzdz
2iψ∗00(z, z)ψ00(z, z) = 1
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Ecuación de Schrödinger y niveles de LandauPrimer nivel de Landau n = 0 y m 6= 0:
|0,m〉 =1√m!
(b†)m|0, 0〉
〈z, z|0,m〉 =1√m!
1(2l)m
(z− 2l2
∂
∂z
)m
〈z, z|0, 0〉 ⇒ 〈z, z|0,m〉 = f (z)e−1
2l2zz
ψ0m(z, z) =1
lm+1√πm!
zm e−1
2l2zz (41)
Ortonormalidad: ∫dzdz
2iψ∗0m(z, z)ψ0m′(z, z) = δmm′
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Ecuación de Schrödinger y niveles de LandauNivel de Landau n 6= 0 y m ≥ −n:
|n,m〉 =1√
n!(n + m)!
(a†)n(
b†)n+m
|0, 0〉
〈z, z|n,m〉 =1√n!
1(2l)n
(z− 2l2
∂
∂z
)n(
1ln+m+1
√π(n + m)!
zn+m e−1
2l2zz
)
ψnm(z, z) =(−1)n
lm+1
√n!
π(n + m)!zm Lm
n
( zzl2
)e−
12l2
zz (42)
Ortonormalidad: ∫dzdz
2iψ∗nm(z, z)ψn′m′(z, z) = δnn′ δmm′
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Ecuación de Schrödinger y niveles de Landau• Para u = zz
l2 , Lmn (u) son los polinomios asociados de Laguerre:
Ecuación diferencial:
ud2Lm
n (u)du2 + (m + 1− u)
dLmn (u)du
+ nLmn (u) = 0
Ortogonalidad: ∫ ∞0
Lmn (u)Lm
n′(u)ume−udu =(n + m)!
n!δnn′
Algunas expresiones para Lmn (u):
Lmn (u) =
euu−m
n!
(ddu
)n
(un+me−u)
Lmn (u) =
n∑k=0
(−1)k(
n + mn− k
)uk
k!
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Ecuación de Schrödinger y niveles de Landau• Algunos ejemplos de polinomios asociados de Laguerre:
Lm0 (u) = 1
Lm1 (u) = −u + (m + 1)
Lm2 (u) =
12
[u2 − 2(m + 2)u + (m + 1)(m + 2)]
Lm3 (u) =
16
[−u3 + 3(m + 3)u2 − 3(m + 2)(m + 3)u + (m + 1)(m + 2)(m + 3)]
Marina de la Torre (USAL) Geometría y Topología en Sistemas Cuánticos GyTSC 2014 29 / 83
Ecuación de Schrödinger y niveles de LandauGráficas de la densidad de probabilidad ρnm = πl2ψ∗nmψnm v.s. ( x1
l ,x2l ):
n = 0, m = 0, 1, 2, 3
n = 1, m = −1, 0, 1, 2
n = 2, m = −2,−1, 0, 1
Marina de la Torre (USAL) Geometría y Topología en Sistemas Cuánticos GyTSC 2014 30 / 83
Ecuación de Schrödinger y niveles de LandauEl espectro del problema de Landau en el plano, en el gauge simétrico, está formadopor niveles de energía degenerados: niveles de Landau.• La densidad de estados posibles para cada nivel de Landau es:
Primer nivel de Landau n = 0:
∞∑m=0
ψ∗0m(z, z)ψ0m(z, z) =eBhc
(43)
En general n 6= 0:
∞∑m=−n
ψ∗nm(z, z)ψnm(z, z) =eBhc
(44)
• El número de estados posibles por unidad de área y por espín para cada nivel deLandau es constante y proporcional a la intensidad del campo magnético:
nB =eBhc
Marina de la Torre (USAL) Geometría y Topología en Sistemas Cuánticos GyTSC 2014 31 / 83
Traslaciones magnéticas. Simetría W∞ en el problema deLandau
Las traslaciones magnéticas representan la simetría característica del problema deLandau.
Teoría clásica:I Acción de las traslaciones magnéticas: Grupo de Heisenberg.I Traslaciones magnéticas finitas.I Simetría w∞. Reducción al espacio de fases bidimensional: Límite topológico.
Teoría cuántica:I Traslaciones magnéticas finitas: Álgebra trigonométrica.I Simetría W1+∞. Reducción al primer nivel de Landau (LLL): Teoría de
Chern-Simons.
Marina de la Torre (USAL) Geometría y Topología en Sistemas Cuánticos GyTSC 2014 32 / 83
Outline
1 Introducción
2 Ecuación de Schrödinger y niveles de Landau
3 Traslaciones magnéticas. Simetría W∞ en el problema de LandauTeoría clásica
Acción de las traslaciones magnéticas: Grupo de HeisenbergFunción generatriz de las traslaciones magnéticas finitasSimetría w∞. Reducción al espacio de fases bidimensional: Límite topológico.
Teoría cuánticaTraslaciones magnéticas finitas: Álgebra trigonométricaSimetría W1+∞. Reducción al primer nivel de Landau (LLL): Teoría de Chern-Simons.
4 Ecuación de Dirac-Landau y modos ceroSimetría de conjugación y modos cero: Número fermiónicoAsimetría y flujo espectralLímite no-relativista y Supersimetría
5 Bibliografía
Marina de la Torre (USAL) Geometría y Topología en Sistemas Cuánticos GyTSC 2014 33 / 83
Acción de las traslaciones magnéticas: Grupo deHeisenberg• Sistema Hamiltoniano (M,H, ω)2:
M = T∗R2 , ω = dx1 ∧ dp1 + dx2 ∧ dp2
H =1
2m
[(p1 +
B2
x2
)2
+(
p2 −B2
x1
)2]
• Transformación de Legendre:
p1 = mx1 −B2
x2 , p2 = mx2 +B2
x1
• Grupo de traslaciones en el plano G ∼= R2:
Φ : R2 × R2 → R2
(s, x)→ x + s
∀s ∈ R2 ⇒ Φs : R2 → R2 , Φs Φr = Φs+r
2Tomamos: e = c = 1Marina de la Torre (USAL) Geometría y Topología en Sistemas Cuánticos GyTSC 2014 34 / 83
Acción de las traslaciones magnéticas: Grupo deHeisenberg• El álgebra de Lie de G: G = Lie R2, es un álgebra abeliana:
a = a1∂
∂x1+ a2
∂
∂x2∈ G , [a, b] = 0 , ∀a, b ∈ G
• Los campos fundamentales coinciden con sus correspondinetes elementos delálgebra de Lie:
Xa = a1∂
∂x1+ a2
∂
∂x2(45)
• La acción inducida en T∗R2 es:
Φ : R2 × T∗R2 → T∗R2
(s, (x, p))→ (x + s, p′)
p′ = (p1 −B2
s2, p2 +B2
s1)
Marina de la Torre (USAL) Geometría y Topología en Sistemas Cuánticos GyTSC 2014 35 / 83
Acción de las traslaciones magnéticas: Grupo deHeisenberg• Ahora los campos fundamentales son:
XLa = a1
(∂
∂x1+
B2∂
∂p2
)+ a2
(∂
∂x2− B
2∂
∂p1
)(46)
• Esta acción es una simetría del sistema hamiltoniano si:1 ∀s ∈ R2 ⇒ Φ∗s (H) = H, donde
Φ∗s : C∞(T∗R2)→ C∞(T∗R2) , Φ∗s (f (x, p)) = f (Φ(x, p))
2 LXLaω = 0, es decir, la derivada de Lie3 de la forma simpléctica a lo largo del
campo es cero. El grupo actúa por simplectomorfismos (preserva la formasimpléctica).
3LXθ = d(iXθ) + iXdθMarina de la Torre (USAL) Geometría y Topología en Sistemas Cuánticos GyTSC 2014 36 / 83
Acción de las traslaciones magnéticas: Grupo deHeisenberg• Las cantidades conservadas:
1 La aplicación comomento:
f : LieR2 → C∞(T∗R2)a → fa
iXLaω = dfa ⇒ fa(x, p) = a1
(p1 −
B2
x2
)+ a2
(p2 +
B2
x1
)2 La aplicación momento:
J : T∗R2 → (LieR2)∗
(x, p)→ J(x, p)
< J(x, p), a >= fa(x, p)⇒ J(x, p) =(
p1 −B2
x2, p2 +B2
x1
)
Marina de la Torre (USAL) Geometría y Topología en Sistemas Cuánticos GyTSC 2014 37 / 83
Acción de las traslaciones magnéticas: Grupo deHeisenberg• Las cantidades Nöether conservadas son:
β1 = p1 −B2
x2 , β2 = p2 +B2
x1 (47)
• Sin embargo, la aplicación comomento no es un morfismo de álgebras:
f : LieR2 → C∞(T∗R2)a→ fa[a, b] → f[a,b] ⇒ f[a,b] 6= fa, fb
∀a, b ∈ LieR2 ⇒ f[a,b] = f0 = 0
fa, fb = ω(XLa ,X
Lb ) =
2∑i=1
(∂fa∂xi
∂fb∂pi− ∂fb∂xi
∂fa∂pi
)= B(a2b1 − a1b2)
Marina de la Torre (USAL) Geometría y Topología en Sistemas Cuánticos GyTSC 2014 38 / 83
Acción de las traslaciones magnéticas: Grupo deHeisenberg• Grupo de Heisemberg: extensión central.
SeaH2+1 el grupo de Heisemberg isomorfo a R2 × R, con la ley de grupo:
(x1, x2, z) · (x′1, x′2, z′) = (x1 + x′1, x2 + x′2, z + z′ + x1x′2)
∀(s, z) ∈ H2+1 ⇒ Φ(s,z)(x) = x + s
• El álgebra de Lie del grupo de HeisembergH2+1 = LieH2+1 es:
(e1, e2, c) ∈ H2+1 , [e1, e1] = [e2, e2] = [e1, c] = [e2, c] = 0
con[e1, e2] = c
El campo funadamental es: X(a,c) = Xa.
Marina de la Torre (USAL) Geometría y Topología en Sistemas Cuánticos GyTSC 2014 39 / 83
Acción de las traslaciones magnéticas: Grupo deHeisenberg• La acción inducida por este grupo será:
∀(s, z) ∈ H2+1 ⇒ Φ(s,z)(x, p) = (x + s, p′)
donde
p′ =(
p1 −B2
s2, p2 +B2
s1
), XL
(a,c) = XLa
• La aplicación comomento ahora si es un morfismo de álgebras:
f : LieH2+1 → C∞(T∗R2)(a, c) → f(a,c)
[(a, c), (b, c′)]→ f[(a,c),(b,c′)] , f[(a,c),(b,c′)] = f(a,c), f(b,c′) = B(a2b1 − a1b2)
para la extensión central:[e1, e2] = c ≡ −B (48)
Marina de la Torre (USAL) Geometría y Topología en Sistemas Cuánticos GyTSC 2014 40 / 83
Traslaciones magnéticas finitas• El Hamiltoniano clásico que estamos considerando es4:
H =1
2m
(p1 +
B2
x2
)2
+(
p2 −B2
x1
)2
• El espacio de fases es de dimensión cuatro con la estructura canónica natural:
xi, pj = δij , xi, xj = 0 = pi, pj , i, j = 1, 2
donde , es el paréntesis de Poisson.• Consideremos las nuevas variables α, β, y sus conjugadas α∗, β∗,
α =12
[−(
p2 −B2
x1
)+ i(
p1 +B2
x2
)](49)
β =12
[ (p2 +
B2
x1
)+ i(
p1 −B2
x2
)](50)
4e = c = 1Marina de la Torre (USAL) Geometría y Topología en Sistemas Cuánticos GyTSC 2014 41 / 83
Traslaciones magnéticas finitas• Hamiltoniano clásico en función de las variables (49):
H =1m
(αα∗ + α∗α) , α, α∗ = −iB2
• De (50) se obtienen las cantidades conservadas:
β1 = p1 −B2
x2 , β2 = p2 +B2
x1 , β, β∗ = −iB2
• La función generatriz de las traslaciones magnéticas infinitesimales es:
fa = a1β1 + a2β2 , a1, a2 ∈ R (51)
Marina de la Torre (USAL) Geometría y Topología en Sistemas Cuánticos GyTSC 2014 42 / 83
Traslaciones magnéticas finitasfa(x, p), dada por (51), es una transformación canónica infinitesimal ya que satisface:
xi → xi + δfa xi , δfa xi = xi, fa =∂fa∂pi
= ai i = 1, 2
pi → pi + δfa pi , δfa pi = pi, fa = −∂fa∂xi
= −εijajB2
i, j = 1, 2
δfaα = 0 = δfaα∗ =⇒ δfa H = H, fa = 0
Las traslaciones magnéticas son la simetría del problema clásico de Landau
Marina de la Torre (USAL) Geometría y Topología en Sistemas Cuánticos GyTSC 2014 43 / 83
Traslaciones magnéticas finitas• La función generatriz de las traslaciones magnéticas finitas es:
ta1a2 = ei(a1β1+a2β2) (52)
o bientaa = eaβ−aβ∗
donde a = a1 + ia2 y 2β = β2 + iβ1.
• Estas transformaciones satisfacen el álgebra clásica w∞:
ta1a2 , tb1b2 = B(a1b2 − a2b1) ta1+b1 a2+b2 (53)
taa , tbb = iB2
(ab− ab) ta+b a+b
Marina de la Torre (USAL) Geometría y Topología en Sistemas Cuánticos GyTSC 2014 44 / 83
Simetría w∞• A partir de la función generatriz:
taa = e−aβ∗eaβ =∞∑
n,m=0
(−1)n anam
n!m!(β∗)n(β)m
se puede definir la transformación canónica más general:
Lnm(x, p) = (β∗)n+1(β)m+1 , n,m ≥ −1 (54)
tal queδH = H,Lnm = 0
• Tenemos así otra representación del álgebra clásica w∞:
Lnm,Lkl = iB2
((n + 1)(l + 1)− (m + 1)(k + 1)) Ln+km+l (55)
Marina de la Torre (USAL) Geometría y Topología en Sistemas Cuánticos GyTSC 2014 45 / 83
Reducción al espacio de fases bidimensional• Las transformaciones canónicas, β, β∗ y Lnm dejan invariante δα = 0 = δα∗ y, portanto, el Hamiltoniano del sistema.
• Estas tranformaciones actúan de forma no trivial en un subespacio de energíaconstante (que podemos tomar igual a cero):
α = 0 = α∗ =⇒ β =B2
z , β∗ =B2
z
β, β∗ = −iB2
• En este espacio de fases reducido tenemos una forma simpléctica:
ω = dβ ∧ dβ∗ = dz ∧ dpz
tal que
β ≡ 2ipz , β∗ =B2
z =⇒ z, 2pz = 1
Marina de la Torre (USAL) Geometría y Topología en Sistemas Cuánticos GyTSC 2014 46 / 83
Límite topológico y Mecánica de Chern-Simons• Acción clásica:
S =∫
dt(
12
m x− ec
x · A)
=12
m∫
dt x +eB2c
∫dt (x1x2 − x2x1)
• Tomar el límite topológico en esta acción es equivalente a pasar al espacio de fasesreducido:
S = limm→0
S =eB2c
∫dt(x1x2 − x2x1)
=eB2c
∮(x1dx2 − x2dx1) =
eBc
∫ ∫Ω
dx1dx2 ≡ Φ
S es una acción de tipo Chern-Simons5.Esta acción describe clásicamente el grado de libertad residual para cada valor dela energía.Las simetrías de esta acción son los difeomorfismos que preservan el área y quedejan invariante Φ (flujo magnético a través de una superficie de área finita).
5Aspects of Chern-Simons Theory. Gerald V. Dunne. 1999Marina de la Torre (USAL) Geometría y Topología en Sistemas Cuánticos GyTSC 2014 47 / 83
Outline
1 Introducción
2 Ecuación de Schrödinger y niveles de Landau
3 Traslaciones magnéticas. Simetría W∞ en el problema de LandauTeoría clásica
Acción de las traslaciones magnéticas: Grupo de HeisenbergFunción generatriz de las traslaciones magnéticas finitasSimetría w∞. Reducción al espacio de fases bidimensional: Límite topológico.
Teoría cuánticaTraslaciones magnéticas finitas: Álgebra trigonométricaSimetría W1+∞. Reducción al primer nivel de Landau (LLL): Teoría de Chern-Simons.
4 Ecuación de Dirac-Landau y modos ceroSimetría de conjugación y modos cero: Número fermiónicoAsimetría y flujo espectralLímite no-relativista y Supersimetría
5 Bibliografía
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Traslaciones magnéticas finitas: Álgebra trigonométrica• Hamiltoniano cuántico:
H =1
2m
[(p1 +
eB2c
x2
)2
+(
p2 −eB2c
x1
)2]
donde x1, x2, p1 y p2 son operadores cuánticos que satisfacen:
[xi, pj] = i~δij , i, j = 1, 2
[xi, xj] = 0 = [pi, pj] , i, j = 1, 2
Cuantización canónica
, =⇒ 1i~
[ , ]
Marina de la Torre (USAL) Geometría y Topología en Sistemas Cuánticos GyTSC 2014 49 / 83
Traslaciones magnéticas finitas: Álgebra trigonométrica• Los operadores no-hermíticos asociados a las variables clásicas α, α∗, β, β∗ son:
a =1√2~B
[−(
p2 −eB2c
x1
)+ i(
p1 +eB2c
x2
)](56)
b =1√2~B
[ (p2 +
eB2c
x1
)+ i(
p1 −eB2c
x2
)](57)
y sus hermíticos conjugados.• Estos operadores (4) y (4) satisfacen el álgebra:
[a, a†] = 1 = [b, b†]
[a, a] = [a†, a†] = 0 = [b, b] = [b†, b†]
[a, b] = [a†, b†] = 0 = [a, b†] = [b, a†]
Marina de la Torre (USAL) Geometría y Topología en Sistemas Cuánticos GyTSC 2014 50 / 83
Traslaciones magnéticas finitas: Álgebra trigonométrica• Hamiltoniano cuántico en función de los operadores ():
H = ~ω(aa† + a†a) , ω =eB
2mc
• Los generadores infinitesimales de las traslaciones magnéticas en el problemacuántico son (), y satisfacen,
[H, b] = 0 = [H, b†]
• El generador de las traslaciones magnéticas finitas es el operador:
Taa = e(ab−ab†) (58)
o bienTa1a2 = ei(a1b1+a2b2)
donde a = a1 + ia2, a1, a2 ∈ R y 2b = b2 + ib1.
Marina de la Torre (USAL) Geometría y Topología en Sistemas Cuánticos GyTSC 2014 51 / 83
Traslaciones magnéticas finitas: Álgebra trigonométricaDe la relación de conmutación:
[b1, b2] = −2i
se deduce6
Ta1a2 Ta′1a′2 = ei(a′2a1−a′1a2)Ta1+a′1a2+a′2
Por tanto, los generadores de las traslaciones magnéticas finitas en el problemacuántico satisfacen el álgebra trigonométrica de Fairlie-Fletcher-Zachos:
[Ta1a2 , Ta′1a′2 ] = 2i sin(a′2a1 − a′1a2)Ta1+a′1a2+a′2 (59)
[Taa, Ta′a′ ] = 2 sinh[
12
(aa′ − aa′)]
Ta+a′a+a′ (60)
6Fórmula de Campbell-Baker-Hausdorff eC = eAeB
C = A + B +12[A,B] +
112
[A, [A,B]] +112
[[A,B],B] +148
[A, [[A,B],B]] + · · ·
Marina de la Torre (USAL) Geometría y Topología en Sistemas Cuánticos GyTSC 2014 52 / 83
Traslaciones magnéticas finitas: Álgebra trigonométrica• Re-escalando los operadores b y b† de tal forma que: [b, b†] = ~ B
2 .De (59) se recupera el álgebra clásica w∞:
[Ta1a2 , Ta′1a′2 ] = i~ ta1a2 , ta′1a′2+ θ(~2)
dondeta1a2 , ta′1a′2 = B (a′2a1 − a′1a2) ta1+a′1a2+a′2
• En representación de coordenadas:
Taa ψ(z, z) = e12l (az−az) ψ(z + al, z + al) (61)
donde l =√
~mω es la longitud magnética y
Taa = eaa2 eabe−ab† ≡ e−
aa2 e−ab†eab
Marina de la Torre (USAL) Geometría y Topología en Sistemas Cuánticos GyTSC 2014 53 / 83
Simetría W1+∞• Podemos definir infinitos operadores:
Lnm =(
b†)n+1 (
b)m+1
, n,m ≥ −1 (62)
tales que[H, Lnm] = 0
• Que satisfacen el álgebra W1+∞:
[Lnm, Lkl] =min(m,k)∑
s=0
(m + 1)!(k + 1)!(m− s)!(k − s)!(s + 1)!
Ln+k−sm+l−s
−min(l,n)∑
s=0
(l + 1)!(n + 1)!(l− s)!(n− s)!(s + 1)!
Ln+k−sm+l−s (63)
Marina de la Torre (USAL) Geometría y Topología en Sistemas Cuánticos GyTSC 2014 54 / 83
Simetría W1+∞• En el límite clásico7:
[Lnm, Lkl] = ~Lnm,Lkl+ θ(~2)
recuperamos de nuevo el álgebra clásica w∞:
Lnm,Lkl = i((n + 1)(l + 1)− (m + 1)(k + 1))Ln+km+l
• A nivel cuántico podemos considerar los casos especiales:1 [Ln0, Lk0] = (k − n)Ln+k0
2 [L0n, L0k] = (n− k)L0n+k
3 [Lnn, Lkk] = 04 [L00, Lnm] = (n− m)Lnm
• Sin embargo, en representación de coordenadas los únicos operadores que generantransformaciones de coordenadas locales son:
L0(−1) = b† , L−10 = b , L = L00 − a†a
7Re-escalando: [b, b†] = ~Marina de la Torre (USAL) Geometría y Topología en Sistemas Cuánticos GyTSC 2014 55 / 83
Reducción al primer nivel de Landau (LLL): Teoría deChern-Simons• Los operadores b, b† y Lnm conmutan con a, a†, y por tanto, con el Hamiltoniano.
• Cuánticamente tomar el límite topológico equivale a quedarnos en el primer nivel deLandau (LLL):
a = 0 = a† =⇒ b = 2l∂
∂z, b† =
zl
En el espacio de fases reducido: b y b† son el operador coordenada y momentoconjugado, respectivamente, y satisfacen:
[b, b†] = 1 =⇒ [2∂
∂z, z] = 1
• En este espacio de fases reducido los generadores de simetría son:
Lnm =2n+m
ln−m zn+1(∂
∂z
)m+1
Marina de la Torre (USAL) Geometría y Topología en Sistemas Cuánticos GyTSC 2014 56 / 83
Ecuación de Dirac-Landau y modos cero• Ecuación de Dirac en (2 + 1)-dimensiones para un electrón sin masa en presenciade un campo magnético homogéneo, constante, perpendicular al plano:
γµ(
pµ +ec
Aµ)ψ(x) = 0 (64)
• Notación relativista:xµ = (x0, x) = (ct, x), xµ = gµνxν , gµν = diag(1,−1,−1), µ, ν = 0, 1, 2.Aµ = (A0,A), A0 = φ y A = (A1,A2).
•Matrices gamma (2× 2):
1
γµγν + γνγµ = 2gµν
2
(γµ)† = γ0γµγ0
(γ0)2 = I = −(γi)2, i = 1, 2, Trγµ = 0,∀µ = 0, 1, 2
Marina de la Torre (USAL) Geometría y Topología en Sistemas Cuánticos GyTSC 2014 57 / 83
Ecuación de Dirac-Landau y modos cero• Elegimos la siguiente representación de las matrices gamma:
γ0 = σ3 , γ1 = iσ1 , γ2 = iσ2 (65)
donde (σ1, σ2, σ3) son las matrices de Pauli.• Las matrices de Pauli:
σ1 =(
0 11 0
), σ2 =
(0 −ii 0
), σ3 =
(1 00 −1
)1
σiσj + σjσi = 2δij , i, j = 1, 2, 3
2
(σi)† = σi
(σi)2 = I, Trσi = 0, ∀i = 1, 2, 3,
[σi, σj] = 2iεijkσk , i, j, k = 1, 2, 3
Marina de la Torre (USAL) Geometría y Topología en Sistemas Cuánticos GyTSC 2014 58 / 83
Ecuación de Dirac-Landau y modos cero• Hamiltoniano de Dirac en (2 + 1) dimensiones para campos estáticos8
HD = ~α(c~p + e~A) (66)
donde ~α = (α1, α2).• α1 y α2 son las matrices de Dirac (2× 2):
α1 = γ0γ1 =(
0 i−i 0
)α2 = γ0γ2 =
(0 11 0
)β es también una matriz de Dirac asociada al término de masa:
β = γ0 =(
1 00 −1
)
8Gauge de Weyl A0 = 0 y gauge de Coulomb∇ · A = 0.Marina de la Torre (USAL) Geometría y Topología en Sistemas Cuánticos GyTSC 2014 59 / 83
Ecuación de Dirac-Landau y modos cero• En esta representación de las matrices de Dirac el Hamiltoniano puede expresarse:
HD =(
0 D†
D 0
)(67)
donde D y D† son dos operadores no-hermíticos,
D† = (cp2 + eA2) + i(cp1 + eA1) , D = (cp2 + eA2)− i(cp1 + eA1)
• En el gauge simétrico y en función de los operadores escalera a y a†:
D† = −√
2eB~c a† , D = −√
2eB~c a
[D,D†] = 2eB~c
Marina de la Torre (USAL) Geometría y Topología en Sistemas Cuánticos GyTSC 2014 60 / 83
Ecuación de Dirac-Landau y modos cero• El momento angular total perpendicular al plano es:
J3 = L3 + S3 = (x1p2 − x2p1)I +~2
Σ3 (68)
dondeI = I(2×2) , Σ3 =
12i
[γ1, γ2] = σ3
Tenemos, pues,[HD, J3] = 0
[HD,L3] = −i~[α1(
cp2 −eB2
x1
)− α2
(cp1 +
eB2
x2
)][HD, S3] = i~
[α1(
cp2 −eB2
x1
)− α2
(cp1 +
eB2
x2
)]
Marina de la Torre (USAL) Geometría y Topología en Sistemas Cuánticos GyTSC 2014 61 / 83
Ecuación de Dirac-Landau y modos cero• Problema espectral de Dirac-Landau:
HDψ = Eψ , HD =(
0 D†
D 0
)
J3ψ = j3ψ , J3 =(
L3 + ~2 0
0 L3 − ~2
)ψ es un espinor de dos componentes:
ψ =(ψ1ψ2
)y en el gauge elegido:
L3 = ~(b†b− a†a) , D = −√
2eB~c a , D† = −√
2eB~c a†
Marina de la Torre (USAL) Geometría y Topología en Sistemas Cuánticos GyTSC 2014 62 / 83
Ecuación de Dirac-Landau y modos cero• La base ortonormal y completa de espinores propios de la energía y del momentoangular total, es:
ψ0m(z, z) , ψ+nm(z, z) , ψ−nm(z, z)
Modos cero:
ψ0m(z, z) =(
Ψ0m(z, z)0
), E0 = 0 , j3 = ~
(m +
12
)Donde Ψ0m(z, z) es la función de onda normalizada del primer nivel de Landaudel problema no-relativista:
Ψ0m(z, z) =1
lm+1√πm!
zm e−1
2l2zz , m ≥ 0
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Ecuación de Dirac-Landau y modos ceroPara n 6= 0 tenemos estados de energía positiva ψ+
nm y estados de energíanegativa ψ−nm:
ψ+nm(z, z) =
1√2
(Ψnm(z, z)
−Ψn−1m+1(z, z)
), E+
n =√
2eB~c n , j3 = ~(
m +12
)
ψ−nm(z, z) =1√2
(Ψnm(z, z)
Ψn−1m+1(z, z)
), E−n = −
√2eB~c n , j3 = ~
(m +
12
)De nuevo Ψnm(z, z) es la función de onda normalizada del problemano-relativista de Landau:
Ψnm(z, z) =(−1)n
lm+1
√n!
π(n + m)!zm Lm
n
( zzl2
)e−
12l2
zz , m ≥ −n
Marina de la Torre (USAL) Geometría y Topología en Sistemas Cuánticos GyTSC 2014 64 / 83
Ecuación de Dirac-Landau y modos cero• Ortonormalidad: ∫
dzdz2i
ψ†nm(z, z)ψn′m′(z, z) = δnn′δmm′
• El espectro de Dirac-Landau para una partícula sin masa es:
Tenemos dos tipos de estados:Modos cero: correspondientes al primer nivel de Landau con n = 0,m ≥ 0.Estados con n 6= 0: para cada n y m ≥ −n tenemos dos soluciones, una conenergía positiva y otra con energía negativa.
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Ecuación de Dirac-Landau y modos cero• Cada nivel de Dirac-Landau está infinitamente degenerado. La densidad de estadospor unidad de área y por espín es ahora:
1 Modos cero:∞∑
m=0
ψ†0mψ0m =eBhc
2 n 6= 0∞∑
m=−n
ψ†nmψnm =eBhc
Es decir, la misma que en el problema de Landau no-relativista:
nB =eBhc
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Simetría de conjugación y modos cero• Simetría de conjugación: HD, C = 0
CψE = ψ−E
C = σ3 , σ3ψE = ψ−E , σ3ψ0 = 0
La existencia de modos cero autoconjugados⇐⇒ Propiedades topológicas
• El operador de Dirac sobre una variedad topológicamente no-trivial es Fredholm: sunúcleo y co-núcleo son de dimensión finita.
• El teorema del índice identifica el número de modos cero con la primera clase deChern y son, por tanto, inevitables en fibrados no triviales.
IndiceHD = Dim KerD− Dim KerD†
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Simetría de conjugación y modos cero• En nuestro caso, el problema de Dirac-Landau en el plano, resulta que:
Dim KerD† = 0 , Dim KerD 6= 0
En el plano hay infinitos modos cero.• Por otro lado, el número fermiónico en el vacío para una Teoría Cuántica deCampos se define:
N =12
∫d2x〈0|[ψ†(x), ψ(x)]|0〉
donde ψ(x) es el campo fermiónico, en presencia de un campo magnético, en el plano.Resulta:
N =12
(]modos cero ocupados)− 12
(]modos cero no ocupados) ≡ −12
Dim KerD
La existencia de modos cero está relacionada con la presencia de estados cuánticoscon un número fermiónico fraccionario.
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Asimetría y flujo espectral• Hamiltoniano de Dirac en (2 + 1) dimensiones con un término de masa:
HmD = HD + βmc2 =
(mc2 D†
D −mc2
)(69)
• Espectro:
1 n = 0
E0 = +mc2 , ψ0m =(
Ψ0m
0
), m = 0, 1, 2, · · ·
2 n 6= 0E±n = ±
√2eB~c n + m2c4
ψ±nm =
√|En|+ mc2
2|En|
(Ψnm
−|En|±|En|+mc2 Ψn−1m+1
), m ≥ −n
donde Ψ0m(z, z) y Ψnm(z, z) son las soluciones del problema no-relativista deLandau.
Marina de la Torre (USAL) Geometría y Topología en Sistemas Cuánticos GyTSC 2014 69 / 83
Asimetría y flujo espectral• Asimetría espectral:
• Relación con el número fermiónico:
N = −sig(m)12
ehc
∫d2x B = −sig(m)
ΦΦ0
donde Φ = AB para A finita y Φ0 = hce , en el límite,
limm→0
N = −12
ΦΦ0
Marina de la Torre (USAL) Geometría y Topología en Sistemas Cuánticos GyTSC 2014 70 / 83
Asimetría y flujo espectral• Flujo espectral:
Hm(τ)D = HD + βm(τ)c2 , m(τ) = m
(1
1 + e−τ− 1
2
)
limτ→−∞
Hm(τ)D = H−
m2
D , limτ→+∞
Hm(τ)D = H+ m
2D
Marina de la Torre (USAL) Geometría y Topología en Sistemas Cuánticos GyTSC 2014 71 / 83
Asimetría y flujo espectral• Se define el flujo espectral:
N∞ − N−∞ = −212
ΦΦ0
= −IndiceHD
En resumen:
HD con masa cero⇔Modos cero autoconjugados⇔ Número fermiónicono-trivial⇔ Índice del operador de Dirac.Hm
D con una masa distinta de cero⇔ Asimetría espectral⇔ El númerofermiónico depende del signo de la masa.
Hm(τ)D con una masa m(τ) que varía adiabáticamente con τ ⇔ Flujo espectral⇔
Diferencia entre el número fermiónico en los límites τ → ±∞⇔ Índice deloperador de Dirac.
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Límite no-relativista• Límite no-relativista de la ecuación de Dirac en (2 + 1) dimensiones, para unapartícula con masa, en un campo magnético constante y uniforme: mc2 D†
D −mc2
ψ1
ψ2
= E
ψ1
ψ2
D†ψ2 = (E − mc2)ψ1
Dψ1 = (E + mc2)ψ2
ψ2 =1
E + mc2 Dψ1 ⇒ D†Dψ1 = (E2 − m2c4)ψ1
Marina de la Torre (USAL) Geometría y Topología en Sistemas Cuánticos GyTSC 2014 73 / 83
Límite no-relativista• Definimos ENR = E − mc2. En el límite no-relativista E ≈ mc2, y a orden cero en(v/c)2, resulta:
ψ2 =1
2mc2 Dψ1 ,1
2mc2 D†Dψ1 = ENRψ1
Dado que
[D,D†] = 2eB~c =⇒ 14mc2 (D†D + DD†)ψ1 = ENRψ1
y así [1
2m
(~p +
ec~A)2− ~
eB2mc
]ψ1 = ENRψ1
Ecuación de Schödinger-Pauli, en mecánica cuántica no-relativista, para un espinor dedos componentes:[
12m
(~p +
ec~A)2
I− ~eB
2mcσ3]ψ = ENRψ , ψ =
(ψ1ψ2
)(70)
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Límite no-relativista• Hamiltoniano de Pauli:
HP =1
2m
(~p +
ec~A)2
I + ~e~
2mc~σ · ~B (71)
donde I es la matriz identidad 2× 2, µB = e~2mc es el magnetón de Bohr y
~σ = (σ1, σ2, σ3) son las matrices de Pauli.• Espectro y espinores propios:
ψ0m(z, z) =
Ψ0m(z, z)
0
, ENR0 = 0
ψnm(z, z) =
Ψnm(z, z)
− |E0n|
2mc2 Ψn−1m+1(z, z)
, ENRn =
(E0n)2
2mc2
donde (E0n)2 = 2eB~cn, n 6= 0 y m ≥ −n.
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Límite no-relativista
Niveles de Landau para el Hamiltoniano de Schrödinger HS:
ESn = ~ωc
(n +
12
)≡ B (2n + 1)
e~2mc =1⇒ ES
0 ≡ B
Niveles de Landau para el Hamiltoniano de Pauli HP:
EPn =
2eB~cn2mc2 ≡ 2Bn
e~2mc =1⇒ EP
0 ≡ 0
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Supersimetría• Hamiltoniano de Pauli y Supersimetría:
HP =1
2mc2 H2D =
12mc2
D†D 0
0 DD†
(72)
• El espacio de Hilbert de HP:H = HF ⊕HB
descompone en suma directa de dos subespacios: HF = ψ ∈ H / Cψ = −ψ
HB = ψ ∈ H / Cψ = ψ
siendo C = σ3 el operador de conjugación de carga.
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Supersimetría• Se definen las supercargas:
Q =1 + σ3
2HD =
0 D†
0 0
(73)
Q† =1− σ3
2HD =
0 0
D 0
(74)
tales queQ,Q = 0 = Q†,Q† , Q,Q† = (2mc2)HP
[HP,Q] = 0 = [HP,Q†]
HB
Q†
Q
HF
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Supersimetría• Consideremos un estado propio de HP con energía distinta de cero, EP
n 6= 0,
Q(ψB
ψF
)=(
D†ψF
0
)Q†(ψB
ψF
)=(
0DψB
)
resulta D†ψF = |E0n|ψB
DψB = |E0n|ψF
EPn =
(E0n)2
2mc2
Los estados de energía distinta de cero forman pares bose-fermi
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Supersimetría• Los estados de HP con energía cero, EP
0 = 0, son singletes:
D†ψF = 0 , DψB = 0
Representaciones unidimensionales de la supersimetría:
Q(ψB
ψF
)= 0 = Q†
(ψB
ψF
)• En el problema de Landau-Pauli, que estamos considerando, los modos cero tienencaracter bosónico:
ψ0m(z, z) =
Ψ0m(z, z)
0
, Cψ0m(z, z) = +ψ0m(z, z)
El caracter bosónico o fermiónico de los modos cero depende del signo del campomagnético y del signo de la carga
En este caso hemos elegido: B = −B k y q = −e.
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Supersimetría• Por último, definimos el operador de Klein fermiónico (−1)F:
(−1)FQ + Q(−1)F = 0 = (−1)FQ† + Q†(−1)F ⇒ (−1)F ≡ σ3
• Los modos cero no forman pares bose-fermi y, por tanto,
n0F − n0
B = Tr(−1)F
Tr(−1)F = −n0B ≡ Número total de modos cero
≡ Flujo espectral ≡ Asimetría espectral
≡ Número fermiónico fraccionario
Topología no-trivial en el plano⇐⇒ Presencia del campo magnético
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Bibliografía
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J. J. Sakurai, Modern Quantum Mechanics. The Benjamin CPC 1985.
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