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8/9/2019 Geometria Plana Quadrilateros Notaveis
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GEOMETRIA PLANA: QUADRILTEROS NOTVEIS
1. (Unesp) Seja ABCD um retngulo cujos lados tm as seguintes
medidas: !"#!$cm e "!#!1%&cm. Se ' o ponto mdio de AB%
ento o raio da circun*erncia determinada pelos pontos C% ' e D
mede:
a) +%,- cm ) -%,- cm c) ,%,- cm d) -%,+ cm e) +%+- cm
&. (/u0estg0 ) 2a 3gura a seguir ABCD indica um 4uadrado de lado
unit5rio e AB6 um tringulo e4uil5tero.
7ro0e 4ue:
a) 8 ! 1-9
) tg8 ! & ;,
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,. (/u0est ) < retngulo a seguir de dimens=es a e est5 decomposto
em 4uadrados. >ual o 0alor da ra?o a@
a) -@, ) &@, c) & d) ,@& e) 1@&
+. (Unesp ) Considere as seguintes proposi=es:
todo 4uadrado um losango todo 4uadrado um retngulo
todo retngulo um paralelogramo todo tringulo e4il5tero
isscele.
7odese a3rmar 4ue:
a) s uma 0erdadeira. ) todas so 0erdadeiras.
c) s uma *alsa. d) duas so 0erdadeiras e duas so *alsas.
e) todas so *alsas.
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-. (U*pe ) 2a 3gura a seguir% os retngulos ABCD e AEBECEDE tm o
mesmo centro e lados iguais a -cm e Fcm.
>ual o dimetro da maior circun*erncia contida na regio
GacGurada
a) + cm ) - cm c) -;& cm d) F cm e) F;& cm
$. (/u0est ) 2o retngulo a seguir% o 0alor% em graus% de 8 H I
a) -J ) FJ c) 1&J d) 1,J e) &&J
K. (L1) A ra?o entre as medidas dois lados de um paralelogramo
&@,. Se o perMmetro desse paralelogramo 1-Jm% determine a medida
dos lados.
N. (L1) Um 4uadril5tero ABCD est5 inscrito numa circun*erncia.
Saendo 4ue os arcos AB% BC e CD 0alem% respecti0amente% NJ9% 11J9e FJ9% determine todos os ngulos do 4uadril5tero
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F. (L1) Classi34ue em 0erdadeira (O) ou *alsa (/) cada uma das
seguintes sentenas:
a. ( ) Podo retngulo trap?io. . ( ) 2em todo 4uadrado
retngulo.
c. ( ) Podo paralelogramo retngulo. d. ( ) Podo losango
paralelogramo.
e. ( ) 2em todo trap?io paralelogramo.
1J. (L1) 2o losango calcule Q.
11. (L1) 2o paralelogramo a seguir% calcule R.
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1&. (L1) Se ' ponto mdio de % determine Q e m().
1,. (L1) 2o trap?io retngulo da 3gura seguinte% determine em cm%
a medida Q da ase maior . (use a taela trigonomtrica)
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1+. (L1) ABCD um trap?io de ases e "#. Se D o doro de A e
C o triplo de B% calcule os ngulos do trap?io.
1-. (L1) Saendo 4ue ABCD um paralelogramo% calcule Q e R
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1$. (L1) Sendo ABCD um retngulo% calcule Q e R.
1K. (L1) A issetri? de um losango *orma +J9 com um dos lados.
Determine os 4uatro ngulos do losango.
1N. (L1) 7ara re0estir uma parede de Fm so necess5rios
eQatamente +JJ a?ulejos 4uadrados. >uanto mede o lado do a?ulejo
1F. (L1)
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&J. (L1) As ases de um trap?io medem Ncm e 1&cm%
respecti0amente% e a altura +cm. A 4ue distncia da ase menor 3ca
o ponto de encontro das retassuporte dos lados noparalelos
a) N cm ) 1& cm c) 1$ cm d) + cm
&1. (L1) A medida de cada ngulo otuso de um losango eQpressa
por &Q H -9 e a medida de cada ngulo agudo% por Q H +J9.
Determine as medidas dos + ngulos internos desse losango.
&&. (L1) Se as diagonais de um retngulo *ormam um ngulo de 1&J9
entre si% 4uais so as medidas dos ngulos 4ue as diagonais *ormam
com os lados do retngulo
&,. (L1) A diagonal menor de um losango decomp=e esse losango em
dois tringulos congruentes. Se cada ngulo otuso do losango mede
1,J9% 4uais so as medidas dos trs ngulos de cada um dos
tringulos considerados
&+. (L1) Uma diagonal de um losango *orma -J9 com um dos lados.
Determine os 4uatro ngulos do losango.
&-. (L1) A di*erena entre a medida de dois ngulos consecuti0os de
um paralelogramo +J9. Calcular a medida dos ngulos internos
desse paralelogramo.
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&$. (L1) Calcule o 0alor de Q:
&K. (L1) Um ngulo eQterno de um paralelogramo mede ,N9. >uais
so os ngulos desse paralelogramo
&N. (L1) 2um losango% a medida do ngulo otuso igual ao triplo da
medida do ngulo agudo. Calcule as medidas dos ngulos desse
losango.
&F. (L1) Saendo 4ue os ngulos otusos de um losango so
eQpressos por Q H NJ9 e &Q H &J9% calcule as medidas dos + ngulos
desse losango.
,J. (L1) Calcule o perMmetro dos seguintes retngulos:
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,1. (L1) Um dos ngulos internos de um paralelogramo mede K&9.
>uanto medem os outros ngulos desse paralelogramo
,&. (L1) 2um paralelogramo os ngulos otusos medem o triplo dos
ngulos agudos. Calcule os ngulos desse paralelogramo.
,,. (L1) 2um paralelogramo% os ngulos agudos medem a metade
dos ngulos otusos. Determine as medidas dos ngulos desse
paralelogramo.
,+. (L1) A soma das medidas dos ngulos agudos de um
paralelogramo N+9. >uanto medem os ngulos desse
paralelogramo
,-. (L1) 2um paralelogramo ABCD% a diagonal # *orma com o lado
" um ngulo de &N9 e com o lado #" um ngulo de $K9. Calcule os
ngulos desse paralelogramo.
,$. (L1) (Uni0ersidade /ederal de
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da ase maior% traase uma paralela Ws ases% 4ue determina dois
trap?ios. >ual a 5rea de cada um
,N. (L1) 6m 0olta de um terreno retangular de 1&m por ,Jm% de0ese
construir uma cerca com cinco 3os de arame *arpado% 0endido em
rolos de -Jm. >uantos rolos de0em ser comprados
a) ,$ ) 1N c) 1& d) F e) -
,F. (L1) (XPA )
Dadas as a3rma=es:
X >uais4uer dois ngulos opostos de um 4uadril5tero so
suplementares.
XX >uais4uer dois ngulos consecuti0os de um paralelogramo so
suplementares.
XXX Se as diagonais de um paralelogramo so perpendiculares entre si
e se cru?am em seu ponto mdio% ento esse paralelogramo um
losango.
7odemos garantir 4ue:
a) todas so 0erdadeiras. ) apenas X e XX so 0erdadeiras.
c) apenas XX e XXX so 0erdadeiras. d) apenas XX 0erdadeira.
e) apenas XXX 0erdadeira.
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+J. (L1) 2a 3gura temse o trap?io issceles ABCD no 4ual as ases
medem 1-cm e &Kcm.
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+,. (U*mg) . < perMmetro do 4uadril5tero 7>ZS :
a) 11;, ) &&;, c) 11;& d) &&;&
++. (Unicamp) Um trap?io retngulo um 4uadril5tero con0eQo
plano 4ue possui dois ngulos retos% um ngulo agudo 8 e um ngulo
otuso I. SuponGa 4ue% em um tal trap?io% a medida de I seja igual a
cinco 0e?es a medida de 8 .
a) Calcule a medida de 8% em graus.
) 'ostre 4ue o ngulo *ormado pelas issetri?es de 8 e I reto.
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+-. (U*rs ) Considere as seguintes a3rma=es sore um 4uadril5tero
con0eQo.
X Se as diagonais se interceptam em seus respecti0os pontos
mdios% ento o 4uadril5tero um retngulo.
XX Se as diagonais se interceptam perpendicularmente em seus
respecti0os pontos mdios% ento o 4uadril5tero um losango.
XXX Se as diagonais se interceptam perpendicularmente e so
congruentes% ento o 4uadril5tero um 4uadrado.
>uais esto corretas
a) Apenas XX ) Apenas XXX c) Apenas X e XX d) Apenas X e XXX
e) X% XX e XXX
+$. (Un ) 2a 3gura adiante% ABCD um 4uadrado de lado de
comprimento igual a 1% e os arcos 4ue limitam a regio somreada X
so arcos de circun*erncias centradas nos 0rtices do 4uadrado.
Zepresentando por Q a distncia do ponto 6 ao lado AD% julgue os
itens a seguir.
(1) Q ! 1 (;,@&)
(&) < comprimento do arco de cMrculo /B igual a \@1&
(,) < comprimento do segmento D6 igual a ;(&;,)
(+) A 5rea da regio X igual a (\@,)H(-@+)(;,).
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+K. (Unirio )
2o cuo anterior% cada aresta mede $cm.
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+N. (7uccamp) 2a 3gura a seguir temse representado o losango
ABCD% cuja diagonal menor mede +cm.
A medida do lado desse losango% em centMmetros%
a) $;, ) $ c) +;, d) + e) &;,
+F. (7ucrio ) ABCD uma paralelogramo% ' o ponto mdio do lado
CD% e P o ponto de interseco de A' com BD. < 0alor da ra?o
DP@BD :
a) [ . ) 1@,. c) &@-. d) 1@+. e) &@K.
-J. (7ucrio ) A 5rea m5Qima de um paralelogramo com lados a% % a%
:
a) a H . ) & a. c) a. d) a H .
e) a@.
-1. (/u0est) Um trap?io retngulo tem ases - e & e altura +. os pontos mdios de seus
lados como mostra a 3gura adiante.
7 so congruentes pois
'% 2% 7 e > so os pontos mdios dos lados do 4uadrado ABCD. Vogo
os segmentos >'% '2% 27 e 7> so congruentes. Cada ngulo agudo
desses tringulos mede +-9 e% conse4uentemente os ngulos internos
do 4uadril5tero '27> so ngulos retos.
Das considera=es anteriores segue 4ue '27> um 4uadrado.
) Sendo A' ! A> ! a% temos '> ! a;&.
Do enunciado (a;&) ! K& portanto% a! $.
Vogo o lado do 4uadrado maior mede 1& cm.
+,. `D
++. a) ,J9
) Sendo a medida% em graus de um dos ngulos *ormados pelas
issetri?es C6 e D6 dos ngulos 8 e I% no tringulo 6CD% de acordo com
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o teorema do ngulo eQterno% temse:
! 8@& H I@& ! (8HI)@& !1NJ9@&
!FJ9 CD ngulo reto.
+-. `A
+$. O / O /
+K. `C
+N. `D
+F. `B
-J. `C
-1. `D
-&. `A
-,. `6
-+. `C
--. `C
-$. `A
-K. `B
-N. `6
-F. a) Saendo 4ue os ngulos opostos de um 4uadril5tero inscrito
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so suplementares% temos:
BAC H BDC ! 1NJ9.
) 1 Soluo
7ela Vei dos Senos% no tringulo BAC% temos:
BC@sen (BAC) ! &Z BC ! &Z sen (BAC).
& Soluo
Como BD ! &Z% o tringulo BCD retngulo em C (propriedade do
ngulo inscrito). Vogo%
sen (BDC) ! BC@BD
sen (1NJ9 BAC) ! BC@&Z
BC ! &Z sen (BAC).
c.4.d.
$J. `A
$1. `A