Download - GEOMETRI ANALITIK RUANG
![Page 1: GEOMETRI ANALITIK RUANG](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061313/56815170550346895dbfa148/html5/thumbnails/1.jpg)
GEOMETRI ANALITIK RUANG
Matematika 2
By. Retno Anggraini
![Page 2: GEOMETRI ANALITIK RUANG](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061313/56815170550346895dbfa148/html5/thumbnails/2.jpg)
Geometri analitik ruang
Jarak dari pusat sumbu O ketitik P (x, y, z) ialah :
OP2 = ( x2 + y2 + z2 ) Jika OP = r maka : r 2 = ( x2 + y2 + z2 )
![Page 3: GEOMETRI ANALITIK RUANG](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061313/56815170550346895dbfa148/html5/thumbnails/3.jpg)
SUDUT SUDUT ARAH DAN COSINUS COSINUS ARAH
Jika masing-masing sudut antara OP dgn sumbu-sumbu positif maka :
x = r cos cos x/r y = r cos atau cos y/r zr cos cos
z/rDimana disebut sudut sudut arah OP
cos cos cos disebut cosinus arah OP
Dan cos 2cos2cos 2
![Page 4: GEOMETRI ANALITIK RUANG](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061313/56815170550346895dbfa148/html5/thumbnails/4.jpg)
BILANGAN ARAH GARIS
cos cos cos a : b : c, maka a,b,c disebut bilangan arah garis
Jika diketahui a,b,c maka
cos = a / + (a2 + b2 + c2 )1/2
cos = b / + (a2 + b2 + c2 )1/2
cos = c / + (a2 + b2 + c2 )1/2
Dimana tanda penyebut + atau – tergantung kuadran.
![Page 5: GEOMETRI ANALITIK RUANG](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061313/56815170550346895dbfa148/html5/thumbnails/5.jpg)
JARAK DARI DUA TITIK
Jarak dari dua titik P1(x1,y1,z1) dan P2 (x2,y2,z2) adalah :
d = [(x2-x1)2 + (y2-y1)2 + (z2-z1)2]1/2
Bilangan arah dari garis P1P2 adalah
(x2-x1), (y2-y1) dan (z2-z1) Cosinus arah dari garis P1P2 adalah
cos x2-x1)/d,
cos y2-y1)/d,
cos z2-z1)/d
![Page 6: GEOMETRI ANALITIK RUANG](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061313/56815170550346895dbfa148/html5/thumbnails/6.jpg)
TITIK
Jika P(x,y,z) membagi garis P1P2 dengan perbandingan P1P/PP2 = m/n = q maka :
X = (x1 + qx2) / (1+q)
Y= (y1 + qy2) / (1+q)
Z = (z1 + qz2) / (1+q) Koordinat titik tengah T dari grs P1P2
T = [(x1+x2)/2 , (y1+y2)/2 , (z1 +z2)/2]
![Page 7: GEOMETRI ANALITIK RUANG](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061313/56815170550346895dbfa148/html5/thumbnails/7.jpg)
SUDUT ANTARA DUA GARIS
Didefinisikan sebagai sudut antara dua garis berpotongan, dan masing masing // dgn satu dari garis yang diketahui.
Jika OP1 dan OP2 garis melalui O dan // dua garis yg diketahui, sudut antara grs itu maka :
Cos = (x1x2 + y1y2 + z1z2) /r1r2 Dimana : r1 2 = ( x12 + y12 + z12 ) r2 2 = ( x22 + y22 + z22 )
![Page 8: GEOMETRI ANALITIK RUANG](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061313/56815170550346895dbfa148/html5/thumbnails/8.jpg)
Karena X1 = r cos X2 = r cos maka cos cos cos cos cos cos cos
Jika dua grs //, maka :
Jika dua garis tegak lurus makacos cos cos cos cos cos
![Page 9: GEOMETRI ANALITIK RUANG](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061313/56815170550346895dbfa148/html5/thumbnails/9.jpg)
Jika q sudut antara dua garis dgn bilangan arah a1, b1, c1, dan a2,b2,c2 maka : cos a1a2 + b1b2 + c1c2 [(a12+ b12 +c12xa22+ b22 +c22)
Jika dua grs //, maka : a1/a2 = b1/b2=c1/c2Jika dua garis tegak lurus makaa1a2 + b1b2 + c1c2 = 0
![Page 10: GEOMETRI ANALITIK RUANG](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061313/56815170550346895dbfa148/html5/thumbnails/10.jpg)
BIDANG DATAR
Bentuk Umum
Ax + By + Cz + D = 0 Dimana A, B, C tidak semuanya nol
Persamaan Bidang datar melalui titik (xo, yo, zo) adalah :
A(x-xo) + B(y-yo) + C(z-zo) = 0
![Page 11: GEOMETRI ANALITIK RUANG](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061313/56815170550346895dbfa148/html5/thumbnails/11.jpg)
GARIS TEGAK LURUS PADA BIDANG DATAR
Syarat supaya garis g dgn blgn arah a, b,c tegak lurus pada bdg Ax + By + Cz + D = 0 ialah
a/A = b/B = c/C Persamaan bidang datar melalui P1 (x1,y1,z1)
tegak lurus pada garis dgn bilangan arah a,b,c adalah :
a(x-x1) + b(y-y1) + c(z-z1) = 0
![Page 12: GEOMETRI ANALITIK RUANG](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061313/56815170550346895dbfa148/html5/thumbnails/12.jpg)
DUA BIDANG SEJAJAR DAN TEGAK LURUS
Dua Bidang A1x + B1y + C1z + D1 = 0 dan adalah A2x + B2y + C2z + D2 = 0
- // jika A1/A2 = B1/B2 = C1/C2
- Tegak lurus jika A1.A2 + B1.B2 + C1.C2 =0
Jarak dari titik P1(x1,y1,z1) ke bidang Ax+By+Cx+D =0 adalah :
d = Ax1 + By1 + Cz1 + D
(A2 + B2 + C2 )1/2
![Page 13: GEOMETRI ANALITIK RUANG](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061313/56815170550346895dbfa148/html5/thumbnails/13.jpg)
Persamaan bidang datar melalui tiga titik (a,0,0), (0,b,0), dan (0,0,c) adalah ; x/a + y/b + z/c = 1Sudut lancip antara dua bidang datar A1x+ B1y+C1z+D = 0 dan A2x + B2y+C2z+D = 0 adalah :
cos A1A2 + B1B2 + C1C2 (A12+B12+C12 )1/2 (A22+B22+C22 )1/2
![Page 14: GEOMETRI ANALITIK RUANG](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061313/56815170550346895dbfa148/html5/thumbnails/14.jpg)
TITIK POTONG TIGA BIDANG DATAR
a1x+b1y+c1z = d1; a2x+b2y+c2z = d2 a3x+b3y+c3z = d3 adalah
x = D1/D, y = D2/D, z = D3/D dimana :
a1 b1 c1 d1 b1 c1 D = a2 b2 c2 = 0 D1= d2 b2 c2 a3 b3 c3 d3 b3 c3
a1 d1 c1 a1 b1 d1 D2 = a2 d2 c2 D3 = a2 b2 d2 a3 d3 c3 a3 b3 d3
![Page 15: GEOMETRI ANALITIK RUANG](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061313/56815170550346895dbfa148/html5/thumbnails/15.jpg)
•Berkas bdg dr dua bid. A1x+ B1y+C1z+D1 = 0 dan A2x + B2y+C2z+D2 = 0 adalah : (A1x+ B1y+C1z+D1) + (A2x+ B2y+C2z+D2)= 0 dimana parameter
Garis dalam ruang ditentukan sebagai garis potong dua bidang (A1x+ B1y+C1z+D1) = 0(A2x+ B2y+C2z+D2) = 0 dengan bilangan arah
B1 C1 C1 A1 A1 B1 : : = a:b:c B2 C2 C2 A2 A2 B2
![Page 16: GEOMETRI ANALITIK RUANG](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061313/56815170550346895dbfa148/html5/thumbnails/16.jpg)
PERSAMAAN GRS LURUS DLM RUANG
Jk sudut arah garis g adalah ; dan jk P1(x1,y1,z1) titik pada garis g, maka grs g merupakan tempat kedudukan P(x,y,z) yg bergerak sdh :
x-x1 = t cosy-y1 = t cosz-z1 = t cos Jika a,b,c adalah bilangan arah garis g maka
persamaan garis ini dapat ditulis sbb :
x = x1 +at ; y = y1 + bt ; z = z1 + ct Dimana t = perubahan panjang P1P
![Page 17: GEOMETRI ANALITIK RUANG](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061313/56815170550346895dbfa148/html5/thumbnails/17.jpg)
BENTUK SIMETRIK PERSAMAAN GARIS LURUS Persamaan garis lurus melalui P1(x1,y1,z1) dgn
sudut – sudut arah adalah ;
x – x1 = y – y1 = z –z1
cos cos cos
Jika bilangan arah garis adalah a,b,c maka persamaan simerik berbentuk :
x – x1 = y – y1 = z –z1
abc
![Page 18: GEOMETRI ANALITIK RUANG](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061313/56815170550346895dbfa148/html5/thumbnails/18.jpg)
Jika garis g tegak lurus pada salah satu sumbu koordinat, pers garis itu berbentuk satu diantara :
x = x1 , y – y1 = z – z1 (tgk lrs sb x) b c y = y1 , x – x1 = z – z1 (tgk lrs sb y) a c z = z1 , x - x1 = y – y1 (tgk lrs sb z) a b
![Page 19: GEOMETRI ANALITIK RUANG](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061313/56815170550346895dbfa148/html5/thumbnails/19.jpg)
PERSAMAAN GARIS LURUS MELALUI DUA TITIK Pers garis lurus melalui dua titik P1(x1,y1,z1) dan
P2(x2,y2,z2) adalah :
x –x1 = y1 – y2 = z – z1 b b b
Arah – arah relatif garis dan bidang datar
Garis g dgn bilangan arah a, b, c dan bidang datar V : Ax + By + Cz + D = 0 maka :
1. g // V jika : Aa + Ba + Cc = 0
2. g V jika : A/a = B/b = C/c
![Page 20: GEOMETRI ANALITIK RUANG](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061313/56815170550346895dbfa148/html5/thumbnails/20.jpg)
BOLA Persamaan x2+ y2 + z2 = R2 adalah bola yg
berpusat di O (0,0,0) dgn jari jari R. Persamaan (x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 = R2 adalah
bola yg berpusat di (a,b,c) dgn jari jari R. Persamaan x2+ y2+ z2+2Ax+2By+2Cz+D= R2
adalah pers bola dgn titik pusat M (-A, -B, -C)
Jari – jari R = ( A2+ B2 +C2 – D )1/2
Jika R = 0 bola menjadi “bola titik” Jika A2+ B2 +C2 – D > 0 adalah “ bola sejati ” Jika A2+ B2 +C2 – D < 0 adalah “ bola khayal “ Sebuah bola tertentu oleh 4 ttk yg tdk sebidang
![Page 21: GEOMETRI ANALITIK RUANG](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061313/56815170550346895dbfa148/html5/thumbnails/21.jpg)
PERSAMAAN BIDANG SINGGUNG DAN BIDANG KUTUB
Jika Pers bola x2+ y2+ z2+2Ax+2By+2Cz+D= 0 atau BI = 0 , Maka :
1. Pers bidang singgung dititik P(x1,y1,z1) yg terletak pada bola BI = 0 adalah
x1x+y1y+z1z+A(x+x1)+B(y+y1)+C(z+z1)+ D =0
2. Pers bidang kutub dari titik sebarang P(x1,y1,z1) terhadap bola BI = 0 adalah
x1x+y1y+z1z+A(x+x1)+B(y+y1)+C(z+z1)+ D =0
![Page 22: GEOMETRI ANALITIK RUANG](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061313/56815170550346895dbfa148/html5/thumbnails/22.jpg)
Untuk persamaan bola x2+ y2 + z2 = R2 maka persamaan bidang singgung / kutub adalah : x1x + y1y + z1z = R2
- Untuk persamaan bola : (x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 = R2 maka persamaan bidang singgung / kutub adalah : (x1–a)(x-a) + (y1-b)(y-b) + (z1-c)(z-c) = R2
- Kuasa titik P(x1,y1,z1) terhadap bola : x2+ y2+ z2+2Ax+2By+2Cz+D= 0 adalah k = x12+ y12+ z12+2Ax1+2By1+2Cz1+D k >0 jika P diluar bola, k< 0 jika P didalam bola, k = 0 jika P pada bola
![Page 23: GEOMETRI ANALITIK RUANG](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061313/56815170550346895dbfa148/html5/thumbnails/23.jpg)
Bidang kuasa dr dua bola BI = 0 dan BII = 0
BI : x2+ y2+ z2+2A1x+2B1y+2C1z+D1= 0 BII: x2+ y2+ z2+2A2x+2B2y+2C2z+D2= 0
Persaman bidang kuasa dari dua bola BI dan BII adalah
BI - BII = 0 atau2(A1-A2)x + 2(B1-B2)y + 2(C1-C2)z +D1-D2 = 0
Persamaan bidang kuasa ini adalah merupakan tempat kedudukan titik – titik yang kuasanya sama terhadap bola BI dan BII
![Page 24: GEOMETRI ANALITIK RUANG](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061313/56815170550346895dbfa148/html5/thumbnails/24.jpg)
Garis kuasa dan titik kuasa
1. Jk 3 bola : BI = 0, BII = 0, dan BIII = 0 tidak melalui satu titik. Maka : BI = BII = BIII adalah persamaan garis kuasa tiga bola itu
2. Jika 4 bola : BI = 0, BII = 0, BIII = 0 dan BIV = 0 tidak melalui 2 titik yang sama maka
BI = BII = BIII =BIV adalah persamaan titik kuasa dari 4 bola itu
![Page 25: GEOMETRI ANALITIK RUANG](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061313/56815170550346895dbfa148/html5/thumbnails/25.jpg)
TABUNG DAN KERUCUT
Bidang Tabung adalah bidang yang dilukiskan oleh garis-garis lurus yang arahnya sama sejajar (yg disbt garis lukis) dan selalu memotong sebuah garis lengkung tertentu (yg disbt garis lengkung arah
Bidang kerucut adalah bidang yg dilukiskan oleh garis lurus yang melalui sebuah titik tetap (yg disbt puncak kerucut) dan memotong sebuah garis lengkung tertentu (yg disbt grs lengkung arah)
![Page 26: GEOMETRI ANALITIK RUANG](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061313/56815170550346895dbfa148/html5/thumbnails/26.jpg)
BIDANG PUTARAN Bdg putaran adalah bdg yg terjadi jk sebuah grs
(lengkung/lrs) berputar sekeliling sebuah grs lrs sbg sumbu.
Grs lengkung datar : y = 0, f(x,z) = 0; diputar sekeliling sb z, maka pers bid putaran yang terjadi adalah ; f( x2+ y2 , z) = 0
Grs lengkung datar : y = 0, f(x,z) = 0; diputar sekeliling sb x, maka pers bid putaran yang terjadi adalah ; f( x, y2+ z2 ) = 0
![Page 27: GEOMETRI ANALITIK RUANG](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061313/56815170550346895dbfa148/html5/thumbnails/27.jpg)
1. Jk grs lurus : x/a + z/b = 1, y = 0 diputar sekeliling sb z, maka terjadi :
( x2+ y2 )/a + z/b = 1 ATAU (x2+ y2)/ a2 = (b-z)2/ b2 : ialah kerucut2. Jk lingkaran x2+ y2 = a2 , y = 0 diputar sekeliling sb z, maka x2+ y2 + z2 = a2 adalah bola3. Jk parabola : x2 = 2pz, y = 0 diputar sekeliling sb z, mk terjadi x2+ y2 = 2pz adalah parabolaida putaran
![Page 28: GEOMETRI ANALITIK RUANG](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061313/56815170550346895dbfa148/html5/thumbnails/28.jpg)
4. Jk ellips : x2 /a2 + z2/b2 = 1, y = 0 diputar sekeliling sb z maka terjadi (x2+ y2)/ a2 + z2 /b2 = 1 atau x2/a2 + y2/a2 + z2/b2 = 1 adalah sebuah elipsoida putaran
5.Jk hiperbola : x2 /a2 - z2/b2 = 1, y = 0 diputar sekeliling sb z maka terjadi
(x2+ y2)/ a2 - z2 /b2= 1atau x2/a2 + y2/a2 - z2/b2 = 1 ialah sebuah hiperbola putaran daun satu.
![Page 29: GEOMETRI ANALITIK RUANG](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061313/56815170550346895dbfa148/html5/thumbnails/29.jpg)
6. Jk hiperbola : x2 /a2 - z2/b2 = -1, y = 0 diputar sekeliling sb z maka terjadi (x2+ y2)/ a2 - z2 /b2= -1atau - (x2/a2) - y2/a2 + z2/b2 = 1 ialah sebuah hiperbola putaran daun dua.
7. Jk grs lurus x = a, y = 0 diputar sekeliling sb z, mk terjadi :
(x2+ y2)1/2 = a atau x2+ y2 = a2
Ialah sebuah tabung silinder
![Page 30: GEOMETRI ANALITIK RUANG](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061313/56815170550346895dbfa148/html5/thumbnails/30.jpg)
BIDANG DERAJAT DUA
1. Elipsoida
x2/a2 + y2/b2 + z2/c2 = 1
Perpotonganya dgn bid koordinat berupa ellips. Pers bid singgung dititik P(x1,y1,z1) adalah
x1x/a2 + y1y/b2 + z1z/c2 = 1
2. Parabola Eliptik
x2/a2 + y2/b2 = (2p/a2) z2
![Page 31: GEOMETRI ANALITIK RUANG](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061313/56815170550346895dbfa148/html5/thumbnails/31.jpg)
-Perpotongan dgn bid z = k > 0 x2/a2 + y2/b2 = (2pk/a2) z2 berupa ellips
- Perpotongan dgn bid y = 0 berupa parabola- Perpotongan dgn bid x= 0 berupa parabola
- Persamaan bidang singgung dititik T(x1,Y1,z1) adalah :
x1x/a2 + y1y/b2 = (p/a2) .(z+z1)
![Page 32: GEOMETRI ANALITIK RUANG](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061313/56815170550346895dbfa148/html5/thumbnails/32.jpg)
3. Hiperbola daun satu x2/a2 + y2/b2 - z2/c2 = 1 - Perpotongan dgn bid koordinat : Dengan bid z = 0 berupa ellips Dengan bid x = 0 berupa hiperbola Dengan bid y = 0 berupa hiperbola
- Persamaan bidang singgung dititik P(x1,Y1,z1) adalah :
x1x/a2 + y1y/b2 – z1z/c2 = 1
![Page 33: GEOMETRI ANALITIK RUANG](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061313/56815170550346895dbfa148/html5/thumbnails/33.jpg)
4. Hiperbola daun duax2/a2 - y2/b2 - z2/c2 = 1- Perpotongan dgn bid koordinat : Dengan bid z = 0 berupa hiperbola Dengan bid x = 0 berupa elips khayal y2/b2 + z2/c2 = -1 Dengan bid y = 0 berupa hiperbola Dengan bid x = k dimana k>a adalah y2/b2 + z2/c2 = k2/a2 -1 berupa ellips real (k2/a2 -1) > 0
- Persamaan bidang singgung dititik P(x1,Y1,z1) adalah :
x1x/a2 - y1y/b2 – z1z/c2 = 1
![Page 34: GEOMETRI ANALITIK RUANG](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061313/56815170550346895dbfa148/html5/thumbnails/34.jpg)
5. Parabolaida hiperbolik x2/a2 - y2/b2 = 2pz/a2
- Perpotongan dgn bid z = 0 , y2= b2x2 /a2, y = bx/a ,berupa dua grs lrs- Dengan bid z = k : x2/a2 - y2/b2 = 2pk/a2
berupa hiperbola - Dengan bid y = 0 : x2 = 2pz berupa parabola- Dengan bid x = 0 : y2 = -b2 2pz /a2 berupa parabola
- Persamaan bidang singgung dititik P(x1,y1,z1) adalah :
x1x/a2 - y1y/b2 = p/a2 (z+z1)
![Page 35: GEOMETRI ANALITIK RUANG](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061313/56815170550346895dbfa148/html5/thumbnails/35.jpg)
SELAMAT BELAJAR
GOOD LUCK