Download - Geodesi fisis Laplace
CARA PENYELESAIAN PERSAMAAN LAPLACE
6.1. Koordinat Kartesian
Ditinjau dari situasi datar dengan x dan y sebagai koordinat horisontal dan
z sebagai ketinggian, z<0 berarti di dalam bumi dan jika z>0 berarti di luar bumi.
Langkah pertama yang paling penting dalam strategi penyelesaian solusi
adalah dengan pemisahan variabel, yaitu :
Δ Ф (x,y,z) = Δ f(x)g(y)h(z) = 0
Menerapkan aturan rantai memberikan hasil sebagai berikut:
∂2 f (x )∂ x2 g ( y )h ( z )+f ( x ) ∂2 g ( y )
∂ y2 h ( z )+ f ( x ) g ( y ) ∂2h ( z )∂ z2 =0
Untuk singkatnya setiap turunan kedua ditandai dengan tanda “. Karena
pemisahan variabel,jelas mana variabel diferensiasi itu harus dilakukan.
Persamaan di atas disusun kembali dalam bentuk yang lebih sederhana, setelah itu
dibagi dengan Ф = fgh sendiri.
f n g h+ f gn h+fg hn=0
f n
f+ gn
g+ hn
h=0
Pemisahan variabel mengarah ke pemisahan dari turunan parsial menjadi
tiga persamaan turunan biasa (ODE), yaitu:
f n
f=−n2: f n+n2 f =0
gn
g=−m2: gn+m2 g=0
hn
h=n2+m2: hn−(n2+m2 ) h=0
Ada dua solusi dasar :
f 1 ( x )=cos nx dan f 2 ( x )=sin nx
g1 ( y )=cosmy dan g2 ( y )=sin my
h1 ( z )=e−√n2+m2 z dan h2 ( z )=e√n2+m2 z
Tentu saja masing-masing solusi dapat dikalikan dengan suatu konstan.
Persamaan umum Ф ( x , y , z )hasilnya akan menjadi f,g dan h. Maka dari itu setiap
n dan m kita mendapatkan hasil baru. Jadi kita harus menyertakan 8 kemungkinan
kombinasi dari n dan m.
Hasil dari persamaan Laplace bukanlah merupakan solusi dari BVP. Hasil
tersebut hanya memberikan kita sifat dari potensial Ф di luar bumi pada keadaan
fungsi dasar. Untuk asal yang horisontal, fungsi dasarnya adalah sinus dan
kosinus. Jadi potensialnya adalah deret Fourier pada asal horisontal. N dan M
adalah nilai panjang gelombang.
6.1.1 Penyelesaian Dirichlet dan Neumann BVP dalam x, y, z
Dirichlet. Diberikan :
a. Penyelesaian umum
b. Kondisi umum, dan
c. Potensial pada batas z = 0: λ (x, y, z = 0),
Kemudian, seharusnya batas fungsi dikembangkan menjadi seri 2D
Fourier :
Penyelesaaian penuh BVP dengan membandingkan koefisien spektral
dengan koefisien yang tidak diketahui dari penyelesaian umum. Pada kasus ini
penyelesaian penuh dari Neumann terdiri dari :
Nilai batas ketinggian z = z0. Varian dari BVP di kasus ini dengan batas
fungsi yang diberikan pada keinggian tertentu. Dengan pengaturan z = z0 dan
digunakan koefisien yang sama seperti di atas, didapatkan perbandingan :
Setelah menyelesaikan untuk anm, bnm, dan selanjutnya, disubstitusikan
menjadi penyelesaian umum lagi, didapat :
Neumann. Pada kasus penurunan diberikan sebagai batas fungsi yang
didapat sebelumnya. Kemudian batas fungsi dikembangkan menjadi seri 2D
Fourier :
Tetapi , koefisien Fourier memiliki makna yang berbeda di sini. Sekarang
koefisien-koefisien ini harus diubah ke koefisien-koefisien penurunan vertikal dari
penyelesaian umum :
Setelah menyelesaikan untuk anm, bnm, dan selanjutnya, disubstitusikan
menjadi penyelesaian umum lagi, didapat :
6.2. Koordinat Bola
Di sini akan diasumsikan sebuah bola bumi dan akan digunakan koordinat
bola yaitu r , θ , λ Strateginya terdiri dari beberapa tahap :
a. Tulis persamaan Laplace pada koordinat bola,
b. Pisahkan variabel,
c. Selesaikan 3 persamaan turunan biasa yang terpisah,
d. Kombinasikan semua kemungkinan solusi menjadi sebuah perkembangan
lanjutan (superposisi),
e. Tambahkan kondisi umum dan hilangkan solusi yang bermasalah,
f. Kembangkan batas fungsi (Dirichlet dan Neumann) menjadi kelanjutan,
g. Bandingkan koefisien,
h. Tulis solusi penuh.
Persamaan Laplace pada koordinat bola :
Setelah dikalikan dengan r2 didapatkan bentuk yang lebih sederhana :
Persamaan radial :
Dua penyelesaian fungsi radial dasar :
Kemudian, permukaan operator Laplace diubah lagi dan memisahkan Y
menjadi g (θ ) h(λ) :
Bagian kiri hanya berdasarkan pada θ dan bagian kanan hanya pada λ
kemudian didapatkan penyelesaian :
Kepadatan dan permukaan bola harmonik. Dipunyai empat dasar
fungsi sekarang, berdasarkan persamaan Laplace :
atau
l dan m dari fungsi ini memiliki aturan yang sama terhadap nilai
gelombang n dan m pada seri Fourier :
a. l adalah derajat bola harmonik,
b. m adalah tujuan bola harmonik, juga dikenal sebagai longitudinal nilai
gelombang, yang mana menjadi jelas.
Setelah menyelesaikan persamaan Laplace, akan sangat mudah untuk
menyelesaikan BVP pertama dan kedua. Pada kedua kondisi diibaratkan
limr → ∞
ϕ (r , θ , λ )=0
Dirichlet. Langkah selanjutnya adalah mengira-ngira bahwa batas fungsi
diberikan pada batas r ≈ R. Maka harus diikuti dengan persamaan umum :
ϕ (r ,θ , λ )=∑l=0
∞
∑m=0
l
Plm(cosθ)(a lmcosmλ+b lmsin mλ )R−(l−1)
Kemudian kita mengembangkan batas kecepatan sudut yang sebenarnya
ke dalam permukaan bola harmonik :
ϕ (r ,θ , λ )=∑l=0
∞
∑m=0
l
Plm(cosθ)(ulm cosmλ+v lm sin mλ)
Dimana ulm dan ulm diketahui sebagai koefisien sekarang. Penyelesaian
didapat dari perbandingan sederhana antara dua seri :
ulm=alm R−(l+1) dan vlm=blm R−(l+1)
Penyelesaian untuk a dan b dan
ϕ (r ,θ , λ )=∑l=0
∞
∑m=0
l
Plm(cosθ) (ulmcos mλ+v lmsin mλ )¿
Dalam persamaa ini, jika kita mengetahui batas dari sebuah fungsi ϕ, kita
akan tahu batas terluar karena dalam keadaan kontinuasi ke atas ¿ . Ketika R>r
ini menjadi efek redaman. Semakin tinggi derajat, semakin kuat redaman
∂ ϕ (r , θ , λ )∂ r
¿r=R=∑l=0
∞
∑m=0
l
−( l+1 ) Plm(cosθ )(alm cosmλ+blm sin mλ) R−(l−2 )
Fungsi batas yang sebenarnya dikembangkan menjadi permukaan bola
harmonis, dengan koefisien ulm dan vlm. Perbandingan antara koefisien yang
diketahui (u , v) dan umum (a ,b) dapat di berikan :
ulm=−(l+1)a lm R−(l+2) dan vlm=−(l+1)b lm R−(l+2)
Pemecahan untuk a dan b ketika dimasukan kedalam permukaan bola
harmonik :
ϕ (r ,θ , λ )=−R∑l=0
∞
∑m=0
l
Plm(cosθ)( ulm
l+1cosmλ+
v lm
l+1sin mλ)¿
Notasi konvensi. Potensial gravitasi bumi biasanya ditunjukkan dengan
simbol V. koefisien a lm dan b lm akan memiliki dimensi yang sama sebagai potensi
itu sendiri. Hal ini biasa, meskipun untuk menggunakan dimensi dengan koefisien
C lm dan Slm.
V (r ,θ , λ )=GMR ∑
l=0
∞
¿¿
6.3. Properti dari Bola Harmonik
Permukaan bola harmonik dapat dikategorikan menurut cara mereka
membagi bumi. Cosinus dan sinus dari bilangan gelombang m akan memiliki 2 m
nol teratur spasi. Hal serupa tidak bisa dikatakan dari hal fungsi Legendre
Plm(cosθ). Itu menunjukkan (l−m) nol penyeberangan dalam pola yang dekat
dengan sudut equi, tetapi tidak sepenuhnya teratur. Namun demikian kita dapat
tetap bahwa perubahan tanda dari Y lm(θ , λ) ada di kedua arah membagi bumi
dalam pola papan bergaris (l−m+1) x 2m ubin. Hal ini dapat diklasifikasikan :
m=0, zona bola harmonik. Ketika m = 0, bagian sin lenyap, jadi koefisien
Sl 0 tidak ada. Selain itu, cos 0 λ= 1, jadi tidak ada variasi terjadi pada
bujur. Dengan Pl , 0 kita akan dapat (l+1) band lintang, disebut zones.
l=m sektoral bola harmonic. Ada perubahan tanda 2 l arah bujur. Arah
lintang ada akan nol. Ini tidak berarti bahwa P¿ adalah konstan, meskipun
bumi terbagi dalam band bujur disebut sektor
l ≠ m dan m ≠ 0, tesseral bola harmonik. Untuk semua kasus lain kita
mendapatkan pola tanda yang terterbagi-bagi. Fungsi-fungsi ini disebut
tesseral
6.3.1 Fungsi Dasar Orthogonal dan Orthonormal
Orthogonality adalah properti kunci dari fungsi dasar yang memecahkan
persamaan Laplace. Ini adalah hubungan antara synthesus dan analisis,
memungkinkan transformasi maju dan terbalik antara fungsi dan spectrum
Orthogonality adalah sebuah konsep umum untuk vektor dan matriks.
Pikirkan dekomposisi eigenvalue atau dekomposisi QR. Kita mulai dengan contoh
sederhana dari aljabar linear dan memperluas konsep ortogonalitas fungsi
Dari vektor untuk fungsi. Ambil dekomposisi eigen dari matriks simetris
persegi A=QAQT . Kolom Q adalah q vektor eigen ortogonal. itu adalah umum
untuk menormalkan mereka. Jadi produk skalar antara dua vektor eigen menjadi
q i . q j=δij={1if i= j0 if i ≠ j
Pada δ ij di sebelah kanan disebut Kronecker delta fungsi, yang adalah 1
jika indeksnya adalah sama dan 0 jika tidak. Ini adalah mitra diskrit fungsi δ-
Dirac. Catatan bahwa dalam kasus vektor eigen hanyalah ortogonal, kita akan
mendapatkan sesuatu seperti q1δ ijdi sebelah kanan, di mana q 1 adalah panjang q1
Dalam indeks notasi, persamaan diatas menjadi :
∑n=1
N
( qi ) n (q j ) n=δij
Di mana q 1 elemen nth dari q 1 vektor. Cara non konvensional yang sedikit
berbeda akan menjadi
∑n=1
N
qi (n ) q j(n)∆ n=δij
Subtitusikan n menjadi x
Orthonomal vektor juga bisa diubah menjadi fungsi, jadi perlu proses
Orthogonality dari dua fungsi yang mengkombinasikan Orthonalmal vektor
dengan fungsi Orthonormal. Hasilnya itu kalau z>0 di luar angkasa dan kalau z<0
maka di dalam bumi.
Fourier
Sekarang kita lihat fungsi dasar dari Fourier Series untuk pengecualian sin
dan cos bisa Orthogonal atau bisa Orthonormal
Disamping cos dan sin Orthogonal, mereka juga Orthonormal. Lihat rumus
di atas yang tidak ada δmk. Yang tidak ada δ mk nilainya selalu 0,5 kecuali pada
kasus khusus (m=0) ketika sin dan cos bernilai 0.
Dan apa yang terjadi ketika kita mengkombinasikan rumus di atas dengan
fungsi dasar dan mengevaluasi integral rumus itu.
Jadi Orthogonality di sebagian simbol kronecker (δ nm), hasil filternya tepat
di koefisien spektral am. Dianalogi untuk memproses Orthogonality
membutuhkan cara untuk menunjukkan analisis spektral. Cara-caranya:
1. Mengkombinasikan fungsi yang sebelumnya dengan fungsi dasar
2. Mengintegralkan rumus dasar
3. Biarkan Orthogonality memfilter hubungan antar koefisien
Di bawah ini diperlihatkan langkah pertama yang menunjukkan bahwa
Orthogonality adalah kunci dari sistem fungsi dasar.
Legendre Orthogonal
Setelah kita melihat Fourier, kita harus pergi ke Orthogonality dalam
fungsi Legendre Plm¿. Ini membuktikan bahwa fungsi Legendre adalah
Orthogonal tapi belum tentu Orthonormal. Orthogonality sekarang bisa diproses
dengan menggunakan dua fungsi dalam satu fungsi yang sama
Bagian integral yang di depan dari rumus di atas bisa di turunkan menjadi
Jadi panjang dari fungsi Legendre tergantung dari derajat dan orde. Dari
pengetahuan ini kita sudah dalam posisi yang benar untuk mengevaluasi
Orthogonality dari permukaan spheris yang harmonis
=12(1+δm, 0)
12 l+1
( l+m )!(l−m )!
δ ln δmk
=N lm−2 δ ln δmk
Untuk lebih teliti kita harus menegaskan bahwa hasil di atas tidak valid
untuk kombinasi cosinus dan sinus. Lagipula kita juga harus mengesampingkan
bahwa m=0 dalam sinus-sinus yang ortogonal. Dalam banyak kasus, fungsi
panjang dari permukaan harmonis spheris adalah N lm−1.
Legendre Orthonormal
Jika kita sekarang mengalikan semua fungsi dasar Y lm(θ , λ) dengan N lm
maka akan menjadi orthonormal. Jadi N lm disebut sebagai faktor normalisasi.
Fungsi normalitas ditandai dengan sebuah overbar.
Dengan normalisasi ini kita mendapatkan hasil sebagai berikutuntuk
orthonormal:
Menggunakan fungsi dasar orthonormal tersebut, sintesis dan analisa
rumus dari komputasi harmonis spheris terbaca:
6.3.2 Perhitungan Polinomial Legendre dan Fungsi Legendre
Cara analitis
Fungsi zona legendre yang 0 disebut polinomial Legendre. Bahkan Fungsi
zona Legendre adalah polynomial pada t=cosθ
Polynomial Legendre dihitung dengan diferensiasi berikut:
Jadi pada dasarnya jumlah dari (t 2−1)l adalah diferensiasi sebanyak l.
Hasilnya akan menjadi polinomial maksimum 2 l−l=l, dengan hanya
menggunakan kekuatan seadanya.
Pada tahap selanjutnya, Polinomial Legendre dideferensiasikan sebanyak
m oleh rumus berikut:
Jadi kita mempunyai sebuah tetapan polinomial ( l−m), yang dikalikan
dengan sejenis faktor modulasi (l−t 2)m2 . Subtitusi t=cosθ lagi, kita dapat melihat
bahwa faktornya adalah sinm θ. Untuk m ganjil, kita tidak punya polinomial. Jadi
kita membicarakan fungsi Legendre. Contoh Trivial adalah:
Cara Numeris
Cara Numeris lebih stabil untuk menghitung fungsi Legendre dari
hubungan rekursif di bawah. Rekursi ini didefinisikan dalam kondisi fungsi
normal legendre. Cara untuk menghitung suatu Plm(cosθ) adalah menggunakan
rekursi sektoral untuk sampai pada Pmm (cosθ ). Lalu gunakan rekursi kedua untuk
menaikkan nilainya. Untuk langkah sektoral pertama, harus diasumsikan jelas
Pm−1 ,m (cosθ) menjadi 0.
6.3.3 Teorema Pertambahan
Satu rumus penting adalah teorema pertambahan dari spheris harmonik.
Menurut Polinomial Legendre dalam cosψ PQ, yang mana bahwa cosψ PQ adalah
jarak spheris antara titik P dan Q.
6.4. Arti Fisik dari Koefisien Spheris Harmonik
Koefisien Spheris Harmonik mempunyai arti fisis. Berhubungan ke
distribusi internal massa. Untuk menurunkan hubungan tersebut kita butuh untuk
menerjemahkan potensialnya sebagai V (R , θ , λ) pada permukaan sebagai sebuah
integral volume.