71
CAPÍTULO 5
FÓRMULAS DEL PRODUCTO Y DEL COCIENTE
5.1 FÓRMULA DE LA RAÍZ CUADRADA
Antes de practicar las fórmulas (7) y (8) del producto y del cociente, conviene deducir unafórmula para la raíz cuadrada, en virtud de que en muchas funciones aparece la necesidad de derivar-las.
Si , para derivarla debe hacerse primero y entonces emplear la fórmulay u 1 2/y u
de la potencia u n . Haciéndolo se llega a que
1 2/y u
11
21
2
dy duu
dx dx
n - 1
n udu
dx
Fórmulas del producto y del cociente
72
La derivada de una raíz cuadrada es la derivada del subradical (lo que está adentrodel radical) entre dos veces el radical original.
1
21
2
dy duu
dx dx
1
2
1
2
dy du
dx dxu
2
dudy dxdx u
Por ejemplo, si , su derivada se puede obtener rápidamente empleando2 3 7y x x
la fórmula anterior, colocando en el numerador la derivada de x2 - 3x + 7 (la derivada del subradi-cal), o sea 2x - 3, y en el denominador dos veces el radical original, esto es
2
2 3
2 3 7
dy x
dx x x
Debe tenerse cuidado de que esta fórmula solamente puede emplearse para raíces cuadradas,no para raíces cúbicas o de otro orden.
Fórmulas del producto y del cociente
73
5.2 FÓRMULA DEL PRODUCTO
(7) fórmula del productod dv du
uv u vdx dx dx
en donde u representa a uno de los factores y v representa al otro factor.
Ejemplo 1: Hallar la derivada de 2 3 25 11 7 9y x x x x
Solución: Empleando la fórmula (7) del producto, en donde u representa el primer factor y v representael segundo factor, o sea
u = x2 + 5x ! 11v = x3 ! 7x2 ! 9
entonces empleando dicha fórmula:
dy dv duu v
dx dx dx
2 3 2 3 2 25 11 7 9 7 9 5 11dy d d
x x x x x x x xdx dx dx
u vdv
dx
du
dx
2 2 3 25 11 3 14 7 9 2 5dy
x x x x x x xdx
Fórmulas del producto y del cociente
74
Ejemplo 2: Calcular la derivada de 2 5 9 5 4y x x x
Solución: En este caso los dos factores son
u = x 2 - 5x - 9
1/ 25 4 5 4xv x
Empleando la fórmula (7), página 77, del producto, se obtiene:
1/2 1/22 25 9 5 4 5 4 5 9dy d d
x x x x x xdx dx dx
u vdv
dx
du
dx
Para derivar (5x + 4)1/2 debe emplearse la fórmula (6) de un de la potencia, página 69:
1
1 1/ 22 21
5 9 5 4 5 4 5 4 2 52
dy dx x x x x x
dx dx
1/ 2 1/ 22 15 9 5 4 5 5 4 2 5
2
dyx x x x x
dx
2
1/ 2
1/ 2
5 5 95 4 2 5
2 5 4
x xdyx x
dx x
o bien
Fórmulas del producto y del cociente
75
25 5 92 5 5 4
2 5 4
x xdyx x
dx x
Ejemplo 3: Hallar la derivada de 8 527 3 9 3y x x
Solución: En este caso los dos factores son
u = (7x2 - 3)8
v = (9 - 3x)5
Empleando la fórmula (7), página 77, del producto, se obtiene:
8 85 52 27 3 9 3 9 3 7 3dy d d
x x x xdx dx dx
u vdv
dx
du
dx
Para calcular las derivadas de (9 - 3x)5 y de (7x2 - 3)8 debe emplearse en ambas la fórmula (6)de u
n de la potencia de la página 69:
8 74 52 2 27 3 5 9 3 9 3 9 3 8 7 3 7 3dy d d
x x x x x xdx dx dx
8 74 52 27 3 5 9 3 3 9 3 8 7 3 14dy
x x x x xdx
Fórmulas del producto y del cociente
76
8 74 52 215 7 3 9 3 112 9 3 7 3dy
x x x x xdx
5.3 FÓRMULA DEL COCIENTE
(8) fórmula del cociente2
du dvv ud u dx dx
dx v v
en donde u representa al numerador y v representa al denominador.
Ejemplo 4: Hallar la derivada de 6 7
8 9
xy
x
Solución: Cuando la función a derivar es una fracción, debe emplearse la fórmula (8) del cociente, endonde u simboliza el numerador y v simboliza el denominador. En este caso:
u = 6x + 7v = 8x - 9
Recordando la fórmula (8) del cociente y sustituyendo después:
2
du dvv ud u dx dx
dx v v
2
8 9 6 7 6 7 8 9
8 9
d dx x x xdy dx dx
dx x
Fórmulas del producto y del cociente
77
2
8 9 6 6 7 8
8 9
x xdy
dx x
En este caso, aunque no es indispensable, conviene realizar las multiplicaciones indicadas enel numerador, pues así habrá reducción de términos:
2
48 54 48 56
8 9
dy x x
dx x
2
110
8 9
dy
dx x
Ejemplo 5: Derivar 425 7 9
9 1
x xy
x
Solución: Cuando la función a derivar es una fracción, debe emplearse la fórmula (8) del cociente, endonde u simboliza el numerador y v simboliza el denominador. En este caso:
u = (5x2 - 7x - 9)4
v = 9x - 1
Recordando la fórmula (8) del cociente y sustituyendo después:
2
du dvv ud u dx dx
dx v v
Fórmulas del producto y del cociente
78
4 42 2
2
9 1 5 7 9 5 7 9 9 1
9 1
d dx x x x x xdy dx dx
dx x
3 42 2 2
2
9 1 4 5 7 9 5 7 9 5 7 9 9
9 1
dx x x x x x x
dy dxdx x
3 42 2
2
9 1 4 5 7 9 20 7 9 5 7 9
9 1
x x x x x xdy
dx x
Y ordenando conforme a las reglas de escritura para cada término: Primero se escribe el signo;
después el coeficiente numérico; a continuación los factores monomios (letras solas) en orden
alfabético; luego los factores polinomios y en seguida los radicales:
3 42 2
2
4 9 1 5 7 9 20 7 9 5 7 9
9 1
x x x x x xdy
dx x
Ejemplo 6: Calcular la derivada del ejemplo anterior utilizando la fórmula del producto.
Solución: La función original que tiene la forma de un cociente puede escribirse 445 7 9
9 1
x xy
x
como para que adquiera la forma de un producto. De esta 4 145 7 9 9 1y x x x
manera, u = (5x4 - 7x - 9)4 y v = (9x - 1)- 1.
Fórmulas del producto y del cociente
79
Entonces, recordando la fórmula del producto:
d dv duuv u v
dx dx dx
Sustituyendo:
4 41 14 45 7 9 9 1 9 1 5 7 9dy d d
x x x x x xdx dx dx
u + vdv
dx
du
dx
4 245 7 9 1 9 1 9 1dy d
x x x xdx dx
31 4 49 1 4 5 7 9 5 7 9d
x x x x xdx
4 245 7 9 1 9 1 9dy
x x xdx
31 4 39 1 4 5 7 9 20 7x x x x
Finalmente ordenando de acuerdo con las reglas de escritura:
4 34 4 3
2
9 5 7 9 4 5 7 9 20 7
9 19 1
x x x x xdy
dx xx
Fórmulas del producto y del cociente
80
Para verificar que es el mismo resultado que el obtenido en el ejemplo anterior cuando sederivó con la fórmula del cociente, debe efectuarse la suma de fracciones de este últimoresultado sacando común denominador:
4 34 4 3
2
9 5 7 9 9 1 4 5 7 9 20 7
9 1
x x x x x xdy
dx x
3 44 3 4
2
4 5 7 9 20 7 9 1 9 5 7 9
9 1
x x x x x xdy
dx x
Fórmulas del producto y del cociente
81
EJERCICIO 5.1
Hallar la derivada de las siguientes funciones:
PRODUCTOS:
1) 2) 2 26 11 9 5 13 21y x x x x 3 4 27 3 5 11y x x x x
3) 4) 5 4 27 7 4 4 17y x x x x 6 3 36 2 8 9 7y x x x x x
5) 6) 2 26 18 19 5y x x x x 7 5 33 2 2 9
8 7 11 19
x x x xy
7) 8) 7 23 6 6 4 11y x x x 52 24 2 7y x x x
9) 10)5 4 7y x x 72 3 233 2 3 6 9y x x x x
11) 12) 116 5 5 8y x x 5 42 271 1y x x
13) 14) 87 595 5 3y x x 75 24 7 5 8y x x x
COCIENTES:
15) 16)5
7 11xy
x x
5 11
5 11
xy
x
17) 18)2
3
9
5
xy
x x
57 6
xy
x
Fórmulas del producto y del cociente
82
19) 20)43 7x x
yx
2
1
1
xy
x
21) 22) 8
6
6 7
xy
x
4
2
2 3
5
xy
x
23) 24) 53 2
3
7
11
x xy
x
2
7
6
2 9
x xy
x
25) 26)1
xy
x
2
2xy
x x
27) 28)7
3 2 1
xy
x
42
32
7 9
7 9
x xy
x x