-
Fourierova transformace
6. přednáškapředmětu Zpracování obrazů
Martina Mudrová2004
ve zpracování obrazůJean Baptiste Joseph Fourier
1768-1830
-
Motivace
Proč používat Fourierovu transformaci ?• základní matematický nástroj
detekce hran a segmentace obrazu
detekce objektůatd.
úprava kvality obrazu
rekonstrukce obrazu
ve zpracování digitálních obrazů
2
komprese obrazu(formát .JPG)
M. Mudrová, 2004
-
Matematické minimum
= převod mezi časovou x(t) a frekvenční X(f) oblastí
)()( fXtx ⇔ t...časová (prostorová oblast)f...frekvenční oblastZákladní definice:
zpětná spojitá FT:přímá spojitá FT:
∫+∞
∞−
−= dtetxfX tfi π2 )()( ∫+∞
∞−
+= dfefXtx tfi π2 )()(
Požadavky na f(t) : po částech spojitá
integrovatelná ∞
-
Příklad spojité FT
Jak vypadá FT periodických funkcí ?
) 2sin()( 0tftx π= ( ))()( 21)( 00 ffffi
fX +−−= δδ
Eulerovy vzorce: )2sin()2cos( 002 0 tfitfe tfi πππ ±=±
∫+∞
∞−
−= dtetxfX tfi π2 )()(Def. FT:
⇔d(f)… Diracova funkce
ff0
Časová (prostorová) oblast x(t) Spektrum |X(f)| (amplitudová fr. charakt.)
T=1/f0 2T 3T t
x(t)
-f 0 f f
|X(f)
|
0 0
⇔
4M. Mudrová, 2004
-
Od spojité k diskrétní FTCo je diskrétní FT ?
Diskretizace ve frekvenci: f Y fk Y k
Diskretizace v čase: tY tn Y n +
Diskrétní Fourierova transformacePřímá diskrétní FT: Zpětná diskrétní FT:
)()( kXnx ⇔∑−=
−=
1
0
2 )(1)(
N
n
Nnki
enxN
kXπ
∑−
=
+=
1
0
2 )()(
N
k
Nkni
ekXnxπ
0 20 40 60-1
0
1
x(n)
n
|X(k
)|
0 0 0
31 3.14 0.5
15 1.57 0.25
k...indexωk ...kruhová frekvencef …normalizovaná frekv.
63
5M. Mudrová, 2004
-
Omezení vzorové funkce v čase (prostoru)
= váhování = apodizaceFunkce s konečnou délkou ...
0 10 20 30 40 50 60
-1
0
1
x(n)
n
Periodický signál a jeho spektrum
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
10
20
30
40
ω od 0 do π
|X( ω
)|
0 10 20 30 40 50 600
0.5
1
1.5Obdelnikové okno a jeho spektrum
x(n)
n0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
0
10
20
30
40
ω od 0 do π
|X( ω
)|
-1
0
1
x(n)
n
Omezený signál a jeho spektrum
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
10
20
30
40
ω od 0 do π
|X( ω)
|
6M. Mudrová, 2004
-
7
Do dvou dimenzí
0 10 20 30 40 50 60-101
x(n)
n
n -> [n, m] k -> [k, l]
|X(k
)|
0 31 15 k 63
2D DFT
),(),( lkXmnx ⇔∑∑−=
−
=
+−=
1
0
1
0
)(2 ),(1),(
N
n
M
m
Mlm
Nkni
emnxMN
lkXπ
∑∑−
=
−
=
++=
1
0
1
0
)(2 ),(),(
N
k
M
l
Mml
Nnki
elkXmnxπ
Přímá 2D DFT: Zpětná 2D DFT:
1
6 4
1
6 40
1
n
x (n ,m )
m-1
01
-1
0
1
f k
| X ( f k , f l) |
f ln
m
1 6 4
1 64
x (n ,m )
M. Mudrová, 2004
-
Příklad 2D DFT reálného obrazu
Symetrie
0 1
1
0
1-1-1
1
n
m
1 366
1
270
x(n,m)
8M. Mudrová, 2004
-
Princip číslicové filtrace
Co se stane při úpravě spektra?spektrum |X(k)|prostorová oblast x(n)
1. periodická funkce
2. náhodný šum
3. =1.+2.
4. po úpravě spektra
9M. Mudrová, 2004
-
2D filtrace
10M. Mudrová, 2004
-
Princip diskrétní konvoluce
Co se při úpravě spektra děje v prostorové oblasti?
Spektrální oblast:
Součin
11
Prostorová oblast:Konvoluce
∑=
−==n
jjnhjxnhnxny
0)()()(*)()(
kkHkXkY pro )( . )()( ∀=
y(n)…žádaný tvar funkcex(n)...daný (poškozený) tvar funkceh(n) ...číslicový filtr
Kde:
M. Mudrová, 2004
-
Příklad diskrétní konvoluce
Jaký má význam konvoluce?
12
∑=
−=
=n
jjnhjx
nhnxny
0)()(
)(*)()(
x(n) = 10; 20; 30; 40; 50h(n) = 0,5; 0,5
n=0 j=0 f(0).h(0) 10 . 0,5 5 y(0)= 5n=1 j=0 f(0).h(1-0) 10 . 0,5 5
j=1 f(1).h(1-1) 20 . 0,5 10 y(1)=5+10 = 15n=2 j=0 f(0).h(2-0) nedef.
j=1 f(1).h(2-1) 20 . 0,5 10j=2 f(2).h(2-2) 30 . 0,5 15 y(2)=10+15= 25
n=3 j=0 f(0).h(3-0) nedef.j=1 f(1).h(3-1) nedef.j=2 f(2).h(3-2) 30 . 0,5 15j=3 f(3).h(3-3) 40 . 0,5 20 y(3)=15+20= 35
n=4 j=0,1,2 nedef.j=3 f(4).h(4-3) 40 . 0,5 20j=4 f(4).h(4-4) 50 . 0,5 25 y(4)=25+20= 45
Příklad:(Klouzavý průměr)
y(n) = 5; 15; 25; 35; 45
M. Mudrová, 2004
-
13
2D diskrétní konvoluce
Jak vypadá 2D konvoluce?
∑∑= =
−−==n
j
m
jjmjnhjjxmnhmnxmny
0 02121
1 2
),(),(),(*),(),(
0 1 0
1 -4 1
0 1 0
matice filtruh(n,m)
matice obrázkux(n,m)
Prvek počítanýna pozici(n,m)
M. Mudrová, 2004
-
Aplikace I – detekce hran
Úloha detekce hran
(=>segmentace obrazu)
Orig
inál
ní o
braz
Obr
az p
o de
tekc
i hra
n
Hrana = náhlá změna obrazové funkce
Princip:Aplikace hranových detektorů= hornopropustných filtrů
14
Příklad spektra filtru |H(k,l)|Příklad matice filtru h(n,m)(filtr Prewittové)
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−− 111000111
M. Mudrová, 2004
-
Aplikace II – potlačení šumu
Úprava obrazu
Orig
inál
ní o
braz
Princip:Potlačení vysokofrekvenčních složek aplikací dolnopropustného filtru
Spektrum filtru |H(k,l)|
Obr
az p
o úp
ravě
15M. Mudrová, 2004
-
Aplikace III – ostření
Úloha rekonstrukce poškozeného obrazu
Poš
koze
ný o
braz
Obr
az p
o re
kons
trukc
i
Princip:
• Inverzní filtrace• Wienerova filtrace
Typ poškození:
• Rozostření pohybem objektu (objektivu)• Špatné zaostření objektivu• Turbulence atmosféry• atd.
16M. Mudrová, 2004
-
Aplikace IV – detekce objektů
Úloha detekce polohy objektu
Princip:
17
• Výpočet korelační funkce= konvoluce v prostor. oblasti
• Zrychlení výpočtu aplikací algoritmu FFT ve 2D-> součin ve frekvenční oblasti
Obr
az x
(n,m
)
Filtr
h(n,
m)
Kor
elač
ní fu
nkce
h(n
,m)
M. Mudrová, 2004
-
Pokročilejší metody zpracování obrazů
Short-time Fourier transform = krátká FT- Kompromis mezi časovým (prostorovým) a frekvenčním rozlišením
Wavelet transformace´= vlnková transformace- používá časová (prostorová) okénka s proměnlivou délkou (wavelet funkce)- Aplikace v analýze obrazu, potlačení šumu, kompresi dat,…
Radonova transformace (p. Radon – české národnosti)- konverze z cylindrických souřadnic- aplikace především v biomedicíně (PET, SPECT, CT, …)
…
18M. Mudrová, 2004
Fourierova transformaceMotivaceMatematické minimumPříklad spojité FTOd spojité k diskrétní FTOmezení vzorové funkce v čase (prostoru)Do dvou dimenzíPříklad 2D DFT reálného obrazuPrincip číslicové filtrace2D filtracePrincip diskrétní konvolucePříklad diskrétní konvoluce2D diskrétní konvoluceAplikace I – detekce hranAplikace II – potlačení šumuAplikace III – ostřeníAplikace IV – detekce objektůPokročilejší metody zpracování obrazů