COSTRUZIONI AEROSPAZIALI
Teoria della Piastra e Metodi Approssimati
2
Teoria classica della Piastra
Ipotesi 1.Il materiale è omogeneo, isotropo e a comportamento elastico lineare. 2.La struttura è piana ed a sezione costante. 3.Le forze esterne q(x,y), per unità di superficie, agiscono in direzione z. 4.Lo spostamento w è tale che w/h < 1: wMax< h/5, ovvero wMax< L/50. Una tale ipotesi consente di considerare le coordinate del corpo deformato coincidenti
con quelle del corpo indeformato. 5.Che le rotazioni della superficie media risulti piccola: ovvero θ<<1. 6.Che sforzi e deformazioni dovute ai carichi assiali siano di un ordine di
grandezza trascurabile rispetto a quelli indotti dalla flessione.
h
y z
x
Ly
Lx
q(x,y)
3
u x z z u x
v x z
w x z z w x
mm
m
M
nn
n
N
( , ) ( )
( , )
( , ) ( )
=
=
=
=
=
∑
∑
0
0
0
u x z u x zu xv x zw x z w x zw x
( , ) ( ) ( )( , )( , ) ( ) ( )
= +== +
0 1
0 1
0
Trave
w u0
z,w
x,u
θx
u x z u x z xv x zw x z w x
( , ) ( ) ( )( , )( , ) ( )
= +==
0
0
0θ
Piastra u x y z z u x y
v x y z z v x y
w x y z z w x y
mm
m
M
mm
m
M
nn
n
N
( , , ) ( , )
( , , ) ( , )
( , , ) ( , )
=
=
=
=
=
=
∑
∑
∑
0
0
0
0 x
0 y
0
u(x, y, z) u (x, y) z (x, y)v(x, y, z) v (x, y) z (x, y)
w(x, y, z) w (x, y)
= + θ
= + θ =
0 1
0 1
0 1
u(x, y, z) u (x, y) zu (x, y)v(x, y, z) v (x, y) zv (x, y)w(x, y, z) w (x, y) zw (x, y)
= + = + = +
w u0
z,w
x,u
θx
4
sezioni inizialmente piane ed ortogonali al piano medio rimangano piane,M=N=1:
+=
θ+=θ+=
)y,x(zw)y,x(w)z,y,x(w
)y,x(z)y,x(v)z,y,x(v)y,x(z)y,x(u)z,y,x(u
10
y0
x0
sezioni inizialmente piane ed ortogonali al piano medio rimangano ortogonali alla linea media, γxz=γyz=0:
∂∂
−=θ⇒=∂∂
+θ=∂∂
+∂∂
=γ
∂∂
−=θ⇒=∂∂
+θ=∂∂
+∂∂
=γ
yw
0y
wyw
zv
xw
0x
wxw
zu
0y
0yyz
0x
0xxz
=∂
∂−=
∂∂
−=
)y,x(w)z,y,x(wy
)y,x(wz)y,x(v)z,y,x(v
x)y,x(w
z)y,x(u)z,y,x(u
0
00
00
w −∂∂wx
u0
z,w
x,u
5
Relazioni cinematiche 2
0 0xx 2
20 0
yy 2
20 0 0
xy zz xz yz
u (x, y) w (x, y)(x, y, z) zx x
v (x, y) w (x, y)(x, y, z) zy y
u (x, y) v (x, y) w (x, y)(x, y, z) 2z ; 0y x x y
∂ ∂ε = −∂ ∂
∂ ∂ε = − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂γ = + − ε = γ = γ = ∂ ∂ ∂ ∂
Legami costitutivi
xx xx0 xx1 yy yy0 yy1 xy xy0 xy1z ; z ; zσ = σ − σ σ = σ − σ τ = τ − τ
[ ]
[ ]
σν
ε νεν
∂∂
ν∂∂
∂∂
ν∂∂
σν
ε νεν
∂∂
ν∂∂
∂∂
ν∂∂
τ γ∂∂
∂
xx xx yy
yy yy xx
xy xy
E E ux
vy
zwx
wy
E E vy
ux
zwy
wx
G Guy
=−
+ =−
+
− +
=−
+ =−
+
− +
= = +
1 1
1 1
2 20 0
20
2
20
2
2 20 0
20
2
20
2
0 vx
zw
x y0
202
∂∂∂ ∂
−
6
Forze Integrando le σ,τ sullo spessore h, si hanno le forze per unità di lunghezza:
N dz z dz hx xxh
h
xx xx1h
h
xx= = − =− −∫ ∫σ σ σ σ
/
/
/
/
( )2
2
02
2
0
N dz h N dz hy yyh
h
yy xy xyh
h
xy= = = =− −∫ ∫σ σ τ τ
/
/
/
/
;2
2
02
2
0
∂∂
+∂∂
=
∂∂
ν+∂∂
ν−=
∂∂
ν+∂∂
ν−=
xv
yu
GhN
xu
yv
1EhN
yv
xu
1EhN
00xy
002y
002x
T dz T dzx xzh
h
y yzh
h
= =− −∫ ∫τ τ
/
/
/
/
;2
2
2
2
N/m
7
Momenti Integrando le zσ, zτ in h, si hanno i momenti per unità di lunghezza:
h / 2 h / 2 3
x xx xx0 xx1 xx1h / 2 h / 2
hM z dz z( z )dz12− −
= σ = σ − σ = − σ∫ ∫
M z dz M z dz My yy xy xy yxh
h
h
h
= = =−−∫∫ σ τ;
/
/
/
/
2
2
2
2
M Dwx
wy
M Dwy
wx
M Dw
x y
x
y
xy
= − +
= − +
= − −
∂∂
ν∂∂
∂∂
ν∂∂
ν∂∂ ∂
20
2
20
2
20
2
20
2
201( )
DEh
=−
3
212 1( )νN Nm
8
Elemento rappresentativo della piastra
a)−piastra tirata
prof. Renato Barboni 9
Equazioni di equilibrio: piastra tirata
10
Equazioni piastra tirata
11
a)−Metodo degli spostamenti
12
Condizioni al contorno: libera
13
Condizioni al contorno: libera
14
Condizioni al contorno: vincolo elastico
15
Condizioni al contorno: vincolo elastico
16
Metodo delle Forze
17
Elemento rappresentativo della piastra
b)−piastra inflessa
18
La piastra inflessa 1.Equilibrio M intorno ad y ∂∂
∂
∂∂∂
Mx
dxdyM
ydydx T
Tx
dx dydx qdxdydxx yx
xx+ − +
− =
20
∂∂
∂
∂Mx
My
Tx yxx+ =
2.Equilibrio M intorno ad x ∂
∂
∂
∂
My
Mx
Ty xyy+ =
3.Equilibrio M intorno a z N Nxy yx=
4.Equilibrio F lungo z
T dy TTx
dx dy T dy TTy
dy dx qdxdyx xx
y yy
− +
+ − +
+ =
∂∂
∂
∂0
∂∂
∂
∂Tx
Ty
qx y+ = −
19
Metodo degli spostamenti
yxxx
MM(1) Tx y
∂∂+ =
∂ ∂y xy
y
M M(2) T
y x∂ ∂
+ =∂ ∂
yxTT(4) q
x y∂∂
+ = −∂ ∂
Sono 3 equazioni in 5 incognite: Mx, My, Mxy, Tx, Ty
2 22xy y yx x
2 2
M M TM T(1) (2) 2x y x x y y x y
∂ ∂ ∂∂ ∂∂ ∂+ ⇒ + + = +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
2 2 2 2 2
x y xy2 2 2 2
w w w w wM D ; M D ; M (1 )Dx y y x x y
∂ ∂ ∂ ∂ ∂= − + ν = − + ν = − −ν ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
4D w q∇ =4 2 4
4 2 24 2 2 42
x x y y∂ ∂ ∂
∇ = ∇ ∇ = + +∂ ∂ ∂ ∂
2 22xy yx
2 2
M MM 2 qx x y y
∂ ∂∂+ + = −
∂ ∂ ∂ ∂Utilizzando la (4)
Esprimendo i momenti in termini delle curvature:
Si ha: con
20
Tipiche Condizioni al contorno
1.Incastro: w=θ=0
2.Appoggio (con cerniera): w=M=0
3a.Libera: condizioni omogenee
z x 0
x 0
ww(0) 0x =
∂ = = ∂
2 2
2 2x 0
w ww(0) D 0x y =
∂ ∂= − + ν = ∂ ∂
x x xyM (T M ) 0= = = ⇒
xM (V) 0⇒ = =
21
( )3 3
xyx x 3 2x 0
x 0x 0
M w wV T D (2 ) 0y x x y=
==
∂ ∂ ∂= + = − + −ν = ∂ ∂ ∂ ∂
xy xyx2 xy xyx xx
1M MR
dy dMR
dy dyRQdy yy
My
∂= = − = − =
∂
∂ ∂+
Quindi Mxy (M. per unità di lung.) equivale ad una forza di taglio Qx (per un. di lung.)
Pertanto Tx=0 e Mxy=0 possono quindi essere compattate in una sola condizione:
22
23
3b.Libera: condizioni NON omogenee
24
Espressione generale delle c.c.
25
Espressione generale delle c.c.
26
27
−La piastra appoggiata
D w q∇ =4
2 2
2 2x 0
2 2
2 2x a
2 2
2 2y 0
2 2
2 2y b
w ww(0, y) D 0x y
w ww(a, y) D 0x y
w ww(x,0) D 0y x
w ww(x,b) D 0y x
=
=
=
=
∂ ∂= − + ν = ∂ ∂
∂ ∂ = − + ν = ∂ ∂
∂ ∂ = − + ν = ∂ ∂ ∂ ∂
= − + ν = ∂ ∂
y z
x
b
a
q(x,y)
M N
mnm 1 n 1
m x n yw(x, y) w sen sena b= =
π π=∑∑
Si assume:
28
4 4 4 M N
mn4 2 2 4m 1 n 1
w w w m x n yD 2 q ; w(x, y) w sen senx x y y a b= =
∂ ∂ ∂ π π+ + = = ∂ ∂ ∂ ∂
∑∑
−La piastra appoggiata
22 2M N
mn mnpq pqm 1 n 1
p 1,2,...Nm nD w q ;q 1,2,...Ma b= =
=π π + α = = ∑∑
[ ]{ } { }A W Q=
2M N2 2
mnm 1 n 1
m n m x n yD w ( ) ( ) sen( )sen( ) q(x, y)a b a b= =
π π π π + = ∑∑
2 a b a bM N2 2
mn m n p q p qm 1 n 1 0 0 0 0
m nD w ( ) ( ) s s s s dxdy q(x, y)s s dxdya b= =
π π + = ∑∑ ∫ ∫ ∫ ∫
Metodo di Galerkin
29
Piastra appoggiata, q=q0=costante
a b a b0 0
pq p q p q0 0 0 0
p q0 02
4q 4qq s s dxdy s dx s dyab ab
4q a b 16q(1 ( 1) (1 ( 1) ; p,q 1,3,5,...ab p q pq
= = =
= − − − − = = π π π
∫ ∫ ∫ ∫
a mm0
0 0
m
b
0
m x a asen dx sen d [ cos ]a m m
a a 2a[1 cos m ] [1 ( 1) ] ; m 1,3,5,...m m m
n y 2bsen dy ; n 1,3,5,...b n
πππ
= ξ ξ = − ξ∫ ∫π π
= − π = − − = =π π π
π= =∫
π
0mn 26
2 2
16q 1w ; m,n 1,3,5,...D m nmn ( ) ( )
a b
= =π +
30
Piastra appoggiata, q=q0=costante
4 M N0
26m 1,3,5 n 1,3.5 2 2
m x n ysen( )sen( )16a q a bw(x, y)D amn m ( n)
b= =
π π
=π +
∑ ∑
31
−La piastra appoggiata: q=q0=costante 2 2 M N
2 2 2x mn2 2
m 1 n 1
2 2 M N2 2 2
y mn2 2m 1 n 1
2 N2
xy mnn 1
w w m n m x n yM D D ( ) ( ) w sen( )sen( )a b a bx y
w w m n m x n yM D D ( ) ( ) w sen( )sen( )b a a by x
w mnM (1 )D D(1 ) wx y ab
= =
= =
=
∂ ∂ π π = − + ν = π + ν ∂ ∂ ∂ ∂ π π = − + ν = π + ν ∂ ∂
∂= − − ν = −π −ν
∂ ∂
∑ ∑
∑ ∑
∑M
m 1
m x n ycos( )cos( )a b=
π π
∑
32
Piastra appoggiata, q=q0x/a
a m2 2 m
00 0
2 2 m
2 2m m 1
2a bm 1 m 10 0 0
pq p q pq 20 0
m x a axsen dx ( ) sen d ( ) [sen cos ]a m m
a a( ) [0 m cos m ] ( ) [0 m ( 1) ]m m
a a( 1) ( 1) ; m 1,3,5,...m m
4q 4q 8qx 1 a 2bq s s dxdy q ( 1) ( 1)ab a ab a p q pq
(p ,q 1,3,
ππ
+
+ +
π= ξ ξ ξ = ξ − ξ ξ∫ ∫
π π
= − π π = − π −π π
= − − = − =π π
= ⇒ = − = −∫ ∫π π π
= 5,...)
33
Piastra appoggiata, q=q0x/a
4 M Nm 10
26m 1,2,3 n 1,3.5 2 2
m x n ysen( )sen( )8a q a bw(x, y) ( 1)D amn m ( n)
b
+
= =
π π
= −π +
∑ ∑
m 10
mn 262 2
m 1,2,3,..8q ( 1)w ;n 1,3,5,...D m nmn ( ) ( )
a b
+ =−= =π +
34
Piastra appoggiata, q=q0x/a
4 M Nm 10
26m 1,2,3 n 1,3.5 2 2
m x n ysen( )sen( )8a q a bw(x, y) ( 1)D amn m ( n)
b
+
= =
π π
= −π +
∑ ∑
m 10
mn 262 2
m 1,2,3,..8q ( 1)w ;n 1,3,5,...D m nmn ( ) ( )
a b
+ =−= =π +
35
Piastra appoggiata, q=q0x/a