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Filtrado de Imágenes
Dr. Álvaro PardoDepartamento de Ingeniería EléctricaUniversidad Católica del Uruguay
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Indice
� Modelo� Filtrado Lineal
� Respuesta al Impulso� Respuesta en Frecuencia
� Filtros de máscaras variablesFiltros de promedio� Filtros de promedio
� Filtros Espaciales y de Rango� Filtros en Vecindades� Filtro Bilateral� Filtros Basados en Patches
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Modelo
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Filtros Lineales: Filtros de Promedio
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Filtros Lineales: Respuesta al impulso
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Filtros Lineales: Box Filter
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Espectro del filtro Box.
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Filtros Lineales: Filtro Gaussiano
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Espectro del filtro Gaussiano.
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Filtro Gaussiano: Resultados
Extraída de: Bilateral Filtering: Theory and Applications, Sylvain Paris, Pierre Kornprobst, Jack Tumblin, and Fredo Durand.
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Filtros de máscaras variables� La idea es encontrar entorno a cada pixel p a restaurar el
conjunto de pixeles “cercanos” en nivel de gris (rango).� Los primeros algoritmos de este tipo utilizaban un conjunto
predefinido de máscaras.� La máscara a utilizar para el promedio se selecciona
mediante un criterio de homogeneidad.� Es un filtro lineal pero espacialmente variante.
Figuras extraídas de M. Sonka, V. Hlavac, R. Boyle, “Image Processing, Analysis, and Machine Vision”, Thomson 1999.
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Filtro de Promedio Ponderado
� Los filtros anteriores se pueden generalizarpromediando los píxeles dentro de una ventana Ncon pesos w(.).con pesos w(.).
� Los pesos w(.) pueden ser fijos e independientes dela posición (dependientes únicamente de p-q) encuyo caso tenemos filtros lineales e invariantes.
� Si los w(.) se calculan utilizando característicaslocales de la imagen y/o utilizando las relacionesentre I(p) e I(q) entonces resultan filtros no lineales.
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Filtros espaciales y en rango
Box
Gaussiano
distancia espacial
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Filtros Espaciales y en Rango
Similitud entre los pixeles
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Filtro Bilateral: Ecuaciones
Los pesos combinan la diferencia espacial, |p-q|, y la diferencia en rango,|I(p)-I(q)|.
Es un filtro no lineal y variante a desplazamientos (no es LTI).
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Filtro Bilateral: Idea
Extraída de: Bilateral Filtering: Theory and Applications, Sylvain Paris, Pierre Kornprobst, Jack Tumblin, and Fredo Durand.
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Filtro Bilateral: Funcionamiento
Extraída de: Bilateral Filtering: Theory and Applications, Sylvain Paris, Pierre Kornprobst, Jack Tumblin, and Fredo Durand.
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Filtro Bilateral: Residuo
� El residuo luego del filtrado contiene ruido y/o textura dependiendo de losparámetros usados.
� El residuo se puede utilizar en diversas aplicaciones:� Separación y procesamiento en componentes� Realce de detalles� HDR,� Etc.
Extraída de: Bilateral Filtering: Theory and Applications, Sylvain Paris, Pierre Kornprobst, Jack Tumblin, and Fredo Durand.
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Filtrado: Formulación General
� Los pesos del filtro bilateral depende de p,q,I(p),I(q):
� entonces:entonces:
� En general, se puede formular el proceso de estimación:
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Non local Means� La similitud, w(.), se mide en función de la similitud
de vecindades entorno a cada pixel.� Además la búsqueda de píxeles similares se hace
“idealmente” a lo largo de toda la imagen.� Esto es en teoría porque en la práctica muchas veces se trabaja
sobre una región menor.
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Non Local Means: Idea
Figura extraída de Buades, Morel, Coll, SIAM, 2005.
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Filtros Basados en “Patches”
� NLMeans es un ejemplo de unalgoritmo de eliminación deruido que utiliza “patches” paradeterminar las similitudesentre pixeles.
� La idea es que estos permitencapturar la geometría local y latextura dentro de la imagen.
Figura extraída de Buades, Morel, Coll, SIAM, 2005.
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Propiedades de NLM
Analysis of Non Local Image Denoising Methods, A. Pardo, CIARP 2009
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Propiedades de NLM
� The matrixL=D-1W
defines an operator which filters the image I, to obtain its denoisedversion.
� The properties of the matrix L determine the denoising result.
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NLM and Normalized Cuts� If we write the residual after NLM we obtain:
� H = (Id - D-1W) is the highpass operator associatedwith the lowpass operator defined by matrix L.
� Matrices L and H share the same eigenvectorsif φ is an eigenvector of L with eigenvalue λ then φ is an� if φk is an eigenvector of L with eigenvalue λk then φk is aneigenvector of H with eigenvalue 1-λk.
� If we view pixels x i as nodes of a graph connectedwith weights w ij the matrix H is the normalizedLaplacian of the graph which is used in NormalizedCuts (NC).
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NLM and Normalized Cuts
� Malik and Shi used the the Normalized Laplacian forsegmentation.
� This shows the connection of NLM and NC.
� The eigenvectors of H are useful for segmentation.In fact, the second eigenvector can be used to splitthe image in two regions.
� It can be shown that the multiplicity of theeigenvalue 1 of H corresponds to the number ofconnected components in the graph.
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Experiments with synthetic images
Noisy Image Patch configurations for 3x3 patches
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Experiments with synthetic images
Total error
To study the performance of NLM with restrict the pixels used in the average considering only the ones with wpq > εεεε.
Conclusions: The error depends on ε and therefore on σ. NLM doesn’t have a eigenvalue 1 of multiplicity 6.
Eigenvalues
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Proposal: Modified NLM
� Observation :� For the synthetic image we
expect to have six differentregions corresponding tothe possible configurations,therefore we expect aeigenvalue 1 of multiplicity6.6.
� Goals:� Find a way to automatically
set the parameters of NLMto achieve minimum error.
� Validate the results usingthe connection of NLM withthe eigenvalues of H.
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Results for synthethic images
Clean image, Noisy image, NLM (with parameters suggested by Baudes h = 12), optimal NLM (h=5), Modified NLM.
MNLM and Optimal NLM have six eigenvalues of value 0 corresponding to the six possible configurations.
MLNM performs slightly better that NLM.
MLNM preserves in a better way the edges.
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Results for real images
The optimal h for NLM is lower than the one suggested by Buades et. at.
The results of NLM and MNLM are very similar using both MSE andSSIM.
MNLM: Estima automáticamente sus parámetros y alcanza resul tadosequivalentes al mejor NLM (obtenido manualmente conociend o la imagenoriginal).
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Referencias
� Bilateral Filtering: Theory and Applications, Sylvain Paris, PierreKornprobst, Jack Tumblin, and Frédo Durand, Foundations andTrends in Computer Graphics and Vision� http://people.csail.mit.edu/sparis/publi/2009/fntcgv/Paris_09_Bilateral_filt
ering.pdf
� A Tour of Modern Image Processing, PeymanMilanfar.� A Tour of Modern Image Processing, PeymanMilanfar.� http://www.eecs.umich.edu/~fessler/course/556/r/milanfar--ato.pdf
� A. Buades, B. Coll, J.M Morel, "A review of image denoisingalgorithms, with a new one", Multiscale Modeling and Simulation(SIAM interdisciplinary journal), Vol 4(2), pp: 490-530, 2005.� http://www.mi.parisdescartes.fr/~buades/publicacions/2005_mms.pdf
� Analysis of Non Local Image Denoising Methods, A. Pardo, CIARP2009.
� http://www.cs.tut.fi/~foi/GCF-BM3D/