1. La cantidad total de un concurso de fotografía se ha repartido entre los tres ganadores de

la siguiente forma: el primero ha recibido 𝟓

𝟖 del total; el segundo, el 32,5% y el tercero, 500€.

¿Cuál era el total para repartir entre los premiados?

2. Clasifica los siguientes números en racionales o irracionales y explica la razón:

a. 𝟎. 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓

b. 𝟎. 𝟏𝟐𝟓𝟖𝟕𝟔𝟑𝟗…

c. −𝟏.𝟑𝟒𝟐𝟓𝟐𝟓𝟐𝟓𝟐𝟓…

d. √𝟒

3. Escribe la fracción generatriz de los siguientes números decimales:

a. 𝟎. 𝟒𝟓

b. 𝟓. 𝟎𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕…

4. Representa en la recta real los siguientes números:

a. √𝟐𝟔

b. 𝟐𝟐

𝟑

5. Opera aplicando las propiedades de las potencias y da el resultado en notación científica:

a. (𝟐 · 𝟏𝟎𝟔) + (𝟏. 𝟓 · 𝟏𝟎𝟒) =

b. (𝟓. 𝟑𝟓 · 𝟏𝟎−𝟒) · (𝟔. 𝟐 · 𝟏𝟎𝟐) =

c. (𝟗 · 𝟏𝟎𝟏𝟓): (𝟒 · 𝟏𝟎𝟕) =

FICHA REPASO PARA PREPARAR EL EXAMEN FINAL

CURSO

2015-2016

6. Reduce aplicando las propiedades de las potencias. Expresa el resultado con una sola

potencia de base y exponente positivos:

(−𝟑)𝟒 · (𝟑𝟐)𝟑· 𝟒𝟑 · 𝟓

𝟔𝟒 · 𝟗𝟐 · 𝟏𝟐𝟓

7. Realiza las siguientes sumas y restas de radicales:

√𝟏𝟐𝟓 + √𝟓𝟒 − √𝟒𝟓 − √𝟐𝟒 =

8. Reduce estos radicales a índice común y simplifica:

a. √𝟐𝟓 · √𝟐 · 𝟕𝟐𝟑

=

b. √𝟑: √𝟐𝟕𝟔

=

c. √𝒂𝟐 · 𝒃𝟑

· √𝒂𝟑 · 𝒃𝟓𝟒

=

9. Expresa en lenguaje algebraico los siguientes enunciados:

a. El área de un rectángulo cuya base mide el triple que su altura:

b. La quinta parte de sumar dos números consecutivos:

c. El doble del producto de tres números:

d. El resultado de restar un número con su opuesto:

10. Dados los polinomios 23 5 6P x x x , 3 25 2 6Q x x x y 24R x x x , realiza las

siguientes operaciones:

a. 𝑷(𝒙) · 𝑸(𝒙)

b. 𝟒𝑷(𝒙) − 𝟑𝑹(𝒙)

11. Aplica las identidades notables y reduce la siguiente expresión:

(𝟑𝒙 − 𝟐)𝟐 − (𝟑𝒙 + 𝟒)(𝟑𝒙 − 𝟒) + (𝟓𝒙 + 𝟐)𝟐 =

12. Extrae factor común:

a. 𝟐𝟕𝒙𝟒 − 𝟖𝟏𝒙𝟑 + 𝟗𝒙𝟐 =

b. 𝟑𝒙𝟐𝒚𝟐𝒛 − 𝟑𝒙𝟐𝒚𝒛 + 𝟑𝒙𝒚𝟐𝒛 =

13. Realiza la siguiente división de polinomios:

(𝟑𝒙𝟑 − 𝟓𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟖): (𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟏)

14. Realiza la siguiente división de polinomios utilizando la regla de Ruffini e indica el cociente

y el resto:

(−𝒙𝟑 + 𝟐𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟏): (𝒙 + 𝟑)

15. Resuelve la siguiente ecuación 𝒙−𝟐

𝟒−𝟓𝒙+𝟏

𝟖+𝒙+𝟏

𝟑=

𝟏

𝟐

16. Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo:

a. 𝟒𝒙𝟐 + 𝟏𝟑𝒙 + 𝟏𝟓 = 𝟎

b. 𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟏𝟎 = 𝟎

c. 𝟒𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟏 = 𝟎

17. Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado:

a. 𝟏𝟔𝒙𝟐 − 𝟐𝟓 = 𝟎

b. 𝟔𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 = 𝟎

c. (𝒙 + 𝟓) · (𝟕𝒙 − 𝟒) = 𝟎

18. Resuelve la siguiente ecuación, aplicando las identidades notables:

(𝒙 + 𝟏)𝟐 − (𝒙 − 𝟐)𝟐 = (𝒙 + 𝟑)𝟐 + 𝒙𝟐 − 𝟐𝟎

19. Resuelve las siguientes ecuaciones de grado superior (las que sean bicuadradas resuélvelas mediante un cambio de variable):

a. 𝟐𝒙𝟒 + 𝟕𝒙𝟑 − 𝟏𝟒𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 = 𝟎

b. 𝒙𝟑 − 𝟑𝒙 + 𝟐 = 𝟎

c. 𝒙𝟒 − 𝟔𝒙𝟐 − 𝟕 = 𝟎

20. Un padre de 37 años tiene dos hijos de 8 y 5 años. ¿Cuántos años tienen que pasar para que la suma de las edades de los hijos sea igual a la edad del padre?

21. La superficie de un rectángulo es 𝟒𝟗𝟒 𝒄𝒎𝟐. Halla sus dimensiones sabiendo que la base es 𝟕 𝒄𝒎 más larga que la altura.

22. El producto de dos números impares positivos consecutivos es 195. Averigua ambos números planteando y resolviendo la ecuación correspondiente.

23. Factoriza los siguientes polinomios:

a. 𝟐𝒙𝟒 − 𝟔𝒙𝟐 + 𝟒𝒙

b. 𝒙𝟑 − 𝟏𝟔𝒙

c. 𝒙𝟑 − 𝟑𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟗

24. Realiza las siguientes operaciones con fracciones algebraicas y simplifica el resultado:

a. 𝒙+𝟏

𝒙+𝟐+

𝟓𝒙

(𝒙+𝟐)𝟐

b. 𝟓

𝒙−𝟏−

𝒙

𝒙𝟐−𝟏

c. 𝟓𝒙𝟐

𝟐𝒙+𝟑·(𝟐𝒙+𝟑)𝟑

𝟖𝒙𝟒

d. 𝒙+𝟐

𝟔𝒙𝟑:(𝒙+𝟐)𝟐

𝟐𝒙𝟓

25. Resuelve la siguiente ecuación 𝒙−𝟐

𝟒−𝟓𝒙+𝟏

𝟖+𝒙+𝟏

𝟑=

𝟏

𝟐

26. Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo:

a. 𝟒𝒙𝟐 + 𝟏𝟑𝒙 + 𝟏𝟓 = 𝟎

b. 𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟏𝟎 = 𝟎

c. 𝟒𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟏 = 𝟎

27. Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado:

a. 𝟏𝟔𝒙𝟐 − 𝟐𝟓 = 𝟎

b. 𝟔𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 = 𝟎

c. (𝒙 + 𝟓) · (𝟕𝒙 − 𝟒) = 𝟎

28. Resuelve la siguiente ecuación, aplicando las identidades notables:

(𝒙 + 𝟏)𝟐 − (𝒙 − 𝟐)𝟐 = (𝒙 + 𝟑)𝟐 + 𝒙𝟐 − 𝟐𝟎

29. Resuelve las siguientes ecuaciones de grado superior (las que sean bicuadradas resuélvelas mediante un cambio de variable):

a. 𝟐𝒙𝟒 + 𝟕𝒙𝟑 − 𝟏𝟒𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 = 𝟎

b. 𝒙𝟑 − 𝟑𝒙 + 𝟐 = 𝟎

c. 𝒙𝟒 − 𝟔𝒙𝟐 − 𝟕 = 𝟎

30. Un padre de 37 años tiene dos hijos de 8 y 5 años. ¿Cuántos años tienen que pasar para que la suma de las edades de los hijos sea igual a la edad del padre?

31. La superficie de un rectángulo es 𝟒𝟗𝟒 𝒄𝒎𝟐. Halla sus dimensiones sabiendo que la base es

𝟕 𝒄𝒎 más larga que la altura.

32. El producto de dos números impares positivos consecutivos es 195. Averigua ambos números planteando y resolviendo la ecuación correspondiente.

33. Resuelve el siguiente sistema por el método de SUSTITUCIÓN:

{𝟓𝒙 − 𝒚 = 𝟑

−𝒙 + 𝟐𝒚 = −𝟔

34. Resuelve el siguiente sistema por el método de REDUCCIÓN:

{𝟐𝒙 + 𝒚 = 𝟒𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝟓

35. Resuelve el siguiente sistema por el método de IGUALACIÓN:

{𝒙 − 𝟐𝒚 = 𝟐𝟑𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝟐

36. Resuelve GRÁFICAMENTE el siguiente sistema y clasifícalo según el número de soluciones que tenga. Indica cómo son las rectas.

{𝟑𝒙 − 𝟐𝒚 = 𝟔𝟐𝒙 + 𝒚 = −𝟏

37. Resuelve el siguiente sistema por el método que consideres más adecuado:

{

𝒙

𝟑−𝒚

𝟒= 𝒙 −

𝟏

𝟔

𝒚

𝟑−𝒙

𝟓=𝒙 + 𝒚 + 𝟒

𝟏𝟓

38. Un hotel tiene 94 habitaciones entre dobles e individuales. Si el número de camas es 170, ¿cuántas habitaciones de cada tipo tiene? Resuélvelo aplicando sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas.

39. Martina tiene en su hucha billetes de 5€ y de 20€, en total tiene 15 billetes que suman 210€. ¿Cuántos billetes de cada tipo tiene? Resuélvelo aplicando sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas.

40. Dada la siguiente recta expresada en forma general −𝟓𝒙 − 𝟑𝒚 − 𝟐 = 𝟎:

a. Calcula la pendiente.

b. Calcula la ordenada en el origen.

41. Representa las siguientes rectas en los mismos ejes:

a. 𝒚 =𝟏

𝟑𝒙 + 𝟏

b. 𝒚 = −𝟏

42. Obtén la pendiente de la siguiente recta:

43. Obtén la ecuación de cada una de las siguientes rectas:

a. Es paralela a 𝒚 =𝟑𝒙−𝟐

𝟓 y pasa por el punto (𝟏,−𝟏).

b. Función de proporcionalidad que pasa por el punto (𝟐,−𝟑).

c. Pasa por los puntos 𝑷(−𝟐, 𝟒) y 𝑸(𝟑, 𝟕).

44. Estudia la posición relativa de los siguientes pares de rectas y en caso de que sean secantes, obtén su punto de corte.

a. 𝒓: 𝟐𝒙 + 𝟓𝒚 − 𝟑 = 𝟎 ; 𝒔: 𝒚 + 𝟐 = 𝟑(𝒙 + 𝟐)

45. Aitor ha decidido apuntarse a un gimnasio. Los dos que están más cerca de su casa tienen distintas cuotas:

Gimnasio Sansón: cuota inicial de 60€ más 40€ al mes.

Gimnasio Hércules: no cobra cuota inicial, pero la cuota mensual es de 50€.

a. Escribe la ecuación de la recta que nos da el dinero que debemos pagar en cada gimnasio.

b. Haz una gráfica que muestre lo que pagaría según el gimnasio que elija.

c. ¿Cuántos meses ha de ir al gimnasio para que pague lo mismo en cada uno?

d. ¿Qué gimnasio le resulta más rentable si va 3 meses a hacer deporte?

46. Realiza el estudio completo (vértice, eje de simetría, máximo/mínimo absoluto, puntos de

corte con los ejes, cóncava/convexa) y representa la siguiente parábola: 𝒚 = −𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 − 𝟖

47. Encuentra dos números cuya suma es 14 y su producto sea mínimo. Obtén el valor de ese producto máximo.

48. La siguiente gráfica muestra el volumen de reservas de una cadena hotelera a lo largo de un año.

a. Di cuál es su dominio de definición y su recorrido.

b. ¿En qué mes se produce mayor número de reservas? ¿Cuántas hay?

c. ¿En qué periodo del año las reservas están por encima de las 15000?

d. ¿En qué mes el número de reservas es de 5000?

49. Representa la gráfica de una función con las siguientes características:

Dominio de definición: [𝟎, +∞[

Creciente: ]𝟎, 𝟑[ ∪ ]𝟓, +∞[

Decreciente: ]𝟑, 𝟓[

Tiene un máximo relativo en (𝟑, 𝟓) y un mínimo relativo en (𝟓, 𝟏)

Es una función continua

50. Representa la siguiente función definida a trozos y calcula las imágenes en los puntos de discontinuidad:

𝒇(𝒙) = {𝒙 + 𝟏 𝒔𝒊 𝒙 < −𝟐

𝒙𝟐 + 𝟏 𝒔𝒊 − 𝟐 ≤ 𝒙 < 𝟎𝟒 𝒔𝒊 𝒙 ≥ 𝟎

51. Estudia la simetría de las siguientes funciones:

a. 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟒 − 𝟑𝒙𝟐 + 𝟏

b. 𝒇(𝒙) =𝒙𝟐−𝟑

𝒙

c. 𝒇(𝒙) =𝒙𝟑+𝟏

𝒙

52. Calcula la tasa de variación de la función 𝒇(𝒙) = −𝟑𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 − 𝟐 en los intervalos siguientes (indicando el comportamiento de la misma):

a. [−𝟐,−𝟏]

b. [𝟎, 𝟒]

53. A partir de la gráfica de la siguiente función, indica/obtén:

a. Su dominio y su recorrido.

b. Los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

c. Los extremos relativos y absolutos.

d. Tipo de continuidad y por qué.

e. La imagen de los siguientes valores: 𝒙 = −𝟐, 𝒙 = 𝟎, 𝒙 = −𝟑

54. Dada la siguiente gráfica de una función:

a. Indica si es periódica y en caso afirmativo, obtén el periodo.

b. Halla 𝒇(𝟏𝟑), 𝒇(𝟏𝟒𝟓), 𝒇(𝟑𝟐)

55. Escribe los cuatro primeros términos de las siguientes sucesiones:

a. 𝒂𝒏 =𝟑𝒏

𝒏+𝟐

b. 𝒂𝟏 = −𝟏, 𝒂𝟐 = 𝟑, 𝒂𝒏 = 𝒂𝒏−𝟏 + 𝒂𝒏−𝟐

56. Halla el término general de cada una de las siguientes sucesiones:

a. −𝟒,𝟎, 𝟒, 𝟖, 𝟏𝟔,…

b. 𝟏,𝟏

𝟓,𝟏

𝟐𝟓, …

c. 𝟒

𝟔,𝟓

𝟕,𝟔

𝟖, …

57. De una progresión aritmética sabemos que 𝒂𝟐 = −𝟏 y 𝒂𝟔 = 𝟏𝟏. Halla la diferencia y la suma de los seis primeros términos.

58. De una progresión geométrica sabemos que 𝒂𝟏 = 𝟑 y 𝒓 =𝟏

𝟒. Calcula la suma de todos los

términos de la progresión.

59. De una progresión geométrica de términos positivos, sabemos que 𝒂𝟑 = 𝟑𝟐 y 𝒂𝟓 = 𝟓𝟏𝟐. Halla la razón y la suma de los cinco primeros términos.

60. La dosis de un medicamento es de 100 mg el primer día y 5 mg menos cada uno de los siguientes. El tratamiento dura 12 días ¿Cuántos miligramos tiene que tomar el enfermo durante todo el tratamiento?

61. Martina quiere vender su coche, por el que pide 5000 euros. Gonzalo está interesado, pero le parece algo caro. - Hagamos un trato –dice Martina.- En lugar de venderte el coche, te vendo… no sé, los tornillos de las ruedas, por ejemplo. Por el primer tornillo me das un céntimo, dos por el segundo, cuatro por el siguiente y así sucesivamente. Cuando me pagues los 20 tornillos que hay en total, te regalo el coche. ¡Y mira que la rueda de repuesto tampoco te la cobro!

Gonzalo acepta encantado, pensando que ha hecho un gran negocio. ¿Cuánto paga Gonzalo por los 20 tornillos?

62. En clase de Matemáticas se propone un problema en el que hay que calcular una probabilidad. A Clara le da como resultado 0.35, a Mario 1.05 y a Lorena -0.15. ¿Cuál de los resultados puede ser el correcto? Razona tu respuesta.

63. Una urna contiene 10 bolas amarillas, 9 verdes y 26 azules. Calcula la probabilidad de que al extraer una bola al azar:

a. Sea de color azul.

b. No sea de color amarillo.

64. Tres hermanos tienen sus libros en un estante. Miguel tiene 10 libros, Alicia tiene 7 y Eduardo tiene 3 libros. Se elige un libro al azar.

a. Calcula la probabilidad de que sea de un chico.

b. Calcula la probabilidad de que no sea de un chico.

c. Calcula la probabilidad de que no sea de Eduardo.

65. En un grupo de amigos hay chicos y chicas, con y sin gafas. Si se elige una persona del grupo al azar, calcula:

Con gafas Sin gafas

Chicos 8 6

Chicas 4 7

a. La probabilidad de que sea una chica.

b. La probabilidad de que sea una chica con gafas.

c. Se elige a una persona con gafas. ¿Qué probabilidad hay de que sea un chico?

66. Lanzamos un dado dodecaédríco (12 caras) y consideramos los siguientes sucesos: 𝑨 ={𝟐, 𝟒, 𝟓, 𝟔, 𝟕, 𝟏𝟎} y 𝑩 = {𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟔, 𝟖, 𝟏𝟏}. Halla los siguientes sucesos:

a. 𝑨 ∩ 𝑩

b. 𝑨 ∪ �̅�

c. (�̅� ∩ �̅�)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅

d. �̅� ∪ �̅�

67. Se lanzan dos dados y se suman las puntuaciones obtenidas: a. Obtén el espacio muestral: b. Calcula la probabilidad de que la suma de las puntuaciones sea un resultado mayor que

6.

68. Una urna contiene 5 bolas rosas, 7 bolas blancas y 4 bolas moradas.

a. Si se extraen dos bolas al azar, calcula la probabilidad de que cada una sea de diferente color.

b. Se extrae una bola al azar, se anota su color, se devuelve a la urna y se saca otra bola. Calcula la probabilidad de que ambas bolas sean del mismo color.

69. ¿De cuántas maneras distintas pueden sentarse 8 personas?