![Page 1: Fakulta biomedic´ınskeho in´ zenˇ yrstv´ ´ı – Teoreticka´ elektrotechnikaamber.feld.cvut.cz/17bbtel/2019/TE_bio_19-3.pdf · 2018-12-19 · Fakulta biomedic´ınskeho in´](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041611/5e37d6c8f659cf1c052912c9/html5/thumbnails/1.jpg)
Fakulta biomedicınskeho inzenyrstvı – Teoreticka
elektrotechnika
Prof. Ing. Jan Uhlır, CSc.
Leto 2019
![Page 2: Fakulta biomedic´ınskeho in´ zenˇ yrstv´ ´ı – Teoreticka´ elektrotechnikaamber.feld.cvut.cz/17bbtel/2019/TE_bio_19-3.pdf · 2018-12-19 · Fakulta biomedic´ınskeho in´](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041611/5e37d6c8f659cf1c052912c9/html5/thumbnails/2.jpg)
3. Vypocty ve frekvencnı oblasti
1
![Page 3: Fakulta biomedic´ınskeho in´ zenˇ yrstv´ ´ı – Teoreticka´ elektrotechnikaamber.feld.cvut.cz/17bbtel/2019/TE_bio_19-3.pdf · 2018-12-19 · Fakulta biomedic´ınskeho in´](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041611/5e37d6c8f659cf1c052912c9/html5/thumbnails/3.jpg)
Pro analyzu ve frekvencnı oblasti predpokladame zdroje se sinusovymi casovymiprubehy napetı, resp. proudu a stav, kdy neprobıhajı zadne prechodne deje,zpusobene pripojenım nebo odpojenım zdroje nebo soucastky. Analyzujeme har-monicky ustaleny stav. (HUS)
Pusobı-li v linearnım obvodu zdroj sinusoveho napetı nebo proudu s danou frek-vencı a fazı, majı v harmonickem ustalenem stavu vsechny obvodove velicinysinusovy prubeh s frekvencı zdroje. Od parametru zdroje (Um(Im), ϕ, ω) semohou hodnoty obvodovych velicin lisit jen amplitudou, fazı a prıp. rozmerem.
2
![Page 4: Fakulta biomedic´ınskeho in´ zenˇ yrstv´ ´ı – Teoreticka´ elektrotechnikaamber.feld.cvut.cz/17bbtel/2019/TE_bio_19-3.pdf · 2018-12-19 · Fakulta biomedic´ınskeho in´](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041611/5e37d6c8f659cf1c052912c9/html5/thumbnails/4.jpg)
Pusobı-li v linearnım obvodu vıce sinusovych zdroju soucasne, platı princip su-perpozice a predchozı tvrzenı platı pro kazdy ze zdroju nezavisle.
Kazdy nesinusovy periodicky signal lze rozlozit na radu signalu s frekvencemi,ktere jsou dany celocıselnymi nasobky zakladnı (nejnizsı) frekvence periodickehosignalu – Fourierova rada. Pro obecny neperiodicky signal – Fourierova transfor-mace.
3
![Page 5: Fakulta biomedic´ınskeho in´ zenˇ yrstv´ ´ı – Teoreticka´ elektrotechnikaamber.feld.cvut.cz/17bbtel/2019/TE_bio_19-3.pdf · 2018-12-19 · Fakulta biomedic´ınskeho in´](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041611/5e37d6c8f659cf1c052912c9/html5/thumbnails/5.jpg)
Kapacitor se sinusovym zdrojem napetı
C
u(t) = Um sin(ωt)
i(t)
Budeme nynı predpokladat, ze u(t) = Um sin(ωt). Pak s vyuzitım derivace(i(t) = Cdudt ) dostaneme vyraz pro proud – i(t) = UmωC sin(ωt+ π/2).
Odtud lze najıt vztah mezi amplitudou napetı a proudu tak, ze platıIm = UmωC.
4
![Page 6: Fakulta biomedic´ınskeho in´ zenˇ yrstv´ ´ı – Teoreticka´ elektrotechnikaamber.feld.cvut.cz/17bbtel/2019/TE_bio_19-3.pdf · 2018-12-19 · Fakulta biomedic´ınskeho in´](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041611/5e37d6c8f659cf1c052912c9/html5/thumbnails/6.jpg)
Setrvacne vlastnosti kapacitoru vedou k tomu, ze v harmonickem ustalenemstavu jsou proud prochazejıcı kapacitorem a napetı na jeho svorkach fazove po-sunuty o π/2. Tak zasadne ovlivnuje kapacitor obvodove veliciny v jakemkoli ob-vodu se sinusovymi signaly. Snadno se take presvedcıme, ze dıky tomu kapacitornerozptyluje zadnou energii.
Vznika otazka, jak takovy vliv na fazi obvodovych velicin matematicky popsat. Ma-tematika dokazala vstoupit do druheho rozmeru vytvorenım oboru komplexnıchcısel.
Elektrotechnika obor komplexnıch cısel vyuzıva.
5
![Page 7: Fakulta biomedic´ınskeho in´ zenˇ yrstv´ ´ı – Teoreticka´ elektrotechnikaamber.feld.cvut.cz/17bbtel/2019/TE_bio_19-3.pdf · 2018-12-19 · Fakulta biomedic´ınskeho in´](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041611/5e37d6c8f659cf1c052912c9/html5/thumbnails/7.jpg)
Pro harmonicky ustaleny stav jsou zavedeny fazory – komplexnı cıslareprezentujıcı obvodove veliciny sinusoveho prubehu.
Pro sinusove napetı Um sin(ωt+ ϕ) zavedeme v oboru komplexnıch cıselreprezentanta – fazor
U = Re(U) + j Im(U) = Um (cosϕ+ j sinϕ) = Umejϕ
Podobne pro proud Im sin(ωt+ ϕ) zavedeme v oboru komplexnıch cıselreprezentanta – fazor
I = Re(I) + j Im(I) = Im (cosϕ+ j sinϕ) = Imejϕ
Platı tedy
Um = |U|, ϕ = arctgImU
ReU
a podobne pro I
6
![Page 8: Fakulta biomedic´ınskeho in´ zenˇ yrstv´ ´ı – Teoreticka´ elektrotechnikaamber.feld.cvut.cz/17bbtel/2019/TE_bio_19-3.pdf · 2018-12-19 · Fakulta biomedic´ınskeho in´](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041611/5e37d6c8f659cf1c052912c9/html5/thumbnails/8.jpg)
Pro fazorovou analyzu obvodu zavedeme dalsı pojem – impedanci
Pro rezistor – ZR = R
Pro kapacitor – ZC = 1j ω C
Pro induktor – ZL = j ω L
Pro rızene zdroje se jedna o prenosovy cinitel – X = Re(X) + j Im(X)
7
![Page 9: Fakulta biomedic´ınskeho in´ zenˇ yrstv´ ´ı – Teoreticka´ elektrotechnikaamber.feld.cvut.cz/17bbtel/2019/TE_bio_19-3.pdf · 2018-12-19 · Fakulta biomedic´ınskeho in´](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041611/5e37d6c8f659cf1c052912c9/html5/thumbnails/9.jpg)
Aparat komplexnı aritmetiky nam poskytne prostredek, jak popsat obvodoveveliciny s fazı libovolne pootocenou – zrejme jako komplexnı cısla s realnou a
imaginarnı slozkou.
V oblasti vypoctu harmonickeho ustaleneho stavu se pro zapis obvodovychrovnic podle Kirchhoffovych zakonu pouzıva impedancı a zdroju stejne jako
v obvodech s rezistory.
Aplikaci fazoru lze demonstrovat na drıve uvedenem obvodu se zdrojem napetıa kapacitorem:
I =U
ZC
= jωCU −→ Im = UmωC, ϕ = π/2
8
![Page 10: Fakulta biomedic´ınskeho in´ zenˇ yrstv´ ´ı – Teoreticka´ elektrotechnikaamber.feld.cvut.cz/17bbtel/2019/TE_bio_19-3.pdf · 2018-12-19 · Fakulta biomedic´ınskeho in´](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041611/5e37d6c8f659cf1c052912c9/html5/thumbnails/10.jpg)
Vypocet impedance ze schematu RLC obvodu
C
L
R1
R2Z
Z = R1 + jωL+R2
1jωC
R2 + 1jωC
= R1 + jωL+R2
1 + jωR2C
9
![Page 11: Fakulta biomedic´ınskeho in´ zenˇ yrstv´ ´ı – Teoreticka´ elektrotechnikaamber.feld.cvut.cz/17bbtel/2019/TE_bio_19-3.pdf · 2018-12-19 · Fakulta biomedic´ınskeho in´](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041611/5e37d6c8f659cf1c052912c9/html5/thumbnails/11.jpg)
• Popis obvodu v harmonickem ustalenem stavu je prakticky vyznamny proto,ze reprezentuje vlastnosti obvodu pro sirokou oblast jeho pouzitı.
• Matematicky aparat pracuje s komplexnımi impedancemi a fazory tak, zeformulace popisu obvodu je velmi jednoducha, avsak omezena jen na har-monicky ustaleny stav – vylucuje vypocet prechodnych deju a popis cinnostiobvodu s neharmonickym signalem. Vyrazy s fazory (impedance, prenosy aobrazy signalu) nemohou vystupovat ve vztazıch pro casove prubehy signalu.
• Matematicky popis obvodu dovoluje formulovat komplexnı funkci kmitoctuoznacovanou jako prenosova funkce (prenos) obvodu. Z nı lze odvodit am-plitudovou a fazovou frekvencnı charakteristiku obvodu. Amplitudova cha-rakteristika je vetsinou zobrazovana v logaritmickych souradnicıch na obouosach (x - logaritmus frekvence, y - logaritmus absolutnı hodnoty prenosu vdecibelech [dB]) a fazova charakteristika s logaritmem frekvence a linearnıstupnicı fazoveho uhlu.
10
![Page 12: Fakulta biomedic´ınskeho in´ zenˇ yrstv´ ´ı – Teoreticka´ elektrotechnikaamber.feld.cvut.cz/17bbtel/2019/TE_bio_19-3.pdf · 2018-12-19 · Fakulta biomedic´ınskeho in´](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041611/5e37d6c8f659cf1c052912c9/html5/thumbnails/12.jpg)
• V kvalitativnım odhadu vlastnostı obvodu s kapacitory a induktory lze na
”dostatecne“ vysokych kmitoctech povazovat kapacitor za zkrat a induktor zarozpojeny obvod. Na ”dostatecne“ nızkych kmitoctech lze kapacitor povazovatza rozpojeny obvod a induktor za zkrat.
Pro kapacitor ZC = 1j ω C ; bude proω →∞, ZC → 0
Pro kapacitor ZC = 1j ω C ; bude proω → 0, ZC →∞
Pro induktor ZL = j ω L; bude proω →∞, ZL →∞Pro induktor ZL = j ω L; bude proω → 0, ZL → 0
11
![Page 13: Fakulta biomedic´ınskeho in´ zenˇ yrstv´ ´ı – Teoreticka´ elektrotechnikaamber.feld.cvut.cz/17bbtel/2019/TE_bio_19-3.pdf · 2018-12-19 · Fakulta biomedic´ınskeho in´](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041611/5e37d6c8f659cf1c052912c9/html5/thumbnails/13.jpg)
Komplexnı vykon
Komplexnı vykon v HUS je definovan jako soucin fazoru napetı a komplexnesdruzeneho fazoru proudu
S =1
2UI∗
takze
S =1
2UmIm(cosϕ+ j sinϕ)
P = Re(S) =1
2UmIm cosϕ, Q = Im(S) =
1
2UmIm sinϕ
P je cinny vykon, Q je jalovy vykon, S = |S| = 1/2UmIm je zdanlivy vykon.
Pro efektivnı hodnoty proudu a napetı platı
P = UefIef cosϕ, Q = UefIef sinϕ S = UefIef
12
![Page 14: Fakulta biomedic´ınskeho in´ zenˇ yrstv´ ´ı – Teoreticka´ elektrotechnikaamber.feld.cvut.cz/17bbtel/2019/TE_bio_19-3.pdf · 2018-12-19 · Fakulta biomedic´ınskeho in´](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041611/5e37d6c8f659cf1c052912c9/html5/thumbnails/14.jpg)
Komplexnı vykon
Jednotky, ktere pro vykon v harmonickem ustalenem stavu pouzıvame jsou:
Pro zdanlivy vykon voltamper [VA] – soucin zmerenych voltu a amperuPro cinny vykon watt [W] – vykon, ktery kona praciPro jalovy vykon voltamper reaktancnı [var] – uklada a vracı energii v beze-ztratovych elementech
13
![Page 15: Fakulta biomedic´ınskeho in´ zenˇ yrstv´ ´ı – Teoreticka´ elektrotechnikaamber.feld.cvut.cz/17bbtel/2019/TE_bio_19-3.pdf · 2018-12-19 · Fakulta biomedic´ınskeho in´](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041611/5e37d6c8f659cf1c052912c9/html5/thumbnails/15.jpg)
Vykon v zatezi Z pripojene ke zdroji napetı U (fazi napetı povazujme zanulovou)
I = UZ
= Um|Z|e
−jϕz, kde ϕz je faze zateze ϕz = arctg(
Im(Z)Re(Z)
)
S = UI∗ =U2m
2|Z|ejϕz =
U2ef
|Z|ejϕz =
U2ef
|Z|(cosϕz + j sinϕz)
Pokud je vnitrnı impedance zdroje Zi potom pro zatez Zz je splnena podmınkavykonoveho prizpusobenı tehdy, kdy
Zi = Z∗z
14
![Page 16: Fakulta biomedic´ınskeho in´ zenˇ yrstv´ ´ı – Teoreticka´ elektrotechnikaamber.feld.cvut.cz/17bbtel/2019/TE_bio_19-3.pdf · 2018-12-19 · Fakulta biomedic´ınskeho in´](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041611/5e37d6c8f659cf1c052912c9/html5/thumbnails/16.jpg)
Pro vykon spotrebicu je definovan ucinık
λ =P
S= cosϕ
Protoze pouze cinny vykon vykonava praci, zatımco zdanlivy vykon je celkovaenergie prenesena vodici za jednotku casu, je ucinık mırou vyuzitı energie zdroje.Kdyz λ = 1 je veskery vykon dodany zdrojem vyuzit v zatezi.Kdyz λ = 0 je vodici bez uzitku prenasena energie ze zdroje do zateze a zpet.Ucinık se po vynasobenı 100 udava v %.
Pri pripojovanı spotrebicu k elektrovodne sıti ma zdroj (sıt’ova zasuvka) zane-dbatelnou reaktancnı slozku vystupnı impedance. Navıc vykonove prizpusobenınema prakticky vyznam, protoze vykon na spotrebici je vzdy v pomeru k vykonuna vnitrnı impedanci zdroje vyrazne vetsı. Nicmene je zbytecne, aby sıt’ovymprıvodem protekal proud nesoucı jalovy vykon. Resenı spocıva v tom, ze na ko-nec vedenı (ke spotrebici) pripojıme obvod s impedancı, ktera zabezpecı mini-malizaci fazoveho posunu mezi napetım a proudem ve vedenı od zdroje. Jde oopatrenı oznacovane jako kompenzace ucinıku.
15
![Page 17: Fakulta biomedic´ınskeho in´ zenˇ yrstv´ ´ı – Teoreticka´ elektrotechnikaamber.feld.cvut.cz/17bbtel/2019/TE_bio_19-3.pdf · 2018-12-19 · Fakulta biomedic´ınskeho in´](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041611/5e37d6c8f659cf1c052912c9/html5/thumbnails/17.jpg)
Vykon v obvodu s reaktancı
9.000m 9.090m 9.180m 9.270m 9.360m 9.450m 9.540m 9.630m 9.720m-10
-5
0
5
10
15
-I(V1)*100 V(v1) (V)
9.000m 9.090m 9.180m 9.270m 9.360m 9.450m 9.540m 9.630m 9.720m-0.4
0.0
0.4
0.8
1.2
1.6
-V(V1)*I(V1)
T (Secs)
PDT (W)
.
.
ϕ = −16 2µF
100Ω
U
Im = 96 [mA] Um = 10 [V]
P = 0,4621 [W] S = 0,48 [VA]
ω = 1745 [rad/s]
Z = 100− j.28,648 [Ω]
I = 0.0924+ j.0,0265 [A]
U = 10 [V]
S = 0,4621− j.0,1324 [VA]
16
![Page 18: Fakulta biomedic´ınskeho in´ zenˇ yrstv´ ´ı – Teoreticka´ elektrotechnikaamber.feld.cvut.cz/17bbtel/2019/TE_bio_19-3.pdf · 2018-12-19 · Fakulta biomedic´ınskeho in´](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041611/5e37d6c8f659cf1c052912c9/html5/thumbnails/18.jpg)
Vykon v obvodu s reaktancı
9.000m 9.090m 9.180m 9.270m 9.360m 9.450m 9.540m 9.630m 9.720m-10
-5
0
5
10
15
-I(V1)*100 V(v1) (V)
9.000m 9.090m 9.180m 9.270m 9.360m 9.450m 9.540m 9.630m 9.720m-120.0m
0.0m
120.0m
240.0m
-V(V1)*I(V1)
T (Secs)
PDT (W)
.
.
ϕ = −70,8
0,2µF
100Ω
U
Im = 33 [mA] Um = 10 [V]
P = 0,0543 [W] S = 0,165 [VA]
ω = 1745 [rad/s]
Z = 100− j.286,48 [Ω]
I = 0.0109+ j.0,0311 [A]
U = 10 [V]
S = 0,0543− j.0.1556 [VA]
17
![Page 19: Fakulta biomedic´ınskeho in´ zenˇ yrstv´ ´ı – Teoreticka´ elektrotechnikaamber.feld.cvut.cz/17bbtel/2019/TE_bio_19-3.pdf · 2018-12-19 · Fakulta biomedic´ınskeho in´](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041611/5e37d6c8f659cf1c052912c9/html5/thumbnails/19.jpg)
Frekvencnı charakteristiky
Vypocty obvodu vzdy smerujı k nalezenı vlastnostı obvodovych velicin (napetı vuzlech, proudu ve smyckach), kdyz je obvod buzen nejakym zdrojem napetınebo proudu. Pouzitı Kirchhoffovych zakonu tak vede ke vztahu, ktery ma
obecne tvar
Y2 = HY1,
kde Y2 je hledany fazor nektere obvodove veliciny, Y1 je fazor zdroje a H jefunkce popisujıcı ucinek zdroje na zvolenou obvodovou velicinu. (Analogicky
jsme v nesetrvacnych obvodech popsali napetı nebo proud v kteremkoli mısteobvodu, pokud jsme znali budicı proud nebo napetı).
18
![Page 20: Fakulta biomedic´ınskeho in´ zenˇ yrstv´ ´ı – Teoreticka´ elektrotechnikaamber.feld.cvut.cz/17bbtel/2019/TE_bio_19-3.pdf · 2018-12-19 · Fakulta biomedic´ınskeho in´](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041611/5e37d6c8f659cf1c052912c9/html5/thumbnails/20.jpg)
Takove vyjadrenı platı v prostoru fazoru, lze vsak snadno zıskat popis casovehoprubehu:
y1(t) = Y1m sin(ωt+ ϕ1) a y2(t) = Y2m sin(ωt+ ϕ2),
kde
Y2m = Y1m|H| = Y1m
√(Re(H)
)2+(Im(H)
)2
ϕ2 = ϕ1 + arctg
(Im(H)
Re(H)
).
Svet tucnych symbolu se strıskami – fazorovy, je jiny svet nez svet casovychprubehu u(t) a i(t) a jim odpovıdajıcıch derivacı a integralu. My vsak vıme, zese da jedno z druheho vypocıtat, ale do jedne rovnice nikdy tyto ruzne symboly
nenapıseme.
19
![Page 21: Fakulta biomedic´ınskeho in´ zenˇ yrstv´ ´ı – Teoreticka´ elektrotechnikaamber.feld.cvut.cz/17bbtel/2019/TE_bio_19-3.pdf · 2018-12-19 · Fakulta biomedic´ınskeho in´](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041611/5e37d6c8f659cf1c052912c9/html5/thumbnails/21.jpg)
Integracnı RC obvod ve frekvencnı oblasti
R
C
U1 U2
20
![Page 22: Fakulta biomedic´ınskeho in´ zenˇ yrstv´ ´ı – Teoreticka´ elektrotechnikaamber.feld.cvut.cz/17bbtel/2019/TE_bio_19-3.pdf · 2018-12-19 · Fakulta biomedic´ınskeho in´](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041611/5e37d6c8f659cf1c052912c9/html5/thumbnails/22.jpg)
Uvedli jsme, ze s impedancemi pracujeme jako s odpory. Takze vyuzijemeznalostı o delici napetı a napıseme
U2 = U1ZC
R+ ZC
= U11/jωC
R+ 1/jωC= U1
1
1 + jωRC.
Z uvedeneho obecneho vztahu muzeme uzıt zapisu
H =1
1 + jωRC=
1− jωRC1 + (ωRC)2
.
Protoze se jedna o matematicke vyjadrenı pomeru fazoru vystupnıho napetı kfazoru vstupnıho napetı, tedy o popis jak se vstupnı napetı obvodem ovlivnı, je-li
preneseno na vystup, nazyva se H (napet’ovym) prenosem obvodu. Jde obezrozmernou komplexnı funkci kmitoctu ω, coz byva nekdy vyjadreno zapisem
H ≡ H(jω).
21
![Page 23: Fakulta biomedic´ınskeho in´ zenˇ yrstv´ ´ı – Teoreticka´ elektrotechnikaamber.feld.cvut.cz/17bbtel/2019/TE_bio_19-3.pdf · 2018-12-19 · Fakulta biomedic´ınskeho in´](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041611/5e37d6c8f659cf1c052912c9/html5/thumbnails/23.jpg)
Pri upravach uvadenych vztahu se ukazuje soucin RC jako parametr vyznamnypro chovanı RC obvodu ve frekvencnı oblasti. Snadno se presvedcıme, ze marozmer casu v sekundach. V soucinu s kmitoctem (prevracena hodnota casu)dava v nasich vypoctech bezrozmerne funkcnı hodnoty pro dane frekvence.
Soucin RC = τ se oznacuje jako casova konstanta.
22
![Page 24: Fakulta biomedic´ınskeho in´ zenˇ yrstv´ ´ı – Teoreticka´ elektrotechnikaamber.feld.cvut.cz/17bbtel/2019/TE_bio_19-3.pdf · 2018-12-19 · Fakulta biomedic´ınskeho in´](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041611/5e37d6c8f659cf1c052912c9/html5/thumbnails/24.jpg)
Prenosove vlastnosti obvodu ve frekvencnı oblasti popisujeme pomocı analyzyfunkce H. Ukazeme to na uvedenem integracnım obvodu.
Prvnı vyznamna informace se tyka vlivu obvodu na amplitudu vstupnıho napetı.Uvedli jsme, ze U2m = U1m|H|, takze
U2m = U1m1√
1 + (ωRC)2.
Vidıme, ze amplituda sinusoveho prubehu je zavisla na kmitoctu a s rostoucımkmitoctem bude klesat. Je zvykem tuto zavislost zobrazit v grafu funkce |H|, vekterem nezavisle promennou (vodorovna osa) je logaritmus kmitoctu a na svisle
ose je v logaritmickem merıtku A.
A = 20 log|H|.Pro jejı hodnoty jsou zavedeny decibely [dB], graf se oznacuje jako Bodeho
charakteristika (viz Teorie systemu)
23
![Page 25: Fakulta biomedic´ınskeho in´ zenˇ yrstv´ ´ı – Teoreticka´ elektrotechnikaamber.feld.cvut.cz/17bbtel/2019/TE_bio_19-3.pdf · 2018-12-19 · Fakulta biomedic´ınskeho in´](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041611/5e37d6c8f659cf1c052912c9/html5/thumbnails/25.jpg)
Na obrazku je Bodeho charakteristika integracnıho obvodu. Parametry obvodubyly zvoleny takto: R = 100 kΩ a C =10 nF.
1 10 100 1K
-20.0
-15.0
-10.0
-5.0
0.0
5.0
A[d
B]
f [Hz]
24
![Page 26: Fakulta biomedic´ınskeho in´ zenˇ yrstv´ ´ı – Teoreticka´ elektrotechnikaamber.feld.cvut.cz/17bbtel/2019/TE_bio_19-3.pdf · 2018-12-19 · Fakulta biomedic´ınskeho in´](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041611/5e37d6c8f659cf1c052912c9/html5/thumbnails/26.jpg)
Pro integracnı obvod zjistıme, ze vystupnı napetı se opozd’uje za napetımvstupnım. Z vyrazu pro prenos plyne pri nulove fazi na zdroji signalu ϕ1 = 0
ϕ2 = arctg
(Im(H)
Re(H)
)= −arctg (ωRC) .
4,0 6,0 8,0 10,0
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
1,5
u1(t)
u2(t)
u[V
]
t [ms]
25
![Page 27: Fakulta biomedic´ınskeho in´ zenˇ yrstv´ ´ı – Teoreticka´ elektrotechnikaamber.feld.cvut.cz/17bbtel/2019/TE_bio_19-3.pdf · 2018-12-19 · Fakulta biomedic´ınskeho in´](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041611/5e37d6c8f659cf1c052912c9/html5/thumbnails/27.jpg)
Fazova frekvencnı charakteristika integracnıho RC obvodu
-100
-75
-50
-25
0
25
1 10 100 1K
ϕ[
]
f [Hz]
26
![Page 28: Fakulta biomedic´ınskeho in´ zenˇ yrstv´ ´ı – Teoreticka´ elektrotechnikaamber.feld.cvut.cz/17bbtel/2019/TE_bio_19-3.pdf · 2018-12-19 · Fakulta biomedic´ınskeho in´](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041611/5e37d6c8f659cf1c052912c9/html5/thumbnails/28.jpg)
Amplitudova frekvencnı charakteristika: |H| = 1√1+(ωτ)2
• ω → 0. Pro nızke kmitocty (ωτ 1) se prenos obvodu blızı k jednicce.Pomale zmeny okamzite hodnoty strıdaveho napetı vedou k tomu, ze se kon-denzator nabıjı a vybıjı malymi okazitymi hodnotami proudu a na rezistoruse vytvarı maly ubytek napetı. Napetı na kapacitoru stıha sledovat vstupnınapetı. V grafu prenosove charakteristiky se jejı prubeh asymptoticky blızı kvodorovne prımce odpovıdajıcı hodnote 0 dB
• ω → ∞. Pro vysoke kmitocty (ωτ 1) klesa prenos obvodu s rostoucımkmitoctem |H| ≈ 1/ωτ . V teto oblasti kmitoctu lze pro prenosovou cha-rakteristiku v decibelech napsat A = −20log(2πfτ), coz znamena, zekazde zvysenı kmitoctu na desetinasobek vede k poklesu prenosu o 20 dB.Je-li v grafu i kmitocet zobrazen logaritmicky, blızı se prubeh charakteristikyasymptoticky k prımce se sklonem -20 dB na dekadu kmitoctu
27
![Page 29: Fakulta biomedic´ınskeho in´ zenˇ yrstv´ ´ı – Teoreticka´ elektrotechnikaamber.feld.cvut.cz/17bbtel/2019/TE_bio_19-3.pdf · 2018-12-19 · Fakulta biomedic´ınskeho in´](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041611/5e37d6c8f659cf1c052912c9/html5/thumbnails/29.jpg)
• uvedene dve asymptoty se protnou na ose kmitoctu v bode
ωτ = 1 resp. ω = 2πf =1
τ.
Tomuto kmitoctu se rıka meznı kmitocet a skutecny prubeh charakteristikyse na nem nejvıce vzdaluje od asymptot. Dosazenım zjistıme, ze na meznımkmitoctu je
|H| = 1√2
=
√2
2≈ 0,707, resp. A ≈ −3 dB.
Meznı kmitocet je v tomto prıpade kmitoctem, na kterem se pri rostoucım kmitoctuzacne vyznamne zmensovat amplituda prenaseneho signalu. Byva oznacovanjako hornı meznı kmitocet fh resp. ωh a casova konstanta se take oznacı jako takonstanta, ktera urcuje hornı meznı kmitocet τh
28
![Page 30: Fakulta biomedic´ınskeho in´ zenˇ yrstv´ ´ı – Teoreticka´ elektrotechnikaamber.feld.cvut.cz/17bbtel/2019/TE_bio_19-3.pdf · 2018-12-19 · Fakulta biomedic´ınskeho in´](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041611/5e37d6c8f659cf1c052912c9/html5/thumbnails/30.jpg)
Fazova frekvencnı charakteristika: ϕ = −arctg(ωτ)
• ω → 0. Pro nızke kmitocty (ωτ 1) se faze prenosu obvodu blızı knule. Jiz jsme uvedli, ze napetı na kapacitoru stıha sledovat vstupnı napetı.V grafu prenosove charakteristiky se prubeh faze asymptoticky blızı k vodo-rovne prımce s hodnotou ϕ = 0.
• ω → ∞. Pro vysoke kmitocty (ωτ 1) klesa prenos obvodu proto,ze pomaly kapacitor nestacı reagovat na rychle zmeny okamzite hodnotyvstupnıho napetı. Protoze jde o harmonicky ustaleny stav, je napetı na ka-pacitoru sinusove, ale pomalost s jakou kapacitor dovoluje menit na svychsvorkach napetı zpusobı, ze se faze zpozd’uje. Pro rostoucı kmitocty seasymptoticky blızı k −90 resp. −π/2.
• Dosazenım do vyse uvedeneho vztahu zjistıme, ze na meznım kmitoctu jeϕ = −arctg(ωτ) = −arctg(1) = −45 = −π/4.
29
![Page 31: Fakulta biomedic´ınskeho in´ zenˇ yrstv´ ´ı – Teoreticka´ elektrotechnikaamber.feld.cvut.cz/17bbtel/2019/TE_bio_19-3.pdf · 2018-12-19 · Fakulta biomedic´ınskeho in´](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041611/5e37d6c8f659cf1c052912c9/html5/thumbnails/31.jpg)
Derivacnı RC obvod ve frekvencnı oblasti
R
C
U1 U2
U2 = U1R
R+ ZC
= U1R
R+ 1/jωC
H =jωRC
1 + jωRC
|H| = ωRC√1 + (ωRC)2
ϕ = arctg(
1
ωRC
)
30
![Page 32: Fakulta biomedic´ınskeho in´ zenˇ yrstv´ ´ı – Teoreticka´ elektrotechnikaamber.feld.cvut.cz/17bbtel/2019/TE_bio_19-3.pdf · 2018-12-19 · Fakulta biomedic´ınskeho in´](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041611/5e37d6c8f659cf1c052912c9/html5/thumbnails/32.jpg)
1 10 100 1K
-48
-36
-24
-12
0
0
1212
1 10 100 1K
.
25
50
75
100
125
A[d
B]
f [Hz]
f [Hz]
ϕ[
]
31
![Page 33: Fakulta biomedic´ınskeho in´ zenˇ yrstv´ ´ı – Teoreticka´ elektrotechnikaamber.feld.cvut.cz/17bbtel/2019/TE_bio_19-3.pdf · 2018-12-19 · Fakulta biomedic´ınskeho in´](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041611/5e37d6c8f659cf1c052912c9/html5/thumbnails/33.jpg)
Derivacnı obvod ve frekvencnı oblasti ma nasledujıcı asymptoticke vlastnosti:
• ω → 0. Smerem k nızkym kmitoctum (ωτ 1) absolutnı hodnota prenosuklesa. Asymptota ma sklon +20 dB na dekadu kmitoctu a faze prenosu ob-vodu se blızı k +90, tedy vystupnı napetı predbıha napetı vstupnı.
• ω → ∞. Pro vysoke kmitocty (ωτ 1) se absolutnı hodnota prenosuobvodu asymptoticky blızı k jednicce a faze k nule.
• Na dolnım meznım kmitoctu fd (τd = 1/ωd) je
|H| = 1√2
=
√2
2≈ 0,707, resp. A ≈ −3 dB.
ϕ = arctg(1/ωτ) = arctg(1) = 45 = π/4.
32
![Page 34: Fakulta biomedic´ınskeho in´ zenˇ yrstv´ ´ı – Teoreticka´ elektrotechnikaamber.feld.cvut.cz/17bbtel/2019/TE_bio_19-3.pdf · 2018-12-19 · Fakulta biomedic´ınskeho in´](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041611/5e37d6c8f659cf1c052912c9/html5/thumbnails/34.jpg)
Obvody RL
integracnı obvod derivacnı obvod
R
R L
L
U1U1 U2U2
integracnı H(jω) =1
1 + jωLR, derivacnı H(jω) =
jωLR1 + jωLR
.
33
![Page 35: Fakulta biomedic´ınskeho in´ zenˇ yrstv´ ´ı – Teoreticka´ elektrotechnikaamber.feld.cvut.cz/17bbtel/2019/TE_bio_19-3.pdf · 2018-12-19 · Fakulta biomedic´ınskeho in´](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041611/5e37d6c8f659cf1c052912c9/html5/thumbnails/35.jpg)
• Popis obvodu v harmonickem ustalenem stavu je prakticky vyznamny proto,ze reprezentuje vlastnosti obvodu pro sirokou oblast pouzitı.
• Matematicky aparat pracuje s komplexnımi impedancemi a fazory tak, zeformulace popisu obvodu je velmi jednoducha, avsak omezena jen na har-monicky ustaleny stav – vylucuje vypocet prechodnych deju a popis cinnostiobvodu s neharmonickym signalem. Vyrazy s fazory (impedance, prenosy aobrazy signalu) nemohou vystupovat ve vztazıch pro casove prubehy signalu.
• Matematicky popis obvodu dovoluje formulovat komplexnı funkci kmitoctuoznacovanou jako prenosova funkce (prenos) obvodu. Z nı lze odvodit am-plitudovou a fazovou frekvencnı charakteristiku obvodu. Amplitudova cha-rakteristika je vetsinou zobrazovana v logaritmickych souradnicıch na obouosach (x - logaritmus frekvence, y - logaritmus absolutnı hodnoty prenosu vdeci-belech [dB]) a fazova charakteristika s logaritmem frekvence a linearnıstupnicı fazoveho uhlu.
34
![Page 36: Fakulta biomedic´ınskeho in´ zenˇ yrstv´ ´ı – Teoreticka´ elektrotechnikaamber.feld.cvut.cz/17bbtel/2019/TE_bio_19-3.pdf · 2018-12-19 · Fakulta biomedic´ınskeho in´](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041611/5e37d6c8f659cf1c052912c9/html5/thumbnails/36.jpg)
• V kvalitativnım odhadu vlastnostı obvodu s kapacitory a induktory lze nadostatecne vysokych kmitoctech povazovat kapacitor za zkrat a induktor zarozpojeny obvod. Na dostatecne nızkych kmitoctech lze kapacitor povazovatza rozpojeny obvod a induktor za zkrat.
35