Paul Pfinzing GymnasiumHersbruck
Kollegstufe Abiturjahrgang 2003/2005
FACHARBEITaus der Mathematik
MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN FÜR DIE KONSTRUKTION VON HORIZONTALEN UND VERTIKALEN SONNENUHREN
Verfasser: Sebastian Ullherr
Leistungskurs: Mathematik
Kursleiter: OStR T. Blassl
Abgabetermin: 28.01.2005
Schriftliche Wertung: _______________
Mündliche Wertung: _______________
Gesamtwertung (einfach): _______________
Gesamtwertung (doppelt): _______________
Ergebnis in Kursbogen eingetragen am: _______________
------------------------------------------------------- (Unterschrift des Kursleiters)
-2-
Gliederung
1. Einleitung 3
2. Zeitformen und ihr Zusammenhang 3
2.1. Sternzeit 3
2.2. Wahre Ortszeit 3
2.3. Mittlere Ortszeit 4
3. Bewegung der Erde 5
3.1. Exzentrizität der Erdbahn 5
3.2. Schiefe der Ekliptik 8
3.3. Ergebnis: Die Zeitgleichung 11
3.4. Von der Zeitgleichung zur Analemma 13
3.5. Erdrotation, Präzession und Nutation 14
3.6. Die Deklination und der Tagbogen 15
4. Sonnenuhren 17
4.1. Definition und Aufgaben 18
4.2. Sonnenuhrentypen 19
4.3. Zifferblätter 19
4.4. Die Analemma auf der Uhr 22
5. Faszination Sonnenuhr 23
6. Literaturverzeichnis 24
7. Selbstständigkeitserklärung 25
-3-
1. Einleitung
Sonnenuhren scheinen heutzutage als Zeitmesser ungeeignet, da sie in Deutsch-
land bis zu 45 Minuten falsch gehen. Tatsächlich muss man beim Ablesen der
Zeit an einer Sonnenuhr fast immer beträchtliche Korrekturen vornehmen, um
ein akzeptables Ergebnis zu erhalten. Warum Sonnenuhren aber, wenn sie einen
solchen Unterschied zur mitteleuropäischen Zeit aufweisen, eigentlich genau
richtig gehen und woher diese Zeitdifferenz kommt möchte ich im folgenden so
anschaulich wie möglich erklären.
2. Zeitformen und ihr Zusammenhang
2.1. Sternzeit
Ein Sterntag ist die Zeit zwischen zwei Meridiandurchgängen eines Fixsternes.
Definiton: Meridiandurchgang
Der Zeitpunkt, an dem sich aus dem Mittelpunkt des jeweiligen
Objekts, dem Erdmittelpunkt und einem Punkt des Längengrads
der momentanen Position eine Linie bilden lassen.
Das heißt gegenüber der praktisch unbeweglichen Sphäre der Fixsterne findet
eine Rotation der Erde um 360° statt. Ein Sterntag dauert bezogen auf Sonnen-
zeit 23 Stunden, 56 Minuten und 4 Sekunden (s.u.). Dadurch erhöht sich die
Winkelgeschwindigkeit der Sonne (von der Erde aus gesehen) von 15° auf
15.04°. Die Dauer eines Sternjahres beträgt 365.26 Tage.
2.2. Wahre Ortszeit
»Eine Sonnenuhr zeigt stets die wahre Ortszeit, die wirkliche
›Sonnenzeit‹, an. Die Beobachtung des Sonnenstandes im Tages-
verlauf liefert uns der Ortsstundenwinkel der Sonne, die wahre
Ortszeit (WOZ).« [Quelle 1, Seite 38]
Die wahre Ortszeit ist für jede geographische Länge (siehe Kasten) verschieden,
die geographische Breite spielt dabei keine Rolle.
-4-
Definiton: geographische Länge
Der Längengrad beschreibt eine der beiden Koordinaten eines
Ortes auf der Erdoberfläche, und zwar seine Position östlich oder
westlich vom Nullmeridian durch den Ort Greenwich bei London.
Dabei erfolgt die Angabe des Längengrads durch einen Winkel von
0° am Nullmeridian bis 180° in östlicher und westlicher Richtung.
[nach Quelle 5.1]
Definition: geographische Breite
Der Breitengrad (auch: die geografische Breite) beschreibt die
zweite der beiden Koordinaten eines Ortes, und zwar ihre Position
nördlich oder südlich des Äquators. Der Breitengrad ist eine
Winkelangabe im Wertebereich von 0° (am Äquator) bis +90°
oder -90° (am Nord- bzw. Südpol) der Erde. [nach Quelle 5.2]
Eine Differenz von 15° Länge machen eine Stunde wahrer Ortszeit aus
( 360° /24h ), Orte mit gleicher Länge haben zum selben Zeitpunkt die selbe
Ortszeit.
Beispiel
Hersbruck hat die geographische Länge 11.45°, Nürnberg 11.05°.
Der Unterschied WOZ ist damit 60min /15°⋅∣11.45°−11.05°∣=1.6
Minuten. Das heißt die Sonne kulminiert (sie steht im Süden) in
Hersbruck 1 Minute und 36 Sekunden früher als in Nürnberg.
2.3. Mittlere Ortszeit
Mit der mittleren Ortszeit (MOZ) verhält es sich im Prinzip genau so wie mit der
wahren Ortszeit - nur dass man hier von einer mittleren Erde (siehe 3.1.) aus-
geht, die sich mit konstanter Geschwindigkeit in einer Kreisbahn um die Sonne
bewegt. Damit wird das Zeitmaß vom Jahresverlauf unabhängig, ein Sonnentag
dauert genau 24 Stunden. Da die Erde aber in der Realität eine elliptische Bahn
hat und die Ebene der Erdbahn schief steht, gibt es einen Unterschied zwischen
wahrer und mittlerer Ortszeit: Die sog. Zeitgleichung:
WOZ−MOZ=Zeitgleichung
Genauer wird darauf weiter unten eingegangen.
-5-
3. Die Bahn der Erde um die Sonne
3.1. Exzentrizität der Erdbahn
Abbildung A:»Erläuterung der Keplerschen Formel« [nach Quelle 6, Seite 4]
Die Erde beschreibt in ihrer Bahn um die Sonne eine Ellipse, in deren einen
Brennpunkt sich die Sonne befindet (1. Kepler-Gesetz). Dadurch ergibt sich eine
nicht konstante Distanz Erde - Sonne, die ihr Maximum in ae⋅a hat. Die
zugehörige Position der Erde wird als Aphel, die gegenüberliegende als Periphel
bezeichnet. Das Verhältnis ZS zur großen Halbachse a bezeichnet man als
numerische Exzentizität e . Ihr Wert ist mit
e= ZSa=1,7⋅10−2 [Quelle 12, Seite 84]
sehr gering, was darauf schließen lässt dass sich die Umlaufbahn der Erde um
die Sonne an einen Kreis annähert.
Nach dem 2. Kepler-Gesetz überstreicht der von der Sonne nach der Erde gezo-
gene Ortsvektor in gleichen Zeiten jeweils gleiche Flächen. Da die Bahn aber
eine Ellipse ist (mit der Sonne in ihrem Brennpunkt), folgt daraus dass die
Bahngeschwindigkeit der Erde ebenfalls nicht konstant ist. Sie erreicht im
Periphel ihr Maximum (30,29km/sec) und im Aphel ihr Minimum
(29,29km/sec). Die mittlere Bahngeschwindigkeit beträgt 29,79km/sec.
A
SonneBE M R
mittlere Erdewahre Erde
e·a PeriphelAphela
b
-6-
JOHANNES KEPLER erdachte eine mittlere Erde, die die Sonne auf einer perfekten
Kreisbahn mit konstanter Geschwindigkeit umkreist (-> Abbildung A). Die
Abweichung der realen Erdbahn von der Bahn der mittleren Erde ist einer der
Gründe warum Sonnenuhren »falsch« gehen, da Sonnenuhren auf der Basis
einer mittleren Erde arbeiten. Eine Funktion dieser Abweichung würde uns also
einen ersten Hinweis auf die Form der Zeitgleichung geben. Nach der Kepler-
Gleichung ist E=Me⋅sin E , was sich als z=x y⋅f z ausdrücken lässt.
LAGRANGE stellte fest, dass man jede Funktion g z durch eine Serie, die von x
und y abhängt, ersetzen kann:
g z =g y xg ' y f y x2
2! y
g ' y [ f ' y]2...
Im Falle der Kepler-Gleichung setzen wir
z=E ; y=M ; x=e ; f z =sin E ; f y =sin M ; g z =z
und erhalten:
E=Me sin M e2
2
Msin2M ...
Man kann damit R, den wahren Winkel (dessen Abweichung wir im Bezug auf
M erhalten wollen) ausdrücken als
R=M2e sinM54e2sin 2M ...
Anmerkung
Eine ausführlichere Lösung findet sich in der Arbeit »Equation of
time-- Problem in Astronomy« von M. MÜLLER [Quelle 2, Schritte
(28) bis (36)], würde aber den Rahmen einer Facharbeit sprengen.
Diese Arbeit wurde im Rahmen eines Wettbewerbes namens »First
Step to Nobel Prize in Physics« erstellt, ausgezeichnet und veröf-
fentlicht.
Die Genauigkeit des 2. Grades reicht dabei für unsere Zwecke aus.
-7-
Man kann nun e=1,7⋅10−2 (s.o.), die numerische Exzentizität der Erdbahn
einsetzen und bekommt:
R=M0.034sinM0.0003sin 2M ...
Nun multiplizieren wir die obige Gleichung mit 180°/ , um Angaben in Grad
zu erhalten und teilen durch die Rotationsgeschwindigkeit 0.25067°/min.
Dadurch erhalten wir eine Formel für die Abweichung der wahren Erdbahn von
der mittleren Erdbahn in Minuten:
M−R≈−7.771sin M −0.068sin 2M [min]
Um die Abweichung in Abhängigkeit vom Tag des Jahres zu bekommen, muss
man nun M durch t−1.042⋅0.986 ersetzen. -1,042 ist erforderlich, um den
»Startpunkt«, das Periphel, auf der x-Achse auf den 2. Januar um 1 Uhr GMT
(Greenwich Mean Time, also MEZ - 1 Stunde) zu verschieben. An diesem Zeit-
punkt befindet sich laut dem U.S. NAVAL OBSERVATORY [Quelle 3] die Erde 2005 im
Periphel. Der Faktor 0.986 kommt vom Term 360/365.24, der nötig ist um
vom Gradmaß auf Tage zu kommen. Der Graph der entstehenden Funktion
E t =−7.771sin t−1.042⋅0.986−0.068sin 2⋅t−1.042⋅0.986 [min]
veranschaulicht die Abweichung von einer kreisförmigen Erdbahn:
Abbildung B: »Auswirkungen der Exzentrizität der Erdbahn im Jahresverlauf«
(t) in Minuten
t in Tagen
10
8
6
4
2
0
-2
-4
-6
-8
-10
+7.8
-12
30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360
G
-7.8
-8-
Nach dem U.S. NAVAL OBSERVATORY [Quelle 3] steht die Erde am 5. Juli um 5 Uhr
im Aphel. Das entspricht einer Tagesnummer von 186.21. In obige Gleichung
eingesetzt ergibt das 0.05 Minuten. Eigentlich müsste das Einsetzen zwar
0 Minuten ergeben, die Genauigkeit ist aber trotzdem recht hoch.
Der Unterschied der noch vorhanden ist lässt sich vermutlich darauf zurück-
führen, dass beim U.S. NAVAL OBSERVATORY
1. mit exakteren Werten
2. unter Berücksichtigung der Präzession und der Nutation (siehe 3.4.)
3. nicht nur bis zum 2. Grad
gerechnet wird. Um die Abweichung einer Sonnenuhr zu bestimmen reichen die
oben errechnerten Werte allerdings aus. Die meisten Sonnenuhren sind nicht in
der Lage so eine kleine Zeitspanne (0.05 Minuten = 3 Sekunden) anzuzeigen.
3.2. Die Schiefe der Ekliptik
Bezeichnung: Ekliptik
»Die wirkliche Bewegung der Sonne verursacht ein scheinbares
Wandern der Sonne entlang der 12 bekannten Tierkreissternbilder
um täglich rund 1° von West nach Ost [...] - entgegen der täglichen
Sonnenbewegung [...]. Somit befindet sich die Sonne in jedem
Monat vor einem anderen Sternbild des Tierkreises. Diese schein-
bare Jahresbahn der Sonne [...] wird als Ekliptik bezeichnet.«
[Quelle 1, Seite 33]
Auf Sternkarten findet man die Ekliptik oft als gestrichelte Linie. Zusammen mit
dem Himmelsäquator (einem zum Erdäquator parallelen Großkreis mit der
Sonne im Mittelpunkt) bildet sie einen Winkel von 66°33'. Dadurch gibt es bei
uns auf der Erde über das Jahr unterschiedliche Tageslängen.
Es entsteht also wieder eine Abweichung von der mittleren Erde, die den zwei-
ten Aspekt der Zeitgleichung ausmacht. Die Ekliptik schneidet den Himmels-
äquator in zwei Punkten. Einen davon durchläuft die Sonne im Frühling
(-> Frühlingspunkt) und einen im Herbst (-> Herbstpunkt). Weil hier die Tages-
länge auf der ganzen Erde gleich lang ist, werden sie auch als Äquinoktien be-
zeichnet.
-9-
Abbildung C: »Wirkung der Schiefe der Erdbahn« [nach Quelle 6, Seite 5]
Diese zwei Punkte teilen die Ekliptik in zwei Hälften, in dessen einer die
Deklination δ der Sonne immer negativ ist und ihr Minimum hat
( ==−23° 27 ' ) und in dessen anderer die Deklination immer positiv ist und
ihr Maximum hat ( ==−23° 27 ' ) .
Der Hochpunkt fällt aber nicht wie zu erwarten wäre mit Aphel oder Periphel
zusammen, sondern ist bezüglich des Aphels um 12°15' Richtung Frühlings-
punkt verschoben. Deshalb fällt die Wintersonnenwende (Wintersolstitium)
nicht mit dem Periphel- bzw. die Sommersonnenwende (Sommersolstitium)
nicht mit dem Apheldurchgang zusammen. Sie liegen etwa 12 Tage und
10 Stunden ( 12°15 '⋅365.24d /360°=12.43d≈12d 10h ) auseinander.
Wie in 3.1. ist unser Ziel eine Funktion haben, die uns die Abweichung von der
mittleren Erde in Minuten bei Angabe des Tages liefert. Der erste Schritt besteht
aus der Verlagerung des Anfangspunktes vom Periphel auf den Frühlingspunkt
(Äquinoktium -> keine Abweichung).
mittlere Erde
wahre Erde
e
dSonne
Winter-solstitium
Sommer-solstitium
Frühlings-punkt
Herbst-punkt
AB
-10-
Die für uns relevante Differenz A-B lässt sich auch (wie bei 3.1.) in einer Reihen-
entwicklung darstellen:
A−B≈ tan2/2⋅sin 2 L−12tan4/2⋅sin 4 L
L ist dabei die wahre Länge, analog zum wahren Winkel R in 3.1. Beim Einsetzen
von =23.45° erhält man:
A−B≈−0.043⋅sin 2 L−0.001⋅sin 4 L
Anmerkung
Wie schon bei 3.1. folgen wir hier in groben Zügen den Argu-
mentationen in »Equation of time-- Problem in Astronomy«
[Quelle 2, Schritte (37) bis (40)] und »Analemma, die Zeit-
gleichung: Warum ist aus unserer Sicht die Sonne so
unpünktlich?«[Quelle 6, Seite 6].
Analog zu 3.1. multiplizieren wir mit 180°/ und teilen durch 0.25067°/min.
Das Ergebnis ist die Formel der Abweichung der wahren Erdbahn von der mitt-
leren Erde in Minuten:
A−B≈−9.829sin 2 L−0.229sin 4 L[min ]
Um wie in 3.1. auf eine Funktion zu kommen, die die Abweichung in Abhängig-
keit vom Tag ausgibt, gehen wir auch exakt so vor wie oben, nur dass der
»Startpunkt« nicht auf den 2. Januar sondern auf den Zeitpunkt des Winter-
solstitiums (der Zeitpunkt an dem die Erde den höchsten Punkt ihrer Bahn er-
reicht), der laut U.S. NAVAL OBSERVATORY [Quelle 3] der 21. Dezember, 12:42 Uhr
ist. Hier muss logischerweise die Angabe aus dem Jahr 2004 hergenommen
werden. Die Korrektur ist also +10.507 Tage. Damit gilt also:
t =−9.829sin 2⋅t10.507⋅0.986−0.229sin 4⋅t10.507⋅0.986 [min]
-11-
Der zugehörige Graph:
Abbildung D: »Auswirkungen der Schiefe der Ekliptik im Jahresverlauf«
3.3. Ergebnis: Die Zeitgleichung
Zum Begriff »Zeitgleichung«
»Die allgemein verbreitete [Anmerkung: deshalb findet sie auch
hier Verwendung] Bezeichnung ›Zeitgleichung‹ wird [...] zurecht
kritisiert. Es handelt sich hierbei um keine mathematische
Gleichung, sondern lediglich um die Differenz zwischen der wahren
und mittleren Ortszeit.« [Quelle 1, Seite 39]
Da wir es bereits geschafft haben die Abweichung von einer mittleren Erde in
Minuten, verursacht durch die Exzentrizität der Erdbahn einerseits und der
Schiefe der Ekliptik andererseits, in zwei Gleichungen auszudrücken, müssen
wir diese beiden nur noch addieren, um die endgültige Zeitgleichung für 2005
zu erhalten. Sie lautet folglich:
Z t =E t t =−7.771sin t−1.042⋅0.986−0.068sin 2⋅t−1.042⋅0.986
9.829sin 2⋅t10.507⋅0.986−0.229sin 4⋅t10.507⋅0.986 [min ]
G
(t) in Minuten
t in Tagen
10
8
6
4
2
0
-2
-4
-6
-8
-10
+9.8 +9.8
-9.8 -9.8-12
30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360
-12-
Auch graphisch sieht man schön das Ergebnis der Addition:
Abbildung E: »Die Zeitgleichung im Jahresverlauf«
Eine Sonnenuhr geht vor, wenn die Zeitgleichung positiv ist und nach, wenn sie
negativ ist. Es gibt vier Nullstellen: 18. April, 17. Juni, 1. September und 28. De-
zember. An diesen Tagen gehen Sonnenuhren richtig!
Lokale Maxima sind der 18. Mai mit 3.9 Minuten und der 5. November mit
16.5 Minuten. Lokale Minima sind der 14. Februar mit -14.5 Minuten und der
28. Juli mit -6.3 Minuten.
G
G
G
(t) in Minuten
t in Tagen
10
8
6
4
2
0
-2
-4
-6
-8
-10
-12
30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360
-14
-16
-18
12
14
16+16.5
+3.9
-6.3
-14.5
-13-
Beispiel
Berechnung der wahren Ortszeit am 28.01.2005 um 16 Uhr
mitteleuropäischer Zeit (MEZ). Hersbruck hat die geographische
Länge 11.45°. Es ist damit 4∗11.45−15 Minuten von der MEZ
entfernt. Die Zeitgleichung beträgt am 28. Januar -13.09 Minuten.
Um 16 Uhr ist es in Herbruck
WOZ=16 h60min15°
⋅11.45°−15.00° −13.09min=15h33min
also 15:33 Uhr wahrer Ortszeit!
3.4. Von der Zeitgleichung zur Analemma
Bei aufmerksamer Beobachtung der Sonne fällt auf dass sie nicht jeden Tag um
12 Uhr wahrer Ortszeit an der gleichen Stelle steht. Tatsächlich ergibt sich wenn
man in regelmäßige Abständen immer um die gleiche Uhrzeit ein Foto der
Sonne macht etwa diese Form:
Abbildung F: »Analemma« gefunden aufhttp://www.vittayasart.net/articles/analemma.html
Diese formtypische liegende Acht bezeichnet man als Analemma. Der Begriff
αναλημμα selbst stammt aus dem Altgriechischen und bedeutet so viel wie
»Ausgleich«, also Zeitgleichung [nach Quelle 6, Seite 9]. Im Prinzip haben wir
hier also wieder die Zeitgleichung vor uns, nur in anderer Darstellung. Sie ver-
anschaulicht die oben ausgeführten Effekte noch, weil sie empirisch überprüf-
bar ist.
Doch wie kommt man denn von der Zeitgleichung zur Analemma?
-14-
Der Weg lässt sich recht einfach in zwei Schritten zusammenfassen:
1. Schritt:
Eine Linie, auf der die Sonne hin und her wandert. Sie kommt durch die
zwischen -23°27' und +23°27' pendelnde Deklination und die daraus
resultierenden Tagbögen (siehe 3.6.) zustande. Die Neigung der
Analemma ändert sich folglich im Tagesverlauf. Mittags steht sie
senkrecht, zum Zeitpunkt des Sonnenauf- bzw. unterganges liegt sie
waagrecht.
2. Schritt:
Entstehung einer liegenden Acht durch die Effekte der Exzentrizität der
Erdbahn (3.1.) und der Schiefe der Ekliptik (3.2.). Deshalb sieht die
Analemma auch jedes Jahr anders aus, da sie vor allem durch die Aus-
wirkungen der Präzession und der Nutation (3.5.) verändert wird.
3.5. Erdrotation, Präzession und Nutation
Prinzipiell sind drei Bewegungen der Erdachse zu unterscheiden: Die Rotation,
die Präzession und die Nutation. Die Dauer
für eine Rotation um 360° beträgt genau
24 Stunden Sonnenzeit.
Die Nutation hat eine Periodendauer von
18.6 Jahren, wodurch die Präzession mal
9.3 Jahre beschleunigt und dann wieder
9.3 Jahre verlangsamt wird. Die Ursache der
Nutation liegt in der Neigung der Mondbahn
zur Ekliptik um 5.1°.
Bezeichnung: Präzession der Erde
»Durch die Abplattung des Erdellipsoids können die Gezeitenkräfte
von Mond und Sonne ein Drehmoment bewirken, das zur
Präzession der Erdachse führt. Für eine volle Kegelbewegung be-
nötigt die Erdachse etwa 25.800 Jahre. Dieser Zeitraum wird auch
platonisches Jahr oder Großjahr genannt.« [nach Quelle 5.3]
Abbildung G: »Bewegungen derErdachse« [aus Quelle 5.3]
-15-
Da die Präzession der Bewegung der Erde um die Sonne sozusagen entgegen-
wirkt und die Umlaufdauer verkürzt, ist sie für die Einzigartigkeit der Zeit-
gleichung bzw. der Analemma eines bestimmten Jahres verantwortlich
Sowohl die Auswirkungen der Präzession als auch die der Nutation werden bei
der Berechnung einer Sonnenuhr in dieser Facharbeit nicht berücksichtigt, da
sie auf die korrekte Zeitanzeige auf einer Sonnenuhr einen sehr geringen Ein-
fluss haben.
3.6. Die Deklination und der Tagbogen
Abbildung H: »Tagbögen im Jahresverlauf« [aus Quelle 9, Seite 85]
Durch die Erdrotation wandert die Sonne täglich von Osten nach Westen und
beschreibt dabei einen Bogen. Da sich aber die Deklination δ (siehe 3.2., Ab-
bildung C) im Jahresverlauf ändert, ändert sich auch die Tageslänge und damit
der Tagbogen der Sonne.
Anmerkung
Bisher stand immer die Sonne im Mittelpunkt des Geschehens. Für
eine Sonnenuhr stellt aber der Ort an dem sie aufgestellt wird das
Zentrum dar, weshalb wir nun von einem geozentrischen System
ausgehen.
Zunächst ist die Kenntnis der Tage nötig, an denen die Sonne in den Solstitien
(d.h. dass die Deklination δ ihre Extrema hat) steht. Hier greifen wir wieder auf
das U.S. NAVAL OBSERVATORY [Quelle 3] zurück, welches uns für das Sommer-
solstitium den 21. Juni um 6:46 Uhr und für das Wintersolstitium den 21. De-
zember 18:35 Uhr liefert.
-16-
Um auch an anderen Tagen des Jahres die Deklination bestimmen zu können,
werden wir nun eine Funktion aufstellen, die uns die Deklination in Abhängig-
keit vom Tag des Jahres liefert. Da δ am Frühlingspunkt den Wert 0° hat,
nehmen wir ihn zunächst als »Startpunkt«. Bis zum Erreichen des Herbst-
punktes ist δ negativ, danach positiv, also liegt die Verwendung einer negativen
Sinus-Funktion nahe. Die Multiplikation vom Tag t mit 2 /365.24 führt zur
Verlängerung auf Jahresdauer. Damit die Funktion zwischen +23°27' und
-23° 27' schwankt muss man sie nur noch mit 23.45° multiplizieren und erhält:
t =−sin t⋅0.986⋅23.45°
Wie bisher bleibt noch, den »Startpunkt« auf das richtige Datum zu ver-
schieben, den 20. März um 12:33 Uhr (Tagesnummer 79.52). Es muss also eine
Korrektur von -79.52 erfolgen. Die Funktion lautet dann für 2005:
t =−sin t−79.52⋅0.986⋅23.45°
Der zugehörige Graph:
Abbildung I: »Die Deklination der Sonne im Jahresverlauf«
Neben der Deklination wirkt sich auch die geographische Breite auf den Tag-
bogen aus. Sie beeinflusst die Höhe h, die maximale und die minimale Mittags-
höhe hmax bzw. hmin , sowie die Tageslänge.
(t) in °
t in Tagen
25
20
15
10
5
0
-5
-10
-15
-20
-25-23.45
-30
30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360
G
+23.45
-17-
h ist offensichtlich am größten, wenn die
Sonne kulminiert. hmax ist die Höhe h, die
am Tag des Sommersolstitiums am wahren
Mittag (dem Meridiandurchgang der
Sonne) erreicht wird. Sie ist mit
90°−− zu berechnen. Hier wird auch
klar, dass die Sonne nur zwischen Breiten
von 0° und 23°27' im Zenit, also auf einer
Höhe von 90° stehen kann.
Die Tageslänge muss uns noch inter-
essieren, weil Sonnenuhren nach Sonnenuntergang nur schwerlich funktion-
ieren. sei im Folgenden der Winkelabstand zum Meridian. Aus der sphär-
ischen Trigonometrie erhalten wir (als Formel für die aktuelle Höhe):
sin h=sin⋅sin−cos⋅cos−⋅cos
Für den halbenTagbogen gibt das bei sin h=0 und durch cos⋅cos− dividiert:
cos=−tan⋅tan− [nach 8.2]
2 ist dann die Länge eines ganzen Tagbogens, also der Winkel, den wir die
Sonne im Tagesverlauf überstreichen sehen. 2 /15° ergibt die Tageslänge in
Stunden. Sie wird zur Zeit des Sommersolstitiums maximal. Bei uns ist der
Tagbogen dann 241° lang, was einer Tageslänge von 16.07 Stunden entspricht.
Beispiel
Hersbruck liegt auf der Breite 49.5°. Am 28. Januar 2005 beträgt
die Deklination 18.17°. Der halbe Tagbogen ist damit:
=cos−1−tan 49.50°⋅tan−18.17°=67.40°
Für die Tageslänge ergibt das 67.408°⋅2h/15.00°=8.99 Stunden.
Aus der maximalen Tageslänge lassen sich die frühest und die spätest nötige
Stundenlinie auf dem Zifferblatt einer Sonnenuhr schließen. Mit Hilfe der für
jeden Tag berechneten Höhe h lassen sich zudem Datumslinien einzeichnen.
Abbildung J: »Das Horizontsystem«[aus Quelle 0, Seite 22]
h O
A
A' J
Horizont
Z (Zenit)
Z' (Nadir)
Süden
-18-
4. Sonnenuhren
Da jetzt alle Abweichungen der wahren Erde von der fiktiven mittleren Erde be-
kannt und für 2005 berechnet sind und wir uns mit der Bewegung der Sonne
aus Sicht der Erde auskennen, können wir ab hier von einer mittleren Erde aus-
gehen. Diese Basis ermöglicht es, eine Sonnenuhr zu verstehen und richtig anzu-
wenden.
4.1. Definition und Aufgaben
Definiton: Sonnenuhr
»In knappen, aber zutreffenden Worten gibt PROF. DR. G.
AULENBACHER das Prinzip einer Sonnenuhr an: ›Die Sonnenuhr ist
ein Instrument, das Funktionen der Sonnenkoordinaten anzeigt.‹
Sonnenuhren dienen nicht nur der Zeitanzeige, sondern vermögen
auch kalendarische, mathematisch-astronomische (Höhe, Azimut),
geographische und sogar astrologische Information zu vermitteln.«
[Quelle 1, Seite 43]
Eine Sonnenuhr ist also primär nicht ein Werkzeug zur Zeitbestimmung, son-
dern eher ein »Winkelmesser« für die Sonne. Wir können ihre Höhe (siehe Ab-
bildung I, an der Schattenlänge) und ihren Azimut α (an der Richtung des
Schattens) ablesen.
Die Aufgabe einer Sonnenuhr heute ist auch in erster Linie nicht die Zeitanzeige,
da die Zeit nicht unmittelbar abgelesen werden kann wie etwa von einer Arm-
banduhr. Um eine Sonnenuhr richtig zu lesen ist Vorwissen oder eine Erklärung
notwendig. Deshalb dient die Sonnenuhr eher als Zierobjekt in vielen Gärten
oder an Hauswänden und ist damit auch heute noch sehr beliebt, wie auch
einige in der Nürnberger Innenstadt (z.B. am Nassauerhaus) zu findende
Sonnenuhren beweisen.
Im pädagogischen Sinne ist eine Sonnenuhr hervorragend geeignet, mathe-
matische Sachverhalte in Astronomie und Geographie zu veranschaulichen und
zu verstehen [nach Quelle 7, Seite 110].
-19-
4.2. Sonnenuhrentypen
Abbildung K: »Bilder von Sonnenuhren« [aus Quelle 1, CD-Rom]
Die Namen der Uhren bezeichnen die Lage der Zifferblattebene: das Zifferblatt
horizontaler Uhren ist parallel zur Horizontebene, das vertikaler Uhren bildet
mit der Horizontebene einen rechten Winkel. Eine äquatoriale Uhr hat ein zum
Äquator paralleles Zifferblatt.
Der Gnomon (Schattenstab) allerdings muss immer parallel zur Erdachse sein.
Nur so kann gewährleistet werden, dass sich der Schatten jeden Tag des Jahres
gleichförmig über das Zifferblatt bewegt. Mit der Horizontebene bildet er den
Winkel φ, mit der Vertikalebende den Winkel 90°-φ.Es ist also für den Bau
einer Sonnenuhr essentiell, die geographische Breite des Ortes zu kennen, an
dem sie aufgestellt werden soll.
Bei der horizontalen und der vertikalen Sonnenuhr handelt es sich um die
gebräuchlichsten Sonnenuhrentypen. Während man horizontale Uhren
beispielsweise in Gärten findet, sind vertikale Uhren für Hauswände optimal
geeignet. Diese beiden Typen bietet außerdem einen höheren Grad an Kom-
plexität als eine äquatoriale Uhr, deren Zifferblatt sich sehr einfach konstruieren
lässt: 1 Stunde enpricht 15°.
-20-
4.3. Zifferblätter
Das gerade genannte Zifferblatt E der äquatorialen Uhr muss nämlich in die
Horizontebene E' bzw. die Vertikalebene E'' projeziert werden. Von der Ost-
West-Linie abweichende vertikale Sonnenuhren werden von der Ebene E'''
vertreten.
Abbildung L: »Zifferblätter einer Sonnenuhr« [Quelle 4, Seite 230]
Der Abbildung ist zu entnehmen: tan t '=∣RS∣∣RM '∣ und ∣RS∣=∣RM∣⋅tan t
Die Neigung des Gnomons ist die geographische Breite φ, also gilt:
∣RM∣=∣RM '∣⋅sin und damit tan t '=sin⋅tan t
t ist der Stundenwinkel (z.B. 30°=2h⋅360° /24h für 14 Uhr).
Entsprechende Überlegungen für t'' (bei M'') führen zu: tan t ' '=cos⋅tan t
S
R
α
T
M''
M' Nord
West
Ost
Süd
M
t''t'''
t
t'
E'' E'''
E
E'
φ
-21-
Für den Fall, dass eine vertikale Uhr nicht genau nach Süden ausgerichtet ist
sondern um den Winkel α abweicht, entnimmt man der Abbildung L:
tan t ' ' '= ∣RT∣∣RM ' '∣
Da der Winkel RTM '=180°−90°−−t ' ist gilt nach dem Sinussatz:
∣RT∣⋅sin [90°−t '−]=∣RM '∣⋅sin t ' und folglich ∣RT∣=∣RM '∣⋅sin t 'cost '−
Nachder Abbildung L: ∣RM ' '∣=∣RM '∣⋅tan
tan t ' ' '= ∣RM '∣⋅sin t '∣RM '∣⋅tan⋅cost '−
= sin t 'tan⋅cos t '⋅cossin t '⋅sin
cos t '= sin t 'tan t '
; tan t '=sin⋅tan t tan t ' ' '= 1tan⋅cossin⋅tan t
tan⋅sin
tan t ' ' '=sin⋅tan t
tan⋅costan⋅sin⋅sin⋅tan t; Es gilt :
sintan
=cos
tan t ' ' '=cos
cos⋅cot tsin⋅sin[nachQuelle 4, Seite 231]
Jetzt kann man Zifferblätter horizontaler und beliebig abweichender vertikaler
Uhren konstruieren. Der Winkel α darf dabei weder 90° noch 270° sein, weil
sonst der Gnomon in der Zifferblattebene läge. φ muss kleiner als 90° sein, was
sinnvoll ist da man am Nordpol ohnehin nicht wüsste in welche Richtung man
eine vertikale Sonnenuhr ausrichten sollte. Eine Sonnenuhr mit entsprechend
konstruiertem Zifferblatt zeigt uns nun die wahre Ortszeit an.
Beispiel
Man möchte die Linie für 16 Uhr auf einer horizontalen Uhr zeich-
nen, das entspricht einem t von 60° ( 60°=4h⋅360° /24 h ). Da die
Uhr in Hersbruck aufgestellt wird ist φ gleich 49.5°.
t '=tan−1sin 49.5°⋅tan 60° =52.8°
Die Mittagslinie (Südlinie) und die 16 Uhr Linie müssen also einen
Winkel von 52.8° bilden, welchen man nun antragen kann.
-22-
4.4. Die Analemma auf der Uhr
Jeder Sonnenuhr ein Tabellenwerk beizulegen, um stets die exakte Zeit errech-
nen zu können ist jedoch sehr unpraktisch. Deswegen wenden wir an dieser
Stelle unsere Kenntnisse aus 3.4. an: wenn die Sonne nämlich im Jahresverlauf
am Himmel die Form der Analemma beschreibt, muss es doch auch möglich
sein, eben diese auf das Zifferblatt zu übertragen. Die folgende Abbildung M
zeigt das Ergebnis:
Abbildung M: »Zifferblatt einer analemmatischen Horizontaluhr« [Java-Applet»Analemma Sundial Applet« von JÜRGEN GIESEN, zu finden unter Quelle 8.1]
Die Länge des Gnomons (hier 10cm) ist anders als bei normalen horizontalen
Uhren festgelegt und wird bei der Berechnung des Zifferblattes berücksichtigt.
Bei obiger Grafik fällt zudem auf, dass die 12 Uhr Analemma nicht genau über
der Mittagslinie liegt. Das kommt daher, dass in dieser Grafik bereits der
Längenunterschied 15°-11.45° berücksichtigt wurde, damit die Sonnenuhr nicht
die mittlere (!) Ortszeit sondern die mitteleuropäische Zeit anzeigt.
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Stellt man eine hoizontale Sonnenuhr an einem Ort auf, für dessen Breite sie
nicht gemacht wurde, kann man dies durch Schrägstellen um die Breiten-
differenz (so dass der Gnomon wieder parallel zur Erdachse steht) korrigieren.
[nach 10, Seite 27] Für vertikale Uhren würde das auch funktionieren, allerdings
steht man hier in den meisten Fällen vor einem praktischen Problem: eine
Hauswand um wenige Grad zu neigen.
5. Faszination Sonnenuhr
Auch wenn Sonnenuhren schon viele Jahrhunderte im Einsatz sind, haben sie
doch nichts von ihrer Faszination verloren. Nahezu endlos viele Möglichkeiten,
Gnomon und Zifferblatt kreativ zu gestalten, gepaart mit Unverständnis, das die
meisten Leute Sonnenuhren entgegenbringen, machen diese Faszination aus.
Die Konstruktion ist mit relativ einfachen praktischen Methoden möglich.
R. SOLER, der Leiter der mallorcinischen Sonnenuhrenvereinigung beweist dies
auf der sonnen(uhren)reichen Insel Mallorca mit einigen sehenswerten Uhren
[nach Quelle 1, CD-Rom].
Da die wichtigsten »mathematischen Grundlagen für die Konstruktion einer
Sonnenuhr« nun erarbeitet sind, zum Abschluss noch 2 Fotos besonders erwäh-
nenswerter Sonnenuhren: Die »Mittagskanone«, bei welcher mittags durch ein
Brennglas eine Kanone gezündet wird und die »Digitale Sonnenuhr«, die mit
Hilfe von 2 gemusterten Schichten das Sonnenlicht nur in Ziffern durchlässt.
Weitere Fotos finden sich auf der beigelegten CD-Rom im Verzeichnis »Bilder«.
Abbildung N: »Mittagskanone«und »Digitale Sonnenuhr« [aus Quelle 1, CD-Rom]
-24-
6. Literaturverzeichnis
[0] RENÉ R. J. ROHR, »Sundials - History, Theory and Practice«, Totonto 1970
[1] ARNOLD ZENKERT, »Faszination Sonnenuhr«, Frankfurt 2002― Inhalt der CD-Rom auf der dieser Arbeit beigelegten CD: ZenkertCD/
[2] M. MÜLLER, »Equation of time-- Problem in Astronomy«Internetseite: http://info.ifpan.edu.pl/firststep/aw-works/fsII/mul/mueller.html
― auf der CD: Quellen/mueller.htmlo.J., aufgerufen am 28.12.2004
[3] U.S. NAVAL OBSERVATORY, »Earth's Seasons Equinoxes, Solstices, Perihelion, and Aphelion«Internetseite: http://aa.usno.navy.mil/data/docs/EarthSeasons.html
― auf der CD: Quellen/EarthSeasons.htmlo.J., aufgerufen am 28.12.2004
[4] H.-G. BIGALKE, »Kugelgeometrie«, Frankfurt/Berlin/München 1984
[5] WIKIPEDIA, Internetseite aufgerufen am 29.12.2004:[5.1] »Längengrad« http://de.wikipedia.org/wiki/L%C3%A4ngengrad
― auf der CD: Quellen/Laengengrad.htm[5.2] »Breitengrad« http://de.wikipedia.org/wiki/Breite
― auf der CD: Quellen/Breitengrad.htm[5.3] »Präzession« http://de.wikipedia.org/wiki/Pr%C3%A4zession
― auf der CD: Quellen/Praezessiom.htm[5.4] »Nutation« http://de.wikipedia.org/wiki/Nutation_%28Astronomie%29
― auf der CD: Quellen/Nutation.htm
[6] CHRISTIAN STRUTZ, »Analemma, die Zeitgleichung: Warum ist aus unserer Sicht die Sonne so unpünktlich?«Internetseite: http://www.schulphysik.de/strutz/zeitgl.pdf
― auf der CD: Quellen/zeitgl.pdfo.J., aufgerufen am 03.01.2005
[7] LOTZE/SCHNEIDER, »Wege in der Physikdidaktik Band 5«, Erlangen 2002
[8] JÜRGEN GIESEN, Internetseite aufgerufen am 18.01.2005:[8.1] »Analemma Sundial Applet« http://www.geoastro.de/analemma/
― auf der CD: Quellen/Geoastro.htm Applet: quellen/geoastro.zip[8.2] »Length of Day« http://www.jgiesen.de/astro/solarday.htm
― auf der CD: Quellen/lengthofday.htm
[9] DAVID H. LEVY, »Abenteuer Astronomie«, Stuttgart 1997
[10] HEINRICH GÖRING, »Die Sonnenuhr«, Arnsberg 1864
[11] Barth/Mühlbauer/Nikol/Wörle, »Mathematische Formeln und Definitionen«, München 1998
[12] HAMMER/HAMMER, »Physikalische Formeln und Tabellen«, München 2002
[13] ALBERT E. WAUGH, »Sundials - Their Theory and Construct.«, New York 1973