![Page 1: f : R R ; x o R f ´ (x o ) = = x puede acercarse a x o ; desde una única dirección ( eje x ) “incremento en x” : Δ x = x – x o xoxo x informa](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102809/5665b4f21a28abb57c95025b/html5/thumbnails/1.jpg)
![Page 2: f : R R ; x o R f ´ (x o ) = = x puede acercarse a x o ; desde una única dirección ( eje x ) “incremento en x” : Δ x = x – x o xoxo x informa](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102809/5665b4f21a28abb57c95025b/html5/thumbnails/2.jpg)
![Page 3: f : R R ; x o R f ´ (x o ) = = x puede acercarse a x o ; desde una única dirección ( eje x ) “incremento en x” : Δ x = x – x o xoxo x informa](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102809/5665b4f21a28abb57c95025b/html5/thumbnails/3.jpg)
f : R R ; xo R
f ´ (xo) = =
x puede acercarse a xo ; desde una
única dirección (eje x)
“incremento en x” : Δx = x – xo
x
ylimx
0 o
o
xx xx
yylim
o
x
y
xo x
informa el “comportamiento” del cociente de incrementos cuando x xo
RECUERDO: “derivada” o “razón de cambio” de una función escalar
xo
yo
f : R2 R ; Po(xo;yo) R2
PROBLEMA 1: “razón de cambio de f en Po”.
O sea, hallar un instrumento para estudiar el
“comportamiento” del cociente de incrementos
cuando P(x;y) Po(xo;yo) .
PROBLEMA 2: P puede acercarse a Po desde ≠ direcciones
Esto impide hallar una “formulación algebraica”
para el “incremento en P ” ¿ ΔP ?
NUEVO: “derivada” o “razón de cambio” de un CAMPO ESCALAR
x x
![Page 4: f : R R ; x o R f ´ (x o ) = = x puede acercarse a x o ; desde una única dirección ( eje x ) “incremento en x” : Δ x = x – x o xoxo x informa](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102809/5665b4f21a28abb57c95025b/html5/thumbnails/4.jpg)
f : R2 R ; Po(xo;yo) R2
PROBLEMA 1: hallar la “razón de cambio de f en Po”
O sea, hallar un instrumento para estudiar el “comportamiento” del cociente de incrementos cuando P(x;y) Po(xo;yo) .
PROBLEMA 2: P puede acercarse a Po desde ≠s direcciones
Esto impide hallar una “formulación algebraica” para el “incremento en P ” ¿ ΔP ?????
NUEVO: “derivada” o “razón de cambio” de un CAMPO ESCALAR
xo
yo
Resolver el “PROB. 2” es necesario para resolver el “PROB. 1” (razón de cambio de f en Po)
Resolver el “PROB. 2” requiere hallar una formulación alg. para el “incremento en P ”.
Para ello vamos a hacer que P Po , según una “dirección” prefijada ;
la cual damos a través de “un vector”
u
![Page 5: f : R R ; x o R f ´ (x o ) = = x puede acercarse a x o ; desde una única dirección ( eje x ) “incremento en x” : Δ x = x – x o xoxo x informa](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102809/5665b4f21a28abb57c95025b/html5/thumbnails/5.jpg)
f : R2 R ; Po(xo;yo) R2
NUEVO: “derivada” o “razón de cambio” de un CAMPO ESCALAR
PROB. 2 formulación alg. del “incremento en P ”.
Consideramos P Po , según una “dirección” prefijada
la cual damos a través de “un vector”
Hablamos así de “derivada direccional de f ”.
u
yo
u
Derivada direccional de f en Po(xo;yo), en la dirección de Dū f (xo;yo) u
xo
![Page 6: f : R R ; x o R f ´ (x o ) = = x puede acercarse a x o ; desde una única dirección ( eje x ) “incremento en x” : Δ x = x – x o xoxo x informa](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102809/5665b4f21a28abb57c95025b/html5/thumbnails/6.jpg)
z = f ( x; y) ; Po(xo; yo) R2 ; P (x; y)E(Po)
versor de dirección
r )
ou
yo
u
Derivada direccional de f en Po(xo;yo), en la dirección de Dū f (xo;yo) u
xo
¿ΔP?
2
1
u.yy
u.xx
o
o
r
P(x; y)
![Page 7: f : R R ; x o R f ´ (x o ) = = x puede acercarse a x o ; desde una única dirección ( eje x ) “incremento en x” : Δ x = x – x o xoxo x informa](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102809/5665b4f21a28abb57c95025b/html5/thumbnails/7.jpg)
Si λ 0 entonces P Po sobre r ;
obtenemos así la derivada de f en Po pero, en la dirección de ū.
xo 0
yo 0
![Page 8: f : R R ; x o R f ´ (x o ) = = x puede acercarse a x o ; desde una única dirección ( eje x ) “incremento en x” : Δ x = x – x o xoxo x informa](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102809/5665b4f21a28abb57c95025b/html5/thumbnails/8.jpg)
Ejemplo f (x; y) = x.y + 2 ; Po (2;1) f (2; 1) = 4
ū = (4; 3) ūo = (4/5; 3/5)
Dū f (2; 1) =
Dū f (2; 1) = =
= = =
=
)1;2(f).1;.2(f53
54
0lim
4]2).1).(.2[(53
54
0lim
4]2..2[25122
510
0lim
25122
510
0
..
lim
2].2[2512
0lim
![Page 9: f : R R ; x o R f ´ (x o ) = = x puede acercarse a x o ; desde una única dirección ( eje x ) “incremento en x” : Δ x = x – x o xoxo x informa](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102809/5665b4f21a28abb57c95025b/html5/thumbnails/9.jpg)
P
Luego:
![Page 10: f : R R ; x o R f ´ (x o ) = = x puede acercarse a x o ; desde una única dirección ( eje x ) “incremento en x” : Δ x = x – x o xoxo x informa](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102809/5665b4f21a28abb57c95025b/html5/thumbnails/10.jpg)
)2
1;
2
1(u2u 0
2
2
2
142
2
![Page 11: f : R R ; x o R f ´ (x o ) = = x puede acercarse a x o ; desde una única dirección ( eje x ) “incremento en x” : Δ x = x – x o xoxo x informa](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102809/5665b4f21a28abb57c95025b/html5/thumbnails/11.jpg)
r
![Page 12: f : R R ; x o R f ´ (x o ) = = x puede acercarse a x o ; desde una única dirección ( eje x ) “incremento en x” : Δ x = x – x o xoxo x informa](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102809/5665b4f21a28abb57c95025b/html5/thumbnails/12.jpg)
![Page 13: f : R R ; x o R f ´ (x o ) = = x puede acercarse a x o ; desde una única dirección ( eje x ) “incremento en x” : Δ x = x – x o xoxo x informa](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102809/5665b4f21a28abb57c95025b/html5/thumbnails/13.jpg)
![Page 14: f : R R ; x o R f ´ (x o ) = = x puede acercarse a x o ; desde una única dirección ( eje x ) “incremento en x” : Δ x = x – x o xoxo x informa](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102809/5665b4f21a28abb57c95025b/html5/thumbnails/14.jpg)
r
Qo
Q
Cx
sλ
ΔzTx
![Page 15: f : R R ; x o R f ´ (x o ) = = x puede acercarse a x o ; desde una única dirección ( eje x ) “incremento en x” : Δ x = x – x o xoxo x informa](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102809/5665b4f21a28abb57c95025b/html5/thumbnails/15.jpg)
![Page 16: f : R R ; x o R f ´ (x o ) = = x puede acercarse a x o ; desde una única dirección ( eje x ) “incremento en x” : Δ x = x – x o xoxo x informa](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102809/5665b4f21a28abb57c95025b/html5/thumbnails/16.jpg)
![Page 17: f : R R ; x o R f ´ (x o ) = = x puede acercarse a x o ; desde una única dirección ( eje x ) “incremento en x” : Δ x = x – x o xoxo x informa](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102809/5665b4f21a28abb57c95025b/html5/thumbnails/17.jpg)
RESUMEN:
yo
xo
r
u P(x ; y)
yo
xo
u.yy
u.xx
![Page 18: f : R R ; x o R f ´ (x o ) = = x puede acercarse a x o ; desde una única dirección ( eje x ) “incremento en x” : Δ x = x – x o xoxo x informa](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102809/5665b4f21a28abb57c95025b/html5/thumbnails/18.jpg)
RESUMEN:
![Page 19: f : R R ; x o R f ´ (x o ) = = x puede acercarse a x o ; desde una única dirección ( eje x ) “incremento en x” : Δ x = x – x o xoxo x informa](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102809/5665b4f21a28abb57c95025b/html5/thumbnails/19.jpg)
g(xo+ λ ) = f (xo+ λ ; yo ) g(xo+ λ ) = f (xo+ λ ; yo )
g (xo ) = f ( xo ; yo ) g (xo ) = f ( xo ; yo )
r
Luego :
![Page 20: f : R R ; x o R f ´ (x o ) = = x puede acercarse a x o ; desde una única dirección ( eje x ) “incremento en x” : Δ x = x – x o xoxo x informa](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102809/5665b4f21a28abb57c95025b/html5/thumbnails/20.jpg)
![Page 21: f : R R ; x o R f ´ (x o ) = = x puede acercarse a x o ; desde una única dirección ( eje x ) “incremento en x” : Δ x = x – x o xoxo x informa](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102809/5665b4f21a28abb57c95025b/html5/thumbnails/21.jpg)
![Page 22: f : R R ; x o R f ´ (x o ) = = x puede acercarse a x o ; desde una única dirección ( eje x ) “incremento en x” : Δ x = x – x o xoxo x informa](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102809/5665b4f21a28abb57c95025b/html5/thumbnails/22.jpg)
Cy : z = 2 – x2 ( y = 1)S
Qo(1;1;1)
Ty mTy = fx (1; 1)= -2
x
y
z
4
x*
z*
Cy2
2
1
1 x*
z*
(y = 1)
(y = 1)
= mTy
![Page 23: f : R R ; x o R f ´ (x o ) = = x puede acercarse a x o ; desde una única dirección ( eje x ) “incremento en x” : Δ x = x – x o xoxo x informa](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102809/5665b4f21a28abb57c95025b/html5/thumbnails/23.jpg)
(5 ; 300 ) = - 984.72 (cm3 /atm.)
(5 ; 300 ) = 16.41 (cm3/K)
V = f ( p; T )
V = f ( 5; 300 )
V = f ( p; T )
![Page 24: f : R R ; x o R f ´ (x o ) = = x puede acercarse a x o ; desde una única dirección ( eje x ) “incremento en x” : Δ x = x – x o xoxo x informa](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102809/5665b4f21a28abb57c95025b/html5/thumbnails/24.jpg)
V = f ( 5; 300 )
x
y
z
V
p
T
V = f ( p ; 300)
V = f ( p; T )
(5; 300)
3005
(6; 300)
6
(T = 300)
V = 4923.6 (cm3)
V 3923.6 (cm3)
![Page 25: f : R R ; x o R f ´ (x o ) = = x puede acercarse a x o ; desde una única dirección ( eje x ) “incremento en x” : Δ x = x – x o xoxo x informa](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102809/5665b4f21a28abb57c95025b/html5/thumbnails/25.jpg)
x
ffx
y
ffy
( fy)y fy y f22
![Page 26: f : R R ; x o R f ´ (x o ) = = x puede acercarse a x o ; desde una única dirección ( eje x ) “incremento en x” : Δ x = x – x o xoxo x informa](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102809/5665b4f21a28abb57c95025b/html5/thumbnails/26.jpg)
SON IGUALES !!!!
x
f
x
f
y
f
y
f
![Page 27: f : R R ; x o R f ´ (x o ) = = x puede acercarse a x o ; desde una única dirección ( eje x ) “incremento en x” : Δ x = x – x o xoxo x informa](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102809/5665b4f21a28abb57c95025b/html5/thumbnails/27.jpg)
![Page 28: f : R R ; x o R f ´ (x o ) = = x puede acercarse a x o ; desde una única dirección ( eje x ) “incremento en x” : Δ x = x – x o xoxo x informa](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102809/5665b4f21a28abb57c95025b/html5/thumbnails/28.jpg)
REGLA DE LA CADENA : g: R2 R ; h: R R
(x;y) z = g(x;y) z u=h(z)
f (x; y) = ho g (x; y) f : R2 R
(x;y) u = ho g (x;y)
h´(g(x;y)) . h´(g(x;y)) .
x
f
x
g
y
f
y
g
(x;y)Z=g(x;y) u=h(z)
gh
f
u= h(z) = sen z
g(x; y) = y
x1
u= hog (x;y)u= hog (x;y)
f = ho g