UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL
INSTITUTO DE FÍSICA
Estudo por Dinâmica Molecular doAtrito em Escala Atômica∗
Evy Augusto Salcedo Torres
Dissertação realizada sob orientação do Dr.
Sebastián Gonçalves e apresentada ao Ins-
tituto de Física da UFRGS em preenchi-
mento parcial dos requisitos para a obten-
ção do título de Mestre em Física.
Porto Alegre
Março - 2001
∗Trabalho financiado pelo Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico(CNPq).
A mi Gente....
Agradecimentos
? A meu orientador, Sebastián Gonçalves, principalmente pela paciência que
mostrou na correção deste trabalho, pelo estímulo constante oferecido e, acima de
tudo, pela amizade durante este período de trabalho.
? Aos meus pais: Evy A. Salcedo S. e Guadalupe Torres, e irmãos: Elio, Zayilka
e Erly, pelo apoio permanente.
? Pela convivência agradável neste dois anos, ao pessoal da sala M208, Ale-
xandre, André, Arlei, Guilherme, Henrique, Marco e principalmente a Daniela. E
também a Marcinha, Silvana e Verônica.
? Aos professores, por suportararem meu Portunhol (desculpem), e funcionários
do IF, em especial à Silvana e a Sílvia, que de alguma forma contribuíram para a
minha formação e para a realização deste trabalho.
? À Emília, pelo estímulo, pelas múltiplas sugestões em matéria de português e
os muitos momentos agradáveis.
Muito Obrigado
Resumo
Depois do trabalho pioneiro de Krim e Widom [30] que revelara a natureza
viscosa do atrito em escala atômica, muito trabalho experimental e teórico foi di-
recionado nessa área. Porém, questões fundamentais continuam em aberto, como
a relação entre o coeficiente de atrito e a topologia do substrato, assim como a
dependência com a temperatura da superfície de contato.
Nesta Dissertação, apresentamos resultados de dinâmica molecular sobre o atrito
entre uma camada atômica e o substrato sobre o qual está adsorvido, com o objetivo
de responder a essas perguntas. O sistema camada-substrato é modelado em uma
dimensão como uma cadeia de átomos que interagem através do potencial de Len-
nard Jones, enquanto o substrato é representado por um potencial periódico fixo.
Usando a dinâmica de Langevin para simular o movimento termal do substrato. A
medida do coeficiente de atrito viscoso (η) é obtido das simulações é feita através
da velocidade média de arraste dos átomos da camada, em resposta a uma força
externa.
No presente trabalho, calculamos o η para diferentes relações de comensuração
entre o adsorvato e o substrato e estudamos também a dependência com a tempera-
tura. Em quase todos os casos estudados η depende quadraticamente da corrugação
do substrato, mas resulta ser uma função não trivial da comensuração. O resultado
mais surpreendente é a existência de um mínimo pronunciado em η para uma razão
comensuração adsorvato/substrato de ≈ 0.8.
Abstract
After the pioneer work of Krim and Widom [30] which unveiled the viscous
nature of friction at the atomic scale, much experimental and theoretical work
was oriented to that area. However, fundamental questions remain open like the
relationship between sliding friction and the topology of the substrate, as well as
the dependence on the emperature of the contact surface.
In this Master Thesis we present molecular dynamics results of the sliding
friction between an adsorbed monolayer and the substrate with the aim of answer
those questions. The adsorbate-substrate system is modeled in one dimension as an
atomic chain with Lennard-Jones interaction while the substrate is represented by
a periodic fixed potential. A Langevin thermostat is used in order to simulate the
thermal fluctuation of the substrate. The sliding friction coefficient (η) is obtained
from simulations “measuring” the mean sliding velocity of the adsorbate atoms in
response to an external force.
In the present work we calculate η for different commensuration relationship
between adsorbate and substrate. The temperature dependence on η is also investigat-
ed. In almost all cases we studied η depends quadratically on the corrugation
amplitude of the substrate potential, but is a non-trivial function of commensura-
tion. The most striking result is a deep minimum of η for an adsorbate/substrate
commensuration ratio of ≈ 0.8.
Capítulo 1
Introdução
O atrito é, possivelmente, uns dos fenômenos naturais que mais tenha chamado
a atenção de humanidade, embora até hoje seja pouco compreendido. É provável que
ao descobrir como fazer fogo, o homem se apercebesse pela primeira vez, de forma
direta, das conseqüências do atrito. Dali em diante avançou nas suas descobertas, a
passos lentos, até começar a estudá-lo, mas só nos últimos anos conseguiu entender
um pouco dos processos físicos que o originam.
Nos tempos modernos, o atrito tornou-se uma espécie de faca de dois gumes,
por um lado oferecendo inúmeros benefícios e por outro causando muito prejuízo.
Pesquisas recentes feitas nos Estados Unidos mostram que as perdas produzidas
pelo atrito chegam a quase 420 bilhões de dólares anuais, o que representa 6%
do produto interno bruto [38]. Vale a pena lembrar que em países emergentes os
esforços para minimizar o impacto do atrito têm sido tímidos e. portanto, é possível
que as estatísticas nesses casos sejam ainda piores. O problema econômico do atrito
não fica restrito a seus efeitos diretos (desgaste de peças, consumo de lubrificante
para minimizar os efeitos do atrito, etc). A grande demanda de lubrificantes para
diminuir esses efeitos tem criado um problema de caráter ecológico na hora de
se desfazer dos seus resíduos que são, geralmente, altamente degradantes do meio
ambiente.
Como já foi dito, só nos últimos anos é que se tem alcanzado avanços significati-
1
1 Introdução 2
vos na compreensão do atrito. Isso foi resultado de um longo processo de pesquisas
iniciadas com Leonardo da Vinci, que foi o primeiro a realizar estudos sistemáti-
cos sobre atrito em nível macroscópico. Séculos depois, a teoria atômica permite
atribuí-lo a interações de origem eletromagnética, pois se tinha a primeira imagem
microscópica do fenômeno. Mas as maiores descobertas no campo foram feitas com
as novas técnicas experimentais, produto do desenvolvimento da teoria quântica.
No início da década de 70, iniciam-se pesquisas especificamente na área da nano-
tribologia [5, 29, 39], quer dizer, o estudo do atrito a nível atômico. Os principais
resultados são obtidos com a utilização do aparelho de força atômica de superfície
[28], do microscópio de força de atrito [33], e mais recentemente, da técnica da
balança de quartzo [30, 67].
As pesquisas experimentais desencadeiam uma série de estudos teóricos, os quais
pretendem explicar os resultados experimentais. Devido à complexidade do pro-
blema, a grande maioria dos trabalhos teóricos é feita mediante a utilização de
técnicas computacionais como a dinâmica molecular. A técnica da dinâmica mo-
lecular no estudo do atrito, consiste em estudar o comportamento dinâmico do
sistema, mediante a resolução numérica (com uso do computador) da equação or-
dinária de Langevin. Isto é conhecido como dinâmica molecular estocástica (DME)
[64]. A DME tem-se concentrado no estudo de duas classes de modelos que di-
ferem no potencial inter-partícula. Tais modelos são o de Lennard Jones e o de
Frenkel-Kontorova. No caso do modelo de Frenkel-Kontorova, tem-se dado a ênfase
ao estudo das propriedades não lineares e caóticas do sistema a nível nanoscópico,
em especial ao regime “arranca-para” (pinning-depinning). Para isto, Braum et
al. [7] e Strunz et al. [61] têm focalizado seus trabalhos no estudo de excitações
topológicas estáveis do sistema, os chamados kink-antikink.
Recentemente, Krim et al. [31, 21] realizaram uma série de pesquisas expe-
rimentais onde utilizaram a técnica da balança de quartzo para estudar o atrito
experimentado por alguns átomos depositados sobre um substrato metálico. Seus
1 Introdução 3
resultados controversos motivaram muitos pesquisadores teóricos a simularem, nu-
mericamente, o sistema estudado por Krim et al. Em decorrência destes trabalhos,
foram propostos dois mecanismos, através dos quais a energia é dissipada quando
um corpo desliza sobre outro (sliding friction). Mas as opiniões dos pesquisadores
são divergentes ao apontar o processo de maior relevância na dissipação. B. Persson
defende que o atrito dissipa a energia, principalmente ao excitar pares elétron-buraco
[41, 42]. Este mecanismo é conhecido como atrito eletrônico. Por sua parte, J. B.
Sokoloff mostra que as interações fonônicas são as maiores responsáveis pela dissi-
pação da energia [57]. Cieplak et al., ao estudarem com DME o sistema de Krim
et al., reproduziram qualitativamente aqueles resultados e chegaram a conclusões
semelhantes às de Sokoloff [19]. Liebsch et al. fazem um estudo ainda mais deta-
lhado. Eles obtêm um meio termo entre as duas possíveis contribuições [36]. Além
disto, reproduzem mediante o estudo de DME, um resultado analítico já obtido por
Cieplak et al.: o coeficiente de atrito incrementa quadraticamente com a corrugação
do potencial da superfície sobre a qual se faz o movimento.
No caso unidimensional, Matsukata e Fukuyama estudaram um modelo Frenkel-
Kontorova, onde mostram a forte dependência do atrito cinético em relação à velo-
cidade [34] e a instabilidade do atrito estático com as impurezas [35]. Persson [41]
apresenta uma série de resultados, obtidos para o caso unidimensional, baseados em
trabalhos feitos por Risken e Volmer [65, 66]. O interessante destes trabalhos é o
vínculo do modelo com outros sistemas, por exemplo, a condução iônica.
Dando continuidade a esta linha de trabalho, aqui estudamos um sistema uni-
dimensional baseado no modelo de Lennard-Jones, a fim de obter a dependência do
coeficiente de atrito viscoso microscópico com temperatura, comensuração, ampli-
tude e parâmetro do substrato.
O trabalho está organizado da seguinte forma: no capítulo II, apresenta-se uma
abordagem detalhada da evolução histórica do estudo do atrito, junto a uma des-
crição das técnicas experimentais mais relevantes utilizadas até agora. Também
1 Introdução 4
mostra-se o panorama que se tem hoje em relação a tribologia. No capítulo III
emfatiza-se nos estudos teóricos feitos em nanotribologia, aprofundada-se o con-
teúdo sobre as principais pesquisas e se descreve nosso modelo. No capítulo IV,
apresenta-se os resultados e, no V, a discussão e as conclusões.
Capítulo 2
O atrito, um panorama geral
Uma definição para atrito poderia ser tão complexa que acabaria ocultando sua
verdadeira simplicidade. Embora seja certo que ele se origina de fenômenos muito
complexos em nível atômico, em nível macroscópico isto é diferente. Esta comple-
xidade foi o motivo pelo qual necessitamos de tanto tempo para a compreensão
parcial que hoje se tem dele.
A ingerência direta do atrito em nossas vidas é tanta que a partir do Renasci-
mento começou a ser objeto de estudos matemáticos que deram origem aos primeiros
estudos do que hoje é conhecido como tribologia. A tribologia1, ou estudo do atrito,
inicia-se formalmente com as pesquisas feitas por Leonardo da Vinci, 200 anos an-
tes da publicação de Principia por Newton (1687). Contudo, foi Charles Coulomb
quem conseguiu condensar as idéias de da Vinci na equação que hoje é conhecida
como equação de Coulomb-Amonton2. Após eles, outros tribologistas iniciaram seus
trabalhos motivados por um grande acontecimento histórico que estava se iniciando,
a Revolução Industrial.
Na metade do século XX, Bowden e Tabor mostram que a validade da equação
de Coulomb-Amontons limita-se a nosso macro-mundo e estabelecem a principal
diferença entre os tribologistas e os nano-tribologistas. Além disto, eles dão expli-1Do grego tribos = atritar e logos = estudo2Alguns autores atribuem esta lei a Coulomb [40] e outros a Amontons [29].
5
2.1 Breve historia da tribologia 6
cações sobre questões que tinham ficado em aberto desde a época de Coulomb.
2.1 Breve historia da tribologia
A humanidade conhece há muito tempo os benefícios que do atrito. É por isso
que nossa viagem histórica poderiase iniciar há duzentos mil anos, nos tempos do
homem de neandertal. No entanto encurtando a história, pesquisas arqueológicas
têm mostrado que os egípcios e sumérios tinham conhecimento de técnicas de lubri-
ficação. Um exemplo notório é a pintura encontrada na pirâmide de Tehuti-Hetep,
El-Bershed (fig. 2.1). Naquela pintura, é possível observar um homem de pé frente
ao Colosso jogando uma substância que se presume ser um lubrificante.
Figura 2.1: Transporte de um colosso egípcio. Pintura achada na pirâmide deTehuti-Hetep, El-Bershed . De [40]
Embora com o decorrer dos anos tenha-se conseguido “grandes avanços” em
relação à qualidade dos lubrificantes, não foi até o Renascimento que se iniciaram
estudos sistemáticos no campo da tribologia. Como já dito, Leonardo da Vinci foi o
fundador da tribologia moderna. Nos seus estudos, da Vinci foi o primeiro a propor
que existe uma relação linear entre a força do atrito e a força normal. Concluiu
que “todo corpo tem uma resistência de atrito igual a um quarto do seu peso”. De
acordo com isto o coeficiente de atrito, µ, é igual a 1/4. Em termos gerais está
2.1 Breve historia da tribologia 7
incorreto. Contudo, os materiais mais comuns da sua época caracterizam-se por
possuir coeficientes com aquele valor. O trabalho de da Vinci, parte do qual pode
Figura 2.2: Estudos de Leonardo da Vinci sobre atrito. Esquema de Cordex Atlan-ticus e Cordex Arundel mostrando sua pesquisa para determinar: (a) o atrito nocaso de um plano horizontal e/o inclinado; (b) a influência da área de contato apa-rente no atrito; (c) a utilização de polias no seu estudo; (d) o atrito no ponto desustentação do eixo. De [40].
ser apreciado em algums de seus desenhos (Figura 2.2), ficou perdido por quase
300 anos até que Charles Augustin Coulomb o retomasse. Coulomb pesquisa a
influência de quatro fatores:
a natureza dos materiais em contato e o material que os separa;
a extensão da área de contato;
a força normal e,
o tempo de contato estacionário entre os corpos.
Vale ressaltar a grande precisão experimental da pesquisa feita por Coulomb. Ainda
2.2 Visão até os tempos de Bowden e Tabor 8
hoje as novas técnicas experimentais confirmam os seus resultados. Coulomb redes-
cobre a lei do atrito macroscópico:3
Fr = µN (2.1)
onde N é a força normal à superfície de contato e Fr é a força de atrito máximo.
Ele descobiu que µ era praticamente independente não só de N como também da
velocidade do movimento (sempre que não for muito alta nem muito baixa), da área
de contato e da rugosidade.
No período de 1730 - 1845, foi desenvolvida a teoria da lubrificação hidrodinâ-
mica por Euler, Bernoulli, Poiseuille e principalmente, por Navier e Stokes Estes
dois últimos pesquisadores obtiveram uma expressão analítica hoje muito utilizada
que, no caso de um pequeno corpo esférico, reduz-se à equação
Fr = η v, (2.2)
onde η é o coeficiente de atrito viscoso é v é a velocidade do corpo.
Na década de 1940, Bowder e Tabor pesquisam mais a fundo as questões inicia-
das por Coulomb. Em seus trabalhos eles respondem a perguntas fundamentais da
macro-tribologia. Por exemplo, o fato do coeficiente de atrito µ ser independente
da área (aparente) de contato tem sua origem na dependência linear da área de
contato real com a carga ou força normal.
2.2 Visão até os tempos de Bowden e Tabor
Após os trabalhos de Coulomb e o início da revolução industrial, as pesquisas
orientam-se principalmente no sentido de suprir as necessidades das novas indústrias
em crescimento, o desenvolvimento de lubrificantes e a teoria do que hoje se conhece3Tem que ficar claro que foi Amontons quem redescobriu primeiro essa relação, só que a Aca-
demia Francesa permaneceu cética [14].
2.2 Visão até os tempos de Bowden e Tabor 9
como lubrificação hidrodinâmica. Mas os estudos dos fundamentos do atrito ficaram
Figura 2.3: Bosquejo feito por Coulomb da sua imagem do atrito a nível “micros-cópico” (Coulomb, 1785).
em segundo plano, não só pela complexidade do fenômeno, como também pela
falta de instrumentos mais precisos. Por exemplo, a idéia que prevalecia até início
do século XX, em relação à origem do atrito em nível “microscópico”, era ainda
semelhante à de Coulomb, que supunha que o atrito era o resultado do encaixamento
das rugosidades das duas superfícies que participavam do movimento (ver fig. 2.3).
Na metade do século vinte, Bowden e Tabor retomam essa idéia de Coulomb só
que percebem a improbabilidade de haver situações como as esboçadas na figura
2.3. De acordo com eles, é mais provável ter situações em que os corpos estão
incomensurados e portanto, a área de contato real é menor do que a área de contato
aparente (ver fig. 2.4). Suas pesquisas mostram que essa hipótese foi válida já que
Figura 2.4: Dos sólidos em contato são suportados pelas suas irregularidades na suasuperfície.
a área de contato real é até dez-milésima parte da área aparente. Outra grande
2.3 Técnicas Experimentais Modernas 10
descoberta foi a independência do atrito da área de contato aprarente. A explicação
dada por eles à essa proporcionalidade fundamentou-se na teoria da elasticidade.
Esta teoria diz que um corpo só verifica a lei de Hooke num intervalo de força
limitado. Além de um ponto F , os corpos perdem suas propriedades elásticas é
adquirem propriedades plásticas, i.e., perdem a propriedades de retornarem a seu
tamanho e forma original. Bowden e Tabor, assinalam que a pressão é tanta sobre
os pontos que mantém os corpos em contato, que faz com que mudem de elásticos
para plásticos, podendo dessa forma fluir e ajustar sua seção transversal a fim de
suportar a carga aplicada (ver fig. 2.4). Esta constatação explica o fato do atrito
ser proporcional à carga, pois, baseados nesta descoberta, outros pesquisadores
puderam demonstrar analiticamente uma das leis de Coulomb.
2.3 Técnicas Experimentais Modernas
Os avanço tecnológicos feitos neste último milênio têm repercussão direta na
pesquisa sobre tribologia. Da década de 70 até cá foram construídos novos instru-
mentos de pesquisa, muito mais precisos que o utilizado por da Vinci, mas que na
sua essência mantêm a idéia original deste pesquisador. Nesta seção apresenta-se
uma descrição das três principais técnicas experimentais hoje utilizadas.
2.3.1 Aparelho de força de superfície
O aparelho de força de superfície (AFS) foi inventado há 40 anos atrás e foi
modificado por J. N. Israelachivili em 1973 para medir o atrito [5, 29].
O AFS consiste de um bloco que é pressionado contra uma superfície na qual
existe um filme de lubrificante (ver fig. 2.5). O material utilizado para o bloco e a
mesa é a mica, pois pode ser altamente polída. Neste instrumento, o regulamento da
força normal F controla a espessura do lubrificante D, podendo-se obter espessuras
de apenas uma camada de lubrificante.
2.3 Técnicas Experimentais Modernas 11
Figura 2.5: Descrição do aparelho de força de superfície (AFS) na medição da forçanormal F, e o atrito f, entre duas superfícies polidas de área A separadas poruma fina camada de líquido de espessura D. Mediante técnicas espectroscópicas épossível medir com precisão a variação da espessura em tempo real. Em geral aárea de contato é de 100µm2 e D pode variar entre uma molécula (D = σ = 4 Å)até uns 100 Å.
Muitas pesquisas com o AFS têm mostrado que o tipo de estrutura que se forma
entre duas superfícies determina o comportamento do atrito (ver fig. 2.6). Estes
“estados” dependem da temperatura, da carga e da velocidade.
Quando as camadas que separam as superfícies são poucas, a cristalinidade da
superfície pode induzir uma solidificação do lubrificante e o movimento não poderia
iniciar-se se a força de atrito estática não fosse vencida. Esta solidificação faz com
que o corpo continuamente alterne momentos nos quais fica detido, com outros nos
quais esta em movimento. Este comportamento é conhecido como movimento de
darranca-pará (stick-slip motion) e só se obtém na fase em que a estructura formada
é semelhante a um sólido (ver fig. 2.7). Se a estrutura formada pelo lubrificante ficar
na fase semelhante a um líquido não se terá atrito estático e si um atrito cinético.
Nesta fase vale a lei de Stokes o seja, o atrito é proporcional à velocidade (fig. 2.5,
embaixo esquerda). No fase amorfa, o atrito é alto, pois dá-se um emaranhamento
2.3 Técnicas Experimentais Modernas 12
Figura 2.6: Diferentes tipos de estruturas que pode adotar o filme que lubrifica umcorpo. (a) sólido, (b) amorfo, (c) liquido e (d) super-cinético.
das cadeias moleculares (lembre-se que muitos lubrificantes são polímeros). A fase
super-cinética é uma condição muito desejada, mas só se dá em raras ocasiões.
Nesta fase, o lubrificante vai da fase amorfo a uma configuração tal que o atrito é
muito baixo, o que acontece após ultrapassar uma velocidade crítica vc.
Estes estados não são intrínsecos ao tipo de lubrificante, pois a dependência com
a velocidade influi no tipo de estrutura que vá assumir o lubrificante. Assim, em um
deslizamento a alta velocidade, a estrutura assumida é mais parecida ao lubrificante
a fase sólida, e no caso de baixas velocidades é mais parecida à fase líquida.
Figura 2.7: Durante o movimento de “arranca-para” o lubrificante sofre uma tran-sição de fase, alternar seu estado de sólido a líquido.
2.3.2 Microscópio de força atômica ou força de atrito
Introduzido em 1986 [6], o microscópio de força atômica (MFA) permite fazer
medições de forças extremadamente pequenas entre uma ponta de prova e a uma
superfície, que pode ser condutora ou isolante. O MFA é uma ponta de prova
de dimensições atômicas que faz uma varredura da superfície do material a ser
pesquisado. As deflexões da ponta de prova permitem obter parâmetros relevantes
2.3 Técnicas Experimentais Modernas 13
Figura 2.8: Representação esquemática de uma ponta de prova de um MFA (MFF),geralmente são feitas de diamante o tungstênio.
da superfície como a periodicidade e amplitude. Uma versão modificada do MFA
que utilizado para estudar o atrito em nível atômico é denominado microscópio de
força de atrito (MFF).
A ponta de prova é feita de tungstênio ou diamante com diâmetro de décimas de
nanómetro. No momento da varredura de uma superfície as deflexões da ponta são
registradas em tempo real, através de técnicas espectroscópicas. Estas varreduras
são feitas em velocidade constante (≈ 400 Å/s) e carga constante (cargas de 1 a
100µN) o mque permite calcular qual é a força de atrito que atua sobre a ponta.
A maior contribuição do MFF é a primeira prova experimental de uma violação
da lei de Coulomb-Amontons. Na figura 2.9 é possível observar que um aumento
Figura 2.9: Mapas de força de atrito para ilhas de C60 cristalino em substrato deGeS (001). As áreas obscuras representam sítios de baixo atrito e os mais brilhantesde alto atrito. A normal é em (a) N = 6.7nN e em (b) N = 30nN [40].
na carga normal produz uma diminuição da força de atrito. Isto é uma evidencia
da não-linearidade do atrito a nível nanoscópico [40].
2.3 Técnicas Experimentais Modernas 14
2.3.3 Microbalança de cristal de quartzo
Figura 2.10: Diagrama esquematico de uma micro-balança de quartzo.
A técnica da microbalança de cristal de quartzo é a mais moderna de todas
as técnicas hoje utilizadas nas pesquisas experimentais sobre atrito. Utilizada pela
primeira vez no estudo de atrito por Krim e Windom [30, 67] em 1988, permite
obter o coeficiente de atrito de uma camada de poucos átomos (N, Xe, Kr) sobre
um substrato geralmente de ouro ou prata.
Como pode se ver na figura 2.10 a MCQ consiste de uma microplataforma feita
de cristal de quartzo sobre a qual deposita-se o substrato. Manten-se a micro-
plataforma de quartzo resfriada para fazer a pesquisa isotermicamente e evitar o
sobreaquecimento do dispositivo, já que isso pode produzir resultados não desejados
[30]. A fim de poder movimentar os átomos depositados, aplica-se uma tensão que
induz a vibração da balança em uma freqüência própria. Essa freqüência diminui
Figura 2.11: As vibrações da micro-balança de quartzo fazem com que os átomosfisi-adsorvidos possam pular a barreira de difusão do substrato.
2.3 Técnicas Experimentais Modernas 15
Figura 2.12: Tempo de deslizamento τ e estres de cizalhadura s = ηv ( parav = 1cm/s) versus a comensuração para três diferentes superfícies de Ag (111).O estresse de cizalhadura no caso de uma bicamada (15.1 ± 0.5N/m2 ) é aproxi-madamente 25% maior que o associado a uma mono-camada (11.9 ± 0.4N/m2 ).Esperava-se que o aumento fosse de 5% só. [21].
durante a deposição dos adsorvatos, já que o aumento da massa adsorvida provoca
um aumento do atrito entre os adsorvatos e o substrato. Krim e Windom mostraram
que a partir da variação da freqüência do cristal (δω) de quartzo, é possível obter o
tempo característico de deslizamento do material depositado τ
τ =δ (1/Q)
2δω(2.3)
sendo Q o fator mecânico, δω a diferença entre a freqüência da balança com átomos
depositados menos a freqüência sem átomos depositados.
τ é uma característica dos sistemas (adsorvatos-substrato) nos quais há atrito
do tipo viscoso. Ele é inversamente proporcional ao coeficiente de atrito cinético
2.3 Técnicas Experimentais Modernas 16
desses sistemas
τ =m
η(2.4)
onde m é a massa total dos átomos depositados.
Daly et al. propõem considerar uma maior contribuição das perdas energéti-
cas nas interações eletrônicas como processo responsável pela dissipasão da energia
no atrito em nível nanoscópico (ver figura 2.12. Isto foi inovador pois antes deles,
suponha-se que a origem do atrito eram as interações inter-fonônicas. Em con-
seqüência, iniciou-se uma grande polêmica entre os pesquisadores da nano-tribologia
teórica sobre o mecanismo mais importante no processo da dissipação da energia,
se a via fonônica ou a eletrônica.
Capítulo 3
Pesquisas Teóricas
No capítulo anterior foram apresentados de maneira sucinta os resultados ex-
perimentais mais relevantes dos últimos tempos e que modificaram a concepção
que se tinha do atrito. Neste capítulo, trataremos dos principais trabalhos teó-
ricos feitos até hoje, com ênfase naqueles feitos através da utilização de recursos
computacionais.
3.1 Estudos Analíticos
Ainda que hoje o atrito pode ser expressado como uma combinação linear de
duas contribuições:
η =1
τeh+
1
τph(3.1)
onde1/τeh é a contribuição da interação e-h e 1/τph é a contribuição das interações
dos fonônes, nos últimos anos foram incrementados os esforços teóricos para
estabelecer de forma taxativa qual delas é causa do origem do atrito nanoscópico.
17
3.1 Estudos Analíticos 18
3.1.1 O atrito eletrônico
B. N. Persson sustem que nos materiais condutores o mecanismo principal
através da qual a energia é dissipada é a via eletrônica. Isto tem lugar quando
pares de elétron-buraco (e-h), da superfície dos corpos, são excitados [41, 42, 43].
Na sua pesquisa, Persson estabelece uma serie de relações matemáticas que
permitem obter o coeficiente de atrito eletrônico dependendo do tipo de sistema
involucrado. Contudo, aceita que os valores numéricos que obtidos a partir desta
relações não necessariamente concordam com os valores experimentais que se obtêm
com espectroscopia IR ou espalhamento elástico de hélio, já que junto ao processo
de e-h pode dar-se decaimentos via emissão de um ou vários fônons (atrito fonônico)
[43].
Liebsch [36] obtém as mesmas expressões que Persson, só que ao não normalizar
uns dos coeficientes, obtém valores numéricos mais próximos aos experimentais que
os obtidos por Persson, para o caso de Xe em Ag.
3.1.2 O atrito fonônico
A visão de serem os fônons os principais responsáveis pelo atrito tem suas
raízes nas pesquisas feitas por Sacco, Sokoloff e Widom no final da década dos
70’s, inicio da década dos 80’s, quando, usando DM, estuda o modelo de Frenkel-
Kontorova aplicado ao problema do atrito, além de desenvolver expressões analíticas
que descrevem o fenômeno.
Sacco et al. [54], usando o teorema de resposta da flutuação estática, obtém que
o coeficiente de atrito dependente da velocidade−→Γ (−→v ) (
−→F =
−→Γ·−→v ) esta dado pela
expressão (para o caso de ordem baixo em ϕG):
−→Γ (−→v ) = π
2kBT
∑G
−→G−→G |ϕG|2 S(
−→Q =
−→G,ω =
−→G · −→v ) (3.2)
onde{−→G}
é o conjunto vetores recíprocos de ϕ(x), ϕG som os coeficientes da série
3.2 Pesquisas Numéricas 19
de Fourier de ϕ(x) e S(−→Q,ω) é o fator de estrutura dinâmico. Este resultado inde-
pende da dimensão do sistema em estudo.
Eles apresentam uma expressão em que relacionam o atrito fonônico com o atrito
eletrônico
Fel
Fph
∼(hωD
εF
)21
c(3.3)
como hωD/εF ≈ 1%, então Fph > Fel. Isto é atribuído ao fato dos fônons fica-
rem distribuídos em uma estreita região de energia (≈ hωD), em comparação aos
elétrons(≈ εF ), e assim apresentar uma alta densidade de estados.
Cieplak et al [19] e Smith et al [56] apresentam resultados similares aos obtidos
pelo grupo de Sacco, os que se resumem na expressão
1
τ=
3S (G)
N
1
tph(3.4)
onde S (G) /N é o fator de estrutura estático normalizado e 1/tph é o inverso da vida
média do fônons, a qual mede a taxa com que a energia armazenada na deformação
da rede é transferida entre os fônons. A vantagem de esta equação, em comparação
a la equação 3.2, é que fica evidente o papel fundamental das interações anarmônicas
da rede (o termo 1/tph da conta disto), já que são estas interações as responsáveis
da transferência de energia entre os diversos modos vibracionais [59, 60].
3.2 Pesquisas Numéricas
Indiscutivelmente os estudos numéricos tem sido, junto às pesquisas experimen-
tais, a maior fonte de informação sobre o atrito. Isto é produto, principalmente, da
não linearidade do fenômeno, além de tratar-se de um sistemas fora de equilíbrio,
o que limita em grande medida os tratamentos analíticos.
Os trabalhos com simulação numérica sobre o atrito podem ser classificados de
acordo ao modelo de interação entre as partículas e/ou a dimensão do sistema. Fica
3.2 Pesquisas Numéricas 20
claro que os sistemas mais estudados são os de duas e três dimensiones pois os sis-
temas reais de uma dimensão são “escassos ou pouco conhecidos”. Os potenciais
inter-partículas mais usados são o potencial de Lennard -Jones 6-12 (LJ) e o po-
tencial harmônico, a eleição de um ou outro depende do enfoque que quer-se dar à
pesquisa ou o as características do sistema físico de interesse.
3.2.1 O modelo de Tomlinson
Figura 3.1: Modelo de Tomlinson.
O modelo de Tomlinson (1926) foi o primeiro intento de explicar ao nível atômico
a lei do atrito de Coulomb-Amontons. Ele considerou os átomos da superfície
superior, que estão em contato direto com os da outra superfície, como osciladores
harmônicos independentes ligados ao resto do corpo do material através de molas
de constante elástica k. A superfície inferior, ou substrato, a representou por um
potencial senoidal fixo (ver figura 3.1).
Ao aplicar uma força sobre o corpo superior capaz de tirar os átomos superficiais
dos mínimos do substrato, considera-se que estes átomos “pulam” bruscamente de
uma posição de equilíbrio a outra. Tais “pulos” provocam que estes átomos vibrem
e supõe-se que a energia cinética das vibrações transfere-se integra ao interior do
corpo. Ao supor que estes movimentos são instantâneos e que esses átomos super-
ficiais não interagem uns com os outros é possível obter uma das leis de Coulomb-
Amontons [69].
A equação de movimento para o l-ésimo átomo, no caso unidimensional e a
temperatura zero, pode se escrever
3.2 Pesquisas Numéricas 21
md2xldt2
= −γ dxldt
− f sin
(2π
axl
)− k
(xl − x0l
), (3.5)
onde m é a massa do átomo, x0l é sua posição na rede, γ é uma constante de
amortecimento fenomenológica que dissipa o calor gerado O termo fs sin(2πaxl)
representa substrato onde fs é a amplitude dele e a é a periodicidade ou
parâmetro de rede.
Weis e Elmer [69] estudam um modelo em que misturam a proposta original
de Tomlinson com o modelo de Frenkel-Kontorova (o modelo de Frenkel-Kontorova
descreve um sistema de partículas interagentes sujeitas a um potencial periódico).
Neste trabalho reúne-se as qualidades de ambos modelos. No modelo de Tomlinson
os átomos vizinhos no interagem, o qual é uma simplificação muito grande, No
entanto isto não acontece no modelo de Frenkel-Kontorova, mas neste último os
átomos no ficam acoplados ao resto do corpo que se movimenta.
Similarmente ao modelo de Frenkel-Kontorova, neste modelo apresenta-se a rup-
tura da analiticidade função envoltório (ver a subseção 3.2.2). Weis e Elmer obtêm
que a amplitude do potencial que descreve o substrato, influi na existência ou não de
atrito, tanto estático como dinâmico, e a diferencia do modelo de modelo Frenkel-
Kontorova, encontram que existe uma relação entre os valores limites de fs (valores
que definem a existência o não do atrito) e a constante de acoplamento dos átomos
superficiais com o resto do corpo, k na expressão 3.5.
3.2.2 O modelo de Frenkel-Kontorova
Figura 3.2: Modelo unidimensional clássico do Frenkel-Kontorova. Os osciladoresficam acoplados, a primeiros vizinhos, harmonicamente mediante uma constante k.
3.2 Pesquisas Numéricas 22
Muito provavelmente é o modelo mais estudado de todos. O modelo foi origi-
nalmente desenvolvido para o estudo de dislocaçoes dinâmicas de cristais por Y.
Frenkel e T. Kontorova, mas tem sido utilizado no estudo de densidade de ondas
carregadas, condutores super-iônicos, filmes adsorvidos em superfícies, junturas de
Josephson, crescimento epitaxial de filmes, etc.
A equação de movimento para o l-ésimo átomo, no caso unidimensional e a
temperatura zero, pode se escrever
md2xldt2
= −ηdxldt
− λa
2πsin
(2π
axl
)− k (2xl − xl−1 − xl+1) (3.6)
onde m é a massa do átomo, x0l é a posição na rede, η é uma constante de amorteci-
mento fenomenológica e λ a amplitude do potencial do substrato. Como pode ver-se,
a principal diferença entre este modelo e o de Tomlinson é o fato de cada átomo
ficar ligado a seus primeiros vizinhos mediante uma interação harmônica (ver fig.
3.2), mas pesquisas recentes tem utilizado interações anarmônicas, principalmente
repulsões exponenciais entre os átomos.
Figura 3.3: Dois aspectos típicos da função envoltório descrevendo o estado base,para λ < λc (λ = 0.10) e λ > λc (λ = 0.40) [47].
Una peculiaridade própria ao modelo de Frenkel-Kontorova (FK) é a existência
de um transição por ruptura da analiticidade da função que define o estado de
3.2 Pesquisas Numéricas 23
Figura 3.4: Os kinks são excitações topológicas estáveis que aparecem para qual-quer ζ racional, os que ligam diferentes estados bases do modelo de FK. Na figuraapresenta-se as trajetórias atômicas para uma comensuração de ζ = 34/47. Pode-sever que os kinks (anti-kinks) estão no estado móvel. A região mais escura corres-ponde à posição de um átomo [9].
mínima energia do sistema, a chamada função envoltório (hull function), esta
transição é conhecida como ruptura da analiticidade de Aubry (ver figura 3.3).
A ruptura da analiticidade de Aubry se da quando escolhe-se um valor de λ
maior que um λc crítico na equação . Entre outras coisas, esta transição de fase
afeta o espectro de freqüência dos fônons do átomos adsorvidos (ver figura ??) é a
barreira de Peierls-Nabarro1.
Recentemente Braun et al. estudam numericamente o comportamento estático
e dinâmico do sistema de FK, no caso de interação não linear entre as partícu-
las tomando em consideração a ruptura da analiticidade da função envoltório e
a idéia de kinks (anti-kinks). Os kinks são excitações topológicas estáveis, para1A barreira de Peierls-Nabarro é a menor energia que tem que ser superada a fim de movimentar
os átomos através do potencial periódico (substrato).
3.2 Pesquisas Numéricas 24
T = 0, que aparecem para qualquer comensuração racional do sistema2 [8]. Estas
quase-partículas são compressões locais do trem de partículas no modelo de FK (ou
extensão no caso dos anti-kinks) (ver fig. 3.4) e são responsáveis por o transporte
de massa [10]. Eles estudam o comportamento da mobilidade do sistema de FK. A
mobilidade B é definida como
B =〈v〉F
(3.7)
onde 〈v〉 é a velocidade do centro de massas e F é a força externa aplicada ao
trem e obtêm que esta grandeza depende sensivelmente do grau de comensuraçaõ
do sistema e a temperatura à que é sometido.
Matsukawa e Fukuyama, utilizando o modelo de FK unidimensional, estudam a
dependência do atrito cinético [34] com a velocidade de arratre. Eles obtêm que esta
dependência fica fraca ao aumentar a força de interação (constante de acoplamento
k) entre as partículas adsorvidas.
3.2.3 O modelo de Lennard Jones
Ainda que o modelo de Lennard Jones seja uma geralização do modelo de
Frenkel-Kontorova, apresentamos nesta subseção os resultados de uma serie de pes-
quisas feitas com este modelo. A motivação principal disto é que, a diferenças das
pesquisas feitas com o modelo de FK, em que o objetivo principal são as proprieda-
des do modelo em geral, o modelo de Lennard Jones (LJ) em geral tem-se utilizado
na descrição dos resultados experimentais obtidos no estudo com a MCQ.
A equação diferencial que determina a posição da partícula i−esima, no modelo
de LJ é
mri +mηri = −∂U∂ri
− ∂V
∂ri+ fi + F, (3.8)
2A comensuração de um sistema é a razão do número de partículas adsorvidas (N) versus onúmero partículas no substrato (M), o seja ζ = N/M .
3.2 Pesquisas Numéricas 25
onde F é uma força externa aplicada ao sistema e fi é a força estocástica que des-
creve a influência, sobre a partícula i−esima, dos movimentos termais do substrato.
A componente fαi de fi esta relacionada a η e à temperatura do substrato através
do teorema de flutuação dissipação
⟨fαi (t)f
βj (0)
⟩= 2ηαβmkBTδijδαβδ(t), (3.9)
onde supõe-se que o tensor de atrito é uma matriz diagonal da forma
η =
η‖ 0 0
0 η‖ 0
0 0 η⊥
(3.10)
V é o potencial de interação entre as partículas, especificamente o potencial de
Lennard Jones 6-12:
v(r) = ε
[(r0r
)12
− 2(r0r
)6]
(3.11)
onde ε é o valor do mínimo de energia do potencial e r0 é a separação inter-partícula
no mínimo do potencial.
U é a primeira componente de Fourier potencial do substrato , da mesma forma
que no potencial de Tomlinson e FK
U(r) = u0
[2 + cos(
2π
ax) + cos(
2π
ay)
]E(z), (3.12)
onde a é o parâmetro da rede, u0 é a amplitude do potencial e E(z) é um potencial
que, no caso de três dimensões, toma em consideração as interações transversais do
substrato com os adsorvatos.
Usando este modelo, Persson e Nitzan pesquisam um sistema (Xe/Ag(100))
parecido ao estudado por Krim e colaboradores experimentalmente (Xe/Ag(111))
[39]. O principal resultado desta pesquisa foi a contribuição quase nula da compo-
nente fonônica ao atrito total no caso em que a cobertura fosse máxima (ver figura
3.2 Pesquisas Numéricas 26
Figura 3.5: Dependência do coeficiente de atrito inverso, normalizado, η/ 〈η〉 (ondeη é o coeficiente ad-hoc da equação 3.8) com a cobertura até completar a primeiracamada de átomos de Xe. Na gráfica η‖ = η = 2.5× 109s−1 [39].
3.5). Para outras coberturas este resultado muda, na figura 3.5 pode-se notar que,
no caso de baixa comensuração, o atrito fonônico pode ser mais do dobro do eletrô-
nico. Outro resultado interessante é a contribuição nula das vibrações transversais
na dissipação da energia
Tomassone et al. estudam o mesmo sistema que Persson, mas utilizam uma
abordagem diferente no calculo do coeficiente de atrito. Eles argumentaram que
seu método reduz o erro introduzido pela utilização do termostato.
Para ele cálculo do coeficiente de atrito médio, Persson et al. utilizam a equação
de Stoke 2.2. No método utilizado por Tomassone et al., aplica-se aos adsorvatos
uma força F constante aos adsorvatos por um intervalo de tempo definido, após
do qual retira-se e esperam que o sistema relaxe. Esta relaxação se da a uma taxa
v0 exp (−t/τ), onde τ = 1/ 〈η〉 e v0 é a máxima velocidade atingida quando a força
estava ligada. No momento que deixa de aplicar-se a força o termostato é retirado do
sistema, assim não é levada em consideração a contribuição eletrônica no momento
de calculo de 〈η〉. Ainda assim, eles consigeram reproduzir qualitativamente os
resultados experimentais obtidos por Daly et al. [21] (ver figura 3.7). Para eles,
3.2 Pesquisas Numéricas 27
Figura 3.6: Decaimento típico da velocidade do centro de massa (em unidades deσ/t0) depois de retirar a força externa ao sistema. Simultaneamente retira-se otermostato. A faixa onde da-se o decaimento da velocidade ajusta-se com umaexponencial e de ali botem-se o coeficiente de atrito [62].
este resultado mostra claramente a importante contribuição do atrito fonônico na
dissipação da energia.
Em outra pesquisa, Cieplak et al. estudam o sistema Kr/Au(100). Na figura 3.8
apresenta-se os resultados das simulações feitas por eles. Similarmente a Tomassone
et al., seus resultados são qualitativamente similares a os resultados experimentais
de Krim et al. [31]. Para conseguir a curva da figura 3.8 foi preciso dividir entre
1000 todos seus resultados. Eles explicam que a razão disto é a incertidumbre na
amplitude do potencial do substrato. Esta explicação baseou-se nos resultados de
numa teoria perturbativa desenvolvida por eles, em que relacionam o tempo de
deslizamento (o inverso de η) com a amplitude da corrugação do substrato e a vida
media do fônons (tph)
τ = tphN1/3S(G1) ∝ u−20 tph (3.13)
onde N1 é o numero de átomos adsorvidos na primeira camada e S é o fator de estru-
3.2 Pesquisas Numéricas 28
Figura 3.7: Tempo de deslizamento τ (em segundos) versus a cobertura (em uni-dades do número de partículas por Å). As linhas sólidas na figura são três curvasexperimentais da referencia [21] introduzidas a fim de comparar-lhas com os resul-tados obtidos da simulação [62].
tura estático. Similarmente a Sokoloff, estes pesquisadores também concluem que
o principal mecanismo de dissipação do sistema são os acoplamentos anarmônicos
do fônons no absorvido.
A universalidade dos resultados de Cieplak et al. foi confirmada posteriormente
por Liebsch et al. [36] ao estudar os sistemas Xe/Ag(100) e Xe/Ag(111). Seus
resultados se resumem na expressão
ηtot = ηel + c u20 (3.14)
onde ηel é o coeficiente de atrito ad-hoc (η) na equação 3.8, u0 é a amplitude do
potencial que aparece na equação do substrato e c é uma constante que depende
da comensuração, da topologia do substrato e da fase do sistema. Eles obtém que
os átomos de Xe podiam optar por duas possíveis orientações (fases do sistema)
em relação ao substrato, as que nomearam de fase α e β. A explicação dada por
eles a este fato foi a impossibilidade de simular um sistema incomensurado real. O
trabalho Liebsch et al. é o primeiro a comparar os efeitos da topografia do substrato.
Seus resultados mostraram a considerável influencia sobre o atrito experimentado
por os átomos de Xe. Para uma mesma corrugação u0, o substrato (111) apresenta
3.2 Pesquisas Numéricas 29
Figura 3.8: Resultados da simulação (círculos) para τ/t como função da cobertura(N/Asurf ) para o sistema Kr/Au em uma T = 77K . A linha continua são oresultado obtido por Krim et al. [31] para o mesmo sistema [19].
maior atrito fonônico em comparação ao substrato com orientação (100).
3.2 Pesquisas Numéricas 30
Figura 3.9: Atrito total (ηtot) da camada de átomos Xe deslizando em Ag comouma função da amplitude da corrugação u0 para as coberturas ζ = 0.85, 0.94 e 1.0(a) superfície (100); (b) superfície (111). ηele = 0.65ns−1 [36].
Capítulo 4
O modelo de Lennard Jones em uma
dimensão
Neste capítulo apresenta-se o trabalho desenvolvido por nos, nele utilizamos
o modelo de Lennard Jones unidimensional para estudar a influência dos fônons
no atrito a escala atômica. O fato de trabalhar com um modelo unidimensional,
permite concentrar nosso estudo na influência da cobertura e temperatura, inde-
pendente de fatores estruturais.
Além da aplicação direta à pesquisa de atrito, o modelo pode utilizar-se para
descrever um trem de partículas interagentes como, por exemplo, o movimento dos
átomos de potássio na estrutura de K1.54Mg0.77Ti7.23O16 [68] ou seja num condutor
iônico unidimensional [24].
4.1 O modelo
O modelo utilizado foi similar ao utilizado por Persson et al. e Liebsch et
al. só que em uma dimensão. A equação que descreve o movimento dos átomos é
a equação de Langevin unidimensional para um conjunto de N átomos sobre um
substrato fixo submetido a uma força externa F
31
4.2 Metodologia e resultados das simulações 32
mxi +mηelexi = −∂U(xi)∂xi
− ∂V (xi)
∂xi+ fi + Fad−hoc, (4.1)
onde m é a massa dos átomos, ηele é a constante de atrito que simula a contribuição
de origem eletrônica. U é o potencial que simula um substrato unidimensional
cristalograficamente perfeito (pode ser visto como uma linha de átomos de um
substrato (100)) e esta dado por
U(x) = u0 cos (2π/a x) , (4.2)
sendo a a periodicidade e u0 a amplitude. V é o potencial de Lennard Jones 6-12
dado pela equação
V (x) = ε
[(x0x
)12
− 2(x0x
)6], (4.3)
onde x0 é a distância ao mínimo do potencial. O termo fi representa a força
experimentado pelo átomo i−esimo por efeito das colisões dos átomos do substrato
(ver apêndice). Matematicamente está força estocástica esta dada pela expressão
〈fi(t)fj(0)〉 = 2ηelemkBTδijδ(t), (4.4)
onde os índices i e j referem-se ao i− esimo e j − esimo átomo adsorvidos e T é a
temperatura do substrato, com kB a constante de Boltzman.
4.2 Metodologia e resultados das simulações
O objetivo principal deste trabalho é estudar o comportamento do atrito fonô-
nico ao variar a comensuração do sistema. Para atingir este objetivo primário re-
alizamos múltiplas simulações onde a quantidade de átomos adsorvidos é mantida
fixa e muda-se a periodicidade do potencial que faz o papel de substrato.
4.2 Metodologia e resultados das simulações 33
4.2.1 Unidades reduzidas
Ao longo trabalho utilizamos unidades reduzidas, o que além de simplificar o
tratamento computacional nos permite estudar situações genéricas, já que ao ser
feitas simples mudanças de unidades (câmbio de escala) permitem a comparação
com um caso específico.
Como é comum fazer ao estudar sistemas descritos pelo potencial de LJ, a uni-
dade de energia utilizada foi a máxima profundidade do potencial de LJ ou seja ε,
a de comprimento foi a separação inter-partícula no mínimo do potencial x0 e, a
de massa foi a massa dos átomos de Xe. A partir de estes parâmetros é possível
definir um tempo característico do sistema, o tempo reduzido:
t0 = x0
√m
ε. (4.5)
que está relacionado com o período de uma oscilação típica da rede de LJ1.
O resto das grandezas que aparecem neste trabalho, como ηele, posições x, ener-
gias U e V , forças f e F , temperatura, etc., ficaram em termo de ε, x0 e m. A
modo de exemplo a temperatura em unidades reduzidas (T ∗) fica:
T ∗ =kBT
ε(4.6)
Para explicar o referente ao caráter genérico que da à pesquisa a utilização de
unidades reduzidas, tomemos o Xe como exemplo; substituindo todos os valores
numéricos que definem o Xe no potencial de Lennard-Jones (m = 2.16× 10−25kg,
ε = 19.83 eV e x0 = 4.54) obtemos que o tempo característico do sistema é t0 =
3.74ps o que nos permitirá comparar nossos resultados com resultados experimentais
de Xe sobre um substrato típico.1A freqüência mais alta de vibração de uma cadeia de LJ com iterações a primeiros vizinhos é
12/x0
√2εm .
4.2 Metodologia e resultados das simulações 34
4.2.2 O algoritmo de integração
A integração da equação de movimento foi realizada mediante a utilização
do algoritmo proposto por P. M. Allen [3, 4]. O algoritmo de Allen é um dos
tantos algoritmos existem utilizados em simulações de dinâmica Browniana. Em
dito algoritmo supõe-se que a força estocástica, dada pela equação 4.4, manter-se
invariável no intervalo, ∆t, de integração, que ao longo de nosso trabalho foi de
1 × 10−2 (vale mencionar que a escolha deste intervalo de tempo foi o resultado
de um compromisso entre o erro numérico do algoritmo e a rapidez de calculo
computacional). Desta maneira obtém-se que a posição da partícula i− esima, no
tempo t+∆t, esta dada pela equação
xi(t+∆t) = xi(t) + ca ∆t vi(t) + cb∆t
2 ai(t) + cc ai(t−∆t) +Bix (4.7)
e a velocidade da mesma partícula, no mesmo instante
vi(t+∆t) = cd vi(t) + ce ∆t ai(t+∆t) + cf ∆t ai(t) + cg ∆t ai(t−∆t) +Biv (4.8)
sendo que todos os coeficientes estão relacionados com γ = ηele∆t
ca = c1 cd = c0 c0 = exp (−γ)
cb = c2 + c3 ce = c2 − c0c3/c1 c1 = (1− c0) /γ
cc = −c2 cf = c1 − c2 + 2c0c3/c1 c2 = (1− c1) /γ
cg = −c0c3/c1 c3 =(12− c2
)/γ
(4.9)
Da aproximação de Chandrasekhar, Bx e Bv são números correlacionados obtidos
de uma distribuição gaussiana bivariante com variância σx, σv e um coeficiente de
correlação ρ dados por
4.2 Metodologia e resultados das simulações 35
σ2x = 2ηele (kBT/m)
∫ ∆t
0
η−2ele [1− exp {−ηele (∆t− t)}]2 dt (4.10)
σ2v = 2ηele (kBT/m)
∫ 2∆t
0
exp [−2ηele (∆t− t)] dt (4.11)
ρσxσv = 2ηele (kBT/m)
∫ ∆t
0
η−1ele [1− exp {−ηele (∆t− t)}] exp [−2ηele (∆t− t)] dt
(4.12)
4.2.3 Configuração inicial do sistema
Na pesquisa utilizamos condições periódicas de contorno e utilizo-se um raio de
3.5x0 o qual assegurava que cada partícula interagia com até seus terceiros vizinhos,
dado o caráter de longo alcance do potencial de LJ.
Como o trabalho foi feito a densidade constante, nossa cadeia não podia-se
contrair ou esticar. Antes do inicio da dinâmica o sistema era resfriado até T = 0K
e os átomos localizados de forma tal que a separação entre dois vizinhos assegurava
a minimização da energia de todo o sistema. Como cada átomo só interage com
seus três primeiros vizinhos, a energia total da cadeia de átomos esta dada por
Utot = 2Nε
{3∑
j=1
[(x0
pijxeq
)12
−(
x0pijxeq
)6]}
onde o dois faz explicita a simetria da interação, N é o número total de átomos na
cadeia, j refere-se ao conjunto de átomos {i+ 1, i+ 3}, pijxeq é a separação entre
o átomo i e o átomo j, em termos da separação de equilíbrio xeq. Minimizando a
energia através de
dUtot
dxeq= 0
se obtém r a separação xeq.
4.2 Metodologia e resultados das simulações 36
4.2.4 Dados das simulações
As variáveis do presente trabalho foram o número de partículas depositadas N ,
o número de partículas do substrato (ou mínimos do potencial do substrato) M , o
intervalo de integração ∆t, o coeficiente de atrito electrônico ηele, o tempo de equi-
líbrio TSF , o tempo a ser aplicada a força externa TCF , a força externa aplicada
Tabela 4.1: Valores numéricos comuns a todas a simulações, em unidades reduzidas.
Dado de entrada Valor numéricoN 2500∆t 1.0× 10−2
η 5.0× 10−3
TCF 3000TSF 3000NV EC 3
aos adsorvatos F , a temperatura do substrato T , o raio de interação do potencial
de LJ (NV EC +0.5) ∗x0; a amplitude do potencial do substrato uo, e a "semente"
inicial do gerador de números aleatórios. Muitos desses valores mantiveram-se cons-
tantes em todas as simulações feitas, eles são apresentados na tabela 4.1. Na tabela
Tabela 4.2: Valores numéricos utilizados nas simulações para os parâmetros variá-veis do modelo. Esses valores estão expressados em unidades reduzidas com exceçãode M .
parâmetro do modelo valores utilizadosζ 1.055, 0.950, 0.851, 0.751, 0.651,
0.551, 0.451, 0.351, 0.251u0 0.1, 0.2, 0.4, 0.8
F (10−3) 1.0, 1.2, 1.4, 1.6, 1.8, 2.0T (10−2) 1.0, 3.0, 5.0 7.0, 9.0
4.2 apresentam-se os valores numéricos utilizados dos parâmetros do modelo que
foram utilizados na pesquisa. A comensuração, ζ, é definida como a razão entre a
quantidade de partículas na camada adsorvida entre a quantidade de partículas no
substrato
ζ =N
M
4.2 Metodologia e resultados das simulações 37
Como foi mencionado na seção anterior, a separação media das partículas no
cadeia minimiza a energia do sistema. Em todas as simulações este valor foi de
b = 0.9972. Esse valor define o comprimento da cadeia Nb e o parâmetro de rede
do substrato a = NMb. Note-se que a
b= N
M= ζ.
Como a pesquisa foi feita num sistema unidimensional foi possível trabalhar com
um número de partículas maior do reportado em trabalhos de maiores dimensões.
Uma das vantagens disto reflete-se ao momento de ser gerados os números aleatórios
-4 -2 0 2 4 -4 -2 0 2 4
(a) (b)
Figura 4.1: Histogramas resultantes dos dados do algoritmo que gera os númerosaleatórios para (a) N = 288, (b) N = 2500.
para serem usados na dinâmica estocástica.Na figura 4.1 se pode ver o resultado do
gerador de números aleatórios no caso de (a) N = 288 e (b) N = 2500. Observe-se
a melhor definição que se tem no caso N = 2500, contudo ajustes feitos a ambos
histogramas (ao supor que são gaussianas) mostram pouca diferença entre eles.
4.2.5 Procedimento
Para todas as simulações o sistema foi equilibrado por um lapso de 300000
passos (teq = 3000), a fim de que os adsorvatos termalizem com o substrato. Logo
4.2 Metodologia e resultados das simulações 38
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000Tempo (t
0)
0
0,1
0,2
0,3
0,4v cm
[(ε
/m)1/
2 ]
Termalização do sistema
Tempo derelaxação
Captura das velocidades
Inicio da força
Figura 4.2: Velocidade do centro de massa dos átomos adsorvidos versus o tempo.Na figura pode ver-se a região inicial onde os adsorvatos termalizam com o substrato,o ponto onde a força externa é ligada, o tempo de relaxação até a entrada no regimeestacionário e onde inicia-se a captura a velocidade do centro de massas.
após deste processo, aplicou-se a força externa constante por um intervalo de tempo
similar. Os 100000 primeiros passos com a força ligada, ou seja do passo 300000
ao 400000, foram considerados como tempo de relaxação, este tempo é transitório
até a força de atrito equilibrar a força externa. No tempo restante captura-se os
dados da velocidade do centro de massa para calcular a constante de atrito viscoso.
Na figura 4.2 apresentamos a gráfica da velocidade do centro de massa (Vcm) como
função do tempo da simulação. Na mesma da para notar a necessidade de um
intervalo de aproximadamente 100000 passos (equivalentes a 1000 t0) até entrar no
regime estacionário.
O cálculo da temperatura do sistema antes e durante a aplicação da força foi
feito através do desvio quadrático médio das velocidades das partículas da cadeia
T =⟨v2⟩− 〈v〉2
Essa equação, válida para estados de equilíbrio termodinâmico, é estendida a esta-
4.2 Metodologia e resultados das simulações 39
-0,5 0 0,5
Vcm
-0,5 0 0,5 1
Vcm
(a) (b)
Figura 4.3: Distribuição da velocidade do centro de massa da cadeia: (a) antes e(b) depois de aplicar uma força de 2.0× 10−3.
dos estacionários com força externa aplicada. A fim de testar a validade dela nessa
condições, capturamos os dados da velocidade de todas as 2500 partículas da cadeia
antes de aplicar a força externa (t = 2999) e ao final da simulação (t = 6000). Na
figura 4.3 são mostrados os histogramas obtidos a partir dos dados das velocidade
antes (gráfico (a)) e depois (gráfico (b)) da aplicação da força para o caso de um
substrato com 4536 partículas. Na figura 4.3 (a) vemos que a distribuição de velo-
cidades está centrada em zero e tem uma largura de σ = 0.049, em quanto na figura
4.3 (b) a distribuição esta centrada em v = 0.39, com uma largura de σ = 0.054.
O importante é que antes como durante aplicação da força externa a distribuição
se mantinha gaussiana o que diz respeito à aplicabilidade da teoria de Maxwell-
Boltzman no calculo da temperatura. O deslocamento do centro da distribuição no
caso (b) é devido ao fato que os adsorvatos se deslocam em conjunto com a veloci-
dade do centro de massa depois de entrar na fase estacionaria com a força externa
aplicada. O aumento da largura da distribuição no caso (b), em comparação com a
do caso (a) onde no tinha-se aplicado a força, indica um aumento da temperatura
4.2 Metodologia e resultados das simulações 40
0 0,0005 0,001 0,0015 0,002
F
0
0,1
0,2
0,3
0,4v
u0 = 0.01
u0 = 0.02
u0 = 0.04
u0 = 0.08
Figura 4.4: Velocidade média do centro de massa 〈v〉 (em unidades de√
εm
) comofunção da força externa F (em unidades de ε/kB) para diferentes profundidades dosubstrato u0 (em unidades de ε), a temperatura de T = 0.05. e uma comensuraçãode ζ = 0.451.
do sistema por efeito do atrito.
4.2.6 Calculo do coeficiente médio de atrito
O objetivo primário de nossa pesquisa é o calculo do coeficiente de atrito no
estado de deslizamento do sistema, η. Esta grandeza, chamada também de coe-
ficiente de atrito viscoso, é a de maior interesse em todos os estudos do atrito a
escala atômica. Como foi assinalado na seção 3.2.3, existem diversos métodos para
o calculo dela. Aqui usaremos o método mais usado e que da o menor erro; ele
consiste em aplicar uma força externa F a cada uma dos adsorvatos provocando
que estas iniciem um movimento acelerado até que a força de atrito, produto da in-
teração com o substrato, equilibre a força externa. Nesse momento a velocidade do
centro de massa dos adsorvatos atinge um valor constante Vcm. Como pode ver-se
na figura 4.2, no intervalo de captura da velocidade do centro de massa (Vcm), os
dados apresentam fluctuações em torno de um valor médio Vcm; supõe-se que ditas
4.2 Metodologia e resultados das simulações 41
0 0,02 0,04 0,06 0,08u
0
0,005
0,006
0,007
0,008
η tot
Figura 4.5: Coeficiente de atrito médio como uma função da corrugação do subs-trato. A linha continua representa o ajuste quadrático utilizando a técnica demínimos quadrados na que toma-se em consideração os pesos dos pontos (todos ospontos tem barras de erros).
oscilações ficam distribuídas normalmente ao redor deste valor, assim se obtém a
variância da velocidade do centro de massas, ou seja temos que Vcm = 〈v〉 ± σv.
Com esse dado e supondo que o atrito viscoso é descrito pela equação de Stokes, é
possível obter o coeficiente de atrito como
η =F
Vcm(4.13)
Contudo é preciso garantir o comportamento linear entre F e Vcm para à aplicação
da equação 4.13.Para conseguir isto se realizam múltiplas simulações onde a única
variável a ser mudada é a força aplicada, se faz uma regressão linear e de ali se
obtém o η. Para realizar os ajustes a estas curvas foi utilizada a técnica de mínimos
quadrados ponderados levando em conta o desvio quadrático médio da variável
dependente. Como a variável dependente é a velocidade do centro de massa a
pendente das curvas é τ = 1/η. Além de τ , dos ajustes obtém-se o erro do τ , στ ,
assim mediante propagação do erro com τ obtemos η e ση.
4.3 Resultados e Discussão 42
Na figura 4.4 é possível observar os resultados de varias rodadas feitas para uma
comensuração de ζ = 0.551 e uma temperatura de T = 5.0 × 10−2. O primeiro a
observar é a baixa faixa de erro de cada ponto (tanto é que o ponto resulta maior
que o erro), isto possivelmente é produto da grande quantidade de partículas que
participam da simulação, mas conforme à configuração estudada2 esta barra de
erro pode aumentar. Note-se que o comportamento viscoso do atrito é verificado
em todos os casos, tanto melhor quanto menor é a corrugação, e dizer verifica-se
v = 1/η F . As linhas que aparecem nesses gráficos representam o resultado dos
ajustes feitos por mínimos quadrados. Desse ajustes se obtêm o valor de η para
uma dada temperatura T , uma comensuração camada-subatrato ζ e para um dado
valor de u0 (corrugação do potencial). Como isto é feito para vários valores de T ,
ζ,e u0 é possível ver depois o comportamento de η como função de qualquer de
essas variáveis. Por exemplo, na figura 4.5 vemos a gráfica de η versus u0; a curva
contínua resulto de um ajuste por mínimos ponderados com uma curva quadrática
da forma
ηtot = η0 + c u20
onde η0 é o valor do coeficiente de atrito eletrônico ad-hoc.
4.3 Resultados e Discussão
Na figura 4.6 é possível observar conjuntos de curvas de v versus F , para todos
os valores de u0 usados neste trabalho no caso de uma temperatura T = 0.09 e para
as comensurações de (a) ζ = 0.851 e (b) ζ = 0.451.
Observe-se que todas as curvas para o caso para o caso (b) apresentam uma
declividade bem diferenciadas entre as curvas, no entanto no caso (a) as curvas são
bastante similares entre si. Para os outros valores de comensuração ocorre algo2Uma configuração fica especificada pela escolha de M , T , ζ e u0.
4.3 Resultados e Discussão 43
0,001 0,0015 0,002
F (ε/x0)
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4v
[(ε/
m)1/
2 ]
0,001 0,0015 0,002
F (ε/x0)
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
v [(
ε/m
)1/2 ]
Figura 4.6: Conjunto de curvas de v versus F para T = 0.09 e comensurações de(a) ζ = 0.851, (b) ζ = 0.451. Os símbolos nos gráficos representam diversos valoresde u0, os círculos 0.01, os quadrados 0.02, os diamantes 0.04 e as pirâmides 0.08.
semelhante.
A dependência de η com u0 (η (u0)) corresponde a um desse dois comporta-
mentos assinalados na figura 4.6: ou a dependência de η com u0 é "forte"(ζ =
0.950, 0.551, 0.451) ou a dependência é “fraca” (ζ = 0.851, 0.751, 0.651). Este re-
sultado independe da temperatura, para a faxa de temperatura utilizadas no estudo.
É possível conferir isto nas figuras 4.7 e 4.8. Nelas apresent-se o comportamento
Tabela 4.3: Resultados obtidos dos ajustes das curvas da figura 4.7.
ζ u0 (ε) η (10−3)
0.950 0.01 5.95± 0.040.02 7.12± 0.080.04 10.5± 0.20.08 25± 2
0.551 0.01 5.18± 0.030.02 5.45± 0.030.04 5.31± 0.040.08 9.6± 0.2
4.3 Resultados e Discussão 44
0 0,001 0,002
F
0
0,1
0,2
0,3
v
0 0,001 0,002
F
0
0,1
0,2
0,3
v
(a) (b)(a) (b)
Figura 4.7: Conjunto de curvas de v versus F para T = 0.07 e comensurações de(a) ζ = 0.551, (b) ζ = 0.950. Os símbolos nas gráficas representam diversos valoresde u0, os círculos 0.01, os quadrados 0.02, os diamantes 0.04 e as pirâmides 0.08.
de v versus F para duas comensurações, ζ = 0.551 e ζ = 0.950, e para uma tem-
peratura T = 0.07, tanto para o caso em que η(u0) é “forte” (figura 4.7) como para
quando é “débil” (figura 4.8). Observe-se que os melhores ajustes foram obtido no
caso em que η (u0) é "forte"(ver figura 4.7). Nas tabelas 4.3 e 4.4 são apresentados
os resultados dos ajustes feitos às curvas das figuras 4.7 e 4.8, respectivamente.
Nelas nota-se as vantagens de separar em dois grupos os resultados. Os valores
de η para o caso em que η(u0) é “forte” (tab. 4.3 e fig. 4.7) são até duas ordens
de grandeza maiores que ηad−hoc (ηad−hoc = 0.005). Mas no caso em que eta(u0) é
“fraca”, os valores obtidos ficam muito próximos ao valor de ηad−hoc (tab. 4.4 e 4.8).
Utilizando ηtot = ηele+ηph, temos que no caso em que η(u0) é “forte”: ηph = 80%
de ηtot, para ζ = 0.950 e u0 = 0.08. Mas no caso em que η(u0) é “fraca” ηph = 5.48%
de ηtot para ambos os casos de ζ e de u0.
Nas figuras 4.9 até 4.13, apresentamos os gráficos de η como função de u0 para
diferentes valores de ζ, agrupados em fraco e "forte"de acordo com o comportamento
de η (u0), e para as temperaturas T = 0.01, 0.03, 0.05, 0.07 e 0.09, respectivamente.
4.3 Resultados e Discussão 45
0 0,001 0,002
F
0
0,1
0,2
0,3
0,4v
0 0,001 0,002
F
0
0,1
0,2
0,3
0,4
v
(a) (b)(a) (b)
Figura 4.8: Conjunto de curvas de v versus F para T = 0.07 e comensuração de (a)ζ = 0.851, (b) ζ = 0.751. Os símbolos nos gráficas representam diversos valores deu0, os círculos 0.01, os quadrados 0.02, os diamantes 0.04 e as pirâmides 0.08.
Em todas essas figuras o gráfico (a) correspondem ao caso em que η (u0) é "forte"e
o (b) ao caso em que η (u0) é "fraca". Note-se que todas as figuras a diferença de
escala entre as curvas correspondentes ao caso "forte"e fraco. Também fica claro
que, com exceção das curvas correspondentes a T = 0.01 (fig. 4.9), todas os gráficos
correspondentes ao caso em que η (u0) é "fraca"apresentam comportamentos quase
indistinguíveis entre as comensurações de ζ = 0.851, 0.751. Mas para o caso em
que η (u0) é "forte"isso só acontece na temperatura T = 0.01, quando as curvas
Tabela 4.4: Resultados obtidos dos ajustes das curvas da figura 4.8.
ζ u0 (ε) η (10−3)
0.851 0.01 5.06± 0.020.02 5.07± 0.030.04 5.12± 0.030.08 5.29± 0.03
0.751 0.01 5.05± 0.030.02 5.07± 0.030.04 5.11± 0.030.08 5.29± 0.03
4.3 Resultados e Discussão 46
0 0,04 0,08u
0
0,005
0,00625
0,0075
0,00875
0,01η to
t
ζ = 0.950ζ = 0.551ζ = 0.451
0 0,04 0,08u
0
0,00502
0,00504
0,00506
0,00508
0,0051
η tot
ζ = 0.851ζ = 0.751ζ = 0.651
(b)(a)
Figura 4.9: Comportamento do atrito total ηtot como uma função da corrugação u0para o caso de T = 0.01 tanto para o caso em que η (u0) é (a) "forte", como parao caso em que é (b) "fraca". As linhas representam os ajustes obtidos a partir deuma regressão quadrática.
correspondentes a ζ = 0.551 e 0.451 comportam-se de forma similar.
Outro comportamento comum a todas as curvas correspondentes ao primeiro
grupo é apresentar o ponto correspondente a uma comensuração de ζ = 0.551 e uma
amplitude da corrugação de u0 = 0.08, fora do ajuste feito. Este comportamento
pode ser explicado ao ver-se a figura 4.14 na qual se isola o comportamento do
atrito total como função da amplitude da corrugação u0 (estendendo o intervalo de
u0 até 0.16) para todas as temperaturas e para uma comensuração de ζ = 0.551.
Obsrvamos que acima de u0 = 0.04, o comportamento das curvas mudou, ou seja,
Tabela 4.5: Resultados do ajuste feito às curvas da figura 4.9.
η (u0) ζ η0 (10−3) c (10−2)
"forte" 0.950 5.267± 0.003 62.7± 0.50.551 5.023± 0.004 10.4± 0.30.451 5.000± 0.003 11.9± 0.3
"fraca" 0.851 5.019± 0.003 0.27± 0.090.751 5.019± 0.003 0.2± 0.10.651 5.019± 0.003 1.0± 0.1
4.3 Resultados e Discussão 47
0 0,02 0,04 0,06 0,08u
0
0,006
0,008
0,01
0,012
0,014
0,016η to
t
ζ = 0.950ζ = 0.551ζ = 0.451
0 0,02 0,04 0,06 0,08u
0
0,005
0,0051
0,0052
0,0053
0,0054
η tot
ζ = 0.851ζ = 0.751ζ = 0.651
(b)(a) (b)(a) (b)(a) (b)(a)
Figura 4.10: Comportamento do atrito total ηtot como uma função da corrugaçãou0 para o caso de T = 0.03 tanto para o caso em que η (u0) é (a) "forte", como parao caso em que é (b) "fraca". As linhas representam os ajustes obtidos a partir deuma regressão quadrática.
sua curvatura deixa de ser quadrática.
Nas tabelas 4.5 até 4.9 são resumidas os valores resultantes dos ajustes quadrá-
ticos das curvas das figuras 4.9 até 4.13, respectivamente. Mais uma vez é possível
conferir o fato da constante c ser de maior magnitude no caso em que η (u0) é
"forte"em relação ao caso em que é fraco. Porém, são os dados correspondentes ao
caso fraco que confirmam a suposição ηele = η0.
Se as comensurações agrupadas no caso "forte"e fraco são comparadas com os
dados mostrados na tabela 4.2, é possível notar que três das comensurações utili-
Tabela 4.6: Resultados do ajuste feito às curvas da figura 4.10.
η (u0) ζ η0 (10−3) c (10−2)
"forte" 0.950 5.33± 0.01 128± 20.551 5.11± 0.01 72± 20.451 5.019± 0.009 30.7± 0.6
"fraca" 0.851 5.031± 0.008 0.8± 0.20.751 5.031± 0.008 0.9± 0.30.651 5.027± 0.008 4.7± 0.3
4.3 Resultados e Discussão 48
0 0,04 0,08u
0
0,006
0,009
0,012
0,015
0,018
0,021η to
t
ζ = 0.950ζ = 0.551ζ = 0.451
0 0,02 0,04 0,06 0,08u
0
0,005
0,0052
0,0054
0,0056
η tot
ζ = 0.851ζ = 0.751ζ = 0.651
(b)(a) (b)(a) (b)(a) (b)(a)
Figura 4.11: Comportamento do atrito total ηtot como uma função da corrugaçãou0 para T = 0.05 tanto para o caso em que η (u0) é (a) "forte", como para o casoem que é (b)"fraca". As linhas representam os ajustes obtidos a partir de umaregressão quadrática.
zadas não são agrupadas como “forte” ou “fraca”. Estes valores de comensuração,
ζ = 1.055, 0.351, 0.251, apresentaram comportamentos anômalos em relação aos
dados dos dois casos relatados.
Na figura 4.15, é possível observar este comportamento anômalo no caso de
ζ = 1.055 para todas as temperaturas utilizadas ao longo do estudo. O mais
surpreendente desse comportamento anômalo é a aparente saturação do atrito como
função de u0.
Na figura 4.16, pode-se ver a dependência funcional do parâmetro de acopla-
Tabela 4.7: Resultados do ajuste feito às curvas da figura 4.11.
η (u0) ζ η0 (10−3t−1
0 ) c (10−2t−10 /ε2)
"forte" 0.950 5.52± 0.03 217± 0.50.551 5.21± 0.02 10.4± 0.30.451 5.07± 0.02 11.9± 0.3
fraco 0.851 5.04± 0.01 0.27± 0.090.751 5.04± 0.01 0.2± 0.10.651 5.04± 0.02 1.0± 0.1
4.3 Resultados e Discussão 49
0 0,02 0,04 0,06 0,08u
0
0,005
0,01
0,015
0,02
0,025
η tot
ζ = 0.950ζ = 0.551ζ = 0.451
0 0,02 0,04 0,06 0,08u
0
0,005
0,0052
0,0054
0,0056
0,0058
0,006
η tot
ζ = 0.851ζ = 0.751ζ = 0.651
(b)(a) (b)(a) (b)(a) (b)(a)
Figura 4.12: Comportamento do atrito total ηtot como uma função da corrugaçãou0 para o caso de T = 0.07 tanto para o caso em que η (u0) é (a) "forte", como parao caso em que é (b)"fraca". As linhas representam os ajustes obtidos a partir deuma regressão quadrática.
mento c, com a comensuração do sistema, para o caso de diversas energias iniciais.
Observe-se que uma maior energia inicial no sistema implica em uma maior contri-
buição ao atrito fonônico. Contudo, independente do fato de quanta energia inicial
é aplicada ao sistema, todas as curvas apresentam um mínimo no caso de ζ ∼ 0.8.
Ainda que na figura 4.16 possa-se ter uma idéia da dependência do parâmetro c
com a temperatura na figura 4.17 se resumem ditos resultados. Ali apresentam-se
dois gráficos para o caso em que η (u0) é (a) "forte"e (b) "fraca".
Em termos gerais, pode afirmar-se que a dependência do parâmetro c com a
Tabela 4.8: Resultados do ajuste feito às curvas da figura 4.11.
η (u0) ζ η0 (10−3t−1
0 ) c (10−2t−10 /ε2)
"forte" 0.950 5.67± 0.04 320± 100.551 5.27± 0.03 202± 70.451 5.14± 0.02 72± 2
fraco 0.851 5.05± 0.03 3.6± 0.50.751 5.05± 0.03 3.8± 0.50.651 5.04± 0.02 13.2± 0.8
4.3 Resultados e Discussão 50
0 0,02 0,04 0,06 0,08u
0
0,005
0,01
0,015
0,02
0,025
0,03
0,035η to
t
ζ = 0.950ζ = 0.551ζ = 0.451
0 0,02 0,04 0,06 0,08u
0
0,005
0,0055
0,006
η tot
ζ = 0.851ζ = 0.751ζ = 0.651
(b)(a) (b)(a) (b)(a) (b)(a)
Figura 4.13: Comportamento do atrito total ηtot como função da corrugação u0para o caso de T = 0.09 tanto para o caso em que η (u0) é (a) "forte", como parao caso em que é (b)"fraca". As linhas representam os ajustes obtidos a partir deuma regressão quadrática.
temperatura é linear com exceção das comensurações ζ = 0.751, 0.651 em que
aparentemente a relação funcional é do tipo potencial (c ∼ T n).
Todos os cálculos até aqui apresentados foram para um número de adsorvatos
fixo (N) e a ênfase do trabalho foi colocada na dependência do coeficiente de atrito
η com a comensuração do sistema adsorvido-substrato (ζ), caracterizada através
da relação quadrática (ηpho = c u20) entre η e u0. O ζ foi controlado variando-se o
número de partículas no potencial (M). O número de adsorvatos N determina, por
sua vez e como foi visto na subseção 4.2.4, a distância entre átomos depositados.,
Tabela 4.9: Resultados do ajuste feito às curvas da figura 4.13.
η (u0) ζ η0 (10−3) c (10−2)
"forte" 0.950 5.9± 0.6 440± 200.551 5.34± 0.04 270± 100.451 5.2± 0.3 94± 4
fraco 0.851 5.08± 0.02 6.1± 0.70.751 5.06± 0.02 5.6± 0.80.651 5.05± 0.02 18± 1
4.3 Resultados e Discussão 51
0 0,05 0,1 0,15u
0
0,005
0,01
0,015
0,02
0,025
0,03η
tot
T = 0.01T = 0.03T = 0.05T = 0.07T = 0.09
Figura 4.14: Comportamento do atrito total, ηtot, como una função da amplitudede corrugação, u0, no caso de ζ = 0.551, para tidas as temperaturas.
ou seja, a densidade da camada de adsorvatos, o que diz que todo nossos cálculos
foram feitos para uma única densidade desta camada. É válido perguntar como
c varia (resumindo o comportamento de η) com relação à densidade. Sem tentar
estudar estensivamente a relação de η com a densidade. Apenas como um exemplo,
mostramos na figura 4.18 a relação de η para duas densidades diferentes: a densi-
dade usada em todo os cálculos de nosso trabalho, ρ = 1.0028 que corresponde à
densidade de equilíbrio a T = 0, e uma densidade levemente maior (ρ = 1.0228).
As curvas mostram que, ao aumentar a densidade (pressão na cadeia), aumenta o
coeficiente c e dessa forma vemos a grande sensibilidade de η com mudanças de
densidade (ou pressão).3
3No caso de N = 2500 a separação interpartícula foi de 0.9972 e para N = 2550 de 0.9777,assim ambas quantidades de átomos ficaram confinadas a um espaço de 2493.09.
4.3 Resultados e Discussão 52
0 0,02 0,04 0,06 0,08u
0
0
0,1
0,2
0,3
0,4
η tot
T = 0.01T = 0.03T = 0.05T = 0.07T = 0.09
Figura 4.15: Conjunto de curvas de u0 versus η para todas as temperaturas usadasno trabalho.
0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1ζ
0,001
0,01
0,1
1
c
T = 0.01T = 0.03T = 0.05T = 0.07T = 0.09
Figura 4.16: Comportamento da constante de acoplamento como função da comen-suração a diferentes temperaturas.
4.3 Resultados e Discussão 53
0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1T (ε/k
B)
0
1
2
3
4
5c
θ = 0.950θ = 0.551θ = 0.451
0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1T (ε/k
B)
0
0,05
0,1
0,15
0,2
c
θ = 0.851θ = 0.751θ = 0.651
(a) (b)
Figura 4.17: Dependência do parâmetro c com a temperatura.
0 0,02 0,04 0,06 0,08u
0 (ε)
0,006
0,008
0,01
0,012
η (t
0)
M = 4536, N = 2550M = 4447, N = 2500
Figura 4.18: Comportamento de η versus u0 para duas densidades diferentes: oscírculos a densidade usada em nosso trabalho e os triângulos uma densidade 2%maior.
Conclusão
Ao longo de todo este trabalho, foi apresentada uma série de resultados experi-
mentais e teóricos que pretendiam encontrar a origem do atrito. Nesta linha, nosso
trabalho é uma continuação de dois trabalhos teóricos prévios feitos pelos grupos
de Cieplak et al. [19] e Liebsch et al. [36].
Cieplak et al. apresentaram resultados analíticos que apontavam uma possível
relação entre o atrito de origem eletrônica e o de origem fonônica com o atrito
total experimentado por um sistema de átomos que deslizam sobre uma superfície
corrugada: ηtot = ηele + c u20. Mas este resultado não diz nada sobre qual destas
contribuições é a de maior importância.
Liebsch et al. tentam contornar as limitações que impõem os trabalhos analíticos
nesta área, e aplicam a técnica da dinâmica molecular estocástica no estudo de um
sistema de átomos de Xe sobre um substrato de Ag[(100), (111)]. Seus resultados
são iguais aos de Cieplak, pois obtém a mesma relação, mas deparam-se com uma
dependência da constante de acoplamento c com a orientação da estrutura formada
pelos átomos Xe.
Para obter resultados mais universais, ou seja, que independam das caracterís-
ticas individuais do sistema, estudamos uma cadeia de átomos. Nossos resultados
mostraram, em termos gerais, uma estreita semelhança com a relação obtida por
Cieplak et al. Isto mostra que a referida relação é independente da dimensão do sis-
tema, já que os resultados de Liebsch foram para um sistema bidimensional. Como
neste estudo, enfatizou-se a influência sobre o atrito total da comensuração e da
temperatura do sistema, pode-se isolar especificamente o papel individual de cada
54
4.3 Resultados e Discussão 55
um destes parâmetros sobre a constante de acoplamento que, de uma forma ou ou-
tra, mede a contribuição do atrito fonônico ao atrito total que é experimentado pelo
sistema. O primeiro a ser observado é a existência de um mínimo local no gráfico
de c versus ζ cerca de ζ ∼ 0.8 (fig. 4.16). Este resultado não é novo. Braun et al.
[11] estudam a mobilidade em um sistema quase-unidimensional onde obtêm algo
semelhante. Na figura 4.19, pode-se ver os resultados das suas simulações; ao com-
Figura 4.19: A mobilidade B de um modelo de FK quase-unidimensional comgrau de liberdade transversal como uma função da cobertura para um conjuntode temperaturas T = 0.0025 eV [curva (1)], T = 0.005 eV [curva (2)], T = 0.020 eV[curva (3)] e T = 0.05 eV [curva (4)] [11].
parar esta figura com a curva que resume nossos resultados (fig. 4.16), poderemos
notar a estreita semelhança entre ambas.
O comportamento da constante c com relação à temperatura, fora da região
do mínimo na curva c versus ζ, aumenta linearmente com a temperatura, mas os
valores próximo do mínimo apresentam comportamentos de tipo potencial. Uma
possível explicação para este fato é algum tipo de interação entre os fônons é os
kinks térmicos.
Em quase todos os trabalhos relacionados a este tema tem-se tratado a comen-
4.3 Resultados e Discussão 56
suração como um parâmetro de referência, mas a curva da figura 4.18 mostra o
contrário. Um mesmo valor de comensuração pode apresentar comportamentos
dissemelhantes em relação ao atrito fonônico. Ao comprimir-se a cadeia de átomos
aumentou o atrito fonônico, ainda que a relação de comensuração mantinha-se cons-
tante, o que assinala a maior importância da interação inter-vizinhos do que com o
substrato. O substrato só dá a fonte de excitação externa aos modos vibracionais
do sistema, mas a quantidade de modos possíveis de serem excitados é determinada
pela interação inter-vizinhos.
Ainda que não tenha sido relatado nos resultados, observamos que, se a velo-
cidade de deslizamento dos adsorvatos aumentasse, acima de um valor não deter-
minado, o atrito fonônico desaparece abruptamente. Associamos isto a existência
algum tempo característico necessário para que o substrato consiga excitar os mo-
dos vibracionais da cadeia. Se a velocidade é rápida demais a cadeia não “enxerga”
o substrato.
Em súmula a pesquisa demonstrou que não se pode ter certeza sobre a origem do
atrito. Isto é conseqüência da sensível dependência do componente fonônico a fato-
res tais como a comensuração, temperatura é a velocidade de deslizamento. Agora,
como em sistemas físicos reais a velocidade de deslizamento é baixa e a tempera-
tura, em geral, é alta podemos dizer que o atrito macroscópico seja principalmente
de origem fonônica (exceto alguns casos onde a cobertura seja de ζ ∼ 0.8).
A relação encontrada com os resultados das pesquisas de Braum et al. clara-
mente indica que necessita-se de uma maior quantidade de trabalhos que esquadri-
nhem as relações entre estes dois modelos que, na realidade, não só mudam no tipo
de interação inter-partícula como também no alcance da interação (três vizinhos a
cada lado, em nosso caso). Também é necessário estudar os efeitos da topografia do
substrato. Até agora, só se estudou substratos absolutamente simétricos e sabemos
que, na realidade, as superfícies reais não são regulares e, assim, seria preciso reali-
zar trabalhos em que o objetivo da pesquisa fosse o efeito da forma do potencial no
4.3 Resultados e Discussão 57
atrito fonônico. Um possível ponto de partida poderia ser a utilização do potencial
variável usado por Peyrard e Remoissenet na sua pesquisa [48]. Em relação a esta
proposta, podemos adiantar que foram feitas algumas simulações isoladas para ter-
se uma idéia deste efeito, e pôde-se observar a sensível dependência da constante c
com este fator.
Apêndice A
Dinâmica Molecular Estocástica
A dinâmica molecular estocástica (DME) é uma extensão da dinâmica mole-
cular convencional (DM) que incorpora termos aleatórios (estocásticos), os quais
simulam graus de liberdade que podem ser considerados supérfluos para o sistema
que se quer estudar.
A idéia geral da DM não varia ao serem introduzidos termos estocásticos, mas
há duas diferencias radicais entre ambos tipos de dinâmica. A DM é estritamente
determinista e, dependendo do algoritmo de integração utilizado, pode-se ter dinâ-
micas independentes da flecha temporal (reversíveis no tempo ao fazer t → −t).
Enquanto a DME não é determinista, pois depende da eleição de números randô-
micos, além de perder toda a possibilidade de ser invariante frente uma inversão
temporal.
Dinâmica Molecular Clássica
Sabe-se, da mecânica clássica, que para descrever um conjunto de corpos em
interação mútua é preciso resolver tantos sistemas de equações simultâneas quanto
sejam os corpos. Ainda que a Física Estatística tenha métodos teóricos para tratar
daqueles sistemas, o preço a pagar pela informação global é a perda de informação
local. No entanto só são tratáveis sistemas simples como os gases ideais e sólido
58
A Dinâmica Molecular Estocástica 59
harmônicos.
A dinâmica molecular permite o estudo de agrupamentos de corpos, tais como:
estrelas, planetas, moléculas ou átomos. Sistemas que se caracterizam por serem
descritos através das leis da mecânica clássica não relativista. A vantagem da
técnica radica na possibilidade que se tem de registrar o estado dinâmico de todas
as partículas que participam do estudo. Contudo tem limitações de ordem prático:
trabalha-se com poucos corpos (100 − 106).
A variável que define qual sistema se estuda é o potencial inter-partícula. É claro
que se se utiliza o potencial gravitacional estaremos tratando um grupo de macro-
corpos, planetas ou estrelas, mesmo galáxias inteiras. Agora, se é o potencial de
Lennard-Jones ou o de Morse, para citar os mais conhecidos, estaremos trabalhando
com sistemas microscópicos.
De acordo com Newton, se sobre uma partícula de massa m atua una força
F , é possível obter a posição r como una função do tempo t, isto é r = r(t). Se
consideramos que r(t) é analítica1 em todos os pontos no interior de um círculo C
centrado em t0, então em qualquer região dentro C se pode fazer
r(t) =∞∑n=0
1
n!r(n)(t0)(t− t0)
n (A.1)
com toda certeza da convergência desta série [16], sendo r(n) a n−esima derivada de
r(t) com respeito a t. Baseados neste teorema, diversos pesquisadores tem desenvol-
vidos algoritmos com os quais integram-se as equações de Newton numericamente.
Um exemplo simples disto é o conhecido algoritmo de Euler
r(tn+1) = r(tn) + v(tn) ∆t+ a(tn) ∆t2 +O(∆t4),
onde ∆t = tn+1− tn. Como a expansão da série de Taylor foi feita ate o III ordem,
este algoritmo é um algoritmo de III ordem.1Uma função f(z) é analítica (regular ou holomorfa) no ponto z0, se possui derivada em z0 e
em todos os pontos de uma vizinhança de z0 (pequena, mas finita).
A Dinâmica Molecular Estocástica 60
Integrar as equações de movimento de um sistema dado com algoritmos menores
ao III ordem, em geral, implicam em resultados indesejáveis do calculo de muita
das propriedades físicas do sistema. Afim de minimizar este efeito tem-se desen-
volvidos algoritmos superior ao IV ordem levando em consideração a necessidade
da minimização do tempo de computo. O exemplo clássico deste algoritmo é o
algoritmo desenvolvido por L. Verlet (nome dado ao algoritmo)
r(t+∆t) = 2r(t)− r(t−∆t) + ∆t2a(t) +O(4)
a velocidade esta dada por
v(t) =r(t+∆t)− r(t−∆t)
2∆t
Com todas e as vantagens da utilização destes tipo de algoritmos, tem-se que
ter cautela na escolha do ∆t , já que ele tem que ser significativamente menor do
que um tempo que caracterize adequadamente a dinâmica do sistema em estudo, por
exemplo, o período da freqüência máxima das vibrações coletivas [26].
Os limites do sistema representam um problema no momento de realizar uma
simulação, as partículas que estão em esta região experimentam forças diferentes
de aquelas que estão dentro do sistema (no interior do sistema). Tem-se mostrado
que a utilização de condições periódicas de contorno podem minimizar estes efeitos
[2]. Na figura A.1 ilustra-se a maneira como é aplicada esta técnica, no caso de um
sistema bidimensional, a caixa central é replicada em todo o espaço a fim de formar
uma rede infinita. Cada uma das partículas da caixa central é replicada em as outras
caixas, de forma que até seus movimentos são iguais. Assim quando uma partícula
escapa da caixa central uma das replicas, no extremo oposto, imediatamente entra,
mantendo constante o número de partículas na caixa central. Mas a função principal
das replicas é serem utilizadas no calculo em se, isto pode ser notado na figura A.1,
três dos vizinhos de uma das partículas da caixa central estão localizados em duas
das caixas réplica (que na figura foram ligadas marcamos com linhas tracejada).
A Dinâmica Molecular Estocástica 61
Figura A.1: Condições periódicas de contorno usadas em DM.
Como assinala S. Gonçalves [26]: A pergunta fundamental é, quando as pro-
priedades de um sistema periódico podem tomar-se como representantes do sistema
macroscópico, ele mesmo assinala: Não existe uma resposta geral a dita pergunta,
depende da forma do potencial e das propriedades que estudam-se. Em sistemas pe-
quenos não é possível estudar fluctuações espaciais de longitudes de onda maiores
que a longitude da caixa central. Além disto, as condições periódicas tem influenza
direta sobre as correlações temporais.
Desde a primeira simulação feita por Rahman, de um sistema de argônio líquido,
até nossos dias a DM tem sido uma das ferramentas mais utilizadas tanto pelos fí-
sicos teóricos como pelos físicos experimentais. A confiavilidade depositada sobre
ela é tanta que hoje discute-se em que âmbito tem que ser localizadas, é uma parte
da física teórica o que? Esta polêmica pode agravasse com o aumento da tecnolo-
gia já que una das grandes limitações atuais é a capacidade de armazenamento e
processamento dos computadores atuais.
A.1 Dinâmica Molecular Estocástica 62
A.1 Dinâmica Molecular Estocástica
Como já foi dito a dinâmica molecular estocástica (DME) utiliza os mesmos
métodos da DM além de ser uma extensão desta. Nessa seção apresenta-se um
resumem da dedução das equações utilizadas para integrar a equação de Langevin.
Quando um sistema de partículas é simulado alguns graus de liberdade são tra-
tado explicitamente, mas outros são só representados por suas influencia estocástica
sobre os primeiros. Se a força estocástica não tem correlação no espaço o tempo
obtém-se a forma mas simples da dinâmica estocástica a qual é conhecida como
dinâmica Browniana. Assim a força que atua sobre uma partícula pode ser divida
em duas partes: a parte sistemática, aquelas que são produto das interações mú-
tuas das partículas, e a estocástica, onde incluem-se as interações não sistemáticas
como é a ação do médio sobre cada uma das partículas. Isto resume-se na equação
ordinária de Langevin
mvi(t) = −mηvi(t) + F ({x}) +Ri(t) (A.2)
onde a força sistemática F ({x}) se obtém do potencial de interação inter-partícula.
A força estocástica supõe-se estacionaria, Markoviana, Gaussiana com media nulo
e sem correlação com as velocidades previas e a força sistemática, isto é
〈Ri(t)Rj(t0)〉 = 2ηmkBTrefδijδ(t− t0),
W (Ri) = (2π 〈R2i 〉)
1/2exp
(− R2
i
2〈R2i 〉
),
W (Ri) = (2π 〈R2i 〉)
1/2exp
(− R2
i
2〈R2i 〉
),
〈Fi (t0)Rj (t)〉 = 0, t ≥ 0.
(A.3)
Onde 〈· · · 〉 denota a media sobre o emsemble em equilíbrio, kB é a constante de
Boltzmann, Tref é a temperatura de referencia e W (Ri) é a distribuição de proba-
bilidade (gaussiana) da força estocástica.
Resolvendo a equação A.2 obtém-se a equação integral para as velocidades
A.1 Dinâmica Molecular Estocástica 63
v(t) = v(t0) exp [−η (t− t0)]+1
m
∫ t
t0
exp [−η (t− t′)] [Fi({x(t′)}) +Ri(t′)] dt (A.4)
integrando a equação das velocidade obtém-se a equação para as posições das par-
tículas
r(t) = r(t0)+1
ηv(t0) exp [−η (t− t0)]+
1
mη
∫ t
t0
exp[−η
(t− t′
)][Fi({x(t′)}) +Ri(t
′)] dt
(A.5)
para resolver a integral que inclui a força sistemática na expressão A.5 fazemos a
expansão
F (t) = F (t0) + F (t0) (t− t0) +O[(t− t0)
2] (A.6)
Usando estes resultados, obtém-se que a solução das expressões A.4 e A.5 estão
dadas por
v(tn+a) = v(tn) exp (−η∆t)− 1η{F (tn) [1− exp (−η∆t)]
−F (tn)[∆t− 1
ηexp (−η∆t)
]}+Bv
(A.7)
r(tn+1) = r(tn) +1ηv(tn) exp (−η∆t)− 1
mη2{F (tn) [η∆t− [1− exp (−η∆t)]]
− 12ηF (tn) [η
2∆t2 − 2η∆t+ 2− 2 exp (−η∆t)]}+Bv
(A.8)
onde se fez t0 → tn, t→ tn+1 e ∆t = tn−1 − tn. Usando
F (tn) ≈F (tn)− F (tn)
∆t
e reagrupando termo, a expressão A.8 reescreve-se
A.1 Dinâmica Molecular Estocástica 64
r(tn+1) = r(tn) + c1v(tn) + (c2 + c3)a(tn)− c3a(tn−1) +Br(tn) (A.9)
onde
c0 = exp (−η∆t) ,
c1 = (η∆t)−1 (1− c0) ,
c2 = (η∆t)−1 (1− c1) ,
c3 = (η∆t)−1 (12− c2
).
(A.10)
Esta expressão é igual a obtida por Allen em [3, 4], para o caso da velocidade ele
obtém
v(tn+1) = c0v(tn) + (c2 − c0c3/c1) a (tn+1) + (c1 − c2 + c0c3/c1) a (tn)−
(c0c3/c1) a (tn−1)
(A.11)
A resolução das integrais estocásticas, Br e Bv, foi feita utilizando os lemas de
Chandrasekhar [18]. O primeiro dos lemas assinala que as soluções de integrais da
forma
I =
∫ t
0
ψ (ξ)A (ξ) dξ,
sendo A (ξ) um termo estocástico que verifica as propriedades dados no conjunto de
equações A.3, podem ser obtidas de gaussianas de largura∫ t
0ψ2(ξ)dξ. Como existe
uma relação entre Br é Bv, seus valores são obtidos de uma gaussiana bivariante,
segundo lema de Chandrasekhar, a qual tem larguras dadas por
σr =
√kBTrefmη2
[2η∆t− 3 + 4 exp (−η∆t)− exp (−2η∆t)] (A.12)
A.1 Dinâmica Molecular Estocástica 65
σv =
√kBTrefm
[1− exp (−2η∆t)] (A.13)
e com coeficiente de correlação
ρσrσv =kBTrefmη
[1− 2 exp (−η∆t)− exp (−2η∆t)]
Para finalizar queremos ressaltar que este não é o único jeito de manipular os
graus de libertade supérfluos, esta formulação é uma derivação da proposta inicial
feita por Emark [3, 64] más antes dele esses graus eram tratados diretamente como
foi proposto por Adelman e Doll [1].
Referências Bibliográficas
[1] ADELMAN, S. A.; DOLL, J. D. Generalized Langervin equation approach for
atom/solid - surface scattering: General formulation for classical scattering
of harmonic solids. J. Chem. Phys., New York, v. 64, n. 6, p. 2375-2388, Mar.
1976.
[2] ALLEN P. N., TILDESLEY D. J., Computer Simulation of liquids. New York:
Oxfort University Press, 1990.
[3] ALLEN P. M., Algorithms for Brownian dynamics. Mol. Phys., Taylor &
Francis Ltd: London, v. 47, n. 3, p. 599-601, Oct. 1982.
[4] ALLEN P. M., Brownian dynamics simulation of chemical reaction in solution.
Mol. Phys.,Taylor & Francis Ltd: London, v. 40, n. 5, p. 1073-1087, Aug. 1980.
[5] BHUSHAN, B.; ISRAELACHVILI, J. N.; LANDMAN U. Nanotribology:
friction, wear and lubrication at the atomic scale. Nature, London, v. 374,
n. 6523, p. 607-616, Apr. 1995.
[6] BINNIG, G.; QUATE, C. F. Atomic force microscope. Phys. Rev. Lett., Wo-
odbury, v. 56, n. 9, p. 930-933, Mar. 1986.
[7] BRAUN, O. M.; THIERRY, D.; PEYRARD, M. Mobility and difusivity in a
generalized Frenkel-Kontorova model. Phys. Rev. B, Woodbury, v. 54, n. 1,
p. 321-331, July 1996.
66
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 67
[8] BRAUN, O. M.; KIVSHAR, Y. S. Concentration dependence of the conduc-
tivity and diffusivity in one-dimensional anharmonic lattices. Phys. Rev. B,
Woodbury, v. 50, n. 18, p. 13388-13400, Nov. 1994.
[9] BRAUN, O. M.; THIERRY, D.; PALIY, M. V.; PEYRARD, M. Dynamical
transition in correlated driven difusion in a periodic potential. Phys. Rev.
Lett., Woodbury, v. 78, n. 7, p. 1295-1298, Feb. 1997.
[10] BRAUN, O. M.; BISHOP, A. R.; RÖDER, J. Hysteresis in the underdamped
driven Frenkel-Kontorova model. Phys. Rev. Lett., Woodbury, v. 79, n. 19, p.
3692-3695, Nov. 1997.
[11] BRAUN, O. M.; THIERRY, D.; PALIY, M. V.; PEYRARD, M. Mobility
and diffusivity in a generalized Frenkel-Kontorova model. Phys. Rev. B, Wo-
odbury, v. 54, n. 1, p. 321-331, July 1996.
[12] BRAUN, O. M.; THIERRY, D.; PALIY, M. V.; PEYRARD, M. Nonlinear
mobility of the generalized Frenkel-Kontorova model. Phys. Rev. E., Wood-
bury, v. 55, n. 3, p. 3598-3612, Mar. 1997.
[13] BOWDEN, F. P. A discussion on friction: The mecanism of friction. Proc.
Roy. Soc. A, London, v. 212, n. 111, p. 439 - 449, May 1952.
[14] BOWDEN, F. P. Firiction. Nature, London, v. 166, n. 4217, p. 330-334, Aug.
1950.
[15] BOWDEN, F. P. and TABOR D. Friction, lubrification and wear: a survey
of work during the last decade. Brit. J. Appl. Phys, Bristol, v. 17, n. 12, p.
1521 - 1544, Dec. 1966.
[16] BYRON, JR F.; FULLER, R. Mathematics of classical and quantum physics.
Canada: Dover. 1992.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 68
[17] CARLSON, J. M.; BATISTA, A. A., Constitutive relation for the friction
between lubrificated surface. Phys. Rev. B, Woodbury, v. 53, n. 4, p. 4153 -
4165, Apr. 1996.
[18] CHANDRASEKHAR, S. Stochastic Problems in Physics and Astronomy. Re-
views of Modern Physics, Pennsylvania, v. 15, n. 1 p. 20 - 27, Jan. 1943.
[19] CIEPLAK, M.; SMITH, E. D.; ROBBINS, M. O., Molecular origins of friction:
The force on adsorbed layers. Science, New York, v. 265, n. 5176, p. 1209-1212,
Aug. 1994.
[20] COWLEY R. A., Anharmonic crystals. Rep. Prog. Phys., London, vol 31, p.
124-125, 1968.
[21] DALY, C.; KRIM, J. Sliding friction of solid Xenon monolayers and bilayers
on Ag(111). Phys. Rev. Lett., Woodbury, v. 76, n. 5, p.803-806, Jan.1996.
[22] DEKOV G. V., Friction on the nanoescale: new physical mechanims. Mat.
Lett., Tokyo: Elsevier, v. 38, n. 5, p. 360-366, 1999.
[23] FRENKEL, D.; SMIT, B. Understanding molecular simulation: from algo-
rithms to applications. San Diego: Academic Press. 1996.
[24] FULDE, P.; PIETRONERO, L.; SCHNEIDER, W. R.; STRASSLER, S. Pro-
blem of BBrownian motion in periodic potential. Phys. Lett., Woodbury, v.
35, n. 26, p. 1776-1778, Dec. 1975.
[25] GRENATO E. Ying S. C., Dynamical transition and sliding friction in two-
dimensional Frenkel-Kontorva. Phys. Rev. B, Woodbury, v. 59, n. 7, p. 5154-
5161, Mar. 1999.
[26] GONÇALVES, S. Calculos de dinámica molecual em cristales raros com im-
purezas sustitucionales. 1991. 168 f. Tesis (Doctorado en Ciencias Físicas) -
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 69
Facultad de Ciencias Exactas, Universidad de Buenos Aires, Buenos Aires,
1991.
[27] GUNSTEREN, W. F. ; BERENDSEN, H. J. C. Algorith for brownian dyna-
mics. Mol. Phys., Taylor & Francis Ltd: London, v. 45, n. 3, p. 637-647, ??.
1982.
[28] ISRAELACHVILI, J. N.; TABOR D. Shear propieties of molecular films.
Nature, Basings Toke, Hampshire, v. 241, n. 112, p. 148-149, 1973.
[29] KRIM, J. Progress in nanotribology: Experimental probes of atomic scale
friction. Comments Cond. Mat. Phys., Malaysia, v. 17, n. 8, p. 263-280, 1995.
[30] KRIM, J.; WIDOM, A. Damping of a crystal oscilation by an adsorbed mo-
nolayer and its relation to interfacial viscosity. Phys. Rev. B, Woodbury, v.
38, n. 17, p. 12184-12189, Dec. 1988.
[31] KRIM, J.; SOLINA, D. H.; CHIARELLO, R. Nanotribology of Kr monolayer:
A quartz-crystal microbalance study of atomic-scale friction. Phys. Rev. Lett.,
Woodbury, v. 66, n. 2, p. 181-184, Dec. 1991.
[32] KRIM, J.; WATTS, E. T.; DIGEL, J. Splippage of simple liquid films adsor-
bed on silver and gold substrate. J. Vac. Sci Technol. A, Amer. Vac. Soc.,
Woodbury, v. 8, n. 4, p. 3417-3421, July/Aug 1990.
[33] MATE, C. M.; McCLELLAND, G. M.; ERLANDSSON, R.; CHIANG, S.
Atomic-scale friction tungsten tip on a graphite surface. Phys. Rev. Lett.,
Woodbury, v. 59, n. 24, p. 1942-1945, Dec. 1987.
[34] MATSUKAWA, H.; FUKUYAMA, H. Teoretical - study of friction -one -
dimensional clean surface. Phys. Rev. B, Woodbury, v. 49, n. 24, p. 17286-
17292, June. 1994.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 70
[35] MATSUKAWA, H.; FUKUYAMA, H. Static and dynamic propieties of fric-
tion phenomena in one-dimensional system with randomnes. Phys. Rev. B,
Woodbury, v. 56, n. 7, p. 4261-4265, Aug. 1997.
[36] LIEBICH, A.; GONÇALVES, S.; KIWI, M. Electronic vs phononic friction
of Xenon on Silver. Phys. Rev. B, Woodbury, v. 60, n. 7, p. 5034-5043, Aug.
1999.
[37] PALIY, M. V.; BRAUN, O. M.; THIERRY, D.; BAMBI, H. Dynamical phase
diagram of the dc-driven undamped Frenkel-Kontorova chain. Phys. Rev. E.,
Woodbury, v. 56, n. 4, p. 4025-4031, Oct. 1997.
[38] PERSSON, B. N. J. Theory of friction and boundary lubrication. Phys. Rev.
B, Woodbury, v. 48, n. 24, p. 18140-18158, Dec. 1993.
[39] PERSSON, B. N. J.; NITZAN, A., Linear sliding friction: On origen of mi-
croscopic friction for Xe on Silver. Surf. Sci., Amsterdam, v. 367, n. 3, p.
261-275, Dec. 1996.
[40] PERSSON, B. N. J. Sliding Friction. Physical Principles and Aplications. New
York: Springer. 1998.
[41] PERSSON, B. N. J. Applications of surface resistivity to atomic scale friction,
to the migration of “hot” adatomos, and to electrochemistry. J. Chem. Phys.,
New York, v. 98, n. 2, p. 1659-1672, Jan. 1993.
[42] PERSSON, B. N. J.; VOLOKITIN, A. I., Electronic friction of physisorbed
molecules. J. Chem. Phys., New York, v. 103, n. 15, p. 8679-8683, Nov. 1995.
[43] PERSSON, B. N. J. Surface resistivity and vibrational damping in adsorbed
layers. Phys. Rev. B, Woodbury, v. 44, n. 7, p. 3277-3298, Aug. 1991.
[44] PERSSON, B. N. J. Reply to “Surface resistivity and vibrational damping in
adsorbed layers”. Phys. Rev. B, Woodbury, v. 48, n. 20, p. 15 471, Nov. 1993.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 71
[45] PERSSON, B. N. J.; RYBERG, R. Brownian motion and vibrational phase
relaxation at surface: CO on Ni(111). Phys. Rev. B, Woodbury, v. 32, n. 6,
p. 3586-3596, Sep. 1985.
[46] PERSSON B. N. J., Theory and Simulation of Sliding Friction. Phys. Rev.
Lett. , Amer. Inst. Physics: Wodbur, v. 71, n. 7, p. 1212-1215, Aug. 1993.
[47] PEYRARD, M.; AUBRY, S. Critical behaivour at transition by breaking of
analyticity in the discrete Frenkel-Kontorova model. J. Phys. C: Solid State
Phys., Great Britain, v. 16, n 9, p. 1593-1608, March 1983.
[48] PEYRARD, M.; REMOISSENET M. Solitonlike in one-dimensional atomic
chain with a nolinear deformable substrate potencial. Phys. Rev. B, Wood-
bury, v. 26, n. 6, p. 2886-2899, Sept. 1993.
[49] RAPAPORT, D. C. The Art of molecular dyanmics simulation. New York:
Cambridge University Press.
[50] RISKEN, H.; VOLLMER, H. D. Brownian motion in periodic potential; no-
linear response to an external force. Z. Physik. B, New York, v. 33, n. 3, p.
297-305, May 1979.
[51] RUAN, J.; BHUSHAN, B. Frictional behavior of highly oriented pyrolytic
graphite. J. Appl. Phys., Woodbury, v. 76, n. 12, 8117 - 8120, Dec. 1994.
[52] RUAN, J.; BHUSHAN, B. Atomic-scale and microscale friction studies of
graphite and diamond using friction force microscopy. J. Appl. Phys., Wood-
bury, v. 76, n. 9, 5022 - 5035, Nov. 1994.
[53] SACCO, J. E.; SOKOLOFF, J. B. Free sliding in lattice with two incomme-
surate periodicities. Phys. Rev. B, Woodbury, v. 18, n. 12, p. 6549-6559, Dec.,
1978.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 72
[54] SACCO, J. E.; SOKOLOFF, J. B.; WIDOM, A. Dynamical friction in sliding
condensaed-matter system. Phys. Rev. B, Woodbury, v. 20, n. 12, p. 5071-
5083, Dec. 1979.
[55] SHINJO, K.; HIRANO, M. Dynamics of friction: superlubric state. Surf. Sci.,
Amsterdam, v. 283, n. 1-3, p. 473-478, Mar. 1993.
[56] SMITH, E. D.; ROBBINS, M.; CIEPLAK, M. Friction on adsorbed mono-
layer. Phys. Rev. B, Woodbury, v. 54, n. 11, p. 8852-8260, Sept. 1996.
[57] SOKOLOFF J. B., Theory of Dinamical Friction Between Idealized Sliding
Surfaces. Surf. Sci., Elsevier Science: Amsterdam, v. 144, n. 1, p. 267-272,
1984.
[58] SOKOLOFF, J. B. Theory of the contribution to sliding friction from electro-
nic excitations in microbalance experiment. Phys. Rev. B, Woodbury, v. 52,
n. 7, p. 5318-5322, Aug. 1995.
[59] SOKOLOFF, J. B. Possible nerly frictionless sliding for mesoscopic solids.
Phys. Rev. Lett., Woodbury, v. 71, n. 21, p. 3450-3453, Nov. 1993.
[60] SOKOLOFF; J. B. Microscopic mechanisms for kinetic friction: Nearly fric-
tionless sliding or small solids. Phys. Rev. B, Woodbury, v. 52, n. 10, p.
7205-7214, Sep., 1995.
[61] STRUNZ, T.; ELMER, F. J. Driven Frenkel-Kontorova model I. Uniform
sliding state and dynamical domins of different particle densities. Phys. Rev.
E, Woodbury, v. 58, n. 2, p. 1601-1611, Aug. 1998.
[62] TOBIN, R. G. Comment on “Surface resistivity and vibrational damping in
adsorbed layers”. Phys. Rev. B, Woodbury, v. 48, n. 20, p. 15 468-15 470, Nov.
1993.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 73
[63] TOMASSONE, M. S.; SOKOLOFF, J. B.; WIDOM, A.; KRIM, J. Dominace
of phonon friction for a Xenon film on Silver (111) surface. Phys. Rev. Lett.,
Woodbury, v. 79, n. 24, p. 4798-4801, Dec. 1997.
[64] VAN GUNSTEREN, W. F.; BERENDSEN, H. J. C. Algorithms for brownian
dynamics. Mol. Phys., London, v. 45, n. 3, p. 637-647, Feb. 1982.
[65] VOLLMER, H. D.; RISKEN, H. Distribution Funtions for Brownian Motion
of Particle in a Periodic Potencial Driven by External Force. Z. Physik. B,
New York, v. 34, n. 3, p. 313-322, Aug. 1979.
[66] VOLLMER, H. D.; RISKEN, H. Eigenvalues and their conection to transiton
rates for Brownian motion in an inclined cosine potential. Z. Physik. B, New
York, v. 52, n. 3, p. 259-266, Oct. 1983.
[67] WATTS, E. T.; KRIM, J.; WIDOM, A. Experimental observation of inter-
facial slippage at the boundary of moleculary thin film with gold substrate.
Phys. Rev. B, Woodbury, v. 41, n. 6, p. 3466-3472, Feb. 1990.
[68] WEBER, H. P.; SCHULZ, H. Ionic conduction in onedimension: A structural
study of the holladite K1.54Mg0.77Ti7.23O16 over the range 133 ≤ T ≤ 919K.
J. Phys. Chem., Washintong, v. 85, n. 1, p. 475 - 484. July 1986.
[69] WEISS, M.; ELMER, F. J. Dry friction in the Frenkel-Kontorva-Tomlinson
model: Static propieties. Phys. Rev. B, Amer. Inst. Physics: Woodbury, v.
53, n. 11, p. 7539-7549, Mar. 1996.
[70] YOSHIZAWA, H.; ISRAELACHVILI, J. Fundamental Mecanisms of Inter-
facial Friction. 2. Stick - Slip Friction of Spherical and Chain Molecules. J.
Phys. Chem., Washintong,v. 97, n. ???, p. 11300 - 11313, Oct. 1993.