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Estrutura da Turbulência em
Escoamentos Junto à Superfícies Sólidas
Os níveis de tensões de Reynolds em escoamentos turbulentos junto à
superfície sólidas são muito menores do que aqueles encontrados em
escoamentos livres, devido à ação inibidora da parede.
Por outro lado, devido à inibição do movimento do fluido na direção
normal à parede, a anisotropia das flutuações de velocidade junto à
parede é bem maior do que no caso de escoamento livre.
1
'' vut
tl
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2
Uma descrição alternativa da turbulência pode ser obtida com uma
análise da freqüência.
Distribuição de espectro de da camada limite sobre uma placa
plana
2u
Os maiores valores de energia estão
associados as menores freqüências.
A medida que a freqüência cresce, o
espectro de energia varia de acordo
com a teoria de Kolmogorov,
F(n) n-5/3.
Para freqüências mais altas, o espectro
de energia decai mais rapidamente
devido a ação da viscosidade
cinemática. De acordo com
Heissenberg, F(n) n-7
A partir da distribuição do espectro de
energia, pode-se verificar que uma
corrente turbulenta possui turbilhões de
vários tamanhos, já que a freqüência é
inversamente proporcional ao
comprimento de onda.
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Distribuição de Tensão Cisalhante Próximo à Parede
(Camada Limite)
3
y
u
y
utef
Para determinar o perfil de velocidade, vamos inicialmente determinar
a distribuição de tensão cisalhante. Pela definição de viscosidade
efetiva, como sendo a soma da viscosidade absoluta com a
turbulenta, temos
Introduzindo as simplificações de camada limite nas equações médias
de Navier-Stokes, obtemos
y
u
yxd
dP
y
uv
x
uu t
yxd
dP
y
uv
x
uu
Note que esta equação
acima é válida tanto para
regime laminar quanto
turbulento
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4
Vamos nos concentrar na região relativamente próxima a parede tal
que é muito menor que os outros termos, podendo ser
desprezado.
Esta região geralmente se estende fora da sub-camada viscosa,
podendo em alguns casos incluir tanto quanto um terço de toda a
camada limite. Isto é chamado de aproximação de “Escoamento de
Couette”, sendo chamada de Região de Escoamento de Couette.
Com a hipótese de que , a equação de conservação de
quantidade de movimento torna-se uma equação diferencial
ordinária.
Sendo que pela continuidade
x
uu
)(yuu
0
0
y
v
x
uovctev
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5
dy
d
xd
dP
yd
udvo
su ,0
ss
o
s
y
xd
dPuv
1
22
2
u
UCfs
suu *
Logo, a equação de quantidade de movimento torna-se
Integrando esta equação de y =0 , onde
Vamos introduzir agora variáveis adimensionais, referenciadas
freqüentemente com coordenadas de parede. Porém, primeiro vamos
definir a variável velocidade de atrito
até uma distância y arbitrária, temos
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6
u
uu
yuy
u
vv o
32
u
dxdpp
)/(
ypuvos
1
0s /
Com a seguinte adimensionalização:
A equação acima só é valida na região onde a aproximação de
escoamento de Couete é válida, na fronteira externa da camada limite
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Perfil de Velocidade na Região da Parede
Vamos agora estimar o perfil de velocidade em cada uma das
zonas na região próxima à parede, a partir das equações de
conservação, considerando
7
0p0ov
e
1s
yd
udts
Neste caso, na região de escoamento
de Couette, a equação de
conservação se reduz a
Para obter o perfil de velocidade
precisamos integrar
Inicialmente vamos considerar que a camada limite turbulenta
consiste de duas regiões distintas:
o sub-camada viscosa, onde >>> t
o região totalmente turbulenta onde <<< t.
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8
yd
uds Sub-camada viscosa: Nesta região , temos
integrando a equação, obtemos
esta equação pode ser rescrita como
yu s
yu
u
u *
* yu
A conclusão é que o perfil de velocidade de um escoamento
turbulento possui forma linear na região muito próxima à parede.
Podemos concluir ainda que u+ e y+ são variáveis de similaridade
para esta região.
Dados experimentais mostram que esta relação é válida para y+ < 5
Para o modelo de duas camada, amplia-se a região de validade
do perfil linear até y+ 11
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A região seguinte, chamada de Região turbulenta ,
a tensão turbulenta domina, então
9
y
uts
Imediatamente acima da região laminar viscosa deve existir
uma região onde os efeitos das tensões laminares e
turbulentas possuem a mesma importância. É a camada
amortecedora. Esta região é mais difícil de ser modelada.
Infelizmente, não podemos integrar a equação acima, sem a
introdução de uma relação constitutiva que permita modelar o
termo turbulento.
Assumindo que próximo a parede a aproximação do comprimento
de mistura se aplica, podemos reescrever a tensão turbulenta
como
y
uyku
y
uu
y
uts
**
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o coeficiente k é conhecido como a constante de von Kármán, e de
acordo com dados experimentais é aproximadamente igual a 0,4.
Integrando a equação anterior, obtemos
10
cteyk
u ln
1
Para paredes lisas o valor da constante de integração é determinado
considerando continuidade entre as duas camadas, isto é, para
1111 uy ;
donde se conclui que a constante de integração é igual a 5,0.
Esta equação logarítmica é muitas vezes chamada de lei da parede
ou perfil universal de velocidade
552 yu ln,
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A figura abaixo ilustra uma comparação entre os perfis para a
região da sub-camada laminar e região turbulenta e dados
experimentais, onde observa-se excelente concordância
11
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12
yd
udyunyun
yd
udts
22 1 exp(
yunyunyd
ud
22 11
1
exp(
y
dyyunyunu
5
122 115 )exp(
Como mencionado, na realidade existem três camadas na região
próxima a parede, sendo que a sub- camada viscosa só é válida até
y+ < 5, enquanto que a região totalmente turbulenta só é válida para
y+> 30.
Para avaliar o perfil de velocidade na camada amortecedora
podemos utilizar o modelo de turbulência de Deisser. Neste caso
Esta equação deve ser integrada a partir de y+=5, onde u+=y+. Como é
uma equação não linear deve ser integrada numericamente,
resultando na seguinte expressão aproximada
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13
555
yu ln
apresenta boa concordância
com os dados experimentais
para 5 < y+ < 26, como pode
ser visto na figura a seguir
É importante notar que a Lei da Parede apresentada não pode ser
aplicada em diversas situações de interesse prático, como por exemplo
escoamentos envolvendo transferência de massa, regiões de separação,
regiões com gradientes elevados de pressão ou de massa específica, a
presença de força de corpo, etc. Para estas situações, nossas
expressões devem ser obtidas.
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14
Perfil de Temperatura na Região da Parede
Simplificando a equação da energia com as hipóteses de camada
limite, temos
Procedendo de forma análoga ao feito com a equação de conservação
de quantidade de movimento, vamos rescrever esta equação utilizando
a definição de fluxo de calor
y
T
yy
Tv
x
Tu
t
t
PrPr
y
Tkkq t
y
T
c
q
t
t
p
PrPr
0
y
q
y
Tv
x
Tucp
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15
Vamos considerar a região próxima a parede onde
Vamos considerar ainda que a temperatura da parede é constante
e igual a Ts . A equação de energia se reduz a
0 xT /
01
yd
qd
cyd
Tdv
po
s
sop
s q
TTvc
q
q )(
1
Integrando esta equação de y =0, onde ss qqTT ,
até uma distância y arbitrária, temos
u
uu
yuy
)/(
)(
ps
s
cq
uTTT
u
vv o
Tvq
qo
s1
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16
Note a similaridade com a equação de
com a exceção de que não há o termo p+
s /
ypuvos
1
0ov 1sq
q
yd
Td
c
q
t
t
p
s
PrPr
De fato a analogia de comportamento entre a transferência de calor e
quantidade de movimento falha na presença de um gradiente de
pressão.
Podemos agora integrar
para avaliar a temperatura
Considerando o caso particular sem injeção/sucção, isto é com
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17
y
t
tp
sT
T
yd
c
qTd
s 0
PrPr
y
ttps
s yd
cq
uTT
0 1 Pr/)/(Pr/)/(
)(
y
tt
ydT
0 1 Pr/)/(Pr/
yT Pr
uT Pr
Rearrumando e introduzindo y+, obtemos
Na região da sub-camada laminar, a difusão laminar domina,
mas como nesta região o perfil de velocidade é linear, então
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18
y
y tt
y
sub
sub ydydT
Pr/)/(Pr/10
y
t
t ydydT
2,13
2,13
0 /
PrPr
y
uts
y
u
u
uts
)/(
yk
yky
u
t
1
11
Para avaliar o perfil de velocidade na Região turbulenta , devemos
inicialmente definir o região de validade da sub-camada térmica.
Vimos que o limite da sub-camada viscosa é y+=11, porém, a
espessura efetiva da sub-camada térmica é maior, y+=13,2.
Quebrando a integral em duas partes, considerando a difusão
molecular dominante na sub-camada térmica e a difusão
turbulenta na região turbulenta, temos;
Utilizando novamente o modelo de comprimento de mistura de Prandtl
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19
y
t
t ydydT
2,13
2,13
0 /
PrPr
213213
,ln
PrPr,
y
kT t
O número de Prandtl turbulento deve ser determinado a partir de
dados experimentais, mencionamos que o mesmo é
aproximadamente igual a Prt = 0,9.
6652131952 ,Pr,ln, yT
Neste caso a equação acima
pode ser rescrita como
A comparação da equação
acima com dados
experimentais pode ser visto
na figura ao lado
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20
555
yu ln
y
tt
ydT
0 1 Pr/)/(Pr/
y
y ttsub
ydydT
Pr/)/(Pr/1Pr/1
5
0
dy
duts )(
yydud
t
// 5
111
)(
Pr
PrlnPr 1
515
yT
t
traamortecedo
camada
)(
Pr
PrlnPrPr 1
5155
yT
t
t
Para obter uma melhor estimativa do perfil de temperatura,
podemos considerar o resultado da sub-camada viscosa até y+=5.
Consideraremos a camada amortecedora de entre 5 < y+ < 30,
onde
mas
)/)(Pr(Pr/lnPr)/)(Pr/(Pr/
151515115
yy
ydT tt
y
traamortecedocamada
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21
yt
t
ydyky
ydydT
30
30
5
5
0 1511
Pr
)/)(Pr/(Pr/Pr
305155
y
kT t
t
t lnPr
Pr
PrlnPrPr
turbulentonúcleo
raamortecedocamadasubcamadas TTTTT )(
Neste caso a distribuição de temperatura no núcleo turbulento
torna-se
Para avaliar a diferença
de temperatura entre a
corrente livre T e a
parede, devemos levar
em consideração três
regiões
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22
turbulentonúcleo
raamortecedocamadasubcamada
TTTucq
TT
ps
s )/(
)(
turbulentonúcleo
raamortecedocamadasubcamada T
livrecorrente
t
T
t
T
yddyduy
ydydT
30
30
5
5
0 11511 )//(
Pr
)/)(Pr/(Pr/Pr
Pr5subcamada
T
155
tt
raamortecedocamada
TPr
PrlnPr
)ln(PrPrPr )(
)(
61530
30
uuuudT tyt
livrecorrente
u
t
turbulentonúcleo
y
u
ucq
TTt
ttt
ps
s PrPrPr/
lnPrPrPr
)/(
)(
6
155
logo a diferença de
temperatura é
para Prt constante
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23
ss qTTh )(hq
TT
s
s 1
)(
uStU
u
Sth
uc
ucq
TT p
ps
s 111
)(
)/(
)(
Uc
hSt
p L
LStRePr
Nu
O coeficiente de transferência de calor pode ser determinado a
partir da equação acima, já que
número de Stanton
uT
U
uLU
k
c
Lh
k
h
uc
ucq
TTT
L
Lpp
ps
s 1
Nu
RePr)(
)/(
)(
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24
Cf
U
u
Uu
s
22
2
22
61525
1
2 21 /PrPr/lnPrPrPr)/(PrPrRe /
tttft
f
L
L
C
CNu
combinando com a diferença de temperatura obtida e
rearrumando, temos
6155
1 32
231 /PrPr/lnPrPrPr/Pr
Pr
PrRe
/
/
ttttL
L
uu
Nu
mas
Próximo a parede
1tPr 6/1Pr5ln1Pr)2/(51
1
2PrRe 2/1
f
f
L
L
C
CNu
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25
o A analogia entre a transferência de calor e coeficiente de atrito
representada pela equação anterior não é restrita a
escoamento paralelo sobre uma placa plana.
o Também pode ser utilizada para calcular a transferência de
calor de superfícies imersas em correntes externas na
presença de gradientes de pressão não muito grandes, e até
mesmo para escoamentos compressíveis.
o Também pode ser utilizada em escoamentos internos em dutos
circulares.
o Contudo não pode ser aplicada para metais líquidos, que
apresentam baixo número de Prandtl, já que os efeitos da
condutividade térmica molecular é apreciável no núcleo
turbulento.
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26
Em um escoamento paralelo de um fluido com Pr 1 sobre uma placa
plana com temperatura constante, o coeficiente de transferência de calor
turbulento pode ser obtida da analogia de Reynolds como
Coeficiente de Transferência de Calor em
Placa Plana
Para determinar o coeficiente de transferência de calor, precisamos
determinar a tensão cisalhante na parede (isto é, o coeficiente de atrito).
As expressões anteriores para determinação do perfil de velocidade são
de difícil utilização, pode-se então utilizar um perfil mais simples, obtido
empiricamente para avaliar a velocidade na região da camada limite no
regime turbulento
2
f
L
LCNu
PrRe
7/1y
U
u
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27
y/u
4/12
sU
U0233,0
x5/1
x Re
27010
Re
381,0
x
2/U
)x()x(Cf
2
s
5/1xRe
0592,0)x(Cf
Infelizmente, este perfil não é adequado para avaliar a
tensão cisalhante na parede, pois prevê
na parede. Recomenda-se a utilização do seguinte perfil empírico
A espessura da camada limite pode ser estimada a partir da seguinte
correlação empírica
para Rex > 5 x 105
para 5 x 105 Rex 107
O coeficiente de atrito local pode ser obtido por
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28
A variação da tensão ao longo da superfície encontra-se ilustrada na
figura abaixo. Para determinar a força resultante em uma placa é preciso
levar em consideração que na parte anterior da placa, x < xc o regime é
laminar e a tensão cai com x - 1/2, e em xc ocorre uma mudança de
regime, a transferência de quantidade de movimento cresce, e a tensão
cisalhante cresce substancialmente, passando a cair com x - 1/5
x
x-1/5
x-1/2 turbulento
laminar
xc
A força sobre a placa é
sL
2L
xturb
x
0lam
2
L
0
2
sA
2
ssss
ACf2
Uxdb)x(Cfxdb)x(Cf
2
U
dxb)x(Cf2
UAd)x(Cf
2
UAd)x(AF
c
c
s
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29
cx
0
lamturb
L
0
turbL xd)]x(Cf)x(Cf[xd)x(CfL
1Cf
L5/1
L
LRe
1740
Re
074,0Cf
L58,2
L
LRe
1610
Relog
455,0Cf
5/1L
LRe
074,0Cf
58,2L
LRelog
455,0Cf
(**)
(##)
(++)
Se xc< < L
para 5 x 105 Rex 109
para 5 x 105 Rex 107(**)
a camada limite sobre a placa é
praticamente toda turbulenta, pode-se
então aproximar o coeficiente de atrito
médio para
(++)
(##)
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30
51
05920
/Re
,)(
x
xCf
PrRe0296,0 8,0xxNu
Substituindo o coeficiente de atrito local
na analogia de Reynolds, temos
para 5 105 < Rex < 107 e 0,5 < Pr < 1,0
51
02960
2 /Re
,
PrRex
f
x
xC
StNu
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31
Ls
sA
ss
sssss dxxhL
TTAdTTxh
AqAdxqAqQ
s 0
1)(
)()()()(
c
c
L
x L
xturblam
s
s dxxhdxxhL
hTT
q
0
)()(1
)(
L x
lamturbturb
c
L dxxhxhdxxhL
h
0 0
)()()(1
312131
21
31 33203320
2
///
/
/ PrRe,PrReRe
,PrRe
)()()( xx
x
xlam
lamxCf
k
xxhxNu
PrRe,)(
)(,8002960 x
turbturb
k
xxhxNu
O fluxo de calor sobre placa é
o coeficiente de transferência de calor médio deve levar em
consideração que no começo da placa, a camada limite é laminar
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32
cx
lamturbL
turbL xd
x
xNuxNuxd
x
xNu
k
LhNu
00
)]()([)(
L x
xxxL
cdx
xdx
xNu
0 0
31508080 33200296002960 /,,, PrRe,PrRe,PrRe,
31508080664003700370 /,,,
PrRe,PrRe,PrRe, ccLLNu
5105 cRe
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33
Na região da camada limite, o perfil de velocidade e temperatura podem
ser avaliados com
Escoamento com Velocidade da Corrente
Livre Constante sobre uma Placa Semi-
infinita com Comprimento Inicial não
Aquecido
7/1y
U
u
71/
y
TT
TT
s
s
Angela Nieckele – PUC-Rio
34
71
2
/
)(
)/(
f
s
ps C
TT
ucqSt
91109
12
//
x
CSt
fx
91
1092040 102960
//
,, Re,Pr
xSt xx
1202040
60102960
,,,
,Re,Pr
PrRe
xSt
Nuxx
x
x
O número de Stanton local na parede é
Introduzindo o fato de que a espessura da camada limite varia com a
potência 4/5, obtém-se
Uma aproximação que pode ser mais conveniente é
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35
Neste caso, a distribuição do coeficiente de transferência de calor pode
ser obtida de
Escoamento com Velocidade da Corrente
Livre Constante sobre uma Placa Semi-
infinita com Fluxo de Calor Constante
Especificado
Este resultado é 4% mais alto do que o caso com temperatura de parede
constante. Note que no caso laminar esta diferença foi de 36%
A camada limite turbulenta é muito menos sensitiva a variações da
temperatura da superfície que a camada limite laminar.
Para altos números de Prandtl, esta afirmação é mais verdadeira ainda,
enquanto para baixos números de Prandtl, os grandes efeitos do tipo
laminar reaparecem.
2040
600300 ,,
,Re,Pr
PrRe
xx
x
x StNu
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36
Neste caso, define-se um parâmetro de injeção como
Camada Limite com Transpiração
Para uma mesma coordenada x , com mesmo número de Reynolds, a
equação acima apresenta excelente concordância com dados
experimentais para o caso de velocidade constante da corrente livre.
Para gases, obtém-se a seguinte expressão
h
h
o B
B
St
St
1ln
St
Gm
St
UvB o
h
//
51
02960
2 /Re
,
PrRe x
f
o
x
xC
StNu
h
h
xB
BSt
)ln(
Re
,Pr
/
,
102960
51
40
Vimos que
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37
yd
TT
TT
U
u
TTU
dyTTu
ss )(
)(
)(
)(1
0
02
250251
25050 11
012502
,,
,, )ln(Re,Pr h
h
hx B
B
BSt
250251
11
2
,,
)ln(h
h
h
o
x BB
B
St
St
Podemos apresentar o número de Stanton como função do
número de Reynolds baseado na espessura da entalpia,
definido Sto como o número de Stanton sem transpiração
correspondente ao mesmo valor de Re2
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38
o A faixa de aplicação da equação anterior é muito grande, e a
mesma equação pode ser aplicada para Cf/Cfo se Bh for
substituído por Bf.
o O gráfico abaixo, ilustra uma comparação obtida com
diferentes de operação. Observa-se uma excelente
concordância entre os resultados medidos e a correlação
apresentada.
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39
o A figura a seguir mostra um exemplo de um degrau na injeção,
seguida de uma razão constante de injeção
o A equação
representa bem os dados experimentais, mesmo próximo ao degrau.
o Note que o efeito da transpiração na camada limite é de reduzir
substancialmente o número de Stanton, e portanto reduzir o coeficiente
de transferência de calor
Gm /
250251
25050 11
012502
,,
,, )ln(Re,Pr h
h
hx B
B
BSt
Angela Nieckele – PUC-Rio
40
Mostrou-se anteriormente que a analogia de Reynolds é equivalente a
Prt=1. De acordo com evidências experimentais, pelo menos para o ar,
Prt realmente é próximo de 1, sendo que um valor próximo a 0,9 é mais
correto ao longo de quase toda a camada limite e bem acima de 1 é
observado bem próximo à parede.
Número de Prandtl Turbulento
O número de Prandtl turbulento é
difícil de medir com precisão. A
figura ilustra o efeito do gradiente
de pressão adverso na camada
limite. Observa-se que no núcleo
turbulento, a aproximação de
Prandtl turbulento constante é
satisfatória, porém falhando
próximo à parede.
Angela Nieckele – PUC-Rio
41
o Observa-se que realmente Prt é aproximadamente da ordem de 1, de
tal forma que a analogia de Reynolds, com sua simplicidade, é uma
boa representação da realidade
o Próximo à parede Prt apresenta valores mais altos, decaindo e ficando
constante na região da lei da parede e na parte externa da camada
limite.
o Observa-se um pequeno efeito do gradiente de pressão em Prt. Já
dados experimentais mostram que a transpiração praticamente não
influencia Prt.
o Note que altos valores de Prt próximo à parede ocorrem dentro da
sub-camada onde o mecanismo de transferência turbulenta é menos
importante que a difusão molecular.
Angela Nieckele – PUC-Rio
42
o Altos números de Prandtl na sub-camada indicam que na sub-camada,
a transferência de quantidade de movimento é maior que a de energia
por mecanismos turbulentos.
o A expressão a seguir, representa relativamente bem Prt sobre todo o
espectro de números de Prandtl, com a tendência correta próxima à
parede
ttt
tt
t
t
PeCPeCPeC
Prexp
PrPr
Pr
11
1
2
1
1
2
onde Pet = (t/ Pr
Prt, =constante, é o valor de Pr longe
da parede
C = constante empírica
C = 0,2 e Prt, =0,86.
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43
O fator de recuperação para escoamento turbulento é definido da mesma
forma que para escoamento laminar, como
Fator de Recuperação para Escoamento
Turbulento
onde Taw é a temperatura que
seria atingida na parede
adiabática.
)/( p
aw
cU
TTr
22
Medidas experimentais mostram que a camada limite muda de seu
estado de regime laminar próximo a borda de ataque, onde r=Pr1/2, e
r cresce para um valor máximo ( 0,89 para ar) na transição de
laminar para turbulento e então atinge uma valor constante dado por
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44
31/Prr
2211
211
2
4
24
22
2
4
21
2121
2121
PrPr)/(
Pr)/(ln
Pr
Pr
Pr
PrPr
Prarctan
Pr
Pr
/
//
//
r
Medidas experimentais
mostram que a camada limite
muda de seu estado de
regime laminar próximo a
borda de ataque, onde r=Pr1/2,
e r cresce para um valor
máximo ( 0,89 para ar) na
transição de laminar para
turbulento e então atinge uma
valor constante dado por
Para número de Prandtl diferente
da unidade, o fator de
recuperação pode ser avaliado por