I
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL
EEESSSTTTÁÁÁTTTIIICCCAAA
DIAGRAMAS
ESFORÇO AXIAL - ESFORÇO TRANSVERSO - MOMENTO FLECTOR
EXERCÍCIO 1 EXERCÍCIO 2 EXERCÍCIO 3
EXERCÍCIOS EXEMPLIFICATIVOS APRESENTADOS NAS AULAS TEÓRICAS
ISABEL ALVIM TELES
ESTÁTICA ISABEL ALVIM TELES
versão 0 1/14 Exercício 1
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
EXERCÍCIO 1
Sem calcular previamente as reacções,
determine as expressões analíticas do esforço
axial (N), esforço transverso (V) e momento
flector (M) da viga encastrada representada
na figura.
Desenhe os diagramas dos esforços (N, V e M).
EXERCÍCIO 1 - RESOLUÇÃO
0,6 α sen
0,8 α cos 36,8699
43
arctg
=
=⇒== oαααα
a = x cos α
a = 0,8 x
kNm a 5 2a
a 10 (a) M 2 −=−=
grau) (2º curva kNm 3,2 ) (0,8 5 (x) M 2 2 ⇒−=−= xx
Concavidade do diagrama de Momentos: 0 x d
Md2
2
⇒< concavidade U
CONVENÇÃO DE SINAIS
DA
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
4.0 m
3.0 m
αααα
a
R=10a kN
a2
d
e
x
x
a
αααα
d
V
e
N
VN
+
ESTÁTICA ISABEL ALVIM TELES
versão 0 2/14 Exercício 1
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
R – resultante de todas as forças à direita do ponto.
R = 10 a kN
N = R sen α = 10 a sen α
V = R cos α = 10 a cos α
recta kN 6,4 0,8 0,8 10 α cos α cos 10 )x( V
recta kN 4,8 0,6 0,8 10 α sen α cos 10 )x( N
α cos a 10 )a( V
α sen a 10 )a( N α cos x a
⇒=××==
⇒=××== →
=
==
xxx
xxx
Extremidade da consola: (x=0)
0 M
0 V
0 N
=
=
=
Encastramento: (x=5 m)
kNm 80 5 3,2 M
kN 32 5 6,4 V
kN 24 5 4,8 N
2
−=×−=
=×=
=×=
_______________________________________________________________________________________
EXERCÍCIO 1 - OUTRA RESOLUÇÃO
Para os dois sistemas serem equivalentes, a Resultante tem que ser igual, ou seja:
R = 10 x 4 = 40 kN ⇒ p x 5 = R = 40 kN ⇒ p = 8 kN/m
αααα
ad
e
x
R
VN αααα
R=10a kN
R=40kN
4.0 m
3.0 m
R=40kN
⇔⇔⇔⇔ 5.0 m
4.0 m
3.0 m
ESTÁTICA ISABEL ALVIM TELES
versão 0 3/14 Exercício 1
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
pv= p cos α = 8 x 0,8 = 6,4 kN/m
pn= p sen α = 8 x 0,6 = 4,8 kN/m
grau) (2º curva kNm 3,2 2
6,4 (x)
recta kN 6,4 . pv )x(
recta kN 4,8 . pn )x(
2
⇒−=−=
⇒==
⇒==
xxxM
xxV
xxN
Concavidade do diagrama de Momentos: 0 x d
Md2
2
⇒< concavidade U
Extremidade da consola: (x=0)
0 M
0 V
0 N
=
=
=
Encastramento: (x=5 m)
kNm 80 5 3,2 M
kN 32 5 6,4 V
kN 24 5 4,8 N
2
−=×−=
=×=
=×=
pv=6,4kN/m
5.0 m
pn=4,8kN/m
+
x x
5.0 m
αααα
5.0 m
p
ααααpv =pcosα
pnpsenα=
ESTÁTICA ISABEL ALVIM TELES
versão 0 4/14 Exercício 1
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
DIAGRAMAS
+
24 kN
r
+
32 kN
r
-80 kNm
c
-
N
ESFORÇO AXIAL
V
ESFORÇO TRANSVERSO
M
MOMENTO FLECTOR
ESTÁTICA ISABEL ALVIM TELES
versão 0 5/14 Exercício 2
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
EXERCÍCIO 2
Sem calcular previamente as reacções,
determine as expressões analíticas do esforço
axial (N), esforço transverso (V) e momento
flector (M) da viga encastrada representada
na figura.
Desenhe os diagramas dos esforços (N, V e M).
EXERCÍCIO 2 - RESOLUÇÃO
0,6 α sen
0,8 α cos 36,8699
43
arctg
=
=⇒== oαααα
b = x sen α
b = 0,6 x
kNm b 10 2b
b 20 (b) M 2 −=−=
grau) (2º curva kNm 3,6 ) (0,6 10 (x) M 2 2 ⇒−=−= xx
Concavidade do diagrama de Momentos: 0 x d
Md2
2
⇒< concavidade U
CONVENÇÃO DE SINAIS
DA
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
4.0 m
3.0 m
x b
αααα
αααααααα
b
d
e
b2 R=20b kN
x
d
V
e
N
VN
+
ESTÁTICA ISABEL ALVIM TELES
versão 0 6/14 Exercício 2
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
R – resultante de todas as forças à
direita do ponto.
R = 20 b kN
N = R cos α = 20 b cos α
V = R sen α = 20 b sen α
recta kN 7,2 0,6 0,6 02 α sen α sen 20 )x( V
recta kN ,69 0,8 0,6 20 α cos α sen 20 )x( N
α sen b 20 )b( V
α cos b 20 )b( N α sen x b
⇒=××==
⇒−=××−=−= →
=
−= =xxx
xxx
Extremidade da consola: (x=0)
0 M
0 V
0 N
=
=
=
Encastramento: (x=5 m)
kNm 90 5 3,6 M
kN 36 5 7,2 V
kN 48 5 ,69 N
2
−=×−=
=×=
−=×−=
_______________________________________________________________________________________
EXERCÍCIO 2 - OUTRA RESOLUÇÃO
Para os dois sistemas serem equivalentes, a Resultante tem que ser igual, ou seja:
R = 20 x 3 = 60 kN ⇒ p x 5 = R = 60 kN ⇒ p = 12 kN/m
αααα
b
d
e
R=20b kNx
VR
Nαααα
4.0 m
3.0 mR=60 kN
4.0 m
3.0 m⇔⇔⇔⇔R=60 kN
ESTÁTICA ISABEL ALVIM TELES
versão 0 7/14 Exercício 2
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
pv= p sen α = 12 x 0,6 = 7,2 kN/m
pn= p cos α = 12 x 0,8 = 9,6 kN/m
grau) (2º curva kNm 3,6 2
7,2 (x)
recta kN 7,2 . pv )x(
recta kN 9,6 . pn )x(
2
⇒−=−=
⇒==
⇒−=−=
xxxM
xxV
xxN
Concavidade do diagrama de Momentos: 0 x d
Md2
2
⇒< concavidade U
Extremidade da consola: (x=0)
0 M
0 V
0 N
=
=
=
Encastramento: (x=5 m)
kNm 90 5 3,6 M
kN 36 5 7,2 V
kN 48 5 ,69 N
2
−=×−=
=×=
−=×−=
5.0 m
αααα
5.0 m
pv=7,2kN/m
5.0 m
pn=9,6kN/m
+
x x
p
pv =psenα
αααα
pn =pcosα
ESTÁTICA ISABEL ALVIM TELES
versão 0 8/14 Exercício 2
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
DIAGRAMAS
-48 kN
r
+
36 kN
r
-90 kNm
c-
N
ESFORÇO AXIAL
V
ESFORÇO TRANSVERSO
M
MOMENTO FLECTOR
-
ESTÁTICA ISABEL ALVIM TELES
versão 0 9/14 Exercício 3
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
EXERCÍCIO 3
Sem calcular previamente as reacções,
determine as expressões analíticas do
esforço axial (N), esforço transverso (V) e
momento flector (M) da viga encastrada
representada na figura.
Desenhe os diagramas dos esforços (N, V
e M).
EXERCÍCIO 3 - RESOLUÇÃO
0,6 α sen
0,8 α cos 36,8699
43 arctg
=
=⇒== oαααα
a = x cos α
a = 0,8 x
b = x sen α b = 0,6 x
CONVENÇÃO DE SINAIS
DA
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
d
V
e
N
VN
+
x b
αααα
ααααa
4.0 m
3.0 m
αααα
b
d
e
b2
x
R =10a kN
a2
a
R =20b kN
ESTÁTICA ISABEL ALVIM TELES
versão 0 10/14 Exercício 3
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
kNm b 10 a 5 2b b 20
2a a 10 b) (a, M 2 2 −−=−−=
Substituindo 0,6 α sen
0,8 α cos
xxb
xxa
==
==
grau) (2º curva kNm 6,8 3,6 3,2 ) (0,6 10 ) (0,8 5 (x) M 2 2 2 2 2 ⇒−=−−=−−= xxxxx
Concavidade do diagrama de Momentos: 0 x d
Md2
2
⇒< concavidade U
R1 – resultante da carga distribuida R2 – resultante da carga distribuida
de 10 kN/m à direita do ponto de 20 kN/m à direita do ponto
R1 = 10 a kN R2 = 20 b kN
N1 = R1 sen α = 10 a sen α N2 = R2 cos α = 20 b cos α
V1 = R1 cos α = 10 a cos α V2 = R2 sen α = 20 b sen α
kN 12 8 0,6 02 0,8 10 α sen b 02 α cos a 10 V V )b ,a( V
kN 16 6 0,8 02 0,6 10 α cos 02 α sen 10 N N )b ,a( N
21
21
+=×+×=+=+=
−=×−×=−=−=
baba
bababa
Substituindo: recta kN 13,6 0,6 12 0,8 8 )x( V
recta kN 8,4 0,6 16 0,8 6 )x( N
0,6 α sen
0,8 α cos
⇒=×+×=
⇒−=×−×=⇒
==
==
xxx
xxx
xxb
xxa
Expressões analíticas dos esforços:
grau) (2º curva kNm 6,8 (x) M
recta kN 13,6 )x( V
recta kN 8,4 )x( N
2
⇒−=
⇒=
⇒−=
x
x
x
αααα
b
d
e
x
αααα
αααα
d
e
x
αααα
R =10a kN
a
R
VN
+R =20b kN
R
N
V
ESTÁTICA ISABEL ALVIM TELES
versão 0 11/14 Exercício 3
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
Extremidade da consola: (x=0)
0 M
0 V
0 N
=
=
=
Encastramento: (x=5 m)
kNm 170 5 6,8 M
kN 68 5 13,6 V
kN 24 5 4,8 N
2
−=×−=
=×=
−=×−=
_______________________________________________________________________________________
EXERCÍCIO 3 - OUTRA RESOLUÇÃO
Para os dois sistemas serem equivalentes, as Resultantes R1 e R2 têm que ser igual, ou seja:
kN/m 12 p
kN/m 8 p
kN 60 R 5 p
kN 40 R 5 p
2
1
22
11
=
=⇒
==×
==×
4.0 m
3.0 m
R =40kN
R =60 kN
4.0 m
3.0 m 5.0 m+
4.0 m
3.0 m
R =40kN
R =60 kN
⇔⇔ ⇔⇔
ESTÁTICA ISABEL ALVIM TELES
versão 0 12/14 Exercício 3
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
p1n= p1 sen α = 8 x 0,6 = 4,8 kN/m p2n= p2 sen α = 12 x 0,8 = 9,6 kN/m
p1v= p1 cos α = 8 x 0,8 = 6,4 kN/m p2v= p2 sen α = 12 x 0,6 = 7,2 kN/m
pn = p1n + p2n
pv = p1v + p2v
p1
αααα
p1v=p1 cosαp1np1 senα=
p2
p2v=p2 senα
αααα
p2n=p2 cosα
⇔⇔ ⇔⇔5.0 m
αααα
5.0 m
p1v=6,4kN/m
p1n=4,8kN/m
+
+
+
5.0 m
pv=13,6kN/m
pn=4,8kN/m
+
⇔⇔ ⇔⇔5.0 m
αααα
5.0 m
p2v=7,2kN/m
p2n=9,6kN/m
+
ESTÁTICA ISABEL ALVIM TELES
versão 0 13/14 Exercício 3
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
grau) (2º curva kNm 6,8 2
13,6 2
. . pv (x)
recta kN 13,6 . pv )x(
recta kN 4,8 . pn )x(
2
⇒−=−=−=
⇒==
⇒−=−=
xxxxxM
xxV
xxN
Concavidade do diagrama de Momentos: 0 x d
Md2
2
⇒< concavidade U
Extremidade da consola: (x=0)
0 M
0 V
0 N
=
=
=
Encastramento: (x=5 m)
kNm 170 5 6,8 M
kN 68 5 13,6 V
kN 24 5 4,8 N
2
−=×−=
=×=
−=×−=
ESTÁTICA ISABEL ALVIM TELES
versão 0 14/14 Exercício 3
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
DIAGRAMAS
-24 kN
+
68 kN
r
-170 kNm
c-
N
ESFORÇO AXIAL
V
ESFORÇO TRANSVERSO
M
MOMENTO FLECTOR
-
r