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ESTAT́ISTICA E PROBABILIDADES
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL NEGATIVA
Dr. José Walter Cárdenas Sotil
Universidade Federal do AmapáCurso de Engenharia Elétrica
Janeiro de 2014
(Dr. José Walter Cárdenas Sotil) Estat́ıstica e Probabilidades - EE - T2013 Janeiro de 2014 1 / 15
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Sumário
1 Binomial negativa
2 Exerćıcio 1
3 Exerćıcio 2
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Distribuição binomial negativa
Distribuição binomial negativa
Consideremos uma sequência infinita de provas de Bernoulli comparâmetro p (probabilidade de sucesso).
A variável aleatória X segue uma distribuição binomial negativa comparâmetros p e r (r-ésimo sucesso), se:
X: número de provas de Bernoulli até incluir o r-ésimo sucesso
Assim, se r = 1 temos a distribuição geométrica
1→ P(X = 1) = p01→ P(X = 2) = qp
001→ P(X = 3) = q2p...
...
00 · · · 01→ P(X = k) = qk−1p (probabilidade de obter o primeirosucesso na k-ésima prova)
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Distribuição binomial negativa
Se r = 2
11→ P(X = 2) = p2q0 = C 2−12−1 p2q2−2
011, 101→ P(X = 3) = qp2 + qp2 = 2qp2 = C 2−13−1 p2q3−2
0011, 0101, 1001,→ P(X = 4) = 3q2p2 = C 2−14−1 p2q4−2
......
k provas: P(X = k) = C 2−1k−1p2qk−2 (probabilidade de obter o segundo
sucesso na k-ésima prova)
Probabilidade de obter o r-ésimo sucesso na k-ésima prova deBernoulli
P(X = k) = C r−1k−1prqk−r , k = r , r + 1, · · ·
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Distribuição binomial negativa
Verificando que P(X = k) = C r−1k−1prqk−rp é uma distribuição de
probabilidade
∞∑k=r
P(X = k) =∞∑k=r
C r−1k−1prqk−r
= pr∞∑k=r
C r−1k−1qk−r
= pr · 1(1− q)r
= pr · 1pr
= 1
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Distribuição binomial negativa
Esperança e variância
Teorema. Se a variável aleatória X segue uma distribuição binomialnegativa com parâmetros p e r , então:
µX = E [X ] =∞∑k=r
kP(X = k) =∞∑k=r
kC r−1k−1prqk−r =
r
p
E [X 2] =∞∑k=r
k2P(X = k) =∞∑k=r
k2C r−1k−1prqk−r =
r2 + rq
p2
var(X ) = E [X 2]− (E [X ])2 = rqp2
σX =
√rq
p
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Distribuição binomial negativa no R
Distribuição binomial negativa no R
P(X = k) = C r−1k−1prqk−r : dnbinom(k − r , r , p)
P(X ≤ k) =k∑
j=r
C r−1j−1 prqj−r : pnbinom(k − r , r , p, lower .tail = TRUE )
P(X > k) =∞∑
j=k+1
C r−1j−1 prqj−r : pnbinom(k − r , r , p, lower .tail = FALSE )
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Exerćıcio 1
Em um jogo de basquete a probabilidade de Bob acertar um arremessolivre é 70%. Qual é a probabilidade que Bob acerte seu terceiro arremessolivre no seu quinto arremesso?
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Solução
k = 5r = 3p = 0, 70
acertar o terceiro arremesso livre no quinto arremesso
P(X = 5) = C 3−15−1 p3q5−3 = dnbinom(5-3,3,0.70) = 18,52%
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Gráfico: Distribuição de probabilidades
r
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Gráfico: Distribuição Acumulada
r
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Exerćıcio 2
Suponha que P(nascimento de um menino)=0.5. Um casal quer terexatamente duas meninas e terá filhos até essa condição ser satisfeita.
a) Qual é a probabilidade da faḿılia ter quatro filhos?
b) Qual é a probabilidade da faḿılia ter no máximo quatrofilhos?
c) Quantos filhos espera-se que essa faḿılia tenha?
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Solução. X: número de nascimentos até ter a segundamenina
p = 0, 50, q = 0, 50, r = 2
a) X =4:
P(X = 4) = C 2−14−1 0, 5020.504−2=dnbinom(4-2,2,0.50) = 18.75%
b) X ≤ 4:P(X ≤ 4) = pnbinom(4-2,2.0.50) = 68,75%
c) Esperança e variância
E [X ] =r
p=
2
0, 50= 4
Var [X ] =rq
p2=
2 · 0, 500, 502
= 4
σX =√Var [X ] =
√4 = 2
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Gráfico: Distribuição de probabilidades
r
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Gráfico: Distribuição Acumulada
r