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ESFUERZO EN EL SUELOSabemos de los principios de mecaacutenica que el esfuerzo se define fuerza aplicada
sobre aacuterea d = dF dAEn suelos esta aplicacioacuten es distinta a la de los otros materiales puesto que el suelono es homogeacuteneo sino que es un sistema de partiacuteculas donde se encuentranpresentes las tres fases de la materia soacutelido liquido y gaseoso
Los soacutelidos son relativamente incompresibles y soportan esfuerzos cortantesestaacuteticos
El agua es incompresible y no tiene resistencia al corte
El aire es compresible y no tiene resistencia al corte
Cada una de estas fases va a reaccionar de manera distinta ante las solicitacionesexternas es por eso que debe determinarse la distribucioacuten de esfuerzos entre lasfases para poder establecer el efecto del esfuerzo en la masa
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ESFUERZO EFECTIVO
Es el esfuerzo que se produce en los contactos entre partiacuteculas de suelo y sedenota como acute= Pi
Ac
Considerando una masa de suelo que contiene particulas de diferentes tamantildeos yformas con poros o espacios vacios entre dichas particulas los cuales no
contienen agua es decir la muestra estaacute seca Sobre el aacuterea A de la seccioacutentransversal de la muestra se encuentra actuando una carga Q
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El esfuerzo no se distribuye uniformemente en toda la masa de suelo sino que
tiene un valor maacuteximo en los puntos de contacto y disminuye dentro de cadapartiacutecula
DondeP = Fuerza aplicadaA = Area de la seccioacuten transversal de la masa de suelo
Ac = Area de contacto entre las partiacuteculasPi = Fuerza aplicada en los contactos
Para determinar el valor del esfuerzo efectivo se tendriacutean que medir tanto lasfuerzas que corresponden a cada contacto como el aacuterea de contacto en cada uno de
los puntos donde se encuentran aplicadas dichas fuerzas Esto fisicamente resultaimposible por lo que estos esfuerzos no pueden ser determinados directamentesino que se calculan por medio de otros paraacutemetros que si pueden ser medidoscomo la presioacuten de poros
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PRESION DE POROSEs la presioacuten que ejerce el agua sobre los espacios vaciacuteos del suelo
Es un esfuerzo de compresioacuten puesto que el agua no tiene componente de corte yactuacutea perpendicularmente y en todas las direcciones Se denota por
El aacuterea sobre la que actuacutea la presioacuten de poros es el aacuterea de vaciacuteos la cual se puedecalcular como la diferencia entre el aacuterea total de la masa de suelo (A) y las aacutereas decontacto entre las partiacuteculas (Ac) O sea Av = A - Ac
Para obtener la fuerza actuante sobrelos poros se debe multiplicar la presioacutende poros por el aacuterea donde actuacutean
U = Av
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La fuerza soportada por el esqueleto mineral del suelo es la sumatoria de todas las
fuerzas aplicadas en cada uno de los contactos Pacute = sum Pi
La fuerza total aplicada a la masa de suelos es la suma de lo que soporta elesqueleto mineral del suelo maacutes lo que soportan los poros del suelo P = Pacute + U
Para calcular los esfuerzos actuantes se dividen ambos lados de la expresioacuten anteriorentre el aacuterea de la masa A
Como U = Av = (A - Ac) entonces P = Pacute + Av = Pacute + (A - Ac)
P = Pacute + (A - Ac) y = P
A A A A
Sustituyendo = acute + (A - Ac) y llamamos a la relacioacuten Ac = aA A
Entonces = acute + A - a = acute + ( 1 - a )
A
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Como = acute + ( 1 - a )
El valor a es despreciable puesto que las aacutereas de contacto son muy pequentildeas sise les compara con el aacuterea total A de la masa de suelo La expresioacuten se transforma en
y a = Ac A
= acute + ( 1 - 0 )
= acute +
acute = -
La expresioacuten presenta al esfuerzo efectivo en funcioacuten de dos variables el esfuerzototal y la presioacuten de poros Ambos pueden ser medidos o estimados si se conocenla densidad del suelo el espesor de los estratos y la ubicacioacuten del nivel freaacuteticoEsta expresioacuten fue propuesta por Terzaghi en la deacutecada de los 20
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El principio de esfuerzo efectivo es el concepto maacutes importante en la mecaacutenica desuelos ya que ha permitido analizar cientiacuteficamente la deformacioacuten y resistenciade los suelos
DondeP = Fuerza total aplicada a la masa de sueloP= Fuerza aplicada en los contactos o carga soportada por el esqueleto mineralA = Aacuterea transversal de la masa de sueloAc = Aacuterea de contacto entre las partiacuteculasAv = Aacuterea de vaciacuteos = Presioacuten de poros = Esfuerzo total = Esfuerzo Efectivo
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ESFUERZO TOTAL
Es generado por el peso de la masa de suelo peso del agua y estructuras sobre elmismo actuando por efecto de gravedad es decir es el peso del suelo y todo loque este encima del punto evaluado
Si son varios estratos se calcula por separado el peso de cada estrato y luego sesuman = sumi
n i Zi
Se calcula en un punto determinado multiplicando el espesor del estrato por el
peso unitario del suelo = Z
La presioacuten de poros para en condiciones hidrostaacuteticas se calcula de modosimilar multiplicando la densidad del agua por la profundidad del punto encuestioacuten Zw
= w Zw
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CAacuteLCULO DE ESFUERZOS EN CONDICIOacuteN HIDROSTAacuteTICA
Una masa de suelo esta en condicioacuten hidrostaacutetica cuando esta enreposo y al colocar piezoacutemetros en diferentes puntos y adiferentes profundidades en cualquier punto el agua se elevahasta el mismo nivel piezomeacutetrico es decir el nivel freaacutetico
= w Zw
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Para aplicar la relacioacuten entre el esfuerzo efectivo y la presioacuten de poros se
supone que el suelo se encuentra totalmente sumergido y que el agua estaacute encondiciones hidrostaacuteticas (no se mueve)
En condicioacuten saturada la presioacuten de contacto es menor que en condicioacuten huacutemedaen una magnitud igual a la flotacioacuten del agua
Ya que condicioacuten saturada la presioacuten de poros es mayor entonces acute = - mientras que en condicioacuten huacutemeda acute = donde la presioacuten de poros es menor queen condicioacuten saturada
= acute +
sat Z = acute + w Z
acute = sat Z - w Z = (sat - w) Z = acute Z
Dondesat - w = acute es el peso sumergido
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EsfuerzoTotal
(σ)
Presionde Poros
(u)
EsfuerzoEfectivo
(σrsquo)
γsat Z
Z γsat Z γw Z γrsquo
γrsquo = γsat- γw
Agua γw Z1
γsat Z2Suelo
Saturado
A
B
Z1 γw+Z2 γsat
Z1 γw
Z1 γw
Z2( γsat- γw)(Z1+Z2) γw
Perfiles comunes de esfuerzos totales efectivos ypresiones de poros
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γh Z1
γsat Z2Suelo
Saturado
C
Z1 γh+Z2 γsat
Z1 γh
Z1 γh+Z2 γrsquo Z2 γw
Esfuerzo
Total(σ)
Presion
de Poros(u)
Esfuerzo
Efectivo(σrsquo)
Suelo
Humedo Z1 γh
γsat1 Z1
γsat3 Z3Suelo
Saturado
γsat2 Z2Suelo
Saturado
Suelo
SaturadoZ1 γsat1
Z2 γsat2
Z3 γsat3
Z1 γw
Z2 γw
Z3 γw
Z1 γrsquo 1
Z2 γrsquo 2
Z3 γrsquo 3
Σni=1 Zi γsati Σn
i=1 Zi γw Σni=1 Zi γrsquo
D
Edificio 2
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1h1 = 175 Tm3
h2 = 190 Tm3 SAT2 = 205 Tm3
SAT3 = 200 Tm3
SAT4 = 208 Tm3
EJERCICIO Dado el siguiente perfil determinar el diagrama de esfuerzos totalespresion de poros y esfuerzos efectivos
D10 (2) = 0015 cm
D10 (1) = 0030 cm
D10 (3) = 005 cm
2 m
2 2 m
3 3 m
4 3 m
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EJERCICIO Dado el siguiente perfil determinar el diagrama de esfuerzos totalespresion de poros y esfuerzos efectivos
h1 = 182 Tm3
SAT1 = 195 Tm3
D10 (1)
= 0030 mm
h2 = 185 Tm3
SAT2 = 200 Tm3
D10 (2)
= 005 mm
SAT3 = 210 Tm3
1 6 m
2 5 m
3 4 m
dMax= 21 Tm3
GC = 95 w = 9 9 m
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CAacuteLCULO DE ESFUERZOS EN
CONDICIOacuteN HIDRODINAacuteMICA
La condicioacuten hidrodinaacutemica de los suelos ocurre cuando
el agua gravitacional que estaacute en estado de reposo essometida a un gradiente hidraacuteulico lo que origina unaumento en la presioacuten del liacutequido y esto se transformaen energiacutea cineacutetica transfirieacutendole movimiento a traveacutesdel suelo
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Si en dos puntos diferentes de una misma masa continua de agua haycantidades diferentes de energiacutea es decir no se alcanza el mismonivel piezomeacutetrico se produciraacute un movimiento de las partiacuteculas deagua hacia los puntos de menos energiacutea para tratar de equilibrar la
diferencia y la diferencia de carga se gasta en el trabajo de mover elagua Se presentan en estos graacuteficos algunos casos de flujo de agua endiferentes direcciones y sentidos
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h es la altura que asciende el agua en un pequentildeo tubo con respecto a un planode referencia arbitrario Esta altura es conocida como carga piezomeacutetrica y es
una medida de la energiacutea que tiene el agua La energiacutea del agua viene dada por lasuma de la energiacutea potencial (elevacioacuten) la energiacutea de presioacuten y la energiacuteacineacutetica (velocidad)
g
V p
Z hw 2
2
Z = Elevacioacuten sobre un Datum arbitrario
P = Carga de Presioacuten
w
V2 = Carga de Velocidad
2g
En los suelos el flujo es laminar y como la velocidad es muy pequentildea se
considera que su valor tiende a cero por tanto la ecuacioacuten anterior puedeexpresarse como sigue
w
p Z h
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GRADIENTE HIDRAacuteULICO
Es la peacuterdida o disipacioacuten de altura hidraacuteulica por unidad de longitud medidaen la direccioacuten en que ocurre el flujo
i = Dh L
Dondei = Gradiente hidraacuteulico = DhL (adimensional)
Dh = Peacuterdida de carga
L = Longitud de recorrido del flujo
La ley de Darcy expresa la perdida
de carga Dh que se requiere paramover el agua a traveacutes del suelo unadistancia L con un gasto q es decir Dh = q L
k A
Siempre y cuando el flujo sea laminar que es el caso
corriente de los suelos a excepcioacuten de las gravas gruesas
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El valor Dh es la peacuterdida de energiacutea causada por la viscosidad la friccioacuten y los
efectos de inercia mientras el agua va circulando a traveacutes de los canales de losporos irregulares y rugosos
Cuando hay flujo las presiones de poros tienen un comportamiento diferentedebido a la presioacuten de filtracioacuten que se produce por la friccioacuten entre el agua en
movimiento y las paredes de los vaciacuteos del suelo
La presioacuten de poros en este caso seraacute la combinacioacuten de la presioacuten de poroshidrostaacutetica y la presioacuten de filtracioacuten tal como se presenta en la siguiente
expresioacuten
= Dh Df
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La presioacuten de filtracioacuten actuacutea en la misma direccioacuten y sentido del flujo del
agua y numeacutericamente es igual al producto de la perdida de carga hidraacuteulicapor el peso unitario del agua
Df = Dh w
El agua puede moverse en distintos sentidos y direcciones En esta parte del
tema se analizaraacute el comportamiento del suelo cuando el movimiento del agua seda en direccioacuten vertical
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FLUJO DESCENDENTE
Cuando el flujo es descendente las presiones de poros se calculan como ladiferencia entre las presiones de poros en condicioacuten hidrostaacutetica y la presioacuten defiltracioacuten
= Dh - Df
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Dh varia linealmente con el espesor del estrato de suelo lo cual puede serdemostrado de la siguiente manera
i = Dh Dh = i LL
Donde
Dh = Peacuterdida de carga
L = Espesor del Estrato i = Gradiente hidraacuteulico = Constante
Perdida de carga en L = 0 Dh(0) = i L = Dh 0 = 0H
Perdida de carga en L = H2 Dh(H2) = i L = Dh H = Dh
H 2 2
Perdida de carga en L = H Dh(H) = i L = Dh H = DhH
Quedando demostrado que la variacioacuten es lineal y se puede expresar la presioacutende filtracioacuten en funcioacuten del gradiente hidraacuteulico por medio de la siguienteexpresioacuten mencionada anteriormente
Df = Dh w = i L w
ldquoEl gradiente hidraacuteulico es la pendiente de las alturas piezometricas y la perdida de energiacutea uniforme es
debida a que el suelo se supone homogeacuteneo e isoacutetropordquo
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En cuanto a los esfuerzos efectivos tenemos
acute = - = Dh - Df
acute = - (Dh - Df ) = - Dh + Df
acuteh = - Dh acute = acuteh + Df
y
Lo cual evidencia que en flujo descendente los esfuerzos efectivos se incrementan en lamisma proporcioacuten que la presioacuten de filtracioacuten y el diagrama de esfuerzos totales presionesde poros y esfuerzos efectivos queda asi
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FLUJO ASCENDENTE
El flujo es ascendente cuando la altura piezomeacutetrica en el punto inferior es mayor
que en el punto superior Las presiones de poros en este caso se calculan como lasuma de las presiones de poros en condicioacuten hidrostaacutetica y la presioacuten de filtracioacuten
= Dh + Df
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En cuanto a los esfuerzos efectivos tenemos
acute = - = Dh + Df
acute = - (Dh + Df ) = - Dh - Df
acuteh = - Dh acute = acuteh - Df
y
Lo cual indica que para flujo ascendente los esfuerzos efectivos disminuyen en igualproporcioacuten que la presioacuten de filtracioacuten y el diagrama de esfuerzos totales presiones deporos y esfuerzos efectivos queda asi
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iquestQue tiende a ocurrir cuando el flujo es Ascendente
Cuando el flujo es ascendente la friccioacuten entre el agua y las paredes de los vaciacuteostiende a levantar los granos de suelo El valor de la presioacuten de filtracioacuten puedecrecer tanto que los esfuerzos efectivos se hacen cero
La resistencia al corte de un suelo granular esdirectamente proporcional a los esfuerzosefectivos por lo que cuando estos se igualan acero el suelo pierde su resistencia al corte y seproduce lo que se conoce como ebullicioacuten delsuelo granular Este fenoacutemeno de ebullicioacuten estaacutelimitado a los suelos sin cohesioacuten y se conoce
con el nombre de Licuefaccioacuten acute
= acute h -
Δf
Fenoacutemeno tiacutepico de suelos granulares cuando pierden resistencia al corte y se
produce una separacioacuten entre las partiacuteculas que hace acute = 0
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En estos casos en que los esfuerzos efectivos se hacen cero la presioacuten de
filtracioacuten se iguala al peso del suelo
H acute ndash Dh w 0
H acute = Dh w
Dh = acute H w
Como Dh = i
H
ic = acute
w
ic seraacute el Gradiente Hidraacuteulico Criacutetico y lo definiremos como el gradiente alcual se produce la ebullicioacuten del suelo
acute = 0 acute h - Δf = 0
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En funcioacuten de la Gravedad Especiacutefica de los Solidos (Gs) y la Relacioacuten de Vaciacuteos (e)desarrollaremos una expresioacuten para el ic
ic = acute
w
Las relaciones de vaciacuteos de la gran mayoriacutea de las arenas estaacuten comprendidasentre 03 y 12 Por otro lado la gravedad especiacutefica de estos suelos oscila entre265 y 270 Si se aplica la formula en esos intervalos se tiene que
acute = sat - w sat = Gs + e w 1+e
acute = Gs + e w ndash w = w Gs + e - 1
1+e 1+e
ic = Gs - 1
1+e
Para e = 03 Gs = 265 ic = 127Gs = 270 ic = 131
Para e = 12 Gs = 265 ic = 075
Gs = 270 ic = 077ldquoSeguacuten estos resultados en un deposito de arena para cualquier Gs practico se pueden encontrar valores de ic entre
075 y 131 De modo que es importante resaltar que los valores de gradiente hidraacuteulico critico en arenas estaacuten cercanos
a la unidad rdquo
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Como se produce la licuefaccioacuten con las sacudidas
siacutesmicas fuertes
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Edificios de estructura de hormigoacuten armado concerramientos y particiones interiores de faacutebrica dantildeados por elterremoto de Nigata Japoacuten 16 de Junio de 1964 magnitudRichter 75
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Ejercicio Bajo las condiciones indicadas en la figura se pide calcular los
esfuerzos totales neutrales y efectivos en las fronteras de los estratos
L
2L
2L
γw
γsat K1
γsat K2
L
K2= 2K1
1
2
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Ejercicio En el perfil estratificado indicado determine las presiones totales
neutrales y efectivas en las fronteras indicadas ademaacutes calcule el factor de
seguridad a la licuefaccioacuten donde sea necesario
L
L
2L
3L
09L
γsat1 γh1 k1
Satcap
γsat2 k2
γsat3 k3
1
2
3
γsat1= 15 γw =12 γh1
γsat2= 17 γw
γsat3= 19 γwk2= 2k1k3= 6k1
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LEVANTAMIENTO DE UN ESTRATO DE ARCILLA
Las fuerzas de filtracioacuten afectan no solamente a los suelos sincohesioacuten sino tambieacuten a los suelos cohesivos soacutelo que lo hacen demodo distinto porque en suelos arcillosos la cohesioacuten existente entrelas partiacuteculas las mantiene unidas de modo tal que se levanta toda la
masa de suelo y no partiacuteculas individuales como en los suelosgranulares
A modo de explicar el comportamiento de los suelos cohesivospondremos el siguiente caso
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LEVANTAMIENTO DE UN ESTRATO DE ARCILLA
Se tienen dos estratos de suelo diferente un suelo cohesivo que descansa sobre unmaterial muy permeable o suelo sin cohesioacuten Se necesita realizar una excavacioacutenen el estrato cohesivo para lo cual se debe determinar la profundidad a excavar yel espesor del estrato luego de realizada la excavacioacuten (tc) de tal manera queresulte seguro al levantamiento
Para realizar la excavacioacuten
se colocan dos tablestacas enel suelo y se procede luego aabatir el nivel del agua pormedio de bombeo tratando demantenerla seca
Por otra parte se desprecianlas fuerzas de friccioacuten que seoriginan cuando se hinca latablestaca
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LEVANTAMIENTO DE UN ESTRATO DE ARCILLA
Observemos que las fuerzas verticales actuantes son el peso del suelo y la presioacutende poros que tienden a levantar el fondo de la excavacioacuten puesto que el flujo es
ascendente El nivel piezomeacutetrico en la superficie del estrato sin cohesioacuten es mayorque el nivel piezomeacutetrico en el fondo de la excavacioacuten por lo que el agua tiende asubir pero como la permeabilidad del estrato de arcilla es tan baja esto resultamuy difiacutecil y se generan presiones en el fondo del rectaacutengulo
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El suelo estaacute saturado por tanto para calcular su peso se usa el peso unitario saturadoentonces
Peso del Suelo = tc sat
Haciendo equilibrio de fuerzas verticales
La presioacuten de poros es la suma de la presioacuten hidrostaacutetica y la de filtracioacuten
= Dh + Df = tc w + Dh w = ( tc + Dh ) w
sumFv = 0 Peso del Suelo - = 0
tc sat = ( tc + Dh ) w
tc sat = tc w + Dh w
tc ( sat - w ) = Dh w tc = Dh w = Df
( sat - w ) acute
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El espesor tc es el espesor criacutetico de la excavacioacuten es decir es el espesor miacutenimo
para el cual la excavacioacuten es segura
Por lo tanto
En espesores lt de tc se produce el levantamiento del fondo de la excavacioacuten
En espesores gt de tc la excavacioacuten es estable
Este fenoacutemeno puede darse tambieacuten parcialmente socavacioacuten
cuando se forman tuacuteneles o cavernas por arrastre de finos que generaninestabilidad y lo que puede ser maacutes grave el colapso del suelo
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EJERCICIOSe pretende realizar una excavacioacuten en un estrato de arcilla de 10 mts de espesor
que descansa sobre un estrato de arena Se pide
a) Calcular la profundidad maacutexima de excavacioacuten sin que se produzca
inestabilidad o levantamiento del fondob) iquestQueacute profundidad de agua libre debe bombearse a modo de poder llevar la
excavacioacuten hasta 8 mts de profundidad
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10m
1m
9m
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10m
1m
9m N
K
habat
N
K
Dh
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FLUJO EN MEDIOS POROSOS
El agua puede fluir a traveacutes de la masa de suelo en cualquier estado
en que este se encuentre aun y cuando el este muy compactado el
agua puede fluir a traveacutes de la masa de suelo ya que los poros estaacuten
interconectados entre si permitiendo el flujo de agua en ese medioporoso movieacutendose esta a lo largo de caminos ondulantes y rugosos
que existen entre un poro y otro lo cual genera peacuterdidas de energiacutea o
carga piezomeacutetrica originadas por la friccioacuten al igual que ocurre
cuando el flujo de agua es por tuberiacuteas o por canales abiertos
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Hasta ahora el estudio del flujo en medios porosos se ha limitado alcaso unidimensional (flujo ascendente y descendente) en el que losparaacutemetros del fluido tales como presioacuten velocidad temperaturaetc son constantes en cualquier seccioacuten transversal que seaperpendicular a la direccioacuten del flujo
En esta parte del tema se estudiaraacute el flujo del agua en tresdimensiones que es el caso maacutes general para lo cual se trabajaraacute conla ecuacioacuten fundamental de flujo Posteriormente se realizansimplificaciones debido a que el anaacutelisis tridimensional de los
problemas de filtracioacuten resulta muy complejo y se trabaja conmeacutetodos aproximados que permiten su resolucioacuten en dosdimensiones
Oacute
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ECUACIOacuteN FUNDAMENTAL DE FLUJO
HIPOTESIS
Dominio Saturado
La Presioacuten y la Velocidad son funcioacuten uacutenicamente de la posicioacuten
El esqueleto mineral del suelo es perfectamente riacutegido
z
y
x x y z
dz
dy
dx
Componente vertical del flujo
Base teoacuterica de la Red de Flujo y para otros
meacutetodos de resolucioacuten de problemas de filtracioacuten
Elemento cuacutebico de suelo a traveacutes del cual se
produce flujo laminar q con componenetes x y z
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z y x qqqq
dydxdz z
VzVzdzdxdy
y
VyVydzdydx
x
VxVxdydxVzdzdxVydzdyVx
Igualamos
dydxdz z
VzVzdzdxdy y
VyVydzdydx x
VxVxq
dydxVzdzdxVydzdyVxq
saliente
entrante
Por continuidad qentrante = qsaliente
Simplificamos y llegamos a la ecuacioacuten de Continuidad 0
z
Vz
y
Vy
x
Vx
Aplicamos Ley de Darcy (V = -ki = -k h L) 02
2
2
2
2
2
z
hkz
y
hky
x
hkx
Asumimos el suelo Isotroacutepico (kx = ky = kz) h z
h
y
h
x
h 2
2
2
2
2
2
2
0
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
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La ecuacioacuten de Laplace describe matemaacuteticamente el flujo de aguaen la regioacuten considerada
Expresa la suma de la variacioacuten de los gradientes hidraacuteulicos en lasdirecciones X Y y Z es Nula
h z
h
y
h
x
h 2
2
2
2
2
2
2
0
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
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SOLUCIOacuteN DE LA ECUACIOacuteN DE LAPLACE EN 2 DIMENSIONES
FUNCIOacuteN POTENCIAL DE LA VELOCIDAD =
( x y) = constante = -kh + c Es dependiente del potencial hidraacuteulico y su variacioacuten genera velocidad en
el agua
Derivando con respecto a X y a Y
x
hk
x
y
hk
y
x
hk Vx
y
hk Vy Entonces Vx
x
Vy
y
Resolvemos derivando con respecto a X y a Y y aplicamos la ecuacioacuten de Continuidad
2
2
2
2
2
0 y x
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satisface la ecuacioacuten de Laplace siendo la solucioacuten de la mismaen dos dimensiones
define para cada valor de esa constante una linea continua cuyospuntos tiene igual potencial hidraacuteulico h y son denominadasldquoLineas Equipotencialesrdquo
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
2
2
2
2
2
0 y x
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FUNCIOacuteN DE FLUJO =
( x y) = constante
Entonces
Resolvemos derivando con respecto a X y a Y y aplicamos la ecuacioacuten de Continuidad
0 D
D
y
y x
x
Dx
Dy
Vy
Vx
Por continuidad qentrante = qsaliente
0 DD yVx xVy yVy
Vx x DD Asumiendo Vx
x
Vy
y
2
2
2
2
2
0 y x
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cumple con la ecuacioacuten de Laplace por lo tanto es una solucioacuten ala misma en dos dimensiones
define para cada valor de la constante una linea continua querepresenta la trayectoria de agua Se denominan ldquoLineas de Flujordquo oacuteldquoLineas de Corrienterdquo
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
2
2
2
2
2
0 y x
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RELACIOacuteN ENTRE LAS LINEAS EQUIPOTENCIALES YLINEAS DE FLUJO O DE CORRIENTE
Considerando las derivadas totales a lo largo de cada una de las curvas
y
x
x
y
x
y
x
y
Pendientes Reciacuteprocas y de signo contario lo cual escondicioacuten de Ortogonalidad y son Ortogonales encada punto de interseccioacuten
REDES DE FLUJO
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REDES DE FLUJO
La red de flujo es la solucioacuten graacutefica la ecuacioacuten de Laplace en 2 dimensiones
Desafortunadamente la ecuacioacuten de Laplace es matemaacuteticamente integrable solo encondiciones de frontera muy simples por lo que en la praacutectica es necesario emplearotros meacutetodos diferentes de la integracioacuten para obtener la red de flujo Uno de esosmeacutetodos es el procedimiento graacutefico de Forcheimer que resulta ser muy simple deaplicar cualquiera sea el problema de flujo uniforme en dos dimensiones
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El espacio entre cualquier par de liacuteneas de flujo consecutivas es un canal de flujoen el trazado de la red se debe seleccionar un cierto nuacutemero de canales de flujo
Nf tal que el gasto de infiltracioacuten a traveacutes de cada canal sea el mismoDq = q Nf
La peacuterdida de carga entre cualquier par de liacuteneas equipotenciales consecutivas es lamisma e igual a Dh Donde Dhacute = Dh Nd (Dh es la peacuterdida de carga total y Nd elnuacutemero de caiacutedas de potencial)
El ancho del canal es a y la distancia entre las caiacutedas equipotenciales es b paracualquier elemento considerado
El gasto que circula por cualquier elemento es Dq = k i A
El gradiente hidraacuteulico del elemento es i = Dhacute b = ( Dh Nd ) bEntoces Dq = k ( ( Dh Nd ) b ) a L donde L es el ancho de la red en la tercera dimensioacuten
REDES DE FLUJO
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REDES DE FLUJO
Como Dq = q Nf entonces q = Dq Nf = k ( ( Dh Nd ) b ) a L Nf
La razoacuten a b esta fijada por la razoacuten Nf Nd y es la misma a traveacutes de toda la redNf y Nd deben seleccionarse de modo que a = b y a b = 1 Con lo que laecuacioacuten de gasto se transforma en
Reordenando q = k Dh ( Nf Nd ) (a b ) L
q = k Dh ( Nf Nd ) L
Aacute
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1) Hacer un dibujo a escala que muestre la masa de suelo los liacutemites permeables a
traveacutes de los cuales entra y sale el agua del suelo y las fronteras impermeables que
confinan o limitan el flujo
2) Dibujar de dos a cuatro liacuteneas de flujo que formen aacutengulos rectos con los liacutemitespermeables a la entrada y a la salida y que sean aproximadamente paralelas a losliacutemites impermeables
3) Dibujar liacuteneas equipotenciales que formen aacutengulos rectos con las liacuteneas de flujo demanera que el ancho y el largo promedio del cuadrado curviliacuteneo que forman seaniguales (a=b) Desde luego esto es imposible de lograr en el primer tanteo porquelas posiciones de las liacuteneas de flujo son supuestas pero esta primera red serviraacute deguiacutea para un segundo tanteo
4) Se reajustan las liacuteneas de flujo y las liacuteneas equipotenciales hasta que todas lasintersecciones sean en aacutengulo recto y el largo y ancho de cada cuadrado seaniguales Los tamantildeos de los cuadrados pueden ser distintos pero la relacioacuten ab = 1debe mantenerse
REGLAS PRAacuteCTICAS PARA ELABORAR REDES DE FLUJO
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El logro de una solucioacuten exacta requiere de muchos tanteos y
algunos problemas no admiten en su solucioacuten un nuacutemeroexacto de canales yo de caiacutedas equipotenciales en estos casosdebe intentarse con un nuacutemero de canales yo caiacutedasequipotenciales fraccionario (media caiacuteda o medio canal porejemplo)
Al lograr trazar la red de flujo de cuadrados curviliacuteneossatisfaciendo las condiciones de frontera del problema seobtendraacute la solucioacuten graacutefica de este problema para las
condiciones de frontera del problema se obtendraacute la solucioacutengraacutefica de este para las condiciones hidrodinaacutemicasestablecidas por la ecuacioacuten de Laplace
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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J g j
6 0
0 m
BA
I II III IV V VI VII
C
D
6 0
0 m
6 0
0 m
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
1) Altura piezometrica en A
2) Esfuerzo efectivo en B
3) Gradiente hidraacuteulico velocidades de descarga y de filtracioacuten
en C
4) Presiones hidraacuteulicas sobre el tablestacado5) Gradiente hidraacuteulico de salida y factor de seguridad contra la
arena movediza (licuefaccioacuten)
6) Factor de seguridad a la Tubificacioacuten
7) Presiones hidraacuteulicas sobre el fondo impermeable
8) Presioacuten de filtracioacuten en D
9) Caudal de Filtracioacuten bajo la presa sabiendo que L= 50 m
0m 3m 5m 10m
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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J g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
γconc= 235 Tm3
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
γconc= 235 Tm3
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg γsat= 218 Tm3 γconc= 235 Tm3
LINEA SUPERFICIAL DE FLUJO
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LINEA SUPERFICIAL DE FLUJO
En algunos casos un liacutemite de las liacuteneas de flujo puede ser una superficie de agualibre o superficie de saturacioacuten que no estaacute determinada por ninguna masa soacutelida
impermeable
Tal es el caso de las presas de tierra cuyo problema de flujo presenta caracteriacutesticasespeciales y por lo tanto se requiere del uso de meacutetodos tambieacuten especiales paralograr el trazado de la red de flujo
a
b
c
Equipotencial
Liacutenea de Flujo
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En la figura se presenta una presa de tierra de un material heterogeacuteneo eacute isoacutetropo La liacutenea 1-2 es una liacutenea equipotencial puesto que es el contacto entre el suelo permeable y el agua La liacutenea1-3 es un contacto entre la frontera impermeable y el material permeable por lo tanto es unaliacutenea de flujo Entre los puntos 2 y 4 existe una frontera del flujo donde por debajo de ella elsuelo estaacute saturado y por encima no lo estaacute Ahora bien esta liacutenea que limita la zona de flujodentro de la presa recibe el nombre de liacutenea superficial de flujo o liacutenea de saturacioacuten Suforma se desconoce a priori y tambieacuten la posicioacuten del punto 4 ambos deben ser determinados almenos aproximadamente para poder trazar la red de flujo
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La liacutenea de saturacioacuten ademaacutes de ser una liacutenea de flujo es tambieacuten una liacutenea de
equipresioacuten en la que todos los puntos tienen la misma presioacuten cero Por lo tantoel potencial hidraacuteulico depende de la carga de elevacioacuten uacutenicamente y las liacuteneasequipotenciales la cortaran a intervalos verticales iguales entre si
Condiciones Generales de Entrada
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Condiciones Generales de Entrada
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Condiciones Generales de Salida
Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
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Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
Caso 1 a2 lt 30deg En este caso es posible calcular la superficie humedecida a (distancia 4 - 3) pormedio de la siguiente expresioacuten
2
2
2
2
2
2
2coscos a a a sen
hd d a
d = L - M + O3M
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Luego de dibujar la presa de tierra a escala se sentildeala en ella la superficie humedecida aguas
abajo a calculada por la foacutermula anterior El siguiente paso consiste en el trazado de laliacutenea de saturacioacuten usando el meacutetodo graacutefico aproximado de la paraacutebola baacutesica de Kozenycuyo procedimiento se describe a continuacioacuten
1 Ubicar el punto 2 en la liacutenea freaacutetica a una distancia de 03M medida desde la cara deltalud aguas arriba La cara aguas abajo del talud es tangente a la paraacutebola en el punto 4
2 Prolongar la liacutenea en el talud aguas arriba de la presa Trazar una horizontal por el punto2 hasta cortar la cara del talud aguas abajo El punto de interseccioacuten es 5
3 Dividir 4 -5 Y 5 - 2 en el mismo nuacutemero de partes iguales no maacutes de 4 o 5 y marcarestos puntos (en 2- 5 se parte de 5 numerando con letras A -B etc en 4 - 5 se parte de 4numerando A-B-C etc)
4 Trazar por 4 - 5 liacuteneas horizontales en los puntos marcados
5 Unir cada uno de los puntos marcados en la horizontal 2- 5 con el punto 46 Trazar la liacutenea freaacutetica por los puntos obtenidos 7 Como la liacutenea freaacutetica parte perpendicular a la cara del talud aguas arriba este ajuste
debe realizarse manualmente
=gt M = htg ald =L - O7M
Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
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Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
Caso 2 a2 gt 30deg En este caso el procedimiento a seguir es
d d hP 22
1 La paraacutebola tiene su origen a una distancia P del veacutertice del talud aguas abajo de lapresa es decir este veacutertice es su foco y es tangente a la vertical que pasa por elpunto P
P se calcula por medio de la siguiente expresioacuten
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2 Trazar la paraacutebola baacutesica de Kozeny En este caso la tangente al origen es una liacuteneavertical
3 La distancia desde el punto 4 hasta la interseccioacuten de la paraacutebola con el talud aguasabajo es a + Da y no es realmente el punto por donde sale el agua en el talud porlo tanto se debe realizar una correccioacuten y encontrar a Casagrande encontroacute que larelacioacuten es un escalar que puede ser llamado a y que se relaciona
con el angulo a2 seguacuten se muestra en la siguiente tabla
a
a
D
D
a a2 ( deg ) aacute
30 0375
60 0320
90 0260
120 0185
150 0105
180 0
Los valores entre estos aacutengulos pueden interpolarse
y midiendo a + Da se calcula a usando la tablaDa = aacute ( a + Da ) y a = ( a + Da ) - Da
Finalmente se trazan manualmente la entraday la salida de la liacutenea de saturacioacuten
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EJERCICIO Determine la Linea Superficial de Flujo de la presa de tierra que se presentaa continuacioacuten
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a continuacioacuten
EJERCICIO Determine la Linea Superficial de Flujo de la presa de tierra que se presentaa continuacioacuten
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2
1
a continuacioacuten
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
g
La teoriacutea de la seccioacuten transformada permite reducir al caso de un suelo homogeacuteneo e isoacutetropo un suelo en el que la permeabilidad para el flujo en la direccioacuten horizontal ( kx) y la que tenga para el flujo en la direccioacuten vertical ( ky ) sean diferentes ( kx ne Ky )(por lo general Kx en muchas veces mayor que ky )
La teoriacutea de la seccioacuten transformada es un simple artificio de calculo que se logra por una simple transformacioacuten de coordenadas y que modifica sobre el papel las dimensiones de la zona de flujo en estudio en un suelo isotropico hidraacuteulicamente equivalente
Dos tipos de transformaciones se pueden aplicar a) Haciendo
Y Ky
Kx
Y acute
Se modifican las dimensiones verticales permaneciendo constantes las horizontales
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
g
b) Haciendo
X Kx
Ky X acute
Se modifican las dimensiones Horizontales permaneciendo constantes las Verticales
En la seccioacuten transformada homogeacutenea e isoacutetropa la permeabilidad equivalente viene dada por
kykxk
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
kykxk
X Kx
Ky X acute
2 0 0 0
0 0
kx
ky
k
2 8 2 0 0
0
h
141h
500000
b352463
071b
k
Y Ky
KxY acute
kykx 2
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ESFUERZO EFECTIVO
Es el esfuerzo que se produce en los contactos entre partiacuteculas de suelo y sedenota como acute= Pi
Ac
Considerando una masa de suelo que contiene particulas de diferentes tamantildeos yformas con poros o espacios vacios entre dichas particulas los cuales no
contienen agua es decir la muestra estaacute seca Sobre el aacuterea A de la seccioacutentransversal de la muestra se encuentra actuando una carga Q
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El esfuerzo no se distribuye uniformemente en toda la masa de suelo sino que
tiene un valor maacuteximo en los puntos de contacto y disminuye dentro de cadapartiacutecula
DondeP = Fuerza aplicadaA = Area de la seccioacuten transversal de la masa de suelo
Ac = Area de contacto entre las partiacuteculasPi = Fuerza aplicada en los contactos
Para determinar el valor del esfuerzo efectivo se tendriacutean que medir tanto lasfuerzas que corresponden a cada contacto como el aacuterea de contacto en cada uno de
los puntos donde se encuentran aplicadas dichas fuerzas Esto fisicamente resultaimposible por lo que estos esfuerzos no pueden ser determinados directamentesino que se calculan por medio de otros paraacutemetros que si pueden ser medidoscomo la presioacuten de poros
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PRESION DE POROSEs la presioacuten que ejerce el agua sobre los espacios vaciacuteos del suelo
Es un esfuerzo de compresioacuten puesto que el agua no tiene componente de corte yactuacutea perpendicularmente y en todas las direcciones Se denota por
El aacuterea sobre la que actuacutea la presioacuten de poros es el aacuterea de vaciacuteos la cual se puedecalcular como la diferencia entre el aacuterea total de la masa de suelo (A) y las aacutereas decontacto entre las partiacuteculas (Ac) O sea Av = A - Ac
Para obtener la fuerza actuante sobrelos poros se debe multiplicar la presioacutende poros por el aacuterea donde actuacutean
U = Av
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La fuerza soportada por el esqueleto mineral del suelo es la sumatoria de todas las
fuerzas aplicadas en cada uno de los contactos Pacute = sum Pi
La fuerza total aplicada a la masa de suelos es la suma de lo que soporta elesqueleto mineral del suelo maacutes lo que soportan los poros del suelo P = Pacute + U
Para calcular los esfuerzos actuantes se dividen ambos lados de la expresioacuten anteriorentre el aacuterea de la masa A
Como U = Av = (A - Ac) entonces P = Pacute + Av = Pacute + (A - Ac)
P = Pacute + (A - Ac) y = P
A A A A
Sustituyendo = acute + (A - Ac) y llamamos a la relacioacuten Ac = aA A
Entonces = acute + A - a = acute + ( 1 - a )
A
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Como = acute + ( 1 - a )
El valor a es despreciable puesto que las aacutereas de contacto son muy pequentildeas sise les compara con el aacuterea total A de la masa de suelo La expresioacuten se transforma en
y a = Ac A
= acute + ( 1 - 0 )
= acute +
acute = -
La expresioacuten presenta al esfuerzo efectivo en funcioacuten de dos variables el esfuerzototal y la presioacuten de poros Ambos pueden ser medidos o estimados si se conocenla densidad del suelo el espesor de los estratos y la ubicacioacuten del nivel freaacuteticoEsta expresioacuten fue propuesta por Terzaghi en la deacutecada de los 20
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El principio de esfuerzo efectivo es el concepto maacutes importante en la mecaacutenica desuelos ya que ha permitido analizar cientiacuteficamente la deformacioacuten y resistenciade los suelos
DondeP = Fuerza total aplicada a la masa de sueloP= Fuerza aplicada en los contactos o carga soportada por el esqueleto mineralA = Aacuterea transversal de la masa de sueloAc = Aacuterea de contacto entre las partiacuteculasAv = Aacuterea de vaciacuteos = Presioacuten de poros = Esfuerzo total = Esfuerzo Efectivo
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ESFUERZO TOTAL
Es generado por el peso de la masa de suelo peso del agua y estructuras sobre elmismo actuando por efecto de gravedad es decir es el peso del suelo y todo loque este encima del punto evaluado
Si son varios estratos se calcula por separado el peso de cada estrato y luego sesuman = sumi
n i Zi
Se calcula en un punto determinado multiplicando el espesor del estrato por el
peso unitario del suelo = Z
La presioacuten de poros para en condiciones hidrostaacuteticas se calcula de modosimilar multiplicando la densidad del agua por la profundidad del punto encuestioacuten Zw
= w Zw
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CAacuteLCULO DE ESFUERZOS EN CONDICIOacuteN HIDROSTAacuteTICA
Una masa de suelo esta en condicioacuten hidrostaacutetica cuando esta enreposo y al colocar piezoacutemetros en diferentes puntos y adiferentes profundidades en cualquier punto el agua se elevahasta el mismo nivel piezomeacutetrico es decir el nivel freaacutetico
= w Zw
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Para aplicar la relacioacuten entre el esfuerzo efectivo y la presioacuten de poros se
supone que el suelo se encuentra totalmente sumergido y que el agua estaacute encondiciones hidrostaacuteticas (no se mueve)
En condicioacuten saturada la presioacuten de contacto es menor que en condicioacuten huacutemedaen una magnitud igual a la flotacioacuten del agua
Ya que condicioacuten saturada la presioacuten de poros es mayor entonces acute = - mientras que en condicioacuten huacutemeda acute = donde la presioacuten de poros es menor queen condicioacuten saturada
= acute +
sat Z = acute + w Z
acute = sat Z - w Z = (sat - w) Z = acute Z
Dondesat - w = acute es el peso sumergido
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EsfuerzoTotal
(σ)
Presionde Poros
(u)
EsfuerzoEfectivo
(σrsquo)
γsat Z
Z γsat Z γw Z γrsquo
γrsquo = γsat- γw
Agua γw Z1
γsat Z2Suelo
Saturado
A
B
Z1 γw+Z2 γsat
Z1 γw
Z1 γw
Z2( γsat- γw)(Z1+Z2) γw
Perfiles comunes de esfuerzos totales efectivos ypresiones de poros
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γh Z1
γsat Z2Suelo
Saturado
C
Z1 γh+Z2 γsat
Z1 γh
Z1 γh+Z2 γrsquo Z2 γw
Esfuerzo
Total(σ)
Presion
de Poros(u)
Esfuerzo
Efectivo(σrsquo)
Suelo
Humedo Z1 γh
γsat1 Z1
γsat3 Z3Suelo
Saturado
γsat2 Z2Suelo
Saturado
Suelo
SaturadoZ1 γsat1
Z2 γsat2
Z3 γsat3
Z1 γw
Z2 γw
Z3 γw
Z1 γrsquo 1
Z2 γrsquo 2
Z3 γrsquo 3
Σni=1 Zi γsati Σn
i=1 Zi γw Σni=1 Zi γrsquo
D
Edificio 2
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1h1 = 175 Tm3
h2 = 190 Tm3 SAT2 = 205 Tm3
SAT3 = 200 Tm3
SAT4 = 208 Tm3
EJERCICIO Dado el siguiente perfil determinar el diagrama de esfuerzos totalespresion de poros y esfuerzos efectivos
D10 (2) = 0015 cm
D10 (1) = 0030 cm
D10 (3) = 005 cm
2 m
2 2 m
3 3 m
4 3 m
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EJERCICIO Dado el siguiente perfil determinar el diagrama de esfuerzos totalespresion de poros y esfuerzos efectivos
h1 = 182 Tm3
SAT1 = 195 Tm3
D10 (1)
= 0030 mm
h2 = 185 Tm3
SAT2 = 200 Tm3
D10 (2)
= 005 mm
SAT3 = 210 Tm3
1 6 m
2 5 m
3 4 m
dMax= 21 Tm3
GC = 95 w = 9 9 m
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CAacuteLCULO DE ESFUERZOS EN
CONDICIOacuteN HIDRODINAacuteMICA
La condicioacuten hidrodinaacutemica de los suelos ocurre cuando
el agua gravitacional que estaacute en estado de reposo essometida a un gradiente hidraacuteulico lo que origina unaumento en la presioacuten del liacutequido y esto se transformaen energiacutea cineacutetica transfirieacutendole movimiento a traveacutesdel suelo
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Si en dos puntos diferentes de una misma masa continua de agua haycantidades diferentes de energiacutea es decir no se alcanza el mismonivel piezomeacutetrico se produciraacute un movimiento de las partiacuteculas deagua hacia los puntos de menos energiacutea para tratar de equilibrar la
diferencia y la diferencia de carga se gasta en el trabajo de mover elagua Se presentan en estos graacuteficos algunos casos de flujo de agua endiferentes direcciones y sentidos
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h es la altura que asciende el agua en un pequentildeo tubo con respecto a un planode referencia arbitrario Esta altura es conocida como carga piezomeacutetrica y es
una medida de la energiacutea que tiene el agua La energiacutea del agua viene dada por lasuma de la energiacutea potencial (elevacioacuten) la energiacutea de presioacuten y la energiacuteacineacutetica (velocidad)
g
V p
Z hw 2
2
Z = Elevacioacuten sobre un Datum arbitrario
P = Carga de Presioacuten
w
V2 = Carga de Velocidad
2g
En los suelos el flujo es laminar y como la velocidad es muy pequentildea se
considera que su valor tiende a cero por tanto la ecuacioacuten anterior puedeexpresarse como sigue
w
p Z h
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GRADIENTE HIDRAacuteULICO
Es la peacuterdida o disipacioacuten de altura hidraacuteulica por unidad de longitud medidaen la direccioacuten en que ocurre el flujo
i = Dh L
Dondei = Gradiente hidraacuteulico = DhL (adimensional)
Dh = Peacuterdida de carga
L = Longitud de recorrido del flujo
La ley de Darcy expresa la perdida
de carga Dh que se requiere paramover el agua a traveacutes del suelo unadistancia L con un gasto q es decir Dh = q L
k A
Siempre y cuando el flujo sea laminar que es el caso
corriente de los suelos a excepcioacuten de las gravas gruesas
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El valor Dh es la peacuterdida de energiacutea causada por la viscosidad la friccioacuten y los
efectos de inercia mientras el agua va circulando a traveacutes de los canales de losporos irregulares y rugosos
Cuando hay flujo las presiones de poros tienen un comportamiento diferentedebido a la presioacuten de filtracioacuten que se produce por la friccioacuten entre el agua en
movimiento y las paredes de los vaciacuteos del suelo
La presioacuten de poros en este caso seraacute la combinacioacuten de la presioacuten de poroshidrostaacutetica y la presioacuten de filtracioacuten tal como se presenta en la siguiente
expresioacuten
= Dh Df
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La presioacuten de filtracioacuten actuacutea en la misma direccioacuten y sentido del flujo del
agua y numeacutericamente es igual al producto de la perdida de carga hidraacuteulicapor el peso unitario del agua
Df = Dh w
El agua puede moverse en distintos sentidos y direcciones En esta parte del
tema se analizaraacute el comportamiento del suelo cuando el movimiento del agua seda en direccioacuten vertical
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FLUJO DESCENDENTE
Cuando el flujo es descendente las presiones de poros se calculan como ladiferencia entre las presiones de poros en condicioacuten hidrostaacutetica y la presioacuten defiltracioacuten
= Dh - Df
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Dh varia linealmente con el espesor del estrato de suelo lo cual puede serdemostrado de la siguiente manera
i = Dh Dh = i LL
Donde
Dh = Peacuterdida de carga
L = Espesor del Estrato i = Gradiente hidraacuteulico = Constante
Perdida de carga en L = 0 Dh(0) = i L = Dh 0 = 0H
Perdida de carga en L = H2 Dh(H2) = i L = Dh H = Dh
H 2 2
Perdida de carga en L = H Dh(H) = i L = Dh H = DhH
Quedando demostrado que la variacioacuten es lineal y se puede expresar la presioacutende filtracioacuten en funcioacuten del gradiente hidraacuteulico por medio de la siguienteexpresioacuten mencionada anteriormente
Df = Dh w = i L w
ldquoEl gradiente hidraacuteulico es la pendiente de las alturas piezometricas y la perdida de energiacutea uniforme es
debida a que el suelo se supone homogeacuteneo e isoacutetropordquo
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En cuanto a los esfuerzos efectivos tenemos
acute = - = Dh - Df
acute = - (Dh - Df ) = - Dh + Df
acuteh = - Dh acute = acuteh + Df
y
Lo cual evidencia que en flujo descendente los esfuerzos efectivos se incrementan en lamisma proporcioacuten que la presioacuten de filtracioacuten y el diagrama de esfuerzos totales presionesde poros y esfuerzos efectivos queda asi
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FLUJO ASCENDENTE
El flujo es ascendente cuando la altura piezomeacutetrica en el punto inferior es mayor
que en el punto superior Las presiones de poros en este caso se calculan como lasuma de las presiones de poros en condicioacuten hidrostaacutetica y la presioacuten de filtracioacuten
= Dh + Df
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En cuanto a los esfuerzos efectivos tenemos
acute = - = Dh + Df
acute = - (Dh + Df ) = - Dh - Df
acuteh = - Dh acute = acuteh - Df
y
Lo cual indica que para flujo ascendente los esfuerzos efectivos disminuyen en igualproporcioacuten que la presioacuten de filtracioacuten y el diagrama de esfuerzos totales presiones deporos y esfuerzos efectivos queda asi
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iquestQue tiende a ocurrir cuando el flujo es Ascendente
Cuando el flujo es ascendente la friccioacuten entre el agua y las paredes de los vaciacuteostiende a levantar los granos de suelo El valor de la presioacuten de filtracioacuten puedecrecer tanto que los esfuerzos efectivos se hacen cero
La resistencia al corte de un suelo granular esdirectamente proporcional a los esfuerzosefectivos por lo que cuando estos se igualan acero el suelo pierde su resistencia al corte y seproduce lo que se conoce como ebullicioacuten delsuelo granular Este fenoacutemeno de ebullicioacuten estaacutelimitado a los suelos sin cohesioacuten y se conoce
con el nombre de Licuefaccioacuten acute
= acute h -
Δf
Fenoacutemeno tiacutepico de suelos granulares cuando pierden resistencia al corte y se
produce una separacioacuten entre las partiacuteculas que hace acute = 0
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En estos casos en que los esfuerzos efectivos se hacen cero la presioacuten de
filtracioacuten se iguala al peso del suelo
H acute ndash Dh w 0
H acute = Dh w
Dh = acute H w
Como Dh = i
H
ic = acute
w
ic seraacute el Gradiente Hidraacuteulico Criacutetico y lo definiremos como el gradiente alcual se produce la ebullicioacuten del suelo
acute = 0 acute h - Δf = 0
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En funcioacuten de la Gravedad Especiacutefica de los Solidos (Gs) y la Relacioacuten de Vaciacuteos (e)desarrollaremos una expresioacuten para el ic
ic = acute
w
Las relaciones de vaciacuteos de la gran mayoriacutea de las arenas estaacuten comprendidasentre 03 y 12 Por otro lado la gravedad especiacutefica de estos suelos oscila entre265 y 270 Si se aplica la formula en esos intervalos se tiene que
acute = sat - w sat = Gs + e w 1+e
acute = Gs + e w ndash w = w Gs + e - 1
1+e 1+e
ic = Gs - 1
1+e
Para e = 03 Gs = 265 ic = 127Gs = 270 ic = 131
Para e = 12 Gs = 265 ic = 075
Gs = 270 ic = 077ldquoSeguacuten estos resultados en un deposito de arena para cualquier Gs practico se pueden encontrar valores de ic entre
075 y 131 De modo que es importante resaltar que los valores de gradiente hidraacuteulico critico en arenas estaacuten cercanos
a la unidad rdquo
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Como se produce la licuefaccioacuten con las sacudidas
siacutesmicas fuertes
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Edificios de estructura de hormigoacuten armado concerramientos y particiones interiores de faacutebrica dantildeados por elterremoto de Nigata Japoacuten 16 de Junio de 1964 magnitudRichter 75
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Ejercicio Bajo las condiciones indicadas en la figura se pide calcular los
esfuerzos totales neutrales y efectivos en las fronteras de los estratos
L
2L
2L
γw
γsat K1
γsat K2
L
K2= 2K1
1
2
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Ejercicio En el perfil estratificado indicado determine las presiones totales
neutrales y efectivas en las fronteras indicadas ademaacutes calcule el factor de
seguridad a la licuefaccioacuten donde sea necesario
L
L
2L
3L
09L
γsat1 γh1 k1
Satcap
γsat2 k2
γsat3 k3
1
2
3
γsat1= 15 γw =12 γh1
γsat2= 17 γw
γsat3= 19 γwk2= 2k1k3= 6k1
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LEVANTAMIENTO DE UN ESTRATO DE ARCILLA
Las fuerzas de filtracioacuten afectan no solamente a los suelos sincohesioacuten sino tambieacuten a los suelos cohesivos soacutelo que lo hacen demodo distinto porque en suelos arcillosos la cohesioacuten existente entrelas partiacuteculas las mantiene unidas de modo tal que se levanta toda la
masa de suelo y no partiacuteculas individuales como en los suelosgranulares
A modo de explicar el comportamiento de los suelos cohesivospondremos el siguiente caso
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LEVANTAMIENTO DE UN ESTRATO DE ARCILLA
Se tienen dos estratos de suelo diferente un suelo cohesivo que descansa sobre unmaterial muy permeable o suelo sin cohesioacuten Se necesita realizar una excavacioacutenen el estrato cohesivo para lo cual se debe determinar la profundidad a excavar yel espesor del estrato luego de realizada la excavacioacuten (tc) de tal manera queresulte seguro al levantamiento
Para realizar la excavacioacuten
se colocan dos tablestacas enel suelo y se procede luego aabatir el nivel del agua pormedio de bombeo tratando demantenerla seca
Por otra parte se desprecianlas fuerzas de friccioacuten que seoriginan cuando se hinca latablestaca
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LEVANTAMIENTO DE UN ESTRATO DE ARCILLA
Observemos que las fuerzas verticales actuantes son el peso del suelo y la presioacutende poros que tienden a levantar el fondo de la excavacioacuten puesto que el flujo es
ascendente El nivel piezomeacutetrico en la superficie del estrato sin cohesioacuten es mayorque el nivel piezomeacutetrico en el fondo de la excavacioacuten por lo que el agua tiende asubir pero como la permeabilidad del estrato de arcilla es tan baja esto resultamuy difiacutecil y se generan presiones en el fondo del rectaacutengulo
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El suelo estaacute saturado por tanto para calcular su peso se usa el peso unitario saturadoentonces
Peso del Suelo = tc sat
Haciendo equilibrio de fuerzas verticales
La presioacuten de poros es la suma de la presioacuten hidrostaacutetica y la de filtracioacuten
= Dh + Df = tc w + Dh w = ( tc + Dh ) w
sumFv = 0 Peso del Suelo - = 0
tc sat = ( tc + Dh ) w
tc sat = tc w + Dh w
tc ( sat - w ) = Dh w tc = Dh w = Df
( sat - w ) acute
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El espesor tc es el espesor criacutetico de la excavacioacuten es decir es el espesor miacutenimo
para el cual la excavacioacuten es segura
Por lo tanto
En espesores lt de tc se produce el levantamiento del fondo de la excavacioacuten
En espesores gt de tc la excavacioacuten es estable
Este fenoacutemeno puede darse tambieacuten parcialmente socavacioacuten
cuando se forman tuacuteneles o cavernas por arrastre de finos que generaninestabilidad y lo que puede ser maacutes grave el colapso del suelo
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EJERCICIOSe pretende realizar una excavacioacuten en un estrato de arcilla de 10 mts de espesor
que descansa sobre un estrato de arena Se pide
a) Calcular la profundidad maacutexima de excavacioacuten sin que se produzca
inestabilidad o levantamiento del fondob) iquestQueacute profundidad de agua libre debe bombearse a modo de poder llevar la
excavacioacuten hasta 8 mts de profundidad
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10m
1m
9m
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10m
1m
9m N
K
habat
N
K
Dh
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FLUJO EN MEDIOS POROSOS
El agua puede fluir a traveacutes de la masa de suelo en cualquier estado
en que este se encuentre aun y cuando el este muy compactado el
agua puede fluir a traveacutes de la masa de suelo ya que los poros estaacuten
interconectados entre si permitiendo el flujo de agua en ese medioporoso movieacutendose esta a lo largo de caminos ondulantes y rugosos
que existen entre un poro y otro lo cual genera peacuterdidas de energiacutea o
carga piezomeacutetrica originadas por la friccioacuten al igual que ocurre
cuando el flujo de agua es por tuberiacuteas o por canales abiertos
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Hasta ahora el estudio del flujo en medios porosos se ha limitado alcaso unidimensional (flujo ascendente y descendente) en el que losparaacutemetros del fluido tales como presioacuten velocidad temperaturaetc son constantes en cualquier seccioacuten transversal que seaperpendicular a la direccioacuten del flujo
En esta parte del tema se estudiaraacute el flujo del agua en tresdimensiones que es el caso maacutes general para lo cual se trabajaraacute conla ecuacioacuten fundamental de flujo Posteriormente se realizansimplificaciones debido a que el anaacutelisis tridimensional de los
problemas de filtracioacuten resulta muy complejo y se trabaja conmeacutetodos aproximados que permiten su resolucioacuten en dosdimensiones
Oacute
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ECUACIOacuteN FUNDAMENTAL DE FLUJO
HIPOTESIS
Dominio Saturado
La Presioacuten y la Velocidad son funcioacuten uacutenicamente de la posicioacuten
El esqueleto mineral del suelo es perfectamente riacutegido
z
y
x x y z
dz
dy
dx
Componente vertical del flujo
Base teoacuterica de la Red de Flujo y para otros
meacutetodos de resolucioacuten de problemas de filtracioacuten
Elemento cuacutebico de suelo a traveacutes del cual se
produce flujo laminar q con componenetes x y z
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z y x qqqq
dydxdz z
VzVzdzdxdy
y
VyVydzdydx
x
VxVxdydxVzdzdxVydzdyVx
Igualamos
dydxdz z
VzVzdzdxdy y
VyVydzdydx x
VxVxq
dydxVzdzdxVydzdyVxq
saliente
entrante
Por continuidad qentrante = qsaliente
Simplificamos y llegamos a la ecuacioacuten de Continuidad 0
z
Vz
y
Vy
x
Vx
Aplicamos Ley de Darcy (V = -ki = -k h L) 02
2
2
2
2
2
z
hkz
y
hky
x
hkx
Asumimos el suelo Isotroacutepico (kx = ky = kz) h z
h
y
h
x
h 2
2
2
2
2
2
2
0
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
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La ecuacioacuten de Laplace describe matemaacuteticamente el flujo de aguaen la regioacuten considerada
Expresa la suma de la variacioacuten de los gradientes hidraacuteulicos en lasdirecciones X Y y Z es Nula
h z
h
y
h
x
h 2
2
2
2
2
2
2
0
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
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SOLUCIOacuteN DE LA ECUACIOacuteN DE LAPLACE EN 2 DIMENSIONES
FUNCIOacuteN POTENCIAL DE LA VELOCIDAD =
( x y) = constante = -kh + c Es dependiente del potencial hidraacuteulico y su variacioacuten genera velocidad en
el agua
Derivando con respecto a X y a Y
x
hk
x
y
hk
y
x
hk Vx
y
hk Vy Entonces Vx
x
Vy
y
Resolvemos derivando con respecto a X y a Y y aplicamos la ecuacioacuten de Continuidad
2
2
2
2
2
0 y x
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satisface la ecuacioacuten de Laplace siendo la solucioacuten de la mismaen dos dimensiones
define para cada valor de esa constante una linea continua cuyospuntos tiene igual potencial hidraacuteulico h y son denominadasldquoLineas Equipotencialesrdquo
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
2
2
2
2
2
0 y x
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FUNCIOacuteN DE FLUJO =
( x y) = constante
Entonces
Resolvemos derivando con respecto a X y a Y y aplicamos la ecuacioacuten de Continuidad
0 D
D
y
y x
x
Dx
Dy
Vy
Vx
Por continuidad qentrante = qsaliente
0 DD yVx xVy yVy
Vx x DD Asumiendo Vx
x
Vy
y
2
2
2
2
2
0 y x
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cumple con la ecuacioacuten de Laplace por lo tanto es una solucioacuten ala misma en dos dimensiones
define para cada valor de la constante una linea continua querepresenta la trayectoria de agua Se denominan ldquoLineas de Flujordquo oacuteldquoLineas de Corrienterdquo
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
2
2
2
2
2
0 y x
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RELACIOacuteN ENTRE LAS LINEAS EQUIPOTENCIALES YLINEAS DE FLUJO O DE CORRIENTE
Considerando las derivadas totales a lo largo de cada una de las curvas
y
x
x
y
x
y
x
y
Pendientes Reciacuteprocas y de signo contario lo cual escondicioacuten de Ortogonalidad y son Ortogonales encada punto de interseccioacuten
REDES DE FLUJO
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REDES DE FLUJO
La red de flujo es la solucioacuten graacutefica la ecuacioacuten de Laplace en 2 dimensiones
Desafortunadamente la ecuacioacuten de Laplace es matemaacuteticamente integrable solo encondiciones de frontera muy simples por lo que en la praacutectica es necesario emplearotros meacutetodos diferentes de la integracioacuten para obtener la red de flujo Uno de esosmeacutetodos es el procedimiento graacutefico de Forcheimer que resulta ser muy simple deaplicar cualquiera sea el problema de flujo uniforme en dos dimensiones
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El espacio entre cualquier par de liacuteneas de flujo consecutivas es un canal de flujoen el trazado de la red se debe seleccionar un cierto nuacutemero de canales de flujo
Nf tal que el gasto de infiltracioacuten a traveacutes de cada canal sea el mismoDq = q Nf
La peacuterdida de carga entre cualquier par de liacuteneas equipotenciales consecutivas es lamisma e igual a Dh Donde Dhacute = Dh Nd (Dh es la peacuterdida de carga total y Nd elnuacutemero de caiacutedas de potencial)
El ancho del canal es a y la distancia entre las caiacutedas equipotenciales es b paracualquier elemento considerado
El gasto que circula por cualquier elemento es Dq = k i A
El gradiente hidraacuteulico del elemento es i = Dhacute b = ( Dh Nd ) bEntoces Dq = k ( ( Dh Nd ) b ) a L donde L es el ancho de la red en la tercera dimensioacuten
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REDES DE FLUJO
Como Dq = q Nf entonces q = Dq Nf = k ( ( Dh Nd ) b ) a L Nf
La razoacuten a b esta fijada por la razoacuten Nf Nd y es la misma a traveacutes de toda la redNf y Nd deben seleccionarse de modo que a = b y a b = 1 Con lo que laecuacioacuten de gasto se transforma en
Reordenando q = k Dh ( Nf Nd ) (a b ) L
q = k Dh ( Nf Nd ) L
Aacute
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1) Hacer un dibujo a escala que muestre la masa de suelo los liacutemites permeables a
traveacutes de los cuales entra y sale el agua del suelo y las fronteras impermeables que
confinan o limitan el flujo
2) Dibujar de dos a cuatro liacuteneas de flujo que formen aacutengulos rectos con los liacutemitespermeables a la entrada y a la salida y que sean aproximadamente paralelas a losliacutemites impermeables
3) Dibujar liacuteneas equipotenciales que formen aacutengulos rectos con las liacuteneas de flujo demanera que el ancho y el largo promedio del cuadrado curviliacuteneo que forman seaniguales (a=b) Desde luego esto es imposible de lograr en el primer tanteo porquelas posiciones de las liacuteneas de flujo son supuestas pero esta primera red serviraacute deguiacutea para un segundo tanteo
4) Se reajustan las liacuteneas de flujo y las liacuteneas equipotenciales hasta que todas lasintersecciones sean en aacutengulo recto y el largo y ancho de cada cuadrado seaniguales Los tamantildeos de los cuadrados pueden ser distintos pero la relacioacuten ab = 1debe mantenerse
REGLAS PRAacuteCTICAS PARA ELABORAR REDES DE FLUJO
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El logro de una solucioacuten exacta requiere de muchos tanteos y
algunos problemas no admiten en su solucioacuten un nuacutemeroexacto de canales yo de caiacutedas equipotenciales en estos casosdebe intentarse con un nuacutemero de canales yo caiacutedasequipotenciales fraccionario (media caiacuteda o medio canal porejemplo)
Al lograr trazar la red de flujo de cuadrados curviliacuteneossatisfaciendo las condiciones de frontera del problema seobtendraacute la solucioacuten graacutefica de este problema para las
condiciones de frontera del problema se obtendraacute la solucioacutengraacutefica de este para las condiciones hidrodinaacutemicasestablecidas por la ecuacioacuten de Laplace
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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J g j
6 0
0 m
BA
I II III IV V VI VII
C
D
6 0
0 m
6 0
0 m
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
1) Altura piezometrica en A
2) Esfuerzo efectivo en B
3) Gradiente hidraacuteulico velocidades de descarga y de filtracioacuten
en C
4) Presiones hidraacuteulicas sobre el tablestacado5) Gradiente hidraacuteulico de salida y factor de seguridad contra la
arena movediza (licuefaccioacuten)
6) Factor de seguridad a la Tubificacioacuten
7) Presiones hidraacuteulicas sobre el fondo impermeable
8) Presioacuten de filtracioacuten en D
9) Caudal de Filtracioacuten bajo la presa sabiendo que L= 50 m
0m 3m 5m 10m
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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J g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
γconc= 235 Tm3
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
γconc= 235 Tm3
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg γsat= 218 Tm3 γconc= 235 Tm3
LINEA SUPERFICIAL DE FLUJO
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LINEA SUPERFICIAL DE FLUJO
En algunos casos un liacutemite de las liacuteneas de flujo puede ser una superficie de agualibre o superficie de saturacioacuten que no estaacute determinada por ninguna masa soacutelida
impermeable
Tal es el caso de las presas de tierra cuyo problema de flujo presenta caracteriacutesticasespeciales y por lo tanto se requiere del uso de meacutetodos tambieacuten especiales paralograr el trazado de la red de flujo
a
b
c
Equipotencial
Liacutenea de Flujo
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En la figura se presenta una presa de tierra de un material heterogeacuteneo eacute isoacutetropo La liacutenea 1-2 es una liacutenea equipotencial puesto que es el contacto entre el suelo permeable y el agua La liacutenea1-3 es un contacto entre la frontera impermeable y el material permeable por lo tanto es unaliacutenea de flujo Entre los puntos 2 y 4 existe una frontera del flujo donde por debajo de ella elsuelo estaacute saturado y por encima no lo estaacute Ahora bien esta liacutenea que limita la zona de flujodentro de la presa recibe el nombre de liacutenea superficial de flujo o liacutenea de saturacioacuten Suforma se desconoce a priori y tambieacuten la posicioacuten del punto 4 ambos deben ser determinados almenos aproximadamente para poder trazar la red de flujo
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La liacutenea de saturacioacuten ademaacutes de ser una liacutenea de flujo es tambieacuten una liacutenea de
equipresioacuten en la que todos los puntos tienen la misma presioacuten cero Por lo tantoel potencial hidraacuteulico depende de la carga de elevacioacuten uacutenicamente y las liacuteneasequipotenciales la cortaran a intervalos verticales iguales entre si
Condiciones Generales de Entrada
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Condiciones Generales de Entrada
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Condiciones Generales de Salida
Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
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Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
Caso 1 a2 lt 30deg En este caso es posible calcular la superficie humedecida a (distancia 4 - 3) pormedio de la siguiente expresioacuten
2
2
2
2
2
2
2coscos a a a sen
hd d a
d = L - M + O3M
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Luego de dibujar la presa de tierra a escala se sentildeala en ella la superficie humedecida aguas
abajo a calculada por la foacutermula anterior El siguiente paso consiste en el trazado de laliacutenea de saturacioacuten usando el meacutetodo graacutefico aproximado de la paraacutebola baacutesica de Kozenycuyo procedimiento se describe a continuacioacuten
1 Ubicar el punto 2 en la liacutenea freaacutetica a una distancia de 03M medida desde la cara deltalud aguas arriba La cara aguas abajo del talud es tangente a la paraacutebola en el punto 4
2 Prolongar la liacutenea en el talud aguas arriba de la presa Trazar una horizontal por el punto2 hasta cortar la cara del talud aguas abajo El punto de interseccioacuten es 5
3 Dividir 4 -5 Y 5 - 2 en el mismo nuacutemero de partes iguales no maacutes de 4 o 5 y marcarestos puntos (en 2- 5 se parte de 5 numerando con letras A -B etc en 4 - 5 se parte de 4numerando A-B-C etc)
4 Trazar por 4 - 5 liacuteneas horizontales en los puntos marcados
5 Unir cada uno de los puntos marcados en la horizontal 2- 5 con el punto 46 Trazar la liacutenea freaacutetica por los puntos obtenidos 7 Como la liacutenea freaacutetica parte perpendicular a la cara del talud aguas arriba este ajuste
debe realizarse manualmente
=gt M = htg ald =L - O7M
Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
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Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
Caso 2 a2 gt 30deg En este caso el procedimiento a seguir es
d d hP 22
1 La paraacutebola tiene su origen a una distancia P del veacutertice del talud aguas abajo de lapresa es decir este veacutertice es su foco y es tangente a la vertical que pasa por elpunto P
P se calcula por medio de la siguiente expresioacuten
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2 Trazar la paraacutebola baacutesica de Kozeny En este caso la tangente al origen es una liacuteneavertical
3 La distancia desde el punto 4 hasta la interseccioacuten de la paraacutebola con el talud aguasabajo es a + Da y no es realmente el punto por donde sale el agua en el talud porlo tanto se debe realizar una correccioacuten y encontrar a Casagrande encontroacute que larelacioacuten es un escalar que puede ser llamado a y que se relaciona
con el angulo a2 seguacuten se muestra en la siguiente tabla
a
a
D
D
a a2 ( deg ) aacute
30 0375
60 0320
90 0260
120 0185
150 0105
180 0
Los valores entre estos aacutengulos pueden interpolarse
y midiendo a + Da se calcula a usando la tablaDa = aacute ( a + Da ) y a = ( a + Da ) - Da
Finalmente se trazan manualmente la entraday la salida de la liacutenea de saturacioacuten
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EJERCICIO Determine la Linea Superficial de Flujo de la presa de tierra que se presentaa continuacioacuten
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a continuacioacuten
EJERCICIO Determine la Linea Superficial de Flujo de la presa de tierra que se presentaa continuacioacuten
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2
1
a continuacioacuten
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
g
La teoriacutea de la seccioacuten transformada permite reducir al caso de un suelo homogeacuteneo e isoacutetropo un suelo en el que la permeabilidad para el flujo en la direccioacuten horizontal ( kx) y la que tenga para el flujo en la direccioacuten vertical ( ky ) sean diferentes ( kx ne Ky )(por lo general Kx en muchas veces mayor que ky )
La teoriacutea de la seccioacuten transformada es un simple artificio de calculo que se logra por una simple transformacioacuten de coordenadas y que modifica sobre el papel las dimensiones de la zona de flujo en estudio en un suelo isotropico hidraacuteulicamente equivalente
Dos tipos de transformaciones se pueden aplicar a) Haciendo
Y Ky
Kx
Y acute
Se modifican las dimensiones verticales permaneciendo constantes las horizontales
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
g
b) Haciendo
X Kx
Ky X acute
Se modifican las dimensiones Horizontales permaneciendo constantes las Verticales
En la seccioacuten transformada homogeacutenea e isoacutetropa la permeabilidad equivalente viene dada por
kykxk
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
kykxk
X Kx
Ky X acute
2 0 0 0
0 0
kx
ky
k
2 8 2 0 0
0
h
141h
500000
b352463
071b
k
Y Ky
KxY acute
kykx 2
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El esfuerzo no se distribuye uniformemente en toda la masa de suelo sino que
tiene un valor maacuteximo en los puntos de contacto y disminuye dentro de cadapartiacutecula
DondeP = Fuerza aplicadaA = Area de la seccioacuten transversal de la masa de suelo
Ac = Area de contacto entre las partiacuteculasPi = Fuerza aplicada en los contactos
Para determinar el valor del esfuerzo efectivo se tendriacutean que medir tanto lasfuerzas que corresponden a cada contacto como el aacuterea de contacto en cada uno de
los puntos donde se encuentran aplicadas dichas fuerzas Esto fisicamente resultaimposible por lo que estos esfuerzos no pueden ser determinados directamentesino que se calculan por medio de otros paraacutemetros que si pueden ser medidoscomo la presioacuten de poros
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PRESION DE POROSEs la presioacuten que ejerce el agua sobre los espacios vaciacuteos del suelo
Es un esfuerzo de compresioacuten puesto que el agua no tiene componente de corte yactuacutea perpendicularmente y en todas las direcciones Se denota por
El aacuterea sobre la que actuacutea la presioacuten de poros es el aacuterea de vaciacuteos la cual se puedecalcular como la diferencia entre el aacuterea total de la masa de suelo (A) y las aacutereas decontacto entre las partiacuteculas (Ac) O sea Av = A - Ac
Para obtener la fuerza actuante sobrelos poros se debe multiplicar la presioacutende poros por el aacuterea donde actuacutean
U = Av
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La fuerza soportada por el esqueleto mineral del suelo es la sumatoria de todas las
fuerzas aplicadas en cada uno de los contactos Pacute = sum Pi
La fuerza total aplicada a la masa de suelos es la suma de lo que soporta elesqueleto mineral del suelo maacutes lo que soportan los poros del suelo P = Pacute + U
Para calcular los esfuerzos actuantes se dividen ambos lados de la expresioacuten anteriorentre el aacuterea de la masa A
Como U = Av = (A - Ac) entonces P = Pacute + Av = Pacute + (A - Ac)
P = Pacute + (A - Ac) y = P
A A A A
Sustituyendo = acute + (A - Ac) y llamamos a la relacioacuten Ac = aA A
Entonces = acute + A - a = acute + ( 1 - a )
A
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Como = acute + ( 1 - a )
El valor a es despreciable puesto que las aacutereas de contacto son muy pequentildeas sise les compara con el aacuterea total A de la masa de suelo La expresioacuten se transforma en
y a = Ac A
= acute + ( 1 - 0 )
= acute +
acute = -
La expresioacuten presenta al esfuerzo efectivo en funcioacuten de dos variables el esfuerzototal y la presioacuten de poros Ambos pueden ser medidos o estimados si se conocenla densidad del suelo el espesor de los estratos y la ubicacioacuten del nivel freaacuteticoEsta expresioacuten fue propuesta por Terzaghi en la deacutecada de los 20
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El principio de esfuerzo efectivo es el concepto maacutes importante en la mecaacutenica desuelos ya que ha permitido analizar cientiacuteficamente la deformacioacuten y resistenciade los suelos
DondeP = Fuerza total aplicada a la masa de sueloP= Fuerza aplicada en los contactos o carga soportada por el esqueleto mineralA = Aacuterea transversal de la masa de sueloAc = Aacuterea de contacto entre las partiacuteculasAv = Aacuterea de vaciacuteos = Presioacuten de poros = Esfuerzo total = Esfuerzo Efectivo
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ESFUERZO TOTAL
Es generado por el peso de la masa de suelo peso del agua y estructuras sobre elmismo actuando por efecto de gravedad es decir es el peso del suelo y todo loque este encima del punto evaluado
Si son varios estratos se calcula por separado el peso de cada estrato y luego sesuman = sumi
n i Zi
Se calcula en un punto determinado multiplicando el espesor del estrato por el
peso unitario del suelo = Z
La presioacuten de poros para en condiciones hidrostaacuteticas se calcula de modosimilar multiplicando la densidad del agua por la profundidad del punto encuestioacuten Zw
= w Zw
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CAacuteLCULO DE ESFUERZOS EN CONDICIOacuteN HIDROSTAacuteTICA
Una masa de suelo esta en condicioacuten hidrostaacutetica cuando esta enreposo y al colocar piezoacutemetros en diferentes puntos y adiferentes profundidades en cualquier punto el agua se elevahasta el mismo nivel piezomeacutetrico es decir el nivel freaacutetico
= w Zw
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Para aplicar la relacioacuten entre el esfuerzo efectivo y la presioacuten de poros se
supone que el suelo se encuentra totalmente sumergido y que el agua estaacute encondiciones hidrostaacuteticas (no se mueve)
En condicioacuten saturada la presioacuten de contacto es menor que en condicioacuten huacutemedaen una magnitud igual a la flotacioacuten del agua
Ya que condicioacuten saturada la presioacuten de poros es mayor entonces acute = - mientras que en condicioacuten huacutemeda acute = donde la presioacuten de poros es menor queen condicioacuten saturada
= acute +
sat Z = acute + w Z
acute = sat Z - w Z = (sat - w) Z = acute Z
Dondesat - w = acute es el peso sumergido
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EsfuerzoTotal
(σ)
Presionde Poros
(u)
EsfuerzoEfectivo
(σrsquo)
γsat Z
Z γsat Z γw Z γrsquo
γrsquo = γsat- γw
Agua γw Z1
γsat Z2Suelo
Saturado
A
B
Z1 γw+Z2 γsat
Z1 γw
Z1 γw
Z2( γsat- γw)(Z1+Z2) γw
Perfiles comunes de esfuerzos totales efectivos ypresiones de poros
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γh Z1
γsat Z2Suelo
Saturado
C
Z1 γh+Z2 γsat
Z1 γh
Z1 γh+Z2 γrsquo Z2 γw
Esfuerzo
Total(σ)
Presion
de Poros(u)
Esfuerzo
Efectivo(σrsquo)
Suelo
Humedo Z1 γh
γsat1 Z1
γsat3 Z3Suelo
Saturado
γsat2 Z2Suelo
Saturado
Suelo
SaturadoZ1 γsat1
Z2 γsat2
Z3 γsat3
Z1 γw
Z2 γw
Z3 γw
Z1 γrsquo 1
Z2 γrsquo 2
Z3 γrsquo 3
Σni=1 Zi γsati Σn
i=1 Zi γw Σni=1 Zi γrsquo
D
Edificio 2
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1h1 = 175 Tm3
h2 = 190 Tm3 SAT2 = 205 Tm3
SAT3 = 200 Tm3
SAT4 = 208 Tm3
EJERCICIO Dado el siguiente perfil determinar el diagrama de esfuerzos totalespresion de poros y esfuerzos efectivos
D10 (2) = 0015 cm
D10 (1) = 0030 cm
D10 (3) = 005 cm
2 m
2 2 m
3 3 m
4 3 m
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EJERCICIO Dado el siguiente perfil determinar el diagrama de esfuerzos totalespresion de poros y esfuerzos efectivos
h1 = 182 Tm3
SAT1 = 195 Tm3
D10 (1)
= 0030 mm
h2 = 185 Tm3
SAT2 = 200 Tm3
D10 (2)
= 005 mm
SAT3 = 210 Tm3
1 6 m
2 5 m
3 4 m
dMax= 21 Tm3
GC = 95 w = 9 9 m
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CAacuteLCULO DE ESFUERZOS EN
CONDICIOacuteN HIDRODINAacuteMICA
La condicioacuten hidrodinaacutemica de los suelos ocurre cuando
el agua gravitacional que estaacute en estado de reposo essometida a un gradiente hidraacuteulico lo que origina unaumento en la presioacuten del liacutequido y esto se transformaen energiacutea cineacutetica transfirieacutendole movimiento a traveacutesdel suelo
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Si en dos puntos diferentes de una misma masa continua de agua haycantidades diferentes de energiacutea es decir no se alcanza el mismonivel piezomeacutetrico se produciraacute un movimiento de las partiacuteculas deagua hacia los puntos de menos energiacutea para tratar de equilibrar la
diferencia y la diferencia de carga se gasta en el trabajo de mover elagua Se presentan en estos graacuteficos algunos casos de flujo de agua endiferentes direcciones y sentidos
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h es la altura que asciende el agua en un pequentildeo tubo con respecto a un planode referencia arbitrario Esta altura es conocida como carga piezomeacutetrica y es
una medida de la energiacutea que tiene el agua La energiacutea del agua viene dada por lasuma de la energiacutea potencial (elevacioacuten) la energiacutea de presioacuten y la energiacuteacineacutetica (velocidad)
g
V p
Z hw 2
2
Z = Elevacioacuten sobre un Datum arbitrario
P = Carga de Presioacuten
w
V2 = Carga de Velocidad
2g
En los suelos el flujo es laminar y como la velocidad es muy pequentildea se
considera que su valor tiende a cero por tanto la ecuacioacuten anterior puedeexpresarse como sigue
w
p Z h
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GRADIENTE HIDRAacuteULICO
Es la peacuterdida o disipacioacuten de altura hidraacuteulica por unidad de longitud medidaen la direccioacuten en que ocurre el flujo
i = Dh L
Dondei = Gradiente hidraacuteulico = DhL (adimensional)
Dh = Peacuterdida de carga
L = Longitud de recorrido del flujo
La ley de Darcy expresa la perdida
de carga Dh que se requiere paramover el agua a traveacutes del suelo unadistancia L con un gasto q es decir Dh = q L
k A
Siempre y cuando el flujo sea laminar que es el caso
corriente de los suelos a excepcioacuten de las gravas gruesas
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El valor Dh es la peacuterdida de energiacutea causada por la viscosidad la friccioacuten y los
efectos de inercia mientras el agua va circulando a traveacutes de los canales de losporos irregulares y rugosos
Cuando hay flujo las presiones de poros tienen un comportamiento diferentedebido a la presioacuten de filtracioacuten que se produce por la friccioacuten entre el agua en
movimiento y las paredes de los vaciacuteos del suelo
La presioacuten de poros en este caso seraacute la combinacioacuten de la presioacuten de poroshidrostaacutetica y la presioacuten de filtracioacuten tal como se presenta en la siguiente
expresioacuten
= Dh Df
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La presioacuten de filtracioacuten actuacutea en la misma direccioacuten y sentido del flujo del
agua y numeacutericamente es igual al producto de la perdida de carga hidraacuteulicapor el peso unitario del agua
Df = Dh w
El agua puede moverse en distintos sentidos y direcciones En esta parte del
tema se analizaraacute el comportamiento del suelo cuando el movimiento del agua seda en direccioacuten vertical
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FLUJO DESCENDENTE
Cuando el flujo es descendente las presiones de poros se calculan como ladiferencia entre las presiones de poros en condicioacuten hidrostaacutetica y la presioacuten defiltracioacuten
= Dh - Df
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Dh varia linealmente con el espesor del estrato de suelo lo cual puede serdemostrado de la siguiente manera
i = Dh Dh = i LL
Donde
Dh = Peacuterdida de carga
L = Espesor del Estrato i = Gradiente hidraacuteulico = Constante
Perdida de carga en L = 0 Dh(0) = i L = Dh 0 = 0H
Perdida de carga en L = H2 Dh(H2) = i L = Dh H = Dh
H 2 2
Perdida de carga en L = H Dh(H) = i L = Dh H = DhH
Quedando demostrado que la variacioacuten es lineal y se puede expresar la presioacutende filtracioacuten en funcioacuten del gradiente hidraacuteulico por medio de la siguienteexpresioacuten mencionada anteriormente
Df = Dh w = i L w
ldquoEl gradiente hidraacuteulico es la pendiente de las alturas piezometricas y la perdida de energiacutea uniforme es
debida a que el suelo se supone homogeacuteneo e isoacutetropordquo
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En cuanto a los esfuerzos efectivos tenemos
acute = - = Dh - Df
acute = - (Dh - Df ) = - Dh + Df
acuteh = - Dh acute = acuteh + Df
y
Lo cual evidencia que en flujo descendente los esfuerzos efectivos se incrementan en lamisma proporcioacuten que la presioacuten de filtracioacuten y el diagrama de esfuerzos totales presionesde poros y esfuerzos efectivos queda asi
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FLUJO ASCENDENTE
El flujo es ascendente cuando la altura piezomeacutetrica en el punto inferior es mayor
que en el punto superior Las presiones de poros en este caso se calculan como lasuma de las presiones de poros en condicioacuten hidrostaacutetica y la presioacuten de filtracioacuten
= Dh + Df
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En cuanto a los esfuerzos efectivos tenemos
acute = - = Dh + Df
acute = - (Dh + Df ) = - Dh - Df
acuteh = - Dh acute = acuteh - Df
y
Lo cual indica que para flujo ascendente los esfuerzos efectivos disminuyen en igualproporcioacuten que la presioacuten de filtracioacuten y el diagrama de esfuerzos totales presiones deporos y esfuerzos efectivos queda asi
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iquestQue tiende a ocurrir cuando el flujo es Ascendente
Cuando el flujo es ascendente la friccioacuten entre el agua y las paredes de los vaciacuteostiende a levantar los granos de suelo El valor de la presioacuten de filtracioacuten puedecrecer tanto que los esfuerzos efectivos se hacen cero
La resistencia al corte de un suelo granular esdirectamente proporcional a los esfuerzosefectivos por lo que cuando estos se igualan acero el suelo pierde su resistencia al corte y seproduce lo que se conoce como ebullicioacuten delsuelo granular Este fenoacutemeno de ebullicioacuten estaacutelimitado a los suelos sin cohesioacuten y se conoce
con el nombre de Licuefaccioacuten acute
= acute h -
Δf
Fenoacutemeno tiacutepico de suelos granulares cuando pierden resistencia al corte y se
produce una separacioacuten entre las partiacuteculas que hace acute = 0
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En estos casos en que los esfuerzos efectivos se hacen cero la presioacuten de
filtracioacuten se iguala al peso del suelo
H acute ndash Dh w 0
H acute = Dh w
Dh = acute H w
Como Dh = i
H
ic = acute
w
ic seraacute el Gradiente Hidraacuteulico Criacutetico y lo definiremos como el gradiente alcual se produce la ebullicioacuten del suelo
acute = 0 acute h - Δf = 0
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En funcioacuten de la Gravedad Especiacutefica de los Solidos (Gs) y la Relacioacuten de Vaciacuteos (e)desarrollaremos una expresioacuten para el ic
ic = acute
w
Las relaciones de vaciacuteos de la gran mayoriacutea de las arenas estaacuten comprendidasentre 03 y 12 Por otro lado la gravedad especiacutefica de estos suelos oscila entre265 y 270 Si se aplica la formula en esos intervalos se tiene que
acute = sat - w sat = Gs + e w 1+e
acute = Gs + e w ndash w = w Gs + e - 1
1+e 1+e
ic = Gs - 1
1+e
Para e = 03 Gs = 265 ic = 127Gs = 270 ic = 131
Para e = 12 Gs = 265 ic = 075
Gs = 270 ic = 077ldquoSeguacuten estos resultados en un deposito de arena para cualquier Gs practico se pueden encontrar valores de ic entre
075 y 131 De modo que es importante resaltar que los valores de gradiente hidraacuteulico critico en arenas estaacuten cercanos
a la unidad rdquo
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Como se produce la licuefaccioacuten con las sacudidas
siacutesmicas fuertes
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Edificios de estructura de hormigoacuten armado concerramientos y particiones interiores de faacutebrica dantildeados por elterremoto de Nigata Japoacuten 16 de Junio de 1964 magnitudRichter 75
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Ejercicio Bajo las condiciones indicadas en la figura se pide calcular los
esfuerzos totales neutrales y efectivos en las fronteras de los estratos
L
2L
2L
γw
γsat K1
γsat K2
L
K2= 2K1
1
2
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Ejercicio En el perfil estratificado indicado determine las presiones totales
neutrales y efectivas en las fronteras indicadas ademaacutes calcule el factor de
seguridad a la licuefaccioacuten donde sea necesario
L
L
2L
3L
09L
γsat1 γh1 k1
Satcap
γsat2 k2
γsat3 k3
1
2
3
γsat1= 15 γw =12 γh1
γsat2= 17 γw
γsat3= 19 γwk2= 2k1k3= 6k1
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LEVANTAMIENTO DE UN ESTRATO DE ARCILLA
Las fuerzas de filtracioacuten afectan no solamente a los suelos sincohesioacuten sino tambieacuten a los suelos cohesivos soacutelo que lo hacen demodo distinto porque en suelos arcillosos la cohesioacuten existente entrelas partiacuteculas las mantiene unidas de modo tal que se levanta toda la
masa de suelo y no partiacuteculas individuales como en los suelosgranulares
A modo de explicar el comportamiento de los suelos cohesivospondremos el siguiente caso
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LEVANTAMIENTO DE UN ESTRATO DE ARCILLA
Se tienen dos estratos de suelo diferente un suelo cohesivo que descansa sobre unmaterial muy permeable o suelo sin cohesioacuten Se necesita realizar una excavacioacutenen el estrato cohesivo para lo cual se debe determinar la profundidad a excavar yel espesor del estrato luego de realizada la excavacioacuten (tc) de tal manera queresulte seguro al levantamiento
Para realizar la excavacioacuten
se colocan dos tablestacas enel suelo y se procede luego aabatir el nivel del agua pormedio de bombeo tratando demantenerla seca
Por otra parte se desprecianlas fuerzas de friccioacuten que seoriginan cuando se hinca latablestaca
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LEVANTAMIENTO DE UN ESTRATO DE ARCILLA
Observemos que las fuerzas verticales actuantes son el peso del suelo y la presioacutende poros que tienden a levantar el fondo de la excavacioacuten puesto que el flujo es
ascendente El nivel piezomeacutetrico en la superficie del estrato sin cohesioacuten es mayorque el nivel piezomeacutetrico en el fondo de la excavacioacuten por lo que el agua tiende asubir pero como la permeabilidad del estrato de arcilla es tan baja esto resultamuy difiacutecil y se generan presiones en el fondo del rectaacutengulo
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El suelo estaacute saturado por tanto para calcular su peso se usa el peso unitario saturadoentonces
Peso del Suelo = tc sat
Haciendo equilibrio de fuerzas verticales
La presioacuten de poros es la suma de la presioacuten hidrostaacutetica y la de filtracioacuten
= Dh + Df = tc w + Dh w = ( tc + Dh ) w
sumFv = 0 Peso del Suelo - = 0
tc sat = ( tc + Dh ) w
tc sat = tc w + Dh w
tc ( sat - w ) = Dh w tc = Dh w = Df
( sat - w ) acute
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El espesor tc es el espesor criacutetico de la excavacioacuten es decir es el espesor miacutenimo
para el cual la excavacioacuten es segura
Por lo tanto
En espesores lt de tc se produce el levantamiento del fondo de la excavacioacuten
En espesores gt de tc la excavacioacuten es estable
Este fenoacutemeno puede darse tambieacuten parcialmente socavacioacuten
cuando se forman tuacuteneles o cavernas por arrastre de finos que generaninestabilidad y lo que puede ser maacutes grave el colapso del suelo
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EJERCICIOSe pretende realizar una excavacioacuten en un estrato de arcilla de 10 mts de espesor
que descansa sobre un estrato de arena Se pide
a) Calcular la profundidad maacutexima de excavacioacuten sin que se produzca
inestabilidad o levantamiento del fondob) iquestQueacute profundidad de agua libre debe bombearse a modo de poder llevar la
excavacioacuten hasta 8 mts de profundidad
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10m
1m
9m
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10m
1m
9m N
K
habat
N
K
Dh
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FLUJO EN MEDIOS POROSOS
El agua puede fluir a traveacutes de la masa de suelo en cualquier estado
en que este se encuentre aun y cuando el este muy compactado el
agua puede fluir a traveacutes de la masa de suelo ya que los poros estaacuten
interconectados entre si permitiendo el flujo de agua en ese medioporoso movieacutendose esta a lo largo de caminos ondulantes y rugosos
que existen entre un poro y otro lo cual genera peacuterdidas de energiacutea o
carga piezomeacutetrica originadas por la friccioacuten al igual que ocurre
cuando el flujo de agua es por tuberiacuteas o por canales abiertos
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Hasta ahora el estudio del flujo en medios porosos se ha limitado alcaso unidimensional (flujo ascendente y descendente) en el que losparaacutemetros del fluido tales como presioacuten velocidad temperaturaetc son constantes en cualquier seccioacuten transversal que seaperpendicular a la direccioacuten del flujo
En esta parte del tema se estudiaraacute el flujo del agua en tresdimensiones que es el caso maacutes general para lo cual se trabajaraacute conla ecuacioacuten fundamental de flujo Posteriormente se realizansimplificaciones debido a que el anaacutelisis tridimensional de los
problemas de filtracioacuten resulta muy complejo y se trabaja conmeacutetodos aproximados que permiten su resolucioacuten en dosdimensiones
Oacute
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ECUACIOacuteN FUNDAMENTAL DE FLUJO
HIPOTESIS
Dominio Saturado
La Presioacuten y la Velocidad son funcioacuten uacutenicamente de la posicioacuten
El esqueleto mineral del suelo es perfectamente riacutegido
z
y
x x y z
dz
dy
dx
Componente vertical del flujo
Base teoacuterica de la Red de Flujo y para otros
meacutetodos de resolucioacuten de problemas de filtracioacuten
Elemento cuacutebico de suelo a traveacutes del cual se
produce flujo laminar q con componenetes x y z
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z y x qqqq
dydxdz z
VzVzdzdxdy
y
VyVydzdydx
x
VxVxdydxVzdzdxVydzdyVx
Igualamos
dydxdz z
VzVzdzdxdy y
VyVydzdydx x
VxVxq
dydxVzdzdxVydzdyVxq
saliente
entrante
Por continuidad qentrante = qsaliente
Simplificamos y llegamos a la ecuacioacuten de Continuidad 0
z
Vz
y
Vy
x
Vx
Aplicamos Ley de Darcy (V = -ki = -k h L) 02
2
2
2
2
2
z
hkz
y
hky
x
hkx
Asumimos el suelo Isotroacutepico (kx = ky = kz) h z
h
y
h
x
h 2
2
2
2
2
2
2
0
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
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La ecuacioacuten de Laplace describe matemaacuteticamente el flujo de aguaen la regioacuten considerada
Expresa la suma de la variacioacuten de los gradientes hidraacuteulicos en lasdirecciones X Y y Z es Nula
h z
h
y
h
x
h 2
2
2
2
2
2
2
0
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
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SOLUCIOacuteN DE LA ECUACIOacuteN DE LAPLACE EN 2 DIMENSIONES
FUNCIOacuteN POTENCIAL DE LA VELOCIDAD =
( x y) = constante = -kh + c Es dependiente del potencial hidraacuteulico y su variacioacuten genera velocidad en
el agua
Derivando con respecto a X y a Y
x
hk
x
y
hk
y
x
hk Vx
y
hk Vy Entonces Vx
x
Vy
y
Resolvemos derivando con respecto a X y a Y y aplicamos la ecuacioacuten de Continuidad
2
2
2
2
2
0 y x
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satisface la ecuacioacuten de Laplace siendo la solucioacuten de la mismaen dos dimensiones
define para cada valor de esa constante una linea continua cuyospuntos tiene igual potencial hidraacuteulico h y son denominadasldquoLineas Equipotencialesrdquo
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
2
2
2
2
2
0 y x
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FUNCIOacuteN DE FLUJO =
( x y) = constante
Entonces
Resolvemos derivando con respecto a X y a Y y aplicamos la ecuacioacuten de Continuidad
0 D
D
y
y x
x
Dx
Dy
Vy
Vx
Por continuidad qentrante = qsaliente
0 DD yVx xVy yVy
Vx x DD Asumiendo Vx
x
Vy
y
2
2
2
2
2
0 y x
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cumple con la ecuacioacuten de Laplace por lo tanto es una solucioacuten ala misma en dos dimensiones
define para cada valor de la constante una linea continua querepresenta la trayectoria de agua Se denominan ldquoLineas de Flujordquo oacuteldquoLineas de Corrienterdquo
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
2
2
2
2
2
0 y x
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RELACIOacuteN ENTRE LAS LINEAS EQUIPOTENCIALES YLINEAS DE FLUJO O DE CORRIENTE
Considerando las derivadas totales a lo largo de cada una de las curvas
y
x
x
y
x
y
x
y
Pendientes Reciacuteprocas y de signo contario lo cual escondicioacuten de Ortogonalidad y son Ortogonales encada punto de interseccioacuten
REDES DE FLUJO
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REDES DE FLUJO
La red de flujo es la solucioacuten graacutefica la ecuacioacuten de Laplace en 2 dimensiones
Desafortunadamente la ecuacioacuten de Laplace es matemaacuteticamente integrable solo encondiciones de frontera muy simples por lo que en la praacutectica es necesario emplearotros meacutetodos diferentes de la integracioacuten para obtener la red de flujo Uno de esosmeacutetodos es el procedimiento graacutefico de Forcheimer que resulta ser muy simple deaplicar cualquiera sea el problema de flujo uniforme en dos dimensiones
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El espacio entre cualquier par de liacuteneas de flujo consecutivas es un canal de flujoen el trazado de la red se debe seleccionar un cierto nuacutemero de canales de flujo
Nf tal que el gasto de infiltracioacuten a traveacutes de cada canal sea el mismoDq = q Nf
La peacuterdida de carga entre cualquier par de liacuteneas equipotenciales consecutivas es lamisma e igual a Dh Donde Dhacute = Dh Nd (Dh es la peacuterdida de carga total y Nd elnuacutemero de caiacutedas de potencial)
El ancho del canal es a y la distancia entre las caiacutedas equipotenciales es b paracualquier elemento considerado
El gasto que circula por cualquier elemento es Dq = k i A
El gradiente hidraacuteulico del elemento es i = Dhacute b = ( Dh Nd ) bEntoces Dq = k ( ( Dh Nd ) b ) a L donde L es el ancho de la red en la tercera dimensioacuten
REDES DE FLUJO
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REDES DE FLUJO
Como Dq = q Nf entonces q = Dq Nf = k ( ( Dh Nd ) b ) a L Nf
La razoacuten a b esta fijada por la razoacuten Nf Nd y es la misma a traveacutes de toda la redNf y Nd deben seleccionarse de modo que a = b y a b = 1 Con lo que laecuacioacuten de gasto se transforma en
Reordenando q = k Dh ( Nf Nd ) (a b ) L
q = k Dh ( Nf Nd ) L
Aacute
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1) Hacer un dibujo a escala que muestre la masa de suelo los liacutemites permeables a
traveacutes de los cuales entra y sale el agua del suelo y las fronteras impermeables que
confinan o limitan el flujo
2) Dibujar de dos a cuatro liacuteneas de flujo que formen aacutengulos rectos con los liacutemitespermeables a la entrada y a la salida y que sean aproximadamente paralelas a losliacutemites impermeables
3) Dibujar liacuteneas equipotenciales que formen aacutengulos rectos con las liacuteneas de flujo demanera que el ancho y el largo promedio del cuadrado curviliacuteneo que forman seaniguales (a=b) Desde luego esto es imposible de lograr en el primer tanteo porquelas posiciones de las liacuteneas de flujo son supuestas pero esta primera red serviraacute deguiacutea para un segundo tanteo
4) Se reajustan las liacuteneas de flujo y las liacuteneas equipotenciales hasta que todas lasintersecciones sean en aacutengulo recto y el largo y ancho de cada cuadrado seaniguales Los tamantildeos de los cuadrados pueden ser distintos pero la relacioacuten ab = 1debe mantenerse
REGLAS PRAacuteCTICAS PARA ELABORAR REDES DE FLUJO
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El logro de una solucioacuten exacta requiere de muchos tanteos y
algunos problemas no admiten en su solucioacuten un nuacutemeroexacto de canales yo de caiacutedas equipotenciales en estos casosdebe intentarse con un nuacutemero de canales yo caiacutedasequipotenciales fraccionario (media caiacuteda o medio canal porejemplo)
Al lograr trazar la red de flujo de cuadrados curviliacuteneossatisfaciendo las condiciones de frontera del problema seobtendraacute la solucioacuten graacutefica de este problema para las
condiciones de frontera del problema se obtendraacute la solucioacutengraacutefica de este para las condiciones hidrodinaacutemicasestablecidas por la ecuacioacuten de Laplace
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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J g j
6 0
0 m
BA
I II III IV V VI VII
C
D
6 0
0 m
6 0
0 m
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
1) Altura piezometrica en A
2) Esfuerzo efectivo en B
3) Gradiente hidraacuteulico velocidades de descarga y de filtracioacuten
en C
4) Presiones hidraacuteulicas sobre el tablestacado5) Gradiente hidraacuteulico de salida y factor de seguridad contra la
arena movediza (licuefaccioacuten)
6) Factor de seguridad a la Tubificacioacuten
7) Presiones hidraacuteulicas sobre el fondo impermeable
8) Presioacuten de filtracioacuten en D
9) Caudal de Filtracioacuten bajo la presa sabiendo que L= 50 m
0m 3m 5m 10m
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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J g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
γconc= 235 Tm3
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
γconc= 235 Tm3
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg γsat= 218 Tm3 γconc= 235 Tm3
LINEA SUPERFICIAL DE FLUJO
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LINEA SUPERFICIAL DE FLUJO
En algunos casos un liacutemite de las liacuteneas de flujo puede ser una superficie de agualibre o superficie de saturacioacuten que no estaacute determinada por ninguna masa soacutelida
impermeable
Tal es el caso de las presas de tierra cuyo problema de flujo presenta caracteriacutesticasespeciales y por lo tanto se requiere del uso de meacutetodos tambieacuten especiales paralograr el trazado de la red de flujo
a
b
c
Equipotencial
Liacutenea de Flujo
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En la figura se presenta una presa de tierra de un material heterogeacuteneo eacute isoacutetropo La liacutenea 1-2 es una liacutenea equipotencial puesto que es el contacto entre el suelo permeable y el agua La liacutenea1-3 es un contacto entre la frontera impermeable y el material permeable por lo tanto es unaliacutenea de flujo Entre los puntos 2 y 4 existe una frontera del flujo donde por debajo de ella elsuelo estaacute saturado y por encima no lo estaacute Ahora bien esta liacutenea que limita la zona de flujodentro de la presa recibe el nombre de liacutenea superficial de flujo o liacutenea de saturacioacuten Suforma se desconoce a priori y tambieacuten la posicioacuten del punto 4 ambos deben ser determinados almenos aproximadamente para poder trazar la red de flujo
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La liacutenea de saturacioacuten ademaacutes de ser una liacutenea de flujo es tambieacuten una liacutenea de
equipresioacuten en la que todos los puntos tienen la misma presioacuten cero Por lo tantoel potencial hidraacuteulico depende de la carga de elevacioacuten uacutenicamente y las liacuteneasequipotenciales la cortaran a intervalos verticales iguales entre si
Condiciones Generales de Entrada
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Condiciones Generales de Entrada
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Condiciones Generales de Salida
Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
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Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
Caso 1 a2 lt 30deg En este caso es posible calcular la superficie humedecida a (distancia 4 - 3) pormedio de la siguiente expresioacuten
2
2
2
2
2
2
2coscos a a a sen
hd d a
d = L - M + O3M
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Luego de dibujar la presa de tierra a escala se sentildeala en ella la superficie humedecida aguas
abajo a calculada por la foacutermula anterior El siguiente paso consiste en el trazado de laliacutenea de saturacioacuten usando el meacutetodo graacutefico aproximado de la paraacutebola baacutesica de Kozenycuyo procedimiento se describe a continuacioacuten
1 Ubicar el punto 2 en la liacutenea freaacutetica a una distancia de 03M medida desde la cara deltalud aguas arriba La cara aguas abajo del talud es tangente a la paraacutebola en el punto 4
2 Prolongar la liacutenea en el talud aguas arriba de la presa Trazar una horizontal por el punto2 hasta cortar la cara del talud aguas abajo El punto de interseccioacuten es 5
3 Dividir 4 -5 Y 5 - 2 en el mismo nuacutemero de partes iguales no maacutes de 4 o 5 y marcarestos puntos (en 2- 5 se parte de 5 numerando con letras A -B etc en 4 - 5 se parte de 4numerando A-B-C etc)
4 Trazar por 4 - 5 liacuteneas horizontales en los puntos marcados
5 Unir cada uno de los puntos marcados en la horizontal 2- 5 con el punto 46 Trazar la liacutenea freaacutetica por los puntos obtenidos 7 Como la liacutenea freaacutetica parte perpendicular a la cara del talud aguas arriba este ajuste
debe realizarse manualmente
=gt M = htg ald =L - O7M
Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
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Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
Caso 2 a2 gt 30deg En este caso el procedimiento a seguir es
d d hP 22
1 La paraacutebola tiene su origen a una distancia P del veacutertice del talud aguas abajo de lapresa es decir este veacutertice es su foco y es tangente a la vertical que pasa por elpunto P
P se calcula por medio de la siguiente expresioacuten
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2 Trazar la paraacutebola baacutesica de Kozeny En este caso la tangente al origen es una liacuteneavertical
3 La distancia desde el punto 4 hasta la interseccioacuten de la paraacutebola con el talud aguasabajo es a + Da y no es realmente el punto por donde sale el agua en el talud porlo tanto se debe realizar una correccioacuten y encontrar a Casagrande encontroacute que larelacioacuten es un escalar que puede ser llamado a y que se relaciona
con el angulo a2 seguacuten se muestra en la siguiente tabla
a
a
D
D
a a2 ( deg ) aacute
30 0375
60 0320
90 0260
120 0185
150 0105
180 0
Los valores entre estos aacutengulos pueden interpolarse
y midiendo a + Da se calcula a usando la tablaDa = aacute ( a + Da ) y a = ( a + Da ) - Da
Finalmente se trazan manualmente la entraday la salida de la liacutenea de saturacioacuten
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EJERCICIO Determine la Linea Superficial de Flujo de la presa de tierra que se presentaa continuacioacuten
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a continuacioacuten
EJERCICIO Determine la Linea Superficial de Flujo de la presa de tierra que se presentaa continuacioacuten
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2
1
a continuacioacuten
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
g
La teoriacutea de la seccioacuten transformada permite reducir al caso de un suelo homogeacuteneo e isoacutetropo un suelo en el que la permeabilidad para el flujo en la direccioacuten horizontal ( kx) y la que tenga para el flujo en la direccioacuten vertical ( ky ) sean diferentes ( kx ne Ky )(por lo general Kx en muchas veces mayor que ky )
La teoriacutea de la seccioacuten transformada es un simple artificio de calculo que se logra por una simple transformacioacuten de coordenadas y que modifica sobre el papel las dimensiones de la zona de flujo en estudio en un suelo isotropico hidraacuteulicamente equivalente
Dos tipos de transformaciones se pueden aplicar a) Haciendo
Y Ky
Kx
Y acute
Se modifican las dimensiones verticales permaneciendo constantes las horizontales
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
g
b) Haciendo
X Kx
Ky X acute
Se modifican las dimensiones Horizontales permaneciendo constantes las Verticales
En la seccioacuten transformada homogeacutenea e isoacutetropa la permeabilidad equivalente viene dada por
kykxk
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
kykxk
X Kx
Ky X acute
2 0 0 0
0 0
kx
ky
k
2 8 2 0 0
0
h
141h
500000
b352463
071b
k
Y Ky
KxY acute
kykx 2
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PRESION DE POROSEs la presioacuten que ejerce el agua sobre los espacios vaciacuteos del suelo
Es un esfuerzo de compresioacuten puesto que el agua no tiene componente de corte yactuacutea perpendicularmente y en todas las direcciones Se denota por
El aacuterea sobre la que actuacutea la presioacuten de poros es el aacuterea de vaciacuteos la cual se puedecalcular como la diferencia entre el aacuterea total de la masa de suelo (A) y las aacutereas decontacto entre las partiacuteculas (Ac) O sea Av = A - Ac
Para obtener la fuerza actuante sobrelos poros se debe multiplicar la presioacutende poros por el aacuterea donde actuacutean
U = Av
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La fuerza soportada por el esqueleto mineral del suelo es la sumatoria de todas las
fuerzas aplicadas en cada uno de los contactos Pacute = sum Pi
La fuerza total aplicada a la masa de suelos es la suma de lo que soporta elesqueleto mineral del suelo maacutes lo que soportan los poros del suelo P = Pacute + U
Para calcular los esfuerzos actuantes se dividen ambos lados de la expresioacuten anteriorentre el aacuterea de la masa A
Como U = Av = (A - Ac) entonces P = Pacute + Av = Pacute + (A - Ac)
P = Pacute + (A - Ac) y = P
A A A A
Sustituyendo = acute + (A - Ac) y llamamos a la relacioacuten Ac = aA A
Entonces = acute + A - a = acute + ( 1 - a )
A
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Como = acute + ( 1 - a )
El valor a es despreciable puesto que las aacutereas de contacto son muy pequentildeas sise les compara con el aacuterea total A de la masa de suelo La expresioacuten se transforma en
y a = Ac A
= acute + ( 1 - 0 )
= acute +
acute = -
La expresioacuten presenta al esfuerzo efectivo en funcioacuten de dos variables el esfuerzototal y la presioacuten de poros Ambos pueden ser medidos o estimados si se conocenla densidad del suelo el espesor de los estratos y la ubicacioacuten del nivel freaacuteticoEsta expresioacuten fue propuesta por Terzaghi en la deacutecada de los 20
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El principio de esfuerzo efectivo es el concepto maacutes importante en la mecaacutenica desuelos ya que ha permitido analizar cientiacuteficamente la deformacioacuten y resistenciade los suelos
DondeP = Fuerza total aplicada a la masa de sueloP= Fuerza aplicada en los contactos o carga soportada por el esqueleto mineralA = Aacuterea transversal de la masa de sueloAc = Aacuterea de contacto entre las partiacuteculasAv = Aacuterea de vaciacuteos = Presioacuten de poros = Esfuerzo total = Esfuerzo Efectivo
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ESFUERZO TOTAL
Es generado por el peso de la masa de suelo peso del agua y estructuras sobre elmismo actuando por efecto de gravedad es decir es el peso del suelo y todo loque este encima del punto evaluado
Si son varios estratos se calcula por separado el peso de cada estrato y luego sesuman = sumi
n i Zi
Se calcula en un punto determinado multiplicando el espesor del estrato por el
peso unitario del suelo = Z
La presioacuten de poros para en condiciones hidrostaacuteticas se calcula de modosimilar multiplicando la densidad del agua por la profundidad del punto encuestioacuten Zw
= w Zw
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CAacuteLCULO DE ESFUERZOS EN CONDICIOacuteN HIDROSTAacuteTICA
Una masa de suelo esta en condicioacuten hidrostaacutetica cuando esta enreposo y al colocar piezoacutemetros en diferentes puntos y adiferentes profundidades en cualquier punto el agua se elevahasta el mismo nivel piezomeacutetrico es decir el nivel freaacutetico
= w Zw
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Para aplicar la relacioacuten entre el esfuerzo efectivo y la presioacuten de poros se
supone que el suelo se encuentra totalmente sumergido y que el agua estaacute encondiciones hidrostaacuteticas (no se mueve)
En condicioacuten saturada la presioacuten de contacto es menor que en condicioacuten huacutemedaen una magnitud igual a la flotacioacuten del agua
Ya que condicioacuten saturada la presioacuten de poros es mayor entonces acute = - mientras que en condicioacuten huacutemeda acute = donde la presioacuten de poros es menor queen condicioacuten saturada
= acute +
sat Z = acute + w Z
acute = sat Z - w Z = (sat - w) Z = acute Z
Dondesat - w = acute es el peso sumergido
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EsfuerzoTotal
(σ)
Presionde Poros
(u)
EsfuerzoEfectivo
(σrsquo)
γsat Z
Z γsat Z γw Z γrsquo
γrsquo = γsat- γw
Agua γw Z1
γsat Z2Suelo
Saturado
A
B
Z1 γw+Z2 γsat
Z1 γw
Z1 γw
Z2( γsat- γw)(Z1+Z2) γw
Perfiles comunes de esfuerzos totales efectivos ypresiones de poros
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γh Z1
γsat Z2Suelo
Saturado
C
Z1 γh+Z2 γsat
Z1 γh
Z1 γh+Z2 γrsquo Z2 γw
Esfuerzo
Total(σ)
Presion
de Poros(u)
Esfuerzo
Efectivo(σrsquo)
Suelo
Humedo Z1 γh
γsat1 Z1
γsat3 Z3Suelo
Saturado
γsat2 Z2Suelo
Saturado
Suelo
SaturadoZ1 γsat1
Z2 γsat2
Z3 γsat3
Z1 γw
Z2 γw
Z3 γw
Z1 γrsquo 1
Z2 γrsquo 2
Z3 γrsquo 3
Σni=1 Zi γsati Σn
i=1 Zi γw Σni=1 Zi γrsquo
D
Edificio 2
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1h1 = 175 Tm3
h2 = 190 Tm3 SAT2 = 205 Tm3
SAT3 = 200 Tm3
SAT4 = 208 Tm3
EJERCICIO Dado el siguiente perfil determinar el diagrama de esfuerzos totalespresion de poros y esfuerzos efectivos
D10 (2) = 0015 cm
D10 (1) = 0030 cm
D10 (3) = 005 cm
2 m
2 2 m
3 3 m
4 3 m
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EJERCICIO Dado el siguiente perfil determinar el diagrama de esfuerzos totalespresion de poros y esfuerzos efectivos
h1 = 182 Tm3
SAT1 = 195 Tm3
D10 (1)
= 0030 mm
h2 = 185 Tm3
SAT2 = 200 Tm3
D10 (2)
= 005 mm
SAT3 = 210 Tm3
1 6 m
2 5 m
3 4 m
dMax= 21 Tm3
GC = 95 w = 9 9 m
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CAacuteLCULO DE ESFUERZOS EN
CONDICIOacuteN HIDRODINAacuteMICA
La condicioacuten hidrodinaacutemica de los suelos ocurre cuando
el agua gravitacional que estaacute en estado de reposo essometida a un gradiente hidraacuteulico lo que origina unaumento en la presioacuten del liacutequido y esto se transformaen energiacutea cineacutetica transfirieacutendole movimiento a traveacutesdel suelo
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Si en dos puntos diferentes de una misma masa continua de agua haycantidades diferentes de energiacutea es decir no se alcanza el mismonivel piezomeacutetrico se produciraacute un movimiento de las partiacuteculas deagua hacia los puntos de menos energiacutea para tratar de equilibrar la
diferencia y la diferencia de carga se gasta en el trabajo de mover elagua Se presentan en estos graacuteficos algunos casos de flujo de agua endiferentes direcciones y sentidos
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h es la altura que asciende el agua en un pequentildeo tubo con respecto a un planode referencia arbitrario Esta altura es conocida como carga piezomeacutetrica y es
una medida de la energiacutea que tiene el agua La energiacutea del agua viene dada por lasuma de la energiacutea potencial (elevacioacuten) la energiacutea de presioacuten y la energiacuteacineacutetica (velocidad)
g
V p
Z hw 2
2
Z = Elevacioacuten sobre un Datum arbitrario
P = Carga de Presioacuten
w
V2 = Carga de Velocidad
2g
En los suelos el flujo es laminar y como la velocidad es muy pequentildea se
considera que su valor tiende a cero por tanto la ecuacioacuten anterior puedeexpresarse como sigue
w
p Z h
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GRADIENTE HIDRAacuteULICO
Es la peacuterdida o disipacioacuten de altura hidraacuteulica por unidad de longitud medidaen la direccioacuten en que ocurre el flujo
i = Dh L
Dondei = Gradiente hidraacuteulico = DhL (adimensional)
Dh = Peacuterdida de carga
L = Longitud de recorrido del flujo
La ley de Darcy expresa la perdida
de carga Dh que se requiere paramover el agua a traveacutes del suelo unadistancia L con un gasto q es decir Dh = q L
k A
Siempre y cuando el flujo sea laminar que es el caso
corriente de los suelos a excepcioacuten de las gravas gruesas
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El valor Dh es la peacuterdida de energiacutea causada por la viscosidad la friccioacuten y los
efectos de inercia mientras el agua va circulando a traveacutes de los canales de losporos irregulares y rugosos
Cuando hay flujo las presiones de poros tienen un comportamiento diferentedebido a la presioacuten de filtracioacuten que se produce por la friccioacuten entre el agua en
movimiento y las paredes de los vaciacuteos del suelo
La presioacuten de poros en este caso seraacute la combinacioacuten de la presioacuten de poroshidrostaacutetica y la presioacuten de filtracioacuten tal como se presenta en la siguiente
expresioacuten
= Dh Df
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La presioacuten de filtracioacuten actuacutea en la misma direccioacuten y sentido del flujo del
agua y numeacutericamente es igual al producto de la perdida de carga hidraacuteulicapor el peso unitario del agua
Df = Dh w
El agua puede moverse en distintos sentidos y direcciones En esta parte del
tema se analizaraacute el comportamiento del suelo cuando el movimiento del agua seda en direccioacuten vertical
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FLUJO DESCENDENTE
Cuando el flujo es descendente las presiones de poros se calculan como ladiferencia entre las presiones de poros en condicioacuten hidrostaacutetica y la presioacuten defiltracioacuten
= Dh - Df
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Dh varia linealmente con el espesor del estrato de suelo lo cual puede serdemostrado de la siguiente manera
i = Dh Dh = i LL
Donde
Dh = Peacuterdida de carga
L = Espesor del Estrato i = Gradiente hidraacuteulico = Constante
Perdida de carga en L = 0 Dh(0) = i L = Dh 0 = 0H
Perdida de carga en L = H2 Dh(H2) = i L = Dh H = Dh
H 2 2
Perdida de carga en L = H Dh(H) = i L = Dh H = DhH
Quedando demostrado que la variacioacuten es lineal y se puede expresar la presioacutende filtracioacuten en funcioacuten del gradiente hidraacuteulico por medio de la siguienteexpresioacuten mencionada anteriormente
Df = Dh w = i L w
ldquoEl gradiente hidraacuteulico es la pendiente de las alturas piezometricas y la perdida de energiacutea uniforme es
debida a que el suelo se supone homogeacuteneo e isoacutetropordquo
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En cuanto a los esfuerzos efectivos tenemos
acute = - = Dh - Df
acute = - (Dh - Df ) = - Dh + Df
acuteh = - Dh acute = acuteh + Df
y
Lo cual evidencia que en flujo descendente los esfuerzos efectivos se incrementan en lamisma proporcioacuten que la presioacuten de filtracioacuten y el diagrama de esfuerzos totales presionesde poros y esfuerzos efectivos queda asi
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FLUJO ASCENDENTE
El flujo es ascendente cuando la altura piezomeacutetrica en el punto inferior es mayor
que en el punto superior Las presiones de poros en este caso se calculan como lasuma de las presiones de poros en condicioacuten hidrostaacutetica y la presioacuten de filtracioacuten
= Dh + Df
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En cuanto a los esfuerzos efectivos tenemos
acute = - = Dh + Df
acute = - (Dh + Df ) = - Dh - Df
acuteh = - Dh acute = acuteh - Df
y
Lo cual indica que para flujo ascendente los esfuerzos efectivos disminuyen en igualproporcioacuten que la presioacuten de filtracioacuten y el diagrama de esfuerzos totales presiones deporos y esfuerzos efectivos queda asi
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iquestQue tiende a ocurrir cuando el flujo es Ascendente
Cuando el flujo es ascendente la friccioacuten entre el agua y las paredes de los vaciacuteostiende a levantar los granos de suelo El valor de la presioacuten de filtracioacuten puedecrecer tanto que los esfuerzos efectivos se hacen cero
La resistencia al corte de un suelo granular esdirectamente proporcional a los esfuerzosefectivos por lo que cuando estos se igualan acero el suelo pierde su resistencia al corte y seproduce lo que se conoce como ebullicioacuten delsuelo granular Este fenoacutemeno de ebullicioacuten estaacutelimitado a los suelos sin cohesioacuten y se conoce
con el nombre de Licuefaccioacuten acute
= acute h -
Δf
Fenoacutemeno tiacutepico de suelos granulares cuando pierden resistencia al corte y se
produce una separacioacuten entre las partiacuteculas que hace acute = 0
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En estos casos en que los esfuerzos efectivos se hacen cero la presioacuten de
filtracioacuten se iguala al peso del suelo
H acute ndash Dh w 0
H acute = Dh w
Dh = acute H w
Como Dh = i
H
ic = acute
w
ic seraacute el Gradiente Hidraacuteulico Criacutetico y lo definiremos como el gradiente alcual se produce la ebullicioacuten del suelo
acute = 0 acute h - Δf = 0
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En funcioacuten de la Gravedad Especiacutefica de los Solidos (Gs) y la Relacioacuten de Vaciacuteos (e)desarrollaremos una expresioacuten para el ic
ic = acute
w
Las relaciones de vaciacuteos de la gran mayoriacutea de las arenas estaacuten comprendidasentre 03 y 12 Por otro lado la gravedad especiacutefica de estos suelos oscila entre265 y 270 Si se aplica la formula en esos intervalos se tiene que
acute = sat - w sat = Gs + e w 1+e
acute = Gs + e w ndash w = w Gs + e - 1
1+e 1+e
ic = Gs - 1
1+e
Para e = 03 Gs = 265 ic = 127Gs = 270 ic = 131
Para e = 12 Gs = 265 ic = 075
Gs = 270 ic = 077ldquoSeguacuten estos resultados en un deposito de arena para cualquier Gs practico se pueden encontrar valores de ic entre
075 y 131 De modo que es importante resaltar que los valores de gradiente hidraacuteulico critico en arenas estaacuten cercanos
a la unidad rdquo
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Como se produce la licuefaccioacuten con las sacudidas
siacutesmicas fuertes
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Edificios de estructura de hormigoacuten armado concerramientos y particiones interiores de faacutebrica dantildeados por elterremoto de Nigata Japoacuten 16 de Junio de 1964 magnitudRichter 75
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Ejercicio Bajo las condiciones indicadas en la figura se pide calcular los
esfuerzos totales neutrales y efectivos en las fronteras de los estratos
L
2L
2L
γw
γsat K1
γsat K2
L
K2= 2K1
1
2
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Ejercicio En el perfil estratificado indicado determine las presiones totales
neutrales y efectivas en las fronteras indicadas ademaacutes calcule el factor de
seguridad a la licuefaccioacuten donde sea necesario
L
L
2L
3L
09L
γsat1 γh1 k1
Satcap
γsat2 k2
γsat3 k3
1
2
3
γsat1= 15 γw =12 γh1
γsat2= 17 γw
γsat3= 19 γwk2= 2k1k3= 6k1
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LEVANTAMIENTO DE UN ESTRATO DE ARCILLA
Las fuerzas de filtracioacuten afectan no solamente a los suelos sincohesioacuten sino tambieacuten a los suelos cohesivos soacutelo que lo hacen demodo distinto porque en suelos arcillosos la cohesioacuten existente entrelas partiacuteculas las mantiene unidas de modo tal que se levanta toda la
masa de suelo y no partiacuteculas individuales como en los suelosgranulares
A modo de explicar el comportamiento de los suelos cohesivospondremos el siguiente caso
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LEVANTAMIENTO DE UN ESTRATO DE ARCILLA
Se tienen dos estratos de suelo diferente un suelo cohesivo que descansa sobre unmaterial muy permeable o suelo sin cohesioacuten Se necesita realizar una excavacioacutenen el estrato cohesivo para lo cual se debe determinar la profundidad a excavar yel espesor del estrato luego de realizada la excavacioacuten (tc) de tal manera queresulte seguro al levantamiento
Para realizar la excavacioacuten
se colocan dos tablestacas enel suelo y se procede luego aabatir el nivel del agua pormedio de bombeo tratando demantenerla seca
Por otra parte se desprecianlas fuerzas de friccioacuten que seoriginan cuando se hinca latablestaca
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LEVANTAMIENTO DE UN ESTRATO DE ARCILLA
Observemos que las fuerzas verticales actuantes son el peso del suelo y la presioacutende poros que tienden a levantar el fondo de la excavacioacuten puesto que el flujo es
ascendente El nivel piezomeacutetrico en la superficie del estrato sin cohesioacuten es mayorque el nivel piezomeacutetrico en el fondo de la excavacioacuten por lo que el agua tiende asubir pero como la permeabilidad del estrato de arcilla es tan baja esto resultamuy difiacutecil y se generan presiones en el fondo del rectaacutengulo
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El suelo estaacute saturado por tanto para calcular su peso se usa el peso unitario saturadoentonces
Peso del Suelo = tc sat
Haciendo equilibrio de fuerzas verticales
La presioacuten de poros es la suma de la presioacuten hidrostaacutetica y la de filtracioacuten
= Dh + Df = tc w + Dh w = ( tc + Dh ) w
sumFv = 0 Peso del Suelo - = 0
tc sat = ( tc + Dh ) w
tc sat = tc w + Dh w
tc ( sat - w ) = Dh w tc = Dh w = Df
( sat - w ) acute
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El espesor tc es el espesor criacutetico de la excavacioacuten es decir es el espesor miacutenimo
para el cual la excavacioacuten es segura
Por lo tanto
En espesores lt de tc se produce el levantamiento del fondo de la excavacioacuten
En espesores gt de tc la excavacioacuten es estable
Este fenoacutemeno puede darse tambieacuten parcialmente socavacioacuten
cuando se forman tuacuteneles o cavernas por arrastre de finos que generaninestabilidad y lo que puede ser maacutes grave el colapso del suelo
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EJERCICIOSe pretende realizar una excavacioacuten en un estrato de arcilla de 10 mts de espesor
que descansa sobre un estrato de arena Se pide
a) Calcular la profundidad maacutexima de excavacioacuten sin que se produzca
inestabilidad o levantamiento del fondob) iquestQueacute profundidad de agua libre debe bombearse a modo de poder llevar la
excavacioacuten hasta 8 mts de profundidad
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10m
1m
9m
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10m
1m
9m N
K
habat
N
K
Dh
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FLUJO EN MEDIOS POROSOS
El agua puede fluir a traveacutes de la masa de suelo en cualquier estado
en que este se encuentre aun y cuando el este muy compactado el
agua puede fluir a traveacutes de la masa de suelo ya que los poros estaacuten
interconectados entre si permitiendo el flujo de agua en ese medioporoso movieacutendose esta a lo largo de caminos ondulantes y rugosos
que existen entre un poro y otro lo cual genera peacuterdidas de energiacutea o
carga piezomeacutetrica originadas por la friccioacuten al igual que ocurre
cuando el flujo de agua es por tuberiacuteas o por canales abiertos
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Hasta ahora el estudio del flujo en medios porosos se ha limitado alcaso unidimensional (flujo ascendente y descendente) en el que losparaacutemetros del fluido tales como presioacuten velocidad temperaturaetc son constantes en cualquier seccioacuten transversal que seaperpendicular a la direccioacuten del flujo
En esta parte del tema se estudiaraacute el flujo del agua en tresdimensiones que es el caso maacutes general para lo cual se trabajaraacute conla ecuacioacuten fundamental de flujo Posteriormente se realizansimplificaciones debido a que el anaacutelisis tridimensional de los
problemas de filtracioacuten resulta muy complejo y se trabaja conmeacutetodos aproximados que permiten su resolucioacuten en dosdimensiones
Oacute
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ECUACIOacuteN FUNDAMENTAL DE FLUJO
HIPOTESIS
Dominio Saturado
La Presioacuten y la Velocidad son funcioacuten uacutenicamente de la posicioacuten
El esqueleto mineral del suelo es perfectamente riacutegido
z
y
x x y z
dz
dy
dx
Componente vertical del flujo
Base teoacuterica de la Red de Flujo y para otros
meacutetodos de resolucioacuten de problemas de filtracioacuten
Elemento cuacutebico de suelo a traveacutes del cual se
produce flujo laminar q con componenetes x y z
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z y x qqqq
dydxdz z
VzVzdzdxdy
y
VyVydzdydx
x
VxVxdydxVzdzdxVydzdyVx
Igualamos
dydxdz z
VzVzdzdxdy y
VyVydzdydx x
VxVxq
dydxVzdzdxVydzdyVxq
saliente
entrante
Por continuidad qentrante = qsaliente
Simplificamos y llegamos a la ecuacioacuten de Continuidad 0
z
Vz
y
Vy
x
Vx
Aplicamos Ley de Darcy (V = -ki = -k h L) 02
2
2
2
2
2
z
hkz
y
hky
x
hkx
Asumimos el suelo Isotroacutepico (kx = ky = kz) h z
h
y
h
x
h 2
2
2
2
2
2
2
0
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
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La ecuacioacuten de Laplace describe matemaacuteticamente el flujo de aguaen la regioacuten considerada
Expresa la suma de la variacioacuten de los gradientes hidraacuteulicos en lasdirecciones X Y y Z es Nula
h z
h
y
h
x
h 2
2
2
2
2
2
2
0
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
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SOLUCIOacuteN DE LA ECUACIOacuteN DE LAPLACE EN 2 DIMENSIONES
FUNCIOacuteN POTENCIAL DE LA VELOCIDAD =
( x y) = constante = -kh + c Es dependiente del potencial hidraacuteulico y su variacioacuten genera velocidad en
el agua
Derivando con respecto a X y a Y
x
hk
x
y
hk
y
x
hk Vx
y
hk Vy Entonces Vx
x
Vy
y
Resolvemos derivando con respecto a X y a Y y aplicamos la ecuacioacuten de Continuidad
2
2
2
2
2
0 y x
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satisface la ecuacioacuten de Laplace siendo la solucioacuten de la mismaen dos dimensiones
define para cada valor de esa constante una linea continua cuyospuntos tiene igual potencial hidraacuteulico h y son denominadasldquoLineas Equipotencialesrdquo
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
2
2
2
2
2
0 y x
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FUNCIOacuteN DE FLUJO =
( x y) = constante
Entonces
Resolvemos derivando con respecto a X y a Y y aplicamos la ecuacioacuten de Continuidad
0 D
D
y
y x
x
Dx
Dy
Vy
Vx
Por continuidad qentrante = qsaliente
0 DD yVx xVy yVy
Vx x DD Asumiendo Vx
x
Vy
y
2
2
2
2
2
0 y x
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cumple con la ecuacioacuten de Laplace por lo tanto es una solucioacuten ala misma en dos dimensiones
define para cada valor de la constante una linea continua querepresenta la trayectoria de agua Se denominan ldquoLineas de Flujordquo oacuteldquoLineas de Corrienterdquo
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
2
2
2
2
2
0 y x
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RELACIOacuteN ENTRE LAS LINEAS EQUIPOTENCIALES YLINEAS DE FLUJO O DE CORRIENTE
Considerando las derivadas totales a lo largo de cada una de las curvas
y
x
x
y
x
y
x
y
Pendientes Reciacuteprocas y de signo contario lo cual escondicioacuten de Ortogonalidad y son Ortogonales encada punto de interseccioacuten
REDES DE FLUJO
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REDES DE FLUJO
La red de flujo es la solucioacuten graacutefica la ecuacioacuten de Laplace en 2 dimensiones
Desafortunadamente la ecuacioacuten de Laplace es matemaacuteticamente integrable solo encondiciones de frontera muy simples por lo que en la praacutectica es necesario emplearotros meacutetodos diferentes de la integracioacuten para obtener la red de flujo Uno de esosmeacutetodos es el procedimiento graacutefico de Forcheimer que resulta ser muy simple deaplicar cualquiera sea el problema de flujo uniforme en dos dimensiones
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El espacio entre cualquier par de liacuteneas de flujo consecutivas es un canal de flujoen el trazado de la red se debe seleccionar un cierto nuacutemero de canales de flujo
Nf tal que el gasto de infiltracioacuten a traveacutes de cada canal sea el mismoDq = q Nf
La peacuterdida de carga entre cualquier par de liacuteneas equipotenciales consecutivas es lamisma e igual a Dh Donde Dhacute = Dh Nd (Dh es la peacuterdida de carga total y Nd elnuacutemero de caiacutedas de potencial)
El ancho del canal es a y la distancia entre las caiacutedas equipotenciales es b paracualquier elemento considerado
El gasto que circula por cualquier elemento es Dq = k i A
El gradiente hidraacuteulico del elemento es i = Dhacute b = ( Dh Nd ) bEntoces Dq = k ( ( Dh Nd ) b ) a L donde L es el ancho de la red en la tercera dimensioacuten
REDES DE FLUJO
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REDES DE FLUJO
Como Dq = q Nf entonces q = Dq Nf = k ( ( Dh Nd ) b ) a L Nf
La razoacuten a b esta fijada por la razoacuten Nf Nd y es la misma a traveacutes de toda la redNf y Nd deben seleccionarse de modo que a = b y a b = 1 Con lo que laecuacioacuten de gasto se transforma en
Reordenando q = k Dh ( Nf Nd ) (a b ) L
q = k Dh ( Nf Nd ) L
Aacute
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1) Hacer un dibujo a escala que muestre la masa de suelo los liacutemites permeables a
traveacutes de los cuales entra y sale el agua del suelo y las fronteras impermeables que
confinan o limitan el flujo
2) Dibujar de dos a cuatro liacuteneas de flujo que formen aacutengulos rectos con los liacutemitespermeables a la entrada y a la salida y que sean aproximadamente paralelas a losliacutemites impermeables
3) Dibujar liacuteneas equipotenciales que formen aacutengulos rectos con las liacuteneas de flujo demanera que el ancho y el largo promedio del cuadrado curviliacuteneo que forman seaniguales (a=b) Desde luego esto es imposible de lograr en el primer tanteo porquelas posiciones de las liacuteneas de flujo son supuestas pero esta primera red serviraacute deguiacutea para un segundo tanteo
4) Se reajustan las liacuteneas de flujo y las liacuteneas equipotenciales hasta que todas lasintersecciones sean en aacutengulo recto y el largo y ancho de cada cuadrado seaniguales Los tamantildeos de los cuadrados pueden ser distintos pero la relacioacuten ab = 1debe mantenerse
REGLAS PRAacuteCTICAS PARA ELABORAR REDES DE FLUJO
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El logro de una solucioacuten exacta requiere de muchos tanteos y
algunos problemas no admiten en su solucioacuten un nuacutemeroexacto de canales yo de caiacutedas equipotenciales en estos casosdebe intentarse con un nuacutemero de canales yo caiacutedasequipotenciales fraccionario (media caiacuteda o medio canal porejemplo)
Al lograr trazar la red de flujo de cuadrados curviliacuteneossatisfaciendo las condiciones de frontera del problema seobtendraacute la solucioacuten graacutefica de este problema para las
condiciones de frontera del problema se obtendraacute la solucioacutengraacutefica de este para las condiciones hidrodinaacutemicasestablecidas por la ecuacioacuten de Laplace
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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J g j
6 0
0 m
BA
I II III IV V VI VII
C
D
6 0
0 m
6 0
0 m
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
1) Altura piezometrica en A
2) Esfuerzo efectivo en B
3) Gradiente hidraacuteulico velocidades de descarga y de filtracioacuten
en C
4) Presiones hidraacuteulicas sobre el tablestacado5) Gradiente hidraacuteulico de salida y factor de seguridad contra la
arena movediza (licuefaccioacuten)
6) Factor de seguridad a la Tubificacioacuten
7) Presiones hidraacuteulicas sobre el fondo impermeable
8) Presioacuten de filtracioacuten en D
9) Caudal de Filtracioacuten bajo la presa sabiendo que L= 50 m
0m 3m 5m 10m
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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J g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
γconc= 235 Tm3
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
γconc= 235 Tm3
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg γsat= 218 Tm3 γconc= 235 Tm3
LINEA SUPERFICIAL DE FLUJO
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LINEA SUPERFICIAL DE FLUJO
En algunos casos un liacutemite de las liacuteneas de flujo puede ser una superficie de agualibre o superficie de saturacioacuten que no estaacute determinada por ninguna masa soacutelida
impermeable
Tal es el caso de las presas de tierra cuyo problema de flujo presenta caracteriacutesticasespeciales y por lo tanto se requiere del uso de meacutetodos tambieacuten especiales paralograr el trazado de la red de flujo
a
b
c
Equipotencial
Liacutenea de Flujo
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En la figura se presenta una presa de tierra de un material heterogeacuteneo eacute isoacutetropo La liacutenea 1-2 es una liacutenea equipotencial puesto que es el contacto entre el suelo permeable y el agua La liacutenea1-3 es un contacto entre la frontera impermeable y el material permeable por lo tanto es unaliacutenea de flujo Entre los puntos 2 y 4 existe una frontera del flujo donde por debajo de ella elsuelo estaacute saturado y por encima no lo estaacute Ahora bien esta liacutenea que limita la zona de flujodentro de la presa recibe el nombre de liacutenea superficial de flujo o liacutenea de saturacioacuten Suforma se desconoce a priori y tambieacuten la posicioacuten del punto 4 ambos deben ser determinados almenos aproximadamente para poder trazar la red de flujo
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La liacutenea de saturacioacuten ademaacutes de ser una liacutenea de flujo es tambieacuten una liacutenea de
equipresioacuten en la que todos los puntos tienen la misma presioacuten cero Por lo tantoel potencial hidraacuteulico depende de la carga de elevacioacuten uacutenicamente y las liacuteneasequipotenciales la cortaran a intervalos verticales iguales entre si
Condiciones Generales de Entrada
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Condiciones Generales de Entrada
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Condiciones Generales de Salida
Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
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Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
Caso 1 a2 lt 30deg En este caso es posible calcular la superficie humedecida a (distancia 4 - 3) pormedio de la siguiente expresioacuten
2
2
2
2
2
2
2coscos a a a sen
hd d a
d = L - M + O3M
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Luego de dibujar la presa de tierra a escala se sentildeala en ella la superficie humedecida aguas
abajo a calculada por la foacutermula anterior El siguiente paso consiste en el trazado de laliacutenea de saturacioacuten usando el meacutetodo graacutefico aproximado de la paraacutebola baacutesica de Kozenycuyo procedimiento se describe a continuacioacuten
1 Ubicar el punto 2 en la liacutenea freaacutetica a una distancia de 03M medida desde la cara deltalud aguas arriba La cara aguas abajo del talud es tangente a la paraacutebola en el punto 4
2 Prolongar la liacutenea en el talud aguas arriba de la presa Trazar una horizontal por el punto2 hasta cortar la cara del talud aguas abajo El punto de interseccioacuten es 5
3 Dividir 4 -5 Y 5 - 2 en el mismo nuacutemero de partes iguales no maacutes de 4 o 5 y marcarestos puntos (en 2- 5 se parte de 5 numerando con letras A -B etc en 4 - 5 se parte de 4numerando A-B-C etc)
4 Trazar por 4 - 5 liacuteneas horizontales en los puntos marcados
5 Unir cada uno de los puntos marcados en la horizontal 2- 5 con el punto 46 Trazar la liacutenea freaacutetica por los puntos obtenidos 7 Como la liacutenea freaacutetica parte perpendicular a la cara del talud aguas arriba este ajuste
debe realizarse manualmente
=gt M = htg ald =L - O7M
Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
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Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
Caso 2 a2 gt 30deg En este caso el procedimiento a seguir es
d d hP 22
1 La paraacutebola tiene su origen a una distancia P del veacutertice del talud aguas abajo de lapresa es decir este veacutertice es su foco y es tangente a la vertical que pasa por elpunto P
P se calcula por medio de la siguiente expresioacuten
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2 Trazar la paraacutebola baacutesica de Kozeny En este caso la tangente al origen es una liacuteneavertical
3 La distancia desde el punto 4 hasta la interseccioacuten de la paraacutebola con el talud aguasabajo es a + Da y no es realmente el punto por donde sale el agua en el talud porlo tanto se debe realizar una correccioacuten y encontrar a Casagrande encontroacute que larelacioacuten es un escalar que puede ser llamado a y que se relaciona
con el angulo a2 seguacuten se muestra en la siguiente tabla
a
a
D
D
a a2 ( deg ) aacute
30 0375
60 0320
90 0260
120 0185
150 0105
180 0
Los valores entre estos aacutengulos pueden interpolarse
y midiendo a + Da se calcula a usando la tablaDa = aacute ( a + Da ) y a = ( a + Da ) - Da
Finalmente se trazan manualmente la entraday la salida de la liacutenea de saturacioacuten
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EJERCICIO Determine la Linea Superficial de Flujo de la presa de tierra que se presentaa continuacioacuten
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a continuacioacuten
EJERCICIO Determine la Linea Superficial de Flujo de la presa de tierra que se presentaa continuacioacuten
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2
1
a continuacioacuten
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
g
La teoriacutea de la seccioacuten transformada permite reducir al caso de un suelo homogeacuteneo e isoacutetropo un suelo en el que la permeabilidad para el flujo en la direccioacuten horizontal ( kx) y la que tenga para el flujo en la direccioacuten vertical ( ky ) sean diferentes ( kx ne Ky )(por lo general Kx en muchas veces mayor que ky )
La teoriacutea de la seccioacuten transformada es un simple artificio de calculo que se logra por una simple transformacioacuten de coordenadas y que modifica sobre el papel las dimensiones de la zona de flujo en estudio en un suelo isotropico hidraacuteulicamente equivalente
Dos tipos de transformaciones se pueden aplicar a) Haciendo
Y Ky
Kx
Y acute
Se modifican las dimensiones verticales permaneciendo constantes las horizontales
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
g
b) Haciendo
X Kx
Ky X acute
Se modifican las dimensiones Horizontales permaneciendo constantes las Verticales
En la seccioacuten transformada homogeacutenea e isoacutetropa la permeabilidad equivalente viene dada por
kykxk
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
kykxk
X Kx
Ky X acute
2 0 0 0
0 0
kx
ky
k
2 8 2 0 0
0
h
141h
500000
b352463
071b
k
Y Ky
KxY acute
kykx 2
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La fuerza soportada por el esqueleto mineral del suelo es la sumatoria de todas las
fuerzas aplicadas en cada uno de los contactos Pacute = sum Pi
La fuerza total aplicada a la masa de suelos es la suma de lo que soporta elesqueleto mineral del suelo maacutes lo que soportan los poros del suelo P = Pacute + U
Para calcular los esfuerzos actuantes se dividen ambos lados de la expresioacuten anteriorentre el aacuterea de la masa A
Como U = Av = (A - Ac) entonces P = Pacute + Av = Pacute + (A - Ac)
P = Pacute + (A - Ac) y = P
A A A A
Sustituyendo = acute + (A - Ac) y llamamos a la relacioacuten Ac = aA A
Entonces = acute + A - a = acute + ( 1 - a )
A
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Como = acute + ( 1 - a )
El valor a es despreciable puesto que las aacutereas de contacto son muy pequentildeas sise les compara con el aacuterea total A de la masa de suelo La expresioacuten se transforma en
y a = Ac A
= acute + ( 1 - 0 )
= acute +
acute = -
La expresioacuten presenta al esfuerzo efectivo en funcioacuten de dos variables el esfuerzototal y la presioacuten de poros Ambos pueden ser medidos o estimados si se conocenla densidad del suelo el espesor de los estratos y la ubicacioacuten del nivel freaacuteticoEsta expresioacuten fue propuesta por Terzaghi en la deacutecada de los 20
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El principio de esfuerzo efectivo es el concepto maacutes importante en la mecaacutenica desuelos ya que ha permitido analizar cientiacuteficamente la deformacioacuten y resistenciade los suelos
DondeP = Fuerza total aplicada a la masa de sueloP= Fuerza aplicada en los contactos o carga soportada por el esqueleto mineralA = Aacuterea transversal de la masa de sueloAc = Aacuterea de contacto entre las partiacuteculasAv = Aacuterea de vaciacuteos = Presioacuten de poros = Esfuerzo total = Esfuerzo Efectivo
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ESFUERZO TOTAL
Es generado por el peso de la masa de suelo peso del agua y estructuras sobre elmismo actuando por efecto de gravedad es decir es el peso del suelo y todo loque este encima del punto evaluado
Si son varios estratos se calcula por separado el peso de cada estrato y luego sesuman = sumi
n i Zi
Se calcula en un punto determinado multiplicando el espesor del estrato por el
peso unitario del suelo = Z
La presioacuten de poros para en condiciones hidrostaacuteticas se calcula de modosimilar multiplicando la densidad del agua por la profundidad del punto encuestioacuten Zw
= w Zw
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CAacuteLCULO DE ESFUERZOS EN CONDICIOacuteN HIDROSTAacuteTICA
Una masa de suelo esta en condicioacuten hidrostaacutetica cuando esta enreposo y al colocar piezoacutemetros en diferentes puntos y adiferentes profundidades en cualquier punto el agua se elevahasta el mismo nivel piezomeacutetrico es decir el nivel freaacutetico
= w Zw
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Para aplicar la relacioacuten entre el esfuerzo efectivo y la presioacuten de poros se
supone que el suelo se encuentra totalmente sumergido y que el agua estaacute encondiciones hidrostaacuteticas (no se mueve)
En condicioacuten saturada la presioacuten de contacto es menor que en condicioacuten huacutemedaen una magnitud igual a la flotacioacuten del agua
Ya que condicioacuten saturada la presioacuten de poros es mayor entonces acute = - mientras que en condicioacuten huacutemeda acute = donde la presioacuten de poros es menor queen condicioacuten saturada
= acute +
sat Z = acute + w Z
acute = sat Z - w Z = (sat - w) Z = acute Z
Dondesat - w = acute es el peso sumergido
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EsfuerzoTotal
(σ)
Presionde Poros
(u)
EsfuerzoEfectivo
(σrsquo)
γsat Z
Z γsat Z γw Z γrsquo
γrsquo = γsat- γw
Agua γw Z1
γsat Z2Suelo
Saturado
A
B
Z1 γw+Z2 γsat
Z1 γw
Z1 γw
Z2( γsat- γw)(Z1+Z2) γw
Perfiles comunes de esfuerzos totales efectivos ypresiones de poros
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γh Z1
γsat Z2Suelo
Saturado
C
Z1 γh+Z2 γsat
Z1 γh
Z1 γh+Z2 γrsquo Z2 γw
Esfuerzo
Total(σ)
Presion
de Poros(u)
Esfuerzo
Efectivo(σrsquo)
Suelo
Humedo Z1 γh
γsat1 Z1
γsat3 Z3Suelo
Saturado
γsat2 Z2Suelo
Saturado
Suelo
SaturadoZ1 γsat1
Z2 γsat2
Z3 γsat3
Z1 γw
Z2 γw
Z3 γw
Z1 γrsquo 1
Z2 γrsquo 2
Z3 γrsquo 3
Σni=1 Zi γsati Σn
i=1 Zi γw Σni=1 Zi γrsquo
D
Edificio 2
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1h1 = 175 Tm3
h2 = 190 Tm3 SAT2 = 205 Tm3
SAT3 = 200 Tm3
SAT4 = 208 Tm3
EJERCICIO Dado el siguiente perfil determinar el diagrama de esfuerzos totalespresion de poros y esfuerzos efectivos
D10 (2) = 0015 cm
D10 (1) = 0030 cm
D10 (3) = 005 cm
2 m
2 2 m
3 3 m
4 3 m
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EJERCICIO Dado el siguiente perfil determinar el diagrama de esfuerzos totalespresion de poros y esfuerzos efectivos
h1 = 182 Tm3
SAT1 = 195 Tm3
D10 (1)
= 0030 mm
h2 = 185 Tm3
SAT2 = 200 Tm3
D10 (2)
= 005 mm
SAT3 = 210 Tm3
1 6 m
2 5 m
3 4 m
dMax= 21 Tm3
GC = 95 w = 9 9 m
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CAacuteLCULO DE ESFUERZOS EN
CONDICIOacuteN HIDRODINAacuteMICA
La condicioacuten hidrodinaacutemica de los suelos ocurre cuando
el agua gravitacional que estaacute en estado de reposo essometida a un gradiente hidraacuteulico lo que origina unaumento en la presioacuten del liacutequido y esto se transformaen energiacutea cineacutetica transfirieacutendole movimiento a traveacutesdel suelo
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Si en dos puntos diferentes de una misma masa continua de agua haycantidades diferentes de energiacutea es decir no se alcanza el mismonivel piezomeacutetrico se produciraacute un movimiento de las partiacuteculas deagua hacia los puntos de menos energiacutea para tratar de equilibrar la
diferencia y la diferencia de carga se gasta en el trabajo de mover elagua Se presentan en estos graacuteficos algunos casos de flujo de agua endiferentes direcciones y sentidos
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h es la altura que asciende el agua en un pequentildeo tubo con respecto a un planode referencia arbitrario Esta altura es conocida como carga piezomeacutetrica y es
una medida de la energiacutea que tiene el agua La energiacutea del agua viene dada por lasuma de la energiacutea potencial (elevacioacuten) la energiacutea de presioacuten y la energiacuteacineacutetica (velocidad)
g
V p
Z hw 2
2
Z = Elevacioacuten sobre un Datum arbitrario
P = Carga de Presioacuten
w
V2 = Carga de Velocidad
2g
En los suelos el flujo es laminar y como la velocidad es muy pequentildea se
considera que su valor tiende a cero por tanto la ecuacioacuten anterior puedeexpresarse como sigue
w
p Z h
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GRADIENTE HIDRAacuteULICO
Es la peacuterdida o disipacioacuten de altura hidraacuteulica por unidad de longitud medidaen la direccioacuten en que ocurre el flujo
i = Dh L
Dondei = Gradiente hidraacuteulico = DhL (adimensional)
Dh = Peacuterdida de carga
L = Longitud de recorrido del flujo
La ley de Darcy expresa la perdida
de carga Dh que se requiere paramover el agua a traveacutes del suelo unadistancia L con un gasto q es decir Dh = q L
k A
Siempre y cuando el flujo sea laminar que es el caso
corriente de los suelos a excepcioacuten de las gravas gruesas
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El valor Dh es la peacuterdida de energiacutea causada por la viscosidad la friccioacuten y los
efectos de inercia mientras el agua va circulando a traveacutes de los canales de losporos irregulares y rugosos
Cuando hay flujo las presiones de poros tienen un comportamiento diferentedebido a la presioacuten de filtracioacuten que se produce por la friccioacuten entre el agua en
movimiento y las paredes de los vaciacuteos del suelo
La presioacuten de poros en este caso seraacute la combinacioacuten de la presioacuten de poroshidrostaacutetica y la presioacuten de filtracioacuten tal como se presenta en la siguiente
expresioacuten
= Dh Df
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La presioacuten de filtracioacuten actuacutea en la misma direccioacuten y sentido del flujo del
agua y numeacutericamente es igual al producto de la perdida de carga hidraacuteulicapor el peso unitario del agua
Df = Dh w
El agua puede moverse en distintos sentidos y direcciones En esta parte del
tema se analizaraacute el comportamiento del suelo cuando el movimiento del agua seda en direccioacuten vertical
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FLUJO DESCENDENTE
Cuando el flujo es descendente las presiones de poros se calculan como ladiferencia entre las presiones de poros en condicioacuten hidrostaacutetica y la presioacuten defiltracioacuten
= Dh - Df
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Dh varia linealmente con el espesor del estrato de suelo lo cual puede serdemostrado de la siguiente manera
i = Dh Dh = i LL
Donde
Dh = Peacuterdida de carga
L = Espesor del Estrato i = Gradiente hidraacuteulico = Constante
Perdida de carga en L = 0 Dh(0) = i L = Dh 0 = 0H
Perdida de carga en L = H2 Dh(H2) = i L = Dh H = Dh
H 2 2
Perdida de carga en L = H Dh(H) = i L = Dh H = DhH
Quedando demostrado que la variacioacuten es lineal y se puede expresar la presioacutende filtracioacuten en funcioacuten del gradiente hidraacuteulico por medio de la siguienteexpresioacuten mencionada anteriormente
Df = Dh w = i L w
ldquoEl gradiente hidraacuteulico es la pendiente de las alturas piezometricas y la perdida de energiacutea uniforme es
debida a que el suelo se supone homogeacuteneo e isoacutetropordquo
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En cuanto a los esfuerzos efectivos tenemos
acute = - = Dh - Df
acute = - (Dh - Df ) = - Dh + Df
acuteh = - Dh acute = acuteh + Df
y
Lo cual evidencia que en flujo descendente los esfuerzos efectivos se incrementan en lamisma proporcioacuten que la presioacuten de filtracioacuten y el diagrama de esfuerzos totales presionesde poros y esfuerzos efectivos queda asi
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FLUJO ASCENDENTE
El flujo es ascendente cuando la altura piezomeacutetrica en el punto inferior es mayor
que en el punto superior Las presiones de poros en este caso se calculan como lasuma de las presiones de poros en condicioacuten hidrostaacutetica y la presioacuten de filtracioacuten
= Dh + Df
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En cuanto a los esfuerzos efectivos tenemos
acute = - = Dh + Df
acute = - (Dh + Df ) = - Dh - Df
acuteh = - Dh acute = acuteh - Df
y
Lo cual indica que para flujo ascendente los esfuerzos efectivos disminuyen en igualproporcioacuten que la presioacuten de filtracioacuten y el diagrama de esfuerzos totales presiones deporos y esfuerzos efectivos queda asi
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iquestQue tiende a ocurrir cuando el flujo es Ascendente
Cuando el flujo es ascendente la friccioacuten entre el agua y las paredes de los vaciacuteostiende a levantar los granos de suelo El valor de la presioacuten de filtracioacuten puedecrecer tanto que los esfuerzos efectivos se hacen cero
La resistencia al corte de un suelo granular esdirectamente proporcional a los esfuerzosefectivos por lo que cuando estos se igualan acero el suelo pierde su resistencia al corte y seproduce lo que se conoce como ebullicioacuten delsuelo granular Este fenoacutemeno de ebullicioacuten estaacutelimitado a los suelos sin cohesioacuten y se conoce
con el nombre de Licuefaccioacuten acute
= acute h -
Δf
Fenoacutemeno tiacutepico de suelos granulares cuando pierden resistencia al corte y se
produce una separacioacuten entre las partiacuteculas que hace acute = 0
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En estos casos en que los esfuerzos efectivos se hacen cero la presioacuten de
filtracioacuten se iguala al peso del suelo
H acute ndash Dh w 0
H acute = Dh w
Dh = acute H w
Como Dh = i
H
ic = acute
w
ic seraacute el Gradiente Hidraacuteulico Criacutetico y lo definiremos como el gradiente alcual se produce la ebullicioacuten del suelo
acute = 0 acute h - Δf = 0
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En funcioacuten de la Gravedad Especiacutefica de los Solidos (Gs) y la Relacioacuten de Vaciacuteos (e)desarrollaremos una expresioacuten para el ic
ic = acute
w
Las relaciones de vaciacuteos de la gran mayoriacutea de las arenas estaacuten comprendidasentre 03 y 12 Por otro lado la gravedad especiacutefica de estos suelos oscila entre265 y 270 Si se aplica la formula en esos intervalos se tiene que
acute = sat - w sat = Gs + e w 1+e
acute = Gs + e w ndash w = w Gs + e - 1
1+e 1+e
ic = Gs - 1
1+e
Para e = 03 Gs = 265 ic = 127Gs = 270 ic = 131
Para e = 12 Gs = 265 ic = 075
Gs = 270 ic = 077ldquoSeguacuten estos resultados en un deposito de arena para cualquier Gs practico se pueden encontrar valores de ic entre
075 y 131 De modo que es importante resaltar que los valores de gradiente hidraacuteulico critico en arenas estaacuten cercanos
a la unidad rdquo
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Como se produce la licuefaccioacuten con las sacudidas
siacutesmicas fuertes
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Edificios de estructura de hormigoacuten armado concerramientos y particiones interiores de faacutebrica dantildeados por elterremoto de Nigata Japoacuten 16 de Junio de 1964 magnitudRichter 75
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Ejercicio Bajo las condiciones indicadas en la figura se pide calcular los
esfuerzos totales neutrales y efectivos en las fronteras de los estratos
L
2L
2L
γw
γsat K1
γsat K2
L
K2= 2K1
1
2
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Ejercicio En el perfil estratificado indicado determine las presiones totales
neutrales y efectivas en las fronteras indicadas ademaacutes calcule el factor de
seguridad a la licuefaccioacuten donde sea necesario
L
L
2L
3L
09L
γsat1 γh1 k1
Satcap
γsat2 k2
γsat3 k3
1
2
3
γsat1= 15 γw =12 γh1
γsat2= 17 γw
γsat3= 19 γwk2= 2k1k3= 6k1
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LEVANTAMIENTO DE UN ESTRATO DE ARCILLA
Las fuerzas de filtracioacuten afectan no solamente a los suelos sincohesioacuten sino tambieacuten a los suelos cohesivos soacutelo que lo hacen demodo distinto porque en suelos arcillosos la cohesioacuten existente entrelas partiacuteculas las mantiene unidas de modo tal que se levanta toda la
masa de suelo y no partiacuteculas individuales como en los suelosgranulares
A modo de explicar el comportamiento de los suelos cohesivospondremos el siguiente caso
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LEVANTAMIENTO DE UN ESTRATO DE ARCILLA
Se tienen dos estratos de suelo diferente un suelo cohesivo que descansa sobre unmaterial muy permeable o suelo sin cohesioacuten Se necesita realizar una excavacioacutenen el estrato cohesivo para lo cual se debe determinar la profundidad a excavar yel espesor del estrato luego de realizada la excavacioacuten (tc) de tal manera queresulte seguro al levantamiento
Para realizar la excavacioacuten
se colocan dos tablestacas enel suelo y se procede luego aabatir el nivel del agua pormedio de bombeo tratando demantenerla seca
Por otra parte se desprecianlas fuerzas de friccioacuten que seoriginan cuando se hinca latablestaca
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LEVANTAMIENTO DE UN ESTRATO DE ARCILLA
Observemos que las fuerzas verticales actuantes son el peso del suelo y la presioacutende poros que tienden a levantar el fondo de la excavacioacuten puesto que el flujo es
ascendente El nivel piezomeacutetrico en la superficie del estrato sin cohesioacuten es mayorque el nivel piezomeacutetrico en el fondo de la excavacioacuten por lo que el agua tiende asubir pero como la permeabilidad del estrato de arcilla es tan baja esto resultamuy difiacutecil y se generan presiones en el fondo del rectaacutengulo
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El suelo estaacute saturado por tanto para calcular su peso se usa el peso unitario saturadoentonces
Peso del Suelo = tc sat
Haciendo equilibrio de fuerzas verticales
La presioacuten de poros es la suma de la presioacuten hidrostaacutetica y la de filtracioacuten
= Dh + Df = tc w + Dh w = ( tc + Dh ) w
sumFv = 0 Peso del Suelo - = 0
tc sat = ( tc + Dh ) w
tc sat = tc w + Dh w
tc ( sat - w ) = Dh w tc = Dh w = Df
( sat - w ) acute
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El espesor tc es el espesor criacutetico de la excavacioacuten es decir es el espesor miacutenimo
para el cual la excavacioacuten es segura
Por lo tanto
En espesores lt de tc se produce el levantamiento del fondo de la excavacioacuten
En espesores gt de tc la excavacioacuten es estable
Este fenoacutemeno puede darse tambieacuten parcialmente socavacioacuten
cuando se forman tuacuteneles o cavernas por arrastre de finos que generaninestabilidad y lo que puede ser maacutes grave el colapso del suelo
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EJERCICIOSe pretende realizar una excavacioacuten en un estrato de arcilla de 10 mts de espesor
que descansa sobre un estrato de arena Se pide
a) Calcular la profundidad maacutexima de excavacioacuten sin que se produzca
inestabilidad o levantamiento del fondob) iquestQueacute profundidad de agua libre debe bombearse a modo de poder llevar la
excavacioacuten hasta 8 mts de profundidad
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10m
1m
9m
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10m
1m
9m N
K
habat
N
K
Dh
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FLUJO EN MEDIOS POROSOS
El agua puede fluir a traveacutes de la masa de suelo en cualquier estado
en que este se encuentre aun y cuando el este muy compactado el
agua puede fluir a traveacutes de la masa de suelo ya que los poros estaacuten
interconectados entre si permitiendo el flujo de agua en ese medioporoso movieacutendose esta a lo largo de caminos ondulantes y rugosos
que existen entre un poro y otro lo cual genera peacuterdidas de energiacutea o
carga piezomeacutetrica originadas por la friccioacuten al igual que ocurre
cuando el flujo de agua es por tuberiacuteas o por canales abiertos
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Hasta ahora el estudio del flujo en medios porosos se ha limitado alcaso unidimensional (flujo ascendente y descendente) en el que losparaacutemetros del fluido tales como presioacuten velocidad temperaturaetc son constantes en cualquier seccioacuten transversal que seaperpendicular a la direccioacuten del flujo
En esta parte del tema se estudiaraacute el flujo del agua en tresdimensiones que es el caso maacutes general para lo cual se trabajaraacute conla ecuacioacuten fundamental de flujo Posteriormente se realizansimplificaciones debido a que el anaacutelisis tridimensional de los
problemas de filtracioacuten resulta muy complejo y se trabaja conmeacutetodos aproximados que permiten su resolucioacuten en dosdimensiones
Oacute
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ECUACIOacuteN FUNDAMENTAL DE FLUJO
HIPOTESIS
Dominio Saturado
La Presioacuten y la Velocidad son funcioacuten uacutenicamente de la posicioacuten
El esqueleto mineral del suelo es perfectamente riacutegido
z
y
x x y z
dz
dy
dx
Componente vertical del flujo
Base teoacuterica de la Red de Flujo y para otros
meacutetodos de resolucioacuten de problemas de filtracioacuten
Elemento cuacutebico de suelo a traveacutes del cual se
produce flujo laminar q con componenetes x y z
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z y x qqqq
dydxdz z
VzVzdzdxdy
y
VyVydzdydx
x
VxVxdydxVzdzdxVydzdyVx
Igualamos
dydxdz z
VzVzdzdxdy y
VyVydzdydx x
VxVxq
dydxVzdzdxVydzdyVxq
saliente
entrante
Por continuidad qentrante = qsaliente
Simplificamos y llegamos a la ecuacioacuten de Continuidad 0
z
Vz
y
Vy
x
Vx
Aplicamos Ley de Darcy (V = -ki = -k h L) 02
2
2
2
2
2
z
hkz
y
hky
x
hkx
Asumimos el suelo Isotroacutepico (kx = ky = kz) h z
h
y
h
x
h 2
2
2
2
2
2
2
0
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
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La ecuacioacuten de Laplace describe matemaacuteticamente el flujo de aguaen la regioacuten considerada
Expresa la suma de la variacioacuten de los gradientes hidraacuteulicos en lasdirecciones X Y y Z es Nula
h z
h
y
h
x
h 2
2
2
2
2
2
2
0
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
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SOLUCIOacuteN DE LA ECUACIOacuteN DE LAPLACE EN 2 DIMENSIONES
FUNCIOacuteN POTENCIAL DE LA VELOCIDAD =
( x y) = constante = -kh + c Es dependiente del potencial hidraacuteulico y su variacioacuten genera velocidad en
el agua
Derivando con respecto a X y a Y
x
hk
x
y
hk
y
x
hk Vx
y
hk Vy Entonces Vx
x
Vy
y
Resolvemos derivando con respecto a X y a Y y aplicamos la ecuacioacuten de Continuidad
2
2
2
2
2
0 y x
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satisface la ecuacioacuten de Laplace siendo la solucioacuten de la mismaen dos dimensiones
define para cada valor de esa constante una linea continua cuyospuntos tiene igual potencial hidraacuteulico h y son denominadasldquoLineas Equipotencialesrdquo
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
2
2
2
2
2
0 y x
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FUNCIOacuteN DE FLUJO =
( x y) = constante
Entonces
Resolvemos derivando con respecto a X y a Y y aplicamos la ecuacioacuten de Continuidad
0 D
D
y
y x
x
Dx
Dy
Vy
Vx
Por continuidad qentrante = qsaliente
0 DD yVx xVy yVy
Vx x DD Asumiendo Vx
x
Vy
y
2
2
2
2
2
0 y x
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cumple con la ecuacioacuten de Laplace por lo tanto es una solucioacuten ala misma en dos dimensiones
define para cada valor de la constante una linea continua querepresenta la trayectoria de agua Se denominan ldquoLineas de Flujordquo oacuteldquoLineas de Corrienterdquo
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
2
2
2
2
2
0 y x
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RELACIOacuteN ENTRE LAS LINEAS EQUIPOTENCIALES YLINEAS DE FLUJO O DE CORRIENTE
Considerando las derivadas totales a lo largo de cada una de las curvas
y
x
x
y
x
y
x
y
Pendientes Reciacuteprocas y de signo contario lo cual escondicioacuten de Ortogonalidad y son Ortogonales encada punto de interseccioacuten
REDES DE FLUJO
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REDES DE FLUJO
La red de flujo es la solucioacuten graacutefica la ecuacioacuten de Laplace en 2 dimensiones
Desafortunadamente la ecuacioacuten de Laplace es matemaacuteticamente integrable solo encondiciones de frontera muy simples por lo que en la praacutectica es necesario emplearotros meacutetodos diferentes de la integracioacuten para obtener la red de flujo Uno de esosmeacutetodos es el procedimiento graacutefico de Forcheimer que resulta ser muy simple deaplicar cualquiera sea el problema de flujo uniforme en dos dimensiones
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El espacio entre cualquier par de liacuteneas de flujo consecutivas es un canal de flujoen el trazado de la red se debe seleccionar un cierto nuacutemero de canales de flujo
Nf tal que el gasto de infiltracioacuten a traveacutes de cada canal sea el mismoDq = q Nf
La peacuterdida de carga entre cualquier par de liacuteneas equipotenciales consecutivas es lamisma e igual a Dh Donde Dhacute = Dh Nd (Dh es la peacuterdida de carga total y Nd elnuacutemero de caiacutedas de potencial)
El ancho del canal es a y la distancia entre las caiacutedas equipotenciales es b paracualquier elemento considerado
El gasto que circula por cualquier elemento es Dq = k i A
El gradiente hidraacuteulico del elemento es i = Dhacute b = ( Dh Nd ) bEntoces Dq = k ( ( Dh Nd ) b ) a L donde L es el ancho de la red en la tercera dimensioacuten
REDES DE FLUJO
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REDES DE FLUJO
Como Dq = q Nf entonces q = Dq Nf = k ( ( Dh Nd ) b ) a L Nf
La razoacuten a b esta fijada por la razoacuten Nf Nd y es la misma a traveacutes de toda la redNf y Nd deben seleccionarse de modo que a = b y a b = 1 Con lo que laecuacioacuten de gasto se transforma en
Reordenando q = k Dh ( Nf Nd ) (a b ) L
q = k Dh ( Nf Nd ) L
Aacute
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1) Hacer un dibujo a escala que muestre la masa de suelo los liacutemites permeables a
traveacutes de los cuales entra y sale el agua del suelo y las fronteras impermeables que
confinan o limitan el flujo
2) Dibujar de dos a cuatro liacuteneas de flujo que formen aacutengulos rectos con los liacutemitespermeables a la entrada y a la salida y que sean aproximadamente paralelas a losliacutemites impermeables
3) Dibujar liacuteneas equipotenciales que formen aacutengulos rectos con las liacuteneas de flujo demanera que el ancho y el largo promedio del cuadrado curviliacuteneo que forman seaniguales (a=b) Desde luego esto es imposible de lograr en el primer tanteo porquelas posiciones de las liacuteneas de flujo son supuestas pero esta primera red serviraacute deguiacutea para un segundo tanteo
4) Se reajustan las liacuteneas de flujo y las liacuteneas equipotenciales hasta que todas lasintersecciones sean en aacutengulo recto y el largo y ancho de cada cuadrado seaniguales Los tamantildeos de los cuadrados pueden ser distintos pero la relacioacuten ab = 1debe mantenerse
REGLAS PRAacuteCTICAS PARA ELABORAR REDES DE FLUJO
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El logro de una solucioacuten exacta requiere de muchos tanteos y
algunos problemas no admiten en su solucioacuten un nuacutemeroexacto de canales yo de caiacutedas equipotenciales en estos casosdebe intentarse con un nuacutemero de canales yo caiacutedasequipotenciales fraccionario (media caiacuteda o medio canal porejemplo)
Al lograr trazar la red de flujo de cuadrados curviliacuteneossatisfaciendo las condiciones de frontera del problema seobtendraacute la solucioacuten graacutefica de este problema para las
condiciones de frontera del problema se obtendraacute la solucioacutengraacutefica de este para las condiciones hidrodinaacutemicasestablecidas por la ecuacioacuten de Laplace
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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J g j
6 0
0 m
BA
I II III IV V VI VII
C
D
6 0
0 m
6 0
0 m
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
1) Altura piezometrica en A
2) Esfuerzo efectivo en B
3) Gradiente hidraacuteulico velocidades de descarga y de filtracioacuten
en C
4) Presiones hidraacuteulicas sobre el tablestacado5) Gradiente hidraacuteulico de salida y factor de seguridad contra la
arena movediza (licuefaccioacuten)
6) Factor de seguridad a la Tubificacioacuten
7) Presiones hidraacuteulicas sobre el fondo impermeable
8) Presioacuten de filtracioacuten en D
9) Caudal de Filtracioacuten bajo la presa sabiendo que L= 50 m
0m 3m 5m 10m
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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J g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
γconc= 235 Tm3
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
γconc= 235 Tm3
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg γsat= 218 Tm3 γconc= 235 Tm3
LINEA SUPERFICIAL DE FLUJO
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LINEA SUPERFICIAL DE FLUJO
En algunos casos un liacutemite de las liacuteneas de flujo puede ser una superficie de agualibre o superficie de saturacioacuten que no estaacute determinada por ninguna masa soacutelida
impermeable
Tal es el caso de las presas de tierra cuyo problema de flujo presenta caracteriacutesticasespeciales y por lo tanto se requiere del uso de meacutetodos tambieacuten especiales paralograr el trazado de la red de flujo
a
b
c
Equipotencial
Liacutenea de Flujo
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En la figura se presenta una presa de tierra de un material heterogeacuteneo eacute isoacutetropo La liacutenea 1-2 es una liacutenea equipotencial puesto que es el contacto entre el suelo permeable y el agua La liacutenea1-3 es un contacto entre la frontera impermeable y el material permeable por lo tanto es unaliacutenea de flujo Entre los puntos 2 y 4 existe una frontera del flujo donde por debajo de ella elsuelo estaacute saturado y por encima no lo estaacute Ahora bien esta liacutenea que limita la zona de flujodentro de la presa recibe el nombre de liacutenea superficial de flujo o liacutenea de saturacioacuten Suforma se desconoce a priori y tambieacuten la posicioacuten del punto 4 ambos deben ser determinados almenos aproximadamente para poder trazar la red de flujo
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La liacutenea de saturacioacuten ademaacutes de ser una liacutenea de flujo es tambieacuten una liacutenea de
equipresioacuten en la que todos los puntos tienen la misma presioacuten cero Por lo tantoel potencial hidraacuteulico depende de la carga de elevacioacuten uacutenicamente y las liacuteneasequipotenciales la cortaran a intervalos verticales iguales entre si
Condiciones Generales de Entrada
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Condiciones Generales de Entrada
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Condiciones Generales de Salida
Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
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Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
Caso 1 a2 lt 30deg En este caso es posible calcular la superficie humedecida a (distancia 4 - 3) pormedio de la siguiente expresioacuten
2
2
2
2
2
2
2coscos a a a sen
hd d a
d = L - M + O3M
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Luego de dibujar la presa de tierra a escala se sentildeala en ella la superficie humedecida aguas
abajo a calculada por la foacutermula anterior El siguiente paso consiste en el trazado de laliacutenea de saturacioacuten usando el meacutetodo graacutefico aproximado de la paraacutebola baacutesica de Kozenycuyo procedimiento se describe a continuacioacuten
1 Ubicar el punto 2 en la liacutenea freaacutetica a una distancia de 03M medida desde la cara deltalud aguas arriba La cara aguas abajo del talud es tangente a la paraacutebola en el punto 4
2 Prolongar la liacutenea en el talud aguas arriba de la presa Trazar una horizontal por el punto2 hasta cortar la cara del talud aguas abajo El punto de interseccioacuten es 5
3 Dividir 4 -5 Y 5 - 2 en el mismo nuacutemero de partes iguales no maacutes de 4 o 5 y marcarestos puntos (en 2- 5 se parte de 5 numerando con letras A -B etc en 4 - 5 se parte de 4numerando A-B-C etc)
4 Trazar por 4 - 5 liacuteneas horizontales en los puntos marcados
5 Unir cada uno de los puntos marcados en la horizontal 2- 5 con el punto 46 Trazar la liacutenea freaacutetica por los puntos obtenidos 7 Como la liacutenea freaacutetica parte perpendicular a la cara del talud aguas arriba este ajuste
debe realizarse manualmente
=gt M = htg ald =L - O7M
Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
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Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
Caso 2 a2 gt 30deg En este caso el procedimiento a seguir es
d d hP 22
1 La paraacutebola tiene su origen a una distancia P del veacutertice del talud aguas abajo de lapresa es decir este veacutertice es su foco y es tangente a la vertical que pasa por elpunto P
P se calcula por medio de la siguiente expresioacuten
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2 Trazar la paraacutebola baacutesica de Kozeny En este caso la tangente al origen es una liacuteneavertical
3 La distancia desde el punto 4 hasta la interseccioacuten de la paraacutebola con el talud aguasabajo es a + Da y no es realmente el punto por donde sale el agua en el talud porlo tanto se debe realizar una correccioacuten y encontrar a Casagrande encontroacute que larelacioacuten es un escalar que puede ser llamado a y que se relaciona
con el angulo a2 seguacuten se muestra en la siguiente tabla
a
a
D
D
a a2 ( deg ) aacute
30 0375
60 0320
90 0260
120 0185
150 0105
180 0
Los valores entre estos aacutengulos pueden interpolarse
y midiendo a + Da se calcula a usando la tablaDa = aacute ( a + Da ) y a = ( a + Da ) - Da
Finalmente se trazan manualmente la entraday la salida de la liacutenea de saturacioacuten
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EJERCICIO Determine la Linea Superficial de Flujo de la presa de tierra que se presentaa continuacioacuten
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a continuacioacuten
EJERCICIO Determine la Linea Superficial de Flujo de la presa de tierra que se presentaa continuacioacuten
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2
1
a continuacioacuten
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
g
La teoriacutea de la seccioacuten transformada permite reducir al caso de un suelo homogeacuteneo e isoacutetropo un suelo en el que la permeabilidad para el flujo en la direccioacuten horizontal ( kx) y la que tenga para el flujo en la direccioacuten vertical ( ky ) sean diferentes ( kx ne Ky )(por lo general Kx en muchas veces mayor que ky )
La teoriacutea de la seccioacuten transformada es un simple artificio de calculo que se logra por una simple transformacioacuten de coordenadas y que modifica sobre el papel las dimensiones de la zona de flujo en estudio en un suelo isotropico hidraacuteulicamente equivalente
Dos tipos de transformaciones se pueden aplicar a) Haciendo
Y Ky
Kx
Y acute
Se modifican las dimensiones verticales permaneciendo constantes las horizontales
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
g
b) Haciendo
X Kx
Ky X acute
Se modifican las dimensiones Horizontales permaneciendo constantes las Verticales
En la seccioacuten transformada homogeacutenea e isoacutetropa la permeabilidad equivalente viene dada por
kykxk
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
kykxk
X Kx
Ky X acute
2 0 0 0
0 0
kx
ky
k
2 8 2 0 0
0
h
141h
500000
b352463
071b
k
Y Ky
KxY acute
kykx 2
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Como = acute + ( 1 - a )
El valor a es despreciable puesto que las aacutereas de contacto son muy pequentildeas sise les compara con el aacuterea total A de la masa de suelo La expresioacuten se transforma en
y a = Ac A
= acute + ( 1 - 0 )
= acute +
acute = -
La expresioacuten presenta al esfuerzo efectivo en funcioacuten de dos variables el esfuerzototal y la presioacuten de poros Ambos pueden ser medidos o estimados si se conocenla densidad del suelo el espesor de los estratos y la ubicacioacuten del nivel freaacuteticoEsta expresioacuten fue propuesta por Terzaghi en la deacutecada de los 20
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El principio de esfuerzo efectivo es el concepto maacutes importante en la mecaacutenica desuelos ya que ha permitido analizar cientiacuteficamente la deformacioacuten y resistenciade los suelos
DondeP = Fuerza total aplicada a la masa de sueloP= Fuerza aplicada en los contactos o carga soportada por el esqueleto mineralA = Aacuterea transversal de la masa de sueloAc = Aacuterea de contacto entre las partiacuteculasAv = Aacuterea de vaciacuteos = Presioacuten de poros = Esfuerzo total = Esfuerzo Efectivo
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ESFUERZO TOTAL
Es generado por el peso de la masa de suelo peso del agua y estructuras sobre elmismo actuando por efecto de gravedad es decir es el peso del suelo y todo loque este encima del punto evaluado
Si son varios estratos se calcula por separado el peso de cada estrato y luego sesuman = sumi
n i Zi
Se calcula en un punto determinado multiplicando el espesor del estrato por el
peso unitario del suelo = Z
La presioacuten de poros para en condiciones hidrostaacuteticas se calcula de modosimilar multiplicando la densidad del agua por la profundidad del punto encuestioacuten Zw
= w Zw
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CAacuteLCULO DE ESFUERZOS EN CONDICIOacuteN HIDROSTAacuteTICA
Una masa de suelo esta en condicioacuten hidrostaacutetica cuando esta enreposo y al colocar piezoacutemetros en diferentes puntos y adiferentes profundidades en cualquier punto el agua se elevahasta el mismo nivel piezomeacutetrico es decir el nivel freaacutetico
= w Zw
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Para aplicar la relacioacuten entre el esfuerzo efectivo y la presioacuten de poros se
supone que el suelo se encuentra totalmente sumergido y que el agua estaacute encondiciones hidrostaacuteticas (no se mueve)
En condicioacuten saturada la presioacuten de contacto es menor que en condicioacuten huacutemedaen una magnitud igual a la flotacioacuten del agua
Ya que condicioacuten saturada la presioacuten de poros es mayor entonces acute = - mientras que en condicioacuten huacutemeda acute = donde la presioacuten de poros es menor queen condicioacuten saturada
= acute +
sat Z = acute + w Z
acute = sat Z - w Z = (sat - w) Z = acute Z
Dondesat - w = acute es el peso sumergido
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EsfuerzoTotal
(σ)
Presionde Poros
(u)
EsfuerzoEfectivo
(σrsquo)
γsat Z
Z γsat Z γw Z γrsquo
γrsquo = γsat- γw
Agua γw Z1
γsat Z2Suelo
Saturado
A
B
Z1 γw+Z2 γsat
Z1 γw
Z1 γw
Z2( γsat- γw)(Z1+Z2) γw
Perfiles comunes de esfuerzos totales efectivos ypresiones de poros
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γh Z1
γsat Z2Suelo
Saturado
C
Z1 γh+Z2 γsat
Z1 γh
Z1 γh+Z2 γrsquo Z2 γw
Esfuerzo
Total(σ)
Presion
de Poros(u)
Esfuerzo
Efectivo(σrsquo)
Suelo
Humedo Z1 γh
γsat1 Z1
γsat3 Z3Suelo
Saturado
γsat2 Z2Suelo
Saturado
Suelo
SaturadoZ1 γsat1
Z2 γsat2
Z3 γsat3
Z1 γw
Z2 γw
Z3 γw
Z1 γrsquo 1
Z2 γrsquo 2
Z3 γrsquo 3
Σni=1 Zi γsati Σn
i=1 Zi γw Σni=1 Zi γrsquo
D
Edificio 2
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1h1 = 175 Tm3
h2 = 190 Tm3 SAT2 = 205 Tm3
SAT3 = 200 Tm3
SAT4 = 208 Tm3
EJERCICIO Dado el siguiente perfil determinar el diagrama de esfuerzos totalespresion de poros y esfuerzos efectivos
D10 (2) = 0015 cm
D10 (1) = 0030 cm
D10 (3) = 005 cm
2 m
2 2 m
3 3 m
4 3 m
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EJERCICIO Dado el siguiente perfil determinar el diagrama de esfuerzos totalespresion de poros y esfuerzos efectivos
h1 = 182 Tm3
SAT1 = 195 Tm3
D10 (1)
= 0030 mm
h2 = 185 Tm3
SAT2 = 200 Tm3
D10 (2)
= 005 mm
SAT3 = 210 Tm3
1 6 m
2 5 m
3 4 m
dMax= 21 Tm3
GC = 95 w = 9 9 m
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CAacuteLCULO DE ESFUERZOS EN
CONDICIOacuteN HIDRODINAacuteMICA
La condicioacuten hidrodinaacutemica de los suelos ocurre cuando
el agua gravitacional que estaacute en estado de reposo essometida a un gradiente hidraacuteulico lo que origina unaumento en la presioacuten del liacutequido y esto se transformaen energiacutea cineacutetica transfirieacutendole movimiento a traveacutesdel suelo
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Si en dos puntos diferentes de una misma masa continua de agua haycantidades diferentes de energiacutea es decir no se alcanza el mismonivel piezomeacutetrico se produciraacute un movimiento de las partiacuteculas deagua hacia los puntos de menos energiacutea para tratar de equilibrar la
diferencia y la diferencia de carga se gasta en el trabajo de mover elagua Se presentan en estos graacuteficos algunos casos de flujo de agua endiferentes direcciones y sentidos
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h es la altura que asciende el agua en un pequentildeo tubo con respecto a un planode referencia arbitrario Esta altura es conocida como carga piezomeacutetrica y es
una medida de la energiacutea que tiene el agua La energiacutea del agua viene dada por lasuma de la energiacutea potencial (elevacioacuten) la energiacutea de presioacuten y la energiacuteacineacutetica (velocidad)
g
V p
Z hw 2
2
Z = Elevacioacuten sobre un Datum arbitrario
P = Carga de Presioacuten
w
V2 = Carga de Velocidad
2g
En los suelos el flujo es laminar y como la velocidad es muy pequentildea se
considera que su valor tiende a cero por tanto la ecuacioacuten anterior puedeexpresarse como sigue
w
p Z h
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GRADIENTE HIDRAacuteULICO
Es la peacuterdida o disipacioacuten de altura hidraacuteulica por unidad de longitud medidaen la direccioacuten en que ocurre el flujo
i = Dh L
Dondei = Gradiente hidraacuteulico = DhL (adimensional)
Dh = Peacuterdida de carga
L = Longitud de recorrido del flujo
La ley de Darcy expresa la perdida
de carga Dh que se requiere paramover el agua a traveacutes del suelo unadistancia L con un gasto q es decir Dh = q L
k A
Siempre y cuando el flujo sea laminar que es el caso
corriente de los suelos a excepcioacuten de las gravas gruesas
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El valor Dh es la peacuterdida de energiacutea causada por la viscosidad la friccioacuten y los
efectos de inercia mientras el agua va circulando a traveacutes de los canales de losporos irregulares y rugosos
Cuando hay flujo las presiones de poros tienen un comportamiento diferentedebido a la presioacuten de filtracioacuten que se produce por la friccioacuten entre el agua en
movimiento y las paredes de los vaciacuteos del suelo
La presioacuten de poros en este caso seraacute la combinacioacuten de la presioacuten de poroshidrostaacutetica y la presioacuten de filtracioacuten tal como se presenta en la siguiente
expresioacuten
= Dh Df
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La presioacuten de filtracioacuten actuacutea en la misma direccioacuten y sentido del flujo del
agua y numeacutericamente es igual al producto de la perdida de carga hidraacuteulicapor el peso unitario del agua
Df = Dh w
El agua puede moverse en distintos sentidos y direcciones En esta parte del
tema se analizaraacute el comportamiento del suelo cuando el movimiento del agua seda en direccioacuten vertical
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FLUJO DESCENDENTE
Cuando el flujo es descendente las presiones de poros se calculan como ladiferencia entre las presiones de poros en condicioacuten hidrostaacutetica y la presioacuten defiltracioacuten
= Dh - Df
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Dh varia linealmente con el espesor del estrato de suelo lo cual puede serdemostrado de la siguiente manera
i = Dh Dh = i LL
Donde
Dh = Peacuterdida de carga
L = Espesor del Estrato i = Gradiente hidraacuteulico = Constante
Perdida de carga en L = 0 Dh(0) = i L = Dh 0 = 0H
Perdida de carga en L = H2 Dh(H2) = i L = Dh H = Dh
H 2 2
Perdida de carga en L = H Dh(H) = i L = Dh H = DhH
Quedando demostrado que la variacioacuten es lineal y se puede expresar la presioacutende filtracioacuten en funcioacuten del gradiente hidraacuteulico por medio de la siguienteexpresioacuten mencionada anteriormente
Df = Dh w = i L w
ldquoEl gradiente hidraacuteulico es la pendiente de las alturas piezometricas y la perdida de energiacutea uniforme es
debida a que el suelo se supone homogeacuteneo e isoacutetropordquo
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En cuanto a los esfuerzos efectivos tenemos
acute = - = Dh - Df
acute = - (Dh - Df ) = - Dh + Df
acuteh = - Dh acute = acuteh + Df
y
Lo cual evidencia que en flujo descendente los esfuerzos efectivos se incrementan en lamisma proporcioacuten que la presioacuten de filtracioacuten y el diagrama de esfuerzos totales presionesde poros y esfuerzos efectivos queda asi
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FLUJO ASCENDENTE
El flujo es ascendente cuando la altura piezomeacutetrica en el punto inferior es mayor
que en el punto superior Las presiones de poros en este caso se calculan como lasuma de las presiones de poros en condicioacuten hidrostaacutetica y la presioacuten de filtracioacuten
= Dh + Df
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En cuanto a los esfuerzos efectivos tenemos
acute = - = Dh + Df
acute = - (Dh + Df ) = - Dh - Df
acuteh = - Dh acute = acuteh - Df
y
Lo cual indica que para flujo ascendente los esfuerzos efectivos disminuyen en igualproporcioacuten que la presioacuten de filtracioacuten y el diagrama de esfuerzos totales presiones deporos y esfuerzos efectivos queda asi
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iquestQue tiende a ocurrir cuando el flujo es Ascendente
Cuando el flujo es ascendente la friccioacuten entre el agua y las paredes de los vaciacuteostiende a levantar los granos de suelo El valor de la presioacuten de filtracioacuten puedecrecer tanto que los esfuerzos efectivos se hacen cero
La resistencia al corte de un suelo granular esdirectamente proporcional a los esfuerzosefectivos por lo que cuando estos se igualan acero el suelo pierde su resistencia al corte y seproduce lo que se conoce como ebullicioacuten delsuelo granular Este fenoacutemeno de ebullicioacuten estaacutelimitado a los suelos sin cohesioacuten y se conoce
con el nombre de Licuefaccioacuten acute
= acute h -
Δf
Fenoacutemeno tiacutepico de suelos granulares cuando pierden resistencia al corte y se
produce una separacioacuten entre las partiacuteculas que hace acute = 0
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En estos casos en que los esfuerzos efectivos se hacen cero la presioacuten de
filtracioacuten se iguala al peso del suelo
H acute ndash Dh w 0
H acute = Dh w
Dh = acute H w
Como Dh = i
H
ic = acute
w
ic seraacute el Gradiente Hidraacuteulico Criacutetico y lo definiremos como el gradiente alcual se produce la ebullicioacuten del suelo
acute = 0 acute h - Δf = 0
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En funcioacuten de la Gravedad Especiacutefica de los Solidos (Gs) y la Relacioacuten de Vaciacuteos (e)desarrollaremos una expresioacuten para el ic
ic = acute
w
Las relaciones de vaciacuteos de la gran mayoriacutea de las arenas estaacuten comprendidasentre 03 y 12 Por otro lado la gravedad especiacutefica de estos suelos oscila entre265 y 270 Si se aplica la formula en esos intervalos se tiene que
acute = sat - w sat = Gs + e w 1+e
acute = Gs + e w ndash w = w Gs + e - 1
1+e 1+e
ic = Gs - 1
1+e
Para e = 03 Gs = 265 ic = 127Gs = 270 ic = 131
Para e = 12 Gs = 265 ic = 075
Gs = 270 ic = 077ldquoSeguacuten estos resultados en un deposito de arena para cualquier Gs practico se pueden encontrar valores de ic entre
075 y 131 De modo que es importante resaltar que los valores de gradiente hidraacuteulico critico en arenas estaacuten cercanos
a la unidad rdquo
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Como se produce la licuefaccioacuten con las sacudidas
siacutesmicas fuertes
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Edificios de estructura de hormigoacuten armado concerramientos y particiones interiores de faacutebrica dantildeados por elterremoto de Nigata Japoacuten 16 de Junio de 1964 magnitudRichter 75
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Ejercicio Bajo las condiciones indicadas en la figura se pide calcular los
esfuerzos totales neutrales y efectivos en las fronteras de los estratos
L
2L
2L
γw
γsat K1
γsat K2
L
K2= 2K1
1
2
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Ejercicio En el perfil estratificado indicado determine las presiones totales
neutrales y efectivas en las fronteras indicadas ademaacutes calcule el factor de
seguridad a la licuefaccioacuten donde sea necesario
L
L
2L
3L
09L
γsat1 γh1 k1
Satcap
γsat2 k2
γsat3 k3
1
2
3
γsat1= 15 γw =12 γh1
γsat2= 17 γw
γsat3= 19 γwk2= 2k1k3= 6k1
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LEVANTAMIENTO DE UN ESTRATO DE ARCILLA
Las fuerzas de filtracioacuten afectan no solamente a los suelos sincohesioacuten sino tambieacuten a los suelos cohesivos soacutelo que lo hacen demodo distinto porque en suelos arcillosos la cohesioacuten existente entrelas partiacuteculas las mantiene unidas de modo tal que se levanta toda la
masa de suelo y no partiacuteculas individuales como en los suelosgranulares
A modo de explicar el comportamiento de los suelos cohesivospondremos el siguiente caso
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LEVANTAMIENTO DE UN ESTRATO DE ARCILLA
Se tienen dos estratos de suelo diferente un suelo cohesivo que descansa sobre unmaterial muy permeable o suelo sin cohesioacuten Se necesita realizar una excavacioacutenen el estrato cohesivo para lo cual se debe determinar la profundidad a excavar yel espesor del estrato luego de realizada la excavacioacuten (tc) de tal manera queresulte seguro al levantamiento
Para realizar la excavacioacuten
se colocan dos tablestacas enel suelo y se procede luego aabatir el nivel del agua pormedio de bombeo tratando demantenerla seca
Por otra parte se desprecianlas fuerzas de friccioacuten que seoriginan cuando se hinca latablestaca
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LEVANTAMIENTO DE UN ESTRATO DE ARCILLA
Observemos que las fuerzas verticales actuantes son el peso del suelo y la presioacutende poros que tienden a levantar el fondo de la excavacioacuten puesto que el flujo es
ascendente El nivel piezomeacutetrico en la superficie del estrato sin cohesioacuten es mayorque el nivel piezomeacutetrico en el fondo de la excavacioacuten por lo que el agua tiende asubir pero como la permeabilidad del estrato de arcilla es tan baja esto resultamuy difiacutecil y se generan presiones en el fondo del rectaacutengulo
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El suelo estaacute saturado por tanto para calcular su peso se usa el peso unitario saturadoentonces
Peso del Suelo = tc sat
Haciendo equilibrio de fuerzas verticales
La presioacuten de poros es la suma de la presioacuten hidrostaacutetica y la de filtracioacuten
= Dh + Df = tc w + Dh w = ( tc + Dh ) w
sumFv = 0 Peso del Suelo - = 0
tc sat = ( tc + Dh ) w
tc sat = tc w + Dh w
tc ( sat - w ) = Dh w tc = Dh w = Df
( sat - w ) acute
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El espesor tc es el espesor criacutetico de la excavacioacuten es decir es el espesor miacutenimo
para el cual la excavacioacuten es segura
Por lo tanto
En espesores lt de tc se produce el levantamiento del fondo de la excavacioacuten
En espesores gt de tc la excavacioacuten es estable
Este fenoacutemeno puede darse tambieacuten parcialmente socavacioacuten
cuando se forman tuacuteneles o cavernas por arrastre de finos que generaninestabilidad y lo que puede ser maacutes grave el colapso del suelo
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EJERCICIOSe pretende realizar una excavacioacuten en un estrato de arcilla de 10 mts de espesor
que descansa sobre un estrato de arena Se pide
a) Calcular la profundidad maacutexima de excavacioacuten sin que se produzca
inestabilidad o levantamiento del fondob) iquestQueacute profundidad de agua libre debe bombearse a modo de poder llevar la
excavacioacuten hasta 8 mts de profundidad
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10m
1m
9m
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10m
1m
9m N
K
habat
N
K
Dh
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FLUJO EN MEDIOS POROSOS
El agua puede fluir a traveacutes de la masa de suelo en cualquier estado
en que este se encuentre aun y cuando el este muy compactado el
agua puede fluir a traveacutes de la masa de suelo ya que los poros estaacuten
interconectados entre si permitiendo el flujo de agua en ese medioporoso movieacutendose esta a lo largo de caminos ondulantes y rugosos
que existen entre un poro y otro lo cual genera peacuterdidas de energiacutea o
carga piezomeacutetrica originadas por la friccioacuten al igual que ocurre
cuando el flujo de agua es por tuberiacuteas o por canales abiertos
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Hasta ahora el estudio del flujo en medios porosos se ha limitado alcaso unidimensional (flujo ascendente y descendente) en el que losparaacutemetros del fluido tales como presioacuten velocidad temperaturaetc son constantes en cualquier seccioacuten transversal que seaperpendicular a la direccioacuten del flujo
En esta parte del tema se estudiaraacute el flujo del agua en tresdimensiones que es el caso maacutes general para lo cual se trabajaraacute conla ecuacioacuten fundamental de flujo Posteriormente se realizansimplificaciones debido a que el anaacutelisis tridimensional de los
problemas de filtracioacuten resulta muy complejo y se trabaja conmeacutetodos aproximados que permiten su resolucioacuten en dosdimensiones
Oacute
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ECUACIOacuteN FUNDAMENTAL DE FLUJO
HIPOTESIS
Dominio Saturado
La Presioacuten y la Velocidad son funcioacuten uacutenicamente de la posicioacuten
El esqueleto mineral del suelo es perfectamente riacutegido
z
y
x x y z
dz
dy
dx
Componente vertical del flujo
Base teoacuterica de la Red de Flujo y para otros
meacutetodos de resolucioacuten de problemas de filtracioacuten
Elemento cuacutebico de suelo a traveacutes del cual se
produce flujo laminar q con componenetes x y z
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z y x qqqq
dydxdz z
VzVzdzdxdy
y
VyVydzdydx
x
VxVxdydxVzdzdxVydzdyVx
Igualamos
dydxdz z
VzVzdzdxdy y
VyVydzdydx x
VxVxq
dydxVzdzdxVydzdyVxq
saliente
entrante
Por continuidad qentrante = qsaliente
Simplificamos y llegamos a la ecuacioacuten de Continuidad 0
z
Vz
y
Vy
x
Vx
Aplicamos Ley de Darcy (V = -ki = -k h L) 02
2
2
2
2
2
z
hkz
y
hky
x
hkx
Asumimos el suelo Isotroacutepico (kx = ky = kz) h z
h
y
h
x
h 2
2
2
2
2
2
2
0
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
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La ecuacioacuten de Laplace describe matemaacuteticamente el flujo de aguaen la regioacuten considerada
Expresa la suma de la variacioacuten de los gradientes hidraacuteulicos en lasdirecciones X Y y Z es Nula
h z
h
y
h
x
h 2
2
2
2
2
2
2
0
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
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SOLUCIOacuteN DE LA ECUACIOacuteN DE LAPLACE EN 2 DIMENSIONES
FUNCIOacuteN POTENCIAL DE LA VELOCIDAD =
( x y) = constante = -kh + c Es dependiente del potencial hidraacuteulico y su variacioacuten genera velocidad en
el agua
Derivando con respecto a X y a Y
x
hk
x
y
hk
y
x
hk Vx
y
hk Vy Entonces Vx
x
Vy
y
Resolvemos derivando con respecto a X y a Y y aplicamos la ecuacioacuten de Continuidad
2
2
2
2
2
0 y x
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satisface la ecuacioacuten de Laplace siendo la solucioacuten de la mismaen dos dimensiones
define para cada valor de esa constante una linea continua cuyospuntos tiene igual potencial hidraacuteulico h y son denominadasldquoLineas Equipotencialesrdquo
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
2
2
2
2
2
0 y x
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FUNCIOacuteN DE FLUJO =
( x y) = constante
Entonces
Resolvemos derivando con respecto a X y a Y y aplicamos la ecuacioacuten de Continuidad
0 D
D
y
y x
x
Dx
Dy
Vy
Vx
Por continuidad qentrante = qsaliente
0 DD yVx xVy yVy
Vx x DD Asumiendo Vx
x
Vy
y
2
2
2
2
2
0 y x
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cumple con la ecuacioacuten de Laplace por lo tanto es una solucioacuten ala misma en dos dimensiones
define para cada valor de la constante una linea continua querepresenta la trayectoria de agua Se denominan ldquoLineas de Flujordquo oacuteldquoLineas de Corrienterdquo
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
2
2
2
2
2
0 y x
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RELACIOacuteN ENTRE LAS LINEAS EQUIPOTENCIALES YLINEAS DE FLUJO O DE CORRIENTE
Considerando las derivadas totales a lo largo de cada una de las curvas
y
x
x
y
x
y
x
y
Pendientes Reciacuteprocas y de signo contario lo cual escondicioacuten de Ortogonalidad y son Ortogonales encada punto de interseccioacuten
REDES DE FLUJO
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REDES DE FLUJO
La red de flujo es la solucioacuten graacutefica la ecuacioacuten de Laplace en 2 dimensiones
Desafortunadamente la ecuacioacuten de Laplace es matemaacuteticamente integrable solo encondiciones de frontera muy simples por lo que en la praacutectica es necesario emplearotros meacutetodos diferentes de la integracioacuten para obtener la red de flujo Uno de esosmeacutetodos es el procedimiento graacutefico de Forcheimer que resulta ser muy simple deaplicar cualquiera sea el problema de flujo uniforme en dos dimensiones
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El espacio entre cualquier par de liacuteneas de flujo consecutivas es un canal de flujoen el trazado de la red se debe seleccionar un cierto nuacutemero de canales de flujo
Nf tal que el gasto de infiltracioacuten a traveacutes de cada canal sea el mismoDq = q Nf
La peacuterdida de carga entre cualquier par de liacuteneas equipotenciales consecutivas es lamisma e igual a Dh Donde Dhacute = Dh Nd (Dh es la peacuterdida de carga total y Nd elnuacutemero de caiacutedas de potencial)
El ancho del canal es a y la distancia entre las caiacutedas equipotenciales es b paracualquier elemento considerado
El gasto que circula por cualquier elemento es Dq = k i A
El gradiente hidraacuteulico del elemento es i = Dhacute b = ( Dh Nd ) bEntoces Dq = k ( ( Dh Nd ) b ) a L donde L es el ancho de la red en la tercera dimensioacuten
REDES DE FLUJO
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REDES DE FLUJO
Como Dq = q Nf entonces q = Dq Nf = k ( ( Dh Nd ) b ) a L Nf
La razoacuten a b esta fijada por la razoacuten Nf Nd y es la misma a traveacutes de toda la redNf y Nd deben seleccionarse de modo que a = b y a b = 1 Con lo que laecuacioacuten de gasto se transforma en
Reordenando q = k Dh ( Nf Nd ) (a b ) L
q = k Dh ( Nf Nd ) L
Aacute
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1) Hacer un dibujo a escala que muestre la masa de suelo los liacutemites permeables a
traveacutes de los cuales entra y sale el agua del suelo y las fronteras impermeables que
confinan o limitan el flujo
2) Dibujar de dos a cuatro liacuteneas de flujo que formen aacutengulos rectos con los liacutemitespermeables a la entrada y a la salida y que sean aproximadamente paralelas a losliacutemites impermeables
3) Dibujar liacuteneas equipotenciales que formen aacutengulos rectos con las liacuteneas de flujo demanera que el ancho y el largo promedio del cuadrado curviliacuteneo que forman seaniguales (a=b) Desde luego esto es imposible de lograr en el primer tanteo porquelas posiciones de las liacuteneas de flujo son supuestas pero esta primera red serviraacute deguiacutea para un segundo tanteo
4) Se reajustan las liacuteneas de flujo y las liacuteneas equipotenciales hasta que todas lasintersecciones sean en aacutengulo recto y el largo y ancho de cada cuadrado seaniguales Los tamantildeos de los cuadrados pueden ser distintos pero la relacioacuten ab = 1debe mantenerse
REGLAS PRAacuteCTICAS PARA ELABORAR REDES DE FLUJO
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El logro de una solucioacuten exacta requiere de muchos tanteos y
algunos problemas no admiten en su solucioacuten un nuacutemeroexacto de canales yo de caiacutedas equipotenciales en estos casosdebe intentarse con un nuacutemero de canales yo caiacutedasequipotenciales fraccionario (media caiacuteda o medio canal porejemplo)
Al lograr trazar la red de flujo de cuadrados curviliacuteneossatisfaciendo las condiciones de frontera del problema seobtendraacute la solucioacuten graacutefica de este problema para las
condiciones de frontera del problema se obtendraacute la solucioacutengraacutefica de este para las condiciones hidrodinaacutemicasestablecidas por la ecuacioacuten de Laplace
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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J g j
6 0
0 m
BA
I II III IV V VI VII
C
D
6 0
0 m
6 0
0 m
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
1) Altura piezometrica en A
2) Esfuerzo efectivo en B
3) Gradiente hidraacuteulico velocidades de descarga y de filtracioacuten
en C
4) Presiones hidraacuteulicas sobre el tablestacado5) Gradiente hidraacuteulico de salida y factor de seguridad contra la
arena movediza (licuefaccioacuten)
6) Factor de seguridad a la Tubificacioacuten
7) Presiones hidraacuteulicas sobre el fondo impermeable
8) Presioacuten de filtracioacuten en D
9) Caudal de Filtracioacuten bajo la presa sabiendo que L= 50 m
0m 3m 5m 10m
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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J g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
γconc= 235 Tm3
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
γconc= 235 Tm3
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg γsat= 218 Tm3 γconc= 235 Tm3
LINEA SUPERFICIAL DE FLUJO
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LINEA SUPERFICIAL DE FLUJO
En algunos casos un liacutemite de las liacuteneas de flujo puede ser una superficie de agualibre o superficie de saturacioacuten que no estaacute determinada por ninguna masa soacutelida
impermeable
Tal es el caso de las presas de tierra cuyo problema de flujo presenta caracteriacutesticasespeciales y por lo tanto se requiere del uso de meacutetodos tambieacuten especiales paralograr el trazado de la red de flujo
a
b
c
Equipotencial
Liacutenea de Flujo
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En la figura se presenta una presa de tierra de un material heterogeacuteneo eacute isoacutetropo La liacutenea 1-2 es una liacutenea equipotencial puesto que es el contacto entre el suelo permeable y el agua La liacutenea1-3 es un contacto entre la frontera impermeable y el material permeable por lo tanto es unaliacutenea de flujo Entre los puntos 2 y 4 existe una frontera del flujo donde por debajo de ella elsuelo estaacute saturado y por encima no lo estaacute Ahora bien esta liacutenea que limita la zona de flujodentro de la presa recibe el nombre de liacutenea superficial de flujo o liacutenea de saturacioacuten Suforma se desconoce a priori y tambieacuten la posicioacuten del punto 4 ambos deben ser determinados almenos aproximadamente para poder trazar la red de flujo
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La liacutenea de saturacioacuten ademaacutes de ser una liacutenea de flujo es tambieacuten una liacutenea de
equipresioacuten en la que todos los puntos tienen la misma presioacuten cero Por lo tantoel potencial hidraacuteulico depende de la carga de elevacioacuten uacutenicamente y las liacuteneasequipotenciales la cortaran a intervalos verticales iguales entre si
Condiciones Generales de Entrada
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Condiciones Generales de Entrada
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Condiciones Generales de Salida
Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
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Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
Caso 1 a2 lt 30deg En este caso es posible calcular la superficie humedecida a (distancia 4 - 3) pormedio de la siguiente expresioacuten
2
2
2
2
2
2
2coscos a a a sen
hd d a
d = L - M + O3M
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Luego de dibujar la presa de tierra a escala se sentildeala en ella la superficie humedecida aguas
abajo a calculada por la foacutermula anterior El siguiente paso consiste en el trazado de laliacutenea de saturacioacuten usando el meacutetodo graacutefico aproximado de la paraacutebola baacutesica de Kozenycuyo procedimiento se describe a continuacioacuten
1 Ubicar el punto 2 en la liacutenea freaacutetica a una distancia de 03M medida desde la cara deltalud aguas arriba La cara aguas abajo del talud es tangente a la paraacutebola en el punto 4
2 Prolongar la liacutenea en el talud aguas arriba de la presa Trazar una horizontal por el punto2 hasta cortar la cara del talud aguas abajo El punto de interseccioacuten es 5
3 Dividir 4 -5 Y 5 - 2 en el mismo nuacutemero de partes iguales no maacutes de 4 o 5 y marcarestos puntos (en 2- 5 se parte de 5 numerando con letras A -B etc en 4 - 5 se parte de 4numerando A-B-C etc)
4 Trazar por 4 - 5 liacuteneas horizontales en los puntos marcados
5 Unir cada uno de los puntos marcados en la horizontal 2- 5 con el punto 46 Trazar la liacutenea freaacutetica por los puntos obtenidos 7 Como la liacutenea freaacutetica parte perpendicular a la cara del talud aguas arriba este ajuste
debe realizarse manualmente
=gt M = htg ald =L - O7M
Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
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Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
Caso 2 a2 gt 30deg En este caso el procedimiento a seguir es
d d hP 22
1 La paraacutebola tiene su origen a una distancia P del veacutertice del talud aguas abajo de lapresa es decir este veacutertice es su foco y es tangente a la vertical que pasa por elpunto P
P se calcula por medio de la siguiente expresioacuten
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2 Trazar la paraacutebola baacutesica de Kozeny En este caso la tangente al origen es una liacuteneavertical
3 La distancia desde el punto 4 hasta la interseccioacuten de la paraacutebola con el talud aguasabajo es a + Da y no es realmente el punto por donde sale el agua en el talud porlo tanto se debe realizar una correccioacuten y encontrar a Casagrande encontroacute que larelacioacuten es un escalar que puede ser llamado a y que se relaciona
con el angulo a2 seguacuten se muestra en la siguiente tabla
a
a
D
D
a a2 ( deg ) aacute
30 0375
60 0320
90 0260
120 0185
150 0105
180 0
Los valores entre estos aacutengulos pueden interpolarse
y midiendo a + Da se calcula a usando la tablaDa = aacute ( a + Da ) y a = ( a + Da ) - Da
Finalmente se trazan manualmente la entraday la salida de la liacutenea de saturacioacuten
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EJERCICIO Determine la Linea Superficial de Flujo de la presa de tierra que se presentaa continuacioacuten
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a continuacioacuten
EJERCICIO Determine la Linea Superficial de Flujo de la presa de tierra que se presentaa continuacioacuten
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2
1
a continuacioacuten
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
g
La teoriacutea de la seccioacuten transformada permite reducir al caso de un suelo homogeacuteneo e isoacutetropo un suelo en el que la permeabilidad para el flujo en la direccioacuten horizontal ( kx) y la que tenga para el flujo en la direccioacuten vertical ( ky ) sean diferentes ( kx ne Ky )(por lo general Kx en muchas veces mayor que ky )
La teoriacutea de la seccioacuten transformada es un simple artificio de calculo que se logra por una simple transformacioacuten de coordenadas y que modifica sobre el papel las dimensiones de la zona de flujo en estudio en un suelo isotropico hidraacuteulicamente equivalente
Dos tipos de transformaciones se pueden aplicar a) Haciendo
Y Ky
Kx
Y acute
Se modifican las dimensiones verticales permaneciendo constantes las horizontales
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
g
b) Haciendo
X Kx
Ky X acute
Se modifican las dimensiones Horizontales permaneciendo constantes las Verticales
En la seccioacuten transformada homogeacutenea e isoacutetropa la permeabilidad equivalente viene dada por
kykxk
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
kykxk
X Kx
Ky X acute
2 0 0 0
0 0
kx
ky
k
2 8 2 0 0
0
h
141h
500000
b352463
071b
k
Y Ky
KxY acute
kykx 2
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El principio de esfuerzo efectivo es el concepto maacutes importante en la mecaacutenica desuelos ya que ha permitido analizar cientiacuteficamente la deformacioacuten y resistenciade los suelos
DondeP = Fuerza total aplicada a la masa de sueloP= Fuerza aplicada en los contactos o carga soportada por el esqueleto mineralA = Aacuterea transversal de la masa de sueloAc = Aacuterea de contacto entre las partiacuteculasAv = Aacuterea de vaciacuteos = Presioacuten de poros = Esfuerzo total = Esfuerzo Efectivo
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ESFUERZO TOTAL
Es generado por el peso de la masa de suelo peso del agua y estructuras sobre elmismo actuando por efecto de gravedad es decir es el peso del suelo y todo loque este encima del punto evaluado
Si son varios estratos se calcula por separado el peso de cada estrato y luego sesuman = sumi
n i Zi
Se calcula en un punto determinado multiplicando el espesor del estrato por el
peso unitario del suelo = Z
La presioacuten de poros para en condiciones hidrostaacuteticas se calcula de modosimilar multiplicando la densidad del agua por la profundidad del punto encuestioacuten Zw
= w Zw
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CAacuteLCULO DE ESFUERZOS EN CONDICIOacuteN HIDROSTAacuteTICA
Una masa de suelo esta en condicioacuten hidrostaacutetica cuando esta enreposo y al colocar piezoacutemetros en diferentes puntos y adiferentes profundidades en cualquier punto el agua se elevahasta el mismo nivel piezomeacutetrico es decir el nivel freaacutetico
= w Zw
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Para aplicar la relacioacuten entre el esfuerzo efectivo y la presioacuten de poros se
supone que el suelo se encuentra totalmente sumergido y que el agua estaacute encondiciones hidrostaacuteticas (no se mueve)
En condicioacuten saturada la presioacuten de contacto es menor que en condicioacuten huacutemedaen una magnitud igual a la flotacioacuten del agua
Ya que condicioacuten saturada la presioacuten de poros es mayor entonces acute = - mientras que en condicioacuten huacutemeda acute = donde la presioacuten de poros es menor queen condicioacuten saturada
= acute +
sat Z = acute + w Z
acute = sat Z - w Z = (sat - w) Z = acute Z
Dondesat - w = acute es el peso sumergido
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EsfuerzoTotal
(σ)
Presionde Poros
(u)
EsfuerzoEfectivo
(σrsquo)
γsat Z
Z γsat Z γw Z γrsquo
γrsquo = γsat- γw
Agua γw Z1
γsat Z2Suelo
Saturado
A
B
Z1 γw+Z2 γsat
Z1 γw
Z1 γw
Z2( γsat- γw)(Z1+Z2) γw
Perfiles comunes de esfuerzos totales efectivos ypresiones de poros
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γh Z1
γsat Z2Suelo
Saturado
C
Z1 γh+Z2 γsat
Z1 γh
Z1 γh+Z2 γrsquo Z2 γw
Esfuerzo
Total(σ)
Presion
de Poros(u)
Esfuerzo
Efectivo(σrsquo)
Suelo
Humedo Z1 γh
γsat1 Z1
γsat3 Z3Suelo
Saturado
γsat2 Z2Suelo
Saturado
Suelo
SaturadoZ1 γsat1
Z2 γsat2
Z3 γsat3
Z1 γw
Z2 γw
Z3 γw
Z1 γrsquo 1
Z2 γrsquo 2
Z3 γrsquo 3
Σni=1 Zi γsati Σn
i=1 Zi γw Σni=1 Zi γrsquo
D
Edificio 2
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1h1 = 175 Tm3
h2 = 190 Tm3 SAT2 = 205 Tm3
SAT3 = 200 Tm3
SAT4 = 208 Tm3
EJERCICIO Dado el siguiente perfil determinar el diagrama de esfuerzos totalespresion de poros y esfuerzos efectivos
D10 (2) = 0015 cm
D10 (1) = 0030 cm
D10 (3) = 005 cm
2 m
2 2 m
3 3 m
4 3 m
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EJERCICIO Dado el siguiente perfil determinar el diagrama de esfuerzos totalespresion de poros y esfuerzos efectivos
h1 = 182 Tm3
SAT1 = 195 Tm3
D10 (1)
= 0030 mm
h2 = 185 Tm3
SAT2 = 200 Tm3
D10 (2)
= 005 mm
SAT3 = 210 Tm3
1 6 m
2 5 m
3 4 m
dMax= 21 Tm3
GC = 95 w = 9 9 m
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CAacuteLCULO DE ESFUERZOS EN
CONDICIOacuteN HIDRODINAacuteMICA
La condicioacuten hidrodinaacutemica de los suelos ocurre cuando
el agua gravitacional que estaacute en estado de reposo essometida a un gradiente hidraacuteulico lo que origina unaumento en la presioacuten del liacutequido y esto se transformaen energiacutea cineacutetica transfirieacutendole movimiento a traveacutesdel suelo
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Si en dos puntos diferentes de una misma masa continua de agua haycantidades diferentes de energiacutea es decir no se alcanza el mismonivel piezomeacutetrico se produciraacute un movimiento de las partiacuteculas deagua hacia los puntos de menos energiacutea para tratar de equilibrar la
diferencia y la diferencia de carga se gasta en el trabajo de mover elagua Se presentan en estos graacuteficos algunos casos de flujo de agua endiferentes direcciones y sentidos
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h es la altura que asciende el agua en un pequentildeo tubo con respecto a un planode referencia arbitrario Esta altura es conocida como carga piezomeacutetrica y es
una medida de la energiacutea que tiene el agua La energiacutea del agua viene dada por lasuma de la energiacutea potencial (elevacioacuten) la energiacutea de presioacuten y la energiacuteacineacutetica (velocidad)
g
V p
Z hw 2
2
Z = Elevacioacuten sobre un Datum arbitrario
P = Carga de Presioacuten
w
V2 = Carga de Velocidad
2g
En los suelos el flujo es laminar y como la velocidad es muy pequentildea se
considera que su valor tiende a cero por tanto la ecuacioacuten anterior puedeexpresarse como sigue
w
p Z h
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GRADIENTE HIDRAacuteULICO
Es la peacuterdida o disipacioacuten de altura hidraacuteulica por unidad de longitud medidaen la direccioacuten en que ocurre el flujo
i = Dh L
Dondei = Gradiente hidraacuteulico = DhL (adimensional)
Dh = Peacuterdida de carga
L = Longitud de recorrido del flujo
La ley de Darcy expresa la perdida
de carga Dh que se requiere paramover el agua a traveacutes del suelo unadistancia L con un gasto q es decir Dh = q L
k A
Siempre y cuando el flujo sea laminar que es el caso
corriente de los suelos a excepcioacuten de las gravas gruesas
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El valor Dh es la peacuterdida de energiacutea causada por la viscosidad la friccioacuten y los
efectos de inercia mientras el agua va circulando a traveacutes de los canales de losporos irregulares y rugosos
Cuando hay flujo las presiones de poros tienen un comportamiento diferentedebido a la presioacuten de filtracioacuten que se produce por la friccioacuten entre el agua en
movimiento y las paredes de los vaciacuteos del suelo
La presioacuten de poros en este caso seraacute la combinacioacuten de la presioacuten de poroshidrostaacutetica y la presioacuten de filtracioacuten tal como se presenta en la siguiente
expresioacuten
= Dh Df
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La presioacuten de filtracioacuten actuacutea en la misma direccioacuten y sentido del flujo del
agua y numeacutericamente es igual al producto de la perdida de carga hidraacuteulicapor el peso unitario del agua
Df = Dh w
El agua puede moverse en distintos sentidos y direcciones En esta parte del
tema se analizaraacute el comportamiento del suelo cuando el movimiento del agua seda en direccioacuten vertical
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FLUJO DESCENDENTE
Cuando el flujo es descendente las presiones de poros se calculan como ladiferencia entre las presiones de poros en condicioacuten hidrostaacutetica y la presioacuten defiltracioacuten
= Dh - Df
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Dh varia linealmente con el espesor del estrato de suelo lo cual puede serdemostrado de la siguiente manera
i = Dh Dh = i LL
Donde
Dh = Peacuterdida de carga
L = Espesor del Estrato i = Gradiente hidraacuteulico = Constante
Perdida de carga en L = 0 Dh(0) = i L = Dh 0 = 0H
Perdida de carga en L = H2 Dh(H2) = i L = Dh H = Dh
H 2 2
Perdida de carga en L = H Dh(H) = i L = Dh H = DhH
Quedando demostrado que la variacioacuten es lineal y se puede expresar la presioacutende filtracioacuten en funcioacuten del gradiente hidraacuteulico por medio de la siguienteexpresioacuten mencionada anteriormente
Df = Dh w = i L w
ldquoEl gradiente hidraacuteulico es la pendiente de las alturas piezometricas y la perdida de energiacutea uniforme es
debida a que el suelo se supone homogeacuteneo e isoacutetropordquo
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En cuanto a los esfuerzos efectivos tenemos
acute = - = Dh - Df
acute = - (Dh - Df ) = - Dh + Df
acuteh = - Dh acute = acuteh + Df
y
Lo cual evidencia que en flujo descendente los esfuerzos efectivos se incrementan en lamisma proporcioacuten que la presioacuten de filtracioacuten y el diagrama de esfuerzos totales presionesde poros y esfuerzos efectivos queda asi
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FLUJO ASCENDENTE
El flujo es ascendente cuando la altura piezomeacutetrica en el punto inferior es mayor
que en el punto superior Las presiones de poros en este caso se calculan como lasuma de las presiones de poros en condicioacuten hidrostaacutetica y la presioacuten de filtracioacuten
= Dh + Df
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En cuanto a los esfuerzos efectivos tenemos
acute = - = Dh + Df
acute = - (Dh + Df ) = - Dh - Df
acuteh = - Dh acute = acuteh - Df
y
Lo cual indica que para flujo ascendente los esfuerzos efectivos disminuyen en igualproporcioacuten que la presioacuten de filtracioacuten y el diagrama de esfuerzos totales presiones deporos y esfuerzos efectivos queda asi
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iquestQue tiende a ocurrir cuando el flujo es Ascendente
Cuando el flujo es ascendente la friccioacuten entre el agua y las paredes de los vaciacuteostiende a levantar los granos de suelo El valor de la presioacuten de filtracioacuten puedecrecer tanto que los esfuerzos efectivos se hacen cero
La resistencia al corte de un suelo granular esdirectamente proporcional a los esfuerzosefectivos por lo que cuando estos se igualan acero el suelo pierde su resistencia al corte y seproduce lo que se conoce como ebullicioacuten delsuelo granular Este fenoacutemeno de ebullicioacuten estaacutelimitado a los suelos sin cohesioacuten y se conoce
con el nombre de Licuefaccioacuten acute
= acute h -
Δf
Fenoacutemeno tiacutepico de suelos granulares cuando pierden resistencia al corte y se
produce una separacioacuten entre las partiacuteculas que hace acute = 0
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En estos casos en que los esfuerzos efectivos se hacen cero la presioacuten de
filtracioacuten se iguala al peso del suelo
H acute ndash Dh w 0
H acute = Dh w
Dh = acute H w
Como Dh = i
H
ic = acute
w
ic seraacute el Gradiente Hidraacuteulico Criacutetico y lo definiremos como el gradiente alcual se produce la ebullicioacuten del suelo
acute = 0 acute h - Δf = 0
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En funcioacuten de la Gravedad Especiacutefica de los Solidos (Gs) y la Relacioacuten de Vaciacuteos (e)desarrollaremos una expresioacuten para el ic
ic = acute
w
Las relaciones de vaciacuteos de la gran mayoriacutea de las arenas estaacuten comprendidasentre 03 y 12 Por otro lado la gravedad especiacutefica de estos suelos oscila entre265 y 270 Si se aplica la formula en esos intervalos se tiene que
acute = sat - w sat = Gs + e w 1+e
acute = Gs + e w ndash w = w Gs + e - 1
1+e 1+e
ic = Gs - 1
1+e
Para e = 03 Gs = 265 ic = 127Gs = 270 ic = 131
Para e = 12 Gs = 265 ic = 075
Gs = 270 ic = 077ldquoSeguacuten estos resultados en un deposito de arena para cualquier Gs practico se pueden encontrar valores de ic entre
075 y 131 De modo que es importante resaltar que los valores de gradiente hidraacuteulico critico en arenas estaacuten cercanos
a la unidad rdquo
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Como se produce la licuefaccioacuten con las sacudidas
siacutesmicas fuertes
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Edificios de estructura de hormigoacuten armado concerramientos y particiones interiores de faacutebrica dantildeados por elterremoto de Nigata Japoacuten 16 de Junio de 1964 magnitudRichter 75
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Ejercicio Bajo las condiciones indicadas en la figura se pide calcular los
esfuerzos totales neutrales y efectivos en las fronteras de los estratos
L
2L
2L
γw
γsat K1
γsat K2
L
K2= 2K1
1
2
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Ejercicio En el perfil estratificado indicado determine las presiones totales
neutrales y efectivas en las fronteras indicadas ademaacutes calcule el factor de
seguridad a la licuefaccioacuten donde sea necesario
L
L
2L
3L
09L
γsat1 γh1 k1
Satcap
γsat2 k2
γsat3 k3
1
2
3
γsat1= 15 γw =12 γh1
γsat2= 17 γw
γsat3= 19 γwk2= 2k1k3= 6k1
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LEVANTAMIENTO DE UN ESTRATO DE ARCILLA
Las fuerzas de filtracioacuten afectan no solamente a los suelos sincohesioacuten sino tambieacuten a los suelos cohesivos soacutelo que lo hacen demodo distinto porque en suelos arcillosos la cohesioacuten existente entrelas partiacuteculas las mantiene unidas de modo tal que se levanta toda la
masa de suelo y no partiacuteculas individuales como en los suelosgranulares
A modo de explicar el comportamiento de los suelos cohesivospondremos el siguiente caso
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LEVANTAMIENTO DE UN ESTRATO DE ARCILLA
Se tienen dos estratos de suelo diferente un suelo cohesivo que descansa sobre unmaterial muy permeable o suelo sin cohesioacuten Se necesita realizar una excavacioacutenen el estrato cohesivo para lo cual se debe determinar la profundidad a excavar yel espesor del estrato luego de realizada la excavacioacuten (tc) de tal manera queresulte seguro al levantamiento
Para realizar la excavacioacuten
se colocan dos tablestacas enel suelo y se procede luego aabatir el nivel del agua pormedio de bombeo tratando demantenerla seca
Por otra parte se desprecianlas fuerzas de friccioacuten que seoriginan cuando se hinca latablestaca
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LEVANTAMIENTO DE UN ESTRATO DE ARCILLA
Observemos que las fuerzas verticales actuantes son el peso del suelo y la presioacutende poros que tienden a levantar el fondo de la excavacioacuten puesto que el flujo es
ascendente El nivel piezomeacutetrico en la superficie del estrato sin cohesioacuten es mayorque el nivel piezomeacutetrico en el fondo de la excavacioacuten por lo que el agua tiende asubir pero como la permeabilidad del estrato de arcilla es tan baja esto resultamuy difiacutecil y se generan presiones en el fondo del rectaacutengulo
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El suelo estaacute saturado por tanto para calcular su peso se usa el peso unitario saturadoentonces
Peso del Suelo = tc sat
Haciendo equilibrio de fuerzas verticales
La presioacuten de poros es la suma de la presioacuten hidrostaacutetica y la de filtracioacuten
= Dh + Df = tc w + Dh w = ( tc + Dh ) w
sumFv = 0 Peso del Suelo - = 0
tc sat = ( tc + Dh ) w
tc sat = tc w + Dh w
tc ( sat - w ) = Dh w tc = Dh w = Df
( sat - w ) acute
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El espesor tc es el espesor criacutetico de la excavacioacuten es decir es el espesor miacutenimo
para el cual la excavacioacuten es segura
Por lo tanto
En espesores lt de tc se produce el levantamiento del fondo de la excavacioacuten
En espesores gt de tc la excavacioacuten es estable
Este fenoacutemeno puede darse tambieacuten parcialmente socavacioacuten
cuando se forman tuacuteneles o cavernas por arrastre de finos que generaninestabilidad y lo que puede ser maacutes grave el colapso del suelo
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EJERCICIOSe pretende realizar una excavacioacuten en un estrato de arcilla de 10 mts de espesor
que descansa sobre un estrato de arena Se pide
a) Calcular la profundidad maacutexima de excavacioacuten sin que se produzca
inestabilidad o levantamiento del fondob) iquestQueacute profundidad de agua libre debe bombearse a modo de poder llevar la
excavacioacuten hasta 8 mts de profundidad
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10m
1m
9m
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10m
1m
9m N
K
habat
N
K
Dh
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FLUJO EN MEDIOS POROSOS
El agua puede fluir a traveacutes de la masa de suelo en cualquier estado
en que este se encuentre aun y cuando el este muy compactado el
agua puede fluir a traveacutes de la masa de suelo ya que los poros estaacuten
interconectados entre si permitiendo el flujo de agua en ese medioporoso movieacutendose esta a lo largo de caminos ondulantes y rugosos
que existen entre un poro y otro lo cual genera peacuterdidas de energiacutea o
carga piezomeacutetrica originadas por la friccioacuten al igual que ocurre
cuando el flujo de agua es por tuberiacuteas o por canales abiertos
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Hasta ahora el estudio del flujo en medios porosos se ha limitado alcaso unidimensional (flujo ascendente y descendente) en el que losparaacutemetros del fluido tales como presioacuten velocidad temperaturaetc son constantes en cualquier seccioacuten transversal que seaperpendicular a la direccioacuten del flujo
En esta parte del tema se estudiaraacute el flujo del agua en tresdimensiones que es el caso maacutes general para lo cual se trabajaraacute conla ecuacioacuten fundamental de flujo Posteriormente se realizansimplificaciones debido a que el anaacutelisis tridimensional de los
problemas de filtracioacuten resulta muy complejo y se trabaja conmeacutetodos aproximados que permiten su resolucioacuten en dosdimensiones
Oacute
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ECUACIOacuteN FUNDAMENTAL DE FLUJO
HIPOTESIS
Dominio Saturado
La Presioacuten y la Velocidad son funcioacuten uacutenicamente de la posicioacuten
El esqueleto mineral del suelo es perfectamente riacutegido
z
y
x x y z
dz
dy
dx
Componente vertical del flujo
Base teoacuterica de la Red de Flujo y para otros
meacutetodos de resolucioacuten de problemas de filtracioacuten
Elemento cuacutebico de suelo a traveacutes del cual se
produce flujo laminar q con componenetes x y z
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z y x qqqq
dydxdz z
VzVzdzdxdy
y
VyVydzdydx
x
VxVxdydxVzdzdxVydzdyVx
Igualamos
dydxdz z
VzVzdzdxdy y
VyVydzdydx x
VxVxq
dydxVzdzdxVydzdyVxq
saliente
entrante
Por continuidad qentrante = qsaliente
Simplificamos y llegamos a la ecuacioacuten de Continuidad 0
z
Vz
y
Vy
x
Vx
Aplicamos Ley de Darcy (V = -ki = -k h L) 02
2
2
2
2
2
z
hkz
y
hky
x
hkx
Asumimos el suelo Isotroacutepico (kx = ky = kz) h z
h
y
h
x
h 2
2
2
2
2
2
2
0
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
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La ecuacioacuten de Laplace describe matemaacuteticamente el flujo de aguaen la regioacuten considerada
Expresa la suma de la variacioacuten de los gradientes hidraacuteulicos en lasdirecciones X Y y Z es Nula
h z
h
y
h
x
h 2
2
2
2
2
2
2
0
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
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SOLUCIOacuteN DE LA ECUACIOacuteN DE LAPLACE EN 2 DIMENSIONES
FUNCIOacuteN POTENCIAL DE LA VELOCIDAD =
( x y) = constante = -kh + c Es dependiente del potencial hidraacuteulico y su variacioacuten genera velocidad en
el agua
Derivando con respecto a X y a Y
x
hk
x
y
hk
y
x
hk Vx
y
hk Vy Entonces Vx
x
Vy
y
Resolvemos derivando con respecto a X y a Y y aplicamos la ecuacioacuten de Continuidad
2
2
2
2
2
0 y x
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satisface la ecuacioacuten de Laplace siendo la solucioacuten de la mismaen dos dimensiones
define para cada valor de esa constante una linea continua cuyospuntos tiene igual potencial hidraacuteulico h y son denominadasldquoLineas Equipotencialesrdquo
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
2
2
2
2
2
0 y x
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FUNCIOacuteN DE FLUJO =
( x y) = constante
Entonces
Resolvemos derivando con respecto a X y a Y y aplicamos la ecuacioacuten de Continuidad
0 D
D
y
y x
x
Dx
Dy
Vy
Vx
Por continuidad qentrante = qsaliente
0 DD yVx xVy yVy
Vx x DD Asumiendo Vx
x
Vy
y
2
2
2
2
2
0 y x
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cumple con la ecuacioacuten de Laplace por lo tanto es una solucioacuten ala misma en dos dimensiones
define para cada valor de la constante una linea continua querepresenta la trayectoria de agua Se denominan ldquoLineas de Flujordquo oacuteldquoLineas de Corrienterdquo
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
2
2
2
2
2
0 y x
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RELACIOacuteN ENTRE LAS LINEAS EQUIPOTENCIALES YLINEAS DE FLUJO O DE CORRIENTE
Considerando las derivadas totales a lo largo de cada una de las curvas
y
x
x
y
x
y
x
y
Pendientes Reciacuteprocas y de signo contario lo cual escondicioacuten de Ortogonalidad y son Ortogonales encada punto de interseccioacuten
REDES DE FLUJO
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REDES DE FLUJO
La red de flujo es la solucioacuten graacutefica la ecuacioacuten de Laplace en 2 dimensiones
Desafortunadamente la ecuacioacuten de Laplace es matemaacuteticamente integrable solo encondiciones de frontera muy simples por lo que en la praacutectica es necesario emplearotros meacutetodos diferentes de la integracioacuten para obtener la red de flujo Uno de esosmeacutetodos es el procedimiento graacutefico de Forcheimer que resulta ser muy simple deaplicar cualquiera sea el problema de flujo uniforme en dos dimensiones
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El espacio entre cualquier par de liacuteneas de flujo consecutivas es un canal de flujoen el trazado de la red se debe seleccionar un cierto nuacutemero de canales de flujo
Nf tal que el gasto de infiltracioacuten a traveacutes de cada canal sea el mismoDq = q Nf
La peacuterdida de carga entre cualquier par de liacuteneas equipotenciales consecutivas es lamisma e igual a Dh Donde Dhacute = Dh Nd (Dh es la peacuterdida de carga total y Nd elnuacutemero de caiacutedas de potencial)
El ancho del canal es a y la distancia entre las caiacutedas equipotenciales es b paracualquier elemento considerado
El gasto que circula por cualquier elemento es Dq = k i A
El gradiente hidraacuteulico del elemento es i = Dhacute b = ( Dh Nd ) bEntoces Dq = k ( ( Dh Nd ) b ) a L donde L es el ancho de la red en la tercera dimensioacuten
REDES DE FLUJO
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REDES DE FLUJO
Como Dq = q Nf entonces q = Dq Nf = k ( ( Dh Nd ) b ) a L Nf
La razoacuten a b esta fijada por la razoacuten Nf Nd y es la misma a traveacutes de toda la redNf y Nd deben seleccionarse de modo que a = b y a b = 1 Con lo que laecuacioacuten de gasto se transforma en
Reordenando q = k Dh ( Nf Nd ) (a b ) L
q = k Dh ( Nf Nd ) L
Aacute
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1) Hacer un dibujo a escala que muestre la masa de suelo los liacutemites permeables a
traveacutes de los cuales entra y sale el agua del suelo y las fronteras impermeables que
confinan o limitan el flujo
2) Dibujar de dos a cuatro liacuteneas de flujo que formen aacutengulos rectos con los liacutemitespermeables a la entrada y a la salida y que sean aproximadamente paralelas a losliacutemites impermeables
3) Dibujar liacuteneas equipotenciales que formen aacutengulos rectos con las liacuteneas de flujo demanera que el ancho y el largo promedio del cuadrado curviliacuteneo que forman seaniguales (a=b) Desde luego esto es imposible de lograr en el primer tanteo porquelas posiciones de las liacuteneas de flujo son supuestas pero esta primera red serviraacute deguiacutea para un segundo tanteo
4) Se reajustan las liacuteneas de flujo y las liacuteneas equipotenciales hasta que todas lasintersecciones sean en aacutengulo recto y el largo y ancho de cada cuadrado seaniguales Los tamantildeos de los cuadrados pueden ser distintos pero la relacioacuten ab = 1debe mantenerse
REGLAS PRAacuteCTICAS PARA ELABORAR REDES DE FLUJO
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El logro de una solucioacuten exacta requiere de muchos tanteos y
algunos problemas no admiten en su solucioacuten un nuacutemeroexacto de canales yo de caiacutedas equipotenciales en estos casosdebe intentarse con un nuacutemero de canales yo caiacutedasequipotenciales fraccionario (media caiacuteda o medio canal porejemplo)
Al lograr trazar la red de flujo de cuadrados curviliacuteneossatisfaciendo las condiciones de frontera del problema seobtendraacute la solucioacuten graacutefica de este problema para las
condiciones de frontera del problema se obtendraacute la solucioacutengraacutefica de este para las condiciones hidrodinaacutemicasestablecidas por la ecuacioacuten de Laplace
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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J g j
6 0
0 m
BA
I II III IV V VI VII
C
D
6 0
0 m
6 0
0 m
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
1) Altura piezometrica en A
2) Esfuerzo efectivo en B
3) Gradiente hidraacuteulico velocidades de descarga y de filtracioacuten
en C
4) Presiones hidraacuteulicas sobre el tablestacado5) Gradiente hidraacuteulico de salida y factor de seguridad contra la
arena movediza (licuefaccioacuten)
6) Factor de seguridad a la Tubificacioacuten
7) Presiones hidraacuteulicas sobre el fondo impermeable
8) Presioacuten de filtracioacuten en D
9) Caudal de Filtracioacuten bajo la presa sabiendo que L= 50 m
0m 3m 5m 10m
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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J g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
γconc= 235 Tm3
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
γconc= 235 Tm3
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg γsat= 218 Tm3 γconc= 235 Tm3
LINEA SUPERFICIAL DE FLUJO
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LINEA SUPERFICIAL DE FLUJO
En algunos casos un liacutemite de las liacuteneas de flujo puede ser una superficie de agualibre o superficie de saturacioacuten que no estaacute determinada por ninguna masa soacutelida
impermeable
Tal es el caso de las presas de tierra cuyo problema de flujo presenta caracteriacutesticasespeciales y por lo tanto se requiere del uso de meacutetodos tambieacuten especiales paralograr el trazado de la red de flujo
a
b
c
Equipotencial
Liacutenea de Flujo
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En la figura se presenta una presa de tierra de un material heterogeacuteneo eacute isoacutetropo La liacutenea 1-2 es una liacutenea equipotencial puesto que es el contacto entre el suelo permeable y el agua La liacutenea1-3 es un contacto entre la frontera impermeable y el material permeable por lo tanto es unaliacutenea de flujo Entre los puntos 2 y 4 existe una frontera del flujo donde por debajo de ella elsuelo estaacute saturado y por encima no lo estaacute Ahora bien esta liacutenea que limita la zona de flujodentro de la presa recibe el nombre de liacutenea superficial de flujo o liacutenea de saturacioacuten Suforma se desconoce a priori y tambieacuten la posicioacuten del punto 4 ambos deben ser determinados almenos aproximadamente para poder trazar la red de flujo
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La liacutenea de saturacioacuten ademaacutes de ser una liacutenea de flujo es tambieacuten una liacutenea de
equipresioacuten en la que todos los puntos tienen la misma presioacuten cero Por lo tantoel potencial hidraacuteulico depende de la carga de elevacioacuten uacutenicamente y las liacuteneasequipotenciales la cortaran a intervalos verticales iguales entre si
Condiciones Generales de Entrada
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Condiciones Generales de Entrada
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Condiciones Generales de Salida
Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
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Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
Caso 1 a2 lt 30deg En este caso es posible calcular la superficie humedecida a (distancia 4 - 3) pormedio de la siguiente expresioacuten
2
2
2
2
2
2
2coscos a a a sen
hd d a
d = L - M + O3M
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Luego de dibujar la presa de tierra a escala se sentildeala en ella la superficie humedecida aguas
abajo a calculada por la foacutermula anterior El siguiente paso consiste en el trazado de laliacutenea de saturacioacuten usando el meacutetodo graacutefico aproximado de la paraacutebola baacutesica de Kozenycuyo procedimiento se describe a continuacioacuten
1 Ubicar el punto 2 en la liacutenea freaacutetica a una distancia de 03M medida desde la cara deltalud aguas arriba La cara aguas abajo del talud es tangente a la paraacutebola en el punto 4
2 Prolongar la liacutenea en el talud aguas arriba de la presa Trazar una horizontal por el punto2 hasta cortar la cara del talud aguas abajo El punto de interseccioacuten es 5
3 Dividir 4 -5 Y 5 - 2 en el mismo nuacutemero de partes iguales no maacutes de 4 o 5 y marcarestos puntos (en 2- 5 se parte de 5 numerando con letras A -B etc en 4 - 5 se parte de 4numerando A-B-C etc)
4 Trazar por 4 - 5 liacuteneas horizontales en los puntos marcados
5 Unir cada uno de los puntos marcados en la horizontal 2- 5 con el punto 46 Trazar la liacutenea freaacutetica por los puntos obtenidos 7 Como la liacutenea freaacutetica parte perpendicular a la cara del talud aguas arriba este ajuste
debe realizarse manualmente
=gt M = htg ald =L - O7M
Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
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Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
Caso 2 a2 gt 30deg En este caso el procedimiento a seguir es
d d hP 22
1 La paraacutebola tiene su origen a una distancia P del veacutertice del talud aguas abajo de lapresa es decir este veacutertice es su foco y es tangente a la vertical que pasa por elpunto P
P se calcula por medio de la siguiente expresioacuten
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2 Trazar la paraacutebola baacutesica de Kozeny En este caso la tangente al origen es una liacuteneavertical
3 La distancia desde el punto 4 hasta la interseccioacuten de la paraacutebola con el talud aguasabajo es a + Da y no es realmente el punto por donde sale el agua en el talud porlo tanto se debe realizar una correccioacuten y encontrar a Casagrande encontroacute que larelacioacuten es un escalar que puede ser llamado a y que se relaciona
con el angulo a2 seguacuten se muestra en la siguiente tabla
a
a
D
D
a a2 ( deg ) aacute
30 0375
60 0320
90 0260
120 0185
150 0105
180 0
Los valores entre estos aacutengulos pueden interpolarse
y midiendo a + Da se calcula a usando la tablaDa = aacute ( a + Da ) y a = ( a + Da ) - Da
Finalmente se trazan manualmente la entraday la salida de la liacutenea de saturacioacuten
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EJERCICIO Determine la Linea Superficial de Flujo de la presa de tierra que se presentaa continuacioacuten
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a continuacioacuten
EJERCICIO Determine la Linea Superficial de Flujo de la presa de tierra que se presentaa continuacioacuten
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2
1
a continuacioacuten
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
g
La teoriacutea de la seccioacuten transformada permite reducir al caso de un suelo homogeacuteneo e isoacutetropo un suelo en el que la permeabilidad para el flujo en la direccioacuten horizontal ( kx) y la que tenga para el flujo en la direccioacuten vertical ( ky ) sean diferentes ( kx ne Ky )(por lo general Kx en muchas veces mayor que ky )
La teoriacutea de la seccioacuten transformada es un simple artificio de calculo que se logra por una simple transformacioacuten de coordenadas y que modifica sobre el papel las dimensiones de la zona de flujo en estudio en un suelo isotropico hidraacuteulicamente equivalente
Dos tipos de transformaciones se pueden aplicar a) Haciendo
Y Ky
Kx
Y acute
Se modifican las dimensiones verticales permaneciendo constantes las horizontales
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
g
b) Haciendo
X Kx
Ky X acute
Se modifican las dimensiones Horizontales permaneciendo constantes las Verticales
En la seccioacuten transformada homogeacutenea e isoacutetropa la permeabilidad equivalente viene dada por
kykxk
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
kykxk
X Kx
Ky X acute
2 0 0 0
0 0
kx
ky
k
2 8 2 0 0
0
h
141h
500000
b352463
071b
k
Y Ky
KxY acute
kykx 2
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ESFUERZO TOTAL
Es generado por el peso de la masa de suelo peso del agua y estructuras sobre elmismo actuando por efecto de gravedad es decir es el peso del suelo y todo loque este encima del punto evaluado
Si son varios estratos se calcula por separado el peso de cada estrato y luego sesuman = sumi
n i Zi
Se calcula en un punto determinado multiplicando el espesor del estrato por el
peso unitario del suelo = Z
La presioacuten de poros para en condiciones hidrostaacuteticas se calcula de modosimilar multiplicando la densidad del agua por la profundidad del punto encuestioacuten Zw
= w Zw
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CAacuteLCULO DE ESFUERZOS EN CONDICIOacuteN HIDROSTAacuteTICA
Una masa de suelo esta en condicioacuten hidrostaacutetica cuando esta enreposo y al colocar piezoacutemetros en diferentes puntos y adiferentes profundidades en cualquier punto el agua se elevahasta el mismo nivel piezomeacutetrico es decir el nivel freaacutetico
= w Zw
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Para aplicar la relacioacuten entre el esfuerzo efectivo y la presioacuten de poros se
supone que el suelo se encuentra totalmente sumergido y que el agua estaacute encondiciones hidrostaacuteticas (no se mueve)
En condicioacuten saturada la presioacuten de contacto es menor que en condicioacuten huacutemedaen una magnitud igual a la flotacioacuten del agua
Ya que condicioacuten saturada la presioacuten de poros es mayor entonces acute = - mientras que en condicioacuten huacutemeda acute = donde la presioacuten de poros es menor queen condicioacuten saturada
= acute +
sat Z = acute + w Z
acute = sat Z - w Z = (sat - w) Z = acute Z
Dondesat - w = acute es el peso sumergido
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EsfuerzoTotal
(σ)
Presionde Poros
(u)
EsfuerzoEfectivo
(σrsquo)
γsat Z
Z γsat Z γw Z γrsquo
γrsquo = γsat- γw
Agua γw Z1
γsat Z2Suelo
Saturado
A
B
Z1 γw+Z2 γsat
Z1 γw
Z1 γw
Z2( γsat- γw)(Z1+Z2) γw
Perfiles comunes de esfuerzos totales efectivos ypresiones de poros
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γh Z1
γsat Z2Suelo
Saturado
C
Z1 γh+Z2 γsat
Z1 γh
Z1 γh+Z2 γrsquo Z2 γw
Esfuerzo
Total(σ)
Presion
de Poros(u)
Esfuerzo
Efectivo(σrsquo)
Suelo
Humedo Z1 γh
γsat1 Z1
γsat3 Z3Suelo
Saturado
γsat2 Z2Suelo
Saturado
Suelo
SaturadoZ1 γsat1
Z2 γsat2
Z3 γsat3
Z1 γw
Z2 γw
Z3 γw
Z1 γrsquo 1
Z2 γrsquo 2
Z3 γrsquo 3
Σni=1 Zi γsati Σn
i=1 Zi γw Σni=1 Zi γrsquo
D
Edificio 2
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1h1 = 175 Tm3
h2 = 190 Tm3 SAT2 = 205 Tm3
SAT3 = 200 Tm3
SAT4 = 208 Tm3
EJERCICIO Dado el siguiente perfil determinar el diagrama de esfuerzos totalespresion de poros y esfuerzos efectivos
D10 (2) = 0015 cm
D10 (1) = 0030 cm
D10 (3) = 005 cm
2 m
2 2 m
3 3 m
4 3 m
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EJERCICIO Dado el siguiente perfil determinar el diagrama de esfuerzos totalespresion de poros y esfuerzos efectivos
h1 = 182 Tm3
SAT1 = 195 Tm3
D10 (1)
= 0030 mm
h2 = 185 Tm3
SAT2 = 200 Tm3
D10 (2)
= 005 mm
SAT3 = 210 Tm3
1 6 m
2 5 m
3 4 m
dMax= 21 Tm3
GC = 95 w = 9 9 m
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CAacuteLCULO DE ESFUERZOS EN
CONDICIOacuteN HIDRODINAacuteMICA
La condicioacuten hidrodinaacutemica de los suelos ocurre cuando
el agua gravitacional que estaacute en estado de reposo essometida a un gradiente hidraacuteulico lo que origina unaumento en la presioacuten del liacutequido y esto se transformaen energiacutea cineacutetica transfirieacutendole movimiento a traveacutesdel suelo
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Si en dos puntos diferentes de una misma masa continua de agua haycantidades diferentes de energiacutea es decir no se alcanza el mismonivel piezomeacutetrico se produciraacute un movimiento de las partiacuteculas deagua hacia los puntos de menos energiacutea para tratar de equilibrar la
diferencia y la diferencia de carga se gasta en el trabajo de mover elagua Se presentan en estos graacuteficos algunos casos de flujo de agua endiferentes direcciones y sentidos
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h es la altura que asciende el agua en un pequentildeo tubo con respecto a un planode referencia arbitrario Esta altura es conocida como carga piezomeacutetrica y es
una medida de la energiacutea que tiene el agua La energiacutea del agua viene dada por lasuma de la energiacutea potencial (elevacioacuten) la energiacutea de presioacuten y la energiacuteacineacutetica (velocidad)
g
V p
Z hw 2
2
Z = Elevacioacuten sobre un Datum arbitrario
P = Carga de Presioacuten
w
V2 = Carga de Velocidad
2g
En los suelos el flujo es laminar y como la velocidad es muy pequentildea se
considera que su valor tiende a cero por tanto la ecuacioacuten anterior puedeexpresarse como sigue
w
p Z h
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GRADIENTE HIDRAacuteULICO
Es la peacuterdida o disipacioacuten de altura hidraacuteulica por unidad de longitud medidaen la direccioacuten en que ocurre el flujo
i = Dh L
Dondei = Gradiente hidraacuteulico = DhL (adimensional)
Dh = Peacuterdida de carga
L = Longitud de recorrido del flujo
La ley de Darcy expresa la perdida
de carga Dh que se requiere paramover el agua a traveacutes del suelo unadistancia L con un gasto q es decir Dh = q L
k A
Siempre y cuando el flujo sea laminar que es el caso
corriente de los suelos a excepcioacuten de las gravas gruesas
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El valor Dh es la peacuterdida de energiacutea causada por la viscosidad la friccioacuten y los
efectos de inercia mientras el agua va circulando a traveacutes de los canales de losporos irregulares y rugosos
Cuando hay flujo las presiones de poros tienen un comportamiento diferentedebido a la presioacuten de filtracioacuten que se produce por la friccioacuten entre el agua en
movimiento y las paredes de los vaciacuteos del suelo
La presioacuten de poros en este caso seraacute la combinacioacuten de la presioacuten de poroshidrostaacutetica y la presioacuten de filtracioacuten tal como se presenta en la siguiente
expresioacuten
= Dh Df
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La presioacuten de filtracioacuten actuacutea en la misma direccioacuten y sentido del flujo del
agua y numeacutericamente es igual al producto de la perdida de carga hidraacuteulicapor el peso unitario del agua
Df = Dh w
El agua puede moverse en distintos sentidos y direcciones En esta parte del
tema se analizaraacute el comportamiento del suelo cuando el movimiento del agua seda en direccioacuten vertical
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FLUJO DESCENDENTE
Cuando el flujo es descendente las presiones de poros se calculan como ladiferencia entre las presiones de poros en condicioacuten hidrostaacutetica y la presioacuten defiltracioacuten
= Dh - Df
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Dh varia linealmente con el espesor del estrato de suelo lo cual puede serdemostrado de la siguiente manera
i = Dh Dh = i LL
Donde
Dh = Peacuterdida de carga
L = Espesor del Estrato i = Gradiente hidraacuteulico = Constante
Perdida de carga en L = 0 Dh(0) = i L = Dh 0 = 0H
Perdida de carga en L = H2 Dh(H2) = i L = Dh H = Dh
H 2 2
Perdida de carga en L = H Dh(H) = i L = Dh H = DhH
Quedando demostrado que la variacioacuten es lineal y se puede expresar la presioacutende filtracioacuten en funcioacuten del gradiente hidraacuteulico por medio de la siguienteexpresioacuten mencionada anteriormente
Df = Dh w = i L w
ldquoEl gradiente hidraacuteulico es la pendiente de las alturas piezometricas y la perdida de energiacutea uniforme es
debida a que el suelo se supone homogeacuteneo e isoacutetropordquo
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En cuanto a los esfuerzos efectivos tenemos
acute = - = Dh - Df
acute = - (Dh - Df ) = - Dh + Df
acuteh = - Dh acute = acuteh + Df
y
Lo cual evidencia que en flujo descendente los esfuerzos efectivos se incrementan en lamisma proporcioacuten que la presioacuten de filtracioacuten y el diagrama de esfuerzos totales presionesde poros y esfuerzos efectivos queda asi
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FLUJO ASCENDENTE
El flujo es ascendente cuando la altura piezomeacutetrica en el punto inferior es mayor
que en el punto superior Las presiones de poros en este caso se calculan como lasuma de las presiones de poros en condicioacuten hidrostaacutetica y la presioacuten de filtracioacuten
= Dh + Df
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En cuanto a los esfuerzos efectivos tenemos
acute = - = Dh + Df
acute = - (Dh + Df ) = - Dh - Df
acuteh = - Dh acute = acuteh - Df
y
Lo cual indica que para flujo ascendente los esfuerzos efectivos disminuyen en igualproporcioacuten que la presioacuten de filtracioacuten y el diagrama de esfuerzos totales presiones deporos y esfuerzos efectivos queda asi
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iquestQue tiende a ocurrir cuando el flujo es Ascendente
Cuando el flujo es ascendente la friccioacuten entre el agua y las paredes de los vaciacuteostiende a levantar los granos de suelo El valor de la presioacuten de filtracioacuten puedecrecer tanto que los esfuerzos efectivos se hacen cero
La resistencia al corte de un suelo granular esdirectamente proporcional a los esfuerzosefectivos por lo que cuando estos se igualan acero el suelo pierde su resistencia al corte y seproduce lo que se conoce como ebullicioacuten delsuelo granular Este fenoacutemeno de ebullicioacuten estaacutelimitado a los suelos sin cohesioacuten y se conoce
con el nombre de Licuefaccioacuten acute
= acute h -
Δf
Fenoacutemeno tiacutepico de suelos granulares cuando pierden resistencia al corte y se
produce una separacioacuten entre las partiacuteculas que hace acute = 0
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En estos casos en que los esfuerzos efectivos se hacen cero la presioacuten de
filtracioacuten se iguala al peso del suelo
H acute ndash Dh w 0
H acute = Dh w
Dh = acute H w
Como Dh = i
H
ic = acute
w
ic seraacute el Gradiente Hidraacuteulico Criacutetico y lo definiremos como el gradiente alcual se produce la ebullicioacuten del suelo
acute = 0 acute h - Δf = 0
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En funcioacuten de la Gravedad Especiacutefica de los Solidos (Gs) y la Relacioacuten de Vaciacuteos (e)desarrollaremos una expresioacuten para el ic
ic = acute
w
Las relaciones de vaciacuteos de la gran mayoriacutea de las arenas estaacuten comprendidasentre 03 y 12 Por otro lado la gravedad especiacutefica de estos suelos oscila entre265 y 270 Si se aplica la formula en esos intervalos se tiene que
acute = sat - w sat = Gs + e w 1+e
acute = Gs + e w ndash w = w Gs + e - 1
1+e 1+e
ic = Gs - 1
1+e
Para e = 03 Gs = 265 ic = 127Gs = 270 ic = 131
Para e = 12 Gs = 265 ic = 075
Gs = 270 ic = 077ldquoSeguacuten estos resultados en un deposito de arena para cualquier Gs practico se pueden encontrar valores de ic entre
075 y 131 De modo que es importante resaltar que los valores de gradiente hidraacuteulico critico en arenas estaacuten cercanos
a la unidad rdquo
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Como se produce la licuefaccioacuten con las sacudidas
siacutesmicas fuertes
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Edificios de estructura de hormigoacuten armado concerramientos y particiones interiores de faacutebrica dantildeados por elterremoto de Nigata Japoacuten 16 de Junio de 1964 magnitudRichter 75
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Ejercicio Bajo las condiciones indicadas en la figura se pide calcular los
esfuerzos totales neutrales y efectivos en las fronteras de los estratos
L
2L
2L
γw
γsat K1
γsat K2
L
K2= 2K1
1
2
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Ejercicio En el perfil estratificado indicado determine las presiones totales
neutrales y efectivas en las fronteras indicadas ademaacutes calcule el factor de
seguridad a la licuefaccioacuten donde sea necesario
L
L
2L
3L
09L
γsat1 γh1 k1
Satcap
γsat2 k2
γsat3 k3
1
2
3
γsat1= 15 γw =12 γh1
γsat2= 17 γw
γsat3= 19 γwk2= 2k1k3= 6k1
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LEVANTAMIENTO DE UN ESTRATO DE ARCILLA
Las fuerzas de filtracioacuten afectan no solamente a los suelos sincohesioacuten sino tambieacuten a los suelos cohesivos soacutelo que lo hacen demodo distinto porque en suelos arcillosos la cohesioacuten existente entrelas partiacuteculas las mantiene unidas de modo tal que se levanta toda la
masa de suelo y no partiacuteculas individuales como en los suelosgranulares
A modo de explicar el comportamiento de los suelos cohesivospondremos el siguiente caso
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LEVANTAMIENTO DE UN ESTRATO DE ARCILLA
Se tienen dos estratos de suelo diferente un suelo cohesivo que descansa sobre unmaterial muy permeable o suelo sin cohesioacuten Se necesita realizar una excavacioacutenen el estrato cohesivo para lo cual se debe determinar la profundidad a excavar yel espesor del estrato luego de realizada la excavacioacuten (tc) de tal manera queresulte seguro al levantamiento
Para realizar la excavacioacuten
se colocan dos tablestacas enel suelo y se procede luego aabatir el nivel del agua pormedio de bombeo tratando demantenerla seca
Por otra parte se desprecianlas fuerzas de friccioacuten que seoriginan cuando se hinca latablestaca
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LEVANTAMIENTO DE UN ESTRATO DE ARCILLA
Observemos que las fuerzas verticales actuantes son el peso del suelo y la presioacutende poros que tienden a levantar el fondo de la excavacioacuten puesto que el flujo es
ascendente El nivel piezomeacutetrico en la superficie del estrato sin cohesioacuten es mayorque el nivel piezomeacutetrico en el fondo de la excavacioacuten por lo que el agua tiende asubir pero como la permeabilidad del estrato de arcilla es tan baja esto resultamuy difiacutecil y se generan presiones en el fondo del rectaacutengulo
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El suelo estaacute saturado por tanto para calcular su peso se usa el peso unitario saturadoentonces
Peso del Suelo = tc sat
Haciendo equilibrio de fuerzas verticales
La presioacuten de poros es la suma de la presioacuten hidrostaacutetica y la de filtracioacuten
= Dh + Df = tc w + Dh w = ( tc + Dh ) w
sumFv = 0 Peso del Suelo - = 0
tc sat = ( tc + Dh ) w
tc sat = tc w + Dh w
tc ( sat - w ) = Dh w tc = Dh w = Df
( sat - w ) acute
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El espesor tc es el espesor criacutetico de la excavacioacuten es decir es el espesor miacutenimo
para el cual la excavacioacuten es segura
Por lo tanto
En espesores lt de tc se produce el levantamiento del fondo de la excavacioacuten
En espesores gt de tc la excavacioacuten es estable
Este fenoacutemeno puede darse tambieacuten parcialmente socavacioacuten
cuando se forman tuacuteneles o cavernas por arrastre de finos que generaninestabilidad y lo que puede ser maacutes grave el colapso del suelo
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EJERCICIOSe pretende realizar una excavacioacuten en un estrato de arcilla de 10 mts de espesor
que descansa sobre un estrato de arena Se pide
a) Calcular la profundidad maacutexima de excavacioacuten sin que se produzca
inestabilidad o levantamiento del fondob) iquestQueacute profundidad de agua libre debe bombearse a modo de poder llevar la
excavacioacuten hasta 8 mts de profundidad
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10m
1m
9m
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10m
1m
9m N
K
habat
N
K
Dh
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FLUJO EN MEDIOS POROSOS
El agua puede fluir a traveacutes de la masa de suelo en cualquier estado
en que este se encuentre aun y cuando el este muy compactado el
agua puede fluir a traveacutes de la masa de suelo ya que los poros estaacuten
interconectados entre si permitiendo el flujo de agua en ese medioporoso movieacutendose esta a lo largo de caminos ondulantes y rugosos
que existen entre un poro y otro lo cual genera peacuterdidas de energiacutea o
carga piezomeacutetrica originadas por la friccioacuten al igual que ocurre
cuando el flujo de agua es por tuberiacuteas o por canales abiertos
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Hasta ahora el estudio del flujo en medios porosos se ha limitado alcaso unidimensional (flujo ascendente y descendente) en el que losparaacutemetros del fluido tales como presioacuten velocidad temperaturaetc son constantes en cualquier seccioacuten transversal que seaperpendicular a la direccioacuten del flujo
En esta parte del tema se estudiaraacute el flujo del agua en tresdimensiones que es el caso maacutes general para lo cual se trabajaraacute conla ecuacioacuten fundamental de flujo Posteriormente se realizansimplificaciones debido a que el anaacutelisis tridimensional de los
problemas de filtracioacuten resulta muy complejo y se trabaja conmeacutetodos aproximados que permiten su resolucioacuten en dosdimensiones
Oacute
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ECUACIOacuteN FUNDAMENTAL DE FLUJO
HIPOTESIS
Dominio Saturado
La Presioacuten y la Velocidad son funcioacuten uacutenicamente de la posicioacuten
El esqueleto mineral del suelo es perfectamente riacutegido
z
y
x x y z
dz
dy
dx
Componente vertical del flujo
Base teoacuterica de la Red de Flujo y para otros
meacutetodos de resolucioacuten de problemas de filtracioacuten
Elemento cuacutebico de suelo a traveacutes del cual se
produce flujo laminar q con componenetes x y z
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z y x qqqq
dydxdz z
VzVzdzdxdy
y
VyVydzdydx
x
VxVxdydxVzdzdxVydzdyVx
Igualamos
dydxdz z
VzVzdzdxdy y
VyVydzdydx x
VxVxq
dydxVzdzdxVydzdyVxq
saliente
entrante
Por continuidad qentrante = qsaliente
Simplificamos y llegamos a la ecuacioacuten de Continuidad 0
z
Vz
y
Vy
x
Vx
Aplicamos Ley de Darcy (V = -ki = -k h L) 02
2
2
2
2
2
z
hkz
y
hky
x
hkx
Asumimos el suelo Isotroacutepico (kx = ky = kz) h z
h
y
h
x
h 2
2
2
2
2
2
2
0
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
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La ecuacioacuten de Laplace describe matemaacuteticamente el flujo de aguaen la regioacuten considerada
Expresa la suma de la variacioacuten de los gradientes hidraacuteulicos en lasdirecciones X Y y Z es Nula
h z
h
y
h
x
h 2
2
2
2
2
2
2
0
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
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SOLUCIOacuteN DE LA ECUACIOacuteN DE LAPLACE EN 2 DIMENSIONES
FUNCIOacuteN POTENCIAL DE LA VELOCIDAD =
( x y) = constante = -kh + c Es dependiente del potencial hidraacuteulico y su variacioacuten genera velocidad en
el agua
Derivando con respecto a X y a Y
x
hk
x
y
hk
y
x
hk Vx
y
hk Vy Entonces Vx
x
Vy
y
Resolvemos derivando con respecto a X y a Y y aplicamos la ecuacioacuten de Continuidad
2
2
2
2
2
0 y x
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satisface la ecuacioacuten de Laplace siendo la solucioacuten de la mismaen dos dimensiones
define para cada valor de esa constante una linea continua cuyospuntos tiene igual potencial hidraacuteulico h y son denominadasldquoLineas Equipotencialesrdquo
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
2
2
2
2
2
0 y x
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FUNCIOacuteN DE FLUJO =
( x y) = constante
Entonces
Resolvemos derivando con respecto a X y a Y y aplicamos la ecuacioacuten de Continuidad
0 D
D
y
y x
x
Dx
Dy
Vy
Vx
Por continuidad qentrante = qsaliente
0 DD yVx xVy yVy
Vx x DD Asumiendo Vx
x
Vy
y
2
2
2
2
2
0 y x
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cumple con la ecuacioacuten de Laplace por lo tanto es una solucioacuten ala misma en dos dimensiones
define para cada valor de la constante una linea continua querepresenta la trayectoria de agua Se denominan ldquoLineas de Flujordquo oacuteldquoLineas de Corrienterdquo
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
2
2
2
2
2
0 y x
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RELACIOacuteN ENTRE LAS LINEAS EQUIPOTENCIALES YLINEAS DE FLUJO O DE CORRIENTE
Considerando las derivadas totales a lo largo de cada una de las curvas
y
x
x
y
x
y
x
y
Pendientes Reciacuteprocas y de signo contario lo cual escondicioacuten de Ortogonalidad y son Ortogonales encada punto de interseccioacuten
REDES DE FLUJO
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REDES DE FLUJO
La red de flujo es la solucioacuten graacutefica la ecuacioacuten de Laplace en 2 dimensiones
Desafortunadamente la ecuacioacuten de Laplace es matemaacuteticamente integrable solo encondiciones de frontera muy simples por lo que en la praacutectica es necesario emplearotros meacutetodos diferentes de la integracioacuten para obtener la red de flujo Uno de esosmeacutetodos es el procedimiento graacutefico de Forcheimer que resulta ser muy simple deaplicar cualquiera sea el problema de flujo uniforme en dos dimensiones
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El espacio entre cualquier par de liacuteneas de flujo consecutivas es un canal de flujoen el trazado de la red se debe seleccionar un cierto nuacutemero de canales de flujo
Nf tal que el gasto de infiltracioacuten a traveacutes de cada canal sea el mismoDq = q Nf
La peacuterdida de carga entre cualquier par de liacuteneas equipotenciales consecutivas es lamisma e igual a Dh Donde Dhacute = Dh Nd (Dh es la peacuterdida de carga total y Nd elnuacutemero de caiacutedas de potencial)
El ancho del canal es a y la distancia entre las caiacutedas equipotenciales es b paracualquier elemento considerado
El gasto que circula por cualquier elemento es Dq = k i A
El gradiente hidraacuteulico del elemento es i = Dhacute b = ( Dh Nd ) bEntoces Dq = k ( ( Dh Nd ) b ) a L donde L es el ancho de la red en la tercera dimensioacuten
REDES DE FLUJO
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REDES DE FLUJO
Como Dq = q Nf entonces q = Dq Nf = k ( ( Dh Nd ) b ) a L Nf
La razoacuten a b esta fijada por la razoacuten Nf Nd y es la misma a traveacutes de toda la redNf y Nd deben seleccionarse de modo que a = b y a b = 1 Con lo que laecuacioacuten de gasto se transforma en
Reordenando q = k Dh ( Nf Nd ) (a b ) L
q = k Dh ( Nf Nd ) L
Aacute
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1) Hacer un dibujo a escala que muestre la masa de suelo los liacutemites permeables a
traveacutes de los cuales entra y sale el agua del suelo y las fronteras impermeables que
confinan o limitan el flujo
2) Dibujar de dos a cuatro liacuteneas de flujo que formen aacutengulos rectos con los liacutemitespermeables a la entrada y a la salida y que sean aproximadamente paralelas a losliacutemites impermeables
3) Dibujar liacuteneas equipotenciales que formen aacutengulos rectos con las liacuteneas de flujo demanera que el ancho y el largo promedio del cuadrado curviliacuteneo que forman seaniguales (a=b) Desde luego esto es imposible de lograr en el primer tanteo porquelas posiciones de las liacuteneas de flujo son supuestas pero esta primera red serviraacute deguiacutea para un segundo tanteo
4) Se reajustan las liacuteneas de flujo y las liacuteneas equipotenciales hasta que todas lasintersecciones sean en aacutengulo recto y el largo y ancho de cada cuadrado seaniguales Los tamantildeos de los cuadrados pueden ser distintos pero la relacioacuten ab = 1debe mantenerse
REGLAS PRAacuteCTICAS PARA ELABORAR REDES DE FLUJO
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El logro de una solucioacuten exacta requiere de muchos tanteos y
algunos problemas no admiten en su solucioacuten un nuacutemeroexacto de canales yo de caiacutedas equipotenciales en estos casosdebe intentarse con un nuacutemero de canales yo caiacutedasequipotenciales fraccionario (media caiacuteda o medio canal porejemplo)
Al lograr trazar la red de flujo de cuadrados curviliacuteneossatisfaciendo las condiciones de frontera del problema seobtendraacute la solucioacuten graacutefica de este problema para las
condiciones de frontera del problema se obtendraacute la solucioacutengraacutefica de este para las condiciones hidrodinaacutemicasestablecidas por la ecuacioacuten de Laplace
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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J g j
6 0
0 m
BA
I II III IV V VI VII
C
D
6 0
0 m
6 0
0 m
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
1) Altura piezometrica en A
2) Esfuerzo efectivo en B
3) Gradiente hidraacuteulico velocidades de descarga y de filtracioacuten
en C
4) Presiones hidraacuteulicas sobre el tablestacado5) Gradiente hidraacuteulico de salida y factor de seguridad contra la
arena movediza (licuefaccioacuten)
6) Factor de seguridad a la Tubificacioacuten
7) Presiones hidraacuteulicas sobre el fondo impermeable
8) Presioacuten de filtracioacuten en D
9) Caudal de Filtracioacuten bajo la presa sabiendo que L= 50 m
0m 3m 5m 10m
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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J g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
γconc= 235 Tm3
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
γconc= 235 Tm3
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg γsat= 218 Tm3 γconc= 235 Tm3
LINEA SUPERFICIAL DE FLUJO
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LINEA SUPERFICIAL DE FLUJO
En algunos casos un liacutemite de las liacuteneas de flujo puede ser una superficie de agualibre o superficie de saturacioacuten que no estaacute determinada por ninguna masa soacutelida
impermeable
Tal es el caso de las presas de tierra cuyo problema de flujo presenta caracteriacutesticasespeciales y por lo tanto se requiere del uso de meacutetodos tambieacuten especiales paralograr el trazado de la red de flujo
a
b
c
Equipotencial
Liacutenea de Flujo
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En la figura se presenta una presa de tierra de un material heterogeacuteneo eacute isoacutetropo La liacutenea 1-2 es una liacutenea equipotencial puesto que es el contacto entre el suelo permeable y el agua La liacutenea1-3 es un contacto entre la frontera impermeable y el material permeable por lo tanto es unaliacutenea de flujo Entre los puntos 2 y 4 existe una frontera del flujo donde por debajo de ella elsuelo estaacute saturado y por encima no lo estaacute Ahora bien esta liacutenea que limita la zona de flujodentro de la presa recibe el nombre de liacutenea superficial de flujo o liacutenea de saturacioacuten Suforma se desconoce a priori y tambieacuten la posicioacuten del punto 4 ambos deben ser determinados almenos aproximadamente para poder trazar la red de flujo
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La liacutenea de saturacioacuten ademaacutes de ser una liacutenea de flujo es tambieacuten una liacutenea de
equipresioacuten en la que todos los puntos tienen la misma presioacuten cero Por lo tantoel potencial hidraacuteulico depende de la carga de elevacioacuten uacutenicamente y las liacuteneasequipotenciales la cortaran a intervalos verticales iguales entre si
Condiciones Generales de Entrada
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Condiciones Generales de Entrada
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Condiciones Generales de Salida
Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
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Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
Caso 1 a2 lt 30deg En este caso es posible calcular la superficie humedecida a (distancia 4 - 3) pormedio de la siguiente expresioacuten
2
2
2
2
2
2
2coscos a a a sen
hd d a
d = L - M + O3M
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Luego de dibujar la presa de tierra a escala se sentildeala en ella la superficie humedecida aguas
abajo a calculada por la foacutermula anterior El siguiente paso consiste en el trazado de laliacutenea de saturacioacuten usando el meacutetodo graacutefico aproximado de la paraacutebola baacutesica de Kozenycuyo procedimiento se describe a continuacioacuten
1 Ubicar el punto 2 en la liacutenea freaacutetica a una distancia de 03M medida desde la cara deltalud aguas arriba La cara aguas abajo del talud es tangente a la paraacutebola en el punto 4
2 Prolongar la liacutenea en el talud aguas arriba de la presa Trazar una horizontal por el punto2 hasta cortar la cara del talud aguas abajo El punto de interseccioacuten es 5
3 Dividir 4 -5 Y 5 - 2 en el mismo nuacutemero de partes iguales no maacutes de 4 o 5 y marcarestos puntos (en 2- 5 se parte de 5 numerando con letras A -B etc en 4 - 5 se parte de 4numerando A-B-C etc)
4 Trazar por 4 - 5 liacuteneas horizontales en los puntos marcados
5 Unir cada uno de los puntos marcados en la horizontal 2- 5 con el punto 46 Trazar la liacutenea freaacutetica por los puntos obtenidos 7 Como la liacutenea freaacutetica parte perpendicular a la cara del talud aguas arriba este ajuste
debe realizarse manualmente
=gt M = htg ald =L - O7M
Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
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Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
Caso 2 a2 gt 30deg En este caso el procedimiento a seguir es
d d hP 22
1 La paraacutebola tiene su origen a una distancia P del veacutertice del talud aguas abajo de lapresa es decir este veacutertice es su foco y es tangente a la vertical que pasa por elpunto P
P se calcula por medio de la siguiente expresioacuten
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2 Trazar la paraacutebola baacutesica de Kozeny En este caso la tangente al origen es una liacuteneavertical
3 La distancia desde el punto 4 hasta la interseccioacuten de la paraacutebola con el talud aguasabajo es a + Da y no es realmente el punto por donde sale el agua en el talud porlo tanto se debe realizar una correccioacuten y encontrar a Casagrande encontroacute que larelacioacuten es un escalar que puede ser llamado a y que se relaciona
con el angulo a2 seguacuten se muestra en la siguiente tabla
a
a
D
D
a a2 ( deg ) aacute
30 0375
60 0320
90 0260
120 0185
150 0105
180 0
Los valores entre estos aacutengulos pueden interpolarse
y midiendo a + Da se calcula a usando la tablaDa = aacute ( a + Da ) y a = ( a + Da ) - Da
Finalmente se trazan manualmente la entraday la salida de la liacutenea de saturacioacuten
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EJERCICIO Determine la Linea Superficial de Flujo de la presa de tierra que se presentaa continuacioacuten
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a continuacioacuten
EJERCICIO Determine la Linea Superficial de Flujo de la presa de tierra que se presentaa continuacioacuten
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2
1
a continuacioacuten
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
g
La teoriacutea de la seccioacuten transformada permite reducir al caso de un suelo homogeacuteneo e isoacutetropo un suelo en el que la permeabilidad para el flujo en la direccioacuten horizontal ( kx) y la que tenga para el flujo en la direccioacuten vertical ( ky ) sean diferentes ( kx ne Ky )(por lo general Kx en muchas veces mayor que ky )
La teoriacutea de la seccioacuten transformada es un simple artificio de calculo que se logra por una simple transformacioacuten de coordenadas y que modifica sobre el papel las dimensiones de la zona de flujo en estudio en un suelo isotropico hidraacuteulicamente equivalente
Dos tipos de transformaciones se pueden aplicar a) Haciendo
Y Ky
Kx
Y acute
Se modifican las dimensiones verticales permaneciendo constantes las horizontales
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
g
b) Haciendo
X Kx
Ky X acute
Se modifican las dimensiones Horizontales permaneciendo constantes las Verticales
En la seccioacuten transformada homogeacutenea e isoacutetropa la permeabilidad equivalente viene dada por
kykxk
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
kykxk
X Kx
Ky X acute
2 0 0 0
0 0
kx
ky
k
2 8 2 0 0
0
h
141h
500000
b352463
071b
k
Y Ky
KxY acute
kykx 2
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CAacuteLCULO DE ESFUERZOS EN CONDICIOacuteN HIDROSTAacuteTICA
Una masa de suelo esta en condicioacuten hidrostaacutetica cuando esta enreposo y al colocar piezoacutemetros en diferentes puntos y adiferentes profundidades en cualquier punto el agua se elevahasta el mismo nivel piezomeacutetrico es decir el nivel freaacutetico
= w Zw
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Para aplicar la relacioacuten entre el esfuerzo efectivo y la presioacuten de poros se
supone que el suelo se encuentra totalmente sumergido y que el agua estaacute encondiciones hidrostaacuteticas (no se mueve)
En condicioacuten saturada la presioacuten de contacto es menor que en condicioacuten huacutemedaen una magnitud igual a la flotacioacuten del agua
Ya que condicioacuten saturada la presioacuten de poros es mayor entonces acute = - mientras que en condicioacuten huacutemeda acute = donde la presioacuten de poros es menor queen condicioacuten saturada
= acute +
sat Z = acute + w Z
acute = sat Z - w Z = (sat - w) Z = acute Z
Dondesat - w = acute es el peso sumergido
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EsfuerzoTotal
(σ)
Presionde Poros
(u)
EsfuerzoEfectivo
(σrsquo)
γsat Z
Z γsat Z γw Z γrsquo
γrsquo = γsat- γw
Agua γw Z1
γsat Z2Suelo
Saturado
A
B
Z1 γw+Z2 γsat
Z1 γw
Z1 γw
Z2( γsat- γw)(Z1+Z2) γw
Perfiles comunes de esfuerzos totales efectivos ypresiones de poros
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γh Z1
γsat Z2Suelo
Saturado
C
Z1 γh+Z2 γsat
Z1 γh
Z1 γh+Z2 γrsquo Z2 γw
Esfuerzo
Total(σ)
Presion
de Poros(u)
Esfuerzo
Efectivo(σrsquo)
Suelo
Humedo Z1 γh
γsat1 Z1
γsat3 Z3Suelo
Saturado
γsat2 Z2Suelo
Saturado
Suelo
SaturadoZ1 γsat1
Z2 γsat2
Z3 γsat3
Z1 γw
Z2 γw
Z3 γw
Z1 γrsquo 1
Z2 γrsquo 2
Z3 γrsquo 3
Σni=1 Zi γsati Σn
i=1 Zi γw Σni=1 Zi γrsquo
D
Edificio 2
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1h1 = 175 Tm3
h2 = 190 Tm3 SAT2 = 205 Tm3
SAT3 = 200 Tm3
SAT4 = 208 Tm3
EJERCICIO Dado el siguiente perfil determinar el diagrama de esfuerzos totalespresion de poros y esfuerzos efectivos
D10 (2) = 0015 cm
D10 (1) = 0030 cm
D10 (3) = 005 cm
2 m
2 2 m
3 3 m
4 3 m
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EJERCICIO Dado el siguiente perfil determinar el diagrama de esfuerzos totalespresion de poros y esfuerzos efectivos
h1 = 182 Tm3
SAT1 = 195 Tm3
D10 (1)
= 0030 mm
h2 = 185 Tm3
SAT2 = 200 Tm3
D10 (2)
= 005 mm
SAT3 = 210 Tm3
1 6 m
2 5 m
3 4 m
dMax= 21 Tm3
GC = 95 w = 9 9 m
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CAacuteLCULO DE ESFUERZOS EN
CONDICIOacuteN HIDRODINAacuteMICA
La condicioacuten hidrodinaacutemica de los suelos ocurre cuando
el agua gravitacional que estaacute en estado de reposo essometida a un gradiente hidraacuteulico lo que origina unaumento en la presioacuten del liacutequido y esto se transformaen energiacutea cineacutetica transfirieacutendole movimiento a traveacutesdel suelo
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Si en dos puntos diferentes de una misma masa continua de agua haycantidades diferentes de energiacutea es decir no se alcanza el mismonivel piezomeacutetrico se produciraacute un movimiento de las partiacuteculas deagua hacia los puntos de menos energiacutea para tratar de equilibrar la
diferencia y la diferencia de carga se gasta en el trabajo de mover elagua Se presentan en estos graacuteficos algunos casos de flujo de agua endiferentes direcciones y sentidos
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h es la altura que asciende el agua en un pequentildeo tubo con respecto a un planode referencia arbitrario Esta altura es conocida como carga piezomeacutetrica y es
una medida de la energiacutea que tiene el agua La energiacutea del agua viene dada por lasuma de la energiacutea potencial (elevacioacuten) la energiacutea de presioacuten y la energiacuteacineacutetica (velocidad)
g
V p
Z hw 2
2
Z = Elevacioacuten sobre un Datum arbitrario
P = Carga de Presioacuten
w
V2 = Carga de Velocidad
2g
En los suelos el flujo es laminar y como la velocidad es muy pequentildea se
considera que su valor tiende a cero por tanto la ecuacioacuten anterior puedeexpresarse como sigue
w
p Z h
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GRADIENTE HIDRAacuteULICO
Es la peacuterdida o disipacioacuten de altura hidraacuteulica por unidad de longitud medidaen la direccioacuten en que ocurre el flujo
i = Dh L
Dondei = Gradiente hidraacuteulico = DhL (adimensional)
Dh = Peacuterdida de carga
L = Longitud de recorrido del flujo
La ley de Darcy expresa la perdida
de carga Dh que se requiere paramover el agua a traveacutes del suelo unadistancia L con un gasto q es decir Dh = q L
k A
Siempre y cuando el flujo sea laminar que es el caso
corriente de los suelos a excepcioacuten de las gravas gruesas
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El valor Dh es la peacuterdida de energiacutea causada por la viscosidad la friccioacuten y los
efectos de inercia mientras el agua va circulando a traveacutes de los canales de losporos irregulares y rugosos
Cuando hay flujo las presiones de poros tienen un comportamiento diferentedebido a la presioacuten de filtracioacuten que se produce por la friccioacuten entre el agua en
movimiento y las paredes de los vaciacuteos del suelo
La presioacuten de poros en este caso seraacute la combinacioacuten de la presioacuten de poroshidrostaacutetica y la presioacuten de filtracioacuten tal como se presenta en la siguiente
expresioacuten
= Dh Df
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La presioacuten de filtracioacuten actuacutea en la misma direccioacuten y sentido del flujo del
agua y numeacutericamente es igual al producto de la perdida de carga hidraacuteulicapor el peso unitario del agua
Df = Dh w
El agua puede moverse en distintos sentidos y direcciones En esta parte del
tema se analizaraacute el comportamiento del suelo cuando el movimiento del agua seda en direccioacuten vertical
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FLUJO DESCENDENTE
Cuando el flujo es descendente las presiones de poros se calculan como ladiferencia entre las presiones de poros en condicioacuten hidrostaacutetica y la presioacuten defiltracioacuten
= Dh - Df
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Dh varia linealmente con el espesor del estrato de suelo lo cual puede serdemostrado de la siguiente manera
i = Dh Dh = i LL
Donde
Dh = Peacuterdida de carga
L = Espesor del Estrato i = Gradiente hidraacuteulico = Constante
Perdida de carga en L = 0 Dh(0) = i L = Dh 0 = 0H
Perdida de carga en L = H2 Dh(H2) = i L = Dh H = Dh
H 2 2
Perdida de carga en L = H Dh(H) = i L = Dh H = DhH
Quedando demostrado que la variacioacuten es lineal y se puede expresar la presioacutende filtracioacuten en funcioacuten del gradiente hidraacuteulico por medio de la siguienteexpresioacuten mencionada anteriormente
Df = Dh w = i L w
ldquoEl gradiente hidraacuteulico es la pendiente de las alturas piezometricas y la perdida de energiacutea uniforme es
debida a que el suelo se supone homogeacuteneo e isoacutetropordquo
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En cuanto a los esfuerzos efectivos tenemos
acute = - = Dh - Df
acute = - (Dh - Df ) = - Dh + Df
acuteh = - Dh acute = acuteh + Df
y
Lo cual evidencia que en flujo descendente los esfuerzos efectivos se incrementan en lamisma proporcioacuten que la presioacuten de filtracioacuten y el diagrama de esfuerzos totales presionesde poros y esfuerzos efectivos queda asi
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FLUJO ASCENDENTE
El flujo es ascendente cuando la altura piezomeacutetrica en el punto inferior es mayor
que en el punto superior Las presiones de poros en este caso se calculan como lasuma de las presiones de poros en condicioacuten hidrostaacutetica y la presioacuten de filtracioacuten
= Dh + Df
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En cuanto a los esfuerzos efectivos tenemos
acute = - = Dh + Df
acute = - (Dh + Df ) = - Dh - Df
acuteh = - Dh acute = acuteh - Df
y
Lo cual indica que para flujo ascendente los esfuerzos efectivos disminuyen en igualproporcioacuten que la presioacuten de filtracioacuten y el diagrama de esfuerzos totales presiones deporos y esfuerzos efectivos queda asi
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iquestQue tiende a ocurrir cuando el flujo es Ascendente
Cuando el flujo es ascendente la friccioacuten entre el agua y las paredes de los vaciacuteostiende a levantar los granos de suelo El valor de la presioacuten de filtracioacuten puedecrecer tanto que los esfuerzos efectivos se hacen cero
La resistencia al corte de un suelo granular esdirectamente proporcional a los esfuerzosefectivos por lo que cuando estos se igualan acero el suelo pierde su resistencia al corte y seproduce lo que se conoce como ebullicioacuten delsuelo granular Este fenoacutemeno de ebullicioacuten estaacutelimitado a los suelos sin cohesioacuten y se conoce
con el nombre de Licuefaccioacuten acute
= acute h -
Δf
Fenoacutemeno tiacutepico de suelos granulares cuando pierden resistencia al corte y se
produce una separacioacuten entre las partiacuteculas que hace acute = 0
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En estos casos en que los esfuerzos efectivos se hacen cero la presioacuten de
filtracioacuten se iguala al peso del suelo
H acute ndash Dh w 0
H acute = Dh w
Dh = acute H w
Como Dh = i
H
ic = acute
w
ic seraacute el Gradiente Hidraacuteulico Criacutetico y lo definiremos como el gradiente alcual se produce la ebullicioacuten del suelo
acute = 0 acute h - Δf = 0
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En funcioacuten de la Gravedad Especiacutefica de los Solidos (Gs) y la Relacioacuten de Vaciacuteos (e)desarrollaremos una expresioacuten para el ic
ic = acute
w
Las relaciones de vaciacuteos de la gran mayoriacutea de las arenas estaacuten comprendidasentre 03 y 12 Por otro lado la gravedad especiacutefica de estos suelos oscila entre265 y 270 Si se aplica la formula en esos intervalos se tiene que
acute = sat - w sat = Gs + e w 1+e
acute = Gs + e w ndash w = w Gs + e - 1
1+e 1+e
ic = Gs - 1
1+e
Para e = 03 Gs = 265 ic = 127Gs = 270 ic = 131
Para e = 12 Gs = 265 ic = 075
Gs = 270 ic = 077ldquoSeguacuten estos resultados en un deposito de arena para cualquier Gs practico se pueden encontrar valores de ic entre
075 y 131 De modo que es importante resaltar que los valores de gradiente hidraacuteulico critico en arenas estaacuten cercanos
a la unidad rdquo
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Como se produce la licuefaccioacuten con las sacudidas
siacutesmicas fuertes
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Edificios de estructura de hormigoacuten armado concerramientos y particiones interiores de faacutebrica dantildeados por elterremoto de Nigata Japoacuten 16 de Junio de 1964 magnitudRichter 75
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Ejercicio Bajo las condiciones indicadas en la figura se pide calcular los
esfuerzos totales neutrales y efectivos en las fronteras de los estratos
L
2L
2L
γw
γsat K1
γsat K2
L
K2= 2K1
1
2
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Ejercicio En el perfil estratificado indicado determine las presiones totales
neutrales y efectivas en las fronteras indicadas ademaacutes calcule el factor de
seguridad a la licuefaccioacuten donde sea necesario
L
L
2L
3L
09L
γsat1 γh1 k1
Satcap
γsat2 k2
γsat3 k3
1
2
3
γsat1= 15 γw =12 γh1
γsat2= 17 γw
γsat3= 19 γwk2= 2k1k3= 6k1
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LEVANTAMIENTO DE UN ESTRATO DE ARCILLA
Las fuerzas de filtracioacuten afectan no solamente a los suelos sincohesioacuten sino tambieacuten a los suelos cohesivos soacutelo que lo hacen demodo distinto porque en suelos arcillosos la cohesioacuten existente entrelas partiacuteculas las mantiene unidas de modo tal que se levanta toda la
masa de suelo y no partiacuteculas individuales como en los suelosgranulares
A modo de explicar el comportamiento de los suelos cohesivospondremos el siguiente caso
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LEVANTAMIENTO DE UN ESTRATO DE ARCILLA
Se tienen dos estratos de suelo diferente un suelo cohesivo que descansa sobre unmaterial muy permeable o suelo sin cohesioacuten Se necesita realizar una excavacioacutenen el estrato cohesivo para lo cual se debe determinar la profundidad a excavar yel espesor del estrato luego de realizada la excavacioacuten (tc) de tal manera queresulte seguro al levantamiento
Para realizar la excavacioacuten
se colocan dos tablestacas enel suelo y se procede luego aabatir el nivel del agua pormedio de bombeo tratando demantenerla seca
Por otra parte se desprecianlas fuerzas de friccioacuten que seoriginan cuando se hinca latablestaca
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LEVANTAMIENTO DE UN ESTRATO DE ARCILLA
Observemos que las fuerzas verticales actuantes son el peso del suelo y la presioacutende poros que tienden a levantar el fondo de la excavacioacuten puesto que el flujo es
ascendente El nivel piezomeacutetrico en la superficie del estrato sin cohesioacuten es mayorque el nivel piezomeacutetrico en el fondo de la excavacioacuten por lo que el agua tiende asubir pero como la permeabilidad del estrato de arcilla es tan baja esto resultamuy difiacutecil y se generan presiones en el fondo del rectaacutengulo
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El suelo estaacute saturado por tanto para calcular su peso se usa el peso unitario saturadoentonces
Peso del Suelo = tc sat
Haciendo equilibrio de fuerzas verticales
La presioacuten de poros es la suma de la presioacuten hidrostaacutetica y la de filtracioacuten
= Dh + Df = tc w + Dh w = ( tc + Dh ) w
sumFv = 0 Peso del Suelo - = 0
tc sat = ( tc + Dh ) w
tc sat = tc w + Dh w
tc ( sat - w ) = Dh w tc = Dh w = Df
( sat - w ) acute
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El espesor tc es el espesor criacutetico de la excavacioacuten es decir es el espesor miacutenimo
para el cual la excavacioacuten es segura
Por lo tanto
En espesores lt de tc se produce el levantamiento del fondo de la excavacioacuten
En espesores gt de tc la excavacioacuten es estable
Este fenoacutemeno puede darse tambieacuten parcialmente socavacioacuten
cuando se forman tuacuteneles o cavernas por arrastre de finos que generaninestabilidad y lo que puede ser maacutes grave el colapso del suelo
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EJERCICIOSe pretende realizar una excavacioacuten en un estrato de arcilla de 10 mts de espesor
que descansa sobre un estrato de arena Se pide
a) Calcular la profundidad maacutexima de excavacioacuten sin que se produzca
inestabilidad o levantamiento del fondob) iquestQueacute profundidad de agua libre debe bombearse a modo de poder llevar la
excavacioacuten hasta 8 mts de profundidad
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10m
1m
9m
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10m
1m
9m N
K
habat
N
K
Dh
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FLUJO EN MEDIOS POROSOS
El agua puede fluir a traveacutes de la masa de suelo en cualquier estado
en que este se encuentre aun y cuando el este muy compactado el
agua puede fluir a traveacutes de la masa de suelo ya que los poros estaacuten
interconectados entre si permitiendo el flujo de agua en ese medioporoso movieacutendose esta a lo largo de caminos ondulantes y rugosos
que existen entre un poro y otro lo cual genera peacuterdidas de energiacutea o
carga piezomeacutetrica originadas por la friccioacuten al igual que ocurre
cuando el flujo de agua es por tuberiacuteas o por canales abiertos
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Hasta ahora el estudio del flujo en medios porosos se ha limitado alcaso unidimensional (flujo ascendente y descendente) en el que losparaacutemetros del fluido tales como presioacuten velocidad temperaturaetc son constantes en cualquier seccioacuten transversal que seaperpendicular a la direccioacuten del flujo
En esta parte del tema se estudiaraacute el flujo del agua en tresdimensiones que es el caso maacutes general para lo cual se trabajaraacute conla ecuacioacuten fundamental de flujo Posteriormente se realizansimplificaciones debido a que el anaacutelisis tridimensional de los
problemas de filtracioacuten resulta muy complejo y se trabaja conmeacutetodos aproximados que permiten su resolucioacuten en dosdimensiones
Oacute
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ECUACIOacuteN FUNDAMENTAL DE FLUJO
HIPOTESIS
Dominio Saturado
La Presioacuten y la Velocidad son funcioacuten uacutenicamente de la posicioacuten
El esqueleto mineral del suelo es perfectamente riacutegido
z
y
x x y z
dz
dy
dx
Componente vertical del flujo
Base teoacuterica de la Red de Flujo y para otros
meacutetodos de resolucioacuten de problemas de filtracioacuten
Elemento cuacutebico de suelo a traveacutes del cual se
produce flujo laminar q con componenetes x y z
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z y x qqqq
dydxdz z
VzVzdzdxdy
y
VyVydzdydx
x
VxVxdydxVzdzdxVydzdyVx
Igualamos
dydxdz z
VzVzdzdxdy y
VyVydzdydx x
VxVxq
dydxVzdzdxVydzdyVxq
saliente
entrante
Por continuidad qentrante = qsaliente
Simplificamos y llegamos a la ecuacioacuten de Continuidad 0
z
Vz
y
Vy
x
Vx
Aplicamos Ley de Darcy (V = -ki = -k h L) 02
2
2
2
2
2
z
hkz
y
hky
x
hkx
Asumimos el suelo Isotroacutepico (kx = ky = kz) h z
h
y
h
x
h 2
2
2
2
2
2
2
0
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
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La ecuacioacuten de Laplace describe matemaacuteticamente el flujo de aguaen la regioacuten considerada
Expresa la suma de la variacioacuten de los gradientes hidraacuteulicos en lasdirecciones X Y y Z es Nula
h z
h
y
h
x
h 2
2
2
2
2
2
2
0
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
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SOLUCIOacuteN DE LA ECUACIOacuteN DE LAPLACE EN 2 DIMENSIONES
FUNCIOacuteN POTENCIAL DE LA VELOCIDAD =
( x y) = constante = -kh + c Es dependiente del potencial hidraacuteulico y su variacioacuten genera velocidad en
el agua
Derivando con respecto a X y a Y
x
hk
x
y
hk
y
x
hk Vx
y
hk Vy Entonces Vx
x
Vy
y
Resolvemos derivando con respecto a X y a Y y aplicamos la ecuacioacuten de Continuidad
2
2
2
2
2
0 y x
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satisface la ecuacioacuten de Laplace siendo la solucioacuten de la mismaen dos dimensiones
define para cada valor de esa constante una linea continua cuyospuntos tiene igual potencial hidraacuteulico h y son denominadasldquoLineas Equipotencialesrdquo
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
2
2
2
2
2
0 y x
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FUNCIOacuteN DE FLUJO =
( x y) = constante
Entonces
Resolvemos derivando con respecto a X y a Y y aplicamos la ecuacioacuten de Continuidad
0 D
D
y
y x
x
Dx
Dy
Vy
Vx
Por continuidad qentrante = qsaliente
0 DD yVx xVy yVy
Vx x DD Asumiendo Vx
x
Vy
y
2
2
2
2
2
0 y x
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cumple con la ecuacioacuten de Laplace por lo tanto es una solucioacuten ala misma en dos dimensiones
define para cada valor de la constante una linea continua querepresenta la trayectoria de agua Se denominan ldquoLineas de Flujordquo oacuteldquoLineas de Corrienterdquo
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
2
2
2
2
2
0 y x
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RELACIOacuteN ENTRE LAS LINEAS EQUIPOTENCIALES YLINEAS DE FLUJO O DE CORRIENTE
Considerando las derivadas totales a lo largo de cada una de las curvas
y
x
x
y
x
y
x
y
Pendientes Reciacuteprocas y de signo contario lo cual escondicioacuten de Ortogonalidad y son Ortogonales encada punto de interseccioacuten
REDES DE FLUJO
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REDES DE FLUJO
La red de flujo es la solucioacuten graacutefica la ecuacioacuten de Laplace en 2 dimensiones
Desafortunadamente la ecuacioacuten de Laplace es matemaacuteticamente integrable solo encondiciones de frontera muy simples por lo que en la praacutectica es necesario emplearotros meacutetodos diferentes de la integracioacuten para obtener la red de flujo Uno de esosmeacutetodos es el procedimiento graacutefico de Forcheimer que resulta ser muy simple deaplicar cualquiera sea el problema de flujo uniforme en dos dimensiones
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El espacio entre cualquier par de liacuteneas de flujo consecutivas es un canal de flujoen el trazado de la red se debe seleccionar un cierto nuacutemero de canales de flujo
Nf tal que el gasto de infiltracioacuten a traveacutes de cada canal sea el mismoDq = q Nf
La peacuterdida de carga entre cualquier par de liacuteneas equipotenciales consecutivas es lamisma e igual a Dh Donde Dhacute = Dh Nd (Dh es la peacuterdida de carga total y Nd elnuacutemero de caiacutedas de potencial)
El ancho del canal es a y la distancia entre las caiacutedas equipotenciales es b paracualquier elemento considerado
El gasto que circula por cualquier elemento es Dq = k i A
El gradiente hidraacuteulico del elemento es i = Dhacute b = ( Dh Nd ) bEntoces Dq = k ( ( Dh Nd ) b ) a L donde L es el ancho de la red en la tercera dimensioacuten
REDES DE FLUJO
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REDES DE FLUJO
Como Dq = q Nf entonces q = Dq Nf = k ( ( Dh Nd ) b ) a L Nf
La razoacuten a b esta fijada por la razoacuten Nf Nd y es la misma a traveacutes de toda la redNf y Nd deben seleccionarse de modo que a = b y a b = 1 Con lo que laecuacioacuten de gasto se transforma en
Reordenando q = k Dh ( Nf Nd ) (a b ) L
q = k Dh ( Nf Nd ) L
Aacute
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1) Hacer un dibujo a escala que muestre la masa de suelo los liacutemites permeables a
traveacutes de los cuales entra y sale el agua del suelo y las fronteras impermeables que
confinan o limitan el flujo
2) Dibujar de dos a cuatro liacuteneas de flujo que formen aacutengulos rectos con los liacutemitespermeables a la entrada y a la salida y que sean aproximadamente paralelas a losliacutemites impermeables
3) Dibujar liacuteneas equipotenciales que formen aacutengulos rectos con las liacuteneas de flujo demanera que el ancho y el largo promedio del cuadrado curviliacuteneo que forman seaniguales (a=b) Desde luego esto es imposible de lograr en el primer tanteo porquelas posiciones de las liacuteneas de flujo son supuestas pero esta primera red serviraacute deguiacutea para un segundo tanteo
4) Se reajustan las liacuteneas de flujo y las liacuteneas equipotenciales hasta que todas lasintersecciones sean en aacutengulo recto y el largo y ancho de cada cuadrado seaniguales Los tamantildeos de los cuadrados pueden ser distintos pero la relacioacuten ab = 1debe mantenerse
REGLAS PRAacuteCTICAS PARA ELABORAR REDES DE FLUJO
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El logro de una solucioacuten exacta requiere de muchos tanteos y
algunos problemas no admiten en su solucioacuten un nuacutemeroexacto de canales yo de caiacutedas equipotenciales en estos casosdebe intentarse con un nuacutemero de canales yo caiacutedasequipotenciales fraccionario (media caiacuteda o medio canal porejemplo)
Al lograr trazar la red de flujo de cuadrados curviliacuteneossatisfaciendo las condiciones de frontera del problema seobtendraacute la solucioacuten graacutefica de este problema para las
condiciones de frontera del problema se obtendraacute la solucioacutengraacutefica de este para las condiciones hidrodinaacutemicasestablecidas por la ecuacioacuten de Laplace
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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J g j
6 0
0 m
BA
I II III IV V VI VII
C
D
6 0
0 m
6 0
0 m
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
1) Altura piezometrica en A
2) Esfuerzo efectivo en B
3) Gradiente hidraacuteulico velocidades de descarga y de filtracioacuten
en C
4) Presiones hidraacuteulicas sobre el tablestacado5) Gradiente hidraacuteulico de salida y factor de seguridad contra la
arena movediza (licuefaccioacuten)
6) Factor de seguridad a la Tubificacioacuten
7) Presiones hidraacuteulicas sobre el fondo impermeable
8) Presioacuten de filtracioacuten en D
9) Caudal de Filtracioacuten bajo la presa sabiendo que L= 50 m
0m 3m 5m 10m
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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J g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
γconc= 235 Tm3
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
γconc= 235 Tm3
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg γsat= 218 Tm3 γconc= 235 Tm3
LINEA SUPERFICIAL DE FLUJO
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LINEA SUPERFICIAL DE FLUJO
En algunos casos un liacutemite de las liacuteneas de flujo puede ser una superficie de agualibre o superficie de saturacioacuten que no estaacute determinada por ninguna masa soacutelida
impermeable
Tal es el caso de las presas de tierra cuyo problema de flujo presenta caracteriacutesticasespeciales y por lo tanto se requiere del uso de meacutetodos tambieacuten especiales paralograr el trazado de la red de flujo
a
b
c
Equipotencial
Liacutenea de Flujo
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En la figura se presenta una presa de tierra de un material heterogeacuteneo eacute isoacutetropo La liacutenea 1-2 es una liacutenea equipotencial puesto que es el contacto entre el suelo permeable y el agua La liacutenea1-3 es un contacto entre la frontera impermeable y el material permeable por lo tanto es unaliacutenea de flujo Entre los puntos 2 y 4 existe una frontera del flujo donde por debajo de ella elsuelo estaacute saturado y por encima no lo estaacute Ahora bien esta liacutenea que limita la zona de flujodentro de la presa recibe el nombre de liacutenea superficial de flujo o liacutenea de saturacioacuten Suforma se desconoce a priori y tambieacuten la posicioacuten del punto 4 ambos deben ser determinados almenos aproximadamente para poder trazar la red de flujo
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La liacutenea de saturacioacuten ademaacutes de ser una liacutenea de flujo es tambieacuten una liacutenea de
equipresioacuten en la que todos los puntos tienen la misma presioacuten cero Por lo tantoel potencial hidraacuteulico depende de la carga de elevacioacuten uacutenicamente y las liacuteneasequipotenciales la cortaran a intervalos verticales iguales entre si
Condiciones Generales de Entrada
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Condiciones Generales de Entrada
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Condiciones Generales de Salida
Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
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Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
Caso 1 a2 lt 30deg En este caso es posible calcular la superficie humedecida a (distancia 4 - 3) pormedio de la siguiente expresioacuten
2
2
2
2
2
2
2coscos a a a sen
hd d a
d = L - M + O3M
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Luego de dibujar la presa de tierra a escala se sentildeala en ella la superficie humedecida aguas
abajo a calculada por la foacutermula anterior El siguiente paso consiste en el trazado de laliacutenea de saturacioacuten usando el meacutetodo graacutefico aproximado de la paraacutebola baacutesica de Kozenycuyo procedimiento se describe a continuacioacuten
1 Ubicar el punto 2 en la liacutenea freaacutetica a una distancia de 03M medida desde la cara deltalud aguas arriba La cara aguas abajo del talud es tangente a la paraacutebola en el punto 4
2 Prolongar la liacutenea en el talud aguas arriba de la presa Trazar una horizontal por el punto2 hasta cortar la cara del talud aguas abajo El punto de interseccioacuten es 5
3 Dividir 4 -5 Y 5 - 2 en el mismo nuacutemero de partes iguales no maacutes de 4 o 5 y marcarestos puntos (en 2- 5 se parte de 5 numerando con letras A -B etc en 4 - 5 se parte de 4numerando A-B-C etc)
4 Trazar por 4 - 5 liacuteneas horizontales en los puntos marcados
5 Unir cada uno de los puntos marcados en la horizontal 2- 5 con el punto 46 Trazar la liacutenea freaacutetica por los puntos obtenidos 7 Como la liacutenea freaacutetica parte perpendicular a la cara del talud aguas arriba este ajuste
debe realizarse manualmente
=gt M = htg ald =L - O7M
Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
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Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
Caso 2 a2 gt 30deg En este caso el procedimiento a seguir es
d d hP 22
1 La paraacutebola tiene su origen a una distancia P del veacutertice del talud aguas abajo de lapresa es decir este veacutertice es su foco y es tangente a la vertical que pasa por elpunto P
P se calcula por medio de la siguiente expresioacuten
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2 Trazar la paraacutebola baacutesica de Kozeny En este caso la tangente al origen es una liacuteneavertical
3 La distancia desde el punto 4 hasta la interseccioacuten de la paraacutebola con el talud aguasabajo es a + Da y no es realmente el punto por donde sale el agua en el talud porlo tanto se debe realizar una correccioacuten y encontrar a Casagrande encontroacute que larelacioacuten es un escalar que puede ser llamado a y que se relaciona
con el angulo a2 seguacuten se muestra en la siguiente tabla
a
a
D
D
a a2 ( deg ) aacute
30 0375
60 0320
90 0260
120 0185
150 0105
180 0
Los valores entre estos aacutengulos pueden interpolarse
y midiendo a + Da se calcula a usando la tablaDa = aacute ( a + Da ) y a = ( a + Da ) - Da
Finalmente se trazan manualmente la entraday la salida de la liacutenea de saturacioacuten
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EJERCICIO Determine la Linea Superficial de Flujo de la presa de tierra que se presentaa continuacioacuten
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a continuacioacuten
EJERCICIO Determine la Linea Superficial de Flujo de la presa de tierra que se presentaa continuacioacuten
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2
1
a continuacioacuten
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
g
La teoriacutea de la seccioacuten transformada permite reducir al caso de un suelo homogeacuteneo e isoacutetropo un suelo en el que la permeabilidad para el flujo en la direccioacuten horizontal ( kx) y la que tenga para el flujo en la direccioacuten vertical ( ky ) sean diferentes ( kx ne Ky )(por lo general Kx en muchas veces mayor que ky )
La teoriacutea de la seccioacuten transformada es un simple artificio de calculo que se logra por una simple transformacioacuten de coordenadas y que modifica sobre el papel las dimensiones de la zona de flujo en estudio en un suelo isotropico hidraacuteulicamente equivalente
Dos tipos de transformaciones se pueden aplicar a) Haciendo
Y Ky
Kx
Y acute
Se modifican las dimensiones verticales permaneciendo constantes las horizontales
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
g
b) Haciendo
X Kx
Ky X acute
Se modifican las dimensiones Horizontales permaneciendo constantes las Verticales
En la seccioacuten transformada homogeacutenea e isoacutetropa la permeabilidad equivalente viene dada por
kykxk
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
kykxk
X Kx
Ky X acute
2 0 0 0
0 0
kx
ky
k
2 8 2 0 0
0
h
141h
500000
b352463
071b
k
Y Ky
KxY acute
kykx 2
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Para aplicar la relacioacuten entre el esfuerzo efectivo y la presioacuten de poros se
supone que el suelo se encuentra totalmente sumergido y que el agua estaacute encondiciones hidrostaacuteticas (no se mueve)
En condicioacuten saturada la presioacuten de contacto es menor que en condicioacuten huacutemedaen una magnitud igual a la flotacioacuten del agua
Ya que condicioacuten saturada la presioacuten de poros es mayor entonces acute = - mientras que en condicioacuten huacutemeda acute = donde la presioacuten de poros es menor queen condicioacuten saturada
= acute +
sat Z = acute + w Z
acute = sat Z - w Z = (sat - w) Z = acute Z
Dondesat - w = acute es el peso sumergido
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EsfuerzoTotal
(σ)
Presionde Poros
(u)
EsfuerzoEfectivo
(σrsquo)
γsat Z
Z γsat Z γw Z γrsquo
γrsquo = γsat- γw
Agua γw Z1
γsat Z2Suelo
Saturado
A
B
Z1 γw+Z2 γsat
Z1 γw
Z1 γw
Z2( γsat- γw)(Z1+Z2) γw
Perfiles comunes de esfuerzos totales efectivos ypresiones de poros
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γh Z1
γsat Z2Suelo
Saturado
C
Z1 γh+Z2 γsat
Z1 γh
Z1 γh+Z2 γrsquo Z2 γw
Esfuerzo
Total(σ)
Presion
de Poros(u)
Esfuerzo
Efectivo(σrsquo)
Suelo
Humedo Z1 γh
γsat1 Z1
γsat3 Z3Suelo
Saturado
γsat2 Z2Suelo
Saturado
Suelo
SaturadoZ1 γsat1
Z2 γsat2
Z3 γsat3
Z1 γw
Z2 γw
Z3 γw
Z1 γrsquo 1
Z2 γrsquo 2
Z3 γrsquo 3
Σni=1 Zi γsati Σn
i=1 Zi γw Σni=1 Zi γrsquo
D
Edificio 2
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1h1 = 175 Tm3
h2 = 190 Tm3 SAT2 = 205 Tm3
SAT3 = 200 Tm3
SAT4 = 208 Tm3
EJERCICIO Dado el siguiente perfil determinar el diagrama de esfuerzos totalespresion de poros y esfuerzos efectivos
D10 (2) = 0015 cm
D10 (1) = 0030 cm
D10 (3) = 005 cm
2 m
2 2 m
3 3 m
4 3 m
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EJERCICIO Dado el siguiente perfil determinar el diagrama de esfuerzos totalespresion de poros y esfuerzos efectivos
h1 = 182 Tm3
SAT1 = 195 Tm3
D10 (1)
= 0030 mm
h2 = 185 Tm3
SAT2 = 200 Tm3
D10 (2)
= 005 mm
SAT3 = 210 Tm3
1 6 m
2 5 m
3 4 m
dMax= 21 Tm3
GC = 95 w = 9 9 m
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CAacuteLCULO DE ESFUERZOS EN
CONDICIOacuteN HIDRODINAacuteMICA
La condicioacuten hidrodinaacutemica de los suelos ocurre cuando
el agua gravitacional que estaacute en estado de reposo essometida a un gradiente hidraacuteulico lo que origina unaumento en la presioacuten del liacutequido y esto se transformaen energiacutea cineacutetica transfirieacutendole movimiento a traveacutesdel suelo
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Si en dos puntos diferentes de una misma masa continua de agua haycantidades diferentes de energiacutea es decir no se alcanza el mismonivel piezomeacutetrico se produciraacute un movimiento de las partiacuteculas deagua hacia los puntos de menos energiacutea para tratar de equilibrar la
diferencia y la diferencia de carga se gasta en el trabajo de mover elagua Se presentan en estos graacuteficos algunos casos de flujo de agua endiferentes direcciones y sentidos
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h es la altura que asciende el agua en un pequentildeo tubo con respecto a un planode referencia arbitrario Esta altura es conocida como carga piezomeacutetrica y es
una medida de la energiacutea que tiene el agua La energiacutea del agua viene dada por lasuma de la energiacutea potencial (elevacioacuten) la energiacutea de presioacuten y la energiacuteacineacutetica (velocidad)
g
V p
Z hw 2
2
Z = Elevacioacuten sobre un Datum arbitrario
P = Carga de Presioacuten
w
V2 = Carga de Velocidad
2g
En los suelos el flujo es laminar y como la velocidad es muy pequentildea se
considera que su valor tiende a cero por tanto la ecuacioacuten anterior puedeexpresarse como sigue
w
p Z h
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GRADIENTE HIDRAacuteULICO
Es la peacuterdida o disipacioacuten de altura hidraacuteulica por unidad de longitud medidaen la direccioacuten en que ocurre el flujo
i = Dh L
Dondei = Gradiente hidraacuteulico = DhL (adimensional)
Dh = Peacuterdida de carga
L = Longitud de recorrido del flujo
La ley de Darcy expresa la perdida
de carga Dh que se requiere paramover el agua a traveacutes del suelo unadistancia L con un gasto q es decir Dh = q L
k A
Siempre y cuando el flujo sea laminar que es el caso
corriente de los suelos a excepcioacuten de las gravas gruesas
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El valor Dh es la peacuterdida de energiacutea causada por la viscosidad la friccioacuten y los
efectos de inercia mientras el agua va circulando a traveacutes de los canales de losporos irregulares y rugosos
Cuando hay flujo las presiones de poros tienen un comportamiento diferentedebido a la presioacuten de filtracioacuten que se produce por la friccioacuten entre el agua en
movimiento y las paredes de los vaciacuteos del suelo
La presioacuten de poros en este caso seraacute la combinacioacuten de la presioacuten de poroshidrostaacutetica y la presioacuten de filtracioacuten tal como se presenta en la siguiente
expresioacuten
= Dh Df
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La presioacuten de filtracioacuten actuacutea en la misma direccioacuten y sentido del flujo del
agua y numeacutericamente es igual al producto de la perdida de carga hidraacuteulicapor el peso unitario del agua
Df = Dh w
El agua puede moverse en distintos sentidos y direcciones En esta parte del
tema se analizaraacute el comportamiento del suelo cuando el movimiento del agua seda en direccioacuten vertical
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FLUJO DESCENDENTE
Cuando el flujo es descendente las presiones de poros se calculan como ladiferencia entre las presiones de poros en condicioacuten hidrostaacutetica y la presioacuten defiltracioacuten
= Dh - Df
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Dh varia linealmente con el espesor del estrato de suelo lo cual puede serdemostrado de la siguiente manera
i = Dh Dh = i LL
Donde
Dh = Peacuterdida de carga
L = Espesor del Estrato i = Gradiente hidraacuteulico = Constante
Perdida de carga en L = 0 Dh(0) = i L = Dh 0 = 0H
Perdida de carga en L = H2 Dh(H2) = i L = Dh H = Dh
H 2 2
Perdida de carga en L = H Dh(H) = i L = Dh H = DhH
Quedando demostrado que la variacioacuten es lineal y se puede expresar la presioacutende filtracioacuten en funcioacuten del gradiente hidraacuteulico por medio de la siguienteexpresioacuten mencionada anteriormente
Df = Dh w = i L w
ldquoEl gradiente hidraacuteulico es la pendiente de las alturas piezometricas y la perdida de energiacutea uniforme es
debida a que el suelo se supone homogeacuteneo e isoacutetropordquo
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En cuanto a los esfuerzos efectivos tenemos
acute = - = Dh - Df
acute = - (Dh - Df ) = - Dh + Df
acuteh = - Dh acute = acuteh + Df
y
Lo cual evidencia que en flujo descendente los esfuerzos efectivos se incrementan en lamisma proporcioacuten que la presioacuten de filtracioacuten y el diagrama de esfuerzos totales presionesde poros y esfuerzos efectivos queda asi
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FLUJO ASCENDENTE
El flujo es ascendente cuando la altura piezomeacutetrica en el punto inferior es mayor
que en el punto superior Las presiones de poros en este caso se calculan como lasuma de las presiones de poros en condicioacuten hidrostaacutetica y la presioacuten de filtracioacuten
= Dh + Df
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En cuanto a los esfuerzos efectivos tenemos
acute = - = Dh + Df
acute = - (Dh + Df ) = - Dh - Df
acuteh = - Dh acute = acuteh - Df
y
Lo cual indica que para flujo ascendente los esfuerzos efectivos disminuyen en igualproporcioacuten que la presioacuten de filtracioacuten y el diagrama de esfuerzos totales presiones deporos y esfuerzos efectivos queda asi
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iquestQue tiende a ocurrir cuando el flujo es Ascendente
Cuando el flujo es ascendente la friccioacuten entre el agua y las paredes de los vaciacuteostiende a levantar los granos de suelo El valor de la presioacuten de filtracioacuten puedecrecer tanto que los esfuerzos efectivos se hacen cero
La resistencia al corte de un suelo granular esdirectamente proporcional a los esfuerzosefectivos por lo que cuando estos se igualan acero el suelo pierde su resistencia al corte y seproduce lo que se conoce como ebullicioacuten delsuelo granular Este fenoacutemeno de ebullicioacuten estaacutelimitado a los suelos sin cohesioacuten y se conoce
con el nombre de Licuefaccioacuten acute
= acute h -
Δf
Fenoacutemeno tiacutepico de suelos granulares cuando pierden resistencia al corte y se
produce una separacioacuten entre las partiacuteculas que hace acute = 0
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En estos casos en que los esfuerzos efectivos se hacen cero la presioacuten de
filtracioacuten se iguala al peso del suelo
H acute ndash Dh w 0
H acute = Dh w
Dh = acute H w
Como Dh = i
H
ic = acute
w
ic seraacute el Gradiente Hidraacuteulico Criacutetico y lo definiremos como el gradiente alcual se produce la ebullicioacuten del suelo
acute = 0 acute h - Δf = 0
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En funcioacuten de la Gravedad Especiacutefica de los Solidos (Gs) y la Relacioacuten de Vaciacuteos (e)desarrollaremos una expresioacuten para el ic
ic = acute
w
Las relaciones de vaciacuteos de la gran mayoriacutea de las arenas estaacuten comprendidasentre 03 y 12 Por otro lado la gravedad especiacutefica de estos suelos oscila entre265 y 270 Si se aplica la formula en esos intervalos se tiene que
acute = sat - w sat = Gs + e w 1+e
acute = Gs + e w ndash w = w Gs + e - 1
1+e 1+e
ic = Gs - 1
1+e
Para e = 03 Gs = 265 ic = 127Gs = 270 ic = 131
Para e = 12 Gs = 265 ic = 075
Gs = 270 ic = 077ldquoSeguacuten estos resultados en un deposito de arena para cualquier Gs practico se pueden encontrar valores de ic entre
075 y 131 De modo que es importante resaltar que los valores de gradiente hidraacuteulico critico en arenas estaacuten cercanos
a la unidad rdquo
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Como se produce la licuefaccioacuten con las sacudidas
siacutesmicas fuertes
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Edificios de estructura de hormigoacuten armado concerramientos y particiones interiores de faacutebrica dantildeados por elterremoto de Nigata Japoacuten 16 de Junio de 1964 magnitudRichter 75
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Ejercicio Bajo las condiciones indicadas en la figura se pide calcular los
esfuerzos totales neutrales y efectivos en las fronteras de los estratos
L
2L
2L
γw
γsat K1
γsat K2
L
K2= 2K1
1
2
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Ejercicio En el perfil estratificado indicado determine las presiones totales
neutrales y efectivas en las fronteras indicadas ademaacutes calcule el factor de
seguridad a la licuefaccioacuten donde sea necesario
L
L
2L
3L
09L
γsat1 γh1 k1
Satcap
γsat2 k2
γsat3 k3
1
2
3
γsat1= 15 γw =12 γh1
γsat2= 17 γw
γsat3= 19 γwk2= 2k1k3= 6k1
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LEVANTAMIENTO DE UN ESTRATO DE ARCILLA
Las fuerzas de filtracioacuten afectan no solamente a los suelos sincohesioacuten sino tambieacuten a los suelos cohesivos soacutelo que lo hacen demodo distinto porque en suelos arcillosos la cohesioacuten existente entrelas partiacuteculas las mantiene unidas de modo tal que se levanta toda la
masa de suelo y no partiacuteculas individuales como en los suelosgranulares
A modo de explicar el comportamiento de los suelos cohesivospondremos el siguiente caso
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LEVANTAMIENTO DE UN ESTRATO DE ARCILLA
Se tienen dos estratos de suelo diferente un suelo cohesivo que descansa sobre unmaterial muy permeable o suelo sin cohesioacuten Se necesita realizar una excavacioacutenen el estrato cohesivo para lo cual se debe determinar la profundidad a excavar yel espesor del estrato luego de realizada la excavacioacuten (tc) de tal manera queresulte seguro al levantamiento
Para realizar la excavacioacuten
se colocan dos tablestacas enel suelo y se procede luego aabatir el nivel del agua pormedio de bombeo tratando demantenerla seca
Por otra parte se desprecianlas fuerzas de friccioacuten que seoriginan cuando se hinca latablestaca
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LEVANTAMIENTO DE UN ESTRATO DE ARCILLA
Observemos que las fuerzas verticales actuantes son el peso del suelo y la presioacutende poros que tienden a levantar el fondo de la excavacioacuten puesto que el flujo es
ascendente El nivel piezomeacutetrico en la superficie del estrato sin cohesioacuten es mayorque el nivel piezomeacutetrico en el fondo de la excavacioacuten por lo que el agua tiende asubir pero como la permeabilidad del estrato de arcilla es tan baja esto resultamuy difiacutecil y se generan presiones en el fondo del rectaacutengulo
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El suelo estaacute saturado por tanto para calcular su peso se usa el peso unitario saturadoentonces
Peso del Suelo = tc sat
Haciendo equilibrio de fuerzas verticales
La presioacuten de poros es la suma de la presioacuten hidrostaacutetica y la de filtracioacuten
= Dh + Df = tc w + Dh w = ( tc + Dh ) w
sumFv = 0 Peso del Suelo - = 0
tc sat = ( tc + Dh ) w
tc sat = tc w + Dh w
tc ( sat - w ) = Dh w tc = Dh w = Df
( sat - w ) acute
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El espesor tc es el espesor criacutetico de la excavacioacuten es decir es el espesor miacutenimo
para el cual la excavacioacuten es segura
Por lo tanto
En espesores lt de tc se produce el levantamiento del fondo de la excavacioacuten
En espesores gt de tc la excavacioacuten es estable
Este fenoacutemeno puede darse tambieacuten parcialmente socavacioacuten
cuando se forman tuacuteneles o cavernas por arrastre de finos que generaninestabilidad y lo que puede ser maacutes grave el colapso del suelo
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EJERCICIOSe pretende realizar una excavacioacuten en un estrato de arcilla de 10 mts de espesor
que descansa sobre un estrato de arena Se pide
a) Calcular la profundidad maacutexima de excavacioacuten sin que se produzca
inestabilidad o levantamiento del fondob) iquestQueacute profundidad de agua libre debe bombearse a modo de poder llevar la
excavacioacuten hasta 8 mts de profundidad
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10m
1m
9m
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10m
1m
9m N
K
habat
N
K
Dh
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FLUJO EN MEDIOS POROSOS
El agua puede fluir a traveacutes de la masa de suelo en cualquier estado
en que este se encuentre aun y cuando el este muy compactado el
agua puede fluir a traveacutes de la masa de suelo ya que los poros estaacuten
interconectados entre si permitiendo el flujo de agua en ese medioporoso movieacutendose esta a lo largo de caminos ondulantes y rugosos
que existen entre un poro y otro lo cual genera peacuterdidas de energiacutea o
carga piezomeacutetrica originadas por la friccioacuten al igual que ocurre
cuando el flujo de agua es por tuberiacuteas o por canales abiertos
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Hasta ahora el estudio del flujo en medios porosos se ha limitado alcaso unidimensional (flujo ascendente y descendente) en el que losparaacutemetros del fluido tales como presioacuten velocidad temperaturaetc son constantes en cualquier seccioacuten transversal que seaperpendicular a la direccioacuten del flujo
En esta parte del tema se estudiaraacute el flujo del agua en tresdimensiones que es el caso maacutes general para lo cual se trabajaraacute conla ecuacioacuten fundamental de flujo Posteriormente se realizansimplificaciones debido a que el anaacutelisis tridimensional de los
problemas de filtracioacuten resulta muy complejo y se trabaja conmeacutetodos aproximados que permiten su resolucioacuten en dosdimensiones
Oacute
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ECUACIOacuteN FUNDAMENTAL DE FLUJO
HIPOTESIS
Dominio Saturado
La Presioacuten y la Velocidad son funcioacuten uacutenicamente de la posicioacuten
El esqueleto mineral del suelo es perfectamente riacutegido
z
y
x x y z
dz
dy
dx
Componente vertical del flujo
Base teoacuterica de la Red de Flujo y para otros
meacutetodos de resolucioacuten de problemas de filtracioacuten
Elemento cuacutebico de suelo a traveacutes del cual se
produce flujo laminar q con componenetes x y z
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z y x qqqq
dydxdz z
VzVzdzdxdy
y
VyVydzdydx
x
VxVxdydxVzdzdxVydzdyVx
Igualamos
dydxdz z
VzVzdzdxdy y
VyVydzdydx x
VxVxq
dydxVzdzdxVydzdyVxq
saliente
entrante
Por continuidad qentrante = qsaliente
Simplificamos y llegamos a la ecuacioacuten de Continuidad 0
z
Vz
y
Vy
x
Vx
Aplicamos Ley de Darcy (V = -ki = -k h L) 02
2
2
2
2
2
z
hkz
y
hky
x
hkx
Asumimos el suelo Isotroacutepico (kx = ky = kz) h z
h
y
h
x
h 2
2
2
2
2
2
2
0
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
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La ecuacioacuten de Laplace describe matemaacuteticamente el flujo de aguaen la regioacuten considerada
Expresa la suma de la variacioacuten de los gradientes hidraacuteulicos en lasdirecciones X Y y Z es Nula
h z
h
y
h
x
h 2
2
2
2
2
2
2
0
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
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SOLUCIOacuteN DE LA ECUACIOacuteN DE LAPLACE EN 2 DIMENSIONES
FUNCIOacuteN POTENCIAL DE LA VELOCIDAD =
( x y) = constante = -kh + c Es dependiente del potencial hidraacuteulico y su variacioacuten genera velocidad en
el agua
Derivando con respecto a X y a Y
x
hk
x
y
hk
y
x
hk Vx
y
hk Vy Entonces Vx
x
Vy
y
Resolvemos derivando con respecto a X y a Y y aplicamos la ecuacioacuten de Continuidad
2
2
2
2
2
0 y x
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satisface la ecuacioacuten de Laplace siendo la solucioacuten de la mismaen dos dimensiones
define para cada valor de esa constante una linea continua cuyospuntos tiene igual potencial hidraacuteulico h y son denominadasldquoLineas Equipotencialesrdquo
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
2
2
2
2
2
0 y x
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FUNCIOacuteN DE FLUJO =
( x y) = constante
Entonces
Resolvemos derivando con respecto a X y a Y y aplicamos la ecuacioacuten de Continuidad
0 D
D
y
y x
x
Dx
Dy
Vy
Vx
Por continuidad qentrante = qsaliente
0 DD yVx xVy yVy
Vx x DD Asumiendo Vx
x
Vy
y
2
2
2
2
2
0 y x
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cumple con la ecuacioacuten de Laplace por lo tanto es una solucioacuten ala misma en dos dimensiones
define para cada valor de la constante una linea continua querepresenta la trayectoria de agua Se denominan ldquoLineas de Flujordquo oacuteldquoLineas de Corrienterdquo
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
2
2
2
2
2
0 y x
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RELACIOacuteN ENTRE LAS LINEAS EQUIPOTENCIALES YLINEAS DE FLUJO O DE CORRIENTE
Considerando las derivadas totales a lo largo de cada una de las curvas
y
x
x
y
x
y
x
y
Pendientes Reciacuteprocas y de signo contario lo cual escondicioacuten de Ortogonalidad y son Ortogonales encada punto de interseccioacuten
REDES DE FLUJO
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REDES DE FLUJO
La red de flujo es la solucioacuten graacutefica la ecuacioacuten de Laplace en 2 dimensiones
Desafortunadamente la ecuacioacuten de Laplace es matemaacuteticamente integrable solo encondiciones de frontera muy simples por lo que en la praacutectica es necesario emplearotros meacutetodos diferentes de la integracioacuten para obtener la red de flujo Uno de esosmeacutetodos es el procedimiento graacutefico de Forcheimer que resulta ser muy simple deaplicar cualquiera sea el problema de flujo uniforme en dos dimensiones
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El espacio entre cualquier par de liacuteneas de flujo consecutivas es un canal de flujoen el trazado de la red se debe seleccionar un cierto nuacutemero de canales de flujo
Nf tal que el gasto de infiltracioacuten a traveacutes de cada canal sea el mismoDq = q Nf
La peacuterdida de carga entre cualquier par de liacuteneas equipotenciales consecutivas es lamisma e igual a Dh Donde Dhacute = Dh Nd (Dh es la peacuterdida de carga total y Nd elnuacutemero de caiacutedas de potencial)
El ancho del canal es a y la distancia entre las caiacutedas equipotenciales es b paracualquier elemento considerado
El gasto que circula por cualquier elemento es Dq = k i A
El gradiente hidraacuteulico del elemento es i = Dhacute b = ( Dh Nd ) bEntoces Dq = k ( ( Dh Nd ) b ) a L donde L es el ancho de la red en la tercera dimensioacuten
REDES DE FLUJO
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REDES DE FLUJO
Como Dq = q Nf entonces q = Dq Nf = k ( ( Dh Nd ) b ) a L Nf
La razoacuten a b esta fijada por la razoacuten Nf Nd y es la misma a traveacutes de toda la redNf y Nd deben seleccionarse de modo que a = b y a b = 1 Con lo que laecuacioacuten de gasto se transforma en
Reordenando q = k Dh ( Nf Nd ) (a b ) L
q = k Dh ( Nf Nd ) L
Aacute
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1) Hacer un dibujo a escala que muestre la masa de suelo los liacutemites permeables a
traveacutes de los cuales entra y sale el agua del suelo y las fronteras impermeables que
confinan o limitan el flujo
2) Dibujar de dos a cuatro liacuteneas de flujo que formen aacutengulos rectos con los liacutemitespermeables a la entrada y a la salida y que sean aproximadamente paralelas a losliacutemites impermeables
3) Dibujar liacuteneas equipotenciales que formen aacutengulos rectos con las liacuteneas de flujo demanera que el ancho y el largo promedio del cuadrado curviliacuteneo que forman seaniguales (a=b) Desde luego esto es imposible de lograr en el primer tanteo porquelas posiciones de las liacuteneas de flujo son supuestas pero esta primera red serviraacute deguiacutea para un segundo tanteo
4) Se reajustan las liacuteneas de flujo y las liacuteneas equipotenciales hasta que todas lasintersecciones sean en aacutengulo recto y el largo y ancho de cada cuadrado seaniguales Los tamantildeos de los cuadrados pueden ser distintos pero la relacioacuten ab = 1debe mantenerse
REGLAS PRAacuteCTICAS PARA ELABORAR REDES DE FLUJO
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El logro de una solucioacuten exacta requiere de muchos tanteos y
algunos problemas no admiten en su solucioacuten un nuacutemeroexacto de canales yo de caiacutedas equipotenciales en estos casosdebe intentarse con un nuacutemero de canales yo caiacutedasequipotenciales fraccionario (media caiacuteda o medio canal porejemplo)
Al lograr trazar la red de flujo de cuadrados curviliacuteneossatisfaciendo las condiciones de frontera del problema seobtendraacute la solucioacuten graacutefica de este problema para las
condiciones de frontera del problema se obtendraacute la solucioacutengraacutefica de este para las condiciones hidrodinaacutemicasestablecidas por la ecuacioacuten de Laplace
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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J g j
6 0
0 m
BA
I II III IV V VI VII
C
D
6 0
0 m
6 0
0 m
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
1) Altura piezometrica en A
2) Esfuerzo efectivo en B
3) Gradiente hidraacuteulico velocidades de descarga y de filtracioacuten
en C
4) Presiones hidraacuteulicas sobre el tablestacado5) Gradiente hidraacuteulico de salida y factor de seguridad contra la
arena movediza (licuefaccioacuten)
6) Factor de seguridad a la Tubificacioacuten
7) Presiones hidraacuteulicas sobre el fondo impermeable
8) Presioacuten de filtracioacuten en D
9) Caudal de Filtracioacuten bajo la presa sabiendo que L= 50 m
0m 3m 5m 10m
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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J g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
γconc= 235 Tm3
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
γconc= 235 Tm3
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg γsat= 218 Tm3 γconc= 235 Tm3
LINEA SUPERFICIAL DE FLUJO
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LINEA SUPERFICIAL DE FLUJO
En algunos casos un liacutemite de las liacuteneas de flujo puede ser una superficie de agualibre o superficie de saturacioacuten que no estaacute determinada por ninguna masa soacutelida
impermeable
Tal es el caso de las presas de tierra cuyo problema de flujo presenta caracteriacutesticasespeciales y por lo tanto se requiere del uso de meacutetodos tambieacuten especiales paralograr el trazado de la red de flujo
a
b
c
Equipotencial
Liacutenea de Flujo
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En la figura se presenta una presa de tierra de un material heterogeacuteneo eacute isoacutetropo La liacutenea 1-2 es una liacutenea equipotencial puesto que es el contacto entre el suelo permeable y el agua La liacutenea1-3 es un contacto entre la frontera impermeable y el material permeable por lo tanto es unaliacutenea de flujo Entre los puntos 2 y 4 existe una frontera del flujo donde por debajo de ella elsuelo estaacute saturado y por encima no lo estaacute Ahora bien esta liacutenea que limita la zona de flujodentro de la presa recibe el nombre de liacutenea superficial de flujo o liacutenea de saturacioacuten Suforma se desconoce a priori y tambieacuten la posicioacuten del punto 4 ambos deben ser determinados almenos aproximadamente para poder trazar la red de flujo
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La liacutenea de saturacioacuten ademaacutes de ser una liacutenea de flujo es tambieacuten una liacutenea de
equipresioacuten en la que todos los puntos tienen la misma presioacuten cero Por lo tantoel potencial hidraacuteulico depende de la carga de elevacioacuten uacutenicamente y las liacuteneasequipotenciales la cortaran a intervalos verticales iguales entre si
Condiciones Generales de Entrada
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Condiciones Generales de Entrada
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Condiciones Generales de Salida
Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
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Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
Caso 1 a2 lt 30deg En este caso es posible calcular la superficie humedecida a (distancia 4 - 3) pormedio de la siguiente expresioacuten
2
2
2
2
2
2
2coscos a a a sen
hd d a
d = L - M + O3M
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Luego de dibujar la presa de tierra a escala se sentildeala en ella la superficie humedecida aguas
abajo a calculada por la foacutermula anterior El siguiente paso consiste en el trazado de laliacutenea de saturacioacuten usando el meacutetodo graacutefico aproximado de la paraacutebola baacutesica de Kozenycuyo procedimiento se describe a continuacioacuten
1 Ubicar el punto 2 en la liacutenea freaacutetica a una distancia de 03M medida desde la cara deltalud aguas arriba La cara aguas abajo del talud es tangente a la paraacutebola en el punto 4
2 Prolongar la liacutenea en el talud aguas arriba de la presa Trazar una horizontal por el punto2 hasta cortar la cara del talud aguas abajo El punto de interseccioacuten es 5
3 Dividir 4 -5 Y 5 - 2 en el mismo nuacutemero de partes iguales no maacutes de 4 o 5 y marcarestos puntos (en 2- 5 se parte de 5 numerando con letras A -B etc en 4 - 5 se parte de 4numerando A-B-C etc)
4 Trazar por 4 - 5 liacuteneas horizontales en los puntos marcados
5 Unir cada uno de los puntos marcados en la horizontal 2- 5 con el punto 46 Trazar la liacutenea freaacutetica por los puntos obtenidos 7 Como la liacutenea freaacutetica parte perpendicular a la cara del talud aguas arriba este ajuste
debe realizarse manualmente
=gt M = htg ald =L - O7M
Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
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Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
Caso 2 a2 gt 30deg En este caso el procedimiento a seguir es
d d hP 22
1 La paraacutebola tiene su origen a una distancia P del veacutertice del talud aguas abajo de lapresa es decir este veacutertice es su foco y es tangente a la vertical que pasa por elpunto P
P se calcula por medio de la siguiente expresioacuten
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2 Trazar la paraacutebola baacutesica de Kozeny En este caso la tangente al origen es una liacuteneavertical
3 La distancia desde el punto 4 hasta la interseccioacuten de la paraacutebola con el talud aguasabajo es a + Da y no es realmente el punto por donde sale el agua en el talud porlo tanto se debe realizar una correccioacuten y encontrar a Casagrande encontroacute que larelacioacuten es un escalar que puede ser llamado a y que se relaciona
con el angulo a2 seguacuten se muestra en la siguiente tabla
a
a
D
D
a a2 ( deg ) aacute
30 0375
60 0320
90 0260
120 0185
150 0105
180 0
Los valores entre estos aacutengulos pueden interpolarse
y midiendo a + Da se calcula a usando la tablaDa = aacute ( a + Da ) y a = ( a + Da ) - Da
Finalmente se trazan manualmente la entraday la salida de la liacutenea de saturacioacuten
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EJERCICIO Determine la Linea Superficial de Flujo de la presa de tierra que se presentaa continuacioacuten
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a continuacioacuten
EJERCICIO Determine la Linea Superficial de Flujo de la presa de tierra que se presentaa continuacioacuten
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2
1
a continuacioacuten
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
g
La teoriacutea de la seccioacuten transformada permite reducir al caso de un suelo homogeacuteneo e isoacutetropo un suelo en el que la permeabilidad para el flujo en la direccioacuten horizontal ( kx) y la que tenga para el flujo en la direccioacuten vertical ( ky ) sean diferentes ( kx ne Ky )(por lo general Kx en muchas veces mayor que ky )
La teoriacutea de la seccioacuten transformada es un simple artificio de calculo que se logra por una simple transformacioacuten de coordenadas y que modifica sobre el papel las dimensiones de la zona de flujo en estudio en un suelo isotropico hidraacuteulicamente equivalente
Dos tipos de transformaciones se pueden aplicar a) Haciendo
Y Ky
Kx
Y acute
Se modifican las dimensiones verticales permaneciendo constantes las horizontales
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
g
b) Haciendo
X Kx
Ky X acute
Se modifican las dimensiones Horizontales permaneciendo constantes las Verticales
En la seccioacuten transformada homogeacutenea e isoacutetropa la permeabilidad equivalente viene dada por
kykxk
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
kykxk
X Kx
Ky X acute
2 0 0 0
0 0
kx
ky
k
2 8 2 0 0
0
h
141h
500000
b352463
071b
k
Y Ky
KxY acute
kykx 2
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EsfuerzoTotal
(σ)
Presionde Poros
(u)
EsfuerzoEfectivo
(σrsquo)
γsat Z
Z γsat Z γw Z γrsquo
γrsquo = γsat- γw
Agua γw Z1
γsat Z2Suelo
Saturado
A
B
Z1 γw+Z2 γsat
Z1 γw
Z1 γw
Z2( γsat- γw)(Z1+Z2) γw
Perfiles comunes de esfuerzos totales efectivos ypresiones de poros
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γh Z1
γsat Z2Suelo
Saturado
C
Z1 γh+Z2 γsat
Z1 γh
Z1 γh+Z2 γrsquo Z2 γw
Esfuerzo
Total(σ)
Presion
de Poros(u)
Esfuerzo
Efectivo(σrsquo)
Suelo
Humedo Z1 γh
γsat1 Z1
γsat3 Z3Suelo
Saturado
γsat2 Z2Suelo
Saturado
Suelo
SaturadoZ1 γsat1
Z2 γsat2
Z3 γsat3
Z1 γw
Z2 γw
Z3 γw
Z1 γrsquo 1
Z2 γrsquo 2
Z3 γrsquo 3
Σni=1 Zi γsati Σn
i=1 Zi γw Σni=1 Zi γrsquo
D
Edificio 2
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1h1 = 175 Tm3
h2 = 190 Tm3 SAT2 = 205 Tm3
SAT3 = 200 Tm3
SAT4 = 208 Tm3
EJERCICIO Dado el siguiente perfil determinar el diagrama de esfuerzos totalespresion de poros y esfuerzos efectivos
D10 (2) = 0015 cm
D10 (1) = 0030 cm
D10 (3) = 005 cm
2 m
2 2 m
3 3 m
4 3 m
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EJERCICIO Dado el siguiente perfil determinar el diagrama de esfuerzos totalespresion de poros y esfuerzos efectivos
h1 = 182 Tm3
SAT1 = 195 Tm3
D10 (1)
= 0030 mm
h2 = 185 Tm3
SAT2 = 200 Tm3
D10 (2)
= 005 mm
SAT3 = 210 Tm3
1 6 m
2 5 m
3 4 m
dMax= 21 Tm3
GC = 95 w = 9 9 m
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CAacuteLCULO DE ESFUERZOS EN
CONDICIOacuteN HIDRODINAacuteMICA
La condicioacuten hidrodinaacutemica de los suelos ocurre cuando
el agua gravitacional que estaacute en estado de reposo essometida a un gradiente hidraacuteulico lo que origina unaumento en la presioacuten del liacutequido y esto se transformaen energiacutea cineacutetica transfirieacutendole movimiento a traveacutesdel suelo
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Si en dos puntos diferentes de una misma masa continua de agua haycantidades diferentes de energiacutea es decir no se alcanza el mismonivel piezomeacutetrico se produciraacute un movimiento de las partiacuteculas deagua hacia los puntos de menos energiacutea para tratar de equilibrar la
diferencia y la diferencia de carga se gasta en el trabajo de mover elagua Se presentan en estos graacuteficos algunos casos de flujo de agua endiferentes direcciones y sentidos
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h es la altura que asciende el agua en un pequentildeo tubo con respecto a un planode referencia arbitrario Esta altura es conocida como carga piezomeacutetrica y es
una medida de la energiacutea que tiene el agua La energiacutea del agua viene dada por lasuma de la energiacutea potencial (elevacioacuten) la energiacutea de presioacuten y la energiacuteacineacutetica (velocidad)
g
V p
Z hw 2
2
Z = Elevacioacuten sobre un Datum arbitrario
P = Carga de Presioacuten
w
V2 = Carga de Velocidad
2g
En los suelos el flujo es laminar y como la velocidad es muy pequentildea se
considera que su valor tiende a cero por tanto la ecuacioacuten anterior puedeexpresarse como sigue
w
p Z h
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GRADIENTE HIDRAacuteULICO
Es la peacuterdida o disipacioacuten de altura hidraacuteulica por unidad de longitud medidaen la direccioacuten en que ocurre el flujo
i = Dh L
Dondei = Gradiente hidraacuteulico = DhL (adimensional)
Dh = Peacuterdida de carga
L = Longitud de recorrido del flujo
La ley de Darcy expresa la perdida
de carga Dh que se requiere paramover el agua a traveacutes del suelo unadistancia L con un gasto q es decir Dh = q L
k A
Siempre y cuando el flujo sea laminar que es el caso
corriente de los suelos a excepcioacuten de las gravas gruesas
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El valor Dh es la peacuterdida de energiacutea causada por la viscosidad la friccioacuten y los
efectos de inercia mientras el agua va circulando a traveacutes de los canales de losporos irregulares y rugosos
Cuando hay flujo las presiones de poros tienen un comportamiento diferentedebido a la presioacuten de filtracioacuten que se produce por la friccioacuten entre el agua en
movimiento y las paredes de los vaciacuteos del suelo
La presioacuten de poros en este caso seraacute la combinacioacuten de la presioacuten de poroshidrostaacutetica y la presioacuten de filtracioacuten tal como se presenta en la siguiente
expresioacuten
= Dh Df
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La presioacuten de filtracioacuten actuacutea en la misma direccioacuten y sentido del flujo del
agua y numeacutericamente es igual al producto de la perdida de carga hidraacuteulicapor el peso unitario del agua
Df = Dh w
El agua puede moverse en distintos sentidos y direcciones En esta parte del
tema se analizaraacute el comportamiento del suelo cuando el movimiento del agua seda en direccioacuten vertical
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FLUJO DESCENDENTE
Cuando el flujo es descendente las presiones de poros se calculan como ladiferencia entre las presiones de poros en condicioacuten hidrostaacutetica y la presioacuten defiltracioacuten
= Dh - Df
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Dh varia linealmente con el espesor del estrato de suelo lo cual puede serdemostrado de la siguiente manera
i = Dh Dh = i LL
Donde
Dh = Peacuterdida de carga
L = Espesor del Estrato i = Gradiente hidraacuteulico = Constante
Perdida de carga en L = 0 Dh(0) = i L = Dh 0 = 0H
Perdida de carga en L = H2 Dh(H2) = i L = Dh H = Dh
H 2 2
Perdida de carga en L = H Dh(H) = i L = Dh H = DhH
Quedando demostrado que la variacioacuten es lineal y se puede expresar la presioacutende filtracioacuten en funcioacuten del gradiente hidraacuteulico por medio de la siguienteexpresioacuten mencionada anteriormente
Df = Dh w = i L w
ldquoEl gradiente hidraacuteulico es la pendiente de las alturas piezometricas y la perdida de energiacutea uniforme es
debida a que el suelo se supone homogeacuteneo e isoacutetropordquo
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En cuanto a los esfuerzos efectivos tenemos
acute = - = Dh - Df
acute = - (Dh - Df ) = - Dh + Df
acuteh = - Dh acute = acuteh + Df
y
Lo cual evidencia que en flujo descendente los esfuerzos efectivos se incrementan en lamisma proporcioacuten que la presioacuten de filtracioacuten y el diagrama de esfuerzos totales presionesde poros y esfuerzos efectivos queda asi
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FLUJO ASCENDENTE
El flujo es ascendente cuando la altura piezomeacutetrica en el punto inferior es mayor
que en el punto superior Las presiones de poros en este caso se calculan como lasuma de las presiones de poros en condicioacuten hidrostaacutetica y la presioacuten de filtracioacuten
= Dh + Df
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En cuanto a los esfuerzos efectivos tenemos
acute = - = Dh + Df
acute = - (Dh + Df ) = - Dh - Df
acuteh = - Dh acute = acuteh - Df
y
Lo cual indica que para flujo ascendente los esfuerzos efectivos disminuyen en igualproporcioacuten que la presioacuten de filtracioacuten y el diagrama de esfuerzos totales presiones deporos y esfuerzos efectivos queda asi
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iquestQue tiende a ocurrir cuando el flujo es Ascendente
Cuando el flujo es ascendente la friccioacuten entre el agua y las paredes de los vaciacuteostiende a levantar los granos de suelo El valor de la presioacuten de filtracioacuten puedecrecer tanto que los esfuerzos efectivos se hacen cero
La resistencia al corte de un suelo granular esdirectamente proporcional a los esfuerzosefectivos por lo que cuando estos se igualan acero el suelo pierde su resistencia al corte y seproduce lo que se conoce como ebullicioacuten delsuelo granular Este fenoacutemeno de ebullicioacuten estaacutelimitado a los suelos sin cohesioacuten y se conoce
con el nombre de Licuefaccioacuten acute
= acute h -
Δf
Fenoacutemeno tiacutepico de suelos granulares cuando pierden resistencia al corte y se
produce una separacioacuten entre las partiacuteculas que hace acute = 0
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En estos casos en que los esfuerzos efectivos se hacen cero la presioacuten de
filtracioacuten se iguala al peso del suelo
H acute ndash Dh w 0
H acute = Dh w
Dh = acute H w
Como Dh = i
H
ic = acute
w
ic seraacute el Gradiente Hidraacuteulico Criacutetico y lo definiremos como el gradiente alcual se produce la ebullicioacuten del suelo
acute = 0 acute h - Δf = 0
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En funcioacuten de la Gravedad Especiacutefica de los Solidos (Gs) y la Relacioacuten de Vaciacuteos (e)desarrollaremos una expresioacuten para el ic
ic = acute
w
Las relaciones de vaciacuteos de la gran mayoriacutea de las arenas estaacuten comprendidasentre 03 y 12 Por otro lado la gravedad especiacutefica de estos suelos oscila entre265 y 270 Si se aplica la formula en esos intervalos se tiene que
acute = sat - w sat = Gs + e w 1+e
acute = Gs + e w ndash w = w Gs + e - 1
1+e 1+e
ic = Gs - 1
1+e
Para e = 03 Gs = 265 ic = 127Gs = 270 ic = 131
Para e = 12 Gs = 265 ic = 075
Gs = 270 ic = 077ldquoSeguacuten estos resultados en un deposito de arena para cualquier Gs practico se pueden encontrar valores de ic entre
075 y 131 De modo que es importante resaltar que los valores de gradiente hidraacuteulico critico en arenas estaacuten cercanos
a la unidad rdquo
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Como se produce la licuefaccioacuten con las sacudidas
siacutesmicas fuertes
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Edificios de estructura de hormigoacuten armado concerramientos y particiones interiores de faacutebrica dantildeados por elterremoto de Nigata Japoacuten 16 de Junio de 1964 magnitudRichter 75
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Ejercicio Bajo las condiciones indicadas en la figura se pide calcular los
esfuerzos totales neutrales y efectivos en las fronteras de los estratos
L
2L
2L
γw
γsat K1
γsat K2
L
K2= 2K1
1
2
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Ejercicio En el perfil estratificado indicado determine las presiones totales
neutrales y efectivas en las fronteras indicadas ademaacutes calcule el factor de
seguridad a la licuefaccioacuten donde sea necesario
L
L
2L
3L
09L
γsat1 γh1 k1
Satcap
γsat2 k2
γsat3 k3
1
2
3
γsat1= 15 γw =12 γh1
γsat2= 17 γw
γsat3= 19 γwk2= 2k1k3= 6k1
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LEVANTAMIENTO DE UN ESTRATO DE ARCILLA
Las fuerzas de filtracioacuten afectan no solamente a los suelos sincohesioacuten sino tambieacuten a los suelos cohesivos soacutelo que lo hacen demodo distinto porque en suelos arcillosos la cohesioacuten existente entrelas partiacuteculas las mantiene unidas de modo tal que se levanta toda la
masa de suelo y no partiacuteculas individuales como en los suelosgranulares
A modo de explicar el comportamiento de los suelos cohesivospondremos el siguiente caso
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LEVANTAMIENTO DE UN ESTRATO DE ARCILLA
Se tienen dos estratos de suelo diferente un suelo cohesivo que descansa sobre unmaterial muy permeable o suelo sin cohesioacuten Se necesita realizar una excavacioacutenen el estrato cohesivo para lo cual se debe determinar la profundidad a excavar yel espesor del estrato luego de realizada la excavacioacuten (tc) de tal manera queresulte seguro al levantamiento
Para realizar la excavacioacuten
se colocan dos tablestacas enel suelo y se procede luego aabatir el nivel del agua pormedio de bombeo tratando demantenerla seca
Por otra parte se desprecianlas fuerzas de friccioacuten que seoriginan cuando se hinca latablestaca
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LEVANTAMIENTO DE UN ESTRATO DE ARCILLA
Observemos que las fuerzas verticales actuantes son el peso del suelo y la presioacutende poros que tienden a levantar el fondo de la excavacioacuten puesto que el flujo es
ascendente El nivel piezomeacutetrico en la superficie del estrato sin cohesioacuten es mayorque el nivel piezomeacutetrico en el fondo de la excavacioacuten por lo que el agua tiende asubir pero como la permeabilidad del estrato de arcilla es tan baja esto resultamuy difiacutecil y se generan presiones en el fondo del rectaacutengulo
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El suelo estaacute saturado por tanto para calcular su peso se usa el peso unitario saturadoentonces
Peso del Suelo = tc sat
Haciendo equilibrio de fuerzas verticales
La presioacuten de poros es la suma de la presioacuten hidrostaacutetica y la de filtracioacuten
= Dh + Df = tc w + Dh w = ( tc + Dh ) w
sumFv = 0 Peso del Suelo - = 0
tc sat = ( tc + Dh ) w
tc sat = tc w + Dh w
tc ( sat - w ) = Dh w tc = Dh w = Df
( sat - w ) acute
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El espesor tc es el espesor criacutetico de la excavacioacuten es decir es el espesor miacutenimo
para el cual la excavacioacuten es segura
Por lo tanto
En espesores lt de tc se produce el levantamiento del fondo de la excavacioacuten
En espesores gt de tc la excavacioacuten es estable
Este fenoacutemeno puede darse tambieacuten parcialmente socavacioacuten
cuando se forman tuacuteneles o cavernas por arrastre de finos que generaninestabilidad y lo que puede ser maacutes grave el colapso del suelo
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EJERCICIOSe pretende realizar una excavacioacuten en un estrato de arcilla de 10 mts de espesor
que descansa sobre un estrato de arena Se pide
a) Calcular la profundidad maacutexima de excavacioacuten sin que se produzca
inestabilidad o levantamiento del fondob) iquestQueacute profundidad de agua libre debe bombearse a modo de poder llevar la
excavacioacuten hasta 8 mts de profundidad
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10m
1m
9m
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10m
1m
9m N
K
habat
N
K
Dh
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FLUJO EN MEDIOS POROSOS
El agua puede fluir a traveacutes de la masa de suelo en cualquier estado
en que este se encuentre aun y cuando el este muy compactado el
agua puede fluir a traveacutes de la masa de suelo ya que los poros estaacuten
interconectados entre si permitiendo el flujo de agua en ese medioporoso movieacutendose esta a lo largo de caminos ondulantes y rugosos
que existen entre un poro y otro lo cual genera peacuterdidas de energiacutea o
carga piezomeacutetrica originadas por la friccioacuten al igual que ocurre
cuando el flujo de agua es por tuberiacuteas o por canales abiertos
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Hasta ahora el estudio del flujo en medios porosos se ha limitado alcaso unidimensional (flujo ascendente y descendente) en el que losparaacutemetros del fluido tales como presioacuten velocidad temperaturaetc son constantes en cualquier seccioacuten transversal que seaperpendicular a la direccioacuten del flujo
En esta parte del tema se estudiaraacute el flujo del agua en tresdimensiones que es el caso maacutes general para lo cual se trabajaraacute conla ecuacioacuten fundamental de flujo Posteriormente se realizansimplificaciones debido a que el anaacutelisis tridimensional de los
problemas de filtracioacuten resulta muy complejo y se trabaja conmeacutetodos aproximados que permiten su resolucioacuten en dosdimensiones
Oacute
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ECUACIOacuteN FUNDAMENTAL DE FLUJO
HIPOTESIS
Dominio Saturado
La Presioacuten y la Velocidad son funcioacuten uacutenicamente de la posicioacuten
El esqueleto mineral del suelo es perfectamente riacutegido
z
y
x x y z
dz
dy
dx
Componente vertical del flujo
Base teoacuterica de la Red de Flujo y para otros
meacutetodos de resolucioacuten de problemas de filtracioacuten
Elemento cuacutebico de suelo a traveacutes del cual se
produce flujo laminar q con componenetes x y z
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z y x qqqq
dydxdz z
VzVzdzdxdy
y
VyVydzdydx
x
VxVxdydxVzdzdxVydzdyVx
Igualamos
dydxdz z
VzVzdzdxdy y
VyVydzdydx x
VxVxq
dydxVzdzdxVydzdyVxq
saliente
entrante
Por continuidad qentrante = qsaliente
Simplificamos y llegamos a la ecuacioacuten de Continuidad 0
z
Vz
y
Vy
x
Vx
Aplicamos Ley de Darcy (V = -ki = -k h L) 02
2
2
2
2
2
z
hkz
y
hky
x
hkx
Asumimos el suelo Isotroacutepico (kx = ky = kz) h z
h
y
h
x
h 2
2
2
2
2
2
2
0
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
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La ecuacioacuten de Laplace describe matemaacuteticamente el flujo de aguaen la regioacuten considerada
Expresa la suma de la variacioacuten de los gradientes hidraacuteulicos en lasdirecciones X Y y Z es Nula
h z
h
y
h
x
h 2
2
2
2
2
2
2
0
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
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SOLUCIOacuteN DE LA ECUACIOacuteN DE LAPLACE EN 2 DIMENSIONES
FUNCIOacuteN POTENCIAL DE LA VELOCIDAD =
( x y) = constante = -kh + c Es dependiente del potencial hidraacuteulico y su variacioacuten genera velocidad en
el agua
Derivando con respecto a X y a Y
x
hk
x
y
hk
y
x
hk Vx
y
hk Vy Entonces Vx
x
Vy
y
Resolvemos derivando con respecto a X y a Y y aplicamos la ecuacioacuten de Continuidad
2
2
2
2
2
0 y x
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satisface la ecuacioacuten de Laplace siendo la solucioacuten de la mismaen dos dimensiones
define para cada valor de esa constante una linea continua cuyospuntos tiene igual potencial hidraacuteulico h y son denominadasldquoLineas Equipotencialesrdquo
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
2
2
2
2
2
0 y x
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FUNCIOacuteN DE FLUJO =
( x y) = constante
Entonces
Resolvemos derivando con respecto a X y a Y y aplicamos la ecuacioacuten de Continuidad
0 D
D
y
y x
x
Dx
Dy
Vy
Vx
Por continuidad qentrante = qsaliente
0 DD yVx xVy yVy
Vx x DD Asumiendo Vx
x
Vy
y
2
2
2
2
2
0 y x
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cumple con la ecuacioacuten de Laplace por lo tanto es una solucioacuten ala misma en dos dimensiones
define para cada valor de la constante una linea continua querepresenta la trayectoria de agua Se denominan ldquoLineas de Flujordquo oacuteldquoLineas de Corrienterdquo
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
2
2
2
2
2
0 y x
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RELACIOacuteN ENTRE LAS LINEAS EQUIPOTENCIALES YLINEAS DE FLUJO O DE CORRIENTE
Considerando las derivadas totales a lo largo de cada una de las curvas
y
x
x
y
x
y
x
y
Pendientes Reciacuteprocas y de signo contario lo cual escondicioacuten de Ortogonalidad y son Ortogonales encada punto de interseccioacuten
REDES DE FLUJO
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REDES DE FLUJO
La red de flujo es la solucioacuten graacutefica la ecuacioacuten de Laplace en 2 dimensiones
Desafortunadamente la ecuacioacuten de Laplace es matemaacuteticamente integrable solo encondiciones de frontera muy simples por lo que en la praacutectica es necesario emplearotros meacutetodos diferentes de la integracioacuten para obtener la red de flujo Uno de esosmeacutetodos es el procedimiento graacutefico de Forcheimer que resulta ser muy simple deaplicar cualquiera sea el problema de flujo uniforme en dos dimensiones
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El espacio entre cualquier par de liacuteneas de flujo consecutivas es un canal de flujoen el trazado de la red se debe seleccionar un cierto nuacutemero de canales de flujo
Nf tal que el gasto de infiltracioacuten a traveacutes de cada canal sea el mismoDq = q Nf
La peacuterdida de carga entre cualquier par de liacuteneas equipotenciales consecutivas es lamisma e igual a Dh Donde Dhacute = Dh Nd (Dh es la peacuterdida de carga total y Nd elnuacutemero de caiacutedas de potencial)
El ancho del canal es a y la distancia entre las caiacutedas equipotenciales es b paracualquier elemento considerado
El gasto que circula por cualquier elemento es Dq = k i A
El gradiente hidraacuteulico del elemento es i = Dhacute b = ( Dh Nd ) bEntoces Dq = k ( ( Dh Nd ) b ) a L donde L es el ancho de la red en la tercera dimensioacuten
REDES DE FLUJO
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REDES DE FLUJO
Como Dq = q Nf entonces q = Dq Nf = k ( ( Dh Nd ) b ) a L Nf
La razoacuten a b esta fijada por la razoacuten Nf Nd y es la misma a traveacutes de toda la redNf y Nd deben seleccionarse de modo que a = b y a b = 1 Con lo que laecuacioacuten de gasto se transforma en
Reordenando q = k Dh ( Nf Nd ) (a b ) L
q = k Dh ( Nf Nd ) L
Aacute
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1) Hacer un dibujo a escala que muestre la masa de suelo los liacutemites permeables a
traveacutes de los cuales entra y sale el agua del suelo y las fronteras impermeables que
confinan o limitan el flujo
2) Dibujar de dos a cuatro liacuteneas de flujo que formen aacutengulos rectos con los liacutemitespermeables a la entrada y a la salida y que sean aproximadamente paralelas a losliacutemites impermeables
3) Dibujar liacuteneas equipotenciales que formen aacutengulos rectos con las liacuteneas de flujo demanera que el ancho y el largo promedio del cuadrado curviliacuteneo que forman seaniguales (a=b) Desde luego esto es imposible de lograr en el primer tanteo porquelas posiciones de las liacuteneas de flujo son supuestas pero esta primera red serviraacute deguiacutea para un segundo tanteo
4) Se reajustan las liacuteneas de flujo y las liacuteneas equipotenciales hasta que todas lasintersecciones sean en aacutengulo recto y el largo y ancho de cada cuadrado seaniguales Los tamantildeos de los cuadrados pueden ser distintos pero la relacioacuten ab = 1debe mantenerse
REGLAS PRAacuteCTICAS PARA ELABORAR REDES DE FLUJO
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El logro de una solucioacuten exacta requiere de muchos tanteos y
algunos problemas no admiten en su solucioacuten un nuacutemeroexacto de canales yo de caiacutedas equipotenciales en estos casosdebe intentarse con un nuacutemero de canales yo caiacutedasequipotenciales fraccionario (media caiacuteda o medio canal porejemplo)
Al lograr trazar la red de flujo de cuadrados curviliacuteneossatisfaciendo las condiciones de frontera del problema seobtendraacute la solucioacuten graacutefica de este problema para las
condiciones de frontera del problema se obtendraacute la solucioacutengraacutefica de este para las condiciones hidrodinaacutemicasestablecidas por la ecuacioacuten de Laplace
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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J g j
6 0
0 m
BA
I II III IV V VI VII
C
D
6 0
0 m
6 0
0 m
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
1) Altura piezometrica en A
2) Esfuerzo efectivo en B
3) Gradiente hidraacuteulico velocidades de descarga y de filtracioacuten
en C
4) Presiones hidraacuteulicas sobre el tablestacado5) Gradiente hidraacuteulico de salida y factor de seguridad contra la
arena movediza (licuefaccioacuten)
6) Factor de seguridad a la Tubificacioacuten
7) Presiones hidraacuteulicas sobre el fondo impermeable
8) Presioacuten de filtracioacuten en D
9) Caudal de Filtracioacuten bajo la presa sabiendo que L= 50 m
0m 3m 5m 10m
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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J g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
γconc= 235 Tm3
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
γconc= 235 Tm3
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg γsat= 218 Tm3 γconc= 235 Tm3
LINEA SUPERFICIAL DE FLUJO
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LINEA SUPERFICIAL DE FLUJO
En algunos casos un liacutemite de las liacuteneas de flujo puede ser una superficie de agualibre o superficie de saturacioacuten que no estaacute determinada por ninguna masa soacutelida
impermeable
Tal es el caso de las presas de tierra cuyo problema de flujo presenta caracteriacutesticasespeciales y por lo tanto se requiere del uso de meacutetodos tambieacuten especiales paralograr el trazado de la red de flujo
a
b
c
Equipotencial
Liacutenea de Flujo
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En la figura se presenta una presa de tierra de un material heterogeacuteneo eacute isoacutetropo La liacutenea 1-2 es una liacutenea equipotencial puesto que es el contacto entre el suelo permeable y el agua La liacutenea1-3 es un contacto entre la frontera impermeable y el material permeable por lo tanto es unaliacutenea de flujo Entre los puntos 2 y 4 existe una frontera del flujo donde por debajo de ella elsuelo estaacute saturado y por encima no lo estaacute Ahora bien esta liacutenea que limita la zona de flujodentro de la presa recibe el nombre de liacutenea superficial de flujo o liacutenea de saturacioacuten Suforma se desconoce a priori y tambieacuten la posicioacuten del punto 4 ambos deben ser determinados almenos aproximadamente para poder trazar la red de flujo
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La liacutenea de saturacioacuten ademaacutes de ser una liacutenea de flujo es tambieacuten una liacutenea de
equipresioacuten en la que todos los puntos tienen la misma presioacuten cero Por lo tantoel potencial hidraacuteulico depende de la carga de elevacioacuten uacutenicamente y las liacuteneasequipotenciales la cortaran a intervalos verticales iguales entre si
Condiciones Generales de Entrada
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Condiciones Generales de Entrada
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Condiciones Generales de Salida
Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
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Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
Caso 1 a2 lt 30deg En este caso es posible calcular la superficie humedecida a (distancia 4 - 3) pormedio de la siguiente expresioacuten
2
2
2
2
2
2
2coscos a a a sen
hd d a
d = L - M + O3M
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Luego de dibujar la presa de tierra a escala se sentildeala en ella la superficie humedecida aguas
abajo a calculada por la foacutermula anterior El siguiente paso consiste en el trazado de laliacutenea de saturacioacuten usando el meacutetodo graacutefico aproximado de la paraacutebola baacutesica de Kozenycuyo procedimiento se describe a continuacioacuten
1 Ubicar el punto 2 en la liacutenea freaacutetica a una distancia de 03M medida desde la cara deltalud aguas arriba La cara aguas abajo del talud es tangente a la paraacutebola en el punto 4
2 Prolongar la liacutenea en el talud aguas arriba de la presa Trazar una horizontal por el punto2 hasta cortar la cara del talud aguas abajo El punto de interseccioacuten es 5
3 Dividir 4 -5 Y 5 - 2 en el mismo nuacutemero de partes iguales no maacutes de 4 o 5 y marcarestos puntos (en 2- 5 se parte de 5 numerando con letras A -B etc en 4 - 5 se parte de 4numerando A-B-C etc)
4 Trazar por 4 - 5 liacuteneas horizontales en los puntos marcados
5 Unir cada uno de los puntos marcados en la horizontal 2- 5 con el punto 46 Trazar la liacutenea freaacutetica por los puntos obtenidos 7 Como la liacutenea freaacutetica parte perpendicular a la cara del talud aguas arriba este ajuste
debe realizarse manualmente
=gt M = htg ald =L - O7M
Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
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Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
Caso 2 a2 gt 30deg En este caso el procedimiento a seguir es
d d hP 22
1 La paraacutebola tiene su origen a una distancia P del veacutertice del talud aguas abajo de lapresa es decir este veacutertice es su foco y es tangente a la vertical que pasa por elpunto P
P se calcula por medio de la siguiente expresioacuten
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2 Trazar la paraacutebola baacutesica de Kozeny En este caso la tangente al origen es una liacuteneavertical
3 La distancia desde el punto 4 hasta la interseccioacuten de la paraacutebola con el talud aguasabajo es a + Da y no es realmente el punto por donde sale el agua en el talud porlo tanto se debe realizar una correccioacuten y encontrar a Casagrande encontroacute que larelacioacuten es un escalar que puede ser llamado a y que se relaciona
con el angulo a2 seguacuten se muestra en la siguiente tabla
a
a
D
D
a a2 ( deg ) aacute
30 0375
60 0320
90 0260
120 0185
150 0105
180 0
Los valores entre estos aacutengulos pueden interpolarse
y midiendo a + Da se calcula a usando la tablaDa = aacute ( a + Da ) y a = ( a + Da ) - Da
Finalmente se trazan manualmente la entraday la salida de la liacutenea de saturacioacuten
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EJERCICIO Determine la Linea Superficial de Flujo de la presa de tierra que se presentaa continuacioacuten
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a continuacioacuten
EJERCICIO Determine la Linea Superficial de Flujo de la presa de tierra que se presentaa continuacioacuten
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2
1
a continuacioacuten
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
g
La teoriacutea de la seccioacuten transformada permite reducir al caso de un suelo homogeacuteneo e isoacutetropo un suelo en el que la permeabilidad para el flujo en la direccioacuten horizontal ( kx) y la que tenga para el flujo en la direccioacuten vertical ( ky ) sean diferentes ( kx ne Ky )(por lo general Kx en muchas veces mayor que ky )
La teoriacutea de la seccioacuten transformada es un simple artificio de calculo que se logra por una simple transformacioacuten de coordenadas y que modifica sobre el papel las dimensiones de la zona de flujo en estudio en un suelo isotropico hidraacuteulicamente equivalente
Dos tipos de transformaciones se pueden aplicar a) Haciendo
Y Ky
Kx
Y acute
Se modifican las dimensiones verticales permaneciendo constantes las horizontales
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
g
b) Haciendo
X Kx
Ky X acute
Se modifican las dimensiones Horizontales permaneciendo constantes las Verticales
En la seccioacuten transformada homogeacutenea e isoacutetropa la permeabilidad equivalente viene dada por
kykxk
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
kykxk
X Kx
Ky X acute
2 0 0 0
0 0
kx
ky
k
2 8 2 0 0
0
h
141h
500000
b352463
071b
k
Y Ky
KxY acute
kykx 2
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γh Z1
γsat Z2Suelo
Saturado
C
Z1 γh+Z2 γsat
Z1 γh
Z1 γh+Z2 γrsquo Z2 γw
Esfuerzo
Total(σ)
Presion
de Poros(u)
Esfuerzo
Efectivo(σrsquo)
Suelo
Humedo Z1 γh
γsat1 Z1
γsat3 Z3Suelo
Saturado
γsat2 Z2Suelo
Saturado
Suelo
SaturadoZ1 γsat1
Z2 γsat2
Z3 γsat3
Z1 γw
Z2 γw
Z3 γw
Z1 γrsquo 1
Z2 γrsquo 2
Z3 γrsquo 3
Σni=1 Zi γsati Σn
i=1 Zi γw Σni=1 Zi γrsquo
D
Edificio 2
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1h1 = 175 Tm3
h2 = 190 Tm3 SAT2 = 205 Tm3
SAT3 = 200 Tm3
SAT4 = 208 Tm3
EJERCICIO Dado el siguiente perfil determinar el diagrama de esfuerzos totalespresion de poros y esfuerzos efectivos
D10 (2) = 0015 cm
D10 (1) = 0030 cm
D10 (3) = 005 cm
2 m
2 2 m
3 3 m
4 3 m
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EJERCICIO Dado el siguiente perfil determinar el diagrama de esfuerzos totalespresion de poros y esfuerzos efectivos
h1 = 182 Tm3
SAT1 = 195 Tm3
D10 (1)
= 0030 mm
h2 = 185 Tm3
SAT2 = 200 Tm3
D10 (2)
= 005 mm
SAT3 = 210 Tm3
1 6 m
2 5 m
3 4 m
dMax= 21 Tm3
GC = 95 w = 9 9 m
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CAacuteLCULO DE ESFUERZOS EN
CONDICIOacuteN HIDRODINAacuteMICA
La condicioacuten hidrodinaacutemica de los suelos ocurre cuando
el agua gravitacional que estaacute en estado de reposo essometida a un gradiente hidraacuteulico lo que origina unaumento en la presioacuten del liacutequido y esto se transformaen energiacutea cineacutetica transfirieacutendole movimiento a traveacutesdel suelo
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Si en dos puntos diferentes de una misma masa continua de agua haycantidades diferentes de energiacutea es decir no se alcanza el mismonivel piezomeacutetrico se produciraacute un movimiento de las partiacuteculas deagua hacia los puntos de menos energiacutea para tratar de equilibrar la
diferencia y la diferencia de carga se gasta en el trabajo de mover elagua Se presentan en estos graacuteficos algunos casos de flujo de agua endiferentes direcciones y sentidos
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h es la altura que asciende el agua en un pequentildeo tubo con respecto a un planode referencia arbitrario Esta altura es conocida como carga piezomeacutetrica y es
una medida de la energiacutea que tiene el agua La energiacutea del agua viene dada por lasuma de la energiacutea potencial (elevacioacuten) la energiacutea de presioacuten y la energiacuteacineacutetica (velocidad)
g
V p
Z hw 2
2
Z = Elevacioacuten sobre un Datum arbitrario
P = Carga de Presioacuten
w
V2 = Carga de Velocidad
2g
En los suelos el flujo es laminar y como la velocidad es muy pequentildea se
considera que su valor tiende a cero por tanto la ecuacioacuten anterior puedeexpresarse como sigue
w
p Z h
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GRADIENTE HIDRAacuteULICO
Es la peacuterdida o disipacioacuten de altura hidraacuteulica por unidad de longitud medidaen la direccioacuten en que ocurre el flujo
i = Dh L
Dondei = Gradiente hidraacuteulico = DhL (adimensional)
Dh = Peacuterdida de carga
L = Longitud de recorrido del flujo
La ley de Darcy expresa la perdida
de carga Dh que se requiere paramover el agua a traveacutes del suelo unadistancia L con un gasto q es decir Dh = q L
k A
Siempre y cuando el flujo sea laminar que es el caso
corriente de los suelos a excepcioacuten de las gravas gruesas
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El valor Dh es la peacuterdida de energiacutea causada por la viscosidad la friccioacuten y los
efectos de inercia mientras el agua va circulando a traveacutes de los canales de losporos irregulares y rugosos
Cuando hay flujo las presiones de poros tienen un comportamiento diferentedebido a la presioacuten de filtracioacuten que se produce por la friccioacuten entre el agua en
movimiento y las paredes de los vaciacuteos del suelo
La presioacuten de poros en este caso seraacute la combinacioacuten de la presioacuten de poroshidrostaacutetica y la presioacuten de filtracioacuten tal como se presenta en la siguiente
expresioacuten
= Dh Df
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La presioacuten de filtracioacuten actuacutea en la misma direccioacuten y sentido del flujo del
agua y numeacutericamente es igual al producto de la perdida de carga hidraacuteulicapor el peso unitario del agua
Df = Dh w
El agua puede moverse en distintos sentidos y direcciones En esta parte del
tema se analizaraacute el comportamiento del suelo cuando el movimiento del agua seda en direccioacuten vertical
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FLUJO DESCENDENTE
Cuando el flujo es descendente las presiones de poros se calculan como ladiferencia entre las presiones de poros en condicioacuten hidrostaacutetica y la presioacuten defiltracioacuten
= Dh - Df
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Dh varia linealmente con el espesor del estrato de suelo lo cual puede serdemostrado de la siguiente manera
i = Dh Dh = i LL
Donde
Dh = Peacuterdida de carga
L = Espesor del Estrato i = Gradiente hidraacuteulico = Constante
Perdida de carga en L = 0 Dh(0) = i L = Dh 0 = 0H
Perdida de carga en L = H2 Dh(H2) = i L = Dh H = Dh
H 2 2
Perdida de carga en L = H Dh(H) = i L = Dh H = DhH
Quedando demostrado que la variacioacuten es lineal y se puede expresar la presioacutende filtracioacuten en funcioacuten del gradiente hidraacuteulico por medio de la siguienteexpresioacuten mencionada anteriormente
Df = Dh w = i L w
ldquoEl gradiente hidraacuteulico es la pendiente de las alturas piezometricas y la perdida de energiacutea uniforme es
debida a que el suelo se supone homogeacuteneo e isoacutetropordquo
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En cuanto a los esfuerzos efectivos tenemos
acute = - = Dh - Df
acute = - (Dh - Df ) = - Dh + Df
acuteh = - Dh acute = acuteh + Df
y
Lo cual evidencia que en flujo descendente los esfuerzos efectivos se incrementan en lamisma proporcioacuten que la presioacuten de filtracioacuten y el diagrama de esfuerzos totales presionesde poros y esfuerzos efectivos queda asi
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FLUJO ASCENDENTE
El flujo es ascendente cuando la altura piezomeacutetrica en el punto inferior es mayor
que en el punto superior Las presiones de poros en este caso se calculan como lasuma de las presiones de poros en condicioacuten hidrostaacutetica y la presioacuten de filtracioacuten
= Dh + Df
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En cuanto a los esfuerzos efectivos tenemos
acute = - = Dh + Df
acute = - (Dh + Df ) = - Dh - Df
acuteh = - Dh acute = acuteh - Df
y
Lo cual indica que para flujo ascendente los esfuerzos efectivos disminuyen en igualproporcioacuten que la presioacuten de filtracioacuten y el diagrama de esfuerzos totales presiones deporos y esfuerzos efectivos queda asi
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iquestQue tiende a ocurrir cuando el flujo es Ascendente
Cuando el flujo es ascendente la friccioacuten entre el agua y las paredes de los vaciacuteostiende a levantar los granos de suelo El valor de la presioacuten de filtracioacuten puedecrecer tanto que los esfuerzos efectivos se hacen cero
La resistencia al corte de un suelo granular esdirectamente proporcional a los esfuerzosefectivos por lo que cuando estos se igualan acero el suelo pierde su resistencia al corte y seproduce lo que se conoce como ebullicioacuten delsuelo granular Este fenoacutemeno de ebullicioacuten estaacutelimitado a los suelos sin cohesioacuten y se conoce
con el nombre de Licuefaccioacuten acute
= acute h -
Δf
Fenoacutemeno tiacutepico de suelos granulares cuando pierden resistencia al corte y se
produce una separacioacuten entre las partiacuteculas que hace acute = 0
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En estos casos en que los esfuerzos efectivos se hacen cero la presioacuten de
filtracioacuten se iguala al peso del suelo
H acute ndash Dh w 0
H acute = Dh w
Dh = acute H w
Como Dh = i
H
ic = acute
w
ic seraacute el Gradiente Hidraacuteulico Criacutetico y lo definiremos como el gradiente alcual se produce la ebullicioacuten del suelo
acute = 0 acute h - Δf = 0
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En funcioacuten de la Gravedad Especiacutefica de los Solidos (Gs) y la Relacioacuten de Vaciacuteos (e)desarrollaremos una expresioacuten para el ic
ic = acute
w
Las relaciones de vaciacuteos de la gran mayoriacutea de las arenas estaacuten comprendidasentre 03 y 12 Por otro lado la gravedad especiacutefica de estos suelos oscila entre265 y 270 Si se aplica la formula en esos intervalos se tiene que
acute = sat - w sat = Gs + e w 1+e
acute = Gs + e w ndash w = w Gs + e - 1
1+e 1+e
ic = Gs - 1
1+e
Para e = 03 Gs = 265 ic = 127Gs = 270 ic = 131
Para e = 12 Gs = 265 ic = 075
Gs = 270 ic = 077ldquoSeguacuten estos resultados en un deposito de arena para cualquier Gs practico se pueden encontrar valores de ic entre
075 y 131 De modo que es importante resaltar que los valores de gradiente hidraacuteulico critico en arenas estaacuten cercanos
a la unidad rdquo
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Como se produce la licuefaccioacuten con las sacudidas
siacutesmicas fuertes
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Edificios de estructura de hormigoacuten armado concerramientos y particiones interiores de faacutebrica dantildeados por elterremoto de Nigata Japoacuten 16 de Junio de 1964 magnitudRichter 75
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Ejercicio Bajo las condiciones indicadas en la figura se pide calcular los
esfuerzos totales neutrales y efectivos en las fronteras de los estratos
L
2L
2L
γw
γsat K1
γsat K2
L
K2= 2K1
1
2
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Ejercicio En el perfil estratificado indicado determine las presiones totales
neutrales y efectivas en las fronteras indicadas ademaacutes calcule el factor de
seguridad a la licuefaccioacuten donde sea necesario
L
L
2L
3L
09L
γsat1 γh1 k1
Satcap
γsat2 k2
γsat3 k3
1
2
3
γsat1= 15 γw =12 γh1
γsat2= 17 γw
γsat3= 19 γwk2= 2k1k3= 6k1
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LEVANTAMIENTO DE UN ESTRATO DE ARCILLA
Las fuerzas de filtracioacuten afectan no solamente a los suelos sincohesioacuten sino tambieacuten a los suelos cohesivos soacutelo que lo hacen demodo distinto porque en suelos arcillosos la cohesioacuten existente entrelas partiacuteculas las mantiene unidas de modo tal que se levanta toda la
masa de suelo y no partiacuteculas individuales como en los suelosgranulares
A modo de explicar el comportamiento de los suelos cohesivospondremos el siguiente caso
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LEVANTAMIENTO DE UN ESTRATO DE ARCILLA
Se tienen dos estratos de suelo diferente un suelo cohesivo que descansa sobre unmaterial muy permeable o suelo sin cohesioacuten Se necesita realizar una excavacioacutenen el estrato cohesivo para lo cual se debe determinar la profundidad a excavar yel espesor del estrato luego de realizada la excavacioacuten (tc) de tal manera queresulte seguro al levantamiento
Para realizar la excavacioacuten
se colocan dos tablestacas enel suelo y se procede luego aabatir el nivel del agua pormedio de bombeo tratando demantenerla seca
Por otra parte se desprecianlas fuerzas de friccioacuten que seoriginan cuando se hinca latablestaca
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LEVANTAMIENTO DE UN ESTRATO DE ARCILLA
Observemos que las fuerzas verticales actuantes son el peso del suelo y la presioacutende poros que tienden a levantar el fondo de la excavacioacuten puesto que el flujo es
ascendente El nivel piezomeacutetrico en la superficie del estrato sin cohesioacuten es mayorque el nivel piezomeacutetrico en el fondo de la excavacioacuten por lo que el agua tiende asubir pero como la permeabilidad del estrato de arcilla es tan baja esto resultamuy difiacutecil y se generan presiones en el fondo del rectaacutengulo
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El suelo estaacute saturado por tanto para calcular su peso se usa el peso unitario saturadoentonces
Peso del Suelo = tc sat
Haciendo equilibrio de fuerzas verticales
La presioacuten de poros es la suma de la presioacuten hidrostaacutetica y la de filtracioacuten
= Dh + Df = tc w + Dh w = ( tc + Dh ) w
sumFv = 0 Peso del Suelo - = 0
tc sat = ( tc + Dh ) w
tc sat = tc w + Dh w
tc ( sat - w ) = Dh w tc = Dh w = Df
( sat - w ) acute
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El espesor tc es el espesor criacutetico de la excavacioacuten es decir es el espesor miacutenimo
para el cual la excavacioacuten es segura
Por lo tanto
En espesores lt de tc se produce el levantamiento del fondo de la excavacioacuten
En espesores gt de tc la excavacioacuten es estable
Este fenoacutemeno puede darse tambieacuten parcialmente socavacioacuten
cuando se forman tuacuteneles o cavernas por arrastre de finos que generaninestabilidad y lo que puede ser maacutes grave el colapso del suelo
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EJERCICIOSe pretende realizar una excavacioacuten en un estrato de arcilla de 10 mts de espesor
que descansa sobre un estrato de arena Se pide
a) Calcular la profundidad maacutexima de excavacioacuten sin que se produzca
inestabilidad o levantamiento del fondob) iquestQueacute profundidad de agua libre debe bombearse a modo de poder llevar la
excavacioacuten hasta 8 mts de profundidad
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10m
1m
9m
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10m
1m
9m N
K
habat
N
K
Dh
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FLUJO EN MEDIOS POROSOS
El agua puede fluir a traveacutes de la masa de suelo en cualquier estado
en que este se encuentre aun y cuando el este muy compactado el
agua puede fluir a traveacutes de la masa de suelo ya que los poros estaacuten
interconectados entre si permitiendo el flujo de agua en ese medioporoso movieacutendose esta a lo largo de caminos ondulantes y rugosos
que existen entre un poro y otro lo cual genera peacuterdidas de energiacutea o
carga piezomeacutetrica originadas por la friccioacuten al igual que ocurre
cuando el flujo de agua es por tuberiacuteas o por canales abiertos
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Hasta ahora el estudio del flujo en medios porosos se ha limitado alcaso unidimensional (flujo ascendente y descendente) en el que losparaacutemetros del fluido tales como presioacuten velocidad temperaturaetc son constantes en cualquier seccioacuten transversal que seaperpendicular a la direccioacuten del flujo
En esta parte del tema se estudiaraacute el flujo del agua en tresdimensiones que es el caso maacutes general para lo cual se trabajaraacute conla ecuacioacuten fundamental de flujo Posteriormente se realizansimplificaciones debido a que el anaacutelisis tridimensional de los
problemas de filtracioacuten resulta muy complejo y se trabaja conmeacutetodos aproximados que permiten su resolucioacuten en dosdimensiones
Oacute
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ECUACIOacuteN FUNDAMENTAL DE FLUJO
HIPOTESIS
Dominio Saturado
La Presioacuten y la Velocidad son funcioacuten uacutenicamente de la posicioacuten
El esqueleto mineral del suelo es perfectamente riacutegido
z
y
x x y z
dz
dy
dx
Componente vertical del flujo
Base teoacuterica de la Red de Flujo y para otros
meacutetodos de resolucioacuten de problemas de filtracioacuten
Elemento cuacutebico de suelo a traveacutes del cual se
produce flujo laminar q con componenetes x y z
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z y x qqqq
dydxdz z
VzVzdzdxdy
y
VyVydzdydx
x
VxVxdydxVzdzdxVydzdyVx
Igualamos
dydxdz z
VzVzdzdxdy y
VyVydzdydx x
VxVxq
dydxVzdzdxVydzdyVxq
saliente
entrante
Por continuidad qentrante = qsaliente
Simplificamos y llegamos a la ecuacioacuten de Continuidad 0
z
Vz
y
Vy
x
Vx
Aplicamos Ley de Darcy (V = -ki = -k h L) 02
2
2
2
2
2
z
hkz
y
hky
x
hkx
Asumimos el suelo Isotroacutepico (kx = ky = kz) h z
h
y
h
x
h 2
2
2
2
2
2
2
0
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
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La ecuacioacuten de Laplace describe matemaacuteticamente el flujo de aguaen la regioacuten considerada
Expresa la suma de la variacioacuten de los gradientes hidraacuteulicos en lasdirecciones X Y y Z es Nula
h z
h
y
h
x
h 2
2
2
2
2
2
2
0
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
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SOLUCIOacuteN DE LA ECUACIOacuteN DE LAPLACE EN 2 DIMENSIONES
FUNCIOacuteN POTENCIAL DE LA VELOCIDAD =
( x y) = constante = -kh + c Es dependiente del potencial hidraacuteulico y su variacioacuten genera velocidad en
el agua
Derivando con respecto a X y a Y
x
hk
x
y
hk
y
x
hk Vx
y
hk Vy Entonces Vx
x
Vy
y
Resolvemos derivando con respecto a X y a Y y aplicamos la ecuacioacuten de Continuidad
2
2
2
2
2
0 y x
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satisface la ecuacioacuten de Laplace siendo la solucioacuten de la mismaen dos dimensiones
define para cada valor de esa constante una linea continua cuyospuntos tiene igual potencial hidraacuteulico h y son denominadasldquoLineas Equipotencialesrdquo
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
2
2
2
2
2
0 y x
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FUNCIOacuteN DE FLUJO =
( x y) = constante
Entonces
Resolvemos derivando con respecto a X y a Y y aplicamos la ecuacioacuten de Continuidad
0 D
D
y
y x
x
Dx
Dy
Vy
Vx
Por continuidad qentrante = qsaliente
0 DD yVx xVy yVy
Vx x DD Asumiendo Vx
x
Vy
y
2
2
2
2
2
0 y x
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cumple con la ecuacioacuten de Laplace por lo tanto es una solucioacuten ala misma en dos dimensiones
define para cada valor de la constante una linea continua querepresenta la trayectoria de agua Se denominan ldquoLineas de Flujordquo oacuteldquoLineas de Corrienterdquo
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
2
2
2
2
2
0 y x
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RELACIOacuteN ENTRE LAS LINEAS EQUIPOTENCIALES YLINEAS DE FLUJO O DE CORRIENTE
Considerando las derivadas totales a lo largo de cada una de las curvas
y
x
x
y
x
y
x
y
Pendientes Reciacuteprocas y de signo contario lo cual escondicioacuten de Ortogonalidad y son Ortogonales encada punto de interseccioacuten
REDES DE FLUJO
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REDES DE FLUJO
La red de flujo es la solucioacuten graacutefica la ecuacioacuten de Laplace en 2 dimensiones
Desafortunadamente la ecuacioacuten de Laplace es matemaacuteticamente integrable solo encondiciones de frontera muy simples por lo que en la praacutectica es necesario emplearotros meacutetodos diferentes de la integracioacuten para obtener la red de flujo Uno de esosmeacutetodos es el procedimiento graacutefico de Forcheimer que resulta ser muy simple deaplicar cualquiera sea el problema de flujo uniforme en dos dimensiones
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El espacio entre cualquier par de liacuteneas de flujo consecutivas es un canal de flujoen el trazado de la red se debe seleccionar un cierto nuacutemero de canales de flujo
Nf tal que el gasto de infiltracioacuten a traveacutes de cada canal sea el mismoDq = q Nf
La peacuterdida de carga entre cualquier par de liacuteneas equipotenciales consecutivas es lamisma e igual a Dh Donde Dhacute = Dh Nd (Dh es la peacuterdida de carga total y Nd elnuacutemero de caiacutedas de potencial)
El ancho del canal es a y la distancia entre las caiacutedas equipotenciales es b paracualquier elemento considerado
El gasto que circula por cualquier elemento es Dq = k i A
El gradiente hidraacuteulico del elemento es i = Dhacute b = ( Dh Nd ) bEntoces Dq = k ( ( Dh Nd ) b ) a L donde L es el ancho de la red en la tercera dimensioacuten
REDES DE FLUJO
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REDES DE FLUJO
Como Dq = q Nf entonces q = Dq Nf = k ( ( Dh Nd ) b ) a L Nf
La razoacuten a b esta fijada por la razoacuten Nf Nd y es la misma a traveacutes de toda la redNf y Nd deben seleccionarse de modo que a = b y a b = 1 Con lo que laecuacioacuten de gasto se transforma en
Reordenando q = k Dh ( Nf Nd ) (a b ) L
q = k Dh ( Nf Nd ) L
Aacute
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1) Hacer un dibujo a escala que muestre la masa de suelo los liacutemites permeables a
traveacutes de los cuales entra y sale el agua del suelo y las fronteras impermeables que
confinan o limitan el flujo
2) Dibujar de dos a cuatro liacuteneas de flujo que formen aacutengulos rectos con los liacutemitespermeables a la entrada y a la salida y que sean aproximadamente paralelas a losliacutemites impermeables
3) Dibujar liacuteneas equipotenciales que formen aacutengulos rectos con las liacuteneas de flujo demanera que el ancho y el largo promedio del cuadrado curviliacuteneo que forman seaniguales (a=b) Desde luego esto es imposible de lograr en el primer tanteo porquelas posiciones de las liacuteneas de flujo son supuestas pero esta primera red serviraacute deguiacutea para un segundo tanteo
4) Se reajustan las liacuteneas de flujo y las liacuteneas equipotenciales hasta que todas lasintersecciones sean en aacutengulo recto y el largo y ancho de cada cuadrado seaniguales Los tamantildeos de los cuadrados pueden ser distintos pero la relacioacuten ab = 1debe mantenerse
REGLAS PRAacuteCTICAS PARA ELABORAR REDES DE FLUJO
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El logro de una solucioacuten exacta requiere de muchos tanteos y
algunos problemas no admiten en su solucioacuten un nuacutemeroexacto de canales yo de caiacutedas equipotenciales en estos casosdebe intentarse con un nuacutemero de canales yo caiacutedasequipotenciales fraccionario (media caiacuteda o medio canal porejemplo)
Al lograr trazar la red de flujo de cuadrados curviliacuteneossatisfaciendo las condiciones de frontera del problema seobtendraacute la solucioacuten graacutefica de este problema para las
condiciones de frontera del problema se obtendraacute la solucioacutengraacutefica de este para las condiciones hidrodinaacutemicasestablecidas por la ecuacioacuten de Laplace
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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J g j
6 0
0 m
BA
I II III IV V VI VII
C
D
6 0
0 m
6 0
0 m
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
1) Altura piezometrica en A
2) Esfuerzo efectivo en B
3) Gradiente hidraacuteulico velocidades de descarga y de filtracioacuten
en C
4) Presiones hidraacuteulicas sobre el tablestacado5) Gradiente hidraacuteulico de salida y factor de seguridad contra la
arena movediza (licuefaccioacuten)
6) Factor de seguridad a la Tubificacioacuten
7) Presiones hidraacuteulicas sobre el fondo impermeable
8) Presioacuten de filtracioacuten en D
9) Caudal de Filtracioacuten bajo la presa sabiendo que L= 50 m
0m 3m 5m 10m
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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J g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
γconc= 235 Tm3
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
γconc= 235 Tm3
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg γsat= 218 Tm3 γconc= 235 Tm3
LINEA SUPERFICIAL DE FLUJO
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LINEA SUPERFICIAL DE FLUJO
En algunos casos un liacutemite de las liacuteneas de flujo puede ser una superficie de agualibre o superficie de saturacioacuten que no estaacute determinada por ninguna masa soacutelida
impermeable
Tal es el caso de las presas de tierra cuyo problema de flujo presenta caracteriacutesticasespeciales y por lo tanto se requiere del uso de meacutetodos tambieacuten especiales paralograr el trazado de la red de flujo
a
b
c
Equipotencial
Liacutenea de Flujo
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En la figura se presenta una presa de tierra de un material heterogeacuteneo eacute isoacutetropo La liacutenea 1-2 es una liacutenea equipotencial puesto que es el contacto entre el suelo permeable y el agua La liacutenea1-3 es un contacto entre la frontera impermeable y el material permeable por lo tanto es unaliacutenea de flujo Entre los puntos 2 y 4 existe una frontera del flujo donde por debajo de ella elsuelo estaacute saturado y por encima no lo estaacute Ahora bien esta liacutenea que limita la zona de flujodentro de la presa recibe el nombre de liacutenea superficial de flujo o liacutenea de saturacioacuten Suforma se desconoce a priori y tambieacuten la posicioacuten del punto 4 ambos deben ser determinados almenos aproximadamente para poder trazar la red de flujo
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La liacutenea de saturacioacuten ademaacutes de ser una liacutenea de flujo es tambieacuten una liacutenea de
equipresioacuten en la que todos los puntos tienen la misma presioacuten cero Por lo tantoel potencial hidraacuteulico depende de la carga de elevacioacuten uacutenicamente y las liacuteneasequipotenciales la cortaran a intervalos verticales iguales entre si
Condiciones Generales de Entrada
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Condiciones Generales de Entrada
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Condiciones Generales de Salida
Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
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Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
Caso 1 a2 lt 30deg En este caso es posible calcular la superficie humedecida a (distancia 4 - 3) pormedio de la siguiente expresioacuten
2
2
2
2
2
2
2coscos a a a sen
hd d a
d = L - M + O3M
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Luego de dibujar la presa de tierra a escala se sentildeala en ella la superficie humedecida aguas
abajo a calculada por la foacutermula anterior El siguiente paso consiste en el trazado de laliacutenea de saturacioacuten usando el meacutetodo graacutefico aproximado de la paraacutebola baacutesica de Kozenycuyo procedimiento se describe a continuacioacuten
1 Ubicar el punto 2 en la liacutenea freaacutetica a una distancia de 03M medida desde la cara deltalud aguas arriba La cara aguas abajo del talud es tangente a la paraacutebola en el punto 4
2 Prolongar la liacutenea en el talud aguas arriba de la presa Trazar una horizontal por el punto2 hasta cortar la cara del talud aguas abajo El punto de interseccioacuten es 5
3 Dividir 4 -5 Y 5 - 2 en el mismo nuacutemero de partes iguales no maacutes de 4 o 5 y marcarestos puntos (en 2- 5 se parte de 5 numerando con letras A -B etc en 4 - 5 se parte de 4numerando A-B-C etc)
4 Trazar por 4 - 5 liacuteneas horizontales en los puntos marcados
5 Unir cada uno de los puntos marcados en la horizontal 2- 5 con el punto 46 Trazar la liacutenea freaacutetica por los puntos obtenidos 7 Como la liacutenea freaacutetica parte perpendicular a la cara del talud aguas arriba este ajuste
debe realizarse manualmente
=gt M = htg ald =L - O7M
Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
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Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
Caso 2 a2 gt 30deg En este caso el procedimiento a seguir es
d d hP 22
1 La paraacutebola tiene su origen a una distancia P del veacutertice del talud aguas abajo de lapresa es decir este veacutertice es su foco y es tangente a la vertical que pasa por elpunto P
P se calcula por medio de la siguiente expresioacuten
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2 Trazar la paraacutebola baacutesica de Kozeny En este caso la tangente al origen es una liacuteneavertical
3 La distancia desde el punto 4 hasta la interseccioacuten de la paraacutebola con el talud aguasabajo es a + Da y no es realmente el punto por donde sale el agua en el talud porlo tanto se debe realizar una correccioacuten y encontrar a Casagrande encontroacute que larelacioacuten es un escalar que puede ser llamado a y que se relaciona
con el angulo a2 seguacuten se muestra en la siguiente tabla
a
a
D
D
a a2 ( deg ) aacute
30 0375
60 0320
90 0260
120 0185
150 0105
180 0
Los valores entre estos aacutengulos pueden interpolarse
y midiendo a + Da se calcula a usando la tablaDa = aacute ( a + Da ) y a = ( a + Da ) - Da
Finalmente se trazan manualmente la entraday la salida de la liacutenea de saturacioacuten
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EJERCICIO Determine la Linea Superficial de Flujo de la presa de tierra que se presentaa continuacioacuten
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a continuacioacuten
EJERCICIO Determine la Linea Superficial de Flujo de la presa de tierra que se presentaa continuacioacuten
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2
1
a continuacioacuten
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
g
La teoriacutea de la seccioacuten transformada permite reducir al caso de un suelo homogeacuteneo e isoacutetropo un suelo en el que la permeabilidad para el flujo en la direccioacuten horizontal ( kx) y la que tenga para el flujo en la direccioacuten vertical ( ky ) sean diferentes ( kx ne Ky )(por lo general Kx en muchas veces mayor que ky )
La teoriacutea de la seccioacuten transformada es un simple artificio de calculo que se logra por una simple transformacioacuten de coordenadas y que modifica sobre el papel las dimensiones de la zona de flujo en estudio en un suelo isotropico hidraacuteulicamente equivalente
Dos tipos de transformaciones se pueden aplicar a) Haciendo
Y Ky
Kx
Y acute
Se modifican las dimensiones verticales permaneciendo constantes las horizontales
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
g
b) Haciendo
X Kx
Ky X acute
Se modifican las dimensiones Horizontales permaneciendo constantes las Verticales
En la seccioacuten transformada homogeacutenea e isoacutetropa la permeabilidad equivalente viene dada por
kykxk
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
kykxk
X Kx
Ky X acute
2 0 0 0
0 0
kx
ky
k
2 8 2 0 0
0
h
141h
500000
b352463
071b
k
Y Ky
KxY acute
kykx 2
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1h1 = 175 Tm3
h2 = 190 Tm3 SAT2 = 205 Tm3
SAT3 = 200 Tm3
SAT4 = 208 Tm3
EJERCICIO Dado el siguiente perfil determinar el diagrama de esfuerzos totalespresion de poros y esfuerzos efectivos
D10 (2) = 0015 cm
D10 (1) = 0030 cm
D10 (3) = 005 cm
2 m
2 2 m
3 3 m
4 3 m
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EJERCICIO Dado el siguiente perfil determinar el diagrama de esfuerzos totalespresion de poros y esfuerzos efectivos
h1 = 182 Tm3
SAT1 = 195 Tm3
D10 (1)
= 0030 mm
h2 = 185 Tm3
SAT2 = 200 Tm3
D10 (2)
= 005 mm
SAT3 = 210 Tm3
1 6 m
2 5 m
3 4 m
dMax= 21 Tm3
GC = 95 w = 9 9 m
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CAacuteLCULO DE ESFUERZOS EN
CONDICIOacuteN HIDRODINAacuteMICA
La condicioacuten hidrodinaacutemica de los suelos ocurre cuando
el agua gravitacional que estaacute en estado de reposo essometida a un gradiente hidraacuteulico lo que origina unaumento en la presioacuten del liacutequido y esto se transformaen energiacutea cineacutetica transfirieacutendole movimiento a traveacutesdel suelo
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Si en dos puntos diferentes de una misma masa continua de agua haycantidades diferentes de energiacutea es decir no se alcanza el mismonivel piezomeacutetrico se produciraacute un movimiento de las partiacuteculas deagua hacia los puntos de menos energiacutea para tratar de equilibrar la
diferencia y la diferencia de carga se gasta en el trabajo de mover elagua Se presentan en estos graacuteficos algunos casos de flujo de agua endiferentes direcciones y sentidos
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h es la altura que asciende el agua en un pequentildeo tubo con respecto a un planode referencia arbitrario Esta altura es conocida como carga piezomeacutetrica y es
una medida de la energiacutea que tiene el agua La energiacutea del agua viene dada por lasuma de la energiacutea potencial (elevacioacuten) la energiacutea de presioacuten y la energiacuteacineacutetica (velocidad)
g
V p
Z hw 2
2
Z = Elevacioacuten sobre un Datum arbitrario
P = Carga de Presioacuten
w
V2 = Carga de Velocidad
2g
En los suelos el flujo es laminar y como la velocidad es muy pequentildea se
considera que su valor tiende a cero por tanto la ecuacioacuten anterior puedeexpresarse como sigue
w
p Z h
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GRADIENTE HIDRAacuteULICO
Es la peacuterdida o disipacioacuten de altura hidraacuteulica por unidad de longitud medidaen la direccioacuten en que ocurre el flujo
i = Dh L
Dondei = Gradiente hidraacuteulico = DhL (adimensional)
Dh = Peacuterdida de carga
L = Longitud de recorrido del flujo
La ley de Darcy expresa la perdida
de carga Dh que se requiere paramover el agua a traveacutes del suelo unadistancia L con un gasto q es decir Dh = q L
k A
Siempre y cuando el flujo sea laminar que es el caso
corriente de los suelos a excepcioacuten de las gravas gruesas
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El valor Dh es la peacuterdida de energiacutea causada por la viscosidad la friccioacuten y los
efectos de inercia mientras el agua va circulando a traveacutes de los canales de losporos irregulares y rugosos
Cuando hay flujo las presiones de poros tienen un comportamiento diferentedebido a la presioacuten de filtracioacuten que se produce por la friccioacuten entre el agua en
movimiento y las paredes de los vaciacuteos del suelo
La presioacuten de poros en este caso seraacute la combinacioacuten de la presioacuten de poroshidrostaacutetica y la presioacuten de filtracioacuten tal como se presenta en la siguiente
expresioacuten
= Dh Df
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La presioacuten de filtracioacuten actuacutea en la misma direccioacuten y sentido del flujo del
agua y numeacutericamente es igual al producto de la perdida de carga hidraacuteulicapor el peso unitario del agua
Df = Dh w
El agua puede moverse en distintos sentidos y direcciones En esta parte del
tema se analizaraacute el comportamiento del suelo cuando el movimiento del agua seda en direccioacuten vertical
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FLUJO DESCENDENTE
Cuando el flujo es descendente las presiones de poros se calculan como ladiferencia entre las presiones de poros en condicioacuten hidrostaacutetica y la presioacuten defiltracioacuten
= Dh - Df
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Dh varia linealmente con el espesor del estrato de suelo lo cual puede serdemostrado de la siguiente manera
i = Dh Dh = i LL
Donde
Dh = Peacuterdida de carga
L = Espesor del Estrato i = Gradiente hidraacuteulico = Constante
Perdida de carga en L = 0 Dh(0) = i L = Dh 0 = 0H
Perdida de carga en L = H2 Dh(H2) = i L = Dh H = Dh
H 2 2
Perdida de carga en L = H Dh(H) = i L = Dh H = DhH
Quedando demostrado que la variacioacuten es lineal y se puede expresar la presioacutende filtracioacuten en funcioacuten del gradiente hidraacuteulico por medio de la siguienteexpresioacuten mencionada anteriormente
Df = Dh w = i L w
ldquoEl gradiente hidraacuteulico es la pendiente de las alturas piezometricas y la perdida de energiacutea uniforme es
debida a que el suelo se supone homogeacuteneo e isoacutetropordquo
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En cuanto a los esfuerzos efectivos tenemos
acute = - = Dh - Df
acute = - (Dh - Df ) = - Dh + Df
acuteh = - Dh acute = acuteh + Df
y
Lo cual evidencia que en flujo descendente los esfuerzos efectivos se incrementan en lamisma proporcioacuten que la presioacuten de filtracioacuten y el diagrama de esfuerzos totales presionesde poros y esfuerzos efectivos queda asi
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FLUJO ASCENDENTE
El flujo es ascendente cuando la altura piezomeacutetrica en el punto inferior es mayor
que en el punto superior Las presiones de poros en este caso se calculan como lasuma de las presiones de poros en condicioacuten hidrostaacutetica y la presioacuten de filtracioacuten
= Dh + Df
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En cuanto a los esfuerzos efectivos tenemos
acute = - = Dh + Df
acute = - (Dh + Df ) = - Dh - Df
acuteh = - Dh acute = acuteh - Df
y
Lo cual indica que para flujo ascendente los esfuerzos efectivos disminuyen en igualproporcioacuten que la presioacuten de filtracioacuten y el diagrama de esfuerzos totales presiones deporos y esfuerzos efectivos queda asi
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iquestQue tiende a ocurrir cuando el flujo es Ascendente
Cuando el flujo es ascendente la friccioacuten entre el agua y las paredes de los vaciacuteostiende a levantar los granos de suelo El valor de la presioacuten de filtracioacuten puedecrecer tanto que los esfuerzos efectivos se hacen cero
La resistencia al corte de un suelo granular esdirectamente proporcional a los esfuerzosefectivos por lo que cuando estos se igualan acero el suelo pierde su resistencia al corte y seproduce lo que se conoce como ebullicioacuten delsuelo granular Este fenoacutemeno de ebullicioacuten estaacutelimitado a los suelos sin cohesioacuten y se conoce
con el nombre de Licuefaccioacuten acute
= acute h -
Δf
Fenoacutemeno tiacutepico de suelos granulares cuando pierden resistencia al corte y se
produce una separacioacuten entre las partiacuteculas que hace acute = 0
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En estos casos en que los esfuerzos efectivos se hacen cero la presioacuten de
filtracioacuten se iguala al peso del suelo
H acute ndash Dh w 0
H acute = Dh w
Dh = acute H w
Como Dh = i
H
ic = acute
w
ic seraacute el Gradiente Hidraacuteulico Criacutetico y lo definiremos como el gradiente alcual se produce la ebullicioacuten del suelo
acute = 0 acute h - Δf = 0
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En funcioacuten de la Gravedad Especiacutefica de los Solidos (Gs) y la Relacioacuten de Vaciacuteos (e)desarrollaremos una expresioacuten para el ic
ic = acute
w
Las relaciones de vaciacuteos de la gran mayoriacutea de las arenas estaacuten comprendidasentre 03 y 12 Por otro lado la gravedad especiacutefica de estos suelos oscila entre265 y 270 Si se aplica la formula en esos intervalos se tiene que
acute = sat - w sat = Gs + e w 1+e
acute = Gs + e w ndash w = w Gs + e - 1
1+e 1+e
ic = Gs - 1
1+e
Para e = 03 Gs = 265 ic = 127Gs = 270 ic = 131
Para e = 12 Gs = 265 ic = 075
Gs = 270 ic = 077ldquoSeguacuten estos resultados en un deposito de arena para cualquier Gs practico se pueden encontrar valores de ic entre
075 y 131 De modo que es importante resaltar que los valores de gradiente hidraacuteulico critico en arenas estaacuten cercanos
a la unidad rdquo
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Como se produce la licuefaccioacuten con las sacudidas
siacutesmicas fuertes
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Edificios de estructura de hormigoacuten armado concerramientos y particiones interiores de faacutebrica dantildeados por elterremoto de Nigata Japoacuten 16 de Junio de 1964 magnitudRichter 75
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Ejercicio Bajo las condiciones indicadas en la figura se pide calcular los
esfuerzos totales neutrales y efectivos en las fronteras de los estratos
L
2L
2L
γw
γsat K1
γsat K2
L
K2= 2K1
1
2
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Ejercicio En el perfil estratificado indicado determine las presiones totales
neutrales y efectivas en las fronteras indicadas ademaacutes calcule el factor de
seguridad a la licuefaccioacuten donde sea necesario
L
L
2L
3L
09L
γsat1 γh1 k1
Satcap
γsat2 k2
γsat3 k3
1
2
3
γsat1= 15 γw =12 γh1
γsat2= 17 γw
γsat3= 19 γwk2= 2k1k3= 6k1
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LEVANTAMIENTO DE UN ESTRATO DE ARCILLA
Las fuerzas de filtracioacuten afectan no solamente a los suelos sincohesioacuten sino tambieacuten a los suelos cohesivos soacutelo que lo hacen demodo distinto porque en suelos arcillosos la cohesioacuten existente entrelas partiacuteculas las mantiene unidas de modo tal que se levanta toda la
masa de suelo y no partiacuteculas individuales como en los suelosgranulares
A modo de explicar el comportamiento de los suelos cohesivospondremos el siguiente caso
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LEVANTAMIENTO DE UN ESTRATO DE ARCILLA
Se tienen dos estratos de suelo diferente un suelo cohesivo que descansa sobre unmaterial muy permeable o suelo sin cohesioacuten Se necesita realizar una excavacioacutenen el estrato cohesivo para lo cual se debe determinar la profundidad a excavar yel espesor del estrato luego de realizada la excavacioacuten (tc) de tal manera queresulte seguro al levantamiento
Para realizar la excavacioacuten
se colocan dos tablestacas enel suelo y se procede luego aabatir el nivel del agua pormedio de bombeo tratando demantenerla seca
Por otra parte se desprecianlas fuerzas de friccioacuten que seoriginan cuando se hinca latablestaca
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LEVANTAMIENTO DE UN ESTRATO DE ARCILLA
Observemos que las fuerzas verticales actuantes son el peso del suelo y la presioacutende poros que tienden a levantar el fondo de la excavacioacuten puesto que el flujo es
ascendente El nivel piezomeacutetrico en la superficie del estrato sin cohesioacuten es mayorque el nivel piezomeacutetrico en el fondo de la excavacioacuten por lo que el agua tiende asubir pero como la permeabilidad del estrato de arcilla es tan baja esto resultamuy difiacutecil y se generan presiones en el fondo del rectaacutengulo
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El suelo estaacute saturado por tanto para calcular su peso se usa el peso unitario saturadoentonces
Peso del Suelo = tc sat
Haciendo equilibrio de fuerzas verticales
La presioacuten de poros es la suma de la presioacuten hidrostaacutetica y la de filtracioacuten
= Dh + Df = tc w + Dh w = ( tc + Dh ) w
sumFv = 0 Peso del Suelo - = 0
tc sat = ( tc + Dh ) w
tc sat = tc w + Dh w
tc ( sat - w ) = Dh w tc = Dh w = Df
( sat - w ) acute
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El espesor tc es el espesor criacutetico de la excavacioacuten es decir es el espesor miacutenimo
para el cual la excavacioacuten es segura
Por lo tanto
En espesores lt de tc se produce el levantamiento del fondo de la excavacioacuten
En espesores gt de tc la excavacioacuten es estable
Este fenoacutemeno puede darse tambieacuten parcialmente socavacioacuten
cuando se forman tuacuteneles o cavernas por arrastre de finos que generaninestabilidad y lo que puede ser maacutes grave el colapso del suelo
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EJERCICIOSe pretende realizar una excavacioacuten en un estrato de arcilla de 10 mts de espesor
que descansa sobre un estrato de arena Se pide
a) Calcular la profundidad maacutexima de excavacioacuten sin que se produzca
inestabilidad o levantamiento del fondob) iquestQueacute profundidad de agua libre debe bombearse a modo de poder llevar la
excavacioacuten hasta 8 mts de profundidad
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10m
1m
9m
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10m
1m
9m N
K
habat
N
K
Dh
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FLUJO EN MEDIOS POROSOS
El agua puede fluir a traveacutes de la masa de suelo en cualquier estado
en que este se encuentre aun y cuando el este muy compactado el
agua puede fluir a traveacutes de la masa de suelo ya que los poros estaacuten
interconectados entre si permitiendo el flujo de agua en ese medioporoso movieacutendose esta a lo largo de caminos ondulantes y rugosos
que existen entre un poro y otro lo cual genera peacuterdidas de energiacutea o
carga piezomeacutetrica originadas por la friccioacuten al igual que ocurre
cuando el flujo de agua es por tuberiacuteas o por canales abiertos
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Hasta ahora el estudio del flujo en medios porosos se ha limitado alcaso unidimensional (flujo ascendente y descendente) en el que losparaacutemetros del fluido tales como presioacuten velocidad temperaturaetc son constantes en cualquier seccioacuten transversal que seaperpendicular a la direccioacuten del flujo
En esta parte del tema se estudiaraacute el flujo del agua en tresdimensiones que es el caso maacutes general para lo cual se trabajaraacute conla ecuacioacuten fundamental de flujo Posteriormente se realizansimplificaciones debido a que el anaacutelisis tridimensional de los
problemas de filtracioacuten resulta muy complejo y se trabaja conmeacutetodos aproximados que permiten su resolucioacuten en dosdimensiones
Oacute
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ECUACIOacuteN FUNDAMENTAL DE FLUJO
HIPOTESIS
Dominio Saturado
La Presioacuten y la Velocidad son funcioacuten uacutenicamente de la posicioacuten
El esqueleto mineral del suelo es perfectamente riacutegido
z
y
x x y z
dz
dy
dx
Componente vertical del flujo
Base teoacuterica de la Red de Flujo y para otros
meacutetodos de resolucioacuten de problemas de filtracioacuten
Elemento cuacutebico de suelo a traveacutes del cual se
produce flujo laminar q con componenetes x y z
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z y x qqqq
dydxdz z
VzVzdzdxdy
y
VyVydzdydx
x
VxVxdydxVzdzdxVydzdyVx
Igualamos
dydxdz z
VzVzdzdxdy y
VyVydzdydx x
VxVxq
dydxVzdzdxVydzdyVxq
saliente
entrante
Por continuidad qentrante = qsaliente
Simplificamos y llegamos a la ecuacioacuten de Continuidad 0
z
Vz
y
Vy
x
Vx
Aplicamos Ley de Darcy (V = -ki = -k h L) 02
2
2
2
2
2
z
hkz
y
hky
x
hkx
Asumimos el suelo Isotroacutepico (kx = ky = kz) h z
h
y
h
x
h 2
2
2
2
2
2
2
0
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
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La ecuacioacuten de Laplace describe matemaacuteticamente el flujo de aguaen la regioacuten considerada
Expresa la suma de la variacioacuten de los gradientes hidraacuteulicos en lasdirecciones X Y y Z es Nula
h z
h
y
h
x
h 2
2
2
2
2
2
2
0
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
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SOLUCIOacuteN DE LA ECUACIOacuteN DE LAPLACE EN 2 DIMENSIONES
FUNCIOacuteN POTENCIAL DE LA VELOCIDAD =
( x y) = constante = -kh + c Es dependiente del potencial hidraacuteulico y su variacioacuten genera velocidad en
el agua
Derivando con respecto a X y a Y
x
hk
x
y
hk
y
x
hk Vx
y
hk Vy Entonces Vx
x
Vy
y
Resolvemos derivando con respecto a X y a Y y aplicamos la ecuacioacuten de Continuidad
2
2
2
2
2
0 y x
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satisface la ecuacioacuten de Laplace siendo la solucioacuten de la mismaen dos dimensiones
define para cada valor de esa constante una linea continua cuyospuntos tiene igual potencial hidraacuteulico h y son denominadasldquoLineas Equipotencialesrdquo
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
2
2
2
2
2
0 y x
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FUNCIOacuteN DE FLUJO =
( x y) = constante
Entonces
Resolvemos derivando con respecto a X y a Y y aplicamos la ecuacioacuten de Continuidad
0 D
D
y
y x
x
Dx
Dy
Vy
Vx
Por continuidad qentrante = qsaliente
0 DD yVx xVy yVy
Vx x DD Asumiendo Vx
x
Vy
y
2
2
2
2
2
0 y x
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cumple con la ecuacioacuten de Laplace por lo tanto es una solucioacuten ala misma en dos dimensiones
define para cada valor de la constante una linea continua querepresenta la trayectoria de agua Se denominan ldquoLineas de Flujordquo oacuteldquoLineas de Corrienterdquo
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
2
2
2
2
2
0 y x
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RELACIOacuteN ENTRE LAS LINEAS EQUIPOTENCIALES YLINEAS DE FLUJO O DE CORRIENTE
Considerando las derivadas totales a lo largo de cada una de las curvas
y
x
x
y
x
y
x
y
Pendientes Reciacuteprocas y de signo contario lo cual escondicioacuten de Ortogonalidad y son Ortogonales encada punto de interseccioacuten
REDES DE FLUJO
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REDES DE FLUJO
La red de flujo es la solucioacuten graacutefica la ecuacioacuten de Laplace en 2 dimensiones
Desafortunadamente la ecuacioacuten de Laplace es matemaacuteticamente integrable solo encondiciones de frontera muy simples por lo que en la praacutectica es necesario emplearotros meacutetodos diferentes de la integracioacuten para obtener la red de flujo Uno de esosmeacutetodos es el procedimiento graacutefico de Forcheimer que resulta ser muy simple deaplicar cualquiera sea el problema de flujo uniforme en dos dimensiones
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El espacio entre cualquier par de liacuteneas de flujo consecutivas es un canal de flujoen el trazado de la red se debe seleccionar un cierto nuacutemero de canales de flujo
Nf tal que el gasto de infiltracioacuten a traveacutes de cada canal sea el mismoDq = q Nf
La peacuterdida de carga entre cualquier par de liacuteneas equipotenciales consecutivas es lamisma e igual a Dh Donde Dhacute = Dh Nd (Dh es la peacuterdida de carga total y Nd elnuacutemero de caiacutedas de potencial)
El ancho del canal es a y la distancia entre las caiacutedas equipotenciales es b paracualquier elemento considerado
El gasto que circula por cualquier elemento es Dq = k i A
El gradiente hidraacuteulico del elemento es i = Dhacute b = ( Dh Nd ) bEntoces Dq = k ( ( Dh Nd ) b ) a L donde L es el ancho de la red en la tercera dimensioacuten
REDES DE FLUJO
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REDES DE FLUJO
Como Dq = q Nf entonces q = Dq Nf = k ( ( Dh Nd ) b ) a L Nf
La razoacuten a b esta fijada por la razoacuten Nf Nd y es la misma a traveacutes de toda la redNf y Nd deben seleccionarse de modo que a = b y a b = 1 Con lo que laecuacioacuten de gasto se transforma en
Reordenando q = k Dh ( Nf Nd ) (a b ) L
q = k Dh ( Nf Nd ) L
Aacute
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1) Hacer un dibujo a escala que muestre la masa de suelo los liacutemites permeables a
traveacutes de los cuales entra y sale el agua del suelo y las fronteras impermeables que
confinan o limitan el flujo
2) Dibujar de dos a cuatro liacuteneas de flujo que formen aacutengulos rectos con los liacutemitespermeables a la entrada y a la salida y que sean aproximadamente paralelas a losliacutemites impermeables
3) Dibujar liacuteneas equipotenciales que formen aacutengulos rectos con las liacuteneas de flujo demanera que el ancho y el largo promedio del cuadrado curviliacuteneo que forman seaniguales (a=b) Desde luego esto es imposible de lograr en el primer tanteo porquelas posiciones de las liacuteneas de flujo son supuestas pero esta primera red serviraacute deguiacutea para un segundo tanteo
4) Se reajustan las liacuteneas de flujo y las liacuteneas equipotenciales hasta que todas lasintersecciones sean en aacutengulo recto y el largo y ancho de cada cuadrado seaniguales Los tamantildeos de los cuadrados pueden ser distintos pero la relacioacuten ab = 1debe mantenerse
REGLAS PRAacuteCTICAS PARA ELABORAR REDES DE FLUJO
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El logro de una solucioacuten exacta requiere de muchos tanteos y
algunos problemas no admiten en su solucioacuten un nuacutemeroexacto de canales yo de caiacutedas equipotenciales en estos casosdebe intentarse con un nuacutemero de canales yo caiacutedasequipotenciales fraccionario (media caiacuteda o medio canal porejemplo)
Al lograr trazar la red de flujo de cuadrados curviliacuteneossatisfaciendo las condiciones de frontera del problema seobtendraacute la solucioacuten graacutefica de este problema para las
condiciones de frontera del problema se obtendraacute la solucioacutengraacutefica de este para las condiciones hidrodinaacutemicasestablecidas por la ecuacioacuten de Laplace
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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J g j
6 0
0 m
BA
I II III IV V VI VII
C
D
6 0
0 m
6 0
0 m
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
1) Altura piezometrica en A
2) Esfuerzo efectivo en B
3) Gradiente hidraacuteulico velocidades de descarga y de filtracioacuten
en C
4) Presiones hidraacuteulicas sobre el tablestacado5) Gradiente hidraacuteulico de salida y factor de seguridad contra la
arena movediza (licuefaccioacuten)
6) Factor de seguridad a la Tubificacioacuten
7) Presiones hidraacuteulicas sobre el fondo impermeable
8) Presioacuten de filtracioacuten en D
9) Caudal de Filtracioacuten bajo la presa sabiendo que L= 50 m
0m 3m 5m 10m
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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J g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
γconc= 235 Tm3
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
γconc= 235 Tm3
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg γsat= 218 Tm3 γconc= 235 Tm3
LINEA SUPERFICIAL DE FLUJO
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LINEA SUPERFICIAL DE FLUJO
En algunos casos un liacutemite de las liacuteneas de flujo puede ser una superficie de agualibre o superficie de saturacioacuten que no estaacute determinada por ninguna masa soacutelida
impermeable
Tal es el caso de las presas de tierra cuyo problema de flujo presenta caracteriacutesticasespeciales y por lo tanto se requiere del uso de meacutetodos tambieacuten especiales paralograr el trazado de la red de flujo
a
b
c
Equipotencial
Liacutenea de Flujo
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En la figura se presenta una presa de tierra de un material heterogeacuteneo eacute isoacutetropo La liacutenea 1-2 es una liacutenea equipotencial puesto que es el contacto entre el suelo permeable y el agua La liacutenea1-3 es un contacto entre la frontera impermeable y el material permeable por lo tanto es unaliacutenea de flujo Entre los puntos 2 y 4 existe una frontera del flujo donde por debajo de ella elsuelo estaacute saturado y por encima no lo estaacute Ahora bien esta liacutenea que limita la zona de flujodentro de la presa recibe el nombre de liacutenea superficial de flujo o liacutenea de saturacioacuten Suforma se desconoce a priori y tambieacuten la posicioacuten del punto 4 ambos deben ser determinados almenos aproximadamente para poder trazar la red de flujo
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La liacutenea de saturacioacuten ademaacutes de ser una liacutenea de flujo es tambieacuten una liacutenea de
equipresioacuten en la que todos los puntos tienen la misma presioacuten cero Por lo tantoel potencial hidraacuteulico depende de la carga de elevacioacuten uacutenicamente y las liacuteneasequipotenciales la cortaran a intervalos verticales iguales entre si
Condiciones Generales de Entrada
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Condiciones Generales de Entrada
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Condiciones Generales de Salida
Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
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Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
Caso 1 a2 lt 30deg En este caso es posible calcular la superficie humedecida a (distancia 4 - 3) pormedio de la siguiente expresioacuten
2
2
2
2
2
2
2coscos a a a sen
hd d a
d = L - M + O3M
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Luego de dibujar la presa de tierra a escala se sentildeala en ella la superficie humedecida aguas
abajo a calculada por la foacutermula anterior El siguiente paso consiste en el trazado de laliacutenea de saturacioacuten usando el meacutetodo graacutefico aproximado de la paraacutebola baacutesica de Kozenycuyo procedimiento se describe a continuacioacuten
1 Ubicar el punto 2 en la liacutenea freaacutetica a una distancia de 03M medida desde la cara deltalud aguas arriba La cara aguas abajo del talud es tangente a la paraacutebola en el punto 4
2 Prolongar la liacutenea en el talud aguas arriba de la presa Trazar una horizontal por el punto2 hasta cortar la cara del talud aguas abajo El punto de interseccioacuten es 5
3 Dividir 4 -5 Y 5 - 2 en el mismo nuacutemero de partes iguales no maacutes de 4 o 5 y marcarestos puntos (en 2- 5 se parte de 5 numerando con letras A -B etc en 4 - 5 se parte de 4numerando A-B-C etc)
4 Trazar por 4 - 5 liacuteneas horizontales en los puntos marcados
5 Unir cada uno de los puntos marcados en la horizontal 2- 5 con el punto 46 Trazar la liacutenea freaacutetica por los puntos obtenidos 7 Como la liacutenea freaacutetica parte perpendicular a la cara del talud aguas arriba este ajuste
debe realizarse manualmente
=gt M = htg ald =L - O7M
Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
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Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
Caso 2 a2 gt 30deg En este caso el procedimiento a seguir es
d d hP 22
1 La paraacutebola tiene su origen a una distancia P del veacutertice del talud aguas abajo de lapresa es decir este veacutertice es su foco y es tangente a la vertical que pasa por elpunto P
P se calcula por medio de la siguiente expresioacuten
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2 Trazar la paraacutebola baacutesica de Kozeny En este caso la tangente al origen es una liacuteneavertical
3 La distancia desde el punto 4 hasta la interseccioacuten de la paraacutebola con el talud aguasabajo es a + Da y no es realmente el punto por donde sale el agua en el talud porlo tanto se debe realizar una correccioacuten y encontrar a Casagrande encontroacute que larelacioacuten es un escalar que puede ser llamado a y que se relaciona
con el angulo a2 seguacuten se muestra en la siguiente tabla
a
a
D
D
a a2 ( deg ) aacute
30 0375
60 0320
90 0260
120 0185
150 0105
180 0
Los valores entre estos aacutengulos pueden interpolarse
y midiendo a + Da se calcula a usando la tablaDa = aacute ( a + Da ) y a = ( a + Da ) - Da
Finalmente se trazan manualmente la entraday la salida de la liacutenea de saturacioacuten
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EJERCICIO Determine la Linea Superficial de Flujo de la presa de tierra que se presentaa continuacioacuten
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a continuacioacuten
EJERCICIO Determine la Linea Superficial de Flujo de la presa de tierra que se presentaa continuacioacuten
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2
1
a continuacioacuten
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
g
La teoriacutea de la seccioacuten transformada permite reducir al caso de un suelo homogeacuteneo e isoacutetropo un suelo en el que la permeabilidad para el flujo en la direccioacuten horizontal ( kx) y la que tenga para el flujo en la direccioacuten vertical ( ky ) sean diferentes ( kx ne Ky )(por lo general Kx en muchas veces mayor que ky )
La teoriacutea de la seccioacuten transformada es un simple artificio de calculo que se logra por una simple transformacioacuten de coordenadas y que modifica sobre el papel las dimensiones de la zona de flujo en estudio en un suelo isotropico hidraacuteulicamente equivalente
Dos tipos de transformaciones se pueden aplicar a) Haciendo
Y Ky
Kx
Y acute
Se modifican las dimensiones verticales permaneciendo constantes las horizontales
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
g
b) Haciendo
X Kx
Ky X acute
Se modifican las dimensiones Horizontales permaneciendo constantes las Verticales
En la seccioacuten transformada homogeacutenea e isoacutetropa la permeabilidad equivalente viene dada por
kykxk
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
kykxk
X Kx
Ky X acute
2 0 0 0
0 0
kx
ky
k
2 8 2 0 0
0
h
141h
500000
b352463
071b
k
Y Ky
KxY acute
kykx 2
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EJERCICIO Dado el siguiente perfil determinar el diagrama de esfuerzos totalespresion de poros y esfuerzos efectivos
h1 = 182 Tm3
SAT1 = 195 Tm3
D10 (1)
= 0030 mm
h2 = 185 Tm3
SAT2 = 200 Tm3
D10 (2)
= 005 mm
SAT3 = 210 Tm3
1 6 m
2 5 m
3 4 m
dMax= 21 Tm3
GC = 95 w = 9 9 m
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CAacuteLCULO DE ESFUERZOS EN
CONDICIOacuteN HIDRODINAacuteMICA
La condicioacuten hidrodinaacutemica de los suelos ocurre cuando
el agua gravitacional que estaacute en estado de reposo essometida a un gradiente hidraacuteulico lo que origina unaumento en la presioacuten del liacutequido y esto se transformaen energiacutea cineacutetica transfirieacutendole movimiento a traveacutesdel suelo
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Si en dos puntos diferentes de una misma masa continua de agua haycantidades diferentes de energiacutea es decir no se alcanza el mismonivel piezomeacutetrico se produciraacute un movimiento de las partiacuteculas deagua hacia los puntos de menos energiacutea para tratar de equilibrar la
diferencia y la diferencia de carga se gasta en el trabajo de mover elagua Se presentan en estos graacuteficos algunos casos de flujo de agua endiferentes direcciones y sentidos
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h es la altura que asciende el agua en un pequentildeo tubo con respecto a un planode referencia arbitrario Esta altura es conocida como carga piezomeacutetrica y es
una medida de la energiacutea que tiene el agua La energiacutea del agua viene dada por lasuma de la energiacutea potencial (elevacioacuten) la energiacutea de presioacuten y la energiacuteacineacutetica (velocidad)
g
V p
Z hw 2
2
Z = Elevacioacuten sobre un Datum arbitrario
P = Carga de Presioacuten
w
V2 = Carga de Velocidad
2g
En los suelos el flujo es laminar y como la velocidad es muy pequentildea se
considera que su valor tiende a cero por tanto la ecuacioacuten anterior puedeexpresarse como sigue
w
p Z h
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GRADIENTE HIDRAacuteULICO
Es la peacuterdida o disipacioacuten de altura hidraacuteulica por unidad de longitud medidaen la direccioacuten en que ocurre el flujo
i = Dh L
Dondei = Gradiente hidraacuteulico = DhL (adimensional)
Dh = Peacuterdida de carga
L = Longitud de recorrido del flujo
La ley de Darcy expresa la perdida
de carga Dh que se requiere paramover el agua a traveacutes del suelo unadistancia L con un gasto q es decir Dh = q L
k A
Siempre y cuando el flujo sea laminar que es el caso
corriente de los suelos a excepcioacuten de las gravas gruesas
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El valor Dh es la peacuterdida de energiacutea causada por la viscosidad la friccioacuten y los
efectos de inercia mientras el agua va circulando a traveacutes de los canales de losporos irregulares y rugosos
Cuando hay flujo las presiones de poros tienen un comportamiento diferentedebido a la presioacuten de filtracioacuten que se produce por la friccioacuten entre el agua en
movimiento y las paredes de los vaciacuteos del suelo
La presioacuten de poros en este caso seraacute la combinacioacuten de la presioacuten de poroshidrostaacutetica y la presioacuten de filtracioacuten tal como se presenta en la siguiente
expresioacuten
= Dh Df
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La presioacuten de filtracioacuten actuacutea en la misma direccioacuten y sentido del flujo del
agua y numeacutericamente es igual al producto de la perdida de carga hidraacuteulicapor el peso unitario del agua
Df = Dh w
El agua puede moverse en distintos sentidos y direcciones En esta parte del
tema se analizaraacute el comportamiento del suelo cuando el movimiento del agua seda en direccioacuten vertical
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FLUJO DESCENDENTE
Cuando el flujo es descendente las presiones de poros se calculan como ladiferencia entre las presiones de poros en condicioacuten hidrostaacutetica y la presioacuten defiltracioacuten
= Dh - Df
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Dh varia linealmente con el espesor del estrato de suelo lo cual puede serdemostrado de la siguiente manera
i = Dh Dh = i LL
Donde
Dh = Peacuterdida de carga
L = Espesor del Estrato i = Gradiente hidraacuteulico = Constante
Perdida de carga en L = 0 Dh(0) = i L = Dh 0 = 0H
Perdida de carga en L = H2 Dh(H2) = i L = Dh H = Dh
H 2 2
Perdida de carga en L = H Dh(H) = i L = Dh H = DhH
Quedando demostrado que la variacioacuten es lineal y se puede expresar la presioacutende filtracioacuten en funcioacuten del gradiente hidraacuteulico por medio de la siguienteexpresioacuten mencionada anteriormente
Df = Dh w = i L w
ldquoEl gradiente hidraacuteulico es la pendiente de las alturas piezometricas y la perdida de energiacutea uniforme es
debida a que el suelo se supone homogeacuteneo e isoacutetropordquo
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En cuanto a los esfuerzos efectivos tenemos
acute = - = Dh - Df
acute = - (Dh - Df ) = - Dh + Df
acuteh = - Dh acute = acuteh + Df
y
Lo cual evidencia que en flujo descendente los esfuerzos efectivos se incrementan en lamisma proporcioacuten que la presioacuten de filtracioacuten y el diagrama de esfuerzos totales presionesde poros y esfuerzos efectivos queda asi
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FLUJO ASCENDENTE
El flujo es ascendente cuando la altura piezomeacutetrica en el punto inferior es mayor
que en el punto superior Las presiones de poros en este caso se calculan como lasuma de las presiones de poros en condicioacuten hidrostaacutetica y la presioacuten de filtracioacuten
= Dh + Df
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En cuanto a los esfuerzos efectivos tenemos
acute = - = Dh + Df
acute = - (Dh + Df ) = - Dh - Df
acuteh = - Dh acute = acuteh - Df
y
Lo cual indica que para flujo ascendente los esfuerzos efectivos disminuyen en igualproporcioacuten que la presioacuten de filtracioacuten y el diagrama de esfuerzos totales presiones deporos y esfuerzos efectivos queda asi
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iquestQue tiende a ocurrir cuando el flujo es Ascendente
Cuando el flujo es ascendente la friccioacuten entre el agua y las paredes de los vaciacuteostiende a levantar los granos de suelo El valor de la presioacuten de filtracioacuten puedecrecer tanto que los esfuerzos efectivos se hacen cero
La resistencia al corte de un suelo granular esdirectamente proporcional a los esfuerzosefectivos por lo que cuando estos se igualan acero el suelo pierde su resistencia al corte y seproduce lo que se conoce como ebullicioacuten delsuelo granular Este fenoacutemeno de ebullicioacuten estaacutelimitado a los suelos sin cohesioacuten y se conoce
con el nombre de Licuefaccioacuten acute
= acute h -
Δf
Fenoacutemeno tiacutepico de suelos granulares cuando pierden resistencia al corte y se
produce una separacioacuten entre las partiacuteculas que hace acute = 0
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En estos casos en que los esfuerzos efectivos se hacen cero la presioacuten de
filtracioacuten se iguala al peso del suelo
H acute ndash Dh w 0
H acute = Dh w
Dh = acute H w
Como Dh = i
H
ic = acute
w
ic seraacute el Gradiente Hidraacuteulico Criacutetico y lo definiremos como el gradiente alcual se produce la ebullicioacuten del suelo
acute = 0 acute h - Δf = 0
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En funcioacuten de la Gravedad Especiacutefica de los Solidos (Gs) y la Relacioacuten de Vaciacuteos (e)desarrollaremos una expresioacuten para el ic
ic = acute
w
Las relaciones de vaciacuteos de la gran mayoriacutea de las arenas estaacuten comprendidasentre 03 y 12 Por otro lado la gravedad especiacutefica de estos suelos oscila entre265 y 270 Si se aplica la formula en esos intervalos se tiene que
acute = sat - w sat = Gs + e w 1+e
acute = Gs + e w ndash w = w Gs + e - 1
1+e 1+e
ic = Gs - 1
1+e
Para e = 03 Gs = 265 ic = 127Gs = 270 ic = 131
Para e = 12 Gs = 265 ic = 075
Gs = 270 ic = 077ldquoSeguacuten estos resultados en un deposito de arena para cualquier Gs practico se pueden encontrar valores de ic entre
075 y 131 De modo que es importante resaltar que los valores de gradiente hidraacuteulico critico en arenas estaacuten cercanos
a la unidad rdquo
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Como se produce la licuefaccioacuten con las sacudidas
siacutesmicas fuertes
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Edificios de estructura de hormigoacuten armado concerramientos y particiones interiores de faacutebrica dantildeados por elterremoto de Nigata Japoacuten 16 de Junio de 1964 magnitudRichter 75
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Ejercicio Bajo las condiciones indicadas en la figura se pide calcular los
esfuerzos totales neutrales y efectivos en las fronteras de los estratos
L
2L
2L
γw
γsat K1
γsat K2
L
K2= 2K1
1
2
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Ejercicio En el perfil estratificado indicado determine las presiones totales
neutrales y efectivas en las fronteras indicadas ademaacutes calcule el factor de
seguridad a la licuefaccioacuten donde sea necesario
L
L
2L
3L
09L
γsat1 γh1 k1
Satcap
γsat2 k2
γsat3 k3
1
2
3
γsat1= 15 γw =12 γh1
γsat2= 17 γw
γsat3= 19 γwk2= 2k1k3= 6k1
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LEVANTAMIENTO DE UN ESTRATO DE ARCILLA
Las fuerzas de filtracioacuten afectan no solamente a los suelos sincohesioacuten sino tambieacuten a los suelos cohesivos soacutelo que lo hacen demodo distinto porque en suelos arcillosos la cohesioacuten existente entrelas partiacuteculas las mantiene unidas de modo tal que se levanta toda la
masa de suelo y no partiacuteculas individuales como en los suelosgranulares
A modo de explicar el comportamiento de los suelos cohesivospondremos el siguiente caso
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LEVANTAMIENTO DE UN ESTRATO DE ARCILLA
Se tienen dos estratos de suelo diferente un suelo cohesivo que descansa sobre unmaterial muy permeable o suelo sin cohesioacuten Se necesita realizar una excavacioacutenen el estrato cohesivo para lo cual se debe determinar la profundidad a excavar yel espesor del estrato luego de realizada la excavacioacuten (tc) de tal manera queresulte seguro al levantamiento
Para realizar la excavacioacuten
se colocan dos tablestacas enel suelo y se procede luego aabatir el nivel del agua pormedio de bombeo tratando demantenerla seca
Por otra parte se desprecianlas fuerzas de friccioacuten que seoriginan cuando se hinca latablestaca
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LEVANTAMIENTO DE UN ESTRATO DE ARCILLA
Observemos que las fuerzas verticales actuantes son el peso del suelo y la presioacutende poros que tienden a levantar el fondo de la excavacioacuten puesto que el flujo es
ascendente El nivel piezomeacutetrico en la superficie del estrato sin cohesioacuten es mayorque el nivel piezomeacutetrico en el fondo de la excavacioacuten por lo que el agua tiende asubir pero como la permeabilidad del estrato de arcilla es tan baja esto resultamuy difiacutecil y se generan presiones en el fondo del rectaacutengulo
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El suelo estaacute saturado por tanto para calcular su peso se usa el peso unitario saturadoentonces
Peso del Suelo = tc sat
Haciendo equilibrio de fuerzas verticales
La presioacuten de poros es la suma de la presioacuten hidrostaacutetica y la de filtracioacuten
= Dh + Df = tc w + Dh w = ( tc + Dh ) w
sumFv = 0 Peso del Suelo - = 0
tc sat = ( tc + Dh ) w
tc sat = tc w + Dh w
tc ( sat - w ) = Dh w tc = Dh w = Df
( sat - w ) acute
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El espesor tc es el espesor criacutetico de la excavacioacuten es decir es el espesor miacutenimo
para el cual la excavacioacuten es segura
Por lo tanto
En espesores lt de tc se produce el levantamiento del fondo de la excavacioacuten
En espesores gt de tc la excavacioacuten es estable
Este fenoacutemeno puede darse tambieacuten parcialmente socavacioacuten
cuando se forman tuacuteneles o cavernas por arrastre de finos que generaninestabilidad y lo que puede ser maacutes grave el colapso del suelo
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EJERCICIOSe pretende realizar una excavacioacuten en un estrato de arcilla de 10 mts de espesor
que descansa sobre un estrato de arena Se pide
a) Calcular la profundidad maacutexima de excavacioacuten sin que se produzca
inestabilidad o levantamiento del fondob) iquestQueacute profundidad de agua libre debe bombearse a modo de poder llevar la
excavacioacuten hasta 8 mts de profundidad
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10m
1m
9m
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10m
1m
9m N
K
habat
N
K
Dh
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FLUJO EN MEDIOS POROSOS
El agua puede fluir a traveacutes de la masa de suelo en cualquier estado
en que este se encuentre aun y cuando el este muy compactado el
agua puede fluir a traveacutes de la masa de suelo ya que los poros estaacuten
interconectados entre si permitiendo el flujo de agua en ese medioporoso movieacutendose esta a lo largo de caminos ondulantes y rugosos
que existen entre un poro y otro lo cual genera peacuterdidas de energiacutea o
carga piezomeacutetrica originadas por la friccioacuten al igual que ocurre
cuando el flujo de agua es por tuberiacuteas o por canales abiertos
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Hasta ahora el estudio del flujo en medios porosos se ha limitado alcaso unidimensional (flujo ascendente y descendente) en el que losparaacutemetros del fluido tales como presioacuten velocidad temperaturaetc son constantes en cualquier seccioacuten transversal que seaperpendicular a la direccioacuten del flujo
En esta parte del tema se estudiaraacute el flujo del agua en tresdimensiones que es el caso maacutes general para lo cual se trabajaraacute conla ecuacioacuten fundamental de flujo Posteriormente se realizansimplificaciones debido a que el anaacutelisis tridimensional de los
problemas de filtracioacuten resulta muy complejo y se trabaja conmeacutetodos aproximados que permiten su resolucioacuten en dosdimensiones
Oacute
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ECUACIOacuteN FUNDAMENTAL DE FLUJO
HIPOTESIS
Dominio Saturado
La Presioacuten y la Velocidad son funcioacuten uacutenicamente de la posicioacuten
El esqueleto mineral del suelo es perfectamente riacutegido
z
y
x x y z
dz
dy
dx
Componente vertical del flujo
Base teoacuterica de la Red de Flujo y para otros
meacutetodos de resolucioacuten de problemas de filtracioacuten
Elemento cuacutebico de suelo a traveacutes del cual se
produce flujo laminar q con componenetes x y z
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z y x qqqq
dydxdz z
VzVzdzdxdy
y
VyVydzdydx
x
VxVxdydxVzdzdxVydzdyVx
Igualamos
dydxdz z
VzVzdzdxdy y
VyVydzdydx x
VxVxq
dydxVzdzdxVydzdyVxq
saliente
entrante
Por continuidad qentrante = qsaliente
Simplificamos y llegamos a la ecuacioacuten de Continuidad 0
z
Vz
y
Vy
x
Vx
Aplicamos Ley de Darcy (V = -ki = -k h L) 02
2
2
2
2
2
z
hkz
y
hky
x
hkx
Asumimos el suelo Isotroacutepico (kx = ky = kz) h z
h
y
h
x
h 2
2
2
2
2
2
2
0
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
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La ecuacioacuten de Laplace describe matemaacuteticamente el flujo de aguaen la regioacuten considerada
Expresa la suma de la variacioacuten de los gradientes hidraacuteulicos en lasdirecciones X Y y Z es Nula
h z
h
y
h
x
h 2
2
2
2
2
2
2
0
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
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SOLUCIOacuteN DE LA ECUACIOacuteN DE LAPLACE EN 2 DIMENSIONES
FUNCIOacuteN POTENCIAL DE LA VELOCIDAD =
( x y) = constante = -kh + c Es dependiente del potencial hidraacuteulico y su variacioacuten genera velocidad en
el agua
Derivando con respecto a X y a Y
x
hk
x
y
hk
y
x
hk Vx
y
hk Vy Entonces Vx
x
Vy
y
Resolvemos derivando con respecto a X y a Y y aplicamos la ecuacioacuten de Continuidad
2
2
2
2
2
0 y x
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satisface la ecuacioacuten de Laplace siendo la solucioacuten de la mismaen dos dimensiones
define para cada valor de esa constante una linea continua cuyospuntos tiene igual potencial hidraacuteulico h y son denominadasldquoLineas Equipotencialesrdquo
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
2
2
2
2
2
0 y x
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FUNCIOacuteN DE FLUJO =
( x y) = constante
Entonces
Resolvemos derivando con respecto a X y a Y y aplicamos la ecuacioacuten de Continuidad
0 D
D
y
y x
x
Dx
Dy
Vy
Vx
Por continuidad qentrante = qsaliente
0 DD yVx xVy yVy
Vx x DD Asumiendo Vx
x
Vy
y
2
2
2
2
2
0 y x
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cumple con la ecuacioacuten de Laplace por lo tanto es una solucioacuten ala misma en dos dimensiones
define para cada valor de la constante una linea continua querepresenta la trayectoria de agua Se denominan ldquoLineas de Flujordquo oacuteldquoLineas de Corrienterdquo
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
2
2
2
2
2
0 y x
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RELACIOacuteN ENTRE LAS LINEAS EQUIPOTENCIALES YLINEAS DE FLUJO O DE CORRIENTE
Considerando las derivadas totales a lo largo de cada una de las curvas
y
x
x
y
x
y
x
y
Pendientes Reciacuteprocas y de signo contario lo cual escondicioacuten de Ortogonalidad y son Ortogonales encada punto de interseccioacuten
REDES DE FLUJO
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REDES DE FLUJO
La red de flujo es la solucioacuten graacutefica la ecuacioacuten de Laplace en 2 dimensiones
Desafortunadamente la ecuacioacuten de Laplace es matemaacuteticamente integrable solo encondiciones de frontera muy simples por lo que en la praacutectica es necesario emplearotros meacutetodos diferentes de la integracioacuten para obtener la red de flujo Uno de esosmeacutetodos es el procedimiento graacutefico de Forcheimer que resulta ser muy simple deaplicar cualquiera sea el problema de flujo uniforme en dos dimensiones
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El espacio entre cualquier par de liacuteneas de flujo consecutivas es un canal de flujoen el trazado de la red se debe seleccionar un cierto nuacutemero de canales de flujo
Nf tal que el gasto de infiltracioacuten a traveacutes de cada canal sea el mismoDq = q Nf
La peacuterdida de carga entre cualquier par de liacuteneas equipotenciales consecutivas es lamisma e igual a Dh Donde Dhacute = Dh Nd (Dh es la peacuterdida de carga total y Nd elnuacutemero de caiacutedas de potencial)
El ancho del canal es a y la distancia entre las caiacutedas equipotenciales es b paracualquier elemento considerado
El gasto que circula por cualquier elemento es Dq = k i A
El gradiente hidraacuteulico del elemento es i = Dhacute b = ( Dh Nd ) bEntoces Dq = k ( ( Dh Nd ) b ) a L donde L es el ancho de la red en la tercera dimensioacuten
REDES DE FLUJO
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REDES DE FLUJO
Como Dq = q Nf entonces q = Dq Nf = k ( ( Dh Nd ) b ) a L Nf
La razoacuten a b esta fijada por la razoacuten Nf Nd y es la misma a traveacutes de toda la redNf y Nd deben seleccionarse de modo que a = b y a b = 1 Con lo que laecuacioacuten de gasto se transforma en
Reordenando q = k Dh ( Nf Nd ) (a b ) L
q = k Dh ( Nf Nd ) L
Aacute
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1) Hacer un dibujo a escala que muestre la masa de suelo los liacutemites permeables a
traveacutes de los cuales entra y sale el agua del suelo y las fronteras impermeables que
confinan o limitan el flujo
2) Dibujar de dos a cuatro liacuteneas de flujo que formen aacutengulos rectos con los liacutemitespermeables a la entrada y a la salida y que sean aproximadamente paralelas a losliacutemites impermeables
3) Dibujar liacuteneas equipotenciales que formen aacutengulos rectos con las liacuteneas de flujo demanera que el ancho y el largo promedio del cuadrado curviliacuteneo que forman seaniguales (a=b) Desde luego esto es imposible de lograr en el primer tanteo porquelas posiciones de las liacuteneas de flujo son supuestas pero esta primera red serviraacute deguiacutea para un segundo tanteo
4) Se reajustan las liacuteneas de flujo y las liacuteneas equipotenciales hasta que todas lasintersecciones sean en aacutengulo recto y el largo y ancho de cada cuadrado seaniguales Los tamantildeos de los cuadrados pueden ser distintos pero la relacioacuten ab = 1debe mantenerse
REGLAS PRAacuteCTICAS PARA ELABORAR REDES DE FLUJO
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El logro de una solucioacuten exacta requiere de muchos tanteos y
algunos problemas no admiten en su solucioacuten un nuacutemeroexacto de canales yo de caiacutedas equipotenciales en estos casosdebe intentarse con un nuacutemero de canales yo caiacutedasequipotenciales fraccionario (media caiacuteda o medio canal porejemplo)
Al lograr trazar la red de flujo de cuadrados curviliacuteneossatisfaciendo las condiciones de frontera del problema seobtendraacute la solucioacuten graacutefica de este problema para las
condiciones de frontera del problema se obtendraacute la solucioacutengraacutefica de este para las condiciones hidrodinaacutemicasestablecidas por la ecuacioacuten de Laplace
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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J g j
6 0
0 m
BA
I II III IV V VI VII
C
D
6 0
0 m
6 0
0 m
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
1) Altura piezometrica en A
2) Esfuerzo efectivo en B
3) Gradiente hidraacuteulico velocidades de descarga y de filtracioacuten
en C
4) Presiones hidraacuteulicas sobre el tablestacado5) Gradiente hidraacuteulico de salida y factor de seguridad contra la
arena movediza (licuefaccioacuten)
6) Factor de seguridad a la Tubificacioacuten
7) Presiones hidraacuteulicas sobre el fondo impermeable
8) Presioacuten de filtracioacuten en D
9) Caudal de Filtracioacuten bajo la presa sabiendo que L= 50 m
0m 3m 5m 10m
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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J g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
γconc= 235 Tm3
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
γconc= 235 Tm3
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg γsat= 218 Tm3 γconc= 235 Tm3
LINEA SUPERFICIAL DE FLUJO
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LINEA SUPERFICIAL DE FLUJO
En algunos casos un liacutemite de las liacuteneas de flujo puede ser una superficie de agualibre o superficie de saturacioacuten que no estaacute determinada por ninguna masa soacutelida
impermeable
Tal es el caso de las presas de tierra cuyo problema de flujo presenta caracteriacutesticasespeciales y por lo tanto se requiere del uso de meacutetodos tambieacuten especiales paralograr el trazado de la red de flujo
a
b
c
Equipotencial
Liacutenea de Flujo
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En la figura se presenta una presa de tierra de un material heterogeacuteneo eacute isoacutetropo La liacutenea 1-2 es una liacutenea equipotencial puesto que es el contacto entre el suelo permeable y el agua La liacutenea1-3 es un contacto entre la frontera impermeable y el material permeable por lo tanto es unaliacutenea de flujo Entre los puntos 2 y 4 existe una frontera del flujo donde por debajo de ella elsuelo estaacute saturado y por encima no lo estaacute Ahora bien esta liacutenea que limita la zona de flujodentro de la presa recibe el nombre de liacutenea superficial de flujo o liacutenea de saturacioacuten Suforma se desconoce a priori y tambieacuten la posicioacuten del punto 4 ambos deben ser determinados almenos aproximadamente para poder trazar la red de flujo
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La liacutenea de saturacioacuten ademaacutes de ser una liacutenea de flujo es tambieacuten una liacutenea de
equipresioacuten en la que todos los puntos tienen la misma presioacuten cero Por lo tantoel potencial hidraacuteulico depende de la carga de elevacioacuten uacutenicamente y las liacuteneasequipotenciales la cortaran a intervalos verticales iguales entre si
Condiciones Generales de Entrada
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Condiciones Generales de Entrada
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Condiciones Generales de Salida
Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
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Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
Caso 1 a2 lt 30deg En este caso es posible calcular la superficie humedecida a (distancia 4 - 3) pormedio de la siguiente expresioacuten
2
2
2
2
2
2
2coscos a a a sen
hd d a
d = L - M + O3M
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Luego de dibujar la presa de tierra a escala se sentildeala en ella la superficie humedecida aguas
abajo a calculada por la foacutermula anterior El siguiente paso consiste en el trazado de laliacutenea de saturacioacuten usando el meacutetodo graacutefico aproximado de la paraacutebola baacutesica de Kozenycuyo procedimiento se describe a continuacioacuten
1 Ubicar el punto 2 en la liacutenea freaacutetica a una distancia de 03M medida desde la cara deltalud aguas arriba La cara aguas abajo del talud es tangente a la paraacutebola en el punto 4
2 Prolongar la liacutenea en el talud aguas arriba de la presa Trazar una horizontal por el punto2 hasta cortar la cara del talud aguas abajo El punto de interseccioacuten es 5
3 Dividir 4 -5 Y 5 - 2 en el mismo nuacutemero de partes iguales no maacutes de 4 o 5 y marcarestos puntos (en 2- 5 se parte de 5 numerando con letras A -B etc en 4 - 5 se parte de 4numerando A-B-C etc)
4 Trazar por 4 - 5 liacuteneas horizontales en los puntos marcados
5 Unir cada uno de los puntos marcados en la horizontal 2- 5 con el punto 46 Trazar la liacutenea freaacutetica por los puntos obtenidos 7 Como la liacutenea freaacutetica parte perpendicular a la cara del talud aguas arriba este ajuste
debe realizarse manualmente
=gt M = htg ald =L - O7M
Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
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Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
Caso 2 a2 gt 30deg En este caso el procedimiento a seguir es
d d hP 22
1 La paraacutebola tiene su origen a una distancia P del veacutertice del talud aguas abajo de lapresa es decir este veacutertice es su foco y es tangente a la vertical que pasa por elpunto P
P se calcula por medio de la siguiente expresioacuten
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2 Trazar la paraacutebola baacutesica de Kozeny En este caso la tangente al origen es una liacuteneavertical
3 La distancia desde el punto 4 hasta la interseccioacuten de la paraacutebola con el talud aguasabajo es a + Da y no es realmente el punto por donde sale el agua en el talud porlo tanto se debe realizar una correccioacuten y encontrar a Casagrande encontroacute que larelacioacuten es un escalar que puede ser llamado a y que se relaciona
con el angulo a2 seguacuten se muestra en la siguiente tabla
a
a
D
D
a a2 ( deg ) aacute
30 0375
60 0320
90 0260
120 0185
150 0105
180 0
Los valores entre estos aacutengulos pueden interpolarse
y midiendo a + Da se calcula a usando la tablaDa = aacute ( a + Da ) y a = ( a + Da ) - Da
Finalmente se trazan manualmente la entraday la salida de la liacutenea de saturacioacuten
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EJERCICIO Determine la Linea Superficial de Flujo de la presa de tierra que se presentaa continuacioacuten
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a continuacioacuten
EJERCICIO Determine la Linea Superficial de Flujo de la presa de tierra que se presentaa continuacioacuten
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2
1
a continuacioacuten
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
g
La teoriacutea de la seccioacuten transformada permite reducir al caso de un suelo homogeacuteneo e isoacutetropo un suelo en el que la permeabilidad para el flujo en la direccioacuten horizontal ( kx) y la que tenga para el flujo en la direccioacuten vertical ( ky ) sean diferentes ( kx ne Ky )(por lo general Kx en muchas veces mayor que ky )
La teoriacutea de la seccioacuten transformada es un simple artificio de calculo que se logra por una simple transformacioacuten de coordenadas y que modifica sobre el papel las dimensiones de la zona de flujo en estudio en un suelo isotropico hidraacuteulicamente equivalente
Dos tipos de transformaciones se pueden aplicar a) Haciendo
Y Ky
Kx
Y acute
Se modifican las dimensiones verticales permaneciendo constantes las horizontales
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
g
b) Haciendo
X Kx
Ky X acute
Se modifican las dimensiones Horizontales permaneciendo constantes las Verticales
En la seccioacuten transformada homogeacutenea e isoacutetropa la permeabilidad equivalente viene dada por
kykxk
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
kykxk
X Kx
Ky X acute
2 0 0 0
0 0
kx
ky
k
2 8 2 0 0
0
h
141h
500000
b352463
071b
k
Y Ky
KxY acute
kykx 2
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CAacuteLCULO DE ESFUERZOS EN
CONDICIOacuteN HIDRODINAacuteMICA
La condicioacuten hidrodinaacutemica de los suelos ocurre cuando
el agua gravitacional que estaacute en estado de reposo essometida a un gradiente hidraacuteulico lo que origina unaumento en la presioacuten del liacutequido y esto se transformaen energiacutea cineacutetica transfirieacutendole movimiento a traveacutesdel suelo
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Si en dos puntos diferentes de una misma masa continua de agua haycantidades diferentes de energiacutea es decir no se alcanza el mismonivel piezomeacutetrico se produciraacute un movimiento de las partiacuteculas deagua hacia los puntos de menos energiacutea para tratar de equilibrar la
diferencia y la diferencia de carga se gasta en el trabajo de mover elagua Se presentan en estos graacuteficos algunos casos de flujo de agua endiferentes direcciones y sentidos
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h es la altura que asciende el agua en un pequentildeo tubo con respecto a un planode referencia arbitrario Esta altura es conocida como carga piezomeacutetrica y es
una medida de la energiacutea que tiene el agua La energiacutea del agua viene dada por lasuma de la energiacutea potencial (elevacioacuten) la energiacutea de presioacuten y la energiacuteacineacutetica (velocidad)
g
V p
Z hw 2
2
Z = Elevacioacuten sobre un Datum arbitrario
P = Carga de Presioacuten
w
V2 = Carga de Velocidad
2g
En los suelos el flujo es laminar y como la velocidad es muy pequentildea se
considera que su valor tiende a cero por tanto la ecuacioacuten anterior puedeexpresarse como sigue
w
p Z h
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GRADIENTE HIDRAacuteULICO
Es la peacuterdida o disipacioacuten de altura hidraacuteulica por unidad de longitud medidaen la direccioacuten en que ocurre el flujo
i = Dh L
Dondei = Gradiente hidraacuteulico = DhL (adimensional)
Dh = Peacuterdida de carga
L = Longitud de recorrido del flujo
La ley de Darcy expresa la perdida
de carga Dh que se requiere paramover el agua a traveacutes del suelo unadistancia L con un gasto q es decir Dh = q L
k A
Siempre y cuando el flujo sea laminar que es el caso
corriente de los suelos a excepcioacuten de las gravas gruesas
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El valor Dh es la peacuterdida de energiacutea causada por la viscosidad la friccioacuten y los
efectos de inercia mientras el agua va circulando a traveacutes de los canales de losporos irregulares y rugosos
Cuando hay flujo las presiones de poros tienen un comportamiento diferentedebido a la presioacuten de filtracioacuten que se produce por la friccioacuten entre el agua en
movimiento y las paredes de los vaciacuteos del suelo
La presioacuten de poros en este caso seraacute la combinacioacuten de la presioacuten de poroshidrostaacutetica y la presioacuten de filtracioacuten tal como se presenta en la siguiente
expresioacuten
= Dh Df
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La presioacuten de filtracioacuten actuacutea en la misma direccioacuten y sentido del flujo del
agua y numeacutericamente es igual al producto de la perdida de carga hidraacuteulicapor el peso unitario del agua
Df = Dh w
El agua puede moverse en distintos sentidos y direcciones En esta parte del
tema se analizaraacute el comportamiento del suelo cuando el movimiento del agua seda en direccioacuten vertical
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FLUJO DESCENDENTE
Cuando el flujo es descendente las presiones de poros se calculan como ladiferencia entre las presiones de poros en condicioacuten hidrostaacutetica y la presioacuten defiltracioacuten
= Dh - Df
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Dh varia linealmente con el espesor del estrato de suelo lo cual puede serdemostrado de la siguiente manera
i = Dh Dh = i LL
Donde
Dh = Peacuterdida de carga
L = Espesor del Estrato i = Gradiente hidraacuteulico = Constante
Perdida de carga en L = 0 Dh(0) = i L = Dh 0 = 0H
Perdida de carga en L = H2 Dh(H2) = i L = Dh H = Dh
H 2 2
Perdida de carga en L = H Dh(H) = i L = Dh H = DhH
Quedando demostrado que la variacioacuten es lineal y se puede expresar la presioacutende filtracioacuten en funcioacuten del gradiente hidraacuteulico por medio de la siguienteexpresioacuten mencionada anteriormente
Df = Dh w = i L w
ldquoEl gradiente hidraacuteulico es la pendiente de las alturas piezometricas y la perdida de energiacutea uniforme es
debida a que el suelo se supone homogeacuteneo e isoacutetropordquo
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En cuanto a los esfuerzos efectivos tenemos
acute = - = Dh - Df
acute = - (Dh - Df ) = - Dh + Df
acuteh = - Dh acute = acuteh + Df
y
Lo cual evidencia que en flujo descendente los esfuerzos efectivos se incrementan en lamisma proporcioacuten que la presioacuten de filtracioacuten y el diagrama de esfuerzos totales presionesde poros y esfuerzos efectivos queda asi
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FLUJO ASCENDENTE
El flujo es ascendente cuando la altura piezomeacutetrica en el punto inferior es mayor
que en el punto superior Las presiones de poros en este caso se calculan como lasuma de las presiones de poros en condicioacuten hidrostaacutetica y la presioacuten de filtracioacuten
= Dh + Df
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En cuanto a los esfuerzos efectivos tenemos
acute = - = Dh + Df
acute = - (Dh + Df ) = - Dh - Df
acuteh = - Dh acute = acuteh - Df
y
Lo cual indica que para flujo ascendente los esfuerzos efectivos disminuyen en igualproporcioacuten que la presioacuten de filtracioacuten y el diagrama de esfuerzos totales presiones deporos y esfuerzos efectivos queda asi
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iquestQue tiende a ocurrir cuando el flujo es Ascendente
Cuando el flujo es ascendente la friccioacuten entre el agua y las paredes de los vaciacuteostiende a levantar los granos de suelo El valor de la presioacuten de filtracioacuten puedecrecer tanto que los esfuerzos efectivos se hacen cero
La resistencia al corte de un suelo granular esdirectamente proporcional a los esfuerzosefectivos por lo que cuando estos se igualan acero el suelo pierde su resistencia al corte y seproduce lo que se conoce como ebullicioacuten delsuelo granular Este fenoacutemeno de ebullicioacuten estaacutelimitado a los suelos sin cohesioacuten y se conoce
con el nombre de Licuefaccioacuten acute
= acute h -
Δf
Fenoacutemeno tiacutepico de suelos granulares cuando pierden resistencia al corte y se
produce una separacioacuten entre las partiacuteculas que hace acute = 0
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En estos casos en que los esfuerzos efectivos se hacen cero la presioacuten de
filtracioacuten se iguala al peso del suelo
H acute ndash Dh w 0
H acute = Dh w
Dh = acute H w
Como Dh = i
H
ic = acute
w
ic seraacute el Gradiente Hidraacuteulico Criacutetico y lo definiremos como el gradiente alcual se produce la ebullicioacuten del suelo
acute = 0 acute h - Δf = 0
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En funcioacuten de la Gravedad Especiacutefica de los Solidos (Gs) y la Relacioacuten de Vaciacuteos (e)desarrollaremos una expresioacuten para el ic
ic = acute
w
Las relaciones de vaciacuteos de la gran mayoriacutea de las arenas estaacuten comprendidasentre 03 y 12 Por otro lado la gravedad especiacutefica de estos suelos oscila entre265 y 270 Si se aplica la formula en esos intervalos se tiene que
acute = sat - w sat = Gs + e w 1+e
acute = Gs + e w ndash w = w Gs + e - 1
1+e 1+e
ic = Gs - 1
1+e
Para e = 03 Gs = 265 ic = 127Gs = 270 ic = 131
Para e = 12 Gs = 265 ic = 075
Gs = 270 ic = 077ldquoSeguacuten estos resultados en un deposito de arena para cualquier Gs practico se pueden encontrar valores de ic entre
075 y 131 De modo que es importante resaltar que los valores de gradiente hidraacuteulico critico en arenas estaacuten cercanos
a la unidad rdquo
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Como se produce la licuefaccioacuten con las sacudidas
siacutesmicas fuertes
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Edificios de estructura de hormigoacuten armado concerramientos y particiones interiores de faacutebrica dantildeados por elterremoto de Nigata Japoacuten 16 de Junio de 1964 magnitudRichter 75
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Ejercicio Bajo las condiciones indicadas en la figura se pide calcular los
esfuerzos totales neutrales y efectivos en las fronteras de los estratos
L
2L
2L
γw
γsat K1
γsat K2
L
K2= 2K1
1
2
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Ejercicio En el perfil estratificado indicado determine las presiones totales
neutrales y efectivas en las fronteras indicadas ademaacutes calcule el factor de
seguridad a la licuefaccioacuten donde sea necesario
L
L
2L
3L
09L
γsat1 γh1 k1
Satcap
γsat2 k2
γsat3 k3
1
2
3
γsat1= 15 γw =12 γh1
γsat2= 17 γw
γsat3= 19 γwk2= 2k1k3= 6k1
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LEVANTAMIENTO DE UN ESTRATO DE ARCILLA
Las fuerzas de filtracioacuten afectan no solamente a los suelos sincohesioacuten sino tambieacuten a los suelos cohesivos soacutelo que lo hacen demodo distinto porque en suelos arcillosos la cohesioacuten existente entrelas partiacuteculas las mantiene unidas de modo tal que se levanta toda la
masa de suelo y no partiacuteculas individuales como en los suelosgranulares
A modo de explicar el comportamiento de los suelos cohesivospondremos el siguiente caso
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LEVANTAMIENTO DE UN ESTRATO DE ARCILLA
Se tienen dos estratos de suelo diferente un suelo cohesivo que descansa sobre unmaterial muy permeable o suelo sin cohesioacuten Se necesita realizar una excavacioacutenen el estrato cohesivo para lo cual se debe determinar la profundidad a excavar yel espesor del estrato luego de realizada la excavacioacuten (tc) de tal manera queresulte seguro al levantamiento
Para realizar la excavacioacuten
se colocan dos tablestacas enel suelo y se procede luego aabatir el nivel del agua pormedio de bombeo tratando demantenerla seca
Por otra parte se desprecianlas fuerzas de friccioacuten que seoriginan cuando se hinca latablestaca
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LEVANTAMIENTO DE UN ESTRATO DE ARCILLA
Observemos que las fuerzas verticales actuantes son el peso del suelo y la presioacutende poros que tienden a levantar el fondo de la excavacioacuten puesto que el flujo es
ascendente El nivel piezomeacutetrico en la superficie del estrato sin cohesioacuten es mayorque el nivel piezomeacutetrico en el fondo de la excavacioacuten por lo que el agua tiende asubir pero como la permeabilidad del estrato de arcilla es tan baja esto resultamuy difiacutecil y se generan presiones en el fondo del rectaacutengulo
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El suelo estaacute saturado por tanto para calcular su peso se usa el peso unitario saturadoentonces
Peso del Suelo = tc sat
Haciendo equilibrio de fuerzas verticales
La presioacuten de poros es la suma de la presioacuten hidrostaacutetica y la de filtracioacuten
= Dh + Df = tc w + Dh w = ( tc + Dh ) w
sumFv = 0 Peso del Suelo - = 0
tc sat = ( tc + Dh ) w
tc sat = tc w + Dh w
tc ( sat - w ) = Dh w tc = Dh w = Df
( sat - w ) acute
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El espesor tc es el espesor criacutetico de la excavacioacuten es decir es el espesor miacutenimo
para el cual la excavacioacuten es segura
Por lo tanto
En espesores lt de tc se produce el levantamiento del fondo de la excavacioacuten
En espesores gt de tc la excavacioacuten es estable
Este fenoacutemeno puede darse tambieacuten parcialmente socavacioacuten
cuando se forman tuacuteneles o cavernas por arrastre de finos que generaninestabilidad y lo que puede ser maacutes grave el colapso del suelo
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EJERCICIOSe pretende realizar una excavacioacuten en un estrato de arcilla de 10 mts de espesor
que descansa sobre un estrato de arena Se pide
a) Calcular la profundidad maacutexima de excavacioacuten sin que se produzca
inestabilidad o levantamiento del fondob) iquestQueacute profundidad de agua libre debe bombearse a modo de poder llevar la
excavacioacuten hasta 8 mts de profundidad
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10m
1m
9m
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10m
1m
9m N
K
habat
N
K
Dh
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FLUJO EN MEDIOS POROSOS
El agua puede fluir a traveacutes de la masa de suelo en cualquier estado
en que este se encuentre aun y cuando el este muy compactado el
agua puede fluir a traveacutes de la masa de suelo ya que los poros estaacuten
interconectados entre si permitiendo el flujo de agua en ese medioporoso movieacutendose esta a lo largo de caminos ondulantes y rugosos
que existen entre un poro y otro lo cual genera peacuterdidas de energiacutea o
carga piezomeacutetrica originadas por la friccioacuten al igual que ocurre
cuando el flujo de agua es por tuberiacuteas o por canales abiertos
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Hasta ahora el estudio del flujo en medios porosos se ha limitado alcaso unidimensional (flujo ascendente y descendente) en el que losparaacutemetros del fluido tales como presioacuten velocidad temperaturaetc son constantes en cualquier seccioacuten transversal que seaperpendicular a la direccioacuten del flujo
En esta parte del tema se estudiaraacute el flujo del agua en tresdimensiones que es el caso maacutes general para lo cual se trabajaraacute conla ecuacioacuten fundamental de flujo Posteriormente se realizansimplificaciones debido a que el anaacutelisis tridimensional de los
problemas de filtracioacuten resulta muy complejo y se trabaja conmeacutetodos aproximados que permiten su resolucioacuten en dosdimensiones
Oacute
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ECUACIOacuteN FUNDAMENTAL DE FLUJO
HIPOTESIS
Dominio Saturado
La Presioacuten y la Velocidad son funcioacuten uacutenicamente de la posicioacuten
El esqueleto mineral del suelo es perfectamente riacutegido
z
y
x x y z
dz
dy
dx
Componente vertical del flujo
Base teoacuterica de la Red de Flujo y para otros
meacutetodos de resolucioacuten de problemas de filtracioacuten
Elemento cuacutebico de suelo a traveacutes del cual se
produce flujo laminar q con componenetes x y z
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z y x qqqq
dydxdz z
VzVzdzdxdy
y
VyVydzdydx
x
VxVxdydxVzdzdxVydzdyVx
Igualamos
dydxdz z
VzVzdzdxdy y
VyVydzdydx x
VxVxq
dydxVzdzdxVydzdyVxq
saliente
entrante
Por continuidad qentrante = qsaliente
Simplificamos y llegamos a la ecuacioacuten de Continuidad 0
z
Vz
y
Vy
x
Vx
Aplicamos Ley de Darcy (V = -ki = -k h L) 02
2
2
2
2
2
z
hkz
y
hky
x
hkx
Asumimos el suelo Isotroacutepico (kx = ky = kz) h z
h
y
h
x
h 2
2
2
2
2
2
2
0
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
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La ecuacioacuten de Laplace describe matemaacuteticamente el flujo de aguaen la regioacuten considerada
Expresa la suma de la variacioacuten de los gradientes hidraacuteulicos en lasdirecciones X Y y Z es Nula
h z
h
y
h
x
h 2
2
2
2
2
2
2
0
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
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SOLUCIOacuteN DE LA ECUACIOacuteN DE LAPLACE EN 2 DIMENSIONES
FUNCIOacuteN POTENCIAL DE LA VELOCIDAD =
( x y) = constante = -kh + c Es dependiente del potencial hidraacuteulico y su variacioacuten genera velocidad en
el agua
Derivando con respecto a X y a Y
x
hk
x
y
hk
y
x
hk Vx
y
hk Vy Entonces Vx
x
Vy
y
Resolvemos derivando con respecto a X y a Y y aplicamos la ecuacioacuten de Continuidad
2
2
2
2
2
0 y x
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satisface la ecuacioacuten de Laplace siendo la solucioacuten de la mismaen dos dimensiones
define para cada valor de esa constante una linea continua cuyospuntos tiene igual potencial hidraacuteulico h y son denominadasldquoLineas Equipotencialesrdquo
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
2
2
2
2
2
0 y x
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FUNCIOacuteN DE FLUJO =
( x y) = constante
Entonces
Resolvemos derivando con respecto a X y a Y y aplicamos la ecuacioacuten de Continuidad
0 D
D
y
y x
x
Dx
Dy
Vy
Vx
Por continuidad qentrante = qsaliente
0 DD yVx xVy yVy
Vx x DD Asumiendo Vx
x
Vy
y
2
2
2
2
2
0 y x
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cumple con la ecuacioacuten de Laplace por lo tanto es una solucioacuten ala misma en dos dimensiones
define para cada valor de la constante una linea continua querepresenta la trayectoria de agua Se denominan ldquoLineas de Flujordquo oacuteldquoLineas de Corrienterdquo
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
2
2
2
2
2
0 y x
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RELACIOacuteN ENTRE LAS LINEAS EQUIPOTENCIALES YLINEAS DE FLUJO O DE CORRIENTE
Considerando las derivadas totales a lo largo de cada una de las curvas
y
x
x
y
x
y
x
y
Pendientes Reciacuteprocas y de signo contario lo cual escondicioacuten de Ortogonalidad y son Ortogonales encada punto de interseccioacuten
REDES DE FLUJO
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REDES DE FLUJO
La red de flujo es la solucioacuten graacutefica la ecuacioacuten de Laplace en 2 dimensiones
Desafortunadamente la ecuacioacuten de Laplace es matemaacuteticamente integrable solo encondiciones de frontera muy simples por lo que en la praacutectica es necesario emplearotros meacutetodos diferentes de la integracioacuten para obtener la red de flujo Uno de esosmeacutetodos es el procedimiento graacutefico de Forcheimer que resulta ser muy simple deaplicar cualquiera sea el problema de flujo uniforme en dos dimensiones
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El espacio entre cualquier par de liacuteneas de flujo consecutivas es un canal de flujoen el trazado de la red se debe seleccionar un cierto nuacutemero de canales de flujo
Nf tal que el gasto de infiltracioacuten a traveacutes de cada canal sea el mismoDq = q Nf
La peacuterdida de carga entre cualquier par de liacuteneas equipotenciales consecutivas es lamisma e igual a Dh Donde Dhacute = Dh Nd (Dh es la peacuterdida de carga total y Nd elnuacutemero de caiacutedas de potencial)
El ancho del canal es a y la distancia entre las caiacutedas equipotenciales es b paracualquier elemento considerado
El gasto que circula por cualquier elemento es Dq = k i A
El gradiente hidraacuteulico del elemento es i = Dhacute b = ( Dh Nd ) bEntoces Dq = k ( ( Dh Nd ) b ) a L donde L es el ancho de la red en la tercera dimensioacuten
REDES DE FLUJO
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REDES DE FLUJO
Como Dq = q Nf entonces q = Dq Nf = k ( ( Dh Nd ) b ) a L Nf
La razoacuten a b esta fijada por la razoacuten Nf Nd y es la misma a traveacutes de toda la redNf y Nd deben seleccionarse de modo que a = b y a b = 1 Con lo que laecuacioacuten de gasto se transforma en
Reordenando q = k Dh ( Nf Nd ) (a b ) L
q = k Dh ( Nf Nd ) L
Aacute
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1) Hacer un dibujo a escala que muestre la masa de suelo los liacutemites permeables a
traveacutes de los cuales entra y sale el agua del suelo y las fronteras impermeables que
confinan o limitan el flujo
2) Dibujar de dos a cuatro liacuteneas de flujo que formen aacutengulos rectos con los liacutemitespermeables a la entrada y a la salida y que sean aproximadamente paralelas a losliacutemites impermeables
3) Dibujar liacuteneas equipotenciales que formen aacutengulos rectos con las liacuteneas de flujo demanera que el ancho y el largo promedio del cuadrado curviliacuteneo que forman seaniguales (a=b) Desde luego esto es imposible de lograr en el primer tanteo porquelas posiciones de las liacuteneas de flujo son supuestas pero esta primera red serviraacute deguiacutea para un segundo tanteo
4) Se reajustan las liacuteneas de flujo y las liacuteneas equipotenciales hasta que todas lasintersecciones sean en aacutengulo recto y el largo y ancho de cada cuadrado seaniguales Los tamantildeos de los cuadrados pueden ser distintos pero la relacioacuten ab = 1debe mantenerse
REGLAS PRAacuteCTICAS PARA ELABORAR REDES DE FLUJO
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El logro de una solucioacuten exacta requiere de muchos tanteos y
algunos problemas no admiten en su solucioacuten un nuacutemeroexacto de canales yo de caiacutedas equipotenciales en estos casosdebe intentarse con un nuacutemero de canales yo caiacutedasequipotenciales fraccionario (media caiacuteda o medio canal porejemplo)
Al lograr trazar la red de flujo de cuadrados curviliacuteneossatisfaciendo las condiciones de frontera del problema seobtendraacute la solucioacuten graacutefica de este problema para las
condiciones de frontera del problema se obtendraacute la solucioacutengraacutefica de este para las condiciones hidrodinaacutemicasestablecidas por la ecuacioacuten de Laplace
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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J g j
6 0
0 m
BA
I II III IV V VI VII
C
D
6 0
0 m
6 0
0 m
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
1) Altura piezometrica en A
2) Esfuerzo efectivo en B
3) Gradiente hidraacuteulico velocidades de descarga y de filtracioacuten
en C
4) Presiones hidraacuteulicas sobre el tablestacado5) Gradiente hidraacuteulico de salida y factor de seguridad contra la
arena movediza (licuefaccioacuten)
6) Factor de seguridad a la Tubificacioacuten
7) Presiones hidraacuteulicas sobre el fondo impermeable
8) Presioacuten de filtracioacuten en D
9) Caudal de Filtracioacuten bajo la presa sabiendo que L= 50 m
0m 3m 5m 10m
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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J g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
γconc= 235 Tm3
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
γconc= 235 Tm3
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg γsat= 218 Tm3 γconc= 235 Tm3
LINEA SUPERFICIAL DE FLUJO
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LINEA SUPERFICIAL DE FLUJO
En algunos casos un liacutemite de las liacuteneas de flujo puede ser una superficie de agualibre o superficie de saturacioacuten que no estaacute determinada por ninguna masa soacutelida
impermeable
Tal es el caso de las presas de tierra cuyo problema de flujo presenta caracteriacutesticasespeciales y por lo tanto se requiere del uso de meacutetodos tambieacuten especiales paralograr el trazado de la red de flujo
a
b
c
Equipotencial
Liacutenea de Flujo
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En la figura se presenta una presa de tierra de un material heterogeacuteneo eacute isoacutetropo La liacutenea 1-2 es una liacutenea equipotencial puesto que es el contacto entre el suelo permeable y el agua La liacutenea1-3 es un contacto entre la frontera impermeable y el material permeable por lo tanto es unaliacutenea de flujo Entre los puntos 2 y 4 existe una frontera del flujo donde por debajo de ella elsuelo estaacute saturado y por encima no lo estaacute Ahora bien esta liacutenea que limita la zona de flujodentro de la presa recibe el nombre de liacutenea superficial de flujo o liacutenea de saturacioacuten Suforma se desconoce a priori y tambieacuten la posicioacuten del punto 4 ambos deben ser determinados almenos aproximadamente para poder trazar la red de flujo
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La liacutenea de saturacioacuten ademaacutes de ser una liacutenea de flujo es tambieacuten una liacutenea de
equipresioacuten en la que todos los puntos tienen la misma presioacuten cero Por lo tantoel potencial hidraacuteulico depende de la carga de elevacioacuten uacutenicamente y las liacuteneasequipotenciales la cortaran a intervalos verticales iguales entre si
Condiciones Generales de Entrada
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Condiciones Generales de Entrada
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Condiciones Generales de Salida
Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
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Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
Caso 1 a2 lt 30deg En este caso es posible calcular la superficie humedecida a (distancia 4 - 3) pormedio de la siguiente expresioacuten
2
2
2
2
2
2
2coscos a a a sen
hd d a
d = L - M + O3M
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Luego de dibujar la presa de tierra a escala se sentildeala en ella la superficie humedecida aguas
abajo a calculada por la foacutermula anterior El siguiente paso consiste en el trazado de laliacutenea de saturacioacuten usando el meacutetodo graacutefico aproximado de la paraacutebola baacutesica de Kozenycuyo procedimiento se describe a continuacioacuten
1 Ubicar el punto 2 en la liacutenea freaacutetica a una distancia de 03M medida desde la cara deltalud aguas arriba La cara aguas abajo del talud es tangente a la paraacutebola en el punto 4
2 Prolongar la liacutenea en el talud aguas arriba de la presa Trazar una horizontal por el punto2 hasta cortar la cara del talud aguas abajo El punto de interseccioacuten es 5
3 Dividir 4 -5 Y 5 - 2 en el mismo nuacutemero de partes iguales no maacutes de 4 o 5 y marcarestos puntos (en 2- 5 se parte de 5 numerando con letras A -B etc en 4 - 5 se parte de 4numerando A-B-C etc)
4 Trazar por 4 - 5 liacuteneas horizontales en los puntos marcados
5 Unir cada uno de los puntos marcados en la horizontal 2- 5 con el punto 46 Trazar la liacutenea freaacutetica por los puntos obtenidos 7 Como la liacutenea freaacutetica parte perpendicular a la cara del talud aguas arriba este ajuste
debe realizarse manualmente
=gt M = htg ald =L - O7M
Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
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Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
Caso 2 a2 gt 30deg En este caso el procedimiento a seguir es
d d hP 22
1 La paraacutebola tiene su origen a una distancia P del veacutertice del talud aguas abajo de lapresa es decir este veacutertice es su foco y es tangente a la vertical que pasa por elpunto P
P se calcula por medio de la siguiente expresioacuten
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2 Trazar la paraacutebola baacutesica de Kozeny En este caso la tangente al origen es una liacuteneavertical
3 La distancia desde el punto 4 hasta la interseccioacuten de la paraacutebola con el talud aguasabajo es a + Da y no es realmente el punto por donde sale el agua en el talud porlo tanto se debe realizar una correccioacuten y encontrar a Casagrande encontroacute que larelacioacuten es un escalar que puede ser llamado a y que se relaciona
con el angulo a2 seguacuten se muestra en la siguiente tabla
a
a
D
D
a a2 ( deg ) aacute
30 0375
60 0320
90 0260
120 0185
150 0105
180 0
Los valores entre estos aacutengulos pueden interpolarse
y midiendo a + Da se calcula a usando la tablaDa = aacute ( a + Da ) y a = ( a + Da ) - Da
Finalmente se trazan manualmente la entraday la salida de la liacutenea de saturacioacuten
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EJERCICIO Determine la Linea Superficial de Flujo de la presa de tierra que se presentaa continuacioacuten
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a continuacioacuten
EJERCICIO Determine la Linea Superficial de Flujo de la presa de tierra que se presentaa continuacioacuten
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2
1
a continuacioacuten
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
g
La teoriacutea de la seccioacuten transformada permite reducir al caso de un suelo homogeacuteneo e isoacutetropo un suelo en el que la permeabilidad para el flujo en la direccioacuten horizontal ( kx) y la que tenga para el flujo en la direccioacuten vertical ( ky ) sean diferentes ( kx ne Ky )(por lo general Kx en muchas veces mayor que ky )
La teoriacutea de la seccioacuten transformada es un simple artificio de calculo que se logra por una simple transformacioacuten de coordenadas y que modifica sobre el papel las dimensiones de la zona de flujo en estudio en un suelo isotropico hidraacuteulicamente equivalente
Dos tipos de transformaciones se pueden aplicar a) Haciendo
Y Ky
Kx
Y acute
Se modifican las dimensiones verticales permaneciendo constantes las horizontales
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
g
b) Haciendo
X Kx
Ky X acute
Se modifican las dimensiones Horizontales permaneciendo constantes las Verticales
En la seccioacuten transformada homogeacutenea e isoacutetropa la permeabilidad equivalente viene dada por
kykxk
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
kykxk
X Kx
Ky X acute
2 0 0 0
0 0
kx
ky
k
2 8 2 0 0
0
h
141h
500000
b352463
071b
k
Y Ky
KxY acute
kykx 2
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Si en dos puntos diferentes de una misma masa continua de agua haycantidades diferentes de energiacutea es decir no se alcanza el mismonivel piezomeacutetrico se produciraacute un movimiento de las partiacuteculas deagua hacia los puntos de menos energiacutea para tratar de equilibrar la
diferencia y la diferencia de carga se gasta en el trabajo de mover elagua Se presentan en estos graacuteficos algunos casos de flujo de agua endiferentes direcciones y sentidos
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h es la altura que asciende el agua en un pequentildeo tubo con respecto a un planode referencia arbitrario Esta altura es conocida como carga piezomeacutetrica y es
una medida de la energiacutea que tiene el agua La energiacutea del agua viene dada por lasuma de la energiacutea potencial (elevacioacuten) la energiacutea de presioacuten y la energiacuteacineacutetica (velocidad)
g
V p
Z hw 2
2
Z = Elevacioacuten sobre un Datum arbitrario
P = Carga de Presioacuten
w
V2 = Carga de Velocidad
2g
En los suelos el flujo es laminar y como la velocidad es muy pequentildea se
considera que su valor tiende a cero por tanto la ecuacioacuten anterior puedeexpresarse como sigue
w
p Z h
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GRADIENTE HIDRAacuteULICO
Es la peacuterdida o disipacioacuten de altura hidraacuteulica por unidad de longitud medidaen la direccioacuten en que ocurre el flujo
i = Dh L
Dondei = Gradiente hidraacuteulico = DhL (adimensional)
Dh = Peacuterdida de carga
L = Longitud de recorrido del flujo
La ley de Darcy expresa la perdida
de carga Dh que se requiere paramover el agua a traveacutes del suelo unadistancia L con un gasto q es decir Dh = q L
k A
Siempre y cuando el flujo sea laminar que es el caso
corriente de los suelos a excepcioacuten de las gravas gruesas
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El valor Dh es la peacuterdida de energiacutea causada por la viscosidad la friccioacuten y los
efectos de inercia mientras el agua va circulando a traveacutes de los canales de losporos irregulares y rugosos
Cuando hay flujo las presiones de poros tienen un comportamiento diferentedebido a la presioacuten de filtracioacuten que se produce por la friccioacuten entre el agua en
movimiento y las paredes de los vaciacuteos del suelo
La presioacuten de poros en este caso seraacute la combinacioacuten de la presioacuten de poroshidrostaacutetica y la presioacuten de filtracioacuten tal como se presenta en la siguiente
expresioacuten
= Dh Df
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La presioacuten de filtracioacuten actuacutea en la misma direccioacuten y sentido del flujo del
agua y numeacutericamente es igual al producto de la perdida de carga hidraacuteulicapor el peso unitario del agua
Df = Dh w
El agua puede moverse en distintos sentidos y direcciones En esta parte del
tema se analizaraacute el comportamiento del suelo cuando el movimiento del agua seda en direccioacuten vertical
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FLUJO DESCENDENTE
Cuando el flujo es descendente las presiones de poros se calculan como ladiferencia entre las presiones de poros en condicioacuten hidrostaacutetica y la presioacuten defiltracioacuten
= Dh - Df
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Dh varia linealmente con el espesor del estrato de suelo lo cual puede serdemostrado de la siguiente manera
i = Dh Dh = i LL
Donde
Dh = Peacuterdida de carga
L = Espesor del Estrato i = Gradiente hidraacuteulico = Constante
Perdida de carga en L = 0 Dh(0) = i L = Dh 0 = 0H
Perdida de carga en L = H2 Dh(H2) = i L = Dh H = Dh
H 2 2
Perdida de carga en L = H Dh(H) = i L = Dh H = DhH
Quedando demostrado que la variacioacuten es lineal y se puede expresar la presioacutende filtracioacuten en funcioacuten del gradiente hidraacuteulico por medio de la siguienteexpresioacuten mencionada anteriormente
Df = Dh w = i L w
ldquoEl gradiente hidraacuteulico es la pendiente de las alturas piezometricas y la perdida de energiacutea uniforme es
debida a que el suelo se supone homogeacuteneo e isoacutetropordquo
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En cuanto a los esfuerzos efectivos tenemos
acute = - = Dh - Df
acute = - (Dh - Df ) = - Dh + Df
acuteh = - Dh acute = acuteh + Df
y
Lo cual evidencia que en flujo descendente los esfuerzos efectivos se incrementan en lamisma proporcioacuten que la presioacuten de filtracioacuten y el diagrama de esfuerzos totales presionesde poros y esfuerzos efectivos queda asi
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FLUJO ASCENDENTE
El flujo es ascendente cuando la altura piezomeacutetrica en el punto inferior es mayor
que en el punto superior Las presiones de poros en este caso se calculan como lasuma de las presiones de poros en condicioacuten hidrostaacutetica y la presioacuten de filtracioacuten
= Dh + Df
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En cuanto a los esfuerzos efectivos tenemos
acute = - = Dh + Df
acute = - (Dh + Df ) = - Dh - Df
acuteh = - Dh acute = acuteh - Df
y
Lo cual indica que para flujo ascendente los esfuerzos efectivos disminuyen en igualproporcioacuten que la presioacuten de filtracioacuten y el diagrama de esfuerzos totales presiones deporos y esfuerzos efectivos queda asi
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iquestQue tiende a ocurrir cuando el flujo es Ascendente
Cuando el flujo es ascendente la friccioacuten entre el agua y las paredes de los vaciacuteostiende a levantar los granos de suelo El valor de la presioacuten de filtracioacuten puedecrecer tanto que los esfuerzos efectivos se hacen cero
La resistencia al corte de un suelo granular esdirectamente proporcional a los esfuerzosefectivos por lo que cuando estos se igualan acero el suelo pierde su resistencia al corte y seproduce lo que se conoce como ebullicioacuten delsuelo granular Este fenoacutemeno de ebullicioacuten estaacutelimitado a los suelos sin cohesioacuten y se conoce
con el nombre de Licuefaccioacuten acute
= acute h -
Δf
Fenoacutemeno tiacutepico de suelos granulares cuando pierden resistencia al corte y se
produce una separacioacuten entre las partiacuteculas que hace acute = 0
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En estos casos en que los esfuerzos efectivos se hacen cero la presioacuten de
filtracioacuten se iguala al peso del suelo
H acute ndash Dh w 0
H acute = Dh w
Dh = acute H w
Como Dh = i
H
ic = acute
w
ic seraacute el Gradiente Hidraacuteulico Criacutetico y lo definiremos como el gradiente alcual se produce la ebullicioacuten del suelo
acute = 0 acute h - Δf = 0
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En funcioacuten de la Gravedad Especiacutefica de los Solidos (Gs) y la Relacioacuten de Vaciacuteos (e)desarrollaremos una expresioacuten para el ic
ic = acute
w
Las relaciones de vaciacuteos de la gran mayoriacutea de las arenas estaacuten comprendidasentre 03 y 12 Por otro lado la gravedad especiacutefica de estos suelos oscila entre265 y 270 Si se aplica la formula en esos intervalos se tiene que
acute = sat - w sat = Gs + e w 1+e
acute = Gs + e w ndash w = w Gs + e - 1
1+e 1+e
ic = Gs - 1
1+e
Para e = 03 Gs = 265 ic = 127Gs = 270 ic = 131
Para e = 12 Gs = 265 ic = 075
Gs = 270 ic = 077ldquoSeguacuten estos resultados en un deposito de arena para cualquier Gs practico se pueden encontrar valores de ic entre
075 y 131 De modo que es importante resaltar que los valores de gradiente hidraacuteulico critico en arenas estaacuten cercanos
a la unidad rdquo
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Como se produce la licuefaccioacuten con las sacudidas
siacutesmicas fuertes
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Edificios de estructura de hormigoacuten armado concerramientos y particiones interiores de faacutebrica dantildeados por elterremoto de Nigata Japoacuten 16 de Junio de 1964 magnitudRichter 75
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Ejercicio Bajo las condiciones indicadas en la figura se pide calcular los
esfuerzos totales neutrales y efectivos en las fronteras de los estratos
L
2L
2L
γw
γsat K1
γsat K2
L
K2= 2K1
1
2
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Ejercicio En el perfil estratificado indicado determine las presiones totales
neutrales y efectivas en las fronteras indicadas ademaacutes calcule el factor de
seguridad a la licuefaccioacuten donde sea necesario
L
L
2L
3L
09L
γsat1 γh1 k1
Satcap
γsat2 k2
γsat3 k3
1
2
3
γsat1= 15 γw =12 γh1
γsat2= 17 γw
γsat3= 19 γwk2= 2k1k3= 6k1
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LEVANTAMIENTO DE UN ESTRATO DE ARCILLA
Las fuerzas de filtracioacuten afectan no solamente a los suelos sincohesioacuten sino tambieacuten a los suelos cohesivos soacutelo que lo hacen demodo distinto porque en suelos arcillosos la cohesioacuten existente entrelas partiacuteculas las mantiene unidas de modo tal que se levanta toda la
masa de suelo y no partiacuteculas individuales como en los suelosgranulares
A modo de explicar el comportamiento de los suelos cohesivospondremos el siguiente caso
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LEVANTAMIENTO DE UN ESTRATO DE ARCILLA
Se tienen dos estratos de suelo diferente un suelo cohesivo que descansa sobre unmaterial muy permeable o suelo sin cohesioacuten Se necesita realizar una excavacioacutenen el estrato cohesivo para lo cual se debe determinar la profundidad a excavar yel espesor del estrato luego de realizada la excavacioacuten (tc) de tal manera queresulte seguro al levantamiento
Para realizar la excavacioacuten
se colocan dos tablestacas enel suelo y se procede luego aabatir el nivel del agua pormedio de bombeo tratando demantenerla seca
Por otra parte se desprecianlas fuerzas de friccioacuten que seoriginan cuando se hinca latablestaca
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LEVANTAMIENTO DE UN ESTRATO DE ARCILLA
Observemos que las fuerzas verticales actuantes son el peso del suelo y la presioacutende poros que tienden a levantar el fondo de la excavacioacuten puesto que el flujo es
ascendente El nivel piezomeacutetrico en la superficie del estrato sin cohesioacuten es mayorque el nivel piezomeacutetrico en el fondo de la excavacioacuten por lo que el agua tiende asubir pero como la permeabilidad del estrato de arcilla es tan baja esto resultamuy difiacutecil y se generan presiones en el fondo del rectaacutengulo
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El suelo estaacute saturado por tanto para calcular su peso se usa el peso unitario saturadoentonces
Peso del Suelo = tc sat
Haciendo equilibrio de fuerzas verticales
La presioacuten de poros es la suma de la presioacuten hidrostaacutetica y la de filtracioacuten
= Dh + Df = tc w + Dh w = ( tc + Dh ) w
sumFv = 0 Peso del Suelo - = 0
tc sat = ( tc + Dh ) w
tc sat = tc w + Dh w
tc ( sat - w ) = Dh w tc = Dh w = Df
( sat - w ) acute
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El espesor tc es el espesor criacutetico de la excavacioacuten es decir es el espesor miacutenimo
para el cual la excavacioacuten es segura
Por lo tanto
En espesores lt de tc se produce el levantamiento del fondo de la excavacioacuten
En espesores gt de tc la excavacioacuten es estable
Este fenoacutemeno puede darse tambieacuten parcialmente socavacioacuten
cuando se forman tuacuteneles o cavernas por arrastre de finos que generaninestabilidad y lo que puede ser maacutes grave el colapso del suelo
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EJERCICIOSe pretende realizar una excavacioacuten en un estrato de arcilla de 10 mts de espesor
que descansa sobre un estrato de arena Se pide
a) Calcular la profundidad maacutexima de excavacioacuten sin que se produzca
inestabilidad o levantamiento del fondob) iquestQueacute profundidad de agua libre debe bombearse a modo de poder llevar la
excavacioacuten hasta 8 mts de profundidad
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10m
1m
9m
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10m
1m
9m N
K
habat
N
K
Dh
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FLUJO EN MEDIOS POROSOS
El agua puede fluir a traveacutes de la masa de suelo en cualquier estado
en que este se encuentre aun y cuando el este muy compactado el
agua puede fluir a traveacutes de la masa de suelo ya que los poros estaacuten
interconectados entre si permitiendo el flujo de agua en ese medioporoso movieacutendose esta a lo largo de caminos ondulantes y rugosos
que existen entre un poro y otro lo cual genera peacuterdidas de energiacutea o
carga piezomeacutetrica originadas por la friccioacuten al igual que ocurre
cuando el flujo de agua es por tuberiacuteas o por canales abiertos
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Hasta ahora el estudio del flujo en medios porosos se ha limitado alcaso unidimensional (flujo ascendente y descendente) en el que losparaacutemetros del fluido tales como presioacuten velocidad temperaturaetc son constantes en cualquier seccioacuten transversal que seaperpendicular a la direccioacuten del flujo
En esta parte del tema se estudiaraacute el flujo del agua en tresdimensiones que es el caso maacutes general para lo cual se trabajaraacute conla ecuacioacuten fundamental de flujo Posteriormente se realizansimplificaciones debido a que el anaacutelisis tridimensional de los
problemas de filtracioacuten resulta muy complejo y se trabaja conmeacutetodos aproximados que permiten su resolucioacuten en dosdimensiones
Oacute
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ECUACIOacuteN FUNDAMENTAL DE FLUJO
HIPOTESIS
Dominio Saturado
La Presioacuten y la Velocidad son funcioacuten uacutenicamente de la posicioacuten
El esqueleto mineral del suelo es perfectamente riacutegido
z
y
x x y z
dz
dy
dx
Componente vertical del flujo
Base teoacuterica de la Red de Flujo y para otros
meacutetodos de resolucioacuten de problemas de filtracioacuten
Elemento cuacutebico de suelo a traveacutes del cual se
produce flujo laminar q con componenetes x y z
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z y x qqqq
dydxdz z
VzVzdzdxdy
y
VyVydzdydx
x
VxVxdydxVzdzdxVydzdyVx
Igualamos
dydxdz z
VzVzdzdxdy y
VyVydzdydx x
VxVxq
dydxVzdzdxVydzdyVxq
saliente
entrante
Por continuidad qentrante = qsaliente
Simplificamos y llegamos a la ecuacioacuten de Continuidad 0
z
Vz
y
Vy
x
Vx
Aplicamos Ley de Darcy (V = -ki = -k h L) 02
2
2
2
2
2
z
hkz
y
hky
x
hkx
Asumimos el suelo Isotroacutepico (kx = ky = kz) h z
h
y
h
x
h 2
2
2
2
2
2
2
0
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
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La ecuacioacuten de Laplace describe matemaacuteticamente el flujo de aguaen la regioacuten considerada
Expresa la suma de la variacioacuten de los gradientes hidraacuteulicos en lasdirecciones X Y y Z es Nula
h z
h
y
h
x
h 2
2
2
2
2
2
2
0
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
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SOLUCIOacuteN DE LA ECUACIOacuteN DE LAPLACE EN 2 DIMENSIONES
FUNCIOacuteN POTENCIAL DE LA VELOCIDAD =
( x y) = constante = -kh + c Es dependiente del potencial hidraacuteulico y su variacioacuten genera velocidad en
el agua
Derivando con respecto a X y a Y
x
hk
x
y
hk
y
x
hk Vx
y
hk Vy Entonces Vx
x
Vy
y
Resolvemos derivando con respecto a X y a Y y aplicamos la ecuacioacuten de Continuidad
2
2
2
2
2
0 y x
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satisface la ecuacioacuten de Laplace siendo la solucioacuten de la mismaen dos dimensiones
define para cada valor de esa constante una linea continua cuyospuntos tiene igual potencial hidraacuteulico h y son denominadasldquoLineas Equipotencialesrdquo
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
2
2
2
2
2
0 y x
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FUNCIOacuteN DE FLUJO =
( x y) = constante
Entonces
Resolvemos derivando con respecto a X y a Y y aplicamos la ecuacioacuten de Continuidad
0 D
D
y
y x
x
Dx
Dy
Vy
Vx
Por continuidad qentrante = qsaliente
0 DD yVx xVy yVy
Vx x DD Asumiendo Vx
x
Vy
y
2
2
2
2
2
0 y x
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cumple con la ecuacioacuten de Laplace por lo tanto es una solucioacuten ala misma en dos dimensiones
define para cada valor de la constante una linea continua querepresenta la trayectoria de agua Se denominan ldquoLineas de Flujordquo oacuteldquoLineas de Corrienterdquo
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
2
2
2
2
2
0 y x
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RELACIOacuteN ENTRE LAS LINEAS EQUIPOTENCIALES YLINEAS DE FLUJO O DE CORRIENTE
Considerando las derivadas totales a lo largo de cada una de las curvas
y
x
x
y
x
y
x
y
Pendientes Reciacuteprocas y de signo contario lo cual escondicioacuten de Ortogonalidad y son Ortogonales encada punto de interseccioacuten
REDES DE FLUJO
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REDES DE FLUJO
La red de flujo es la solucioacuten graacutefica la ecuacioacuten de Laplace en 2 dimensiones
Desafortunadamente la ecuacioacuten de Laplace es matemaacuteticamente integrable solo encondiciones de frontera muy simples por lo que en la praacutectica es necesario emplearotros meacutetodos diferentes de la integracioacuten para obtener la red de flujo Uno de esosmeacutetodos es el procedimiento graacutefico de Forcheimer que resulta ser muy simple deaplicar cualquiera sea el problema de flujo uniforme en dos dimensiones
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El espacio entre cualquier par de liacuteneas de flujo consecutivas es un canal de flujoen el trazado de la red se debe seleccionar un cierto nuacutemero de canales de flujo
Nf tal que el gasto de infiltracioacuten a traveacutes de cada canal sea el mismoDq = q Nf
La peacuterdida de carga entre cualquier par de liacuteneas equipotenciales consecutivas es lamisma e igual a Dh Donde Dhacute = Dh Nd (Dh es la peacuterdida de carga total y Nd elnuacutemero de caiacutedas de potencial)
El ancho del canal es a y la distancia entre las caiacutedas equipotenciales es b paracualquier elemento considerado
El gasto que circula por cualquier elemento es Dq = k i A
El gradiente hidraacuteulico del elemento es i = Dhacute b = ( Dh Nd ) bEntoces Dq = k ( ( Dh Nd ) b ) a L donde L es el ancho de la red en la tercera dimensioacuten
REDES DE FLUJO
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REDES DE FLUJO
Como Dq = q Nf entonces q = Dq Nf = k ( ( Dh Nd ) b ) a L Nf
La razoacuten a b esta fijada por la razoacuten Nf Nd y es la misma a traveacutes de toda la redNf y Nd deben seleccionarse de modo que a = b y a b = 1 Con lo que laecuacioacuten de gasto se transforma en
Reordenando q = k Dh ( Nf Nd ) (a b ) L
q = k Dh ( Nf Nd ) L
Aacute
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1) Hacer un dibujo a escala que muestre la masa de suelo los liacutemites permeables a
traveacutes de los cuales entra y sale el agua del suelo y las fronteras impermeables que
confinan o limitan el flujo
2) Dibujar de dos a cuatro liacuteneas de flujo que formen aacutengulos rectos con los liacutemitespermeables a la entrada y a la salida y que sean aproximadamente paralelas a losliacutemites impermeables
3) Dibujar liacuteneas equipotenciales que formen aacutengulos rectos con las liacuteneas de flujo demanera que el ancho y el largo promedio del cuadrado curviliacuteneo que forman seaniguales (a=b) Desde luego esto es imposible de lograr en el primer tanteo porquelas posiciones de las liacuteneas de flujo son supuestas pero esta primera red serviraacute deguiacutea para un segundo tanteo
4) Se reajustan las liacuteneas de flujo y las liacuteneas equipotenciales hasta que todas lasintersecciones sean en aacutengulo recto y el largo y ancho de cada cuadrado seaniguales Los tamantildeos de los cuadrados pueden ser distintos pero la relacioacuten ab = 1debe mantenerse
REGLAS PRAacuteCTICAS PARA ELABORAR REDES DE FLUJO
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El logro de una solucioacuten exacta requiere de muchos tanteos y
algunos problemas no admiten en su solucioacuten un nuacutemeroexacto de canales yo de caiacutedas equipotenciales en estos casosdebe intentarse con un nuacutemero de canales yo caiacutedasequipotenciales fraccionario (media caiacuteda o medio canal porejemplo)
Al lograr trazar la red de flujo de cuadrados curviliacuteneossatisfaciendo las condiciones de frontera del problema seobtendraacute la solucioacuten graacutefica de este problema para las
condiciones de frontera del problema se obtendraacute la solucioacutengraacutefica de este para las condiciones hidrodinaacutemicasestablecidas por la ecuacioacuten de Laplace
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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J g j
6 0
0 m
BA
I II III IV V VI VII
C
D
6 0
0 m
6 0
0 m
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
1) Altura piezometrica en A
2) Esfuerzo efectivo en B
3) Gradiente hidraacuteulico velocidades de descarga y de filtracioacuten
en C
4) Presiones hidraacuteulicas sobre el tablestacado5) Gradiente hidraacuteulico de salida y factor de seguridad contra la
arena movediza (licuefaccioacuten)
6) Factor de seguridad a la Tubificacioacuten
7) Presiones hidraacuteulicas sobre el fondo impermeable
8) Presioacuten de filtracioacuten en D
9) Caudal de Filtracioacuten bajo la presa sabiendo que L= 50 m
0m 3m 5m 10m
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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J g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
γconc= 235 Tm3
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
γconc= 235 Tm3
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg γsat= 218 Tm3 γconc= 235 Tm3
LINEA SUPERFICIAL DE FLUJO
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LINEA SUPERFICIAL DE FLUJO
En algunos casos un liacutemite de las liacuteneas de flujo puede ser una superficie de agualibre o superficie de saturacioacuten que no estaacute determinada por ninguna masa soacutelida
impermeable
Tal es el caso de las presas de tierra cuyo problema de flujo presenta caracteriacutesticasespeciales y por lo tanto se requiere del uso de meacutetodos tambieacuten especiales paralograr el trazado de la red de flujo
a
b
c
Equipotencial
Liacutenea de Flujo
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En la figura se presenta una presa de tierra de un material heterogeacuteneo eacute isoacutetropo La liacutenea 1-2 es una liacutenea equipotencial puesto que es el contacto entre el suelo permeable y el agua La liacutenea1-3 es un contacto entre la frontera impermeable y el material permeable por lo tanto es unaliacutenea de flujo Entre los puntos 2 y 4 existe una frontera del flujo donde por debajo de ella elsuelo estaacute saturado y por encima no lo estaacute Ahora bien esta liacutenea que limita la zona de flujodentro de la presa recibe el nombre de liacutenea superficial de flujo o liacutenea de saturacioacuten Suforma se desconoce a priori y tambieacuten la posicioacuten del punto 4 ambos deben ser determinados almenos aproximadamente para poder trazar la red de flujo
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La liacutenea de saturacioacuten ademaacutes de ser una liacutenea de flujo es tambieacuten una liacutenea de
equipresioacuten en la que todos los puntos tienen la misma presioacuten cero Por lo tantoel potencial hidraacuteulico depende de la carga de elevacioacuten uacutenicamente y las liacuteneasequipotenciales la cortaran a intervalos verticales iguales entre si
Condiciones Generales de Entrada
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Condiciones Generales de Entrada
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Condiciones Generales de Salida
Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
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Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
Caso 1 a2 lt 30deg En este caso es posible calcular la superficie humedecida a (distancia 4 - 3) pormedio de la siguiente expresioacuten
2
2
2
2
2
2
2coscos a a a sen
hd d a
d = L - M + O3M
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Luego de dibujar la presa de tierra a escala se sentildeala en ella la superficie humedecida aguas
abajo a calculada por la foacutermula anterior El siguiente paso consiste en el trazado de laliacutenea de saturacioacuten usando el meacutetodo graacutefico aproximado de la paraacutebola baacutesica de Kozenycuyo procedimiento se describe a continuacioacuten
1 Ubicar el punto 2 en la liacutenea freaacutetica a una distancia de 03M medida desde la cara deltalud aguas arriba La cara aguas abajo del talud es tangente a la paraacutebola en el punto 4
2 Prolongar la liacutenea en el talud aguas arriba de la presa Trazar una horizontal por el punto2 hasta cortar la cara del talud aguas abajo El punto de interseccioacuten es 5
3 Dividir 4 -5 Y 5 - 2 en el mismo nuacutemero de partes iguales no maacutes de 4 o 5 y marcarestos puntos (en 2- 5 se parte de 5 numerando con letras A -B etc en 4 - 5 se parte de 4numerando A-B-C etc)
4 Trazar por 4 - 5 liacuteneas horizontales en los puntos marcados
5 Unir cada uno de los puntos marcados en la horizontal 2- 5 con el punto 46 Trazar la liacutenea freaacutetica por los puntos obtenidos 7 Como la liacutenea freaacutetica parte perpendicular a la cara del talud aguas arriba este ajuste
debe realizarse manualmente
=gt M = htg ald =L - O7M
Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
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Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
Caso 2 a2 gt 30deg En este caso el procedimiento a seguir es
d d hP 22
1 La paraacutebola tiene su origen a una distancia P del veacutertice del talud aguas abajo de lapresa es decir este veacutertice es su foco y es tangente a la vertical que pasa por elpunto P
P se calcula por medio de la siguiente expresioacuten
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2 Trazar la paraacutebola baacutesica de Kozeny En este caso la tangente al origen es una liacuteneavertical
3 La distancia desde el punto 4 hasta la interseccioacuten de la paraacutebola con el talud aguasabajo es a + Da y no es realmente el punto por donde sale el agua en el talud porlo tanto se debe realizar una correccioacuten y encontrar a Casagrande encontroacute que larelacioacuten es un escalar que puede ser llamado a y que se relaciona
con el angulo a2 seguacuten se muestra en la siguiente tabla
a
a
D
D
a a2 ( deg ) aacute
30 0375
60 0320
90 0260
120 0185
150 0105
180 0
Los valores entre estos aacutengulos pueden interpolarse
y midiendo a + Da se calcula a usando la tablaDa = aacute ( a + Da ) y a = ( a + Da ) - Da
Finalmente se trazan manualmente la entraday la salida de la liacutenea de saturacioacuten
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EJERCICIO Determine la Linea Superficial de Flujo de la presa de tierra que se presentaa continuacioacuten
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a continuacioacuten
EJERCICIO Determine la Linea Superficial de Flujo de la presa de tierra que se presentaa continuacioacuten
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2
1
a continuacioacuten
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
g
La teoriacutea de la seccioacuten transformada permite reducir al caso de un suelo homogeacuteneo e isoacutetropo un suelo en el que la permeabilidad para el flujo en la direccioacuten horizontal ( kx) y la que tenga para el flujo en la direccioacuten vertical ( ky ) sean diferentes ( kx ne Ky )(por lo general Kx en muchas veces mayor que ky )
La teoriacutea de la seccioacuten transformada es un simple artificio de calculo que se logra por una simple transformacioacuten de coordenadas y que modifica sobre el papel las dimensiones de la zona de flujo en estudio en un suelo isotropico hidraacuteulicamente equivalente
Dos tipos de transformaciones se pueden aplicar a) Haciendo
Y Ky
Kx
Y acute
Se modifican las dimensiones verticales permaneciendo constantes las horizontales
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
g
b) Haciendo
X Kx
Ky X acute
Se modifican las dimensiones Horizontales permaneciendo constantes las Verticales
En la seccioacuten transformada homogeacutenea e isoacutetropa la permeabilidad equivalente viene dada por
kykxk
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
kykxk
X Kx
Ky X acute
2 0 0 0
0 0
kx
ky
k
2 8 2 0 0
0
h
141h
500000
b352463
071b
k
Y Ky
KxY acute
kykx 2
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h es la altura que asciende el agua en un pequentildeo tubo con respecto a un planode referencia arbitrario Esta altura es conocida como carga piezomeacutetrica y es
una medida de la energiacutea que tiene el agua La energiacutea del agua viene dada por lasuma de la energiacutea potencial (elevacioacuten) la energiacutea de presioacuten y la energiacuteacineacutetica (velocidad)
g
V p
Z hw 2
2
Z = Elevacioacuten sobre un Datum arbitrario
P = Carga de Presioacuten
w
V2 = Carga de Velocidad
2g
En los suelos el flujo es laminar y como la velocidad es muy pequentildea se
considera que su valor tiende a cero por tanto la ecuacioacuten anterior puedeexpresarse como sigue
w
p Z h
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GRADIENTE HIDRAacuteULICO
Es la peacuterdida o disipacioacuten de altura hidraacuteulica por unidad de longitud medidaen la direccioacuten en que ocurre el flujo
i = Dh L
Dondei = Gradiente hidraacuteulico = DhL (adimensional)
Dh = Peacuterdida de carga
L = Longitud de recorrido del flujo
La ley de Darcy expresa la perdida
de carga Dh que se requiere paramover el agua a traveacutes del suelo unadistancia L con un gasto q es decir Dh = q L
k A
Siempre y cuando el flujo sea laminar que es el caso
corriente de los suelos a excepcioacuten de las gravas gruesas
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El valor Dh es la peacuterdida de energiacutea causada por la viscosidad la friccioacuten y los
efectos de inercia mientras el agua va circulando a traveacutes de los canales de losporos irregulares y rugosos
Cuando hay flujo las presiones de poros tienen un comportamiento diferentedebido a la presioacuten de filtracioacuten que se produce por la friccioacuten entre el agua en
movimiento y las paredes de los vaciacuteos del suelo
La presioacuten de poros en este caso seraacute la combinacioacuten de la presioacuten de poroshidrostaacutetica y la presioacuten de filtracioacuten tal como se presenta en la siguiente
expresioacuten
= Dh Df
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La presioacuten de filtracioacuten actuacutea en la misma direccioacuten y sentido del flujo del
agua y numeacutericamente es igual al producto de la perdida de carga hidraacuteulicapor el peso unitario del agua
Df = Dh w
El agua puede moverse en distintos sentidos y direcciones En esta parte del
tema se analizaraacute el comportamiento del suelo cuando el movimiento del agua seda en direccioacuten vertical
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FLUJO DESCENDENTE
Cuando el flujo es descendente las presiones de poros se calculan como ladiferencia entre las presiones de poros en condicioacuten hidrostaacutetica y la presioacuten defiltracioacuten
= Dh - Df
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Dh varia linealmente con el espesor del estrato de suelo lo cual puede serdemostrado de la siguiente manera
i = Dh Dh = i LL
Donde
Dh = Peacuterdida de carga
L = Espesor del Estrato i = Gradiente hidraacuteulico = Constante
Perdida de carga en L = 0 Dh(0) = i L = Dh 0 = 0H
Perdida de carga en L = H2 Dh(H2) = i L = Dh H = Dh
H 2 2
Perdida de carga en L = H Dh(H) = i L = Dh H = DhH
Quedando demostrado que la variacioacuten es lineal y se puede expresar la presioacutende filtracioacuten en funcioacuten del gradiente hidraacuteulico por medio de la siguienteexpresioacuten mencionada anteriormente
Df = Dh w = i L w
ldquoEl gradiente hidraacuteulico es la pendiente de las alturas piezometricas y la perdida de energiacutea uniforme es
debida a que el suelo se supone homogeacuteneo e isoacutetropordquo
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En cuanto a los esfuerzos efectivos tenemos
acute = - = Dh - Df
acute = - (Dh - Df ) = - Dh + Df
acuteh = - Dh acute = acuteh + Df
y
Lo cual evidencia que en flujo descendente los esfuerzos efectivos se incrementan en lamisma proporcioacuten que la presioacuten de filtracioacuten y el diagrama de esfuerzos totales presionesde poros y esfuerzos efectivos queda asi
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FLUJO ASCENDENTE
El flujo es ascendente cuando la altura piezomeacutetrica en el punto inferior es mayor
que en el punto superior Las presiones de poros en este caso se calculan como lasuma de las presiones de poros en condicioacuten hidrostaacutetica y la presioacuten de filtracioacuten
= Dh + Df
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En cuanto a los esfuerzos efectivos tenemos
acute = - = Dh + Df
acute = - (Dh + Df ) = - Dh - Df
acuteh = - Dh acute = acuteh - Df
y
Lo cual indica que para flujo ascendente los esfuerzos efectivos disminuyen en igualproporcioacuten que la presioacuten de filtracioacuten y el diagrama de esfuerzos totales presiones deporos y esfuerzos efectivos queda asi
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iquestQue tiende a ocurrir cuando el flujo es Ascendente
Cuando el flujo es ascendente la friccioacuten entre el agua y las paredes de los vaciacuteostiende a levantar los granos de suelo El valor de la presioacuten de filtracioacuten puedecrecer tanto que los esfuerzos efectivos se hacen cero
La resistencia al corte de un suelo granular esdirectamente proporcional a los esfuerzosefectivos por lo que cuando estos se igualan acero el suelo pierde su resistencia al corte y seproduce lo que se conoce como ebullicioacuten delsuelo granular Este fenoacutemeno de ebullicioacuten estaacutelimitado a los suelos sin cohesioacuten y se conoce
con el nombre de Licuefaccioacuten acute
= acute h -
Δf
Fenoacutemeno tiacutepico de suelos granulares cuando pierden resistencia al corte y se
produce una separacioacuten entre las partiacuteculas que hace acute = 0
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En estos casos en que los esfuerzos efectivos se hacen cero la presioacuten de
filtracioacuten se iguala al peso del suelo
H acute ndash Dh w 0
H acute = Dh w
Dh = acute H w
Como Dh = i
H
ic = acute
w
ic seraacute el Gradiente Hidraacuteulico Criacutetico y lo definiremos como el gradiente alcual se produce la ebullicioacuten del suelo
acute = 0 acute h - Δf = 0
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En funcioacuten de la Gravedad Especiacutefica de los Solidos (Gs) y la Relacioacuten de Vaciacuteos (e)desarrollaremos una expresioacuten para el ic
ic = acute
w
Las relaciones de vaciacuteos de la gran mayoriacutea de las arenas estaacuten comprendidasentre 03 y 12 Por otro lado la gravedad especiacutefica de estos suelos oscila entre265 y 270 Si se aplica la formula en esos intervalos se tiene que
acute = sat - w sat = Gs + e w 1+e
acute = Gs + e w ndash w = w Gs + e - 1
1+e 1+e
ic = Gs - 1
1+e
Para e = 03 Gs = 265 ic = 127Gs = 270 ic = 131
Para e = 12 Gs = 265 ic = 075
Gs = 270 ic = 077ldquoSeguacuten estos resultados en un deposito de arena para cualquier Gs practico se pueden encontrar valores de ic entre
075 y 131 De modo que es importante resaltar que los valores de gradiente hidraacuteulico critico en arenas estaacuten cercanos
a la unidad rdquo
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Como se produce la licuefaccioacuten con las sacudidas
siacutesmicas fuertes
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Edificios de estructura de hormigoacuten armado concerramientos y particiones interiores de faacutebrica dantildeados por elterremoto de Nigata Japoacuten 16 de Junio de 1964 magnitudRichter 75
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Ejercicio Bajo las condiciones indicadas en la figura se pide calcular los
esfuerzos totales neutrales y efectivos en las fronteras de los estratos
L
2L
2L
γw
γsat K1
γsat K2
L
K2= 2K1
1
2
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Ejercicio En el perfil estratificado indicado determine las presiones totales
neutrales y efectivas en las fronteras indicadas ademaacutes calcule el factor de
seguridad a la licuefaccioacuten donde sea necesario
L
L
2L
3L
09L
γsat1 γh1 k1
Satcap
γsat2 k2
γsat3 k3
1
2
3
γsat1= 15 γw =12 γh1
γsat2= 17 γw
γsat3= 19 γwk2= 2k1k3= 6k1
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LEVANTAMIENTO DE UN ESTRATO DE ARCILLA
Las fuerzas de filtracioacuten afectan no solamente a los suelos sincohesioacuten sino tambieacuten a los suelos cohesivos soacutelo que lo hacen demodo distinto porque en suelos arcillosos la cohesioacuten existente entrelas partiacuteculas las mantiene unidas de modo tal que se levanta toda la
masa de suelo y no partiacuteculas individuales como en los suelosgranulares
A modo de explicar el comportamiento de los suelos cohesivospondremos el siguiente caso
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LEVANTAMIENTO DE UN ESTRATO DE ARCILLA
Se tienen dos estratos de suelo diferente un suelo cohesivo que descansa sobre unmaterial muy permeable o suelo sin cohesioacuten Se necesita realizar una excavacioacutenen el estrato cohesivo para lo cual se debe determinar la profundidad a excavar yel espesor del estrato luego de realizada la excavacioacuten (tc) de tal manera queresulte seguro al levantamiento
Para realizar la excavacioacuten
se colocan dos tablestacas enel suelo y se procede luego aabatir el nivel del agua pormedio de bombeo tratando demantenerla seca
Por otra parte se desprecianlas fuerzas de friccioacuten que seoriginan cuando se hinca latablestaca
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LEVANTAMIENTO DE UN ESTRATO DE ARCILLA
Observemos que las fuerzas verticales actuantes son el peso del suelo y la presioacutende poros que tienden a levantar el fondo de la excavacioacuten puesto que el flujo es
ascendente El nivel piezomeacutetrico en la superficie del estrato sin cohesioacuten es mayorque el nivel piezomeacutetrico en el fondo de la excavacioacuten por lo que el agua tiende asubir pero como la permeabilidad del estrato de arcilla es tan baja esto resultamuy difiacutecil y se generan presiones en el fondo del rectaacutengulo
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El suelo estaacute saturado por tanto para calcular su peso se usa el peso unitario saturadoentonces
Peso del Suelo = tc sat
Haciendo equilibrio de fuerzas verticales
La presioacuten de poros es la suma de la presioacuten hidrostaacutetica y la de filtracioacuten
= Dh + Df = tc w + Dh w = ( tc + Dh ) w
sumFv = 0 Peso del Suelo - = 0
tc sat = ( tc + Dh ) w
tc sat = tc w + Dh w
tc ( sat - w ) = Dh w tc = Dh w = Df
( sat - w ) acute
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El espesor tc es el espesor criacutetico de la excavacioacuten es decir es el espesor miacutenimo
para el cual la excavacioacuten es segura
Por lo tanto
En espesores lt de tc se produce el levantamiento del fondo de la excavacioacuten
En espesores gt de tc la excavacioacuten es estable
Este fenoacutemeno puede darse tambieacuten parcialmente socavacioacuten
cuando se forman tuacuteneles o cavernas por arrastre de finos que generaninestabilidad y lo que puede ser maacutes grave el colapso del suelo
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EJERCICIOSe pretende realizar una excavacioacuten en un estrato de arcilla de 10 mts de espesor
que descansa sobre un estrato de arena Se pide
a) Calcular la profundidad maacutexima de excavacioacuten sin que se produzca
inestabilidad o levantamiento del fondob) iquestQueacute profundidad de agua libre debe bombearse a modo de poder llevar la
excavacioacuten hasta 8 mts de profundidad
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10m
1m
9m
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10m
1m
9m N
K
habat
N
K
Dh
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FLUJO EN MEDIOS POROSOS
El agua puede fluir a traveacutes de la masa de suelo en cualquier estado
en que este se encuentre aun y cuando el este muy compactado el
agua puede fluir a traveacutes de la masa de suelo ya que los poros estaacuten
interconectados entre si permitiendo el flujo de agua en ese medioporoso movieacutendose esta a lo largo de caminos ondulantes y rugosos
que existen entre un poro y otro lo cual genera peacuterdidas de energiacutea o
carga piezomeacutetrica originadas por la friccioacuten al igual que ocurre
cuando el flujo de agua es por tuberiacuteas o por canales abiertos
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Hasta ahora el estudio del flujo en medios porosos se ha limitado alcaso unidimensional (flujo ascendente y descendente) en el que losparaacutemetros del fluido tales como presioacuten velocidad temperaturaetc son constantes en cualquier seccioacuten transversal que seaperpendicular a la direccioacuten del flujo
En esta parte del tema se estudiaraacute el flujo del agua en tresdimensiones que es el caso maacutes general para lo cual se trabajaraacute conla ecuacioacuten fundamental de flujo Posteriormente se realizansimplificaciones debido a que el anaacutelisis tridimensional de los
problemas de filtracioacuten resulta muy complejo y se trabaja conmeacutetodos aproximados que permiten su resolucioacuten en dosdimensiones
Oacute
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ECUACIOacuteN FUNDAMENTAL DE FLUJO
HIPOTESIS
Dominio Saturado
La Presioacuten y la Velocidad son funcioacuten uacutenicamente de la posicioacuten
El esqueleto mineral del suelo es perfectamente riacutegido
z
y
x x y z
dz
dy
dx
Componente vertical del flujo
Base teoacuterica de la Red de Flujo y para otros
meacutetodos de resolucioacuten de problemas de filtracioacuten
Elemento cuacutebico de suelo a traveacutes del cual se
produce flujo laminar q con componenetes x y z
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z y x qqqq
dydxdz z
VzVzdzdxdy
y
VyVydzdydx
x
VxVxdydxVzdzdxVydzdyVx
Igualamos
dydxdz z
VzVzdzdxdy y
VyVydzdydx x
VxVxq
dydxVzdzdxVydzdyVxq
saliente
entrante
Por continuidad qentrante = qsaliente
Simplificamos y llegamos a la ecuacioacuten de Continuidad 0
z
Vz
y
Vy
x
Vx
Aplicamos Ley de Darcy (V = -ki = -k h L) 02
2
2
2
2
2
z
hkz
y
hky
x
hkx
Asumimos el suelo Isotroacutepico (kx = ky = kz) h z
h
y
h
x
h 2
2
2
2
2
2
2
0
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
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La ecuacioacuten de Laplace describe matemaacuteticamente el flujo de aguaen la regioacuten considerada
Expresa la suma de la variacioacuten de los gradientes hidraacuteulicos en lasdirecciones X Y y Z es Nula
h z
h
y
h
x
h 2
2
2
2
2
2
2
0
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
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SOLUCIOacuteN DE LA ECUACIOacuteN DE LAPLACE EN 2 DIMENSIONES
FUNCIOacuteN POTENCIAL DE LA VELOCIDAD =
( x y) = constante = -kh + c Es dependiente del potencial hidraacuteulico y su variacioacuten genera velocidad en
el agua
Derivando con respecto a X y a Y
x
hk
x
y
hk
y
x
hk Vx
y
hk Vy Entonces Vx
x
Vy
y
Resolvemos derivando con respecto a X y a Y y aplicamos la ecuacioacuten de Continuidad
2
2
2
2
2
0 y x
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satisface la ecuacioacuten de Laplace siendo la solucioacuten de la mismaen dos dimensiones
define para cada valor de esa constante una linea continua cuyospuntos tiene igual potencial hidraacuteulico h y son denominadasldquoLineas Equipotencialesrdquo
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
2
2
2
2
2
0 y x
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FUNCIOacuteN DE FLUJO =
( x y) = constante
Entonces
Resolvemos derivando con respecto a X y a Y y aplicamos la ecuacioacuten de Continuidad
0 D
D
y
y x
x
Dx
Dy
Vy
Vx
Por continuidad qentrante = qsaliente
0 DD yVx xVy yVy
Vx x DD Asumiendo Vx
x
Vy
y
2
2
2
2
2
0 y x
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cumple con la ecuacioacuten de Laplace por lo tanto es una solucioacuten ala misma en dos dimensiones
define para cada valor de la constante una linea continua querepresenta la trayectoria de agua Se denominan ldquoLineas de Flujordquo oacuteldquoLineas de Corrienterdquo
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
2
2
2
2
2
0 y x
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RELACIOacuteN ENTRE LAS LINEAS EQUIPOTENCIALES YLINEAS DE FLUJO O DE CORRIENTE
Considerando las derivadas totales a lo largo de cada una de las curvas
y
x
x
y
x
y
x
y
Pendientes Reciacuteprocas y de signo contario lo cual escondicioacuten de Ortogonalidad y son Ortogonales encada punto de interseccioacuten
REDES DE FLUJO
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REDES DE FLUJO
La red de flujo es la solucioacuten graacutefica la ecuacioacuten de Laplace en 2 dimensiones
Desafortunadamente la ecuacioacuten de Laplace es matemaacuteticamente integrable solo encondiciones de frontera muy simples por lo que en la praacutectica es necesario emplearotros meacutetodos diferentes de la integracioacuten para obtener la red de flujo Uno de esosmeacutetodos es el procedimiento graacutefico de Forcheimer que resulta ser muy simple deaplicar cualquiera sea el problema de flujo uniforme en dos dimensiones
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El espacio entre cualquier par de liacuteneas de flujo consecutivas es un canal de flujoen el trazado de la red se debe seleccionar un cierto nuacutemero de canales de flujo
Nf tal que el gasto de infiltracioacuten a traveacutes de cada canal sea el mismoDq = q Nf
La peacuterdida de carga entre cualquier par de liacuteneas equipotenciales consecutivas es lamisma e igual a Dh Donde Dhacute = Dh Nd (Dh es la peacuterdida de carga total y Nd elnuacutemero de caiacutedas de potencial)
El ancho del canal es a y la distancia entre las caiacutedas equipotenciales es b paracualquier elemento considerado
El gasto que circula por cualquier elemento es Dq = k i A
El gradiente hidraacuteulico del elemento es i = Dhacute b = ( Dh Nd ) bEntoces Dq = k ( ( Dh Nd ) b ) a L donde L es el ancho de la red en la tercera dimensioacuten
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REDES DE FLUJO
Como Dq = q Nf entonces q = Dq Nf = k ( ( Dh Nd ) b ) a L Nf
La razoacuten a b esta fijada por la razoacuten Nf Nd y es la misma a traveacutes de toda la redNf y Nd deben seleccionarse de modo que a = b y a b = 1 Con lo que laecuacioacuten de gasto se transforma en
Reordenando q = k Dh ( Nf Nd ) (a b ) L
q = k Dh ( Nf Nd ) L
Aacute
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1) Hacer un dibujo a escala que muestre la masa de suelo los liacutemites permeables a
traveacutes de los cuales entra y sale el agua del suelo y las fronteras impermeables que
confinan o limitan el flujo
2) Dibujar de dos a cuatro liacuteneas de flujo que formen aacutengulos rectos con los liacutemitespermeables a la entrada y a la salida y que sean aproximadamente paralelas a losliacutemites impermeables
3) Dibujar liacuteneas equipotenciales que formen aacutengulos rectos con las liacuteneas de flujo demanera que el ancho y el largo promedio del cuadrado curviliacuteneo que forman seaniguales (a=b) Desde luego esto es imposible de lograr en el primer tanteo porquelas posiciones de las liacuteneas de flujo son supuestas pero esta primera red serviraacute deguiacutea para un segundo tanteo
4) Se reajustan las liacuteneas de flujo y las liacuteneas equipotenciales hasta que todas lasintersecciones sean en aacutengulo recto y el largo y ancho de cada cuadrado seaniguales Los tamantildeos de los cuadrados pueden ser distintos pero la relacioacuten ab = 1debe mantenerse
REGLAS PRAacuteCTICAS PARA ELABORAR REDES DE FLUJO
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El logro de una solucioacuten exacta requiere de muchos tanteos y
algunos problemas no admiten en su solucioacuten un nuacutemeroexacto de canales yo de caiacutedas equipotenciales en estos casosdebe intentarse con un nuacutemero de canales yo caiacutedasequipotenciales fraccionario (media caiacuteda o medio canal porejemplo)
Al lograr trazar la red de flujo de cuadrados curviliacuteneossatisfaciendo las condiciones de frontera del problema seobtendraacute la solucioacuten graacutefica de este problema para las
condiciones de frontera del problema se obtendraacute la solucioacutengraacutefica de este para las condiciones hidrodinaacutemicasestablecidas por la ecuacioacuten de Laplace
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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J g j
6 0
0 m
BA
I II III IV V VI VII
C
D
6 0
0 m
6 0
0 m
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
1) Altura piezometrica en A
2) Esfuerzo efectivo en B
3) Gradiente hidraacuteulico velocidades de descarga y de filtracioacuten
en C
4) Presiones hidraacuteulicas sobre el tablestacado5) Gradiente hidraacuteulico de salida y factor de seguridad contra la
arena movediza (licuefaccioacuten)
6) Factor de seguridad a la Tubificacioacuten
7) Presiones hidraacuteulicas sobre el fondo impermeable
8) Presioacuten de filtracioacuten en D
9) Caudal de Filtracioacuten bajo la presa sabiendo que L= 50 m
0m 3m 5m 10m
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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J g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
γconc= 235 Tm3
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
γconc= 235 Tm3
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg γsat= 218 Tm3 γconc= 235 Tm3
LINEA SUPERFICIAL DE FLUJO
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LINEA SUPERFICIAL DE FLUJO
En algunos casos un liacutemite de las liacuteneas de flujo puede ser una superficie de agualibre o superficie de saturacioacuten que no estaacute determinada por ninguna masa soacutelida
impermeable
Tal es el caso de las presas de tierra cuyo problema de flujo presenta caracteriacutesticasespeciales y por lo tanto se requiere del uso de meacutetodos tambieacuten especiales paralograr el trazado de la red de flujo
a
b
c
Equipotencial
Liacutenea de Flujo
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En la figura se presenta una presa de tierra de un material heterogeacuteneo eacute isoacutetropo La liacutenea 1-2 es una liacutenea equipotencial puesto que es el contacto entre el suelo permeable y el agua La liacutenea1-3 es un contacto entre la frontera impermeable y el material permeable por lo tanto es unaliacutenea de flujo Entre los puntos 2 y 4 existe una frontera del flujo donde por debajo de ella elsuelo estaacute saturado y por encima no lo estaacute Ahora bien esta liacutenea que limita la zona de flujodentro de la presa recibe el nombre de liacutenea superficial de flujo o liacutenea de saturacioacuten Suforma se desconoce a priori y tambieacuten la posicioacuten del punto 4 ambos deben ser determinados almenos aproximadamente para poder trazar la red de flujo
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La liacutenea de saturacioacuten ademaacutes de ser una liacutenea de flujo es tambieacuten una liacutenea de
equipresioacuten en la que todos los puntos tienen la misma presioacuten cero Por lo tantoel potencial hidraacuteulico depende de la carga de elevacioacuten uacutenicamente y las liacuteneasequipotenciales la cortaran a intervalos verticales iguales entre si
Condiciones Generales de Entrada
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Condiciones Generales de Entrada
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Condiciones Generales de Salida
Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
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Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
Caso 1 a2 lt 30deg En este caso es posible calcular la superficie humedecida a (distancia 4 - 3) pormedio de la siguiente expresioacuten
2
2
2
2
2
2
2coscos a a a sen
hd d a
d = L - M + O3M
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Luego de dibujar la presa de tierra a escala se sentildeala en ella la superficie humedecida aguas
abajo a calculada por la foacutermula anterior El siguiente paso consiste en el trazado de laliacutenea de saturacioacuten usando el meacutetodo graacutefico aproximado de la paraacutebola baacutesica de Kozenycuyo procedimiento se describe a continuacioacuten
1 Ubicar el punto 2 en la liacutenea freaacutetica a una distancia de 03M medida desde la cara deltalud aguas arriba La cara aguas abajo del talud es tangente a la paraacutebola en el punto 4
2 Prolongar la liacutenea en el talud aguas arriba de la presa Trazar una horizontal por el punto2 hasta cortar la cara del talud aguas abajo El punto de interseccioacuten es 5
3 Dividir 4 -5 Y 5 - 2 en el mismo nuacutemero de partes iguales no maacutes de 4 o 5 y marcarestos puntos (en 2- 5 se parte de 5 numerando con letras A -B etc en 4 - 5 se parte de 4numerando A-B-C etc)
4 Trazar por 4 - 5 liacuteneas horizontales en los puntos marcados
5 Unir cada uno de los puntos marcados en la horizontal 2- 5 con el punto 46 Trazar la liacutenea freaacutetica por los puntos obtenidos 7 Como la liacutenea freaacutetica parte perpendicular a la cara del talud aguas arriba este ajuste
debe realizarse manualmente
=gt M = htg ald =L - O7M
Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
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Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
Caso 2 a2 gt 30deg En este caso el procedimiento a seguir es
d d hP 22
1 La paraacutebola tiene su origen a una distancia P del veacutertice del talud aguas abajo de lapresa es decir este veacutertice es su foco y es tangente a la vertical que pasa por elpunto P
P se calcula por medio de la siguiente expresioacuten
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2 Trazar la paraacutebola baacutesica de Kozeny En este caso la tangente al origen es una liacuteneavertical
3 La distancia desde el punto 4 hasta la interseccioacuten de la paraacutebola con el talud aguasabajo es a + Da y no es realmente el punto por donde sale el agua en el talud porlo tanto se debe realizar una correccioacuten y encontrar a Casagrande encontroacute que larelacioacuten es un escalar que puede ser llamado a y que se relaciona
con el angulo a2 seguacuten se muestra en la siguiente tabla
a
a
D
D
a a2 ( deg ) aacute
30 0375
60 0320
90 0260
120 0185
150 0105
180 0
Los valores entre estos aacutengulos pueden interpolarse
y midiendo a + Da se calcula a usando la tablaDa = aacute ( a + Da ) y a = ( a + Da ) - Da
Finalmente se trazan manualmente la entraday la salida de la liacutenea de saturacioacuten
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EJERCICIO Determine la Linea Superficial de Flujo de la presa de tierra que se presentaa continuacioacuten
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a continuacioacuten
EJERCICIO Determine la Linea Superficial de Flujo de la presa de tierra que se presentaa continuacioacuten
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2
1
a continuacioacuten
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
g
La teoriacutea de la seccioacuten transformada permite reducir al caso de un suelo homogeacuteneo e isoacutetropo un suelo en el que la permeabilidad para el flujo en la direccioacuten horizontal ( kx) y la que tenga para el flujo en la direccioacuten vertical ( ky ) sean diferentes ( kx ne Ky )(por lo general Kx en muchas veces mayor que ky )
La teoriacutea de la seccioacuten transformada es un simple artificio de calculo que se logra por una simple transformacioacuten de coordenadas y que modifica sobre el papel las dimensiones de la zona de flujo en estudio en un suelo isotropico hidraacuteulicamente equivalente
Dos tipos de transformaciones se pueden aplicar a) Haciendo
Y Ky
Kx
Y acute
Se modifican las dimensiones verticales permaneciendo constantes las horizontales
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
g
b) Haciendo
X Kx
Ky X acute
Se modifican las dimensiones Horizontales permaneciendo constantes las Verticales
En la seccioacuten transformada homogeacutenea e isoacutetropa la permeabilidad equivalente viene dada por
kykxk
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
kykxk
X Kx
Ky X acute
2 0 0 0
0 0
kx
ky
k
2 8 2 0 0
0
h
141h
500000
b352463
071b
k
Y Ky
KxY acute
kykx 2
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GRADIENTE HIDRAacuteULICO
Es la peacuterdida o disipacioacuten de altura hidraacuteulica por unidad de longitud medidaen la direccioacuten en que ocurre el flujo
i = Dh L
Dondei = Gradiente hidraacuteulico = DhL (adimensional)
Dh = Peacuterdida de carga
L = Longitud de recorrido del flujo
La ley de Darcy expresa la perdida
de carga Dh que se requiere paramover el agua a traveacutes del suelo unadistancia L con un gasto q es decir Dh = q L
k A
Siempre y cuando el flujo sea laminar que es el caso
corriente de los suelos a excepcioacuten de las gravas gruesas
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El valor Dh es la peacuterdida de energiacutea causada por la viscosidad la friccioacuten y los
efectos de inercia mientras el agua va circulando a traveacutes de los canales de losporos irregulares y rugosos
Cuando hay flujo las presiones de poros tienen un comportamiento diferentedebido a la presioacuten de filtracioacuten que se produce por la friccioacuten entre el agua en
movimiento y las paredes de los vaciacuteos del suelo
La presioacuten de poros en este caso seraacute la combinacioacuten de la presioacuten de poroshidrostaacutetica y la presioacuten de filtracioacuten tal como se presenta en la siguiente
expresioacuten
= Dh Df
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La presioacuten de filtracioacuten actuacutea en la misma direccioacuten y sentido del flujo del
agua y numeacutericamente es igual al producto de la perdida de carga hidraacuteulicapor el peso unitario del agua
Df = Dh w
El agua puede moverse en distintos sentidos y direcciones En esta parte del
tema se analizaraacute el comportamiento del suelo cuando el movimiento del agua seda en direccioacuten vertical
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FLUJO DESCENDENTE
Cuando el flujo es descendente las presiones de poros se calculan como ladiferencia entre las presiones de poros en condicioacuten hidrostaacutetica y la presioacuten defiltracioacuten
= Dh - Df
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Dh varia linealmente con el espesor del estrato de suelo lo cual puede serdemostrado de la siguiente manera
i = Dh Dh = i LL
Donde
Dh = Peacuterdida de carga
L = Espesor del Estrato i = Gradiente hidraacuteulico = Constante
Perdida de carga en L = 0 Dh(0) = i L = Dh 0 = 0H
Perdida de carga en L = H2 Dh(H2) = i L = Dh H = Dh
H 2 2
Perdida de carga en L = H Dh(H) = i L = Dh H = DhH
Quedando demostrado que la variacioacuten es lineal y se puede expresar la presioacutende filtracioacuten en funcioacuten del gradiente hidraacuteulico por medio de la siguienteexpresioacuten mencionada anteriormente
Df = Dh w = i L w
ldquoEl gradiente hidraacuteulico es la pendiente de las alturas piezometricas y la perdida de energiacutea uniforme es
debida a que el suelo se supone homogeacuteneo e isoacutetropordquo
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En cuanto a los esfuerzos efectivos tenemos
acute = - = Dh - Df
acute = - (Dh - Df ) = - Dh + Df
acuteh = - Dh acute = acuteh + Df
y
Lo cual evidencia que en flujo descendente los esfuerzos efectivos se incrementan en lamisma proporcioacuten que la presioacuten de filtracioacuten y el diagrama de esfuerzos totales presionesde poros y esfuerzos efectivos queda asi
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FLUJO ASCENDENTE
El flujo es ascendente cuando la altura piezomeacutetrica en el punto inferior es mayor
que en el punto superior Las presiones de poros en este caso se calculan como lasuma de las presiones de poros en condicioacuten hidrostaacutetica y la presioacuten de filtracioacuten
= Dh + Df
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En cuanto a los esfuerzos efectivos tenemos
acute = - = Dh + Df
acute = - (Dh + Df ) = - Dh - Df
acuteh = - Dh acute = acuteh - Df
y
Lo cual indica que para flujo ascendente los esfuerzos efectivos disminuyen en igualproporcioacuten que la presioacuten de filtracioacuten y el diagrama de esfuerzos totales presiones deporos y esfuerzos efectivos queda asi
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iquestQue tiende a ocurrir cuando el flujo es Ascendente
Cuando el flujo es ascendente la friccioacuten entre el agua y las paredes de los vaciacuteostiende a levantar los granos de suelo El valor de la presioacuten de filtracioacuten puedecrecer tanto que los esfuerzos efectivos se hacen cero
La resistencia al corte de un suelo granular esdirectamente proporcional a los esfuerzosefectivos por lo que cuando estos se igualan acero el suelo pierde su resistencia al corte y seproduce lo que se conoce como ebullicioacuten delsuelo granular Este fenoacutemeno de ebullicioacuten estaacutelimitado a los suelos sin cohesioacuten y se conoce
con el nombre de Licuefaccioacuten acute
= acute h -
Δf
Fenoacutemeno tiacutepico de suelos granulares cuando pierden resistencia al corte y se
produce una separacioacuten entre las partiacuteculas que hace acute = 0
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En estos casos en que los esfuerzos efectivos se hacen cero la presioacuten de
filtracioacuten se iguala al peso del suelo
H acute ndash Dh w 0
H acute = Dh w
Dh = acute H w
Como Dh = i
H
ic = acute
w
ic seraacute el Gradiente Hidraacuteulico Criacutetico y lo definiremos como el gradiente alcual se produce la ebullicioacuten del suelo
acute = 0 acute h - Δf = 0
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En funcioacuten de la Gravedad Especiacutefica de los Solidos (Gs) y la Relacioacuten de Vaciacuteos (e)desarrollaremos una expresioacuten para el ic
ic = acute
w
Las relaciones de vaciacuteos de la gran mayoriacutea de las arenas estaacuten comprendidasentre 03 y 12 Por otro lado la gravedad especiacutefica de estos suelos oscila entre265 y 270 Si se aplica la formula en esos intervalos se tiene que
acute = sat - w sat = Gs + e w 1+e
acute = Gs + e w ndash w = w Gs + e - 1
1+e 1+e
ic = Gs - 1
1+e
Para e = 03 Gs = 265 ic = 127Gs = 270 ic = 131
Para e = 12 Gs = 265 ic = 075
Gs = 270 ic = 077ldquoSeguacuten estos resultados en un deposito de arena para cualquier Gs practico se pueden encontrar valores de ic entre
075 y 131 De modo que es importante resaltar que los valores de gradiente hidraacuteulico critico en arenas estaacuten cercanos
a la unidad rdquo
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Como se produce la licuefaccioacuten con las sacudidas
siacutesmicas fuertes
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Edificios de estructura de hormigoacuten armado concerramientos y particiones interiores de faacutebrica dantildeados por elterremoto de Nigata Japoacuten 16 de Junio de 1964 magnitudRichter 75
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Ejercicio Bajo las condiciones indicadas en la figura se pide calcular los
esfuerzos totales neutrales y efectivos en las fronteras de los estratos
L
2L
2L
γw
γsat K1
γsat K2
L
K2= 2K1
1
2
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Ejercicio En el perfil estratificado indicado determine las presiones totales
neutrales y efectivas en las fronteras indicadas ademaacutes calcule el factor de
seguridad a la licuefaccioacuten donde sea necesario
L
L
2L
3L
09L
γsat1 γh1 k1
Satcap
γsat2 k2
γsat3 k3
1
2
3
γsat1= 15 γw =12 γh1
γsat2= 17 γw
γsat3= 19 γwk2= 2k1k3= 6k1
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LEVANTAMIENTO DE UN ESTRATO DE ARCILLA
Las fuerzas de filtracioacuten afectan no solamente a los suelos sincohesioacuten sino tambieacuten a los suelos cohesivos soacutelo que lo hacen demodo distinto porque en suelos arcillosos la cohesioacuten existente entrelas partiacuteculas las mantiene unidas de modo tal que se levanta toda la
masa de suelo y no partiacuteculas individuales como en los suelosgranulares
A modo de explicar el comportamiento de los suelos cohesivospondremos el siguiente caso
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LEVANTAMIENTO DE UN ESTRATO DE ARCILLA
Se tienen dos estratos de suelo diferente un suelo cohesivo que descansa sobre unmaterial muy permeable o suelo sin cohesioacuten Se necesita realizar una excavacioacutenen el estrato cohesivo para lo cual se debe determinar la profundidad a excavar yel espesor del estrato luego de realizada la excavacioacuten (tc) de tal manera queresulte seguro al levantamiento
Para realizar la excavacioacuten
se colocan dos tablestacas enel suelo y se procede luego aabatir el nivel del agua pormedio de bombeo tratando demantenerla seca
Por otra parte se desprecianlas fuerzas de friccioacuten que seoriginan cuando se hinca latablestaca
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LEVANTAMIENTO DE UN ESTRATO DE ARCILLA
Observemos que las fuerzas verticales actuantes son el peso del suelo y la presioacutende poros que tienden a levantar el fondo de la excavacioacuten puesto que el flujo es
ascendente El nivel piezomeacutetrico en la superficie del estrato sin cohesioacuten es mayorque el nivel piezomeacutetrico en el fondo de la excavacioacuten por lo que el agua tiende asubir pero como la permeabilidad del estrato de arcilla es tan baja esto resultamuy difiacutecil y se generan presiones en el fondo del rectaacutengulo
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El suelo estaacute saturado por tanto para calcular su peso se usa el peso unitario saturadoentonces
Peso del Suelo = tc sat
Haciendo equilibrio de fuerzas verticales
La presioacuten de poros es la suma de la presioacuten hidrostaacutetica y la de filtracioacuten
= Dh + Df = tc w + Dh w = ( tc + Dh ) w
sumFv = 0 Peso del Suelo - = 0
tc sat = ( tc + Dh ) w
tc sat = tc w + Dh w
tc ( sat - w ) = Dh w tc = Dh w = Df
( sat - w ) acute
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El espesor tc es el espesor criacutetico de la excavacioacuten es decir es el espesor miacutenimo
para el cual la excavacioacuten es segura
Por lo tanto
En espesores lt de tc se produce el levantamiento del fondo de la excavacioacuten
En espesores gt de tc la excavacioacuten es estable
Este fenoacutemeno puede darse tambieacuten parcialmente socavacioacuten
cuando se forman tuacuteneles o cavernas por arrastre de finos que generaninestabilidad y lo que puede ser maacutes grave el colapso del suelo
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EJERCICIOSe pretende realizar una excavacioacuten en un estrato de arcilla de 10 mts de espesor
que descansa sobre un estrato de arena Se pide
a) Calcular la profundidad maacutexima de excavacioacuten sin que se produzca
inestabilidad o levantamiento del fondob) iquestQueacute profundidad de agua libre debe bombearse a modo de poder llevar la
excavacioacuten hasta 8 mts de profundidad
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10m
1m
9m
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10m
1m
9m N
K
habat
N
K
Dh
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FLUJO EN MEDIOS POROSOS
El agua puede fluir a traveacutes de la masa de suelo en cualquier estado
en que este se encuentre aun y cuando el este muy compactado el
agua puede fluir a traveacutes de la masa de suelo ya que los poros estaacuten
interconectados entre si permitiendo el flujo de agua en ese medioporoso movieacutendose esta a lo largo de caminos ondulantes y rugosos
que existen entre un poro y otro lo cual genera peacuterdidas de energiacutea o
carga piezomeacutetrica originadas por la friccioacuten al igual que ocurre
cuando el flujo de agua es por tuberiacuteas o por canales abiertos
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Hasta ahora el estudio del flujo en medios porosos se ha limitado alcaso unidimensional (flujo ascendente y descendente) en el que losparaacutemetros del fluido tales como presioacuten velocidad temperaturaetc son constantes en cualquier seccioacuten transversal que seaperpendicular a la direccioacuten del flujo
En esta parte del tema se estudiaraacute el flujo del agua en tresdimensiones que es el caso maacutes general para lo cual se trabajaraacute conla ecuacioacuten fundamental de flujo Posteriormente se realizansimplificaciones debido a que el anaacutelisis tridimensional de los
problemas de filtracioacuten resulta muy complejo y se trabaja conmeacutetodos aproximados que permiten su resolucioacuten en dosdimensiones
Oacute
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ECUACIOacuteN FUNDAMENTAL DE FLUJO
HIPOTESIS
Dominio Saturado
La Presioacuten y la Velocidad son funcioacuten uacutenicamente de la posicioacuten
El esqueleto mineral del suelo es perfectamente riacutegido
z
y
x x y z
dz
dy
dx
Componente vertical del flujo
Base teoacuterica de la Red de Flujo y para otros
meacutetodos de resolucioacuten de problemas de filtracioacuten
Elemento cuacutebico de suelo a traveacutes del cual se
produce flujo laminar q con componenetes x y z
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z y x qqqq
dydxdz z
VzVzdzdxdy
y
VyVydzdydx
x
VxVxdydxVzdzdxVydzdyVx
Igualamos
dydxdz z
VzVzdzdxdy y
VyVydzdydx x
VxVxq
dydxVzdzdxVydzdyVxq
saliente
entrante
Por continuidad qentrante = qsaliente
Simplificamos y llegamos a la ecuacioacuten de Continuidad 0
z
Vz
y
Vy
x
Vx
Aplicamos Ley de Darcy (V = -ki = -k h L) 02
2
2
2
2
2
z
hkz
y
hky
x
hkx
Asumimos el suelo Isotroacutepico (kx = ky = kz) h z
h
y
h
x
h 2
2
2
2
2
2
2
0
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
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La ecuacioacuten de Laplace describe matemaacuteticamente el flujo de aguaen la regioacuten considerada
Expresa la suma de la variacioacuten de los gradientes hidraacuteulicos en lasdirecciones X Y y Z es Nula
h z
h
y
h
x
h 2
2
2
2
2
2
2
0
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
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SOLUCIOacuteN DE LA ECUACIOacuteN DE LAPLACE EN 2 DIMENSIONES
FUNCIOacuteN POTENCIAL DE LA VELOCIDAD =
( x y) = constante = -kh + c Es dependiente del potencial hidraacuteulico y su variacioacuten genera velocidad en
el agua
Derivando con respecto a X y a Y
x
hk
x
y
hk
y
x
hk Vx
y
hk Vy Entonces Vx
x
Vy
y
Resolvemos derivando con respecto a X y a Y y aplicamos la ecuacioacuten de Continuidad
2
2
2
2
2
0 y x
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satisface la ecuacioacuten de Laplace siendo la solucioacuten de la mismaen dos dimensiones
define para cada valor de esa constante una linea continua cuyospuntos tiene igual potencial hidraacuteulico h y son denominadasldquoLineas Equipotencialesrdquo
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
2
2
2
2
2
0 y x
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FUNCIOacuteN DE FLUJO =
( x y) = constante
Entonces
Resolvemos derivando con respecto a X y a Y y aplicamos la ecuacioacuten de Continuidad
0 D
D
y
y x
x
Dx
Dy
Vy
Vx
Por continuidad qentrante = qsaliente
0 DD yVx xVy yVy
Vx x DD Asumiendo Vx
x
Vy
y
2
2
2
2
2
0 y x
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cumple con la ecuacioacuten de Laplace por lo tanto es una solucioacuten ala misma en dos dimensiones
define para cada valor de la constante una linea continua querepresenta la trayectoria de agua Se denominan ldquoLineas de Flujordquo oacuteldquoLineas de Corrienterdquo
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
2
2
2
2
2
0 y x
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RELACIOacuteN ENTRE LAS LINEAS EQUIPOTENCIALES YLINEAS DE FLUJO O DE CORRIENTE
Considerando las derivadas totales a lo largo de cada una de las curvas
y
x
x
y
x
y
x
y
Pendientes Reciacuteprocas y de signo contario lo cual escondicioacuten de Ortogonalidad y son Ortogonales encada punto de interseccioacuten
REDES DE FLUJO
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REDES DE FLUJO
La red de flujo es la solucioacuten graacutefica la ecuacioacuten de Laplace en 2 dimensiones
Desafortunadamente la ecuacioacuten de Laplace es matemaacuteticamente integrable solo encondiciones de frontera muy simples por lo que en la praacutectica es necesario emplearotros meacutetodos diferentes de la integracioacuten para obtener la red de flujo Uno de esosmeacutetodos es el procedimiento graacutefico de Forcheimer que resulta ser muy simple deaplicar cualquiera sea el problema de flujo uniforme en dos dimensiones
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El espacio entre cualquier par de liacuteneas de flujo consecutivas es un canal de flujoen el trazado de la red se debe seleccionar un cierto nuacutemero de canales de flujo
Nf tal que el gasto de infiltracioacuten a traveacutes de cada canal sea el mismoDq = q Nf
La peacuterdida de carga entre cualquier par de liacuteneas equipotenciales consecutivas es lamisma e igual a Dh Donde Dhacute = Dh Nd (Dh es la peacuterdida de carga total y Nd elnuacutemero de caiacutedas de potencial)
El ancho del canal es a y la distancia entre las caiacutedas equipotenciales es b paracualquier elemento considerado
El gasto que circula por cualquier elemento es Dq = k i A
El gradiente hidraacuteulico del elemento es i = Dhacute b = ( Dh Nd ) bEntoces Dq = k ( ( Dh Nd ) b ) a L donde L es el ancho de la red en la tercera dimensioacuten
REDES DE FLUJO
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REDES DE FLUJO
Como Dq = q Nf entonces q = Dq Nf = k ( ( Dh Nd ) b ) a L Nf
La razoacuten a b esta fijada por la razoacuten Nf Nd y es la misma a traveacutes de toda la redNf y Nd deben seleccionarse de modo que a = b y a b = 1 Con lo que laecuacioacuten de gasto se transforma en
Reordenando q = k Dh ( Nf Nd ) (a b ) L
q = k Dh ( Nf Nd ) L
Aacute
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1) Hacer un dibujo a escala que muestre la masa de suelo los liacutemites permeables a
traveacutes de los cuales entra y sale el agua del suelo y las fronteras impermeables que
confinan o limitan el flujo
2) Dibujar de dos a cuatro liacuteneas de flujo que formen aacutengulos rectos con los liacutemitespermeables a la entrada y a la salida y que sean aproximadamente paralelas a losliacutemites impermeables
3) Dibujar liacuteneas equipotenciales que formen aacutengulos rectos con las liacuteneas de flujo demanera que el ancho y el largo promedio del cuadrado curviliacuteneo que forman seaniguales (a=b) Desde luego esto es imposible de lograr en el primer tanteo porquelas posiciones de las liacuteneas de flujo son supuestas pero esta primera red serviraacute deguiacutea para un segundo tanteo
4) Se reajustan las liacuteneas de flujo y las liacuteneas equipotenciales hasta que todas lasintersecciones sean en aacutengulo recto y el largo y ancho de cada cuadrado seaniguales Los tamantildeos de los cuadrados pueden ser distintos pero la relacioacuten ab = 1debe mantenerse
REGLAS PRAacuteCTICAS PARA ELABORAR REDES DE FLUJO
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El logro de una solucioacuten exacta requiere de muchos tanteos y
algunos problemas no admiten en su solucioacuten un nuacutemeroexacto de canales yo de caiacutedas equipotenciales en estos casosdebe intentarse con un nuacutemero de canales yo caiacutedasequipotenciales fraccionario (media caiacuteda o medio canal porejemplo)
Al lograr trazar la red de flujo de cuadrados curviliacuteneossatisfaciendo las condiciones de frontera del problema seobtendraacute la solucioacuten graacutefica de este problema para las
condiciones de frontera del problema se obtendraacute la solucioacutengraacutefica de este para las condiciones hidrodinaacutemicasestablecidas por la ecuacioacuten de Laplace
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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J g j
6 0
0 m
BA
I II III IV V VI VII
C
D
6 0
0 m
6 0
0 m
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
1) Altura piezometrica en A
2) Esfuerzo efectivo en B
3) Gradiente hidraacuteulico velocidades de descarga y de filtracioacuten
en C
4) Presiones hidraacuteulicas sobre el tablestacado5) Gradiente hidraacuteulico de salida y factor de seguridad contra la
arena movediza (licuefaccioacuten)
6) Factor de seguridad a la Tubificacioacuten
7) Presiones hidraacuteulicas sobre el fondo impermeable
8) Presioacuten de filtracioacuten en D
9) Caudal de Filtracioacuten bajo la presa sabiendo que L= 50 m
0m 3m 5m 10m
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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J g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
γconc= 235 Tm3
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
γconc= 235 Tm3
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg γsat= 218 Tm3 γconc= 235 Tm3
LINEA SUPERFICIAL DE FLUJO
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LINEA SUPERFICIAL DE FLUJO
En algunos casos un liacutemite de las liacuteneas de flujo puede ser una superficie de agualibre o superficie de saturacioacuten que no estaacute determinada por ninguna masa soacutelida
impermeable
Tal es el caso de las presas de tierra cuyo problema de flujo presenta caracteriacutesticasespeciales y por lo tanto se requiere del uso de meacutetodos tambieacuten especiales paralograr el trazado de la red de flujo
a
b
c
Equipotencial
Liacutenea de Flujo
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En la figura se presenta una presa de tierra de un material heterogeacuteneo eacute isoacutetropo La liacutenea 1-2 es una liacutenea equipotencial puesto que es el contacto entre el suelo permeable y el agua La liacutenea1-3 es un contacto entre la frontera impermeable y el material permeable por lo tanto es unaliacutenea de flujo Entre los puntos 2 y 4 existe una frontera del flujo donde por debajo de ella elsuelo estaacute saturado y por encima no lo estaacute Ahora bien esta liacutenea que limita la zona de flujodentro de la presa recibe el nombre de liacutenea superficial de flujo o liacutenea de saturacioacuten Suforma se desconoce a priori y tambieacuten la posicioacuten del punto 4 ambos deben ser determinados almenos aproximadamente para poder trazar la red de flujo
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La liacutenea de saturacioacuten ademaacutes de ser una liacutenea de flujo es tambieacuten una liacutenea de
equipresioacuten en la que todos los puntos tienen la misma presioacuten cero Por lo tantoel potencial hidraacuteulico depende de la carga de elevacioacuten uacutenicamente y las liacuteneasequipotenciales la cortaran a intervalos verticales iguales entre si
Condiciones Generales de Entrada
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Condiciones Generales de Entrada
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Condiciones Generales de Salida
Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
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Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
Caso 1 a2 lt 30deg En este caso es posible calcular la superficie humedecida a (distancia 4 - 3) pormedio de la siguiente expresioacuten
2
2
2
2
2
2
2coscos a a a sen
hd d a
d = L - M + O3M
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Luego de dibujar la presa de tierra a escala se sentildeala en ella la superficie humedecida aguas
abajo a calculada por la foacutermula anterior El siguiente paso consiste en el trazado de laliacutenea de saturacioacuten usando el meacutetodo graacutefico aproximado de la paraacutebola baacutesica de Kozenycuyo procedimiento se describe a continuacioacuten
1 Ubicar el punto 2 en la liacutenea freaacutetica a una distancia de 03M medida desde la cara deltalud aguas arriba La cara aguas abajo del talud es tangente a la paraacutebola en el punto 4
2 Prolongar la liacutenea en el talud aguas arriba de la presa Trazar una horizontal por el punto2 hasta cortar la cara del talud aguas abajo El punto de interseccioacuten es 5
3 Dividir 4 -5 Y 5 - 2 en el mismo nuacutemero de partes iguales no maacutes de 4 o 5 y marcarestos puntos (en 2- 5 se parte de 5 numerando con letras A -B etc en 4 - 5 se parte de 4numerando A-B-C etc)
4 Trazar por 4 - 5 liacuteneas horizontales en los puntos marcados
5 Unir cada uno de los puntos marcados en la horizontal 2- 5 con el punto 46 Trazar la liacutenea freaacutetica por los puntos obtenidos 7 Como la liacutenea freaacutetica parte perpendicular a la cara del talud aguas arriba este ajuste
debe realizarse manualmente
=gt M = htg ald =L - O7M
Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
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Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
Caso 2 a2 gt 30deg En este caso el procedimiento a seguir es
d d hP 22
1 La paraacutebola tiene su origen a una distancia P del veacutertice del talud aguas abajo de lapresa es decir este veacutertice es su foco y es tangente a la vertical que pasa por elpunto P
P se calcula por medio de la siguiente expresioacuten
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2 Trazar la paraacutebola baacutesica de Kozeny En este caso la tangente al origen es una liacuteneavertical
3 La distancia desde el punto 4 hasta la interseccioacuten de la paraacutebola con el talud aguasabajo es a + Da y no es realmente el punto por donde sale el agua en el talud porlo tanto se debe realizar una correccioacuten y encontrar a Casagrande encontroacute que larelacioacuten es un escalar que puede ser llamado a y que se relaciona
con el angulo a2 seguacuten se muestra en la siguiente tabla
a
a
D
D
a a2 ( deg ) aacute
30 0375
60 0320
90 0260
120 0185
150 0105
180 0
Los valores entre estos aacutengulos pueden interpolarse
y midiendo a + Da se calcula a usando la tablaDa = aacute ( a + Da ) y a = ( a + Da ) - Da
Finalmente se trazan manualmente la entraday la salida de la liacutenea de saturacioacuten
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EJERCICIO Determine la Linea Superficial de Flujo de la presa de tierra que se presentaa continuacioacuten
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a continuacioacuten
EJERCICIO Determine la Linea Superficial de Flujo de la presa de tierra que se presentaa continuacioacuten
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2
1
a continuacioacuten
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
g
La teoriacutea de la seccioacuten transformada permite reducir al caso de un suelo homogeacuteneo e isoacutetropo un suelo en el que la permeabilidad para el flujo en la direccioacuten horizontal ( kx) y la que tenga para el flujo en la direccioacuten vertical ( ky ) sean diferentes ( kx ne Ky )(por lo general Kx en muchas veces mayor que ky )
La teoriacutea de la seccioacuten transformada es un simple artificio de calculo que se logra por una simple transformacioacuten de coordenadas y que modifica sobre el papel las dimensiones de la zona de flujo en estudio en un suelo isotropico hidraacuteulicamente equivalente
Dos tipos de transformaciones se pueden aplicar a) Haciendo
Y Ky
Kx
Y acute
Se modifican las dimensiones verticales permaneciendo constantes las horizontales
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
g
b) Haciendo
X Kx
Ky X acute
Se modifican las dimensiones Horizontales permaneciendo constantes las Verticales
En la seccioacuten transformada homogeacutenea e isoacutetropa la permeabilidad equivalente viene dada por
kykxk
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
kykxk
X Kx
Ky X acute
2 0 0 0
0 0
kx
ky
k
2 8 2 0 0
0
h
141h
500000
b352463
071b
k
Y Ky
KxY acute
kykx 2
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El valor Dh es la peacuterdida de energiacutea causada por la viscosidad la friccioacuten y los
efectos de inercia mientras el agua va circulando a traveacutes de los canales de losporos irregulares y rugosos
Cuando hay flujo las presiones de poros tienen un comportamiento diferentedebido a la presioacuten de filtracioacuten que se produce por la friccioacuten entre el agua en
movimiento y las paredes de los vaciacuteos del suelo
La presioacuten de poros en este caso seraacute la combinacioacuten de la presioacuten de poroshidrostaacutetica y la presioacuten de filtracioacuten tal como se presenta en la siguiente
expresioacuten
= Dh Df
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La presioacuten de filtracioacuten actuacutea en la misma direccioacuten y sentido del flujo del
agua y numeacutericamente es igual al producto de la perdida de carga hidraacuteulicapor el peso unitario del agua
Df = Dh w
El agua puede moverse en distintos sentidos y direcciones En esta parte del
tema se analizaraacute el comportamiento del suelo cuando el movimiento del agua seda en direccioacuten vertical
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FLUJO DESCENDENTE
Cuando el flujo es descendente las presiones de poros se calculan como ladiferencia entre las presiones de poros en condicioacuten hidrostaacutetica y la presioacuten defiltracioacuten
= Dh - Df
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Dh varia linealmente con el espesor del estrato de suelo lo cual puede serdemostrado de la siguiente manera
i = Dh Dh = i LL
Donde
Dh = Peacuterdida de carga
L = Espesor del Estrato i = Gradiente hidraacuteulico = Constante
Perdida de carga en L = 0 Dh(0) = i L = Dh 0 = 0H
Perdida de carga en L = H2 Dh(H2) = i L = Dh H = Dh
H 2 2
Perdida de carga en L = H Dh(H) = i L = Dh H = DhH
Quedando demostrado que la variacioacuten es lineal y se puede expresar la presioacutende filtracioacuten en funcioacuten del gradiente hidraacuteulico por medio de la siguienteexpresioacuten mencionada anteriormente
Df = Dh w = i L w
ldquoEl gradiente hidraacuteulico es la pendiente de las alturas piezometricas y la perdida de energiacutea uniforme es
debida a que el suelo se supone homogeacuteneo e isoacutetropordquo
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En cuanto a los esfuerzos efectivos tenemos
acute = - = Dh - Df
acute = - (Dh - Df ) = - Dh + Df
acuteh = - Dh acute = acuteh + Df
y
Lo cual evidencia que en flujo descendente los esfuerzos efectivos se incrementan en lamisma proporcioacuten que la presioacuten de filtracioacuten y el diagrama de esfuerzos totales presionesde poros y esfuerzos efectivos queda asi
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FLUJO ASCENDENTE
El flujo es ascendente cuando la altura piezomeacutetrica en el punto inferior es mayor
que en el punto superior Las presiones de poros en este caso se calculan como lasuma de las presiones de poros en condicioacuten hidrostaacutetica y la presioacuten de filtracioacuten
= Dh + Df
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En cuanto a los esfuerzos efectivos tenemos
acute = - = Dh + Df
acute = - (Dh + Df ) = - Dh - Df
acuteh = - Dh acute = acuteh - Df
y
Lo cual indica que para flujo ascendente los esfuerzos efectivos disminuyen en igualproporcioacuten que la presioacuten de filtracioacuten y el diagrama de esfuerzos totales presiones deporos y esfuerzos efectivos queda asi
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iquestQue tiende a ocurrir cuando el flujo es Ascendente
Cuando el flujo es ascendente la friccioacuten entre el agua y las paredes de los vaciacuteostiende a levantar los granos de suelo El valor de la presioacuten de filtracioacuten puedecrecer tanto que los esfuerzos efectivos se hacen cero
La resistencia al corte de un suelo granular esdirectamente proporcional a los esfuerzosefectivos por lo que cuando estos se igualan acero el suelo pierde su resistencia al corte y seproduce lo que se conoce como ebullicioacuten delsuelo granular Este fenoacutemeno de ebullicioacuten estaacutelimitado a los suelos sin cohesioacuten y se conoce
con el nombre de Licuefaccioacuten acute
= acute h -
Δf
Fenoacutemeno tiacutepico de suelos granulares cuando pierden resistencia al corte y se
produce una separacioacuten entre las partiacuteculas que hace acute = 0
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En estos casos en que los esfuerzos efectivos se hacen cero la presioacuten de
filtracioacuten se iguala al peso del suelo
H acute ndash Dh w 0
H acute = Dh w
Dh = acute H w
Como Dh = i
H
ic = acute
w
ic seraacute el Gradiente Hidraacuteulico Criacutetico y lo definiremos como el gradiente alcual se produce la ebullicioacuten del suelo
acute = 0 acute h - Δf = 0
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En funcioacuten de la Gravedad Especiacutefica de los Solidos (Gs) y la Relacioacuten de Vaciacuteos (e)desarrollaremos una expresioacuten para el ic
ic = acute
w
Las relaciones de vaciacuteos de la gran mayoriacutea de las arenas estaacuten comprendidasentre 03 y 12 Por otro lado la gravedad especiacutefica de estos suelos oscila entre265 y 270 Si se aplica la formula en esos intervalos se tiene que
acute = sat - w sat = Gs + e w 1+e
acute = Gs + e w ndash w = w Gs + e - 1
1+e 1+e
ic = Gs - 1
1+e
Para e = 03 Gs = 265 ic = 127Gs = 270 ic = 131
Para e = 12 Gs = 265 ic = 075
Gs = 270 ic = 077ldquoSeguacuten estos resultados en un deposito de arena para cualquier Gs practico se pueden encontrar valores de ic entre
075 y 131 De modo que es importante resaltar que los valores de gradiente hidraacuteulico critico en arenas estaacuten cercanos
a la unidad rdquo
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Como se produce la licuefaccioacuten con las sacudidas
siacutesmicas fuertes
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Edificios de estructura de hormigoacuten armado concerramientos y particiones interiores de faacutebrica dantildeados por elterremoto de Nigata Japoacuten 16 de Junio de 1964 magnitudRichter 75
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Ejercicio Bajo las condiciones indicadas en la figura se pide calcular los
esfuerzos totales neutrales y efectivos en las fronteras de los estratos
L
2L
2L
γw
γsat K1
γsat K2
L
K2= 2K1
1
2
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Ejercicio En el perfil estratificado indicado determine las presiones totales
neutrales y efectivas en las fronteras indicadas ademaacutes calcule el factor de
seguridad a la licuefaccioacuten donde sea necesario
L
L
2L
3L
09L
γsat1 γh1 k1
Satcap
γsat2 k2
γsat3 k3
1
2
3
γsat1= 15 γw =12 γh1
γsat2= 17 γw
γsat3= 19 γwk2= 2k1k3= 6k1
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LEVANTAMIENTO DE UN ESTRATO DE ARCILLA
Las fuerzas de filtracioacuten afectan no solamente a los suelos sincohesioacuten sino tambieacuten a los suelos cohesivos soacutelo que lo hacen demodo distinto porque en suelos arcillosos la cohesioacuten existente entrelas partiacuteculas las mantiene unidas de modo tal que se levanta toda la
masa de suelo y no partiacuteculas individuales como en los suelosgranulares
A modo de explicar el comportamiento de los suelos cohesivospondremos el siguiente caso
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LEVANTAMIENTO DE UN ESTRATO DE ARCILLA
Se tienen dos estratos de suelo diferente un suelo cohesivo que descansa sobre unmaterial muy permeable o suelo sin cohesioacuten Se necesita realizar una excavacioacutenen el estrato cohesivo para lo cual se debe determinar la profundidad a excavar yel espesor del estrato luego de realizada la excavacioacuten (tc) de tal manera queresulte seguro al levantamiento
Para realizar la excavacioacuten
se colocan dos tablestacas enel suelo y se procede luego aabatir el nivel del agua pormedio de bombeo tratando demantenerla seca
Por otra parte se desprecianlas fuerzas de friccioacuten que seoriginan cuando se hinca latablestaca
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LEVANTAMIENTO DE UN ESTRATO DE ARCILLA
Observemos que las fuerzas verticales actuantes son el peso del suelo y la presioacutende poros que tienden a levantar el fondo de la excavacioacuten puesto que el flujo es
ascendente El nivel piezomeacutetrico en la superficie del estrato sin cohesioacuten es mayorque el nivel piezomeacutetrico en el fondo de la excavacioacuten por lo que el agua tiende asubir pero como la permeabilidad del estrato de arcilla es tan baja esto resultamuy difiacutecil y se generan presiones en el fondo del rectaacutengulo
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El suelo estaacute saturado por tanto para calcular su peso se usa el peso unitario saturadoentonces
Peso del Suelo = tc sat
Haciendo equilibrio de fuerzas verticales
La presioacuten de poros es la suma de la presioacuten hidrostaacutetica y la de filtracioacuten
= Dh + Df = tc w + Dh w = ( tc + Dh ) w
sumFv = 0 Peso del Suelo - = 0
tc sat = ( tc + Dh ) w
tc sat = tc w + Dh w
tc ( sat - w ) = Dh w tc = Dh w = Df
( sat - w ) acute
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El espesor tc es el espesor criacutetico de la excavacioacuten es decir es el espesor miacutenimo
para el cual la excavacioacuten es segura
Por lo tanto
En espesores lt de tc se produce el levantamiento del fondo de la excavacioacuten
En espesores gt de tc la excavacioacuten es estable
Este fenoacutemeno puede darse tambieacuten parcialmente socavacioacuten
cuando se forman tuacuteneles o cavernas por arrastre de finos que generaninestabilidad y lo que puede ser maacutes grave el colapso del suelo
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EJERCICIOSe pretende realizar una excavacioacuten en un estrato de arcilla de 10 mts de espesor
que descansa sobre un estrato de arena Se pide
a) Calcular la profundidad maacutexima de excavacioacuten sin que se produzca
inestabilidad o levantamiento del fondob) iquestQueacute profundidad de agua libre debe bombearse a modo de poder llevar la
excavacioacuten hasta 8 mts de profundidad
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10m
1m
9m
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10m
1m
9m N
K
habat
N
K
Dh
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FLUJO EN MEDIOS POROSOS
El agua puede fluir a traveacutes de la masa de suelo en cualquier estado
en que este se encuentre aun y cuando el este muy compactado el
agua puede fluir a traveacutes de la masa de suelo ya que los poros estaacuten
interconectados entre si permitiendo el flujo de agua en ese medioporoso movieacutendose esta a lo largo de caminos ondulantes y rugosos
que existen entre un poro y otro lo cual genera peacuterdidas de energiacutea o
carga piezomeacutetrica originadas por la friccioacuten al igual que ocurre
cuando el flujo de agua es por tuberiacuteas o por canales abiertos
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Hasta ahora el estudio del flujo en medios porosos se ha limitado alcaso unidimensional (flujo ascendente y descendente) en el que losparaacutemetros del fluido tales como presioacuten velocidad temperaturaetc son constantes en cualquier seccioacuten transversal que seaperpendicular a la direccioacuten del flujo
En esta parte del tema se estudiaraacute el flujo del agua en tresdimensiones que es el caso maacutes general para lo cual se trabajaraacute conla ecuacioacuten fundamental de flujo Posteriormente se realizansimplificaciones debido a que el anaacutelisis tridimensional de los
problemas de filtracioacuten resulta muy complejo y se trabaja conmeacutetodos aproximados que permiten su resolucioacuten en dosdimensiones
Oacute
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ECUACIOacuteN FUNDAMENTAL DE FLUJO
HIPOTESIS
Dominio Saturado
La Presioacuten y la Velocidad son funcioacuten uacutenicamente de la posicioacuten
El esqueleto mineral del suelo es perfectamente riacutegido
z
y
x x y z
dz
dy
dx
Componente vertical del flujo
Base teoacuterica de la Red de Flujo y para otros
meacutetodos de resolucioacuten de problemas de filtracioacuten
Elemento cuacutebico de suelo a traveacutes del cual se
produce flujo laminar q con componenetes x y z
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z y x qqqq
dydxdz z
VzVzdzdxdy
y
VyVydzdydx
x
VxVxdydxVzdzdxVydzdyVx
Igualamos
dydxdz z
VzVzdzdxdy y
VyVydzdydx x
VxVxq
dydxVzdzdxVydzdyVxq
saliente
entrante
Por continuidad qentrante = qsaliente
Simplificamos y llegamos a la ecuacioacuten de Continuidad 0
z
Vz
y
Vy
x
Vx
Aplicamos Ley de Darcy (V = -ki = -k h L) 02
2
2
2
2
2
z
hkz
y
hky
x
hkx
Asumimos el suelo Isotroacutepico (kx = ky = kz) h z
h
y
h
x
h 2
2
2
2
2
2
2
0
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
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La ecuacioacuten de Laplace describe matemaacuteticamente el flujo de aguaen la regioacuten considerada
Expresa la suma de la variacioacuten de los gradientes hidraacuteulicos en lasdirecciones X Y y Z es Nula
h z
h
y
h
x
h 2
2
2
2
2
2
2
0
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
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SOLUCIOacuteN DE LA ECUACIOacuteN DE LAPLACE EN 2 DIMENSIONES
FUNCIOacuteN POTENCIAL DE LA VELOCIDAD =
( x y) = constante = -kh + c Es dependiente del potencial hidraacuteulico y su variacioacuten genera velocidad en
el agua
Derivando con respecto a X y a Y
x
hk
x
y
hk
y
x
hk Vx
y
hk Vy Entonces Vx
x
Vy
y
Resolvemos derivando con respecto a X y a Y y aplicamos la ecuacioacuten de Continuidad
2
2
2
2
2
0 y x
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satisface la ecuacioacuten de Laplace siendo la solucioacuten de la mismaen dos dimensiones
define para cada valor de esa constante una linea continua cuyospuntos tiene igual potencial hidraacuteulico h y son denominadasldquoLineas Equipotencialesrdquo
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
2
2
2
2
2
0 y x
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FUNCIOacuteN DE FLUJO =
( x y) = constante
Entonces
Resolvemos derivando con respecto a X y a Y y aplicamos la ecuacioacuten de Continuidad
0 D
D
y
y x
x
Dx
Dy
Vy
Vx
Por continuidad qentrante = qsaliente
0 DD yVx xVy yVy
Vx x DD Asumiendo Vx
x
Vy
y
2
2
2
2
2
0 y x
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cumple con la ecuacioacuten de Laplace por lo tanto es una solucioacuten ala misma en dos dimensiones
define para cada valor de la constante una linea continua querepresenta la trayectoria de agua Se denominan ldquoLineas de Flujordquo oacuteldquoLineas de Corrienterdquo
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
2
2
2
2
2
0 y x
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RELACIOacuteN ENTRE LAS LINEAS EQUIPOTENCIALES YLINEAS DE FLUJO O DE CORRIENTE
Considerando las derivadas totales a lo largo de cada una de las curvas
y
x
x
y
x
y
x
y
Pendientes Reciacuteprocas y de signo contario lo cual escondicioacuten de Ortogonalidad y son Ortogonales encada punto de interseccioacuten
REDES DE FLUJO
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REDES DE FLUJO
La red de flujo es la solucioacuten graacutefica la ecuacioacuten de Laplace en 2 dimensiones
Desafortunadamente la ecuacioacuten de Laplace es matemaacuteticamente integrable solo encondiciones de frontera muy simples por lo que en la praacutectica es necesario emplearotros meacutetodos diferentes de la integracioacuten para obtener la red de flujo Uno de esosmeacutetodos es el procedimiento graacutefico de Forcheimer que resulta ser muy simple deaplicar cualquiera sea el problema de flujo uniforme en dos dimensiones
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El espacio entre cualquier par de liacuteneas de flujo consecutivas es un canal de flujoen el trazado de la red se debe seleccionar un cierto nuacutemero de canales de flujo
Nf tal que el gasto de infiltracioacuten a traveacutes de cada canal sea el mismoDq = q Nf
La peacuterdida de carga entre cualquier par de liacuteneas equipotenciales consecutivas es lamisma e igual a Dh Donde Dhacute = Dh Nd (Dh es la peacuterdida de carga total y Nd elnuacutemero de caiacutedas de potencial)
El ancho del canal es a y la distancia entre las caiacutedas equipotenciales es b paracualquier elemento considerado
El gasto que circula por cualquier elemento es Dq = k i A
El gradiente hidraacuteulico del elemento es i = Dhacute b = ( Dh Nd ) bEntoces Dq = k ( ( Dh Nd ) b ) a L donde L es el ancho de la red en la tercera dimensioacuten
REDES DE FLUJO
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REDES DE FLUJO
Como Dq = q Nf entonces q = Dq Nf = k ( ( Dh Nd ) b ) a L Nf
La razoacuten a b esta fijada por la razoacuten Nf Nd y es la misma a traveacutes de toda la redNf y Nd deben seleccionarse de modo que a = b y a b = 1 Con lo que laecuacioacuten de gasto se transforma en
Reordenando q = k Dh ( Nf Nd ) (a b ) L
q = k Dh ( Nf Nd ) L
Aacute
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1) Hacer un dibujo a escala que muestre la masa de suelo los liacutemites permeables a
traveacutes de los cuales entra y sale el agua del suelo y las fronteras impermeables que
confinan o limitan el flujo
2) Dibujar de dos a cuatro liacuteneas de flujo que formen aacutengulos rectos con los liacutemitespermeables a la entrada y a la salida y que sean aproximadamente paralelas a losliacutemites impermeables
3) Dibujar liacuteneas equipotenciales que formen aacutengulos rectos con las liacuteneas de flujo demanera que el ancho y el largo promedio del cuadrado curviliacuteneo que forman seaniguales (a=b) Desde luego esto es imposible de lograr en el primer tanteo porquelas posiciones de las liacuteneas de flujo son supuestas pero esta primera red serviraacute deguiacutea para un segundo tanteo
4) Se reajustan las liacuteneas de flujo y las liacuteneas equipotenciales hasta que todas lasintersecciones sean en aacutengulo recto y el largo y ancho de cada cuadrado seaniguales Los tamantildeos de los cuadrados pueden ser distintos pero la relacioacuten ab = 1debe mantenerse
REGLAS PRAacuteCTICAS PARA ELABORAR REDES DE FLUJO
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El logro de una solucioacuten exacta requiere de muchos tanteos y
algunos problemas no admiten en su solucioacuten un nuacutemeroexacto de canales yo de caiacutedas equipotenciales en estos casosdebe intentarse con un nuacutemero de canales yo caiacutedasequipotenciales fraccionario (media caiacuteda o medio canal porejemplo)
Al lograr trazar la red de flujo de cuadrados curviliacuteneossatisfaciendo las condiciones de frontera del problema seobtendraacute la solucioacuten graacutefica de este problema para las
condiciones de frontera del problema se obtendraacute la solucioacutengraacutefica de este para las condiciones hidrodinaacutemicasestablecidas por la ecuacioacuten de Laplace
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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J g j
6 0
0 m
BA
I II III IV V VI VII
C
D
6 0
0 m
6 0
0 m
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
1) Altura piezometrica en A
2) Esfuerzo efectivo en B
3) Gradiente hidraacuteulico velocidades de descarga y de filtracioacuten
en C
4) Presiones hidraacuteulicas sobre el tablestacado5) Gradiente hidraacuteulico de salida y factor de seguridad contra la
arena movediza (licuefaccioacuten)
6) Factor de seguridad a la Tubificacioacuten
7) Presiones hidraacuteulicas sobre el fondo impermeable
8) Presioacuten de filtracioacuten en D
9) Caudal de Filtracioacuten bajo la presa sabiendo que L= 50 m
0m 3m 5m 10m
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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J g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
γconc= 235 Tm3
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
γconc= 235 Tm3
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg γsat= 218 Tm3 γconc= 235 Tm3
LINEA SUPERFICIAL DE FLUJO
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LINEA SUPERFICIAL DE FLUJO
En algunos casos un liacutemite de las liacuteneas de flujo puede ser una superficie de agualibre o superficie de saturacioacuten que no estaacute determinada por ninguna masa soacutelida
impermeable
Tal es el caso de las presas de tierra cuyo problema de flujo presenta caracteriacutesticasespeciales y por lo tanto se requiere del uso de meacutetodos tambieacuten especiales paralograr el trazado de la red de flujo
a
b
c
Equipotencial
Liacutenea de Flujo
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En la figura se presenta una presa de tierra de un material heterogeacuteneo eacute isoacutetropo La liacutenea 1-2 es una liacutenea equipotencial puesto que es el contacto entre el suelo permeable y el agua La liacutenea1-3 es un contacto entre la frontera impermeable y el material permeable por lo tanto es unaliacutenea de flujo Entre los puntos 2 y 4 existe una frontera del flujo donde por debajo de ella elsuelo estaacute saturado y por encima no lo estaacute Ahora bien esta liacutenea que limita la zona de flujodentro de la presa recibe el nombre de liacutenea superficial de flujo o liacutenea de saturacioacuten Suforma se desconoce a priori y tambieacuten la posicioacuten del punto 4 ambos deben ser determinados almenos aproximadamente para poder trazar la red de flujo
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La liacutenea de saturacioacuten ademaacutes de ser una liacutenea de flujo es tambieacuten una liacutenea de
equipresioacuten en la que todos los puntos tienen la misma presioacuten cero Por lo tantoel potencial hidraacuteulico depende de la carga de elevacioacuten uacutenicamente y las liacuteneasequipotenciales la cortaran a intervalos verticales iguales entre si
Condiciones Generales de Entrada
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Condiciones Generales de Entrada
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Condiciones Generales de Salida
Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
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Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
Caso 1 a2 lt 30deg En este caso es posible calcular la superficie humedecida a (distancia 4 - 3) pormedio de la siguiente expresioacuten
2
2
2
2
2
2
2coscos a a a sen
hd d a
d = L - M + O3M
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Luego de dibujar la presa de tierra a escala se sentildeala en ella la superficie humedecida aguas
abajo a calculada por la foacutermula anterior El siguiente paso consiste en el trazado de laliacutenea de saturacioacuten usando el meacutetodo graacutefico aproximado de la paraacutebola baacutesica de Kozenycuyo procedimiento se describe a continuacioacuten
1 Ubicar el punto 2 en la liacutenea freaacutetica a una distancia de 03M medida desde la cara deltalud aguas arriba La cara aguas abajo del talud es tangente a la paraacutebola en el punto 4
2 Prolongar la liacutenea en el talud aguas arriba de la presa Trazar una horizontal por el punto2 hasta cortar la cara del talud aguas abajo El punto de interseccioacuten es 5
3 Dividir 4 -5 Y 5 - 2 en el mismo nuacutemero de partes iguales no maacutes de 4 o 5 y marcarestos puntos (en 2- 5 se parte de 5 numerando con letras A -B etc en 4 - 5 se parte de 4numerando A-B-C etc)
4 Trazar por 4 - 5 liacuteneas horizontales en los puntos marcados
5 Unir cada uno de los puntos marcados en la horizontal 2- 5 con el punto 46 Trazar la liacutenea freaacutetica por los puntos obtenidos 7 Como la liacutenea freaacutetica parte perpendicular a la cara del talud aguas arriba este ajuste
debe realizarse manualmente
=gt M = htg ald =L - O7M
Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
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Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
Caso 2 a2 gt 30deg En este caso el procedimiento a seguir es
d d hP 22
1 La paraacutebola tiene su origen a una distancia P del veacutertice del talud aguas abajo de lapresa es decir este veacutertice es su foco y es tangente a la vertical que pasa por elpunto P
P se calcula por medio de la siguiente expresioacuten
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2 Trazar la paraacutebola baacutesica de Kozeny En este caso la tangente al origen es una liacuteneavertical
3 La distancia desde el punto 4 hasta la interseccioacuten de la paraacutebola con el talud aguasabajo es a + Da y no es realmente el punto por donde sale el agua en el talud porlo tanto se debe realizar una correccioacuten y encontrar a Casagrande encontroacute que larelacioacuten es un escalar que puede ser llamado a y que se relaciona
con el angulo a2 seguacuten se muestra en la siguiente tabla
a
a
D
D
a a2 ( deg ) aacute
30 0375
60 0320
90 0260
120 0185
150 0105
180 0
Los valores entre estos aacutengulos pueden interpolarse
y midiendo a + Da se calcula a usando la tablaDa = aacute ( a + Da ) y a = ( a + Da ) - Da
Finalmente se trazan manualmente la entraday la salida de la liacutenea de saturacioacuten
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EJERCICIO Determine la Linea Superficial de Flujo de la presa de tierra que se presentaa continuacioacuten
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a continuacioacuten
EJERCICIO Determine la Linea Superficial de Flujo de la presa de tierra que se presentaa continuacioacuten
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2
1
a continuacioacuten
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
g
La teoriacutea de la seccioacuten transformada permite reducir al caso de un suelo homogeacuteneo e isoacutetropo un suelo en el que la permeabilidad para el flujo en la direccioacuten horizontal ( kx) y la que tenga para el flujo en la direccioacuten vertical ( ky ) sean diferentes ( kx ne Ky )(por lo general Kx en muchas veces mayor que ky )
La teoriacutea de la seccioacuten transformada es un simple artificio de calculo que se logra por una simple transformacioacuten de coordenadas y que modifica sobre el papel las dimensiones de la zona de flujo en estudio en un suelo isotropico hidraacuteulicamente equivalente
Dos tipos de transformaciones se pueden aplicar a) Haciendo
Y Ky
Kx
Y acute
Se modifican las dimensiones verticales permaneciendo constantes las horizontales
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
g
b) Haciendo
X Kx
Ky X acute
Se modifican las dimensiones Horizontales permaneciendo constantes las Verticales
En la seccioacuten transformada homogeacutenea e isoacutetropa la permeabilidad equivalente viene dada por
kykxk
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
kykxk
X Kx
Ky X acute
2 0 0 0
0 0
kx
ky
k
2 8 2 0 0
0
h
141h
500000
b352463
071b
k
Y Ky
KxY acute
kykx 2
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La presioacuten de filtracioacuten actuacutea en la misma direccioacuten y sentido del flujo del
agua y numeacutericamente es igual al producto de la perdida de carga hidraacuteulicapor el peso unitario del agua
Df = Dh w
El agua puede moverse en distintos sentidos y direcciones En esta parte del
tema se analizaraacute el comportamiento del suelo cuando el movimiento del agua seda en direccioacuten vertical
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FLUJO DESCENDENTE
Cuando el flujo es descendente las presiones de poros se calculan como ladiferencia entre las presiones de poros en condicioacuten hidrostaacutetica y la presioacuten defiltracioacuten
= Dh - Df
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Dh varia linealmente con el espesor del estrato de suelo lo cual puede serdemostrado de la siguiente manera
i = Dh Dh = i LL
Donde
Dh = Peacuterdida de carga
L = Espesor del Estrato i = Gradiente hidraacuteulico = Constante
Perdida de carga en L = 0 Dh(0) = i L = Dh 0 = 0H
Perdida de carga en L = H2 Dh(H2) = i L = Dh H = Dh
H 2 2
Perdida de carga en L = H Dh(H) = i L = Dh H = DhH
Quedando demostrado que la variacioacuten es lineal y se puede expresar la presioacutende filtracioacuten en funcioacuten del gradiente hidraacuteulico por medio de la siguienteexpresioacuten mencionada anteriormente
Df = Dh w = i L w
ldquoEl gradiente hidraacuteulico es la pendiente de las alturas piezometricas y la perdida de energiacutea uniforme es
debida a que el suelo se supone homogeacuteneo e isoacutetropordquo
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En cuanto a los esfuerzos efectivos tenemos
acute = - = Dh - Df
acute = - (Dh - Df ) = - Dh + Df
acuteh = - Dh acute = acuteh + Df
y
Lo cual evidencia que en flujo descendente los esfuerzos efectivos se incrementan en lamisma proporcioacuten que la presioacuten de filtracioacuten y el diagrama de esfuerzos totales presionesde poros y esfuerzos efectivos queda asi
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FLUJO ASCENDENTE
El flujo es ascendente cuando la altura piezomeacutetrica en el punto inferior es mayor
que en el punto superior Las presiones de poros en este caso se calculan como lasuma de las presiones de poros en condicioacuten hidrostaacutetica y la presioacuten de filtracioacuten
= Dh + Df
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En cuanto a los esfuerzos efectivos tenemos
acute = - = Dh + Df
acute = - (Dh + Df ) = - Dh - Df
acuteh = - Dh acute = acuteh - Df
y
Lo cual indica que para flujo ascendente los esfuerzos efectivos disminuyen en igualproporcioacuten que la presioacuten de filtracioacuten y el diagrama de esfuerzos totales presiones deporos y esfuerzos efectivos queda asi
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iquestQue tiende a ocurrir cuando el flujo es Ascendente
Cuando el flujo es ascendente la friccioacuten entre el agua y las paredes de los vaciacuteostiende a levantar los granos de suelo El valor de la presioacuten de filtracioacuten puedecrecer tanto que los esfuerzos efectivos se hacen cero
La resistencia al corte de un suelo granular esdirectamente proporcional a los esfuerzosefectivos por lo que cuando estos se igualan acero el suelo pierde su resistencia al corte y seproduce lo que se conoce como ebullicioacuten delsuelo granular Este fenoacutemeno de ebullicioacuten estaacutelimitado a los suelos sin cohesioacuten y se conoce
con el nombre de Licuefaccioacuten acute
= acute h -
Δf
Fenoacutemeno tiacutepico de suelos granulares cuando pierden resistencia al corte y se
produce una separacioacuten entre las partiacuteculas que hace acute = 0
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En estos casos en que los esfuerzos efectivos se hacen cero la presioacuten de
filtracioacuten se iguala al peso del suelo
H acute ndash Dh w 0
H acute = Dh w
Dh = acute H w
Como Dh = i
H
ic = acute
w
ic seraacute el Gradiente Hidraacuteulico Criacutetico y lo definiremos como el gradiente alcual se produce la ebullicioacuten del suelo
acute = 0 acute h - Δf = 0
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En funcioacuten de la Gravedad Especiacutefica de los Solidos (Gs) y la Relacioacuten de Vaciacuteos (e)desarrollaremos una expresioacuten para el ic
ic = acute
w
Las relaciones de vaciacuteos de la gran mayoriacutea de las arenas estaacuten comprendidasentre 03 y 12 Por otro lado la gravedad especiacutefica de estos suelos oscila entre265 y 270 Si se aplica la formula en esos intervalos se tiene que
acute = sat - w sat = Gs + e w 1+e
acute = Gs + e w ndash w = w Gs + e - 1
1+e 1+e
ic = Gs - 1
1+e
Para e = 03 Gs = 265 ic = 127Gs = 270 ic = 131
Para e = 12 Gs = 265 ic = 075
Gs = 270 ic = 077ldquoSeguacuten estos resultados en un deposito de arena para cualquier Gs practico se pueden encontrar valores de ic entre
075 y 131 De modo que es importante resaltar que los valores de gradiente hidraacuteulico critico en arenas estaacuten cercanos
a la unidad rdquo
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Como se produce la licuefaccioacuten con las sacudidas
siacutesmicas fuertes
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Edificios de estructura de hormigoacuten armado concerramientos y particiones interiores de faacutebrica dantildeados por elterremoto de Nigata Japoacuten 16 de Junio de 1964 magnitudRichter 75
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Ejercicio Bajo las condiciones indicadas en la figura se pide calcular los
esfuerzos totales neutrales y efectivos en las fronteras de los estratos
L
2L
2L
γw
γsat K1
γsat K2
L
K2= 2K1
1
2
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Ejercicio En el perfil estratificado indicado determine las presiones totales
neutrales y efectivas en las fronteras indicadas ademaacutes calcule el factor de
seguridad a la licuefaccioacuten donde sea necesario
L
L
2L
3L
09L
γsat1 γh1 k1
Satcap
γsat2 k2
γsat3 k3
1
2
3
γsat1= 15 γw =12 γh1
γsat2= 17 γw
γsat3= 19 γwk2= 2k1k3= 6k1
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LEVANTAMIENTO DE UN ESTRATO DE ARCILLA
Las fuerzas de filtracioacuten afectan no solamente a los suelos sincohesioacuten sino tambieacuten a los suelos cohesivos soacutelo que lo hacen demodo distinto porque en suelos arcillosos la cohesioacuten existente entrelas partiacuteculas las mantiene unidas de modo tal que se levanta toda la
masa de suelo y no partiacuteculas individuales como en los suelosgranulares
A modo de explicar el comportamiento de los suelos cohesivospondremos el siguiente caso
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LEVANTAMIENTO DE UN ESTRATO DE ARCILLA
Se tienen dos estratos de suelo diferente un suelo cohesivo que descansa sobre unmaterial muy permeable o suelo sin cohesioacuten Se necesita realizar una excavacioacutenen el estrato cohesivo para lo cual se debe determinar la profundidad a excavar yel espesor del estrato luego de realizada la excavacioacuten (tc) de tal manera queresulte seguro al levantamiento
Para realizar la excavacioacuten
se colocan dos tablestacas enel suelo y se procede luego aabatir el nivel del agua pormedio de bombeo tratando demantenerla seca
Por otra parte se desprecianlas fuerzas de friccioacuten que seoriginan cuando se hinca latablestaca
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LEVANTAMIENTO DE UN ESTRATO DE ARCILLA
Observemos que las fuerzas verticales actuantes son el peso del suelo y la presioacutende poros que tienden a levantar el fondo de la excavacioacuten puesto que el flujo es
ascendente El nivel piezomeacutetrico en la superficie del estrato sin cohesioacuten es mayorque el nivel piezomeacutetrico en el fondo de la excavacioacuten por lo que el agua tiende asubir pero como la permeabilidad del estrato de arcilla es tan baja esto resultamuy difiacutecil y se generan presiones en el fondo del rectaacutengulo
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El suelo estaacute saturado por tanto para calcular su peso se usa el peso unitario saturadoentonces
Peso del Suelo = tc sat
Haciendo equilibrio de fuerzas verticales
La presioacuten de poros es la suma de la presioacuten hidrostaacutetica y la de filtracioacuten
= Dh + Df = tc w + Dh w = ( tc + Dh ) w
sumFv = 0 Peso del Suelo - = 0
tc sat = ( tc + Dh ) w
tc sat = tc w + Dh w
tc ( sat - w ) = Dh w tc = Dh w = Df
( sat - w ) acute
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El espesor tc es el espesor criacutetico de la excavacioacuten es decir es el espesor miacutenimo
para el cual la excavacioacuten es segura
Por lo tanto
En espesores lt de tc se produce el levantamiento del fondo de la excavacioacuten
En espesores gt de tc la excavacioacuten es estable
Este fenoacutemeno puede darse tambieacuten parcialmente socavacioacuten
cuando se forman tuacuteneles o cavernas por arrastre de finos que generaninestabilidad y lo que puede ser maacutes grave el colapso del suelo
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EJERCICIOSe pretende realizar una excavacioacuten en un estrato de arcilla de 10 mts de espesor
que descansa sobre un estrato de arena Se pide
a) Calcular la profundidad maacutexima de excavacioacuten sin que se produzca
inestabilidad o levantamiento del fondob) iquestQueacute profundidad de agua libre debe bombearse a modo de poder llevar la
excavacioacuten hasta 8 mts de profundidad
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10m
1m
9m
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10m
1m
9m N
K
habat
N
K
Dh
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FLUJO EN MEDIOS POROSOS
El agua puede fluir a traveacutes de la masa de suelo en cualquier estado
en que este se encuentre aun y cuando el este muy compactado el
agua puede fluir a traveacutes de la masa de suelo ya que los poros estaacuten
interconectados entre si permitiendo el flujo de agua en ese medioporoso movieacutendose esta a lo largo de caminos ondulantes y rugosos
que existen entre un poro y otro lo cual genera peacuterdidas de energiacutea o
carga piezomeacutetrica originadas por la friccioacuten al igual que ocurre
cuando el flujo de agua es por tuberiacuteas o por canales abiertos
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Hasta ahora el estudio del flujo en medios porosos se ha limitado alcaso unidimensional (flujo ascendente y descendente) en el que losparaacutemetros del fluido tales como presioacuten velocidad temperaturaetc son constantes en cualquier seccioacuten transversal que seaperpendicular a la direccioacuten del flujo
En esta parte del tema se estudiaraacute el flujo del agua en tresdimensiones que es el caso maacutes general para lo cual se trabajaraacute conla ecuacioacuten fundamental de flujo Posteriormente se realizansimplificaciones debido a que el anaacutelisis tridimensional de los
problemas de filtracioacuten resulta muy complejo y se trabaja conmeacutetodos aproximados que permiten su resolucioacuten en dosdimensiones
Oacute
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ECUACIOacuteN FUNDAMENTAL DE FLUJO
HIPOTESIS
Dominio Saturado
La Presioacuten y la Velocidad son funcioacuten uacutenicamente de la posicioacuten
El esqueleto mineral del suelo es perfectamente riacutegido
z
y
x x y z
dz
dy
dx
Componente vertical del flujo
Base teoacuterica de la Red de Flujo y para otros
meacutetodos de resolucioacuten de problemas de filtracioacuten
Elemento cuacutebico de suelo a traveacutes del cual se
produce flujo laminar q con componenetes x y z
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z y x qqqq
dydxdz z
VzVzdzdxdy
y
VyVydzdydx
x
VxVxdydxVzdzdxVydzdyVx
Igualamos
dydxdz z
VzVzdzdxdy y
VyVydzdydx x
VxVxq
dydxVzdzdxVydzdyVxq
saliente
entrante
Por continuidad qentrante = qsaliente
Simplificamos y llegamos a la ecuacioacuten de Continuidad 0
z
Vz
y
Vy
x
Vx
Aplicamos Ley de Darcy (V = -ki = -k h L) 02
2
2
2
2
2
z
hkz
y
hky
x
hkx
Asumimos el suelo Isotroacutepico (kx = ky = kz) h z
h
y
h
x
h 2
2
2
2
2
2
2
0
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
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La ecuacioacuten de Laplace describe matemaacuteticamente el flujo de aguaen la regioacuten considerada
Expresa la suma de la variacioacuten de los gradientes hidraacuteulicos en lasdirecciones X Y y Z es Nula
h z
h
y
h
x
h 2
2
2
2
2
2
2
0
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
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SOLUCIOacuteN DE LA ECUACIOacuteN DE LAPLACE EN 2 DIMENSIONES
FUNCIOacuteN POTENCIAL DE LA VELOCIDAD =
( x y) = constante = -kh + c Es dependiente del potencial hidraacuteulico y su variacioacuten genera velocidad en
el agua
Derivando con respecto a X y a Y
x
hk
x
y
hk
y
x
hk Vx
y
hk Vy Entonces Vx
x
Vy
y
Resolvemos derivando con respecto a X y a Y y aplicamos la ecuacioacuten de Continuidad
2
2
2
2
2
0 y x
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satisface la ecuacioacuten de Laplace siendo la solucioacuten de la mismaen dos dimensiones
define para cada valor de esa constante una linea continua cuyospuntos tiene igual potencial hidraacuteulico h y son denominadasldquoLineas Equipotencialesrdquo
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
2
2
2
2
2
0 y x
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FUNCIOacuteN DE FLUJO =
( x y) = constante
Entonces
Resolvemos derivando con respecto a X y a Y y aplicamos la ecuacioacuten de Continuidad
0 D
D
y
y x
x
Dx
Dy
Vy
Vx
Por continuidad qentrante = qsaliente
0 DD yVx xVy yVy
Vx x DD Asumiendo Vx
x
Vy
y
2
2
2
2
2
0 y x
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cumple con la ecuacioacuten de Laplace por lo tanto es una solucioacuten ala misma en dos dimensiones
define para cada valor de la constante una linea continua querepresenta la trayectoria de agua Se denominan ldquoLineas de Flujordquo oacuteldquoLineas de Corrienterdquo
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
2
2
2
2
2
0 y x
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RELACIOacuteN ENTRE LAS LINEAS EQUIPOTENCIALES YLINEAS DE FLUJO O DE CORRIENTE
Considerando las derivadas totales a lo largo de cada una de las curvas
y
x
x
y
x
y
x
y
Pendientes Reciacuteprocas y de signo contario lo cual escondicioacuten de Ortogonalidad y son Ortogonales encada punto de interseccioacuten
REDES DE FLUJO
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REDES DE FLUJO
La red de flujo es la solucioacuten graacutefica la ecuacioacuten de Laplace en 2 dimensiones
Desafortunadamente la ecuacioacuten de Laplace es matemaacuteticamente integrable solo encondiciones de frontera muy simples por lo que en la praacutectica es necesario emplearotros meacutetodos diferentes de la integracioacuten para obtener la red de flujo Uno de esosmeacutetodos es el procedimiento graacutefico de Forcheimer que resulta ser muy simple deaplicar cualquiera sea el problema de flujo uniforme en dos dimensiones
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El espacio entre cualquier par de liacuteneas de flujo consecutivas es un canal de flujoen el trazado de la red se debe seleccionar un cierto nuacutemero de canales de flujo
Nf tal que el gasto de infiltracioacuten a traveacutes de cada canal sea el mismoDq = q Nf
La peacuterdida de carga entre cualquier par de liacuteneas equipotenciales consecutivas es lamisma e igual a Dh Donde Dhacute = Dh Nd (Dh es la peacuterdida de carga total y Nd elnuacutemero de caiacutedas de potencial)
El ancho del canal es a y la distancia entre las caiacutedas equipotenciales es b paracualquier elemento considerado
El gasto que circula por cualquier elemento es Dq = k i A
El gradiente hidraacuteulico del elemento es i = Dhacute b = ( Dh Nd ) bEntoces Dq = k ( ( Dh Nd ) b ) a L donde L es el ancho de la red en la tercera dimensioacuten
REDES DE FLUJO
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REDES DE FLUJO
Como Dq = q Nf entonces q = Dq Nf = k ( ( Dh Nd ) b ) a L Nf
La razoacuten a b esta fijada por la razoacuten Nf Nd y es la misma a traveacutes de toda la redNf y Nd deben seleccionarse de modo que a = b y a b = 1 Con lo que laecuacioacuten de gasto se transforma en
Reordenando q = k Dh ( Nf Nd ) (a b ) L
q = k Dh ( Nf Nd ) L
Aacute
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1) Hacer un dibujo a escala que muestre la masa de suelo los liacutemites permeables a
traveacutes de los cuales entra y sale el agua del suelo y las fronteras impermeables que
confinan o limitan el flujo
2) Dibujar de dos a cuatro liacuteneas de flujo que formen aacutengulos rectos con los liacutemitespermeables a la entrada y a la salida y que sean aproximadamente paralelas a losliacutemites impermeables
3) Dibujar liacuteneas equipotenciales que formen aacutengulos rectos con las liacuteneas de flujo demanera que el ancho y el largo promedio del cuadrado curviliacuteneo que forman seaniguales (a=b) Desde luego esto es imposible de lograr en el primer tanteo porquelas posiciones de las liacuteneas de flujo son supuestas pero esta primera red serviraacute deguiacutea para un segundo tanteo
4) Se reajustan las liacuteneas de flujo y las liacuteneas equipotenciales hasta que todas lasintersecciones sean en aacutengulo recto y el largo y ancho de cada cuadrado seaniguales Los tamantildeos de los cuadrados pueden ser distintos pero la relacioacuten ab = 1debe mantenerse
REGLAS PRAacuteCTICAS PARA ELABORAR REDES DE FLUJO
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El logro de una solucioacuten exacta requiere de muchos tanteos y
algunos problemas no admiten en su solucioacuten un nuacutemeroexacto de canales yo de caiacutedas equipotenciales en estos casosdebe intentarse con un nuacutemero de canales yo caiacutedasequipotenciales fraccionario (media caiacuteda o medio canal porejemplo)
Al lograr trazar la red de flujo de cuadrados curviliacuteneossatisfaciendo las condiciones de frontera del problema seobtendraacute la solucioacuten graacutefica de este problema para las
condiciones de frontera del problema se obtendraacute la solucioacutengraacutefica de este para las condiciones hidrodinaacutemicasestablecidas por la ecuacioacuten de Laplace
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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J g j
6 0
0 m
BA
I II III IV V VI VII
C
D
6 0
0 m
6 0
0 m
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
1) Altura piezometrica en A
2) Esfuerzo efectivo en B
3) Gradiente hidraacuteulico velocidades de descarga y de filtracioacuten
en C
4) Presiones hidraacuteulicas sobre el tablestacado5) Gradiente hidraacuteulico de salida y factor de seguridad contra la
arena movediza (licuefaccioacuten)
6) Factor de seguridad a la Tubificacioacuten
7) Presiones hidraacuteulicas sobre el fondo impermeable
8) Presioacuten de filtracioacuten en D
9) Caudal de Filtracioacuten bajo la presa sabiendo que L= 50 m
0m 3m 5m 10m
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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J g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
γconc= 235 Tm3
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
γconc= 235 Tm3
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg γsat= 218 Tm3 γconc= 235 Tm3
LINEA SUPERFICIAL DE FLUJO
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LINEA SUPERFICIAL DE FLUJO
En algunos casos un liacutemite de las liacuteneas de flujo puede ser una superficie de agualibre o superficie de saturacioacuten que no estaacute determinada por ninguna masa soacutelida
impermeable
Tal es el caso de las presas de tierra cuyo problema de flujo presenta caracteriacutesticasespeciales y por lo tanto se requiere del uso de meacutetodos tambieacuten especiales paralograr el trazado de la red de flujo
a
b
c
Equipotencial
Liacutenea de Flujo
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En la figura se presenta una presa de tierra de un material heterogeacuteneo eacute isoacutetropo La liacutenea 1-2 es una liacutenea equipotencial puesto que es el contacto entre el suelo permeable y el agua La liacutenea1-3 es un contacto entre la frontera impermeable y el material permeable por lo tanto es unaliacutenea de flujo Entre los puntos 2 y 4 existe una frontera del flujo donde por debajo de ella elsuelo estaacute saturado y por encima no lo estaacute Ahora bien esta liacutenea que limita la zona de flujodentro de la presa recibe el nombre de liacutenea superficial de flujo o liacutenea de saturacioacuten Suforma se desconoce a priori y tambieacuten la posicioacuten del punto 4 ambos deben ser determinados almenos aproximadamente para poder trazar la red de flujo
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La liacutenea de saturacioacuten ademaacutes de ser una liacutenea de flujo es tambieacuten una liacutenea de
equipresioacuten en la que todos los puntos tienen la misma presioacuten cero Por lo tantoel potencial hidraacuteulico depende de la carga de elevacioacuten uacutenicamente y las liacuteneasequipotenciales la cortaran a intervalos verticales iguales entre si
Condiciones Generales de Entrada
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Condiciones Generales de Entrada
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Condiciones Generales de Salida
Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
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Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
Caso 1 a2 lt 30deg En este caso es posible calcular la superficie humedecida a (distancia 4 - 3) pormedio de la siguiente expresioacuten
2
2
2
2
2
2
2coscos a a a sen
hd d a
d = L - M + O3M
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Luego de dibujar la presa de tierra a escala se sentildeala en ella la superficie humedecida aguas
abajo a calculada por la foacutermula anterior El siguiente paso consiste en el trazado de laliacutenea de saturacioacuten usando el meacutetodo graacutefico aproximado de la paraacutebola baacutesica de Kozenycuyo procedimiento se describe a continuacioacuten
1 Ubicar el punto 2 en la liacutenea freaacutetica a una distancia de 03M medida desde la cara deltalud aguas arriba La cara aguas abajo del talud es tangente a la paraacutebola en el punto 4
2 Prolongar la liacutenea en el talud aguas arriba de la presa Trazar una horizontal por el punto2 hasta cortar la cara del talud aguas abajo El punto de interseccioacuten es 5
3 Dividir 4 -5 Y 5 - 2 en el mismo nuacutemero de partes iguales no maacutes de 4 o 5 y marcarestos puntos (en 2- 5 se parte de 5 numerando con letras A -B etc en 4 - 5 se parte de 4numerando A-B-C etc)
4 Trazar por 4 - 5 liacuteneas horizontales en los puntos marcados
5 Unir cada uno de los puntos marcados en la horizontal 2- 5 con el punto 46 Trazar la liacutenea freaacutetica por los puntos obtenidos 7 Como la liacutenea freaacutetica parte perpendicular a la cara del talud aguas arriba este ajuste
debe realizarse manualmente
=gt M = htg ald =L - O7M
Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
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Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
Caso 2 a2 gt 30deg En este caso el procedimiento a seguir es
d d hP 22
1 La paraacutebola tiene su origen a una distancia P del veacutertice del talud aguas abajo de lapresa es decir este veacutertice es su foco y es tangente a la vertical que pasa por elpunto P
P se calcula por medio de la siguiente expresioacuten
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2 Trazar la paraacutebola baacutesica de Kozeny En este caso la tangente al origen es una liacuteneavertical
3 La distancia desde el punto 4 hasta la interseccioacuten de la paraacutebola con el talud aguasabajo es a + Da y no es realmente el punto por donde sale el agua en el talud porlo tanto se debe realizar una correccioacuten y encontrar a Casagrande encontroacute que larelacioacuten es un escalar que puede ser llamado a y que se relaciona
con el angulo a2 seguacuten se muestra en la siguiente tabla
a
a
D
D
a a2 ( deg ) aacute
30 0375
60 0320
90 0260
120 0185
150 0105
180 0
Los valores entre estos aacutengulos pueden interpolarse
y midiendo a + Da se calcula a usando la tablaDa = aacute ( a + Da ) y a = ( a + Da ) - Da
Finalmente se trazan manualmente la entraday la salida de la liacutenea de saturacioacuten
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EJERCICIO Determine la Linea Superficial de Flujo de la presa de tierra que se presentaa continuacioacuten
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a continuacioacuten
EJERCICIO Determine la Linea Superficial de Flujo de la presa de tierra que se presentaa continuacioacuten
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2
1
a continuacioacuten
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
g
La teoriacutea de la seccioacuten transformada permite reducir al caso de un suelo homogeacuteneo e isoacutetropo un suelo en el que la permeabilidad para el flujo en la direccioacuten horizontal ( kx) y la que tenga para el flujo en la direccioacuten vertical ( ky ) sean diferentes ( kx ne Ky )(por lo general Kx en muchas veces mayor que ky )
La teoriacutea de la seccioacuten transformada es un simple artificio de calculo que se logra por una simple transformacioacuten de coordenadas y que modifica sobre el papel las dimensiones de la zona de flujo en estudio en un suelo isotropico hidraacuteulicamente equivalente
Dos tipos de transformaciones se pueden aplicar a) Haciendo
Y Ky
Kx
Y acute
Se modifican las dimensiones verticales permaneciendo constantes las horizontales
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
g
b) Haciendo
X Kx
Ky X acute
Se modifican las dimensiones Horizontales permaneciendo constantes las Verticales
En la seccioacuten transformada homogeacutenea e isoacutetropa la permeabilidad equivalente viene dada por
kykxk
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
kykxk
X Kx
Ky X acute
2 0 0 0
0 0
kx
ky
k
2 8 2 0 0
0
h
141h
500000
b352463
071b
k
Y Ky
KxY acute
kykx 2
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FLUJO DESCENDENTE
Cuando el flujo es descendente las presiones de poros se calculan como ladiferencia entre las presiones de poros en condicioacuten hidrostaacutetica y la presioacuten defiltracioacuten
= Dh - Df
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Dh varia linealmente con el espesor del estrato de suelo lo cual puede serdemostrado de la siguiente manera
i = Dh Dh = i LL
Donde
Dh = Peacuterdida de carga
L = Espesor del Estrato i = Gradiente hidraacuteulico = Constante
Perdida de carga en L = 0 Dh(0) = i L = Dh 0 = 0H
Perdida de carga en L = H2 Dh(H2) = i L = Dh H = Dh
H 2 2
Perdida de carga en L = H Dh(H) = i L = Dh H = DhH
Quedando demostrado que la variacioacuten es lineal y se puede expresar la presioacutende filtracioacuten en funcioacuten del gradiente hidraacuteulico por medio de la siguienteexpresioacuten mencionada anteriormente
Df = Dh w = i L w
ldquoEl gradiente hidraacuteulico es la pendiente de las alturas piezometricas y la perdida de energiacutea uniforme es
debida a que el suelo se supone homogeacuteneo e isoacutetropordquo
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En cuanto a los esfuerzos efectivos tenemos
acute = - = Dh - Df
acute = - (Dh - Df ) = - Dh + Df
acuteh = - Dh acute = acuteh + Df
y
Lo cual evidencia que en flujo descendente los esfuerzos efectivos se incrementan en lamisma proporcioacuten que la presioacuten de filtracioacuten y el diagrama de esfuerzos totales presionesde poros y esfuerzos efectivos queda asi
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FLUJO ASCENDENTE
El flujo es ascendente cuando la altura piezomeacutetrica en el punto inferior es mayor
que en el punto superior Las presiones de poros en este caso se calculan como lasuma de las presiones de poros en condicioacuten hidrostaacutetica y la presioacuten de filtracioacuten
= Dh + Df
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En cuanto a los esfuerzos efectivos tenemos
acute = - = Dh + Df
acute = - (Dh + Df ) = - Dh - Df
acuteh = - Dh acute = acuteh - Df
y
Lo cual indica que para flujo ascendente los esfuerzos efectivos disminuyen en igualproporcioacuten que la presioacuten de filtracioacuten y el diagrama de esfuerzos totales presiones deporos y esfuerzos efectivos queda asi
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iquestQue tiende a ocurrir cuando el flujo es Ascendente
Cuando el flujo es ascendente la friccioacuten entre el agua y las paredes de los vaciacuteostiende a levantar los granos de suelo El valor de la presioacuten de filtracioacuten puedecrecer tanto que los esfuerzos efectivos se hacen cero
La resistencia al corte de un suelo granular esdirectamente proporcional a los esfuerzosefectivos por lo que cuando estos se igualan acero el suelo pierde su resistencia al corte y seproduce lo que se conoce como ebullicioacuten delsuelo granular Este fenoacutemeno de ebullicioacuten estaacutelimitado a los suelos sin cohesioacuten y se conoce
con el nombre de Licuefaccioacuten acute
= acute h -
Δf
Fenoacutemeno tiacutepico de suelos granulares cuando pierden resistencia al corte y se
produce una separacioacuten entre las partiacuteculas que hace acute = 0
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En estos casos en que los esfuerzos efectivos se hacen cero la presioacuten de
filtracioacuten se iguala al peso del suelo
H acute ndash Dh w 0
H acute = Dh w
Dh = acute H w
Como Dh = i
H
ic = acute
w
ic seraacute el Gradiente Hidraacuteulico Criacutetico y lo definiremos como el gradiente alcual se produce la ebullicioacuten del suelo
acute = 0 acute h - Δf = 0
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En funcioacuten de la Gravedad Especiacutefica de los Solidos (Gs) y la Relacioacuten de Vaciacuteos (e)desarrollaremos una expresioacuten para el ic
ic = acute
w
Las relaciones de vaciacuteos de la gran mayoriacutea de las arenas estaacuten comprendidasentre 03 y 12 Por otro lado la gravedad especiacutefica de estos suelos oscila entre265 y 270 Si se aplica la formula en esos intervalos se tiene que
acute = sat - w sat = Gs + e w 1+e
acute = Gs + e w ndash w = w Gs + e - 1
1+e 1+e
ic = Gs - 1
1+e
Para e = 03 Gs = 265 ic = 127Gs = 270 ic = 131
Para e = 12 Gs = 265 ic = 075
Gs = 270 ic = 077ldquoSeguacuten estos resultados en un deposito de arena para cualquier Gs practico se pueden encontrar valores de ic entre
075 y 131 De modo que es importante resaltar que los valores de gradiente hidraacuteulico critico en arenas estaacuten cercanos
a la unidad rdquo
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Como se produce la licuefaccioacuten con las sacudidas
siacutesmicas fuertes
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Edificios de estructura de hormigoacuten armado concerramientos y particiones interiores de faacutebrica dantildeados por elterremoto de Nigata Japoacuten 16 de Junio de 1964 magnitudRichter 75
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Ejercicio Bajo las condiciones indicadas en la figura se pide calcular los
esfuerzos totales neutrales y efectivos en las fronteras de los estratos
L
2L
2L
γw
γsat K1
γsat K2
L
K2= 2K1
1
2
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Ejercicio En el perfil estratificado indicado determine las presiones totales
neutrales y efectivas en las fronteras indicadas ademaacutes calcule el factor de
seguridad a la licuefaccioacuten donde sea necesario
L
L
2L
3L
09L
γsat1 γh1 k1
Satcap
γsat2 k2
γsat3 k3
1
2
3
γsat1= 15 γw =12 γh1
γsat2= 17 γw
γsat3= 19 γwk2= 2k1k3= 6k1
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LEVANTAMIENTO DE UN ESTRATO DE ARCILLA
Las fuerzas de filtracioacuten afectan no solamente a los suelos sincohesioacuten sino tambieacuten a los suelos cohesivos soacutelo que lo hacen demodo distinto porque en suelos arcillosos la cohesioacuten existente entrelas partiacuteculas las mantiene unidas de modo tal que se levanta toda la
masa de suelo y no partiacuteculas individuales como en los suelosgranulares
A modo de explicar el comportamiento de los suelos cohesivospondremos el siguiente caso
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LEVANTAMIENTO DE UN ESTRATO DE ARCILLA
Se tienen dos estratos de suelo diferente un suelo cohesivo que descansa sobre unmaterial muy permeable o suelo sin cohesioacuten Se necesita realizar una excavacioacutenen el estrato cohesivo para lo cual se debe determinar la profundidad a excavar yel espesor del estrato luego de realizada la excavacioacuten (tc) de tal manera queresulte seguro al levantamiento
Para realizar la excavacioacuten
se colocan dos tablestacas enel suelo y se procede luego aabatir el nivel del agua pormedio de bombeo tratando demantenerla seca
Por otra parte se desprecianlas fuerzas de friccioacuten que seoriginan cuando se hinca latablestaca
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LEVANTAMIENTO DE UN ESTRATO DE ARCILLA
Observemos que las fuerzas verticales actuantes son el peso del suelo y la presioacutende poros que tienden a levantar el fondo de la excavacioacuten puesto que el flujo es
ascendente El nivel piezomeacutetrico en la superficie del estrato sin cohesioacuten es mayorque el nivel piezomeacutetrico en el fondo de la excavacioacuten por lo que el agua tiende asubir pero como la permeabilidad del estrato de arcilla es tan baja esto resultamuy difiacutecil y se generan presiones en el fondo del rectaacutengulo
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El suelo estaacute saturado por tanto para calcular su peso se usa el peso unitario saturadoentonces
Peso del Suelo = tc sat
Haciendo equilibrio de fuerzas verticales
La presioacuten de poros es la suma de la presioacuten hidrostaacutetica y la de filtracioacuten
= Dh + Df = tc w + Dh w = ( tc + Dh ) w
sumFv = 0 Peso del Suelo - = 0
tc sat = ( tc + Dh ) w
tc sat = tc w + Dh w
tc ( sat - w ) = Dh w tc = Dh w = Df
( sat - w ) acute
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El espesor tc es el espesor criacutetico de la excavacioacuten es decir es el espesor miacutenimo
para el cual la excavacioacuten es segura
Por lo tanto
En espesores lt de tc se produce el levantamiento del fondo de la excavacioacuten
En espesores gt de tc la excavacioacuten es estable
Este fenoacutemeno puede darse tambieacuten parcialmente socavacioacuten
cuando se forman tuacuteneles o cavernas por arrastre de finos que generaninestabilidad y lo que puede ser maacutes grave el colapso del suelo
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EJERCICIOSe pretende realizar una excavacioacuten en un estrato de arcilla de 10 mts de espesor
que descansa sobre un estrato de arena Se pide
a) Calcular la profundidad maacutexima de excavacioacuten sin que se produzca
inestabilidad o levantamiento del fondob) iquestQueacute profundidad de agua libre debe bombearse a modo de poder llevar la
excavacioacuten hasta 8 mts de profundidad
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10m
1m
9m
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10m
1m
9m N
K
habat
N
K
Dh
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FLUJO EN MEDIOS POROSOS
El agua puede fluir a traveacutes de la masa de suelo en cualquier estado
en que este se encuentre aun y cuando el este muy compactado el
agua puede fluir a traveacutes de la masa de suelo ya que los poros estaacuten
interconectados entre si permitiendo el flujo de agua en ese medioporoso movieacutendose esta a lo largo de caminos ondulantes y rugosos
que existen entre un poro y otro lo cual genera peacuterdidas de energiacutea o
carga piezomeacutetrica originadas por la friccioacuten al igual que ocurre
cuando el flujo de agua es por tuberiacuteas o por canales abiertos
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Hasta ahora el estudio del flujo en medios porosos se ha limitado alcaso unidimensional (flujo ascendente y descendente) en el que losparaacutemetros del fluido tales como presioacuten velocidad temperaturaetc son constantes en cualquier seccioacuten transversal que seaperpendicular a la direccioacuten del flujo
En esta parte del tema se estudiaraacute el flujo del agua en tresdimensiones que es el caso maacutes general para lo cual se trabajaraacute conla ecuacioacuten fundamental de flujo Posteriormente se realizansimplificaciones debido a que el anaacutelisis tridimensional de los
problemas de filtracioacuten resulta muy complejo y se trabaja conmeacutetodos aproximados que permiten su resolucioacuten en dosdimensiones
Oacute
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ECUACIOacuteN FUNDAMENTAL DE FLUJO
HIPOTESIS
Dominio Saturado
La Presioacuten y la Velocidad son funcioacuten uacutenicamente de la posicioacuten
El esqueleto mineral del suelo es perfectamente riacutegido
z
y
x x y z
dz
dy
dx
Componente vertical del flujo
Base teoacuterica de la Red de Flujo y para otros
meacutetodos de resolucioacuten de problemas de filtracioacuten
Elemento cuacutebico de suelo a traveacutes del cual se
produce flujo laminar q con componenetes x y z
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z y x qqqq
dydxdz z
VzVzdzdxdy
y
VyVydzdydx
x
VxVxdydxVzdzdxVydzdyVx
Igualamos
dydxdz z
VzVzdzdxdy y
VyVydzdydx x
VxVxq
dydxVzdzdxVydzdyVxq
saliente
entrante
Por continuidad qentrante = qsaliente
Simplificamos y llegamos a la ecuacioacuten de Continuidad 0
z
Vz
y
Vy
x
Vx
Aplicamos Ley de Darcy (V = -ki = -k h L) 02
2
2
2
2
2
z
hkz
y
hky
x
hkx
Asumimos el suelo Isotroacutepico (kx = ky = kz) h z
h
y
h
x
h 2
2
2
2
2
2
2
0
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
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La ecuacioacuten de Laplace describe matemaacuteticamente el flujo de aguaen la regioacuten considerada
Expresa la suma de la variacioacuten de los gradientes hidraacuteulicos en lasdirecciones X Y y Z es Nula
h z
h
y
h
x
h 2
2
2
2
2
2
2
0
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
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SOLUCIOacuteN DE LA ECUACIOacuteN DE LAPLACE EN 2 DIMENSIONES
FUNCIOacuteN POTENCIAL DE LA VELOCIDAD =
( x y) = constante = -kh + c Es dependiente del potencial hidraacuteulico y su variacioacuten genera velocidad en
el agua
Derivando con respecto a X y a Y
x
hk
x
y
hk
y
x
hk Vx
y
hk Vy Entonces Vx
x
Vy
y
Resolvemos derivando con respecto a X y a Y y aplicamos la ecuacioacuten de Continuidad
2
2
2
2
2
0 y x
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satisface la ecuacioacuten de Laplace siendo la solucioacuten de la mismaen dos dimensiones
define para cada valor de esa constante una linea continua cuyospuntos tiene igual potencial hidraacuteulico h y son denominadasldquoLineas Equipotencialesrdquo
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
2
2
2
2
2
0 y x
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FUNCIOacuteN DE FLUJO =
( x y) = constante
Entonces
Resolvemos derivando con respecto a X y a Y y aplicamos la ecuacioacuten de Continuidad
0 D
D
y
y x
x
Dx
Dy
Vy
Vx
Por continuidad qentrante = qsaliente
0 DD yVx xVy yVy
Vx x DD Asumiendo Vx
x
Vy
y
2
2
2
2
2
0 y x
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cumple con la ecuacioacuten de Laplace por lo tanto es una solucioacuten ala misma en dos dimensiones
define para cada valor de la constante una linea continua querepresenta la trayectoria de agua Se denominan ldquoLineas de Flujordquo oacuteldquoLineas de Corrienterdquo
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
2
2
2
2
2
0 y x
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RELACIOacuteN ENTRE LAS LINEAS EQUIPOTENCIALES YLINEAS DE FLUJO O DE CORRIENTE
Considerando las derivadas totales a lo largo de cada una de las curvas
y
x
x
y
x
y
x
y
Pendientes Reciacuteprocas y de signo contario lo cual escondicioacuten de Ortogonalidad y son Ortogonales encada punto de interseccioacuten
REDES DE FLUJO
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REDES DE FLUJO
La red de flujo es la solucioacuten graacutefica la ecuacioacuten de Laplace en 2 dimensiones
Desafortunadamente la ecuacioacuten de Laplace es matemaacuteticamente integrable solo encondiciones de frontera muy simples por lo que en la praacutectica es necesario emplearotros meacutetodos diferentes de la integracioacuten para obtener la red de flujo Uno de esosmeacutetodos es el procedimiento graacutefico de Forcheimer que resulta ser muy simple deaplicar cualquiera sea el problema de flujo uniforme en dos dimensiones
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El espacio entre cualquier par de liacuteneas de flujo consecutivas es un canal de flujoen el trazado de la red se debe seleccionar un cierto nuacutemero de canales de flujo
Nf tal que el gasto de infiltracioacuten a traveacutes de cada canal sea el mismoDq = q Nf
La peacuterdida de carga entre cualquier par de liacuteneas equipotenciales consecutivas es lamisma e igual a Dh Donde Dhacute = Dh Nd (Dh es la peacuterdida de carga total y Nd elnuacutemero de caiacutedas de potencial)
El ancho del canal es a y la distancia entre las caiacutedas equipotenciales es b paracualquier elemento considerado
El gasto que circula por cualquier elemento es Dq = k i A
El gradiente hidraacuteulico del elemento es i = Dhacute b = ( Dh Nd ) bEntoces Dq = k ( ( Dh Nd ) b ) a L donde L es el ancho de la red en la tercera dimensioacuten
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REDES DE FLUJO
Como Dq = q Nf entonces q = Dq Nf = k ( ( Dh Nd ) b ) a L Nf
La razoacuten a b esta fijada por la razoacuten Nf Nd y es la misma a traveacutes de toda la redNf y Nd deben seleccionarse de modo que a = b y a b = 1 Con lo que laecuacioacuten de gasto se transforma en
Reordenando q = k Dh ( Nf Nd ) (a b ) L
q = k Dh ( Nf Nd ) L
Aacute
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1) Hacer un dibujo a escala que muestre la masa de suelo los liacutemites permeables a
traveacutes de los cuales entra y sale el agua del suelo y las fronteras impermeables que
confinan o limitan el flujo
2) Dibujar de dos a cuatro liacuteneas de flujo que formen aacutengulos rectos con los liacutemitespermeables a la entrada y a la salida y que sean aproximadamente paralelas a losliacutemites impermeables
3) Dibujar liacuteneas equipotenciales que formen aacutengulos rectos con las liacuteneas de flujo demanera que el ancho y el largo promedio del cuadrado curviliacuteneo que forman seaniguales (a=b) Desde luego esto es imposible de lograr en el primer tanteo porquelas posiciones de las liacuteneas de flujo son supuestas pero esta primera red serviraacute deguiacutea para un segundo tanteo
4) Se reajustan las liacuteneas de flujo y las liacuteneas equipotenciales hasta que todas lasintersecciones sean en aacutengulo recto y el largo y ancho de cada cuadrado seaniguales Los tamantildeos de los cuadrados pueden ser distintos pero la relacioacuten ab = 1debe mantenerse
REGLAS PRAacuteCTICAS PARA ELABORAR REDES DE FLUJO
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El logro de una solucioacuten exacta requiere de muchos tanteos y
algunos problemas no admiten en su solucioacuten un nuacutemeroexacto de canales yo de caiacutedas equipotenciales en estos casosdebe intentarse con un nuacutemero de canales yo caiacutedasequipotenciales fraccionario (media caiacuteda o medio canal porejemplo)
Al lograr trazar la red de flujo de cuadrados curviliacuteneossatisfaciendo las condiciones de frontera del problema seobtendraacute la solucioacuten graacutefica de este problema para las
condiciones de frontera del problema se obtendraacute la solucioacutengraacutefica de este para las condiciones hidrodinaacutemicasestablecidas por la ecuacioacuten de Laplace
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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J g j
6 0
0 m
BA
I II III IV V VI VII
C
D
6 0
0 m
6 0
0 m
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
1) Altura piezometrica en A
2) Esfuerzo efectivo en B
3) Gradiente hidraacuteulico velocidades de descarga y de filtracioacuten
en C
4) Presiones hidraacuteulicas sobre el tablestacado5) Gradiente hidraacuteulico de salida y factor de seguridad contra la
arena movediza (licuefaccioacuten)
6) Factor de seguridad a la Tubificacioacuten
7) Presiones hidraacuteulicas sobre el fondo impermeable
8) Presioacuten de filtracioacuten en D
9) Caudal de Filtracioacuten bajo la presa sabiendo que L= 50 m
0m 3m 5m 10m
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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J g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
γconc= 235 Tm3
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
γconc= 235 Tm3
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg γsat= 218 Tm3 γconc= 235 Tm3
LINEA SUPERFICIAL DE FLUJO
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LINEA SUPERFICIAL DE FLUJO
En algunos casos un liacutemite de las liacuteneas de flujo puede ser una superficie de agualibre o superficie de saturacioacuten que no estaacute determinada por ninguna masa soacutelida
impermeable
Tal es el caso de las presas de tierra cuyo problema de flujo presenta caracteriacutesticasespeciales y por lo tanto se requiere del uso de meacutetodos tambieacuten especiales paralograr el trazado de la red de flujo
a
b
c
Equipotencial
Liacutenea de Flujo
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En la figura se presenta una presa de tierra de un material heterogeacuteneo eacute isoacutetropo La liacutenea 1-2 es una liacutenea equipotencial puesto que es el contacto entre el suelo permeable y el agua La liacutenea1-3 es un contacto entre la frontera impermeable y el material permeable por lo tanto es unaliacutenea de flujo Entre los puntos 2 y 4 existe una frontera del flujo donde por debajo de ella elsuelo estaacute saturado y por encima no lo estaacute Ahora bien esta liacutenea que limita la zona de flujodentro de la presa recibe el nombre de liacutenea superficial de flujo o liacutenea de saturacioacuten Suforma se desconoce a priori y tambieacuten la posicioacuten del punto 4 ambos deben ser determinados almenos aproximadamente para poder trazar la red de flujo
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La liacutenea de saturacioacuten ademaacutes de ser una liacutenea de flujo es tambieacuten una liacutenea de
equipresioacuten en la que todos los puntos tienen la misma presioacuten cero Por lo tantoel potencial hidraacuteulico depende de la carga de elevacioacuten uacutenicamente y las liacuteneasequipotenciales la cortaran a intervalos verticales iguales entre si
Condiciones Generales de Entrada
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Condiciones Generales de Entrada
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Condiciones Generales de Salida
Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
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Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
Caso 1 a2 lt 30deg En este caso es posible calcular la superficie humedecida a (distancia 4 - 3) pormedio de la siguiente expresioacuten
2
2
2
2
2
2
2coscos a a a sen
hd d a
d = L - M + O3M
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Luego de dibujar la presa de tierra a escala se sentildeala en ella la superficie humedecida aguas
abajo a calculada por la foacutermula anterior El siguiente paso consiste en el trazado de laliacutenea de saturacioacuten usando el meacutetodo graacutefico aproximado de la paraacutebola baacutesica de Kozenycuyo procedimiento se describe a continuacioacuten
1 Ubicar el punto 2 en la liacutenea freaacutetica a una distancia de 03M medida desde la cara deltalud aguas arriba La cara aguas abajo del talud es tangente a la paraacutebola en el punto 4
2 Prolongar la liacutenea en el talud aguas arriba de la presa Trazar una horizontal por el punto2 hasta cortar la cara del talud aguas abajo El punto de interseccioacuten es 5
3 Dividir 4 -5 Y 5 - 2 en el mismo nuacutemero de partes iguales no maacutes de 4 o 5 y marcarestos puntos (en 2- 5 se parte de 5 numerando con letras A -B etc en 4 - 5 se parte de 4numerando A-B-C etc)
4 Trazar por 4 - 5 liacuteneas horizontales en los puntos marcados
5 Unir cada uno de los puntos marcados en la horizontal 2- 5 con el punto 46 Trazar la liacutenea freaacutetica por los puntos obtenidos 7 Como la liacutenea freaacutetica parte perpendicular a la cara del talud aguas arriba este ajuste
debe realizarse manualmente
=gt M = htg ald =L - O7M
Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
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Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
Caso 2 a2 gt 30deg En este caso el procedimiento a seguir es
d d hP 22
1 La paraacutebola tiene su origen a una distancia P del veacutertice del talud aguas abajo de lapresa es decir este veacutertice es su foco y es tangente a la vertical que pasa por elpunto P
P se calcula por medio de la siguiente expresioacuten
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2 Trazar la paraacutebola baacutesica de Kozeny En este caso la tangente al origen es una liacuteneavertical
3 La distancia desde el punto 4 hasta la interseccioacuten de la paraacutebola con el talud aguasabajo es a + Da y no es realmente el punto por donde sale el agua en el talud porlo tanto se debe realizar una correccioacuten y encontrar a Casagrande encontroacute que larelacioacuten es un escalar que puede ser llamado a y que se relaciona
con el angulo a2 seguacuten se muestra en la siguiente tabla
a
a
D
D
a a2 ( deg ) aacute
30 0375
60 0320
90 0260
120 0185
150 0105
180 0
Los valores entre estos aacutengulos pueden interpolarse
y midiendo a + Da se calcula a usando la tablaDa = aacute ( a + Da ) y a = ( a + Da ) - Da
Finalmente se trazan manualmente la entraday la salida de la liacutenea de saturacioacuten
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EJERCICIO Determine la Linea Superficial de Flujo de la presa de tierra que se presentaa continuacioacuten
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a continuacioacuten
EJERCICIO Determine la Linea Superficial de Flujo de la presa de tierra que se presentaa continuacioacuten
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2
1
a continuacioacuten
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
g
La teoriacutea de la seccioacuten transformada permite reducir al caso de un suelo homogeacuteneo e isoacutetropo un suelo en el que la permeabilidad para el flujo en la direccioacuten horizontal ( kx) y la que tenga para el flujo en la direccioacuten vertical ( ky ) sean diferentes ( kx ne Ky )(por lo general Kx en muchas veces mayor que ky )
La teoriacutea de la seccioacuten transformada es un simple artificio de calculo que se logra por una simple transformacioacuten de coordenadas y que modifica sobre el papel las dimensiones de la zona de flujo en estudio en un suelo isotropico hidraacuteulicamente equivalente
Dos tipos de transformaciones se pueden aplicar a) Haciendo
Y Ky
Kx
Y acute
Se modifican las dimensiones verticales permaneciendo constantes las horizontales
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
g
b) Haciendo
X Kx
Ky X acute
Se modifican las dimensiones Horizontales permaneciendo constantes las Verticales
En la seccioacuten transformada homogeacutenea e isoacutetropa la permeabilidad equivalente viene dada por
kykxk
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
kykxk
X Kx
Ky X acute
2 0 0 0
0 0
kx
ky
k
2 8 2 0 0
0
h
141h
500000
b352463
071b
k
Y Ky
KxY acute
kykx 2
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Dh varia linealmente con el espesor del estrato de suelo lo cual puede serdemostrado de la siguiente manera
i = Dh Dh = i LL
Donde
Dh = Peacuterdida de carga
L = Espesor del Estrato i = Gradiente hidraacuteulico = Constante
Perdida de carga en L = 0 Dh(0) = i L = Dh 0 = 0H
Perdida de carga en L = H2 Dh(H2) = i L = Dh H = Dh
H 2 2
Perdida de carga en L = H Dh(H) = i L = Dh H = DhH
Quedando demostrado que la variacioacuten es lineal y se puede expresar la presioacutende filtracioacuten en funcioacuten del gradiente hidraacuteulico por medio de la siguienteexpresioacuten mencionada anteriormente
Df = Dh w = i L w
ldquoEl gradiente hidraacuteulico es la pendiente de las alturas piezometricas y la perdida de energiacutea uniforme es
debida a que el suelo se supone homogeacuteneo e isoacutetropordquo
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En cuanto a los esfuerzos efectivos tenemos
acute = - = Dh - Df
acute = - (Dh - Df ) = - Dh + Df
acuteh = - Dh acute = acuteh + Df
y
Lo cual evidencia que en flujo descendente los esfuerzos efectivos se incrementan en lamisma proporcioacuten que la presioacuten de filtracioacuten y el diagrama de esfuerzos totales presionesde poros y esfuerzos efectivos queda asi
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FLUJO ASCENDENTE
El flujo es ascendente cuando la altura piezomeacutetrica en el punto inferior es mayor
que en el punto superior Las presiones de poros en este caso se calculan como lasuma de las presiones de poros en condicioacuten hidrostaacutetica y la presioacuten de filtracioacuten
= Dh + Df
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En cuanto a los esfuerzos efectivos tenemos
acute = - = Dh + Df
acute = - (Dh + Df ) = - Dh - Df
acuteh = - Dh acute = acuteh - Df
y
Lo cual indica que para flujo ascendente los esfuerzos efectivos disminuyen en igualproporcioacuten que la presioacuten de filtracioacuten y el diagrama de esfuerzos totales presiones deporos y esfuerzos efectivos queda asi
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iquestQue tiende a ocurrir cuando el flujo es Ascendente
Cuando el flujo es ascendente la friccioacuten entre el agua y las paredes de los vaciacuteostiende a levantar los granos de suelo El valor de la presioacuten de filtracioacuten puedecrecer tanto que los esfuerzos efectivos se hacen cero
La resistencia al corte de un suelo granular esdirectamente proporcional a los esfuerzosefectivos por lo que cuando estos se igualan acero el suelo pierde su resistencia al corte y seproduce lo que se conoce como ebullicioacuten delsuelo granular Este fenoacutemeno de ebullicioacuten estaacutelimitado a los suelos sin cohesioacuten y se conoce
con el nombre de Licuefaccioacuten acute
= acute h -
Δf
Fenoacutemeno tiacutepico de suelos granulares cuando pierden resistencia al corte y se
produce una separacioacuten entre las partiacuteculas que hace acute = 0
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En estos casos en que los esfuerzos efectivos se hacen cero la presioacuten de
filtracioacuten se iguala al peso del suelo
H acute ndash Dh w 0
H acute = Dh w
Dh = acute H w
Como Dh = i
H
ic = acute
w
ic seraacute el Gradiente Hidraacuteulico Criacutetico y lo definiremos como el gradiente alcual se produce la ebullicioacuten del suelo
acute = 0 acute h - Δf = 0
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En funcioacuten de la Gravedad Especiacutefica de los Solidos (Gs) y la Relacioacuten de Vaciacuteos (e)desarrollaremos una expresioacuten para el ic
ic = acute
w
Las relaciones de vaciacuteos de la gran mayoriacutea de las arenas estaacuten comprendidasentre 03 y 12 Por otro lado la gravedad especiacutefica de estos suelos oscila entre265 y 270 Si se aplica la formula en esos intervalos se tiene que
acute = sat - w sat = Gs + e w 1+e
acute = Gs + e w ndash w = w Gs + e - 1
1+e 1+e
ic = Gs - 1
1+e
Para e = 03 Gs = 265 ic = 127Gs = 270 ic = 131
Para e = 12 Gs = 265 ic = 075
Gs = 270 ic = 077ldquoSeguacuten estos resultados en un deposito de arena para cualquier Gs practico se pueden encontrar valores de ic entre
075 y 131 De modo que es importante resaltar que los valores de gradiente hidraacuteulico critico en arenas estaacuten cercanos
a la unidad rdquo
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Como se produce la licuefaccioacuten con las sacudidas
siacutesmicas fuertes
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Edificios de estructura de hormigoacuten armado concerramientos y particiones interiores de faacutebrica dantildeados por elterremoto de Nigata Japoacuten 16 de Junio de 1964 magnitudRichter 75
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Ejercicio Bajo las condiciones indicadas en la figura se pide calcular los
esfuerzos totales neutrales y efectivos en las fronteras de los estratos
L
2L
2L
γw
γsat K1
γsat K2
L
K2= 2K1
1
2
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Ejercicio En el perfil estratificado indicado determine las presiones totales
neutrales y efectivas en las fronteras indicadas ademaacutes calcule el factor de
seguridad a la licuefaccioacuten donde sea necesario
L
L
2L
3L
09L
γsat1 γh1 k1
Satcap
γsat2 k2
γsat3 k3
1
2
3
γsat1= 15 γw =12 γh1
γsat2= 17 γw
γsat3= 19 γwk2= 2k1k3= 6k1
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LEVANTAMIENTO DE UN ESTRATO DE ARCILLA
Las fuerzas de filtracioacuten afectan no solamente a los suelos sincohesioacuten sino tambieacuten a los suelos cohesivos soacutelo que lo hacen demodo distinto porque en suelos arcillosos la cohesioacuten existente entrelas partiacuteculas las mantiene unidas de modo tal que se levanta toda la
masa de suelo y no partiacuteculas individuales como en los suelosgranulares
A modo de explicar el comportamiento de los suelos cohesivospondremos el siguiente caso
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LEVANTAMIENTO DE UN ESTRATO DE ARCILLA
Se tienen dos estratos de suelo diferente un suelo cohesivo que descansa sobre unmaterial muy permeable o suelo sin cohesioacuten Se necesita realizar una excavacioacutenen el estrato cohesivo para lo cual se debe determinar la profundidad a excavar yel espesor del estrato luego de realizada la excavacioacuten (tc) de tal manera queresulte seguro al levantamiento
Para realizar la excavacioacuten
se colocan dos tablestacas enel suelo y se procede luego aabatir el nivel del agua pormedio de bombeo tratando demantenerla seca
Por otra parte se desprecianlas fuerzas de friccioacuten que seoriginan cuando se hinca latablestaca
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LEVANTAMIENTO DE UN ESTRATO DE ARCILLA
Observemos que las fuerzas verticales actuantes son el peso del suelo y la presioacutende poros que tienden a levantar el fondo de la excavacioacuten puesto que el flujo es
ascendente El nivel piezomeacutetrico en la superficie del estrato sin cohesioacuten es mayorque el nivel piezomeacutetrico en el fondo de la excavacioacuten por lo que el agua tiende asubir pero como la permeabilidad del estrato de arcilla es tan baja esto resultamuy difiacutecil y se generan presiones en el fondo del rectaacutengulo
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El suelo estaacute saturado por tanto para calcular su peso se usa el peso unitario saturadoentonces
Peso del Suelo = tc sat
Haciendo equilibrio de fuerzas verticales
La presioacuten de poros es la suma de la presioacuten hidrostaacutetica y la de filtracioacuten
= Dh + Df = tc w + Dh w = ( tc + Dh ) w
sumFv = 0 Peso del Suelo - = 0
tc sat = ( tc + Dh ) w
tc sat = tc w + Dh w
tc ( sat - w ) = Dh w tc = Dh w = Df
( sat - w ) acute
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El espesor tc es el espesor criacutetico de la excavacioacuten es decir es el espesor miacutenimo
para el cual la excavacioacuten es segura
Por lo tanto
En espesores lt de tc se produce el levantamiento del fondo de la excavacioacuten
En espesores gt de tc la excavacioacuten es estable
Este fenoacutemeno puede darse tambieacuten parcialmente socavacioacuten
cuando se forman tuacuteneles o cavernas por arrastre de finos que generaninestabilidad y lo que puede ser maacutes grave el colapso del suelo
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EJERCICIOSe pretende realizar una excavacioacuten en un estrato de arcilla de 10 mts de espesor
que descansa sobre un estrato de arena Se pide
a) Calcular la profundidad maacutexima de excavacioacuten sin que se produzca
inestabilidad o levantamiento del fondob) iquestQueacute profundidad de agua libre debe bombearse a modo de poder llevar la
excavacioacuten hasta 8 mts de profundidad
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10m
1m
9m
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10m
1m
9m N
K
habat
N
K
Dh
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FLUJO EN MEDIOS POROSOS
El agua puede fluir a traveacutes de la masa de suelo en cualquier estado
en que este se encuentre aun y cuando el este muy compactado el
agua puede fluir a traveacutes de la masa de suelo ya que los poros estaacuten
interconectados entre si permitiendo el flujo de agua en ese medioporoso movieacutendose esta a lo largo de caminos ondulantes y rugosos
que existen entre un poro y otro lo cual genera peacuterdidas de energiacutea o
carga piezomeacutetrica originadas por la friccioacuten al igual que ocurre
cuando el flujo de agua es por tuberiacuteas o por canales abiertos
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Hasta ahora el estudio del flujo en medios porosos se ha limitado alcaso unidimensional (flujo ascendente y descendente) en el que losparaacutemetros del fluido tales como presioacuten velocidad temperaturaetc son constantes en cualquier seccioacuten transversal que seaperpendicular a la direccioacuten del flujo
En esta parte del tema se estudiaraacute el flujo del agua en tresdimensiones que es el caso maacutes general para lo cual se trabajaraacute conla ecuacioacuten fundamental de flujo Posteriormente se realizansimplificaciones debido a que el anaacutelisis tridimensional de los
problemas de filtracioacuten resulta muy complejo y se trabaja conmeacutetodos aproximados que permiten su resolucioacuten en dosdimensiones
Oacute
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ECUACIOacuteN FUNDAMENTAL DE FLUJO
HIPOTESIS
Dominio Saturado
La Presioacuten y la Velocidad son funcioacuten uacutenicamente de la posicioacuten
El esqueleto mineral del suelo es perfectamente riacutegido
z
y
x x y z
dz
dy
dx
Componente vertical del flujo
Base teoacuterica de la Red de Flujo y para otros
meacutetodos de resolucioacuten de problemas de filtracioacuten
Elemento cuacutebico de suelo a traveacutes del cual se
produce flujo laminar q con componenetes x y z
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z y x qqqq
dydxdz z
VzVzdzdxdy
y
VyVydzdydx
x
VxVxdydxVzdzdxVydzdyVx
Igualamos
dydxdz z
VzVzdzdxdy y
VyVydzdydx x
VxVxq
dydxVzdzdxVydzdyVxq
saliente
entrante
Por continuidad qentrante = qsaliente
Simplificamos y llegamos a la ecuacioacuten de Continuidad 0
z
Vz
y
Vy
x
Vx
Aplicamos Ley de Darcy (V = -ki = -k h L) 02
2
2
2
2
2
z
hkz
y
hky
x
hkx
Asumimos el suelo Isotroacutepico (kx = ky = kz) h z
h
y
h
x
h 2
2
2
2
2
2
2
0
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
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La ecuacioacuten de Laplace describe matemaacuteticamente el flujo de aguaen la regioacuten considerada
Expresa la suma de la variacioacuten de los gradientes hidraacuteulicos en lasdirecciones X Y y Z es Nula
h z
h
y
h
x
h 2
2
2
2
2
2
2
0
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
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SOLUCIOacuteN DE LA ECUACIOacuteN DE LAPLACE EN 2 DIMENSIONES
FUNCIOacuteN POTENCIAL DE LA VELOCIDAD =
( x y) = constante = -kh + c Es dependiente del potencial hidraacuteulico y su variacioacuten genera velocidad en
el agua
Derivando con respecto a X y a Y
x
hk
x
y
hk
y
x
hk Vx
y
hk Vy Entonces Vx
x
Vy
y
Resolvemos derivando con respecto a X y a Y y aplicamos la ecuacioacuten de Continuidad
2
2
2
2
2
0 y x
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satisface la ecuacioacuten de Laplace siendo la solucioacuten de la mismaen dos dimensiones
define para cada valor de esa constante una linea continua cuyospuntos tiene igual potencial hidraacuteulico h y son denominadasldquoLineas Equipotencialesrdquo
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
2
2
2
2
2
0 y x
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FUNCIOacuteN DE FLUJO =
( x y) = constante
Entonces
Resolvemos derivando con respecto a X y a Y y aplicamos la ecuacioacuten de Continuidad
0 D
D
y
y x
x
Dx
Dy
Vy
Vx
Por continuidad qentrante = qsaliente
0 DD yVx xVy yVy
Vx x DD Asumiendo Vx
x
Vy
y
2
2
2
2
2
0 y x
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cumple con la ecuacioacuten de Laplace por lo tanto es una solucioacuten ala misma en dos dimensiones
define para cada valor de la constante una linea continua querepresenta la trayectoria de agua Se denominan ldquoLineas de Flujordquo oacuteldquoLineas de Corrienterdquo
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
2
2
2
2
2
0 y x
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RELACIOacuteN ENTRE LAS LINEAS EQUIPOTENCIALES YLINEAS DE FLUJO O DE CORRIENTE
Considerando las derivadas totales a lo largo de cada una de las curvas
y
x
x
y
x
y
x
y
Pendientes Reciacuteprocas y de signo contario lo cual escondicioacuten de Ortogonalidad y son Ortogonales encada punto de interseccioacuten
REDES DE FLUJO
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REDES DE FLUJO
La red de flujo es la solucioacuten graacutefica la ecuacioacuten de Laplace en 2 dimensiones
Desafortunadamente la ecuacioacuten de Laplace es matemaacuteticamente integrable solo encondiciones de frontera muy simples por lo que en la praacutectica es necesario emplearotros meacutetodos diferentes de la integracioacuten para obtener la red de flujo Uno de esosmeacutetodos es el procedimiento graacutefico de Forcheimer que resulta ser muy simple deaplicar cualquiera sea el problema de flujo uniforme en dos dimensiones
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El espacio entre cualquier par de liacuteneas de flujo consecutivas es un canal de flujoen el trazado de la red se debe seleccionar un cierto nuacutemero de canales de flujo
Nf tal que el gasto de infiltracioacuten a traveacutes de cada canal sea el mismoDq = q Nf
La peacuterdida de carga entre cualquier par de liacuteneas equipotenciales consecutivas es lamisma e igual a Dh Donde Dhacute = Dh Nd (Dh es la peacuterdida de carga total y Nd elnuacutemero de caiacutedas de potencial)
El ancho del canal es a y la distancia entre las caiacutedas equipotenciales es b paracualquier elemento considerado
El gasto que circula por cualquier elemento es Dq = k i A
El gradiente hidraacuteulico del elemento es i = Dhacute b = ( Dh Nd ) bEntoces Dq = k ( ( Dh Nd ) b ) a L donde L es el ancho de la red en la tercera dimensioacuten
REDES DE FLUJO
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REDES DE FLUJO
Como Dq = q Nf entonces q = Dq Nf = k ( ( Dh Nd ) b ) a L Nf
La razoacuten a b esta fijada por la razoacuten Nf Nd y es la misma a traveacutes de toda la redNf y Nd deben seleccionarse de modo que a = b y a b = 1 Con lo que laecuacioacuten de gasto se transforma en
Reordenando q = k Dh ( Nf Nd ) (a b ) L
q = k Dh ( Nf Nd ) L
Aacute
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1) Hacer un dibujo a escala que muestre la masa de suelo los liacutemites permeables a
traveacutes de los cuales entra y sale el agua del suelo y las fronteras impermeables que
confinan o limitan el flujo
2) Dibujar de dos a cuatro liacuteneas de flujo que formen aacutengulos rectos con los liacutemitespermeables a la entrada y a la salida y que sean aproximadamente paralelas a losliacutemites impermeables
3) Dibujar liacuteneas equipotenciales que formen aacutengulos rectos con las liacuteneas de flujo demanera que el ancho y el largo promedio del cuadrado curviliacuteneo que forman seaniguales (a=b) Desde luego esto es imposible de lograr en el primer tanteo porquelas posiciones de las liacuteneas de flujo son supuestas pero esta primera red serviraacute deguiacutea para un segundo tanteo
4) Se reajustan las liacuteneas de flujo y las liacuteneas equipotenciales hasta que todas lasintersecciones sean en aacutengulo recto y el largo y ancho de cada cuadrado seaniguales Los tamantildeos de los cuadrados pueden ser distintos pero la relacioacuten ab = 1debe mantenerse
REGLAS PRAacuteCTICAS PARA ELABORAR REDES DE FLUJO
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El logro de una solucioacuten exacta requiere de muchos tanteos y
algunos problemas no admiten en su solucioacuten un nuacutemeroexacto de canales yo de caiacutedas equipotenciales en estos casosdebe intentarse con un nuacutemero de canales yo caiacutedasequipotenciales fraccionario (media caiacuteda o medio canal porejemplo)
Al lograr trazar la red de flujo de cuadrados curviliacuteneossatisfaciendo las condiciones de frontera del problema seobtendraacute la solucioacuten graacutefica de este problema para las
condiciones de frontera del problema se obtendraacute la solucioacutengraacutefica de este para las condiciones hidrodinaacutemicasestablecidas por la ecuacioacuten de Laplace
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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J g j
6 0
0 m
BA
I II III IV V VI VII
C
D
6 0
0 m
6 0
0 m
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
1) Altura piezometrica en A
2) Esfuerzo efectivo en B
3) Gradiente hidraacuteulico velocidades de descarga y de filtracioacuten
en C
4) Presiones hidraacuteulicas sobre el tablestacado5) Gradiente hidraacuteulico de salida y factor de seguridad contra la
arena movediza (licuefaccioacuten)
6) Factor de seguridad a la Tubificacioacuten
7) Presiones hidraacuteulicas sobre el fondo impermeable
8) Presioacuten de filtracioacuten en D
9) Caudal de Filtracioacuten bajo la presa sabiendo que L= 50 m
0m 3m 5m 10m
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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J g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
γconc= 235 Tm3
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
γconc= 235 Tm3
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg γsat= 218 Tm3 γconc= 235 Tm3
LINEA SUPERFICIAL DE FLUJO
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LINEA SUPERFICIAL DE FLUJO
En algunos casos un liacutemite de las liacuteneas de flujo puede ser una superficie de agualibre o superficie de saturacioacuten que no estaacute determinada por ninguna masa soacutelida
impermeable
Tal es el caso de las presas de tierra cuyo problema de flujo presenta caracteriacutesticasespeciales y por lo tanto se requiere del uso de meacutetodos tambieacuten especiales paralograr el trazado de la red de flujo
a
b
c
Equipotencial
Liacutenea de Flujo
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En la figura se presenta una presa de tierra de un material heterogeacuteneo eacute isoacutetropo La liacutenea 1-2 es una liacutenea equipotencial puesto que es el contacto entre el suelo permeable y el agua La liacutenea1-3 es un contacto entre la frontera impermeable y el material permeable por lo tanto es unaliacutenea de flujo Entre los puntos 2 y 4 existe una frontera del flujo donde por debajo de ella elsuelo estaacute saturado y por encima no lo estaacute Ahora bien esta liacutenea que limita la zona de flujodentro de la presa recibe el nombre de liacutenea superficial de flujo o liacutenea de saturacioacuten Suforma se desconoce a priori y tambieacuten la posicioacuten del punto 4 ambos deben ser determinados almenos aproximadamente para poder trazar la red de flujo
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La liacutenea de saturacioacuten ademaacutes de ser una liacutenea de flujo es tambieacuten una liacutenea de
equipresioacuten en la que todos los puntos tienen la misma presioacuten cero Por lo tantoel potencial hidraacuteulico depende de la carga de elevacioacuten uacutenicamente y las liacuteneasequipotenciales la cortaran a intervalos verticales iguales entre si
Condiciones Generales de Entrada
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Condiciones Generales de Entrada
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Condiciones Generales de Salida
Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
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Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
Caso 1 a2 lt 30deg En este caso es posible calcular la superficie humedecida a (distancia 4 - 3) pormedio de la siguiente expresioacuten
2
2
2
2
2
2
2coscos a a a sen
hd d a
d = L - M + O3M
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Luego de dibujar la presa de tierra a escala se sentildeala en ella la superficie humedecida aguas
abajo a calculada por la foacutermula anterior El siguiente paso consiste en el trazado de laliacutenea de saturacioacuten usando el meacutetodo graacutefico aproximado de la paraacutebola baacutesica de Kozenycuyo procedimiento se describe a continuacioacuten
1 Ubicar el punto 2 en la liacutenea freaacutetica a una distancia de 03M medida desde la cara deltalud aguas arriba La cara aguas abajo del talud es tangente a la paraacutebola en el punto 4
2 Prolongar la liacutenea en el talud aguas arriba de la presa Trazar una horizontal por el punto2 hasta cortar la cara del talud aguas abajo El punto de interseccioacuten es 5
3 Dividir 4 -5 Y 5 - 2 en el mismo nuacutemero de partes iguales no maacutes de 4 o 5 y marcarestos puntos (en 2- 5 se parte de 5 numerando con letras A -B etc en 4 - 5 se parte de 4numerando A-B-C etc)
4 Trazar por 4 - 5 liacuteneas horizontales en los puntos marcados
5 Unir cada uno de los puntos marcados en la horizontal 2- 5 con el punto 46 Trazar la liacutenea freaacutetica por los puntos obtenidos 7 Como la liacutenea freaacutetica parte perpendicular a la cara del talud aguas arriba este ajuste
debe realizarse manualmente
=gt M = htg ald =L - O7M
Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
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Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
Caso 2 a2 gt 30deg En este caso el procedimiento a seguir es
d d hP 22
1 La paraacutebola tiene su origen a una distancia P del veacutertice del talud aguas abajo de lapresa es decir este veacutertice es su foco y es tangente a la vertical que pasa por elpunto P
P se calcula por medio de la siguiente expresioacuten
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2 Trazar la paraacutebola baacutesica de Kozeny En este caso la tangente al origen es una liacuteneavertical
3 La distancia desde el punto 4 hasta la interseccioacuten de la paraacutebola con el talud aguasabajo es a + Da y no es realmente el punto por donde sale el agua en el talud porlo tanto se debe realizar una correccioacuten y encontrar a Casagrande encontroacute que larelacioacuten es un escalar que puede ser llamado a y que se relaciona
con el angulo a2 seguacuten se muestra en la siguiente tabla
a
a
D
D
a a2 ( deg ) aacute
30 0375
60 0320
90 0260
120 0185
150 0105
180 0
Los valores entre estos aacutengulos pueden interpolarse
y midiendo a + Da se calcula a usando la tablaDa = aacute ( a + Da ) y a = ( a + Da ) - Da
Finalmente se trazan manualmente la entraday la salida de la liacutenea de saturacioacuten
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EJERCICIO Determine la Linea Superficial de Flujo de la presa de tierra que se presentaa continuacioacuten
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a continuacioacuten
EJERCICIO Determine la Linea Superficial de Flujo de la presa de tierra que se presentaa continuacioacuten
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2
1
a continuacioacuten
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
g
La teoriacutea de la seccioacuten transformada permite reducir al caso de un suelo homogeacuteneo e isoacutetropo un suelo en el que la permeabilidad para el flujo en la direccioacuten horizontal ( kx) y la que tenga para el flujo en la direccioacuten vertical ( ky ) sean diferentes ( kx ne Ky )(por lo general Kx en muchas veces mayor que ky )
La teoriacutea de la seccioacuten transformada es un simple artificio de calculo que se logra por una simple transformacioacuten de coordenadas y que modifica sobre el papel las dimensiones de la zona de flujo en estudio en un suelo isotropico hidraacuteulicamente equivalente
Dos tipos de transformaciones se pueden aplicar a) Haciendo
Y Ky
Kx
Y acute
Se modifican las dimensiones verticales permaneciendo constantes las horizontales
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
g
b) Haciendo
X Kx
Ky X acute
Se modifican las dimensiones Horizontales permaneciendo constantes las Verticales
En la seccioacuten transformada homogeacutenea e isoacutetropa la permeabilidad equivalente viene dada por
kykxk
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
kykxk
X Kx
Ky X acute
2 0 0 0
0 0
kx
ky
k
2 8 2 0 0
0
h
141h
500000
b352463
071b
k
Y Ky
KxY acute
kykx 2
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En cuanto a los esfuerzos efectivos tenemos
acute = - = Dh - Df
acute = - (Dh - Df ) = - Dh + Df
acuteh = - Dh acute = acuteh + Df
y
Lo cual evidencia que en flujo descendente los esfuerzos efectivos se incrementan en lamisma proporcioacuten que la presioacuten de filtracioacuten y el diagrama de esfuerzos totales presionesde poros y esfuerzos efectivos queda asi
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FLUJO ASCENDENTE
El flujo es ascendente cuando la altura piezomeacutetrica en el punto inferior es mayor
que en el punto superior Las presiones de poros en este caso se calculan como lasuma de las presiones de poros en condicioacuten hidrostaacutetica y la presioacuten de filtracioacuten
= Dh + Df
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En cuanto a los esfuerzos efectivos tenemos
acute = - = Dh + Df
acute = - (Dh + Df ) = - Dh - Df
acuteh = - Dh acute = acuteh - Df
y
Lo cual indica que para flujo ascendente los esfuerzos efectivos disminuyen en igualproporcioacuten que la presioacuten de filtracioacuten y el diagrama de esfuerzos totales presiones deporos y esfuerzos efectivos queda asi
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iquestQue tiende a ocurrir cuando el flujo es Ascendente
Cuando el flujo es ascendente la friccioacuten entre el agua y las paredes de los vaciacuteostiende a levantar los granos de suelo El valor de la presioacuten de filtracioacuten puedecrecer tanto que los esfuerzos efectivos se hacen cero
La resistencia al corte de un suelo granular esdirectamente proporcional a los esfuerzosefectivos por lo que cuando estos se igualan acero el suelo pierde su resistencia al corte y seproduce lo que se conoce como ebullicioacuten delsuelo granular Este fenoacutemeno de ebullicioacuten estaacutelimitado a los suelos sin cohesioacuten y se conoce
con el nombre de Licuefaccioacuten acute
= acute h -
Δf
Fenoacutemeno tiacutepico de suelos granulares cuando pierden resistencia al corte y se
produce una separacioacuten entre las partiacuteculas que hace acute = 0
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En estos casos en que los esfuerzos efectivos se hacen cero la presioacuten de
filtracioacuten se iguala al peso del suelo
H acute ndash Dh w 0
H acute = Dh w
Dh = acute H w
Como Dh = i
H
ic = acute
w
ic seraacute el Gradiente Hidraacuteulico Criacutetico y lo definiremos como el gradiente alcual se produce la ebullicioacuten del suelo
acute = 0 acute h - Δf = 0
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En funcioacuten de la Gravedad Especiacutefica de los Solidos (Gs) y la Relacioacuten de Vaciacuteos (e)desarrollaremos una expresioacuten para el ic
ic = acute
w
Las relaciones de vaciacuteos de la gran mayoriacutea de las arenas estaacuten comprendidasentre 03 y 12 Por otro lado la gravedad especiacutefica de estos suelos oscila entre265 y 270 Si se aplica la formula en esos intervalos se tiene que
acute = sat - w sat = Gs + e w 1+e
acute = Gs + e w ndash w = w Gs + e - 1
1+e 1+e
ic = Gs - 1
1+e
Para e = 03 Gs = 265 ic = 127Gs = 270 ic = 131
Para e = 12 Gs = 265 ic = 075
Gs = 270 ic = 077ldquoSeguacuten estos resultados en un deposito de arena para cualquier Gs practico se pueden encontrar valores de ic entre
075 y 131 De modo que es importante resaltar que los valores de gradiente hidraacuteulico critico en arenas estaacuten cercanos
a la unidad rdquo
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Como se produce la licuefaccioacuten con las sacudidas
siacutesmicas fuertes
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Edificios de estructura de hormigoacuten armado concerramientos y particiones interiores de faacutebrica dantildeados por elterremoto de Nigata Japoacuten 16 de Junio de 1964 magnitudRichter 75
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Ejercicio Bajo las condiciones indicadas en la figura se pide calcular los
esfuerzos totales neutrales y efectivos en las fronteras de los estratos
L
2L
2L
γw
γsat K1
γsat K2
L
K2= 2K1
1
2
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Ejercicio En el perfil estratificado indicado determine las presiones totales
neutrales y efectivas en las fronteras indicadas ademaacutes calcule el factor de
seguridad a la licuefaccioacuten donde sea necesario
L
L
2L
3L
09L
γsat1 γh1 k1
Satcap
γsat2 k2
γsat3 k3
1
2
3
γsat1= 15 γw =12 γh1
γsat2= 17 γw
γsat3= 19 γwk2= 2k1k3= 6k1
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LEVANTAMIENTO DE UN ESTRATO DE ARCILLA
Las fuerzas de filtracioacuten afectan no solamente a los suelos sincohesioacuten sino tambieacuten a los suelos cohesivos soacutelo que lo hacen demodo distinto porque en suelos arcillosos la cohesioacuten existente entrelas partiacuteculas las mantiene unidas de modo tal que se levanta toda la
masa de suelo y no partiacuteculas individuales como en los suelosgranulares
A modo de explicar el comportamiento de los suelos cohesivospondremos el siguiente caso
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LEVANTAMIENTO DE UN ESTRATO DE ARCILLA
Se tienen dos estratos de suelo diferente un suelo cohesivo que descansa sobre unmaterial muy permeable o suelo sin cohesioacuten Se necesita realizar una excavacioacutenen el estrato cohesivo para lo cual se debe determinar la profundidad a excavar yel espesor del estrato luego de realizada la excavacioacuten (tc) de tal manera queresulte seguro al levantamiento
Para realizar la excavacioacuten
se colocan dos tablestacas enel suelo y se procede luego aabatir el nivel del agua pormedio de bombeo tratando demantenerla seca
Por otra parte se desprecianlas fuerzas de friccioacuten que seoriginan cuando se hinca latablestaca
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LEVANTAMIENTO DE UN ESTRATO DE ARCILLA
Observemos que las fuerzas verticales actuantes son el peso del suelo y la presioacutende poros que tienden a levantar el fondo de la excavacioacuten puesto que el flujo es
ascendente El nivel piezomeacutetrico en la superficie del estrato sin cohesioacuten es mayorque el nivel piezomeacutetrico en el fondo de la excavacioacuten por lo que el agua tiende asubir pero como la permeabilidad del estrato de arcilla es tan baja esto resultamuy difiacutecil y se generan presiones en el fondo del rectaacutengulo
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El suelo estaacute saturado por tanto para calcular su peso se usa el peso unitario saturadoentonces
Peso del Suelo = tc sat
Haciendo equilibrio de fuerzas verticales
La presioacuten de poros es la suma de la presioacuten hidrostaacutetica y la de filtracioacuten
= Dh + Df = tc w + Dh w = ( tc + Dh ) w
sumFv = 0 Peso del Suelo - = 0
tc sat = ( tc + Dh ) w
tc sat = tc w + Dh w
tc ( sat - w ) = Dh w tc = Dh w = Df
( sat - w ) acute
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El espesor tc es el espesor criacutetico de la excavacioacuten es decir es el espesor miacutenimo
para el cual la excavacioacuten es segura
Por lo tanto
En espesores lt de tc se produce el levantamiento del fondo de la excavacioacuten
En espesores gt de tc la excavacioacuten es estable
Este fenoacutemeno puede darse tambieacuten parcialmente socavacioacuten
cuando se forman tuacuteneles o cavernas por arrastre de finos que generaninestabilidad y lo que puede ser maacutes grave el colapso del suelo
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EJERCICIOSe pretende realizar una excavacioacuten en un estrato de arcilla de 10 mts de espesor
que descansa sobre un estrato de arena Se pide
a) Calcular la profundidad maacutexima de excavacioacuten sin que se produzca
inestabilidad o levantamiento del fondob) iquestQueacute profundidad de agua libre debe bombearse a modo de poder llevar la
excavacioacuten hasta 8 mts de profundidad
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10m
1m
9m
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10m
1m
9m N
K
habat
N
K
Dh
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FLUJO EN MEDIOS POROSOS
El agua puede fluir a traveacutes de la masa de suelo en cualquier estado
en que este se encuentre aun y cuando el este muy compactado el
agua puede fluir a traveacutes de la masa de suelo ya que los poros estaacuten
interconectados entre si permitiendo el flujo de agua en ese medioporoso movieacutendose esta a lo largo de caminos ondulantes y rugosos
que existen entre un poro y otro lo cual genera peacuterdidas de energiacutea o
carga piezomeacutetrica originadas por la friccioacuten al igual que ocurre
cuando el flujo de agua es por tuberiacuteas o por canales abiertos
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Hasta ahora el estudio del flujo en medios porosos se ha limitado alcaso unidimensional (flujo ascendente y descendente) en el que losparaacutemetros del fluido tales como presioacuten velocidad temperaturaetc son constantes en cualquier seccioacuten transversal que seaperpendicular a la direccioacuten del flujo
En esta parte del tema se estudiaraacute el flujo del agua en tresdimensiones que es el caso maacutes general para lo cual se trabajaraacute conla ecuacioacuten fundamental de flujo Posteriormente se realizansimplificaciones debido a que el anaacutelisis tridimensional de los
problemas de filtracioacuten resulta muy complejo y se trabaja conmeacutetodos aproximados que permiten su resolucioacuten en dosdimensiones
Oacute
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ECUACIOacuteN FUNDAMENTAL DE FLUJO
HIPOTESIS
Dominio Saturado
La Presioacuten y la Velocidad son funcioacuten uacutenicamente de la posicioacuten
El esqueleto mineral del suelo es perfectamente riacutegido
z
y
x x y z
dz
dy
dx
Componente vertical del flujo
Base teoacuterica de la Red de Flujo y para otros
meacutetodos de resolucioacuten de problemas de filtracioacuten
Elemento cuacutebico de suelo a traveacutes del cual se
produce flujo laminar q con componenetes x y z
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z y x qqqq
dydxdz z
VzVzdzdxdy
y
VyVydzdydx
x
VxVxdydxVzdzdxVydzdyVx
Igualamos
dydxdz z
VzVzdzdxdy y
VyVydzdydx x
VxVxq
dydxVzdzdxVydzdyVxq
saliente
entrante
Por continuidad qentrante = qsaliente
Simplificamos y llegamos a la ecuacioacuten de Continuidad 0
z
Vz
y
Vy
x
Vx
Aplicamos Ley de Darcy (V = -ki = -k h L) 02
2
2
2
2
2
z
hkz
y
hky
x
hkx
Asumimos el suelo Isotroacutepico (kx = ky = kz) h z
h
y
h
x
h 2
2
2
2
2
2
2
0
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
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La ecuacioacuten de Laplace describe matemaacuteticamente el flujo de aguaen la regioacuten considerada
Expresa la suma de la variacioacuten de los gradientes hidraacuteulicos en lasdirecciones X Y y Z es Nula
h z
h
y
h
x
h 2
2
2
2
2
2
2
0
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
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SOLUCIOacuteN DE LA ECUACIOacuteN DE LAPLACE EN 2 DIMENSIONES
FUNCIOacuteN POTENCIAL DE LA VELOCIDAD =
( x y) = constante = -kh + c Es dependiente del potencial hidraacuteulico y su variacioacuten genera velocidad en
el agua
Derivando con respecto a X y a Y
x
hk
x
y
hk
y
x
hk Vx
y
hk Vy Entonces Vx
x
Vy
y
Resolvemos derivando con respecto a X y a Y y aplicamos la ecuacioacuten de Continuidad
2
2
2
2
2
0 y x
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satisface la ecuacioacuten de Laplace siendo la solucioacuten de la mismaen dos dimensiones
define para cada valor de esa constante una linea continua cuyospuntos tiene igual potencial hidraacuteulico h y son denominadasldquoLineas Equipotencialesrdquo
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
2
2
2
2
2
0 y x
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FUNCIOacuteN DE FLUJO =
( x y) = constante
Entonces
Resolvemos derivando con respecto a X y a Y y aplicamos la ecuacioacuten de Continuidad
0 D
D
y
y x
x
Dx
Dy
Vy
Vx
Por continuidad qentrante = qsaliente
0 DD yVx xVy yVy
Vx x DD Asumiendo Vx
x
Vy
y
2
2
2
2
2
0 y x
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cumple con la ecuacioacuten de Laplace por lo tanto es una solucioacuten ala misma en dos dimensiones
define para cada valor de la constante una linea continua querepresenta la trayectoria de agua Se denominan ldquoLineas de Flujordquo oacuteldquoLineas de Corrienterdquo
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
2
2
2
2
2
0 y x
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RELACIOacuteN ENTRE LAS LINEAS EQUIPOTENCIALES YLINEAS DE FLUJO O DE CORRIENTE
Considerando las derivadas totales a lo largo de cada una de las curvas
y
x
x
y
x
y
x
y
Pendientes Reciacuteprocas y de signo contario lo cual escondicioacuten de Ortogonalidad y son Ortogonales encada punto de interseccioacuten
REDES DE FLUJO
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REDES DE FLUJO
La red de flujo es la solucioacuten graacutefica la ecuacioacuten de Laplace en 2 dimensiones
Desafortunadamente la ecuacioacuten de Laplace es matemaacuteticamente integrable solo encondiciones de frontera muy simples por lo que en la praacutectica es necesario emplearotros meacutetodos diferentes de la integracioacuten para obtener la red de flujo Uno de esosmeacutetodos es el procedimiento graacutefico de Forcheimer que resulta ser muy simple deaplicar cualquiera sea el problema de flujo uniforme en dos dimensiones
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El espacio entre cualquier par de liacuteneas de flujo consecutivas es un canal de flujoen el trazado de la red se debe seleccionar un cierto nuacutemero de canales de flujo
Nf tal que el gasto de infiltracioacuten a traveacutes de cada canal sea el mismoDq = q Nf
La peacuterdida de carga entre cualquier par de liacuteneas equipotenciales consecutivas es lamisma e igual a Dh Donde Dhacute = Dh Nd (Dh es la peacuterdida de carga total y Nd elnuacutemero de caiacutedas de potencial)
El ancho del canal es a y la distancia entre las caiacutedas equipotenciales es b paracualquier elemento considerado
El gasto que circula por cualquier elemento es Dq = k i A
El gradiente hidraacuteulico del elemento es i = Dhacute b = ( Dh Nd ) bEntoces Dq = k ( ( Dh Nd ) b ) a L donde L es el ancho de la red en la tercera dimensioacuten
REDES DE FLUJO
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REDES DE FLUJO
Como Dq = q Nf entonces q = Dq Nf = k ( ( Dh Nd ) b ) a L Nf
La razoacuten a b esta fijada por la razoacuten Nf Nd y es la misma a traveacutes de toda la redNf y Nd deben seleccionarse de modo que a = b y a b = 1 Con lo que laecuacioacuten de gasto se transforma en
Reordenando q = k Dh ( Nf Nd ) (a b ) L
q = k Dh ( Nf Nd ) L
Aacute
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1) Hacer un dibujo a escala que muestre la masa de suelo los liacutemites permeables a
traveacutes de los cuales entra y sale el agua del suelo y las fronteras impermeables que
confinan o limitan el flujo
2) Dibujar de dos a cuatro liacuteneas de flujo que formen aacutengulos rectos con los liacutemitespermeables a la entrada y a la salida y que sean aproximadamente paralelas a losliacutemites impermeables
3) Dibujar liacuteneas equipotenciales que formen aacutengulos rectos con las liacuteneas de flujo demanera que el ancho y el largo promedio del cuadrado curviliacuteneo que forman seaniguales (a=b) Desde luego esto es imposible de lograr en el primer tanteo porquelas posiciones de las liacuteneas de flujo son supuestas pero esta primera red serviraacute deguiacutea para un segundo tanteo
4) Se reajustan las liacuteneas de flujo y las liacuteneas equipotenciales hasta que todas lasintersecciones sean en aacutengulo recto y el largo y ancho de cada cuadrado seaniguales Los tamantildeos de los cuadrados pueden ser distintos pero la relacioacuten ab = 1debe mantenerse
REGLAS PRAacuteCTICAS PARA ELABORAR REDES DE FLUJO
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El logro de una solucioacuten exacta requiere de muchos tanteos y
algunos problemas no admiten en su solucioacuten un nuacutemeroexacto de canales yo de caiacutedas equipotenciales en estos casosdebe intentarse con un nuacutemero de canales yo caiacutedasequipotenciales fraccionario (media caiacuteda o medio canal porejemplo)
Al lograr trazar la red de flujo de cuadrados curviliacuteneossatisfaciendo las condiciones de frontera del problema seobtendraacute la solucioacuten graacutefica de este problema para las
condiciones de frontera del problema se obtendraacute la solucioacutengraacutefica de este para las condiciones hidrodinaacutemicasestablecidas por la ecuacioacuten de Laplace
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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J g j
6 0
0 m
BA
I II III IV V VI VII
C
D
6 0
0 m
6 0
0 m
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
1) Altura piezometrica en A
2) Esfuerzo efectivo en B
3) Gradiente hidraacuteulico velocidades de descarga y de filtracioacuten
en C
4) Presiones hidraacuteulicas sobre el tablestacado5) Gradiente hidraacuteulico de salida y factor de seguridad contra la
arena movediza (licuefaccioacuten)
6) Factor de seguridad a la Tubificacioacuten
7) Presiones hidraacuteulicas sobre el fondo impermeable
8) Presioacuten de filtracioacuten en D
9) Caudal de Filtracioacuten bajo la presa sabiendo que L= 50 m
0m 3m 5m 10m
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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J g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
γconc= 235 Tm3
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
γconc= 235 Tm3
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg γsat= 218 Tm3 γconc= 235 Tm3
LINEA SUPERFICIAL DE FLUJO
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LINEA SUPERFICIAL DE FLUJO
En algunos casos un liacutemite de las liacuteneas de flujo puede ser una superficie de agualibre o superficie de saturacioacuten que no estaacute determinada por ninguna masa soacutelida
impermeable
Tal es el caso de las presas de tierra cuyo problema de flujo presenta caracteriacutesticasespeciales y por lo tanto se requiere del uso de meacutetodos tambieacuten especiales paralograr el trazado de la red de flujo
a
b
c
Equipotencial
Liacutenea de Flujo
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En la figura se presenta una presa de tierra de un material heterogeacuteneo eacute isoacutetropo La liacutenea 1-2 es una liacutenea equipotencial puesto que es el contacto entre el suelo permeable y el agua La liacutenea1-3 es un contacto entre la frontera impermeable y el material permeable por lo tanto es unaliacutenea de flujo Entre los puntos 2 y 4 existe una frontera del flujo donde por debajo de ella elsuelo estaacute saturado y por encima no lo estaacute Ahora bien esta liacutenea que limita la zona de flujodentro de la presa recibe el nombre de liacutenea superficial de flujo o liacutenea de saturacioacuten Suforma se desconoce a priori y tambieacuten la posicioacuten del punto 4 ambos deben ser determinados almenos aproximadamente para poder trazar la red de flujo
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La liacutenea de saturacioacuten ademaacutes de ser una liacutenea de flujo es tambieacuten una liacutenea de
equipresioacuten en la que todos los puntos tienen la misma presioacuten cero Por lo tantoel potencial hidraacuteulico depende de la carga de elevacioacuten uacutenicamente y las liacuteneasequipotenciales la cortaran a intervalos verticales iguales entre si
Condiciones Generales de Entrada
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Condiciones Generales de Entrada
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Condiciones Generales de Salida
Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
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Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
Caso 1 a2 lt 30deg En este caso es posible calcular la superficie humedecida a (distancia 4 - 3) pormedio de la siguiente expresioacuten
2
2
2
2
2
2
2coscos a a a sen
hd d a
d = L - M + O3M
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Luego de dibujar la presa de tierra a escala se sentildeala en ella la superficie humedecida aguas
abajo a calculada por la foacutermula anterior El siguiente paso consiste en el trazado de laliacutenea de saturacioacuten usando el meacutetodo graacutefico aproximado de la paraacutebola baacutesica de Kozenycuyo procedimiento se describe a continuacioacuten
1 Ubicar el punto 2 en la liacutenea freaacutetica a una distancia de 03M medida desde la cara deltalud aguas arriba La cara aguas abajo del talud es tangente a la paraacutebola en el punto 4
2 Prolongar la liacutenea en el talud aguas arriba de la presa Trazar una horizontal por el punto2 hasta cortar la cara del talud aguas abajo El punto de interseccioacuten es 5
3 Dividir 4 -5 Y 5 - 2 en el mismo nuacutemero de partes iguales no maacutes de 4 o 5 y marcarestos puntos (en 2- 5 se parte de 5 numerando con letras A -B etc en 4 - 5 se parte de 4numerando A-B-C etc)
4 Trazar por 4 - 5 liacuteneas horizontales en los puntos marcados
5 Unir cada uno de los puntos marcados en la horizontal 2- 5 con el punto 46 Trazar la liacutenea freaacutetica por los puntos obtenidos 7 Como la liacutenea freaacutetica parte perpendicular a la cara del talud aguas arriba este ajuste
debe realizarse manualmente
=gt M = htg ald =L - O7M
Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
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Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
Caso 2 a2 gt 30deg En este caso el procedimiento a seguir es
d d hP 22
1 La paraacutebola tiene su origen a una distancia P del veacutertice del talud aguas abajo de lapresa es decir este veacutertice es su foco y es tangente a la vertical que pasa por elpunto P
P se calcula por medio de la siguiente expresioacuten
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2 Trazar la paraacutebola baacutesica de Kozeny En este caso la tangente al origen es una liacuteneavertical
3 La distancia desde el punto 4 hasta la interseccioacuten de la paraacutebola con el talud aguasabajo es a + Da y no es realmente el punto por donde sale el agua en el talud porlo tanto se debe realizar una correccioacuten y encontrar a Casagrande encontroacute que larelacioacuten es un escalar que puede ser llamado a y que se relaciona
con el angulo a2 seguacuten se muestra en la siguiente tabla
a
a
D
D
a a2 ( deg ) aacute
30 0375
60 0320
90 0260
120 0185
150 0105
180 0
Los valores entre estos aacutengulos pueden interpolarse
y midiendo a + Da se calcula a usando la tablaDa = aacute ( a + Da ) y a = ( a + Da ) - Da
Finalmente se trazan manualmente la entraday la salida de la liacutenea de saturacioacuten
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EJERCICIO Determine la Linea Superficial de Flujo de la presa de tierra que se presentaa continuacioacuten
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a continuacioacuten
EJERCICIO Determine la Linea Superficial de Flujo de la presa de tierra que se presentaa continuacioacuten
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2
1
a continuacioacuten
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
g
La teoriacutea de la seccioacuten transformada permite reducir al caso de un suelo homogeacuteneo e isoacutetropo un suelo en el que la permeabilidad para el flujo en la direccioacuten horizontal ( kx) y la que tenga para el flujo en la direccioacuten vertical ( ky ) sean diferentes ( kx ne Ky )(por lo general Kx en muchas veces mayor que ky )
La teoriacutea de la seccioacuten transformada es un simple artificio de calculo que se logra por una simple transformacioacuten de coordenadas y que modifica sobre el papel las dimensiones de la zona de flujo en estudio en un suelo isotropico hidraacuteulicamente equivalente
Dos tipos de transformaciones se pueden aplicar a) Haciendo
Y Ky
Kx
Y acute
Se modifican las dimensiones verticales permaneciendo constantes las horizontales
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
g
b) Haciendo
X Kx
Ky X acute
Se modifican las dimensiones Horizontales permaneciendo constantes las Verticales
En la seccioacuten transformada homogeacutenea e isoacutetropa la permeabilidad equivalente viene dada por
kykxk
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
kykxk
X Kx
Ky X acute
2 0 0 0
0 0
kx
ky
k
2 8 2 0 0
0
h
141h
500000
b352463
071b
k
Y Ky
KxY acute
kykx 2
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FLUJO ASCENDENTE
El flujo es ascendente cuando la altura piezomeacutetrica en el punto inferior es mayor
que en el punto superior Las presiones de poros en este caso se calculan como lasuma de las presiones de poros en condicioacuten hidrostaacutetica y la presioacuten de filtracioacuten
= Dh + Df
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En cuanto a los esfuerzos efectivos tenemos
acute = - = Dh + Df
acute = - (Dh + Df ) = - Dh - Df
acuteh = - Dh acute = acuteh - Df
y
Lo cual indica que para flujo ascendente los esfuerzos efectivos disminuyen en igualproporcioacuten que la presioacuten de filtracioacuten y el diagrama de esfuerzos totales presiones deporos y esfuerzos efectivos queda asi
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iquestQue tiende a ocurrir cuando el flujo es Ascendente
Cuando el flujo es ascendente la friccioacuten entre el agua y las paredes de los vaciacuteostiende a levantar los granos de suelo El valor de la presioacuten de filtracioacuten puedecrecer tanto que los esfuerzos efectivos se hacen cero
La resistencia al corte de un suelo granular esdirectamente proporcional a los esfuerzosefectivos por lo que cuando estos se igualan acero el suelo pierde su resistencia al corte y seproduce lo que se conoce como ebullicioacuten delsuelo granular Este fenoacutemeno de ebullicioacuten estaacutelimitado a los suelos sin cohesioacuten y se conoce
con el nombre de Licuefaccioacuten acute
= acute h -
Δf
Fenoacutemeno tiacutepico de suelos granulares cuando pierden resistencia al corte y se
produce una separacioacuten entre las partiacuteculas que hace acute = 0
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En estos casos en que los esfuerzos efectivos se hacen cero la presioacuten de
filtracioacuten se iguala al peso del suelo
H acute ndash Dh w 0
H acute = Dh w
Dh = acute H w
Como Dh = i
H
ic = acute
w
ic seraacute el Gradiente Hidraacuteulico Criacutetico y lo definiremos como el gradiente alcual se produce la ebullicioacuten del suelo
acute = 0 acute h - Δf = 0
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En funcioacuten de la Gravedad Especiacutefica de los Solidos (Gs) y la Relacioacuten de Vaciacuteos (e)desarrollaremos una expresioacuten para el ic
ic = acute
w
Las relaciones de vaciacuteos de la gran mayoriacutea de las arenas estaacuten comprendidasentre 03 y 12 Por otro lado la gravedad especiacutefica de estos suelos oscila entre265 y 270 Si se aplica la formula en esos intervalos se tiene que
acute = sat - w sat = Gs + e w 1+e
acute = Gs + e w ndash w = w Gs + e - 1
1+e 1+e
ic = Gs - 1
1+e
Para e = 03 Gs = 265 ic = 127Gs = 270 ic = 131
Para e = 12 Gs = 265 ic = 075
Gs = 270 ic = 077ldquoSeguacuten estos resultados en un deposito de arena para cualquier Gs practico se pueden encontrar valores de ic entre
075 y 131 De modo que es importante resaltar que los valores de gradiente hidraacuteulico critico en arenas estaacuten cercanos
a la unidad rdquo
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Como se produce la licuefaccioacuten con las sacudidas
siacutesmicas fuertes
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Edificios de estructura de hormigoacuten armado concerramientos y particiones interiores de faacutebrica dantildeados por elterremoto de Nigata Japoacuten 16 de Junio de 1964 magnitudRichter 75
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Ejercicio Bajo las condiciones indicadas en la figura se pide calcular los
esfuerzos totales neutrales y efectivos en las fronteras de los estratos
L
2L
2L
γw
γsat K1
γsat K2
L
K2= 2K1
1
2
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Ejercicio En el perfil estratificado indicado determine las presiones totales
neutrales y efectivas en las fronteras indicadas ademaacutes calcule el factor de
seguridad a la licuefaccioacuten donde sea necesario
L
L
2L
3L
09L
γsat1 γh1 k1
Satcap
γsat2 k2
γsat3 k3
1
2
3
γsat1= 15 γw =12 γh1
γsat2= 17 γw
γsat3= 19 γwk2= 2k1k3= 6k1
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LEVANTAMIENTO DE UN ESTRATO DE ARCILLA
Las fuerzas de filtracioacuten afectan no solamente a los suelos sincohesioacuten sino tambieacuten a los suelos cohesivos soacutelo que lo hacen demodo distinto porque en suelos arcillosos la cohesioacuten existente entrelas partiacuteculas las mantiene unidas de modo tal que se levanta toda la
masa de suelo y no partiacuteculas individuales como en los suelosgranulares
A modo de explicar el comportamiento de los suelos cohesivospondremos el siguiente caso
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LEVANTAMIENTO DE UN ESTRATO DE ARCILLA
Se tienen dos estratos de suelo diferente un suelo cohesivo que descansa sobre unmaterial muy permeable o suelo sin cohesioacuten Se necesita realizar una excavacioacutenen el estrato cohesivo para lo cual se debe determinar la profundidad a excavar yel espesor del estrato luego de realizada la excavacioacuten (tc) de tal manera queresulte seguro al levantamiento
Para realizar la excavacioacuten
se colocan dos tablestacas enel suelo y se procede luego aabatir el nivel del agua pormedio de bombeo tratando demantenerla seca
Por otra parte se desprecianlas fuerzas de friccioacuten que seoriginan cuando se hinca latablestaca
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LEVANTAMIENTO DE UN ESTRATO DE ARCILLA
Observemos que las fuerzas verticales actuantes son el peso del suelo y la presioacutende poros que tienden a levantar el fondo de la excavacioacuten puesto que el flujo es
ascendente El nivel piezomeacutetrico en la superficie del estrato sin cohesioacuten es mayorque el nivel piezomeacutetrico en el fondo de la excavacioacuten por lo que el agua tiende asubir pero como la permeabilidad del estrato de arcilla es tan baja esto resultamuy difiacutecil y se generan presiones en el fondo del rectaacutengulo
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El suelo estaacute saturado por tanto para calcular su peso se usa el peso unitario saturadoentonces
Peso del Suelo = tc sat
Haciendo equilibrio de fuerzas verticales
La presioacuten de poros es la suma de la presioacuten hidrostaacutetica y la de filtracioacuten
= Dh + Df = tc w + Dh w = ( tc + Dh ) w
sumFv = 0 Peso del Suelo - = 0
tc sat = ( tc + Dh ) w
tc sat = tc w + Dh w
tc ( sat - w ) = Dh w tc = Dh w = Df
( sat - w ) acute
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El espesor tc es el espesor criacutetico de la excavacioacuten es decir es el espesor miacutenimo
para el cual la excavacioacuten es segura
Por lo tanto
En espesores lt de tc se produce el levantamiento del fondo de la excavacioacuten
En espesores gt de tc la excavacioacuten es estable
Este fenoacutemeno puede darse tambieacuten parcialmente socavacioacuten
cuando se forman tuacuteneles o cavernas por arrastre de finos que generaninestabilidad y lo que puede ser maacutes grave el colapso del suelo
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EJERCICIOSe pretende realizar una excavacioacuten en un estrato de arcilla de 10 mts de espesor
que descansa sobre un estrato de arena Se pide
a) Calcular la profundidad maacutexima de excavacioacuten sin que se produzca
inestabilidad o levantamiento del fondob) iquestQueacute profundidad de agua libre debe bombearse a modo de poder llevar la
excavacioacuten hasta 8 mts de profundidad
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10m
1m
9m
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10m
1m
9m N
K
habat
N
K
Dh
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FLUJO EN MEDIOS POROSOS
El agua puede fluir a traveacutes de la masa de suelo en cualquier estado
en que este se encuentre aun y cuando el este muy compactado el
agua puede fluir a traveacutes de la masa de suelo ya que los poros estaacuten
interconectados entre si permitiendo el flujo de agua en ese medioporoso movieacutendose esta a lo largo de caminos ondulantes y rugosos
que existen entre un poro y otro lo cual genera peacuterdidas de energiacutea o
carga piezomeacutetrica originadas por la friccioacuten al igual que ocurre
cuando el flujo de agua es por tuberiacuteas o por canales abiertos
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Hasta ahora el estudio del flujo en medios porosos se ha limitado alcaso unidimensional (flujo ascendente y descendente) en el que losparaacutemetros del fluido tales como presioacuten velocidad temperaturaetc son constantes en cualquier seccioacuten transversal que seaperpendicular a la direccioacuten del flujo
En esta parte del tema se estudiaraacute el flujo del agua en tresdimensiones que es el caso maacutes general para lo cual se trabajaraacute conla ecuacioacuten fundamental de flujo Posteriormente se realizansimplificaciones debido a que el anaacutelisis tridimensional de los
problemas de filtracioacuten resulta muy complejo y se trabaja conmeacutetodos aproximados que permiten su resolucioacuten en dosdimensiones
Oacute
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ECUACIOacuteN FUNDAMENTAL DE FLUJO
HIPOTESIS
Dominio Saturado
La Presioacuten y la Velocidad son funcioacuten uacutenicamente de la posicioacuten
El esqueleto mineral del suelo es perfectamente riacutegido
z
y
x x y z
dz
dy
dx
Componente vertical del flujo
Base teoacuterica de la Red de Flujo y para otros
meacutetodos de resolucioacuten de problemas de filtracioacuten
Elemento cuacutebico de suelo a traveacutes del cual se
produce flujo laminar q con componenetes x y z
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z y x qqqq
dydxdz z
VzVzdzdxdy
y
VyVydzdydx
x
VxVxdydxVzdzdxVydzdyVx
Igualamos
dydxdz z
VzVzdzdxdy y
VyVydzdydx x
VxVxq
dydxVzdzdxVydzdyVxq
saliente
entrante
Por continuidad qentrante = qsaliente
Simplificamos y llegamos a la ecuacioacuten de Continuidad 0
z
Vz
y
Vy
x
Vx
Aplicamos Ley de Darcy (V = -ki = -k h L) 02
2
2
2
2
2
z
hkz
y
hky
x
hkx
Asumimos el suelo Isotroacutepico (kx = ky = kz) h z
h
y
h
x
h 2
2
2
2
2
2
2
0
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
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La ecuacioacuten de Laplace describe matemaacuteticamente el flujo de aguaen la regioacuten considerada
Expresa la suma de la variacioacuten de los gradientes hidraacuteulicos en lasdirecciones X Y y Z es Nula
h z
h
y
h
x
h 2
2
2
2
2
2
2
0
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
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SOLUCIOacuteN DE LA ECUACIOacuteN DE LAPLACE EN 2 DIMENSIONES
FUNCIOacuteN POTENCIAL DE LA VELOCIDAD =
( x y) = constante = -kh + c Es dependiente del potencial hidraacuteulico y su variacioacuten genera velocidad en
el agua
Derivando con respecto a X y a Y
x
hk
x
y
hk
y
x
hk Vx
y
hk Vy Entonces Vx
x
Vy
y
Resolvemos derivando con respecto a X y a Y y aplicamos la ecuacioacuten de Continuidad
2
2
2
2
2
0 y x
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satisface la ecuacioacuten de Laplace siendo la solucioacuten de la mismaen dos dimensiones
define para cada valor de esa constante una linea continua cuyospuntos tiene igual potencial hidraacuteulico h y son denominadasldquoLineas Equipotencialesrdquo
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
2
2
2
2
2
0 y x
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FUNCIOacuteN DE FLUJO =
( x y) = constante
Entonces
Resolvemos derivando con respecto a X y a Y y aplicamos la ecuacioacuten de Continuidad
0 D
D
y
y x
x
Dx
Dy
Vy
Vx
Por continuidad qentrante = qsaliente
0 DD yVx xVy yVy
Vx x DD Asumiendo Vx
x
Vy
y
2
2
2
2
2
0 y x
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cumple con la ecuacioacuten de Laplace por lo tanto es una solucioacuten ala misma en dos dimensiones
define para cada valor de la constante una linea continua querepresenta la trayectoria de agua Se denominan ldquoLineas de Flujordquo oacuteldquoLineas de Corrienterdquo
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
2
2
2
2
2
0 y x
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RELACIOacuteN ENTRE LAS LINEAS EQUIPOTENCIALES YLINEAS DE FLUJO O DE CORRIENTE
Considerando las derivadas totales a lo largo de cada una de las curvas
y
x
x
y
x
y
x
y
Pendientes Reciacuteprocas y de signo contario lo cual escondicioacuten de Ortogonalidad y son Ortogonales encada punto de interseccioacuten
REDES DE FLUJO
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REDES DE FLUJO
La red de flujo es la solucioacuten graacutefica la ecuacioacuten de Laplace en 2 dimensiones
Desafortunadamente la ecuacioacuten de Laplace es matemaacuteticamente integrable solo encondiciones de frontera muy simples por lo que en la praacutectica es necesario emplearotros meacutetodos diferentes de la integracioacuten para obtener la red de flujo Uno de esosmeacutetodos es el procedimiento graacutefico de Forcheimer que resulta ser muy simple deaplicar cualquiera sea el problema de flujo uniforme en dos dimensiones
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El espacio entre cualquier par de liacuteneas de flujo consecutivas es un canal de flujoen el trazado de la red se debe seleccionar un cierto nuacutemero de canales de flujo
Nf tal que el gasto de infiltracioacuten a traveacutes de cada canal sea el mismoDq = q Nf
La peacuterdida de carga entre cualquier par de liacuteneas equipotenciales consecutivas es lamisma e igual a Dh Donde Dhacute = Dh Nd (Dh es la peacuterdida de carga total y Nd elnuacutemero de caiacutedas de potencial)
El ancho del canal es a y la distancia entre las caiacutedas equipotenciales es b paracualquier elemento considerado
El gasto que circula por cualquier elemento es Dq = k i A
El gradiente hidraacuteulico del elemento es i = Dhacute b = ( Dh Nd ) bEntoces Dq = k ( ( Dh Nd ) b ) a L donde L es el ancho de la red en la tercera dimensioacuten
REDES DE FLUJO
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REDES DE FLUJO
Como Dq = q Nf entonces q = Dq Nf = k ( ( Dh Nd ) b ) a L Nf
La razoacuten a b esta fijada por la razoacuten Nf Nd y es la misma a traveacutes de toda la redNf y Nd deben seleccionarse de modo que a = b y a b = 1 Con lo que laecuacioacuten de gasto se transforma en
Reordenando q = k Dh ( Nf Nd ) (a b ) L
q = k Dh ( Nf Nd ) L
Aacute
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1) Hacer un dibujo a escala que muestre la masa de suelo los liacutemites permeables a
traveacutes de los cuales entra y sale el agua del suelo y las fronteras impermeables que
confinan o limitan el flujo
2) Dibujar de dos a cuatro liacuteneas de flujo que formen aacutengulos rectos con los liacutemitespermeables a la entrada y a la salida y que sean aproximadamente paralelas a losliacutemites impermeables
3) Dibujar liacuteneas equipotenciales que formen aacutengulos rectos con las liacuteneas de flujo demanera que el ancho y el largo promedio del cuadrado curviliacuteneo que forman seaniguales (a=b) Desde luego esto es imposible de lograr en el primer tanteo porquelas posiciones de las liacuteneas de flujo son supuestas pero esta primera red serviraacute deguiacutea para un segundo tanteo
4) Se reajustan las liacuteneas de flujo y las liacuteneas equipotenciales hasta que todas lasintersecciones sean en aacutengulo recto y el largo y ancho de cada cuadrado seaniguales Los tamantildeos de los cuadrados pueden ser distintos pero la relacioacuten ab = 1debe mantenerse
REGLAS PRAacuteCTICAS PARA ELABORAR REDES DE FLUJO
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El logro de una solucioacuten exacta requiere de muchos tanteos y
algunos problemas no admiten en su solucioacuten un nuacutemeroexacto de canales yo de caiacutedas equipotenciales en estos casosdebe intentarse con un nuacutemero de canales yo caiacutedasequipotenciales fraccionario (media caiacuteda o medio canal porejemplo)
Al lograr trazar la red de flujo de cuadrados curviliacuteneossatisfaciendo las condiciones de frontera del problema seobtendraacute la solucioacuten graacutefica de este problema para las
condiciones de frontera del problema se obtendraacute la solucioacutengraacutefica de este para las condiciones hidrodinaacutemicasestablecidas por la ecuacioacuten de Laplace
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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J g j
6 0
0 m
BA
I II III IV V VI VII
C
D
6 0
0 m
6 0
0 m
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
1) Altura piezometrica en A
2) Esfuerzo efectivo en B
3) Gradiente hidraacuteulico velocidades de descarga y de filtracioacuten
en C
4) Presiones hidraacuteulicas sobre el tablestacado5) Gradiente hidraacuteulico de salida y factor de seguridad contra la
arena movediza (licuefaccioacuten)
6) Factor de seguridad a la Tubificacioacuten
7) Presiones hidraacuteulicas sobre el fondo impermeable
8) Presioacuten de filtracioacuten en D
9) Caudal de Filtracioacuten bajo la presa sabiendo que L= 50 m
0m 3m 5m 10m
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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J g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
γconc= 235 Tm3
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
γconc= 235 Tm3
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg γsat= 218 Tm3 γconc= 235 Tm3
LINEA SUPERFICIAL DE FLUJO
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LINEA SUPERFICIAL DE FLUJO
En algunos casos un liacutemite de las liacuteneas de flujo puede ser una superficie de agualibre o superficie de saturacioacuten que no estaacute determinada por ninguna masa soacutelida
impermeable
Tal es el caso de las presas de tierra cuyo problema de flujo presenta caracteriacutesticasespeciales y por lo tanto se requiere del uso de meacutetodos tambieacuten especiales paralograr el trazado de la red de flujo
a
b
c
Equipotencial
Liacutenea de Flujo
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En la figura se presenta una presa de tierra de un material heterogeacuteneo eacute isoacutetropo La liacutenea 1-2 es una liacutenea equipotencial puesto que es el contacto entre el suelo permeable y el agua La liacutenea1-3 es un contacto entre la frontera impermeable y el material permeable por lo tanto es unaliacutenea de flujo Entre los puntos 2 y 4 existe una frontera del flujo donde por debajo de ella elsuelo estaacute saturado y por encima no lo estaacute Ahora bien esta liacutenea que limita la zona de flujodentro de la presa recibe el nombre de liacutenea superficial de flujo o liacutenea de saturacioacuten Suforma se desconoce a priori y tambieacuten la posicioacuten del punto 4 ambos deben ser determinados almenos aproximadamente para poder trazar la red de flujo
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La liacutenea de saturacioacuten ademaacutes de ser una liacutenea de flujo es tambieacuten una liacutenea de
equipresioacuten en la que todos los puntos tienen la misma presioacuten cero Por lo tantoel potencial hidraacuteulico depende de la carga de elevacioacuten uacutenicamente y las liacuteneasequipotenciales la cortaran a intervalos verticales iguales entre si
Condiciones Generales de Entrada
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Condiciones Generales de Entrada
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Condiciones Generales de Salida
Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
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Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
Caso 1 a2 lt 30deg En este caso es posible calcular la superficie humedecida a (distancia 4 - 3) pormedio de la siguiente expresioacuten
2
2
2
2
2
2
2coscos a a a sen
hd d a
d = L - M + O3M
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Luego de dibujar la presa de tierra a escala se sentildeala en ella la superficie humedecida aguas
abajo a calculada por la foacutermula anterior El siguiente paso consiste en el trazado de laliacutenea de saturacioacuten usando el meacutetodo graacutefico aproximado de la paraacutebola baacutesica de Kozenycuyo procedimiento se describe a continuacioacuten
1 Ubicar el punto 2 en la liacutenea freaacutetica a una distancia de 03M medida desde la cara deltalud aguas arriba La cara aguas abajo del talud es tangente a la paraacutebola en el punto 4
2 Prolongar la liacutenea en el talud aguas arriba de la presa Trazar una horizontal por el punto2 hasta cortar la cara del talud aguas abajo El punto de interseccioacuten es 5
3 Dividir 4 -5 Y 5 - 2 en el mismo nuacutemero de partes iguales no maacutes de 4 o 5 y marcarestos puntos (en 2- 5 se parte de 5 numerando con letras A -B etc en 4 - 5 se parte de 4numerando A-B-C etc)
4 Trazar por 4 - 5 liacuteneas horizontales en los puntos marcados
5 Unir cada uno de los puntos marcados en la horizontal 2- 5 con el punto 46 Trazar la liacutenea freaacutetica por los puntos obtenidos 7 Como la liacutenea freaacutetica parte perpendicular a la cara del talud aguas arriba este ajuste
debe realizarse manualmente
=gt M = htg ald =L - O7M
Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
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Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
Caso 2 a2 gt 30deg En este caso el procedimiento a seguir es
d d hP 22
1 La paraacutebola tiene su origen a una distancia P del veacutertice del talud aguas abajo de lapresa es decir este veacutertice es su foco y es tangente a la vertical que pasa por elpunto P
P se calcula por medio de la siguiente expresioacuten
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2 Trazar la paraacutebola baacutesica de Kozeny En este caso la tangente al origen es una liacuteneavertical
3 La distancia desde el punto 4 hasta la interseccioacuten de la paraacutebola con el talud aguasabajo es a + Da y no es realmente el punto por donde sale el agua en el talud porlo tanto se debe realizar una correccioacuten y encontrar a Casagrande encontroacute que larelacioacuten es un escalar que puede ser llamado a y que se relaciona
con el angulo a2 seguacuten se muestra en la siguiente tabla
a
a
D
D
a a2 ( deg ) aacute
30 0375
60 0320
90 0260
120 0185
150 0105
180 0
Los valores entre estos aacutengulos pueden interpolarse
y midiendo a + Da se calcula a usando la tablaDa = aacute ( a + Da ) y a = ( a + Da ) - Da
Finalmente se trazan manualmente la entraday la salida de la liacutenea de saturacioacuten
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EJERCICIO Determine la Linea Superficial de Flujo de la presa de tierra que se presentaa continuacioacuten
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a continuacioacuten
EJERCICIO Determine la Linea Superficial de Flujo de la presa de tierra que se presentaa continuacioacuten
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2
1
a continuacioacuten
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
g
La teoriacutea de la seccioacuten transformada permite reducir al caso de un suelo homogeacuteneo e isoacutetropo un suelo en el que la permeabilidad para el flujo en la direccioacuten horizontal ( kx) y la que tenga para el flujo en la direccioacuten vertical ( ky ) sean diferentes ( kx ne Ky )(por lo general Kx en muchas veces mayor que ky )
La teoriacutea de la seccioacuten transformada es un simple artificio de calculo que se logra por una simple transformacioacuten de coordenadas y que modifica sobre el papel las dimensiones de la zona de flujo en estudio en un suelo isotropico hidraacuteulicamente equivalente
Dos tipos de transformaciones se pueden aplicar a) Haciendo
Y Ky
Kx
Y acute
Se modifican las dimensiones verticales permaneciendo constantes las horizontales
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
g
b) Haciendo
X Kx
Ky X acute
Se modifican las dimensiones Horizontales permaneciendo constantes las Verticales
En la seccioacuten transformada homogeacutenea e isoacutetropa la permeabilidad equivalente viene dada por
kykxk
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
kykxk
X Kx
Ky X acute
2 0 0 0
0 0
kx
ky
k
2 8 2 0 0
0
h
141h
500000
b352463
071b
k
Y Ky
KxY acute
kykx 2
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En cuanto a los esfuerzos efectivos tenemos
acute = - = Dh + Df
acute = - (Dh + Df ) = - Dh - Df
acuteh = - Dh acute = acuteh - Df
y
Lo cual indica que para flujo ascendente los esfuerzos efectivos disminuyen en igualproporcioacuten que la presioacuten de filtracioacuten y el diagrama de esfuerzos totales presiones deporos y esfuerzos efectivos queda asi
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iquestQue tiende a ocurrir cuando el flujo es Ascendente
Cuando el flujo es ascendente la friccioacuten entre el agua y las paredes de los vaciacuteostiende a levantar los granos de suelo El valor de la presioacuten de filtracioacuten puedecrecer tanto que los esfuerzos efectivos se hacen cero
La resistencia al corte de un suelo granular esdirectamente proporcional a los esfuerzosefectivos por lo que cuando estos se igualan acero el suelo pierde su resistencia al corte y seproduce lo que se conoce como ebullicioacuten delsuelo granular Este fenoacutemeno de ebullicioacuten estaacutelimitado a los suelos sin cohesioacuten y se conoce
con el nombre de Licuefaccioacuten acute
= acute h -
Δf
Fenoacutemeno tiacutepico de suelos granulares cuando pierden resistencia al corte y se
produce una separacioacuten entre las partiacuteculas que hace acute = 0
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En estos casos en que los esfuerzos efectivos se hacen cero la presioacuten de
filtracioacuten se iguala al peso del suelo
H acute ndash Dh w 0
H acute = Dh w
Dh = acute H w
Como Dh = i
H
ic = acute
w
ic seraacute el Gradiente Hidraacuteulico Criacutetico y lo definiremos como el gradiente alcual se produce la ebullicioacuten del suelo
acute = 0 acute h - Δf = 0
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En funcioacuten de la Gravedad Especiacutefica de los Solidos (Gs) y la Relacioacuten de Vaciacuteos (e)desarrollaremos una expresioacuten para el ic
ic = acute
w
Las relaciones de vaciacuteos de la gran mayoriacutea de las arenas estaacuten comprendidasentre 03 y 12 Por otro lado la gravedad especiacutefica de estos suelos oscila entre265 y 270 Si se aplica la formula en esos intervalos se tiene que
acute = sat - w sat = Gs + e w 1+e
acute = Gs + e w ndash w = w Gs + e - 1
1+e 1+e
ic = Gs - 1
1+e
Para e = 03 Gs = 265 ic = 127Gs = 270 ic = 131
Para e = 12 Gs = 265 ic = 075
Gs = 270 ic = 077ldquoSeguacuten estos resultados en un deposito de arena para cualquier Gs practico se pueden encontrar valores de ic entre
075 y 131 De modo que es importante resaltar que los valores de gradiente hidraacuteulico critico en arenas estaacuten cercanos
a la unidad rdquo
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Como se produce la licuefaccioacuten con las sacudidas
siacutesmicas fuertes
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Edificios de estructura de hormigoacuten armado concerramientos y particiones interiores de faacutebrica dantildeados por elterremoto de Nigata Japoacuten 16 de Junio de 1964 magnitudRichter 75
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Ejercicio Bajo las condiciones indicadas en la figura se pide calcular los
esfuerzos totales neutrales y efectivos en las fronteras de los estratos
L
2L
2L
γw
γsat K1
γsat K2
L
K2= 2K1
1
2
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Ejercicio En el perfil estratificado indicado determine las presiones totales
neutrales y efectivas en las fronteras indicadas ademaacutes calcule el factor de
seguridad a la licuefaccioacuten donde sea necesario
L
L
2L
3L
09L
γsat1 γh1 k1
Satcap
γsat2 k2
γsat3 k3
1
2
3
γsat1= 15 γw =12 γh1
γsat2= 17 γw
γsat3= 19 γwk2= 2k1k3= 6k1
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LEVANTAMIENTO DE UN ESTRATO DE ARCILLA
Las fuerzas de filtracioacuten afectan no solamente a los suelos sincohesioacuten sino tambieacuten a los suelos cohesivos soacutelo que lo hacen demodo distinto porque en suelos arcillosos la cohesioacuten existente entrelas partiacuteculas las mantiene unidas de modo tal que se levanta toda la
masa de suelo y no partiacuteculas individuales como en los suelosgranulares
A modo de explicar el comportamiento de los suelos cohesivospondremos el siguiente caso
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LEVANTAMIENTO DE UN ESTRATO DE ARCILLA
Se tienen dos estratos de suelo diferente un suelo cohesivo que descansa sobre unmaterial muy permeable o suelo sin cohesioacuten Se necesita realizar una excavacioacutenen el estrato cohesivo para lo cual se debe determinar la profundidad a excavar yel espesor del estrato luego de realizada la excavacioacuten (tc) de tal manera queresulte seguro al levantamiento
Para realizar la excavacioacuten
se colocan dos tablestacas enel suelo y se procede luego aabatir el nivel del agua pormedio de bombeo tratando demantenerla seca
Por otra parte se desprecianlas fuerzas de friccioacuten que seoriginan cuando se hinca latablestaca
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LEVANTAMIENTO DE UN ESTRATO DE ARCILLA
Observemos que las fuerzas verticales actuantes son el peso del suelo y la presioacutende poros que tienden a levantar el fondo de la excavacioacuten puesto que el flujo es
ascendente El nivel piezomeacutetrico en la superficie del estrato sin cohesioacuten es mayorque el nivel piezomeacutetrico en el fondo de la excavacioacuten por lo que el agua tiende asubir pero como la permeabilidad del estrato de arcilla es tan baja esto resultamuy difiacutecil y se generan presiones en el fondo del rectaacutengulo
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El suelo estaacute saturado por tanto para calcular su peso se usa el peso unitario saturadoentonces
Peso del Suelo = tc sat
Haciendo equilibrio de fuerzas verticales
La presioacuten de poros es la suma de la presioacuten hidrostaacutetica y la de filtracioacuten
= Dh + Df = tc w + Dh w = ( tc + Dh ) w
sumFv = 0 Peso del Suelo - = 0
tc sat = ( tc + Dh ) w
tc sat = tc w + Dh w
tc ( sat - w ) = Dh w tc = Dh w = Df
( sat - w ) acute
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El espesor tc es el espesor criacutetico de la excavacioacuten es decir es el espesor miacutenimo
para el cual la excavacioacuten es segura
Por lo tanto
En espesores lt de tc se produce el levantamiento del fondo de la excavacioacuten
En espesores gt de tc la excavacioacuten es estable
Este fenoacutemeno puede darse tambieacuten parcialmente socavacioacuten
cuando se forman tuacuteneles o cavernas por arrastre de finos que generaninestabilidad y lo que puede ser maacutes grave el colapso del suelo
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EJERCICIOSe pretende realizar una excavacioacuten en un estrato de arcilla de 10 mts de espesor
que descansa sobre un estrato de arena Se pide
a) Calcular la profundidad maacutexima de excavacioacuten sin que se produzca
inestabilidad o levantamiento del fondob) iquestQueacute profundidad de agua libre debe bombearse a modo de poder llevar la
excavacioacuten hasta 8 mts de profundidad
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10m
1m
9m
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10m
1m
9m N
K
habat
N
K
Dh
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FLUJO EN MEDIOS POROSOS
El agua puede fluir a traveacutes de la masa de suelo en cualquier estado
en que este se encuentre aun y cuando el este muy compactado el
agua puede fluir a traveacutes de la masa de suelo ya que los poros estaacuten
interconectados entre si permitiendo el flujo de agua en ese medioporoso movieacutendose esta a lo largo de caminos ondulantes y rugosos
que existen entre un poro y otro lo cual genera peacuterdidas de energiacutea o
carga piezomeacutetrica originadas por la friccioacuten al igual que ocurre
cuando el flujo de agua es por tuberiacuteas o por canales abiertos
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Hasta ahora el estudio del flujo en medios porosos se ha limitado alcaso unidimensional (flujo ascendente y descendente) en el que losparaacutemetros del fluido tales como presioacuten velocidad temperaturaetc son constantes en cualquier seccioacuten transversal que seaperpendicular a la direccioacuten del flujo
En esta parte del tema se estudiaraacute el flujo del agua en tresdimensiones que es el caso maacutes general para lo cual se trabajaraacute conla ecuacioacuten fundamental de flujo Posteriormente se realizansimplificaciones debido a que el anaacutelisis tridimensional de los
problemas de filtracioacuten resulta muy complejo y se trabaja conmeacutetodos aproximados que permiten su resolucioacuten en dosdimensiones
Oacute
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ECUACIOacuteN FUNDAMENTAL DE FLUJO
HIPOTESIS
Dominio Saturado
La Presioacuten y la Velocidad son funcioacuten uacutenicamente de la posicioacuten
El esqueleto mineral del suelo es perfectamente riacutegido
z
y
x x y z
dz
dy
dx
Componente vertical del flujo
Base teoacuterica de la Red de Flujo y para otros
meacutetodos de resolucioacuten de problemas de filtracioacuten
Elemento cuacutebico de suelo a traveacutes del cual se
produce flujo laminar q con componenetes x y z
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z y x qqqq
dydxdz z
VzVzdzdxdy
y
VyVydzdydx
x
VxVxdydxVzdzdxVydzdyVx
Igualamos
dydxdz z
VzVzdzdxdy y
VyVydzdydx x
VxVxq
dydxVzdzdxVydzdyVxq
saliente
entrante
Por continuidad qentrante = qsaliente
Simplificamos y llegamos a la ecuacioacuten de Continuidad 0
z
Vz
y
Vy
x
Vx
Aplicamos Ley de Darcy (V = -ki = -k h L) 02
2
2
2
2
2
z
hkz
y
hky
x
hkx
Asumimos el suelo Isotroacutepico (kx = ky = kz) h z
h
y
h
x
h 2
2
2
2
2
2
2
0
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
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La ecuacioacuten de Laplace describe matemaacuteticamente el flujo de aguaen la regioacuten considerada
Expresa la suma de la variacioacuten de los gradientes hidraacuteulicos en lasdirecciones X Y y Z es Nula
h z
h
y
h
x
h 2
2
2
2
2
2
2
0
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
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SOLUCIOacuteN DE LA ECUACIOacuteN DE LAPLACE EN 2 DIMENSIONES
FUNCIOacuteN POTENCIAL DE LA VELOCIDAD =
( x y) = constante = -kh + c Es dependiente del potencial hidraacuteulico y su variacioacuten genera velocidad en
el agua
Derivando con respecto a X y a Y
x
hk
x
y
hk
y
x
hk Vx
y
hk Vy Entonces Vx
x
Vy
y
Resolvemos derivando con respecto a X y a Y y aplicamos la ecuacioacuten de Continuidad
2
2
2
2
2
0 y x
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satisface la ecuacioacuten de Laplace siendo la solucioacuten de la mismaen dos dimensiones
define para cada valor de esa constante una linea continua cuyospuntos tiene igual potencial hidraacuteulico h y son denominadasldquoLineas Equipotencialesrdquo
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
2
2
2
2
2
0 y x
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FUNCIOacuteN DE FLUJO =
( x y) = constante
Entonces
Resolvemos derivando con respecto a X y a Y y aplicamos la ecuacioacuten de Continuidad
0 D
D
y
y x
x
Dx
Dy
Vy
Vx
Por continuidad qentrante = qsaliente
0 DD yVx xVy yVy
Vx x DD Asumiendo Vx
x
Vy
y
2
2
2
2
2
0 y x
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cumple con la ecuacioacuten de Laplace por lo tanto es una solucioacuten ala misma en dos dimensiones
define para cada valor de la constante una linea continua querepresenta la trayectoria de agua Se denominan ldquoLineas de Flujordquo oacuteldquoLineas de Corrienterdquo
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
2
2
2
2
2
0 y x
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RELACIOacuteN ENTRE LAS LINEAS EQUIPOTENCIALES YLINEAS DE FLUJO O DE CORRIENTE
Considerando las derivadas totales a lo largo de cada una de las curvas
y
x
x
y
x
y
x
y
Pendientes Reciacuteprocas y de signo contario lo cual escondicioacuten de Ortogonalidad y son Ortogonales encada punto de interseccioacuten
REDES DE FLUJO
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REDES DE FLUJO
La red de flujo es la solucioacuten graacutefica la ecuacioacuten de Laplace en 2 dimensiones
Desafortunadamente la ecuacioacuten de Laplace es matemaacuteticamente integrable solo encondiciones de frontera muy simples por lo que en la praacutectica es necesario emplearotros meacutetodos diferentes de la integracioacuten para obtener la red de flujo Uno de esosmeacutetodos es el procedimiento graacutefico de Forcheimer que resulta ser muy simple deaplicar cualquiera sea el problema de flujo uniforme en dos dimensiones
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El espacio entre cualquier par de liacuteneas de flujo consecutivas es un canal de flujoen el trazado de la red se debe seleccionar un cierto nuacutemero de canales de flujo
Nf tal que el gasto de infiltracioacuten a traveacutes de cada canal sea el mismoDq = q Nf
La peacuterdida de carga entre cualquier par de liacuteneas equipotenciales consecutivas es lamisma e igual a Dh Donde Dhacute = Dh Nd (Dh es la peacuterdida de carga total y Nd elnuacutemero de caiacutedas de potencial)
El ancho del canal es a y la distancia entre las caiacutedas equipotenciales es b paracualquier elemento considerado
El gasto que circula por cualquier elemento es Dq = k i A
El gradiente hidraacuteulico del elemento es i = Dhacute b = ( Dh Nd ) bEntoces Dq = k ( ( Dh Nd ) b ) a L donde L es el ancho de la red en la tercera dimensioacuten
REDES DE FLUJO
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REDES DE FLUJO
Como Dq = q Nf entonces q = Dq Nf = k ( ( Dh Nd ) b ) a L Nf
La razoacuten a b esta fijada por la razoacuten Nf Nd y es la misma a traveacutes de toda la redNf y Nd deben seleccionarse de modo que a = b y a b = 1 Con lo que laecuacioacuten de gasto se transforma en
Reordenando q = k Dh ( Nf Nd ) (a b ) L
q = k Dh ( Nf Nd ) L
Aacute
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1) Hacer un dibujo a escala que muestre la masa de suelo los liacutemites permeables a
traveacutes de los cuales entra y sale el agua del suelo y las fronteras impermeables que
confinan o limitan el flujo
2) Dibujar de dos a cuatro liacuteneas de flujo que formen aacutengulos rectos con los liacutemitespermeables a la entrada y a la salida y que sean aproximadamente paralelas a losliacutemites impermeables
3) Dibujar liacuteneas equipotenciales que formen aacutengulos rectos con las liacuteneas de flujo demanera que el ancho y el largo promedio del cuadrado curviliacuteneo que forman seaniguales (a=b) Desde luego esto es imposible de lograr en el primer tanteo porquelas posiciones de las liacuteneas de flujo son supuestas pero esta primera red serviraacute deguiacutea para un segundo tanteo
4) Se reajustan las liacuteneas de flujo y las liacuteneas equipotenciales hasta que todas lasintersecciones sean en aacutengulo recto y el largo y ancho de cada cuadrado seaniguales Los tamantildeos de los cuadrados pueden ser distintos pero la relacioacuten ab = 1debe mantenerse
REGLAS PRAacuteCTICAS PARA ELABORAR REDES DE FLUJO
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El logro de una solucioacuten exacta requiere de muchos tanteos y
algunos problemas no admiten en su solucioacuten un nuacutemeroexacto de canales yo de caiacutedas equipotenciales en estos casosdebe intentarse con un nuacutemero de canales yo caiacutedasequipotenciales fraccionario (media caiacuteda o medio canal porejemplo)
Al lograr trazar la red de flujo de cuadrados curviliacuteneossatisfaciendo las condiciones de frontera del problema seobtendraacute la solucioacuten graacutefica de este problema para las
condiciones de frontera del problema se obtendraacute la solucioacutengraacutefica de este para las condiciones hidrodinaacutemicasestablecidas por la ecuacioacuten de Laplace
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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J g j
6 0
0 m
BA
I II III IV V VI VII
C
D
6 0
0 m
6 0
0 m
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
1) Altura piezometrica en A
2) Esfuerzo efectivo en B
3) Gradiente hidraacuteulico velocidades de descarga y de filtracioacuten
en C
4) Presiones hidraacuteulicas sobre el tablestacado5) Gradiente hidraacuteulico de salida y factor de seguridad contra la
arena movediza (licuefaccioacuten)
6) Factor de seguridad a la Tubificacioacuten
7) Presiones hidraacuteulicas sobre el fondo impermeable
8) Presioacuten de filtracioacuten en D
9) Caudal de Filtracioacuten bajo la presa sabiendo que L= 50 m
0m 3m 5m 10m
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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J g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
γconc= 235 Tm3
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
γconc= 235 Tm3
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg γsat= 218 Tm3 γconc= 235 Tm3
LINEA SUPERFICIAL DE FLUJO
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LINEA SUPERFICIAL DE FLUJO
En algunos casos un liacutemite de las liacuteneas de flujo puede ser una superficie de agualibre o superficie de saturacioacuten que no estaacute determinada por ninguna masa soacutelida
impermeable
Tal es el caso de las presas de tierra cuyo problema de flujo presenta caracteriacutesticasespeciales y por lo tanto se requiere del uso de meacutetodos tambieacuten especiales paralograr el trazado de la red de flujo
a
b
c
Equipotencial
Liacutenea de Flujo
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En la figura se presenta una presa de tierra de un material heterogeacuteneo eacute isoacutetropo La liacutenea 1-2 es una liacutenea equipotencial puesto que es el contacto entre el suelo permeable y el agua La liacutenea1-3 es un contacto entre la frontera impermeable y el material permeable por lo tanto es unaliacutenea de flujo Entre los puntos 2 y 4 existe una frontera del flujo donde por debajo de ella elsuelo estaacute saturado y por encima no lo estaacute Ahora bien esta liacutenea que limita la zona de flujodentro de la presa recibe el nombre de liacutenea superficial de flujo o liacutenea de saturacioacuten Suforma se desconoce a priori y tambieacuten la posicioacuten del punto 4 ambos deben ser determinados almenos aproximadamente para poder trazar la red de flujo
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La liacutenea de saturacioacuten ademaacutes de ser una liacutenea de flujo es tambieacuten una liacutenea de
equipresioacuten en la que todos los puntos tienen la misma presioacuten cero Por lo tantoel potencial hidraacuteulico depende de la carga de elevacioacuten uacutenicamente y las liacuteneasequipotenciales la cortaran a intervalos verticales iguales entre si
Condiciones Generales de Entrada
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Condiciones Generales de Entrada
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Condiciones Generales de Salida
Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
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Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
Caso 1 a2 lt 30deg En este caso es posible calcular la superficie humedecida a (distancia 4 - 3) pormedio de la siguiente expresioacuten
2
2
2
2
2
2
2coscos a a a sen
hd d a
d = L - M + O3M
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Luego de dibujar la presa de tierra a escala se sentildeala en ella la superficie humedecida aguas
abajo a calculada por la foacutermula anterior El siguiente paso consiste en el trazado de laliacutenea de saturacioacuten usando el meacutetodo graacutefico aproximado de la paraacutebola baacutesica de Kozenycuyo procedimiento se describe a continuacioacuten
1 Ubicar el punto 2 en la liacutenea freaacutetica a una distancia de 03M medida desde la cara deltalud aguas arriba La cara aguas abajo del talud es tangente a la paraacutebola en el punto 4
2 Prolongar la liacutenea en el talud aguas arriba de la presa Trazar una horizontal por el punto2 hasta cortar la cara del talud aguas abajo El punto de interseccioacuten es 5
3 Dividir 4 -5 Y 5 - 2 en el mismo nuacutemero de partes iguales no maacutes de 4 o 5 y marcarestos puntos (en 2- 5 se parte de 5 numerando con letras A -B etc en 4 - 5 se parte de 4numerando A-B-C etc)
4 Trazar por 4 - 5 liacuteneas horizontales en los puntos marcados
5 Unir cada uno de los puntos marcados en la horizontal 2- 5 con el punto 46 Trazar la liacutenea freaacutetica por los puntos obtenidos 7 Como la liacutenea freaacutetica parte perpendicular a la cara del talud aguas arriba este ajuste
debe realizarse manualmente
=gt M = htg ald =L - O7M
Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
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Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
Caso 2 a2 gt 30deg En este caso el procedimiento a seguir es
d d hP 22
1 La paraacutebola tiene su origen a una distancia P del veacutertice del talud aguas abajo de lapresa es decir este veacutertice es su foco y es tangente a la vertical que pasa por elpunto P
P se calcula por medio de la siguiente expresioacuten
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2 Trazar la paraacutebola baacutesica de Kozeny En este caso la tangente al origen es una liacuteneavertical
3 La distancia desde el punto 4 hasta la interseccioacuten de la paraacutebola con el talud aguasabajo es a + Da y no es realmente el punto por donde sale el agua en el talud porlo tanto se debe realizar una correccioacuten y encontrar a Casagrande encontroacute que larelacioacuten es un escalar que puede ser llamado a y que se relaciona
con el angulo a2 seguacuten se muestra en la siguiente tabla
a
a
D
D
a a2 ( deg ) aacute
30 0375
60 0320
90 0260
120 0185
150 0105
180 0
Los valores entre estos aacutengulos pueden interpolarse
y midiendo a + Da se calcula a usando la tablaDa = aacute ( a + Da ) y a = ( a + Da ) - Da
Finalmente se trazan manualmente la entraday la salida de la liacutenea de saturacioacuten
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EJERCICIO Determine la Linea Superficial de Flujo de la presa de tierra que se presentaa continuacioacuten
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a continuacioacuten
EJERCICIO Determine la Linea Superficial de Flujo de la presa de tierra que se presentaa continuacioacuten
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2
1
a continuacioacuten
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
g
La teoriacutea de la seccioacuten transformada permite reducir al caso de un suelo homogeacuteneo e isoacutetropo un suelo en el que la permeabilidad para el flujo en la direccioacuten horizontal ( kx) y la que tenga para el flujo en la direccioacuten vertical ( ky ) sean diferentes ( kx ne Ky )(por lo general Kx en muchas veces mayor que ky )
La teoriacutea de la seccioacuten transformada es un simple artificio de calculo que se logra por una simple transformacioacuten de coordenadas y que modifica sobre el papel las dimensiones de la zona de flujo en estudio en un suelo isotropico hidraacuteulicamente equivalente
Dos tipos de transformaciones se pueden aplicar a) Haciendo
Y Ky
Kx
Y acute
Se modifican las dimensiones verticales permaneciendo constantes las horizontales
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
g
b) Haciendo
X Kx
Ky X acute
Se modifican las dimensiones Horizontales permaneciendo constantes las Verticales
En la seccioacuten transformada homogeacutenea e isoacutetropa la permeabilidad equivalente viene dada por
kykxk
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
kykxk
X Kx
Ky X acute
2 0 0 0
0 0
kx
ky
k
2 8 2 0 0
0
h
141h
500000
b352463
071b
k
Y Ky
KxY acute
kykx 2
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iquestQue tiende a ocurrir cuando el flujo es Ascendente
Cuando el flujo es ascendente la friccioacuten entre el agua y las paredes de los vaciacuteostiende a levantar los granos de suelo El valor de la presioacuten de filtracioacuten puedecrecer tanto que los esfuerzos efectivos se hacen cero
La resistencia al corte de un suelo granular esdirectamente proporcional a los esfuerzosefectivos por lo que cuando estos se igualan acero el suelo pierde su resistencia al corte y seproduce lo que se conoce como ebullicioacuten delsuelo granular Este fenoacutemeno de ebullicioacuten estaacutelimitado a los suelos sin cohesioacuten y se conoce
con el nombre de Licuefaccioacuten acute
= acute h -
Δf
Fenoacutemeno tiacutepico de suelos granulares cuando pierden resistencia al corte y se
produce una separacioacuten entre las partiacuteculas que hace acute = 0
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En estos casos en que los esfuerzos efectivos se hacen cero la presioacuten de
filtracioacuten se iguala al peso del suelo
H acute ndash Dh w 0
H acute = Dh w
Dh = acute H w
Como Dh = i
H
ic = acute
w
ic seraacute el Gradiente Hidraacuteulico Criacutetico y lo definiremos como el gradiente alcual se produce la ebullicioacuten del suelo
acute = 0 acute h - Δf = 0
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En funcioacuten de la Gravedad Especiacutefica de los Solidos (Gs) y la Relacioacuten de Vaciacuteos (e)desarrollaremos una expresioacuten para el ic
ic = acute
w
Las relaciones de vaciacuteos de la gran mayoriacutea de las arenas estaacuten comprendidasentre 03 y 12 Por otro lado la gravedad especiacutefica de estos suelos oscila entre265 y 270 Si se aplica la formula en esos intervalos se tiene que
acute = sat - w sat = Gs + e w 1+e
acute = Gs + e w ndash w = w Gs + e - 1
1+e 1+e
ic = Gs - 1
1+e
Para e = 03 Gs = 265 ic = 127Gs = 270 ic = 131
Para e = 12 Gs = 265 ic = 075
Gs = 270 ic = 077ldquoSeguacuten estos resultados en un deposito de arena para cualquier Gs practico se pueden encontrar valores de ic entre
075 y 131 De modo que es importante resaltar que los valores de gradiente hidraacuteulico critico en arenas estaacuten cercanos
a la unidad rdquo
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Como se produce la licuefaccioacuten con las sacudidas
siacutesmicas fuertes
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Edificios de estructura de hormigoacuten armado concerramientos y particiones interiores de faacutebrica dantildeados por elterremoto de Nigata Japoacuten 16 de Junio de 1964 magnitudRichter 75
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Ejercicio Bajo las condiciones indicadas en la figura se pide calcular los
esfuerzos totales neutrales y efectivos en las fronteras de los estratos
L
2L
2L
γw
γsat K1
γsat K2
L
K2= 2K1
1
2
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Ejercicio En el perfil estratificado indicado determine las presiones totales
neutrales y efectivas en las fronteras indicadas ademaacutes calcule el factor de
seguridad a la licuefaccioacuten donde sea necesario
L
L
2L
3L
09L
γsat1 γh1 k1
Satcap
γsat2 k2
γsat3 k3
1
2
3
γsat1= 15 γw =12 γh1
γsat2= 17 γw
γsat3= 19 γwk2= 2k1k3= 6k1
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LEVANTAMIENTO DE UN ESTRATO DE ARCILLA
Las fuerzas de filtracioacuten afectan no solamente a los suelos sincohesioacuten sino tambieacuten a los suelos cohesivos soacutelo que lo hacen demodo distinto porque en suelos arcillosos la cohesioacuten existente entrelas partiacuteculas las mantiene unidas de modo tal que se levanta toda la
masa de suelo y no partiacuteculas individuales como en los suelosgranulares
A modo de explicar el comportamiento de los suelos cohesivospondremos el siguiente caso
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LEVANTAMIENTO DE UN ESTRATO DE ARCILLA
Se tienen dos estratos de suelo diferente un suelo cohesivo que descansa sobre unmaterial muy permeable o suelo sin cohesioacuten Se necesita realizar una excavacioacutenen el estrato cohesivo para lo cual se debe determinar la profundidad a excavar yel espesor del estrato luego de realizada la excavacioacuten (tc) de tal manera queresulte seguro al levantamiento
Para realizar la excavacioacuten
se colocan dos tablestacas enel suelo y se procede luego aabatir el nivel del agua pormedio de bombeo tratando demantenerla seca
Por otra parte se desprecianlas fuerzas de friccioacuten que seoriginan cuando se hinca latablestaca
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LEVANTAMIENTO DE UN ESTRATO DE ARCILLA
Observemos que las fuerzas verticales actuantes son el peso del suelo y la presioacutende poros que tienden a levantar el fondo de la excavacioacuten puesto que el flujo es
ascendente El nivel piezomeacutetrico en la superficie del estrato sin cohesioacuten es mayorque el nivel piezomeacutetrico en el fondo de la excavacioacuten por lo que el agua tiende asubir pero como la permeabilidad del estrato de arcilla es tan baja esto resultamuy difiacutecil y se generan presiones en el fondo del rectaacutengulo
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El suelo estaacute saturado por tanto para calcular su peso se usa el peso unitario saturadoentonces
Peso del Suelo = tc sat
Haciendo equilibrio de fuerzas verticales
La presioacuten de poros es la suma de la presioacuten hidrostaacutetica y la de filtracioacuten
= Dh + Df = tc w + Dh w = ( tc + Dh ) w
sumFv = 0 Peso del Suelo - = 0
tc sat = ( tc + Dh ) w
tc sat = tc w + Dh w
tc ( sat - w ) = Dh w tc = Dh w = Df
( sat - w ) acute
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El espesor tc es el espesor criacutetico de la excavacioacuten es decir es el espesor miacutenimo
para el cual la excavacioacuten es segura
Por lo tanto
En espesores lt de tc se produce el levantamiento del fondo de la excavacioacuten
En espesores gt de tc la excavacioacuten es estable
Este fenoacutemeno puede darse tambieacuten parcialmente socavacioacuten
cuando se forman tuacuteneles o cavernas por arrastre de finos que generaninestabilidad y lo que puede ser maacutes grave el colapso del suelo
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EJERCICIOSe pretende realizar una excavacioacuten en un estrato de arcilla de 10 mts de espesor
que descansa sobre un estrato de arena Se pide
a) Calcular la profundidad maacutexima de excavacioacuten sin que se produzca
inestabilidad o levantamiento del fondob) iquestQueacute profundidad de agua libre debe bombearse a modo de poder llevar la
excavacioacuten hasta 8 mts de profundidad
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10m
1m
9m
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10m
1m
9m N
K
habat
N
K
Dh
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FLUJO EN MEDIOS POROSOS
El agua puede fluir a traveacutes de la masa de suelo en cualquier estado
en que este se encuentre aun y cuando el este muy compactado el
agua puede fluir a traveacutes de la masa de suelo ya que los poros estaacuten
interconectados entre si permitiendo el flujo de agua en ese medioporoso movieacutendose esta a lo largo de caminos ondulantes y rugosos
que existen entre un poro y otro lo cual genera peacuterdidas de energiacutea o
carga piezomeacutetrica originadas por la friccioacuten al igual que ocurre
cuando el flujo de agua es por tuberiacuteas o por canales abiertos
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Hasta ahora el estudio del flujo en medios porosos se ha limitado alcaso unidimensional (flujo ascendente y descendente) en el que losparaacutemetros del fluido tales como presioacuten velocidad temperaturaetc son constantes en cualquier seccioacuten transversal que seaperpendicular a la direccioacuten del flujo
En esta parte del tema se estudiaraacute el flujo del agua en tresdimensiones que es el caso maacutes general para lo cual se trabajaraacute conla ecuacioacuten fundamental de flujo Posteriormente se realizansimplificaciones debido a que el anaacutelisis tridimensional de los
problemas de filtracioacuten resulta muy complejo y se trabaja conmeacutetodos aproximados que permiten su resolucioacuten en dosdimensiones
Oacute
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ECUACIOacuteN FUNDAMENTAL DE FLUJO
HIPOTESIS
Dominio Saturado
La Presioacuten y la Velocidad son funcioacuten uacutenicamente de la posicioacuten
El esqueleto mineral del suelo es perfectamente riacutegido
z
y
x x y z
dz
dy
dx
Componente vertical del flujo
Base teoacuterica de la Red de Flujo y para otros
meacutetodos de resolucioacuten de problemas de filtracioacuten
Elemento cuacutebico de suelo a traveacutes del cual se
produce flujo laminar q con componenetes x y z
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z y x qqqq
dydxdz z
VzVzdzdxdy
y
VyVydzdydx
x
VxVxdydxVzdzdxVydzdyVx
Igualamos
dydxdz z
VzVzdzdxdy y
VyVydzdydx x
VxVxq
dydxVzdzdxVydzdyVxq
saliente
entrante
Por continuidad qentrante = qsaliente
Simplificamos y llegamos a la ecuacioacuten de Continuidad 0
z
Vz
y
Vy
x
Vx
Aplicamos Ley de Darcy (V = -ki = -k h L) 02
2
2
2
2
2
z
hkz
y
hky
x
hkx
Asumimos el suelo Isotroacutepico (kx = ky = kz) h z
h
y
h
x
h 2
2
2
2
2
2
2
0
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
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La ecuacioacuten de Laplace describe matemaacuteticamente el flujo de aguaen la regioacuten considerada
Expresa la suma de la variacioacuten de los gradientes hidraacuteulicos en lasdirecciones X Y y Z es Nula
h z
h
y
h
x
h 2
2
2
2
2
2
2
0
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
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SOLUCIOacuteN DE LA ECUACIOacuteN DE LAPLACE EN 2 DIMENSIONES
FUNCIOacuteN POTENCIAL DE LA VELOCIDAD =
( x y) = constante = -kh + c Es dependiente del potencial hidraacuteulico y su variacioacuten genera velocidad en
el agua
Derivando con respecto a X y a Y
x
hk
x
y
hk
y
x
hk Vx
y
hk Vy Entonces Vx
x
Vy
y
Resolvemos derivando con respecto a X y a Y y aplicamos la ecuacioacuten de Continuidad
2
2
2
2
2
0 y x
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satisface la ecuacioacuten de Laplace siendo la solucioacuten de la mismaen dos dimensiones
define para cada valor de esa constante una linea continua cuyospuntos tiene igual potencial hidraacuteulico h y son denominadasldquoLineas Equipotencialesrdquo
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
2
2
2
2
2
0 y x
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FUNCIOacuteN DE FLUJO =
( x y) = constante
Entonces
Resolvemos derivando con respecto a X y a Y y aplicamos la ecuacioacuten de Continuidad
0 D
D
y
y x
x
Dx
Dy
Vy
Vx
Por continuidad qentrante = qsaliente
0 DD yVx xVy yVy
Vx x DD Asumiendo Vx
x
Vy
y
2
2
2
2
2
0 y x
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cumple con la ecuacioacuten de Laplace por lo tanto es una solucioacuten ala misma en dos dimensiones
define para cada valor de la constante una linea continua querepresenta la trayectoria de agua Se denominan ldquoLineas de Flujordquo oacuteldquoLineas de Corrienterdquo
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
2
2
2
2
2
0 y x
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RELACIOacuteN ENTRE LAS LINEAS EQUIPOTENCIALES YLINEAS DE FLUJO O DE CORRIENTE
Considerando las derivadas totales a lo largo de cada una de las curvas
y
x
x
y
x
y
x
y
Pendientes Reciacuteprocas y de signo contario lo cual escondicioacuten de Ortogonalidad y son Ortogonales encada punto de interseccioacuten
REDES DE FLUJO
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REDES DE FLUJO
La red de flujo es la solucioacuten graacutefica la ecuacioacuten de Laplace en 2 dimensiones
Desafortunadamente la ecuacioacuten de Laplace es matemaacuteticamente integrable solo encondiciones de frontera muy simples por lo que en la praacutectica es necesario emplearotros meacutetodos diferentes de la integracioacuten para obtener la red de flujo Uno de esosmeacutetodos es el procedimiento graacutefico de Forcheimer que resulta ser muy simple deaplicar cualquiera sea el problema de flujo uniforme en dos dimensiones
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El espacio entre cualquier par de liacuteneas de flujo consecutivas es un canal de flujoen el trazado de la red se debe seleccionar un cierto nuacutemero de canales de flujo
Nf tal que el gasto de infiltracioacuten a traveacutes de cada canal sea el mismoDq = q Nf
La peacuterdida de carga entre cualquier par de liacuteneas equipotenciales consecutivas es lamisma e igual a Dh Donde Dhacute = Dh Nd (Dh es la peacuterdida de carga total y Nd elnuacutemero de caiacutedas de potencial)
El ancho del canal es a y la distancia entre las caiacutedas equipotenciales es b paracualquier elemento considerado
El gasto que circula por cualquier elemento es Dq = k i A
El gradiente hidraacuteulico del elemento es i = Dhacute b = ( Dh Nd ) bEntoces Dq = k ( ( Dh Nd ) b ) a L donde L es el ancho de la red en la tercera dimensioacuten
REDES DE FLUJO
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REDES DE FLUJO
Como Dq = q Nf entonces q = Dq Nf = k ( ( Dh Nd ) b ) a L Nf
La razoacuten a b esta fijada por la razoacuten Nf Nd y es la misma a traveacutes de toda la redNf y Nd deben seleccionarse de modo que a = b y a b = 1 Con lo que laecuacioacuten de gasto se transforma en
Reordenando q = k Dh ( Nf Nd ) (a b ) L
q = k Dh ( Nf Nd ) L
Aacute
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1) Hacer un dibujo a escala que muestre la masa de suelo los liacutemites permeables a
traveacutes de los cuales entra y sale el agua del suelo y las fronteras impermeables que
confinan o limitan el flujo
2) Dibujar de dos a cuatro liacuteneas de flujo que formen aacutengulos rectos con los liacutemitespermeables a la entrada y a la salida y que sean aproximadamente paralelas a losliacutemites impermeables
3) Dibujar liacuteneas equipotenciales que formen aacutengulos rectos con las liacuteneas de flujo demanera que el ancho y el largo promedio del cuadrado curviliacuteneo que forman seaniguales (a=b) Desde luego esto es imposible de lograr en el primer tanteo porquelas posiciones de las liacuteneas de flujo son supuestas pero esta primera red serviraacute deguiacutea para un segundo tanteo
4) Se reajustan las liacuteneas de flujo y las liacuteneas equipotenciales hasta que todas lasintersecciones sean en aacutengulo recto y el largo y ancho de cada cuadrado seaniguales Los tamantildeos de los cuadrados pueden ser distintos pero la relacioacuten ab = 1debe mantenerse
REGLAS PRAacuteCTICAS PARA ELABORAR REDES DE FLUJO
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El logro de una solucioacuten exacta requiere de muchos tanteos y
algunos problemas no admiten en su solucioacuten un nuacutemeroexacto de canales yo de caiacutedas equipotenciales en estos casosdebe intentarse con un nuacutemero de canales yo caiacutedasequipotenciales fraccionario (media caiacuteda o medio canal porejemplo)
Al lograr trazar la red de flujo de cuadrados curviliacuteneossatisfaciendo las condiciones de frontera del problema seobtendraacute la solucioacuten graacutefica de este problema para las
condiciones de frontera del problema se obtendraacute la solucioacutengraacutefica de este para las condiciones hidrodinaacutemicasestablecidas por la ecuacioacuten de Laplace
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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J g j
6 0
0 m
BA
I II III IV V VI VII
C
D
6 0
0 m
6 0
0 m
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
1) Altura piezometrica en A
2) Esfuerzo efectivo en B
3) Gradiente hidraacuteulico velocidades de descarga y de filtracioacuten
en C
4) Presiones hidraacuteulicas sobre el tablestacado5) Gradiente hidraacuteulico de salida y factor de seguridad contra la
arena movediza (licuefaccioacuten)
6) Factor de seguridad a la Tubificacioacuten
7) Presiones hidraacuteulicas sobre el fondo impermeable
8) Presioacuten de filtracioacuten en D
9) Caudal de Filtracioacuten bajo la presa sabiendo que L= 50 m
0m 3m 5m 10m
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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J g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
γconc= 235 Tm3
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
γconc= 235 Tm3
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg γsat= 218 Tm3 γconc= 235 Tm3
LINEA SUPERFICIAL DE FLUJO
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LINEA SUPERFICIAL DE FLUJO
En algunos casos un liacutemite de las liacuteneas de flujo puede ser una superficie de agualibre o superficie de saturacioacuten que no estaacute determinada por ninguna masa soacutelida
impermeable
Tal es el caso de las presas de tierra cuyo problema de flujo presenta caracteriacutesticasespeciales y por lo tanto se requiere del uso de meacutetodos tambieacuten especiales paralograr el trazado de la red de flujo
a
b
c
Equipotencial
Liacutenea de Flujo
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En la figura se presenta una presa de tierra de un material heterogeacuteneo eacute isoacutetropo La liacutenea 1-2 es una liacutenea equipotencial puesto que es el contacto entre el suelo permeable y el agua La liacutenea1-3 es un contacto entre la frontera impermeable y el material permeable por lo tanto es unaliacutenea de flujo Entre los puntos 2 y 4 existe una frontera del flujo donde por debajo de ella elsuelo estaacute saturado y por encima no lo estaacute Ahora bien esta liacutenea que limita la zona de flujodentro de la presa recibe el nombre de liacutenea superficial de flujo o liacutenea de saturacioacuten Suforma se desconoce a priori y tambieacuten la posicioacuten del punto 4 ambos deben ser determinados almenos aproximadamente para poder trazar la red de flujo
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La liacutenea de saturacioacuten ademaacutes de ser una liacutenea de flujo es tambieacuten una liacutenea de
equipresioacuten en la que todos los puntos tienen la misma presioacuten cero Por lo tantoel potencial hidraacuteulico depende de la carga de elevacioacuten uacutenicamente y las liacuteneasequipotenciales la cortaran a intervalos verticales iguales entre si
Condiciones Generales de Entrada
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Condiciones Generales de Entrada
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Condiciones Generales de Salida
Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
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Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
Caso 1 a2 lt 30deg En este caso es posible calcular la superficie humedecida a (distancia 4 - 3) pormedio de la siguiente expresioacuten
2
2
2
2
2
2
2coscos a a a sen
hd d a
d = L - M + O3M
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Luego de dibujar la presa de tierra a escala se sentildeala en ella la superficie humedecida aguas
abajo a calculada por la foacutermula anterior El siguiente paso consiste en el trazado de laliacutenea de saturacioacuten usando el meacutetodo graacutefico aproximado de la paraacutebola baacutesica de Kozenycuyo procedimiento se describe a continuacioacuten
1 Ubicar el punto 2 en la liacutenea freaacutetica a una distancia de 03M medida desde la cara deltalud aguas arriba La cara aguas abajo del talud es tangente a la paraacutebola en el punto 4
2 Prolongar la liacutenea en el talud aguas arriba de la presa Trazar una horizontal por el punto2 hasta cortar la cara del talud aguas abajo El punto de interseccioacuten es 5
3 Dividir 4 -5 Y 5 - 2 en el mismo nuacutemero de partes iguales no maacutes de 4 o 5 y marcarestos puntos (en 2- 5 se parte de 5 numerando con letras A -B etc en 4 - 5 se parte de 4numerando A-B-C etc)
4 Trazar por 4 - 5 liacuteneas horizontales en los puntos marcados
5 Unir cada uno de los puntos marcados en la horizontal 2- 5 con el punto 46 Trazar la liacutenea freaacutetica por los puntos obtenidos 7 Como la liacutenea freaacutetica parte perpendicular a la cara del talud aguas arriba este ajuste
debe realizarse manualmente
=gt M = htg ald =L - O7M
Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
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Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
Caso 2 a2 gt 30deg En este caso el procedimiento a seguir es
d d hP 22
1 La paraacutebola tiene su origen a una distancia P del veacutertice del talud aguas abajo de lapresa es decir este veacutertice es su foco y es tangente a la vertical que pasa por elpunto P
P se calcula por medio de la siguiente expresioacuten
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2 Trazar la paraacutebola baacutesica de Kozeny En este caso la tangente al origen es una liacuteneavertical
3 La distancia desde el punto 4 hasta la interseccioacuten de la paraacutebola con el talud aguasabajo es a + Da y no es realmente el punto por donde sale el agua en el talud porlo tanto se debe realizar una correccioacuten y encontrar a Casagrande encontroacute que larelacioacuten es un escalar que puede ser llamado a y que se relaciona
con el angulo a2 seguacuten se muestra en la siguiente tabla
a
a
D
D
a a2 ( deg ) aacute
30 0375
60 0320
90 0260
120 0185
150 0105
180 0
Los valores entre estos aacutengulos pueden interpolarse
y midiendo a + Da se calcula a usando la tablaDa = aacute ( a + Da ) y a = ( a + Da ) - Da
Finalmente se trazan manualmente la entraday la salida de la liacutenea de saturacioacuten
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EJERCICIO Determine la Linea Superficial de Flujo de la presa de tierra que se presentaa continuacioacuten
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a continuacioacuten
EJERCICIO Determine la Linea Superficial de Flujo de la presa de tierra que se presentaa continuacioacuten
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2
1
a continuacioacuten
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
g
La teoriacutea de la seccioacuten transformada permite reducir al caso de un suelo homogeacuteneo e isoacutetropo un suelo en el que la permeabilidad para el flujo en la direccioacuten horizontal ( kx) y la que tenga para el flujo en la direccioacuten vertical ( ky ) sean diferentes ( kx ne Ky )(por lo general Kx en muchas veces mayor que ky )
La teoriacutea de la seccioacuten transformada es un simple artificio de calculo que se logra por una simple transformacioacuten de coordenadas y que modifica sobre el papel las dimensiones de la zona de flujo en estudio en un suelo isotropico hidraacuteulicamente equivalente
Dos tipos de transformaciones se pueden aplicar a) Haciendo
Y Ky
Kx
Y acute
Se modifican las dimensiones verticales permaneciendo constantes las horizontales
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
g
b) Haciendo
X Kx
Ky X acute
Se modifican las dimensiones Horizontales permaneciendo constantes las Verticales
En la seccioacuten transformada homogeacutenea e isoacutetropa la permeabilidad equivalente viene dada por
kykxk
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
kykxk
X Kx
Ky X acute
2 0 0 0
0 0
kx
ky
k
2 8 2 0 0
0
h
141h
500000
b352463
071b
k
Y Ky
KxY acute
kykx 2
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En estos casos en que los esfuerzos efectivos se hacen cero la presioacuten de
filtracioacuten se iguala al peso del suelo
H acute ndash Dh w 0
H acute = Dh w
Dh = acute H w
Como Dh = i
H
ic = acute
w
ic seraacute el Gradiente Hidraacuteulico Criacutetico y lo definiremos como el gradiente alcual se produce la ebullicioacuten del suelo
acute = 0 acute h - Δf = 0
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En funcioacuten de la Gravedad Especiacutefica de los Solidos (Gs) y la Relacioacuten de Vaciacuteos (e)desarrollaremos una expresioacuten para el ic
ic = acute
w
Las relaciones de vaciacuteos de la gran mayoriacutea de las arenas estaacuten comprendidasentre 03 y 12 Por otro lado la gravedad especiacutefica de estos suelos oscila entre265 y 270 Si se aplica la formula en esos intervalos se tiene que
acute = sat - w sat = Gs + e w 1+e
acute = Gs + e w ndash w = w Gs + e - 1
1+e 1+e
ic = Gs - 1
1+e
Para e = 03 Gs = 265 ic = 127Gs = 270 ic = 131
Para e = 12 Gs = 265 ic = 075
Gs = 270 ic = 077ldquoSeguacuten estos resultados en un deposito de arena para cualquier Gs practico se pueden encontrar valores de ic entre
075 y 131 De modo que es importante resaltar que los valores de gradiente hidraacuteulico critico en arenas estaacuten cercanos
a la unidad rdquo
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Como se produce la licuefaccioacuten con las sacudidas
siacutesmicas fuertes
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Edificios de estructura de hormigoacuten armado concerramientos y particiones interiores de faacutebrica dantildeados por elterremoto de Nigata Japoacuten 16 de Junio de 1964 magnitudRichter 75
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Ejercicio Bajo las condiciones indicadas en la figura se pide calcular los
esfuerzos totales neutrales y efectivos en las fronteras de los estratos
L
2L
2L
γw
γsat K1
γsat K2
L
K2= 2K1
1
2
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Ejercicio En el perfil estratificado indicado determine las presiones totales
neutrales y efectivas en las fronteras indicadas ademaacutes calcule el factor de
seguridad a la licuefaccioacuten donde sea necesario
L
L
2L
3L
09L
γsat1 γh1 k1
Satcap
γsat2 k2
γsat3 k3
1
2
3
γsat1= 15 γw =12 γh1
γsat2= 17 γw
γsat3= 19 γwk2= 2k1k3= 6k1
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LEVANTAMIENTO DE UN ESTRATO DE ARCILLA
Las fuerzas de filtracioacuten afectan no solamente a los suelos sincohesioacuten sino tambieacuten a los suelos cohesivos soacutelo que lo hacen demodo distinto porque en suelos arcillosos la cohesioacuten existente entrelas partiacuteculas las mantiene unidas de modo tal que se levanta toda la
masa de suelo y no partiacuteculas individuales como en los suelosgranulares
A modo de explicar el comportamiento de los suelos cohesivospondremos el siguiente caso
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LEVANTAMIENTO DE UN ESTRATO DE ARCILLA
Se tienen dos estratos de suelo diferente un suelo cohesivo que descansa sobre unmaterial muy permeable o suelo sin cohesioacuten Se necesita realizar una excavacioacutenen el estrato cohesivo para lo cual se debe determinar la profundidad a excavar yel espesor del estrato luego de realizada la excavacioacuten (tc) de tal manera queresulte seguro al levantamiento
Para realizar la excavacioacuten
se colocan dos tablestacas enel suelo y se procede luego aabatir el nivel del agua pormedio de bombeo tratando demantenerla seca
Por otra parte se desprecianlas fuerzas de friccioacuten que seoriginan cuando se hinca latablestaca
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LEVANTAMIENTO DE UN ESTRATO DE ARCILLA
Observemos que las fuerzas verticales actuantes son el peso del suelo y la presioacutende poros que tienden a levantar el fondo de la excavacioacuten puesto que el flujo es
ascendente El nivel piezomeacutetrico en la superficie del estrato sin cohesioacuten es mayorque el nivel piezomeacutetrico en el fondo de la excavacioacuten por lo que el agua tiende asubir pero como la permeabilidad del estrato de arcilla es tan baja esto resultamuy difiacutecil y se generan presiones en el fondo del rectaacutengulo
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El suelo estaacute saturado por tanto para calcular su peso se usa el peso unitario saturadoentonces
Peso del Suelo = tc sat
Haciendo equilibrio de fuerzas verticales
La presioacuten de poros es la suma de la presioacuten hidrostaacutetica y la de filtracioacuten
= Dh + Df = tc w + Dh w = ( tc + Dh ) w
sumFv = 0 Peso del Suelo - = 0
tc sat = ( tc + Dh ) w
tc sat = tc w + Dh w
tc ( sat - w ) = Dh w tc = Dh w = Df
( sat - w ) acute
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El espesor tc es el espesor criacutetico de la excavacioacuten es decir es el espesor miacutenimo
para el cual la excavacioacuten es segura
Por lo tanto
En espesores lt de tc se produce el levantamiento del fondo de la excavacioacuten
En espesores gt de tc la excavacioacuten es estable
Este fenoacutemeno puede darse tambieacuten parcialmente socavacioacuten
cuando se forman tuacuteneles o cavernas por arrastre de finos que generaninestabilidad y lo que puede ser maacutes grave el colapso del suelo
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EJERCICIOSe pretende realizar una excavacioacuten en un estrato de arcilla de 10 mts de espesor
que descansa sobre un estrato de arena Se pide
a) Calcular la profundidad maacutexima de excavacioacuten sin que se produzca
inestabilidad o levantamiento del fondob) iquestQueacute profundidad de agua libre debe bombearse a modo de poder llevar la
excavacioacuten hasta 8 mts de profundidad
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10m
1m
9m
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10m
1m
9m N
K
habat
N
K
Dh
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FLUJO EN MEDIOS POROSOS
El agua puede fluir a traveacutes de la masa de suelo en cualquier estado
en que este se encuentre aun y cuando el este muy compactado el
agua puede fluir a traveacutes de la masa de suelo ya que los poros estaacuten
interconectados entre si permitiendo el flujo de agua en ese medioporoso movieacutendose esta a lo largo de caminos ondulantes y rugosos
que existen entre un poro y otro lo cual genera peacuterdidas de energiacutea o
carga piezomeacutetrica originadas por la friccioacuten al igual que ocurre
cuando el flujo de agua es por tuberiacuteas o por canales abiertos
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Hasta ahora el estudio del flujo en medios porosos se ha limitado alcaso unidimensional (flujo ascendente y descendente) en el que losparaacutemetros del fluido tales como presioacuten velocidad temperaturaetc son constantes en cualquier seccioacuten transversal que seaperpendicular a la direccioacuten del flujo
En esta parte del tema se estudiaraacute el flujo del agua en tresdimensiones que es el caso maacutes general para lo cual se trabajaraacute conla ecuacioacuten fundamental de flujo Posteriormente se realizansimplificaciones debido a que el anaacutelisis tridimensional de los
problemas de filtracioacuten resulta muy complejo y se trabaja conmeacutetodos aproximados que permiten su resolucioacuten en dosdimensiones
Oacute
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ECUACIOacuteN FUNDAMENTAL DE FLUJO
HIPOTESIS
Dominio Saturado
La Presioacuten y la Velocidad son funcioacuten uacutenicamente de la posicioacuten
El esqueleto mineral del suelo es perfectamente riacutegido
z
y
x x y z
dz
dy
dx
Componente vertical del flujo
Base teoacuterica de la Red de Flujo y para otros
meacutetodos de resolucioacuten de problemas de filtracioacuten
Elemento cuacutebico de suelo a traveacutes del cual se
produce flujo laminar q con componenetes x y z
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z y x qqqq
dydxdz z
VzVzdzdxdy
y
VyVydzdydx
x
VxVxdydxVzdzdxVydzdyVx
Igualamos
dydxdz z
VzVzdzdxdy y
VyVydzdydx x
VxVxq
dydxVzdzdxVydzdyVxq
saliente
entrante
Por continuidad qentrante = qsaliente
Simplificamos y llegamos a la ecuacioacuten de Continuidad 0
z
Vz
y
Vy
x
Vx
Aplicamos Ley de Darcy (V = -ki = -k h L) 02
2
2
2
2
2
z
hkz
y
hky
x
hkx
Asumimos el suelo Isotroacutepico (kx = ky = kz) h z
h
y
h
x
h 2
2
2
2
2
2
2
0
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
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La ecuacioacuten de Laplace describe matemaacuteticamente el flujo de aguaen la regioacuten considerada
Expresa la suma de la variacioacuten de los gradientes hidraacuteulicos en lasdirecciones X Y y Z es Nula
h z
h
y
h
x
h 2
2
2
2
2
2
2
0
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
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SOLUCIOacuteN DE LA ECUACIOacuteN DE LAPLACE EN 2 DIMENSIONES
FUNCIOacuteN POTENCIAL DE LA VELOCIDAD =
( x y) = constante = -kh + c Es dependiente del potencial hidraacuteulico y su variacioacuten genera velocidad en
el agua
Derivando con respecto a X y a Y
x
hk
x
y
hk
y
x
hk Vx
y
hk Vy Entonces Vx
x
Vy
y
Resolvemos derivando con respecto a X y a Y y aplicamos la ecuacioacuten de Continuidad
2
2
2
2
2
0 y x
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satisface la ecuacioacuten de Laplace siendo la solucioacuten de la mismaen dos dimensiones
define para cada valor de esa constante una linea continua cuyospuntos tiene igual potencial hidraacuteulico h y son denominadasldquoLineas Equipotencialesrdquo
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
2
2
2
2
2
0 y x
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FUNCIOacuteN DE FLUJO =
( x y) = constante
Entonces
Resolvemos derivando con respecto a X y a Y y aplicamos la ecuacioacuten de Continuidad
0 D
D
y
y x
x
Dx
Dy
Vy
Vx
Por continuidad qentrante = qsaliente
0 DD yVx xVy yVy
Vx x DD Asumiendo Vx
x
Vy
y
2
2
2
2
2
0 y x
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cumple con la ecuacioacuten de Laplace por lo tanto es una solucioacuten ala misma en dos dimensiones
define para cada valor de la constante una linea continua querepresenta la trayectoria de agua Se denominan ldquoLineas de Flujordquo oacuteldquoLineas de Corrienterdquo
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
2
2
2
2
2
0 y x
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RELACIOacuteN ENTRE LAS LINEAS EQUIPOTENCIALES YLINEAS DE FLUJO O DE CORRIENTE
Considerando las derivadas totales a lo largo de cada una de las curvas
y
x
x
y
x
y
x
y
Pendientes Reciacuteprocas y de signo contario lo cual escondicioacuten de Ortogonalidad y son Ortogonales encada punto de interseccioacuten
REDES DE FLUJO
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REDES DE FLUJO
La red de flujo es la solucioacuten graacutefica la ecuacioacuten de Laplace en 2 dimensiones
Desafortunadamente la ecuacioacuten de Laplace es matemaacuteticamente integrable solo encondiciones de frontera muy simples por lo que en la praacutectica es necesario emplearotros meacutetodos diferentes de la integracioacuten para obtener la red de flujo Uno de esosmeacutetodos es el procedimiento graacutefico de Forcheimer que resulta ser muy simple deaplicar cualquiera sea el problema de flujo uniforme en dos dimensiones
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El espacio entre cualquier par de liacuteneas de flujo consecutivas es un canal de flujoen el trazado de la red se debe seleccionar un cierto nuacutemero de canales de flujo
Nf tal que el gasto de infiltracioacuten a traveacutes de cada canal sea el mismoDq = q Nf
La peacuterdida de carga entre cualquier par de liacuteneas equipotenciales consecutivas es lamisma e igual a Dh Donde Dhacute = Dh Nd (Dh es la peacuterdida de carga total y Nd elnuacutemero de caiacutedas de potencial)
El ancho del canal es a y la distancia entre las caiacutedas equipotenciales es b paracualquier elemento considerado
El gasto que circula por cualquier elemento es Dq = k i A
El gradiente hidraacuteulico del elemento es i = Dhacute b = ( Dh Nd ) bEntoces Dq = k ( ( Dh Nd ) b ) a L donde L es el ancho de la red en la tercera dimensioacuten
REDES DE FLUJO
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REDES DE FLUJO
Como Dq = q Nf entonces q = Dq Nf = k ( ( Dh Nd ) b ) a L Nf
La razoacuten a b esta fijada por la razoacuten Nf Nd y es la misma a traveacutes de toda la redNf y Nd deben seleccionarse de modo que a = b y a b = 1 Con lo que laecuacioacuten de gasto se transforma en
Reordenando q = k Dh ( Nf Nd ) (a b ) L
q = k Dh ( Nf Nd ) L
Aacute
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1) Hacer un dibujo a escala que muestre la masa de suelo los liacutemites permeables a
traveacutes de los cuales entra y sale el agua del suelo y las fronteras impermeables que
confinan o limitan el flujo
2) Dibujar de dos a cuatro liacuteneas de flujo que formen aacutengulos rectos con los liacutemitespermeables a la entrada y a la salida y que sean aproximadamente paralelas a losliacutemites impermeables
3) Dibujar liacuteneas equipotenciales que formen aacutengulos rectos con las liacuteneas de flujo demanera que el ancho y el largo promedio del cuadrado curviliacuteneo que forman seaniguales (a=b) Desde luego esto es imposible de lograr en el primer tanteo porquelas posiciones de las liacuteneas de flujo son supuestas pero esta primera red serviraacute deguiacutea para un segundo tanteo
4) Se reajustan las liacuteneas de flujo y las liacuteneas equipotenciales hasta que todas lasintersecciones sean en aacutengulo recto y el largo y ancho de cada cuadrado seaniguales Los tamantildeos de los cuadrados pueden ser distintos pero la relacioacuten ab = 1debe mantenerse
REGLAS PRAacuteCTICAS PARA ELABORAR REDES DE FLUJO
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El logro de una solucioacuten exacta requiere de muchos tanteos y
algunos problemas no admiten en su solucioacuten un nuacutemeroexacto de canales yo de caiacutedas equipotenciales en estos casosdebe intentarse con un nuacutemero de canales yo caiacutedasequipotenciales fraccionario (media caiacuteda o medio canal porejemplo)
Al lograr trazar la red de flujo de cuadrados curviliacuteneossatisfaciendo las condiciones de frontera del problema seobtendraacute la solucioacuten graacutefica de este problema para las
condiciones de frontera del problema se obtendraacute la solucioacutengraacutefica de este para las condiciones hidrodinaacutemicasestablecidas por la ecuacioacuten de Laplace
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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J g j
6 0
0 m
BA
I II III IV V VI VII
C
D
6 0
0 m
6 0
0 m
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
1) Altura piezometrica en A
2) Esfuerzo efectivo en B
3) Gradiente hidraacuteulico velocidades de descarga y de filtracioacuten
en C
4) Presiones hidraacuteulicas sobre el tablestacado5) Gradiente hidraacuteulico de salida y factor de seguridad contra la
arena movediza (licuefaccioacuten)
6) Factor de seguridad a la Tubificacioacuten
7) Presiones hidraacuteulicas sobre el fondo impermeable
8) Presioacuten de filtracioacuten en D
9) Caudal de Filtracioacuten bajo la presa sabiendo que L= 50 m
0m 3m 5m 10m
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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J g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
γconc= 235 Tm3
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
γconc= 235 Tm3
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg γsat= 218 Tm3 γconc= 235 Tm3
LINEA SUPERFICIAL DE FLUJO
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LINEA SUPERFICIAL DE FLUJO
En algunos casos un liacutemite de las liacuteneas de flujo puede ser una superficie de agualibre o superficie de saturacioacuten que no estaacute determinada por ninguna masa soacutelida
impermeable
Tal es el caso de las presas de tierra cuyo problema de flujo presenta caracteriacutesticasespeciales y por lo tanto se requiere del uso de meacutetodos tambieacuten especiales paralograr el trazado de la red de flujo
a
b
c
Equipotencial
Liacutenea de Flujo
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En la figura se presenta una presa de tierra de un material heterogeacuteneo eacute isoacutetropo La liacutenea 1-2 es una liacutenea equipotencial puesto que es el contacto entre el suelo permeable y el agua La liacutenea1-3 es un contacto entre la frontera impermeable y el material permeable por lo tanto es unaliacutenea de flujo Entre los puntos 2 y 4 existe una frontera del flujo donde por debajo de ella elsuelo estaacute saturado y por encima no lo estaacute Ahora bien esta liacutenea que limita la zona de flujodentro de la presa recibe el nombre de liacutenea superficial de flujo o liacutenea de saturacioacuten Suforma se desconoce a priori y tambieacuten la posicioacuten del punto 4 ambos deben ser determinados almenos aproximadamente para poder trazar la red de flujo
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La liacutenea de saturacioacuten ademaacutes de ser una liacutenea de flujo es tambieacuten una liacutenea de
equipresioacuten en la que todos los puntos tienen la misma presioacuten cero Por lo tantoel potencial hidraacuteulico depende de la carga de elevacioacuten uacutenicamente y las liacuteneasequipotenciales la cortaran a intervalos verticales iguales entre si
Condiciones Generales de Entrada
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Condiciones Generales de Entrada
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Condiciones Generales de Salida
Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
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Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
Caso 1 a2 lt 30deg En este caso es posible calcular la superficie humedecida a (distancia 4 - 3) pormedio de la siguiente expresioacuten
2
2
2
2
2
2
2coscos a a a sen
hd d a
d = L - M + O3M
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Luego de dibujar la presa de tierra a escala se sentildeala en ella la superficie humedecida aguas
abajo a calculada por la foacutermula anterior El siguiente paso consiste en el trazado de laliacutenea de saturacioacuten usando el meacutetodo graacutefico aproximado de la paraacutebola baacutesica de Kozenycuyo procedimiento se describe a continuacioacuten
1 Ubicar el punto 2 en la liacutenea freaacutetica a una distancia de 03M medida desde la cara deltalud aguas arriba La cara aguas abajo del talud es tangente a la paraacutebola en el punto 4
2 Prolongar la liacutenea en el talud aguas arriba de la presa Trazar una horizontal por el punto2 hasta cortar la cara del talud aguas abajo El punto de interseccioacuten es 5
3 Dividir 4 -5 Y 5 - 2 en el mismo nuacutemero de partes iguales no maacutes de 4 o 5 y marcarestos puntos (en 2- 5 se parte de 5 numerando con letras A -B etc en 4 - 5 se parte de 4numerando A-B-C etc)
4 Trazar por 4 - 5 liacuteneas horizontales en los puntos marcados
5 Unir cada uno de los puntos marcados en la horizontal 2- 5 con el punto 46 Trazar la liacutenea freaacutetica por los puntos obtenidos 7 Como la liacutenea freaacutetica parte perpendicular a la cara del talud aguas arriba este ajuste
debe realizarse manualmente
=gt M = htg ald =L - O7M
Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
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Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
Caso 2 a2 gt 30deg En este caso el procedimiento a seguir es
d d hP 22
1 La paraacutebola tiene su origen a una distancia P del veacutertice del talud aguas abajo de lapresa es decir este veacutertice es su foco y es tangente a la vertical que pasa por elpunto P
P se calcula por medio de la siguiente expresioacuten
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2 Trazar la paraacutebola baacutesica de Kozeny En este caso la tangente al origen es una liacuteneavertical
3 La distancia desde el punto 4 hasta la interseccioacuten de la paraacutebola con el talud aguasabajo es a + Da y no es realmente el punto por donde sale el agua en el talud porlo tanto se debe realizar una correccioacuten y encontrar a Casagrande encontroacute que larelacioacuten es un escalar que puede ser llamado a y que se relaciona
con el angulo a2 seguacuten se muestra en la siguiente tabla
a
a
D
D
a a2 ( deg ) aacute
30 0375
60 0320
90 0260
120 0185
150 0105
180 0
Los valores entre estos aacutengulos pueden interpolarse
y midiendo a + Da se calcula a usando la tablaDa = aacute ( a + Da ) y a = ( a + Da ) - Da
Finalmente se trazan manualmente la entraday la salida de la liacutenea de saturacioacuten
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EJERCICIO Determine la Linea Superficial de Flujo de la presa de tierra que se presentaa continuacioacuten
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a continuacioacuten
EJERCICIO Determine la Linea Superficial de Flujo de la presa de tierra que se presentaa continuacioacuten
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2
1
a continuacioacuten
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
g
La teoriacutea de la seccioacuten transformada permite reducir al caso de un suelo homogeacuteneo e isoacutetropo un suelo en el que la permeabilidad para el flujo en la direccioacuten horizontal ( kx) y la que tenga para el flujo en la direccioacuten vertical ( ky ) sean diferentes ( kx ne Ky )(por lo general Kx en muchas veces mayor que ky )
La teoriacutea de la seccioacuten transformada es un simple artificio de calculo que se logra por una simple transformacioacuten de coordenadas y que modifica sobre el papel las dimensiones de la zona de flujo en estudio en un suelo isotropico hidraacuteulicamente equivalente
Dos tipos de transformaciones se pueden aplicar a) Haciendo
Y Ky
Kx
Y acute
Se modifican las dimensiones verticales permaneciendo constantes las horizontales
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
g
b) Haciendo
X Kx
Ky X acute
Se modifican las dimensiones Horizontales permaneciendo constantes las Verticales
En la seccioacuten transformada homogeacutenea e isoacutetropa la permeabilidad equivalente viene dada por
kykxk
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
kykxk
X Kx
Ky X acute
2 0 0 0
0 0
kx
ky
k
2 8 2 0 0
0
h
141h
500000
b352463
071b
k
Y Ky
KxY acute
kykx 2
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En funcioacuten de la Gravedad Especiacutefica de los Solidos (Gs) y la Relacioacuten de Vaciacuteos (e)desarrollaremos una expresioacuten para el ic
ic = acute
w
Las relaciones de vaciacuteos de la gran mayoriacutea de las arenas estaacuten comprendidasentre 03 y 12 Por otro lado la gravedad especiacutefica de estos suelos oscila entre265 y 270 Si se aplica la formula en esos intervalos se tiene que
acute = sat - w sat = Gs + e w 1+e
acute = Gs + e w ndash w = w Gs + e - 1
1+e 1+e
ic = Gs - 1
1+e
Para e = 03 Gs = 265 ic = 127Gs = 270 ic = 131
Para e = 12 Gs = 265 ic = 075
Gs = 270 ic = 077ldquoSeguacuten estos resultados en un deposito de arena para cualquier Gs practico se pueden encontrar valores de ic entre
075 y 131 De modo que es importante resaltar que los valores de gradiente hidraacuteulico critico en arenas estaacuten cercanos
a la unidad rdquo
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Como se produce la licuefaccioacuten con las sacudidas
siacutesmicas fuertes
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Edificios de estructura de hormigoacuten armado concerramientos y particiones interiores de faacutebrica dantildeados por elterremoto de Nigata Japoacuten 16 de Junio de 1964 magnitudRichter 75
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Ejercicio Bajo las condiciones indicadas en la figura se pide calcular los
esfuerzos totales neutrales y efectivos en las fronteras de los estratos
L
2L
2L
γw
γsat K1
γsat K2
L
K2= 2K1
1
2
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Ejercicio En el perfil estratificado indicado determine las presiones totales
neutrales y efectivas en las fronteras indicadas ademaacutes calcule el factor de
seguridad a la licuefaccioacuten donde sea necesario
L
L
2L
3L
09L
γsat1 γh1 k1
Satcap
γsat2 k2
γsat3 k3
1
2
3
γsat1= 15 γw =12 γh1
γsat2= 17 γw
γsat3= 19 γwk2= 2k1k3= 6k1
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LEVANTAMIENTO DE UN ESTRATO DE ARCILLA
Las fuerzas de filtracioacuten afectan no solamente a los suelos sincohesioacuten sino tambieacuten a los suelos cohesivos soacutelo que lo hacen demodo distinto porque en suelos arcillosos la cohesioacuten existente entrelas partiacuteculas las mantiene unidas de modo tal que se levanta toda la
masa de suelo y no partiacuteculas individuales como en los suelosgranulares
A modo de explicar el comportamiento de los suelos cohesivospondremos el siguiente caso
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LEVANTAMIENTO DE UN ESTRATO DE ARCILLA
Se tienen dos estratos de suelo diferente un suelo cohesivo que descansa sobre unmaterial muy permeable o suelo sin cohesioacuten Se necesita realizar una excavacioacutenen el estrato cohesivo para lo cual se debe determinar la profundidad a excavar yel espesor del estrato luego de realizada la excavacioacuten (tc) de tal manera queresulte seguro al levantamiento
Para realizar la excavacioacuten
se colocan dos tablestacas enel suelo y se procede luego aabatir el nivel del agua pormedio de bombeo tratando demantenerla seca
Por otra parte se desprecianlas fuerzas de friccioacuten que seoriginan cuando se hinca latablestaca
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LEVANTAMIENTO DE UN ESTRATO DE ARCILLA
Observemos que las fuerzas verticales actuantes son el peso del suelo y la presioacutende poros que tienden a levantar el fondo de la excavacioacuten puesto que el flujo es
ascendente El nivel piezomeacutetrico en la superficie del estrato sin cohesioacuten es mayorque el nivel piezomeacutetrico en el fondo de la excavacioacuten por lo que el agua tiende asubir pero como la permeabilidad del estrato de arcilla es tan baja esto resultamuy difiacutecil y se generan presiones en el fondo del rectaacutengulo
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El suelo estaacute saturado por tanto para calcular su peso se usa el peso unitario saturadoentonces
Peso del Suelo = tc sat
Haciendo equilibrio de fuerzas verticales
La presioacuten de poros es la suma de la presioacuten hidrostaacutetica y la de filtracioacuten
= Dh + Df = tc w + Dh w = ( tc + Dh ) w
sumFv = 0 Peso del Suelo - = 0
tc sat = ( tc + Dh ) w
tc sat = tc w + Dh w
tc ( sat - w ) = Dh w tc = Dh w = Df
( sat - w ) acute
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El espesor tc es el espesor criacutetico de la excavacioacuten es decir es el espesor miacutenimo
para el cual la excavacioacuten es segura
Por lo tanto
En espesores lt de tc se produce el levantamiento del fondo de la excavacioacuten
En espesores gt de tc la excavacioacuten es estable
Este fenoacutemeno puede darse tambieacuten parcialmente socavacioacuten
cuando se forman tuacuteneles o cavernas por arrastre de finos que generaninestabilidad y lo que puede ser maacutes grave el colapso del suelo
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EJERCICIOSe pretende realizar una excavacioacuten en un estrato de arcilla de 10 mts de espesor
que descansa sobre un estrato de arena Se pide
a) Calcular la profundidad maacutexima de excavacioacuten sin que se produzca
inestabilidad o levantamiento del fondob) iquestQueacute profundidad de agua libre debe bombearse a modo de poder llevar la
excavacioacuten hasta 8 mts de profundidad
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10m
1m
9m
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10m
1m
9m N
K
habat
N
K
Dh
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FLUJO EN MEDIOS POROSOS
El agua puede fluir a traveacutes de la masa de suelo en cualquier estado
en que este se encuentre aun y cuando el este muy compactado el
agua puede fluir a traveacutes de la masa de suelo ya que los poros estaacuten
interconectados entre si permitiendo el flujo de agua en ese medioporoso movieacutendose esta a lo largo de caminos ondulantes y rugosos
que existen entre un poro y otro lo cual genera peacuterdidas de energiacutea o
carga piezomeacutetrica originadas por la friccioacuten al igual que ocurre
cuando el flujo de agua es por tuberiacuteas o por canales abiertos
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Hasta ahora el estudio del flujo en medios porosos se ha limitado alcaso unidimensional (flujo ascendente y descendente) en el que losparaacutemetros del fluido tales como presioacuten velocidad temperaturaetc son constantes en cualquier seccioacuten transversal que seaperpendicular a la direccioacuten del flujo
En esta parte del tema se estudiaraacute el flujo del agua en tresdimensiones que es el caso maacutes general para lo cual se trabajaraacute conla ecuacioacuten fundamental de flujo Posteriormente se realizansimplificaciones debido a que el anaacutelisis tridimensional de los
problemas de filtracioacuten resulta muy complejo y se trabaja conmeacutetodos aproximados que permiten su resolucioacuten en dosdimensiones
Oacute
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ECUACIOacuteN FUNDAMENTAL DE FLUJO
HIPOTESIS
Dominio Saturado
La Presioacuten y la Velocidad son funcioacuten uacutenicamente de la posicioacuten
El esqueleto mineral del suelo es perfectamente riacutegido
z
y
x x y z
dz
dy
dx
Componente vertical del flujo
Base teoacuterica de la Red de Flujo y para otros
meacutetodos de resolucioacuten de problemas de filtracioacuten
Elemento cuacutebico de suelo a traveacutes del cual se
produce flujo laminar q con componenetes x y z
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z y x qqqq
dydxdz z
VzVzdzdxdy
y
VyVydzdydx
x
VxVxdydxVzdzdxVydzdyVx
Igualamos
dydxdz z
VzVzdzdxdy y
VyVydzdydx x
VxVxq
dydxVzdzdxVydzdyVxq
saliente
entrante
Por continuidad qentrante = qsaliente
Simplificamos y llegamos a la ecuacioacuten de Continuidad 0
z
Vz
y
Vy
x
Vx
Aplicamos Ley de Darcy (V = -ki = -k h L) 02
2
2
2
2
2
z
hkz
y
hky
x
hkx
Asumimos el suelo Isotroacutepico (kx = ky = kz) h z
h
y
h
x
h 2
2
2
2
2
2
2
0
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
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La ecuacioacuten de Laplace describe matemaacuteticamente el flujo de aguaen la regioacuten considerada
Expresa la suma de la variacioacuten de los gradientes hidraacuteulicos en lasdirecciones X Y y Z es Nula
h z
h
y
h
x
h 2
2
2
2
2
2
2
0
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
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SOLUCIOacuteN DE LA ECUACIOacuteN DE LAPLACE EN 2 DIMENSIONES
FUNCIOacuteN POTENCIAL DE LA VELOCIDAD =
( x y) = constante = -kh + c Es dependiente del potencial hidraacuteulico y su variacioacuten genera velocidad en
el agua
Derivando con respecto a X y a Y
x
hk
x
y
hk
y
x
hk Vx
y
hk Vy Entonces Vx
x
Vy
y
Resolvemos derivando con respecto a X y a Y y aplicamos la ecuacioacuten de Continuidad
2
2
2
2
2
0 y x
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satisface la ecuacioacuten de Laplace siendo la solucioacuten de la mismaen dos dimensiones
define para cada valor de esa constante una linea continua cuyospuntos tiene igual potencial hidraacuteulico h y son denominadasldquoLineas Equipotencialesrdquo
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
2
2
2
2
2
0 y x
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FUNCIOacuteN DE FLUJO =
( x y) = constante
Entonces
Resolvemos derivando con respecto a X y a Y y aplicamos la ecuacioacuten de Continuidad
0 D
D
y
y x
x
Dx
Dy
Vy
Vx
Por continuidad qentrante = qsaliente
0 DD yVx xVy yVy
Vx x DD Asumiendo Vx
x
Vy
y
2
2
2
2
2
0 y x
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cumple con la ecuacioacuten de Laplace por lo tanto es una solucioacuten ala misma en dos dimensiones
define para cada valor de la constante una linea continua querepresenta la trayectoria de agua Se denominan ldquoLineas de Flujordquo oacuteldquoLineas de Corrienterdquo
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
2
2
2
2
2
0 y x
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RELACIOacuteN ENTRE LAS LINEAS EQUIPOTENCIALES YLINEAS DE FLUJO O DE CORRIENTE
Considerando las derivadas totales a lo largo de cada una de las curvas
y
x
x
y
x
y
x
y
Pendientes Reciacuteprocas y de signo contario lo cual escondicioacuten de Ortogonalidad y son Ortogonales encada punto de interseccioacuten
REDES DE FLUJO
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REDES DE FLUJO
La red de flujo es la solucioacuten graacutefica la ecuacioacuten de Laplace en 2 dimensiones
Desafortunadamente la ecuacioacuten de Laplace es matemaacuteticamente integrable solo encondiciones de frontera muy simples por lo que en la praacutectica es necesario emplearotros meacutetodos diferentes de la integracioacuten para obtener la red de flujo Uno de esosmeacutetodos es el procedimiento graacutefico de Forcheimer que resulta ser muy simple deaplicar cualquiera sea el problema de flujo uniforme en dos dimensiones
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El espacio entre cualquier par de liacuteneas de flujo consecutivas es un canal de flujoen el trazado de la red se debe seleccionar un cierto nuacutemero de canales de flujo
Nf tal que el gasto de infiltracioacuten a traveacutes de cada canal sea el mismoDq = q Nf
La peacuterdida de carga entre cualquier par de liacuteneas equipotenciales consecutivas es lamisma e igual a Dh Donde Dhacute = Dh Nd (Dh es la peacuterdida de carga total y Nd elnuacutemero de caiacutedas de potencial)
El ancho del canal es a y la distancia entre las caiacutedas equipotenciales es b paracualquier elemento considerado
El gasto que circula por cualquier elemento es Dq = k i A
El gradiente hidraacuteulico del elemento es i = Dhacute b = ( Dh Nd ) bEntoces Dq = k ( ( Dh Nd ) b ) a L donde L es el ancho de la red en la tercera dimensioacuten
REDES DE FLUJO
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REDES DE FLUJO
Como Dq = q Nf entonces q = Dq Nf = k ( ( Dh Nd ) b ) a L Nf
La razoacuten a b esta fijada por la razoacuten Nf Nd y es la misma a traveacutes de toda la redNf y Nd deben seleccionarse de modo que a = b y a b = 1 Con lo que laecuacioacuten de gasto se transforma en
Reordenando q = k Dh ( Nf Nd ) (a b ) L
q = k Dh ( Nf Nd ) L
Aacute
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1) Hacer un dibujo a escala que muestre la masa de suelo los liacutemites permeables a
traveacutes de los cuales entra y sale el agua del suelo y las fronteras impermeables que
confinan o limitan el flujo
2) Dibujar de dos a cuatro liacuteneas de flujo que formen aacutengulos rectos con los liacutemitespermeables a la entrada y a la salida y que sean aproximadamente paralelas a losliacutemites impermeables
3) Dibujar liacuteneas equipotenciales que formen aacutengulos rectos con las liacuteneas de flujo demanera que el ancho y el largo promedio del cuadrado curviliacuteneo que forman seaniguales (a=b) Desde luego esto es imposible de lograr en el primer tanteo porquelas posiciones de las liacuteneas de flujo son supuestas pero esta primera red serviraacute deguiacutea para un segundo tanteo
4) Se reajustan las liacuteneas de flujo y las liacuteneas equipotenciales hasta que todas lasintersecciones sean en aacutengulo recto y el largo y ancho de cada cuadrado seaniguales Los tamantildeos de los cuadrados pueden ser distintos pero la relacioacuten ab = 1debe mantenerse
REGLAS PRAacuteCTICAS PARA ELABORAR REDES DE FLUJO
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El logro de una solucioacuten exacta requiere de muchos tanteos y
algunos problemas no admiten en su solucioacuten un nuacutemeroexacto de canales yo de caiacutedas equipotenciales en estos casosdebe intentarse con un nuacutemero de canales yo caiacutedasequipotenciales fraccionario (media caiacuteda o medio canal porejemplo)
Al lograr trazar la red de flujo de cuadrados curviliacuteneossatisfaciendo las condiciones de frontera del problema seobtendraacute la solucioacuten graacutefica de este problema para las
condiciones de frontera del problema se obtendraacute la solucioacutengraacutefica de este para las condiciones hidrodinaacutemicasestablecidas por la ecuacioacuten de Laplace
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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J g j
6 0
0 m
BA
I II III IV V VI VII
C
D
6 0
0 m
6 0
0 m
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
1) Altura piezometrica en A
2) Esfuerzo efectivo en B
3) Gradiente hidraacuteulico velocidades de descarga y de filtracioacuten
en C
4) Presiones hidraacuteulicas sobre el tablestacado5) Gradiente hidraacuteulico de salida y factor de seguridad contra la
arena movediza (licuefaccioacuten)
6) Factor de seguridad a la Tubificacioacuten
7) Presiones hidraacuteulicas sobre el fondo impermeable
8) Presioacuten de filtracioacuten en D
9) Caudal de Filtracioacuten bajo la presa sabiendo que L= 50 m
0m 3m 5m 10m
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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J g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
γconc= 235 Tm3
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
γconc= 235 Tm3
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg γsat= 218 Tm3 γconc= 235 Tm3
LINEA SUPERFICIAL DE FLUJO
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LINEA SUPERFICIAL DE FLUJO
En algunos casos un liacutemite de las liacuteneas de flujo puede ser una superficie de agualibre o superficie de saturacioacuten que no estaacute determinada por ninguna masa soacutelida
impermeable
Tal es el caso de las presas de tierra cuyo problema de flujo presenta caracteriacutesticasespeciales y por lo tanto se requiere del uso de meacutetodos tambieacuten especiales paralograr el trazado de la red de flujo
a
b
c
Equipotencial
Liacutenea de Flujo
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En la figura se presenta una presa de tierra de un material heterogeacuteneo eacute isoacutetropo La liacutenea 1-2 es una liacutenea equipotencial puesto que es el contacto entre el suelo permeable y el agua La liacutenea1-3 es un contacto entre la frontera impermeable y el material permeable por lo tanto es unaliacutenea de flujo Entre los puntos 2 y 4 existe una frontera del flujo donde por debajo de ella elsuelo estaacute saturado y por encima no lo estaacute Ahora bien esta liacutenea que limita la zona de flujodentro de la presa recibe el nombre de liacutenea superficial de flujo o liacutenea de saturacioacuten Suforma se desconoce a priori y tambieacuten la posicioacuten del punto 4 ambos deben ser determinados almenos aproximadamente para poder trazar la red de flujo
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La liacutenea de saturacioacuten ademaacutes de ser una liacutenea de flujo es tambieacuten una liacutenea de
equipresioacuten en la que todos los puntos tienen la misma presioacuten cero Por lo tantoel potencial hidraacuteulico depende de la carga de elevacioacuten uacutenicamente y las liacuteneasequipotenciales la cortaran a intervalos verticales iguales entre si
Condiciones Generales de Entrada
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Condiciones Generales de Entrada
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Condiciones Generales de Salida
Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
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Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
Caso 1 a2 lt 30deg En este caso es posible calcular la superficie humedecida a (distancia 4 - 3) pormedio de la siguiente expresioacuten
2
2
2
2
2
2
2coscos a a a sen
hd d a
d = L - M + O3M
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Luego de dibujar la presa de tierra a escala se sentildeala en ella la superficie humedecida aguas
abajo a calculada por la foacutermula anterior El siguiente paso consiste en el trazado de laliacutenea de saturacioacuten usando el meacutetodo graacutefico aproximado de la paraacutebola baacutesica de Kozenycuyo procedimiento se describe a continuacioacuten
1 Ubicar el punto 2 en la liacutenea freaacutetica a una distancia de 03M medida desde la cara deltalud aguas arriba La cara aguas abajo del talud es tangente a la paraacutebola en el punto 4
2 Prolongar la liacutenea en el talud aguas arriba de la presa Trazar una horizontal por el punto2 hasta cortar la cara del talud aguas abajo El punto de interseccioacuten es 5
3 Dividir 4 -5 Y 5 - 2 en el mismo nuacutemero de partes iguales no maacutes de 4 o 5 y marcarestos puntos (en 2- 5 se parte de 5 numerando con letras A -B etc en 4 - 5 se parte de 4numerando A-B-C etc)
4 Trazar por 4 - 5 liacuteneas horizontales en los puntos marcados
5 Unir cada uno de los puntos marcados en la horizontal 2- 5 con el punto 46 Trazar la liacutenea freaacutetica por los puntos obtenidos 7 Como la liacutenea freaacutetica parte perpendicular a la cara del talud aguas arriba este ajuste
debe realizarse manualmente
=gt M = htg ald =L - O7M
Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
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Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
Caso 2 a2 gt 30deg En este caso el procedimiento a seguir es
d d hP 22
1 La paraacutebola tiene su origen a una distancia P del veacutertice del talud aguas abajo de lapresa es decir este veacutertice es su foco y es tangente a la vertical que pasa por elpunto P
P se calcula por medio de la siguiente expresioacuten
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2 Trazar la paraacutebola baacutesica de Kozeny En este caso la tangente al origen es una liacuteneavertical
3 La distancia desde el punto 4 hasta la interseccioacuten de la paraacutebola con el talud aguasabajo es a + Da y no es realmente el punto por donde sale el agua en el talud porlo tanto se debe realizar una correccioacuten y encontrar a Casagrande encontroacute que larelacioacuten es un escalar que puede ser llamado a y que se relaciona
con el angulo a2 seguacuten se muestra en la siguiente tabla
a
a
D
D
a a2 ( deg ) aacute
30 0375
60 0320
90 0260
120 0185
150 0105
180 0
Los valores entre estos aacutengulos pueden interpolarse
y midiendo a + Da se calcula a usando la tablaDa = aacute ( a + Da ) y a = ( a + Da ) - Da
Finalmente se trazan manualmente la entraday la salida de la liacutenea de saturacioacuten
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EJERCICIO Determine la Linea Superficial de Flujo de la presa de tierra que se presentaa continuacioacuten
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a continuacioacuten
EJERCICIO Determine la Linea Superficial de Flujo de la presa de tierra que se presentaa continuacioacuten
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2
1
a continuacioacuten
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
g
La teoriacutea de la seccioacuten transformada permite reducir al caso de un suelo homogeacuteneo e isoacutetropo un suelo en el que la permeabilidad para el flujo en la direccioacuten horizontal ( kx) y la que tenga para el flujo en la direccioacuten vertical ( ky ) sean diferentes ( kx ne Ky )(por lo general Kx en muchas veces mayor que ky )
La teoriacutea de la seccioacuten transformada es un simple artificio de calculo que se logra por una simple transformacioacuten de coordenadas y que modifica sobre el papel las dimensiones de la zona de flujo en estudio en un suelo isotropico hidraacuteulicamente equivalente
Dos tipos de transformaciones se pueden aplicar a) Haciendo
Y Ky
Kx
Y acute
Se modifican las dimensiones verticales permaneciendo constantes las horizontales
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
g
b) Haciendo
X Kx
Ky X acute
Se modifican las dimensiones Horizontales permaneciendo constantes las Verticales
En la seccioacuten transformada homogeacutenea e isoacutetropa la permeabilidad equivalente viene dada por
kykxk
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
kykxk
X Kx
Ky X acute
2 0 0 0
0 0
kx
ky
k
2 8 2 0 0
0
h
141h
500000
b352463
071b
k
Y Ky
KxY acute
kykx 2
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Como se produce la licuefaccioacuten con las sacudidas
siacutesmicas fuertes
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Edificios de estructura de hormigoacuten armado concerramientos y particiones interiores de faacutebrica dantildeados por elterremoto de Nigata Japoacuten 16 de Junio de 1964 magnitudRichter 75
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Ejercicio Bajo las condiciones indicadas en la figura se pide calcular los
esfuerzos totales neutrales y efectivos en las fronteras de los estratos
L
2L
2L
γw
γsat K1
γsat K2
L
K2= 2K1
1
2
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Ejercicio En el perfil estratificado indicado determine las presiones totales
neutrales y efectivas en las fronteras indicadas ademaacutes calcule el factor de
seguridad a la licuefaccioacuten donde sea necesario
L
L
2L
3L
09L
γsat1 γh1 k1
Satcap
γsat2 k2
γsat3 k3
1
2
3
γsat1= 15 γw =12 γh1
γsat2= 17 γw
γsat3= 19 γwk2= 2k1k3= 6k1
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LEVANTAMIENTO DE UN ESTRATO DE ARCILLA
Las fuerzas de filtracioacuten afectan no solamente a los suelos sincohesioacuten sino tambieacuten a los suelos cohesivos soacutelo que lo hacen demodo distinto porque en suelos arcillosos la cohesioacuten existente entrelas partiacuteculas las mantiene unidas de modo tal que se levanta toda la
masa de suelo y no partiacuteculas individuales como en los suelosgranulares
A modo de explicar el comportamiento de los suelos cohesivospondremos el siguiente caso
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LEVANTAMIENTO DE UN ESTRATO DE ARCILLA
Se tienen dos estratos de suelo diferente un suelo cohesivo que descansa sobre unmaterial muy permeable o suelo sin cohesioacuten Se necesita realizar una excavacioacutenen el estrato cohesivo para lo cual se debe determinar la profundidad a excavar yel espesor del estrato luego de realizada la excavacioacuten (tc) de tal manera queresulte seguro al levantamiento
Para realizar la excavacioacuten
se colocan dos tablestacas enel suelo y se procede luego aabatir el nivel del agua pormedio de bombeo tratando demantenerla seca
Por otra parte se desprecianlas fuerzas de friccioacuten que seoriginan cuando se hinca latablestaca
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LEVANTAMIENTO DE UN ESTRATO DE ARCILLA
Observemos que las fuerzas verticales actuantes son el peso del suelo y la presioacutende poros que tienden a levantar el fondo de la excavacioacuten puesto que el flujo es
ascendente El nivel piezomeacutetrico en la superficie del estrato sin cohesioacuten es mayorque el nivel piezomeacutetrico en el fondo de la excavacioacuten por lo que el agua tiende asubir pero como la permeabilidad del estrato de arcilla es tan baja esto resultamuy difiacutecil y se generan presiones en el fondo del rectaacutengulo
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El suelo estaacute saturado por tanto para calcular su peso se usa el peso unitario saturadoentonces
Peso del Suelo = tc sat
Haciendo equilibrio de fuerzas verticales
La presioacuten de poros es la suma de la presioacuten hidrostaacutetica y la de filtracioacuten
= Dh + Df = tc w + Dh w = ( tc + Dh ) w
sumFv = 0 Peso del Suelo - = 0
tc sat = ( tc + Dh ) w
tc sat = tc w + Dh w
tc ( sat - w ) = Dh w tc = Dh w = Df
( sat - w ) acute
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El espesor tc es el espesor criacutetico de la excavacioacuten es decir es el espesor miacutenimo
para el cual la excavacioacuten es segura
Por lo tanto
En espesores lt de tc se produce el levantamiento del fondo de la excavacioacuten
En espesores gt de tc la excavacioacuten es estable
Este fenoacutemeno puede darse tambieacuten parcialmente socavacioacuten
cuando se forman tuacuteneles o cavernas por arrastre de finos que generaninestabilidad y lo que puede ser maacutes grave el colapso del suelo
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EJERCICIOSe pretende realizar una excavacioacuten en un estrato de arcilla de 10 mts de espesor
que descansa sobre un estrato de arena Se pide
a) Calcular la profundidad maacutexima de excavacioacuten sin que se produzca
inestabilidad o levantamiento del fondob) iquestQueacute profundidad de agua libre debe bombearse a modo de poder llevar la
excavacioacuten hasta 8 mts de profundidad
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10m
1m
9m
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10m
1m
9m N
K
habat
N
K
Dh
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FLUJO EN MEDIOS POROSOS
El agua puede fluir a traveacutes de la masa de suelo en cualquier estado
en que este se encuentre aun y cuando el este muy compactado el
agua puede fluir a traveacutes de la masa de suelo ya que los poros estaacuten
interconectados entre si permitiendo el flujo de agua en ese medioporoso movieacutendose esta a lo largo de caminos ondulantes y rugosos
que existen entre un poro y otro lo cual genera peacuterdidas de energiacutea o
carga piezomeacutetrica originadas por la friccioacuten al igual que ocurre
cuando el flujo de agua es por tuberiacuteas o por canales abiertos
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Hasta ahora el estudio del flujo en medios porosos se ha limitado alcaso unidimensional (flujo ascendente y descendente) en el que losparaacutemetros del fluido tales como presioacuten velocidad temperaturaetc son constantes en cualquier seccioacuten transversal que seaperpendicular a la direccioacuten del flujo
En esta parte del tema se estudiaraacute el flujo del agua en tresdimensiones que es el caso maacutes general para lo cual se trabajaraacute conla ecuacioacuten fundamental de flujo Posteriormente se realizansimplificaciones debido a que el anaacutelisis tridimensional de los
problemas de filtracioacuten resulta muy complejo y se trabaja conmeacutetodos aproximados que permiten su resolucioacuten en dosdimensiones
Oacute
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ECUACIOacuteN FUNDAMENTAL DE FLUJO
HIPOTESIS
Dominio Saturado
La Presioacuten y la Velocidad son funcioacuten uacutenicamente de la posicioacuten
El esqueleto mineral del suelo es perfectamente riacutegido
z
y
x x y z
dz
dy
dx
Componente vertical del flujo
Base teoacuterica de la Red de Flujo y para otros
meacutetodos de resolucioacuten de problemas de filtracioacuten
Elemento cuacutebico de suelo a traveacutes del cual se
produce flujo laminar q con componenetes x y z
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z y x qqqq
dydxdz z
VzVzdzdxdy
y
VyVydzdydx
x
VxVxdydxVzdzdxVydzdyVx
Igualamos
dydxdz z
VzVzdzdxdy y
VyVydzdydx x
VxVxq
dydxVzdzdxVydzdyVxq
saliente
entrante
Por continuidad qentrante = qsaliente
Simplificamos y llegamos a la ecuacioacuten de Continuidad 0
z
Vz
y
Vy
x
Vx
Aplicamos Ley de Darcy (V = -ki = -k h L) 02
2
2
2
2
2
z
hkz
y
hky
x
hkx
Asumimos el suelo Isotroacutepico (kx = ky = kz) h z
h
y
h
x
h 2
2
2
2
2
2
2
0
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
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La ecuacioacuten de Laplace describe matemaacuteticamente el flujo de aguaen la regioacuten considerada
Expresa la suma de la variacioacuten de los gradientes hidraacuteulicos en lasdirecciones X Y y Z es Nula
h z
h
y
h
x
h 2
2
2
2
2
2
2
0
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
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SOLUCIOacuteN DE LA ECUACIOacuteN DE LAPLACE EN 2 DIMENSIONES
FUNCIOacuteN POTENCIAL DE LA VELOCIDAD =
( x y) = constante = -kh + c Es dependiente del potencial hidraacuteulico y su variacioacuten genera velocidad en
el agua
Derivando con respecto a X y a Y
x
hk
x
y
hk
y
x
hk Vx
y
hk Vy Entonces Vx
x
Vy
y
Resolvemos derivando con respecto a X y a Y y aplicamos la ecuacioacuten de Continuidad
2
2
2
2
2
0 y x
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satisface la ecuacioacuten de Laplace siendo la solucioacuten de la mismaen dos dimensiones
define para cada valor de esa constante una linea continua cuyospuntos tiene igual potencial hidraacuteulico h y son denominadasldquoLineas Equipotencialesrdquo
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
2
2
2
2
2
0 y x
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FUNCIOacuteN DE FLUJO =
( x y) = constante
Entonces
Resolvemos derivando con respecto a X y a Y y aplicamos la ecuacioacuten de Continuidad
0 D
D
y
y x
x
Dx
Dy
Vy
Vx
Por continuidad qentrante = qsaliente
0 DD yVx xVy yVy
Vx x DD Asumiendo Vx
x
Vy
y
2
2
2
2
2
0 y x
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cumple con la ecuacioacuten de Laplace por lo tanto es una solucioacuten ala misma en dos dimensiones
define para cada valor de la constante una linea continua querepresenta la trayectoria de agua Se denominan ldquoLineas de Flujordquo oacuteldquoLineas de Corrienterdquo
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
2
2
2
2
2
0 y x
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RELACIOacuteN ENTRE LAS LINEAS EQUIPOTENCIALES YLINEAS DE FLUJO O DE CORRIENTE
Considerando las derivadas totales a lo largo de cada una de las curvas
y
x
x
y
x
y
x
y
Pendientes Reciacuteprocas y de signo contario lo cual escondicioacuten de Ortogonalidad y son Ortogonales encada punto de interseccioacuten
REDES DE FLUJO
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REDES DE FLUJO
La red de flujo es la solucioacuten graacutefica la ecuacioacuten de Laplace en 2 dimensiones
Desafortunadamente la ecuacioacuten de Laplace es matemaacuteticamente integrable solo encondiciones de frontera muy simples por lo que en la praacutectica es necesario emplearotros meacutetodos diferentes de la integracioacuten para obtener la red de flujo Uno de esosmeacutetodos es el procedimiento graacutefico de Forcheimer que resulta ser muy simple deaplicar cualquiera sea el problema de flujo uniforme en dos dimensiones
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El espacio entre cualquier par de liacuteneas de flujo consecutivas es un canal de flujoen el trazado de la red se debe seleccionar un cierto nuacutemero de canales de flujo
Nf tal que el gasto de infiltracioacuten a traveacutes de cada canal sea el mismoDq = q Nf
La peacuterdida de carga entre cualquier par de liacuteneas equipotenciales consecutivas es lamisma e igual a Dh Donde Dhacute = Dh Nd (Dh es la peacuterdida de carga total y Nd elnuacutemero de caiacutedas de potencial)
El ancho del canal es a y la distancia entre las caiacutedas equipotenciales es b paracualquier elemento considerado
El gasto que circula por cualquier elemento es Dq = k i A
El gradiente hidraacuteulico del elemento es i = Dhacute b = ( Dh Nd ) bEntoces Dq = k ( ( Dh Nd ) b ) a L donde L es el ancho de la red en la tercera dimensioacuten
REDES DE FLUJO
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REDES DE FLUJO
Como Dq = q Nf entonces q = Dq Nf = k ( ( Dh Nd ) b ) a L Nf
La razoacuten a b esta fijada por la razoacuten Nf Nd y es la misma a traveacutes de toda la redNf y Nd deben seleccionarse de modo que a = b y a b = 1 Con lo que laecuacioacuten de gasto se transforma en
Reordenando q = k Dh ( Nf Nd ) (a b ) L
q = k Dh ( Nf Nd ) L
Aacute
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1) Hacer un dibujo a escala que muestre la masa de suelo los liacutemites permeables a
traveacutes de los cuales entra y sale el agua del suelo y las fronteras impermeables que
confinan o limitan el flujo
2) Dibujar de dos a cuatro liacuteneas de flujo que formen aacutengulos rectos con los liacutemitespermeables a la entrada y a la salida y que sean aproximadamente paralelas a losliacutemites impermeables
3) Dibujar liacuteneas equipotenciales que formen aacutengulos rectos con las liacuteneas de flujo demanera que el ancho y el largo promedio del cuadrado curviliacuteneo que forman seaniguales (a=b) Desde luego esto es imposible de lograr en el primer tanteo porquelas posiciones de las liacuteneas de flujo son supuestas pero esta primera red serviraacute deguiacutea para un segundo tanteo
4) Se reajustan las liacuteneas de flujo y las liacuteneas equipotenciales hasta que todas lasintersecciones sean en aacutengulo recto y el largo y ancho de cada cuadrado seaniguales Los tamantildeos de los cuadrados pueden ser distintos pero la relacioacuten ab = 1debe mantenerse
REGLAS PRAacuteCTICAS PARA ELABORAR REDES DE FLUJO
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El logro de una solucioacuten exacta requiere de muchos tanteos y
algunos problemas no admiten en su solucioacuten un nuacutemeroexacto de canales yo de caiacutedas equipotenciales en estos casosdebe intentarse con un nuacutemero de canales yo caiacutedasequipotenciales fraccionario (media caiacuteda o medio canal porejemplo)
Al lograr trazar la red de flujo de cuadrados curviliacuteneossatisfaciendo las condiciones de frontera del problema seobtendraacute la solucioacuten graacutefica de este problema para las
condiciones de frontera del problema se obtendraacute la solucioacutengraacutefica de este para las condiciones hidrodinaacutemicasestablecidas por la ecuacioacuten de Laplace
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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J g j
6 0
0 m
BA
I II III IV V VI VII
C
D
6 0
0 m
6 0
0 m
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
1) Altura piezometrica en A
2) Esfuerzo efectivo en B
3) Gradiente hidraacuteulico velocidades de descarga y de filtracioacuten
en C
4) Presiones hidraacuteulicas sobre el tablestacado5) Gradiente hidraacuteulico de salida y factor de seguridad contra la
arena movediza (licuefaccioacuten)
6) Factor de seguridad a la Tubificacioacuten
7) Presiones hidraacuteulicas sobre el fondo impermeable
8) Presioacuten de filtracioacuten en D
9) Caudal de Filtracioacuten bajo la presa sabiendo que L= 50 m
0m 3m 5m 10m
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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J g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
γconc= 235 Tm3
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
γconc= 235 Tm3
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg γsat= 218 Tm3 γconc= 235 Tm3
LINEA SUPERFICIAL DE FLUJO
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LINEA SUPERFICIAL DE FLUJO
En algunos casos un liacutemite de las liacuteneas de flujo puede ser una superficie de agualibre o superficie de saturacioacuten que no estaacute determinada por ninguna masa soacutelida
impermeable
Tal es el caso de las presas de tierra cuyo problema de flujo presenta caracteriacutesticasespeciales y por lo tanto se requiere del uso de meacutetodos tambieacuten especiales paralograr el trazado de la red de flujo
a
b
c
Equipotencial
Liacutenea de Flujo
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En la figura se presenta una presa de tierra de un material heterogeacuteneo eacute isoacutetropo La liacutenea 1-2 es una liacutenea equipotencial puesto que es el contacto entre el suelo permeable y el agua La liacutenea1-3 es un contacto entre la frontera impermeable y el material permeable por lo tanto es unaliacutenea de flujo Entre los puntos 2 y 4 existe una frontera del flujo donde por debajo de ella elsuelo estaacute saturado y por encima no lo estaacute Ahora bien esta liacutenea que limita la zona de flujodentro de la presa recibe el nombre de liacutenea superficial de flujo o liacutenea de saturacioacuten Suforma se desconoce a priori y tambieacuten la posicioacuten del punto 4 ambos deben ser determinados almenos aproximadamente para poder trazar la red de flujo
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La liacutenea de saturacioacuten ademaacutes de ser una liacutenea de flujo es tambieacuten una liacutenea de
equipresioacuten en la que todos los puntos tienen la misma presioacuten cero Por lo tantoel potencial hidraacuteulico depende de la carga de elevacioacuten uacutenicamente y las liacuteneasequipotenciales la cortaran a intervalos verticales iguales entre si
Condiciones Generales de Entrada
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Condiciones Generales de Entrada
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Condiciones Generales de Salida
Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
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Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
Caso 1 a2 lt 30deg En este caso es posible calcular la superficie humedecida a (distancia 4 - 3) pormedio de la siguiente expresioacuten
2
2
2
2
2
2
2coscos a a a sen
hd d a
d = L - M + O3M
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Luego de dibujar la presa de tierra a escala se sentildeala en ella la superficie humedecida aguas
abajo a calculada por la foacutermula anterior El siguiente paso consiste en el trazado de laliacutenea de saturacioacuten usando el meacutetodo graacutefico aproximado de la paraacutebola baacutesica de Kozenycuyo procedimiento se describe a continuacioacuten
1 Ubicar el punto 2 en la liacutenea freaacutetica a una distancia de 03M medida desde la cara deltalud aguas arriba La cara aguas abajo del talud es tangente a la paraacutebola en el punto 4
2 Prolongar la liacutenea en el talud aguas arriba de la presa Trazar una horizontal por el punto2 hasta cortar la cara del talud aguas abajo El punto de interseccioacuten es 5
3 Dividir 4 -5 Y 5 - 2 en el mismo nuacutemero de partes iguales no maacutes de 4 o 5 y marcarestos puntos (en 2- 5 se parte de 5 numerando con letras A -B etc en 4 - 5 se parte de 4numerando A-B-C etc)
4 Trazar por 4 - 5 liacuteneas horizontales en los puntos marcados
5 Unir cada uno de los puntos marcados en la horizontal 2- 5 con el punto 46 Trazar la liacutenea freaacutetica por los puntos obtenidos 7 Como la liacutenea freaacutetica parte perpendicular a la cara del talud aguas arriba este ajuste
debe realizarse manualmente
=gt M = htg ald =L - O7M
Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
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Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
Caso 2 a2 gt 30deg En este caso el procedimiento a seguir es
d d hP 22
1 La paraacutebola tiene su origen a una distancia P del veacutertice del talud aguas abajo de lapresa es decir este veacutertice es su foco y es tangente a la vertical que pasa por elpunto P
P se calcula por medio de la siguiente expresioacuten
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2 Trazar la paraacutebola baacutesica de Kozeny En este caso la tangente al origen es una liacuteneavertical
3 La distancia desde el punto 4 hasta la interseccioacuten de la paraacutebola con el talud aguasabajo es a + Da y no es realmente el punto por donde sale el agua en el talud porlo tanto se debe realizar una correccioacuten y encontrar a Casagrande encontroacute que larelacioacuten es un escalar que puede ser llamado a y que se relaciona
con el angulo a2 seguacuten se muestra en la siguiente tabla
a
a
D
D
a a2 ( deg ) aacute
30 0375
60 0320
90 0260
120 0185
150 0105
180 0
Los valores entre estos aacutengulos pueden interpolarse
y midiendo a + Da se calcula a usando la tablaDa = aacute ( a + Da ) y a = ( a + Da ) - Da
Finalmente se trazan manualmente la entraday la salida de la liacutenea de saturacioacuten
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EJERCICIO Determine la Linea Superficial de Flujo de la presa de tierra que se presentaa continuacioacuten
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a continuacioacuten
EJERCICIO Determine la Linea Superficial de Flujo de la presa de tierra que se presentaa continuacioacuten
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2
1
a continuacioacuten
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
g
La teoriacutea de la seccioacuten transformada permite reducir al caso de un suelo homogeacuteneo e isoacutetropo un suelo en el que la permeabilidad para el flujo en la direccioacuten horizontal ( kx) y la que tenga para el flujo en la direccioacuten vertical ( ky ) sean diferentes ( kx ne Ky )(por lo general Kx en muchas veces mayor que ky )
La teoriacutea de la seccioacuten transformada es un simple artificio de calculo que se logra por una simple transformacioacuten de coordenadas y que modifica sobre el papel las dimensiones de la zona de flujo en estudio en un suelo isotropico hidraacuteulicamente equivalente
Dos tipos de transformaciones se pueden aplicar a) Haciendo
Y Ky
Kx
Y acute
Se modifican las dimensiones verticales permaneciendo constantes las horizontales
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
g
b) Haciendo
X Kx
Ky X acute
Se modifican las dimensiones Horizontales permaneciendo constantes las Verticales
En la seccioacuten transformada homogeacutenea e isoacutetropa la permeabilidad equivalente viene dada por
kykxk
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
kykxk
X Kx
Ky X acute
2 0 0 0
0 0
kx
ky
k
2 8 2 0 0
0
h
141h
500000
b352463
071b
k
Y Ky
KxY acute
kykx 2
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Edificios de estructura de hormigoacuten armado concerramientos y particiones interiores de faacutebrica dantildeados por elterremoto de Nigata Japoacuten 16 de Junio de 1964 magnitudRichter 75
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Ejercicio Bajo las condiciones indicadas en la figura se pide calcular los
esfuerzos totales neutrales y efectivos en las fronteras de los estratos
L
2L
2L
γw
γsat K1
γsat K2
L
K2= 2K1
1
2
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Ejercicio En el perfil estratificado indicado determine las presiones totales
neutrales y efectivas en las fronteras indicadas ademaacutes calcule el factor de
seguridad a la licuefaccioacuten donde sea necesario
L
L
2L
3L
09L
γsat1 γh1 k1
Satcap
γsat2 k2
γsat3 k3
1
2
3
γsat1= 15 γw =12 γh1
γsat2= 17 γw
γsat3= 19 γwk2= 2k1k3= 6k1
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LEVANTAMIENTO DE UN ESTRATO DE ARCILLA
Las fuerzas de filtracioacuten afectan no solamente a los suelos sincohesioacuten sino tambieacuten a los suelos cohesivos soacutelo que lo hacen demodo distinto porque en suelos arcillosos la cohesioacuten existente entrelas partiacuteculas las mantiene unidas de modo tal que se levanta toda la
masa de suelo y no partiacuteculas individuales como en los suelosgranulares
A modo de explicar el comportamiento de los suelos cohesivospondremos el siguiente caso
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LEVANTAMIENTO DE UN ESTRATO DE ARCILLA
Se tienen dos estratos de suelo diferente un suelo cohesivo que descansa sobre unmaterial muy permeable o suelo sin cohesioacuten Se necesita realizar una excavacioacutenen el estrato cohesivo para lo cual se debe determinar la profundidad a excavar yel espesor del estrato luego de realizada la excavacioacuten (tc) de tal manera queresulte seguro al levantamiento
Para realizar la excavacioacuten
se colocan dos tablestacas enel suelo y se procede luego aabatir el nivel del agua pormedio de bombeo tratando demantenerla seca
Por otra parte se desprecianlas fuerzas de friccioacuten que seoriginan cuando se hinca latablestaca
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LEVANTAMIENTO DE UN ESTRATO DE ARCILLA
Observemos que las fuerzas verticales actuantes son el peso del suelo y la presioacutende poros que tienden a levantar el fondo de la excavacioacuten puesto que el flujo es
ascendente El nivel piezomeacutetrico en la superficie del estrato sin cohesioacuten es mayorque el nivel piezomeacutetrico en el fondo de la excavacioacuten por lo que el agua tiende asubir pero como la permeabilidad del estrato de arcilla es tan baja esto resultamuy difiacutecil y se generan presiones en el fondo del rectaacutengulo
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El suelo estaacute saturado por tanto para calcular su peso se usa el peso unitario saturadoentonces
Peso del Suelo = tc sat
Haciendo equilibrio de fuerzas verticales
La presioacuten de poros es la suma de la presioacuten hidrostaacutetica y la de filtracioacuten
= Dh + Df = tc w + Dh w = ( tc + Dh ) w
sumFv = 0 Peso del Suelo - = 0
tc sat = ( tc + Dh ) w
tc sat = tc w + Dh w
tc ( sat - w ) = Dh w tc = Dh w = Df
( sat - w ) acute
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El espesor tc es el espesor criacutetico de la excavacioacuten es decir es el espesor miacutenimo
para el cual la excavacioacuten es segura
Por lo tanto
En espesores lt de tc se produce el levantamiento del fondo de la excavacioacuten
En espesores gt de tc la excavacioacuten es estable
Este fenoacutemeno puede darse tambieacuten parcialmente socavacioacuten
cuando se forman tuacuteneles o cavernas por arrastre de finos que generaninestabilidad y lo que puede ser maacutes grave el colapso del suelo
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EJERCICIOSe pretende realizar una excavacioacuten en un estrato de arcilla de 10 mts de espesor
que descansa sobre un estrato de arena Se pide
a) Calcular la profundidad maacutexima de excavacioacuten sin que se produzca
inestabilidad o levantamiento del fondob) iquestQueacute profundidad de agua libre debe bombearse a modo de poder llevar la
excavacioacuten hasta 8 mts de profundidad
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10m
1m
9m
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10m
1m
9m N
K
habat
N
K
Dh
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FLUJO EN MEDIOS POROSOS
El agua puede fluir a traveacutes de la masa de suelo en cualquier estado
en que este se encuentre aun y cuando el este muy compactado el
agua puede fluir a traveacutes de la masa de suelo ya que los poros estaacuten
interconectados entre si permitiendo el flujo de agua en ese medioporoso movieacutendose esta a lo largo de caminos ondulantes y rugosos
que existen entre un poro y otro lo cual genera peacuterdidas de energiacutea o
carga piezomeacutetrica originadas por la friccioacuten al igual que ocurre
cuando el flujo de agua es por tuberiacuteas o por canales abiertos
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Hasta ahora el estudio del flujo en medios porosos se ha limitado alcaso unidimensional (flujo ascendente y descendente) en el que losparaacutemetros del fluido tales como presioacuten velocidad temperaturaetc son constantes en cualquier seccioacuten transversal que seaperpendicular a la direccioacuten del flujo
En esta parte del tema se estudiaraacute el flujo del agua en tresdimensiones que es el caso maacutes general para lo cual se trabajaraacute conla ecuacioacuten fundamental de flujo Posteriormente se realizansimplificaciones debido a que el anaacutelisis tridimensional de los
problemas de filtracioacuten resulta muy complejo y se trabaja conmeacutetodos aproximados que permiten su resolucioacuten en dosdimensiones
Oacute
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ECUACIOacuteN FUNDAMENTAL DE FLUJO
HIPOTESIS
Dominio Saturado
La Presioacuten y la Velocidad son funcioacuten uacutenicamente de la posicioacuten
El esqueleto mineral del suelo es perfectamente riacutegido
z
y
x x y z
dz
dy
dx
Componente vertical del flujo
Base teoacuterica de la Red de Flujo y para otros
meacutetodos de resolucioacuten de problemas de filtracioacuten
Elemento cuacutebico de suelo a traveacutes del cual se
produce flujo laminar q con componenetes x y z
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z y x qqqq
dydxdz z
VzVzdzdxdy
y
VyVydzdydx
x
VxVxdydxVzdzdxVydzdyVx
Igualamos
dydxdz z
VzVzdzdxdy y
VyVydzdydx x
VxVxq
dydxVzdzdxVydzdyVxq
saliente
entrante
Por continuidad qentrante = qsaliente
Simplificamos y llegamos a la ecuacioacuten de Continuidad 0
z
Vz
y
Vy
x
Vx
Aplicamos Ley de Darcy (V = -ki = -k h L) 02
2
2
2
2
2
z
hkz
y
hky
x
hkx
Asumimos el suelo Isotroacutepico (kx = ky = kz) h z
h
y
h
x
h 2
2
2
2
2
2
2
0
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
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La ecuacioacuten de Laplace describe matemaacuteticamente el flujo de aguaen la regioacuten considerada
Expresa la suma de la variacioacuten de los gradientes hidraacuteulicos en lasdirecciones X Y y Z es Nula
h z
h
y
h
x
h 2
2
2
2
2
2
2
0
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
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SOLUCIOacuteN DE LA ECUACIOacuteN DE LAPLACE EN 2 DIMENSIONES
FUNCIOacuteN POTENCIAL DE LA VELOCIDAD =
( x y) = constante = -kh + c Es dependiente del potencial hidraacuteulico y su variacioacuten genera velocidad en
el agua
Derivando con respecto a X y a Y
x
hk
x
y
hk
y
x
hk Vx
y
hk Vy Entonces Vx
x
Vy
y
Resolvemos derivando con respecto a X y a Y y aplicamos la ecuacioacuten de Continuidad
2
2
2
2
2
0 y x
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satisface la ecuacioacuten de Laplace siendo la solucioacuten de la mismaen dos dimensiones
define para cada valor de esa constante una linea continua cuyospuntos tiene igual potencial hidraacuteulico h y son denominadasldquoLineas Equipotencialesrdquo
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
2
2
2
2
2
0 y x
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FUNCIOacuteN DE FLUJO =
( x y) = constante
Entonces
Resolvemos derivando con respecto a X y a Y y aplicamos la ecuacioacuten de Continuidad
0 D
D
y
y x
x
Dx
Dy
Vy
Vx
Por continuidad qentrante = qsaliente
0 DD yVx xVy yVy
Vx x DD Asumiendo Vx
x
Vy
y
2
2
2
2
2
0 y x
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cumple con la ecuacioacuten de Laplace por lo tanto es una solucioacuten ala misma en dos dimensiones
define para cada valor de la constante una linea continua querepresenta la trayectoria de agua Se denominan ldquoLineas de Flujordquo oacuteldquoLineas de Corrienterdquo
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
2
2
2
2
2
0 y x
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RELACIOacuteN ENTRE LAS LINEAS EQUIPOTENCIALES YLINEAS DE FLUJO O DE CORRIENTE
Considerando las derivadas totales a lo largo de cada una de las curvas
y
x
x
y
x
y
x
y
Pendientes Reciacuteprocas y de signo contario lo cual escondicioacuten de Ortogonalidad y son Ortogonales encada punto de interseccioacuten
REDES DE FLUJO
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REDES DE FLUJO
La red de flujo es la solucioacuten graacutefica la ecuacioacuten de Laplace en 2 dimensiones
Desafortunadamente la ecuacioacuten de Laplace es matemaacuteticamente integrable solo encondiciones de frontera muy simples por lo que en la praacutectica es necesario emplearotros meacutetodos diferentes de la integracioacuten para obtener la red de flujo Uno de esosmeacutetodos es el procedimiento graacutefico de Forcheimer que resulta ser muy simple deaplicar cualquiera sea el problema de flujo uniforme en dos dimensiones
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El espacio entre cualquier par de liacuteneas de flujo consecutivas es un canal de flujoen el trazado de la red se debe seleccionar un cierto nuacutemero de canales de flujo
Nf tal que el gasto de infiltracioacuten a traveacutes de cada canal sea el mismoDq = q Nf
La peacuterdida de carga entre cualquier par de liacuteneas equipotenciales consecutivas es lamisma e igual a Dh Donde Dhacute = Dh Nd (Dh es la peacuterdida de carga total y Nd elnuacutemero de caiacutedas de potencial)
El ancho del canal es a y la distancia entre las caiacutedas equipotenciales es b paracualquier elemento considerado
El gasto que circula por cualquier elemento es Dq = k i A
El gradiente hidraacuteulico del elemento es i = Dhacute b = ( Dh Nd ) bEntoces Dq = k ( ( Dh Nd ) b ) a L donde L es el ancho de la red en la tercera dimensioacuten
REDES DE FLUJO
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REDES DE FLUJO
Como Dq = q Nf entonces q = Dq Nf = k ( ( Dh Nd ) b ) a L Nf
La razoacuten a b esta fijada por la razoacuten Nf Nd y es la misma a traveacutes de toda la redNf y Nd deben seleccionarse de modo que a = b y a b = 1 Con lo que laecuacioacuten de gasto se transforma en
Reordenando q = k Dh ( Nf Nd ) (a b ) L
q = k Dh ( Nf Nd ) L
Aacute
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1) Hacer un dibujo a escala que muestre la masa de suelo los liacutemites permeables a
traveacutes de los cuales entra y sale el agua del suelo y las fronteras impermeables que
confinan o limitan el flujo
2) Dibujar de dos a cuatro liacuteneas de flujo que formen aacutengulos rectos con los liacutemitespermeables a la entrada y a la salida y que sean aproximadamente paralelas a losliacutemites impermeables
3) Dibujar liacuteneas equipotenciales que formen aacutengulos rectos con las liacuteneas de flujo demanera que el ancho y el largo promedio del cuadrado curviliacuteneo que forman seaniguales (a=b) Desde luego esto es imposible de lograr en el primer tanteo porquelas posiciones de las liacuteneas de flujo son supuestas pero esta primera red serviraacute deguiacutea para un segundo tanteo
4) Se reajustan las liacuteneas de flujo y las liacuteneas equipotenciales hasta que todas lasintersecciones sean en aacutengulo recto y el largo y ancho de cada cuadrado seaniguales Los tamantildeos de los cuadrados pueden ser distintos pero la relacioacuten ab = 1debe mantenerse
REGLAS PRAacuteCTICAS PARA ELABORAR REDES DE FLUJO
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El logro de una solucioacuten exacta requiere de muchos tanteos y
algunos problemas no admiten en su solucioacuten un nuacutemeroexacto de canales yo de caiacutedas equipotenciales en estos casosdebe intentarse con un nuacutemero de canales yo caiacutedasequipotenciales fraccionario (media caiacuteda o medio canal porejemplo)
Al lograr trazar la red de flujo de cuadrados curviliacuteneossatisfaciendo las condiciones de frontera del problema seobtendraacute la solucioacuten graacutefica de este problema para las
condiciones de frontera del problema se obtendraacute la solucioacutengraacutefica de este para las condiciones hidrodinaacutemicasestablecidas por la ecuacioacuten de Laplace
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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J g j
6 0
0 m
BA
I II III IV V VI VII
C
D
6 0
0 m
6 0
0 m
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
1) Altura piezometrica en A
2) Esfuerzo efectivo en B
3) Gradiente hidraacuteulico velocidades de descarga y de filtracioacuten
en C
4) Presiones hidraacuteulicas sobre el tablestacado5) Gradiente hidraacuteulico de salida y factor de seguridad contra la
arena movediza (licuefaccioacuten)
6) Factor de seguridad a la Tubificacioacuten
7) Presiones hidraacuteulicas sobre el fondo impermeable
8) Presioacuten de filtracioacuten en D
9) Caudal de Filtracioacuten bajo la presa sabiendo que L= 50 m
0m 3m 5m 10m
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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J g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
γconc= 235 Tm3
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
γconc= 235 Tm3
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg γsat= 218 Tm3 γconc= 235 Tm3
LINEA SUPERFICIAL DE FLUJO
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LINEA SUPERFICIAL DE FLUJO
En algunos casos un liacutemite de las liacuteneas de flujo puede ser una superficie de agualibre o superficie de saturacioacuten que no estaacute determinada por ninguna masa soacutelida
impermeable
Tal es el caso de las presas de tierra cuyo problema de flujo presenta caracteriacutesticasespeciales y por lo tanto se requiere del uso de meacutetodos tambieacuten especiales paralograr el trazado de la red de flujo
a
b
c
Equipotencial
Liacutenea de Flujo
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En la figura se presenta una presa de tierra de un material heterogeacuteneo eacute isoacutetropo La liacutenea 1-2 es una liacutenea equipotencial puesto que es el contacto entre el suelo permeable y el agua La liacutenea1-3 es un contacto entre la frontera impermeable y el material permeable por lo tanto es unaliacutenea de flujo Entre los puntos 2 y 4 existe una frontera del flujo donde por debajo de ella elsuelo estaacute saturado y por encima no lo estaacute Ahora bien esta liacutenea que limita la zona de flujodentro de la presa recibe el nombre de liacutenea superficial de flujo o liacutenea de saturacioacuten Suforma se desconoce a priori y tambieacuten la posicioacuten del punto 4 ambos deben ser determinados almenos aproximadamente para poder trazar la red de flujo
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La liacutenea de saturacioacuten ademaacutes de ser una liacutenea de flujo es tambieacuten una liacutenea de
equipresioacuten en la que todos los puntos tienen la misma presioacuten cero Por lo tantoel potencial hidraacuteulico depende de la carga de elevacioacuten uacutenicamente y las liacuteneasequipotenciales la cortaran a intervalos verticales iguales entre si
Condiciones Generales de Entrada
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Condiciones Generales de Entrada
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Condiciones Generales de Salida
Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
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Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
Caso 1 a2 lt 30deg En este caso es posible calcular la superficie humedecida a (distancia 4 - 3) pormedio de la siguiente expresioacuten
2
2
2
2
2
2
2coscos a a a sen
hd d a
d = L - M + O3M
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Luego de dibujar la presa de tierra a escala se sentildeala en ella la superficie humedecida aguas
abajo a calculada por la foacutermula anterior El siguiente paso consiste en el trazado de laliacutenea de saturacioacuten usando el meacutetodo graacutefico aproximado de la paraacutebola baacutesica de Kozenycuyo procedimiento se describe a continuacioacuten
1 Ubicar el punto 2 en la liacutenea freaacutetica a una distancia de 03M medida desde la cara deltalud aguas arriba La cara aguas abajo del talud es tangente a la paraacutebola en el punto 4
2 Prolongar la liacutenea en el talud aguas arriba de la presa Trazar una horizontal por el punto2 hasta cortar la cara del talud aguas abajo El punto de interseccioacuten es 5
3 Dividir 4 -5 Y 5 - 2 en el mismo nuacutemero de partes iguales no maacutes de 4 o 5 y marcarestos puntos (en 2- 5 se parte de 5 numerando con letras A -B etc en 4 - 5 se parte de 4numerando A-B-C etc)
4 Trazar por 4 - 5 liacuteneas horizontales en los puntos marcados
5 Unir cada uno de los puntos marcados en la horizontal 2- 5 con el punto 46 Trazar la liacutenea freaacutetica por los puntos obtenidos 7 Como la liacutenea freaacutetica parte perpendicular a la cara del talud aguas arriba este ajuste
debe realizarse manualmente
=gt M = htg ald =L - O7M
Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
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Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
Caso 2 a2 gt 30deg En este caso el procedimiento a seguir es
d d hP 22
1 La paraacutebola tiene su origen a una distancia P del veacutertice del talud aguas abajo de lapresa es decir este veacutertice es su foco y es tangente a la vertical que pasa por elpunto P
P se calcula por medio de la siguiente expresioacuten
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2 Trazar la paraacutebola baacutesica de Kozeny En este caso la tangente al origen es una liacuteneavertical
3 La distancia desde el punto 4 hasta la interseccioacuten de la paraacutebola con el talud aguasabajo es a + Da y no es realmente el punto por donde sale el agua en el talud porlo tanto se debe realizar una correccioacuten y encontrar a Casagrande encontroacute que larelacioacuten es un escalar que puede ser llamado a y que se relaciona
con el angulo a2 seguacuten se muestra en la siguiente tabla
a
a
D
D
a a2 ( deg ) aacute
30 0375
60 0320
90 0260
120 0185
150 0105
180 0
Los valores entre estos aacutengulos pueden interpolarse
y midiendo a + Da se calcula a usando la tablaDa = aacute ( a + Da ) y a = ( a + Da ) - Da
Finalmente se trazan manualmente la entraday la salida de la liacutenea de saturacioacuten
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EJERCICIO Determine la Linea Superficial de Flujo de la presa de tierra que se presentaa continuacioacuten
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a continuacioacuten
EJERCICIO Determine la Linea Superficial de Flujo de la presa de tierra que se presentaa continuacioacuten
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2
1
a continuacioacuten
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
g
La teoriacutea de la seccioacuten transformada permite reducir al caso de un suelo homogeacuteneo e isoacutetropo un suelo en el que la permeabilidad para el flujo en la direccioacuten horizontal ( kx) y la que tenga para el flujo en la direccioacuten vertical ( ky ) sean diferentes ( kx ne Ky )(por lo general Kx en muchas veces mayor que ky )
La teoriacutea de la seccioacuten transformada es un simple artificio de calculo que se logra por una simple transformacioacuten de coordenadas y que modifica sobre el papel las dimensiones de la zona de flujo en estudio en un suelo isotropico hidraacuteulicamente equivalente
Dos tipos de transformaciones se pueden aplicar a) Haciendo
Y Ky
Kx
Y acute
Se modifican las dimensiones verticales permaneciendo constantes las horizontales
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
g
b) Haciendo
X Kx
Ky X acute
Se modifican las dimensiones Horizontales permaneciendo constantes las Verticales
En la seccioacuten transformada homogeacutenea e isoacutetropa la permeabilidad equivalente viene dada por
kykxk
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
kykxk
X Kx
Ky X acute
2 0 0 0
0 0
kx
ky
k
2 8 2 0 0
0
h
141h
500000
b352463
071b
k
Y Ky
KxY acute
kykx 2
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Ejercicio Bajo las condiciones indicadas en la figura se pide calcular los
esfuerzos totales neutrales y efectivos en las fronteras de los estratos
L
2L
2L
γw
γsat K1
γsat K2
L
K2= 2K1
1
2
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Ejercicio En el perfil estratificado indicado determine las presiones totales
neutrales y efectivas en las fronteras indicadas ademaacutes calcule el factor de
seguridad a la licuefaccioacuten donde sea necesario
L
L
2L
3L
09L
γsat1 γh1 k1
Satcap
γsat2 k2
γsat3 k3
1
2
3
γsat1= 15 γw =12 γh1
γsat2= 17 γw
γsat3= 19 γwk2= 2k1k3= 6k1
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LEVANTAMIENTO DE UN ESTRATO DE ARCILLA
Las fuerzas de filtracioacuten afectan no solamente a los suelos sincohesioacuten sino tambieacuten a los suelos cohesivos soacutelo que lo hacen demodo distinto porque en suelos arcillosos la cohesioacuten existente entrelas partiacuteculas las mantiene unidas de modo tal que se levanta toda la
masa de suelo y no partiacuteculas individuales como en los suelosgranulares
A modo de explicar el comportamiento de los suelos cohesivospondremos el siguiente caso
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LEVANTAMIENTO DE UN ESTRATO DE ARCILLA
Se tienen dos estratos de suelo diferente un suelo cohesivo que descansa sobre unmaterial muy permeable o suelo sin cohesioacuten Se necesita realizar una excavacioacutenen el estrato cohesivo para lo cual se debe determinar la profundidad a excavar yel espesor del estrato luego de realizada la excavacioacuten (tc) de tal manera queresulte seguro al levantamiento
Para realizar la excavacioacuten
se colocan dos tablestacas enel suelo y se procede luego aabatir el nivel del agua pormedio de bombeo tratando demantenerla seca
Por otra parte se desprecianlas fuerzas de friccioacuten que seoriginan cuando se hinca latablestaca
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LEVANTAMIENTO DE UN ESTRATO DE ARCILLA
Observemos que las fuerzas verticales actuantes son el peso del suelo y la presioacutende poros que tienden a levantar el fondo de la excavacioacuten puesto que el flujo es
ascendente El nivel piezomeacutetrico en la superficie del estrato sin cohesioacuten es mayorque el nivel piezomeacutetrico en el fondo de la excavacioacuten por lo que el agua tiende asubir pero como la permeabilidad del estrato de arcilla es tan baja esto resultamuy difiacutecil y se generan presiones en el fondo del rectaacutengulo
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El suelo estaacute saturado por tanto para calcular su peso se usa el peso unitario saturadoentonces
Peso del Suelo = tc sat
Haciendo equilibrio de fuerzas verticales
La presioacuten de poros es la suma de la presioacuten hidrostaacutetica y la de filtracioacuten
= Dh + Df = tc w + Dh w = ( tc + Dh ) w
sumFv = 0 Peso del Suelo - = 0
tc sat = ( tc + Dh ) w
tc sat = tc w + Dh w
tc ( sat - w ) = Dh w tc = Dh w = Df
( sat - w ) acute
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El espesor tc es el espesor criacutetico de la excavacioacuten es decir es el espesor miacutenimo
para el cual la excavacioacuten es segura
Por lo tanto
En espesores lt de tc se produce el levantamiento del fondo de la excavacioacuten
En espesores gt de tc la excavacioacuten es estable
Este fenoacutemeno puede darse tambieacuten parcialmente socavacioacuten
cuando se forman tuacuteneles o cavernas por arrastre de finos que generaninestabilidad y lo que puede ser maacutes grave el colapso del suelo
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EJERCICIOSe pretende realizar una excavacioacuten en un estrato de arcilla de 10 mts de espesor
que descansa sobre un estrato de arena Se pide
a) Calcular la profundidad maacutexima de excavacioacuten sin que se produzca
inestabilidad o levantamiento del fondob) iquestQueacute profundidad de agua libre debe bombearse a modo de poder llevar la
excavacioacuten hasta 8 mts de profundidad
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10m
1m
9m
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10m
1m
9m N
K
habat
N
K
Dh
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FLUJO EN MEDIOS POROSOS
El agua puede fluir a traveacutes de la masa de suelo en cualquier estado
en que este se encuentre aun y cuando el este muy compactado el
agua puede fluir a traveacutes de la masa de suelo ya que los poros estaacuten
interconectados entre si permitiendo el flujo de agua en ese medioporoso movieacutendose esta a lo largo de caminos ondulantes y rugosos
que existen entre un poro y otro lo cual genera peacuterdidas de energiacutea o
carga piezomeacutetrica originadas por la friccioacuten al igual que ocurre
cuando el flujo de agua es por tuberiacuteas o por canales abiertos
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Hasta ahora el estudio del flujo en medios porosos se ha limitado alcaso unidimensional (flujo ascendente y descendente) en el que losparaacutemetros del fluido tales como presioacuten velocidad temperaturaetc son constantes en cualquier seccioacuten transversal que seaperpendicular a la direccioacuten del flujo
En esta parte del tema se estudiaraacute el flujo del agua en tresdimensiones que es el caso maacutes general para lo cual se trabajaraacute conla ecuacioacuten fundamental de flujo Posteriormente se realizansimplificaciones debido a que el anaacutelisis tridimensional de los
problemas de filtracioacuten resulta muy complejo y se trabaja conmeacutetodos aproximados que permiten su resolucioacuten en dosdimensiones
Oacute
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ECUACIOacuteN FUNDAMENTAL DE FLUJO
HIPOTESIS
Dominio Saturado
La Presioacuten y la Velocidad son funcioacuten uacutenicamente de la posicioacuten
El esqueleto mineral del suelo es perfectamente riacutegido
z
y
x x y z
dz
dy
dx
Componente vertical del flujo
Base teoacuterica de la Red de Flujo y para otros
meacutetodos de resolucioacuten de problemas de filtracioacuten
Elemento cuacutebico de suelo a traveacutes del cual se
produce flujo laminar q con componenetes x y z
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z y x qqqq
dydxdz z
VzVzdzdxdy
y
VyVydzdydx
x
VxVxdydxVzdzdxVydzdyVx
Igualamos
dydxdz z
VzVzdzdxdy y
VyVydzdydx x
VxVxq
dydxVzdzdxVydzdyVxq
saliente
entrante
Por continuidad qentrante = qsaliente
Simplificamos y llegamos a la ecuacioacuten de Continuidad 0
z
Vz
y
Vy
x
Vx
Aplicamos Ley de Darcy (V = -ki = -k h L) 02
2
2
2
2
2
z
hkz
y
hky
x
hkx
Asumimos el suelo Isotroacutepico (kx = ky = kz) h z
h
y
h
x
h 2
2
2
2
2
2
2
0
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
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La ecuacioacuten de Laplace describe matemaacuteticamente el flujo de aguaen la regioacuten considerada
Expresa la suma de la variacioacuten de los gradientes hidraacuteulicos en lasdirecciones X Y y Z es Nula
h z
h
y
h
x
h 2
2
2
2
2
2
2
0
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
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SOLUCIOacuteN DE LA ECUACIOacuteN DE LAPLACE EN 2 DIMENSIONES
FUNCIOacuteN POTENCIAL DE LA VELOCIDAD =
( x y) = constante = -kh + c Es dependiente del potencial hidraacuteulico y su variacioacuten genera velocidad en
el agua
Derivando con respecto a X y a Y
x
hk
x
y
hk
y
x
hk Vx
y
hk Vy Entonces Vx
x
Vy
y
Resolvemos derivando con respecto a X y a Y y aplicamos la ecuacioacuten de Continuidad
2
2
2
2
2
0 y x
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satisface la ecuacioacuten de Laplace siendo la solucioacuten de la mismaen dos dimensiones
define para cada valor de esa constante una linea continua cuyospuntos tiene igual potencial hidraacuteulico h y son denominadasldquoLineas Equipotencialesrdquo
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
2
2
2
2
2
0 y x
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FUNCIOacuteN DE FLUJO =
( x y) = constante
Entonces
Resolvemos derivando con respecto a X y a Y y aplicamos la ecuacioacuten de Continuidad
0 D
D
y
y x
x
Dx
Dy
Vy
Vx
Por continuidad qentrante = qsaliente
0 DD yVx xVy yVy
Vx x DD Asumiendo Vx
x
Vy
y
2
2
2
2
2
0 y x
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cumple con la ecuacioacuten de Laplace por lo tanto es una solucioacuten ala misma en dos dimensiones
define para cada valor de la constante una linea continua querepresenta la trayectoria de agua Se denominan ldquoLineas de Flujordquo oacuteldquoLineas de Corrienterdquo
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
2
2
2
2
2
0 y x
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RELACIOacuteN ENTRE LAS LINEAS EQUIPOTENCIALES YLINEAS DE FLUJO O DE CORRIENTE
Considerando las derivadas totales a lo largo de cada una de las curvas
y
x
x
y
x
y
x
y
Pendientes Reciacuteprocas y de signo contario lo cual escondicioacuten de Ortogonalidad y son Ortogonales encada punto de interseccioacuten
REDES DE FLUJO
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REDES DE FLUJO
La red de flujo es la solucioacuten graacutefica la ecuacioacuten de Laplace en 2 dimensiones
Desafortunadamente la ecuacioacuten de Laplace es matemaacuteticamente integrable solo encondiciones de frontera muy simples por lo que en la praacutectica es necesario emplearotros meacutetodos diferentes de la integracioacuten para obtener la red de flujo Uno de esosmeacutetodos es el procedimiento graacutefico de Forcheimer que resulta ser muy simple deaplicar cualquiera sea el problema de flujo uniforme en dos dimensiones
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El espacio entre cualquier par de liacuteneas de flujo consecutivas es un canal de flujoen el trazado de la red se debe seleccionar un cierto nuacutemero de canales de flujo
Nf tal que el gasto de infiltracioacuten a traveacutes de cada canal sea el mismoDq = q Nf
La peacuterdida de carga entre cualquier par de liacuteneas equipotenciales consecutivas es lamisma e igual a Dh Donde Dhacute = Dh Nd (Dh es la peacuterdida de carga total y Nd elnuacutemero de caiacutedas de potencial)
El ancho del canal es a y la distancia entre las caiacutedas equipotenciales es b paracualquier elemento considerado
El gasto que circula por cualquier elemento es Dq = k i A
El gradiente hidraacuteulico del elemento es i = Dhacute b = ( Dh Nd ) bEntoces Dq = k ( ( Dh Nd ) b ) a L donde L es el ancho de la red en la tercera dimensioacuten
REDES DE FLUJO
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REDES DE FLUJO
Como Dq = q Nf entonces q = Dq Nf = k ( ( Dh Nd ) b ) a L Nf
La razoacuten a b esta fijada por la razoacuten Nf Nd y es la misma a traveacutes de toda la redNf y Nd deben seleccionarse de modo que a = b y a b = 1 Con lo que laecuacioacuten de gasto se transforma en
Reordenando q = k Dh ( Nf Nd ) (a b ) L
q = k Dh ( Nf Nd ) L
Aacute
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1) Hacer un dibujo a escala que muestre la masa de suelo los liacutemites permeables a
traveacutes de los cuales entra y sale el agua del suelo y las fronteras impermeables que
confinan o limitan el flujo
2) Dibujar de dos a cuatro liacuteneas de flujo que formen aacutengulos rectos con los liacutemitespermeables a la entrada y a la salida y que sean aproximadamente paralelas a losliacutemites impermeables
3) Dibujar liacuteneas equipotenciales que formen aacutengulos rectos con las liacuteneas de flujo demanera que el ancho y el largo promedio del cuadrado curviliacuteneo que forman seaniguales (a=b) Desde luego esto es imposible de lograr en el primer tanteo porquelas posiciones de las liacuteneas de flujo son supuestas pero esta primera red serviraacute deguiacutea para un segundo tanteo
4) Se reajustan las liacuteneas de flujo y las liacuteneas equipotenciales hasta que todas lasintersecciones sean en aacutengulo recto y el largo y ancho de cada cuadrado seaniguales Los tamantildeos de los cuadrados pueden ser distintos pero la relacioacuten ab = 1debe mantenerse
REGLAS PRAacuteCTICAS PARA ELABORAR REDES DE FLUJO
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El logro de una solucioacuten exacta requiere de muchos tanteos y
algunos problemas no admiten en su solucioacuten un nuacutemeroexacto de canales yo de caiacutedas equipotenciales en estos casosdebe intentarse con un nuacutemero de canales yo caiacutedasequipotenciales fraccionario (media caiacuteda o medio canal porejemplo)
Al lograr trazar la red de flujo de cuadrados curviliacuteneossatisfaciendo las condiciones de frontera del problema seobtendraacute la solucioacuten graacutefica de este problema para las
condiciones de frontera del problema se obtendraacute la solucioacutengraacutefica de este para las condiciones hidrodinaacutemicasestablecidas por la ecuacioacuten de Laplace
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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J g j
6 0
0 m
BA
I II III IV V VI VII
C
D
6 0
0 m
6 0
0 m
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
1) Altura piezometrica en A
2) Esfuerzo efectivo en B
3) Gradiente hidraacuteulico velocidades de descarga y de filtracioacuten
en C
4) Presiones hidraacuteulicas sobre el tablestacado5) Gradiente hidraacuteulico de salida y factor de seguridad contra la
arena movediza (licuefaccioacuten)
6) Factor de seguridad a la Tubificacioacuten
7) Presiones hidraacuteulicas sobre el fondo impermeable
8) Presioacuten de filtracioacuten en D
9) Caudal de Filtracioacuten bajo la presa sabiendo que L= 50 m
0m 3m 5m 10m
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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J g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
γconc= 235 Tm3
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
γconc= 235 Tm3
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg γsat= 218 Tm3 γconc= 235 Tm3
LINEA SUPERFICIAL DE FLUJO
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LINEA SUPERFICIAL DE FLUJO
En algunos casos un liacutemite de las liacuteneas de flujo puede ser una superficie de agualibre o superficie de saturacioacuten que no estaacute determinada por ninguna masa soacutelida
impermeable
Tal es el caso de las presas de tierra cuyo problema de flujo presenta caracteriacutesticasespeciales y por lo tanto se requiere del uso de meacutetodos tambieacuten especiales paralograr el trazado de la red de flujo
a
b
c
Equipotencial
Liacutenea de Flujo
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En la figura se presenta una presa de tierra de un material heterogeacuteneo eacute isoacutetropo La liacutenea 1-2 es una liacutenea equipotencial puesto que es el contacto entre el suelo permeable y el agua La liacutenea1-3 es un contacto entre la frontera impermeable y el material permeable por lo tanto es unaliacutenea de flujo Entre los puntos 2 y 4 existe una frontera del flujo donde por debajo de ella elsuelo estaacute saturado y por encima no lo estaacute Ahora bien esta liacutenea que limita la zona de flujodentro de la presa recibe el nombre de liacutenea superficial de flujo o liacutenea de saturacioacuten Suforma se desconoce a priori y tambieacuten la posicioacuten del punto 4 ambos deben ser determinados almenos aproximadamente para poder trazar la red de flujo
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La liacutenea de saturacioacuten ademaacutes de ser una liacutenea de flujo es tambieacuten una liacutenea de
equipresioacuten en la que todos los puntos tienen la misma presioacuten cero Por lo tantoel potencial hidraacuteulico depende de la carga de elevacioacuten uacutenicamente y las liacuteneasequipotenciales la cortaran a intervalos verticales iguales entre si
Condiciones Generales de Entrada
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Condiciones Generales de Entrada
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Condiciones Generales de Salida
Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
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Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
Caso 1 a2 lt 30deg En este caso es posible calcular la superficie humedecida a (distancia 4 - 3) pormedio de la siguiente expresioacuten
2
2
2
2
2
2
2coscos a a a sen
hd d a
d = L - M + O3M
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Luego de dibujar la presa de tierra a escala se sentildeala en ella la superficie humedecida aguas
abajo a calculada por la foacutermula anterior El siguiente paso consiste en el trazado de laliacutenea de saturacioacuten usando el meacutetodo graacutefico aproximado de la paraacutebola baacutesica de Kozenycuyo procedimiento se describe a continuacioacuten
1 Ubicar el punto 2 en la liacutenea freaacutetica a una distancia de 03M medida desde la cara deltalud aguas arriba La cara aguas abajo del talud es tangente a la paraacutebola en el punto 4
2 Prolongar la liacutenea en el talud aguas arriba de la presa Trazar una horizontal por el punto2 hasta cortar la cara del talud aguas abajo El punto de interseccioacuten es 5
3 Dividir 4 -5 Y 5 - 2 en el mismo nuacutemero de partes iguales no maacutes de 4 o 5 y marcarestos puntos (en 2- 5 se parte de 5 numerando con letras A -B etc en 4 - 5 se parte de 4numerando A-B-C etc)
4 Trazar por 4 - 5 liacuteneas horizontales en los puntos marcados
5 Unir cada uno de los puntos marcados en la horizontal 2- 5 con el punto 46 Trazar la liacutenea freaacutetica por los puntos obtenidos 7 Como la liacutenea freaacutetica parte perpendicular a la cara del talud aguas arriba este ajuste
debe realizarse manualmente
=gt M = htg ald =L - O7M
Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
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Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
Caso 2 a2 gt 30deg En este caso el procedimiento a seguir es
d d hP 22
1 La paraacutebola tiene su origen a una distancia P del veacutertice del talud aguas abajo de lapresa es decir este veacutertice es su foco y es tangente a la vertical que pasa por elpunto P
P se calcula por medio de la siguiente expresioacuten
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2 Trazar la paraacutebola baacutesica de Kozeny En este caso la tangente al origen es una liacuteneavertical
3 La distancia desde el punto 4 hasta la interseccioacuten de la paraacutebola con el talud aguasabajo es a + Da y no es realmente el punto por donde sale el agua en el talud porlo tanto se debe realizar una correccioacuten y encontrar a Casagrande encontroacute que larelacioacuten es un escalar que puede ser llamado a y que se relaciona
con el angulo a2 seguacuten se muestra en la siguiente tabla
a
a
D
D
a a2 ( deg ) aacute
30 0375
60 0320
90 0260
120 0185
150 0105
180 0
Los valores entre estos aacutengulos pueden interpolarse
y midiendo a + Da se calcula a usando la tablaDa = aacute ( a + Da ) y a = ( a + Da ) - Da
Finalmente se trazan manualmente la entraday la salida de la liacutenea de saturacioacuten
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EJERCICIO Determine la Linea Superficial de Flujo de la presa de tierra que se presentaa continuacioacuten
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a continuacioacuten
EJERCICIO Determine la Linea Superficial de Flujo de la presa de tierra que se presentaa continuacioacuten
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2
1
a continuacioacuten
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
g
La teoriacutea de la seccioacuten transformada permite reducir al caso de un suelo homogeacuteneo e isoacutetropo un suelo en el que la permeabilidad para el flujo en la direccioacuten horizontal ( kx) y la que tenga para el flujo en la direccioacuten vertical ( ky ) sean diferentes ( kx ne Ky )(por lo general Kx en muchas veces mayor que ky )
La teoriacutea de la seccioacuten transformada es un simple artificio de calculo que se logra por una simple transformacioacuten de coordenadas y que modifica sobre el papel las dimensiones de la zona de flujo en estudio en un suelo isotropico hidraacuteulicamente equivalente
Dos tipos de transformaciones se pueden aplicar a) Haciendo
Y Ky
Kx
Y acute
Se modifican las dimensiones verticales permaneciendo constantes las horizontales
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
g
b) Haciendo
X Kx
Ky X acute
Se modifican las dimensiones Horizontales permaneciendo constantes las Verticales
En la seccioacuten transformada homogeacutenea e isoacutetropa la permeabilidad equivalente viene dada por
kykxk
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
kykxk
X Kx
Ky X acute
2 0 0 0
0 0
kx
ky
k
2 8 2 0 0
0
h
141h
500000
b352463
071b
k
Y Ky
KxY acute
kykx 2
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Ejercicio En el perfil estratificado indicado determine las presiones totales
neutrales y efectivas en las fronteras indicadas ademaacutes calcule el factor de
seguridad a la licuefaccioacuten donde sea necesario
L
L
2L
3L
09L
γsat1 γh1 k1
Satcap
γsat2 k2
γsat3 k3
1
2
3
γsat1= 15 γw =12 γh1
γsat2= 17 γw
γsat3= 19 γwk2= 2k1k3= 6k1
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LEVANTAMIENTO DE UN ESTRATO DE ARCILLA
Las fuerzas de filtracioacuten afectan no solamente a los suelos sincohesioacuten sino tambieacuten a los suelos cohesivos soacutelo que lo hacen demodo distinto porque en suelos arcillosos la cohesioacuten existente entrelas partiacuteculas las mantiene unidas de modo tal que se levanta toda la
masa de suelo y no partiacuteculas individuales como en los suelosgranulares
A modo de explicar el comportamiento de los suelos cohesivospondremos el siguiente caso
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LEVANTAMIENTO DE UN ESTRATO DE ARCILLA
Se tienen dos estratos de suelo diferente un suelo cohesivo que descansa sobre unmaterial muy permeable o suelo sin cohesioacuten Se necesita realizar una excavacioacutenen el estrato cohesivo para lo cual se debe determinar la profundidad a excavar yel espesor del estrato luego de realizada la excavacioacuten (tc) de tal manera queresulte seguro al levantamiento
Para realizar la excavacioacuten
se colocan dos tablestacas enel suelo y se procede luego aabatir el nivel del agua pormedio de bombeo tratando demantenerla seca
Por otra parte se desprecianlas fuerzas de friccioacuten que seoriginan cuando se hinca latablestaca
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LEVANTAMIENTO DE UN ESTRATO DE ARCILLA
Observemos que las fuerzas verticales actuantes son el peso del suelo y la presioacutende poros que tienden a levantar el fondo de la excavacioacuten puesto que el flujo es
ascendente El nivel piezomeacutetrico en la superficie del estrato sin cohesioacuten es mayorque el nivel piezomeacutetrico en el fondo de la excavacioacuten por lo que el agua tiende asubir pero como la permeabilidad del estrato de arcilla es tan baja esto resultamuy difiacutecil y se generan presiones en el fondo del rectaacutengulo
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El suelo estaacute saturado por tanto para calcular su peso se usa el peso unitario saturadoentonces
Peso del Suelo = tc sat
Haciendo equilibrio de fuerzas verticales
La presioacuten de poros es la suma de la presioacuten hidrostaacutetica y la de filtracioacuten
= Dh + Df = tc w + Dh w = ( tc + Dh ) w
sumFv = 0 Peso del Suelo - = 0
tc sat = ( tc + Dh ) w
tc sat = tc w + Dh w
tc ( sat - w ) = Dh w tc = Dh w = Df
( sat - w ) acute
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El espesor tc es el espesor criacutetico de la excavacioacuten es decir es el espesor miacutenimo
para el cual la excavacioacuten es segura
Por lo tanto
En espesores lt de tc se produce el levantamiento del fondo de la excavacioacuten
En espesores gt de tc la excavacioacuten es estable
Este fenoacutemeno puede darse tambieacuten parcialmente socavacioacuten
cuando se forman tuacuteneles o cavernas por arrastre de finos que generaninestabilidad y lo que puede ser maacutes grave el colapso del suelo
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EJERCICIOSe pretende realizar una excavacioacuten en un estrato de arcilla de 10 mts de espesor
que descansa sobre un estrato de arena Se pide
a) Calcular la profundidad maacutexima de excavacioacuten sin que se produzca
inestabilidad o levantamiento del fondob) iquestQueacute profundidad de agua libre debe bombearse a modo de poder llevar la
excavacioacuten hasta 8 mts de profundidad
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10m
1m
9m
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10m
1m
9m N
K
habat
N
K
Dh
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FLUJO EN MEDIOS POROSOS
El agua puede fluir a traveacutes de la masa de suelo en cualquier estado
en que este se encuentre aun y cuando el este muy compactado el
agua puede fluir a traveacutes de la masa de suelo ya que los poros estaacuten
interconectados entre si permitiendo el flujo de agua en ese medioporoso movieacutendose esta a lo largo de caminos ondulantes y rugosos
que existen entre un poro y otro lo cual genera peacuterdidas de energiacutea o
carga piezomeacutetrica originadas por la friccioacuten al igual que ocurre
cuando el flujo de agua es por tuberiacuteas o por canales abiertos
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Hasta ahora el estudio del flujo en medios porosos se ha limitado alcaso unidimensional (flujo ascendente y descendente) en el que losparaacutemetros del fluido tales como presioacuten velocidad temperaturaetc son constantes en cualquier seccioacuten transversal que seaperpendicular a la direccioacuten del flujo
En esta parte del tema se estudiaraacute el flujo del agua en tresdimensiones que es el caso maacutes general para lo cual se trabajaraacute conla ecuacioacuten fundamental de flujo Posteriormente se realizansimplificaciones debido a que el anaacutelisis tridimensional de los
problemas de filtracioacuten resulta muy complejo y se trabaja conmeacutetodos aproximados que permiten su resolucioacuten en dosdimensiones
Oacute
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ECUACIOacuteN FUNDAMENTAL DE FLUJO
HIPOTESIS
Dominio Saturado
La Presioacuten y la Velocidad son funcioacuten uacutenicamente de la posicioacuten
El esqueleto mineral del suelo es perfectamente riacutegido
z
y
x x y z
dz
dy
dx
Componente vertical del flujo
Base teoacuterica de la Red de Flujo y para otros
meacutetodos de resolucioacuten de problemas de filtracioacuten
Elemento cuacutebico de suelo a traveacutes del cual se
produce flujo laminar q con componenetes x y z
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z y x qqqq
dydxdz z
VzVzdzdxdy
y
VyVydzdydx
x
VxVxdydxVzdzdxVydzdyVx
Igualamos
dydxdz z
VzVzdzdxdy y
VyVydzdydx x
VxVxq
dydxVzdzdxVydzdyVxq
saliente
entrante
Por continuidad qentrante = qsaliente
Simplificamos y llegamos a la ecuacioacuten de Continuidad 0
z
Vz
y
Vy
x
Vx
Aplicamos Ley de Darcy (V = -ki = -k h L) 02
2
2
2
2
2
z
hkz
y
hky
x
hkx
Asumimos el suelo Isotroacutepico (kx = ky = kz) h z
h
y
h
x
h 2
2
2
2
2
2
2
0
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
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La ecuacioacuten de Laplace describe matemaacuteticamente el flujo de aguaen la regioacuten considerada
Expresa la suma de la variacioacuten de los gradientes hidraacuteulicos en lasdirecciones X Y y Z es Nula
h z
h
y
h
x
h 2
2
2
2
2
2
2
0
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
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SOLUCIOacuteN DE LA ECUACIOacuteN DE LAPLACE EN 2 DIMENSIONES
FUNCIOacuteN POTENCIAL DE LA VELOCIDAD =
( x y) = constante = -kh + c Es dependiente del potencial hidraacuteulico y su variacioacuten genera velocidad en
el agua
Derivando con respecto a X y a Y
x
hk
x
y
hk
y
x
hk Vx
y
hk Vy Entonces Vx
x
Vy
y
Resolvemos derivando con respecto a X y a Y y aplicamos la ecuacioacuten de Continuidad
2
2
2
2
2
0 y x
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satisface la ecuacioacuten de Laplace siendo la solucioacuten de la mismaen dos dimensiones
define para cada valor de esa constante una linea continua cuyospuntos tiene igual potencial hidraacuteulico h y son denominadasldquoLineas Equipotencialesrdquo
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
2
2
2
2
2
0 y x
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FUNCIOacuteN DE FLUJO =
( x y) = constante
Entonces
Resolvemos derivando con respecto a X y a Y y aplicamos la ecuacioacuten de Continuidad
0 D
D
y
y x
x
Dx
Dy
Vy
Vx
Por continuidad qentrante = qsaliente
0 DD yVx xVy yVy
Vx x DD Asumiendo Vx
x
Vy
y
2
2
2
2
2
0 y x
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cumple con la ecuacioacuten de Laplace por lo tanto es una solucioacuten ala misma en dos dimensiones
define para cada valor de la constante una linea continua querepresenta la trayectoria de agua Se denominan ldquoLineas de Flujordquo oacuteldquoLineas de Corrienterdquo
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
2
2
2
2
2
0 y x
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RELACIOacuteN ENTRE LAS LINEAS EQUIPOTENCIALES YLINEAS DE FLUJO O DE CORRIENTE
Considerando las derivadas totales a lo largo de cada una de las curvas
y
x
x
y
x
y
x
y
Pendientes Reciacuteprocas y de signo contario lo cual escondicioacuten de Ortogonalidad y son Ortogonales encada punto de interseccioacuten
REDES DE FLUJO
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REDES DE FLUJO
La red de flujo es la solucioacuten graacutefica la ecuacioacuten de Laplace en 2 dimensiones
Desafortunadamente la ecuacioacuten de Laplace es matemaacuteticamente integrable solo encondiciones de frontera muy simples por lo que en la praacutectica es necesario emplearotros meacutetodos diferentes de la integracioacuten para obtener la red de flujo Uno de esosmeacutetodos es el procedimiento graacutefico de Forcheimer que resulta ser muy simple deaplicar cualquiera sea el problema de flujo uniforme en dos dimensiones
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El espacio entre cualquier par de liacuteneas de flujo consecutivas es un canal de flujoen el trazado de la red se debe seleccionar un cierto nuacutemero de canales de flujo
Nf tal que el gasto de infiltracioacuten a traveacutes de cada canal sea el mismoDq = q Nf
La peacuterdida de carga entre cualquier par de liacuteneas equipotenciales consecutivas es lamisma e igual a Dh Donde Dhacute = Dh Nd (Dh es la peacuterdida de carga total y Nd elnuacutemero de caiacutedas de potencial)
El ancho del canal es a y la distancia entre las caiacutedas equipotenciales es b paracualquier elemento considerado
El gasto que circula por cualquier elemento es Dq = k i A
El gradiente hidraacuteulico del elemento es i = Dhacute b = ( Dh Nd ) bEntoces Dq = k ( ( Dh Nd ) b ) a L donde L es el ancho de la red en la tercera dimensioacuten
REDES DE FLUJO
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REDES DE FLUJO
Como Dq = q Nf entonces q = Dq Nf = k ( ( Dh Nd ) b ) a L Nf
La razoacuten a b esta fijada por la razoacuten Nf Nd y es la misma a traveacutes de toda la redNf y Nd deben seleccionarse de modo que a = b y a b = 1 Con lo que laecuacioacuten de gasto se transforma en
Reordenando q = k Dh ( Nf Nd ) (a b ) L
q = k Dh ( Nf Nd ) L
Aacute
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1) Hacer un dibujo a escala que muestre la masa de suelo los liacutemites permeables a
traveacutes de los cuales entra y sale el agua del suelo y las fronteras impermeables que
confinan o limitan el flujo
2) Dibujar de dos a cuatro liacuteneas de flujo que formen aacutengulos rectos con los liacutemitespermeables a la entrada y a la salida y que sean aproximadamente paralelas a losliacutemites impermeables
3) Dibujar liacuteneas equipotenciales que formen aacutengulos rectos con las liacuteneas de flujo demanera que el ancho y el largo promedio del cuadrado curviliacuteneo que forman seaniguales (a=b) Desde luego esto es imposible de lograr en el primer tanteo porquelas posiciones de las liacuteneas de flujo son supuestas pero esta primera red serviraacute deguiacutea para un segundo tanteo
4) Se reajustan las liacuteneas de flujo y las liacuteneas equipotenciales hasta que todas lasintersecciones sean en aacutengulo recto y el largo y ancho de cada cuadrado seaniguales Los tamantildeos de los cuadrados pueden ser distintos pero la relacioacuten ab = 1debe mantenerse
REGLAS PRAacuteCTICAS PARA ELABORAR REDES DE FLUJO
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El logro de una solucioacuten exacta requiere de muchos tanteos y
algunos problemas no admiten en su solucioacuten un nuacutemeroexacto de canales yo de caiacutedas equipotenciales en estos casosdebe intentarse con un nuacutemero de canales yo caiacutedasequipotenciales fraccionario (media caiacuteda o medio canal porejemplo)
Al lograr trazar la red de flujo de cuadrados curviliacuteneossatisfaciendo las condiciones de frontera del problema seobtendraacute la solucioacuten graacutefica de este problema para las
condiciones de frontera del problema se obtendraacute la solucioacutengraacutefica de este para las condiciones hidrodinaacutemicasestablecidas por la ecuacioacuten de Laplace
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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J g j
6 0
0 m
BA
I II III IV V VI VII
C
D
6 0
0 m
6 0
0 m
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
1) Altura piezometrica en A
2) Esfuerzo efectivo en B
3) Gradiente hidraacuteulico velocidades de descarga y de filtracioacuten
en C
4) Presiones hidraacuteulicas sobre el tablestacado5) Gradiente hidraacuteulico de salida y factor de seguridad contra la
arena movediza (licuefaccioacuten)
6) Factor de seguridad a la Tubificacioacuten
7) Presiones hidraacuteulicas sobre el fondo impermeable
8) Presioacuten de filtracioacuten en D
9) Caudal de Filtracioacuten bajo la presa sabiendo que L= 50 m
0m 3m 5m 10m
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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J g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
γconc= 235 Tm3
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
γconc= 235 Tm3
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg γsat= 218 Tm3 γconc= 235 Tm3
LINEA SUPERFICIAL DE FLUJO
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LINEA SUPERFICIAL DE FLUJO
En algunos casos un liacutemite de las liacuteneas de flujo puede ser una superficie de agualibre o superficie de saturacioacuten que no estaacute determinada por ninguna masa soacutelida
impermeable
Tal es el caso de las presas de tierra cuyo problema de flujo presenta caracteriacutesticasespeciales y por lo tanto se requiere del uso de meacutetodos tambieacuten especiales paralograr el trazado de la red de flujo
a
b
c
Equipotencial
Liacutenea de Flujo
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En la figura se presenta una presa de tierra de un material heterogeacuteneo eacute isoacutetropo La liacutenea 1-2 es una liacutenea equipotencial puesto que es el contacto entre el suelo permeable y el agua La liacutenea1-3 es un contacto entre la frontera impermeable y el material permeable por lo tanto es unaliacutenea de flujo Entre los puntos 2 y 4 existe una frontera del flujo donde por debajo de ella elsuelo estaacute saturado y por encima no lo estaacute Ahora bien esta liacutenea que limita la zona de flujodentro de la presa recibe el nombre de liacutenea superficial de flujo o liacutenea de saturacioacuten Suforma se desconoce a priori y tambieacuten la posicioacuten del punto 4 ambos deben ser determinados almenos aproximadamente para poder trazar la red de flujo
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La liacutenea de saturacioacuten ademaacutes de ser una liacutenea de flujo es tambieacuten una liacutenea de
equipresioacuten en la que todos los puntos tienen la misma presioacuten cero Por lo tantoel potencial hidraacuteulico depende de la carga de elevacioacuten uacutenicamente y las liacuteneasequipotenciales la cortaran a intervalos verticales iguales entre si
Condiciones Generales de Entrada
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Condiciones Generales de Entrada
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Condiciones Generales de Salida
Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
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Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
Caso 1 a2 lt 30deg En este caso es posible calcular la superficie humedecida a (distancia 4 - 3) pormedio de la siguiente expresioacuten
2
2
2
2
2
2
2coscos a a a sen
hd d a
d = L - M + O3M
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Luego de dibujar la presa de tierra a escala se sentildeala en ella la superficie humedecida aguas
abajo a calculada por la foacutermula anterior El siguiente paso consiste en el trazado de laliacutenea de saturacioacuten usando el meacutetodo graacutefico aproximado de la paraacutebola baacutesica de Kozenycuyo procedimiento se describe a continuacioacuten
1 Ubicar el punto 2 en la liacutenea freaacutetica a una distancia de 03M medida desde la cara deltalud aguas arriba La cara aguas abajo del talud es tangente a la paraacutebola en el punto 4
2 Prolongar la liacutenea en el talud aguas arriba de la presa Trazar una horizontal por el punto2 hasta cortar la cara del talud aguas abajo El punto de interseccioacuten es 5
3 Dividir 4 -5 Y 5 - 2 en el mismo nuacutemero de partes iguales no maacutes de 4 o 5 y marcarestos puntos (en 2- 5 se parte de 5 numerando con letras A -B etc en 4 - 5 se parte de 4numerando A-B-C etc)
4 Trazar por 4 - 5 liacuteneas horizontales en los puntos marcados
5 Unir cada uno de los puntos marcados en la horizontal 2- 5 con el punto 46 Trazar la liacutenea freaacutetica por los puntos obtenidos 7 Como la liacutenea freaacutetica parte perpendicular a la cara del talud aguas arriba este ajuste
debe realizarse manualmente
=gt M = htg ald =L - O7M
Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
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Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
Caso 2 a2 gt 30deg En este caso el procedimiento a seguir es
d d hP 22
1 La paraacutebola tiene su origen a una distancia P del veacutertice del talud aguas abajo de lapresa es decir este veacutertice es su foco y es tangente a la vertical que pasa por elpunto P
P se calcula por medio de la siguiente expresioacuten
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2 Trazar la paraacutebola baacutesica de Kozeny En este caso la tangente al origen es una liacuteneavertical
3 La distancia desde el punto 4 hasta la interseccioacuten de la paraacutebola con el talud aguasabajo es a + Da y no es realmente el punto por donde sale el agua en el talud porlo tanto se debe realizar una correccioacuten y encontrar a Casagrande encontroacute que larelacioacuten es un escalar que puede ser llamado a y que se relaciona
con el angulo a2 seguacuten se muestra en la siguiente tabla
a
a
D
D
a a2 ( deg ) aacute
30 0375
60 0320
90 0260
120 0185
150 0105
180 0
Los valores entre estos aacutengulos pueden interpolarse
y midiendo a + Da se calcula a usando la tablaDa = aacute ( a + Da ) y a = ( a + Da ) - Da
Finalmente se trazan manualmente la entraday la salida de la liacutenea de saturacioacuten
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EJERCICIO Determine la Linea Superficial de Flujo de la presa de tierra que se presentaa continuacioacuten
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a continuacioacuten
EJERCICIO Determine la Linea Superficial de Flujo de la presa de tierra que se presentaa continuacioacuten
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2
1
a continuacioacuten
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
g
La teoriacutea de la seccioacuten transformada permite reducir al caso de un suelo homogeacuteneo e isoacutetropo un suelo en el que la permeabilidad para el flujo en la direccioacuten horizontal ( kx) y la que tenga para el flujo en la direccioacuten vertical ( ky ) sean diferentes ( kx ne Ky )(por lo general Kx en muchas veces mayor que ky )
La teoriacutea de la seccioacuten transformada es un simple artificio de calculo que se logra por una simple transformacioacuten de coordenadas y que modifica sobre el papel las dimensiones de la zona de flujo en estudio en un suelo isotropico hidraacuteulicamente equivalente
Dos tipos de transformaciones se pueden aplicar a) Haciendo
Y Ky
Kx
Y acute
Se modifican las dimensiones verticales permaneciendo constantes las horizontales
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
g
b) Haciendo
X Kx
Ky X acute
Se modifican las dimensiones Horizontales permaneciendo constantes las Verticales
En la seccioacuten transformada homogeacutenea e isoacutetropa la permeabilidad equivalente viene dada por
kykxk
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
kykxk
X Kx
Ky X acute
2 0 0 0
0 0
kx
ky
k
2 8 2 0 0
0
h
141h
500000
b352463
071b
k
Y Ky
KxY acute
kykx 2
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LEVANTAMIENTO DE UN ESTRATO DE ARCILLA
Las fuerzas de filtracioacuten afectan no solamente a los suelos sincohesioacuten sino tambieacuten a los suelos cohesivos soacutelo que lo hacen demodo distinto porque en suelos arcillosos la cohesioacuten existente entrelas partiacuteculas las mantiene unidas de modo tal que se levanta toda la
masa de suelo y no partiacuteculas individuales como en los suelosgranulares
A modo de explicar el comportamiento de los suelos cohesivospondremos el siguiente caso
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LEVANTAMIENTO DE UN ESTRATO DE ARCILLA
Se tienen dos estratos de suelo diferente un suelo cohesivo que descansa sobre unmaterial muy permeable o suelo sin cohesioacuten Se necesita realizar una excavacioacutenen el estrato cohesivo para lo cual se debe determinar la profundidad a excavar yel espesor del estrato luego de realizada la excavacioacuten (tc) de tal manera queresulte seguro al levantamiento
Para realizar la excavacioacuten
se colocan dos tablestacas enel suelo y se procede luego aabatir el nivel del agua pormedio de bombeo tratando demantenerla seca
Por otra parte se desprecianlas fuerzas de friccioacuten que seoriginan cuando se hinca latablestaca
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LEVANTAMIENTO DE UN ESTRATO DE ARCILLA
Observemos que las fuerzas verticales actuantes son el peso del suelo y la presioacutende poros que tienden a levantar el fondo de la excavacioacuten puesto que el flujo es
ascendente El nivel piezomeacutetrico en la superficie del estrato sin cohesioacuten es mayorque el nivel piezomeacutetrico en el fondo de la excavacioacuten por lo que el agua tiende asubir pero como la permeabilidad del estrato de arcilla es tan baja esto resultamuy difiacutecil y se generan presiones en el fondo del rectaacutengulo
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El suelo estaacute saturado por tanto para calcular su peso se usa el peso unitario saturadoentonces
Peso del Suelo = tc sat
Haciendo equilibrio de fuerzas verticales
La presioacuten de poros es la suma de la presioacuten hidrostaacutetica y la de filtracioacuten
= Dh + Df = tc w + Dh w = ( tc + Dh ) w
sumFv = 0 Peso del Suelo - = 0
tc sat = ( tc + Dh ) w
tc sat = tc w + Dh w
tc ( sat - w ) = Dh w tc = Dh w = Df
( sat - w ) acute
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El espesor tc es el espesor criacutetico de la excavacioacuten es decir es el espesor miacutenimo
para el cual la excavacioacuten es segura
Por lo tanto
En espesores lt de tc se produce el levantamiento del fondo de la excavacioacuten
En espesores gt de tc la excavacioacuten es estable
Este fenoacutemeno puede darse tambieacuten parcialmente socavacioacuten
cuando se forman tuacuteneles o cavernas por arrastre de finos que generaninestabilidad y lo que puede ser maacutes grave el colapso del suelo
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EJERCICIOSe pretende realizar una excavacioacuten en un estrato de arcilla de 10 mts de espesor
que descansa sobre un estrato de arena Se pide
a) Calcular la profundidad maacutexima de excavacioacuten sin que se produzca
inestabilidad o levantamiento del fondob) iquestQueacute profundidad de agua libre debe bombearse a modo de poder llevar la
excavacioacuten hasta 8 mts de profundidad
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10m
1m
9m
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10m
1m
9m N
K
habat
N
K
Dh
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FLUJO EN MEDIOS POROSOS
El agua puede fluir a traveacutes de la masa de suelo en cualquier estado
en que este se encuentre aun y cuando el este muy compactado el
agua puede fluir a traveacutes de la masa de suelo ya que los poros estaacuten
interconectados entre si permitiendo el flujo de agua en ese medioporoso movieacutendose esta a lo largo de caminos ondulantes y rugosos
que existen entre un poro y otro lo cual genera peacuterdidas de energiacutea o
carga piezomeacutetrica originadas por la friccioacuten al igual que ocurre
cuando el flujo de agua es por tuberiacuteas o por canales abiertos
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Hasta ahora el estudio del flujo en medios porosos se ha limitado alcaso unidimensional (flujo ascendente y descendente) en el que losparaacutemetros del fluido tales como presioacuten velocidad temperaturaetc son constantes en cualquier seccioacuten transversal que seaperpendicular a la direccioacuten del flujo
En esta parte del tema se estudiaraacute el flujo del agua en tresdimensiones que es el caso maacutes general para lo cual se trabajaraacute conla ecuacioacuten fundamental de flujo Posteriormente se realizansimplificaciones debido a que el anaacutelisis tridimensional de los
problemas de filtracioacuten resulta muy complejo y se trabaja conmeacutetodos aproximados que permiten su resolucioacuten en dosdimensiones
Oacute
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ECUACIOacuteN FUNDAMENTAL DE FLUJO
HIPOTESIS
Dominio Saturado
La Presioacuten y la Velocidad son funcioacuten uacutenicamente de la posicioacuten
El esqueleto mineral del suelo es perfectamente riacutegido
z
y
x x y z
dz
dy
dx
Componente vertical del flujo
Base teoacuterica de la Red de Flujo y para otros
meacutetodos de resolucioacuten de problemas de filtracioacuten
Elemento cuacutebico de suelo a traveacutes del cual se
produce flujo laminar q con componenetes x y z
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z y x qqqq
dydxdz z
VzVzdzdxdy
y
VyVydzdydx
x
VxVxdydxVzdzdxVydzdyVx
Igualamos
dydxdz z
VzVzdzdxdy y
VyVydzdydx x
VxVxq
dydxVzdzdxVydzdyVxq
saliente
entrante
Por continuidad qentrante = qsaliente
Simplificamos y llegamos a la ecuacioacuten de Continuidad 0
z
Vz
y
Vy
x
Vx
Aplicamos Ley de Darcy (V = -ki = -k h L) 02
2
2
2
2
2
z
hkz
y
hky
x
hkx
Asumimos el suelo Isotroacutepico (kx = ky = kz) h z
h
y
h
x
h 2
2
2
2
2
2
2
0
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
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La ecuacioacuten de Laplace describe matemaacuteticamente el flujo de aguaen la regioacuten considerada
Expresa la suma de la variacioacuten de los gradientes hidraacuteulicos en lasdirecciones X Y y Z es Nula
h z
h
y
h
x
h 2
2
2
2
2
2
2
0
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
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SOLUCIOacuteN DE LA ECUACIOacuteN DE LAPLACE EN 2 DIMENSIONES
FUNCIOacuteN POTENCIAL DE LA VELOCIDAD =
( x y) = constante = -kh + c Es dependiente del potencial hidraacuteulico y su variacioacuten genera velocidad en
el agua
Derivando con respecto a X y a Y
x
hk
x
y
hk
y
x
hk Vx
y
hk Vy Entonces Vx
x
Vy
y
Resolvemos derivando con respecto a X y a Y y aplicamos la ecuacioacuten de Continuidad
2
2
2
2
2
0 y x
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satisface la ecuacioacuten de Laplace siendo la solucioacuten de la mismaen dos dimensiones
define para cada valor de esa constante una linea continua cuyospuntos tiene igual potencial hidraacuteulico h y son denominadasldquoLineas Equipotencialesrdquo
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
2
2
2
2
2
0 y x
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FUNCIOacuteN DE FLUJO =
( x y) = constante
Entonces
Resolvemos derivando con respecto a X y a Y y aplicamos la ecuacioacuten de Continuidad
0 D
D
y
y x
x
Dx
Dy
Vy
Vx
Por continuidad qentrante = qsaliente
0 DD yVx xVy yVy
Vx x DD Asumiendo Vx
x
Vy
y
2
2
2
2
2
0 y x
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cumple con la ecuacioacuten de Laplace por lo tanto es una solucioacuten ala misma en dos dimensiones
define para cada valor de la constante una linea continua querepresenta la trayectoria de agua Se denominan ldquoLineas de Flujordquo oacuteldquoLineas de Corrienterdquo
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
2
2
2
2
2
0 y x
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RELACIOacuteN ENTRE LAS LINEAS EQUIPOTENCIALES YLINEAS DE FLUJO O DE CORRIENTE
Considerando las derivadas totales a lo largo de cada una de las curvas
y
x
x
y
x
y
x
y
Pendientes Reciacuteprocas y de signo contario lo cual escondicioacuten de Ortogonalidad y son Ortogonales encada punto de interseccioacuten
REDES DE FLUJO
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REDES DE FLUJO
La red de flujo es la solucioacuten graacutefica la ecuacioacuten de Laplace en 2 dimensiones
Desafortunadamente la ecuacioacuten de Laplace es matemaacuteticamente integrable solo encondiciones de frontera muy simples por lo que en la praacutectica es necesario emplearotros meacutetodos diferentes de la integracioacuten para obtener la red de flujo Uno de esosmeacutetodos es el procedimiento graacutefico de Forcheimer que resulta ser muy simple deaplicar cualquiera sea el problema de flujo uniforme en dos dimensiones
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El espacio entre cualquier par de liacuteneas de flujo consecutivas es un canal de flujoen el trazado de la red se debe seleccionar un cierto nuacutemero de canales de flujo
Nf tal que el gasto de infiltracioacuten a traveacutes de cada canal sea el mismoDq = q Nf
La peacuterdida de carga entre cualquier par de liacuteneas equipotenciales consecutivas es lamisma e igual a Dh Donde Dhacute = Dh Nd (Dh es la peacuterdida de carga total y Nd elnuacutemero de caiacutedas de potencial)
El ancho del canal es a y la distancia entre las caiacutedas equipotenciales es b paracualquier elemento considerado
El gasto que circula por cualquier elemento es Dq = k i A
El gradiente hidraacuteulico del elemento es i = Dhacute b = ( Dh Nd ) bEntoces Dq = k ( ( Dh Nd ) b ) a L donde L es el ancho de la red en la tercera dimensioacuten
REDES DE FLUJO
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REDES DE FLUJO
Como Dq = q Nf entonces q = Dq Nf = k ( ( Dh Nd ) b ) a L Nf
La razoacuten a b esta fijada por la razoacuten Nf Nd y es la misma a traveacutes de toda la redNf y Nd deben seleccionarse de modo que a = b y a b = 1 Con lo que laecuacioacuten de gasto se transforma en
Reordenando q = k Dh ( Nf Nd ) (a b ) L
q = k Dh ( Nf Nd ) L
Aacute
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1) Hacer un dibujo a escala que muestre la masa de suelo los liacutemites permeables a
traveacutes de los cuales entra y sale el agua del suelo y las fronteras impermeables que
confinan o limitan el flujo
2) Dibujar de dos a cuatro liacuteneas de flujo que formen aacutengulos rectos con los liacutemitespermeables a la entrada y a la salida y que sean aproximadamente paralelas a losliacutemites impermeables
3) Dibujar liacuteneas equipotenciales que formen aacutengulos rectos con las liacuteneas de flujo demanera que el ancho y el largo promedio del cuadrado curviliacuteneo que forman seaniguales (a=b) Desde luego esto es imposible de lograr en el primer tanteo porquelas posiciones de las liacuteneas de flujo son supuestas pero esta primera red serviraacute deguiacutea para un segundo tanteo
4) Se reajustan las liacuteneas de flujo y las liacuteneas equipotenciales hasta que todas lasintersecciones sean en aacutengulo recto y el largo y ancho de cada cuadrado seaniguales Los tamantildeos de los cuadrados pueden ser distintos pero la relacioacuten ab = 1debe mantenerse
REGLAS PRAacuteCTICAS PARA ELABORAR REDES DE FLUJO
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El logro de una solucioacuten exacta requiere de muchos tanteos y
algunos problemas no admiten en su solucioacuten un nuacutemeroexacto de canales yo de caiacutedas equipotenciales en estos casosdebe intentarse con un nuacutemero de canales yo caiacutedasequipotenciales fraccionario (media caiacuteda o medio canal porejemplo)
Al lograr trazar la red de flujo de cuadrados curviliacuteneossatisfaciendo las condiciones de frontera del problema seobtendraacute la solucioacuten graacutefica de este problema para las
condiciones de frontera del problema se obtendraacute la solucioacutengraacutefica de este para las condiciones hidrodinaacutemicasestablecidas por la ecuacioacuten de Laplace
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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J g j
6 0
0 m
BA
I II III IV V VI VII
C
D
6 0
0 m
6 0
0 m
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
1) Altura piezometrica en A
2) Esfuerzo efectivo en B
3) Gradiente hidraacuteulico velocidades de descarga y de filtracioacuten
en C
4) Presiones hidraacuteulicas sobre el tablestacado5) Gradiente hidraacuteulico de salida y factor de seguridad contra la
arena movediza (licuefaccioacuten)
6) Factor de seguridad a la Tubificacioacuten
7) Presiones hidraacuteulicas sobre el fondo impermeable
8) Presioacuten de filtracioacuten en D
9) Caudal de Filtracioacuten bajo la presa sabiendo que L= 50 m
0m 3m 5m 10m
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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J g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
γconc= 235 Tm3
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
γconc= 235 Tm3
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg γsat= 218 Tm3 γconc= 235 Tm3
LINEA SUPERFICIAL DE FLUJO
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LINEA SUPERFICIAL DE FLUJO
En algunos casos un liacutemite de las liacuteneas de flujo puede ser una superficie de agualibre o superficie de saturacioacuten que no estaacute determinada por ninguna masa soacutelida
impermeable
Tal es el caso de las presas de tierra cuyo problema de flujo presenta caracteriacutesticasespeciales y por lo tanto se requiere del uso de meacutetodos tambieacuten especiales paralograr el trazado de la red de flujo
a
b
c
Equipotencial
Liacutenea de Flujo
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En la figura se presenta una presa de tierra de un material heterogeacuteneo eacute isoacutetropo La liacutenea 1-2 es una liacutenea equipotencial puesto que es el contacto entre el suelo permeable y el agua La liacutenea1-3 es un contacto entre la frontera impermeable y el material permeable por lo tanto es unaliacutenea de flujo Entre los puntos 2 y 4 existe una frontera del flujo donde por debajo de ella elsuelo estaacute saturado y por encima no lo estaacute Ahora bien esta liacutenea que limita la zona de flujodentro de la presa recibe el nombre de liacutenea superficial de flujo o liacutenea de saturacioacuten Suforma se desconoce a priori y tambieacuten la posicioacuten del punto 4 ambos deben ser determinados almenos aproximadamente para poder trazar la red de flujo
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La liacutenea de saturacioacuten ademaacutes de ser una liacutenea de flujo es tambieacuten una liacutenea de
equipresioacuten en la que todos los puntos tienen la misma presioacuten cero Por lo tantoel potencial hidraacuteulico depende de la carga de elevacioacuten uacutenicamente y las liacuteneasequipotenciales la cortaran a intervalos verticales iguales entre si
Condiciones Generales de Entrada
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Condiciones Generales de Entrada
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Condiciones Generales de Salida
Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
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Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
Caso 1 a2 lt 30deg En este caso es posible calcular la superficie humedecida a (distancia 4 - 3) pormedio de la siguiente expresioacuten
2
2
2
2
2
2
2coscos a a a sen
hd d a
d = L - M + O3M
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Luego de dibujar la presa de tierra a escala se sentildeala en ella la superficie humedecida aguas
abajo a calculada por la foacutermula anterior El siguiente paso consiste en el trazado de laliacutenea de saturacioacuten usando el meacutetodo graacutefico aproximado de la paraacutebola baacutesica de Kozenycuyo procedimiento se describe a continuacioacuten
1 Ubicar el punto 2 en la liacutenea freaacutetica a una distancia de 03M medida desde la cara deltalud aguas arriba La cara aguas abajo del talud es tangente a la paraacutebola en el punto 4
2 Prolongar la liacutenea en el talud aguas arriba de la presa Trazar una horizontal por el punto2 hasta cortar la cara del talud aguas abajo El punto de interseccioacuten es 5
3 Dividir 4 -5 Y 5 - 2 en el mismo nuacutemero de partes iguales no maacutes de 4 o 5 y marcarestos puntos (en 2- 5 se parte de 5 numerando con letras A -B etc en 4 - 5 se parte de 4numerando A-B-C etc)
4 Trazar por 4 - 5 liacuteneas horizontales en los puntos marcados
5 Unir cada uno de los puntos marcados en la horizontal 2- 5 con el punto 46 Trazar la liacutenea freaacutetica por los puntos obtenidos 7 Como la liacutenea freaacutetica parte perpendicular a la cara del talud aguas arriba este ajuste
debe realizarse manualmente
=gt M = htg ald =L - O7M
Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
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Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
Caso 2 a2 gt 30deg En este caso el procedimiento a seguir es
d d hP 22
1 La paraacutebola tiene su origen a una distancia P del veacutertice del talud aguas abajo de lapresa es decir este veacutertice es su foco y es tangente a la vertical que pasa por elpunto P
P se calcula por medio de la siguiente expresioacuten
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2 Trazar la paraacutebola baacutesica de Kozeny En este caso la tangente al origen es una liacuteneavertical
3 La distancia desde el punto 4 hasta la interseccioacuten de la paraacutebola con el talud aguasabajo es a + Da y no es realmente el punto por donde sale el agua en el talud porlo tanto se debe realizar una correccioacuten y encontrar a Casagrande encontroacute que larelacioacuten es un escalar que puede ser llamado a y que se relaciona
con el angulo a2 seguacuten se muestra en la siguiente tabla
a
a
D
D
a a2 ( deg ) aacute
30 0375
60 0320
90 0260
120 0185
150 0105
180 0
Los valores entre estos aacutengulos pueden interpolarse
y midiendo a + Da se calcula a usando la tablaDa = aacute ( a + Da ) y a = ( a + Da ) - Da
Finalmente se trazan manualmente la entraday la salida de la liacutenea de saturacioacuten
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EJERCICIO Determine la Linea Superficial de Flujo de la presa de tierra que se presentaa continuacioacuten
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a continuacioacuten
EJERCICIO Determine la Linea Superficial de Flujo de la presa de tierra que se presentaa continuacioacuten
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2
1
a continuacioacuten
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
g
La teoriacutea de la seccioacuten transformada permite reducir al caso de un suelo homogeacuteneo e isoacutetropo un suelo en el que la permeabilidad para el flujo en la direccioacuten horizontal ( kx) y la que tenga para el flujo en la direccioacuten vertical ( ky ) sean diferentes ( kx ne Ky )(por lo general Kx en muchas veces mayor que ky )
La teoriacutea de la seccioacuten transformada es un simple artificio de calculo que se logra por una simple transformacioacuten de coordenadas y que modifica sobre el papel las dimensiones de la zona de flujo en estudio en un suelo isotropico hidraacuteulicamente equivalente
Dos tipos de transformaciones se pueden aplicar a) Haciendo
Y Ky
Kx
Y acute
Se modifican las dimensiones verticales permaneciendo constantes las horizontales
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
g
b) Haciendo
X Kx
Ky X acute
Se modifican las dimensiones Horizontales permaneciendo constantes las Verticales
En la seccioacuten transformada homogeacutenea e isoacutetropa la permeabilidad equivalente viene dada por
kykxk
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
kykxk
X Kx
Ky X acute
2 0 0 0
0 0
kx
ky
k
2 8 2 0 0
0
h
141h
500000
b352463
071b
k
Y Ky
KxY acute
kykx 2
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LEVANTAMIENTO DE UN ESTRATO DE ARCILLA
Se tienen dos estratos de suelo diferente un suelo cohesivo que descansa sobre unmaterial muy permeable o suelo sin cohesioacuten Se necesita realizar una excavacioacutenen el estrato cohesivo para lo cual se debe determinar la profundidad a excavar yel espesor del estrato luego de realizada la excavacioacuten (tc) de tal manera queresulte seguro al levantamiento
Para realizar la excavacioacuten
se colocan dos tablestacas enel suelo y se procede luego aabatir el nivel del agua pormedio de bombeo tratando demantenerla seca
Por otra parte se desprecianlas fuerzas de friccioacuten que seoriginan cuando se hinca latablestaca
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LEVANTAMIENTO DE UN ESTRATO DE ARCILLA
Observemos que las fuerzas verticales actuantes son el peso del suelo y la presioacutende poros que tienden a levantar el fondo de la excavacioacuten puesto que el flujo es
ascendente El nivel piezomeacutetrico en la superficie del estrato sin cohesioacuten es mayorque el nivel piezomeacutetrico en el fondo de la excavacioacuten por lo que el agua tiende asubir pero como la permeabilidad del estrato de arcilla es tan baja esto resultamuy difiacutecil y se generan presiones en el fondo del rectaacutengulo
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El suelo estaacute saturado por tanto para calcular su peso se usa el peso unitario saturadoentonces
Peso del Suelo = tc sat
Haciendo equilibrio de fuerzas verticales
La presioacuten de poros es la suma de la presioacuten hidrostaacutetica y la de filtracioacuten
= Dh + Df = tc w + Dh w = ( tc + Dh ) w
sumFv = 0 Peso del Suelo - = 0
tc sat = ( tc + Dh ) w
tc sat = tc w + Dh w
tc ( sat - w ) = Dh w tc = Dh w = Df
( sat - w ) acute
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El espesor tc es el espesor criacutetico de la excavacioacuten es decir es el espesor miacutenimo
para el cual la excavacioacuten es segura
Por lo tanto
En espesores lt de tc se produce el levantamiento del fondo de la excavacioacuten
En espesores gt de tc la excavacioacuten es estable
Este fenoacutemeno puede darse tambieacuten parcialmente socavacioacuten
cuando se forman tuacuteneles o cavernas por arrastre de finos que generaninestabilidad y lo que puede ser maacutes grave el colapso del suelo
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EJERCICIOSe pretende realizar una excavacioacuten en un estrato de arcilla de 10 mts de espesor
que descansa sobre un estrato de arena Se pide
a) Calcular la profundidad maacutexima de excavacioacuten sin que se produzca
inestabilidad o levantamiento del fondob) iquestQueacute profundidad de agua libre debe bombearse a modo de poder llevar la
excavacioacuten hasta 8 mts de profundidad
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10m
1m
9m
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10m
1m
9m N
K
habat
N
K
Dh
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FLUJO EN MEDIOS POROSOS
El agua puede fluir a traveacutes de la masa de suelo en cualquier estado
en que este se encuentre aun y cuando el este muy compactado el
agua puede fluir a traveacutes de la masa de suelo ya que los poros estaacuten
interconectados entre si permitiendo el flujo de agua en ese medioporoso movieacutendose esta a lo largo de caminos ondulantes y rugosos
que existen entre un poro y otro lo cual genera peacuterdidas de energiacutea o
carga piezomeacutetrica originadas por la friccioacuten al igual que ocurre
cuando el flujo de agua es por tuberiacuteas o por canales abiertos
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Hasta ahora el estudio del flujo en medios porosos se ha limitado alcaso unidimensional (flujo ascendente y descendente) en el que losparaacutemetros del fluido tales como presioacuten velocidad temperaturaetc son constantes en cualquier seccioacuten transversal que seaperpendicular a la direccioacuten del flujo
En esta parte del tema se estudiaraacute el flujo del agua en tresdimensiones que es el caso maacutes general para lo cual se trabajaraacute conla ecuacioacuten fundamental de flujo Posteriormente se realizansimplificaciones debido a que el anaacutelisis tridimensional de los
problemas de filtracioacuten resulta muy complejo y se trabaja conmeacutetodos aproximados que permiten su resolucioacuten en dosdimensiones
Oacute
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ECUACIOacuteN FUNDAMENTAL DE FLUJO
HIPOTESIS
Dominio Saturado
La Presioacuten y la Velocidad son funcioacuten uacutenicamente de la posicioacuten
El esqueleto mineral del suelo es perfectamente riacutegido
z
y
x x y z
dz
dy
dx
Componente vertical del flujo
Base teoacuterica de la Red de Flujo y para otros
meacutetodos de resolucioacuten de problemas de filtracioacuten
Elemento cuacutebico de suelo a traveacutes del cual se
produce flujo laminar q con componenetes x y z
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z y x qqqq
dydxdz z
VzVzdzdxdy
y
VyVydzdydx
x
VxVxdydxVzdzdxVydzdyVx
Igualamos
dydxdz z
VzVzdzdxdy y
VyVydzdydx x
VxVxq
dydxVzdzdxVydzdyVxq
saliente
entrante
Por continuidad qentrante = qsaliente
Simplificamos y llegamos a la ecuacioacuten de Continuidad 0
z
Vz
y
Vy
x
Vx
Aplicamos Ley de Darcy (V = -ki = -k h L) 02
2
2
2
2
2
z
hkz
y
hky
x
hkx
Asumimos el suelo Isotroacutepico (kx = ky = kz) h z
h
y
h
x
h 2
2
2
2
2
2
2
0
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
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La ecuacioacuten de Laplace describe matemaacuteticamente el flujo de aguaen la regioacuten considerada
Expresa la suma de la variacioacuten de los gradientes hidraacuteulicos en lasdirecciones X Y y Z es Nula
h z
h
y
h
x
h 2
2
2
2
2
2
2
0
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
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SOLUCIOacuteN DE LA ECUACIOacuteN DE LAPLACE EN 2 DIMENSIONES
FUNCIOacuteN POTENCIAL DE LA VELOCIDAD =
( x y) = constante = -kh + c Es dependiente del potencial hidraacuteulico y su variacioacuten genera velocidad en
el agua
Derivando con respecto a X y a Y
x
hk
x
y
hk
y
x
hk Vx
y
hk Vy Entonces Vx
x
Vy
y
Resolvemos derivando con respecto a X y a Y y aplicamos la ecuacioacuten de Continuidad
2
2
2
2
2
0 y x
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satisface la ecuacioacuten de Laplace siendo la solucioacuten de la mismaen dos dimensiones
define para cada valor de esa constante una linea continua cuyospuntos tiene igual potencial hidraacuteulico h y son denominadasldquoLineas Equipotencialesrdquo
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
2
2
2
2
2
0 y x
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FUNCIOacuteN DE FLUJO =
( x y) = constante
Entonces
Resolvemos derivando con respecto a X y a Y y aplicamos la ecuacioacuten de Continuidad
0 D
D
y
y x
x
Dx
Dy
Vy
Vx
Por continuidad qentrante = qsaliente
0 DD yVx xVy yVy
Vx x DD Asumiendo Vx
x
Vy
y
2
2
2
2
2
0 y x
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cumple con la ecuacioacuten de Laplace por lo tanto es una solucioacuten ala misma en dos dimensiones
define para cada valor de la constante una linea continua querepresenta la trayectoria de agua Se denominan ldquoLineas de Flujordquo oacuteldquoLineas de Corrienterdquo
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
2
2
2
2
2
0 y x
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RELACIOacuteN ENTRE LAS LINEAS EQUIPOTENCIALES YLINEAS DE FLUJO O DE CORRIENTE
Considerando las derivadas totales a lo largo de cada una de las curvas
y
x
x
y
x
y
x
y
Pendientes Reciacuteprocas y de signo contario lo cual escondicioacuten de Ortogonalidad y son Ortogonales encada punto de interseccioacuten
REDES DE FLUJO
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REDES DE FLUJO
La red de flujo es la solucioacuten graacutefica la ecuacioacuten de Laplace en 2 dimensiones
Desafortunadamente la ecuacioacuten de Laplace es matemaacuteticamente integrable solo encondiciones de frontera muy simples por lo que en la praacutectica es necesario emplearotros meacutetodos diferentes de la integracioacuten para obtener la red de flujo Uno de esosmeacutetodos es el procedimiento graacutefico de Forcheimer que resulta ser muy simple deaplicar cualquiera sea el problema de flujo uniforme en dos dimensiones
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El espacio entre cualquier par de liacuteneas de flujo consecutivas es un canal de flujoen el trazado de la red se debe seleccionar un cierto nuacutemero de canales de flujo
Nf tal que el gasto de infiltracioacuten a traveacutes de cada canal sea el mismoDq = q Nf
La peacuterdida de carga entre cualquier par de liacuteneas equipotenciales consecutivas es lamisma e igual a Dh Donde Dhacute = Dh Nd (Dh es la peacuterdida de carga total y Nd elnuacutemero de caiacutedas de potencial)
El ancho del canal es a y la distancia entre las caiacutedas equipotenciales es b paracualquier elemento considerado
El gasto que circula por cualquier elemento es Dq = k i A
El gradiente hidraacuteulico del elemento es i = Dhacute b = ( Dh Nd ) bEntoces Dq = k ( ( Dh Nd ) b ) a L donde L es el ancho de la red en la tercera dimensioacuten
REDES DE FLUJO
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REDES DE FLUJO
Como Dq = q Nf entonces q = Dq Nf = k ( ( Dh Nd ) b ) a L Nf
La razoacuten a b esta fijada por la razoacuten Nf Nd y es la misma a traveacutes de toda la redNf y Nd deben seleccionarse de modo que a = b y a b = 1 Con lo que laecuacioacuten de gasto se transforma en
Reordenando q = k Dh ( Nf Nd ) (a b ) L
q = k Dh ( Nf Nd ) L
Aacute
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1) Hacer un dibujo a escala que muestre la masa de suelo los liacutemites permeables a
traveacutes de los cuales entra y sale el agua del suelo y las fronteras impermeables que
confinan o limitan el flujo
2) Dibujar de dos a cuatro liacuteneas de flujo que formen aacutengulos rectos con los liacutemitespermeables a la entrada y a la salida y que sean aproximadamente paralelas a losliacutemites impermeables
3) Dibujar liacuteneas equipotenciales que formen aacutengulos rectos con las liacuteneas de flujo demanera que el ancho y el largo promedio del cuadrado curviliacuteneo que forman seaniguales (a=b) Desde luego esto es imposible de lograr en el primer tanteo porquelas posiciones de las liacuteneas de flujo son supuestas pero esta primera red serviraacute deguiacutea para un segundo tanteo
4) Se reajustan las liacuteneas de flujo y las liacuteneas equipotenciales hasta que todas lasintersecciones sean en aacutengulo recto y el largo y ancho de cada cuadrado seaniguales Los tamantildeos de los cuadrados pueden ser distintos pero la relacioacuten ab = 1debe mantenerse
REGLAS PRAacuteCTICAS PARA ELABORAR REDES DE FLUJO
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El logro de una solucioacuten exacta requiere de muchos tanteos y
algunos problemas no admiten en su solucioacuten un nuacutemeroexacto de canales yo de caiacutedas equipotenciales en estos casosdebe intentarse con un nuacutemero de canales yo caiacutedasequipotenciales fraccionario (media caiacuteda o medio canal porejemplo)
Al lograr trazar la red de flujo de cuadrados curviliacuteneossatisfaciendo las condiciones de frontera del problema seobtendraacute la solucioacuten graacutefica de este problema para las
condiciones de frontera del problema se obtendraacute la solucioacutengraacutefica de este para las condiciones hidrodinaacutemicasestablecidas por la ecuacioacuten de Laplace
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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J g j
6 0
0 m
BA
I II III IV V VI VII
C
D
6 0
0 m
6 0
0 m
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
1) Altura piezometrica en A
2) Esfuerzo efectivo en B
3) Gradiente hidraacuteulico velocidades de descarga y de filtracioacuten
en C
4) Presiones hidraacuteulicas sobre el tablestacado5) Gradiente hidraacuteulico de salida y factor de seguridad contra la
arena movediza (licuefaccioacuten)
6) Factor de seguridad a la Tubificacioacuten
7) Presiones hidraacuteulicas sobre el fondo impermeable
8) Presioacuten de filtracioacuten en D
9) Caudal de Filtracioacuten bajo la presa sabiendo que L= 50 m
0m 3m 5m 10m
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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J g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
γconc= 235 Tm3
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
γconc= 235 Tm3
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg γsat= 218 Tm3 γconc= 235 Tm3
LINEA SUPERFICIAL DE FLUJO
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LINEA SUPERFICIAL DE FLUJO
En algunos casos un liacutemite de las liacuteneas de flujo puede ser una superficie de agualibre o superficie de saturacioacuten que no estaacute determinada por ninguna masa soacutelida
impermeable
Tal es el caso de las presas de tierra cuyo problema de flujo presenta caracteriacutesticasespeciales y por lo tanto se requiere del uso de meacutetodos tambieacuten especiales paralograr el trazado de la red de flujo
a
b
c
Equipotencial
Liacutenea de Flujo
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En la figura se presenta una presa de tierra de un material heterogeacuteneo eacute isoacutetropo La liacutenea 1-2 es una liacutenea equipotencial puesto que es el contacto entre el suelo permeable y el agua La liacutenea1-3 es un contacto entre la frontera impermeable y el material permeable por lo tanto es unaliacutenea de flujo Entre los puntos 2 y 4 existe una frontera del flujo donde por debajo de ella elsuelo estaacute saturado y por encima no lo estaacute Ahora bien esta liacutenea que limita la zona de flujodentro de la presa recibe el nombre de liacutenea superficial de flujo o liacutenea de saturacioacuten Suforma se desconoce a priori y tambieacuten la posicioacuten del punto 4 ambos deben ser determinados almenos aproximadamente para poder trazar la red de flujo
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La liacutenea de saturacioacuten ademaacutes de ser una liacutenea de flujo es tambieacuten una liacutenea de
equipresioacuten en la que todos los puntos tienen la misma presioacuten cero Por lo tantoel potencial hidraacuteulico depende de la carga de elevacioacuten uacutenicamente y las liacuteneasequipotenciales la cortaran a intervalos verticales iguales entre si
Condiciones Generales de Entrada
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Condiciones Generales de Entrada
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Condiciones Generales de Salida
Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
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Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
Caso 1 a2 lt 30deg En este caso es posible calcular la superficie humedecida a (distancia 4 - 3) pormedio de la siguiente expresioacuten
2
2
2
2
2
2
2coscos a a a sen
hd d a
d = L - M + O3M
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Luego de dibujar la presa de tierra a escala se sentildeala en ella la superficie humedecida aguas
abajo a calculada por la foacutermula anterior El siguiente paso consiste en el trazado de laliacutenea de saturacioacuten usando el meacutetodo graacutefico aproximado de la paraacutebola baacutesica de Kozenycuyo procedimiento se describe a continuacioacuten
1 Ubicar el punto 2 en la liacutenea freaacutetica a una distancia de 03M medida desde la cara deltalud aguas arriba La cara aguas abajo del talud es tangente a la paraacutebola en el punto 4
2 Prolongar la liacutenea en el talud aguas arriba de la presa Trazar una horizontal por el punto2 hasta cortar la cara del talud aguas abajo El punto de interseccioacuten es 5
3 Dividir 4 -5 Y 5 - 2 en el mismo nuacutemero de partes iguales no maacutes de 4 o 5 y marcarestos puntos (en 2- 5 se parte de 5 numerando con letras A -B etc en 4 - 5 se parte de 4numerando A-B-C etc)
4 Trazar por 4 - 5 liacuteneas horizontales en los puntos marcados
5 Unir cada uno de los puntos marcados en la horizontal 2- 5 con el punto 46 Trazar la liacutenea freaacutetica por los puntos obtenidos 7 Como la liacutenea freaacutetica parte perpendicular a la cara del talud aguas arriba este ajuste
debe realizarse manualmente
=gt M = htg ald =L - O7M
Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
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Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
Caso 2 a2 gt 30deg En este caso el procedimiento a seguir es
d d hP 22
1 La paraacutebola tiene su origen a una distancia P del veacutertice del talud aguas abajo de lapresa es decir este veacutertice es su foco y es tangente a la vertical que pasa por elpunto P
P se calcula por medio de la siguiente expresioacuten
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2 Trazar la paraacutebola baacutesica de Kozeny En este caso la tangente al origen es una liacuteneavertical
3 La distancia desde el punto 4 hasta la interseccioacuten de la paraacutebola con el talud aguasabajo es a + Da y no es realmente el punto por donde sale el agua en el talud porlo tanto se debe realizar una correccioacuten y encontrar a Casagrande encontroacute que larelacioacuten es un escalar que puede ser llamado a y que se relaciona
con el angulo a2 seguacuten se muestra en la siguiente tabla
a
a
D
D
a a2 ( deg ) aacute
30 0375
60 0320
90 0260
120 0185
150 0105
180 0
Los valores entre estos aacutengulos pueden interpolarse
y midiendo a + Da se calcula a usando la tablaDa = aacute ( a + Da ) y a = ( a + Da ) - Da
Finalmente se trazan manualmente la entraday la salida de la liacutenea de saturacioacuten
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a continuacioacuten
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2
1
a continuacioacuten
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
g
La teoriacutea de la seccioacuten transformada permite reducir al caso de un suelo homogeacuteneo e isoacutetropo un suelo en el que la permeabilidad para el flujo en la direccioacuten horizontal ( kx) y la que tenga para el flujo en la direccioacuten vertical ( ky ) sean diferentes ( kx ne Ky )(por lo general Kx en muchas veces mayor que ky )
La teoriacutea de la seccioacuten transformada es un simple artificio de calculo que se logra por una simple transformacioacuten de coordenadas y que modifica sobre el papel las dimensiones de la zona de flujo en estudio en un suelo isotropico hidraacuteulicamente equivalente
Dos tipos de transformaciones se pueden aplicar a) Haciendo
Y Ky
Kx
Y acute
Se modifican las dimensiones verticales permaneciendo constantes las horizontales
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
g
b) Haciendo
X Kx
Ky X acute
Se modifican las dimensiones Horizontales permaneciendo constantes las Verticales
En la seccioacuten transformada homogeacutenea e isoacutetropa la permeabilidad equivalente viene dada por
kykxk
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
kykxk
X Kx
Ky X acute
2 0 0 0
0 0
kx
ky
k
2 8 2 0 0
0
h
141h
500000
b352463
071b
k
Y Ky
KxY acute
kykx 2
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LEVANTAMIENTO DE UN ESTRATO DE ARCILLA
Observemos que las fuerzas verticales actuantes son el peso del suelo y la presioacutende poros que tienden a levantar el fondo de la excavacioacuten puesto que el flujo es
ascendente El nivel piezomeacutetrico en la superficie del estrato sin cohesioacuten es mayorque el nivel piezomeacutetrico en el fondo de la excavacioacuten por lo que el agua tiende asubir pero como la permeabilidad del estrato de arcilla es tan baja esto resultamuy difiacutecil y se generan presiones en el fondo del rectaacutengulo
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El suelo estaacute saturado por tanto para calcular su peso se usa el peso unitario saturadoentonces
Peso del Suelo = tc sat
Haciendo equilibrio de fuerzas verticales
La presioacuten de poros es la suma de la presioacuten hidrostaacutetica y la de filtracioacuten
= Dh + Df = tc w + Dh w = ( tc + Dh ) w
sumFv = 0 Peso del Suelo - = 0
tc sat = ( tc + Dh ) w
tc sat = tc w + Dh w
tc ( sat - w ) = Dh w tc = Dh w = Df
( sat - w ) acute
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El espesor tc es el espesor criacutetico de la excavacioacuten es decir es el espesor miacutenimo
para el cual la excavacioacuten es segura
Por lo tanto
En espesores lt de tc se produce el levantamiento del fondo de la excavacioacuten
En espesores gt de tc la excavacioacuten es estable
Este fenoacutemeno puede darse tambieacuten parcialmente socavacioacuten
cuando se forman tuacuteneles o cavernas por arrastre de finos que generaninestabilidad y lo que puede ser maacutes grave el colapso del suelo
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EJERCICIOSe pretende realizar una excavacioacuten en un estrato de arcilla de 10 mts de espesor
que descansa sobre un estrato de arena Se pide
a) Calcular la profundidad maacutexima de excavacioacuten sin que se produzca
inestabilidad o levantamiento del fondob) iquestQueacute profundidad de agua libre debe bombearse a modo de poder llevar la
excavacioacuten hasta 8 mts de profundidad
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10m
1m
9m
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10m
1m
9m N
K
habat
N
K
Dh
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FLUJO EN MEDIOS POROSOS
El agua puede fluir a traveacutes de la masa de suelo en cualquier estado
en que este se encuentre aun y cuando el este muy compactado el
agua puede fluir a traveacutes de la masa de suelo ya que los poros estaacuten
interconectados entre si permitiendo el flujo de agua en ese medioporoso movieacutendose esta a lo largo de caminos ondulantes y rugosos
que existen entre un poro y otro lo cual genera peacuterdidas de energiacutea o
carga piezomeacutetrica originadas por la friccioacuten al igual que ocurre
cuando el flujo de agua es por tuberiacuteas o por canales abiertos
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Hasta ahora el estudio del flujo en medios porosos se ha limitado alcaso unidimensional (flujo ascendente y descendente) en el que losparaacutemetros del fluido tales como presioacuten velocidad temperaturaetc son constantes en cualquier seccioacuten transversal que seaperpendicular a la direccioacuten del flujo
En esta parte del tema se estudiaraacute el flujo del agua en tresdimensiones que es el caso maacutes general para lo cual se trabajaraacute conla ecuacioacuten fundamental de flujo Posteriormente se realizansimplificaciones debido a que el anaacutelisis tridimensional de los
problemas de filtracioacuten resulta muy complejo y se trabaja conmeacutetodos aproximados que permiten su resolucioacuten en dosdimensiones
Oacute
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ECUACIOacuteN FUNDAMENTAL DE FLUJO
HIPOTESIS
Dominio Saturado
La Presioacuten y la Velocidad son funcioacuten uacutenicamente de la posicioacuten
El esqueleto mineral del suelo es perfectamente riacutegido
z
y
x x y z
dz
dy
dx
Componente vertical del flujo
Base teoacuterica de la Red de Flujo y para otros
meacutetodos de resolucioacuten de problemas de filtracioacuten
Elemento cuacutebico de suelo a traveacutes del cual se
produce flujo laminar q con componenetes x y z
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z y x qqqq
dydxdz z
VzVzdzdxdy
y
VyVydzdydx
x
VxVxdydxVzdzdxVydzdyVx
Igualamos
dydxdz z
VzVzdzdxdy y
VyVydzdydx x
VxVxq
dydxVzdzdxVydzdyVxq
saliente
entrante
Por continuidad qentrante = qsaliente
Simplificamos y llegamos a la ecuacioacuten de Continuidad 0
z
Vz
y
Vy
x
Vx
Aplicamos Ley de Darcy (V = -ki = -k h L) 02
2
2
2
2
2
z
hkz
y
hky
x
hkx
Asumimos el suelo Isotroacutepico (kx = ky = kz) h z
h
y
h
x
h 2
2
2
2
2
2
2
0
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
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La ecuacioacuten de Laplace describe matemaacuteticamente el flujo de aguaen la regioacuten considerada
Expresa la suma de la variacioacuten de los gradientes hidraacuteulicos en lasdirecciones X Y y Z es Nula
h z
h
y
h
x
h 2
2
2
2
2
2
2
0
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
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SOLUCIOacuteN DE LA ECUACIOacuteN DE LAPLACE EN 2 DIMENSIONES
FUNCIOacuteN POTENCIAL DE LA VELOCIDAD =
( x y) = constante = -kh + c Es dependiente del potencial hidraacuteulico y su variacioacuten genera velocidad en
el agua
Derivando con respecto a X y a Y
x
hk
x
y
hk
y
x
hk Vx
y
hk Vy Entonces Vx
x
Vy
y
Resolvemos derivando con respecto a X y a Y y aplicamos la ecuacioacuten de Continuidad
2
2
2
2
2
0 y x
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satisface la ecuacioacuten de Laplace siendo la solucioacuten de la mismaen dos dimensiones
define para cada valor de esa constante una linea continua cuyospuntos tiene igual potencial hidraacuteulico h y son denominadasldquoLineas Equipotencialesrdquo
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
2
2
2
2
2
0 y x
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FUNCIOacuteN DE FLUJO =
( x y) = constante
Entonces
Resolvemos derivando con respecto a X y a Y y aplicamos la ecuacioacuten de Continuidad
0 D
D
y
y x
x
Dx
Dy
Vy
Vx
Por continuidad qentrante = qsaliente
0 DD yVx xVy yVy
Vx x DD Asumiendo Vx
x
Vy
y
2
2
2
2
2
0 y x
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cumple con la ecuacioacuten de Laplace por lo tanto es una solucioacuten ala misma en dos dimensiones
define para cada valor de la constante una linea continua querepresenta la trayectoria de agua Se denominan ldquoLineas de Flujordquo oacuteldquoLineas de Corrienterdquo
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
2
2
2
2
2
0 y x
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RELACIOacuteN ENTRE LAS LINEAS EQUIPOTENCIALES YLINEAS DE FLUJO O DE CORRIENTE
Considerando las derivadas totales a lo largo de cada una de las curvas
y
x
x
y
x
y
x
y
Pendientes Reciacuteprocas y de signo contario lo cual escondicioacuten de Ortogonalidad y son Ortogonales encada punto de interseccioacuten
REDES DE FLUJO
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REDES DE FLUJO
La red de flujo es la solucioacuten graacutefica la ecuacioacuten de Laplace en 2 dimensiones
Desafortunadamente la ecuacioacuten de Laplace es matemaacuteticamente integrable solo encondiciones de frontera muy simples por lo que en la praacutectica es necesario emplearotros meacutetodos diferentes de la integracioacuten para obtener la red de flujo Uno de esosmeacutetodos es el procedimiento graacutefico de Forcheimer que resulta ser muy simple deaplicar cualquiera sea el problema de flujo uniforme en dos dimensiones
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El espacio entre cualquier par de liacuteneas de flujo consecutivas es un canal de flujoen el trazado de la red se debe seleccionar un cierto nuacutemero de canales de flujo
Nf tal que el gasto de infiltracioacuten a traveacutes de cada canal sea el mismoDq = q Nf
La peacuterdida de carga entre cualquier par de liacuteneas equipotenciales consecutivas es lamisma e igual a Dh Donde Dhacute = Dh Nd (Dh es la peacuterdida de carga total y Nd elnuacutemero de caiacutedas de potencial)
El ancho del canal es a y la distancia entre las caiacutedas equipotenciales es b paracualquier elemento considerado
El gasto que circula por cualquier elemento es Dq = k i A
El gradiente hidraacuteulico del elemento es i = Dhacute b = ( Dh Nd ) bEntoces Dq = k ( ( Dh Nd ) b ) a L donde L es el ancho de la red en la tercera dimensioacuten
REDES DE FLUJO
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REDES DE FLUJO
Como Dq = q Nf entonces q = Dq Nf = k ( ( Dh Nd ) b ) a L Nf
La razoacuten a b esta fijada por la razoacuten Nf Nd y es la misma a traveacutes de toda la redNf y Nd deben seleccionarse de modo que a = b y a b = 1 Con lo que laecuacioacuten de gasto se transforma en
Reordenando q = k Dh ( Nf Nd ) (a b ) L
q = k Dh ( Nf Nd ) L
Aacute
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1) Hacer un dibujo a escala que muestre la masa de suelo los liacutemites permeables a
traveacutes de los cuales entra y sale el agua del suelo y las fronteras impermeables que
confinan o limitan el flujo
2) Dibujar de dos a cuatro liacuteneas de flujo que formen aacutengulos rectos con los liacutemitespermeables a la entrada y a la salida y que sean aproximadamente paralelas a losliacutemites impermeables
3) Dibujar liacuteneas equipotenciales que formen aacutengulos rectos con las liacuteneas de flujo demanera que el ancho y el largo promedio del cuadrado curviliacuteneo que forman seaniguales (a=b) Desde luego esto es imposible de lograr en el primer tanteo porquelas posiciones de las liacuteneas de flujo son supuestas pero esta primera red serviraacute deguiacutea para un segundo tanteo
4) Se reajustan las liacuteneas de flujo y las liacuteneas equipotenciales hasta que todas lasintersecciones sean en aacutengulo recto y el largo y ancho de cada cuadrado seaniguales Los tamantildeos de los cuadrados pueden ser distintos pero la relacioacuten ab = 1debe mantenerse
REGLAS PRAacuteCTICAS PARA ELABORAR REDES DE FLUJO
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El logro de una solucioacuten exacta requiere de muchos tanteos y
algunos problemas no admiten en su solucioacuten un nuacutemeroexacto de canales yo de caiacutedas equipotenciales en estos casosdebe intentarse con un nuacutemero de canales yo caiacutedasequipotenciales fraccionario (media caiacuteda o medio canal porejemplo)
Al lograr trazar la red de flujo de cuadrados curviliacuteneossatisfaciendo las condiciones de frontera del problema seobtendraacute la solucioacuten graacutefica de este problema para las
condiciones de frontera del problema se obtendraacute la solucioacutengraacutefica de este para las condiciones hidrodinaacutemicasestablecidas por la ecuacioacuten de Laplace
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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J g j
6 0
0 m
BA
I II III IV V VI VII
C
D
6 0
0 m
6 0
0 m
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
1) Altura piezometrica en A
2) Esfuerzo efectivo en B
3) Gradiente hidraacuteulico velocidades de descarga y de filtracioacuten
en C
4) Presiones hidraacuteulicas sobre el tablestacado5) Gradiente hidraacuteulico de salida y factor de seguridad contra la
arena movediza (licuefaccioacuten)
6) Factor de seguridad a la Tubificacioacuten
7) Presiones hidraacuteulicas sobre el fondo impermeable
8) Presioacuten de filtracioacuten en D
9) Caudal de Filtracioacuten bajo la presa sabiendo que L= 50 m
0m 3m 5m 10m
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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J g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
γconc= 235 Tm3
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
γconc= 235 Tm3
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg γsat= 218 Tm3 γconc= 235 Tm3
LINEA SUPERFICIAL DE FLUJO
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LINEA SUPERFICIAL DE FLUJO
En algunos casos un liacutemite de las liacuteneas de flujo puede ser una superficie de agualibre o superficie de saturacioacuten que no estaacute determinada por ninguna masa soacutelida
impermeable
Tal es el caso de las presas de tierra cuyo problema de flujo presenta caracteriacutesticasespeciales y por lo tanto se requiere del uso de meacutetodos tambieacuten especiales paralograr el trazado de la red de flujo
a
b
c
Equipotencial
Liacutenea de Flujo
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En la figura se presenta una presa de tierra de un material heterogeacuteneo eacute isoacutetropo La liacutenea 1-2 es una liacutenea equipotencial puesto que es el contacto entre el suelo permeable y el agua La liacutenea1-3 es un contacto entre la frontera impermeable y el material permeable por lo tanto es unaliacutenea de flujo Entre los puntos 2 y 4 existe una frontera del flujo donde por debajo de ella elsuelo estaacute saturado y por encima no lo estaacute Ahora bien esta liacutenea que limita la zona de flujodentro de la presa recibe el nombre de liacutenea superficial de flujo o liacutenea de saturacioacuten Suforma se desconoce a priori y tambieacuten la posicioacuten del punto 4 ambos deben ser determinados almenos aproximadamente para poder trazar la red de flujo
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La liacutenea de saturacioacuten ademaacutes de ser una liacutenea de flujo es tambieacuten una liacutenea de
equipresioacuten en la que todos los puntos tienen la misma presioacuten cero Por lo tantoel potencial hidraacuteulico depende de la carga de elevacioacuten uacutenicamente y las liacuteneasequipotenciales la cortaran a intervalos verticales iguales entre si
Condiciones Generales de Entrada
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Condiciones Generales de Entrada
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Condiciones Generales de Salida
Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
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Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
Caso 1 a2 lt 30deg En este caso es posible calcular la superficie humedecida a (distancia 4 - 3) pormedio de la siguiente expresioacuten
2
2
2
2
2
2
2coscos a a a sen
hd d a
d = L - M + O3M
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Luego de dibujar la presa de tierra a escala se sentildeala en ella la superficie humedecida aguas
abajo a calculada por la foacutermula anterior El siguiente paso consiste en el trazado de laliacutenea de saturacioacuten usando el meacutetodo graacutefico aproximado de la paraacutebola baacutesica de Kozenycuyo procedimiento se describe a continuacioacuten
1 Ubicar el punto 2 en la liacutenea freaacutetica a una distancia de 03M medida desde la cara deltalud aguas arriba La cara aguas abajo del talud es tangente a la paraacutebola en el punto 4
2 Prolongar la liacutenea en el talud aguas arriba de la presa Trazar una horizontal por el punto2 hasta cortar la cara del talud aguas abajo El punto de interseccioacuten es 5
3 Dividir 4 -5 Y 5 - 2 en el mismo nuacutemero de partes iguales no maacutes de 4 o 5 y marcarestos puntos (en 2- 5 se parte de 5 numerando con letras A -B etc en 4 - 5 se parte de 4numerando A-B-C etc)
4 Trazar por 4 - 5 liacuteneas horizontales en los puntos marcados
5 Unir cada uno de los puntos marcados en la horizontal 2- 5 con el punto 46 Trazar la liacutenea freaacutetica por los puntos obtenidos 7 Como la liacutenea freaacutetica parte perpendicular a la cara del talud aguas arriba este ajuste
debe realizarse manualmente
=gt M = htg ald =L - O7M
Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
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Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
Caso 2 a2 gt 30deg En este caso el procedimiento a seguir es
d d hP 22
1 La paraacutebola tiene su origen a una distancia P del veacutertice del talud aguas abajo de lapresa es decir este veacutertice es su foco y es tangente a la vertical que pasa por elpunto P
P se calcula por medio de la siguiente expresioacuten
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2 Trazar la paraacutebola baacutesica de Kozeny En este caso la tangente al origen es una liacuteneavertical
3 La distancia desde el punto 4 hasta la interseccioacuten de la paraacutebola con el talud aguasabajo es a + Da y no es realmente el punto por donde sale el agua en el talud porlo tanto se debe realizar una correccioacuten y encontrar a Casagrande encontroacute que larelacioacuten es un escalar que puede ser llamado a y que se relaciona
con el angulo a2 seguacuten se muestra en la siguiente tabla
a
a
D
D
a a2 ( deg ) aacute
30 0375
60 0320
90 0260
120 0185
150 0105
180 0
Los valores entre estos aacutengulos pueden interpolarse
y midiendo a + Da se calcula a usando la tablaDa = aacute ( a + Da ) y a = ( a + Da ) - Da
Finalmente se trazan manualmente la entraday la salida de la liacutenea de saturacioacuten
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EJERCICIO Determine la Linea Superficial de Flujo de la presa de tierra que se presentaa continuacioacuten
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a continuacioacuten
EJERCICIO Determine la Linea Superficial de Flujo de la presa de tierra que se presentaa continuacioacuten
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2
1
a continuacioacuten
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
g
La teoriacutea de la seccioacuten transformada permite reducir al caso de un suelo homogeacuteneo e isoacutetropo un suelo en el que la permeabilidad para el flujo en la direccioacuten horizontal ( kx) y la que tenga para el flujo en la direccioacuten vertical ( ky ) sean diferentes ( kx ne Ky )(por lo general Kx en muchas veces mayor que ky )
La teoriacutea de la seccioacuten transformada es un simple artificio de calculo que se logra por una simple transformacioacuten de coordenadas y que modifica sobre el papel las dimensiones de la zona de flujo en estudio en un suelo isotropico hidraacuteulicamente equivalente
Dos tipos de transformaciones se pueden aplicar a) Haciendo
Y Ky
Kx
Y acute
Se modifican las dimensiones verticales permaneciendo constantes las horizontales
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
g
b) Haciendo
X Kx
Ky X acute
Se modifican las dimensiones Horizontales permaneciendo constantes las Verticales
En la seccioacuten transformada homogeacutenea e isoacutetropa la permeabilidad equivalente viene dada por
kykxk
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
kykxk
X Kx
Ky X acute
2 0 0 0
0 0
kx
ky
k
2 8 2 0 0
0
h
141h
500000
b352463
071b
k
Y Ky
KxY acute
kykx 2
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El suelo estaacute saturado por tanto para calcular su peso se usa el peso unitario saturadoentonces
Peso del Suelo = tc sat
Haciendo equilibrio de fuerzas verticales
La presioacuten de poros es la suma de la presioacuten hidrostaacutetica y la de filtracioacuten
= Dh + Df = tc w + Dh w = ( tc + Dh ) w
sumFv = 0 Peso del Suelo - = 0
tc sat = ( tc + Dh ) w
tc sat = tc w + Dh w
tc ( sat - w ) = Dh w tc = Dh w = Df
( sat - w ) acute
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El espesor tc es el espesor criacutetico de la excavacioacuten es decir es el espesor miacutenimo
para el cual la excavacioacuten es segura
Por lo tanto
En espesores lt de tc se produce el levantamiento del fondo de la excavacioacuten
En espesores gt de tc la excavacioacuten es estable
Este fenoacutemeno puede darse tambieacuten parcialmente socavacioacuten
cuando se forman tuacuteneles o cavernas por arrastre de finos que generaninestabilidad y lo que puede ser maacutes grave el colapso del suelo
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EJERCICIOSe pretende realizar una excavacioacuten en un estrato de arcilla de 10 mts de espesor
que descansa sobre un estrato de arena Se pide
a) Calcular la profundidad maacutexima de excavacioacuten sin que se produzca
inestabilidad o levantamiento del fondob) iquestQueacute profundidad de agua libre debe bombearse a modo de poder llevar la
excavacioacuten hasta 8 mts de profundidad
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10m
1m
9m
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10m
1m
9m N
K
habat
N
K
Dh
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FLUJO EN MEDIOS POROSOS
El agua puede fluir a traveacutes de la masa de suelo en cualquier estado
en que este se encuentre aun y cuando el este muy compactado el
agua puede fluir a traveacutes de la masa de suelo ya que los poros estaacuten
interconectados entre si permitiendo el flujo de agua en ese medioporoso movieacutendose esta a lo largo de caminos ondulantes y rugosos
que existen entre un poro y otro lo cual genera peacuterdidas de energiacutea o
carga piezomeacutetrica originadas por la friccioacuten al igual que ocurre
cuando el flujo de agua es por tuberiacuteas o por canales abiertos
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Hasta ahora el estudio del flujo en medios porosos se ha limitado alcaso unidimensional (flujo ascendente y descendente) en el que losparaacutemetros del fluido tales como presioacuten velocidad temperaturaetc son constantes en cualquier seccioacuten transversal que seaperpendicular a la direccioacuten del flujo
En esta parte del tema se estudiaraacute el flujo del agua en tresdimensiones que es el caso maacutes general para lo cual se trabajaraacute conla ecuacioacuten fundamental de flujo Posteriormente se realizansimplificaciones debido a que el anaacutelisis tridimensional de los
problemas de filtracioacuten resulta muy complejo y se trabaja conmeacutetodos aproximados que permiten su resolucioacuten en dosdimensiones
Oacute
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ECUACIOacuteN FUNDAMENTAL DE FLUJO
HIPOTESIS
Dominio Saturado
La Presioacuten y la Velocidad son funcioacuten uacutenicamente de la posicioacuten
El esqueleto mineral del suelo es perfectamente riacutegido
z
y
x x y z
dz
dy
dx
Componente vertical del flujo
Base teoacuterica de la Red de Flujo y para otros
meacutetodos de resolucioacuten de problemas de filtracioacuten
Elemento cuacutebico de suelo a traveacutes del cual se
produce flujo laminar q con componenetes x y z
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z y x qqqq
dydxdz z
VzVzdzdxdy
y
VyVydzdydx
x
VxVxdydxVzdzdxVydzdyVx
Igualamos
dydxdz z
VzVzdzdxdy y
VyVydzdydx x
VxVxq
dydxVzdzdxVydzdyVxq
saliente
entrante
Por continuidad qentrante = qsaliente
Simplificamos y llegamos a la ecuacioacuten de Continuidad 0
z
Vz
y
Vy
x
Vx
Aplicamos Ley de Darcy (V = -ki = -k h L) 02
2
2
2
2
2
z
hkz
y
hky
x
hkx
Asumimos el suelo Isotroacutepico (kx = ky = kz) h z
h
y
h
x
h 2
2
2
2
2
2
2
0
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
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La ecuacioacuten de Laplace describe matemaacuteticamente el flujo de aguaen la regioacuten considerada
Expresa la suma de la variacioacuten de los gradientes hidraacuteulicos en lasdirecciones X Y y Z es Nula
h z
h
y
h
x
h 2
2
2
2
2
2
2
0
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
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SOLUCIOacuteN DE LA ECUACIOacuteN DE LAPLACE EN 2 DIMENSIONES
FUNCIOacuteN POTENCIAL DE LA VELOCIDAD =
( x y) = constante = -kh + c Es dependiente del potencial hidraacuteulico y su variacioacuten genera velocidad en
el agua
Derivando con respecto a X y a Y
x
hk
x
y
hk
y
x
hk Vx
y
hk Vy Entonces Vx
x
Vy
y
Resolvemos derivando con respecto a X y a Y y aplicamos la ecuacioacuten de Continuidad
2
2
2
2
2
0 y x
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satisface la ecuacioacuten de Laplace siendo la solucioacuten de la mismaen dos dimensiones
define para cada valor de esa constante una linea continua cuyospuntos tiene igual potencial hidraacuteulico h y son denominadasldquoLineas Equipotencialesrdquo
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
2
2
2
2
2
0 y x
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FUNCIOacuteN DE FLUJO =
( x y) = constante
Entonces
Resolvemos derivando con respecto a X y a Y y aplicamos la ecuacioacuten de Continuidad
0 D
D
y
y x
x
Dx
Dy
Vy
Vx
Por continuidad qentrante = qsaliente
0 DD yVx xVy yVy
Vx x DD Asumiendo Vx
x
Vy
y
2
2
2
2
2
0 y x
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cumple con la ecuacioacuten de Laplace por lo tanto es una solucioacuten ala misma en dos dimensiones
define para cada valor de la constante una linea continua querepresenta la trayectoria de agua Se denominan ldquoLineas de Flujordquo oacuteldquoLineas de Corrienterdquo
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
2
2
2
2
2
0 y x
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RELACIOacuteN ENTRE LAS LINEAS EQUIPOTENCIALES YLINEAS DE FLUJO O DE CORRIENTE
Considerando las derivadas totales a lo largo de cada una de las curvas
y
x
x
y
x
y
x
y
Pendientes Reciacuteprocas y de signo contario lo cual escondicioacuten de Ortogonalidad y son Ortogonales encada punto de interseccioacuten
REDES DE FLUJO
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REDES DE FLUJO
La red de flujo es la solucioacuten graacutefica la ecuacioacuten de Laplace en 2 dimensiones
Desafortunadamente la ecuacioacuten de Laplace es matemaacuteticamente integrable solo encondiciones de frontera muy simples por lo que en la praacutectica es necesario emplearotros meacutetodos diferentes de la integracioacuten para obtener la red de flujo Uno de esosmeacutetodos es el procedimiento graacutefico de Forcheimer que resulta ser muy simple deaplicar cualquiera sea el problema de flujo uniforme en dos dimensiones
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El espacio entre cualquier par de liacuteneas de flujo consecutivas es un canal de flujoen el trazado de la red se debe seleccionar un cierto nuacutemero de canales de flujo
Nf tal que el gasto de infiltracioacuten a traveacutes de cada canal sea el mismoDq = q Nf
La peacuterdida de carga entre cualquier par de liacuteneas equipotenciales consecutivas es lamisma e igual a Dh Donde Dhacute = Dh Nd (Dh es la peacuterdida de carga total y Nd elnuacutemero de caiacutedas de potencial)
El ancho del canal es a y la distancia entre las caiacutedas equipotenciales es b paracualquier elemento considerado
El gasto que circula por cualquier elemento es Dq = k i A
El gradiente hidraacuteulico del elemento es i = Dhacute b = ( Dh Nd ) bEntoces Dq = k ( ( Dh Nd ) b ) a L donde L es el ancho de la red en la tercera dimensioacuten
REDES DE FLUJO
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REDES DE FLUJO
Como Dq = q Nf entonces q = Dq Nf = k ( ( Dh Nd ) b ) a L Nf
La razoacuten a b esta fijada por la razoacuten Nf Nd y es la misma a traveacutes de toda la redNf y Nd deben seleccionarse de modo que a = b y a b = 1 Con lo que laecuacioacuten de gasto se transforma en
Reordenando q = k Dh ( Nf Nd ) (a b ) L
q = k Dh ( Nf Nd ) L
Aacute
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1) Hacer un dibujo a escala que muestre la masa de suelo los liacutemites permeables a
traveacutes de los cuales entra y sale el agua del suelo y las fronteras impermeables que
confinan o limitan el flujo
2) Dibujar de dos a cuatro liacuteneas de flujo que formen aacutengulos rectos con los liacutemitespermeables a la entrada y a la salida y que sean aproximadamente paralelas a losliacutemites impermeables
3) Dibujar liacuteneas equipotenciales que formen aacutengulos rectos con las liacuteneas de flujo demanera que el ancho y el largo promedio del cuadrado curviliacuteneo que forman seaniguales (a=b) Desde luego esto es imposible de lograr en el primer tanteo porquelas posiciones de las liacuteneas de flujo son supuestas pero esta primera red serviraacute deguiacutea para un segundo tanteo
4) Se reajustan las liacuteneas de flujo y las liacuteneas equipotenciales hasta que todas lasintersecciones sean en aacutengulo recto y el largo y ancho de cada cuadrado seaniguales Los tamantildeos de los cuadrados pueden ser distintos pero la relacioacuten ab = 1debe mantenerse
REGLAS PRAacuteCTICAS PARA ELABORAR REDES DE FLUJO
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El logro de una solucioacuten exacta requiere de muchos tanteos y
algunos problemas no admiten en su solucioacuten un nuacutemeroexacto de canales yo de caiacutedas equipotenciales en estos casosdebe intentarse con un nuacutemero de canales yo caiacutedasequipotenciales fraccionario (media caiacuteda o medio canal porejemplo)
Al lograr trazar la red de flujo de cuadrados curviliacuteneossatisfaciendo las condiciones de frontera del problema seobtendraacute la solucioacuten graacutefica de este problema para las
condiciones de frontera del problema se obtendraacute la solucioacutengraacutefica de este para las condiciones hidrodinaacutemicasestablecidas por la ecuacioacuten de Laplace
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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J g j
6 0
0 m
BA
I II III IV V VI VII
C
D
6 0
0 m
6 0
0 m
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
1) Altura piezometrica en A
2) Esfuerzo efectivo en B
3) Gradiente hidraacuteulico velocidades de descarga y de filtracioacuten
en C
4) Presiones hidraacuteulicas sobre el tablestacado5) Gradiente hidraacuteulico de salida y factor de seguridad contra la
arena movediza (licuefaccioacuten)
6) Factor de seguridad a la Tubificacioacuten
7) Presiones hidraacuteulicas sobre el fondo impermeable
8) Presioacuten de filtracioacuten en D
9) Caudal de Filtracioacuten bajo la presa sabiendo que L= 50 m
0m 3m 5m 10m
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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J g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
γconc= 235 Tm3
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
γconc= 235 Tm3
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg γsat= 218 Tm3 γconc= 235 Tm3
LINEA SUPERFICIAL DE FLUJO
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LINEA SUPERFICIAL DE FLUJO
En algunos casos un liacutemite de las liacuteneas de flujo puede ser una superficie de agualibre o superficie de saturacioacuten que no estaacute determinada por ninguna masa soacutelida
impermeable
Tal es el caso de las presas de tierra cuyo problema de flujo presenta caracteriacutesticasespeciales y por lo tanto se requiere del uso de meacutetodos tambieacuten especiales paralograr el trazado de la red de flujo
a
b
c
Equipotencial
Liacutenea de Flujo
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En la figura se presenta una presa de tierra de un material heterogeacuteneo eacute isoacutetropo La liacutenea 1-2 es una liacutenea equipotencial puesto que es el contacto entre el suelo permeable y el agua La liacutenea1-3 es un contacto entre la frontera impermeable y el material permeable por lo tanto es unaliacutenea de flujo Entre los puntos 2 y 4 existe una frontera del flujo donde por debajo de ella elsuelo estaacute saturado y por encima no lo estaacute Ahora bien esta liacutenea que limita la zona de flujodentro de la presa recibe el nombre de liacutenea superficial de flujo o liacutenea de saturacioacuten Suforma se desconoce a priori y tambieacuten la posicioacuten del punto 4 ambos deben ser determinados almenos aproximadamente para poder trazar la red de flujo
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La liacutenea de saturacioacuten ademaacutes de ser una liacutenea de flujo es tambieacuten una liacutenea de
equipresioacuten en la que todos los puntos tienen la misma presioacuten cero Por lo tantoel potencial hidraacuteulico depende de la carga de elevacioacuten uacutenicamente y las liacuteneasequipotenciales la cortaran a intervalos verticales iguales entre si
Condiciones Generales de Entrada
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Condiciones Generales de Entrada
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Condiciones Generales de Salida
Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
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Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
Caso 1 a2 lt 30deg En este caso es posible calcular la superficie humedecida a (distancia 4 - 3) pormedio de la siguiente expresioacuten
2
2
2
2
2
2
2coscos a a a sen
hd d a
d = L - M + O3M
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Luego de dibujar la presa de tierra a escala se sentildeala en ella la superficie humedecida aguas
abajo a calculada por la foacutermula anterior El siguiente paso consiste en el trazado de laliacutenea de saturacioacuten usando el meacutetodo graacutefico aproximado de la paraacutebola baacutesica de Kozenycuyo procedimiento se describe a continuacioacuten
1 Ubicar el punto 2 en la liacutenea freaacutetica a una distancia de 03M medida desde la cara deltalud aguas arriba La cara aguas abajo del talud es tangente a la paraacutebola en el punto 4
2 Prolongar la liacutenea en el talud aguas arriba de la presa Trazar una horizontal por el punto2 hasta cortar la cara del talud aguas abajo El punto de interseccioacuten es 5
3 Dividir 4 -5 Y 5 - 2 en el mismo nuacutemero de partes iguales no maacutes de 4 o 5 y marcarestos puntos (en 2- 5 se parte de 5 numerando con letras A -B etc en 4 - 5 se parte de 4numerando A-B-C etc)
4 Trazar por 4 - 5 liacuteneas horizontales en los puntos marcados
5 Unir cada uno de los puntos marcados en la horizontal 2- 5 con el punto 46 Trazar la liacutenea freaacutetica por los puntos obtenidos 7 Como la liacutenea freaacutetica parte perpendicular a la cara del talud aguas arriba este ajuste
debe realizarse manualmente
=gt M = htg ald =L - O7M
Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
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Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
Caso 2 a2 gt 30deg En este caso el procedimiento a seguir es
d d hP 22
1 La paraacutebola tiene su origen a una distancia P del veacutertice del talud aguas abajo de lapresa es decir este veacutertice es su foco y es tangente a la vertical que pasa por elpunto P
P se calcula por medio de la siguiente expresioacuten
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2 Trazar la paraacutebola baacutesica de Kozeny En este caso la tangente al origen es una liacuteneavertical
3 La distancia desde el punto 4 hasta la interseccioacuten de la paraacutebola con el talud aguasabajo es a + Da y no es realmente el punto por donde sale el agua en el talud porlo tanto se debe realizar una correccioacuten y encontrar a Casagrande encontroacute que larelacioacuten es un escalar que puede ser llamado a y que se relaciona
con el angulo a2 seguacuten se muestra en la siguiente tabla
a
a
D
D
a a2 ( deg ) aacute
30 0375
60 0320
90 0260
120 0185
150 0105
180 0
Los valores entre estos aacutengulos pueden interpolarse
y midiendo a + Da se calcula a usando la tablaDa = aacute ( a + Da ) y a = ( a + Da ) - Da
Finalmente se trazan manualmente la entraday la salida de la liacutenea de saturacioacuten
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EJERCICIO Determine la Linea Superficial de Flujo de la presa de tierra que se presentaa continuacioacuten
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a continuacioacuten
EJERCICIO Determine la Linea Superficial de Flujo de la presa de tierra que se presentaa continuacioacuten
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2
1
a continuacioacuten
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
g
La teoriacutea de la seccioacuten transformada permite reducir al caso de un suelo homogeacuteneo e isoacutetropo un suelo en el que la permeabilidad para el flujo en la direccioacuten horizontal ( kx) y la que tenga para el flujo en la direccioacuten vertical ( ky ) sean diferentes ( kx ne Ky )(por lo general Kx en muchas veces mayor que ky )
La teoriacutea de la seccioacuten transformada es un simple artificio de calculo que se logra por una simple transformacioacuten de coordenadas y que modifica sobre el papel las dimensiones de la zona de flujo en estudio en un suelo isotropico hidraacuteulicamente equivalente
Dos tipos de transformaciones se pueden aplicar a) Haciendo
Y Ky
Kx
Y acute
Se modifican las dimensiones verticales permaneciendo constantes las horizontales
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
g
b) Haciendo
X Kx
Ky X acute
Se modifican las dimensiones Horizontales permaneciendo constantes las Verticales
En la seccioacuten transformada homogeacutenea e isoacutetropa la permeabilidad equivalente viene dada por
kykxk
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
kykxk
X Kx
Ky X acute
2 0 0 0
0 0
kx
ky
k
2 8 2 0 0
0
h
141h
500000
b352463
071b
k
Y Ky
KxY acute
kykx 2
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El espesor tc es el espesor criacutetico de la excavacioacuten es decir es el espesor miacutenimo
para el cual la excavacioacuten es segura
Por lo tanto
En espesores lt de tc se produce el levantamiento del fondo de la excavacioacuten
En espesores gt de tc la excavacioacuten es estable
Este fenoacutemeno puede darse tambieacuten parcialmente socavacioacuten
cuando se forman tuacuteneles o cavernas por arrastre de finos que generaninestabilidad y lo que puede ser maacutes grave el colapso del suelo
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EJERCICIOSe pretende realizar una excavacioacuten en un estrato de arcilla de 10 mts de espesor
que descansa sobre un estrato de arena Se pide
a) Calcular la profundidad maacutexima de excavacioacuten sin que se produzca
inestabilidad o levantamiento del fondob) iquestQueacute profundidad de agua libre debe bombearse a modo de poder llevar la
excavacioacuten hasta 8 mts de profundidad
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10m
1m
9m
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10m
1m
9m N
K
habat
N
K
Dh
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FLUJO EN MEDIOS POROSOS
El agua puede fluir a traveacutes de la masa de suelo en cualquier estado
en que este se encuentre aun y cuando el este muy compactado el
agua puede fluir a traveacutes de la masa de suelo ya que los poros estaacuten
interconectados entre si permitiendo el flujo de agua en ese medioporoso movieacutendose esta a lo largo de caminos ondulantes y rugosos
que existen entre un poro y otro lo cual genera peacuterdidas de energiacutea o
carga piezomeacutetrica originadas por la friccioacuten al igual que ocurre
cuando el flujo de agua es por tuberiacuteas o por canales abiertos
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Hasta ahora el estudio del flujo en medios porosos se ha limitado alcaso unidimensional (flujo ascendente y descendente) en el que losparaacutemetros del fluido tales como presioacuten velocidad temperaturaetc son constantes en cualquier seccioacuten transversal que seaperpendicular a la direccioacuten del flujo
En esta parte del tema se estudiaraacute el flujo del agua en tresdimensiones que es el caso maacutes general para lo cual se trabajaraacute conla ecuacioacuten fundamental de flujo Posteriormente se realizansimplificaciones debido a que el anaacutelisis tridimensional de los
problemas de filtracioacuten resulta muy complejo y se trabaja conmeacutetodos aproximados que permiten su resolucioacuten en dosdimensiones
Oacute
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ECUACIOacuteN FUNDAMENTAL DE FLUJO
HIPOTESIS
Dominio Saturado
La Presioacuten y la Velocidad son funcioacuten uacutenicamente de la posicioacuten
El esqueleto mineral del suelo es perfectamente riacutegido
z
y
x x y z
dz
dy
dx
Componente vertical del flujo
Base teoacuterica de la Red de Flujo y para otros
meacutetodos de resolucioacuten de problemas de filtracioacuten
Elemento cuacutebico de suelo a traveacutes del cual se
produce flujo laminar q con componenetes x y z
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z y x qqqq
dydxdz z
VzVzdzdxdy
y
VyVydzdydx
x
VxVxdydxVzdzdxVydzdyVx
Igualamos
dydxdz z
VzVzdzdxdy y
VyVydzdydx x
VxVxq
dydxVzdzdxVydzdyVxq
saliente
entrante
Por continuidad qentrante = qsaliente
Simplificamos y llegamos a la ecuacioacuten de Continuidad 0
z
Vz
y
Vy
x
Vx
Aplicamos Ley de Darcy (V = -ki = -k h L) 02
2
2
2
2
2
z
hkz
y
hky
x
hkx
Asumimos el suelo Isotroacutepico (kx = ky = kz) h z
h
y
h
x
h 2
2
2
2
2
2
2
0
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
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La ecuacioacuten de Laplace describe matemaacuteticamente el flujo de aguaen la regioacuten considerada
Expresa la suma de la variacioacuten de los gradientes hidraacuteulicos en lasdirecciones X Y y Z es Nula
h z
h
y
h
x
h 2
2
2
2
2
2
2
0
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
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SOLUCIOacuteN DE LA ECUACIOacuteN DE LAPLACE EN 2 DIMENSIONES
FUNCIOacuteN POTENCIAL DE LA VELOCIDAD =
( x y) = constante = -kh + c Es dependiente del potencial hidraacuteulico y su variacioacuten genera velocidad en
el agua
Derivando con respecto a X y a Y
x
hk
x
y
hk
y
x
hk Vx
y
hk Vy Entonces Vx
x
Vy
y
Resolvemos derivando con respecto a X y a Y y aplicamos la ecuacioacuten de Continuidad
2
2
2
2
2
0 y x
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satisface la ecuacioacuten de Laplace siendo la solucioacuten de la mismaen dos dimensiones
define para cada valor de esa constante una linea continua cuyospuntos tiene igual potencial hidraacuteulico h y son denominadasldquoLineas Equipotencialesrdquo
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
2
2
2
2
2
0 y x
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FUNCIOacuteN DE FLUJO =
( x y) = constante
Entonces
Resolvemos derivando con respecto a X y a Y y aplicamos la ecuacioacuten de Continuidad
0 D
D
y
y x
x
Dx
Dy
Vy
Vx
Por continuidad qentrante = qsaliente
0 DD yVx xVy yVy
Vx x DD Asumiendo Vx
x
Vy
y
2
2
2
2
2
0 y x
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cumple con la ecuacioacuten de Laplace por lo tanto es una solucioacuten ala misma en dos dimensiones
define para cada valor de la constante una linea continua querepresenta la trayectoria de agua Se denominan ldquoLineas de Flujordquo oacuteldquoLineas de Corrienterdquo
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
2
2
2
2
2
0 y x
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RELACIOacuteN ENTRE LAS LINEAS EQUIPOTENCIALES YLINEAS DE FLUJO O DE CORRIENTE
Considerando las derivadas totales a lo largo de cada una de las curvas
y
x
x
y
x
y
x
y
Pendientes Reciacuteprocas y de signo contario lo cual escondicioacuten de Ortogonalidad y son Ortogonales encada punto de interseccioacuten
REDES DE FLUJO
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REDES DE FLUJO
La red de flujo es la solucioacuten graacutefica la ecuacioacuten de Laplace en 2 dimensiones
Desafortunadamente la ecuacioacuten de Laplace es matemaacuteticamente integrable solo encondiciones de frontera muy simples por lo que en la praacutectica es necesario emplearotros meacutetodos diferentes de la integracioacuten para obtener la red de flujo Uno de esosmeacutetodos es el procedimiento graacutefico de Forcheimer que resulta ser muy simple deaplicar cualquiera sea el problema de flujo uniforme en dos dimensiones
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El espacio entre cualquier par de liacuteneas de flujo consecutivas es un canal de flujoen el trazado de la red se debe seleccionar un cierto nuacutemero de canales de flujo
Nf tal que el gasto de infiltracioacuten a traveacutes de cada canal sea el mismoDq = q Nf
La peacuterdida de carga entre cualquier par de liacuteneas equipotenciales consecutivas es lamisma e igual a Dh Donde Dhacute = Dh Nd (Dh es la peacuterdida de carga total y Nd elnuacutemero de caiacutedas de potencial)
El ancho del canal es a y la distancia entre las caiacutedas equipotenciales es b paracualquier elemento considerado
El gasto que circula por cualquier elemento es Dq = k i A
El gradiente hidraacuteulico del elemento es i = Dhacute b = ( Dh Nd ) bEntoces Dq = k ( ( Dh Nd ) b ) a L donde L es el ancho de la red en la tercera dimensioacuten
REDES DE FLUJO
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REDES DE FLUJO
Como Dq = q Nf entonces q = Dq Nf = k ( ( Dh Nd ) b ) a L Nf
La razoacuten a b esta fijada por la razoacuten Nf Nd y es la misma a traveacutes de toda la redNf y Nd deben seleccionarse de modo que a = b y a b = 1 Con lo que laecuacioacuten de gasto se transforma en
Reordenando q = k Dh ( Nf Nd ) (a b ) L
q = k Dh ( Nf Nd ) L
Aacute
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1) Hacer un dibujo a escala que muestre la masa de suelo los liacutemites permeables a
traveacutes de los cuales entra y sale el agua del suelo y las fronteras impermeables que
confinan o limitan el flujo
2) Dibujar de dos a cuatro liacuteneas de flujo que formen aacutengulos rectos con los liacutemitespermeables a la entrada y a la salida y que sean aproximadamente paralelas a losliacutemites impermeables
3) Dibujar liacuteneas equipotenciales que formen aacutengulos rectos con las liacuteneas de flujo demanera que el ancho y el largo promedio del cuadrado curviliacuteneo que forman seaniguales (a=b) Desde luego esto es imposible de lograr en el primer tanteo porquelas posiciones de las liacuteneas de flujo son supuestas pero esta primera red serviraacute deguiacutea para un segundo tanteo
4) Se reajustan las liacuteneas de flujo y las liacuteneas equipotenciales hasta que todas lasintersecciones sean en aacutengulo recto y el largo y ancho de cada cuadrado seaniguales Los tamantildeos de los cuadrados pueden ser distintos pero la relacioacuten ab = 1debe mantenerse
REGLAS PRAacuteCTICAS PARA ELABORAR REDES DE FLUJO
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El logro de una solucioacuten exacta requiere de muchos tanteos y
algunos problemas no admiten en su solucioacuten un nuacutemeroexacto de canales yo de caiacutedas equipotenciales en estos casosdebe intentarse con un nuacutemero de canales yo caiacutedasequipotenciales fraccionario (media caiacuteda o medio canal porejemplo)
Al lograr trazar la red de flujo de cuadrados curviliacuteneossatisfaciendo las condiciones de frontera del problema seobtendraacute la solucioacuten graacutefica de este problema para las
condiciones de frontera del problema se obtendraacute la solucioacutengraacutefica de este para las condiciones hidrodinaacutemicasestablecidas por la ecuacioacuten de Laplace
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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J g j
6 0
0 m
BA
I II III IV V VI VII
C
D
6 0
0 m
6 0
0 m
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
1) Altura piezometrica en A
2) Esfuerzo efectivo en B
3) Gradiente hidraacuteulico velocidades de descarga y de filtracioacuten
en C
4) Presiones hidraacuteulicas sobre el tablestacado5) Gradiente hidraacuteulico de salida y factor de seguridad contra la
arena movediza (licuefaccioacuten)
6) Factor de seguridad a la Tubificacioacuten
7) Presiones hidraacuteulicas sobre el fondo impermeable
8) Presioacuten de filtracioacuten en D
9) Caudal de Filtracioacuten bajo la presa sabiendo que L= 50 m
0m 3m 5m 10m
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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J g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
γconc= 235 Tm3
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
γconc= 235 Tm3
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg γsat= 218 Tm3 γconc= 235 Tm3
LINEA SUPERFICIAL DE FLUJO
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LINEA SUPERFICIAL DE FLUJO
En algunos casos un liacutemite de las liacuteneas de flujo puede ser una superficie de agualibre o superficie de saturacioacuten que no estaacute determinada por ninguna masa soacutelida
impermeable
Tal es el caso de las presas de tierra cuyo problema de flujo presenta caracteriacutesticasespeciales y por lo tanto se requiere del uso de meacutetodos tambieacuten especiales paralograr el trazado de la red de flujo
a
b
c
Equipotencial
Liacutenea de Flujo
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En la figura se presenta una presa de tierra de un material heterogeacuteneo eacute isoacutetropo La liacutenea 1-2 es una liacutenea equipotencial puesto que es el contacto entre el suelo permeable y el agua La liacutenea1-3 es un contacto entre la frontera impermeable y el material permeable por lo tanto es unaliacutenea de flujo Entre los puntos 2 y 4 existe una frontera del flujo donde por debajo de ella elsuelo estaacute saturado y por encima no lo estaacute Ahora bien esta liacutenea que limita la zona de flujodentro de la presa recibe el nombre de liacutenea superficial de flujo o liacutenea de saturacioacuten Suforma se desconoce a priori y tambieacuten la posicioacuten del punto 4 ambos deben ser determinados almenos aproximadamente para poder trazar la red de flujo
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La liacutenea de saturacioacuten ademaacutes de ser una liacutenea de flujo es tambieacuten una liacutenea de
equipresioacuten en la que todos los puntos tienen la misma presioacuten cero Por lo tantoel potencial hidraacuteulico depende de la carga de elevacioacuten uacutenicamente y las liacuteneasequipotenciales la cortaran a intervalos verticales iguales entre si
Condiciones Generales de Entrada
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Condiciones Generales de Entrada
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Condiciones Generales de Salida
Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
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Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
Caso 1 a2 lt 30deg En este caso es posible calcular la superficie humedecida a (distancia 4 - 3) pormedio de la siguiente expresioacuten
2
2
2
2
2
2
2coscos a a a sen
hd d a
d = L - M + O3M
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Luego de dibujar la presa de tierra a escala se sentildeala en ella la superficie humedecida aguas
abajo a calculada por la foacutermula anterior El siguiente paso consiste en el trazado de laliacutenea de saturacioacuten usando el meacutetodo graacutefico aproximado de la paraacutebola baacutesica de Kozenycuyo procedimiento se describe a continuacioacuten
1 Ubicar el punto 2 en la liacutenea freaacutetica a una distancia de 03M medida desde la cara deltalud aguas arriba La cara aguas abajo del talud es tangente a la paraacutebola en el punto 4
2 Prolongar la liacutenea en el talud aguas arriba de la presa Trazar una horizontal por el punto2 hasta cortar la cara del talud aguas abajo El punto de interseccioacuten es 5
3 Dividir 4 -5 Y 5 - 2 en el mismo nuacutemero de partes iguales no maacutes de 4 o 5 y marcarestos puntos (en 2- 5 se parte de 5 numerando con letras A -B etc en 4 - 5 se parte de 4numerando A-B-C etc)
4 Trazar por 4 - 5 liacuteneas horizontales en los puntos marcados
5 Unir cada uno de los puntos marcados en la horizontal 2- 5 con el punto 46 Trazar la liacutenea freaacutetica por los puntos obtenidos 7 Como la liacutenea freaacutetica parte perpendicular a la cara del talud aguas arriba este ajuste
debe realizarse manualmente
=gt M = htg ald =L - O7M
Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
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Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
Caso 2 a2 gt 30deg En este caso el procedimiento a seguir es
d d hP 22
1 La paraacutebola tiene su origen a una distancia P del veacutertice del talud aguas abajo de lapresa es decir este veacutertice es su foco y es tangente a la vertical que pasa por elpunto P
P se calcula por medio de la siguiente expresioacuten
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2 Trazar la paraacutebola baacutesica de Kozeny En este caso la tangente al origen es una liacuteneavertical
3 La distancia desde el punto 4 hasta la interseccioacuten de la paraacutebola con el talud aguasabajo es a + Da y no es realmente el punto por donde sale el agua en el talud porlo tanto se debe realizar una correccioacuten y encontrar a Casagrande encontroacute que larelacioacuten es un escalar que puede ser llamado a y que se relaciona
con el angulo a2 seguacuten se muestra en la siguiente tabla
a
a
D
D
a a2 ( deg ) aacute
30 0375
60 0320
90 0260
120 0185
150 0105
180 0
Los valores entre estos aacutengulos pueden interpolarse
y midiendo a + Da se calcula a usando la tablaDa = aacute ( a + Da ) y a = ( a + Da ) - Da
Finalmente se trazan manualmente la entraday la salida de la liacutenea de saturacioacuten
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EJERCICIO Determine la Linea Superficial de Flujo de la presa de tierra que se presentaa continuacioacuten
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a continuacioacuten
EJERCICIO Determine la Linea Superficial de Flujo de la presa de tierra que se presentaa continuacioacuten
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2
1
a continuacioacuten
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
g
La teoriacutea de la seccioacuten transformada permite reducir al caso de un suelo homogeacuteneo e isoacutetropo un suelo en el que la permeabilidad para el flujo en la direccioacuten horizontal ( kx) y la que tenga para el flujo en la direccioacuten vertical ( ky ) sean diferentes ( kx ne Ky )(por lo general Kx en muchas veces mayor que ky )
La teoriacutea de la seccioacuten transformada es un simple artificio de calculo que se logra por una simple transformacioacuten de coordenadas y que modifica sobre el papel las dimensiones de la zona de flujo en estudio en un suelo isotropico hidraacuteulicamente equivalente
Dos tipos de transformaciones se pueden aplicar a) Haciendo
Y Ky
Kx
Y acute
Se modifican las dimensiones verticales permaneciendo constantes las horizontales
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
g
b) Haciendo
X Kx
Ky X acute
Se modifican las dimensiones Horizontales permaneciendo constantes las Verticales
En la seccioacuten transformada homogeacutenea e isoacutetropa la permeabilidad equivalente viene dada por
kykxk
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
kykxk
X Kx
Ky X acute
2 0 0 0
0 0
kx
ky
k
2 8 2 0 0
0
h
141h
500000
b352463
071b
k
Y Ky
KxY acute
kykx 2
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EJERCICIOSe pretende realizar una excavacioacuten en un estrato de arcilla de 10 mts de espesor
que descansa sobre un estrato de arena Se pide
a) Calcular la profundidad maacutexima de excavacioacuten sin que se produzca
inestabilidad o levantamiento del fondob) iquestQueacute profundidad de agua libre debe bombearse a modo de poder llevar la
excavacioacuten hasta 8 mts de profundidad
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10m
1m
9m
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10m
1m
9m N
K
habat
N
K
Dh
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FLUJO EN MEDIOS POROSOS
El agua puede fluir a traveacutes de la masa de suelo en cualquier estado
en que este se encuentre aun y cuando el este muy compactado el
agua puede fluir a traveacutes de la masa de suelo ya que los poros estaacuten
interconectados entre si permitiendo el flujo de agua en ese medioporoso movieacutendose esta a lo largo de caminos ondulantes y rugosos
que existen entre un poro y otro lo cual genera peacuterdidas de energiacutea o
carga piezomeacutetrica originadas por la friccioacuten al igual que ocurre
cuando el flujo de agua es por tuberiacuteas o por canales abiertos
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Hasta ahora el estudio del flujo en medios porosos se ha limitado alcaso unidimensional (flujo ascendente y descendente) en el que losparaacutemetros del fluido tales como presioacuten velocidad temperaturaetc son constantes en cualquier seccioacuten transversal que seaperpendicular a la direccioacuten del flujo
En esta parte del tema se estudiaraacute el flujo del agua en tresdimensiones que es el caso maacutes general para lo cual se trabajaraacute conla ecuacioacuten fundamental de flujo Posteriormente se realizansimplificaciones debido a que el anaacutelisis tridimensional de los
problemas de filtracioacuten resulta muy complejo y se trabaja conmeacutetodos aproximados que permiten su resolucioacuten en dosdimensiones
Oacute
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ECUACIOacuteN FUNDAMENTAL DE FLUJO
HIPOTESIS
Dominio Saturado
La Presioacuten y la Velocidad son funcioacuten uacutenicamente de la posicioacuten
El esqueleto mineral del suelo es perfectamente riacutegido
z
y
x x y z
dz
dy
dx
Componente vertical del flujo
Base teoacuterica de la Red de Flujo y para otros
meacutetodos de resolucioacuten de problemas de filtracioacuten
Elemento cuacutebico de suelo a traveacutes del cual se
produce flujo laminar q con componenetes x y z
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z y x qqqq
dydxdz z
VzVzdzdxdy
y
VyVydzdydx
x
VxVxdydxVzdzdxVydzdyVx
Igualamos
dydxdz z
VzVzdzdxdy y
VyVydzdydx x
VxVxq
dydxVzdzdxVydzdyVxq
saliente
entrante
Por continuidad qentrante = qsaliente
Simplificamos y llegamos a la ecuacioacuten de Continuidad 0
z
Vz
y
Vy
x
Vx
Aplicamos Ley de Darcy (V = -ki = -k h L) 02
2
2
2
2
2
z
hkz
y
hky
x
hkx
Asumimos el suelo Isotroacutepico (kx = ky = kz) h z
h
y
h
x
h 2
2
2
2
2
2
2
0
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
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La ecuacioacuten de Laplace describe matemaacuteticamente el flujo de aguaen la regioacuten considerada
Expresa la suma de la variacioacuten de los gradientes hidraacuteulicos en lasdirecciones X Y y Z es Nula
h z
h
y
h
x
h 2
2
2
2
2
2
2
0
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
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SOLUCIOacuteN DE LA ECUACIOacuteN DE LAPLACE EN 2 DIMENSIONES
FUNCIOacuteN POTENCIAL DE LA VELOCIDAD =
( x y) = constante = -kh + c Es dependiente del potencial hidraacuteulico y su variacioacuten genera velocidad en
el agua
Derivando con respecto a X y a Y
x
hk
x
y
hk
y
x
hk Vx
y
hk Vy Entonces Vx
x
Vy
y
Resolvemos derivando con respecto a X y a Y y aplicamos la ecuacioacuten de Continuidad
2
2
2
2
2
0 y x
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satisface la ecuacioacuten de Laplace siendo la solucioacuten de la mismaen dos dimensiones
define para cada valor de esa constante una linea continua cuyospuntos tiene igual potencial hidraacuteulico h y son denominadasldquoLineas Equipotencialesrdquo
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
2
2
2
2
2
0 y x
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FUNCIOacuteN DE FLUJO =
( x y) = constante
Entonces
Resolvemos derivando con respecto a X y a Y y aplicamos la ecuacioacuten de Continuidad
0 D
D
y
y x
x
Dx
Dy
Vy
Vx
Por continuidad qentrante = qsaliente
0 DD yVx xVy yVy
Vx x DD Asumiendo Vx
x
Vy
y
2
2
2
2
2
0 y x
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cumple con la ecuacioacuten de Laplace por lo tanto es una solucioacuten ala misma en dos dimensiones
define para cada valor de la constante una linea continua querepresenta la trayectoria de agua Se denominan ldquoLineas de Flujordquo oacuteldquoLineas de Corrienterdquo
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
2
2
2
2
2
0 y x
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RELACIOacuteN ENTRE LAS LINEAS EQUIPOTENCIALES YLINEAS DE FLUJO O DE CORRIENTE
Considerando las derivadas totales a lo largo de cada una de las curvas
y
x
x
y
x
y
x
y
Pendientes Reciacuteprocas y de signo contario lo cual escondicioacuten de Ortogonalidad y son Ortogonales encada punto de interseccioacuten
REDES DE FLUJO
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REDES DE FLUJO
La red de flujo es la solucioacuten graacutefica la ecuacioacuten de Laplace en 2 dimensiones
Desafortunadamente la ecuacioacuten de Laplace es matemaacuteticamente integrable solo encondiciones de frontera muy simples por lo que en la praacutectica es necesario emplearotros meacutetodos diferentes de la integracioacuten para obtener la red de flujo Uno de esosmeacutetodos es el procedimiento graacutefico de Forcheimer que resulta ser muy simple deaplicar cualquiera sea el problema de flujo uniforme en dos dimensiones
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El espacio entre cualquier par de liacuteneas de flujo consecutivas es un canal de flujoen el trazado de la red se debe seleccionar un cierto nuacutemero de canales de flujo
Nf tal que el gasto de infiltracioacuten a traveacutes de cada canal sea el mismoDq = q Nf
La peacuterdida de carga entre cualquier par de liacuteneas equipotenciales consecutivas es lamisma e igual a Dh Donde Dhacute = Dh Nd (Dh es la peacuterdida de carga total y Nd elnuacutemero de caiacutedas de potencial)
El ancho del canal es a y la distancia entre las caiacutedas equipotenciales es b paracualquier elemento considerado
El gasto que circula por cualquier elemento es Dq = k i A
El gradiente hidraacuteulico del elemento es i = Dhacute b = ( Dh Nd ) bEntoces Dq = k ( ( Dh Nd ) b ) a L donde L es el ancho de la red en la tercera dimensioacuten
REDES DE FLUJO
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REDES DE FLUJO
Como Dq = q Nf entonces q = Dq Nf = k ( ( Dh Nd ) b ) a L Nf
La razoacuten a b esta fijada por la razoacuten Nf Nd y es la misma a traveacutes de toda la redNf y Nd deben seleccionarse de modo que a = b y a b = 1 Con lo que laecuacioacuten de gasto se transforma en
Reordenando q = k Dh ( Nf Nd ) (a b ) L
q = k Dh ( Nf Nd ) L
Aacute
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1) Hacer un dibujo a escala que muestre la masa de suelo los liacutemites permeables a
traveacutes de los cuales entra y sale el agua del suelo y las fronteras impermeables que
confinan o limitan el flujo
2) Dibujar de dos a cuatro liacuteneas de flujo que formen aacutengulos rectos con los liacutemitespermeables a la entrada y a la salida y que sean aproximadamente paralelas a losliacutemites impermeables
3) Dibujar liacuteneas equipotenciales que formen aacutengulos rectos con las liacuteneas de flujo demanera que el ancho y el largo promedio del cuadrado curviliacuteneo que forman seaniguales (a=b) Desde luego esto es imposible de lograr en el primer tanteo porquelas posiciones de las liacuteneas de flujo son supuestas pero esta primera red serviraacute deguiacutea para un segundo tanteo
4) Se reajustan las liacuteneas de flujo y las liacuteneas equipotenciales hasta que todas lasintersecciones sean en aacutengulo recto y el largo y ancho de cada cuadrado seaniguales Los tamantildeos de los cuadrados pueden ser distintos pero la relacioacuten ab = 1debe mantenerse
REGLAS PRAacuteCTICAS PARA ELABORAR REDES DE FLUJO
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El logro de una solucioacuten exacta requiere de muchos tanteos y
algunos problemas no admiten en su solucioacuten un nuacutemeroexacto de canales yo de caiacutedas equipotenciales en estos casosdebe intentarse con un nuacutemero de canales yo caiacutedasequipotenciales fraccionario (media caiacuteda o medio canal porejemplo)
Al lograr trazar la red de flujo de cuadrados curviliacuteneossatisfaciendo las condiciones de frontera del problema seobtendraacute la solucioacuten graacutefica de este problema para las
condiciones de frontera del problema se obtendraacute la solucioacutengraacutefica de este para las condiciones hidrodinaacutemicasestablecidas por la ecuacioacuten de Laplace
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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J g j
6 0
0 m
BA
I II III IV V VI VII
C
D
6 0
0 m
6 0
0 m
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
1) Altura piezometrica en A
2) Esfuerzo efectivo en B
3) Gradiente hidraacuteulico velocidades de descarga y de filtracioacuten
en C
4) Presiones hidraacuteulicas sobre el tablestacado5) Gradiente hidraacuteulico de salida y factor de seguridad contra la
arena movediza (licuefaccioacuten)
6) Factor de seguridad a la Tubificacioacuten
7) Presiones hidraacuteulicas sobre el fondo impermeable
8) Presioacuten de filtracioacuten en D
9) Caudal de Filtracioacuten bajo la presa sabiendo que L= 50 m
0m 3m 5m 10m
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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J g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
γconc= 235 Tm3
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
γconc= 235 Tm3
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg γsat= 218 Tm3 γconc= 235 Tm3
LINEA SUPERFICIAL DE FLUJO
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LINEA SUPERFICIAL DE FLUJO
En algunos casos un liacutemite de las liacuteneas de flujo puede ser una superficie de agualibre o superficie de saturacioacuten que no estaacute determinada por ninguna masa soacutelida
impermeable
Tal es el caso de las presas de tierra cuyo problema de flujo presenta caracteriacutesticasespeciales y por lo tanto se requiere del uso de meacutetodos tambieacuten especiales paralograr el trazado de la red de flujo
a
b
c
Equipotencial
Liacutenea de Flujo
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En la figura se presenta una presa de tierra de un material heterogeacuteneo eacute isoacutetropo La liacutenea 1-2 es una liacutenea equipotencial puesto que es el contacto entre el suelo permeable y el agua La liacutenea1-3 es un contacto entre la frontera impermeable y el material permeable por lo tanto es unaliacutenea de flujo Entre los puntos 2 y 4 existe una frontera del flujo donde por debajo de ella elsuelo estaacute saturado y por encima no lo estaacute Ahora bien esta liacutenea que limita la zona de flujodentro de la presa recibe el nombre de liacutenea superficial de flujo o liacutenea de saturacioacuten Suforma se desconoce a priori y tambieacuten la posicioacuten del punto 4 ambos deben ser determinados almenos aproximadamente para poder trazar la red de flujo
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La liacutenea de saturacioacuten ademaacutes de ser una liacutenea de flujo es tambieacuten una liacutenea de
equipresioacuten en la que todos los puntos tienen la misma presioacuten cero Por lo tantoel potencial hidraacuteulico depende de la carga de elevacioacuten uacutenicamente y las liacuteneasequipotenciales la cortaran a intervalos verticales iguales entre si
Condiciones Generales de Entrada
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Condiciones Generales de Entrada
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Condiciones Generales de Salida
Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
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Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
Caso 1 a2 lt 30deg En este caso es posible calcular la superficie humedecida a (distancia 4 - 3) pormedio de la siguiente expresioacuten
2
2
2
2
2
2
2coscos a a a sen
hd d a
d = L - M + O3M
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Luego de dibujar la presa de tierra a escala se sentildeala en ella la superficie humedecida aguas
abajo a calculada por la foacutermula anterior El siguiente paso consiste en el trazado de laliacutenea de saturacioacuten usando el meacutetodo graacutefico aproximado de la paraacutebola baacutesica de Kozenycuyo procedimiento se describe a continuacioacuten
1 Ubicar el punto 2 en la liacutenea freaacutetica a una distancia de 03M medida desde la cara deltalud aguas arriba La cara aguas abajo del talud es tangente a la paraacutebola en el punto 4
2 Prolongar la liacutenea en el talud aguas arriba de la presa Trazar una horizontal por el punto2 hasta cortar la cara del talud aguas abajo El punto de interseccioacuten es 5
3 Dividir 4 -5 Y 5 - 2 en el mismo nuacutemero de partes iguales no maacutes de 4 o 5 y marcarestos puntos (en 2- 5 se parte de 5 numerando con letras A -B etc en 4 - 5 se parte de 4numerando A-B-C etc)
4 Trazar por 4 - 5 liacuteneas horizontales en los puntos marcados
5 Unir cada uno de los puntos marcados en la horizontal 2- 5 con el punto 46 Trazar la liacutenea freaacutetica por los puntos obtenidos 7 Como la liacutenea freaacutetica parte perpendicular a la cara del talud aguas arriba este ajuste
debe realizarse manualmente
=gt M = htg ald =L - O7M
Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
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Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
Caso 2 a2 gt 30deg En este caso el procedimiento a seguir es
d d hP 22
1 La paraacutebola tiene su origen a una distancia P del veacutertice del talud aguas abajo de lapresa es decir este veacutertice es su foco y es tangente a la vertical que pasa por elpunto P
P se calcula por medio de la siguiente expresioacuten
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2 Trazar la paraacutebola baacutesica de Kozeny En este caso la tangente al origen es una liacuteneavertical
3 La distancia desde el punto 4 hasta la interseccioacuten de la paraacutebola con el talud aguasabajo es a + Da y no es realmente el punto por donde sale el agua en el talud porlo tanto se debe realizar una correccioacuten y encontrar a Casagrande encontroacute que larelacioacuten es un escalar que puede ser llamado a y que se relaciona
con el angulo a2 seguacuten se muestra en la siguiente tabla
a
a
D
D
a a2 ( deg ) aacute
30 0375
60 0320
90 0260
120 0185
150 0105
180 0
Los valores entre estos aacutengulos pueden interpolarse
y midiendo a + Da se calcula a usando la tablaDa = aacute ( a + Da ) y a = ( a + Da ) - Da
Finalmente se trazan manualmente la entraday la salida de la liacutenea de saturacioacuten
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EJERCICIO Determine la Linea Superficial de Flujo de la presa de tierra que se presentaa continuacioacuten
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a continuacioacuten
EJERCICIO Determine la Linea Superficial de Flujo de la presa de tierra que se presentaa continuacioacuten
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2
1
a continuacioacuten
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
g
La teoriacutea de la seccioacuten transformada permite reducir al caso de un suelo homogeacuteneo e isoacutetropo un suelo en el que la permeabilidad para el flujo en la direccioacuten horizontal ( kx) y la que tenga para el flujo en la direccioacuten vertical ( ky ) sean diferentes ( kx ne Ky )(por lo general Kx en muchas veces mayor que ky )
La teoriacutea de la seccioacuten transformada es un simple artificio de calculo que se logra por una simple transformacioacuten de coordenadas y que modifica sobre el papel las dimensiones de la zona de flujo en estudio en un suelo isotropico hidraacuteulicamente equivalente
Dos tipos de transformaciones se pueden aplicar a) Haciendo
Y Ky
Kx
Y acute
Se modifican las dimensiones verticales permaneciendo constantes las horizontales
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
g
b) Haciendo
X Kx
Ky X acute
Se modifican las dimensiones Horizontales permaneciendo constantes las Verticales
En la seccioacuten transformada homogeacutenea e isoacutetropa la permeabilidad equivalente viene dada por
kykxk
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
kykxk
X Kx
Ky X acute
2 0 0 0
0 0
kx
ky
k
2 8 2 0 0
0
h
141h
500000
b352463
071b
k
Y Ky
KxY acute
kykx 2
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10m
1m
9m
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10m
1m
9m N
K
habat
N
K
Dh
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FLUJO EN MEDIOS POROSOS
El agua puede fluir a traveacutes de la masa de suelo en cualquier estado
en que este se encuentre aun y cuando el este muy compactado el
agua puede fluir a traveacutes de la masa de suelo ya que los poros estaacuten
interconectados entre si permitiendo el flujo de agua en ese medioporoso movieacutendose esta a lo largo de caminos ondulantes y rugosos
que existen entre un poro y otro lo cual genera peacuterdidas de energiacutea o
carga piezomeacutetrica originadas por la friccioacuten al igual que ocurre
cuando el flujo de agua es por tuberiacuteas o por canales abiertos
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Hasta ahora el estudio del flujo en medios porosos se ha limitado alcaso unidimensional (flujo ascendente y descendente) en el que losparaacutemetros del fluido tales como presioacuten velocidad temperaturaetc son constantes en cualquier seccioacuten transversal que seaperpendicular a la direccioacuten del flujo
En esta parte del tema se estudiaraacute el flujo del agua en tresdimensiones que es el caso maacutes general para lo cual se trabajaraacute conla ecuacioacuten fundamental de flujo Posteriormente se realizansimplificaciones debido a que el anaacutelisis tridimensional de los
problemas de filtracioacuten resulta muy complejo y se trabaja conmeacutetodos aproximados que permiten su resolucioacuten en dosdimensiones
Oacute
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ECUACIOacuteN FUNDAMENTAL DE FLUJO
HIPOTESIS
Dominio Saturado
La Presioacuten y la Velocidad son funcioacuten uacutenicamente de la posicioacuten
El esqueleto mineral del suelo es perfectamente riacutegido
z
y
x x y z
dz
dy
dx
Componente vertical del flujo
Base teoacuterica de la Red de Flujo y para otros
meacutetodos de resolucioacuten de problemas de filtracioacuten
Elemento cuacutebico de suelo a traveacutes del cual se
produce flujo laminar q con componenetes x y z
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z y x qqqq
dydxdz z
VzVzdzdxdy
y
VyVydzdydx
x
VxVxdydxVzdzdxVydzdyVx
Igualamos
dydxdz z
VzVzdzdxdy y
VyVydzdydx x
VxVxq
dydxVzdzdxVydzdyVxq
saliente
entrante
Por continuidad qentrante = qsaliente
Simplificamos y llegamos a la ecuacioacuten de Continuidad 0
z
Vz
y
Vy
x
Vx
Aplicamos Ley de Darcy (V = -ki = -k h L) 02
2
2
2
2
2
z
hkz
y
hky
x
hkx
Asumimos el suelo Isotroacutepico (kx = ky = kz) h z
h
y
h
x
h 2
2
2
2
2
2
2
0
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
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La ecuacioacuten de Laplace describe matemaacuteticamente el flujo de aguaen la regioacuten considerada
Expresa la suma de la variacioacuten de los gradientes hidraacuteulicos en lasdirecciones X Y y Z es Nula
h z
h
y
h
x
h 2
2
2
2
2
2
2
0
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
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SOLUCIOacuteN DE LA ECUACIOacuteN DE LAPLACE EN 2 DIMENSIONES
FUNCIOacuteN POTENCIAL DE LA VELOCIDAD =
( x y) = constante = -kh + c Es dependiente del potencial hidraacuteulico y su variacioacuten genera velocidad en
el agua
Derivando con respecto a X y a Y
x
hk
x
y
hk
y
x
hk Vx
y
hk Vy Entonces Vx
x
Vy
y
Resolvemos derivando con respecto a X y a Y y aplicamos la ecuacioacuten de Continuidad
2
2
2
2
2
0 y x
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satisface la ecuacioacuten de Laplace siendo la solucioacuten de la mismaen dos dimensiones
define para cada valor de esa constante una linea continua cuyospuntos tiene igual potencial hidraacuteulico h y son denominadasldquoLineas Equipotencialesrdquo
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
2
2
2
2
2
0 y x
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FUNCIOacuteN DE FLUJO =
( x y) = constante
Entonces
Resolvemos derivando con respecto a X y a Y y aplicamos la ecuacioacuten de Continuidad
0 D
D
y
y x
x
Dx
Dy
Vy
Vx
Por continuidad qentrante = qsaliente
0 DD yVx xVy yVy
Vx x DD Asumiendo Vx
x
Vy
y
2
2
2
2
2
0 y x
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cumple con la ecuacioacuten de Laplace por lo tanto es una solucioacuten ala misma en dos dimensiones
define para cada valor de la constante una linea continua querepresenta la trayectoria de agua Se denominan ldquoLineas de Flujordquo oacuteldquoLineas de Corrienterdquo
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
2
2
2
2
2
0 y x
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RELACIOacuteN ENTRE LAS LINEAS EQUIPOTENCIALES YLINEAS DE FLUJO O DE CORRIENTE
Considerando las derivadas totales a lo largo de cada una de las curvas
y
x
x
y
x
y
x
y
Pendientes Reciacuteprocas y de signo contario lo cual escondicioacuten de Ortogonalidad y son Ortogonales encada punto de interseccioacuten
REDES DE FLUJO
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REDES DE FLUJO
La red de flujo es la solucioacuten graacutefica la ecuacioacuten de Laplace en 2 dimensiones
Desafortunadamente la ecuacioacuten de Laplace es matemaacuteticamente integrable solo encondiciones de frontera muy simples por lo que en la praacutectica es necesario emplearotros meacutetodos diferentes de la integracioacuten para obtener la red de flujo Uno de esosmeacutetodos es el procedimiento graacutefico de Forcheimer que resulta ser muy simple deaplicar cualquiera sea el problema de flujo uniforme en dos dimensiones
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El espacio entre cualquier par de liacuteneas de flujo consecutivas es un canal de flujoen el trazado de la red se debe seleccionar un cierto nuacutemero de canales de flujo
Nf tal que el gasto de infiltracioacuten a traveacutes de cada canal sea el mismoDq = q Nf
La peacuterdida de carga entre cualquier par de liacuteneas equipotenciales consecutivas es lamisma e igual a Dh Donde Dhacute = Dh Nd (Dh es la peacuterdida de carga total y Nd elnuacutemero de caiacutedas de potencial)
El ancho del canal es a y la distancia entre las caiacutedas equipotenciales es b paracualquier elemento considerado
El gasto que circula por cualquier elemento es Dq = k i A
El gradiente hidraacuteulico del elemento es i = Dhacute b = ( Dh Nd ) bEntoces Dq = k ( ( Dh Nd ) b ) a L donde L es el ancho de la red en la tercera dimensioacuten
REDES DE FLUJO
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REDES DE FLUJO
Como Dq = q Nf entonces q = Dq Nf = k ( ( Dh Nd ) b ) a L Nf
La razoacuten a b esta fijada por la razoacuten Nf Nd y es la misma a traveacutes de toda la redNf y Nd deben seleccionarse de modo que a = b y a b = 1 Con lo que laecuacioacuten de gasto se transforma en
Reordenando q = k Dh ( Nf Nd ) (a b ) L
q = k Dh ( Nf Nd ) L
Aacute
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1) Hacer un dibujo a escala que muestre la masa de suelo los liacutemites permeables a
traveacutes de los cuales entra y sale el agua del suelo y las fronteras impermeables que
confinan o limitan el flujo
2) Dibujar de dos a cuatro liacuteneas de flujo que formen aacutengulos rectos con los liacutemitespermeables a la entrada y a la salida y que sean aproximadamente paralelas a losliacutemites impermeables
3) Dibujar liacuteneas equipotenciales que formen aacutengulos rectos con las liacuteneas de flujo demanera que el ancho y el largo promedio del cuadrado curviliacuteneo que forman seaniguales (a=b) Desde luego esto es imposible de lograr en el primer tanteo porquelas posiciones de las liacuteneas de flujo son supuestas pero esta primera red serviraacute deguiacutea para un segundo tanteo
4) Se reajustan las liacuteneas de flujo y las liacuteneas equipotenciales hasta que todas lasintersecciones sean en aacutengulo recto y el largo y ancho de cada cuadrado seaniguales Los tamantildeos de los cuadrados pueden ser distintos pero la relacioacuten ab = 1debe mantenerse
REGLAS PRAacuteCTICAS PARA ELABORAR REDES DE FLUJO
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El logro de una solucioacuten exacta requiere de muchos tanteos y
algunos problemas no admiten en su solucioacuten un nuacutemeroexacto de canales yo de caiacutedas equipotenciales en estos casosdebe intentarse con un nuacutemero de canales yo caiacutedasequipotenciales fraccionario (media caiacuteda o medio canal porejemplo)
Al lograr trazar la red de flujo de cuadrados curviliacuteneossatisfaciendo las condiciones de frontera del problema seobtendraacute la solucioacuten graacutefica de este problema para las
condiciones de frontera del problema se obtendraacute la solucioacutengraacutefica de este para las condiciones hidrodinaacutemicasestablecidas por la ecuacioacuten de Laplace
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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J g j
6 0
0 m
BA
I II III IV V VI VII
C
D
6 0
0 m
6 0
0 m
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
1) Altura piezometrica en A
2) Esfuerzo efectivo en B
3) Gradiente hidraacuteulico velocidades de descarga y de filtracioacuten
en C
4) Presiones hidraacuteulicas sobre el tablestacado5) Gradiente hidraacuteulico de salida y factor de seguridad contra la
arena movediza (licuefaccioacuten)
6) Factor de seguridad a la Tubificacioacuten
7) Presiones hidraacuteulicas sobre el fondo impermeable
8) Presioacuten de filtracioacuten en D
9) Caudal de Filtracioacuten bajo la presa sabiendo que L= 50 m
0m 3m 5m 10m
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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J g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
γconc= 235 Tm3
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
γconc= 235 Tm3
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg γsat= 218 Tm3 γconc= 235 Tm3
LINEA SUPERFICIAL DE FLUJO
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LINEA SUPERFICIAL DE FLUJO
En algunos casos un liacutemite de las liacuteneas de flujo puede ser una superficie de agualibre o superficie de saturacioacuten que no estaacute determinada por ninguna masa soacutelida
impermeable
Tal es el caso de las presas de tierra cuyo problema de flujo presenta caracteriacutesticasespeciales y por lo tanto se requiere del uso de meacutetodos tambieacuten especiales paralograr el trazado de la red de flujo
a
b
c
Equipotencial
Liacutenea de Flujo
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En la figura se presenta una presa de tierra de un material heterogeacuteneo eacute isoacutetropo La liacutenea 1-2 es una liacutenea equipotencial puesto que es el contacto entre el suelo permeable y el agua La liacutenea1-3 es un contacto entre la frontera impermeable y el material permeable por lo tanto es unaliacutenea de flujo Entre los puntos 2 y 4 existe una frontera del flujo donde por debajo de ella elsuelo estaacute saturado y por encima no lo estaacute Ahora bien esta liacutenea que limita la zona de flujodentro de la presa recibe el nombre de liacutenea superficial de flujo o liacutenea de saturacioacuten Suforma se desconoce a priori y tambieacuten la posicioacuten del punto 4 ambos deben ser determinados almenos aproximadamente para poder trazar la red de flujo
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La liacutenea de saturacioacuten ademaacutes de ser una liacutenea de flujo es tambieacuten una liacutenea de
equipresioacuten en la que todos los puntos tienen la misma presioacuten cero Por lo tantoel potencial hidraacuteulico depende de la carga de elevacioacuten uacutenicamente y las liacuteneasequipotenciales la cortaran a intervalos verticales iguales entre si
Condiciones Generales de Entrada
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Condiciones Generales de Entrada
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Condiciones Generales de Salida
Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
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Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
Caso 1 a2 lt 30deg En este caso es posible calcular la superficie humedecida a (distancia 4 - 3) pormedio de la siguiente expresioacuten
2
2
2
2
2
2
2coscos a a a sen
hd d a
d = L - M + O3M
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Luego de dibujar la presa de tierra a escala se sentildeala en ella la superficie humedecida aguas
abajo a calculada por la foacutermula anterior El siguiente paso consiste en el trazado de laliacutenea de saturacioacuten usando el meacutetodo graacutefico aproximado de la paraacutebola baacutesica de Kozenycuyo procedimiento se describe a continuacioacuten
1 Ubicar el punto 2 en la liacutenea freaacutetica a una distancia de 03M medida desde la cara deltalud aguas arriba La cara aguas abajo del talud es tangente a la paraacutebola en el punto 4
2 Prolongar la liacutenea en el talud aguas arriba de la presa Trazar una horizontal por el punto2 hasta cortar la cara del talud aguas abajo El punto de interseccioacuten es 5
3 Dividir 4 -5 Y 5 - 2 en el mismo nuacutemero de partes iguales no maacutes de 4 o 5 y marcarestos puntos (en 2- 5 se parte de 5 numerando con letras A -B etc en 4 - 5 se parte de 4numerando A-B-C etc)
4 Trazar por 4 - 5 liacuteneas horizontales en los puntos marcados
5 Unir cada uno de los puntos marcados en la horizontal 2- 5 con el punto 46 Trazar la liacutenea freaacutetica por los puntos obtenidos 7 Como la liacutenea freaacutetica parte perpendicular a la cara del talud aguas arriba este ajuste
debe realizarse manualmente
=gt M = htg ald =L - O7M
Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
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Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
Caso 2 a2 gt 30deg En este caso el procedimiento a seguir es
d d hP 22
1 La paraacutebola tiene su origen a una distancia P del veacutertice del talud aguas abajo de lapresa es decir este veacutertice es su foco y es tangente a la vertical que pasa por elpunto P
P se calcula por medio de la siguiente expresioacuten
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2 Trazar la paraacutebola baacutesica de Kozeny En este caso la tangente al origen es una liacuteneavertical
3 La distancia desde el punto 4 hasta la interseccioacuten de la paraacutebola con el talud aguasabajo es a + Da y no es realmente el punto por donde sale el agua en el talud porlo tanto se debe realizar una correccioacuten y encontrar a Casagrande encontroacute que larelacioacuten es un escalar que puede ser llamado a y que se relaciona
con el angulo a2 seguacuten se muestra en la siguiente tabla
a
a
D
D
a a2 ( deg ) aacute
30 0375
60 0320
90 0260
120 0185
150 0105
180 0
Los valores entre estos aacutengulos pueden interpolarse
y midiendo a + Da se calcula a usando la tablaDa = aacute ( a + Da ) y a = ( a + Da ) - Da
Finalmente se trazan manualmente la entraday la salida de la liacutenea de saturacioacuten
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EJERCICIO Determine la Linea Superficial de Flujo de la presa de tierra que se presentaa continuacioacuten
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a continuacioacuten
EJERCICIO Determine la Linea Superficial de Flujo de la presa de tierra que se presentaa continuacioacuten
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2
1
a continuacioacuten
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
g
La teoriacutea de la seccioacuten transformada permite reducir al caso de un suelo homogeacuteneo e isoacutetropo un suelo en el que la permeabilidad para el flujo en la direccioacuten horizontal ( kx) y la que tenga para el flujo en la direccioacuten vertical ( ky ) sean diferentes ( kx ne Ky )(por lo general Kx en muchas veces mayor que ky )
La teoriacutea de la seccioacuten transformada es un simple artificio de calculo que se logra por una simple transformacioacuten de coordenadas y que modifica sobre el papel las dimensiones de la zona de flujo en estudio en un suelo isotropico hidraacuteulicamente equivalente
Dos tipos de transformaciones se pueden aplicar a) Haciendo
Y Ky
Kx
Y acute
Se modifican las dimensiones verticales permaneciendo constantes las horizontales
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
g
b) Haciendo
X Kx
Ky X acute
Se modifican las dimensiones Horizontales permaneciendo constantes las Verticales
En la seccioacuten transformada homogeacutenea e isoacutetropa la permeabilidad equivalente viene dada por
kykxk
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
kykxk
X Kx
Ky X acute
2 0 0 0
0 0
kx
ky
k
2 8 2 0 0
0
h
141h
500000
b352463
071b
k
Y Ky
KxY acute
kykx 2
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10m
1m
9m N
K
habat
N
K
Dh
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FLUJO EN MEDIOS POROSOS
El agua puede fluir a traveacutes de la masa de suelo en cualquier estado
en que este se encuentre aun y cuando el este muy compactado el
agua puede fluir a traveacutes de la masa de suelo ya que los poros estaacuten
interconectados entre si permitiendo el flujo de agua en ese medioporoso movieacutendose esta a lo largo de caminos ondulantes y rugosos
que existen entre un poro y otro lo cual genera peacuterdidas de energiacutea o
carga piezomeacutetrica originadas por la friccioacuten al igual que ocurre
cuando el flujo de agua es por tuberiacuteas o por canales abiertos
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Hasta ahora el estudio del flujo en medios porosos se ha limitado alcaso unidimensional (flujo ascendente y descendente) en el que losparaacutemetros del fluido tales como presioacuten velocidad temperaturaetc son constantes en cualquier seccioacuten transversal que seaperpendicular a la direccioacuten del flujo
En esta parte del tema se estudiaraacute el flujo del agua en tresdimensiones que es el caso maacutes general para lo cual se trabajaraacute conla ecuacioacuten fundamental de flujo Posteriormente se realizansimplificaciones debido a que el anaacutelisis tridimensional de los
problemas de filtracioacuten resulta muy complejo y se trabaja conmeacutetodos aproximados que permiten su resolucioacuten en dosdimensiones
Oacute
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ECUACIOacuteN FUNDAMENTAL DE FLUJO
HIPOTESIS
Dominio Saturado
La Presioacuten y la Velocidad son funcioacuten uacutenicamente de la posicioacuten
El esqueleto mineral del suelo es perfectamente riacutegido
z
y
x x y z
dz
dy
dx
Componente vertical del flujo
Base teoacuterica de la Red de Flujo y para otros
meacutetodos de resolucioacuten de problemas de filtracioacuten
Elemento cuacutebico de suelo a traveacutes del cual se
produce flujo laminar q con componenetes x y z
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z y x qqqq
dydxdz z
VzVzdzdxdy
y
VyVydzdydx
x
VxVxdydxVzdzdxVydzdyVx
Igualamos
dydxdz z
VzVzdzdxdy y
VyVydzdydx x
VxVxq
dydxVzdzdxVydzdyVxq
saliente
entrante
Por continuidad qentrante = qsaliente
Simplificamos y llegamos a la ecuacioacuten de Continuidad 0
z
Vz
y
Vy
x
Vx
Aplicamos Ley de Darcy (V = -ki = -k h L) 02
2
2
2
2
2
z
hkz
y
hky
x
hkx
Asumimos el suelo Isotroacutepico (kx = ky = kz) h z
h
y
h
x
h 2
2
2
2
2
2
2
0
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
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La ecuacioacuten de Laplace describe matemaacuteticamente el flujo de aguaen la regioacuten considerada
Expresa la suma de la variacioacuten de los gradientes hidraacuteulicos en lasdirecciones X Y y Z es Nula
h z
h
y
h
x
h 2
2
2
2
2
2
2
0
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
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SOLUCIOacuteN DE LA ECUACIOacuteN DE LAPLACE EN 2 DIMENSIONES
FUNCIOacuteN POTENCIAL DE LA VELOCIDAD =
( x y) = constante = -kh + c Es dependiente del potencial hidraacuteulico y su variacioacuten genera velocidad en
el agua
Derivando con respecto a X y a Y
x
hk
x
y
hk
y
x
hk Vx
y
hk Vy Entonces Vx
x
Vy
y
Resolvemos derivando con respecto a X y a Y y aplicamos la ecuacioacuten de Continuidad
2
2
2
2
2
0 y x
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satisface la ecuacioacuten de Laplace siendo la solucioacuten de la mismaen dos dimensiones
define para cada valor de esa constante una linea continua cuyospuntos tiene igual potencial hidraacuteulico h y son denominadasldquoLineas Equipotencialesrdquo
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
2
2
2
2
2
0 y x
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FUNCIOacuteN DE FLUJO =
( x y) = constante
Entonces
Resolvemos derivando con respecto a X y a Y y aplicamos la ecuacioacuten de Continuidad
0 D
D
y
y x
x
Dx
Dy
Vy
Vx
Por continuidad qentrante = qsaliente
0 DD yVx xVy yVy
Vx x DD Asumiendo Vx
x
Vy
y
2
2
2
2
2
0 y x
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cumple con la ecuacioacuten de Laplace por lo tanto es una solucioacuten ala misma en dos dimensiones
define para cada valor de la constante una linea continua querepresenta la trayectoria de agua Se denominan ldquoLineas de Flujordquo oacuteldquoLineas de Corrienterdquo
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
2
2
2
2
2
0 y x
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RELACIOacuteN ENTRE LAS LINEAS EQUIPOTENCIALES YLINEAS DE FLUJO O DE CORRIENTE
Considerando las derivadas totales a lo largo de cada una de las curvas
y
x
x
y
x
y
x
y
Pendientes Reciacuteprocas y de signo contario lo cual escondicioacuten de Ortogonalidad y son Ortogonales encada punto de interseccioacuten
REDES DE FLUJO
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REDES DE FLUJO
La red de flujo es la solucioacuten graacutefica la ecuacioacuten de Laplace en 2 dimensiones
Desafortunadamente la ecuacioacuten de Laplace es matemaacuteticamente integrable solo encondiciones de frontera muy simples por lo que en la praacutectica es necesario emplearotros meacutetodos diferentes de la integracioacuten para obtener la red de flujo Uno de esosmeacutetodos es el procedimiento graacutefico de Forcheimer que resulta ser muy simple deaplicar cualquiera sea el problema de flujo uniforme en dos dimensiones
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El espacio entre cualquier par de liacuteneas de flujo consecutivas es un canal de flujoen el trazado de la red se debe seleccionar un cierto nuacutemero de canales de flujo
Nf tal que el gasto de infiltracioacuten a traveacutes de cada canal sea el mismoDq = q Nf
La peacuterdida de carga entre cualquier par de liacuteneas equipotenciales consecutivas es lamisma e igual a Dh Donde Dhacute = Dh Nd (Dh es la peacuterdida de carga total y Nd elnuacutemero de caiacutedas de potencial)
El ancho del canal es a y la distancia entre las caiacutedas equipotenciales es b paracualquier elemento considerado
El gasto que circula por cualquier elemento es Dq = k i A
El gradiente hidraacuteulico del elemento es i = Dhacute b = ( Dh Nd ) bEntoces Dq = k ( ( Dh Nd ) b ) a L donde L es el ancho de la red en la tercera dimensioacuten
REDES DE FLUJO
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REDES DE FLUJO
Como Dq = q Nf entonces q = Dq Nf = k ( ( Dh Nd ) b ) a L Nf
La razoacuten a b esta fijada por la razoacuten Nf Nd y es la misma a traveacutes de toda la redNf y Nd deben seleccionarse de modo que a = b y a b = 1 Con lo que laecuacioacuten de gasto se transforma en
Reordenando q = k Dh ( Nf Nd ) (a b ) L
q = k Dh ( Nf Nd ) L
Aacute
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1) Hacer un dibujo a escala que muestre la masa de suelo los liacutemites permeables a
traveacutes de los cuales entra y sale el agua del suelo y las fronteras impermeables que
confinan o limitan el flujo
2) Dibujar de dos a cuatro liacuteneas de flujo que formen aacutengulos rectos con los liacutemitespermeables a la entrada y a la salida y que sean aproximadamente paralelas a losliacutemites impermeables
3) Dibujar liacuteneas equipotenciales que formen aacutengulos rectos con las liacuteneas de flujo demanera que el ancho y el largo promedio del cuadrado curviliacuteneo que forman seaniguales (a=b) Desde luego esto es imposible de lograr en el primer tanteo porquelas posiciones de las liacuteneas de flujo son supuestas pero esta primera red serviraacute deguiacutea para un segundo tanteo
4) Se reajustan las liacuteneas de flujo y las liacuteneas equipotenciales hasta que todas lasintersecciones sean en aacutengulo recto y el largo y ancho de cada cuadrado seaniguales Los tamantildeos de los cuadrados pueden ser distintos pero la relacioacuten ab = 1debe mantenerse
REGLAS PRAacuteCTICAS PARA ELABORAR REDES DE FLUJO
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El logro de una solucioacuten exacta requiere de muchos tanteos y
algunos problemas no admiten en su solucioacuten un nuacutemeroexacto de canales yo de caiacutedas equipotenciales en estos casosdebe intentarse con un nuacutemero de canales yo caiacutedasequipotenciales fraccionario (media caiacuteda o medio canal porejemplo)
Al lograr trazar la red de flujo de cuadrados curviliacuteneossatisfaciendo las condiciones de frontera del problema seobtendraacute la solucioacuten graacutefica de este problema para las
condiciones de frontera del problema se obtendraacute la solucioacutengraacutefica de este para las condiciones hidrodinaacutemicasestablecidas por la ecuacioacuten de Laplace
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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J g j
6 0
0 m
BA
I II III IV V VI VII
C
D
6 0
0 m
6 0
0 m
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
1) Altura piezometrica en A
2) Esfuerzo efectivo en B
3) Gradiente hidraacuteulico velocidades de descarga y de filtracioacuten
en C
4) Presiones hidraacuteulicas sobre el tablestacado5) Gradiente hidraacuteulico de salida y factor de seguridad contra la
arena movediza (licuefaccioacuten)
6) Factor de seguridad a la Tubificacioacuten
7) Presiones hidraacuteulicas sobre el fondo impermeable
8) Presioacuten de filtracioacuten en D
9) Caudal de Filtracioacuten bajo la presa sabiendo que L= 50 m
0m 3m 5m 10m
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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J g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
γconc= 235 Tm3
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
γconc= 235 Tm3
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg γsat= 218 Tm3 γconc= 235 Tm3
LINEA SUPERFICIAL DE FLUJO
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LINEA SUPERFICIAL DE FLUJO
En algunos casos un liacutemite de las liacuteneas de flujo puede ser una superficie de agualibre o superficie de saturacioacuten que no estaacute determinada por ninguna masa soacutelida
impermeable
Tal es el caso de las presas de tierra cuyo problema de flujo presenta caracteriacutesticasespeciales y por lo tanto se requiere del uso de meacutetodos tambieacuten especiales paralograr el trazado de la red de flujo
a
b
c
Equipotencial
Liacutenea de Flujo
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En la figura se presenta una presa de tierra de un material heterogeacuteneo eacute isoacutetropo La liacutenea 1-2 es una liacutenea equipotencial puesto que es el contacto entre el suelo permeable y el agua La liacutenea1-3 es un contacto entre la frontera impermeable y el material permeable por lo tanto es unaliacutenea de flujo Entre los puntos 2 y 4 existe una frontera del flujo donde por debajo de ella elsuelo estaacute saturado y por encima no lo estaacute Ahora bien esta liacutenea que limita la zona de flujodentro de la presa recibe el nombre de liacutenea superficial de flujo o liacutenea de saturacioacuten Suforma se desconoce a priori y tambieacuten la posicioacuten del punto 4 ambos deben ser determinados almenos aproximadamente para poder trazar la red de flujo
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La liacutenea de saturacioacuten ademaacutes de ser una liacutenea de flujo es tambieacuten una liacutenea de
equipresioacuten en la que todos los puntos tienen la misma presioacuten cero Por lo tantoel potencial hidraacuteulico depende de la carga de elevacioacuten uacutenicamente y las liacuteneasequipotenciales la cortaran a intervalos verticales iguales entre si
Condiciones Generales de Entrada
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Condiciones Generales de Entrada
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Condiciones Generales de Salida
Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
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Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
Caso 1 a2 lt 30deg En este caso es posible calcular la superficie humedecida a (distancia 4 - 3) pormedio de la siguiente expresioacuten
2
2
2
2
2
2
2coscos a a a sen
hd d a
d = L - M + O3M
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Luego de dibujar la presa de tierra a escala se sentildeala en ella la superficie humedecida aguas
abajo a calculada por la foacutermula anterior El siguiente paso consiste en el trazado de laliacutenea de saturacioacuten usando el meacutetodo graacutefico aproximado de la paraacutebola baacutesica de Kozenycuyo procedimiento se describe a continuacioacuten
1 Ubicar el punto 2 en la liacutenea freaacutetica a una distancia de 03M medida desde la cara deltalud aguas arriba La cara aguas abajo del talud es tangente a la paraacutebola en el punto 4
2 Prolongar la liacutenea en el talud aguas arriba de la presa Trazar una horizontal por el punto2 hasta cortar la cara del talud aguas abajo El punto de interseccioacuten es 5
3 Dividir 4 -5 Y 5 - 2 en el mismo nuacutemero de partes iguales no maacutes de 4 o 5 y marcarestos puntos (en 2- 5 se parte de 5 numerando con letras A -B etc en 4 - 5 se parte de 4numerando A-B-C etc)
4 Trazar por 4 - 5 liacuteneas horizontales en los puntos marcados
5 Unir cada uno de los puntos marcados en la horizontal 2- 5 con el punto 46 Trazar la liacutenea freaacutetica por los puntos obtenidos 7 Como la liacutenea freaacutetica parte perpendicular a la cara del talud aguas arriba este ajuste
debe realizarse manualmente
=gt M = htg ald =L - O7M
Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
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Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
Caso 2 a2 gt 30deg En este caso el procedimiento a seguir es
d d hP 22
1 La paraacutebola tiene su origen a una distancia P del veacutertice del talud aguas abajo de lapresa es decir este veacutertice es su foco y es tangente a la vertical que pasa por elpunto P
P se calcula por medio de la siguiente expresioacuten
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2 Trazar la paraacutebola baacutesica de Kozeny En este caso la tangente al origen es una liacuteneavertical
3 La distancia desde el punto 4 hasta la interseccioacuten de la paraacutebola con el talud aguasabajo es a + Da y no es realmente el punto por donde sale el agua en el talud porlo tanto se debe realizar una correccioacuten y encontrar a Casagrande encontroacute que larelacioacuten es un escalar que puede ser llamado a y que se relaciona
con el angulo a2 seguacuten se muestra en la siguiente tabla
a
a
D
D
a a2 ( deg ) aacute
30 0375
60 0320
90 0260
120 0185
150 0105
180 0
Los valores entre estos aacutengulos pueden interpolarse
y midiendo a + Da se calcula a usando la tablaDa = aacute ( a + Da ) y a = ( a + Da ) - Da
Finalmente se trazan manualmente la entraday la salida de la liacutenea de saturacioacuten
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EJERCICIO Determine la Linea Superficial de Flujo de la presa de tierra que se presentaa continuacioacuten
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a continuacioacuten
EJERCICIO Determine la Linea Superficial de Flujo de la presa de tierra que se presentaa continuacioacuten
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2
1
a continuacioacuten
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
g
La teoriacutea de la seccioacuten transformada permite reducir al caso de un suelo homogeacuteneo e isoacutetropo un suelo en el que la permeabilidad para el flujo en la direccioacuten horizontal ( kx) y la que tenga para el flujo en la direccioacuten vertical ( ky ) sean diferentes ( kx ne Ky )(por lo general Kx en muchas veces mayor que ky )
La teoriacutea de la seccioacuten transformada es un simple artificio de calculo que se logra por una simple transformacioacuten de coordenadas y que modifica sobre el papel las dimensiones de la zona de flujo en estudio en un suelo isotropico hidraacuteulicamente equivalente
Dos tipos de transformaciones se pueden aplicar a) Haciendo
Y Ky
Kx
Y acute
Se modifican las dimensiones verticales permaneciendo constantes las horizontales
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
g
b) Haciendo
X Kx
Ky X acute
Se modifican las dimensiones Horizontales permaneciendo constantes las Verticales
En la seccioacuten transformada homogeacutenea e isoacutetropa la permeabilidad equivalente viene dada por
kykxk
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
kykxk
X Kx
Ky X acute
2 0 0 0
0 0
kx
ky
k
2 8 2 0 0
0
h
141h
500000
b352463
071b
k
Y Ky
KxY acute
kykx 2
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FLUJO EN MEDIOS POROSOS
El agua puede fluir a traveacutes de la masa de suelo en cualquier estado
en que este se encuentre aun y cuando el este muy compactado el
agua puede fluir a traveacutes de la masa de suelo ya que los poros estaacuten
interconectados entre si permitiendo el flujo de agua en ese medioporoso movieacutendose esta a lo largo de caminos ondulantes y rugosos
que existen entre un poro y otro lo cual genera peacuterdidas de energiacutea o
carga piezomeacutetrica originadas por la friccioacuten al igual que ocurre
cuando el flujo de agua es por tuberiacuteas o por canales abiertos
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Hasta ahora el estudio del flujo en medios porosos se ha limitado alcaso unidimensional (flujo ascendente y descendente) en el que losparaacutemetros del fluido tales como presioacuten velocidad temperaturaetc son constantes en cualquier seccioacuten transversal que seaperpendicular a la direccioacuten del flujo
En esta parte del tema se estudiaraacute el flujo del agua en tresdimensiones que es el caso maacutes general para lo cual se trabajaraacute conla ecuacioacuten fundamental de flujo Posteriormente se realizansimplificaciones debido a que el anaacutelisis tridimensional de los
problemas de filtracioacuten resulta muy complejo y se trabaja conmeacutetodos aproximados que permiten su resolucioacuten en dosdimensiones
Oacute
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ECUACIOacuteN FUNDAMENTAL DE FLUJO
HIPOTESIS
Dominio Saturado
La Presioacuten y la Velocidad son funcioacuten uacutenicamente de la posicioacuten
El esqueleto mineral del suelo es perfectamente riacutegido
z
y
x x y z
dz
dy
dx
Componente vertical del flujo
Base teoacuterica de la Red de Flujo y para otros
meacutetodos de resolucioacuten de problemas de filtracioacuten
Elemento cuacutebico de suelo a traveacutes del cual se
produce flujo laminar q con componenetes x y z
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z y x qqqq
dydxdz z
VzVzdzdxdy
y
VyVydzdydx
x
VxVxdydxVzdzdxVydzdyVx
Igualamos
dydxdz z
VzVzdzdxdy y
VyVydzdydx x
VxVxq
dydxVzdzdxVydzdyVxq
saliente
entrante
Por continuidad qentrante = qsaliente
Simplificamos y llegamos a la ecuacioacuten de Continuidad 0
z
Vz
y
Vy
x
Vx
Aplicamos Ley de Darcy (V = -ki = -k h L) 02
2
2
2
2
2
z
hkz
y
hky
x
hkx
Asumimos el suelo Isotroacutepico (kx = ky = kz) h z
h
y
h
x
h 2
2
2
2
2
2
2
0
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
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La ecuacioacuten de Laplace describe matemaacuteticamente el flujo de aguaen la regioacuten considerada
Expresa la suma de la variacioacuten de los gradientes hidraacuteulicos en lasdirecciones X Y y Z es Nula
h z
h
y
h
x
h 2
2
2
2
2
2
2
0
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
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SOLUCIOacuteN DE LA ECUACIOacuteN DE LAPLACE EN 2 DIMENSIONES
FUNCIOacuteN POTENCIAL DE LA VELOCIDAD =
( x y) = constante = -kh + c Es dependiente del potencial hidraacuteulico y su variacioacuten genera velocidad en
el agua
Derivando con respecto a X y a Y
x
hk
x
y
hk
y
x
hk Vx
y
hk Vy Entonces Vx
x
Vy
y
Resolvemos derivando con respecto a X y a Y y aplicamos la ecuacioacuten de Continuidad
2
2
2
2
2
0 y x
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satisface la ecuacioacuten de Laplace siendo la solucioacuten de la mismaen dos dimensiones
define para cada valor de esa constante una linea continua cuyospuntos tiene igual potencial hidraacuteulico h y son denominadasldquoLineas Equipotencialesrdquo
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
2
2
2
2
2
0 y x
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FUNCIOacuteN DE FLUJO =
( x y) = constante
Entonces
Resolvemos derivando con respecto a X y a Y y aplicamos la ecuacioacuten de Continuidad
0 D
D
y
y x
x
Dx
Dy
Vy
Vx
Por continuidad qentrante = qsaliente
0 DD yVx xVy yVy
Vx x DD Asumiendo Vx
x
Vy
y
2
2
2
2
2
0 y x
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cumple con la ecuacioacuten de Laplace por lo tanto es una solucioacuten ala misma en dos dimensiones
define para cada valor de la constante una linea continua querepresenta la trayectoria de agua Se denominan ldquoLineas de Flujordquo oacuteldquoLineas de Corrienterdquo
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
2
2
2
2
2
0 y x
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RELACIOacuteN ENTRE LAS LINEAS EQUIPOTENCIALES YLINEAS DE FLUJO O DE CORRIENTE
Considerando las derivadas totales a lo largo de cada una de las curvas
y
x
x
y
x
y
x
y
Pendientes Reciacuteprocas y de signo contario lo cual escondicioacuten de Ortogonalidad y son Ortogonales encada punto de interseccioacuten
REDES DE FLUJO
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REDES DE FLUJO
La red de flujo es la solucioacuten graacutefica la ecuacioacuten de Laplace en 2 dimensiones
Desafortunadamente la ecuacioacuten de Laplace es matemaacuteticamente integrable solo encondiciones de frontera muy simples por lo que en la praacutectica es necesario emplearotros meacutetodos diferentes de la integracioacuten para obtener la red de flujo Uno de esosmeacutetodos es el procedimiento graacutefico de Forcheimer que resulta ser muy simple deaplicar cualquiera sea el problema de flujo uniforme en dos dimensiones
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El espacio entre cualquier par de liacuteneas de flujo consecutivas es un canal de flujoen el trazado de la red se debe seleccionar un cierto nuacutemero de canales de flujo
Nf tal que el gasto de infiltracioacuten a traveacutes de cada canal sea el mismoDq = q Nf
La peacuterdida de carga entre cualquier par de liacuteneas equipotenciales consecutivas es lamisma e igual a Dh Donde Dhacute = Dh Nd (Dh es la peacuterdida de carga total y Nd elnuacutemero de caiacutedas de potencial)
El ancho del canal es a y la distancia entre las caiacutedas equipotenciales es b paracualquier elemento considerado
El gasto que circula por cualquier elemento es Dq = k i A
El gradiente hidraacuteulico del elemento es i = Dhacute b = ( Dh Nd ) bEntoces Dq = k ( ( Dh Nd ) b ) a L donde L es el ancho de la red en la tercera dimensioacuten
REDES DE FLUJO
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REDES DE FLUJO
Como Dq = q Nf entonces q = Dq Nf = k ( ( Dh Nd ) b ) a L Nf
La razoacuten a b esta fijada por la razoacuten Nf Nd y es la misma a traveacutes de toda la redNf y Nd deben seleccionarse de modo que a = b y a b = 1 Con lo que laecuacioacuten de gasto se transforma en
Reordenando q = k Dh ( Nf Nd ) (a b ) L
q = k Dh ( Nf Nd ) L
Aacute
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1) Hacer un dibujo a escala que muestre la masa de suelo los liacutemites permeables a
traveacutes de los cuales entra y sale el agua del suelo y las fronteras impermeables que
confinan o limitan el flujo
2) Dibujar de dos a cuatro liacuteneas de flujo que formen aacutengulos rectos con los liacutemitespermeables a la entrada y a la salida y que sean aproximadamente paralelas a losliacutemites impermeables
3) Dibujar liacuteneas equipotenciales que formen aacutengulos rectos con las liacuteneas de flujo demanera que el ancho y el largo promedio del cuadrado curviliacuteneo que forman seaniguales (a=b) Desde luego esto es imposible de lograr en el primer tanteo porquelas posiciones de las liacuteneas de flujo son supuestas pero esta primera red serviraacute deguiacutea para un segundo tanteo
4) Se reajustan las liacuteneas de flujo y las liacuteneas equipotenciales hasta que todas lasintersecciones sean en aacutengulo recto y el largo y ancho de cada cuadrado seaniguales Los tamantildeos de los cuadrados pueden ser distintos pero la relacioacuten ab = 1debe mantenerse
REGLAS PRAacuteCTICAS PARA ELABORAR REDES DE FLUJO
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El logro de una solucioacuten exacta requiere de muchos tanteos y
algunos problemas no admiten en su solucioacuten un nuacutemeroexacto de canales yo de caiacutedas equipotenciales en estos casosdebe intentarse con un nuacutemero de canales yo caiacutedasequipotenciales fraccionario (media caiacuteda o medio canal porejemplo)
Al lograr trazar la red de flujo de cuadrados curviliacuteneossatisfaciendo las condiciones de frontera del problema seobtendraacute la solucioacuten graacutefica de este problema para las
condiciones de frontera del problema se obtendraacute la solucioacutengraacutefica de este para las condiciones hidrodinaacutemicasestablecidas por la ecuacioacuten de Laplace
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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J g j
6 0
0 m
BA
I II III IV V VI VII
C
D
6 0
0 m
6 0
0 m
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
1) Altura piezometrica en A
2) Esfuerzo efectivo en B
3) Gradiente hidraacuteulico velocidades de descarga y de filtracioacuten
en C
4) Presiones hidraacuteulicas sobre el tablestacado5) Gradiente hidraacuteulico de salida y factor de seguridad contra la
arena movediza (licuefaccioacuten)
6) Factor de seguridad a la Tubificacioacuten
7) Presiones hidraacuteulicas sobre el fondo impermeable
8) Presioacuten de filtracioacuten en D
9) Caudal de Filtracioacuten bajo la presa sabiendo que L= 50 m
0m 3m 5m 10m
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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J g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
γconc= 235 Tm3
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
γconc= 235 Tm3
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg γsat= 218 Tm3 γconc= 235 Tm3
LINEA SUPERFICIAL DE FLUJO
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LINEA SUPERFICIAL DE FLUJO
En algunos casos un liacutemite de las liacuteneas de flujo puede ser una superficie de agualibre o superficie de saturacioacuten que no estaacute determinada por ninguna masa soacutelida
impermeable
Tal es el caso de las presas de tierra cuyo problema de flujo presenta caracteriacutesticasespeciales y por lo tanto se requiere del uso de meacutetodos tambieacuten especiales paralograr el trazado de la red de flujo
a
b
c
Equipotencial
Liacutenea de Flujo
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En la figura se presenta una presa de tierra de un material heterogeacuteneo eacute isoacutetropo La liacutenea 1-2 es una liacutenea equipotencial puesto que es el contacto entre el suelo permeable y el agua La liacutenea1-3 es un contacto entre la frontera impermeable y el material permeable por lo tanto es unaliacutenea de flujo Entre los puntos 2 y 4 existe una frontera del flujo donde por debajo de ella elsuelo estaacute saturado y por encima no lo estaacute Ahora bien esta liacutenea que limita la zona de flujodentro de la presa recibe el nombre de liacutenea superficial de flujo o liacutenea de saturacioacuten Suforma se desconoce a priori y tambieacuten la posicioacuten del punto 4 ambos deben ser determinados almenos aproximadamente para poder trazar la red de flujo
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La liacutenea de saturacioacuten ademaacutes de ser una liacutenea de flujo es tambieacuten una liacutenea de
equipresioacuten en la que todos los puntos tienen la misma presioacuten cero Por lo tantoel potencial hidraacuteulico depende de la carga de elevacioacuten uacutenicamente y las liacuteneasequipotenciales la cortaran a intervalos verticales iguales entre si
Condiciones Generales de Entrada
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Condiciones Generales de Entrada
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Condiciones Generales de Salida
Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
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Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
Caso 1 a2 lt 30deg En este caso es posible calcular la superficie humedecida a (distancia 4 - 3) pormedio de la siguiente expresioacuten
2
2
2
2
2
2
2coscos a a a sen
hd d a
d = L - M + O3M
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Luego de dibujar la presa de tierra a escala se sentildeala en ella la superficie humedecida aguas
abajo a calculada por la foacutermula anterior El siguiente paso consiste en el trazado de laliacutenea de saturacioacuten usando el meacutetodo graacutefico aproximado de la paraacutebola baacutesica de Kozenycuyo procedimiento se describe a continuacioacuten
1 Ubicar el punto 2 en la liacutenea freaacutetica a una distancia de 03M medida desde la cara deltalud aguas arriba La cara aguas abajo del talud es tangente a la paraacutebola en el punto 4
2 Prolongar la liacutenea en el talud aguas arriba de la presa Trazar una horizontal por el punto2 hasta cortar la cara del talud aguas abajo El punto de interseccioacuten es 5
3 Dividir 4 -5 Y 5 - 2 en el mismo nuacutemero de partes iguales no maacutes de 4 o 5 y marcarestos puntos (en 2- 5 se parte de 5 numerando con letras A -B etc en 4 - 5 se parte de 4numerando A-B-C etc)
4 Trazar por 4 - 5 liacuteneas horizontales en los puntos marcados
5 Unir cada uno de los puntos marcados en la horizontal 2- 5 con el punto 46 Trazar la liacutenea freaacutetica por los puntos obtenidos 7 Como la liacutenea freaacutetica parte perpendicular a la cara del talud aguas arriba este ajuste
debe realizarse manualmente
=gt M = htg ald =L - O7M
Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
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Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
Caso 2 a2 gt 30deg En este caso el procedimiento a seguir es
d d hP 22
1 La paraacutebola tiene su origen a una distancia P del veacutertice del talud aguas abajo de lapresa es decir este veacutertice es su foco y es tangente a la vertical que pasa por elpunto P
P se calcula por medio de la siguiente expresioacuten
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2 Trazar la paraacutebola baacutesica de Kozeny En este caso la tangente al origen es una liacuteneavertical
3 La distancia desde el punto 4 hasta la interseccioacuten de la paraacutebola con el talud aguasabajo es a + Da y no es realmente el punto por donde sale el agua en el talud porlo tanto se debe realizar una correccioacuten y encontrar a Casagrande encontroacute que larelacioacuten es un escalar que puede ser llamado a y que se relaciona
con el angulo a2 seguacuten se muestra en la siguiente tabla
a
a
D
D
a a2 ( deg ) aacute
30 0375
60 0320
90 0260
120 0185
150 0105
180 0
Los valores entre estos aacutengulos pueden interpolarse
y midiendo a + Da se calcula a usando la tablaDa = aacute ( a + Da ) y a = ( a + Da ) - Da
Finalmente se trazan manualmente la entraday la salida de la liacutenea de saturacioacuten
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EJERCICIO Determine la Linea Superficial de Flujo de la presa de tierra que se presentaa continuacioacuten
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a continuacioacuten
EJERCICIO Determine la Linea Superficial de Flujo de la presa de tierra que se presentaa continuacioacuten
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2
1
a continuacioacuten
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
g
La teoriacutea de la seccioacuten transformada permite reducir al caso de un suelo homogeacuteneo e isoacutetropo un suelo en el que la permeabilidad para el flujo en la direccioacuten horizontal ( kx) y la que tenga para el flujo en la direccioacuten vertical ( ky ) sean diferentes ( kx ne Ky )(por lo general Kx en muchas veces mayor que ky )
La teoriacutea de la seccioacuten transformada es un simple artificio de calculo que se logra por una simple transformacioacuten de coordenadas y que modifica sobre el papel las dimensiones de la zona de flujo en estudio en un suelo isotropico hidraacuteulicamente equivalente
Dos tipos de transformaciones se pueden aplicar a) Haciendo
Y Ky
Kx
Y acute
Se modifican las dimensiones verticales permaneciendo constantes las horizontales
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
g
b) Haciendo
X Kx
Ky X acute
Se modifican las dimensiones Horizontales permaneciendo constantes las Verticales
En la seccioacuten transformada homogeacutenea e isoacutetropa la permeabilidad equivalente viene dada por
kykxk
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
kykxk
X Kx
Ky X acute
2 0 0 0
0 0
kx
ky
k
2 8 2 0 0
0
h
141h
500000
b352463
071b
k
Y Ky
KxY acute
kykx 2
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Hasta ahora el estudio del flujo en medios porosos se ha limitado alcaso unidimensional (flujo ascendente y descendente) en el que losparaacutemetros del fluido tales como presioacuten velocidad temperaturaetc son constantes en cualquier seccioacuten transversal que seaperpendicular a la direccioacuten del flujo
En esta parte del tema se estudiaraacute el flujo del agua en tresdimensiones que es el caso maacutes general para lo cual se trabajaraacute conla ecuacioacuten fundamental de flujo Posteriormente se realizansimplificaciones debido a que el anaacutelisis tridimensional de los
problemas de filtracioacuten resulta muy complejo y se trabaja conmeacutetodos aproximados que permiten su resolucioacuten en dosdimensiones
Oacute
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ECUACIOacuteN FUNDAMENTAL DE FLUJO
HIPOTESIS
Dominio Saturado
La Presioacuten y la Velocidad son funcioacuten uacutenicamente de la posicioacuten
El esqueleto mineral del suelo es perfectamente riacutegido
z
y
x x y z
dz
dy
dx
Componente vertical del flujo
Base teoacuterica de la Red de Flujo y para otros
meacutetodos de resolucioacuten de problemas de filtracioacuten
Elemento cuacutebico de suelo a traveacutes del cual se
produce flujo laminar q con componenetes x y z
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z y x qqqq
dydxdz z
VzVzdzdxdy
y
VyVydzdydx
x
VxVxdydxVzdzdxVydzdyVx
Igualamos
dydxdz z
VzVzdzdxdy y
VyVydzdydx x
VxVxq
dydxVzdzdxVydzdyVxq
saliente
entrante
Por continuidad qentrante = qsaliente
Simplificamos y llegamos a la ecuacioacuten de Continuidad 0
z
Vz
y
Vy
x
Vx
Aplicamos Ley de Darcy (V = -ki = -k h L) 02
2
2
2
2
2
z
hkz
y
hky
x
hkx
Asumimos el suelo Isotroacutepico (kx = ky = kz) h z
h
y
h
x
h 2
2
2
2
2
2
2
0
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
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La ecuacioacuten de Laplace describe matemaacuteticamente el flujo de aguaen la regioacuten considerada
Expresa la suma de la variacioacuten de los gradientes hidraacuteulicos en lasdirecciones X Y y Z es Nula
h z
h
y
h
x
h 2
2
2
2
2
2
2
0
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
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SOLUCIOacuteN DE LA ECUACIOacuteN DE LAPLACE EN 2 DIMENSIONES
FUNCIOacuteN POTENCIAL DE LA VELOCIDAD =
( x y) = constante = -kh + c Es dependiente del potencial hidraacuteulico y su variacioacuten genera velocidad en
el agua
Derivando con respecto a X y a Y
x
hk
x
y
hk
y
x
hk Vx
y
hk Vy Entonces Vx
x
Vy
y
Resolvemos derivando con respecto a X y a Y y aplicamos la ecuacioacuten de Continuidad
2
2
2
2
2
0 y x
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satisface la ecuacioacuten de Laplace siendo la solucioacuten de la mismaen dos dimensiones
define para cada valor de esa constante una linea continua cuyospuntos tiene igual potencial hidraacuteulico h y son denominadasldquoLineas Equipotencialesrdquo
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
2
2
2
2
2
0 y x
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FUNCIOacuteN DE FLUJO =
( x y) = constante
Entonces
Resolvemos derivando con respecto a X y a Y y aplicamos la ecuacioacuten de Continuidad
0 D
D
y
y x
x
Dx
Dy
Vy
Vx
Por continuidad qentrante = qsaliente
0 DD yVx xVy yVy
Vx x DD Asumiendo Vx
x
Vy
y
2
2
2
2
2
0 y x
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cumple con la ecuacioacuten de Laplace por lo tanto es una solucioacuten ala misma en dos dimensiones
define para cada valor de la constante una linea continua querepresenta la trayectoria de agua Se denominan ldquoLineas de Flujordquo oacuteldquoLineas de Corrienterdquo
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
2
2
2
2
2
0 y x
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RELACIOacuteN ENTRE LAS LINEAS EQUIPOTENCIALES YLINEAS DE FLUJO O DE CORRIENTE
Considerando las derivadas totales a lo largo de cada una de las curvas
y
x
x
y
x
y
x
y
Pendientes Reciacuteprocas y de signo contario lo cual escondicioacuten de Ortogonalidad y son Ortogonales encada punto de interseccioacuten
REDES DE FLUJO
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REDES DE FLUJO
La red de flujo es la solucioacuten graacutefica la ecuacioacuten de Laplace en 2 dimensiones
Desafortunadamente la ecuacioacuten de Laplace es matemaacuteticamente integrable solo encondiciones de frontera muy simples por lo que en la praacutectica es necesario emplearotros meacutetodos diferentes de la integracioacuten para obtener la red de flujo Uno de esosmeacutetodos es el procedimiento graacutefico de Forcheimer que resulta ser muy simple deaplicar cualquiera sea el problema de flujo uniforme en dos dimensiones
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El espacio entre cualquier par de liacuteneas de flujo consecutivas es un canal de flujoen el trazado de la red se debe seleccionar un cierto nuacutemero de canales de flujo
Nf tal que el gasto de infiltracioacuten a traveacutes de cada canal sea el mismoDq = q Nf
La peacuterdida de carga entre cualquier par de liacuteneas equipotenciales consecutivas es lamisma e igual a Dh Donde Dhacute = Dh Nd (Dh es la peacuterdida de carga total y Nd elnuacutemero de caiacutedas de potencial)
El ancho del canal es a y la distancia entre las caiacutedas equipotenciales es b paracualquier elemento considerado
El gasto que circula por cualquier elemento es Dq = k i A
El gradiente hidraacuteulico del elemento es i = Dhacute b = ( Dh Nd ) bEntoces Dq = k ( ( Dh Nd ) b ) a L donde L es el ancho de la red en la tercera dimensioacuten
REDES DE FLUJO
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REDES DE FLUJO
Como Dq = q Nf entonces q = Dq Nf = k ( ( Dh Nd ) b ) a L Nf
La razoacuten a b esta fijada por la razoacuten Nf Nd y es la misma a traveacutes de toda la redNf y Nd deben seleccionarse de modo que a = b y a b = 1 Con lo que laecuacioacuten de gasto se transforma en
Reordenando q = k Dh ( Nf Nd ) (a b ) L
q = k Dh ( Nf Nd ) L
Aacute
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1) Hacer un dibujo a escala que muestre la masa de suelo los liacutemites permeables a
traveacutes de los cuales entra y sale el agua del suelo y las fronteras impermeables que
confinan o limitan el flujo
2) Dibujar de dos a cuatro liacuteneas de flujo que formen aacutengulos rectos con los liacutemitespermeables a la entrada y a la salida y que sean aproximadamente paralelas a losliacutemites impermeables
3) Dibujar liacuteneas equipotenciales que formen aacutengulos rectos con las liacuteneas de flujo demanera que el ancho y el largo promedio del cuadrado curviliacuteneo que forman seaniguales (a=b) Desde luego esto es imposible de lograr en el primer tanteo porquelas posiciones de las liacuteneas de flujo son supuestas pero esta primera red serviraacute deguiacutea para un segundo tanteo
4) Se reajustan las liacuteneas de flujo y las liacuteneas equipotenciales hasta que todas lasintersecciones sean en aacutengulo recto y el largo y ancho de cada cuadrado seaniguales Los tamantildeos de los cuadrados pueden ser distintos pero la relacioacuten ab = 1debe mantenerse
REGLAS PRAacuteCTICAS PARA ELABORAR REDES DE FLUJO
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El logro de una solucioacuten exacta requiere de muchos tanteos y
algunos problemas no admiten en su solucioacuten un nuacutemeroexacto de canales yo de caiacutedas equipotenciales en estos casosdebe intentarse con un nuacutemero de canales yo caiacutedasequipotenciales fraccionario (media caiacuteda o medio canal porejemplo)
Al lograr trazar la red de flujo de cuadrados curviliacuteneossatisfaciendo las condiciones de frontera del problema seobtendraacute la solucioacuten graacutefica de este problema para las
condiciones de frontera del problema se obtendraacute la solucioacutengraacutefica de este para las condiciones hidrodinaacutemicasestablecidas por la ecuacioacuten de Laplace
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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J g j
6 0
0 m
BA
I II III IV V VI VII
C
D
6 0
0 m
6 0
0 m
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
1) Altura piezometrica en A
2) Esfuerzo efectivo en B
3) Gradiente hidraacuteulico velocidades de descarga y de filtracioacuten
en C
4) Presiones hidraacuteulicas sobre el tablestacado5) Gradiente hidraacuteulico de salida y factor de seguridad contra la
arena movediza (licuefaccioacuten)
6) Factor de seguridad a la Tubificacioacuten
7) Presiones hidraacuteulicas sobre el fondo impermeable
8) Presioacuten de filtracioacuten en D
9) Caudal de Filtracioacuten bajo la presa sabiendo que L= 50 m
0m 3m 5m 10m
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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J g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
γconc= 235 Tm3
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
γconc= 235 Tm3
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg γsat= 218 Tm3 γconc= 235 Tm3
LINEA SUPERFICIAL DE FLUJO
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LINEA SUPERFICIAL DE FLUJO
En algunos casos un liacutemite de las liacuteneas de flujo puede ser una superficie de agualibre o superficie de saturacioacuten que no estaacute determinada por ninguna masa soacutelida
impermeable
Tal es el caso de las presas de tierra cuyo problema de flujo presenta caracteriacutesticasespeciales y por lo tanto se requiere del uso de meacutetodos tambieacuten especiales paralograr el trazado de la red de flujo
a
b
c
Equipotencial
Liacutenea de Flujo
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En la figura se presenta una presa de tierra de un material heterogeacuteneo eacute isoacutetropo La liacutenea 1-2 es una liacutenea equipotencial puesto que es el contacto entre el suelo permeable y el agua La liacutenea1-3 es un contacto entre la frontera impermeable y el material permeable por lo tanto es unaliacutenea de flujo Entre los puntos 2 y 4 existe una frontera del flujo donde por debajo de ella elsuelo estaacute saturado y por encima no lo estaacute Ahora bien esta liacutenea que limita la zona de flujodentro de la presa recibe el nombre de liacutenea superficial de flujo o liacutenea de saturacioacuten Suforma se desconoce a priori y tambieacuten la posicioacuten del punto 4 ambos deben ser determinados almenos aproximadamente para poder trazar la red de flujo
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La liacutenea de saturacioacuten ademaacutes de ser una liacutenea de flujo es tambieacuten una liacutenea de
equipresioacuten en la que todos los puntos tienen la misma presioacuten cero Por lo tantoel potencial hidraacuteulico depende de la carga de elevacioacuten uacutenicamente y las liacuteneasequipotenciales la cortaran a intervalos verticales iguales entre si
Condiciones Generales de Entrada
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Condiciones Generales de Entrada
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Condiciones Generales de Salida
Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
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Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
Caso 1 a2 lt 30deg En este caso es posible calcular la superficie humedecida a (distancia 4 - 3) pormedio de la siguiente expresioacuten
2
2
2
2
2
2
2coscos a a a sen
hd d a
d = L - M + O3M
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Luego de dibujar la presa de tierra a escala se sentildeala en ella la superficie humedecida aguas
abajo a calculada por la foacutermula anterior El siguiente paso consiste en el trazado de laliacutenea de saturacioacuten usando el meacutetodo graacutefico aproximado de la paraacutebola baacutesica de Kozenycuyo procedimiento se describe a continuacioacuten
1 Ubicar el punto 2 en la liacutenea freaacutetica a una distancia de 03M medida desde la cara deltalud aguas arriba La cara aguas abajo del talud es tangente a la paraacutebola en el punto 4
2 Prolongar la liacutenea en el talud aguas arriba de la presa Trazar una horizontal por el punto2 hasta cortar la cara del talud aguas abajo El punto de interseccioacuten es 5
3 Dividir 4 -5 Y 5 - 2 en el mismo nuacutemero de partes iguales no maacutes de 4 o 5 y marcarestos puntos (en 2- 5 se parte de 5 numerando con letras A -B etc en 4 - 5 se parte de 4numerando A-B-C etc)
4 Trazar por 4 - 5 liacuteneas horizontales en los puntos marcados
5 Unir cada uno de los puntos marcados en la horizontal 2- 5 con el punto 46 Trazar la liacutenea freaacutetica por los puntos obtenidos 7 Como la liacutenea freaacutetica parte perpendicular a la cara del talud aguas arriba este ajuste
debe realizarse manualmente
=gt M = htg ald =L - O7M
Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
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Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
Caso 2 a2 gt 30deg En este caso el procedimiento a seguir es
d d hP 22
1 La paraacutebola tiene su origen a una distancia P del veacutertice del talud aguas abajo de lapresa es decir este veacutertice es su foco y es tangente a la vertical que pasa por elpunto P
P se calcula por medio de la siguiente expresioacuten
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2 Trazar la paraacutebola baacutesica de Kozeny En este caso la tangente al origen es una liacuteneavertical
3 La distancia desde el punto 4 hasta la interseccioacuten de la paraacutebola con el talud aguasabajo es a + Da y no es realmente el punto por donde sale el agua en el talud porlo tanto se debe realizar una correccioacuten y encontrar a Casagrande encontroacute que larelacioacuten es un escalar que puede ser llamado a y que se relaciona
con el angulo a2 seguacuten se muestra en la siguiente tabla
a
a
D
D
a a2 ( deg ) aacute
30 0375
60 0320
90 0260
120 0185
150 0105
180 0
Los valores entre estos aacutengulos pueden interpolarse
y midiendo a + Da se calcula a usando la tablaDa = aacute ( a + Da ) y a = ( a + Da ) - Da
Finalmente se trazan manualmente la entraday la salida de la liacutenea de saturacioacuten
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EJERCICIO Determine la Linea Superficial de Flujo de la presa de tierra que se presentaa continuacioacuten
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a continuacioacuten
EJERCICIO Determine la Linea Superficial de Flujo de la presa de tierra que se presentaa continuacioacuten
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2
1
a continuacioacuten
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
g
La teoriacutea de la seccioacuten transformada permite reducir al caso de un suelo homogeacuteneo e isoacutetropo un suelo en el que la permeabilidad para el flujo en la direccioacuten horizontal ( kx) y la que tenga para el flujo en la direccioacuten vertical ( ky ) sean diferentes ( kx ne Ky )(por lo general Kx en muchas veces mayor que ky )
La teoriacutea de la seccioacuten transformada es un simple artificio de calculo que se logra por una simple transformacioacuten de coordenadas y que modifica sobre el papel las dimensiones de la zona de flujo en estudio en un suelo isotropico hidraacuteulicamente equivalente
Dos tipos de transformaciones se pueden aplicar a) Haciendo
Y Ky
Kx
Y acute
Se modifican las dimensiones verticales permaneciendo constantes las horizontales
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
g
b) Haciendo
X Kx
Ky X acute
Se modifican las dimensiones Horizontales permaneciendo constantes las Verticales
En la seccioacuten transformada homogeacutenea e isoacutetropa la permeabilidad equivalente viene dada por
kykxk
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
kykxk
X Kx
Ky X acute
2 0 0 0
0 0
kx
ky
k
2 8 2 0 0
0
h
141h
500000
b352463
071b
k
Y Ky
KxY acute
kykx 2
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ECUACIOacuteN FUNDAMENTAL DE FLUJO
HIPOTESIS
Dominio Saturado
La Presioacuten y la Velocidad son funcioacuten uacutenicamente de la posicioacuten
El esqueleto mineral del suelo es perfectamente riacutegido
z
y
x x y z
dz
dy
dx
Componente vertical del flujo
Base teoacuterica de la Red de Flujo y para otros
meacutetodos de resolucioacuten de problemas de filtracioacuten
Elemento cuacutebico de suelo a traveacutes del cual se
produce flujo laminar q con componenetes x y z
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z y x qqqq
dydxdz z
VzVzdzdxdy
y
VyVydzdydx
x
VxVxdydxVzdzdxVydzdyVx
Igualamos
dydxdz z
VzVzdzdxdy y
VyVydzdydx x
VxVxq
dydxVzdzdxVydzdyVxq
saliente
entrante
Por continuidad qentrante = qsaliente
Simplificamos y llegamos a la ecuacioacuten de Continuidad 0
z
Vz
y
Vy
x
Vx
Aplicamos Ley de Darcy (V = -ki = -k h L) 02
2
2
2
2
2
z
hkz
y
hky
x
hkx
Asumimos el suelo Isotroacutepico (kx = ky = kz) h z
h
y
h
x
h 2
2
2
2
2
2
2
0
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
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La ecuacioacuten de Laplace describe matemaacuteticamente el flujo de aguaen la regioacuten considerada
Expresa la suma de la variacioacuten de los gradientes hidraacuteulicos en lasdirecciones X Y y Z es Nula
h z
h
y
h
x
h 2
2
2
2
2
2
2
0
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
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SOLUCIOacuteN DE LA ECUACIOacuteN DE LAPLACE EN 2 DIMENSIONES
FUNCIOacuteN POTENCIAL DE LA VELOCIDAD =
( x y) = constante = -kh + c Es dependiente del potencial hidraacuteulico y su variacioacuten genera velocidad en
el agua
Derivando con respecto a X y a Y
x
hk
x
y
hk
y
x
hk Vx
y
hk Vy Entonces Vx
x
Vy
y
Resolvemos derivando con respecto a X y a Y y aplicamos la ecuacioacuten de Continuidad
2
2
2
2
2
0 y x
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satisface la ecuacioacuten de Laplace siendo la solucioacuten de la mismaen dos dimensiones
define para cada valor de esa constante una linea continua cuyospuntos tiene igual potencial hidraacuteulico h y son denominadasldquoLineas Equipotencialesrdquo
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
2
2
2
2
2
0 y x
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FUNCIOacuteN DE FLUJO =
( x y) = constante
Entonces
Resolvemos derivando con respecto a X y a Y y aplicamos la ecuacioacuten de Continuidad
0 D
D
y
y x
x
Dx
Dy
Vy
Vx
Por continuidad qentrante = qsaliente
0 DD yVx xVy yVy
Vx x DD Asumiendo Vx
x
Vy
y
2
2
2
2
2
0 y x
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cumple con la ecuacioacuten de Laplace por lo tanto es una solucioacuten ala misma en dos dimensiones
define para cada valor de la constante una linea continua querepresenta la trayectoria de agua Se denominan ldquoLineas de Flujordquo oacuteldquoLineas de Corrienterdquo
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
2
2
2
2
2
0 y x
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RELACIOacuteN ENTRE LAS LINEAS EQUIPOTENCIALES YLINEAS DE FLUJO O DE CORRIENTE
Considerando las derivadas totales a lo largo de cada una de las curvas
y
x
x
y
x
y
x
y
Pendientes Reciacuteprocas y de signo contario lo cual escondicioacuten de Ortogonalidad y son Ortogonales encada punto de interseccioacuten
REDES DE FLUJO
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REDES DE FLUJO
La red de flujo es la solucioacuten graacutefica la ecuacioacuten de Laplace en 2 dimensiones
Desafortunadamente la ecuacioacuten de Laplace es matemaacuteticamente integrable solo encondiciones de frontera muy simples por lo que en la praacutectica es necesario emplearotros meacutetodos diferentes de la integracioacuten para obtener la red de flujo Uno de esosmeacutetodos es el procedimiento graacutefico de Forcheimer que resulta ser muy simple deaplicar cualquiera sea el problema de flujo uniforme en dos dimensiones
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El espacio entre cualquier par de liacuteneas de flujo consecutivas es un canal de flujoen el trazado de la red se debe seleccionar un cierto nuacutemero de canales de flujo
Nf tal que el gasto de infiltracioacuten a traveacutes de cada canal sea el mismoDq = q Nf
La peacuterdida de carga entre cualquier par de liacuteneas equipotenciales consecutivas es lamisma e igual a Dh Donde Dhacute = Dh Nd (Dh es la peacuterdida de carga total y Nd elnuacutemero de caiacutedas de potencial)
El ancho del canal es a y la distancia entre las caiacutedas equipotenciales es b paracualquier elemento considerado
El gasto que circula por cualquier elemento es Dq = k i A
El gradiente hidraacuteulico del elemento es i = Dhacute b = ( Dh Nd ) bEntoces Dq = k ( ( Dh Nd ) b ) a L donde L es el ancho de la red en la tercera dimensioacuten
REDES DE FLUJO
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REDES DE FLUJO
Como Dq = q Nf entonces q = Dq Nf = k ( ( Dh Nd ) b ) a L Nf
La razoacuten a b esta fijada por la razoacuten Nf Nd y es la misma a traveacutes de toda la redNf y Nd deben seleccionarse de modo que a = b y a b = 1 Con lo que laecuacioacuten de gasto se transforma en
Reordenando q = k Dh ( Nf Nd ) (a b ) L
q = k Dh ( Nf Nd ) L
Aacute
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1) Hacer un dibujo a escala que muestre la masa de suelo los liacutemites permeables a
traveacutes de los cuales entra y sale el agua del suelo y las fronteras impermeables que
confinan o limitan el flujo
2) Dibujar de dos a cuatro liacuteneas de flujo que formen aacutengulos rectos con los liacutemitespermeables a la entrada y a la salida y que sean aproximadamente paralelas a losliacutemites impermeables
3) Dibujar liacuteneas equipotenciales que formen aacutengulos rectos con las liacuteneas de flujo demanera que el ancho y el largo promedio del cuadrado curviliacuteneo que forman seaniguales (a=b) Desde luego esto es imposible de lograr en el primer tanteo porquelas posiciones de las liacuteneas de flujo son supuestas pero esta primera red serviraacute deguiacutea para un segundo tanteo
4) Se reajustan las liacuteneas de flujo y las liacuteneas equipotenciales hasta que todas lasintersecciones sean en aacutengulo recto y el largo y ancho de cada cuadrado seaniguales Los tamantildeos de los cuadrados pueden ser distintos pero la relacioacuten ab = 1debe mantenerse
REGLAS PRAacuteCTICAS PARA ELABORAR REDES DE FLUJO
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El logro de una solucioacuten exacta requiere de muchos tanteos y
algunos problemas no admiten en su solucioacuten un nuacutemeroexacto de canales yo de caiacutedas equipotenciales en estos casosdebe intentarse con un nuacutemero de canales yo caiacutedasequipotenciales fraccionario (media caiacuteda o medio canal porejemplo)
Al lograr trazar la red de flujo de cuadrados curviliacuteneossatisfaciendo las condiciones de frontera del problema seobtendraacute la solucioacuten graacutefica de este problema para las
condiciones de frontera del problema se obtendraacute la solucioacutengraacutefica de este para las condiciones hidrodinaacutemicasestablecidas por la ecuacioacuten de Laplace
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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J g j
6 0
0 m
BA
I II III IV V VI VII
C
D
6 0
0 m
6 0
0 m
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
1) Altura piezometrica en A
2) Esfuerzo efectivo en B
3) Gradiente hidraacuteulico velocidades de descarga y de filtracioacuten
en C
4) Presiones hidraacuteulicas sobre el tablestacado5) Gradiente hidraacuteulico de salida y factor de seguridad contra la
arena movediza (licuefaccioacuten)
6) Factor de seguridad a la Tubificacioacuten
7) Presiones hidraacuteulicas sobre el fondo impermeable
8) Presioacuten de filtracioacuten en D
9) Caudal de Filtracioacuten bajo la presa sabiendo que L= 50 m
0m 3m 5m 10m
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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J g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
γconc= 235 Tm3
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
γconc= 235 Tm3
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg γsat= 218 Tm3 γconc= 235 Tm3
LINEA SUPERFICIAL DE FLUJO
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LINEA SUPERFICIAL DE FLUJO
En algunos casos un liacutemite de las liacuteneas de flujo puede ser una superficie de agualibre o superficie de saturacioacuten que no estaacute determinada por ninguna masa soacutelida
impermeable
Tal es el caso de las presas de tierra cuyo problema de flujo presenta caracteriacutesticasespeciales y por lo tanto se requiere del uso de meacutetodos tambieacuten especiales paralograr el trazado de la red de flujo
a
b
c
Equipotencial
Liacutenea de Flujo
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En la figura se presenta una presa de tierra de un material heterogeacuteneo eacute isoacutetropo La liacutenea 1-2 es una liacutenea equipotencial puesto que es el contacto entre el suelo permeable y el agua La liacutenea1-3 es un contacto entre la frontera impermeable y el material permeable por lo tanto es unaliacutenea de flujo Entre los puntos 2 y 4 existe una frontera del flujo donde por debajo de ella elsuelo estaacute saturado y por encima no lo estaacute Ahora bien esta liacutenea que limita la zona de flujodentro de la presa recibe el nombre de liacutenea superficial de flujo o liacutenea de saturacioacuten Suforma se desconoce a priori y tambieacuten la posicioacuten del punto 4 ambos deben ser determinados almenos aproximadamente para poder trazar la red de flujo
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La liacutenea de saturacioacuten ademaacutes de ser una liacutenea de flujo es tambieacuten una liacutenea de
equipresioacuten en la que todos los puntos tienen la misma presioacuten cero Por lo tantoel potencial hidraacuteulico depende de la carga de elevacioacuten uacutenicamente y las liacuteneasequipotenciales la cortaran a intervalos verticales iguales entre si
Condiciones Generales de Entrada
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Condiciones Generales de Entrada
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Condiciones Generales de Salida
Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
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Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
Caso 1 a2 lt 30deg En este caso es posible calcular la superficie humedecida a (distancia 4 - 3) pormedio de la siguiente expresioacuten
2
2
2
2
2
2
2coscos a a a sen
hd d a
d = L - M + O3M
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Luego de dibujar la presa de tierra a escala se sentildeala en ella la superficie humedecida aguas
abajo a calculada por la foacutermula anterior El siguiente paso consiste en el trazado de laliacutenea de saturacioacuten usando el meacutetodo graacutefico aproximado de la paraacutebola baacutesica de Kozenycuyo procedimiento se describe a continuacioacuten
1 Ubicar el punto 2 en la liacutenea freaacutetica a una distancia de 03M medida desde la cara deltalud aguas arriba La cara aguas abajo del talud es tangente a la paraacutebola en el punto 4
2 Prolongar la liacutenea en el talud aguas arriba de la presa Trazar una horizontal por el punto2 hasta cortar la cara del talud aguas abajo El punto de interseccioacuten es 5
3 Dividir 4 -5 Y 5 - 2 en el mismo nuacutemero de partes iguales no maacutes de 4 o 5 y marcarestos puntos (en 2- 5 se parte de 5 numerando con letras A -B etc en 4 - 5 se parte de 4numerando A-B-C etc)
4 Trazar por 4 - 5 liacuteneas horizontales en los puntos marcados
5 Unir cada uno de los puntos marcados en la horizontal 2- 5 con el punto 46 Trazar la liacutenea freaacutetica por los puntos obtenidos 7 Como la liacutenea freaacutetica parte perpendicular a la cara del talud aguas arriba este ajuste
debe realizarse manualmente
=gt M = htg ald =L - O7M
Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
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Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
Caso 2 a2 gt 30deg En este caso el procedimiento a seguir es
d d hP 22
1 La paraacutebola tiene su origen a una distancia P del veacutertice del talud aguas abajo de lapresa es decir este veacutertice es su foco y es tangente a la vertical que pasa por elpunto P
P se calcula por medio de la siguiente expresioacuten
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2 Trazar la paraacutebola baacutesica de Kozeny En este caso la tangente al origen es una liacuteneavertical
3 La distancia desde el punto 4 hasta la interseccioacuten de la paraacutebola con el talud aguasabajo es a + Da y no es realmente el punto por donde sale el agua en el talud porlo tanto se debe realizar una correccioacuten y encontrar a Casagrande encontroacute que larelacioacuten es un escalar que puede ser llamado a y que se relaciona
con el angulo a2 seguacuten se muestra en la siguiente tabla
a
a
D
D
a a2 ( deg ) aacute
30 0375
60 0320
90 0260
120 0185
150 0105
180 0
Los valores entre estos aacutengulos pueden interpolarse
y midiendo a + Da se calcula a usando la tablaDa = aacute ( a + Da ) y a = ( a + Da ) - Da
Finalmente se trazan manualmente la entraday la salida de la liacutenea de saturacioacuten
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EJERCICIO Determine la Linea Superficial de Flujo de la presa de tierra que se presentaa continuacioacuten
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a continuacioacuten
EJERCICIO Determine la Linea Superficial de Flujo de la presa de tierra que se presentaa continuacioacuten
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2
1
a continuacioacuten
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
g
La teoriacutea de la seccioacuten transformada permite reducir al caso de un suelo homogeacuteneo e isoacutetropo un suelo en el que la permeabilidad para el flujo en la direccioacuten horizontal ( kx) y la que tenga para el flujo en la direccioacuten vertical ( ky ) sean diferentes ( kx ne Ky )(por lo general Kx en muchas veces mayor que ky )
La teoriacutea de la seccioacuten transformada es un simple artificio de calculo que se logra por una simple transformacioacuten de coordenadas y que modifica sobre el papel las dimensiones de la zona de flujo en estudio en un suelo isotropico hidraacuteulicamente equivalente
Dos tipos de transformaciones se pueden aplicar a) Haciendo
Y Ky
Kx
Y acute
Se modifican las dimensiones verticales permaneciendo constantes las horizontales
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
g
b) Haciendo
X Kx
Ky X acute
Se modifican las dimensiones Horizontales permaneciendo constantes las Verticales
En la seccioacuten transformada homogeacutenea e isoacutetropa la permeabilidad equivalente viene dada por
kykxk
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
kykxk
X Kx
Ky X acute
2 0 0 0
0 0
kx
ky
k
2 8 2 0 0
0
h
141h
500000
b352463
071b
k
Y Ky
KxY acute
kykx 2
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z y x qqqq
dydxdz z
VzVzdzdxdy
y
VyVydzdydx
x
VxVxdydxVzdzdxVydzdyVx
Igualamos
dydxdz z
VzVzdzdxdy y
VyVydzdydx x
VxVxq
dydxVzdzdxVydzdyVxq
saliente
entrante
Por continuidad qentrante = qsaliente
Simplificamos y llegamos a la ecuacioacuten de Continuidad 0
z
Vz
y
Vy
x
Vx
Aplicamos Ley de Darcy (V = -ki = -k h L) 02
2
2
2
2
2
z
hkz
y
hky
x
hkx
Asumimos el suelo Isotroacutepico (kx = ky = kz) h z
h
y
h
x
h 2
2
2
2
2
2
2
0
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
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La ecuacioacuten de Laplace describe matemaacuteticamente el flujo de aguaen la regioacuten considerada
Expresa la suma de la variacioacuten de los gradientes hidraacuteulicos en lasdirecciones X Y y Z es Nula
h z
h
y
h
x
h 2
2
2
2
2
2
2
0
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
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SOLUCIOacuteN DE LA ECUACIOacuteN DE LAPLACE EN 2 DIMENSIONES
FUNCIOacuteN POTENCIAL DE LA VELOCIDAD =
( x y) = constante = -kh + c Es dependiente del potencial hidraacuteulico y su variacioacuten genera velocidad en
el agua
Derivando con respecto a X y a Y
x
hk
x
y
hk
y
x
hk Vx
y
hk Vy Entonces Vx
x
Vy
y
Resolvemos derivando con respecto a X y a Y y aplicamos la ecuacioacuten de Continuidad
2
2
2
2
2
0 y x
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satisface la ecuacioacuten de Laplace siendo la solucioacuten de la mismaen dos dimensiones
define para cada valor de esa constante una linea continua cuyospuntos tiene igual potencial hidraacuteulico h y son denominadasldquoLineas Equipotencialesrdquo
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
2
2
2
2
2
0 y x
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FUNCIOacuteN DE FLUJO =
( x y) = constante
Entonces
Resolvemos derivando con respecto a X y a Y y aplicamos la ecuacioacuten de Continuidad
0 D
D
y
y x
x
Dx
Dy
Vy
Vx
Por continuidad qentrante = qsaliente
0 DD yVx xVy yVy
Vx x DD Asumiendo Vx
x
Vy
y
2
2
2
2
2
0 y x
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cumple con la ecuacioacuten de Laplace por lo tanto es una solucioacuten ala misma en dos dimensiones
define para cada valor de la constante una linea continua querepresenta la trayectoria de agua Se denominan ldquoLineas de Flujordquo oacuteldquoLineas de Corrienterdquo
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
2
2
2
2
2
0 y x
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RELACIOacuteN ENTRE LAS LINEAS EQUIPOTENCIALES YLINEAS DE FLUJO O DE CORRIENTE
Considerando las derivadas totales a lo largo de cada una de las curvas
y
x
x
y
x
y
x
y
Pendientes Reciacuteprocas y de signo contario lo cual escondicioacuten de Ortogonalidad y son Ortogonales encada punto de interseccioacuten
REDES DE FLUJO
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REDES DE FLUJO
La red de flujo es la solucioacuten graacutefica la ecuacioacuten de Laplace en 2 dimensiones
Desafortunadamente la ecuacioacuten de Laplace es matemaacuteticamente integrable solo encondiciones de frontera muy simples por lo que en la praacutectica es necesario emplearotros meacutetodos diferentes de la integracioacuten para obtener la red de flujo Uno de esosmeacutetodos es el procedimiento graacutefico de Forcheimer que resulta ser muy simple deaplicar cualquiera sea el problema de flujo uniforme en dos dimensiones
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El espacio entre cualquier par de liacuteneas de flujo consecutivas es un canal de flujoen el trazado de la red se debe seleccionar un cierto nuacutemero de canales de flujo
Nf tal que el gasto de infiltracioacuten a traveacutes de cada canal sea el mismoDq = q Nf
La peacuterdida de carga entre cualquier par de liacuteneas equipotenciales consecutivas es lamisma e igual a Dh Donde Dhacute = Dh Nd (Dh es la peacuterdida de carga total y Nd elnuacutemero de caiacutedas de potencial)
El ancho del canal es a y la distancia entre las caiacutedas equipotenciales es b paracualquier elemento considerado
El gasto que circula por cualquier elemento es Dq = k i A
El gradiente hidraacuteulico del elemento es i = Dhacute b = ( Dh Nd ) bEntoces Dq = k ( ( Dh Nd ) b ) a L donde L es el ancho de la red en la tercera dimensioacuten
REDES DE FLUJO
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REDES DE FLUJO
Como Dq = q Nf entonces q = Dq Nf = k ( ( Dh Nd ) b ) a L Nf
La razoacuten a b esta fijada por la razoacuten Nf Nd y es la misma a traveacutes de toda la redNf y Nd deben seleccionarse de modo que a = b y a b = 1 Con lo que laecuacioacuten de gasto se transforma en
Reordenando q = k Dh ( Nf Nd ) (a b ) L
q = k Dh ( Nf Nd ) L
Aacute
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1) Hacer un dibujo a escala que muestre la masa de suelo los liacutemites permeables a
traveacutes de los cuales entra y sale el agua del suelo y las fronteras impermeables que
confinan o limitan el flujo
2) Dibujar de dos a cuatro liacuteneas de flujo que formen aacutengulos rectos con los liacutemitespermeables a la entrada y a la salida y que sean aproximadamente paralelas a losliacutemites impermeables
3) Dibujar liacuteneas equipotenciales que formen aacutengulos rectos con las liacuteneas de flujo demanera que el ancho y el largo promedio del cuadrado curviliacuteneo que forman seaniguales (a=b) Desde luego esto es imposible de lograr en el primer tanteo porquelas posiciones de las liacuteneas de flujo son supuestas pero esta primera red serviraacute deguiacutea para un segundo tanteo
4) Se reajustan las liacuteneas de flujo y las liacuteneas equipotenciales hasta que todas lasintersecciones sean en aacutengulo recto y el largo y ancho de cada cuadrado seaniguales Los tamantildeos de los cuadrados pueden ser distintos pero la relacioacuten ab = 1debe mantenerse
REGLAS PRAacuteCTICAS PARA ELABORAR REDES DE FLUJO
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El logro de una solucioacuten exacta requiere de muchos tanteos y
algunos problemas no admiten en su solucioacuten un nuacutemeroexacto de canales yo de caiacutedas equipotenciales en estos casosdebe intentarse con un nuacutemero de canales yo caiacutedasequipotenciales fraccionario (media caiacuteda o medio canal porejemplo)
Al lograr trazar la red de flujo de cuadrados curviliacuteneossatisfaciendo las condiciones de frontera del problema seobtendraacute la solucioacuten graacutefica de este problema para las
condiciones de frontera del problema se obtendraacute la solucioacutengraacutefica de este para las condiciones hidrodinaacutemicasestablecidas por la ecuacioacuten de Laplace
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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J g j
6 0
0 m
BA
I II III IV V VI VII
C
D
6 0
0 m
6 0
0 m
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
1) Altura piezometrica en A
2) Esfuerzo efectivo en B
3) Gradiente hidraacuteulico velocidades de descarga y de filtracioacuten
en C
4) Presiones hidraacuteulicas sobre el tablestacado5) Gradiente hidraacuteulico de salida y factor de seguridad contra la
arena movediza (licuefaccioacuten)
6) Factor de seguridad a la Tubificacioacuten
7) Presiones hidraacuteulicas sobre el fondo impermeable
8) Presioacuten de filtracioacuten en D
9) Caudal de Filtracioacuten bajo la presa sabiendo que L= 50 m
0m 3m 5m 10m
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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J g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
γconc= 235 Tm3
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
γconc= 235 Tm3
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
5172018 Esfuerzo en El Suelo - slidepdfcom
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g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg γsat= 218 Tm3 γconc= 235 Tm3
LINEA SUPERFICIAL DE FLUJO
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LINEA SUPERFICIAL DE FLUJO
En algunos casos un liacutemite de las liacuteneas de flujo puede ser una superficie de agualibre o superficie de saturacioacuten que no estaacute determinada por ninguna masa soacutelida
impermeable
Tal es el caso de las presas de tierra cuyo problema de flujo presenta caracteriacutesticasespeciales y por lo tanto se requiere del uso de meacutetodos tambieacuten especiales paralograr el trazado de la red de flujo
a
b
c
Equipotencial
Liacutenea de Flujo
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En la figura se presenta una presa de tierra de un material heterogeacuteneo eacute isoacutetropo La liacutenea 1-2 es una liacutenea equipotencial puesto que es el contacto entre el suelo permeable y el agua La liacutenea1-3 es un contacto entre la frontera impermeable y el material permeable por lo tanto es unaliacutenea de flujo Entre los puntos 2 y 4 existe una frontera del flujo donde por debajo de ella elsuelo estaacute saturado y por encima no lo estaacute Ahora bien esta liacutenea que limita la zona de flujodentro de la presa recibe el nombre de liacutenea superficial de flujo o liacutenea de saturacioacuten Suforma se desconoce a priori y tambieacuten la posicioacuten del punto 4 ambos deben ser determinados almenos aproximadamente para poder trazar la red de flujo
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La liacutenea de saturacioacuten ademaacutes de ser una liacutenea de flujo es tambieacuten una liacutenea de
equipresioacuten en la que todos los puntos tienen la misma presioacuten cero Por lo tantoel potencial hidraacuteulico depende de la carga de elevacioacuten uacutenicamente y las liacuteneasequipotenciales la cortaran a intervalos verticales iguales entre si
Condiciones Generales de Entrada
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Condiciones Generales de Entrada
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Condiciones Generales de Salida
Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
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Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
Caso 1 a2 lt 30deg En este caso es posible calcular la superficie humedecida a (distancia 4 - 3) pormedio de la siguiente expresioacuten
2
2
2
2
2
2
2coscos a a a sen
hd d a
d = L - M + O3M
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Luego de dibujar la presa de tierra a escala se sentildeala en ella la superficie humedecida aguas
abajo a calculada por la foacutermula anterior El siguiente paso consiste en el trazado de laliacutenea de saturacioacuten usando el meacutetodo graacutefico aproximado de la paraacutebola baacutesica de Kozenycuyo procedimiento se describe a continuacioacuten
1 Ubicar el punto 2 en la liacutenea freaacutetica a una distancia de 03M medida desde la cara deltalud aguas arriba La cara aguas abajo del talud es tangente a la paraacutebola en el punto 4
2 Prolongar la liacutenea en el talud aguas arriba de la presa Trazar una horizontal por el punto2 hasta cortar la cara del talud aguas abajo El punto de interseccioacuten es 5
3 Dividir 4 -5 Y 5 - 2 en el mismo nuacutemero de partes iguales no maacutes de 4 o 5 y marcarestos puntos (en 2- 5 se parte de 5 numerando con letras A -B etc en 4 - 5 se parte de 4numerando A-B-C etc)
4 Trazar por 4 - 5 liacuteneas horizontales en los puntos marcados
5 Unir cada uno de los puntos marcados en la horizontal 2- 5 con el punto 46 Trazar la liacutenea freaacutetica por los puntos obtenidos 7 Como la liacutenea freaacutetica parte perpendicular a la cara del talud aguas arriba este ajuste
debe realizarse manualmente
=gt M = htg ald =L - O7M
Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
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Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
Caso 2 a2 gt 30deg En este caso el procedimiento a seguir es
d d hP 22
1 La paraacutebola tiene su origen a una distancia P del veacutertice del talud aguas abajo de lapresa es decir este veacutertice es su foco y es tangente a la vertical que pasa por elpunto P
P se calcula por medio de la siguiente expresioacuten
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2 Trazar la paraacutebola baacutesica de Kozeny En este caso la tangente al origen es una liacuteneavertical
3 La distancia desde el punto 4 hasta la interseccioacuten de la paraacutebola con el talud aguasabajo es a + Da y no es realmente el punto por donde sale el agua en el talud porlo tanto se debe realizar una correccioacuten y encontrar a Casagrande encontroacute que larelacioacuten es un escalar que puede ser llamado a y que se relaciona
con el angulo a2 seguacuten se muestra en la siguiente tabla
a
a
D
D
a a2 ( deg ) aacute
30 0375
60 0320
90 0260
120 0185
150 0105
180 0
Los valores entre estos aacutengulos pueden interpolarse
y midiendo a + Da se calcula a usando la tablaDa = aacute ( a + Da ) y a = ( a + Da ) - Da
Finalmente se trazan manualmente la entraday la salida de la liacutenea de saturacioacuten
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EJERCICIO Determine la Linea Superficial de Flujo de la presa de tierra que se presentaa continuacioacuten
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a continuacioacuten
EJERCICIO Determine la Linea Superficial de Flujo de la presa de tierra que se presentaa continuacioacuten
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2
1
a continuacioacuten
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
g
La teoriacutea de la seccioacuten transformada permite reducir al caso de un suelo homogeacuteneo e isoacutetropo un suelo en el que la permeabilidad para el flujo en la direccioacuten horizontal ( kx) y la que tenga para el flujo en la direccioacuten vertical ( ky ) sean diferentes ( kx ne Ky )(por lo general Kx en muchas veces mayor que ky )
La teoriacutea de la seccioacuten transformada es un simple artificio de calculo que se logra por una simple transformacioacuten de coordenadas y que modifica sobre el papel las dimensiones de la zona de flujo en estudio en un suelo isotropico hidraacuteulicamente equivalente
Dos tipos de transformaciones se pueden aplicar a) Haciendo
Y Ky
Kx
Y acute
Se modifican las dimensiones verticales permaneciendo constantes las horizontales
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
g
b) Haciendo
X Kx
Ky X acute
Se modifican las dimensiones Horizontales permaneciendo constantes las Verticales
En la seccioacuten transformada homogeacutenea e isoacutetropa la permeabilidad equivalente viene dada por
kykxk
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
kykxk
X Kx
Ky X acute
2 0 0 0
0 0
kx
ky
k
2 8 2 0 0
0
h
141h
500000
b352463
071b
k
Y Ky
KxY acute
kykx 2
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La ecuacioacuten de Laplace describe matemaacuteticamente el flujo de aguaen la regioacuten considerada
Expresa la suma de la variacioacuten de los gradientes hidraacuteulicos en lasdirecciones X Y y Z es Nula
h z
h
y
h
x
h 2
2
2
2
2
2
2
0
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
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SOLUCIOacuteN DE LA ECUACIOacuteN DE LAPLACE EN 2 DIMENSIONES
FUNCIOacuteN POTENCIAL DE LA VELOCIDAD =
( x y) = constante = -kh + c Es dependiente del potencial hidraacuteulico y su variacioacuten genera velocidad en
el agua
Derivando con respecto a X y a Y
x
hk
x
y
hk
y
x
hk Vx
y
hk Vy Entonces Vx
x
Vy
y
Resolvemos derivando con respecto a X y a Y y aplicamos la ecuacioacuten de Continuidad
2
2
2
2
2
0 y x
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satisface la ecuacioacuten de Laplace siendo la solucioacuten de la mismaen dos dimensiones
define para cada valor de esa constante una linea continua cuyospuntos tiene igual potencial hidraacuteulico h y son denominadasldquoLineas Equipotencialesrdquo
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
2
2
2
2
2
0 y x
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FUNCIOacuteN DE FLUJO =
( x y) = constante
Entonces
Resolvemos derivando con respecto a X y a Y y aplicamos la ecuacioacuten de Continuidad
0 D
D
y
y x
x
Dx
Dy
Vy
Vx
Por continuidad qentrante = qsaliente
0 DD yVx xVy yVy
Vx x DD Asumiendo Vx
x
Vy
y
2
2
2
2
2
0 y x
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cumple con la ecuacioacuten de Laplace por lo tanto es una solucioacuten ala misma en dos dimensiones
define para cada valor de la constante una linea continua querepresenta la trayectoria de agua Se denominan ldquoLineas de Flujordquo oacuteldquoLineas de Corrienterdquo
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
2
2
2
2
2
0 y x
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RELACIOacuteN ENTRE LAS LINEAS EQUIPOTENCIALES YLINEAS DE FLUJO O DE CORRIENTE
Considerando las derivadas totales a lo largo de cada una de las curvas
y
x
x
y
x
y
x
y
Pendientes Reciacuteprocas y de signo contario lo cual escondicioacuten de Ortogonalidad y son Ortogonales encada punto de interseccioacuten
REDES DE FLUJO
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REDES DE FLUJO
La red de flujo es la solucioacuten graacutefica la ecuacioacuten de Laplace en 2 dimensiones
Desafortunadamente la ecuacioacuten de Laplace es matemaacuteticamente integrable solo encondiciones de frontera muy simples por lo que en la praacutectica es necesario emplearotros meacutetodos diferentes de la integracioacuten para obtener la red de flujo Uno de esosmeacutetodos es el procedimiento graacutefico de Forcheimer que resulta ser muy simple deaplicar cualquiera sea el problema de flujo uniforme en dos dimensiones
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El espacio entre cualquier par de liacuteneas de flujo consecutivas es un canal de flujoen el trazado de la red se debe seleccionar un cierto nuacutemero de canales de flujo
Nf tal que el gasto de infiltracioacuten a traveacutes de cada canal sea el mismoDq = q Nf
La peacuterdida de carga entre cualquier par de liacuteneas equipotenciales consecutivas es lamisma e igual a Dh Donde Dhacute = Dh Nd (Dh es la peacuterdida de carga total y Nd elnuacutemero de caiacutedas de potencial)
El ancho del canal es a y la distancia entre las caiacutedas equipotenciales es b paracualquier elemento considerado
El gasto que circula por cualquier elemento es Dq = k i A
El gradiente hidraacuteulico del elemento es i = Dhacute b = ( Dh Nd ) bEntoces Dq = k ( ( Dh Nd ) b ) a L donde L es el ancho de la red en la tercera dimensioacuten
REDES DE FLUJO
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REDES DE FLUJO
Como Dq = q Nf entonces q = Dq Nf = k ( ( Dh Nd ) b ) a L Nf
La razoacuten a b esta fijada por la razoacuten Nf Nd y es la misma a traveacutes de toda la redNf y Nd deben seleccionarse de modo que a = b y a b = 1 Con lo que laecuacioacuten de gasto se transforma en
Reordenando q = k Dh ( Nf Nd ) (a b ) L
q = k Dh ( Nf Nd ) L
Aacute
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1) Hacer un dibujo a escala que muestre la masa de suelo los liacutemites permeables a
traveacutes de los cuales entra y sale el agua del suelo y las fronteras impermeables que
confinan o limitan el flujo
2) Dibujar de dos a cuatro liacuteneas de flujo que formen aacutengulos rectos con los liacutemitespermeables a la entrada y a la salida y que sean aproximadamente paralelas a losliacutemites impermeables
3) Dibujar liacuteneas equipotenciales que formen aacutengulos rectos con las liacuteneas de flujo demanera que el ancho y el largo promedio del cuadrado curviliacuteneo que forman seaniguales (a=b) Desde luego esto es imposible de lograr en el primer tanteo porquelas posiciones de las liacuteneas de flujo son supuestas pero esta primera red serviraacute deguiacutea para un segundo tanteo
4) Se reajustan las liacuteneas de flujo y las liacuteneas equipotenciales hasta que todas lasintersecciones sean en aacutengulo recto y el largo y ancho de cada cuadrado seaniguales Los tamantildeos de los cuadrados pueden ser distintos pero la relacioacuten ab = 1debe mantenerse
REGLAS PRAacuteCTICAS PARA ELABORAR REDES DE FLUJO
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El logro de una solucioacuten exacta requiere de muchos tanteos y
algunos problemas no admiten en su solucioacuten un nuacutemeroexacto de canales yo de caiacutedas equipotenciales en estos casosdebe intentarse con un nuacutemero de canales yo caiacutedasequipotenciales fraccionario (media caiacuteda o medio canal porejemplo)
Al lograr trazar la red de flujo de cuadrados curviliacuteneossatisfaciendo las condiciones de frontera del problema seobtendraacute la solucioacuten graacutefica de este problema para las
condiciones de frontera del problema se obtendraacute la solucioacutengraacutefica de este para las condiciones hidrodinaacutemicasestablecidas por la ecuacioacuten de Laplace
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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J g j
6 0
0 m
BA
I II III IV V VI VII
C
D
6 0
0 m
6 0
0 m
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
1) Altura piezometrica en A
2) Esfuerzo efectivo en B
3) Gradiente hidraacuteulico velocidades de descarga y de filtracioacuten
en C
4) Presiones hidraacuteulicas sobre el tablestacado5) Gradiente hidraacuteulico de salida y factor de seguridad contra la
arena movediza (licuefaccioacuten)
6) Factor de seguridad a la Tubificacioacuten
7) Presiones hidraacuteulicas sobre el fondo impermeable
8) Presioacuten de filtracioacuten en D
9) Caudal de Filtracioacuten bajo la presa sabiendo que L= 50 m
0m 3m 5m 10m
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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J g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
γconc= 235 Tm3
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
γconc= 235 Tm3
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg γsat= 218 Tm3 γconc= 235 Tm3
LINEA SUPERFICIAL DE FLUJO
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LINEA SUPERFICIAL DE FLUJO
En algunos casos un liacutemite de las liacuteneas de flujo puede ser una superficie de agualibre o superficie de saturacioacuten que no estaacute determinada por ninguna masa soacutelida
impermeable
Tal es el caso de las presas de tierra cuyo problema de flujo presenta caracteriacutesticasespeciales y por lo tanto se requiere del uso de meacutetodos tambieacuten especiales paralograr el trazado de la red de flujo
a
b
c
Equipotencial
Liacutenea de Flujo
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En la figura se presenta una presa de tierra de un material heterogeacuteneo eacute isoacutetropo La liacutenea 1-2 es una liacutenea equipotencial puesto que es el contacto entre el suelo permeable y el agua La liacutenea1-3 es un contacto entre la frontera impermeable y el material permeable por lo tanto es unaliacutenea de flujo Entre los puntos 2 y 4 existe una frontera del flujo donde por debajo de ella elsuelo estaacute saturado y por encima no lo estaacute Ahora bien esta liacutenea que limita la zona de flujodentro de la presa recibe el nombre de liacutenea superficial de flujo o liacutenea de saturacioacuten Suforma se desconoce a priori y tambieacuten la posicioacuten del punto 4 ambos deben ser determinados almenos aproximadamente para poder trazar la red de flujo
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La liacutenea de saturacioacuten ademaacutes de ser una liacutenea de flujo es tambieacuten una liacutenea de
equipresioacuten en la que todos los puntos tienen la misma presioacuten cero Por lo tantoel potencial hidraacuteulico depende de la carga de elevacioacuten uacutenicamente y las liacuteneasequipotenciales la cortaran a intervalos verticales iguales entre si
Condiciones Generales de Entrada
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Condiciones Generales de Entrada
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Condiciones Generales de Salida
Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
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Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
Caso 1 a2 lt 30deg En este caso es posible calcular la superficie humedecida a (distancia 4 - 3) pormedio de la siguiente expresioacuten
2
2
2
2
2
2
2coscos a a a sen
hd d a
d = L - M + O3M
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Luego de dibujar la presa de tierra a escala se sentildeala en ella la superficie humedecida aguas
abajo a calculada por la foacutermula anterior El siguiente paso consiste en el trazado de laliacutenea de saturacioacuten usando el meacutetodo graacutefico aproximado de la paraacutebola baacutesica de Kozenycuyo procedimiento se describe a continuacioacuten
1 Ubicar el punto 2 en la liacutenea freaacutetica a una distancia de 03M medida desde la cara deltalud aguas arriba La cara aguas abajo del talud es tangente a la paraacutebola en el punto 4
2 Prolongar la liacutenea en el talud aguas arriba de la presa Trazar una horizontal por el punto2 hasta cortar la cara del talud aguas abajo El punto de interseccioacuten es 5
3 Dividir 4 -5 Y 5 - 2 en el mismo nuacutemero de partes iguales no maacutes de 4 o 5 y marcarestos puntos (en 2- 5 se parte de 5 numerando con letras A -B etc en 4 - 5 se parte de 4numerando A-B-C etc)
4 Trazar por 4 - 5 liacuteneas horizontales en los puntos marcados
5 Unir cada uno de los puntos marcados en la horizontal 2- 5 con el punto 46 Trazar la liacutenea freaacutetica por los puntos obtenidos 7 Como la liacutenea freaacutetica parte perpendicular a la cara del talud aguas arriba este ajuste
debe realizarse manualmente
=gt M = htg ald =L - O7M
Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
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Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
Caso 2 a2 gt 30deg En este caso el procedimiento a seguir es
d d hP 22
1 La paraacutebola tiene su origen a una distancia P del veacutertice del talud aguas abajo de lapresa es decir este veacutertice es su foco y es tangente a la vertical que pasa por elpunto P
P se calcula por medio de la siguiente expresioacuten
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2 Trazar la paraacutebola baacutesica de Kozeny En este caso la tangente al origen es una liacuteneavertical
3 La distancia desde el punto 4 hasta la interseccioacuten de la paraacutebola con el talud aguasabajo es a + Da y no es realmente el punto por donde sale el agua en el talud porlo tanto se debe realizar una correccioacuten y encontrar a Casagrande encontroacute que larelacioacuten es un escalar que puede ser llamado a y que se relaciona
con el angulo a2 seguacuten se muestra en la siguiente tabla
a
a
D
D
a a2 ( deg ) aacute
30 0375
60 0320
90 0260
120 0185
150 0105
180 0
Los valores entre estos aacutengulos pueden interpolarse
y midiendo a + Da se calcula a usando la tablaDa = aacute ( a + Da ) y a = ( a + Da ) - Da
Finalmente se trazan manualmente la entraday la salida de la liacutenea de saturacioacuten
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EJERCICIO Determine la Linea Superficial de Flujo de la presa de tierra que se presentaa continuacioacuten
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a continuacioacuten
EJERCICIO Determine la Linea Superficial de Flujo de la presa de tierra que se presentaa continuacioacuten
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2
1
a continuacioacuten
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
g
La teoriacutea de la seccioacuten transformada permite reducir al caso de un suelo homogeacuteneo e isoacutetropo un suelo en el que la permeabilidad para el flujo en la direccioacuten horizontal ( kx) y la que tenga para el flujo en la direccioacuten vertical ( ky ) sean diferentes ( kx ne Ky )(por lo general Kx en muchas veces mayor que ky )
La teoriacutea de la seccioacuten transformada es un simple artificio de calculo que se logra por una simple transformacioacuten de coordenadas y que modifica sobre el papel las dimensiones de la zona de flujo en estudio en un suelo isotropico hidraacuteulicamente equivalente
Dos tipos de transformaciones se pueden aplicar a) Haciendo
Y Ky
Kx
Y acute
Se modifican las dimensiones verticales permaneciendo constantes las horizontales
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
g
b) Haciendo
X Kx
Ky X acute
Se modifican las dimensiones Horizontales permaneciendo constantes las Verticales
En la seccioacuten transformada homogeacutenea e isoacutetropa la permeabilidad equivalente viene dada por
kykxk
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
kykxk
X Kx
Ky X acute
2 0 0 0
0 0
kx
ky
k
2 8 2 0 0
0
h
141h
500000
b352463
071b
k
Y Ky
KxY acute
kykx 2
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SOLUCIOacuteN DE LA ECUACIOacuteN DE LAPLACE EN 2 DIMENSIONES
FUNCIOacuteN POTENCIAL DE LA VELOCIDAD =
( x y) = constante = -kh + c Es dependiente del potencial hidraacuteulico y su variacioacuten genera velocidad en
el agua
Derivando con respecto a X y a Y
x
hk
x
y
hk
y
x
hk Vx
y
hk Vy Entonces Vx
x
Vy
y
Resolvemos derivando con respecto a X y a Y y aplicamos la ecuacioacuten de Continuidad
2
2
2
2
2
0 y x
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satisface la ecuacioacuten de Laplace siendo la solucioacuten de la mismaen dos dimensiones
define para cada valor de esa constante una linea continua cuyospuntos tiene igual potencial hidraacuteulico h y son denominadasldquoLineas Equipotencialesrdquo
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
2
2
2
2
2
0 y x
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FUNCIOacuteN DE FLUJO =
( x y) = constante
Entonces
Resolvemos derivando con respecto a X y a Y y aplicamos la ecuacioacuten de Continuidad
0 D
D
y
y x
x
Dx
Dy
Vy
Vx
Por continuidad qentrante = qsaliente
0 DD yVx xVy yVy
Vx x DD Asumiendo Vx
x
Vy
y
2
2
2
2
2
0 y x
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cumple con la ecuacioacuten de Laplace por lo tanto es una solucioacuten ala misma en dos dimensiones
define para cada valor de la constante una linea continua querepresenta la trayectoria de agua Se denominan ldquoLineas de Flujordquo oacuteldquoLineas de Corrienterdquo
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
2
2
2
2
2
0 y x
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RELACIOacuteN ENTRE LAS LINEAS EQUIPOTENCIALES YLINEAS DE FLUJO O DE CORRIENTE
Considerando las derivadas totales a lo largo de cada una de las curvas
y
x
x
y
x
y
x
y
Pendientes Reciacuteprocas y de signo contario lo cual escondicioacuten de Ortogonalidad y son Ortogonales encada punto de interseccioacuten
REDES DE FLUJO
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REDES DE FLUJO
La red de flujo es la solucioacuten graacutefica la ecuacioacuten de Laplace en 2 dimensiones
Desafortunadamente la ecuacioacuten de Laplace es matemaacuteticamente integrable solo encondiciones de frontera muy simples por lo que en la praacutectica es necesario emplearotros meacutetodos diferentes de la integracioacuten para obtener la red de flujo Uno de esosmeacutetodos es el procedimiento graacutefico de Forcheimer que resulta ser muy simple deaplicar cualquiera sea el problema de flujo uniforme en dos dimensiones
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El espacio entre cualquier par de liacuteneas de flujo consecutivas es un canal de flujoen el trazado de la red se debe seleccionar un cierto nuacutemero de canales de flujo
Nf tal que el gasto de infiltracioacuten a traveacutes de cada canal sea el mismoDq = q Nf
La peacuterdida de carga entre cualquier par de liacuteneas equipotenciales consecutivas es lamisma e igual a Dh Donde Dhacute = Dh Nd (Dh es la peacuterdida de carga total y Nd elnuacutemero de caiacutedas de potencial)
El ancho del canal es a y la distancia entre las caiacutedas equipotenciales es b paracualquier elemento considerado
El gasto que circula por cualquier elemento es Dq = k i A
El gradiente hidraacuteulico del elemento es i = Dhacute b = ( Dh Nd ) bEntoces Dq = k ( ( Dh Nd ) b ) a L donde L es el ancho de la red en la tercera dimensioacuten
REDES DE FLUJO
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REDES DE FLUJO
Como Dq = q Nf entonces q = Dq Nf = k ( ( Dh Nd ) b ) a L Nf
La razoacuten a b esta fijada por la razoacuten Nf Nd y es la misma a traveacutes de toda la redNf y Nd deben seleccionarse de modo que a = b y a b = 1 Con lo que laecuacioacuten de gasto se transforma en
Reordenando q = k Dh ( Nf Nd ) (a b ) L
q = k Dh ( Nf Nd ) L
Aacute
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1) Hacer un dibujo a escala que muestre la masa de suelo los liacutemites permeables a
traveacutes de los cuales entra y sale el agua del suelo y las fronteras impermeables que
confinan o limitan el flujo
2) Dibujar de dos a cuatro liacuteneas de flujo que formen aacutengulos rectos con los liacutemitespermeables a la entrada y a la salida y que sean aproximadamente paralelas a losliacutemites impermeables
3) Dibujar liacuteneas equipotenciales que formen aacutengulos rectos con las liacuteneas de flujo demanera que el ancho y el largo promedio del cuadrado curviliacuteneo que forman seaniguales (a=b) Desde luego esto es imposible de lograr en el primer tanteo porquelas posiciones de las liacuteneas de flujo son supuestas pero esta primera red serviraacute deguiacutea para un segundo tanteo
4) Se reajustan las liacuteneas de flujo y las liacuteneas equipotenciales hasta que todas lasintersecciones sean en aacutengulo recto y el largo y ancho de cada cuadrado seaniguales Los tamantildeos de los cuadrados pueden ser distintos pero la relacioacuten ab = 1debe mantenerse
REGLAS PRAacuteCTICAS PARA ELABORAR REDES DE FLUJO
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El logro de una solucioacuten exacta requiere de muchos tanteos y
algunos problemas no admiten en su solucioacuten un nuacutemeroexacto de canales yo de caiacutedas equipotenciales en estos casosdebe intentarse con un nuacutemero de canales yo caiacutedasequipotenciales fraccionario (media caiacuteda o medio canal porejemplo)
Al lograr trazar la red de flujo de cuadrados curviliacuteneossatisfaciendo las condiciones de frontera del problema seobtendraacute la solucioacuten graacutefica de este problema para las
condiciones de frontera del problema se obtendraacute la solucioacutengraacutefica de este para las condiciones hidrodinaacutemicasestablecidas por la ecuacioacuten de Laplace
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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J g j
6 0
0 m
BA
I II III IV V VI VII
C
D
6 0
0 m
6 0
0 m
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
1) Altura piezometrica en A
2) Esfuerzo efectivo en B
3) Gradiente hidraacuteulico velocidades de descarga y de filtracioacuten
en C
4) Presiones hidraacuteulicas sobre el tablestacado5) Gradiente hidraacuteulico de salida y factor de seguridad contra la
arena movediza (licuefaccioacuten)
6) Factor de seguridad a la Tubificacioacuten
7) Presiones hidraacuteulicas sobre el fondo impermeable
8) Presioacuten de filtracioacuten en D
9) Caudal de Filtracioacuten bajo la presa sabiendo que L= 50 m
0m 3m 5m 10m
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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J g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
γconc= 235 Tm3
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
γconc= 235 Tm3
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg γsat= 218 Tm3 γconc= 235 Tm3
LINEA SUPERFICIAL DE FLUJO
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LINEA SUPERFICIAL DE FLUJO
En algunos casos un liacutemite de las liacuteneas de flujo puede ser una superficie de agualibre o superficie de saturacioacuten que no estaacute determinada por ninguna masa soacutelida
impermeable
Tal es el caso de las presas de tierra cuyo problema de flujo presenta caracteriacutesticasespeciales y por lo tanto se requiere del uso de meacutetodos tambieacuten especiales paralograr el trazado de la red de flujo
a
b
c
Equipotencial
Liacutenea de Flujo
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En la figura se presenta una presa de tierra de un material heterogeacuteneo eacute isoacutetropo La liacutenea 1-2 es una liacutenea equipotencial puesto que es el contacto entre el suelo permeable y el agua La liacutenea1-3 es un contacto entre la frontera impermeable y el material permeable por lo tanto es unaliacutenea de flujo Entre los puntos 2 y 4 existe una frontera del flujo donde por debajo de ella elsuelo estaacute saturado y por encima no lo estaacute Ahora bien esta liacutenea que limita la zona de flujodentro de la presa recibe el nombre de liacutenea superficial de flujo o liacutenea de saturacioacuten Suforma se desconoce a priori y tambieacuten la posicioacuten del punto 4 ambos deben ser determinados almenos aproximadamente para poder trazar la red de flujo
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La liacutenea de saturacioacuten ademaacutes de ser una liacutenea de flujo es tambieacuten una liacutenea de
equipresioacuten en la que todos los puntos tienen la misma presioacuten cero Por lo tantoel potencial hidraacuteulico depende de la carga de elevacioacuten uacutenicamente y las liacuteneasequipotenciales la cortaran a intervalos verticales iguales entre si
Condiciones Generales de Entrada
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Condiciones Generales de Entrada
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Condiciones Generales de Salida
Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
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Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
Caso 1 a2 lt 30deg En este caso es posible calcular la superficie humedecida a (distancia 4 - 3) pormedio de la siguiente expresioacuten
2
2
2
2
2
2
2coscos a a a sen
hd d a
d = L - M + O3M
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Luego de dibujar la presa de tierra a escala se sentildeala en ella la superficie humedecida aguas
abajo a calculada por la foacutermula anterior El siguiente paso consiste en el trazado de laliacutenea de saturacioacuten usando el meacutetodo graacutefico aproximado de la paraacutebola baacutesica de Kozenycuyo procedimiento se describe a continuacioacuten
1 Ubicar el punto 2 en la liacutenea freaacutetica a una distancia de 03M medida desde la cara deltalud aguas arriba La cara aguas abajo del talud es tangente a la paraacutebola en el punto 4
2 Prolongar la liacutenea en el talud aguas arriba de la presa Trazar una horizontal por el punto2 hasta cortar la cara del talud aguas abajo El punto de interseccioacuten es 5
3 Dividir 4 -5 Y 5 - 2 en el mismo nuacutemero de partes iguales no maacutes de 4 o 5 y marcarestos puntos (en 2- 5 se parte de 5 numerando con letras A -B etc en 4 - 5 se parte de 4numerando A-B-C etc)
4 Trazar por 4 - 5 liacuteneas horizontales en los puntos marcados
5 Unir cada uno de los puntos marcados en la horizontal 2- 5 con el punto 46 Trazar la liacutenea freaacutetica por los puntos obtenidos 7 Como la liacutenea freaacutetica parte perpendicular a la cara del talud aguas arriba este ajuste
debe realizarse manualmente
=gt M = htg ald =L - O7M
Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
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Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
Caso 2 a2 gt 30deg En este caso el procedimiento a seguir es
d d hP 22
1 La paraacutebola tiene su origen a una distancia P del veacutertice del talud aguas abajo de lapresa es decir este veacutertice es su foco y es tangente a la vertical que pasa por elpunto P
P se calcula por medio de la siguiente expresioacuten
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2 Trazar la paraacutebola baacutesica de Kozeny En este caso la tangente al origen es una liacuteneavertical
3 La distancia desde el punto 4 hasta la interseccioacuten de la paraacutebola con el talud aguasabajo es a + Da y no es realmente el punto por donde sale el agua en el talud porlo tanto se debe realizar una correccioacuten y encontrar a Casagrande encontroacute que larelacioacuten es un escalar que puede ser llamado a y que se relaciona
con el angulo a2 seguacuten se muestra en la siguiente tabla
a
a
D
D
a a2 ( deg ) aacute
30 0375
60 0320
90 0260
120 0185
150 0105
180 0
Los valores entre estos aacutengulos pueden interpolarse
y midiendo a + Da se calcula a usando la tablaDa = aacute ( a + Da ) y a = ( a + Da ) - Da
Finalmente se trazan manualmente la entraday la salida de la liacutenea de saturacioacuten
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EJERCICIO Determine la Linea Superficial de Flujo de la presa de tierra que se presentaa continuacioacuten
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a continuacioacuten
EJERCICIO Determine la Linea Superficial de Flujo de la presa de tierra que se presentaa continuacioacuten
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2
1
a continuacioacuten
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
g
La teoriacutea de la seccioacuten transformada permite reducir al caso de un suelo homogeacuteneo e isoacutetropo un suelo en el que la permeabilidad para el flujo en la direccioacuten horizontal ( kx) y la que tenga para el flujo en la direccioacuten vertical ( ky ) sean diferentes ( kx ne Ky )(por lo general Kx en muchas veces mayor que ky )
La teoriacutea de la seccioacuten transformada es un simple artificio de calculo que se logra por una simple transformacioacuten de coordenadas y que modifica sobre el papel las dimensiones de la zona de flujo en estudio en un suelo isotropico hidraacuteulicamente equivalente
Dos tipos de transformaciones se pueden aplicar a) Haciendo
Y Ky
Kx
Y acute
Se modifican las dimensiones verticales permaneciendo constantes las horizontales
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
g
b) Haciendo
X Kx
Ky X acute
Se modifican las dimensiones Horizontales permaneciendo constantes las Verticales
En la seccioacuten transformada homogeacutenea e isoacutetropa la permeabilidad equivalente viene dada por
kykxk
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
kykxk
X Kx
Ky X acute
2 0 0 0
0 0
kx
ky
k
2 8 2 0 0
0
h
141h
500000
b352463
071b
k
Y Ky
KxY acute
kykx 2
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satisface la ecuacioacuten de Laplace siendo la solucioacuten de la mismaen dos dimensiones
define para cada valor de esa constante una linea continua cuyospuntos tiene igual potencial hidraacuteulico h y son denominadasldquoLineas Equipotencialesrdquo
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
2
2
2
2
2
0 y x
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FUNCIOacuteN DE FLUJO =
( x y) = constante
Entonces
Resolvemos derivando con respecto a X y a Y y aplicamos la ecuacioacuten de Continuidad
0 D
D
y
y x
x
Dx
Dy
Vy
Vx
Por continuidad qentrante = qsaliente
0 DD yVx xVy yVy
Vx x DD Asumiendo Vx
x
Vy
y
2
2
2
2
2
0 y x
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cumple con la ecuacioacuten de Laplace por lo tanto es una solucioacuten ala misma en dos dimensiones
define para cada valor de la constante una linea continua querepresenta la trayectoria de agua Se denominan ldquoLineas de Flujordquo oacuteldquoLineas de Corrienterdquo
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
2
2
2
2
2
0 y x
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RELACIOacuteN ENTRE LAS LINEAS EQUIPOTENCIALES YLINEAS DE FLUJO O DE CORRIENTE
Considerando las derivadas totales a lo largo de cada una de las curvas
y
x
x
y
x
y
x
y
Pendientes Reciacuteprocas y de signo contario lo cual escondicioacuten de Ortogonalidad y son Ortogonales encada punto de interseccioacuten
REDES DE FLUJO
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REDES DE FLUJO
La red de flujo es la solucioacuten graacutefica la ecuacioacuten de Laplace en 2 dimensiones
Desafortunadamente la ecuacioacuten de Laplace es matemaacuteticamente integrable solo encondiciones de frontera muy simples por lo que en la praacutectica es necesario emplearotros meacutetodos diferentes de la integracioacuten para obtener la red de flujo Uno de esosmeacutetodos es el procedimiento graacutefico de Forcheimer que resulta ser muy simple deaplicar cualquiera sea el problema de flujo uniforme en dos dimensiones
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El espacio entre cualquier par de liacuteneas de flujo consecutivas es un canal de flujoen el trazado de la red se debe seleccionar un cierto nuacutemero de canales de flujo
Nf tal que el gasto de infiltracioacuten a traveacutes de cada canal sea el mismoDq = q Nf
La peacuterdida de carga entre cualquier par de liacuteneas equipotenciales consecutivas es lamisma e igual a Dh Donde Dhacute = Dh Nd (Dh es la peacuterdida de carga total y Nd elnuacutemero de caiacutedas de potencial)
El ancho del canal es a y la distancia entre las caiacutedas equipotenciales es b paracualquier elemento considerado
El gasto que circula por cualquier elemento es Dq = k i A
El gradiente hidraacuteulico del elemento es i = Dhacute b = ( Dh Nd ) bEntoces Dq = k ( ( Dh Nd ) b ) a L donde L es el ancho de la red en la tercera dimensioacuten
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REDES DE FLUJO
Como Dq = q Nf entonces q = Dq Nf = k ( ( Dh Nd ) b ) a L Nf
La razoacuten a b esta fijada por la razoacuten Nf Nd y es la misma a traveacutes de toda la redNf y Nd deben seleccionarse de modo que a = b y a b = 1 Con lo que laecuacioacuten de gasto se transforma en
Reordenando q = k Dh ( Nf Nd ) (a b ) L
q = k Dh ( Nf Nd ) L
Aacute
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1) Hacer un dibujo a escala que muestre la masa de suelo los liacutemites permeables a
traveacutes de los cuales entra y sale el agua del suelo y las fronteras impermeables que
confinan o limitan el flujo
2) Dibujar de dos a cuatro liacuteneas de flujo que formen aacutengulos rectos con los liacutemitespermeables a la entrada y a la salida y que sean aproximadamente paralelas a losliacutemites impermeables
3) Dibujar liacuteneas equipotenciales que formen aacutengulos rectos con las liacuteneas de flujo demanera que el ancho y el largo promedio del cuadrado curviliacuteneo que forman seaniguales (a=b) Desde luego esto es imposible de lograr en el primer tanteo porquelas posiciones de las liacuteneas de flujo son supuestas pero esta primera red serviraacute deguiacutea para un segundo tanteo
4) Se reajustan las liacuteneas de flujo y las liacuteneas equipotenciales hasta que todas lasintersecciones sean en aacutengulo recto y el largo y ancho de cada cuadrado seaniguales Los tamantildeos de los cuadrados pueden ser distintos pero la relacioacuten ab = 1debe mantenerse
REGLAS PRAacuteCTICAS PARA ELABORAR REDES DE FLUJO
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El logro de una solucioacuten exacta requiere de muchos tanteos y
algunos problemas no admiten en su solucioacuten un nuacutemeroexacto de canales yo de caiacutedas equipotenciales en estos casosdebe intentarse con un nuacutemero de canales yo caiacutedasequipotenciales fraccionario (media caiacuteda o medio canal porejemplo)
Al lograr trazar la red de flujo de cuadrados curviliacuteneossatisfaciendo las condiciones de frontera del problema seobtendraacute la solucioacuten graacutefica de este problema para las
condiciones de frontera del problema se obtendraacute la solucioacutengraacutefica de este para las condiciones hidrodinaacutemicasestablecidas por la ecuacioacuten de Laplace
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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J g j
6 0
0 m
BA
I II III IV V VI VII
C
D
6 0
0 m
6 0
0 m
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
1) Altura piezometrica en A
2) Esfuerzo efectivo en B
3) Gradiente hidraacuteulico velocidades de descarga y de filtracioacuten
en C
4) Presiones hidraacuteulicas sobre el tablestacado5) Gradiente hidraacuteulico de salida y factor de seguridad contra la
arena movediza (licuefaccioacuten)
6) Factor de seguridad a la Tubificacioacuten
7) Presiones hidraacuteulicas sobre el fondo impermeable
8) Presioacuten de filtracioacuten en D
9) Caudal de Filtracioacuten bajo la presa sabiendo que L= 50 m
0m 3m 5m 10m
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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J g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
γconc= 235 Tm3
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
γconc= 235 Tm3
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg γsat= 218 Tm3 γconc= 235 Tm3
LINEA SUPERFICIAL DE FLUJO
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LINEA SUPERFICIAL DE FLUJO
En algunos casos un liacutemite de las liacuteneas de flujo puede ser una superficie de agualibre o superficie de saturacioacuten que no estaacute determinada por ninguna masa soacutelida
impermeable
Tal es el caso de las presas de tierra cuyo problema de flujo presenta caracteriacutesticasespeciales y por lo tanto se requiere del uso de meacutetodos tambieacuten especiales paralograr el trazado de la red de flujo
a
b
c
Equipotencial
Liacutenea de Flujo
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En la figura se presenta una presa de tierra de un material heterogeacuteneo eacute isoacutetropo La liacutenea 1-2 es una liacutenea equipotencial puesto que es el contacto entre el suelo permeable y el agua La liacutenea1-3 es un contacto entre la frontera impermeable y el material permeable por lo tanto es unaliacutenea de flujo Entre los puntos 2 y 4 existe una frontera del flujo donde por debajo de ella elsuelo estaacute saturado y por encima no lo estaacute Ahora bien esta liacutenea que limita la zona de flujodentro de la presa recibe el nombre de liacutenea superficial de flujo o liacutenea de saturacioacuten Suforma se desconoce a priori y tambieacuten la posicioacuten del punto 4 ambos deben ser determinados almenos aproximadamente para poder trazar la red de flujo
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La liacutenea de saturacioacuten ademaacutes de ser una liacutenea de flujo es tambieacuten una liacutenea de
equipresioacuten en la que todos los puntos tienen la misma presioacuten cero Por lo tantoel potencial hidraacuteulico depende de la carga de elevacioacuten uacutenicamente y las liacuteneasequipotenciales la cortaran a intervalos verticales iguales entre si
Condiciones Generales de Entrada
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Condiciones Generales de Entrada
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Condiciones Generales de Salida
Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
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Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
Caso 1 a2 lt 30deg En este caso es posible calcular la superficie humedecida a (distancia 4 - 3) pormedio de la siguiente expresioacuten
2
2
2
2
2
2
2coscos a a a sen
hd d a
d = L - M + O3M
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Luego de dibujar la presa de tierra a escala se sentildeala en ella la superficie humedecida aguas
abajo a calculada por la foacutermula anterior El siguiente paso consiste en el trazado de laliacutenea de saturacioacuten usando el meacutetodo graacutefico aproximado de la paraacutebola baacutesica de Kozenycuyo procedimiento se describe a continuacioacuten
1 Ubicar el punto 2 en la liacutenea freaacutetica a una distancia de 03M medida desde la cara deltalud aguas arriba La cara aguas abajo del talud es tangente a la paraacutebola en el punto 4
2 Prolongar la liacutenea en el talud aguas arriba de la presa Trazar una horizontal por el punto2 hasta cortar la cara del talud aguas abajo El punto de interseccioacuten es 5
3 Dividir 4 -5 Y 5 - 2 en el mismo nuacutemero de partes iguales no maacutes de 4 o 5 y marcarestos puntos (en 2- 5 se parte de 5 numerando con letras A -B etc en 4 - 5 se parte de 4numerando A-B-C etc)
4 Trazar por 4 - 5 liacuteneas horizontales en los puntos marcados
5 Unir cada uno de los puntos marcados en la horizontal 2- 5 con el punto 46 Trazar la liacutenea freaacutetica por los puntos obtenidos 7 Como la liacutenea freaacutetica parte perpendicular a la cara del talud aguas arriba este ajuste
debe realizarse manualmente
=gt M = htg ald =L - O7M
Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
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Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
Caso 2 a2 gt 30deg En este caso el procedimiento a seguir es
d d hP 22
1 La paraacutebola tiene su origen a una distancia P del veacutertice del talud aguas abajo de lapresa es decir este veacutertice es su foco y es tangente a la vertical que pasa por elpunto P
P se calcula por medio de la siguiente expresioacuten
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2 Trazar la paraacutebola baacutesica de Kozeny En este caso la tangente al origen es una liacuteneavertical
3 La distancia desde el punto 4 hasta la interseccioacuten de la paraacutebola con el talud aguasabajo es a + Da y no es realmente el punto por donde sale el agua en el talud porlo tanto se debe realizar una correccioacuten y encontrar a Casagrande encontroacute que larelacioacuten es un escalar que puede ser llamado a y que se relaciona
con el angulo a2 seguacuten se muestra en la siguiente tabla
a
a
D
D
a a2 ( deg ) aacute
30 0375
60 0320
90 0260
120 0185
150 0105
180 0
Los valores entre estos aacutengulos pueden interpolarse
y midiendo a + Da se calcula a usando la tablaDa = aacute ( a + Da ) y a = ( a + Da ) - Da
Finalmente se trazan manualmente la entraday la salida de la liacutenea de saturacioacuten
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EJERCICIO Determine la Linea Superficial de Flujo de la presa de tierra que se presentaa continuacioacuten
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a continuacioacuten
EJERCICIO Determine la Linea Superficial de Flujo de la presa de tierra que se presentaa continuacioacuten
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2
1
a continuacioacuten
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
g
La teoriacutea de la seccioacuten transformada permite reducir al caso de un suelo homogeacuteneo e isoacutetropo un suelo en el que la permeabilidad para el flujo en la direccioacuten horizontal ( kx) y la que tenga para el flujo en la direccioacuten vertical ( ky ) sean diferentes ( kx ne Ky )(por lo general Kx en muchas veces mayor que ky )
La teoriacutea de la seccioacuten transformada es un simple artificio de calculo que se logra por una simple transformacioacuten de coordenadas y que modifica sobre el papel las dimensiones de la zona de flujo en estudio en un suelo isotropico hidraacuteulicamente equivalente
Dos tipos de transformaciones se pueden aplicar a) Haciendo
Y Ky
Kx
Y acute
Se modifican las dimensiones verticales permaneciendo constantes las horizontales
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
g
b) Haciendo
X Kx
Ky X acute
Se modifican las dimensiones Horizontales permaneciendo constantes las Verticales
En la seccioacuten transformada homogeacutenea e isoacutetropa la permeabilidad equivalente viene dada por
kykxk
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
kykxk
X Kx
Ky X acute
2 0 0 0
0 0
kx
ky
k
2 8 2 0 0
0
h
141h
500000
b352463
071b
k
Y Ky
KxY acute
kykx 2
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FUNCIOacuteN DE FLUJO =
( x y) = constante
Entonces
Resolvemos derivando con respecto a X y a Y y aplicamos la ecuacioacuten de Continuidad
0 D
D
y
y x
x
Dx
Dy
Vy
Vx
Por continuidad qentrante = qsaliente
0 DD yVx xVy yVy
Vx x DD Asumiendo Vx
x
Vy
y
2
2
2
2
2
0 y x
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cumple con la ecuacioacuten de Laplace por lo tanto es una solucioacuten ala misma en dos dimensiones
define para cada valor de la constante una linea continua querepresenta la trayectoria de agua Se denominan ldquoLineas de Flujordquo oacuteldquoLineas de Corrienterdquo
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
2
2
2
2
2
0 y x
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RELACIOacuteN ENTRE LAS LINEAS EQUIPOTENCIALES YLINEAS DE FLUJO O DE CORRIENTE
Considerando las derivadas totales a lo largo de cada una de las curvas
y
x
x
y
x
y
x
y
Pendientes Reciacuteprocas y de signo contario lo cual escondicioacuten de Ortogonalidad y son Ortogonales encada punto de interseccioacuten
REDES DE FLUJO
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REDES DE FLUJO
La red de flujo es la solucioacuten graacutefica la ecuacioacuten de Laplace en 2 dimensiones
Desafortunadamente la ecuacioacuten de Laplace es matemaacuteticamente integrable solo encondiciones de frontera muy simples por lo que en la praacutectica es necesario emplearotros meacutetodos diferentes de la integracioacuten para obtener la red de flujo Uno de esosmeacutetodos es el procedimiento graacutefico de Forcheimer que resulta ser muy simple deaplicar cualquiera sea el problema de flujo uniforme en dos dimensiones
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El espacio entre cualquier par de liacuteneas de flujo consecutivas es un canal de flujoen el trazado de la red se debe seleccionar un cierto nuacutemero de canales de flujo
Nf tal que el gasto de infiltracioacuten a traveacutes de cada canal sea el mismoDq = q Nf
La peacuterdida de carga entre cualquier par de liacuteneas equipotenciales consecutivas es lamisma e igual a Dh Donde Dhacute = Dh Nd (Dh es la peacuterdida de carga total y Nd elnuacutemero de caiacutedas de potencial)
El ancho del canal es a y la distancia entre las caiacutedas equipotenciales es b paracualquier elemento considerado
El gasto que circula por cualquier elemento es Dq = k i A
El gradiente hidraacuteulico del elemento es i = Dhacute b = ( Dh Nd ) bEntoces Dq = k ( ( Dh Nd ) b ) a L donde L es el ancho de la red en la tercera dimensioacuten
REDES DE FLUJO
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REDES DE FLUJO
Como Dq = q Nf entonces q = Dq Nf = k ( ( Dh Nd ) b ) a L Nf
La razoacuten a b esta fijada por la razoacuten Nf Nd y es la misma a traveacutes de toda la redNf y Nd deben seleccionarse de modo que a = b y a b = 1 Con lo que laecuacioacuten de gasto se transforma en
Reordenando q = k Dh ( Nf Nd ) (a b ) L
q = k Dh ( Nf Nd ) L
Aacute
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1) Hacer un dibujo a escala que muestre la masa de suelo los liacutemites permeables a
traveacutes de los cuales entra y sale el agua del suelo y las fronteras impermeables que
confinan o limitan el flujo
2) Dibujar de dos a cuatro liacuteneas de flujo que formen aacutengulos rectos con los liacutemitespermeables a la entrada y a la salida y que sean aproximadamente paralelas a losliacutemites impermeables
3) Dibujar liacuteneas equipotenciales que formen aacutengulos rectos con las liacuteneas de flujo demanera que el ancho y el largo promedio del cuadrado curviliacuteneo que forman seaniguales (a=b) Desde luego esto es imposible de lograr en el primer tanteo porquelas posiciones de las liacuteneas de flujo son supuestas pero esta primera red serviraacute deguiacutea para un segundo tanteo
4) Se reajustan las liacuteneas de flujo y las liacuteneas equipotenciales hasta que todas lasintersecciones sean en aacutengulo recto y el largo y ancho de cada cuadrado seaniguales Los tamantildeos de los cuadrados pueden ser distintos pero la relacioacuten ab = 1debe mantenerse
REGLAS PRAacuteCTICAS PARA ELABORAR REDES DE FLUJO
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El logro de una solucioacuten exacta requiere de muchos tanteos y
algunos problemas no admiten en su solucioacuten un nuacutemeroexacto de canales yo de caiacutedas equipotenciales en estos casosdebe intentarse con un nuacutemero de canales yo caiacutedasequipotenciales fraccionario (media caiacuteda o medio canal porejemplo)
Al lograr trazar la red de flujo de cuadrados curviliacuteneossatisfaciendo las condiciones de frontera del problema seobtendraacute la solucioacuten graacutefica de este problema para las
condiciones de frontera del problema se obtendraacute la solucioacutengraacutefica de este para las condiciones hidrodinaacutemicasestablecidas por la ecuacioacuten de Laplace
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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J g j
6 0
0 m
BA
I II III IV V VI VII
C
D
6 0
0 m
6 0
0 m
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
1) Altura piezometrica en A
2) Esfuerzo efectivo en B
3) Gradiente hidraacuteulico velocidades de descarga y de filtracioacuten
en C
4) Presiones hidraacuteulicas sobre el tablestacado5) Gradiente hidraacuteulico de salida y factor de seguridad contra la
arena movediza (licuefaccioacuten)
6) Factor de seguridad a la Tubificacioacuten
7) Presiones hidraacuteulicas sobre el fondo impermeable
8) Presioacuten de filtracioacuten en D
9) Caudal de Filtracioacuten bajo la presa sabiendo que L= 50 m
0m 3m 5m 10m
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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J g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
γconc= 235 Tm3
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
γconc= 235 Tm3
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg γsat= 218 Tm3 γconc= 235 Tm3
LINEA SUPERFICIAL DE FLUJO
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LINEA SUPERFICIAL DE FLUJO
En algunos casos un liacutemite de las liacuteneas de flujo puede ser una superficie de agualibre o superficie de saturacioacuten que no estaacute determinada por ninguna masa soacutelida
impermeable
Tal es el caso de las presas de tierra cuyo problema de flujo presenta caracteriacutesticasespeciales y por lo tanto se requiere del uso de meacutetodos tambieacuten especiales paralograr el trazado de la red de flujo
a
b
c
Equipotencial
Liacutenea de Flujo
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En la figura se presenta una presa de tierra de un material heterogeacuteneo eacute isoacutetropo La liacutenea 1-2 es una liacutenea equipotencial puesto que es el contacto entre el suelo permeable y el agua La liacutenea1-3 es un contacto entre la frontera impermeable y el material permeable por lo tanto es unaliacutenea de flujo Entre los puntos 2 y 4 existe una frontera del flujo donde por debajo de ella elsuelo estaacute saturado y por encima no lo estaacute Ahora bien esta liacutenea que limita la zona de flujodentro de la presa recibe el nombre de liacutenea superficial de flujo o liacutenea de saturacioacuten Suforma se desconoce a priori y tambieacuten la posicioacuten del punto 4 ambos deben ser determinados almenos aproximadamente para poder trazar la red de flujo
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La liacutenea de saturacioacuten ademaacutes de ser una liacutenea de flujo es tambieacuten una liacutenea de
equipresioacuten en la que todos los puntos tienen la misma presioacuten cero Por lo tantoel potencial hidraacuteulico depende de la carga de elevacioacuten uacutenicamente y las liacuteneasequipotenciales la cortaran a intervalos verticales iguales entre si
Condiciones Generales de Entrada
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Condiciones Generales de Entrada
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Condiciones Generales de Salida
Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
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Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
Caso 1 a2 lt 30deg En este caso es posible calcular la superficie humedecida a (distancia 4 - 3) pormedio de la siguiente expresioacuten
2
2
2
2
2
2
2coscos a a a sen
hd d a
d = L - M + O3M
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Luego de dibujar la presa de tierra a escala se sentildeala en ella la superficie humedecida aguas
abajo a calculada por la foacutermula anterior El siguiente paso consiste en el trazado de laliacutenea de saturacioacuten usando el meacutetodo graacutefico aproximado de la paraacutebola baacutesica de Kozenycuyo procedimiento se describe a continuacioacuten
1 Ubicar el punto 2 en la liacutenea freaacutetica a una distancia de 03M medida desde la cara deltalud aguas arriba La cara aguas abajo del talud es tangente a la paraacutebola en el punto 4
2 Prolongar la liacutenea en el talud aguas arriba de la presa Trazar una horizontal por el punto2 hasta cortar la cara del talud aguas abajo El punto de interseccioacuten es 5
3 Dividir 4 -5 Y 5 - 2 en el mismo nuacutemero de partes iguales no maacutes de 4 o 5 y marcarestos puntos (en 2- 5 se parte de 5 numerando con letras A -B etc en 4 - 5 se parte de 4numerando A-B-C etc)
4 Trazar por 4 - 5 liacuteneas horizontales en los puntos marcados
5 Unir cada uno de los puntos marcados en la horizontal 2- 5 con el punto 46 Trazar la liacutenea freaacutetica por los puntos obtenidos 7 Como la liacutenea freaacutetica parte perpendicular a la cara del talud aguas arriba este ajuste
debe realizarse manualmente
=gt M = htg ald =L - O7M
Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
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Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
Caso 2 a2 gt 30deg En este caso el procedimiento a seguir es
d d hP 22
1 La paraacutebola tiene su origen a una distancia P del veacutertice del talud aguas abajo de lapresa es decir este veacutertice es su foco y es tangente a la vertical que pasa por elpunto P
P se calcula por medio de la siguiente expresioacuten
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2 Trazar la paraacutebola baacutesica de Kozeny En este caso la tangente al origen es una liacuteneavertical
3 La distancia desde el punto 4 hasta la interseccioacuten de la paraacutebola con el talud aguasabajo es a + Da y no es realmente el punto por donde sale el agua en el talud porlo tanto se debe realizar una correccioacuten y encontrar a Casagrande encontroacute que larelacioacuten es un escalar que puede ser llamado a y que se relaciona
con el angulo a2 seguacuten se muestra en la siguiente tabla
a
a
D
D
a a2 ( deg ) aacute
30 0375
60 0320
90 0260
120 0185
150 0105
180 0
Los valores entre estos aacutengulos pueden interpolarse
y midiendo a + Da se calcula a usando la tablaDa = aacute ( a + Da ) y a = ( a + Da ) - Da
Finalmente se trazan manualmente la entraday la salida de la liacutenea de saturacioacuten
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EJERCICIO Determine la Linea Superficial de Flujo de la presa de tierra que se presentaa continuacioacuten
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a continuacioacuten
EJERCICIO Determine la Linea Superficial de Flujo de la presa de tierra que se presentaa continuacioacuten
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2
1
a continuacioacuten
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
g
La teoriacutea de la seccioacuten transformada permite reducir al caso de un suelo homogeacuteneo e isoacutetropo un suelo en el que la permeabilidad para el flujo en la direccioacuten horizontal ( kx) y la que tenga para el flujo en la direccioacuten vertical ( ky ) sean diferentes ( kx ne Ky )(por lo general Kx en muchas veces mayor que ky )
La teoriacutea de la seccioacuten transformada es un simple artificio de calculo que se logra por una simple transformacioacuten de coordenadas y que modifica sobre el papel las dimensiones de la zona de flujo en estudio en un suelo isotropico hidraacuteulicamente equivalente
Dos tipos de transformaciones se pueden aplicar a) Haciendo
Y Ky
Kx
Y acute
Se modifican las dimensiones verticales permaneciendo constantes las horizontales
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
g
b) Haciendo
X Kx
Ky X acute
Se modifican las dimensiones Horizontales permaneciendo constantes las Verticales
En la seccioacuten transformada homogeacutenea e isoacutetropa la permeabilidad equivalente viene dada por
kykxk
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
kykxk
X Kx
Ky X acute
2 0 0 0
0 0
kx
ky
k
2 8 2 0 0
0
h
141h
500000
b352463
071b
k
Y Ky
KxY acute
kykx 2
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cumple con la ecuacioacuten de Laplace por lo tanto es una solucioacuten ala misma en dos dimensiones
define para cada valor de la constante una linea continua querepresenta la trayectoria de agua Se denominan ldquoLineas de Flujordquo oacuteldquoLineas de Corrienterdquo
ECUACIOacuteN DE LAPLACE
2
2
2
2
2
0 y x
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RELACIOacuteN ENTRE LAS LINEAS EQUIPOTENCIALES YLINEAS DE FLUJO O DE CORRIENTE
Considerando las derivadas totales a lo largo de cada una de las curvas
y
x
x
y
x
y
x
y
Pendientes Reciacuteprocas y de signo contario lo cual escondicioacuten de Ortogonalidad y son Ortogonales encada punto de interseccioacuten
REDES DE FLUJO
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REDES DE FLUJO
La red de flujo es la solucioacuten graacutefica la ecuacioacuten de Laplace en 2 dimensiones
Desafortunadamente la ecuacioacuten de Laplace es matemaacuteticamente integrable solo encondiciones de frontera muy simples por lo que en la praacutectica es necesario emplearotros meacutetodos diferentes de la integracioacuten para obtener la red de flujo Uno de esosmeacutetodos es el procedimiento graacutefico de Forcheimer que resulta ser muy simple deaplicar cualquiera sea el problema de flujo uniforme en dos dimensiones
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El espacio entre cualquier par de liacuteneas de flujo consecutivas es un canal de flujoen el trazado de la red se debe seleccionar un cierto nuacutemero de canales de flujo
Nf tal que el gasto de infiltracioacuten a traveacutes de cada canal sea el mismoDq = q Nf
La peacuterdida de carga entre cualquier par de liacuteneas equipotenciales consecutivas es lamisma e igual a Dh Donde Dhacute = Dh Nd (Dh es la peacuterdida de carga total y Nd elnuacutemero de caiacutedas de potencial)
El ancho del canal es a y la distancia entre las caiacutedas equipotenciales es b paracualquier elemento considerado
El gasto que circula por cualquier elemento es Dq = k i A
El gradiente hidraacuteulico del elemento es i = Dhacute b = ( Dh Nd ) bEntoces Dq = k ( ( Dh Nd ) b ) a L donde L es el ancho de la red en la tercera dimensioacuten
REDES DE FLUJO
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REDES DE FLUJO
Como Dq = q Nf entonces q = Dq Nf = k ( ( Dh Nd ) b ) a L Nf
La razoacuten a b esta fijada por la razoacuten Nf Nd y es la misma a traveacutes de toda la redNf y Nd deben seleccionarse de modo que a = b y a b = 1 Con lo que laecuacioacuten de gasto se transforma en
Reordenando q = k Dh ( Nf Nd ) (a b ) L
q = k Dh ( Nf Nd ) L
Aacute
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1) Hacer un dibujo a escala que muestre la masa de suelo los liacutemites permeables a
traveacutes de los cuales entra y sale el agua del suelo y las fronteras impermeables que
confinan o limitan el flujo
2) Dibujar de dos a cuatro liacuteneas de flujo que formen aacutengulos rectos con los liacutemitespermeables a la entrada y a la salida y que sean aproximadamente paralelas a losliacutemites impermeables
3) Dibujar liacuteneas equipotenciales que formen aacutengulos rectos con las liacuteneas de flujo demanera que el ancho y el largo promedio del cuadrado curviliacuteneo que forman seaniguales (a=b) Desde luego esto es imposible de lograr en el primer tanteo porquelas posiciones de las liacuteneas de flujo son supuestas pero esta primera red serviraacute deguiacutea para un segundo tanteo
4) Se reajustan las liacuteneas de flujo y las liacuteneas equipotenciales hasta que todas lasintersecciones sean en aacutengulo recto y el largo y ancho de cada cuadrado seaniguales Los tamantildeos de los cuadrados pueden ser distintos pero la relacioacuten ab = 1debe mantenerse
REGLAS PRAacuteCTICAS PARA ELABORAR REDES DE FLUJO
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El logro de una solucioacuten exacta requiere de muchos tanteos y
algunos problemas no admiten en su solucioacuten un nuacutemeroexacto de canales yo de caiacutedas equipotenciales en estos casosdebe intentarse con un nuacutemero de canales yo caiacutedasequipotenciales fraccionario (media caiacuteda o medio canal porejemplo)
Al lograr trazar la red de flujo de cuadrados curviliacuteneossatisfaciendo las condiciones de frontera del problema seobtendraacute la solucioacuten graacutefica de este problema para las
condiciones de frontera del problema se obtendraacute la solucioacutengraacutefica de este para las condiciones hidrodinaacutemicasestablecidas por la ecuacioacuten de Laplace
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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J g j
6 0
0 m
BA
I II III IV V VI VII
C
D
6 0
0 m
6 0
0 m
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
1) Altura piezometrica en A
2) Esfuerzo efectivo en B
3) Gradiente hidraacuteulico velocidades de descarga y de filtracioacuten
en C
4) Presiones hidraacuteulicas sobre el tablestacado5) Gradiente hidraacuteulico de salida y factor de seguridad contra la
arena movediza (licuefaccioacuten)
6) Factor de seguridad a la Tubificacioacuten
7) Presiones hidraacuteulicas sobre el fondo impermeable
8) Presioacuten de filtracioacuten en D
9) Caudal de Filtracioacuten bajo la presa sabiendo que L= 50 m
0m 3m 5m 10m
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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J g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
γconc= 235 Tm3
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
γconc= 235 Tm3
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg γsat= 218 Tm3 γconc= 235 Tm3
LINEA SUPERFICIAL DE FLUJO
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LINEA SUPERFICIAL DE FLUJO
En algunos casos un liacutemite de las liacuteneas de flujo puede ser una superficie de agualibre o superficie de saturacioacuten que no estaacute determinada por ninguna masa soacutelida
impermeable
Tal es el caso de las presas de tierra cuyo problema de flujo presenta caracteriacutesticasespeciales y por lo tanto se requiere del uso de meacutetodos tambieacuten especiales paralograr el trazado de la red de flujo
a
b
c
Equipotencial
Liacutenea de Flujo
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En la figura se presenta una presa de tierra de un material heterogeacuteneo eacute isoacutetropo La liacutenea 1-2 es una liacutenea equipotencial puesto que es el contacto entre el suelo permeable y el agua La liacutenea1-3 es un contacto entre la frontera impermeable y el material permeable por lo tanto es unaliacutenea de flujo Entre los puntos 2 y 4 existe una frontera del flujo donde por debajo de ella elsuelo estaacute saturado y por encima no lo estaacute Ahora bien esta liacutenea que limita la zona de flujodentro de la presa recibe el nombre de liacutenea superficial de flujo o liacutenea de saturacioacuten Suforma se desconoce a priori y tambieacuten la posicioacuten del punto 4 ambos deben ser determinados almenos aproximadamente para poder trazar la red de flujo
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La liacutenea de saturacioacuten ademaacutes de ser una liacutenea de flujo es tambieacuten una liacutenea de
equipresioacuten en la que todos los puntos tienen la misma presioacuten cero Por lo tantoel potencial hidraacuteulico depende de la carga de elevacioacuten uacutenicamente y las liacuteneasequipotenciales la cortaran a intervalos verticales iguales entre si
Condiciones Generales de Entrada
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Condiciones Generales de Entrada
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Condiciones Generales de Salida
Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
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Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
Caso 1 a2 lt 30deg En este caso es posible calcular la superficie humedecida a (distancia 4 - 3) pormedio de la siguiente expresioacuten
2
2
2
2
2
2
2coscos a a a sen
hd d a
d = L - M + O3M
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Luego de dibujar la presa de tierra a escala se sentildeala en ella la superficie humedecida aguas
abajo a calculada por la foacutermula anterior El siguiente paso consiste en el trazado de laliacutenea de saturacioacuten usando el meacutetodo graacutefico aproximado de la paraacutebola baacutesica de Kozenycuyo procedimiento se describe a continuacioacuten
1 Ubicar el punto 2 en la liacutenea freaacutetica a una distancia de 03M medida desde la cara deltalud aguas arriba La cara aguas abajo del talud es tangente a la paraacutebola en el punto 4
2 Prolongar la liacutenea en el talud aguas arriba de la presa Trazar una horizontal por el punto2 hasta cortar la cara del talud aguas abajo El punto de interseccioacuten es 5
3 Dividir 4 -5 Y 5 - 2 en el mismo nuacutemero de partes iguales no maacutes de 4 o 5 y marcarestos puntos (en 2- 5 se parte de 5 numerando con letras A -B etc en 4 - 5 se parte de 4numerando A-B-C etc)
4 Trazar por 4 - 5 liacuteneas horizontales en los puntos marcados
5 Unir cada uno de los puntos marcados en la horizontal 2- 5 con el punto 46 Trazar la liacutenea freaacutetica por los puntos obtenidos 7 Como la liacutenea freaacutetica parte perpendicular a la cara del talud aguas arriba este ajuste
debe realizarse manualmente
=gt M = htg ald =L - O7M
Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
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Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
Caso 2 a2 gt 30deg En este caso el procedimiento a seguir es
d d hP 22
1 La paraacutebola tiene su origen a una distancia P del veacutertice del talud aguas abajo de lapresa es decir este veacutertice es su foco y es tangente a la vertical que pasa por elpunto P
P se calcula por medio de la siguiente expresioacuten
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2 Trazar la paraacutebola baacutesica de Kozeny En este caso la tangente al origen es una liacuteneavertical
3 La distancia desde el punto 4 hasta la interseccioacuten de la paraacutebola con el talud aguasabajo es a + Da y no es realmente el punto por donde sale el agua en el talud porlo tanto se debe realizar una correccioacuten y encontrar a Casagrande encontroacute que larelacioacuten es un escalar que puede ser llamado a y que se relaciona
con el angulo a2 seguacuten se muestra en la siguiente tabla
a
a
D
D
a a2 ( deg ) aacute
30 0375
60 0320
90 0260
120 0185
150 0105
180 0
Los valores entre estos aacutengulos pueden interpolarse
y midiendo a + Da se calcula a usando la tablaDa = aacute ( a + Da ) y a = ( a + Da ) - Da
Finalmente se trazan manualmente la entraday la salida de la liacutenea de saturacioacuten
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EJERCICIO Determine la Linea Superficial de Flujo de la presa de tierra que se presentaa continuacioacuten
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a continuacioacuten
EJERCICIO Determine la Linea Superficial de Flujo de la presa de tierra que se presentaa continuacioacuten
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2
1
a continuacioacuten
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
g
La teoriacutea de la seccioacuten transformada permite reducir al caso de un suelo homogeacuteneo e isoacutetropo un suelo en el que la permeabilidad para el flujo en la direccioacuten horizontal ( kx) y la que tenga para el flujo en la direccioacuten vertical ( ky ) sean diferentes ( kx ne Ky )(por lo general Kx en muchas veces mayor que ky )
La teoriacutea de la seccioacuten transformada es un simple artificio de calculo que se logra por una simple transformacioacuten de coordenadas y que modifica sobre el papel las dimensiones de la zona de flujo en estudio en un suelo isotropico hidraacuteulicamente equivalente
Dos tipos de transformaciones se pueden aplicar a) Haciendo
Y Ky
Kx
Y acute
Se modifican las dimensiones verticales permaneciendo constantes las horizontales
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
g
b) Haciendo
X Kx
Ky X acute
Se modifican las dimensiones Horizontales permaneciendo constantes las Verticales
En la seccioacuten transformada homogeacutenea e isoacutetropa la permeabilidad equivalente viene dada por
kykxk
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
kykxk
X Kx
Ky X acute
2 0 0 0
0 0
kx
ky
k
2 8 2 0 0
0
h
141h
500000
b352463
071b
k
Y Ky
KxY acute
kykx 2
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RELACIOacuteN ENTRE LAS LINEAS EQUIPOTENCIALES YLINEAS DE FLUJO O DE CORRIENTE
Considerando las derivadas totales a lo largo de cada una de las curvas
y
x
x
y
x
y
x
y
Pendientes Reciacuteprocas y de signo contario lo cual escondicioacuten de Ortogonalidad y son Ortogonales encada punto de interseccioacuten
REDES DE FLUJO
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REDES DE FLUJO
La red de flujo es la solucioacuten graacutefica la ecuacioacuten de Laplace en 2 dimensiones
Desafortunadamente la ecuacioacuten de Laplace es matemaacuteticamente integrable solo encondiciones de frontera muy simples por lo que en la praacutectica es necesario emplearotros meacutetodos diferentes de la integracioacuten para obtener la red de flujo Uno de esosmeacutetodos es el procedimiento graacutefico de Forcheimer que resulta ser muy simple deaplicar cualquiera sea el problema de flujo uniforme en dos dimensiones
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El espacio entre cualquier par de liacuteneas de flujo consecutivas es un canal de flujoen el trazado de la red se debe seleccionar un cierto nuacutemero de canales de flujo
Nf tal que el gasto de infiltracioacuten a traveacutes de cada canal sea el mismoDq = q Nf
La peacuterdida de carga entre cualquier par de liacuteneas equipotenciales consecutivas es lamisma e igual a Dh Donde Dhacute = Dh Nd (Dh es la peacuterdida de carga total y Nd elnuacutemero de caiacutedas de potencial)
El ancho del canal es a y la distancia entre las caiacutedas equipotenciales es b paracualquier elemento considerado
El gasto que circula por cualquier elemento es Dq = k i A
El gradiente hidraacuteulico del elemento es i = Dhacute b = ( Dh Nd ) bEntoces Dq = k ( ( Dh Nd ) b ) a L donde L es el ancho de la red en la tercera dimensioacuten
REDES DE FLUJO
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REDES DE FLUJO
Como Dq = q Nf entonces q = Dq Nf = k ( ( Dh Nd ) b ) a L Nf
La razoacuten a b esta fijada por la razoacuten Nf Nd y es la misma a traveacutes de toda la redNf y Nd deben seleccionarse de modo que a = b y a b = 1 Con lo que laecuacioacuten de gasto se transforma en
Reordenando q = k Dh ( Nf Nd ) (a b ) L
q = k Dh ( Nf Nd ) L
Aacute
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1) Hacer un dibujo a escala que muestre la masa de suelo los liacutemites permeables a
traveacutes de los cuales entra y sale el agua del suelo y las fronteras impermeables que
confinan o limitan el flujo
2) Dibujar de dos a cuatro liacuteneas de flujo que formen aacutengulos rectos con los liacutemitespermeables a la entrada y a la salida y que sean aproximadamente paralelas a losliacutemites impermeables
3) Dibujar liacuteneas equipotenciales que formen aacutengulos rectos con las liacuteneas de flujo demanera que el ancho y el largo promedio del cuadrado curviliacuteneo que forman seaniguales (a=b) Desde luego esto es imposible de lograr en el primer tanteo porquelas posiciones de las liacuteneas de flujo son supuestas pero esta primera red serviraacute deguiacutea para un segundo tanteo
4) Se reajustan las liacuteneas de flujo y las liacuteneas equipotenciales hasta que todas lasintersecciones sean en aacutengulo recto y el largo y ancho de cada cuadrado seaniguales Los tamantildeos de los cuadrados pueden ser distintos pero la relacioacuten ab = 1debe mantenerse
REGLAS PRAacuteCTICAS PARA ELABORAR REDES DE FLUJO
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El logro de una solucioacuten exacta requiere de muchos tanteos y
algunos problemas no admiten en su solucioacuten un nuacutemeroexacto de canales yo de caiacutedas equipotenciales en estos casosdebe intentarse con un nuacutemero de canales yo caiacutedasequipotenciales fraccionario (media caiacuteda o medio canal porejemplo)
Al lograr trazar la red de flujo de cuadrados curviliacuteneossatisfaciendo las condiciones de frontera del problema seobtendraacute la solucioacuten graacutefica de este problema para las
condiciones de frontera del problema se obtendraacute la solucioacutengraacutefica de este para las condiciones hidrodinaacutemicasestablecidas por la ecuacioacuten de Laplace
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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J g j
6 0
0 m
BA
I II III IV V VI VII
C
D
6 0
0 m
6 0
0 m
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
1) Altura piezometrica en A
2) Esfuerzo efectivo en B
3) Gradiente hidraacuteulico velocidades de descarga y de filtracioacuten
en C
4) Presiones hidraacuteulicas sobre el tablestacado5) Gradiente hidraacuteulico de salida y factor de seguridad contra la
arena movediza (licuefaccioacuten)
6) Factor de seguridad a la Tubificacioacuten
7) Presiones hidraacuteulicas sobre el fondo impermeable
8) Presioacuten de filtracioacuten en D
9) Caudal de Filtracioacuten bajo la presa sabiendo que L= 50 m
0m 3m 5m 10m
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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J g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
γconc= 235 Tm3
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
γconc= 235 Tm3
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg γsat= 218 Tm3 γconc= 235 Tm3
LINEA SUPERFICIAL DE FLUJO
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LINEA SUPERFICIAL DE FLUJO
En algunos casos un liacutemite de las liacuteneas de flujo puede ser una superficie de agualibre o superficie de saturacioacuten que no estaacute determinada por ninguna masa soacutelida
impermeable
Tal es el caso de las presas de tierra cuyo problema de flujo presenta caracteriacutesticasespeciales y por lo tanto se requiere del uso de meacutetodos tambieacuten especiales paralograr el trazado de la red de flujo
a
b
c
Equipotencial
Liacutenea de Flujo
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En la figura se presenta una presa de tierra de un material heterogeacuteneo eacute isoacutetropo La liacutenea 1-2 es una liacutenea equipotencial puesto que es el contacto entre el suelo permeable y el agua La liacutenea1-3 es un contacto entre la frontera impermeable y el material permeable por lo tanto es unaliacutenea de flujo Entre los puntos 2 y 4 existe una frontera del flujo donde por debajo de ella elsuelo estaacute saturado y por encima no lo estaacute Ahora bien esta liacutenea que limita la zona de flujodentro de la presa recibe el nombre de liacutenea superficial de flujo o liacutenea de saturacioacuten Suforma se desconoce a priori y tambieacuten la posicioacuten del punto 4 ambos deben ser determinados almenos aproximadamente para poder trazar la red de flujo
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La liacutenea de saturacioacuten ademaacutes de ser una liacutenea de flujo es tambieacuten una liacutenea de
equipresioacuten en la que todos los puntos tienen la misma presioacuten cero Por lo tantoel potencial hidraacuteulico depende de la carga de elevacioacuten uacutenicamente y las liacuteneasequipotenciales la cortaran a intervalos verticales iguales entre si
Condiciones Generales de Entrada
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Condiciones Generales de Entrada
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Condiciones Generales de Salida
Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
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Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
Caso 1 a2 lt 30deg En este caso es posible calcular la superficie humedecida a (distancia 4 - 3) pormedio de la siguiente expresioacuten
2
2
2
2
2
2
2coscos a a a sen
hd d a
d = L - M + O3M
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Luego de dibujar la presa de tierra a escala se sentildeala en ella la superficie humedecida aguas
abajo a calculada por la foacutermula anterior El siguiente paso consiste en el trazado de laliacutenea de saturacioacuten usando el meacutetodo graacutefico aproximado de la paraacutebola baacutesica de Kozenycuyo procedimiento se describe a continuacioacuten
1 Ubicar el punto 2 en la liacutenea freaacutetica a una distancia de 03M medida desde la cara deltalud aguas arriba La cara aguas abajo del talud es tangente a la paraacutebola en el punto 4
2 Prolongar la liacutenea en el talud aguas arriba de la presa Trazar una horizontal por el punto2 hasta cortar la cara del talud aguas abajo El punto de interseccioacuten es 5
3 Dividir 4 -5 Y 5 - 2 en el mismo nuacutemero de partes iguales no maacutes de 4 o 5 y marcarestos puntos (en 2- 5 se parte de 5 numerando con letras A -B etc en 4 - 5 se parte de 4numerando A-B-C etc)
4 Trazar por 4 - 5 liacuteneas horizontales en los puntos marcados
5 Unir cada uno de los puntos marcados en la horizontal 2- 5 con el punto 46 Trazar la liacutenea freaacutetica por los puntos obtenidos 7 Como la liacutenea freaacutetica parte perpendicular a la cara del talud aguas arriba este ajuste
debe realizarse manualmente
=gt M = htg ald =L - O7M
Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
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Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
Caso 2 a2 gt 30deg En este caso el procedimiento a seguir es
d d hP 22
1 La paraacutebola tiene su origen a una distancia P del veacutertice del talud aguas abajo de lapresa es decir este veacutertice es su foco y es tangente a la vertical que pasa por elpunto P
P se calcula por medio de la siguiente expresioacuten
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2 Trazar la paraacutebola baacutesica de Kozeny En este caso la tangente al origen es una liacuteneavertical
3 La distancia desde el punto 4 hasta la interseccioacuten de la paraacutebola con el talud aguasabajo es a + Da y no es realmente el punto por donde sale el agua en el talud porlo tanto se debe realizar una correccioacuten y encontrar a Casagrande encontroacute que larelacioacuten es un escalar que puede ser llamado a y que se relaciona
con el angulo a2 seguacuten se muestra en la siguiente tabla
a
a
D
D
a a2 ( deg ) aacute
30 0375
60 0320
90 0260
120 0185
150 0105
180 0
Los valores entre estos aacutengulos pueden interpolarse
y midiendo a + Da se calcula a usando la tablaDa = aacute ( a + Da ) y a = ( a + Da ) - Da
Finalmente se trazan manualmente la entraday la salida de la liacutenea de saturacioacuten
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EJERCICIO Determine la Linea Superficial de Flujo de la presa de tierra que se presentaa continuacioacuten
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a continuacioacuten
EJERCICIO Determine la Linea Superficial de Flujo de la presa de tierra que se presentaa continuacioacuten
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2
1
a continuacioacuten
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
g
La teoriacutea de la seccioacuten transformada permite reducir al caso de un suelo homogeacuteneo e isoacutetropo un suelo en el que la permeabilidad para el flujo en la direccioacuten horizontal ( kx) y la que tenga para el flujo en la direccioacuten vertical ( ky ) sean diferentes ( kx ne Ky )(por lo general Kx en muchas veces mayor que ky )
La teoriacutea de la seccioacuten transformada es un simple artificio de calculo que se logra por una simple transformacioacuten de coordenadas y que modifica sobre el papel las dimensiones de la zona de flujo en estudio en un suelo isotropico hidraacuteulicamente equivalente
Dos tipos de transformaciones se pueden aplicar a) Haciendo
Y Ky
Kx
Y acute
Se modifican las dimensiones verticales permaneciendo constantes las horizontales
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
g
b) Haciendo
X Kx
Ky X acute
Se modifican las dimensiones Horizontales permaneciendo constantes las Verticales
En la seccioacuten transformada homogeacutenea e isoacutetropa la permeabilidad equivalente viene dada por
kykxk
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
kykxk
X Kx
Ky X acute
2 0 0 0
0 0
kx
ky
k
2 8 2 0 0
0
h
141h
500000
b352463
071b
k
Y Ky
KxY acute
kykx 2
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REDES DE FLUJO
La red de flujo es la solucioacuten graacutefica la ecuacioacuten de Laplace en 2 dimensiones
Desafortunadamente la ecuacioacuten de Laplace es matemaacuteticamente integrable solo encondiciones de frontera muy simples por lo que en la praacutectica es necesario emplearotros meacutetodos diferentes de la integracioacuten para obtener la red de flujo Uno de esosmeacutetodos es el procedimiento graacutefico de Forcheimer que resulta ser muy simple deaplicar cualquiera sea el problema de flujo uniforme en dos dimensiones
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El espacio entre cualquier par de liacuteneas de flujo consecutivas es un canal de flujoen el trazado de la red se debe seleccionar un cierto nuacutemero de canales de flujo
Nf tal que el gasto de infiltracioacuten a traveacutes de cada canal sea el mismoDq = q Nf
La peacuterdida de carga entre cualquier par de liacuteneas equipotenciales consecutivas es lamisma e igual a Dh Donde Dhacute = Dh Nd (Dh es la peacuterdida de carga total y Nd elnuacutemero de caiacutedas de potencial)
El ancho del canal es a y la distancia entre las caiacutedas equipotenciales es b paracualquier elemento considerado
El gasto que circula por cualquier elemento es Dq = k i A
El gradiente hidraacuteulico del elemento es i = Dhacute b = ( Dh Nd ) bEntoces Dq = k ( ( Dh Nd ) b ) a L donde L es el ancho de la red en la tercera dimensioacuten
REDES DE FLUJO
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REDES DE FLUJO
Como Dq = q Nf entonces q = Dq Nf = k ( ( Dh Nd ) b ) a L Nf
La razoacuten a b esta fijada por la razoacuten Nf Nd y es la misma a traveacutes de toda la redNf y Nd deben seleccionarse de modo que a = b y a b = 1 Con lo que laecuacioacuten de gasto se transforma en
Reordenando q = k Dh ( Nf Nd ) (a b ) L
q = k Dh ( Nf Nd ) L
Aacute
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1) Hacer un dibujo a escala que muestre la masa de suelo los liacutemites permeables a
traveacutes de los cuales entra y sale el agua del suelo y las fronteras impermeables que
confinan o limitan el flujo
2) Dibujar de dos a cuatro liacuteneas de flujo que formen aacutengulos rectos con los liacutemitespermeables a la entrada y a la salida y que sean aproximadamente paralelas a losliacutemites impermeables
3) Dibujar liacuteneas equipotenciales que formen aacutengulos rectos con las liacuteneas de flujo demanera que el ancho y el largo promedio del cuadrado curviliacuteneo que forman seaniguales (a=b) Desde luego esto es imposible de lograr en el primer tanteo porquelas posiciones de las liacuteneas de flujo son supuestas pero esta primera red serviraacute deguiacutea para un segundo tanteo
4) Se reajustan las liacuteneas de flujo y las liacuteneas equipotenciales hasta que todas lasintersecciones sean en aacutengulo recto y el largo y ancho de cada cuadrado seaniguales Los tamantildeos de los cuadrados pueden ser distintos pero la relacioacuten ab = 1debe mantenerse
REGLAS PRAacuteCTICAS PARA ELABORAR REDES DE FLUJO
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El logro de una solucioacuten exacta requiere de muchos tanteos y
algunos problemas no admiten en su solucioacuten un nuacutemeroexacto de canales yo de caiacutedas equipotenciales en estos casosdebe intentarse con un nuacutemero de canales yo caiacutedasequipotenciales fraccionario (media caiacuteda o medio canal porejemplo)
Al lograr trazar la red de flujo de cuadrados curviliacuteneossatisfaciendo las condiciones de frontera del problema seobtendraacute la solucioacuten graacutefica de este problema para las
condiciones de frontera del problema se obtendraacute la solucioacutengraacutefica de este para las condiciones hidrodinaacutemicasestablecidas por la ecuacioacuten de Laplace
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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J g j
6 0
0 m
BA
I II III IV V VI VII
C
D
6 0
0 m
6 0
0 m
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
1) Altura piezometrica en A
2) Esfuerzo efectivo en B
3) Gradiente hidraacuteulico velocidades de descarga y de filtracioacuten
en C
4) Presiones hidraacuteulicas sobre el tablestacado5) Gradiente hidraacuteulico de salida y factor de seguridad contra la
arena movediza (licuefaccioacuten)
6) Factor de seguridad a la Tubificacioacuten
7) Presiones hidraacuteulicas sobre el fondo impermeable
8) Presioacuten de filtracioacuten en D
9) Caudal de Filtracioacuten bajo la presa sabiendo que L= 50 m
0m 3m 5m 10m
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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J g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
γconc= 235 Tm3
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
γconc= 235 Tm3
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg γsat= 218 Tm3 γconc= 235 Tm3
LINEA SUPERFICIAL DE FLUJO
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LINEA SUPERFICIAL DE FLUJO
En algunos casos un liacutemite de las liacuteneas de flujo puede ser una superficie de agualibre o superficie de saturacioacuten que no estaacute determinada por ninguna masa soacutelida
impermeable
Tal es el caso de las presas de tierra cuyo problema de flujo presenta caracteriacutesticasespeciales y por lo tanto se requiere del uso de meacutetodos tambieacuten especiales paralograr el trazado de la red de flujo
a
b
c
Equipotencial
Liacutenea de Flujo
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En la figura se presenta una presa de tierra de un material heterogeacuteneo eacute isoacutetropo La liacutenea 1-2 es una liacutenea equipotencial puesto que es el contacto entre el suelo permeable y el agua La liacutenea1-3 es un contacto entre la frontera impermeable y el material permeable por lo tanto es unaliacutenea de flujo Entre los puntos 2 y 4 existe una frontera del flujo donde por debajo de ella elsuelo estaacute saturado y por encima no lo estaacute Ahora bien esta liacutenea que limita la zona de flujodentro de la presa recibe el nombre de liacutenea superficial de flujo o liacutenea de saturacioacuten Suforma se desconoce a priori y tambieacuten la posicioacuten del punto 4 ambos deben ser determinados almenos aproximadamente para poder trazar la red de flujo
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La liacutenea de saturacioacuten ademaacutes de ser una liacutenea de flujo es tambieacuten una liacutenea de
equipresioacuten en la que todos los puntos tienen la misma presioacuten cero Por lo tantoel potencial hidraacuteulico depende de la carga de elevacioacuten uacutenicamente y las liacuteneasequipotenciales la cortaran a intervalos verticales iguales entre si
Condiciones Generales de Entrada
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Condiciones Generales de Entrada
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Condiciones Generales de Salida
Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
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Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
Caso 1 a2 lt 30deg En este caso es posible calcular la superficie humedecida a (distancia 4 - 3) pormedio de la siguiente expresioacuten
2
2
2
2
2
2
2coscos a a a sen
hd d a
d = L - M + O3M
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Luego de dibujar la presa de tierra a escala se sentildeala en ella la superficie humedecida aguas
abajo a calculada por la foacutermula anterior El siguiente paso consiste en el trazado de laliacutenea de saturacioacuten usando el meacutetodo graacutefico aproximado de la paraacutebola baacutesica de Kozenycuyo procedimiento se describe a continuacioacuten
1 Ubicar el punto 2 en la liacutenea freaacutetica a una distancia de 03M medida desde la cara deltalud aguas arriba La cara aguas abajo del talud es tangente a la paraacutebola en el punto 4
2 Prolongar la liacutenea en el talud aguas arriba de la presa Trazar una horizontal por el punto2 hasta cortar la cara del talud aguas abajo El punto de interseccioacuten es 5
3 Dividir 4 -5 Y 5 - 2 en el mismo nuacutemero de partes iguales no maacutes de 4 o 5 y marcarestos puntos (en 2- 5 se parte de 5 numerando con letras A -B etc en 4 - 5 se parte de 4numerando A-B-C etc)
4 Trazar por 4 - 5 liacuteneas horizontales en los puntos marcados
5 Unir cada uno de los puntos marcados en la horizontal 2- 5 con el punto 46 Trazar la liacutenea freaacutetica por los puntos obtenidos 7 Como la liacutenea freaacutetica parte perpendicular a la cara del talud aguas arriba este ajuste
debe realizarse manualmente
=gt M = htg ald =L - O7M
Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
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Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
Caso 2 a2 gt 30deg En este caso el procedimiento a seguir es
d d hP 22
1 La paraacutebola tiene su origen a una distancia P del veacutertice del talud aguas abajo de lapresa es decir este veacutertice es su foco y es tangente a la vertical que pasa por elpunto P
P se calcula por medio de la siguiente expresioacuten
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2 Trazar la paraacutebola baacutesica de Kozeny En este caso la tangente al origen es una liacuteneavertical
3 La distancia desde el punto 4 hasta la interseccioacuten de la paraacutebola con el talud aguasabajo es a + Da y no es realmente el punto por donde sale el agua en el talud porlo tanto se debe realizar una correccioacuten y encontrar a Casagrande encontroacute que larelacioacuten es un escalar que puede ser llamado a y que se relaciona
con el angulo a2 seguacuten se muestra en la siguiente tabla
a
a
D
D
a a2 ( deg ) aacute
30 0375
60 0320
90 0260
120 0185
150 0105
180 0
Los valores entre estos aacutengulos pueden interpolarse
y midiendo a + Da se calcula a usando la tablaDa = aacute ( a + Da ) y a = ( a + Da ) - Da
Finalmente se trazan manualmente la entraday la salida de la liacutenea de saturacioacuten
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EJERCICIO Determine la Linea Superficial de Flujo de la presa de tierra que se presentaa continuacioacuten
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a continuacioacuten
EJERCICIO Determine la Linea Superficial de Flujo de la presa de tierra que se presentaa continuacioacuten
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2
1
a continuacioacuten
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
g
La teoriacutea de la seccioacuten transformada permite reducir al caso de un suelo homogeacuteneo e isoacutetropo un suelo en el que la permeabilidad para el flujo en la direccioacuten horizontal ( kx) y la que tenga para el flujo en la direccioacuten vertical ( ky ) sean diferentes ( kx ne Ky )(por lo general Kx en muchas veces mayor que ky )
La teoriacutea de la seccioacuten transformada es un simple artificio de calculo que se logra por una simple transformacioacuten de coordenadas y que modifica sobre el papel las dimensiones de la zona de flujo en estudio en un suelo isotropico hidraacuteulicamente equivalente
Dos tipos de transformaciones se pueden aplicar a) Haciendo
Y Ky
Kx
Y acute
Se modifican las dimensiones verticales permaneciendo constantes las horizontales
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
g
b) Haciendo
X Kx
Ky X acute
Se modifican las dimensiones Horizontales permaneciendo constantes las Verticales
En la seccioacuten transformada homogeacutenea e isoacutetropa la permeabilidad equivalente viene dada por
kykxk
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
kykxk
X Kx
Ky X acute
2 0 0 0
0 0
kx
ky
k
2 8 2 0 0
0
h
141h
500000
b352463
071b
k
Y Ky
KxY acute
kykx 2
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El espacio entre cualquier par de liacuteneas de flujo consecutivas es un canal de flujoen el trazado de la red se debe seleccionar un cierto nuacutemero de canales de flujo
Nf tal que el gasto de infiltracioacuten a traveacutes de cada canal sea el mismoDq = q Nf
La peacuterdida de carga entre cualquier par de liacuteneas equipotenciales consecutivas es lamisma e igual a Dh Donde Dhacute = Dh Nd (Dh es la peacuterdida de carga total y Nd elnuacutemero de caiacutedas de potencial)
El ancho del canal es a y la distancia entre las caiacutedas equipotenciales es b paracualquier elemento considerado
El gasto que circula por cualquier elemento es Dq = k i A
El gradiente hidraacuteulico del elemento es i = Dhacute b = ( Dh Nd ) bEntoces Dq = k ( ( Dh Nd ) b ) a L donde L es el ancho de la red en la tercera dimensioacuten
REDES DE FLUJO
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REDES DE FLUJO
Como Dq = q Nf entonces q = Dq Nf = k ( ( Dh Nd ) b ) a L Nf
La razoacuten a b esta fijada por la razoacuten Nf Nd y es la misma a traveacutes de toda la redNf y Nd deben seleccionarse de modo que a = b y a b = 1 Con lo que laecuacioacuten de gasto se transforma en
Reordenando q = k Dh ( Nf Nd ) (a b ) L
q = k Dh ( Nf Nd ) L
Aacute
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1) Hacer un dibujo a escala que muestre la masa de suelo los liacutemites permeables a
traveacutes de los cuales entra y sale el agua del suelo y las fronteras impermeables que
confinan o limitan el flujo
2) Dibujar de dos a cuatro liacuteneas de flujo que formen aacutengulos rectos con los liacutemitespermeables a la entrada y a la salida y que sean aproximadamente paralelas a losliacutemites impermeables
3) Dibujar liacuteneas equipotenciales que formen aacutengulos rectos con las liacuteneas de flujo demanera que el ancho y el largo promedio del cuadrado curviliacuteneo que forman seaniguales (a=b) Desde luego esto es imposible de lograr en el primer tanteo porquelas posiciones de las liacuteneas de flujo son supuestas pero esta primera red serviraacute deguiacutea para un segundo tanteo
4) Se reajustan las liacuteneas de flujo y las liacuteneas equipotenciales hasta que todas lasintersecciones sean en aacutengulo recto y el largo y ancho de cada cuadrado seaniguales Los tamantildeos de los cuadrados pueden ser distintos pero la relacioacuten ab = 1debe mantenerse
REGLAS PRAacuteCTICAS PARA ELABORAR REDES DE FLUJO
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El logro de una solucioacuten exacta requiere de muchos tanteos y
algunos problemas no admiten en su solucioacuten un nuacutemeroexacto de canales yo de caiacutedas equipotenciales en estos casosdebe intentarse con un nuacutemero de canales yo caiacutedasequipotenciales fraccionario (media caiacuteda o medio canal porejemplo)
Al lograr trazar la red de flujo de cuadrados curviliacuteneossatisfaciendo las condiciones de frontera del problema seobtendraacute la solucioacuten graacutefica de este problema para las
condiciones de frontera del problema se obtendraacute la solucioacutengraacutefica de este para las condiciones hidrodinaacutemicasestablecidas por la ecuacioacuten de Laplace
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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J g j
6 0
0 m
BA
I II III IV V VI VII
C
D
6 0
0 m
6 0
0 m
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
1) Altura piezometrica en A
2) Esfuerzo efectivo en B
3) Gradiente hidraacuteulico velocidades de descarga y de filtracioacuten
en C
4) Presiones hidraacuteulicas sobre el tablestacado5) Gradiente hidraacuteulico de salida y factor de seguridad contra la
arena movediza (licuefaccioacuten)
6) Factor de seguridad a la Tubificacioacuten
7) Presiones hidraacuteulicas sobre el fondo impermeable
8) Presioacuten de filtracioacuten en D
9) Caudal de Filtracioacuten bajo la presa sabiendo que L= 50 m
0m 3m 5m 10m
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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J g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
γconc= 235 Tm3
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
γconc= 235 Tm3
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg γsat= 218 Tm3 γconc= 235 Tm3
LINEA SUPERFICIAL DE FLUJO
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LINEA SUPERFICIAL DE FLUJO
En algunos casos un liacutemite de las liacuteneas de flujo puede ser una superficie de agualibre o superficie de saturacioacuten que no estaacute determinada por ninguna masa soacutelida
impermeable
Tal es el caso de las presas de tierra cuyo problema de flujo presenta caracteriacutesticasespeciales y por lo tanto se requiere del uso de meacutetodos tambieacuten especiales paralograr el trazado de la red de flujo
a
b
c
Equipotencial
Liacutenea de Flujo
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En la figura se presenta una presa de tierra de un material heterogeacuteneo eacute isoacutetropo La liacutenea 1-2 es una liacutenea equipotencial puesto que es el contacto entre el suelo permeable y el agua La liacutenea1-3 es un contacto entre la frontera impermeable y el material permeable por lo tanto es unaliacutenea de flujo Entre los puntos 2 y 4 existe una frontera del flujo donde por debajo de ella elsuelo estaacute saturado y por encima no lo estaacute Ahora bien esta liacutenea que limita la zona de flujodentro de la presa recibe el nombre de liacutenea superficial de flujo o liacutenea de saturacioacuten Suforma se desconoce a priori y tambieacuten la posicioacuten del punto 4 ambos deben ser determinados almenos aproximadamente para poder trazar la red de flujo
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La liacutenea de saturacioacuten ademaacutes de ser una liacutenea de flujo es tambieacuten una liacutenea de
equipresioacuten en la que todos los puntos tienen la misma presioacuten cero Por lo tantoel potencial hidraacuteulico depende de la carga de elevacioacuten uacutenicamente y las liacuteneasequipotenciales la cortaran a intervalos verticales iguales entre si
Condiciones Generales de Entrada
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Condiciones Generales de Entrada
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Condiciones Generales de Salida
Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
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Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
Caso 1 a2 lt 30deg En este caso es posible calcular la superficie humedecida a (distancia 4 - 3) pormedio de la siguiente expresioacuten
2
2
2
2
2
2
2coscos a a a sen
hd d a
d = L - M + O3M
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Luego de dibujar la presa de tierra a escala se sentildeala en ella la superficie humedecida aguas
abajo a calculada por la foacutermula anterior El siguiente paso consiste en el trazado de laliacutenea de saturacioacuten usando el meacutetodo graacutefico aproximado de la paraacutebola baacutesica de Kozenycuyo procedimiento se describe a continuacioacuten
1 Ubicar el punto 2 en la liacutenea freaacutetica a una distancia de 03M medida desde la cara deltalud aguas arriba La cara aguas abajo del talud es tangente a la paraacutebola en el punto 4
2 Prolongar la liacutenea en el talud aguas arriba de la presa Trazar una horizontal por el punto2 hasta cortar la cara del talud aguas abajo El punto de interseccioacuten es 5
3 Dividir 4 -5 Y 5 - 2 en el mismo nuacutemero de partes iguales no maacutes de 4 o 5 y marcarestos puntos (en 2- 5 se parte de 5 numerando con letras A -B etc en 4 - 5 se parte de 4numerando A-B-C etc)
4 Trazar por 4 - 5 liacuteneas horizontales en los puntos marcados
5 Unir cada uno de los puntos marcados en la horizontal 2- 5 con el punto 46 Trazar la liacutenea freaacutetica por los puntos obtenidos 7 Como la liacutenea freaacutetica parte perpendicular a la cara del talud aguas arriba este ajuste
debe realizarse manualmente
=gt M = htg ald =L - O7M
Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
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Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
Caso 2 a2 gt 30deg En este caso el procedimiento a seguir es
d d hP 22
1 La paraacutebola tiene su origen a una distancia P del veacutertice del talud aguas abajo de lapresa es decir este veacutertice es su foco y es tangente a la vertical que pasa por elpunto P
P se calcula por medio de la siguiente expresioacuten
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2 Trazar la paraacutebola baacutesica de Kozeny En este caso la tangente al origen es una liacuteneavertical
3 La distancia desde el punto 4 hasta la interseccioacuten de la paraacutebola con el talud aguasabajo es a + Da y no es realmente el punto por donde sale el agua en el talud porlo tanto se debe realizar una correccioacuten y encontrar a Casagrande encontroacute que larelacioacuten es un escalar que puede ser llamado a y que se relaciona
con el angulo a2 seguacuten se muestra en la siguiente tabla
a
a
D
D
a a2 ( deg ) aacute
30 0375
60 0320
90 0260
120 0185
150 0105
180 0
Los valores entre estos aacutengulos pueden interpolarse
y midiendo a + Da se calcula a usando la tablaDa = aacute ( a + Da ) y a = ( a + Da ) - Da
Finalmente se trazan manualmente la entraday la salida de la liacutenea de saturacioacuten
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EJERCICIO Determine la Linea Superficial de Flujo de la presa de tierra que se presentaa continuacioacuten
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a continuacioacuten
EJERCICIO Determine la Linea Superficial de Flujo de la presa de tierra que se presentaa continuacioacuten
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2
1
a continuacioacuten
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
g
La teoriacutea de la seccioacuten transformada permite reducir al caso de un suelo homogeacuteneo e isoacutetropo un suelo en el que la permeabilidad para el flujo en la direccioacuten horizontal ( kx) y la que tenga para el flujo en la direccioacuten vertical ( ky ) sean diferentes ( kx ne Ky )(por lo general Kx en muchas veces mayor que ky )
La teoriacutea de la seccioacuten transformada es un simple artificio de calculo que se logra por una simple transformacioacuten de coordenadas y que modifica sobre el papel las dimensiones de la zona de flujo en estudio en un suelo isotropico hidraacuteulicamente equivalente
Dos tipos de transformaciones se pueden aplicar a) Haciendo
Y Ky
Kx
Y acute
Se modifican las dimensiones verticales permaneciendo constantes las horizontales
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
g
b) Haciendo
X Kx
Ky X acute
Se modifican las dimensiones Horizontales permaneciendo constantes las Verticales
En la seccioacuten transformada homogeacutenea e isoacutetropa la permeabilidad equivalente viene dada por
kykxk
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
kykxk
X Kx
Ky X acute
2 0 0 0
0 0
kx
ky
k
2 8 2 0 0
0
h
141h
500000
b352463
071b
k
Y Ky
KxY acute
kykx 2
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REDES DE FLUJO
Como Dq = q Nf entonces q = Dq Nf = k ( ( Dh Nd ) b ) a L Nf
La razoacuten a b esta fijada por la razoacuten Nf Nd y es la misma a traveacutes de toda la redNf y Nd deben seleccionarse de modo que a = b y a b = 1 Con lo que laecuacioacuten de gasto se transforma en
Reordenando q = k Dh ( Nf Nd ) (a b ) L
q = k Dh ( Nf Nd ) L
Aacute
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1) Hacer un dibujo a escala que muestre la masa de suelo los liacutemites permeables a
traveacutes de los cuales entra y sale el agua del suelo y las fronteras impermeables que
confinan o limitan el flujo
2) Dibujar de dos a cuatro liacuteneas de flujo que formen aacutengulos rectos con los liacutemitespermeables a la entrada y a la salida y que sean aproximadamente paralelas a losliacutemites impermeables
3) Dibujar liacuteneas equipotenciales que formen aacutengulos rectos con las liacuteneas de flujo demanera que el ancho y el largo promedio del cuadrado curviliacuteneo que forman seaniguales (a=b) Desde luego esto es imposible de lograr en el primer tanteo porquelas posiciones de las liacuteneas de flujo son supuestas pero esta primera red serviraacute deguiacutea para un segundo tanteo
4) Se reajustan las liacuteneas de flujo y las liacuteneas equipotenciales hasta que todas lasintersecciones sean en aacutengulo recto y el largo y ancho de cada cuadrado seaniguales Los tamantildeos de los cuadrados pueden ser distintos pero la relacioacuten ab = 1debe mantenerse
REGLAS PRAacuteCTICAS PARA ELABORAR REDES DE FLUJO
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El logro de una solucioacuten exacta requiere de muchos tanteos y
algunos problemas no admiten en su solucioacuten un nuacutemeroexacto de canales yo de caiacutedas equipotenciales en estos casosdebe intentarse con un nuacutemero de canales yo caiacutedasequipotenciales fraccionario (media caiacuteda o medio canal porejemplo)
Al lograr trazar la red de flujo de cuadrados curviliacuteneossatisfaciendo las condiciones de frontera del problema seobtendraacute la solucioacuten graacutefica de este problema para las
condiciones de frontera del problema se obtendraacute la solucioacutengraacutefica de este para las condiciones hidrodinaacutemicasestablecidas por la ecuacioacuten de Laplace
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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J g j
6 0
0 m
BA
I II III IV V VI VII
C
D
6 0
0 m
6 0
0 m
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
1) Altura piezometrica en A
2) Esfuerzo efectivo en B
3) Gradiente hidraacuteulico velocidades de descarga y de filtracioacuten
en C
4) Presiones hidraacuteulicas sobre el tablestacado5) Gradiente hidraacuteulico de salida y factor de seguridad contra la
arena movediza (licuefaccioacuten)
6) Factor de seguridad a la Tubificacioacuten
7) Presiones hidraacuteulicas sobre el fondo impermeable
8) Presioacuten de filtracioacuten en D
9) Caudal de Filtracioacuten bajo la presa sabiendo que L= 50 m
0m 3m 5m 10m
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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J g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
γconc= 235 Tm3
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
γconc= 235 Tm3
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg γsat= 218 Tm3 γconc= 235 Tm3
LINEA SUPERFICIAL DE FLUJO
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LINEA SUPERFICIAL DE FLUJO
En algunos casos un liacutemite de las liacuteneas de flujo puede ser una superficie de agualibre o superficie de saturacioacuten que no estaacute determinada por ninguna masa soacutelida
impermeable
Tal es el caso de las presas de tierra cuyo problema de flujo presenta caracteriacutesticasespeciales y por lo tanto se requiere del uso de meacutetodos tambieacuten especiales paralograr el trazado de la red de flujo
a
b
c
Equipotencial
Liacutenea de Flujo
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En la figura se presenta una presa de tierra de un material heterogeacuteneo eacute isoacutetropo La liacutenea 1-2 es una liacutenea equipotencial puesto que es el contacto entre el suelo permeable y el agua La liacutenea1-3 es un contacto entre la frontera impermeable y el material permeable por lo tanto es unaliacutenea de flujo Entre los puntos 2 y 4 existe una frontera del flujo donde por debajo de ella elsuelo estaacute saturado y por encima no lo estaacute Ahora bien esta liacutenea que limita la zona de flujodentro de la presa recibe el nombre de liacutenea superficial de flujo o liacutenea de saturacioacuten Suforma se desconoce a priori y tambieacuten la posicioacuten del punto 4 ambos deben ser determinados almenos aproximadamente para poder trazar la red de flujo
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La liacutenea de saturacioacuten ademaacutes de ser una liacutenea de flujo es tambieacuten una liacutenea de
equipresioacuten en la que todos los puntos tienen la misma presioacuten cero Por lo tantoel potencial hidraacuteulico depende de la carga de elevacioacuten uacutenicamente y las liacuteneasequipotenciales la cortaran a intervalos verticales iguales entre si
Condiciones Generales de Entrada
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Condiciones Generales de Entrada
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Condiciones Generales de Salida
Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
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Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
Caso 1 a2 lt 30deg En este caso es posible calcular la superficie humedecida a (distancia 4 - 3) pormedio de la siguiente expresioacuten
2
2
2
2
2
2
2coscos a a a sen
hd d a
d = L - M + O3M
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Luego de dibujar la presa de tierra a escala se sentildeala en ella la superficie humedecida aguas
abajo a calculada por la foacutermula anterior El siguiente paso consiste en el trazado de laliacutenea de saturacioacuten usando el meacutetodo graacutefico aproximado de la paraacutebola baacutesica de Kozenycuyo procedimiento se describe a continuacioacuten
1 Ubicar el punto 2 en la liacutenea freaacutetica a una distancia de 03M medida desde la cara deltalud aguas arriba La cara aguas abajo del talud es tangente a la paraacutebola en el punto 4
2 Prolongar la liacutenea en el talud aguas arriba de la presa Trazar una horizontal por el punto2 hasta cortar la cara del talud aguas abajo El punto de interseccioacuten es 5
3 Dividir 4 -5 Y 5 - 2 en el mismo nuacutemero de partes iguales no maacutes de 4 o 5 y marcarestos puntos (en 2- 5 se parte de 5 numerando con letras A -B etc en 4 - 5 se parte de 4numerando A-B-C etc)
4 Trazar por 4 - 5 liacuteneas horizontales en los puntos marcados
5 Unir cada uno de los puntos marcados en la horizontal 2- 5 con el punto 46 Trazar la liacutenea freaacutetica por los puntos obtenidos 7 Como la liacutenea freaacutetica parte perpendicular a la cara del talud aguas arriba este ajuste
debe realizarse manualmente
=gt M = htg ald =L - O7M
Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
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Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
Caso 2 a2 gt 30deg En este caso el procedimiento a seguir es
d d hP 22
1 La paraacutebola tiene su origen a una distancia P del veacutertice del talud aguas abajo de lapresa es decir este veacutertice es su foco y es tangente a la vertical que pasa por elpunto P
P se calcula por medio de la siguiente expresioacuten
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2 Trazar la paraacutebola baacutesica de Kozeny En este caso la tangente al origen es una liacuteneavertical
3 La distancia desde el punto 4 hasta la interseccioacuten de la paraacutebola con el talud aguasabajo es a + Da y no es realmente el punto por donde sale el agua en el talud porlo tanto se debe realizar una correccioacuten y encontrar a Casagrande encontroacute que larelacioacuten es un escalar que puede ser llamado a y que se relaciona
con el angulo a2 seguacuten se muestra en la siguiente tabla
a
a
D
D
a a2 ( deg ) aacute
30 0375
60 0320
90 0260
120 0185
150 0105
180 0
Los valores entre estos aacutengulos pueden interpolarse
y midiendo a + Da se calcula a usando la tablaDa = aacute ( a + Da ) y a = ( a + Da ) - Da
Finalmente se trazan manualmente la entraday la salida de la liacutenea de saturacioacuten
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EJERCICIO Determine la Linea Superficial de Flujo de la presa de tierra que se presentaa continuacioacuten
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a continuacioacuten
EJERCICIO Determine la Linea Superficial de Flujo de la presa de tierra que se presentaa continuacioacuten
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2
1
a continuacioacuten
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
g
La teoriacutea de la seccioacuten transformada permite reducir al caso de un suelo homogeacuteneo e isoacutetropo un suelo en el que la permeabilidad para el flujo en la direccioacuten horizontal ( kx) y la que tenga para el flujo en la direccioacuten vertical ( ky ) sean diferentes ( kx ne Ky )(por lo general Kx en muchas veces mayor que ky )
La teoriacutea de la seccioacuten transformada es un simple artificio de calculo que se logra por una simple transformacioacuten de coordenadas y que modifica sobre el papel las dimensiones de la zona de flujo en estudio en un suelo isotropico hidraacuteulicamente equivalente
Dos tipos de transformaciones se pueden aplicar a) Haciendo
Y Ky
Kx
Y acute
Se modifican las dimensiones verticales permaneciendo constantes las horizontales
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
g
b) Haciendo
X Kx
Ky X acute
Se modifican las dimensiones Horizontales permaneciendo constantes las Verticales
En la seccioacuten transformada homogeacutenea e isoacutetropa la permeabilidad equivalente viene dada por
kykxk
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
kykxk
X Kx
Ky X acute
2 0 0 0
0 0
kx
ky
k
2 8 2 0 0
0
h
141h
500000
b352463
071b
k
Y Ky
KxY acute
kykx 2
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1) Hacer un dibujo a escala que muestre la masa de suelo los liacutemites permeables a
traveacutes de los cuales entra y sale el agua del suelo y las fronteras impermeables que
confinan o limitan el flujo
2) Dibujar de dos a cuatro liacuteneas de flujo que formen aacutengulos rectos con los liacutemitespermeables a la entrada y a la salida y que sean aproximadamente paralelas a losliacutemites impermeables
3) Dibujar liacuteneas equipotenciales que formen aacutengulos rectos con las liacuteneas de flujo demanera que el ancho y el largo promedio del cuadrado curviliacuteneo que forman seaniguales (a=b) Desde luego esto es imposible de lograr en el primer tanteo porquelas posiciones de las liacuteneas de flujo son supuestas pero esta primera red serviraacute deguiacutea para un segundo tanteo
4) Se reajustan las liacuteneas de flujo y las liacuteneas equipotenciales hasta que todas lasintersecciones sean en aacutengulo recto y el largo y ancho de cada cuadrado seaniguales Los tamantildeos de los cuadrados pueden ser distintos pero la relacioacuten ab = 1debe mantenerse
REGLAS PRAacuteCTICAS PARA ELABORAR REDES DE FLUJO
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El logro de una solucioacuten exacta requiere de muchos tanteos y
algunos problemas no admiten en su solucioacuten un nuacutemeroexacto de canales yo de caiacutedas equipotenciales en estos casosdebe intentarse con un nuacutemero de canales yo caiacutedasequipotenciales fraccionario (media caiacuteda o medio canal porejemplo)
Al lograr trazar la red de flujo de cuadrados curviliacuteneossatisfaciendo las condiciones de frontera del problema seobtendraacute la solucioacuten graacutefica de este problema para las
condiciones de frontera del problema se obtendraacute la solucioacutengraacutefica de este para las condiciones hidrodinaacutemicasestablecidas por la ecuacioacuten de Laplace
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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J g j
6 0
0 m
BA
I II III IV V VI VII
C
D
6 0
0 m
6 0
0 m
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
1) Altura piezometrica en A
2) Esfuerzo efectivo en B
3) Gradiente hidraacuteulico velocidades de descarga y de filtracioacuten
en C
4) Presiones hidraacuteulicas sobre el tablestacado5) Gradiente hidraacuteulico de salida y factor de seguridad contra la
arena movediza (licuefaccioacuten)
6) Factor de seguridad a la Tubificacioacuten
7) Presiones hidraacuteulicas sobre el fondo impermeable
8) Presioacuten de filtracioacuten en D
9) Caudal de Filtracioacuten bajo la presa sabiendo que L= 50 m
0m 3m 5m 10m
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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J g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
γconc= 235 Tm3
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
γconc= 235 Tm3
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg γsat= 218 Tm3 γconc= 235 Tm3
LINEA SUPERFICIAL DE FLUJO
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LINEA SUPERFICIAL DE FLUJO
En algunos casos un liacutemite de las liacuteneas de flujo puede ser una superficie de agualibre o superficie de saturacioacuten que no estaacute determinada por ninguna masa soacutelida
impermeable
Tal es el caso de las presas de tierra cuyo problema de flujo presenta caracteriacutesticasespeciales y por lo tanto se requiere del uso de meacutetodos tambieacuten especiales paralograr el trazado de la red de flujo
a
b
c
Equipotencial
Liacutenea de Flujo
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En la figura se presenta una presa de tierra de un material heterogeacuteneo eacute isoacutetropo La liacutenea 1-2 es una liacutenea equipotencial puesto que es el contacto entre el suelo permeable y el agua La liacutenea1-3 es un contacto entre la frontera impermeable y el material permeable por lo tanto es unaliacutenea de flujo Entre los puntos 2 y 4 existe una frontera del flujo donde por debajo de ella elsuelo estaacute saturado y por encima no lo estaacute Ahora bien esta liacutenea que limita la zona de flujodentro de la presa recibe el nombre de liacutenea superficial de flujo o liacutenea de saturacioacuten Suforma se desconoce a priori y tambieacuten la posicioacuten del punto 4 ambos deben ser determinados almenos aproximadamente para poder trazar la red de flujo
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La liacutenea de saturacioacuten ademaacutes de ser una liacutenea de flujo es tambieacuten una liacutenea de
equipresioacuten en la que todos los puntos tienen la misma presioacuten cero Por lo tantoel potencial hidraacuteulico depende de la carga de elevacioacuten uacutenicamente y las liacuteneasequipotenciales la cortaran a intervalos verticales iguales entre si
Condiciones Generales de Entrada
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Condiciones Generales de Entrada
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Condiciones Generales de Salida
Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
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Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
Caso 1 a2 lt 30deg En este caso es posible calcular la superficie humedecida a (distancia 4 - 3) pormedio de la siguiente expresioacuten
2
2
2
2
2
2
2coscos a a a sen
hd d a
d = L - M + O3M
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Luego de dibujar la presa de tierra a escala se sentildeala en ella la superficie humedecida aguas
abajo a calculada por la foacutermula anterior El siguiente paso consiste en el trazado de laliacutenea de saturacioacuten usando el meacutetodo graacutefico aproximado de la paraacutebola baacutesica de Kozenycuyo procedimiento se describe a continuacioacuten
1 Ubicar el punto 2 en la liacutenea freaacutetica a una distancia de 03M medida desde la cara deltalud aguas arriba La cara aguas abajo del talud es tangente a la paraacutebola en el punto 4
2 Prolongar la liacutenea en el talud aguas arriba de la presa Trazar una horizontal por el punto2 hasta cortar la cara del talud aguas abajo El punto de interseccioacuten es 5
3 Dividir 4 -5 Y 5 - 2 en el mismo nuacutemero de partes iguales no maacutes de 4 o 5 y marcarestos puntos (en 2- 5 se parte de 5 numerando con letras A -B etc en 4 - 5 se parte de 4numerando A-B-C etc)
4 Trazar por 4 - 5 liacuteneas horizontales en los puntos marcados
5 Unir cada uno de los puntos marcados en la horizontal 2- 5 con el punto 46 Trazar la liacutenea freaacutetica por los puntos obtenidos 7 Como la liacutenea freaacutetica parte perpendicular a la cara del talud aguas arriba este ajuste
debe realizarse manualmente
=gt M = htg ald =L - O7M
Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
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Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
Caso 2 a2 gt 30deg En este caso el procedimiento a seguir es
d d hP 22
1 La paraacutebola tiene su origen a una distancia P del veacutertice del talud aguas abajo de lapresa es decir este veacutertice es su foco y es tangente a la vertical que pasa por elpunto P
P se calcula por medio de la siguiente expresioacuten
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2 Trazar la paraacutebola baacutesica de Kozeny En este caso la tangente al origen es una liacuteneavertical
3 La distancia desde el punto 4 hasta la interseccioacuten de la paraacutebola con el talud aguasabajo es a + Da y no es realmente el punto por donde sale el agua en el talud porlo tanto se debe realizar una correccioacuten y encontrar a Casagrande encontroacute que larelacioacuten es un escalar que puede ser llamado a y que se relaciona
con el angulo a2 seguacuten se muestra en la siguiente tabla
a
a
D
D
a a2 ( deg ) aacute
30 0375
60 0320
90 0260
120 0185
150 0105
180 0
Los valores entre estos aacutengulos pueden interpolarse
y midiendo a + Da se calcula a usando la tablaDa = aacute ( a + Da ) y a = ( a + Da ) - Da
Finalmente se trazan manualmente la entraday la salida de la liacutenea de saturacioacuten
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EJERCICIO Determine la Linea Superficial de Flujo de la presa de tierra que se presentaa continuacioacuten
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a continuacioacuten
EJERCICIO Determine la Linea Superficial de Flujo de la presa de tierra que se presentaa continuacioacuten
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2
1
a continuacioacuten
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
g
La teoriacutea de la seccioacuten transformada permite reducir al caso de un suelo homogeacuteneo e isoacutetropo un suelo en el que la permeabilidad para el flujo en la direccioacuten horizontal ( kx) y la que tenga para el flujo en la direccioacuten vertical ( ky ) sean diferentes ( kx ne Ky )(por lo general Kx en muchas veces mayor que ky )
La teoriacutea de la seccioacuten transformada es un simple artificio de calculo que se logra por una simple transformacioacuten de coordenadas y que modifica sobre el papel las dimensiones de la zona de flujo en estudio en un suelo isotropico hidraacuteulicamente equivalente
Dos tipos de transformaciones se pueden aplicar a) Haciendo
Y Ky
Kx
Y acute
Se modifican las dimensiones verticales permaneciendo constantes las horizontales
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
g
b) Haciendo
X Kx
Ky X acute
Se modifican las dimensiones Horizontales permaneciendo constantes las Verticales
En la seccioacuten transformada homogeacutenea e isoacutetropa la permeabilidad equivalente viene dada por
kykxk
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
kykxk
X Kx
Ky X acute
2 0 0 0
0 0
kx
ky
k
2 8 2 0 0
0
h
141h
500000
b352463
071b
k
Y Ky
KxY acute
kykx 2
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El logro de una solucioacuten exacta requiere de muchos tanteos y
algunos problemas no admiten en su solucioacuten un nuacutemeroexacto de canales yo de caiacutedas equipotenciales en estos casosdebe intentarse con un nuacutemero de canales yo caiacutedasequipotenciales fraccionario (media caiacuteda o medio canal porejemplo)
Al lograr trazar la red de flujo de cuadrados curviliacuteneossatisfaciendo las condiciones de frontera del problema seobtendraacute la solucioacuten graacutefica de este problema para las
condiciones de frontera del problema se obtendraacute la solucioacutengraacutefica de este para las condiciones hidrodinaacutemicasestablecidas por la ecuacioacuten de Laplace
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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J g j
6 0
0 m
BA
I II III IV V VI VII
C
D
6 0
0 m
6 0
0 m
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
1) Altura piezometrica en A
2) Esfuerzo efectivo en B
3) Gradiente hidraacuteulico velocidades de descarga y de filtracioacuten
en C
4) Presiones hidraacuteulicas sobre el tablestacado5) Gradiente hidraacuteulico de salida y factor de seguridad contra la
arena movediza (licuefaccioacuten)
6) Factor de seguridad a la Tubificacioacuten
7) Presiones hidraacuteulicas sobre el fondo impermeable
8) Presioacuten de filtracioacuten en D
9) Caudal de Filtracioacuten bajo la presa sabiendo que L= 50 m
0m 3m 5m 10m
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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J g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
γconc= 235 Tm3
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
γconc= 235 Tm3
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg γsat= 218 Tm3 γconc= 235 Tm3
LINEA SUPERFICIAL DE FLUJO
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LINEA SUPERFICIAL DE FLUJO
En algunos casos un liacutemite de las liacuteneas de flujo puede ser una superficie de agualibre o superficie de saturacioacuten que no estaacute determinada por ninguna masa soacutelida
impermeable
Tal es el caso de las presas de tierra cuyo problema de flujo presenta caracteriacutesticasespeciales y por lo tanto se requiere del uso de meacutetodos tambieacuten especiales paralograr el trazado de la red de flujo
a
b
c
Equipotencial
Liacutenea de Flujo
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En la figura se presenta una presa de tierra de un material heterogeacuteneo eacute isoacutetropo La liacutenea 1-2 es una liacutenea equipotencial puesto que es el contacto entre el suelo permeable y el agua La liacutenea1-3 es un contacto entre la frontera impermeable y el material permeable por lo tanto es unaliacutenea de flujo Entre los puntos 2 y 4 existe una frontera del flujo donde por debajo de ella elsuelo estaacute saturado y por encima no lo estaacute Ahora bien esta liacutenea que limita la zona de flujodentro de la presa recibe el nombre de liacutenea superficial de flujo o liacutenea de saturacioacuten Suforma se desconoce a priori y tambieacuten la posicioacuten del punto 4 ambos deben ser determinados almenos aproximadamente para poder trazar la red de flujo
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La liacutenea de saturacioacuten ademaacutes de ser una liacutenea de flujo es tambieacuten una liacutenea de
equipresioacuten en la que todos los puntos tienen la misma presioacuten cero Por lo tantoel potencial hidraacuteulico depende de la carga de elevacioacuten uacutenicamente y las liacuteneasequipotenciales la cortaran a intervalos verticales iguales entre si
Condiciones Generales de Entrada
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Condiciones Generales de Entrada
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Condiciones Generales de Salida
Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
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Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
Caso 1 a2 lt 30deg En este caso es posible calcular la superficie humedecida a (distancia 4 - 3) pormedio de la siguiente expresioacuten
2
2
2
2
2
2
2coscos a a a sen
hd d a
d = L - M + O3M
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Luego de dibujar la presa de tierra a escala se sentildeala en ella la superficie humedecida aguas
abajo a calculada por la foacutermula anterior El siguiente paso consiste en el trazado de laliacutenea de saturacioacuten usando el meacutetodo graacutefico aproximado de la paraacutebola baacutesica de Kozenycuyo procedimiento se describe a continuacioacuten
1 Ubicar el punto 2 en la liacutenea freaacutetica a una distancia de 03M medida desde la cara deltalud aguas arriba La cara aguas abajo del talud es tangente a la paraacutebola en el punto 4
2 Prolongar la liacutenea en el talud aguas arriba de la presa Trazar una horizontal por el punto2 hasta cortar la cara del talud aguas abajo El punto de interseccioacuten es 5
3 Dividir 4 -5 Y 5 - 2 en el mismo nuacutemero de partes iguales no maacutes de 4 o 5 y marcarestos puntos (en 2- 5 se parte de 5 numerando con letras A -B etc en 4 - 5 se parte de 4numerando A-B-C etc)
4 Trazar por 4 - 5 liacuteneas horizontales en los puntos marcados
5 Unir cada uno de los puntos marcados en la horizontal 2- 5 con el punto 46 Trazar la liacutenea freaacutetica por los puntos obtenidos 7 Como la liacutenea freaacutetica parte perpendicular a la cara del talud aguas arriba este ajuste
debe realizarse manualmente
=gt M = htg ald =L - O7M
Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
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Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
Caso 2 a2 gt 30deg En este caso el procedimiento a seguir es
d d hP 22
1 La paraacutebola tiene su origen a una distancia P del veacutertice del talud aguas abajo de lapresa es decir este veacutertice es su foco y es tangente a la vertical que pasa por elpunto P
P se calcula por medio de la siguiente expresioacuten
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2 Trazar la paraacutebola baacutesica de Kozeny En este caso la tangente al origen es una liacuteneavertical
3 La distancia desde el punto 4 hasta la interseccioacuten de la paraacutebola con el talud aguasabajo es a + Da y no es realmente el punto por donde sale el agua en el talud porlo tanto se debe realizar una correccioacuten y encontrar a Casagrande encontroacute que larelacioacuten es un escalar que puede ser llamado a y que se relaciona
con el angulo a2 seguacuten se muestra en la siguiente tabla
a
a
D
D
a a2 ( deg ) aacute
30 0375
60 0320
90 0260
120 0185
150 0105
180 0
Los valores entre estos aacutengulos pueden interpolarse
y midiendo a + Da se calcula a usando la tablaDa = aacute ( a + Da ) y a = ( a + Da ) - Da
Finalmente se trazan manualmente la entraday la salida de la liacutenea de saturacioacuten
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EJERCICIO Determine la Linea Superficial de Flujo de la presa de tierra que se presentaa continuacioacuten
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a continuacioacuten
EJERCICIO Determine la Linea Superficial de Flujo de la presa de tierra que se presentaa continuacioacuten
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2
1
a continuacioacuten
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
g
La teoriacutea de la seccioacuten transformada permite reducir al caso de un suelo homogeacuteneo e isoacutetropo un suelo en el que la permeabilidad para el flujo en la direccioacuten horizontal ( kx) y la que tenga para el flujo en la direccioacuten vertical ( ky ) sean diferentes ( kx ne Ky )(por lo general Kx en muchas veces mayor que ky )
La teoriacutea de la seccioacuten transformada es un simple artificio de calculo que se logra por una simple transformacioacuten de coordenadas y que modifica sobre el papel las dimensiones de la zona de flujo en estudio en un suelo isotropico hidraacuteulicamente equivalente
Dos tipos de transformaciones se pueden aplicar a) Haciendo
Y Ky
Kx
Y acute
Se modifican las dimensiones verticales permaneciendo constantes las horizontales
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
g
b) Haciendo
X Kx
Ky X acute
Se modifican las dimensiones Horizontales permaneciendo constantes las Verticales
En la seccioacuten transformada homogeacutenea e isoacutetropa la permeabilidad equivalente viene dada por
kykxk
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
kykxk
X Kx
Ky X acute
2 0 0 0
0 0
kx
ky
k
2 8 2 0 0
0
h
141h
500000
b352463
071b
k
Y Ky
KxY acute
kykx 2
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El logro de una solucioacuten exacta requiere de muchos tanteos y
algunos problemas no admiten en su solucioacuten un nuacutemeroexacto de canales yo de caiacutedas equipotenciales en estos casosdebe intentarse con un nuacutemero de canales yo caiacutedasequipotenciales fraccionario (media caiacuteda o medio canal porejemplo)
Al lograr trazar la red de flujo de cuadrados curviliacuteneossatisfaciendo las condiciones de frontera del problema seobtendraacute la solucioacuten graacutefica de este problema para las
condiciones de frontera del problema se obtendraacute la solucioacutengraacutefica de este para las condiciones hidrodinaacutemicasestablecidas por la ecuacioacuten de Laplace
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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J g j
6 0
0 m
BA
I II III IV V VI VII
C
D
6 0
0 m
6 0
0 m
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
1) Altura piezometrica en A
2) Esfuerzo efectivo en B
3) Gradiente hidraacuteulico velocidades de descarga y de filtracioacuten
en C
4) Presiones hidraacuteulicas sobre el tablestacado5) Gradiente hidraacuteulico de salida y factor de seguridad contra la
arena movediza (licuefaccioacuten)
6) Factor de seguridad a la Tubificacioacuten
7) Presiones hidraacuteulicas sobre el fondo impermeable
8) Presioacuten de filtracioacuten en D
9) Caudal de Filtracioacuten bajo la presa sabiendo que L= 50 m
0m 3m 5m 10m
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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J g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
γconc= 235 Tm3
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
γconc= 235 Tm3
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg γsat= 218 Tm3 γconc= 235 Tm3
LINEA SUPERFICIAL DE FLUJO
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LINEA SUPERFICIAL DE FLUJO
En algunos casos un liacutemite de las liacuteneas de flujo puede ser una superficie de agualibre o superficie de saturacioacuten que no estaacute determinada por ninguna masa soacutelida
impermeable
Tal es el caso de las presas de tierra cuyo problema de flujo presenta caracteriacutesticasespeciales y por lo tanto se requiere del uso de meacutetodos tambieacuten especiales paralograr el trazado de la red de flujo
a
b
c
Equipotencial
Liacutenea de Flujo
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En la figura se presenta una presa de tierra de un material heterogeacuteneo eacute isoacutetropo La liacutenea 1-2 es una liacutenea equipotencial puesto que es el contacto entre el suelo permeable y el agua La liacutenea1-3 es un contacto entre la frontera impermeable y el material permeable por lo tanto es unaliacutenea de flujo Entre los puntos 2 y 4 existe una frontera del flujo donde por debajo de ella elsuelo estaacute saturado y por encima no lo estaacute Ahora bien esta liacutenea que limita la zona de flujodentro de la presa recibe el nombre de liacutenea superficial de flujo o liacutenea de saturacioacuten Suforma se desconoce a priori y tambieacuten la posicioacuten del punto 4 ambos deben ser determinados almenos aproximadamente para poder trazar la red de flujo
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La liacutenea de saturacioacuten ademaacutes de ser una liacutenea de flujo es tambieacuten una liacutenea de
equipresioacuten en la que todos los puntos tienen la misma presioacuten cero Por lo tantoel potencial hidraacuteulico depende de la carga de elevacioacuten uacutenicamente y las liacuteneasequipotenciales la cortaran a intervalos verticales iguales entre si
Condiciones Generales de Entrada
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Condiciones Generales de Entrada
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Condiciones Generales de Salida
Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
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Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
Caso 1 a2 lt 30deg En este caso es posible calcular la superficie humedecida a (distancia 4 - 3) pormedio de la siguiente expresioacuten
2
2
2
2
2
2
2coscos a a a sen
hd d a
d = L - M + O3M
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Luego de dibujar la presa de tierra a escala se sentildeala en ella la superficie humedecida aguas
abajo a calculada por la foacutermula anterior El siguiente paso consiste en el trazado de laliacutenea de saturacioacuten usando el meacutetodo graacutefico aproximado de la paraacutebola baacutesica de Kozenycuyo procedimiento se describe a continuacioacuten
1 Ubicar el punto 2 en la liacutenea freaacutetica a una distancia de 03M medida desde la cara deltalud aguas arriba La cara aguas abajo del talud es tangente a la paraacutebola en el punto 4
2 Prolongar la liacutenea en el talud aguas arriba de la presa Trazar una horizontal por el punto2 hasta cortar la cara del talud aguas abajo El punto de interseccioacuten es 5
3 Dividir 4 -5 Y 5 - 2 en el mismo nuacutemero de partes iguales no maacutes de 4 o 5 y marcarestos puntos (en 2- 5 se parte de 5 numerando con letras A -B etc en 4 - 5 se parte de 4numerando A-B-C etc)
4 Trazar por 4 - 5 liacuteneas horizontales en los puntos marcados
5 Unir cada uno de los puntos marcados en la horizontal 2- 5 con el punto 46 Trazar la liacutenea freaacutetica por los puntos obtenidos 7 Como la liacutenea freaacutetica parte perpendicular a la cara del talud aguas arriba este ajuste
debe realizarse manualmente
=gt M = htg ald =L - O7M
Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
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Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
Caso 2 a2 gt 30deg En este caso el procedimiento a seguir es
d d hP 22
1 La paraacutebola tiene su origen a una distancia P del veacutertice del talud aguas abajo de lapresa es decir este veacutertice es su foco y es tangente a la vertical que pasa por elpunto P
P se calcula por medio de la siguiente expresioacuten
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2 Trazar la paraacutebola baacutesica de Kozeny En este caso la tangente al origen es una liacuteneavertical
3 La distancia desde el punto 4 hasta la interseccioacuten de la paraacutebola con el talud aguasabajo es a + Da y no es realmente el punto por donde sale el agua en el talud porlo tanto se debe realizar una correccioacuten y encontrar a Casagrande encontroacute que larelacioacuten es un escalar que puede ser llamado a y que se relaciona
con el angulo a2 seguacuten se muestra en la siguiente tabla
a
a
D
D
a a2 ( deg ) aacute
30 0375
60 0320
90 0260
120 0185
150 0105
180 0
Los valores entre estos aacutengulos pueden interpolarse
y midiendo a + Da se calcula a usando la tablaDa = aacute ( a + Da ) y a = ( a + Da ) - Da
Finalmente se trazan manualmente la entraday la salida de la liacutenea de saturacioacuten
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EJERCICIO Determine la Linea Superficial de Flujo de la presa de tierra que se presentaa continuacioacuten
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a continuacioacuten
EJERCICIO Determine la Linea Superficial de Flujo de la presa de tierra que se presentaa continuacioacuten
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2
1
a continuacioacuten
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
g
La teoriacutea de la seccioacuten transformada permite reducir al caso de un suelo homogeacuteneo e isoacutetropo un suelo en el que la permeabilidad para el flujo en la direccioacuten horizontal ( kx) y la que tenga para el flujo en la direccioacuten vertical ( ky ) sean diferentes ( kx ne Ky )(por lo general Kx en muchas veces mayor que ky )
La teoriacutea de la seccioacuten transformada es un simple artificio de calculo que se logra por una simple transformacioacuten de coordenadas y que modifica sobre el papel las dimensiones de la zona de flujo en estudio en un suelo isotropico hidraacuteulicamente equivalente
Dos tipos de transformaciones se pueden aplicar a) Haciendo
Y Ky
Kx
Y acute
Se modifican las dimensiones verticales permaneciendo constantes las horizontales
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
g
b) Haciendo
X Kx
Ky X acute
Se modifican las dimensiones Horizontales permaneciendo constantes las Verticales
En la seccioacuten transformada homogeacutenea e isoacutetropa la permeabilidad equivalente viene dada por
kykxk
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
kykxk
X Kx
Ky X acute
2 0 0 0
0 0
kx
ky
k
2 8 2 0 0
0
h
141h
500000
b352463
071b
k
Y Ky
KxY acute
kykx 2
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J g j
6 0
0 m
BA
I II III IV V VI VII
C
D
6 0
0 m
6 0
0 m
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
1) Altura piezometrica en A
2) Esfuerzo efectivo en B
3) Gradiente hidraacuteulico velocidades de descarga y de filtracioacuten
en C
4) Presiones hidraacuteulicas sobre el tablestacado5) Gradiente hidraacuteulico de salida y factor de seguridad contra la
arena movediza (licuefaccioacuten)
6) Factor de seguridad a la Tubificacioacuten
7) Presiones hidraacuteulicas sobre el fondo impermeable
8) Presioacuten de filtracioacuten en D
9) Caudal de Filtracioacuten bajo la presa sabiendo que L= 50 m
0m 3m 5m 10m
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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J g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
γconc= 235 Tm3
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
γconc= 235 Tm3
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
5172018 Esfuerzo en El Suelo - slidepdfcom
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g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg γsat= 218 Tm3 γconc= 235 Tm3
LINEA SUPERFICIAL DE FLUJO
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LINEA SUPERFICIAL DE FLUJO
En algunos casos un liacutemite de las liacuteneas de flujo puede ser una superficie de agualibre o superficie de saturacioacuten que no estaacute determinada por ninguna masa soacutelida
impermeable
Tal es el caso de las presas de tierra cuyo problema de flujo presenta caracteriacutesticasespeciales y por lo tanto se requiere del uso de meacutetodos tambieacuten especiales paralograr el trazado de la red de flujo
a
b
c
Equipotencial
Liacutenea de Flujo
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En la figura se presenta una presa de tierra de un material heterogeacuteneo eacute isoacutetropo La liacutenea 1-2 es una liacutenea equipotencial puesto que es el contacto entre el suelo permeable y el agua La liacutenea1-3 es un contacto entre la frontera impermeable y el material permeable por lo tanto es unaliacutenea de flujo Entre los puntos 2 y 4 existe una frontera del flujo donde por debajo de ella elsuelo estaacute saturado y por encima no lo estaacute Ahora bien esta liacutenea que limita la zona de flujodentro de la presa recibe el nombre de liacutenea superficial de flujo o liacutenea de saturacioacuten Suforma se desconoce a priori y tambieacuten la posicioacuten del punto 4 ambos deben ser determinados almenos aproximadamente para poder trazar la red de flujo
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La liacutenea de saturacioacuten ademaacutes de ser una liacutenea de flujo es tambieacuten una liacutenea de
equipresioacuten en la que todos los puntos tienen la misma presioacuten cero Por lo tantoel potencial hidraacuteulico depende de la carga de elevacioacuten uacutenicamente y las liacuteneasequipotenciales la cortaran a intervalos verticales iguales entre si
Condiciones Generales de Entrada
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Condiciones Generales de Entrada
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Condiciones Generales de Salida
Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
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Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
Caso 1 a2 lt 30deg En este caso es posible calcular la superficie humedecida a (distancia 4 - 3) pormedio de la siguiente expresioacuten
2
2
2
2
2
2
2coscos a a a sen
hd d a
d = L - M + O3M
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Luego de dibujar la presa de tierra a escala se sentildeala en ella la superficie humedecida aguas
abajo a calculada por la foacutermula anterior El siguiente paso consiste en el trazado de laliacutenea de saturacioacuten usando el meacutetodo graacutefico aproximado de la paraacutebola baacutesica de Kozenycuyo procedimiento se describe a continuacioacuten
1 Ubicar el punto 2 en la liacutenea freaacutetica a una distancia de 03M medida desde la cara deltalud aguas arriba La cara aguas abajo del talud es tangente a la paraacutebola en el punto 4
2 Prolongar la liacutenea en el talud aguas arriba de la presa Trazar una horizontal por el punto2 hasta cortar la cara del talud aguas abajo El punto de interseccioacuten es 5
3 Dividir 4 -5 Y 5 - 2 en el mismo nuacutemero de partes iguales no maacutes de 4 o 5 y marcarestos puntos (en 2- 5 se parte de 5 numerando con letras A -B etc en 4 - 5 se parte de 4numerando A-B-C etc)
4 Trazar por 4 - 5 liacuteneas horizontales en los puntos marcados
5 Unir cada uno de los puntos marcados en la horizontal 2- 5 con el punto 46 Trazar la liacutenea freaacutetica por los puntos obtenidos 7 Como la liacutenea freaacutetica parte perpendicular a la cara del talud aguas arriba este ajuste
debe realizarse manualmente
=gt M = htg ald =L - O7M
Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
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Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
Caso 2 a2 gt 30deg En este caso el procedimiento a seguir es
d d hP 22
1 La paraacutebola tiene su origen a una distancia P del veacutertice del talud aguas abajo de lapresa es decir este veacutertice es su foco y es tangente a la vertical que pasa por elpunto P
P se calcula por medio de la siguiente expresioacuten
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2 Trazar la paraacutebola baacutesica de Kozeny En este caso la tangente al origen es una liacuteneavertical
3 La distancia desde el punto 4 hasta la interseccioacuten de la paraacutebola con el talud aguasabajo es a + Da y no es realmente el punto por donde sale el agua en el talud porlo tanto se debe realizar una correccioacuten y encontrar a Casagrande encontroacute que larelacioacuten es un escalar que puede ser llamado a y que se relaciona
con el angulo a2 seguacuten se muestra en la siguiente tabla
a
a
D
D
a a2 ( deg ) aacute
30 0375
60 0320
90 0260
120 0185
150 0105
180 0
Los valores entre estos aacutengulos pueden interpolarse
y midiendo a + Da se calcula a usando la tablaDa = aacute ( a + Da ) y a = ( a + Da ) - Da
Finalmente se trazan manualmente la entraday la salida de la liacutenea de saturacioacuten
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EJERCICIO Determine la Linea Superficial de Flujo de la presa de tierra que se presentaa continuacioacuten
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a continuacioacuten
EJERCICIO Determine la Linea Superficial de Flujo de la presa de tierra que se presentaa continuacioacuten
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2
1
a continuacioacuten
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
g
La teoriacutea de la seccioacuten transformada permite reducir al caso de un suelo homogeacuteneo e isoacutetropo un suelo en el que la permeabilidad para el flujo en la direccioacuten horizontal ( kx) y la que tenga para el flujo en la direccioacuten vertical ( ky ) sean diferentes ( kx ne Ky )(por lo general Kx en muchas veces mayor que ky )
La teoriacutea de la seccioacuten transformada es un simple artificio de calculo que se logra por una simple transformacioacuten de coordenadas y que modifica sobre el papel las dimensiones de la zona de flujo en estudio en un suelo isotropico hidraacuteulicamente equivalente
Dos tipos de transformaciones se pueden aplicar a) Haciendo
Y Ky
Kx
Y acute
Se modifican las dimensiones verticales permaneciendo constantes las horizontales
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
g
b) Haciendo
X Kx
Ky X acute
Se modifican las dimensiones Horizontales permaneciendo constantes las Verticales
En la seccioacuten transformada homogeacutenea e isoacutetropa la permeabilidad equivalente viene dada por
kykxk
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
kykxk
X Kx
Ky X acute
2 0 0 0
0 0
kx
ky
k
2 8 2 0 0
0
h
141h
500000
b352463
071b
k
Y Ky
KxY acute
kykx 2
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J g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
γconc= 235 Tm3
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
γconc= 235 Tm3
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg γsat= 218 Tm3 γconc= 235 Tm3
LINEA SUPERFICIAL DE FLUJO
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LINEA SUPERFICIAL DE FLUJO
En algunos casos un liacutemite de las liacuteneas de flujo puede ser una superficie de agualibre o superficie de saturacioacuten que no estaacute determinada por ninguna masa soacutelida
impermeable
Tal es el caso de las presas de tierra cuyo problema de flujo presenta caracteriacutesticasespeciales y por lo tanto se requiere del uso de meacutetodos tambieacuten especiales paralograr el trazado de la red de flujo
a
b
c
Equipotencial
Liacutenea de Flujo
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En la figura se presenta una presa de tierra de un material heterogeacuteneo eacute isoacutetropo La liacutenea 1-2 es una liacutenea equipotencial puesto que es el contacto entre el suelo permeable y el agua La liacutenea1-3 es un contacto entre la frontera impermeable y el material permeable por lo tanto es unaliacutenea de flujo Entre los puntos 2 y 4 existe una frontera del flujo donde por debajo de ella elsuelo estaacute saturado y por encima no lo estaacute Ahora bien esta liacutenea que limita la zona de flujodentro de la presa recibe el nombre de liacutenea superficial de flujo o liacutenea de saturacioacuten Suforma se desconoce a priori y tambieacuten la posicioacuten del punto 4 ambos deben ser determinados almenos aproximadamente para poder trazar la red de flujo
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La liacutenea de saturacioacuten ademaacutes de ser una liacutenea de flujo es tambieacuten una liacutenea de
equipresioacuten en la que todos los puntos tienen la misma presioacuten cero Por lo tantoel potencial hidraacuteulico depende de la carga de elevacioacuten uacutenicamente y las liacuteneasequipotenciales la cortaran a intervalos verticales iguales entre si
Condiciones Generales de Entrada
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Condiciones Generales de Entrada
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Condiciones Generales de Salida
Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
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Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
Caso 1 a2 lt 30deg En este caso es posible calcular la superficie humedecida a (distancia 4 - 3) pormedio de la siguiente expresioacuten
2
2
2
2
2
2
2coscos a a a sen
hd d a
d = L - M + O3M
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Luego de dibujar la presa de tierra a escala se sentildeala en ella la superficie humedecida aguas
abajo a calculada por la foacutermula anterior El siguiente paso consiste en el trazado de laliacutenea de saturacioacuten usando el meacutetodo graacutefico aproximado de la paraacutebola baacutesica de Kozenycuyo procedimiento se describe a continuacioacuten
1 Ubicar el punto 2 en la liacutenea freaacutetica a una distancia de 03M medida desde la cara deltalud aguas arriba La cara aguas abajo del talud es tangente a la paraacutebola en el punto 4
2 Prolongar la liacutenea en el talud aguas arriba de la presa Trazar una horizontal por el punto2 hasta cortar la cara del talud aguas abajo El punto de interseccioacuten es 5
3 Dividir 4 -5 Y 5 - 2 en el mismo nuacutemero de partes iguales no maacutes de 4 o 5 y marcarestos puntos (en 2- 5 se parte de 5 numerando con letras A -B etc en 4 - 5 se parte de 4numerando A-B-C etc)
4 Trazar por 4 - 5 liacuteneas horizontales en los puntos marcados
5 Unir cada uno de los puntos marcados en la horizontal 2- 5 con el punto 46 Trazar la liacutenea freaacutetica por los puntos obtenidos 7 Como la liacutenea freaacutetica parte perpendicular a la cara del talud aguas arriba este ajuste
debe realizarse manualmente
=gt M = htg ald =L - O7M
Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
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Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
Caso 2 a2 gt 30deg En este caso el procedimiento a seguir es
d d hP 22
1 La paraacutebola tiene su origen a una distancia P del veacutertice del talud aguas abajo de lapresa es decir este veacutertice es su foco y es tangente a la vertical que pasa por elpunto P
P se calcula por medio de la siguiente expresioacuten
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2 Trazar la paraacutebola baacutesica de Kozeny En este caso la tangente al origen es una liacuteneavertical
3 La distancia desde el punto 4 hasta la interseccioacuten de la paraacutebola con el talud aguasabajo es a + Da y no es realmente el punto por donde sale el agua en el talud porlo tanto se debe realizar una correccioacuten y encontrar a Casagrande encontroacute que larelacioacuten es un escalar que puede ser llamado a y que se relaciona
con el angulo a2 seguacuten se muestra en la siguiente tabla
a
a
D
D
a a2 ( deg ) aacute
30 0375
60 0320
90 0260
120 0185
150 0105
180 0
Los valores entre estos aacutengulos pueden interpolarse
y midiendo a + Da se calcula a usando la tablaDa = aacute ( a + Da ) y a = ( a + Da ) - Da
Finalmente se trazan manualmente la entraday la salida de la liacutenea de saturacioacuten
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EJERCICIO Determine la Linea Superficial de Flujo de la presa de tierra que se presentaa continuacioacuten
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a continuacioacuten
EJERCICIO Determine la Linea Superficial de Flujo de la presa de tierra que se presentaa continuacioacuten
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2
1
a continuacioacuten
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
g
La teoriacutea de la seccioacuten transformada permite reducir al caso de un suelo homogeacuteneo e isoacutetropo un suelo en el que la permeabilidad para el flujo en la direccioacuten horizontal ( kx) y la que tenga para el flujo en la direccioacuten vertical ( ky ) sean diferentes ( kx ne Ky )(por lo general Kx en muchas veces mayor que ky )
La teoriacutea de la seccioacuten transformada es un simple artificio de calculo que se logra por una simple transformacioacuten de coordenadas y que modifica sobre el papel las dimensiones de la zona de flujo en estudio en un suelo isotropico hidraacuteulicamente equivalente
Dos tipos de transformaciones se pueden aplicar a) Haciendo
Y Ky
Kx
Y acute
Se modifican las dimensiones verticales permaneciendo constantes las horizontales
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
g
b) Haciendo
X Kx
Ky X acute
Se modifican las dimensiones Horizontales permaneciendo constantes las Verticales
En la seccioacuten transformada homogeacutenea e isoacutetropa la permeabilidad equivalente viene dada por
kykxk
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
kykxk
X Kx
Ky X acute
2 0 0 0
0 0
kx
ky
k
2 8 2 0 0
0
h
141h
500000
b352463
071b
k
Y Ky
KxY acute
kykx 2
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g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg
γsat= 218 Tm3
γconc= 235 Tm3
EJERCICIO Dada la siguiente red de flujo determine
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g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg γsat= 218 Tm3 γconc= 235 Tm3
LINEA SUPERFICIAL DE FLUJO
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LINEA SUPERFICIAL DE FLUJO
En algunos casos un liacutemite de las liacuteneas de flujo puede ser una superficie de agualibre o superficie de saturacioacuten que no estaacute determinada por ninguna masa soacutelida
impermeable
Tal es el caso de las presas de tierra cuyo problema de flujo presenta caracteriacutesticasespeciales y por lo tanto se requiere del uso de meacutetodos tambieacuten especiales paralograr el trazado de la red de flujo
a
b
c
Equipotencial
Liacutenea de Flujo
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En la figura se presenta una presa de tierra de un material heterogeacuteneo eacute isoacutetropo La liacutenea 1-2 es una liacutenea equipotencial puesto que es el contacto entre el suelo permeable y el agua La liacutenea1-3 es un contacto entre la frontera impermeable y el material permeable por lo tanto es unaliacutenea de flujo Entre los puntos 2 y 4 existe una frontera del flujo donde por debajo de ella elsuelo estaacute saturado y por encima no lo estaacute Ahora bien esta liacutenea que limita la zona de flujodentro de la presa recibe el nombre de liacutenea superficial de flujo o liacutenea de saturacioacuten Suforma se desconoce a priori y tambieacuten la posicioacuten del punto 4 ambos deben ser determinados almenos aproximadamente para poder trazar la red de flujo
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La liacutenea de saturacioacuten ademaacutes de ser una liacutenea de flujo es tambieacuten una liacutenea de
equipresioacuten en la que todos los puntos tienen la misma presioacuten cero Por lo tantoel potencial hidraacuteulico depende de la carga de elevacioacuten uacutenicamente y las liacuteneasequipotenciales la cortaran a intervalos verticales iguales entre si
Condiciones Generales de Entrada
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Condiciones Generales de Entrada
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Condiciones Generales de Salida
Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
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Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
Caso 1 a2 lt 30deg En este caso es posible calcular la superficie humedecida a (distancia 4 - 3) pormedio de la siguiente expresioacuten
2
2
2
2
2
2
2coscos a a a sen
hd d a
d = L - M + O3M
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Luego de dibujar la presa de tierra a escala se sentildeala en ella la superficie humedecida aguas
abajo a calculada por la foacutermula anterior El siguiente paso consiste en el trazado de laliacutenea de saturacioacuten usando el meacutetodo graacutefico aproximado de la paraacutebola baacutesica de Kozenycuyo procedimiento se describe a continuacioacuten
1 Ubicar el punto 2 en la liacutenea freaacutetica a una distancia de 03M medida desde la cara deltalud aguas arriba La cara aguas abajo del talud es tangente a la paraacutebola en el punto 4
2 Prolongar la liacutenea en el talud aguas arriba de la presa Trazar una horizontal por el punto2 hasta cortar la cara del talud aguas abajo El punto de interseccioacuten es 5
3 Dividir 4 -5 Y 5 - 2 en el mismo nuacutemero de partes iguales no maacutes de 4 o 5 y marcarestos puntos (en 2- 5 se parte de 5 numerando con letras A -B etc en 4 - 5 se parte de 4numerando A-B-C etc)
4 Trazar por 4 - 5 liacuteneas horizontales en los puntos marcados
5 Unir cada uno de los puntos marcados en la horizontal 2- 5 con el punto 46 Trazar la liacutenea freaacutetica por los puntos obtenidos 7 Como la liacutenea freaacutetica parte perpendicular a la cara del talud aguas arriba este ajuste
debe realizarse manualmente
=gt M = htg ald =L - O7M
Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
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Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
Caso 2 a2 gt 30deg En este caso el procedimiento a seguir es
d d hP 22
1 La paraacutebola tiene su origen a una distancia P del veacutertice del talud aguas abajo de lapresa es decir este veacutertice es su foco y es tangente a la vertical que pasa por elpunto P
P se calcula por medio de la siguiente expresioacuten
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2 Trazar la paraacutebola baacutesica de Kozeny En este caso la tangente al origen es una liacuteneavertical
3 La distancia desde el punto 4 hasta la interseccioacuten de la paraacutebola con el talud aguasabajo es a + Da y no es realmente el punto por donde sale el agua en el talud porlo tanto se debe realizar una correccioacuten y encontrar a Casagrande encontroacute que larelacioacuten es un escalar que puede ser llamado a y que se relaciona
con el angulo a2 seguacuten se muestra en la siguiente tabla
a
a
D
D
a a2 ( deg ) aacute
30 0375
60 0320
90 0260
120 0185
150 0105
180 0
Los valores entre estos aacutengulos pueden interpolarse
y midiendo a + Da se calcula a usando la tablaDa = aacute ( a + Da ) y a = ( a + Da ) - Da
Finalmente se trazan manualmente la entraday la salida de la liacutenea de saturacioacuten
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EJERCICIO Determine la Linea Superficial de Flujo de la presa de tierra que se presentaa continuacioacuten
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a continuacioacuten
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2
1
a continuacioacuten
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
g
La teoriacutea de la seccioacuten transformada permite reducir al caso de un suelo homogeacuteneo e isoacutetropo un suelo en el que la permeabilidad para el flujo en la direccioacuten horizontal ( kx) y la que tenga para el flujo en la direccioacuten vertical ( ky ) sean diferentes ( kx ne Ky )(por lo general Kx en muchas veces mayor que ky )
La teoriacutea de la seccioacuten transformada es un simple artificio de calculo que se logra por una simple transformacioacuten de coordenadas y que modifica sobre el papel las dimensiones de la zona de flujo en estudio en un suelo isotropico hidraacuteulicamente equivalente
Dos tipos de transformaciones se pueden aplicar a) Haciendo
Y Ky
Kx
Y acute
Se modifican las dimensiones verticales permaneciendo constantes las horizontales
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
g
b) Haciendo
X Kx
Ky X acute
Se modifican las dimensiones Horizontales permaneciendo constantes las Verticales
En la seccioacuten transformada homogeacutenea e isoacutetropa la permeabilidad equivalente viene dada por
kykxk
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
kykxk
X Kx
Ky X acute
2 0 0 0
0 0
kx
ky
k
2 8 2 0 0
0
h
141h
500000
b352463
071b
k
Y Ky
KxY acute
kykx 2
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g j
γd= 182 Tm3
k= 2x10-3 cmseg γsat= 218 Tm3 γconc= 235 Tm3
LINEA SUPERFICIAL DE FLUJO
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LINEA SUPERFICIAL DE FLUJO
En algunos casos un liacutemite de las liacuteneas de flujo puede ser una superficie de agualibre o superficie de saturacioacuten que no estaacute determinada por ninguna masa soacutelida
impermeable
Tal es el caso de las presas de tierra cuyo problema de flujo presenta caracteriacutesticasespeciales y por lo tanto se requiere del uso de meacutetodos tambieacuten especiales paralograr el trazado de la red de flujo
a
b
c
Equipotencial
Liacutenea de Flujo
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En la figura se presenta una presa de tierra de un material heterogeacuteneo eacute isoacutetropo La liacutenea 1-2 es una liacutenea equipotencial puesto que es el contacto entre el suelo permeable y el agua La liacutenea1-3 es un contacto entre la frontera impermeable y el material permeable por lo tanto es unaliacutenea de flujo Entre los puntos 2 y 4 existe una frontera del flujo donde por debajo de ella elsuelo estaacute saturado y por encima no lo estaacute Ahora bien esta liacutenea que limita la zona de flujodentro de la presa recibe el nombre de liacutenea superficial de flujo o liacutenea de saturacioacuten Suforma se desconoce a priori y tambieacuten la posicioacuten del punto 4 ambos deben ser determinados almenos aproximadamente para poder trazar la red de flujo
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La liacutenea de saturacioacuten ademaacutes de ser una liacutenea de flujo es tambieacuten una liacutenea de
equipresioacuten en la que todos los puntos tienen la misma presioacuten cero Por lo tantoel potencial hidraacuteulico depende de la carga de elevacioacuten uacutenicamente y las liacuteneasequipotenciales la cortaran a intervalos verticales iguales entre si
Condiciones Generales de Entrada
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Condiciones Generales de Salida
Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
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Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
Caso 1 a2 lt 30deg En este caso es posible calcular la superficie humedecida a (distancia 4 - 3) pormedio de la siguiente expresioacuten
2
2
2
2
2
2
2coscos a a a sen
hd d a
d = L - M + O3M
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Luego de dibujar la presa de tierra a escala se sentildeala en ella la superficie humedecida aguas
abajo a calculada por la foacutermula anterior El siguiente paso consiste en el trazado de laliacutenea de saturacioacuten usando el meacutetodo graacutefico aproximado de la paraacutebola baacutesica de Kozenycuyo procedimiento se describe a continuacioacuten
1 Ubicar el punto 2 en la liacutenea freaacutetica a una distancia de 03M medida desde la cara deltalud aguas arriba La cara aguas abajo del talud es tangente a la paraacutebola en el punto 4
2 Prolongar la liacutenea en el talud aguas arriba de la presa Trazar una horizontal por el punto2 hasta cortar la cara del talud aguas abajo El punto de interseccioacuten es 5
3 Dividir 4 -5 Y 5 - 2 en el mismo nuacutemero de partes iguales no maacutes de 4 o 5 y marcarestos puntos (en 2- 5 se parte de 5 numerando con letras A -B etc en 4 - 5 se parte de 4numerando A-B-C etc)
4 Trazar por 4 - 5 liacuteneas horizontales en los puntos marcados
5 Unir cada uno de los puntos marcados en la horizontal 2- 5 con el punto 46 Trazar la liacutenea freaacutetica por los puntos obtenidos 7 Como la liacutenea freaacutetica parte perpendicular a la cara del talud aguas arriba este ajuste
debe realizarse manualmente
=gt M = htg ald =L - O7M
Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
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Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
Caso 2 a2 gt 30deg En este caso el procedimiento a seguir es
d d hP 22
1 La paraacutebola tiene su origen a una distancia P del veacutertice del talud aguas abajo de lapresa es decir este veacutertice es su foco y es tangente a la vertical que pasa por elpunto P
P se calcula por medio de la siguiente expresioacuten
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2 Trazar la paraacutebola baacutesica de Kozeny En este caso la tangente al origen es una liacuteneavertical
3 La distancia desde el punto 4 hasta la interseccioacuten de la paraacutebola con el talud aguasabajo es a + Da y no es realmente el punto por donde sale el agua en el talud porlo tanto se debe realizar una correccioacuten y encontrar a Casagrande encontroacute que larelacioacuten es un escalar que puede ser llamado a y que se relaciona
con el angulo a2 seguacuten se muestra en la siguiente tabla
a
a
D
D
a a2 ( deg ) aacute
30 0375
60 0320
90 0260
120 0185
150 0105
180 0
Los valores entre estos aacutengulos pueden interpolarse
y midiendo a + Da se calcula a usando la tablaDa = aacute ( a + Da ) y a = ( a + Da ) - Da
Finalmente se trazan manualmente la entraday la salida de la liacutenea de saturacioacuten
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EJERCICIO Determine la Linea Superficial de Flujo de la presa de tierra que se presentaa continuacioacuten
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a continuacioacuten
EJERCICIO Determine la Linea Superficial de Flujo de la presa de tierra que se presentaa continuacioacuten
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2
1
a continuacioacuten
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
g
La teoriacutea de la seccioacuten transformada permite reducir al caso de un suelo homogeacuteneo e isoacutetropo un suelo en el que la permeabilidad para el flujo en la direccioacuten horizontal ( kx) y la que tenga para el flujo en la direccioacuten vertical ( ky ) sean diferentes ( kx ne Ky )(por lo general Kx en muchas veces mayor que ky )
La teoriacutea de la seccioacuten transformada es un simple artificio de calculo que se logra por una simple transformacioacuten de coordenadas y que modifica sobre el papel las dimensiones de la zona de flujo en estudio en un suelo isotropico hidraacuteulicamente equivalente
Dos tipos de transformaciones se pueden aplicar a) Haciendo
Y Ky
Kx
Y acute
Se modifican las dimensiones verticales permaneciendo constantes las horizontales
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
g
b) Haciendo
X Kx
Ky X acute
Se modifican las dimensiones Horizontales permaneciendo constantes las Verticales
En la seccioacuten transformada homogeacutenea e isoacutetropa la permeabilidad equivalente viene dada por
kykxk
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
kykxk
X Kx
Ky X acute
2 0 0 0
0 0
kx
ky
k
2 8 2 0 0
0
h
141h
500000
b352463
071b
k
Y Ky
KxY acute
kykx 2
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LINEA SUPERFICIAL DE FLUJO
En algunos casos un liacutemite de las liacuteneas de flujo puede ser una superficie de agualibre o superficie de saturacioacuten que no estaacute determinada por ninguna masa soacutelida
impermeable
Tal es el caso de las presas de tierra cuyo problema de flujo presenta caracteriacutesticasespeciales y por lo tanto se requiere del uso de meacutetodos tambieacuten especiales paralograr el trazado de la red de flujo
a
b
c
Equipotencial
Liacutenea de Flujo
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En la figura se presenta una presa de tierra de un material heterogeacuteneo eacute isoacutetropo La liacutenea 1-2 es una liacutenea equipotencial puesto que es el contacto entre el suelo permeable y el agua La liacutenea1-3 es un contacto entre la frontera impermeable y el material permeable por lo tanto es unaliacutenea de flujo Entre los puntos 2 y 4 existe una frontera del flujo donde por debajo de ella elsuelo estaacute saturado y por encima no lo estaacute Ahora bien esta liacutenea que limita la zona de flujodentro de la presa recibe el nombre de liacutenea superficial de flujo o liacutenea de saturacioacuten Suforma se desconoce a priori y tambieacuten la posicioacuten del punto 4 ambos deben ser determinados almenos aproximadamente para poder trazar la red de flujo
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La liacutenea de saturacioacuten ademaacutes de ser una liacutenea de flujo es tambieacuten una liacutenea de
equipresioacuten en la que todos los puntos tienen la misma presioacuten cero Por lo tantoel potencial hidraacuteulico depende de la carga de elevacioacuten uacutenicamente y las liacuteneasequipotenciales la cortaran a intervalos verticales iguales entre si
Condiciones Generales de Entrada
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Condiciones Generales de Entrada
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Caso 1 a2 lt 30deg En este caso es posible calcular la superficie humedecida a (distancia 4 - 3) pormedio de la siguiente expresioacuten
2
2
2
2
2
2
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hd d a
d = L - M + O3M
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Luego de dibujar la presa de tierra a escala se sentildeala en ella la superficie humedecida aguas
abajo a calculada por la foacutermula anterior El siguiente paso consiste en el trazado de laliacutenea de saturacioacuten usando el meacutetodo graacutefico aproximado de la paraacutebola baacutesica de Kozenycuyo procedimiento se describe a continuacioacuten
1 Ubicar el punto 2 en la liacutenea freaacutetica a una distancia de 03M medida desde la cara deltalud aguas arriba La cara aguas abajo del talud es tangente a la paraacutebola en el punto 4
2 Prolongar la liacutenea en el talud aguas arriba de la presa Trazar una horizontal por el punto2 hasta cortar la cara del talud aguas abajo El punto de interseccioacuten es 5
3 Dividir 4 -5 Y 5 - 2 en el mismo nuacutemero de partes iguales no maacutes de 4 o 5 y marcarestos puntos (en 2- 5 se parte de 5 numerando con letras A -B etc en 4 - 5 se parte de 4numerando A-B-C etc)
4 Trazar por 4 - 5 liacuteneas horizontales en los puntos marcados
5 Unir cada uno de los puntos marcados en la horizontal 2- 5 con el punto 46 Trazar la liacutenea freaacutetica por los puntos obtenidos 7 Como la liacutenea freaacutetica parte perpendicular a la cara del talud aguas arriba este ajuste
debe realizarse manualmente
=gt M = htg ald =L - O7M
Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
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Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
Caso 2 a2 gt 30deg En este caso el procedimiento a seguir es
d d hP 22
1 La paraacutebola tiene su origen a una distancia P del veacutertice del talud aguas abajo de lapresa es decir este veacutertice es su foco y es tangente a la vertical que pasa por elpunto P
P se calcula por medio de la siguiente expresioacuten
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2 Trazar la paraacutebola baacutesica de Kozeny En este caso la tangente al origen es una liacuteneavertical
3 La distancia desde el punto 4 hasta la interseccioacuten de la paraacutebola con el talud aguasabajo es a + Da y no es realmente el punto por donde sale el agua en el talud porlo tanto se debe realizar una correccioacuten y encontrar a Casagrande encontroacute que larelacioacuten es un escalar que puede ser llamado a y que se relaciona
con el angulo a2 seguacuten se muestra en la siguiente tabla
a
a
D
D
a a2 ( deg ) aacute
30 0375
60 0320
90 0260
120 0185
150 0105
180 0
Los valores entre estos aacutengulos pueden interpolarse
y midiendo a + Da se calcula a usando la tablaDa = aacute ( a + Da ) y a = ( a + Da ) - Da
Finalmente se trazan manualmente la entraday la salida de la liacutenea de saturacioacuten
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EJERCICIO Determine la Linea Superficial de Flujo de la presa de tierra que se presentaa continuacioacuten
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a continuacioacuten
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2
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a continuacioacuten
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
g
La teoriacutea de la seccioacuten transformada permite reducir al caso de un suelo homogeacuteneo e isoacutetropo un suelo en el que la permeabilidad para el flujo en la direccioacuten horizontal ( kx) y la que tenga para el flujo en la direccioacuten vertical ( ky ) sean diferentes ( kx ne Ky )(por lo general Kx en muchas veces mayor que ky )
La teoriacutea de la seccioacuten transformada es un simple artificio de calculo que se logra por una simple transformacioacuten de coordenadas y que modifica sobre el papel las dimensiones de la zona de flujo en estudio en un suelo isotropico hidraacuteulicamente equivalente
Dos tipos de transformaciones se pueden aplicar a) Haciendo
Y Ky
Kx
Y acute
Se modifican las dimensiones verticales permaneciendo constantes las horizontales
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
g
b) Haciendo
X Kx
Ky X acute
Se modifican las dimensiones Horizontales permaneciendo constantes las Verticales
En la seccioacuten transformada homogeacutenea e isoacutetropa la permeabilidad equivalente viene dada por
kykxk
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
kykxk
X Kx
Ky X acute
2 0 0 0
0 0
kx
ky
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2 8 2 0 0
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h
141h
500000
b352463
071b
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Y Ky
KxY acute
kykx 2
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En la figura se presenta una presa de tierra de un material heterogeacuteneo eacute isoacutetropo La liacutenea 1-2 es una liacutenea equipotencial puesto que es el contacto entre el suelo permeable y el agua La liacutenea1-3 es un contacto entre la frontera impermeable y el material permeable por lo tanto es unaliacutenea de flujo Entre los puntos 2 y 4 existe una frontera del flujo donde por debajo de ella elsuelo estaacute saturado y por encima no lo estaacute Ahora bien esta liacutenea que limita la zona de flujodentro de la presa recibe el nombre de liacutenea superficial de flujo o liacutenea de saturacioacuten Suforma se desconoce a priori y tambieacuten la posicioacuten del punto 4 ambos deben ser determinados almenos aproximadamente para poder trazar la red de flujo
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La liacutenea de saturacioacuten ademaacutes de ser una liacutenea de flujo es tambieacuten una liacutenea de
equipresioacuten en la que todos los puntos tienen la misma presioacuten cero Por lo tantoel potencial hidraacuteulico depende de la carga de elevacioacuten uacutenicamente y las liacuteneasequipotenciales la cortaran a intervalos verticales iguales entre si
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Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
Caso 1 a2 lt 30deg En este caso es posible calcular la superficie humedecida a (distancia 4 - 3) pormedio de la siguiente expresioacuten
2
2
2
2
2
2
2coscos a a a sen
hd d a
d = L - M + O3M
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Luego de dibujar la presa de tierra a escala se sentildeala en ella la superficie humedecida aguas
abajo a calculada por la foacutermula anterior El siguiente paso consiste en el trazado de laliacutenea de saturacioacuten usando el meacutetodo graacutefico aproximado de la paraacutebola baacutesica de Kozenycuyo procedimiento se describe a continuacioacuten
1 Ubicar el punto 2 en la liacutenea freaacutetica a una distancia de 03M medida desde la cara deltalud aguas arriba La cara aguas abajo del talud es tangente a la paraacutebola en el punto 4
2 Prolongar la liacutenea en el talud aguas arriba de la presa Trazar una horizontal por el punto2 hasta cortar la cara del talud aguas abajo El punto de interseccioacuten es 5
3 Dividir 4 -5 Y 5 - 2 en el mismo nuacutemero de partes iguales no maacutes de 4 o 5 y marcarestos puntos (en 2- 5 se parte de 5 numerando con letras A -B etc en 4 - 5 se parte de 4numerando A-B-C etc)
4 Trazar por 4 - 5 liacuteneas horizontales en los puntos marcados
5 Unir cada uno de los puntos marcados en la horizontal 2- 5 con el punto 46 Trazar la liacutenea freaacutetica por los puntos obtenidos 7 Como la liacutenea freaacutetica parte perpendicular a la cara del talud aguas arriba este ajuste
debe realizarse manualmente
=gt M = htg ald =L - O7M
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Caso 2 a2 gt 30deg En este caso el procedimiento a seguir es
d d hP 22
1 La paraacutebola tiene su origen a una distancia P del veacutertice del talud aguas abajo de lapresa es decir este veacutertice es su foco y es tangente a la vertical que pasa por elpunto P
P se calcula por medio de la siguiente expresioacuten
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2 Trazar la paraacutebola baacutesica de Kozeny En este caso la tangente al origen es una liacuteneavertical
3 La distancia desde el punto 4 hasta la interseccioacuten de la paraacutebola con el talud aguasabajo es a + Da y no es realmente el punto por donde sale el agua en el talud porlo tanto se debe realizar una correccioacuten y encontrar a Casagrande encontroacute que larelacioacuten es un escalar que puede ser llamado a y que se relaciona
con el angulo a2 seguacuten se muestra en la siguiente tabla
a
a
D
D
a a2 ( deg ) aacute
30 0375
60 0320
90 0260
120 0185
150 0105
180 0
Los valores entre estos aacutengulos pueden interpolarse
y midiendo a + Da se calcula a usando la tablaDa = aacute ( a + Da ) y a = ( a + Da ) - Da
Finalmente se trazan manualmente la entraday la salida de la liacutenea de saturacioacuten
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a continuacioacuten
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2
1
a continuacioacuten
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
g
La teoriacutea de la seccioacuten transformada permite reducir al caso de un suelo homogeacuteneo e isoacutetropo un suelo en el que la permeabilidad para el flujo en la direccioacuten horizontal ( kx) y la que tenga para el flujo en la direccioacuten vertical ( ky ) sean diferentes ( kx ne Ky )(por lo general Kx en muchas veces mayor que ky )
La teoriacutea de la seccioacuten transformada es un simple artificio de calculo que se logra por una simple transformacioacuten de coordenadas y que modifica sobre el papel las dimensiones de la zona de flujo en estudio en un suelo isotropico hidraacuteulicamente equivalente
Dos tipos de transformaciones se pueden aplicar a) Haciendo
Y Ky
Kx
Y acute
Se modifican las dimensiones verticales permaneciendo constantes las horizontales
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g
b) Haciendo
X Kx
Ky X acute
Se modifican las dimensiones Horizontales permaneciendo constantes las Verticales
En la seccioacuten transformada homogeacutenea e isoacutetropa la permeabilidad equivalente viene dada por
kykxk
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
kykxk
X Kx
Ky X acute
2 0 0 0
0 0
kx
ky
k
2 8 2 0 0
0
h
141h
500000
b352463
071b
k
Y Ky
KxY acute
kykx 2
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La liacutenea de saturacioacuten ademaacutes de ser una liacutenea de flujo es tambieacuten una liacutenea de
equipresioacuten en la que todos los puntos tienen la misma presioacuten cero Por lo tantoel potencial hidraacuteulico depende de la carga de elevacioacuten uacutenicamente y las liacuteneasequipotenciales la cortaran a intervalos verticales iguales entre si
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Caso 1 a2 lt 30deg En este caso es posible calcular la superficie humedecida a (distancia 4 - 3) pormedio de la siguiente expresioacuten
2
2
2
2
2
2
2coscos a a a sen
hd d a
d = L - M + O3M
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Luego de dibujar la presa de tierra a escala se sentildeala en ella la superficie humedecida aguas
abajo a calculada por la foacutermula anterior El siguiente paso consiste en el trazado de laliacutenea de saturacioacuten usando el meacutetodo graacutefico aproximado de la paraacutebola baacutesica de Kozenycuyo procedimiento se describe a continuacioacuten
1 Ubicar el punto 2 en la liacutenea freaacutetica a una distancia de 03M medida desde la cara deltalud aguas arriba La cara aguas abajo del talud es tangente a la paraacutebola en el punto 4
2 Prolongar la liacutenea en el talud aguas arriba de la presa Trazar una horizontal por el punto2 hasta cortar la cara del talud aguas abajo El punto de interseccioacuten es 5
3 Dividir 4 -5 Y 5 - 2 en el mismo nuacutemero de partes iguales no maacutes de 4 o 5 y marcarestos puntos (en 2- 5 se parte de 5 numerando con letras A -B etc en 4 - 5 se parte de 4numerando A-B-C etc)
4 Trazar por 4 - 5 liacuteneas horizontales en los puntos marcados
5 Unir cada uno de los puntos marcados en la horizontal 2- 5 con el punto 46 Trazar la liacutenea freaacutetica por los puntos obtenidos 7 Como la liacutenea freaacutetica parte perpendicular a la cara del talud aguas arriba este ajuste
debe realizarse manualmente
=gt M = htg ald =L - O7M
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Caso 2 a2 gt 30deg En este caso el procedimiento a seguir es
d d hP 22
1 La paraacutebola tiene su origen a una distancia P del veacutertice del talud aguas abajo de lapresa es decir este veacutertice es su foco y es tangente a la vertical que pasa por elpunto P
P se calcula por medio de la siguiente expresioacuten
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2 Trazar la paraacutebola baacutesica de Kozeny En este caso la tangente al origen es una liacuteneavertical
3 La distancia desde el punto 4 hasta la interseccioacuten de la paraacutebola con el talud aguasabajo es a + Da y no es realmente el punto por donde sale el agua en el talud porlo tanto se debe realizar una correccioacuten y encontrar a Casagrande encontroacute que larelacioacuten es un escalar que puede ser llamado a y que se relaciona
con el angulo a2 seguacuten se muestra en la siguiente tabla
a
a
D
D
a a2 ( deg ) aacute
30 0375
60 0320
90 0260
120 0185
150 0105
180 0
Los valores entre estos aacutengulos pueden interpolarse
y midiendo a + Da se calcula a usando la tablaDa = aacute ( a + Da ) y a = ( a + Da ) - Da
Finalmente se trazan manualmente la entraday la salida de la liacutenea de saturacioacuten
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EJERCICIO Determine la Linea Superficial de Flujo de la presa de tierra que se presentaa continuacioacuten
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a continuacioacuten
EJERCICIO Determine la Linea Superficial de Flujo de la presa de tierra que se presentaa continuacioacuten
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2
1
a continuacioacuten
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
g
La teoriacutea de la seccioacuten transformada permite reducir al caso de un suelo homogeacuteneo e isoacutetropo un suelo en el que la permeabilidad para el flujo en la direccioacuten horizontal ( kx) y la que tenga para el flujo en la direccioacuten vertical ( ky ) sean diferentes ( kx ne Ky )(por lo general Kx en muchas veces mayor que ky )
La teoriacutea de la seccioacuten transformada es un simple artificio de calculo que se logra por una simple transformacioacuten de coordenadas y que modifica sobre el papel las dimensiones de la zona de flujo en estudio en un suelo isotropico hidraacuteulicamente equivalente
Dos tipos de transformaciones se pueden aplicar a) Haciendo
Y Ky
Kx
Y acute
Se modifican las dimensiones verticales permaneciendo constantes las horizontales
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
g
b) Haciendo
X Kx
Ky X acute
Se modifican las dimensiones Horizontales permaneciendo constantes las Verticales
En la seccioacuten transformada homogeacutenea e isoacutetropa la permeabilidad equivalente viene dada por
kykxk
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
kykxk
X Kx
Ky X acute
2 0 0 0
0 0
kx
ky
k
2 8 2 0 0
0
h
141h
500000
b352463
071b
k
Y Ky
KxY acute
kykx 2
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Condiciones Generales de Entrada
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Condiciones Generales de Salida
Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
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Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
Caso 1 a2 lt 30deg En este caso es posible calcular la superficie humedecida a (distancia 4 - 3) pormedio de la siguiente expresioacuten
2
2
2
2
2
2
2coscos a a a sen
hd d a
d = L - M + O3M
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Luego de dibujar la presa de tierra a escala se sentildeala en ella la superficie humedecida aguas
abajo a calculada por la foacutermula anterior El siguiente paso consiste en el trazado de laliacutenea de saturacioacuten usando el meacutetodo graacutefico aproximado de la paraacutebola baacutesica de Kozenycuyo procedimiento se describe a continuacioacuten
1 Ubicar el punto 2 en la liacutenea freaacutetica a una distancia de 03M medida desde la cara deltalud aguas arriba La cara aguas abajo del talud es tangente a la paraacutebola en el punto 4
2 Prolongar la liacutenea en el talud aguas arriba de la presa Trazar una horizontal por el punto2 hasta cortar la cara del talud aguas abajo El punto de interseccioacuten es 5
3 Dividir 4 -5 Y 5 - 2 en el mismo nuacutemero de partes iguales no maacutes de 4 o 5 y marcarestos puntos (en 2- 5 se parte de 5 numerando con letras A -B etc en 4 - 5 se parte de 4numerando A-B-C etc)
4 Trazar por 4 - 5 liacuteneas horizontales en los puntos marcados
5 Unir cada uno de los puntos marcados en la horizontal 2- 5 con el punto 46 Trazar la liacutenea freaacutetica por los puntos obtenidos 7 Como la liacutenea freaacutetica parte perpendicular a la cara del talud aguas arriba este ajuste
debe realizarse manualmente
=gt M = htg ald =L - O7M
Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
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Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
Caso 2 a2 gt 30deg En este caso el procedimiento a seguir es
d d hP 22
1 La paraacutebola tiene su origen a una distancia P del veacutertice del talud aguas abajo de lapresa es decir este veacutertice es su foco y es tangente a la vertical que pasa por elpunto P
P se calcula por medio de la siguiente expresioacuten
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2 Trazar la paraacutebola baacutesica de Kozeny En este caso la tangente al origen es una liacuteneavertical
3 La distancia desde el punto 4 hasta la interseccioacuten de la paraacutebola con el talud aguasabajo es a + Da y no es realmente el punto por donde sale el agua en el talud porlo tanto se debe realizar una correccioacuten y encontrar a Casagrande encontroacute que larelacioacuten es un escalar que puede ser llamado a y que se relaciona
con el angulo a2 seguacuten se muestra en la siguiente tabla
a
a
D
D
a a2 ( deg ) aacute
30 0375
60 0320
90 0260
120 0185
150 0105
180 0
Los valores entre estos aacutengulos pueden interpolarse
y midiendo a + Da se calcula a usando la tablaDa = aacute ( a + Da ) y a = ( a + Da ) - Da
Finalmente se trazan manualmente la entraday la salida de la liacutenea de saturacioacuten
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
g
La teoriacutea de la seccioacuten transformada permite reducir al caso de un suelo homogeacuteneo e isoacutetropo un suelo en el que la permeabilidad para el flujo en la direccioacuten horizontal ( kx) y la que tenga para el flujo en la direccioacuten vertical ( ky ) sean diferentes ( kx ne Ky )(por lo general Kx en muchas veces mayor que ky )
La teoriacutea de la seccioacuten transformada es un simple artificio de calculo que se logra por una simple transformacioacuten de coordenadas y que modifica sobre el papel las dimensiones de la zona de flujo en estudio en un suelo isotropico hidraacuteulicamente equivalente
Dos tipos de transformaciones se pueden aplicar a) Haciendo
Y Ky
Kx
Y acute
Se modifican las dimensiones verticales permaneciendo constantes las horizontales
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g
b) Haciendo
X Kx
Ky X acute
Se modifican las dimensiones Horizontales permaneciendo constantes las Verticales
En la seccioacuten transformada homogeacutenea e isoacutetropa la permeabilidad equivalente viene dada por
kykxk
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
kykxk
X Kx
Ky X acute
2 0 0 0
0 0
kx
ky
k
2 8 2 0 0
0
h
141h
500000
b352463
071b
k
Y Ky
KxY acute
kykx 2
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Caso 1 a2 lt 30deg En este caso es posible calcular la superficie humedecida a (distancia 4 - 3) pormedio de la siguiente expresioacuten
2
2
2
2
2
2
2coscos a a a sen
hd d a
d = L - M + O3M
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Luego de dibujar la presa de tierra a escala se sentildeala en ella la superficie humedecida aguas
abajo a calculada por la foacutermula anterior El siguiente paso consiste en el trazado de laliacutenea de saturacioacuten usando el meacutetodo graacutefico aproximado de la paraacutebola baacutesica de Kozenycuyo procedimiento se describe a continuacioacuten
1 Ubicar el punto 2 en la liacutenea freaacutetica a una distancia de 03M medida desde la cara deltalud aguas arriba La cara aguas abajo del talud es tangente a la paraacutebola en el punto 4
2 Prolongar la liacutenea en el talud aguas arriba de la presa Trazar una horizontal por el punto2 hasta cortar la cara del talud aguas abajo El punto de interseccioacuten es 5
3 Dividir 4 -5 Y 5 - 2 en el mismo nuacutemero de partes iguales no maacutes de 4 o 5 y marcarestos puntos (en 2- 5 se parte de 5 numerando con letras A -B etc en 4 - 5 se parte de 4numerando A-B-C etc)
4 Trazar por 4 - 5 liacuteneas horizontales en los puntos marcados
5 Unir cada uno de los puntos marcados en la horizontal 2- 5 con el punto 46 Trazar la liacutenea freaacutetica por los puntos obtenidos 7 Como la liacutenea freaacutetica parte perpendicular a la cara del talud aguas arriba este ajuste
debe realizarse manualmente
=gt M = htg ald =L - O7M
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Caso 2 a2 gt 30deg En este caso el procedimiento a seguir es
d d hP 22
1 La paraacutebola tiene su origen a una distancia P del veacutertice del talud aguas abajo de lapresa es decir este veacutertice es su foco y es tangente a la vertical que pasa por elpunto P
P se calcula por medio de la siguiente expresioacuten
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2 Trazar la paraacutebola baacutesica de Kozeny En este caso la tangente al origen es una liacuteneavertical
3 La distancia desde el punto 4 hasta la interseccioacuten de la paraacutebola con el talud aguasabajo es a + Da y no es realmente el punto por donde sale el agua en el talud porlo tanto se debe realizar una correccioacuten y encontrar a Casagrande encontroacute que larelacioacuten es un escalar que puede ser llamado a y que se relaciona
con el angulo a2 seguacuten se muestra en la siguiente tabla
a
a
D
D
a a2 ( deg ) aacute
30 0375
60 0320
90 0260
120 0185
150 0105
180 0
Los valores entre estos aacutengulos pueden interpolarse
y midiendo a + Da se calcula a usando la tablaDa = aacute ( a + Da ) y a = ( a + Da ) - Da
Finalmente se trazan manualmente la entraday la salida de la liacutenea de saturacioacuten
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a continuacioacuten
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g
La teoriacutea de la seccioacuten transformada permite reducir al caso de un suelo homogeacuteneo e isoacutetropo un suelo en el que la permeabilidad para el flujo en la direccioacuten horizontal ( kx) y la que tenga para el flujo en la direccioacuten vertical ( ky ) sean diferentes ( kx ne Ky )(por lo general Kx en muchas veces mayor que ky )
La teoriacutea de la seccioacuten transformada es un simple artificio de calculo que se logra por una simple transformacioacuten de coordenadas y que modifica sobre el papel las dimensiones de la zona de flujo en estudio en un suelo isotropico hidraacuteulicamente equivalente
Dos tipos de transformaciones se pueden aplicar a) Haciendo
Y Ky
Kx
Y acute
Se modifican las dimensiones verticales permaneciendo constantes las horizontales
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g
b) Haciendo
X Kx
Ky X acute
Se modifican las dimensiones Horizontales permaneciendo constantes las Verticales
En la seccioacuten transformada homogeacutenea e isoacutetropa la permeabilidad equivalente viene dada por
kykxk
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
kykxk
X Kx
Ky X acute
2 0 0 0
0 0
kx
ky
k
2 8 2 0 0
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h
141h
500000
b352463
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Y Ky
KxY acute
kykx 2
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Caso 1 a2 lt 30deg En este caso es posible calcular la superficie humedecida a (distancia 4 - 3) pormedio de la siguiente expresioacuten
2
2
2
2
2
2
2coscos a a a sen
hd d a
d = L - M + O3M
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Luego de dibujar la presa de tierra a escala se sentildeala en ella la superficie humedecida aguas
abajo a calculada por la foacutermula anterior El siguiente paso consiste en el trazado de laliacutenea de saturacioacuten usando el meacutetodo graacutefico aproximado de la paraacutebola baacutesica de Kozenycuyo procedimiento se describe a continuacioacuten
1 Ubicar el punto 2 en la liacutenea freaacutetica a una distancia de 03M medida desde la cara deltalud aguas arriba La cara aguas abajo del talud es tangente a la paraacutebola en el punto 4
2 Prolongar la liacutenea en el talud aguas arriba de la presa Trazar una horizontal por el punto2 hasta cortar la cara del talud aguas abajo El punto de interseccioacuten es 5
3 Dividir 4 -5 Y 5 - 2 en el mismo nuacutemero de partes iguales no maacutes de 4 o 5 y marcarestos puntos (en 2- 5 se parte de 5 numerando con letras A -B etc en 4 - 5 se parte de 4numerando A-B-C etc)
4 Trazar por 4 - 5 liacuteneas horizontales en los puntos marcados
5 Unir cada uno de los puntos marcados en la horizontal 2- 5 con el punto 46 Trazar la liacutenea freaacutetica por los puntos obtenidos 7 Como la liacutenea freaacutetica parte perpendicular a la cara del talud aguas arriba este ajuste
debe realizarse manualmente
=gt M = htg ald =L - O7M
Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
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Caso 2 a2 gt 30deg En este caso el procedimiento a seguir es
d d hP 22
1 La paraacutebola tiene su origen a una distancia P del veacutertice del talud aguas abajo de lapresa es decir este veacutertice es su foco y es tangente a la vertical que pasa por elpunto P
P se calcula por medio de la siguiente expresioacuten
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2 Trazar la paraacutebola baacutesica de Kozeny En este caso la tangente al origen es una liacuteneavertical
3 La distancia desde el punto 4 hasta la interseccioacuten de la paraacutebola con el talud aguasabajo es a + Da y no es realmente el punto por donde sale el agua en el talud porlo tanto se debe realizar una correccioacuten y encontrar a Casagrande encontroacute que larelacioacuten es un escalar que puede ser llamado a y que se relaciona
con el angulo a2 seguacuten se muestra en la siguiente tabla
a
a
D
D
a a2 ( deg ) aacute
30 0375
60 0320
90 0260
120 0185
150 0105
180 0
Los valores entre estos aacutengulos pueden interpolarse
y midiendo a + Da se calcula a usando la tablaDa = aacute ( a + Da ) y a = ( a + Da ) - Da
Finalmente se trazan manualmente la entraday la salida de la liacutenea de saturacioacuten
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a continuacioacuten
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
g
La teoriacutea de la seccioacuten transformada permite reducir al caso de un suelo homogeacuteneo e isoacutetropo un suelo en el que la permeabilidad para el flujo en la direccioacuten horizontal ( kx) y la que tenga para el flujo en la direccioacuten vertical ( ky ) sean diferentes ( kx ne Ky )(por lo general Kx en muchas veces mayor que ky )
La teoriacutea de la seccioacuten transformada es un simple artificio de calculo que se logra por una simple transformacioacuten de coordenadas y que modifica sobre el papel las dimensiones de la zona de flujo en estudio en un suelo isotropico hidraacuteulicamente equivalente
Dos tipos de transformaciones se pueden aplicar a) Haciendo
Y Ky
Kx
Y acute
Se modifican las dimensiones verticales permaneciendo constantes las horizontales
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
g
b) Haciendo
X Kx
Ky X acute
Se modifican las dimensiones Horizontales permaneciendo constantes las Verticales
En la seccioacuten transformada homogeacutenea e isoacutetropa la permeabilidad equivalente viene dada por
kykxk
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
kykxk
X Kx
Ky X acute
2 0 0 0
0 0
kx
ky
k
2 8 2 0 0
0
h
141h
500000
b352463
071b
k
Y Ky
KxY acute
kykx 2
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Luego de dibujar la presa de tierra a escala se sentildeala en ella la superficie humedecida aguas
abajo a calculada por la foacutermula anterior El siguiente paso consiste en el trazado de laliacutenea de saturacioacuten usando el meacutetodo graacutefico aproximado de la paraacutebola baacutesica de Kozenycuyo procedimiento se describe a continuacioacuten
1 Ubicar el punto 2 en la liacutenea freaacutetica a una distancia de 03M medida desde la cara deltalud aguas arriba La cara aguas abajo del talud es tangente a la paraacutebola en el punto 4
2 Prolongar la liacutenea en el talud aguas arriba de la presa Trazar una horizontal por el punto2 hasta cortar la cara del talud aguas abajo El punto de interseccioacuten es 5
3 Dividir 4 -5 Y 5 - 2 en el mismo nuacutemero de partes iguales no maacutes de 4 o 5 y marcarestos puntos (en 2- 5 se parte de 5 numerando con letras A -B etc en 4 - 5 se parte de 4numerando A-B-C etc)
4 Trazar por 4 - 5 liacuteneas horizontales en los puntos marcados
5 Unir cada uno de los puntos marcados en la horizontal 2- 5 con el punto 46 Trazar la liacutenea freaacutetica por los puntos obtenidos 7 Como la liacutenea freaacutetica parte perpendicular a la cara del talud aguas arriba este ajuste
debe realizarse manualmente
=gt M = htg ald =L - O7M
Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
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Caso 2 a2 gt 30deg En este caso el procedimiento a seguir es
d d hP 22
1 La paraacutebola tiene su origen a una distancia P del veacutertice del talud aguas abajo de lapresa es decir este veacutertice es su foco y es tangente a la vertical que pasa por elpunto P
P se calcula por medio de la siguiente expresioacuten
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2 Trazar la paraacutebola baacutesica de Kozeny En este caso la tangente al origen es una liacuteneavertical
3 La distancia desde el punto 4 hasta la interseccioacuten de la paraacutebola con el talud aguasabajo es a + Da y no es realmente el punto por donde sale el agua en el talud porlo tanto se debe realizar una correccioacuten y encontrar a Casagrande encontroacute que larelacioacuten es un escalar que puede ser llamado a y que se relaciona
con el angulo a2 seguacuten se muestra en la siguiente tabla
a
a
D
D
a a2 ( deg ) aacute
30 0375
60 0320
90 0260
120 0185
150 0105
180 0
Los valores entre estos aacutengulos pueden interpolarse
y midiendo a + Da se calcula a usando la tablaDa = aacute ( a + Da ) y a = ( a + Da ) - Da
Finalmente se trazan manualmente la entraday la salida de la liacutenea de saturacioacuten
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
g
La teoriacutea de la seccioacuten transformada permite reducir al caso de un suelo homogeacuteneo e isoacutetropo un suelo en el que la permeabilidad para el flujo en la direccioacuten horizontal ( kx) y la que tenga para el flujo en la direccioacuten vertical ( ky ) sean diferentes ( kx ne Ky )(por lo general Kx en muchas veces mayor que ky )
La teoriacutea de la seccioacuten transformada es un simple artificio de calculo que se logra por una simple transformacioacuten de coordenadas y que modifica sobre el papel las dimensiones de la zona de flujo en estudio en un suelo isotropico hidraacuteulicamente equivalente
Dos tipos de transformaciones se pueden aplicar a) Haciendo
Y Ky
Kx
Y acute
Se modifican las dimensiones verticales permaneciendo constantes las horizontales
Tema 5 El agua en el Suelo
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
g
b) Haciendo
X Kx
Ky X acute
Se modifican las dimensiones Horizontales permaneciendo constantes las Verticales
En la seccioacuten transformada homogeacutenea e isoacutetropa la permeabilidad equivalente viene dada por
kykxk
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
kykxk
X Kx
Ky X acute
2 0 0 0
0 0
kx
ky
k
2 8 2 0 0
0
h
141h
500000
b352463
071b
k
Y Ky
KxY acute
kykx 2
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Meacutetodos para determinar la Linea de Saturacioacuten
Caso 2 a2 gt 30deg En este caso el procedimiento a seguir es
d d hP 22
1 La paraacutebola tiene su origen a una distancia P del veacutertice del talud aguas abajo de lapresa es decir este veacutertice es su foco y es tangente a la vertical que pasa por elpunto P
P se calcula por medio de la siguiente expresioacuten
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2 Trazar la paraacutebola baacutesica de Kozeny En este caso la tangente al origen es una liacuteneavertical
3 La distancia desde el punto 4 hasta la interseccioacuten de la paraacutebola con el talud aguasabajo es a + Da y no es realmente el punto por donde sale el agua en el talud porlo tanto se debe realizar una correccioacuten y encontrar a Casagrande encontroacute que larelacioacuten es un escalar que puede ser llamado a y que se relaciona
con el angulo a2 seguacuten se muestra en la siguiente tabla
a
a
D
D
a a2 ( deg ) aacute
30 0375
60 0320
90 0260
120 0185
150 0105
180 0
Los valores entre estos aacutengulos pueden interpolarse
y midiendo a + Da se calcula a usando la tablaDa = aacute ( a + Da ) y a = ( a + Da ) - Da
Finalmente se trazan manualmente la entraday la salida de la liacutenea de saturacioacuten
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EJERCICIO Determine la Linea Superficial de Flujo de la presa de tierra que se presentaa continuacioacuten
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a continuacioacuten
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
g
La teoriacutea de la seccioacuten transformada permite reducir al caso de un suelo homogeacuteneo e isoacutetropo un suelo en el que la permeabilidad para el flujo en la direccioacuten horizontal ( kx) y la que tenga para el flujo en la direccioacuten vertical ( ky ) sean diferentes ( kx ne Ky )(por lo general Kx en muchas veces mayor que ky )
La teoriacutea de la seccioacuten transformada es un simple artificio de calculo que se logra por una simple transformacioacuten de coordenadas y que modifica sobre el papel las dimensiones de la zona de flujo en estudio en un suelo isotropico hidraacuteulicamente equivalente
Dos tipos de transformaciones se pueden aplicar a) Haciendo
Y Ky
Kx
Y acute
Se modifican las dimensiones verticales permaneciendo constantes las horizontales
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
g
b) Haciendo
X Kx
Ky X acute
Se modifican las dimensiones Horizontales permaneciendo constantes las Verticales
En la seccioacuten transformada homogeacutenea e isoacutetropa la permeabilidad equivalente viene dada por
kykxk
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Teoriacutea de la seccioacuten Transformada
kykxk
X Kx
Ky X acute
2 0 0 0
0 0
kx
ky
k
2 8 2 0 0
0
h
141h
500000
b352463
071b
k
Y Ky
KxY acute
kykx 2
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2 Trazar la paraacutebola baacutesica de Kozeny En este caso la tangente al origen es una liacuteneavertical
3 La distancia desde el punto 4 hasta la interseccioacuten de la paraacutebola con el talud aguasabajo es a + Da y no es realmente el punto por donde sale el agua en el talud porlo tanto se debe realizar una correccioacuten y encontrar a Casagrande encontroacute que larelacioacuten es un escalar que puede ser llamado a y que se relaciona
con el angulo a2 seguacuten se muestra en la siguiente tabla
a
a
D
D
a a2 ( deg ) aacute
30 0375
60 0320
90 0260
120 0185
150 0105
180 0
Los valores entre estos aacutengulos pueden interpolarse
y midiendo a + Da se calcula a usando la tablaDa = aacute ( a + Da ) y a = ( a + Da ) - Da
Finalmente se trazan manualmente la entraday la salida de la liacutenea de saturacioacuten
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g
La teoriacutea de la seccioacuten transformada permite reducir al caso de un suelo homogeacuteneo e isoacutetropo un suelo en el que la permeabilidad para el flujo en la direccioacuten horizontal ( kx) y la que tenga para el flujo en la direccioacuten vertical ( ky ) sean diferentes ( kx ne Ky )(por lo general Kx en muchas veces mayor que ky )
La teoriacutea de la seccioacuten transformada es un simple artificio de calculo que se logra por una simple transformacioacuten de coordenadas y que modifica sobre el papel las dimensiones de la zona de flujo en estudio en un suelo isotropico hidraacuteulicamente equivalente
Dos tipos de transformaciones se pueden aplicar a) Haciendo
Y Ky
Kx
Y acute
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g
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X Kx
Ky X acute
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kykxk
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X Kx
Ky X acute
2 0 0 0
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kx
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2 8 2 0 0
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k
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g
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La teoriacutea de la seccioacuten transformada es un simple artificio de calculo que se logra por una simple transformacioacuten de coordenadas y que modifica sobre el papel las dimensiones de la zona de flujo en estudio en un suelo isotropico hidraacuteulicamente equivalente
Dos tipos de transformaciones se pueden aplicar a) Haciendo
Y Ky
Kx
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g
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X Kx
Ky X acute
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X Kx
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2 0 0 0
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2 8 2 0 0
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g
La teoriacutea de la seccioacuten transformada permite reducir al caso de un suelo homogeacuteneo e isoacutetropo un suelo en el que la permeabilidad para el flujo en la direccioacuten horizontal ( kx) y la que tenga para el flujo en la direccioacuten vertical ( ky ) sean diferentes ( kx ne Ky )(por lo general Kx en muchas veces mayor que ky )
La teoriacutea de la seccioacuten transformada es un simple artificio de calculo que se logra por una simple transformacioacuten de coordenadas y que modifica sobre el papel las dimensiones de la zona de flujo en estudio en un suelo isotropico hidraacuteulicamente equivalente
Dos tipos de transformaciones se pueden aplicar a) Haciendo
Y Ky
Kx
Y acute
Se modifican las dimensiones verticales permaneciendo constantes las horizontales
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g
b) Haciendo
X Kx
Ky X acute
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kykxk
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X Kx
Ky X acute
2 0 0 0
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2 8 2 0 0
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500000
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Y Ky
KxY acute
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La teoriacutea de la seccioacuten transformada permite reducir al caso de un suelo homogeacuteneo e isoacutetropo un suelo en el que la permeabilidad para el flujo en la direccioacuten horizontal ( kx) y la que tenga para el flujo en la direccioacuten vertical ( ky ) sean diferentes ( kx ne Ky )(por lo general Kx en muchas veces mayor que ky )
La teoriacutea de la seccioacuten transformada es un simple artificio de calculo que se logra por una simple transformacioacuten de coordenadas y que modifica sobre el papel las dimensiones de la zona de flujo en estudio en un suelo isotropico hidraacuteulicamente equivalente
Dos tipos de transformaciones se pueden aplicar a) Haciendo
Y Ky
Kx
Y acute
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g
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X Kx
Ky X acute
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kykxk
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kykxk
X Kx
Ky X acute
2 0 0 0
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kx
ky
k
2 8 2 0 0
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h
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500000
b352463
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Y Ky
KxY acute
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g
La teoriacutea de la seccioacuten transformada permite reducir al caso de un suelo homogeacuteneo e isoacutetropo un suelo en el que la permeabilidad para el flujo en la direccioacuten horizontal ( kx) y la que tenga para el flujo en la direccioacuten vertical ( ky ) sean diferentes ( kx ne Ky )(por lo general Kx en muchas veces mayor que ky )
La teoriacutea de la seccioacuten transformada es un simple artificio de calculo que se logra por una simple transformacioacuten de coordenadas y que modifica sobre el papel las dimensiones de la zona de flujo en estudio en un suelo isotropico hidraacuteulicamente equivalente
Dos tipos de transformaciones se pueden aplicar a) Haciendo
Y Ky
Kx
Y acute
Se modifican las dimensiones verticales permaneciendo constantes las horizontales
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g
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X Kx
Ky X acute
2 0 0 0
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2 8 2 0 0
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b352463
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Y Ky
KxY acute
kykx 2
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X Kx
Ky X acute
Se modifican las dimensiones Horizontales permaneciendo constantes las Verticales
En la seccioacuten transformada homogeacutenea e isoacutetropa la permeabilidad equivalente viene dada por
kykxk
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X Kx
Ky X acute
2 0 0 0
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