Download - Equazioni di secondo grado
- Prof. R. Fantini1
Nota storicaPer secoli l’algebra (dall’arabo al-Jabr che significa “aggiustamento” il lavoro tipico dei medici sulle ossa fratturate dei pazienti) ha cercato metodi meccanici (algoritmi) per risolvere le equazioni.In questa ricerca si sono distinti il matematico arabo Al-Khwarizmi (IX secolo d.C.) che ha trovato la formula risolutiva delle eq. di 2° grado e gli italiani: Scipione del Ferro, Nicolò Tartaglia, Gerolamo Cardano (dal 1500 al 1570), per quelle di 3° grado e Ludovico Ferrari per quelle di 4°.
- Prof. R. Fantini2
Problemi antichi1700 a. C. : BabiloniaHo sommato 7 volte il lato di un quadrato con 11 volte la sua area e ho trovato 6.25. Quanto è lungo il lato?
Moltiplica 11 per 6.25 e trovi 68.75 .Dimezza 7 e moltiplica il risultato per se stesso. Sommalo con 68.75 e trovi 81, la cui radice quadrata è 9. Sottrai 7/2 da 9 e hai 5.5. Per che cosa moltiplico 11 per avere 5.5? Per 0.5: QUESTO E’ IL LATO !
Soluzione
- Prof. R. Fantini3
Equazioni: richiami.Un’equazione è una uguaglianza fra due espressioni letterali che risulta VERA (soddisfatta) per particolari valori assunti dalle lettere.
Es. 43 4 0 3
x x
0ax b 0a Eq. di 1° grado
Sol. bxa
43 4 03
Verifica:
- Prof. R. Fantini4
Equazioni di secondo grado
La più generale equazione di 2° grado si può scrivere:
Es. 23 4 6 0x x
2 0ax bx c 0a
- Prof. R. Fantini5
Equazione PURAConsideriamo l’equazione di 2° grado con b=0b=0:
2 0 ax c 1,20
0
c cxa ac impossibilea
Es. 21,216 0 16 4x x
L’equazione pura, se non è impossibile, ha due radici reali e opposte.
2 cxa
21,281 0 81 impossibile!x x
- Prof. R. Fantini6
Equazione SPURIAConsideriamo l’equazione di 2° grado con c=0c=0:
Es.
2 0 ( ) 0ax bx x ax b Per la legge di annullamento del prodotto, questa equazione può essere soddisfatta annullando uno o l’altro fattore.
1 2bx 0 xa
Si ha dunque:
L’equazione spuria ha sempre due radici reali di cui una nulla.
21 2
83x 8x 0 x 3x 8 0 x 0 x3
- Prof. R. Fantini7
Equazione COMPLETA2 0ax bx c
0444 22 acabxxa
•Moltiplicando ambo i membri per 4a si ottiene:
•Aggiungiamo ora b^2 e sottraiamo 4ac ad ambo i membri dell’equazione:
acbbabxxa 444 2222 •Il primo membro è il quadrato di un binomio
2 2 2
22
1,2
(2 ) 4 (2 ) 4
2 4 42
ax b b ac ax b b ac
ax b b ac b b acxa
- Prof. R. Fantini8
EsempiRisolvere le seguenti equazioni:
22 9 5 0x x a=2; b=9; c=-5
2 1
1,2
2
9 121 59 81 4 2 ( 5)4 42 4 9 121 1
4 2
xb b acx
ax
23 2 0x x a=3; b=-1; c=-2
2 1
1,2
2
1 25 21 1 4 3 ( 2)4 6 3
2 6 1 25 16
xb b acx
ax
Le soluzioni (radici) sono
reali e distinte.
- Prof. R. Fantini9
Un ultimo esempioRisolvere la seguente equazione:
22 3 0x x a=2; b=-1; c=3
2
1,24 1 1 4 2 3 1 23 ...???
2 4 4b b acx
a
E’ di fondamentale importanza stabilire il segno della quantità:
2 4b ac
Non esistono soluzioni reali !!
- Prof. R. Fantini10
E’ l’espressione che nella formula risolutiva figura sotto il segno di radice si chiama discriminante dell’ equazione e si indica con la lettera DELTA
> 0
= 0
< 0
SI?
SI?
SI?Vai al
diagramma di flusso
Discriminante DELTA2b 4ac
- Prof. R. Fantini11
Il radicale che compare nella formula risolutiva, è un numero reale e l’equazione data ha allora due soluzioni reali e distinte
∆ > 0
Vediamolo graficamente con Excel
L’equazione ammette due radici reali e distinte.
- Prof. R. Fantini12
0x y-3 2-2 -2-1 -40 -41 -22 23 8
y
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y = x2 + x - 4
x
y
∆∆>0>0
Soluzioni reali e distinte
Vai al ∆
1x 2x
Delta = 1+16=17
2 4 0x x
- Prof. R. Fantini13
La formula risolutiva dà per x 2 valori reali coincidenti
1,20
2bxa
abxx
221
∆ = 0
Vediamolo graficamente con Excel
L’equazione ammette due radici reali e coincidentiEs. 2 6 9 0x x
2b 4ac 36 4 9 0 1,2
6 0 32
x
- Prof. R. Fantini14
0x y-3 1-2 0-1 10 41 92 163 25
y
0
5
10
15
20
25
30
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y = x2 + 4x + 4
Soluzioni coincidenti
∆∆=0=0
Vai al ∆
1 2x x
Delta = 16-16=0
2 4 4 0x x
- Prof. R. Fantini15
∆ < 0
Vediamolo graficamente con Excel
L’equazione non ha soluzioni reali
In questo caso il radicale non ha valore nel campo dei numeri reali
e l’equazione è impossibile in R
- Prof. R. Fantini16
∆∆<0<0
x y-3 11-2 6 0-1 30 21 32 63 11
11
6
32
3
6
11
0
2
4
6
8
10
12
-4 -2 0 2 4
x
y = x2+ 2
Nessuna Soluzione !
Vai al ∆
Delta = 0-8=-8
2 2 0x
- Prof. R. Fantini17
a, b, c
Si calcoli
L’equazione ha due
radici reali e distinte
0
0
< 0 l’equazione è impossibile in R
2
1
2
2
42
42
b b acxa
b b acxa
1 2 2bx xa
L’equazione
ha due radici reali
e coincidenti
si
sino
no
Torna al delta
Riepilogando 1
- Prof. R. Fantini19
Esercizio 2Risolvere le seguenti equazioni:2 4 0x Equazione PURA
(b=0)2
1,24 4 2x x
2 6 0x x Equazione SPURIA (c=0)
1 2( 6) 0 0; 6x x x x
Legge dell’annullamento del prodotto
21,2
1 22 1 0 2 2
x x
- Prof. R. Fantini20
Esercizio 3Risolvere la seguente equazione:
22 5 3 0x x Equazione COMPLETA
2 4 25 24 49 0b ac
21
1,2
2
14 5 49
22 4 3
xb b acxa x
- Prof. R. Fantini21
Se b è un numero pari con opportune semplificazioni si ottiene la seguente formula
risolutiva:
2
1,22 2b b ac
xa
Es. 21,2
2 4 33 4 1 0 3
x x x
1 21 , 13
x x
Formula ridotta
2
1,2
42
2
bb ac
xa
2
1,2
22
2
bb acx
a
4
- Prof. R. Fantini22
Esercizio 4Risolvere la seguente equazione:
29 6 8 0x x Equazione COMPLETA con coefficiente b pari
2
9 72 81 04 2
b ac
2
1
1,2
2
42 2 3 81 3
293
b b ac xx
a x
- Prof. R. Fantini23
Esercizio 5(equazioni parametriche o letterali)
Determinare per quali valori di K la seguente equazione ha due soluzioni reali coincidenti:2 (1 ) 3 0kx k x
2 24 1 2 12 0b ac k k k 2 10 1 0 k k
1,2 5 25 1 5 2 6k
- Prof. R. Fantini24
Relazione fra i coefficienti di un’equazione di II grado
(a,b,c) e le sue radici (x1 e x2)
- Prof. R. Fantini25
Somma delle soluzioni2
14
2b b acx
a
1 2bs x xa
2
24
2b b acx
a
2
1 24b acbx x
2 4b acb 2a
- Prof. R. Fantini26
Prodotto delle soluzioni
1 2cp x xa
Prodotto notevole somma x differenza
2
14
2b b acx
a
2
24
2b b acx
a
2
2
2
1 2( 4 )4
b b acx xa
- Prof. R. Fantini27
Un altro modo di scrivere l’eq. di II grado
2 0ax bx c Dividiamo per a:
2 0b cx xa a
Ricordandoci s e p:
2 0x sx p
1 2bs x xa
1 2cp x xa
- Prof. R. Fantini28
Esempio• Trovare due numeri la cui somma
sia 4 ed il cui prodotto sia –21.
2 0x sx p 2 4 21 0x x 2
1,22 2b b ac
xa
1
2
32 4 21
7xx
4 -21
- Prof. R. Fantini29
Esempi su s e p• Trovare per quale valore di k l’equazione:
(k-1)x^2 + (k+4)x + 3 = 0 ha: 1) Soluzioni opposte; 2) Soluzioni reciproche; 3) Una soluzione x1 = 2;
1) x1 =- x2 =>
4 0 41
k kk
x1 + x2 = 0 => s = 0 =>
2) x1 =1/x2 =>x1 x2 = 1 => p = 1 => 3 1 31
kk
3) x1 = 2 deve soddisfare l’equazione =>( 1) 4 ( 4) 2 3 0k k 76
k
- Prof. R. Fantini30
2 21 2x x 2 2
1 2 1 2( ) 2 2x x x x s p
1 2
1 1x x
2 1
1 2
x x sx x p
3 31 2 ???x x
Sottigliezze …
- Prof. R. Fantini31
Scomposizione del trinomio di II grado
21 2 1 2( )a x x x x x x Moltiplicando e
raccogliendo:
2 2 b cax bx c a x xa a
1 2( )( )a x x x x Ossia:
21 2( )( )ax bx c a x x x x
- Prof. R. Fantini32
Esempio di scomposizione di un trinomio di II grado
Scomporre il trinomio:
22 5 3x x
1. Equazione associata:
22 5 3 0x x 2. Soluzioni dell’equazione:
1 23; 1/ 2;x x 3. Scomposizione del
trinomio:
2 12 5 3 2( 3)2
x x x x
- Prof. R. Fantini33
Disegnare una parabola
• Abbiamo visto che il grafico di una funzione quadratica è una PARABOLA.
• Come si fa a disegnarla conoscendo la sua espressione algebrica?
- Prof. R. Fantini34
Dall’equazione al grafico
• Problema: disegnare la parabola:2 2 3y x x
1. Troviamo dove interseca l’asse delle x, ossia risolviamo il sistema:
22
1 2
2 3 2 3 0 3; 1
0y x x
x x x xy
Otteniamo quindi i punti A(-3,0); B(1,0).
Asse x Parabola
- Prof. R. Fantini35
Dall’equazione al grafico
2. Troviamo dove interseca l’asse delle y, ossia risolviamo il sistema:
2 2 3 3
0y x x
yx
Otteniamo quindi il punto P(0,-3).
- Prof. R. Fantini36
Dall’equazione al grafico
3. Troviamo il VERTICE della parabola. Il modo più semplice è pensare che la sua ascissa Vx è il punto medio delle ascisse dei punti in cui la parabola interseca l’asse X.
Occorre cioè fare la media delle radici x1 e x2. Si ottiene:
1 2
2 2xx x bV
a
Nel nostro caso Vx = -1. Per Vy basta sostituire Vx. Si ottiene Vy =-4
V(-1,-4)
- Prof. R. Fantini37
Finalmente il graficoUNIAMO i punti: A(-3,0) B(1,0) P(0,-3) V(-1,-4).
y = x^2+2x-3
-8
-4
0
4
8
12
16
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
X
Y
A B
PV
x y-5 12-4 5-3 0-2 -3-1 -40 -31 02 53 12
A
VPB
- Prof. R. Fantini38
RicapitolandoData la parabola di
equazione:2y ax bx c
Il Vertice: ,2 4bVa a
Intersezione con l’asse y (x=0):
0,P c
Intersezione con l’asse x (y=0):
1 2,0 B ,0A x x
La concavità della parabola dipende dal segno di a: a > 0 concava; a < 0 convessa.
- Prof. R. Fantini39
Disequazioni di II grado• La disequazione di 2° grado più
generale è della forma:2 0ax bx c
• Per risolverla, troviamo i punti x1 e x2 (x1 < x2) in cui il trinomio si annulla. Allora la soluzione sarà:
1x x oppure 2x x
• Consideriamo per comodità a>0.
- Prof. R. Fantini40
Esempio• Risolvi la seguente disequazione:
2 2 8 0x x
Soluzioni dell’equazione associata: x1 = -2 x2 = 4
2x oppure 4x
a>0
- Prof. R. Fantini41
Risoluzione grafica di una disequazione di II grado
• Risolviamo la stessa disequazione graficamente:
2 2 8 0x x
Disegnamo la parabola associata:2 2 8y x x
- Prof. R. Fantini42
Risoluzione grafica di una disequazione di II grado
y=x^2-2x-8
-10-8-6-4-202468
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6X
Y
X1
X2
2x 4x oppureY>0
2 2 8 0x x
- Prof. R. Fantini43
Risoluzione grafica di una disequazione di II grado
y=x^2-2x-8
-10-8-6-4-202468
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6X
Y
X1
X2
2 4x Y< 0
2 2 8 0x x
- Prof. R. Fantini44