E
V
Ade
Fdp
M
Pere
Msa
Nec
CcE
V
J
C
T
V
J
C
T
Enten
Vejamos o a
A cidade dedados mostempregos.
Foi realizaddiabetes naportadores e
Muitas veze
Porém, quaencontrada estringimos
Matematicamseguinte maassim: a pro
Note que aléentre os vecomo mostra
Como vimosconjunto inteEntão,
Ha
Velhos
Jovens
Crianças
TOTAL
Dia
Ha
Velhos
Jovens
Crianças
TOTAL
Di
ndend
assunto por
e Diabetelântram que n
da uma pes populaçãoe 46 criança
es esta tabe
ndo chega dividindo-s
s o atendim
mente escraneira: P(Xobabilidade
ém de ser vlhos. Lemba a figura a
s esta probaersecção [V
abitantes
P
d
4.400
3.300
2.300
10.000
abetelând
abitantes
P
D
p
44,00%
33,00%
23,00%
100,00%
iabetelân
do o T
r meio de um
ndia tem 10nesta cidad
squisa pelao. A pesquisas são porta
ela vem dad
ao hospitase 132 porento apena
revemos estX|V). Aqui X
P de ser di
velho, tem qbre-se que acima totaliz
abilidade foVelho Dia
ortadores
e Diabete
132
33
46
211
dia
ortadores d
Diabete na
opulação
1,32
0,33
0,46
2,11
ndia
Teore
m exemplo:
.000 habitade está hav
Secretariasa revelou adoras. Ass
a em porce
l um velho r 4.400 (13as aos velho
ta probabiliX significa sabético dad
que ser dianesta cida
zam 4.400 –
oi calculada abéticos] e d
|
e
2%
3%
6%
1%
Observ1,32% 0,0132 chanceé 1,32%velho Echegam
A tabel
Apenas
ma d
:
antes, sendovendo uma
a de Saúdeque 132 ve
sim:
entagens. A
(um pedaç32 4.400os.
dade CONDser diabéticdo que seja
abético (coitde existem– 132 = 4.26
tomando todividido pela
∩14.4
ve que os vda populaç ou 1,32%
e) de chega%! É poucoE portador m ao hospita
a mostra as
s 2,11% dos
e Bay
o 4.400 velha desertifica
e onde se celhos são p
Assim:
ço da popul = 0,03 ou
DICIONAL co e V signa velho.
tado!). Isto m muitos ve
68 velhos s
odos os vela quantidad
32400
0,03
velhos E poção da cida). Portanto
ar ao hospito provável a
de diabeteal.
s chances p
s habitantes
yes
hos, 3.300 jação urban
constatou uportadores d
lação), a chu 3%). A c
(ser portadonifica ser ve
mostra queelhos que nem a doenç
hos E diabéde de velhos
3%.
ortadores dade Diabete, nesta cidaal um velho
aos médicoss entre os
para as outr
s tem diabe
Os sãocatpor
jovens, 2.3na em virtu
uma grandeda doença,
hance dele chance au
or de diabeelho. Lemo
e colocamosnão são diaça.
éticos (132)s da cidade
de diabeteselândia (13ade a probo E portados do hospitapacientes
ras categor
etes.
valores eo os hategorias e rtadores de
00 criançasude da falta
e incidência, 33 jovens
ser diabétimentou po
etes E velhoos este sím
s uma condabéticos. Es
) que estão e (4.400).
s representa32 10.000babilidade (or de diabetal atender uem geral q
rias.
em vermelhbitantes dque não sdiabetes.
s. Os a de
a de s são
co é orque
o) da mbolo
dição stes,
no
am 0 = (ou tes um que
hos das são
Lembrem-se que, os eventos ser velho e ser diabético são INDEPENDENTES. Isto significa que ser velho não precisa ser diabético e ser diabético não precisa ser velho ou, em outras palavras, nem todo velho é diabético e nem todo diabético é velho.
A expressão acima poderia ser calculada de outra maneira:
| ∩
∩∩ 1,32%
44%0,03 3%.
Repetindo isto para as outras categorias podemos montar a seguinte tabela:
Cabe aqui a pergunta: Qual a probabilidade de um velho ser diabético?
Resposta: 3%. Esta é a chance de aparecer em qualquer lugar da cidade um velho que é diabético. Não precisa ter medo deles!!!! A chance é pequena e a doença não infecto-contagiosa!
Esta pergunta requer que encontremos P(X|V), certo?
Outra pergunta: Qual a probabilidade de um diabético ser velho?
É a mesma coisa que antes? 3%?
Posto de outra forma, chega ao hospital um diabético, qual a chance dele ser velho?
Agora queremos a probabilidade condicional P(V|X), ou seja, o contrário de antes. Imporemos agora uma CONDIÇÃO entre todos os diabéticos – eles devem ser velhos. Observando a figura anterior, temos que dividir nº de velhos diabéticos pelo total de diabéticos
| ∩
∩∩ 1,32%
2,11%0,6256 62,56%.
Se atentarmos para os diabéticos da cidade, a chance dele ser velho é 62,56%. É, nesta cidade, entre os diabéticos temos muitos velhos (ver figura acima).
Fica bem claro que:
Habitantes
Portadores de
Diabetes na categoria
P(X|Ai)
Velhos 44,00% 3,00%
Jovens 33,00% 1,00%
Crianças 23,00% 2,00%
TOTAL 100,00% 2,11%
Diabetelândia
Habitantes
Portadores de
Diabetes na categoria
P(X|Ai)
A Categoria dos
Portadores de
Diabetes P(Ai|X)
Velhos 44,00% 3,00% 62,56%
Jovens 33,00% 1,00% 15,64%
Crianças 23,00% 2,00% 21,80%
TOTAL 100,00% 2,11% 100,00%
Diabetelândia Médicos, ao chegar um paciente diabético, é muito grande (62,56%) dele ser velho.
I. P(X | Ai) ≠ P(Ai | X) II. P(X Ai) = P(A i X) III. Pela definição de probabilidade condicional
| ∩
Temos que: P(X Ai) = P(X|Ai) P(Ai). Dessa forma podemos fazer:
|∩
∩
∩ ∩ ⋯ ∩
Ou, usando a definição de probabilidade condicional:
|∩
P X|A P A
P X|A P A P X|A P A ⋯ P X|A P A
∩∑ P X|A P A
Este resultado recebe o nome de Teorema de Bayes.
USANDO TABELA De acordo com o desenvolvimento anterior poderemos realizar os cálculos por meio de uma tabela. Assim
USANDO O EXCEL Já que podemos fazer uma tabela, podemos também realizar tudo no Excel.
Abra uma pasta de trabalho e introduza os títulos conforme a figura abaixo:
Partição do
Espaço
Amostral Ai
Participação da
Partição no
Espaço Amostral
P(Ai)
P(X|Ai)
conhecido
P(X Ai) = P(X|Ai).P(Ai)
P(Ai|X)
A1 P(A1) P(X|A1) P(A1) * P(X|A1) [P(A1) * P(X|A1)]/SOMA
A2 P(A2) P(X|A2) P(A2) * P(X|A2) [P(A2) * P(X|A2)]/SOMA
A3 P(A3) P(X|A3) P(A3) * P(X|A3) [P(A3) * P(X|A3)]/SOMA
...
...
...
An P(An) P(X|An) P(An) * P(X|An) [P(An) * P(X|An)]/SOMA
TOTAL 100,00% SOMA
Espaço Amostral
Fs
PcZ
PGja
N
N=
Spfu
V
Faça 100 paselecionar o
Para criarmocélulas ondeZEROS des
Para se nomG2:G101, deanela:
Na caixa No
Na c=DESLOC(P
Selecione oplanilha comunção SOM
Vamos ente
artições do o intervalo A
os uma plane existirem snecessário
mear um intepois na gu
ome: ProbIn
caixa PLAN1!$G$
o intervalo m dados e pMA na célula
ender o que
espaço amA2:A101 e c
nilha com revalores, des, pois não
ervalo de cuia Formata
nterseção
Refere-se$2;0;0;CON
G2:G101 eprecisamos a D101..
fizemos. P
ostral (achocolocar os tí
ecursos avaixando o refaremos cá
élulas no Ear, no grupo
e a:T.NÚM(Pla
e escolha disto para
rimeiro, por
o que fica oítulos Ai.
ançados doesto das célálculos naq
Excel, proceo Nomes De
intran1!$G$2:$G
a cor branevitarmos a
r que usar a
o suficiente,
o Excel, vamulas em brauelas linhas
demos seleefinidos, esc
roduza G$101;1)).
nca para a as referenc
a função DE
não?). Com
mos definir uanco, evitans.
ecionando ocolhemos D
a Dê OK.
fonte. Issoias circulare
ESLOC?
m isso prec
um nome ando assim c
o intervalo dDefinir Nome
seguinte
o para não es do Exce
isamos
o intervalo colunas com
de células e. Aparecer
fórm
poluir a nol ao introdu
de m
rá a
mula:
ossa uzir a
Esta função embutida do Excel retorna uma referência a um intervalo que possui um número específico de linhas e colunas com base em um referência especificada (no nosso caso se houver número e a existência ou não de números é identificado com a função CONT.NÚM que falaremos abaixo). A sintaxe da função DESLOC é: =DESLOC(ref;Lins;cols;altura;largura). Os argumentos em negrito são obrigatórios e os outros são opcionais.
A função CONT.NÚM calcula o nº de células em um intervalo que contém números. Sua sintaxe é: CONT.NÚM(valor1;valor2;....). Novamente os argumentos em negrito são obrigatórios. Aqui usamos valor2 = 1, para não retornar zero quando não encontrar número e com isso causando um erro de altura na função DESLOC.
Dessa forma a função DESLOC nomeará o intervalo na coluna G que tiver números e com isso não serão introduzidos zeros quando a célula estiver em branco na coluna D que apresenta a fórmula SOMA(DADOS) na célula D101.
Voltemos à célula D2 e introduzimos a fórmula: =SE(B2=””;””;B2*C2) e na célula E2, introduzimos: =SE(D2=””;””;D2/$D$102).
A planilha ficou pronta. Agora é só salvar e guardar com carinho para quando precisar.
DIAGRAMA DE ÁRVORE O diagrama de árvore ajuda a montar o problema e fazer as contas.
Voltemos à cidade Diabetelândia e vemos que lembremos que a população foi dividida em 3 categorias de habitantes (velhos, jovens e crianças). Algumas das pessoas de cada categoria eram portadoras de diabetes.
Então, estabelecendo que X é portador e não é portador, temos
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1. Uma urna A contém 3 fichas vermelhas e 2 azuis, e uma urna B contém 2 vermelhas e 8 azuis. Joga-
se uma moeda “honesta”. Se a moeda der cara, extrai-se uma ficha da urna A; se der coroa, extrai-se uma ficha da urna B. Uma ficha vermelha é extraída. Qual a probabilidade de ter saído cara no lançamento da moeda?
Solução A B
P(A) = P(Ca) = (1/2) P(V|A) = (3/5) = 60% = P(V|Ca)
P(B) = P(Co) = (1/2) P(V|B) = (2/10)= 40% = P(V|Co)
Pelo Teorema de Bayes, temos
|∩
P X|A P A
P X|A P A P X|A P A ⋯ P X|A P A
∩∑ P X|A P A
X 0,44 x 0,03 = 0,0132 ou 1,32% 0,0132
0,02110,6256 62,56%
3%
V
97%
44%
X 0,33 x 0,01 = 0,0033 ou 0,33% 0,0033
0,02110,1564 15,64%
1%
33%
J
99%
23%
X 0,23 x 0,02 = 0,0046 ou 0,46% 0,0046
0,02110,2180 21,80%
2% ______________
C 0,0211 ou 2,11%
98%
3 V
2 A
2 V
8 A
Queremos encontrar a probabilidade de sair cara dado a bola ser vermelha, isto é P(Ca|V)
2
|
Temos, pA por te
Na plani
Faça o e
2. A caixa Aescolhida tenha vind
Solução
A
P(A) = (
P(B) = (
Pelo Teo
|
|
Temos, extraída
Na plani
1 2 3 45 6 7 89
∩
310
portanto, er obtido
ilha Excel
exercício
A tem 9 cartao acaso e
do de A?
B
(1/2)
(1/2)
orema de B
∩
4
portanto,a da urna
ilha Excel
4 8
1 2 5
∩
0208
6080
75% de pcara no l
l, preench
usando a
tas numeraduma carta é
B
P(par|A)
P(par|B)
Bayes, tem
P X|A
∩
418
40 36180
41
, 52,63% A.
l, preench
3 4
∩P V|A
0
34
0,75
robabilidlançamento
ha apenas
árvore.
das de 1 a 9é retirada. Se
) = (4/9)=
) = (2/5)=
mos
P A P
∩P
418
18076
7
de proba
ha apenas
Queremosda urna P(A|par)
P V|A P AP A P V
5 75%
dade de quo da moeda
a área az
9. A caixa Be o número
= 44,44%
= 40%
P X|A PP X|A P A
P papar|A P A
4076
1019
abilidade
a área az
s encontrA dado q.
AV|B P B
ue a bola a.
zul:
B tem 5 carté par , qual
A⋯ P
r|A P AP par|B
0,5263 5
de que
zul:
rar a probque o seu
35
12
35
12
210
vermelha
tas numerada probabilid
X|A P A
P B 49
52,63%
a carta
babilidadnúmero é
12
310
310
seja extr
das de 1 adade de que
∑ P
49
12
12
25
12
de núme
de da caré par, is
0220
3106 220
raída da u
5. Uma caa carta sort
∩X|A P A
418
418
210
ero par s
rta vir sto é
2
urna
ixa é teada
seja
3
4
3. Num colémulheres.homem?
Solução
A =
P(M) = 6
P(H) = 4
Pelo Teo
|
|
Temos, paltura ehomem, h
Na plani
4. Uma caixprobabilidQual a pro
Solução
A =
B =
C =
gio, 4% dos Um estuda
evento te
60% P
40% P
orema de B
∩
∩
0,0160,022
portanto, escolhidohá mais ho
ilha Excel
xa tem 3 moade de ocorobabilidade d
primeira
segunda m
terceira
s homens e ante é escol
er mais de
P(A|M) = 1
P(A|H) = 4
Bayes, tem
P X|A
∩P
62
811
0,
72,73% d ao acasoomens com
l, preench
oedas: uma rrer cara nesde que a 3ª m
moeda,
moeda,
moeda
1% das mulhido ao aca
e 1,75 m d
1%
4% Quer
mos
P A P
P AP A|H P H
7273 72
de probabio seja hoaltura su
ha apenas
não viciadasta moeda émoeda tenha
ulheres têm aso e tem m
de altura.
remos P(H|
P X|A PP X|A P A
|H P HP A|M
,73%
ilidade deomem. Embouperior a
a área az
a, outra comé 1/5. Uma ma sido a selec
mais de 1,7mais de 1,75
.
|A)
A⋯ P
P M0,0
e que o esora o col1,75 m do
zul:
m 2 caras emoeda é secionada?
5 m de altu5 m. Qual a
X|A P A
0,04 0,404 0,40 0,
studante cégio tenho que mulh
e uma tercelecionada ao
ra. 60% dosa probabilida
∑ P
40,01 0,60
com mais ha mais mheres.
eira viciada, o acaso na
s estudantesade de que
∩X|A P A
0,0160,016 0,0
de 1,75 mmulher do
de modo qcaixa. Saiu
s são seja
006
m de que
ue a cara.
5
P(A) = 1
P(B) = 1
P(C) = 1
Pelo Teo
|
|
Temos, p3ª moeda
Na plani
5. A probabiprobabilide C, respcomprou s
Solução
A =
B =
C =
P(A) = 3
P(B) = 1
P(C) = 1
Pelo Teo
|
1/3 P
1/3 P
1/3 P
orema de B
∩
∩
0,5
portanto, a quando e
ilha Excel
lidade de umades se os iectivamenteseja da class
classe A,
classe B,
classe C
3/4 P
1/5 P
1/20 P
orema de B
∩
|
P(Ca|A) =
P(Ca|B) =
P(Ca|C) =
Bayes, tem
P X|A
∩
0,20
5013 0,
11,76% desta for e
l, preench
m indivíduo ndivíduos co. Certa loja se B?
,
P(car|A) =
P(car|B) =
P(car|C) =
Bayes, tem
P X|A
∩
110
34
0,5714
50% ou 1/
100% ou 1
20% ou 1/
mos
P A P
P Ca|A
1/3
,2013 1
de probabiescolhida
ha apenas
de classe Aomprarem umvendeu um
= 1/10
= 3/5
= 3/10
mos
P A P
∩
35
15
35
15
310
57,14%
/2
1
/5
P X|A PP X|A P A
P CP A P C
113
0,5
ilidade deao acaso.
a área az
A comprar umm carro da mcarro da ma
Qu
P X|A PP X|A P A
P car|A P
120
340
Querem
A⋯ P
Ca|C P CCa|B P B
0,2050 1 0,2
e que a f.
zul:
m carro de 3marca x são arca x. Qua
ueremos P(
A⋯ P
P car|A P car|325325
3200
mos P(C|Ca
X|A P A
P Ca|C P C
200,201,70
ace cara
3/4, da B é d1/10, 3/5 e 3l a probabili
(B|car)
X|A P A
B P BB P B P
325
15 24200
a)
∑ P
C217
0,117
seja apre
de 1/5 e da 3/10, dado qudade de que
∑ P
P car|C P C
3325
2
∩X|A P A
76 11,76%
esentada p
C é de 1/20ue sejam dee i indivíduo
∩X|A P A
20042
47
%
pela
0. As A, B
o que
6
Temos, indivídu
Na plani
6. Um certo experiêncusada, exusada, a cde 50%. Stenha sido
Solução
P(A) = 4
P(B) = 6
Pelo Teo
|
|
Temos, plimite u
Na plani
portanto,uo da clas
ilha Excel
programa pia tem most
xiste 75% dechance é deSe o prograo a escolhida
40% P
60% P
orema de B
∩
0,75
portanto, usando a s
ilha Excel
57,14% sse B.
l, preench
pode ser ustrado que a e chance de e 50%. Se o ma foi realiz
a?
P(resultad
P(resultad
Bayes, tem
P X|A
∩
0,75 0,45 0,40 0,550,00% de
sub-rotina
l, preench
de proba
ha apenas
ado com umsub-rotina Aque o progrprograma fo
zado dentro
do|A) = 75
do|B) = 50
mos
P A P
050 0,60
0
e probabia A.
ha apenas
abilidade
a área az
ma entre duA é usada 40rama chegu
oi realizado ddo limite de
5%
0%
P X|A PP X|A P A
∩
0,300,30 0,30lidade de
a área az
de que
zul:
as sub-rotin0% das vezee a um resudentro do lime tempo, qua
Quere
A⋯ P
P res
0,300,60
12
e que o re
zul:
o carro
as A e B, des e B é usaultado dentromite de tempoal a probabil
emos P(A|r
X|A P A
P resusultado|A P
0,5000
esultado f
foi comp
dependendo ada 60% da
o do limite do. Se B é uslidade de qu
resultado
∑ P
ultado|A PA P res
50,00%
foi atingi
prado por
do problemas vezes. See tempo. Sesada, a chanue a sub-roti
).
∩X|A P A
Aultado|B P
ido dentro
r um
ma. A e A é e B é nce é na A
B
o do
7. A urna X contém 2 bolas azuis, 2 brancas e 1 cinza, e a urna Y contém 2 bolas azuis, 1 branca e 1 cinza. Retira-se uma bola de cada urna. Calcule a probabilidade de saírem 2 bolas brancas sabendo-se que são bolas de mesma cor?
Solução
X Y
A cor da bola que sai da segunda urna não é influenciada pela cor da bola que saiu da primeira urna, isto é os eventos são independentes.
P(mesma cor) = P(BB) + P(AA) + P(C C)= P(B).P(B) + P(A).P(A) + P(C).P(C) = (2/5)(1/4) + (2/5)(2/4) + (1/5)(1/4) = (2/20)+(4/20)+(1/20) = (7/20) = 0,35 ou 35%
Agora
P BB|mesmacor ∩
8. Uma companhia de transporte urbano tem três linhas numa cidade, de forma que 45% dos ônibus cobrem o serviço da linha 1, 25% cobre a linha 2 e 30% cobre o serviço da linha 3. Sabe-se que a probabilidade de que, diariamente, um ônibus quebre é de 2%,3% e 1%, respectivamente, para cada linha.
a. Calcular a probabilidade de que, em um dia, um ônibus quebre.
b. Calcular a probabilidade de que, em um dia, um ônibus não quebre.
c. De que linha de transporte é mais provável que um ônibus quebre?
Solução
A1 = Cobre o serviço da linha 1
A2 = Cobre o serviço da linha 2
A3 = Cobre o serviço da linha 3
B1 = Quebra
B2 = Não quebra
P(A1) = 45% = 0,45 P(A2) = 25% = 0,25 P(A3) = 30% = 0,3
P(B1|A1) = 2% = 0,02 P(B1|A2) = 3% = 0,03 P(B1|A3) = 1% = 0,01
P(B2|A1) = 1 - P(B1|A1) = 1 - 0,02 = 0,98
P(B2|A2) = 1 - P(B1|A2) = 1 - 0,03 = 0,97
P(B2|A3) = 1 - P(B1|A3) = 1 - 0,01 = 0,99
a. A probabilidade de que, em um dia, um ônibus quebre, representada por P(B1), é encontrada pela probabilidade total:
2 A
2 B
1 C
2 A
1 B
1 C
Após retirar uma bola de cada urna queremos saber P(B B|mesma cor).
0
9
P(B1)P(B1)P(B1)
b. A proé encP(B2)P(B2)P(B2) Ou ta
c. Para quebr
|
1
0,4615 46
2
3
Temode u
Na p
9. Uma empNo passad.recebera
a. Calcule
b. Calcule
c. Calcule
= P(A1 = P(A1). = 0,45.0
obabilidadcontrada p = P(A1 = P(A1). = 0,45.0
ambém, sab
encontrarrar, aplic
∩
1| 1
6,15%
| 1
| 1
os, portanum ônibus
planilha E
presa dedicado 90% dos um relatório
e a probabilid
e a probabilid
a probabilid
B1) + P(P(B1|A1) +0,02 + 0,2
de de que,pela proba B2) + P(P(B2|A1) +0,98 + 0,2
bendo-se q
rmos a lincamos o te
P X|A
1∩ 1
1
1
2 ∩ 1
1
3 ∩ 1
1
nto, a liquebrar.
Excel, pre
da à comerctelevisores q
o favorável de
dade de que
dade de que
dade de que
A2 B1) ++ P(A2).P(25.0,03 +
, em um diabilidade A2 B2) ++ P(A2).P(25.0,97 +
que P(B2)
nha de traeorema de
P A P
1∩ 1
1
1
1 ∩ 2
1
1 ∩ 3
1
nha A1 ap
eencha ape
cialização deque comerciae pesquisa fo
os televisore
os televisore
um televisor
+ P(A3 BB1|A2) + P0,30.0,01
ia, um ônitotal:
+ P(A3 BB2|A2) + P0,30.0,99
= 1 – P(B
ansporte qBayes a c
P X|A PP X|A P A
1| 1 1
P 1| 2
P 1| 3
presentand
enas a áre
e televisoresalizou tiveraoi de 85% e
es exitosos r
es não exitos
r receba um
B1) P(A3).P(B1|1 = 0,0195
ibus não q
B2) P(A3).P(B2|9 = 0,9805
B1) = 1 –
que seja acada uma d
A⋯ P
1| 1 1
1| 2 2
2 P 2
1
3 P 3
1
do a maior
ea azul:
s está considm êxito e 1035%, respec
ecebem um
sos recebam
relatório favo
|A3) 5 ou 1,95%
quebre, re
|A3) 5 ou 98,05
0,0195 =
a mais prodas linhas
X|A P A
1| 3 3
0,03 0,250,0195
0,01 0,300,0195
r chance
derando com0% não. Sabectivamente.
relatório des
m um relatório
orável de pes
%
epresenta
5%
0,9805 ou
ovável des. Assim
∑ P
3, ,
,
0,3846
0,1538
(maior pr
mercializar ume-se que a p
sfavorável de
o desfavoráv
squisa. P(B1
da por P(
u 98,05%.
um ônibu
∩X|A P A
38,46%
15,38%
robabilida
m novo televprobabilidade
e pesquisa
vel de pesqui
) = 0,8
B2),
s
ade)
visor. e que
isa.
1
P
P
Pp
Pp
P
P
d. Calcule
e. Qual é
Solução
A1 = Tel
A2 = Tel
B1 = Rel
B2 = Rel
P(B1|A1)
P(B1|A2)
a. P(B2|b. P(B2|c. P(B1)d. P(B2)e. Aqui
No E
0. A probab
Existem pa doença doença é
a. Qual Calcu
b. Qual éCalcu
Solução
P(A1) = Pro
P(A2) = Pro
P(B1|A1) = pessoa est
P(B1|A2) = pessoa não
P(B2|A1) =
P(B2|A2) =
e a probabilid
a probabilida
levisores
levisores
latório fa
latório de
= 85%
= 35%
|A1) = 15|A2) = 65) = P(A1)) = P(A1) queremos
1| 1
xcel:
ilidade de qu
rovas de diaestiver realde 0,95.
é a probabilar à mão e né a probabililar à mão e n
obabilida
obabilida
Probabiliteja doent
Probabilio esteja d
1 – P(B1|
1 – P(B1|
dade de que
ade de que o
exitosos
não exito
avorável d
esfavoráve
5% 5% .P(B1|A1).P(B2|A1)s P(A1|B1
1 ∩ 1
1
0,85
ue uma pess
agnóstico mémente prese
lidade de seno Excel. idade de nãono Excel.
de de que
de de que
idade de qte = 0,95
idade de qdoente = 0
A1) = 1 –
A2) = 1 –
um televisor
o equipamen
osos
de pesquis
el de pesq
+ P(A2). + P(A2).) e será 1 1 ∩
10,85 0,900,90 0,35
soa tenha um
édico disponíente, a proba
e ter a doen
o ter a doenç
uma pess
uma pess
que o diaou 95%.
que o dia0,05 ou 5%
0,95 = 0
0,05 = 0
r receba um
nto do televis
sa
quisa
.P(B1|A2)
.P(B2|A2)encontra
∩ 1
1P
5 0,10 0,7
ma determina
íveis para deabilidade de
nça, se a p
ça, se a prov
oa tenha
oa não te
agnóstico
agnóstico %.
,05 ou 5%
,95 ou 95
relatório des
sor tenha êxit
P(A1) =
P(A2) =
= 0,90x0,= 0,90x0,ado pelo
P 1|
1| 1 P 10,7650
7650 0,03
ada doença é
eterminar se e que a prov
prova de dia
va de diagnó
determina
enha deter
indique a
indique a
%
sfavorável de
to no mercad
90%
10%
,85 + 0,1,15 + 0,1teorema | 1 P 1
P 1| 2
500,7650,8
é 0,02.
uma pessoava de diagnó
gnóstico ind
óstico não in
ada doença
rminada do
a presença
a presença
e pesquisa. P
do? P(A1|B1)
10x0,35 =10x0,65 =de Bayes
2 P 250
0,9563
a tem realmeóstico indiqu
dica a prese
ndica a prese
a = 0,02 o
oença = 0,
a da doenç
a da doenç
P(B2) = 0,2
= 0,9563
= 0,8 = 0,2 s
95,63%
ente a doençae a presenç
ença da mes
ença da mes
ou 2%.
98 = 98%.
ça dado qu
ça dado qu
a. Se ça da
sma?
sma?
ue a
ue a
0
1
a. O quprov
P
|
1
0,2794 2
b. AgordadoP(B2
No Exce
1. Uma fábrproduz 15defeito. A
a. Se se
b. De qu
Solução
P(A1) =
P(A2) =
P(A3) =
P(B1|A1)
P(B1|A2)
ue queremva de diaPara isso
∩
1| 1
7,94%
ra o que o que o d2) = 1 –
2| 2
el:
rica de sacol5% das sacol
máquina 3 p
elecionarmos
ual máquina
Probabili
Probabili
Probabili
= Probab
= Probab
mos é a agnósticoo usamos
P X|A
1∩ 1
1
1
queremodiagnóstiP(B1) = 1
2 ∩ 2
2
as tem 3 málas, com 1% produz 40% d
s uma sacola
é mais prov
idade da s
idade da s
idade da s
ilidade d
ilidade d
probabilio indica o teorema
P A P
1∩ 1
1
1
s é a prico NÃO i1 – 0,068
2 ∩
2
áquinas indedelas com d
das sacolas,
a aleatoriame
ável que saia
sacola ser
sacola ser
sacola ser
da sacola
da sacola
idade de a presena de Baye
P X|A PP X|A P A
1| 1
1| 1 1
robabilidindica a 80 = 0,93
2 P 2|
0
pendentes qdefeito. A má, com 2% de
ente, qual é
a uma sacol
r produzid
r produzid
r produzid
com defei
com defei
uma pesnça da meses:
A⋯ P
1
1| 2 2
dade de upresença
320 ou 93
2 P 2
,9320
que produzemáquina 2 prodelas com defe
a probabilida
a, se a saco
da pela má
da pela má
da pela má
ito vir da
ito vir da
soa ter sma = P(A
X|A P A
,
, ,
uma pessoa da mesm3,20%
0,95 0,980,9320
m o mesmo tduz 45% daseito.
ade de que e
la não tem d
áquina 1 =
áquina 2 =
áquina 3 =
a máquina
a máquina
a doençaA1|B1).
∑ P
,
, ,
oa NÃO tma = P(A
80,9989
tipo de sacos sacolas, co
ela seja defe
defeito?
= 15%
= 45%
= 40%
1 = 1%
2 = 3%
a dado qu
∩X|A P A
,
,
er a doeA2|B2). Ai
99,98%
olas. A máquom 3% delas
eituosa?
ue a
ença inda
ina 1 s com
P(B1|A3) = Probabilidade da sacola com defeito vir da máquina 3 = 2%
P(B2|A1) = Probabilidade da sacola boa, vir da máquina 1 = 1 - P(B1|A1) = 99%
P(B2|A2) = Probabilidade da sacola boa, vir da máquina 2 = 1 - P(B1|A2) = 97%
P(B2|A3) = Probabilidade da sacola boa, vir da máquina 3 = 1 - P(B1|A3) = 98%
a. Queremos a probabilidade de que a sacola seja defeituosa. P(B1) ? P(B1) = P(B1 A1) + P(B1 A2) + P(B1 A3) P(B1) = P(A1). P(B1|A1) + P(A2). P(B1|A2)+ P(A3). P(B1|A3) P(B1) = 0,15x0,01 + 0,45x0,03 + 0,40x0,02 = 0,0015 + 0,0135 + 0,0080 = 0,0230 ou 2,30%
b. Para sabermos qual a máquina mais provável de produzir uma sacola sem defeito (boa), basta aplicarmos o Teorema de Bayes a todas as máquinas e elegermos a maior probabilidade: P(B2) = 1 – P(B1) = 1 – 0,0230 = 0,9770
1| 21 ∩ 2
2
2 ∩ 1
2P 2| 1 P 1
0,97700,99 0,150,9770
0,1520 15,20%
2| 22 ∩ 2
2
2 ∩ 2
2P 2| 2 P 2
0,97700,97 0,450,9770
0,4468 44,68%
3| 23 ∩ 2
2
2 ∩ 3
2P 2| 3 P 3
0,97700,98 0,400,9770
0,4012 40,12%
A máquina mais provável de produzir uma sacola boa é a máquina 2 com uma probabilidade 44,68%.
12. O primeiro ano de bacharelado no curso de Administração de uma Universidade é integrado por 35 estudantes que se especializarão em Recursos Humanos (RH), 47 em Agronegócios e 40 em Finanças e 38 em Administração Geral. Sabe-se que a probabilidade que um estudante seja reprovado é de 5%, 4%, 3% e 4%, respectivamente. Qual a especialidade é mais provável que seja o estudante, se sabemos que ele ficou reprovado?
Solução
P(A1)=Probabilidade do estudante cursar a especialidade RH=(35/160)=0,2188 ou 21,88%
P(A2)=Probabilidade do estudante cursar a especialidade Agronegócios=(47/160)=0,2938 ou 29,38%
P(A3)=Probabilidade do estudante cursar a especialidade Finanças=(40/160)=0,2500 ou 25,00%
P(A4)=Probabilidade do estudante cursar a especialidade Administração Geral=(38/160)=0,2375 ou 23,75%
P(B1|A1) = Probabilidade dos alunos de RH serem reprovados = 5% = 0,05.
P(B1|A2) = Probabilidade dos alunos de Agronegócios serem reprovados = 4% = 0,04
P(B1|A3) = Probabilidade dos alunos de Finanças serem reprovados = 3% = 0,03.
P(B1|A4) = Probabilidade dos alunos de Adm. Geral serem reprovados = 4% = 0,04
A especialidade mais provável de vir um aluno reprovado é encontrada verificando-se o maior dos P(Ai|B1) (probabilidade da especialidade dado que o aluno é reprovado).
P(B1) = P(B1 A1) + P(B1 A2) + P(B1 A3) + (B1 A4) P(B1) = P(A1). P(B1|A1) + P(A2). P(B1|A2)+ P(A3). P(B1|A3)+ P(A4). P(B1|A4)
P(B1)+ 0,0
A eAgro
= 0,21880075 + 0,0
1| 1
2|1
3| 1
4| 1
specialidnegócios.
8x0,05 + 00095 = 0,0
1 ∩ 1
1
2 ∩ 1
1
3 ∩ 1
1
4 ∩ 1
1dade mai.
0,2938x0,00397 ou 3,
1 ∩
1
1 ∩
1
1 ∩
1
1 ∩
1is prová
04 + 0,25,97%
1 P 1|
0
2 P 1|
0
3 P 1
0
4 P 1
0ável de
00x0,03 +
1 P 1
0,0397
| 2 P 2
0,0397
| 3 P 3
0,0397
| 4 P 4
0,0397vir um
+ 0,2375x0
0,05 0,210,0397
0,2938x0,0
0,0397
0,2500x0
0,0397
0,2375x0
0,0397 aluno
0,04 = 0,0
1887
0,275
040,2960
0,03
70,188
0,04
70,239
reprovad
0109 + 0,0
56 27,56
0 29,60%
89 18,89%
93 23,93%
do é a
0118
6%
%
%
%
do
X 0,44 x 0,03 = 0,0132 ou 1,32% ,
,0,6256 62,56%
3%
V
97%
44%
X 0,33 x 0,01 = 0,0033 ou 0,33% ,
,0,1564 15,64%
1%
33%
J
99%
23%
X 0,23 x 0,02 = 0,0046 ou 0,46% ,
,0,2180 21,80%
2% ______________
C 0,0211 ou 2,11%
98%
Velhos
4.400 =
4.268 + 132
Jovens
3.300 =
3.267 + 33
Crianças 2.300 = 2.254 + 46
132
46
33