Download - Eletromagnetismo - Exercícios para praticar
127
Circuitos magnéticos são usados para concentrar o efeito magnético de uma corrente em uma região particular do espaço. Em palavras mais simples, o circuito direciona o fluxo magnético para onde ele é necessário. Um circuito magnético pode ser construído a partir de uma variedade de seções com diferentes comprimentos, e diferentes propriedades magnéticas. As características magnetizantes dos materiais são não lineares, e isso deve ser levado em conta nos projetos de dispositivos eletromagnéticos. Um problema típico seria a determinação da corrente requerida em um enrolamento para produzir uma dada densidade de fluxo no entreferro de um pequeno atuador, relé ou eletromagneto 19.1 -CIRCUITOS MAGNÉTICOS LINEARES São considerados magneticamente lineares os circuitos magnéticos onde a permeabilidade relativa é baixa. Circuitos magneticamente lineares podem ser obtidos quando o núcleo é de ar, ou de material não-ferromagnético, ou quando o entreferro for bastante grande. 19.1.1 - Analogia com Circuitos Elétricos Consideremos o dispositivo da figura 19.1, onde o núcleo é formado por um material magnético ( µ µ⟩ 0 ).
figura 19.1 - Circuito magnético Pela lei de Ampére teremos:
� �
H dL Il
.∫ = (19.1)
Considerando que H (em módulo) é constante ao longo do caminho mostrado na figura teremos: N I H lm. .= (19.2)
19
CIRCUITOS MAGNÉTICOS LINEARES E NÃO LINEARES
V
i
N
φ
128
H
N Il
A esp mm
=.
( . / )
(19.3)
onde lm é o caminho médio percorrido por ϕm . O termo N.I será chamado de força magnetomotriz (Fmm).
Como &
B = µH , teremos:
BN I
lm=
µ. .
(19.4)
e o fluxo magnético ϕm será: ϕm B S= . (19.5)
ϕµ
mm
Fmml
S= .
(19.6)
ϕmFmm
=ℜ
(19.7)
O termo ℜ = l
Sm
µ (19.7)
é chamado de relutância do circuito magnético (dificuldade imposta à circulação do fluxo magnético), e tem como unidade : A/Wb.esp. Considere agora o circuito elétrico da figura 19.2 Para esse circuito elétrico temos:
RlS
= ρ
(19.8)
IVR
=
(19.9)
Portanto, para a corrente elétrica:
IFem
RFem
lS
= = ρ
(19.10)
Podemos montar um circuito análogo ao circuito elétrico, para o circuito magnético:
V i
R figura 19.2 -
Circuito elétrico análogo
129
Circuito Magnético Circuito Elétrico Fmm = N.I Fem = V
Fluxo Magnético = ϕm Corrente elétrica = I
Relutância = ℜ Resistência Elétrica = R Permeabilidade = µ Condutividade = σ Permeância = 1 ℜ Condutância = G R= 1
Exemplo 19.1
Para o dispositivo da figura 19.1, têm-se: I = 5 A, N = 100 esp., M = 10 cm, Q = 8 cm, S = 2 cm2, µ r = 1000. Calcular: a) - A relutância do circuito magnético b) - A permeância do circuito magnético c) - A intensidade de campo magnético no núcleo d) - A densidade de fluxo magnético no núcleo e) - O fluxo magnético no núcleo Resp: ℜ = 1,4x106 A/Wb.esp; Ρ = ℜ1 = 7.14x10-7 Wb.esp/A; H = 1.4x103 A.esp/m; B = 1.75
Wb/m2; ϕm = 3.5x10-4 Wb. Exemplo 19.2 Calcular o valor do fluxo magnético em cada braço da estrutura magnética da figura 19.3, dados: N = 500 espiras, I = 1,0 A, µr1 = 200, µr2 = 100.
Figura 19.3 - Estrutura ferromagnética do exemplo 19.2 Solução figura 19.4 - circuito elétrico análogo do exemplo
19.2 Para o lado do material 1:
NI H l= 1 1
l cm cm cm cm cm cm cm
cm cm cm cm cm cm1 5 5 5 5 1 1 1
1 1 1 1 1 28
= + + + + + ++ + + + + =
HNIl
Ae m11
500 10 28
178 57= =×
=,
, /
Para o lado do material 2:
NI H l= 2 2
5 5
5
2 2 2
2
2
N
medidas em cm
espessura: 2 cm
material 1 material 2
H1l1 H2l2
NI
130
HNIl
Ae m22
500 10 28
178 57= =×
=,
, /
Indução magnética no braço esquerdo: B H Tr1 1 0 1
72000 4 10 178 57 0 45= = × × × × =−µ µ π , ,
fluxo magnético no braço esquerdo:
φ1 1 14 40 4 10 1 8 10= = × × = ×− −B S Wb,45 ,
Indução magnética no braço direito: B H Tr2 2 0 2
71000 4 10 178 57 0 23= = × × × × =−µ µ π , ,
fluxo magnético no braço direito:
φ2 2 24 40 23 4 10 0 92 10= = × × = ×− −B S Wb, ,
fluxo magnético no braço central:
φ φ φc Wb= + = × −1 2
42 10,72
19.2 - CIRCUITOS MAGNÉTICOS NÃO-LINEARES São considerados não lineares todos os circuitos magnéticos que utilizam material ferromagnético, tais como ferro fundido, aço silício, aço fundido, ferrite etc. A maioria dos circuitos magnéticos reais
são não lineares, pois a permeabilidade dos materiais ferromagnéticos é variável (função de &
B no núcleo). Exemplo 19.3 As dimensões da estrutura magnética 19.5 são indicadas na tabela. O enrolamento de excitação possui 100 espiras. Determine a corrente no enrolamento para estabelecer um fluxo de 1.5x10-4 (Wb). Considere que todo o fluxo está confinado ao núcleo. Utilize as curvas de magnetização da figura 19.7. Mat. 1 - Ferro Fund. Mat. 2 - Aço-Silício
lm 0.2 m 0.4 m S 15x10-4 m2 15x10-4 m2
Solução
figura 19.5 - Estrutura ferromagnética figura 19.6 - Circuito elétrico análogo
Fmm N I H li ii
n
= ==∑. .
1
Fmm H l H l= +1 1 2 2. .
em série temos:
φ φ φ1 2415 10= = = −. ( )x Wb
φ = B S.
φ = =B S B S1 1 2 2. .
B BS
x
xWb m1 2
4
4215 10
15 1001= = = =
−
−φ .
. ( / )
2 1
131
figura 19.7a - Curvas de magnetização (extraída do livro ELETROMAGNETISMO. J. A.
Edminister, pg. 164)
figura 19.7b - Curvas de magnetização (extraída do livro ELETROMAGNETISMO. J. A. Edminister, pg. 1645)
Das curvas de magnetização temos: ferro fundido -
B Wb m H A esp m1
2101 225= ⇒ ≅. ( / ) ( . / )
aço-silício - B Wb m H A esp m2
2201 35= ⇒ ≅. ( / ) ( . / )
portanto:
132
IH l H l
N=
+1 1 2 2. .
Ix x
A=+
=225 0 2 35 0 4
1000 59
. .. ( )
Imagine que tivéssemos que escolher apenas um tipo de material, entre os materiais 1 e 2, para manter o mesmo fluxo magnético. Qual seria o escolhido?. Se o material escolhido fosse o 2 teríamos :
IH l H l
Nx x
A'. . . .
. ( )= + = + =1 1 2 2 35 0 2 35 0 4100
0 21
Se o material 1 fosse o escolhido teríamos :
Ix x
A' '. .
. ( )=+
=225 0 2 225 0 4
100135
Portanto o material escolhido seria o material 2, por requerer uma corrente (e consequentemente uma força magnetomotriz) muito menor do que a exigida no caso do material 1. Exemplo 19.4 Considere a estrutura magnética mostrada na figura 19.6. Qual é o valor da corrente que deve circular no enrolamento de 200 espiras, para que um fluxo de 1,5x10-4 Wb seja estabelecido ?, dados que S1 = 16 cm2, S2 = 20 cm2, l1 = 15 cm, l2 = 30 cm, N = 200 esp. O material é aço fundido. Solução O fluxo magnético é o mesmo, em qualquer seção:
φ φ φ= =1 2
A indução magnética na seção 1 é:
BS
T11
4
41 5 1016 10
0= =××
=−
−φ ,
,084
Da curva para o aço fundido (figura 19.5):
B T H Ae m1 10 85= ⇒ =,084 /
A indução magnética na seção 2 é:
BS
T22
4
41 5 10
20 100 075= =
××
=−
−φ ,
,
Da curva para o aço fundido (figura 19.5):
B T H Ae m2 10 075 65= ⇒ =, /
Aplicando a lei de Ampére:
NI H l H l= +1 1 2 2
I A=× + ×
=85 0 15 65 0
2000 16
, ,3,
Exemplo 19.5 Uma estrutura magnética é feita de aço-silício. Determine a corrente quer deve circular no enrolamento com 500 espiras para estabelecer um fluxo de 9x10-4 Wb no braço direito da estrutura, dados: l1 = l3 = 50 cm, l2 = 15 cm, S = 22,5 cm2.
N
1 2
figura 19.6 - estrutura ferromagnética
133
figura 19.7 - Estrutura magnética do exemplo 19.5
Solução malha I :
Fmm H l H l I= +1 1 2 2. . ( )
malha II
0 3 3 2 2= −H l H l II. . ( ) nó 1:
φ φ φ1 2 3= + ( )III
figura 19.8 - Circuito análogo do exemplo 19.5
φ349 10= −x Wb
φ3 3 3= B S.
Bxx x
Wb m3
429 10
0 05 0 05 0 90 4= =
−
. . .. /
Da curva de magnetização para o aço silício:
B H A esp m3 30 4 60= ⇒ =. . / A partir da equação (II):
HH l
lx x
xA esp m2
3 3
2
2
2
60 50 10
15 10200= =
−
−.
. /
Da curva de magnetização :
H B Wb m2 22200 107= ⇒ . /
φ2 2 2
4107 0 05 0 05 0 9 24 08 10= = = −B S x x x x Wb. . ( . . . ) .
Da equação III :
φ14 4 424 08 10 9 10 3308 10= + =− − −. .x x x Wb
BS
x
xWb m1
1
1
4
4233 08 10
22 5 10147
φ= =
−
−.
.. /
Da curva de magnetização :
B H A esp m1 1147 2050= ⇒ =. . /
Da equação I : Fmm x x x x A esp= + =− −2050 50 10 200 15 10 10552 2 . ∴ = =i A
1055500
2 11.
EXERCÍCIOS 1) - Um circuito magnético compõe-se de duas partes de mesmo material ferromagnético ( µ r 4000 ).
A parte 1 tem 50 mm de comprimento e 104 mm2 de seção reta. A parte 2 tem 30 mm de
N = 500
L1 L3
L2
134
comprimento e 120 mm2. O material está na parte da curva onde a permeabilidade relativa é proporcional à densidade de fluxo. Encontre o fluxo ϕ, supondo uma Fmm de 40 Ae.
2) - A figura abaixo mostra um circuito magnético cujos braços são de aço fundido. A parte 1 tem l1 =
34 cm, e S1 = 6 cm2. A parte 2 tem l2 = 16 cm e S2 = 4 cm2. Calcule a corrente do enrolamento I1 supondo que I2 = 0.5 A., N1 = 200 espiras, N2 = 100 espiras, e ϕ = 120 µWb.
figura do problema 2
3) - A figura abaixo mostra um circuito magnético com uma Fmm de 500 Ae. A parte 1 é de aço
fundido, com l1 = 340 mm, e S1 = 400 mm2. A parte 2 é de ferro fundido, com l2 = 138 mm e S2 =
360 mm2. Calcule o fluxo magnético.
figura do problema 3 4) - Para o circuito magnético mostrado na figura abaixo, a permeabiliade relativa é 1000. A seção
transversal é de 2 cm2, com exceção da perna central, que é de 4 cm2. Os caminhos l1 e l2 medem 24 cm, e l3 mede 8 cm. Calcular o fluxo magnético nos pontos 1 e 2.
figura do problema 4
2 1
N2
N1
F2
F1
1 2
1000 Ae 500 Ae
L1 L2
L3