Download - ELETROM 9B
-
Universidade Federal do Recncavo da Bahia Centro de Cincias Exatas e Tecnolgicas Bacharelado em Cincias Exatas e Tecnolgicas CC: Eletromagnetismo: Prof. Nilton Cardoso da Silva
CAPTULO 9
FORA MAGNTICA, MATERIAIS E INDUTNCIA
ESTUDO BASEADO NO LIVRO ELETROMAGNETISMO de WILLIAM HAYT ; W, 1993
-
CAP 9 - FORA MAGNTICA MATERIAIS E INDUTNCIA
9.6 MAGNETIZAO E PERMEABILIDADE
9.8 CIRCUITO MAGNTICO
9.9 FORA E ENRGIA POTENCIAL EM AMTERIAIS AMGNTICOS
9.10 INDUTNCIA E INDUTNCIA MTUA
9.7 CONDIES DE CONTORNO P CAMPO MAGNTICO
CONTEDO da PARTE II
-
9.6 MAGNETIZAO E PERMEABILIDADE
9.8 CIRCUITO MAGNTICO
9.9 FORA E ENERGIA POTENCIAL EM MATERIAIS AMGNTICOS
9.10 INDUTNCIA E INDUTNCIA MTUA
9.7 CONDIES DE CONTORNO P CAMPO MAGNTICO
CAP 9 - FORA MAGNTICA MATERIAIS E INDUTNCIA
DESENVOLVIMENTO da PARTE II
-
Como dipolos magnticos agem como fontes de
campos magnticos? A resposta anloga a lei
circuital de Ampre com H substitudo por M
CAP 9 - FORA MAGNTICA MATERIAIS E INDUTNCIA
9.6 MAGNETIZAO E PERMEABILIDADE
Momento do dipolo magntico
Im = corrente Orbital e do SPIN do eltron e do SPIN nuclear
dS = rea diferencial
-
Para n dipolos magnticos por volume de dipolos
magnticos
CAP 9 - FORA MAGNTICA MATERIAIS E INDUTNCIA
9.6 MAGNETIZAO E PERMEABILIDADE
O momento de dipolos magnticos pelo volume
-
m=IdS
Im
dS q
Considerando o alinhamento dos dipolos com o
percurso fechado
CAP 9 - FORA MAGNTICA MATERIAIS E INDUTNCIA
9.6 MAGNETIZAO E PERMEABILIDADE
Superfcie definida pelo percurso Fechado
m
Im
m
Im
-
O volume por unidade de dipolo dv = dS.dL = dS cosq dL
CAP 9 - FORA MAGNTICA MATERIAIS E INDUTNCIA
9.6 MAGNETIZAO E PERMEABILIDADE
O volume total dV = n dv = n dS.dL
m
Im
-
A corrente dIm cresce para cada dV
CAP 9 - FORA MAGNTICA MATERIAIS E INDUTNCIA
9.6 MAGNETIZAO E PERMEABILIDADE
Isto anlogo a lei circuital de Ampre, e diz que
caminhando ao longo do percurso fechado
encontramos o momento do dipolo
-
A lei circuital de Ampre em termos de corrente total IT
CAP 9 - FORA MAGNTICA MATERIAIS E INDUTNCIA
9.6 MAGNETIZAO E PERMEABILIDADE
onde
IT
I = corrente livre total envolvida pelo circuito
Im = corrente orbital
-
Combinando as ltimas equaes a corrente livre torna
CAP 9 - FORA MAGNTICA MATERIAIS E INDUTNCIA
9.6 MAGNETIZAO E PERMEABILIDADE
-
B = moH ento podemos escrever
CAP 9 - FORA MAGNTICA MATERIAIS E INDUTNCIA
9.6 MAGNETIZAO E PERMEABILIDADE
ento podemos ter a nova equao de H
-
Obtendo a lei circuital de Ampre em termos de corrente
livre, para as diversas densidades de corretes
CAP 9 - FORA MAGNTICA MATERIAIS E INDUTNCIA
9.6 MAGNETIZAO E PERMEABILIDADE
-
Com a ajuda do teorema de Stokes e de Im, IT e I temos
CAP 9 - FORA MAGNTICA MATERIAIS E INDUTNCIA
9.6 MAGNETIZAO E PERMEABILIDADE
-
Para um meio Isotrpico, a relao entre M e H pode
ser dada pela susceptibilidade
CAP 9 - FORA MAGNTICA MATERIAIS E INDUTNCIA
9.6 MAGNETIZAO E PERMEABILIDADE
-
Onde mR a permeabilidade magntica relativa
CAP 9 - FORA MAGNTICA MATERIAIS E INDUTNCIA
9.6 MAGNETIZAO E PERMEABILIDADE
-
A permeabilidade relativa em termo da susceptibilidade
dada por
CAP 9 - FORA MAGNTICA MATERIAIS E INDUTNCIA
9.6 MAGNETIZAO E PERMEABILIDADE
Aplicao: Dado uma ferrite com mR = 50 que
experimenta um campo com induo B = 0,05 Wb/m2:
Determine a susceptncia, a intensidade de campo
H, e a magnetizao M.
-
A susceptncia dada por
CAP 9 - FORA MAGNTICA MATERIAIS E INDUTNCIA
9.6 MAGNETIZAO E PERMEABILIDADE
cm
B
H
e
e se
-
A magnetizao M= H
CAP 9 - FORA MAGNTICA MATERIAIS E INDUTNCIA
9.6 MAGNETIZAO E PERMEABILIDADE
cm
0,05
B =
ou
A magnetizao M= 39004 A/m
-
A intensidade de campo magntico produzido
pelas correntes de magnetizao 49 vezes maior
que as produzidas pelas correntes livres
CAP 9 - FORA MAGNTICA MATERIAIS E INDUTNCIA
9.6 MAGNETIZAO E PERMEABILIDADE
0,05
B =
ou
-
As frmulas a seguir, de tensor magntico,
definem o material anisotrpico (que sofrem
magnetostrio - dimenses alteradas pelo campo)
CAP 9 - FORA MAGNTICA MATERIAIS E INDUTNCIA
9.6 MAGNETIZAO E PERMEABILIDADE
-
9.6 MAGNETIZAO E PERMEABILIDADE
9.8 CIRCUITO MAGNTICO
9.9 FORA E ENRGIA POTENCIAL EM AMTERIAIS AMGNTICOS
9.10 INDUTNCIA E INDUTNCIA MTUA
9.7 CONDIES DE CONTORNO P CAMPO MAGNTICO
CAP 9 - FORA MAGNTICA MATERIAIS E INDUTNCIA
DESENVOLVIMENTO da PARTE II
-
9.7 CONDIES DE CONTORNO P/ CAMPO MAGNTICO
CAP 9 - FORA MAGNTICA MATERIAIS E INDUTNCIA
Seja a figura a seguir, que mostra a fronteira de
dois materiais lineares, homogneo e
isotrpicos magnticos diferentes m1 e m2. As
condies de contorno so obtidas tomando
uma superfcie cilndrica de contorno corte.
-
9.7 CONDIES DE CONTORNO P/ CAMPO MAGNTICO
CAP 9 - FORA MAGNTICA MATERIAIS E INDUTNCIA
Bn1 m1
m2
Bn2
an12 Area DS
Ht2
DL
Ht1 K
-
A relao entre as componentes normais de M fixada
desde que B e H sejam conhecidos, ento.
9.7 CONDIES DE CONTORNO P/ CAMPO MAGNTICO
CAP 9 - FORA MAGNTICA MATERIAIS E INDUTNCIA
Da lei circuital de Ampre
-
Ht1
A um pequeno circuito fechado pertencente ao
plano normal superfcie, obtemos
9.7 CONDIES DE CONTORNO P/ CAMPO MAGNTICO
CAP 9 - FORA MAGNTICA MATERIAIS E INDUTNCIA
(H1
A componente de corrente superficial normal ao plano
Identificando as componentes tangenciais de corrente
-
AN12 o vetor unitrio normal na fronteira 1 p/ 2
9.7 CONDIES DE CONTORNO P/ CAMPO MAGNTICO
CAP 9 - FORA MAGNTICA MATERIAIS E INDUTNCIA
Para B tangencial tem-se
A condio de contorno para a componente tangencial
do vetor de magnetizao
Se o material for no condutor, a densidade de corrente
nula, o que simplifica as 3 ltimas equaes
-
9.6 MAGNETIZAO E PERMEABILIDADE
9.8 CIRCUITO MAGNTICO
9.9 FORA E ENRGIA POTENCIAL EM AMTERIAIS AMGNTICOS
9.10 INDUTNCIA E INDUTNCIA MTUA
9.7 CONDIES DE CONTORNO P CAMPO MAGNTICO
CAP 9 - FORA MAGNTICA MATERIAIS E INDUTNCIA
DESENVOLVIMENTO da PARTE II
-
Resolver circuitos magnticos anlogo a resoluo de
circuitos eltricos, ressalvando a natureza no linear das
partes ferromagnticas dos circuitos ferromagnticos,
aplicados em transformadores
CAP 9 - FORA MAGNTICA MATERIAIS E INDUTNCIA
9.8 CIRCUITO MAGNTICO
Para o estudo de circuitos magnticos, comecemos
pelas equaes de campos eltricos
-
O potencial escalar magntico Vm, tambm conhecido
como fora magnetomotriz ou fmm em analogia a fem ou V
CAP 9 - FORA MAGNTICA MATERIAIS E INDUTNCIA
9.8 CIRCUITO MAGNTICO
A ddp entre 2 pontos de um circuito dada por
O anlogo entre a fmm e o campo magnetosttico
-
A lei de Ohm para o circuito eltrico dada pela relao
CAP 9 - FORA MAGNTICA MATERIAIS E INDUTNCIA
9.8 CIRCUITO MAGNTICO
No circuito magntico temos seu anlogo, a densidade
de fluxo magntico
-
A corrente total de um circuito eltrico dada por
CAP 9 - FORA MAGNTICA MATERIAIS E INDUTNCIA
9.8 CIRCUITO MAGNTICO
Da mesma forma o fluxo magntico atravs da
seo do circuito magntico dado por
-
Como a resistncia a relao entre tenso e corrente
CAP 9 - FORA MAGNTICA MATERIAIS E INDUTNCIA
9.8 CIRCUITO MAGNTICO
A relutncia magntica a relao entre fora
magnetomotriz e o fluxo magntico
Vm = F R
-
Como a resistncia eltrica, proporcional ao
comprimento e inversamente proporcional a seo.
CAP 9 - FORA MAGNTICA MATERIAIS E INDUTNCIA
9.8 CIRCUITO MAGNTICO
A relutncia magntica de materiais homogneos,
lineares e isotrpicos, como o ar, proporcional ao
comprimento e inversamente proporcional a seo.
-
CAP 9 - FORA MAGNTICA MATERIAIS E INDUTNCIA
9.8 CIRCUITO MAGNTICO
No circuito eltrico, a lei de kirchhoff fornece a tenso
resultante pela integral de E no circuito fechado
Analogamente, no circuito magntico temos a lei de
circuital de Ampre oferecendo a corrente total, o que
determina a fmm no circuito fechado de N espiras.
N
I
-
Aplicao: Seja um toride de ar de 500
[espiras], com seo reta de S = 6 [cm2],
um raio mdio de R =15[cm], submetido a
uma corrente de I = 4[A]. O campo
magntico est confinado no seu
Interior.
CAP 9 - FORA MAGNTICA MATERIAIS E INDUTNCIA
9.8 CIRCUITO MAGNTICO
S
N
I
R
-
Pede-se: A) a fmm ouF ,
B) a relutncia se m = 4p10-7
C) o fluxo magntico F
D) a induo magntica B
E) a intensidade de campo H,
usando B e depois pela lei circuital de
Ampre
CAP 9 - FORA MAGNTICA MATERIAIS E INDUTNCIA
9.8 CIRCUITO MAGNTICO
-
CAP 9 - FORA MAGNTICA MATERIAIS E INDUTNCIA
9.8 CIRCUITO MAGNTICO
A) a fmm de Vm=F = NI = 2000[A-espiras]
B)
C)
-
D) B
Ea) H
CAP 9 - FORA MAGNTICA MATERIAIS E INDUTNCIA
9.8 CIRCUITO MAGNTICO
-
CAP 9 - FORA MAGNTICA MATERIAIS E INDUTNCIA
9.8 CIRCUITO MAGNTICO
Eb) Hf
Hf
-
Quando aplicamos uma fmm , a densidade fluxo cresce,
mas no linearmente prximo da origem, e satura quando
H atinge centenas de [Ae/m]
CAP 9 - FORA MAGNTICA MATERIAIS E INDUTNCIA
9.8 CIRCUITO MAGNTICO
1,4
1,2
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0 0 100 300 500 700 900
H[Ae/m]
B[W
b/m
2]
-
Outro problema relacionado a isto, e a curva BxH,
quando aplicamos uma tenso alternada na espira,
gerando a chamada curva
de histerese, que indica
uma rea de perda,
devido a resistncia
dos gro do metal
em seguir o sinal
CAP 9 - FORA MAGNTICA MATERIAIS E INDUTNCIA
9.8 CIRCUITO MAGNTICO
H[Ae/m]
B[Wb/m2]
BX
Br
-BX = B de saturao
-Br = B residual
HX Hc
-HX -Hc
X fora
coercitiva
-
Aplicao da curva da
magnetizao: Considere o
toride da aplicao anterior,
constitudo de ao silcio, agora
com uma abertura chamada
entreferro de 2 [mm]. Qual deve
ser a corrente eltrica no
enrolamento de 500 [espiras] para
estabelecer uma densidade de
fluxo de 1 [Wb/m2],
CAP 9 - FORA MAGNTICA MATERIAIS E INDUTNCIA
9.8 CIRCUITO MAGNTICO
S
N
I
R
g= 2[mm]
-
CAP 9 - FORA MAGNTICA MATERIAIS E INDUTNCIA
9.8 CIRCUITO MAGNTICO
Este fluxo o mesmo no ar (entreferro) e no ao
-
Usando o ltimo grfico, encontramos o campo
magntico de 200 A/m necessria para obter 1 Wb/m2
CAP 9 - FORA MAGNTICA MATERIAIS E INDUTNCIA
9.8 CIRCUITO MAGNTICO
1,4
1,2
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0 0 100 200 300 500 700 900
H[Ae/m]
B[W
b/m
2]
-
Usando o ltimo grfico, encontramos o campo
magntico de 200 A/m necessria para obter 1 Wb/m2
CAP 9 - FORA MAGNTICA MATERIAIS E INDUTNCIA
9.8 CIRCUITO MAGNTICO
I = 3,56 [A]
A fmm total 1778 [Ae]
H = NI => I = = N 500
H 1778
= 1590 + 188 [A]
-
Espalhamento do fluxo nas bordas
Fluxos de disperso
Fluxo prprio
CAP 9 - FORA MAGNTICA MATERIAIS E INDUTNCIA
9.8 CIRCUITO MAGNTICO
I
mao 200
mar 800.000
= = 4000
sao
sr
=
1015
N
-
Aplicao inversa: Seja o circuito anterior com uma
espira com 4[A], no circuito magntico: Determine a
densidade de fluxo.
CAP 9 - FORA MAGNTICA MATERIAIS E INDUTNCIA
9.8 CIRCUITO MAGNTICO
Linearizando a curva de magnetizao, considerando
que a mesma passa por (0,0) e por (B=1, H=200),
portanto B = H /200 no ao e B = m0 H no ar
Considerando as relutncias no entreferro e no ao
calculadas, e para Vm = 2000 [Ae], o F = 6,76x10-4 [Wb] e
B = 1,13 Wb/m2.
-
CAP 9 - FORA MAGNTICA MATERIAIS E INDUTNCIA
9.8 CIRCUITO MAGNTICO
S=8[Cm2]
S=4[Cm2]
L2=15[Cm]
g=5[Cm]
L1=12[Cm]
L2=15[Cm]
Ao Silcio
-
9.6 MAGNETIZAO E PERMEABILIDADE
9.8 CIRCUITO MAGNTICO
9.9 FORA E ENERGIA POTENCIAL EM AMTERIAIS AMGNTICOS
9.10 INDUTNCIA E INDUTNCIA MTUA
9.7 CONDIES DE CONTORNO P CAMPO MAGNTICO
CAP 9 - FORA MAGNTICA MATERIAIS E INDUTNCIA
DESENVOLVIMENTO da PARTE II
-
A energia encontrada para o campo eletrosttico a partir
do trabalho dado por:
CAP 9 - FORA MAGNTICA MATERIAIS E INDUTNCIA
9.9 FORA E ENERGIA POT. EM MAT. MAGNTICOS
O que no trivial para o campo magntico:
-
CAP 9 - FORA MAGNTICA MATERIAIS E INDUTNCIA
9.9 FORA E ENERGIA POT. EM MAT. MAGNTICOS
Mas usando o potencial escalar magntico, podemos
desenvolver uma expresso semelhante:
Sem mais demonstraes: a partir do teorema de
Poyting
-
CAP 9 - FORA MAGNTICA MATERIAIS E INDUTNCIA
9.9 FORA E ENERGIA POT. EM MAT. MAGNTICOS
-
Outra forma importante de se trabalhar em circuitos
magnticos, a densidade de energia por unidade de
volume
CAP 9 - FORA MAGNTICA MATERIAIS E INDUTNCIA
9.9 FORA E ENERGIA POT. EM MAT. MAGNTICOS
F
-
9.6 MAGNETIZAO E PERMEABILIDADE
9.8 CIRCUITO MAGNTICO
9.9 FORA E ENRGIA POTENCIAL EM AMTERIAIS AMGNTICOS
9.10 INDUTNCIA E INDUTNCIA MTUA
9.7 CONDIES DE CONTORNO P CAMPO MAGNTICO
CAP 9 - FORA MAGNTICA MATERIAIS E INDUTNCIA
DESENVOLVIMENTO da PARTE II
-
CAP 9 - FORA MAGNTICA MATERIAIS E INDUTNCIA
9.10 INDUTNCIA E INDUTNCIA MTUA
Fluxos de disperso
Fluxo prprio
I
N
l=NF
Indutncia L ou Indutncia prpria a razo entre os
enlaces de fluxo magntico l=NF e a corrente I que eles
enlaam.
-
Indutncia L ou Indutncia prpria a razo entre
os enlaces de fluxo magntico l=NF e a corrente I
que eles enlaam.
CAP 9 - FORA MAGNTICA MATERIAIS E INDUTNCIA
9.10 INDUTNCIA E INDUTNCIA MTUA
N e quantidade de espiras na bobina.
F o fluxo de cada espira
l o fluxo concatenado ou total da bobina
wb
A
ou [Henry]
l I
L =
-
Considerando materiais lineares, calculemos o fluxo
por unidade de comprimento de um cabo coaxial de
raio interno a e raio externo b
CAP 9 - FORA MAGNTICA MATERIAIS E INDUTNCIA
9.10 INDUTNCIA E INDUTNCIA MTUA
-
Com isto temos a indutncia do cabo coaxial para 1 espira
CAP 9 - FORA MAGNTICA MATERIAIS E INDUTNCIA
9.10 INDUTNCIA E INDUTNCIA MTUA
-
No problema do toride de N espiras e corrente I
CAP 9 - FORA MAGNTICA MATERIAIS E INDUTNCIA
9.10 INDUTNCIA E INDUTNCIA MTUA
BF
F
Se a seo reta for muito menor que o raio do toride
Assim fazendo Nf e dividindo por I encontramos L
-
O Enlace total de todas espiras obtemos
CAP 9 - FORA MAGNTICA MATERIAIS E INDUTNCIA
9.10 INDUTNCIA E INDUTNCIA MTUA
(NF)total
(NF)total
-
Obtendo a indutncia usando o conceito de energia
CAP 9 - FORA MAGNTICA MATERIAIS E INDUTNCIA
9.10 INDUTNCIA E INDUTNCIA MTUA
Convertendo a energia em termos de campo magntico
-
CAP 9 - FORA MAGNTICA MATERIAIS E INDUTNCIA
9.10 INDUTNCIA E INDUTNCIA MTUA
Substituindo B por (xA)
-
A Identidade vetorial que segue
CAP 9 - FORA MAGNTICA MATERIAIS E INDUTNCIA
9.10 INDUTNCIA E INDUTNCIA MTUA
Pode ser provada por expanso em coordenadas
cartesianas, chegando indutncia
-
Aplicando o Teorema da divergncia 1 integral
CAP 9 - FORA MAGNTICA MATERIAIS E INDUTNCIA
9.10 INDUTNCIA E INDUTNCIA MTUA
A 1 parte 0 porque a superfcie contem a energia
do campo magntico, ento A e H anulam no limite
L
-
Esta equao expressa a indutncia em cada
ponto.
Como J s existe dentro do condutor, a integral
nula pro fora. A nasce de J ignorando outras
contribuies referentes a indutncias Mtuas
CAP 9 - FORA MAGNTICA MATERIAIS E INDUTNCIA
9.10 INDUTNCIA E INDUTNCIA MTUA
-
A devido a J, por definio
CAP 9 - FORA MAGNTICA MATERIAIS E INDUTNCIA
9.10 INDUTNCIA E INDUTNCIA MTUA
A
A indutncia, expressa como integral dupla
do volume
-
Filamentos de pequena seo reta, Jdv pode ser
substitudo por IdL, assim
CAP 9 - FORA MAGNTICA MATERIAIS E INDUTNCIA
9.10 INDUTNCIA E INDUTNCIA MTUA
Vemos que L depende da geometria e material
-
Nas condies citadas, podemos chegar a forma
original da indutncia
CAP 9 - FORA MAGNTICA MATERIAIS E INDUTNCIA
9.10 INDUTNCIA E INDUTNCIA MTUA
Como em filamentos de pequena seo reta, Jdv
pode ser substitudo por IdL, assim
-
Aplicando o teorema
de Stokes a um
pequeno dL, tomado
ao longo do
filamento temos:
CAP 9 - FORA MAGNTICA MATERIAIS E INDUTNCIA
9.10 INDUTNCIA E INDUTNCIA MTUA
ou
-
onde F a poro do fluxo total que
atravessa cada superfcie genrica cujo
permetro o percurso do filamento
CAP 9 - FORA MAGNTICA MATERIAIS E INDUTNCIA
9.10 INDUTNCIA E INDUTNCIA MTUA
Considerado agora um indutor filamentar enrolado de N
espiras por onde a corrente circula, a indutncia
resultante
F I
L =
-
CAP 9 - FORA MAGNTICA MATERIAIS E INDUTNCIA
9.10 INDUTNCIA E INDUTNCIA MTUA
No interior de um condutor tambm temos campo
magntico, logo sua seo circular tem uma indutncia
interna
M H 8p m
Li =
A indutncia concentra-se na superfcie do condutor
em altas freqncias,podendo ser considerada externa
-
CAP 9 - FORA MAGNTICA MATERIAIS E INDUTNCIA
9.10 INDUTNCIA E INDUTNCIA MTUA
Outro componente de indutncia a ser considerado a
indutncia Mtua de um condutor 1 num segundo 2.
F12 o fluxo produzido pela corrente I1 do condutor 1
que envolve o caminho da corrente I2 do condutor 2
-
A indutncia que surge com a interao de dois
filamentos pode ser representada por
CAP 9 - FORA MAGNTICA MATERIAIS E INDUTNCIA
9.10 INDUTNCIA E INDUTNCIA MTUA
-
CAP 9 - FORA MAGNTICA MATERIAIS E INDUTNCIA
9.10 INDUTNCIA E INDUTNCIA MTUA
Aplicao: Calcule a indutncia prpria e mtua de dois
solenides coaxiais de raios R1< R2, onde fluem as
correntes I1 e I2, com n1 e n2 [espiras/m]
H1
H1
Fazendo
n1 = N/L
-
Para um campo uniforme temos
CAP 9 - FORA MAGNTICA MATERIAIS E INDUTNCIA
9.10 INDUTNCIA E INDUTNCIA MTUA
F
M
-
De forma anloga
CAP 9 - FORA MAGNTICA MATERIAIS E INDUTNCIA
9.10 INDUTNCIA E INDUTNCIA MTUA
-
Enquanto as indutncias prprias so
CAP 9 - FORA MAGNTICA MATERIAIS E INDUTNCIA
9.10 INDUTNCIA E INDUTNCIA MTUA
wb
A
ou [Henry]
mN2S
I
L =
-
CAP 9 - FORA MAGNTICA MATERIAIS E INDUTNCIA
9.6 MAGNETIZAO E PERMEABILIDADE
9.8 CIRCUITO MAGNTICO
9.9 FORA E ENERGIA POTENCIAL EM MATERIAIS AMGNTICOS
9.10 INDUTNCIA E INDUTNCIA MTUA
9.7 CONDIES DE CONTORNO P CAMPO MAGNTICO
Concluses