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Optique et acoustique 3.Analyse lectromagntique
ELEC 277 "Optique guide et capteurs optiques" - 3.1 Novembre 2002
1. Introduction
2. Optique gomtrique - rayons
3. Analyse lectromagntique - champs & modes - guide d'ondes plan "homogne" saut d'indice
- guide d'ondes cylindrique "homogne" saut d'indicemieux connu sous le nom de :
fibre optique saut d'indice
4. Proprits des fibres optiques de silice
5. Composants optiques fibrs et/ou intgrs
6. Senseurs
7. Conclusion et perspectives
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Optique et acoustique
Guide d'ondes plan "homogne" saut d'indice
ELEC 277 "Optique guide et capteurs optiques" - 3.2 Novembre 2002
3.Analyse lectromagntique - guide SI
x
z
y
2a
2b
n2
n2
n1
- approche lectromagntique = recherche des configurations de champs lectromagntiques, solutions des quations de Maxwell,
satisfaisant aux conditions aux limites du problme (c--d : rpartition spatiale d'indices de rfraction, propagation,
confinement spatial de l'nergie, attnuation ngligeable, )(hypothse : dimensions gomtriques du cur sont proches de )
Hypothses de l'analyse bidimensionnelle xz :milieu dilectrique, non magntique, linaire, isotrope
milieu "homogne" (SI), indpendant de y, sans pertes
indice du cur = n1 > n2 = indice de la gaine
guidage "faible" n1 n2gaine "infinie" 2b >> 2a
2a 50 m
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Optique et acoustique
ELEC 277 "Optique guide et capteurs optiques" - 3.3 Novembre 2002
3.Analyse lectromagntique - guide SI
0 = permabilit magntique = 4 . 10-7 N . A-2
0 = permittivit dilectrique = 8.85 10-12 C2 . N-1 . m-2
linaire, isotrope
dilectrique,non magntique
champ magntiquechamp d'induction
magntiquechamp lectriquedplacement lectrique
polarisation lectrique susceptibilit lectrique
loi d'Ampre loi de Faraday
lois de Gauss
quations constitutives(description de l'interaction onde-matire)
c2 =1/(00) (3. 10+8 m.s-1)2
Equations de Maxwell et quations d'Helmholtz
H = - Dt + j E = - Bt
. D = = 0 . B = 0
D = 0E + P B = 0H
P(r,t) = 0 (r,t - t')-
+t
E(r,t') dt'
E = - 0Ht = - 1c2
2Et2
- 0 2Pt2
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Optique et acoustique
ELEC 277 "Optique guide et capteurs optiques" - 3.4 Novembre 2002
3.Analyse lectromagntique - guide SI
P(r,) = 0 (r,) E(r,)
D(r,) = (r,) E(r,)
Hypothses :description linaire en transforme de Fourier
(r,) = 0 1 + (r,) = 0 (r,) 0 n2(r,)
attnuation ngligeable[ n rel ]
milieu homogne
[ (r,) = () ]
(ou en termes de phaseurs)
Im(n)
Re(n)
3+3 quations d'Helmholtz
(r,) = (r,)0
n2(r,) = constante dilectrique
n(r,) = indice de rfraction
(+ idem pour H)~E +
2
c2E = 0
Buck (1995)
E(r, ) = E(r,t) exp(-i t) dt-
+
+ iE(r, ) = E(r,t)t
exp(-i t) dt-
+
E = - r,0
2
c2E = - r,
2
c2E
E = .E - E = - E
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Optique et acoustique
ELEC 277 "Optique guide et capteurs optiques" - 3.5 Novembre 2002
3.Analyse lectromagntique - guide SI
6 quations couples
Dmarche de rsolution :1. prise en compte de la symtrie du problme (x,y,z)
2. rsolution dans un milieu homogne d'indice n1 (en pratique le cur, soit |x | < a) ou n2 (en pratique la gaine, soit |x | > a)
3. raccord des composantes tangentielles de E (soit Ey et Ez) et de H (soit Hy et Hz) , et des composantes normales de D (soit Dx= Ex) et
B (soit Bx = 0000 Hx) l'interface cur-gaine, c'est--dire en |x | = a4. solution gnrale
milieu homogne
o
E + 2
c2E = 0
H + 2
c2H = 0
= longueur d'onde dans le vide = 2 c/ k0 = nombre d'onde dans le vide = /c
k = nombre d'onde = n k0
k1 = n1 k0 = nombre dans le coeur k2 = n2 k0 = nombre dans la gaine
propag. "forward"
propag. "backward"
propag. radie
E x,y,z, = ajj
Ej x,y,z, + a-jj
E-j x,y,z, + Erad x,y,z,
(+ idem pour H)~
quations linaires
() 2c2
= n2( ) 2
c2
= 2 n2() 00 = 2 ( ) 0
( ) 2c2
= n2() 2
c2
= n2( ) 2
2=
n2( ) k02( ) = k2()
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Optique et acoustique
ELEC 277 "Optique guide et capteurs optiques" - 3.6 Novembre 2002
3.Analyse lectromagntique - guide SI
Rsolution par sparation des variables pour Ex et Hx
Ey = Ey(Ex,Hx)Ez = Ez(Ex, Hx) 0
Hy = Hy(Ex, Hx)Hz = Hz(Ex, Hx) 0
Type de solution :Ex = Ex e +it= Ex x .Y y .Z z .e+it
1Ex
.
d2Exdx2
+ 2
c2. + 1
Y.
d2Ydy2
+ 1Z
.
d2Zdz2
=
0
(x) (y) (z)
invariance de translation solutions priodiques( dcomposition de Fourier )
Y y
= e - i y 1
Y.
d2Ydy2
=
-
2
Z z
= e - i z 1
Z.
d2Zdz2
=
-
2
d2Exdx2
+
2
c2. - 2 - 2 .Ex = 0 d
2Hxdx2
+
2
c2. - 2 - 2 .Hx = 0
Ex = Ex x . e +i t - z - y?
Hx = Hx x . e +i t - z - y?
R
R
(+ idem pour Hx)
E et H sont des solutions de modules invariants de translation en t, z et y :
elles sont appeles "modes de propagation"
-
Optique et acoustique
ELEC 277 "Optique guide et capteurs optiques" - 3.7 Novembre 2002
3.Analyse lectromagntique - guide SI
Modes TE ( Ex = 0 ) et modes TM ( Hx = 0 )
Ey = Ey(Hx)Ez = Ez(Hx) 0
Hy = Hy(Hx)Hz = Hz(Hx) 0
Ex = 0
Ez = 02 + 2
Hx
Ey = - 02
+
2 Hx Hy = - i
2
+
2 Hxx
Hz = - i 2
+
2 Hxx
Si l'orientation du guide est telle que la propagation se fait selon z = 0
Ex = Ez = 0Hy = 0
= Mode TE
Hx = - 0 Ey
d2Eydx2
+
2
c2.j - 2 .Ey = 0
j = 1 dans le coeur
j = 2 dans la gaine
x z
y
n2
n2
n1
symtrie du guide en x j(x) = j (-x)
Ey(x) est soit paire, soit impaire en x
I.
Hz = - i
Hxx
=
+
i 0
Eyx
-
Optique et acoustique
ELEC 277 "Optique guide et capteurs optiques" - 3.8 Novembre 2002
3.Analyse lectromagntique - guide SI
Ey = Ey(Ex)Ez = Ez(Ex) 0
Hy = Hy(Ex)Hz = Hz(Ex) 0
Hx = 0
Si l'orientation du guide est telle que la propagation se fait selon z = 0
Hx = Hz = 0Ey = 0
= Mode TM
j = 1 dans le coeur
j = 2 dans la gaine
j(x) = j (-x) Hy(x) est soit paire, soit impaire en x
II.
Ey = - i
12 + 2
.Exx
Ez = - i
12 + 2
.Exx
Hy = 0 2 + 2
Ex
Hz = - 0
2 + 2 Ex
Ex = 0 Hy Ez = - i
0
Hyx
d2Hydx2
+
2
c2.j - 2 .Hy = 0
Tout champ lectromagntique (E,H), solution des quations de Maxwell dans le guide d'ondes plan symtrique sera une
combinaison linaire de modes TE et TM de ce guide
cf pour TE
(Ey, Hx et Hz) (Hy, Ex et Ez)composantes non-nulles :
-
le champ d'un mode guids'tend dans la gaine
optique
Optique et acoustique
ELEC 277 "Optique guide et capteurs optiques" - 3.9 Novembre 2002
3.Analyse lectromagntique - guide SI
Mode TE @ =0 : ( Ex = Ez = Hy = 0 )
Ey symtrique
d2Eydx2
+
2
c2.j - 2 .Ey = 0
j = 1 dans le coeur
j = 2 dans la gaine
si 2 > 0 est rel dcroissance exponentielle dans la gaine mode guid
I.(fonction paire en x)
|x | a (cur) |x | > a (gaine)
( continuit de Ey en x = a : OK )
2 =
2 - 2c2
2 = 2 - 2 2 0o
et
> n2 k0
si 2 < 0 est imaginaire oscillations dans la gaine mode radi
2 < n22 k02
Ey
x/a0 +1-1
2 =
2
c2
1 - 2 = 2 1 0 - 2
Ey = A sym cos .x Ey = A sym cos .a exp - . x - a
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Optique et acoustique
ELEC 277 "Optique guide et capteurs optiques" - 3.10 Novembre 2002
3.Analyse lectromagntique - guide SI
|x | a (cur) |x | > a (gaine)
pour assurer la continuit de Hz en x = a :
Hz = + i 0 Eyx
x > a
x < - a
soit
et
V = 2 0 1 - 2 . a2= 2
a n12 - n2
2 est la frquence normalise
il n'y a qu'un nombre discret de valeurs de , et donc de qui satisfont cette quation, donn et pour une gomtrie de guide donne, c'est--dire V donn
chaque valeur de identifie un mode guid de propagation
( mode guid : 2 > 0 )
Hz = i
0 Asym cos .a exp - . x - a Hz = - i 0 Asym sin .x
i 0
Asym sin .a = i 0 Asym cos .a
tg .a
=
. aa
u = .a =
a . 2
1 0 - 2 1/2
V2 = 2 + 2 . a2= 2 0 1 - 2 . a2
cotg u
=
u
V2 - u2
V2 - 2. a2 = V2 - u2 = 2. a2 > 0
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Optique et acoustique
ELEC 277 "Optique guide et capteurs optiques" - 3.11 Novembre 2002
3.Analyse lectromagntique - guide SI
quation transcendante : rsolution graphique
usym = 1.38, 4.17, 6.82
usym = 1.8, 5.425 solutions TE symtriques ( V = 8 )
cotg u = u
V2 - u2
cotg u
u
tg u
Cas particulier V=8
mode guid : : : : u < V
Sodha & Ghatak (1977)
+
u
V2 - u2
-
u
V2 - u2
8.0
plus V sera lev, plus il y aura de modes
guids
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Optique et acoustique
ELEC 277 "Optique guide et capteurs optiques" - 3.12 Novembre 2002
3.Analyse lectromagntique - guide SI
Ey antisymtrique
2 > 0 est rel mode guid
II.(fonction impaire en x)
|x | a (cur) |x | > a (gaine)
( continuit de Ey en x = a : OK )
> n2 k0
pour assurer la continuit de Hz en x = a :
x > a
x < - a
x/a0 +1-1
Ey
tg u = u
V2 - u2
Ey = A asym sin .x Ey = A asym sin .a exp - . x - a
Hz = + i 0 Aasym cos .x Hz = i 0 Aasym sin .a exp - . x - a
i 0
Aasym cos .a = i 0 Aasym sin .a
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Optique et acoustique
ELEC 277 "Optique guide et capteurs optiques" - 3.13 Novembre 2002
3.Analyse lectromagntique - guide SI
quation transcendante : rsolution graphique
uasym = 3.73, 7.55
uasym = 2.77, 5.54 solutions TE antisymtriques ( V = 8 )
tg u
=
u
V2 - u2
u
mode guid : : : : u < V
Sodha & Ghatak (1977)
cotg u
tg u
+ uV2 - u2
-
u
V2 - u2
8.0
Cas particulier V=8
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Optique et acoustique
ELEC 277 "Optique guide et capteurs optiques" - 3.14 Novembre 2002
3.Analyse lectromagntique - guide SI
Discussion
Interprtation physique de I.
est appele "constante de propagation"
Ey = Ey x . e +i t - z - y = Ey x . e +i t - z = 0
[ ] = m-1
/ = vitesse de phase / = vitesse de groupe
2
n2 < < 2 n1
mode guid : 2 > 0 > n2 k0 propagation en z : 2 > 0 < n1 k0
la dpendance de en la pulsation , ()()()() , est appele"relation de dispersion"
cn1
<
<
cn2
vitesse d'une onde plane dans un milieu uniforme d'indice n1
vitesse d'une onde plane dans un milieu uniforme d'indice n2
@ donn
la vitesse de propagation / d'un mode reflte son extension dans le cur et dans la gaine
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Optique et acoustique
ELEC 277 "Optique guide et capteurs optiques" - 3.15 Novembre 2002
3.Analyse lectromagntique - guide SI
Puissance P transporte par un mode TEII.Ex = Ez = Hy = 0
= 0
o
et
A est la surface effective du mode
Sz est la composante longitudinale du vecteur de Poynting S = E x H
reprsente la valeur moyenne dans le temps de Sz
Lyeff reprsente la largeur effective du mode en y
P = Sz dAA
Leffy
Sz dx-
+
or
S z = - 12 Re Ey . -
0
Ey*
S z = - 12 Re Ey . H x* S z = Ex . H y - Ey . H x
d'o, pour TE symtrique|x | a (cur)
|x | > a (gaine)
P = L effy
2 0
Asym 2 a + 1
P = 2 Leffy dx
0
+
2 0
Ey2
Sz = 2 0
Ey 2
Ey = A sym cos .xEy = A sym cos .a exp - . x - a
P = Leffy
0
dx0
a
Asym cos .x 2 + dxa
+
Asym cos .a exp - . x - a 2
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Optique et acoustique
ELEC 277 "Optique guide et capteurs optiques" - 3.16 Novembre 2002
3.Analyse lectromagntique - guide SI
Distribution transverse du champ TE pour diffrentes III.Ex = Ez = Hy = 0
= 0TE symtrique
|x | a (cur)
|x | > a (gaine)
Ey = A sym cos .xaEy = A sym cos exp - .a . xa - 1
Ey / Asym
x/a0 +1-1
usym = 1.38
usym = 4.17
Ey / Asym
x/a0
+1-1 0.40.8- 0.8
- 0.4
l'ordre d'un mode reflte la complexit de son profil transverse
V lev nbre de modes lev complexit du champ guid
mode TEsym fondamental
mode TEsym d'ordre 1
u = .a = a . 2 1 0 - 2 1/2
-
Optique et acoustique
ELEC 277 "Optique guide et capteurs optiques" - 3.17 Novembre 2002
3.Analyse lectromagntique - guide SI
Interprtation d'un mode TE en termes d'ondes planes IV.Ex = Ez = Hy = 0
= 0TE symtrique d'ordre N :
|x | a (cur)
onde plane o
k1 : vecteur d'onde d'une onde plane en propagation libre dans un milieu d'indice n1
: la constante de propagation d'un mode correspond la projection de k1
selon la direction de propagation z
cur n1
kNxk1
e +i t - kN .r = e +i t - kxN
.x - kzN.z kyN = 0
kzN = N
kNz
N
>
c
c'est la condition de guidage de l'optique gomtrique !
NB : mme dmarche pour l'autre onde plane dont le kx est de signe inverse
idem avec kx - kx
sin N > n2n1
=
sin ccos N
< Vk1.a =
2 1 - 2 0 a2
2 1 0 . a2 = 1 - 2
1 = 1 - n2n1
2
EyN = Asym cos uN .xa . e +i t - Nz
EyN = 12 Asym e+i t + uN .xa - Nz + e +i t - uN .xa - Nz
kxN = uNa
kN
2
=
uNa
2 +
N 2 = 2 1 0 = k12
kxN = k1.cos N = uNa <
Va
-
Optique et acoustique
ELEC 277 "Optique guide et capteurs optiques" - 3.18 Novembre 2002
3.Analyse lectromagntique - guide SI
Ordres de grandeur V.
Guide de silice (SiO2)
Cas particulier (cf rsolution graphique) : V = 8
= 1.5 m a = 25 m n1 = 1,45(@ = 1.5 m)
n = (n1-n2)/n1 = ?
V2 2
2.
2 n1 . n . a2
V2 =
2
0 1 - 2 . a2 = 2 0 0 1 - 2 0 . a2 =
2
2 n1
2
- n2
2
. a2
n = 2 10-3
pertinence de l'hypothse de guidage "faible" n1 n2
u1111 = 1.38 u2222 = 4.17
N = ?
1 = 89.5 2 = 88.42
1er mode TEsym 2me mode TEsym
u = 8 = 86.98
incidence de tous les rayons guids l'interface cur-gaine quasi-rasante
,
cos N =
uNa
.
1k1
=
uNa
.
2 n1
-
Optique et acoustique
ELEC 277 "Optique guide et capteurs optiques" - 3.19 Novembre 2002
3.Analyse lectromagntique - guide SI
Guide d'onde semiconducteur (AlxGa1-xAs)
1,5 m
3 m
3 m
x
y
z
3,5867
3,5679
3,5679
indice
Al0,06Ga0.94As
Al0,04Ga0.96As
GaAs
200
m
-
Optique et acoustique
Guide d'ondes cylindrique "homogne" saut d'indice
ELEC 277 "Optique guide et capteurs optiques" - 3.20 Dcembre 2002
3.Analyse lectromagntique - fibre SI
Rsolution par sparation des variables pour Ez 0 et Hz 0
Ey = Ey(Ez,Hz)Ex = Ex(Ez, Hz)
Hy = Hy(Ez, Hz)Hx = Hx(Ez, Hz)
Type de solution : onde propagative selon la direction zEz = Ez x,y e +i t-z Hz = Hz x,y e +i t-z
E +
2
c2E = 0 H + 2
c2H = 0
milieu homogne et analyse en phaseurs
2Ezx2
+ 2Ezy2
+ 2
c2 - 2 .Ez = 0
2Hzx2
+ 2Hzy2
+ 2
c2 - 2 .Hz = 0
1
Coordonnes cylindriques2
x = r .cos
y = r .sin
r = x 2+y2
= Arctg y
x
symtrie du problme
Er = E x.cos + E y.cos Er = E x.cos + E y.sin
x
= xr
r
-
yr2
y
= yr
r
+ xr2
: constante de propagation
v. Annexe I
-
Optique et acoustique
ELEC 277 "Optique guide et capteurs optiques" - 3.21 Dcembre 2002
3.Analyse lectromagntique - fibre SI
2Ezr2
+ 1r
Ezr +
1r2
2Ez2
+ 2 0 - 2 .Ez = 0
2Hzr2
+ 1r
Hzr +
1r2
2Hz2
+ 2 0 - 2 .Hz = 0
Sparation de variables3
symtrie du problme(priodicit azimuthale)
Ez = Rz r .z
Er = - i2 0 - 2
Ezr
+ 0 1r
Hz
Hr = - i2
0 - 2
Hzr
- 1r
Ez
H = - i2 0 - 2
1r
Hz
+ Ez
r
E = - i2 0 - 2
1r
Ez
- 0 Hzr
quation de Bessel
N : nombre entier "azimuthal" ?
?2z2
+ N2 z = 0
2Rzr2
+ 1r
Rzr
+ 2 0 - 2 - N2r2
.Rz = 0
-
Optique et acoustique
ELEC 277 "Optique guide et capteurs optiques" - 3.22 Dcembre 2002
3.Analyse lectromagntique - fibre SI
La dpendance azimuthale z() du champ est une fonction harmonique :
N = 0, 1, 2, 3, ...
@ N donn :
o :
physiquement inacceptable(fonctions non bornes)
La dpendance radiale Rz(r) du champ est une fonction de Bessel :
2 > 0 KN est solution mode guid > n2 k0
2 > 0 JN est solution mode guid n1 k0 >
2
n2 < < 2 n1
cf guide plan : la vitesse de propagation / d'un mode reflte son extension dans le cur et dans la gaine
z = cos N
sin N
Rz r = A JN(.r) + A' YN(.r) r a
Rz r = C KN(.r) + C' IN(.r) r a
2 =
2
c2
1 - 2 = 2 1 0 - 2 = n12 k02 - 2
2 =
2 - 2c2
2 = 2 - 2 2 0 = 2 - n22 k02
-
Optique et acoustique
ELEC 277 "Optique guide et capteurs optiques" - 3.23 Dcembre 2002
3.Analyse lectromagntique - fibre SI
J0, J1
K0, K1
Y0, Y1
I0, I1
!
!
Fonctions de Bessel : rappel qualitatif
Rz r = A JN(.r) + A' YN(.r) r a
Rz r = C KN(.r) + C' IN(.r) r a
-
Optique et acoustique
ELEC 277 "Optique guide et capteurs optiques" - 3.24 Dcembre 2002
3.Analyse lectromagntique - fibre SI
o :
Solution dans le cur : r a N 0
o :
u = p.a
=
a . 2 1 0 - 2 1/2 E z = A JN u.ra .sin N Hz = B JN
u.ra
.cos N
E r = - A iua
JN u.r
a + B i0
ua
2
Nr
JN u.ra . sin N
E = - A iua
2
Nr
JN u.ra + B i0
ua
JN u.r
a . cos N
Hr = + A i1ua
2
Nr
JN u.ra - B iua
JN u.r
a . cos N
H = - A i1ua
JN u.r
a + B i
ua
2
Nr
JN u.ra . sin N
JN
= ddr JN
u.ra
=
ua
dd u.r
a
JN u.ra
-
Optique et acoustique
ELEC 277 "Optique guide et capteurs optiques" - 3.25 Dcembre 2002
3.Analyse lectromagntique - fibre SI
o :
Solution dans la gaine : r a N 0
o :
w = .a = a . 2 - 2 2 0 1/2 E z = C KN w.ra .sin N
E r = + C iwa
KN w.r
a - D i0
wa
2
Nr
KN w.ra . sin N
E = + C iwa
2
Nr
KN w.ra - D i0
wa
KN w.r
a . cos N
Hr = - C i2wa
2
Nr
KN w.ra + D iwa
KN w.r
a . cos N
H = + C i2wa
KN w.r
a - D i
wa
2
Nr
KN w.ra . sin N
KN
= ddr KN
w.ra
=
wa
dd w.r
a
KN w.ra
Hz = D KN w.ra .cos N
-
Optique et acoustique
ELEC 277 "Optique guide et capteurs optiques" - 3.26 Dcembre 2002
3.Analyse lectromagntique - fibre SI
Classification des modes
1.1. Dans le cas particulier : N = 0
Squence1. nombre azimuthal N
1'. type de mode TE, TM ou hybride HE, EH2. nombre radial q
pas de dpendanceazimuthale
similitude avec le guide plan existence de modes TE et TM(indpendance en y)
modes TE0q
H = Ez = Er = 0
Hz , Hr et E 0
A = C = 0
modes TM0q
E = Hz = Hr = 0
Ez , Er et H 0
B = D = 0
1.2. Dans le cas gnral : N 0
plus de modes TE et TM ; seuls existent des modes hybridesHEN q et EHN q
Choix du nombre azimuthal N1
-
Optique et acoustique
ELEC 277 "Optique guide et capteurs optiques" - 3.27 Dcembre 2002
3.Analyse lectromagntique - fibre SI
Pour un choix du nombre azimuthal N, dterminer l'ensemble qdes nombre radiaux possibles
(pour autant qu'il y en ait )via conditions de continuit des champs E et H, D et B l'interface
cur-gaine
2
Ezcoeur = Ezgaine
Ecoeur = Egaine
1 Ercoeur = 2 Ergaine
Hzcoeur = Hzgaine
Hcoeur = Hgaine
0 Hrcoeur = 0 Hrgaine
systme homogne de 4 quations 4 inconnues A, B, C et D
@ r = a
0 = A JN u - C KN w
0 = + A iua
2
Na
JN u - B i0ua
JN
u + C iwa
2
Na
KN w - D i0wa
KN
w
0 = B JN u - D KN w
0 = + A i1ua
JN
u - B iua
2
Na
JN u + C i2wa
KN
w - D iwa
2
Na
KN w
une solution non triviale si le dterminant des coefficients est nul
-
Optique et acoustique
ELEC 277 "Optique guide et capteurs optiques" - 3.28 Dcembre 2002
3.Analyse lectromagntique - fibre SI
JN
u
u.JN u +
KN
w
w.KN w .
n12
n22
JN
u
u.JN u +
KN
w
w.KN w = N2 1
u2 + 1
w2 .
n12
n22
1u2
+ 1w2
[M]ABCD
= 0 dt [M] = 0solution non triviale
hypothse de guidage "faible" n1 n2
JN
u
u.JN u +
KN
w
w.KN w
= N 1u2
+ 1w2
- : modes EH
+ : modes HE
N (et m = N-1) et v donns :les q solutions umq de cette quation (et les mq correspondant)
identifieront les q modes guids
()
1 pour les modes TE0q et TM0q ( N = 0 )N+1 pour les modes EHNq ( N 1 )N -1 pour les modes HENq ( N 2 )
m =
u Jm-1 uJm u
= - w Km-1 wKm w
quation unifiecorrespondant un ensemble de modes dgnrs : LPmq
NB : pour les modes HE1q , on a ( N = 1 ) et donc m = N -1 = 0, ce qui entrane :u J1 u
J0 u = + w
K1 wK0 w
J-1 u = + J1 u
K-1 w = - K1 w
car :
v. Annexe II
-
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ELEC 277 "Optique guide et capteurs optiques" - 3.29 Dcembre 2002
3.Analyse lectromagntique - fibre SI
rsolution graphique pour m = 1 ou 0 (@ V = 2) : cas monomode
HE1q : TE0q et TM0q : J1 uJ0 u
= + wu
K1 wK0 w
Cas particulier V = 2
V2 = 2 0 1 - 2 . a2 = 2 + 2 . a2 = u2 + w2rappel :
w = 0 @ u = V : c'est la condition dite "de coupure" cutoff = k2
zros de la fonction J0 de Bessel
u11111111 = 1.5 1 seule solution HE : mode LP01
Pour V < 2.405, seul le mode LP01 est guid : le guide est monomode
la solution LP01 existe toujours !!
J. Buck (1995)
m = 1m = 0
J1 uJ0 u
= - uw
K1 wK0 w
-
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ELEC 277 "Optique guide et capteurs optiques" - 3.30 Dcembre 2002
3.Analyse lectromagntique - fibre SI
rsolution graphique pour m = 1 ou 0 (@ V = 8) : cas multimode
HE1q : TE0q et TM0q : J1 uJ0 u
= + wu
K1 wK0 w
Cas particulier V = 8
zros de la fonction J0 de Bessel
u11111111 = 2.15, u12121212 = 4.87, u13131313 = 7.4
Pour V = 8, il y a au moins cinq modes LPmq qui peuvent coexister : le guide est multimode
u01010101 = 3.4, u02020202 = 6.15 solutions HE, TE ou TM
J. Buck (1995)
m = 1m = 0
zros de la fonction J1 de Bessel
J1 uJ0 u
= - uw
K1 wK0 w
-
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ELEC 277 "Optique guide et capteurs optiques" - 3.31 Dcembre 2002
3.Analyse lectromagntique - fibre SI
rsum : classification, conditions de coupure, des modes LPmq dans une fibre SI
Vc : frquence normalise de
coupure du mode
fonction de Bessel dont le zro indentifie
Vc
m
m : nombreazimuthal
J. Buck (1995)
-
Optique et acoustique
ELEC 277 "Optique guide et capteurs optiques" - 3.32 Dcembre 2002
3.Analyse lectromagntique - fibre SI
Proprits des modes LPmq
Distribution transverse d'intensit
LP01 = HE11
LP11
LP21
seul mode guid d'une fibre "monomode" (dans appr. gomtrique = rayon axial)
I.
J. Buck (1995)
-
Optique et acoustique
ELEC 277 "Optique guide et capteurs optiques" - 3.33 Dcembre 2002
3.Analyse lectromagntique - fibre SI
LP02
LP31
LP12
Dans un mode LPmq , la valeur du nombre radial q reflte la complexit radiale de sa distribution d'intensit
Le nombre azimuthal m est un indicateur de la complexit azimuthale
J. Buck (1995)
-
Optique et acoustique
ELEC 277 "Optique guide et capteurs optiques" - 3.34 Dcembre 2002
3.Analyse lectromagntique - fibre SI
courbes de dispersion des constantes de propagation des modes guids LPmq d'une fibre optique saut d'indice
= dpendance de en , ou de en , ou de b en V
2.4
fibre multimodefibre monomode
V
b
V < 2.4 V > 2.4
Courbes de dispersionII.
b = 1 - u2V2
= 2 - n22.k02
n12.k02 - n22.k02
neff - n2n1 - n2
0 < b < 1
b est appele "constante de propagation normalise"coupure
guidage parfait
coupure = n2k0
guidage parfait
= n1k0
J. Buck (1995)
-
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ELEC 277 "Optique guide et capteurs optiques" - 3.35 Dcembre 2002
3.Analyse lectromagntique - fibre SI
2.4
fibre multimodefibre monomode
V
V < 2.4 V > 2.4
Confinement d'intensitIII.
0 < < 1
puissance dans gaine
puissance dans coeur
1111
l'extension spatiale du mode fondamental d'une fibre
monomode vers la gaine est exploite pour sonder l'existence de courbures de cbles trop importantes aprs installation
(long wavelength OTDR)
J. Buck (1995)
= PgainePcoeur + Pgaine
=
u2
V2. 1 - Km
2 wKm-1 w .Km+1 w
-
Optique et acoustique
ELEC 277 "Optique guide et capteurs optiques" - 3.36 Dcembre 2002
3.Analyse lectromagntique - fibre SI
En considrant le champ lectrique du mode fondamental LP01 = HE11polaris selon la direction x, c'est--dire Ey = 0, nous avons une rpartition
transverse de profil J0 .
qui peut tre approche par une distribution de champ gaussienne de largeur W :
HE11
W >
a
@ V = 2.4
NB : @ V = 1,5 W/a = 1,8 Pcoeur/Ptotal = 0,46
Ex A exp(- r2W2
).exp(-iz) PcoeurPtotal = 1 - exp(-2 a2W2
)
r/a
- une fibre optique SI est dite "monomode" (angl. singlemode) si le seul mode fondamental HE11 = LP01 est guid
V < 2.405
> coupurea "petit"
(typ. : 5 m)
faible n(typ. : 3 . 10-3)
Et galement IV.
-
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ELEC 277 "Optique guide et capteurs optiques" - 3.37 Dcembre 2002
3.Analyse lectromagntique - fibre SI
-
Optique et acoustique
ELEC 277 "Optique guide et capteurs optiques" - 3.38 Dcembre 2002
3.Analyse lectromagntique - fibre SI
Annexe I : Ex ,Ey ,Hx , et Hy = f(Ez,Hz)
Ez = Ez x,y e +i t-z Hz = Hz x,y e +i t-z
2Ezx2
+ 2Ezy2
+ 2
c2 - 2 .Ez = 0
2Hzx2
+ 2Hzy2
+ 2
c2 - 2 .Hz = 0
H = Et E = - 0Ht
Ezy
+ i E y = - i 0 Hx
i E x + Ezx = i 0 Hy
Eyx
-
Exy
=
- i 0 HzHyx
-
Hxy
=
+ i E z
- i Hx - Hzx = i E y
Hzy
+ i Hy = + i E x
Ex = - i2 0 - 2
Ezx + 0 Hzy
Ey = - i2
0 - 2
Ezy
-
0 Hzx
Hx = - i2 0 - 2
Hzx - Ezy
Hy = - i2 0 - 2
Hzy + Ezx
-
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ELEC 277 "Optique guide et capteurs optiques" - 3.39 Dcembre 2002
3.Analyse lectromagntique - fibre SI
Annexe II : proprits des fonctions de Bessel
Jn+1 u + Jn-1 u = 2 nu Jn u
Kn+1 w - Kn-1 w = 2 nw Kn w
-2 Kn w = Kn-1 w + Kn+1 w
2 Jn u = Jn-1 u - Jn+1 u
J-n u = -1 nJn u
K-n w = Kn w
Jn u = Jn-1 u
2 -
nu
Jn u - Jn-1 u2 = Jn-1 u - nu
Jn u
Jn u
u Jn u =
Jn-1 uu Jn u
-
nu2
= - Jn+1 uu Jn u
+
nu2
Kn w
w Kn w = -
Kn-1 ww Kn w
-
nw2
= - Kn+1 ww Kn w
+
nw2
rcriture de () :
N = 0 TE0q u J0 uJ1 u
= - w K0 wK1 w
N 1 EHNq u JN u
JN+1 u = - w
KN wKN+1 w
N 1 HENq u JN uJN-1 u = + w
KN wKN-1 w
(A2.1)
(A2.2)
-
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ELEC 277 "Optique guide et capteurs optiques" - 3.40 Dcembre 2002
3.Analyse lectromagntique - fibre SI
Jn+1 u + Jn-1 u = 2 nu Jn u
Kn+1 w - Kn-1 w = 2 nw Kn w
N 1 HENq u JN uJN-1 u = + w
KN wKN-1 w
(A2.1)
(A2.2)
en posant n = N-1 dans (A2.1) et (A2.2)
JN u + JN-2 u = 2 N-1u JN-1 u KN w - KN-2 w = 2 N-1w
KN-1 w
u 2 N-1u JN-1 u - JN-2 u
JN-1 u = + w
2 N-1w KN-1 w + KN-2 wKN-1 w
N 1 HENq
nouveau nombreazimuthal m
1 pour les modes TE0q et TM0q ( N = 0 )N+1 pour les modes EHNq ( N 1 )N-1 pour les modes HENq ( N 2 )
m =
u Jm-1 uJm u
= - w Km-1 wKm w
u JN-2 uJN-1 u
= - w KN-2 wKN-1 w
quation unifiecorrespondant un ensemble de modes dgnrs : LPmq
NB : pour les modes HE1q , on a ( N = 1 ) et donc m = N-1 = 0, ce qui entrane :
u J1 uJ0 u
= + w K1 wK0 w
J-1 u = + J1 u
K-1 w = - K1 w
car :