Introducción Ecuación Integral de Fredholm Aplicaciones a ODEs Resumen
El Teorema de Contracción de Mapas
Carlos Gamez
Escuela de MatemáticaFacultad de Ciencias Naturales y Matemática
Universidad de El Salvador
Presentación Beamer
Introducción Ecuación Integral de Fredholm Aplicaciones a ODEs Resumen
Esquema
IntroducciónContracciónPunto Fijo, Teorema de Contracción y demostración
Ecuación Integral de FredholmDefiniciónTeorema, demostración y resultados adicionales
Aplicaciones a ODEsProblemas de valor inicial de DEsTeorema y demostración de unicidad de ODEs
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IntroducciónContracciónPunto Fijo, Teorema de Contracción y demostración
Ecuación Integral de FredholmDefiniciónTeorema, demostración y resultados adicionales
Aplicaciones a ODEsProblemas de valor inicial de DEsTeorema y demostración de unicidad de ODEs
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Definición
ContracciónSea (X, d) un espacio métrico. Un mapeo T : X → X es unmapeo de contracción o simplemente llamado ”contracción” siexiste una constante c, con 0 ≤ c < 1, tal que
d(T (x), T (y)) ≤ cd(x, y) (1)
para todos x, y ∈ X.
Así, una contracción mapea los puntos a una distancia más"cercana" basado en una espacio métrico definido.
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En particular, para todo x ∈ X, y por cualquier r > 0, paratodos los puntos y en la esfera Br(x) son asignados a la esferaBs(Tx), con
Figura 1. T es una contracción.
s < r. Esto es ilustrado en la figura (Fig 1). Al observar (1) seconcluye que una contracción T es una funciónuniformemente continua.
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Punto Fijo y Teorema Contracción de Mapas
Definición. Punto Fijo.Si T : X → X, entonces el punto x ∈ X tal que
T (x) = x (2)
es llamado un punto fijo de T .
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Teorema de Contracción de Mapas
Teorema Contracción de mapas. Si T : X → X es un mapeode contracción es un espacio métrico completo (X, d) entoncesexiste exactamente un punto fijo (x ∈ X que es solución de laecuación 2).
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Demostración del teorema
Demostración. La prueba es constructiva, lo que significa queconstruiremos explicitamente una secuencia convergiendo a elpunto fijo. Sea x0 cualquier punto en X. Definimos la secuencia{xn} en X por
xn+1 = Txn paran ≥ 0.
Para simplificar la notación, normalmente omitiremos losparéntesis alrededor de el argumento del mapeo. Denotaremosla n-ésima iteración de T por Tn,de tal forma que xn = Tnx0.
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Mostramos que (xn) es Cauchy. Si n ≥ m ≥ 1, entonces de (1)y de la desigualdad triangular obtenemos:
d(xn, xm) = d(Tnx0, Tmx0)
≤ cmd(Tn−mx0, x0
)≤ cm
[d(Tn−mx0, T
n−m−1x0)
+ d(Tn−m−1x0, T
n−m−2x0)
+ . . .+ d (Tx0, x0)]
≤ cm[n−m−1∑k=0
ck
]d(x1, x0)
≤ cm[ ∞∑k=0
ck
]d(x1, x0)
≤(
cm
1− c
)d (x1, x0)
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lo que implica que (xn) es Cauchy. Ya que X es completo, (xn)converge a un limite x ∈ X. El hecho que el límite x es u puntofijo de T sigue de la continuidad de T :
Tx = T lımn→∞
xn = lımn→∞
Txn = lımn→∞
xn+1 = x.
Finalmente si x y y son dos puntos fijos, entonces:
0 ≤ d(x, y) = d(Tx, Ty) ≤ cd(x, y)
Ya que c < 1, tenemos que d(x, y) = 0,por lo que x = y y elpunto fijo es único.
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Ecuación Integral de Fredholm
Una Ecuación Integral de Fredholm del segundo tipo para unafunción desconocida f : [a, b]→ R es una ecuación de la forma:
f(x)−∫ b
ak(x, y)f(y)dy = g(x) (3)
donde k : [a, b]× [a, b]→ R y g : [a, b]→ R son funciones dadas.La ecuación integral (3) puede ser escrita como una ecuaciónde punto fijo Tf = f , donde el mapa T es definido por
Tf(x) = g(x) +
∫ b
ak(x, y)f(y)dy. (4)
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Teorema
TeoremaSupóngase que k : [a, b]× [a, b]→ R es una función continuatal que
supa≤x≤b
{∫ b
a|k(x, y)| dy
}< 1 (5)
y g : [a, b]→ R es una función continua. Entonces existe unafunción continua única f : [a, b]→ R que satisface (3).
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DemostraciónDemostración. Probamos este resultado cuando mostramosque cuando la condición del teorema se cumple, el mapa T esuna contracción en el espacio C([a, b]) con norma al máximo‖·‖∞. Como el espacio C([a, b]) es completo, T es unacontracción ya que para todas f1, f2 ∈ C([0, 1]) tenemos:
‖Tf1 − Tf2‖∞ = supa≤x≤b
∣∣∣∣∫ b
ak(x, y) (f1(y)− f2(y)) dy
∣∣∣∣≤ sup
a≤x≤b
∫ b
a|k(x, y)| |f1(y)− f2(y)| dy
≤ ‖f1 − f2‖∞ supa≤x≤b
{∫ b
a|k(x, y)| dy
}≤ c ‖f1 − f2‖∞ .
El resultado sigue del Teorema de Contracción de Mapas.
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De la prueba del Teorema de Contracción de Mapas,obtenemos el punto fijo f en el límite:
f = lımn→∞
Tnf0 (6)
para cualquier f0 ∈ C([a, b]). Es interesante re-interpretar ellímite como una serie. Definimos el mapaK : C([a, b])→ C([a, b]) por :
Kf =
∫ b
ak(x, y)f(y)dy.
El mapeo K es llamado el Operador Integral Fredholm y lafunción k es llamada el kernel de K. La Ecuación Integral deFredholm puede ser escrito como
(I −K)f = g, (7)
donde I es el mapeo identidad (If = f).
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El mapeo de contracción T esta dado por Tf = g +Kf , lo queimplica que:
Tnf0 = g +K (g + . . .+K (g +Kf0))
= g +Kg + . . .+Kng +Kn+1f0.
Obteniendo el punto fijo a través de iteraciones (ecuación 6),encontramos que:
f =
∞∑n=0
Kng.
Ya que f = (I −K)−1g, es posible escribir esta ecuaciónformalmente como:
(I −K)−1 =
∞∑n=0
Kn. (8)
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Estas series son llamadas las Series de Neumann. El uso delas sumas parciales de estas series para aproximar el inversoes llamado la Aproximación Born. Explicitamente tenemos:
(I +K +K2 + . . .
)f(x)
= f(x) +
∫ b
ak(x, y)f(y)dy +
∫ b
a
∫ b
ak(x, y)k(y, z)f(z)dydz + . . .
Las series de Neumann se parecen a las series geométricas,
(1− x)−1 =
∞∑n=0
xn para |x| < 1.
De hecho está serie de Neumann (ecuación 8) realmente esuna serie geométrica que converge absolutamente conrespecto a un operador de norma apropiado cuando ‖K‖ < 1.
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Aplicaciones a ODEsProblemas de valor inicial de DEsTeorema y demostración de unicidad de ODEs
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Problemas de valor inicial de DEs• El Teorema de Contracción de Mapas puede ser utilizado
para probar la existencia y unicidad de soluciones deproblemas de valor inicial.
• Consideremos un sistema de primer orden de ODEs parauna función u(t) que toma valores en Rn,
u(t) = f(t, u(t)), (9)u(t0) = u0
• Se asume que la función f(t, u) es continua de t yLipschitz continua de u e cierto dominio.
• Este ODE se puede re-formular como:
u(t) = u0 +
∫ t
t0
f(s, u(s))ds. (10)
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• Esta reformulación (ecuación 10) puede ser expresado enforma de ecuación punto fijo:
u = Tu (11)
por el mapa T definido por:
Tu(t) = u0 +
∫ t
t0
f(s, u(s))ds. (12)
• Queremos hallar las condiciones que garanticen que Tsea una contracción.
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Definición Lipschitz
Definición. Supóngase que f : I × Rn → Rn, donde I es unintervalo en R. Decimos que f(t, u) es globalmente Lipschitzcontinua de u uniformemente en t si existe una constanteC > 0 tal que
‖f(t, u)− f(t, v)‖ ≤ C ‖u− v‖ para todou, v ∈ Rn y todo t ∈ I.(13)
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Teorema de unicidad ODEs
Teorema. Supóngase que f : I × Rn → Rn, donde I es unintervalo en R y t0 un punto interior de I. Si f(t, u), es unafunción continua de (t, u) y globalmente Lipschitz continua deu, uniformemente en t, en I × Rn, entonces hay una únicafunción diferenciable u : I → Rnque satisface el problema devalor inicial (ecuación 9).
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Demostración del teorema de unicidadProbaremos que T es una contracción en el espacio defunciones continuas en el intervalo t0 ≤ t ≤ t0 + δ. Supóngaseque u, v : [t0, t0 + δ]→ Rn son dos funciones continuas.De la reformulación y de la condición de continuidad Lipschitz(ecuaciones 12 y 13) estimamos:
‖Tu− Tv‖∞ = supt0≤t≤t0+δ
‖Tu(t)− Tv(t)‖
= supt0≤t≤t0+δ
∥∥∥∥∫ t
t0
[f(s, u(s))− f(s, v(s))] ds
∥∥∥∥≤ sup
t0≤t≤t0+δ
∫ t
t0
‖f(s, u(s))− f(s, v(s))‖ ds
≤ supt0≤t≤t0+δ
∫ t
t0
C ‖u(s)− v(s)‖ ds
≤ Cδ ‖u− v‖∞
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• Escogiendo δ < 1/C, entonces T es una contracción enC([t0, t0 + δ]).
• Por lo tanto hay solución única en u : [t0, t0 + δ]→ Rn.• El argumento se mantiene para cualquier t0 ∈ I y
cubriendo I a través de intervalos de longitud menor a 1/Cvemos que el problema de valor inicial (ecuación 9) tienesolución única definida en I.
• Una prueba similar aplica para t0 − δ < t < t0.
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Gracias!