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Ejercicios complementarios sobre:
14.1 Varias variables14.3 Derivadas parciales14.4 Planos tangentes y aproximacion lineal
3.1. Hallar las segundas derivadas parciales,incluyendo las mixtas, para las funciones:
(a) f (x,y) =1
sin2 x+2ey
(b) f (x,y, z) = exyz
(c) f (x,y, z) = x2yz+ xy2z+ xyz2
(d) f (x,y, z) = xyz
3.2. El operador diferencial ∆ es conocido co-mo el laplaciano. En coordenadas cartesia-nas este operador aplicado a una funcion f =f (x,y, z) de clase C2 tiene la siguiente estructu-ra:
∆ f =∂ 2 f∂x2 +
∂ 2 f∂y2 +
∂ 2 f∂ z2
La ecuacion de Laplace para una funcion f declase C2 es: ∆ f = 0. Una funcion de clase C2
se llama armonica si satisface la ecuacion de laLaplace. Determine si las fucniones dadas sonarmonicas.
(a) f (x,y, z) = x2 + y2 + z2
(b) f (x,y, z) = x2 + y2 −2z2
(c) f (x,y, z) = x2 − y2 + z2
(d) f (x,y, z) =1√
x2 + y2 + z2
3.3. Encuentre la ecuacion del plano tangente ala superfcie
x2 −2y2 +5xz = 7
en el punto P
(−1,0,−6
5
).
3.4. Encuentre la ecuacion del plano tangente ala superfcie
x3 + y3 + z3 = 7
en el punto P(0,−1,2).
3.5. Encuentre la ecuacion de la recta normal ala superfcie
zey cosx = 1
en el punto P(π ,0,−1).
3.6. Encuentre un punto sobre la superficie
x3 −2y2 + z2 = 27
donde el plano tangente sea perpendicular a larecta
x = 3t −5
y = 2t +7
z = 1−√2t
3.7. Encuentre todos los puntos sobre el hiper-boloide
9x2 −45y2 +5z2 = 45
donde el plano tangente sea paralelo al plano
x+5y−2z = 7
3.8. Considere la superficie definida por laecuacion
x3z+ x2y2 + sin(yz)+3 = 0
En el punto P(−1,0,3) halle
(a) La ecuacion del plano tangente.(b) La ecuacion de la recta normal.
3.9. Demuestre que la recta normal a la super-ficie
x2 + y2 − z2 = 1
en el punto P(x0,y0, z0) intersecta el eje z.
3.10. Encuentre una expresion en coordenadascilındricas
x = rcosθy = r sinθz = z
para la ecuacion de Laplace.
3.11. Las figuras dadas a continuacion corres-ponden a los graficos y las curvas de nivel deciertas funciones. Llene la siguiente tabla es-cogiendo adecuadamente para cada funcion sugrafico y sus curvas de nivel (C.N.). Tenga algu-na estrategia valida para argumentar el porquelo hace.
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f (x,y) = Grafico C.N.(5x2 −3y2
)e−x2−2y2
2sin√
x2 + y2
x3 −3xy2
41+ x2 + y2
yx2e−x2−y2
− ln(x2 +5y2
)
2
10
-2 0 y-1
20
-10
40
z
x 1-2
60
2
A
2
1
-2 0
-0.1
y-1-10
0.0
x
z
1
0.1
-22
B
2
1-0.5-2 0
0.0
y
0.5
-1
1.0
-1
z
0
1.5
1x-22
C
2
1
-2 0
-10
y-1-10
0
x
z
1
10
-22
D
-10
-10
-2 zx
E
2
1
-2 0
1
y-1
2
-10
z
3
x 1-2
4
2
F
xK1.5 K1.0 K0.5 0 0.5 1.0 1.5
y
K1.5
K1.0
K0.5
0.5
1.0
1.5
a
xK2 K1 0 1 2
y
K2
K1
1
2
b
xK2 K1 0 1 2
y
K1.5
K1.0
K0.5
0.5
1.0
1.5
c
xK2 K1 0 1 2
y
K2
K1
1
2
d
xK2 K1 0 1 2
y
K1.0
K0.5
0.5
1.0
e
xK2 K1 0 1 2
y
K1.5
K1.0
K0.5
0.5
1.0
1.5
f
