České vysoké učení technické v Praze, Fakulta strojní
Dynamická pevnost a životnost & Mezní stavy konstrukcí - Jur III.1
Dynamická pevnost a životnost
Jur III
Milan Růžička, Josef Jurenka, Martin Nesládek
Poděkování:
Děkuji prof. Ing. Jiřímu Kunzovi, CSc za laskavé svolení s využitím některých obrázků z jeho knihy “Aplikovaná lomová mechanika, ČVUT, 2005“ v této přednášce.
České vysoké učení technické v Praze, Fakulta strojní
Dynamická pevnost a životnost & Mezní stavy konstrukcí - Jur III.2
Literatura J. Kunz: Aplikovaná lomová mechanika, ČVUT, 2005
J. Kunz: Základy lomové mechaniky, ČVUT, 2000
J. Němec: Prodlužování životnosti konstrukcí a předcházení jejich haváriím, Asociace strojních inženýrů v České republice, 1994
J. Kučera: Úvod do mechaniky lomu I : vruby a trhliny : nestabilní lom při statickém zatížení, 1. vyd. Ostrava : Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava, 2002
J. Kučera: Úvod do mechaniky lomu II : Únava materiálu, Ostrava : Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava, 1994
V. Moravec, D. Pišťáček: Pevnost dynamicky namáhaných strojních součástí, Ostrava : Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava, 2006
D Broek: Elementary Engineering Fracture Mechanics, 1. ed. Martinus Nijhoff Publ.,Boston 1982
D Broek: The Practical Use of Fracture Mechanics, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, The Netherlands, 1988
Růžička, M., Fidranský, J. Pevnost a životnost letadel. ČVUT, 2000.
Růžička, M., Hanke, M., Rost, M. Dynamická pevnost a životnost. ČVUT, 1987.
Pook, L. Metal Fatigue – What it is, why it matters. Springer, 2007.
České vysoké učení technické v Praze, Fakulta strojní
Dynamická pevnost a životnost & Mezní stavy konstrukcí - Jur III.3
Hnací síla trhliny G - definice Podle Griffithova kriteria křehkého lomu může nastat nestabilní šíření trhliny, pokud
energie potřebná pro rozšíření trhliny o přírůstek da bude dodána z příslušného systému tělesa s trhlinou. Energie pro šíření trhliny může být dodávána prací vnějších sil A nebo částí elastické deformační energie U, která je uvolňována při šíření trhliny.
WUAWv
Energetickou bilanci tělesa s trhlinou, které je zatíženého vnějšími silami je možné vyjádřit pomocí vztahu:
B
SW
Wv celková energie tělesa
A práce vnějších sil
U deformační energie
W disipační energie trhliny – energie potřebná pro vznik trhliny
specifická energie trhliny
S velikost lomové plochy
B tloušťka tělesa
ktpl 02
0 spec. pot. povrchová energie
pl spec. pot. energie plastické deformace
t spec. teplo uvolněné na čele trhliny
k spec. kin. energie nejbližsího okolí čela trhliny
České vysoké učení technické v Praze, Fakulta strojní
Dynamická pevnost a životnost & Mezní stavy konstrukcí - Jur III.4
Hnací síla trhliny G – energetická bilance
Pro desku jednotkové tloušťky B lze napsat podmínku stability trhliny:
a
WUA
aWAU
av
vd
d
d
d nebo ,0
d
d
UAa
d
dG N/mJ/m2
Veličina:
se nazývá HNACÍ SÍLA TRHLINY (rychlost uvolňování deformační energie)
Veličina:
představuje odpor materiálu proti šíření trhliny – lomovou houževnatost„vyjádřenou pomocí energie“
a
WR
d
d N/mJ/m2
(i)
České vysoké učení technické v Praze, Fakulta strojní
Dynamická pevnost a životnost & Mezní stavy konstrukcí - Jur III.5
Potom lze podmínku stability vyjádřit ve tvaru:
Ukázka výpočtu G: uvažujme těleso tloušťky B, s trhlinou délky a, zatížené silou P dle obr.
Působením sil dojde k relativnímu posuvu v jejího působiště. V okamžiku, kdy dojde k prodloužení trhliny o da zvětší se posunutí v o dv. Potom práce vykonaná vnějšími silami je Pdv. Za předpokladu elastické deformace je posunutí v poplatné poddajnosti desky, kterou lze vyjádřit:
Potom přírůstek práce vnějších sil lze zapsat jako:
a
CP
Ba
vP
Ba
A
d
d1
d
d1
d
d 2 (ii)
CPv
RG
České vysoké učení technické v Praze, Fakulta strojní
Dynamická pevnost a životnost & Mezní stavy konstrukcí - Jur III.6
Potom deformační energie akumulovaná v tělese (s trhlinou) je dána vztahem:
Dosazením (ii) a (iii) do (i) dostaneme:
(iii)a
dCP
Ba
dUCP
BPv
BU
d2
1
d,
2
1
2
1 22
a
C
B
P
a
CP
a
CP
BG
d
d
2d
d
2
1
d
d1 222
vP a
U
Ba
U
Ba
C
B
PG
d
d1
d
d1
2
2
Hnací síla není závislá na způsobu zatěžování.
České vysoké učení technické v Praze, Fakulta strojní
Dynamická pevnost a životnost & Mezní stavy konstrukcí - Jur III.7
Z poslední rovnice plyne, že hodnota hnací síly trhliny je vždy rovna derivacideformační energie AŽ NA ZNAMÉNKO.
Grafické znázornění energetické bilance P = konst.
konstantní síla Pkonstantní síla P
1P
a2
a
A C
D
P
v0 B
OAB - deformační energie U před prodloužením trhliny
aa 22
aa
OCD - deformační energie U po prodloužením trhliny
�ACBD – práce vnějších sil
v
nárůst deformační energie
tělesa = OCD - OAB = 1/2
�ACBD = OAC
Pa
U
BG
d
d1
České vysoké učení technické v Praze, Fakulta strojní
Dynamická pevnost a životnost & Mezní stavy konstrukcí - Jur III.8
Grafické znázornění energetické bilance v = konst.
konstantní posuv vkonstantní posuv v
1P
a2
a
A
D
P
v0 B
OAB - deformační energie U před prodloužením trhliny
aa 22
aa
OEB - deformační energie U po prodloužením trhliny
0v
pokles deformační energie
tělesa = OAB - OEB OAC = 1/2 �ACBD
va
U
BG
d
d1
E
C
ACE = 1/2vP 0,
zanedbáme
P
České vysoké učení technické v Praze, Fakulta strojní
Dynamická pevnost a životnost & Mezní stavy konstrukcí - Jur III.9
Kriterium stability dle Griffitha
Griffithe kriterium odvodil pro nekonečné těleso s centrální trhlinou eliptického tvaru délky 2a v podmínkách nulových posuvů okrajů tělesa a mód I namáhání s uvažováním dokonale křehkého materiálu disipační energie trhliny uvažoval pouze jako funkci specifické potenciání povrchové energie.
Podmínku ztráty stability lze vyjádřit ve tvaru:
Ra
UGa
B
SW
00
0 2d
d2
2
0 ktpl
RG
České vysoké učení technické v Praze, Fakulta strojní
Dynamická pevnost a životnost & Mezní stavy konstrukcí - Jur III.10
Elastickou deformační energii tělesa s trhlinou lze vyjádřit jako:
Výpočet Ua na základě řešení pole napětí a deformací v okolí trhliny
aUUU 0
U0 deformační energie tělesa bez trhliny
Ua úbytek deformační energie tělesa v důsledku existence trhliny = uvolněná deformační energie
a a
r ,rav
x
yy
a
ya rravrU0
d,0,2
12
r
ary
20,
r
ary
20,
RN 2
4,
RD2
14,
2
raa
Erav
raa
E
vrav
České vysoké učení technické v Praze, Fakulta strojní
Dynamická pevnost a životnost & Mezní stavy konstrukcí - Jur III.11
Integrací dostaneme:
a
ya rravrU0
d,0,2
12
RD1 2
2
aaE
vUa
RN1 2 aaE
Ua
Hnací síla trhliny:
00
dd dlim
d d da a
I aa
U UUG U U
a a a a
RD1 2
2
aE
vGI
RN1 2 aE
GI
Podmínka stability pro stav RD:
20
220
01
2.,
1
22
d
d
va
Eresp
v
Ea
a
UG ccI
České vysoké učení technické v Praze, Fakulta strojní
Dynamická pevnost a životnost & Mezní stavy konstrukcí - Jur III.12
Zobecnění kriterium stability dle Griffitha
Konečné rozměry tělesa vyjádření hnací síly trhliny G pomocí faktoru intenzity napětí K, kde korekční funkce Y zohledňuje skutečné rozměry tělesa.
Nekonečné těleso:
RD1
,11 2
22
22
2
IIIIII KE
vGK
E
va
E
vG
RN,1
,11 222 IIIIII K
EGK
Ea
EG
Konečné těleso:
21IIIIII K
E
vG
aK
aYK
České vysoké učení technické v Praze, Fakulta strojní
Dynamická pevnost a životnost & Mezní stavy konstrukcí - Jur III.13
Elastoplastický materiál vznik plastické deformace v okolí čela trhliny významně ovlivní jak velikost hnací síly trhliny G, tak i odpor materiálu proti šíření trhliny R.
Změna hodnoty G: Plastická deformace malého rozsahu hodnotu G lze určit pomocí K, které je korigované pomocí Irwinovy korekce na velikost plastické zóny.
Změna hodnoty R: U tvárných materiálů je třeba vzít v úvahu další složky specifické energie trhliny, které byly dříve zanedbány. Nejvýznamnější z nich je pl:
0 p
Kriterium stability:
IIIII,I,, jGG jcj
RGGG IIIIII
Platí pouze na začátku šíření trhliny.
České vysoké učení technické v Praze, Fakulta strojní
Dynamická pevnost a životnost & Mezní stavy konstrukcí - Jur III.14
R-křivky vs. hnací síla trhliny G Hodnota R odpovídá kritické hodnotě Gc určení R probíhá např.
experimentálně, kdy pro změřenou hodnotu c vedoucí k lomu vypočteme Gc, resp. R:
RD1 2
2
aE
vG cc RN
1 2 a
EG cc Vliv:
materiálových vlastností, podmínek zatěžování a okolního prostředí 6 210 10 J/mc oceli
G R
Kriterium stability lze vyjádřit graficky jako závislost G, resp. R na délce trhliny a a jejím přírůstku a. Na úvod výjdeme z přepokladů:
Ve stavu rovinné deformace lze uvažovat R jako konstantní funkci tedy jako materiálovou charakteristiku. (lom. houž.)
Budeme uvažovat nekonečné těleso hnací síla trhliny G bude přímo úměrná délce trhliny a.
.RD
Wa
12
Kritická délka trhliny ac jako funkce napětí .
Stabilita trhliny G < R.
České vysoké učení technické v Praze, Fakulta strojní
Dynamická pevnost a životnost & Mezní stavy konstrukcí - Jur III.15
Univerzálnější zobrazení na vodorovné ose vynášena jak délka trhliny a, tak i její přírůstek a:
Stabilita trhliny G < R
.RD
Wa
.
.
konstv
konst
.RD
Wa
12 .konstj
Počátek růstu trhliny G = R
Pro kratší trhlinu a napětí 2 hnací síla Gnedosáhla kritické hodnoty R trhlina se nezačne šířit! a = 0
Šíření trhliny G > RŠíření trhliny G > R
V podmínkách konstantního posuvu klesá napjatost a hnací síla trhliny G s délkou trhliny a roste pomaleji.
České vysoké učení technické v Praze, Fakulta strojní
Dynamická pevnost a životnost & Mezní stavy konstrukcí - Jur III.16
Stav rovinné napjatosti odpor materiálu proti šíření R není konstantní, ale funkcí délky trhliny R(a).
Ztrátě stability předchází stabilní šíření trhliny ke stabilnímu růstu trhliny dochází pouze pokud roste zatížení, resp. napětí.
Stabilní šíření nastane, pokud hodnota G dosáhne prahové hodnoty Gi, nestabilní šíření nastane, pokud hodnota G dosáhne kritické hodnoty Gc, resp. R.
cGaR
iGaR Počátek stabilního šíření
P
t
iP
Stabilní šíření podmíněno
růstem zatížení.
cPNestabilní šíření,
bez nutnosti zvětšování napětí
• G < Gi
trhlina se nešíří
• Gi < G < Gc
trhlina se šířístabilně
• Gc < G
trhlina se šířínestabilně
České vysoké učení technické v Praze, Fakulta strojní
Dynamická pevnost a životnost & Mezní stavy konstrukcí - Jur III.17
Stav rovinné napjatosti R-křivky
a
R
a
G
RG
RG 2
Počáteční délka trhliny ai
G(1,ai) < R(RD, RN, ai) šíření trhliny nenastane
G(2,ai) = R(RD) < R(RN, ai) nestabilní šíření trhliny nastane v
podmínkách RD, v podmínkách RN může nastat stabilní šíření, pokud bude
zvýšeno napětí.
3
G(3,ai) > R(RD) > R(RN,ai) stabilní šíření trhliny o a až do
okamžiku G(3,ai+a) = R(RN,ai+a), potom bez zvýšení napětí platí:
G(3,ai+a+a’) < R(RN,ai+a+a’),
RG
4
a
R
a
G
RG
G(4,ai+ac) = R(RN,ai+ac) G/a = R/a nastane nestabilníšíření trhliny G(4,ai+ac+a’) >
R(RN,ai+ac+a’)
České vysoké učení technické v Praze, Fakulta strojní
Dynamická pevnost a životnost & Mezní stavy konstrukcí - Jur III.18
Stav rovinné napjatosti R-křivky pro houževnaté materiály
Odpor materiálu proti šíření trhliny je dán především prací potřebnou na vytvoření plastické deformace, práce na spojování mikroporuch mnohem menší R-křivka prochází počátkem.
Velikost kritického napětí c, resp. zbytkové pevnosti je přímo úměrná sklonu tečny R-křivky.
Graf ukazuje závislost kritického napětí c, resp. zbytkové pevnosti a celkové kritické délky trhliny v okamžiku ztráty stability ac na počáteční délce trhliny a.
České vysoké učení technické v Praze, Fakulta strojní
Dynamická pevnost a životnost & Mezní stavy konstrukcí - Jur III.19
Stav rovinné deformace, resp. rovinné napjatosti vliv konečných rozměrů tělesa, způsobu zatěžování a okrajových podmínek.
Vliv těchto faktorů lze do výpočtu zahrnout pomocí korekčních funkcí Y původně lineární závislost se mění na obecnou změna kritických hodnot vyhodnocovaných veličin c a ac!
České vysoké učení technické v Praze, Fakulta strojní
Dynamická pevnost a životnost & Mezní stavy konstrukcí - Jur III.20
Faktor hustoty deformační energie S
Doposud uvedená kriteria lomové mechaniky K (faktor intenzity napětí) G(hnací síla trhliny) byla založena na předpokladu, že dopředu známe (předpokládáme) směr dalšího šíření trhliny, který byl předpokládán ve směru stávající trhliny.
Součásti jsou často zatížené kombinovaným módem namáhání I+II (+III) další šíření trhlin se v těchto případech neodehrává v původním směru.
Obecně lze řící, že směr šíření trhliny bude záviset na rozložení energie v tělese a na vlastnostech a struktuře materiálu Sih sestavil teorii predikce stability a směru šíření trhlin, která vychází z hustoty deformační energie.
České vysoké učení technické v Praze, Fakulta strojní
Dynamická pevnost a životnost & Mezní stavy konstrukcí - Jur III.21
Hustota deformační energie
Předpokládáme lineární elastický materiál potom hustota deformační energie bude:
MPa,J/m.,,,,2
1 3
,, 0
zyxjiddV
dU
jiijij
jiijij
ij
.
12,,
,,1
EG
G
E
xy
xy
zyxx
222
222
1
2
1
zxyzxy
xzzyyxzyx
E
EEdV
dU
Rozšířený Hookeův zákon
Uvažujme smíšený mód namáhání složky tenzoru napětí v blízkosti čela:
IIIII,I,;,,,,22
IIIIII
kzyxjifr
Kf
r
aijk
kijkijkijijij
České vysoké učení technické v Praze, Fakulta strojní
Dynamická pevnost a životnost & Mezní stavy konstrukcí - Jur III.22
Jednotlivé složky tenzoru napětí v okolí trhliny při smíšeném módu namáhání budou:
.2
sin2
1
,2
cos2
1
,2
3sin
2sin1
2cos
2
3cos
2cos
2sin
2
1
RN, pro0
RD, pro2
sin2
cos2
1
,2
3cos
2cos
2sin
2
3sin
2sin1
2cos
2
1
,2
3cos
2cos2
2sin
2
3sin
2sin1
2cos
2
1
IIIyz
IIIyz
IIIxy
z
IIIz
IIIy
IIIx
Kr
Kr
KKr
KKr
KKr
KKr
222
222
1
2
1
zxyzxy
xzzyyxzyx
E
EEdV
dU
233
222
122
11 21
IIIII
IIII
KaKa
KKaKa
rdV
dU
České vysoké učení technické v Praze, Fakulta strojní
Dynamická pevnost a životnost & Mezní stavy konstrukcí - Jur III.23
2 2 211 12 22 33
12I I II II III
dUa K a K K a K a K
dV r
.4
1a
RN pro,1cos3cos1cos11
4
16
1
RD pro,1cos3cos1cos11416
1
RN pro,1
1cossin
8
1
RD pro,21cossin8
1
RN pro,cos1cos1
3
16
1
RD pro,cos1cos4316
1
33
22
22
12
12
11
11
G
Ga
Ga
Ga
Ga
Ga
Ga
České vysoké učení technické v Praze, Fakulta strojní
Dynamická pevnost a životnost & Mezní stavy konstrukcí - Jur III.24
Faktor hustoty deformační energie S - definice
2 2 2 211 12 22 33
d2 , N/m, J/m .
dI I II II III
US r a K a K K a K a K
V
Díky uvažování smíšeného módu namáhání je faktor hustoty deformační energie směrově citlivý:
Sihova teorie nestabilního šíření je založena na dvou základních hypotézách:
1) K šíření trhliny dojde ve směru 0, ve kterém je faktor hustoty deformační energie S minimální
2) K šíření dojde, jestliže faktor hustoty deformační energie Sdosáhne ve směru 0 kritické hodnoty
002
2
SS0
cSS 0
České vysoké učení technické v Praze, Fakulta strojní
Dynamická pevnost a životnost & Mezní stavy konstrukcí - Jur III.25
Faktor hustoty deformační energie S patří mezi kriteria lineární lomové mechaniky.
Stejně jako předchozí dvě kritéria K a G vychází i S z předpokladu malé plastické zóny na čele trhliny.
Budeme-li na K a G pohlížet jako na skalární veličiny popisující stav tělesa s trhlinou vzhledem ke křehkému lomu, potom na veličinu S musíme pohlížet jako na vektor toto kritérium nám dovoluje určit jak okamžik nestabilního šíření trhliny, tak i směr, ve kterém k tomuto šíření dojde.
České vysoké učení technické v Praze, Fakulta strojní
Dynamická pevnost a životnost & Mezní stavy konstrukcí - Jur III.26
Faktor hustoty deformační energie S – příklad 1: Nekonečné těleso s trhlinou – mód I
Namáhání tělesa s trhlinou:
Dosazením do S dostaneme:
cos1cos4316
22
11 vG
aKaS I
Podmínka minima:
0,0, IIIIII KKaK
012cos2cos8
21arccos,0012cossin8
2
2
2
21
2
vG
aS
vvG
aS
České vysoké učení technické v Praze, Fakulta strojní
Dynamická pevnost a životnost & Mezní stavy konstrukcí - Jur III.27
Faktor hustoty deformační energie S – příklad 1: Nekonečné těleso s trhlinou – mód I
Podmínka minima:
012
04
2
2
2
2
2
2
2
1
vvG
aσ
θ
S
G
avσ
θ
S
θ
θ
aG
vSS 2
min4
210
Minimální hodnota S:
Ztráta stability trhliny (v podmínkách RD):
22
04
21
4
210 Iccc K
G
va
G
vSS
České vysoké učení technické v Praze, Fakulta strojní
Dynamická pevnost a životnost & Mezní stavy konstrukcí - Jur III.28
Faktor hustoty deformační energie S – příklad 2: Nekonečné těleso s trhlinou – mód II
Namáhání tělesa s trhlinou:
Dosazením do S dostaneme:
1cos3cos1cos11416
22
22
vG
aKaS II
Podmínka minima:
0,,0 IIIIII KaKK
021cos2cos38
3
21arccos,00cos321sin
82
2
2
21
2
vG
aS
vv
G
aS
České vysoké učení technické v Praze, Fakulta strojní
Dynamická pevnost a životnost & Mezní stavy konstrukcí - Jur III.29
Faktor hustoty deformační energie S – příklad 2: Nekonečné těleso s trhlinou – mód II
Podmínka minima:
026
014
22
2
2
2
2
2
2
1
vvG
aS
vG
aS
a
G
vvvSS 2
2
min12
12
3
21arccos
Minimální hodnota S:
Ztráta stability trhliny (v podmínkách RD) za předpokladu, že Sc je materiálová konstanta:
a
G
vK
G
vK
G
vva
G
vvSS cIcIIccc
2222
22
4
21
4
21
12
12
12
12
České vysoké učení technické v Praze, Fakulta strojní
Dynamická pevnost a životnost & Mezní stavy konstrukcí - Jur III.30
Faktor hustoty deformační energie S – příklad 3: Nekonečné těleso s trhlinou – mód I a II namáhání
Složky napětí 1 a 2 jsou hlavní napětí v desce a k je reálné číslo.
Pro vypočet S musíme znát hodnoty faktoru intenzity napětí KI a KII pro jednotlivé módy namáhání
aKaK III ,
Výpočet potřebných napětí a je možné provést aplikací Mohrovykružnice pro rovinnou napjatost:
2sin2
2cos22
12
1212
České vysoké učení technické v Praze, Fakulta strojní
Dynamická pevnost a životnost & Mezní stavy konstrukcí - Jur III.31
Hodnoty KI resp. KII potom jsou:
21 k
cossin1
2sin2
cossin
2cos112
2cos22
2
22
222
2
2222
k
k
k
kk
kk
akaK
akaK
II
I
cossin1
cossin
2
222
České vysoké učení technické v Praze, Fakulta strojní
Dynamická pevnost a životnost & Mezní stavy konstrukcí - Jur III.32
III KK ,
2 211 12 222I I II IIS a K a K K a K
Průběh normalizované hodnoty KI v závislosti na úhlu odklonu trhliny a poměru hlavních napětí k.
Průběh normalizované hodnoty KII v závislosti na úhlu odklonu trhliny a poměru hlavních napětí k.
2
20 0
S S
0 cS S
a
KI
2 a
KII
2
České vysoké učení technické v Praze, Fakulta strojní
Dynamická pevnost a životnost & Mezní stavy konstrukcí - Jur III.33
Faktor hustoty deformační energie S – příklad: trhlina ve stěně zkrucované válcové nádoby
Ve stěně uzavřené válcové nádoby, byl zjištěn defekt. Pro jednoduchost uvažujeme průchozí trhlinu dle obr.
X crack
Y crack
A
A
A - A
Oblast defektu
a2
České vysoké učení technické v Praze, Fakulta strojní
Dynamická pevnost a životnost & Mezní stavy konstrukcí - Jur III.34
Ve stěně uzavřené válcové nádoby tloušťky t, která je namáhána vnitřním přetlakem p, je pro velké hodnoty poměru poloměru ku tloušťce stěny možné zanedbat radiální složku napětí. V elementu stěny potom bude dvojosá napjatost, kde napětí 1 je napětí směru obvodovém a napětí 2 je napětí směru osovém.
1
1
2 2
2
1 222
2000 25000 2000 4,
2 5000 2000 2000 24
tp
p
t t
602
cossin1
cossin
2
222
k
k
21 k
akK
akK
II
I
cossin1
cossin
2
222
České vysoké učení technické v Praze, Fakulta strojní
Dynamická pevnost a životnost & Mezní stavy konstrukcí - Jur III.35
2
22
222
22
cossin11cos3cos1cos114
cossin1cossin21cossin4
cossincos1cos4364
kv
kkv
kva
GS
Dosazení do 22212
211 2 IIIIII KaKKaKaS
0,,0 0
vf
S
Výpočet směru šíření trhliny:
Rovnici může splňovat několik úhlů 0.
02
2
S
Vybereme pouze ty kořeny 0,, pro které platí daná nerovnost.
akKakK III cossin1,cossin 222
2
České vysoké učení technické v Praze, Fakulta strojní
Dynamická pevnost a životnost & Mezní stavy konstrukcí - Jur III.36
Průběh funkce v závislosti na - /2. ,0
vfvf ,0,, 00
Z průběhu funkce je vidět, že největší odklon iniciované trhliny od jejího původního směru asi 0 = 33,5° pro úhel odklonu trhliny - /2 = 57°. Trhlina se přitom snaží zaujmout takový směr, kde by normála jejích lícních ploch svírala se směrem většího hlavního napětí minimální úhel.
Dosadíme-li řešení, resp. úhel 0 do rovnice pro Sdostaneme hodnotu faktoru hustoty deformační energie.
,f
Stabilitu trhliny lze potom posoudit podle:
cSS 0
Konkrétně pro k = 0,5 lze dopočíst:
2
České vysoké učení technické v Praze, Fakulta strojní
Dynamická pevnost a životnost & Mezní stavy konstrukcí - Jur III.37
""S
Dosadíme-li několik bodů řešení, resp. úhlů f(,) pro různé do rovnice pro S dostaneme závislost hodnoty faktoru hustoty deformační energie na úhlu odklonu trhliny - /2 a Poissonova poměru v.
cSS 0
Velikost S pro odklon trhliny - /2 = 90° je přibližně 4x menší než pro - /2 = 0° přípustná délka trhliny na mezi stability je potom ve směru obvodovém asi čtyřikrát větší, nežli ve směru osovém.
Teorie hustoty deformační energie je založena na singulárním řešení stavu napjatosti (předpoklad elastické chování materiálu) v blízkém okolí čela trhliny vyhodnocení směru šíření platí pouze pro toto blízké okolí a po prodloužení trhliny neplatí.
2