Download - Dsp 2554 4
4
The z-transform
การแปลงแซด การแปลงแซด รศ.ดร. พรีะพล ยวุภษูิตานนท์
ภาควชิา วศิวกรรมอเิล็กทรอนกิส์
EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
CESdSP DSP4-1
เป้าหมาย
• นศ รูจกัความหมายของการแปลง แซด
• นศ เขาใจประโยชนและการนําการแปลงแซด ไปใชงาน
EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
CESdSP DSP4-2
ทาํไมต้องแปลงแซด ?
• เราใชการแปลง DTFT เพือ่ชวยในการวเิคราะหสญัญาณไมตอเนื่องทางเวลาโดยใช
• และยิง่มปีระโยชน ในการวเิคราะหในเชงิความถี ่
• แต DTFT เป็นการแปลงทีใ่ชกบัสญัญาณ steady–state
{ }je ω
( )jH e ω
• แต DTFT เป็นการแปลงทีใ่ชกบัสญัญาณ steady–state (เชน cos และ sin ) แตใชกบัสญัญาณทีส่าํคญับางอยางไมได เชน u(n) หรือ nu(n)
• การแปลงแซด (Z-transform) ใหคาํตอบได
EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
CESdSP DSP4-3
การแปลงแซด (z-Transform)
• สาํหรบั สญัญาณ x(n) จะมกีารแปลงแซดเป็น
• z หมายถงึ “ตวัแปรเชงิซอน” ซึง่เราจะใหเป็น
( ) [ ( )] ( ) n
n
X z Z x n x n z∞
−
=−∞
= ∑≜
jω=
• ซึง่มคีวามหมายถงึ “ขนาด” และ “เฟส”
•
jz z e ω=
z
Re
Im
ω
EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
CESdSP DSP4-4
การแปลงแซด (z-transform) (ต่อ)
หาก “ขนาด” มคีา่ เทา่ หนึ�ง ( ) จะได ้1z = jz e ω=
เราจะได ้วา่ การแปลง z กลายเป็นการแปลงฟูเรยีร์
ω ω∞
−∑
การแปลงฟรูิเยรเ์ป็นกรณีพิเศษ ของการแปลงแซด
( ) ( ) ( )j
j j n
z en
X z X e x n eωω ω
∞−
==−∞
= = ∑
EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
CESdSP DSP4-5
ตวัอยา่ง
วธิทีาํ
10.8 0.7
0.6n-1 0 21
( ) {1,0.8,0.7,0.6}h n =
h(n)
( ) {1,0.8,0.7,0.6}h n↑
=
1 2( ) 0.8 0.7 0.6H z z z z− −= + + +
EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
CESdSP DSP4-6
คูณสมบตักิารแปลงแซดที�สาํคัญ
• การเลือ่น
• การประสาน
[ ( )] ( )mZ x n m z X z−− =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )y n h k x n k Y z H z X z∞
= − ⇒ =∑
• การคณู x(n) ดวย n ( )
[ ( )]dX z
Z nx n zdz
= −
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )k
y n h k x n k Y z H z X z=−∞
= − ⇒ =∑
EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
CESdSP DSP4-7
บริเวณการลู่เข้า (Region Of Convergence )
( ) ( )nx n u nα=•พจิารณา ไดก้ารแปลง z
( ) ( ) n n nX z x n z zα∞ ∞
− −= =∑ ∑
( ) ( )nx n u nα=
0
( )0
11
0
( ) ( )
1
1
n n
n
n
X z x n z z
zz
α
αα
=−∞ =
∞−
−=
= =
= =−
∑ ∑
∑ 1 1zα − < z α>หรอื
EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
CESdSP DSP4-8
บริเวณการลู่เข้า (ต่อ)
ลองด ู ( ) ( 1)nx n u nα= − − −
( )
( ) ( )
1 11( )
1
nn n
n n
n n
X z z zα α− −
− −
=−∞ =−∞
∞ ∞
= − = −∑ ∑
( ) ( 1)nx n u nα= − − −
0
( ) ( )1 11
1 0
1
11 1
11
1
n n
n n
z zz
z
α αα
α
∞ ∞− −
−= =
−
= − = − = −−
=−
∑ ∑
ต่าง x(n) คาํตอบเหมือนกนั อะไรคอืความแตกต่าง?
1 1,zα − < z α<หรอื
EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
CESdSP DSP4-9
บริเวณการลูเ่ข้า ROC คือ บริเวณสเีทา เป็นบริเวณที�ทําให้สมการเป็นจริง
Im Im
( ) ( )nx n u nα= ( ) ( 1)nx n u nα= − − −
1
1( )
1X z
zα −=−
ROC
ReReαα
ROC
ROC อยูน่อกวงกลมรศัม ี α ROC อยูใ่นวงกลมรศัม ี α
โพล
EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
CESdSP DSP4-10
ตวัอยา่ง
วธิทีาํ
จงหาผลการแปลง Z และ บรเิวณการลู่เขา้ของ( ) ( ) ( 1)n nx n u n u nα β= − − −
1 1
0 0
( ) ( )
1 1
n n n
n n
X z z zα β∞ ∞
− − − +
= =
= −
= −
∑ ∑
1 1
1 1
1 1z zα β− −= −− −
เทอม แรก ROC คอื บรเิวณ z α>
เทอม สอง ROC คอื บรเิวณ z β<
EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
CESdSP DSP4-11
บรเิวณการลู่เขา้ ROCเป็นบรเิวณที�เกดิจากการ interceptionของROC ทั Rงสอง
Im Im
β α< α β<
( ) ( ) ( 1)n nx n u n u nα β= − − −
ReReα
ROC
ROC ไมม่คีา่, ดงันั Rนไม่มี X(z) ROC อยูร่ะหวา่งวงกลม
β α β
EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
CESdSP DSP4-12
ความเป็นคอซัล (Causality) สญัญาณที�เป็นคอซลั(causal) คอืสญัญาณที�มคีา่ในชว่ง 0n ≥
( ) ( )nx n u nα= ( ) ( 1)nx n u nα= − − −
สญัญาณที�เป็น คอซลัตรงกนัข้าม (anti-causal) มคีา่ในชว่ง 0n <
หรอืดจูาก ROC กไ็ด้
0 0
คอซลั คอซลัตรงกนัข้าม
EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
CESdSP DSP4-13
ROC อยู่นอกวงกลม=คอซัล ROC อยู่ในวงกลม=คอซัลตรงกันข้าม
• คอซลั • คอซลัตรงกนัขาม
Im ImROC
( ) ( )nx n u nα= ( ) ( 1)nx n u nα= − − −
ReReαα
ROC
ROC อยูน่อกวงกลมรศัม ี α ROC อยูใ่นวงกลมรศัม ี α
โพล
EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
CESdSP DSP4-14
การแปลง z ผกผนั (Inversion of the z-Transform)
• เพือ่แปลงกลบัจาก โดเมนแซดไปเป็นโดเมนเวลา
• พจิารณา
1( ) [ ( )]x n Z X z−≡
2 ... Na a z a z a z+ + + +
• จดัอยูในรูป
20 1 2
20 1 2
...( )
...
NN
MM
a a z a z a zX z
b b z b z b z
+ + + +=
+ + + +
20 1 2
1 2
...( )
( )( )...( )
NN
M
a a z a z a zX z
z p z p z p
+ + + +=
− − −
EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
CESdSP DSP4-15
โพลสามกรณี
• โพลเป็นจาํนวนจรงิไมซํา้คา
• โพลเป็นจาํนวนเชงิซอนไมซํา้คา
• โพลเป็นจาํนวนซํา้คา
• ใชวธิ ีPartial Fraction Expansion (PFE)
EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
CESdSP DSP4-16
1.โพลเป็นจาํนวนจริงไม่ซํ 'าค่า
ตวัอยา่ง
วธิทีาํ
2 2
2
4 4( )
0.25 ( 0.5)( 0.5)
z zY z
z z z= =
− − +
221 24
( )( 0.5)( 0.5) 0.5 0.5
z Cz C zY z
z z z z= = +
− + − +
1 2( ) 4
( 0.5)( 0.5) ( 0.5) ( 0.5)
Y z z C C
z z z z z= = +
− + − +
EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
CESdSP DSP4-17
หา C1 และ C2
• หา C1
1
4 4(0.5)2
0.5 1
zC
z =
= = =+
1 2
0.5
4 ( 0.5) ( 0.5) ( 0.5)
( 0.5)( 0.5) ( 0.5) ( 0.5)z
z z C z C z
z z z z=
− − −= +
− + − +
• หา C2
0.50.5 1zz =+
20.5
4 4( 0.5)2
0.5 1z
zC
z =−
−= = =
− −
1 2
0.5
4 ( 0.5) ( 0.5) ( 0.5)
( 0.5)( 0.5) ( 0.5) ( 0.5)z
z z C z C z
z z z z=−
+ + += +
− + − +
EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
CESdSP DSP4-18
( ) 2 2
0.5 0.5
Y z
z z z= +
− +
2 2( )
0.5 0.5
z zY z
z z= +
− +0.5 0.5z z− +
( ) 2(0.5) ( ) 2( 0.5) ( )n ny n u n u n= + −
ไดผ้ลการแปลงผกผนัแซดเป็น
EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
CESdSP DSP4-19
1
1( )
1
z transformna u n
az
−
−⇔
−
Table of Z-transform pairs
EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
CESdSP DSP4-20
2.โพลเป็นจาํนวนเชิงซ้อนไม่ซํ 'าค่า
2( )
1
zY z
z=
+
ตวัอยา่ง
วธิทีาํ1 2( )
C z C zzY z = = +
Y(z) แสดงโดย
1 22
( )1
C z C zzY z
z z j z j= = +
+ − +
1 2
2 2
( )
1 1j j
C z C zY z
z e z eπ π
−= +
− −2
0
cos sin2 2
j
j j
j
eπ
π π
= +
= +
=
EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
CESdSP DSP4-21
หา C1 2 2 2
1 222
2 2
( 1 ) ( 1 ) ( 1 )( )( 1 )
11 1
j j jj
j j
z z e C z z e C z z eY z z e
zz e z e
π π ππ
π π−
− − −− = = +
+− −
2 2 2( 1 ) ( 1 ) ( 1 )j j j
z e C z e C z eπ π π
− − −= +
=0
2
2 2 21 2
2 2 2 2
( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
( 1 )( 1 ) 1 1j
j j j j
z e
z e C z e C z e
z e z e z e z eπ
π π π π− −
=
− − −= +
− − − −
2
21
2 2 2
1 1 10.5
2( 1 ) ( )j
j
j j j
z e
C ej
z e e eπ
π
π π π
−
− −
=
= = = =
− −
EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
CESdSP DSP4-22
2 2 21 2( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
j j jz e C z e C z e
π π π
π π π π
− − −− − −
= +
หา C2 2 2 2
1 222
2 2
( 1 ) ( 1 ) ( 1 )( )( 1 )
11 1
j j jj
j j
z z e C z z e C z z eY z z e
zz e z e
π π ππ
π π
− − −−
−
− − −− = = +
+− −
22 2 2 2( 1 )( 1 ) 1 1j
j j j j
z ez e z e z e z eπ
π π π π
−
− −
=
= +− − − −
2
22
2 2 2
1 1 10.5
2( 1 ) ( )j
j
j j j
z e
C ej
z e e eπ
π
π π π
−
−
=
= = = =−
− −
EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
CESdSP DSP4-23
แทนค่า C1 และ C2 1 2
2 2
( )
1 1j j
C z C zY z
z e z eπ π
−= +
− −
2 20.5 0.5( )
j j
j j
e z e zY z
π π
π π
−
−= +
− −2 21 1j j
z e z e−
− −จาก ตารางที� 4.1 ขอ้ 14 หน้า 46
*2 cos( )
*n Cz C z
C p n p Cz p z p
∠ + ∠ ⇐ +− −
EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
CESdSP DSP4-24
2 2
2 2
0.5 0.5( )
1 1
j j
j j
e z e zY z
z e z e
π π
π π
−
−= +
− −
0.52
π∠ −
12
π∠
2
2 2
2 2
0.5 0.5( ) 2 0.5 1 cos( )
2 21 1
cos( )2 2
j jn
j j
e z e zy n n
z e z e
n
π π
π π
π π
π π
−
−= − ⇐ +
− −
= −
EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
CESdSP DSP4-25
3.โพลเป็นจาํนวนซํ 'าค่า 2
2( )
( 0.5)( 1)
zY z
z z=
− −ตวัอยา่ง
วธิทีาํ 21 2 3
2 2( )
( 0.5)( 1) ( 0.5) ( 1) 1
z C z C z C zY z
z z z z z= = + +
− − − − −2 2( )
( 0.5)( 1) ( 0.5) ( 1) 1Y z
z z z z z= = + +
− − − − −
หา C1 2 ( 0.5)z z −
( 0.5)z −1
2
0.5
( 0.5)
( 1)z
C z z
z=
−=
− ( 0.5)z −2 ( 0.5)C z z −
+ 3
2
( 0.5)
( 1)
C z z
z
−+
− 1z −
1 2 20.5
0.52
( 1) (0.5 1)z
zC
z=
= = =− −EEET0485 Digital Signal Processing
http://embedsigproc.wordpress.com Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
CESdSP DSP4-26
2 2( 1)z z −2( 0.5) ( 1)z z− −
21
1
( 1)
z
C z z
=
−=
22 ( 1)
( 0.5)
C z z
z
−+
− 2( 1)z −
23 ( 1)C z z −
+
2
1
1
12
( 0.5) (1 0.5)z
z
zC
z=
−
= = =− −
หา C2
หา C3 2 ( 1)z z − ( 1)( 1) C z zC z z −− ( 1)C z z −หา C3 2 ( 1)z z − 21
1
( 1)( 1)
( 0.5)( 1) ( 0.5)z
C z zC z z
z z z=
−−= +
− − −3 ( 1)
1
C z z
z
−+
− ( 1)z −
แทน z=1 ตรงๆเลย ไมไ่ด ้(เพราะอะไร?) และ สงัเกต การตดิคา่ C1 ไว้ต้องแทน C2=2 ลงไปก่อน
EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
CESdSP DSP4-27
21
3
1
2
( 1) 2( 0.5)
( 0.5)( 1)
2( 0.5) ( 1)
z
z C z zC
z z
z z C z
=
− − − −=
− −
− − − −
21
3
1
( 1) (2)
( 0.5)( 1) ( 0.5) 1z
C z zz zC z
z z z z=
−= + +
− − − −
13
11 1
( 1) (2)
( 0.5)( 1) ( 0.5) 1 zz z
C zzC
z z z z == =
−= − −
− − − −จดัสมการใหมเ่พื�อหา C3
ใช ้การหา
21
1
2( 0.5) ( 1)
( 0.5)( 1)
( 1)
z
z z C z
z z
z
=
− − − −=
− −
− − −= 1( 1)
( 0.5) ( 1)
C z
z z
−
− −1
1 02
(1 0.5)
z=
− −= = −
−
สลบัเทอม 2 กบั3
แทนคา่ z=1ในขั RนตอนนีR เทอม C1 จะหายไปเองเมื�อ z=1
EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
CESdSP DSP4-28
2
2 2
2 2 2( )
( 0.5)( 1) ( 0.5) ( 1) 1
z z z zY z
z z z z z= = + −
− − − − −
แทนคา่ลงไป
( ) 2(0.5) 2 2ny n n= + −
EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
CESdSP DSP4-29
ประโยชน์ของ z-Transform
• ชวยในการหาผลตอบสนองในโดเมนเวลาของระบบตวัอยา่ง
1 0
( ) ( ) ( )N M
l ml m
y n a y n l b x n m= =
+ − = −∑ ∑
วธิทีาํ( ) 0.9 ( 1) ( )y n y n x n= − +
วธิทีาํ1( ) 0.9 ( ) ( )Y z z Y z X z−= +
1
( ) 1( )
( ) 1 0.9
Y zH z
X z z −= =−
( ) (0.9) ( )nh n u n=EEET0485 Digital Signal Processing
http://embedsigproc.wordpress.com Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
CESdSP DSP4-30
2. ช่วยหาผลการประสาน
ตวัอยา่ง
วธิทีาํ
( ) (0.5) ( )nh n u n=1
( ) ( )3
n
x n u n =
( ) ( ) ( )y n h n x n= ∗
( ) ( ) ( )Y z H z X z=เราทราบว่าวธิทีาํ ( ) ( ) ( )Y z H z X z=เราทราบว่า( ) , 0.5
0.5
zH z z
z= >
−
0
1
10
1( ) ( )
3
1 1 1,
1 13 313 3
nn n
n n
n
n
X z x n z z
zz z
z z
∞ ∞− −
=−∞ =
∞−
−=
= =
= = = > − −
∑ ∑
∑
EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
CESdSP DSP4-31
( )10.53
z zY z
z z= ⋅
− −หา inverse z-transform
21 2( )
1 1( 0.5)( 0.5)( ) ( )3 3
z C z C zY z
zz z z= = +
−− − −( 0.5)( ) ( )3 3
z z z− − −
1 23, 2C C= = −3 2
( )1( 0.5) ( )3
z zY z
z z= −
− −
1( ) 3(0.5) ( ) 2 ( )
3
nny n u n u n = −
แปลงกลบั
EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
CESdSP DSP4-32
3.ช่วยหาเอาท์พุทของ difference equation
ตวัอยา่ง การหมนุของดาวเทยีมแสดงไดด้ว้ย
( ) ( 1) 0.5 ( 2) 0.5 ( ) 0.5 ( 1)y n y n y n x n x n− − + − = + −
( )y n = ตําแหน่งมุม(angular position) ( )x n = ทอรก์ (Torque) จากตวัขบั( )x n = ทอรก์ (Torque) จากตวัขบั
ใหห้า y(n) ที� x(n) เป็น ( )nδ
วธิทีาํ แปลง z
1 2 1( ) ( ) 0.5 ( ) 0.5 ( ) 0.5 ( )Y z z Y z z Y z X z z X z− − −− + = +
EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
CESdSP DSP4-33
1
1 2
0.5 0.5( ) ( )
1 0.5
zY z X z
z z
−
− −
+=
− +
ได ้Transfer function 1
1 2
0.5 0.5( )
1 0.5
zH z
z z
−
− −
+=
− +ขยายออกเป็น
/ 4 / 4
1.25 1.25
( ) 0.5( 1)
( 0.707 )( 0.707 )
0.79 0.79
j j
j j
Y z z
z z e z e
e e
π π−
−
+=
− −
CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
DSP4-34
1.25 1.25
/ 4 / 4
0.79 0.79
0.707 0.707
j j
j j
e e
z e z eπ π
−
−= +− −
1.25 1.25
/ 4 / 4
0.79 0.79( )
0.707 0.707
j j
j j
e z e zY z
z e z eπ π
−
−= +− −
เมื�อ คณูกลบัดว้ย z
( ) 1.58(0.707) cos( / 4 1.25), 0ny n n nπ= − ≥
ตําแหน่งมุม y(n) หาไดจ้ากการแปลง z ผกผนั
Transfer function
ขอ้กาํหนด 1 เราเรยีก H(z) วา่เป็น ฟงักช์นัถ่ายโอน (Transfer function) โดยที�
( ) ( ) ,n
n
H z h n z
∞−
=−∞
= ∑
y(n) เอาทพ์ทุของระบบ มกีารแปลง z
CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
DSP4-35
y h x( ) ( ) ( ) : ROC =ROC ROCY z H z X z= ∩y(n) เอาทพ์ทุของระบบ มกีารแปลง z
หรอืROC ของ h(n) จะตอ้ง overlap กบั ROC ของ x(n) จงึจะม ีY(z)
1 1
( ) ( ) ( )N M
k lk l
y n a y n k b y n l= =
+ − = −∑ ∑
จากระบบ LTI ที�มสีมการความแตกต่างเป็น
1 1
( ) ( ) ( )N M
k lk l
k l
Y z a z Y z b z X z− −
= =
+ =∑ ∑หรอืเขยีนเป็น H(z)
1
1
( ) ( )( )
( ) ( )1
Ml
ll
Nk
kk
b zY z B z
H zX z A za z
−
=
−
=
= =+
∑
∑≜
( )
( 1)0 1
0
( 1)
M M M M
N N N
bb z z b z
b− −
− −
+ + +
=+ + +
⋯
⋯
CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
DSP4-36
( )( 1)1
N N NNz z a z a− −
=+ + +⋯
1 20
1 2
( )( ) ( )
( )( ) ( )N M M
N
z z z z z zb z
z p z p z p− − − −
=− − −
⋯
⋯
เราได้ zk= ซโีร ่ pk =โพล
( )
( )1
0
1
( )
M
lN M
N
k
z zH z b z
z p
−−
=−
∏
∏
ถา้ ROC ครอบคลุม unit circle จะหาผลตอบสนองความถี�ของระบบได ้
( )
( )( ) 1
0
1
( )
j
Mj
lj j N M
Nj
kz e
e zH e b e
e pω
ω
ω ω
ω
−
=
−=
−
∏
∏Transfer function
หาผลตอบสนองความถี�จากการแปลง z
1 z e=
1
0
1
( )j j
Mj
j jN
e z e zH e b
e p e p
ω ωω
ω ω
− −=
− −
⋯
⋯
Magnitude response
[ ] ( ) ( ) ( )1 1
( ) 0M N
j j jk k
constant linearnonlinear
H e or N M e z e pω ω ωπ ω∠ = + − + ∠ − − ∠ − ∑ ∑����� ������� ���������������
Phase response
EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
CESdSP DSP4-37
แสดงเวคเตอร์จากโพลและซีโร่ไปยัง unit circle
ω Re(z)
Im(z)
pk
jke pω −
เวคเตอรจ์ากโพลไป unit circle:
เวคเตอรจ์ากซโีร่ไป unit circle:
ω Re(z)
Unit circle zl
jle zω −
EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
CESdSP DSP4-38
1
Pole−Zero Plot 20
Mag
nitu
de (d
B)
ตวัอยา่ง
วธิทีาํ
( ) 0.9 ( 1) ( )y n y n x n= − +
สาํหรบัสญัญาณ y(n)
1
1( )
1 0.9H z
z −=−
0.9z >
ผลตอบสนองความถี�โพลซโีร ่พล๊อต
−1 −0.5 0 0.5 1−1
−0.5
0
0.5
1
Real Part
Imag
inar
y P
art
0.90
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−100
−50
0
Normalized Frequency (×π rad/sample)
Pha
se (d
egre
es)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−10
0
10
Normalized Frequency (×π rad/sample)
Mag
nitu
de (d
B)
EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
CESdSP DSP4-39
สรุป
• หาผลลพัทการแปลงแซดไดในบางกรณีทีใ่ชการแปลง DTFT ไมได
• สมการการแปลงแซดใหความหมายมากกวาหนึ่งสญัญาณโดเมนเวลา โดยแตกตางกนัตาม ROCสญัญาณโดเมนเวลา โดยแตกตางกนัตาม ROC
• การแปลงแซดชวยหาผลลพัธสมการผลตางได
• การแปลงแซดชวยหาผลตอบสนองความถีไ่ด
EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
CESdSP DSP4-40