Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - Lecture 9 / Vorlesung 9 - WS 2005 / 2006 1
Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - Lecture 9 / Vorlesung 9 - WS 2005 / 2006 1
Numerical Methods of Electromagnetic Field Theory I (NFT I)
Numerische Methoden der Elektromagnetischen Feldtheorie I (NFT I) /
9th Lecture / 9. Vorlesung
Universität KasselFachbereich Elektrotechnik / Informatik
(FB 16)Fachgebiet Theoretische Elektrotechnik
(FG TET)Wilhelmshöher Allee 71
Büro: Raum 2113 / 2115D-34121 Kassel
Dr.-Ing. René [email protected]
http://www.tet.e-technik.uni-kassel.dehttp://www.uni-kassel.de/fb16/tet/marklein/index.html
University of KasselDept. Electrical Engineering / Computer
Science (FB 16)Electromagnetic Field Theory
(FG TET)Wilhelmshöher Allee 71
Office: Room 2113 / 2115D-34121 Kassel
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3-D FIT – Derivation of the Discrete Grid Equations / 3D-FIT – Ableitung der diskreten Gittergleichungen
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )m
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )m
( ) ( ) ( ) (
d ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )dd ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )dd ( ) ( ) ( )d
m u f d b mx y z y z x
m u l d r my x z x z y
m b r fz x y x
B t y z E t y E t z E t y E t z J t y zt
B t x z E t x E t z E t x E t z J t x zt
B t x y E t x E t y Et
∆ ∆ = − ∆ + ∆ − ∆ − ∆ − ∆ ∆
∆ ∆ = − − ∆ + ∆ + ∆ − ∆ − ∆ ∆
∆ ∆ = − ∆ + ∆ − ) ( ) ( )m( ) ( ) ( )l m
y zt x E t y J t x y ∆ − ∆ − ∆ ∆
{ }{ }
( )( )( ) ( ) ( ) ( )m
( )( )( ) ( ) ( ) ( )m
( )( )
d ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )dd ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )dd ( ) ( )d
yz
xz
y
n Mn Mn n n nx y y z z x
n Mn Mn n n ny x x z z y
n Mnz x
B t y z E t E t y E t E t z J t y zt
B t x z E t E t x E t E t z J t x zt
B t x y E t Et
−−
−−
−
∆ ∆ = − − ∆ + − ∆ − ∆ ∆
∆ ∆ = − − ∆ + − ∆ − ∆ ∆
∆ ∆ = − −{ }( )( ) ( ) ( )m( ) ( ) ( ) ( )xn Mn n n
x y y zt x E t E t y J t x y− ∆ + − ∆ − ∆ ∆
Local grid equations in local notation / Lokale Gittergleichungen in lokaler Notation
Local grid equations in global grid node notation / Lokale Gittergleichungen in globaler Gitterknotennotation
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3-D FIT – Derivation of the Discrete Grid Equations / 3D-FIT – Ableitung der diskreten Gittergleichungen
( )( )
( ) ( )0
0( ) ( )
ii
n MnM
n n
n n
S f f
S f fS I
I f f
±± =
=
=
=
Local spatial shift operators / Lokale räumliche Schiebeoperatoren
{ }{ }
( )( )( ) ( ) ( ) ( )m
( )( )( ) ( ) ( ) ( )m
( )( )
d ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )dd ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )dd ( ) ( )d
yz
xz
y
n Mn Mn n n nx y y z z x
n Mn Mn n n ny x x z z y
n Mnz x
B t y z E t E t y E t E t z J t y zt
B t x z E t E t x E t E t z J t x zt
B t x y E t Et
−−
−−
−
∆ ∆ = − − ∆ + − ∆ − ∆ ∆
∆ ∆ = − − ∆ + − ∆ − ∆ ∆
∆ ∆ = − −{ }( )( ) ( ) ( )m( ) ( ) ( ) ( )xn Mn n n
x y y zt x E t E t y J t x y− ∆ + − ∆ − ∆ ∆
{ }{ }
( ) ( ) ( ) ( )m
( ) ( ) ( ) ( )m
( ) ( ) ( )
d ( ) ( ) ( ) ( )dd ( ) ( ) ( ) ( )dd ( ) ( ) ( )d
z y
z x
y x
n n n nx M y M z x
n n n ny M x M z y
n n nz M x M y
B t y z S I E t y I S E t z J t y zt
B t x z I S E t x S I E t z J t x zt
B t x y S I E t x I S E tt
−
− −
− −
∆ ∆ = − − ∆ + − ∆ − ∆ ∆
∆ ∆ = − − ∆ + − ∆ − ∆ ∆
∆ ∆ = − − ∆ + − ∆ { } ( )m ( )nzy J t x y− ∆ ∆
Local grid equations in global grid node notation / Lokale Gittergleichungen in globaler Gitterknotennotation
Local grid equations with local spatial shift operators in global grid node notation / Lokale Gittergleichungen mit lokalen räumlichen Schiebeoperatoren in globaler Gitterknotennotation
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3-D FIT – Local Spatial Shift Operators / 3D-FIT – Lokale räumliche Schiebeoperatoren
( )( ) ii
n MnMS f f ±
± =
1. Simple spatial shift operation / Einfache räumliche Schiebeoperation
( ) ( )n nI f f=
2. Identity operation / Identitätsoperation
3. Multiple shift operations / Zusammengesetzte Schiebeoperationen
( )( ) ( ) i ji j j i
n M Mn nM M M MS S f S S f f ± ±
± ± ± ±= =
Special case for / Speziell folgt für
i iM MS S I± =∓
j iM M= − j iM M= −
4. Local difference operator / Lokaler Differenzoperator
i iM MP I S± ±= ±∓
5. Local averaging operator / Lokaler Mittelungsoperator
( )12i iM MA I S± ±= +
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3-D FIT – Derivation of the Discrete Grid Equations / 3D-FIT – Ableitung der diskreten Gittergleichungen
… in local matrix form / … in lokaler Matrixform
{ }{ }
( ) ( ) ( ) ( )m
( ) ( ) ( ) ( )m
( ) ( ) ( )
d ( ) ( ) ( ) ( )dd ( ) ( ) ( ) ( )dd ( ) ( ) ( )d
z y
z x
y x
n n n nx M y M z x
n n n ny M x M z y
n n nz M x M y
B t y z S I E t y I S E t z J t y zt
B t x z I S E t x S I E t z J t x zt
B t x y S I E t x I S E tt
−
− −
− −
∆ ∆ = − − ∆ + − ∆ − ∆ ∆
∆ ∆ = − − ∆ + − ∆ − ∆ ∆
∆ ∆ = − − ∆ + − ∆ { } ( )m ( )nzy J t x y− ∆ ∆
[ ]{ } [ ]
[ ]( )
( )( ) ( )
( )
( )
( ) curl
0( ) ( )d ( ) 0d
( ) 0
z y
z x
y x
n
nn nM Mx xny M M
nz M M
S RB t
S I I SB t E ty z xx z B t I S S I y E
tx y zB t S I I S
−
− −
− −= =
= =
− − ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ = − − − ∆ ∆ ∆ ∆ − − { }
[ ]{ }
( )
( )m
( )
( )
( )
( )
( )( )m( )m
( )m
( )
( )
( )
( )
( )
( )
n
n
n
ny
nz
E t
nnxny
nz
SJ t
t
E t
J ty zx z J t
x y J t
=
==
∆ ∆ − ∆ ∆ ∆ ∆
Local grid equations with local spatial shift operators in global grid node notation / Lokale Gittergleichungen mit lokalen räumlichen Schiebeoperatoren in globaler Gitterknotennotation
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3-D FIT – … Discrete Grid Equations in Local Matrix Form / 3D-FIT – ... diskreten Gittergleichungen in lokaler Matrixform
[ ]{ } [ ]
[ ]( )
( )( ) ( )
( )
( )
( ) curl
0( ) ( )d ( ) 0d
( ) 0
z y
z x
y x
n
nn nM Mx xny M M
nz M M
S RB t
S I I SB t E ty z xx z B t I S S I y E
tx y zB t S I I S
−
− −
− −= =
= =
− − ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ = − − − ∆ ∆ ∆ ∆ − − { }
[ ]{ }
( )
( )m
( )
( )
( )
( )
( )( )m( )m( )m
( )
( )
( )
( )
( )
( )
n
n
n
ny
nz
E t
nnxnxnx
SJ t
t
E t
J ty zx z J t
x y J t
=
==
∆ ∆ − ∆ ∆ ∆ ∆
[ ]
0 0
0 0 curl
0 0
z y z y
z x z x
y x y x
M M M M
M M M M
M M M M
S I I S P P
I S S I P P
S I I S P P
− − − −
− − − −
− − − −
− − − − − = − = − − −
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3-D FIT – … Discrete Grid Equations in Local Matrix Form / 3D-FIT – ... diskreten Gittergleichungen in lokaler Matrixform
[ ] { } [ ][ ]{ } [ ]{ }( ) ( ) ( )m
d ( ) curl ( ) ( )d
n n nS B t R E t S J tt
= − −
[ ]
{ }
3 3
( ) 3
Diagonal matrix of elementary surfaces on the grid /Diagonalmatrix der Elementarflächen auf dem Gitter Algebraic magnetic flux density vector /
( )Algebraischer magnetischer Flussdichte
n
GS
G
B t
×∈
∈
[ ]
[ ]
3 3
3 3
vektor Topological curl operator in matrix form on the grid /
curlTopologischer Rotationsoperator in Matrixform auf dem Gitter Diagonal matrix of elementary lines on the grid /Diagonalm
GG
GR
×
×
∈
∈
{ }
{ }
( ) 3
( ) 3m
atrix der Elementarstrecken auf dem Gitter Algebraic electric field strength vector /
( )Algebraischer elektrische FeldstärkevektorAlgebraic magnetic current density vector /
( )Algebrai
n
n
G
E t
J t
∈
∈scher magnetischer Stromdichtevektor
[ ]{ } [ ]
[ ]( )
( )( ) ( )
( ) ( )
( ) (
( ) curl
0( ) ( )d ( ) 0 ( )d
( ) 0
z y
z x
y x
n
nn nM Mx xn ny M M ynz zM M
S RB t
P PB t E ty z xx z B t P P y E t
tx y zB t EP P
− −
− −
− −= =
= =
− ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ = − − ∆ ∆ ∆ ∆ − { }
[ ]{ }( ) ( )
m
( ) ( )( )m( )m( ))m
( ) ( )
( )
( )
( )( )n n
n nnxnxnnx
SE t J t
J ty zx z J t
x y J tt=
= =
∆ ∆ − ∆ ∆ ∆ ∆
Faraday’s induction law in local matrix form / Faradaysches Induktionsgesetz in lokaler Matrixform
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3-D FIT – Derivation of the Discrete Grid Equations / 3D-FIT – Ableitung der diskreten Gittergleichungen
1x x=3z x=2y x=
( )nxE
( )nzB
( )nyB
( )yn MzB+
( )zn MyB+
( )nzB
( )yn MzB+
1x x= 3z x=
2y x=
integration cell / -Integrationszelle( )mxE
I ( )mxE
I
z∆
y∆
( )zn MyB+
( )nxE
( )nyB
( )nm( )yn Mm +
( )y zn M Mm + + ( )zn Mm +
( )
( )
y
y
n M
n M
+
+
ε
ν
( )
( )
n
n
ε
ν
( )
( )
y z
y z
n M M
n M M
+ +
+ +
ε
ν
( )
( )
z
z
n M
n M
+
+
ε
ν
( )nm
( )yn Mm +
( )y zn M Mm + +
( )zn Mm +
ed ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( , )d S C S S
t t tt =∂
= − ∫∫ ∫ ∫∫ε R E R dS ν R B R dR J R dSi i i i i
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3-D FIT – Derivation of the Discrete Grid Equations / 3D-FIT – Ableitung der diskreten Gittergleichungen
( ) ( )
( )
3 3
( ) ( , ) ( ) ( , ) d
( ) ( , ) d
( ) ( ) d
xS S
xx xSnx xxS
t t S
E t S
E t S
y z y z
ε
ε
=
=
=
+Ο ∆ ∆ + ∆ ∆
∫∫ ∫∫∫∫
∫∫
ε R E R dS e ε R E R
R R
R
i i i
( )
( ) ( )( )( )
( )
( ) d
14
y y zz
nxx
xxS
n M n M Mn Mnxx xx xx xx
nxx
S
y z
y z
ε
ε
ε ε ε ε
ε
+ + ++
=
= + + + ∆ ∆
= ∆ ∆
∫∫ R
( ) ( )( ) 3 3( )
( ) ( , )
( )
Snnxxx
t
E t y z y z y zε
= ∆ ∆ +Ο ∆ ∆ + ∆ ∆
∫∫ ε R E R dSi
( ) ( )
e
3 3( )e
( , )
( )
S
nx
t
J t y z y z y z = ∆ ∆ +Ο ∆ ∆ + ∆ ∆
∫∫ J R dSi
ed ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( , )d S C S S
t t tt =∂
= − ∫∫ ∫ ∫∫ε R E R dS ν R B R dR J R dSi i i i i
( )nzB
( )yn MzB+
1x x= 3z x=
2y x=integration cell / -Integrationszelle( )mxE
I ( )mxE
I
z∆
y∆
( )zn MyB+
( )nxE
( )nyB
( )nm( )yn Mm +
( )y zn M Mm + + 3( )n Mm +
( )
( )
y
y
n M
n M
+
+
ε
ν
( )
( )
n
n
ε
ν
( )
( )
y z
y z
n M M
n M M
+ +
+ +
ε
ν
( )
( )
z
z
n M
n M
+
+
ε
ν
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3-D FIT – Derivation of the Discrete Grid Equations / 3D-FIT – Ableitung der diskreten Gittergleichungen
ed ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( , )d S C S S
t t tt =∂
= − ∫∫ ∫ ∫∫ε R E R dS ν R B R dR J R dSi i i i i
( ) ( , ) ?C S
t=∂
= ∫ ν R B R dRi i
( )
( )
( )
( )
( ) ( , ) ( ) ( , )d
( ) ( , ) d
( ) ( , )d
( ) ( , )d
u
f
d
b
yy yC S C
zz zC
yy yC
zz zC
t B t y
B t z
B t y
B t z
ν
ν
ν
ν
=∂ =
+
−
−
∫ ∫∫∫∫
ν R B R dR R R
R R
R R
R R
i i( )bzB
( )fzB
1x x= 3z x=
2y x=integration cell / -Integrationszelle( )mxE
I ( )mxE
I
z∆
y∆
( )dyB
( )nxE
( )uyB
( )nm( )yn Mm +
( )y zn M Mm + + 3( )n Mm +
( )
( )
y
y
n M
n M
+
+
ε
ν
( )
( )
n
n
ε
ν
( )
( )
y z
y z
n M M
n M M
+ +
+ +
ε
ν
( )
( )
z
z
n M
n M
+
+
ε
ν
d d dd d
d d
x
y y
z z
S y zR y
R z
= =
= =
= =
dS n edR s e
dR s e
( )
( )
( )
( )
( ) ( , ) ( ) ( , )
( ) ( , )
( ) ( , )
( ) ( , )
u
f
d
b
C S C
C
C
C
t t
t
t
t
=∂ =
+
+
+
∫ ∫∫∫∫
ν R B R dR ν R B R dR
ν R B R dR
ν R B R dR
ν R B R dR
i i i i
i i
i i
i i
Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - Lecture 9 / Vorlesung 9 - WS 2005 / 2006 6
Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - Lecture 9 / Vorlesung 9 - WS 2005 / 2006 11
3-D FIT – Derivation of the Discrete Grid Equations / 3D-FIT – Ableitung der diskreten Gittergleichungen
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) (
3( )
3( )
3( )
( )
( ) ( , )d ( ) ( )d
( ) ( , )d ( ) ( )d
( ) ( , )d ( ) ( )d
( ) ( , )d ( ) ( )d
u u
f f
d d
b b
uyy y y yyC C
fzz z z zzC C
dyy y y yyC C
bzz z z zzC C
B t y B t y y
B t z B t z z
B t y B t y y
B t z B t z
ν ν
ν ν
ν ν
ν ν
= + ∆
= + ∆
= + ∆
=
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫
R R R
R R R
R R R
R R R
○
○
○
( ))3z + ∆ ∫ ○
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( , )
( ) ( , )d ( ) ( , ) d ( ) ( , )d ( ) ( , )du f d b
C S
yy y zz z yy y zz zC C C C
t
B t y B t z B t y B t zν ν ν ν=∂
= + − −
∫∫ ∫ ∫ ∫
ν R B R dR
R R R R R R R R
i i
( )
( )
( )
( )
( )( )
( )( )
( ) ( )
( )( )
1( )d2
1( )d2
1 ( )d2
1( )d2
yu
y zzf
y y zd
zb
n Mnyy yy yyC
n M Mn Mzz yy yyC
n M n M Myy zz zzC
n Mnzz zz zzC
y y
z z
y y
z z
ν ν ν
ν ν ν
ν ν ν
ν ν ν
+
+ ++
+ + +
+
= + ∆
= + ∆
= + ∆
= + ∆
∫
∫
∫
∫
R
R
R
R
Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - Lecture 9 / Vorlesung 9 - WS 2005 / 2006 12
3-D FIT – Derivation of the Discrete Grid Equations / 3D-FIT – Ableitung der diskreten Gittergleichungen
ed ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( , )d S C S S
t t tt =∂
= − ∫∫ ∫ ∫∫ε R E R dS ν R B R dR J R dSi i i i i
( )nzB
( )yn MzB+
1x x= 3z x=
2y x=
integration cell / -Integrationszelle( )mxE
I ( )mxE
I
z∆
y∆
( )zn MyB+
( )nxE
( )nyB
( )nm( )yn Mm +
( )y zn M Mm + + 3( )n Mm +
( )
( )
y
y
n M
n M
+
+
ε
ν
( )
( )
n
n
ε
ν
( )
( )
y z
y z
n M M
n M M
+ +
+ +
ε
ν
( )
( )
z
z
n M
n M
+
+
ε
ν
( )
( )
( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
( ) ( ) (
( ) ( , )
1 ( )2
1 ( )2
12
y
nyy
y zz z
n Myyy
y y z
n Mzzz
C S
n Mn nyy yy y
n M Mn M n Myy yy y
n M n M M nzz zz z
t
B t y
B t y
B
ν
ν
ν
ν ν
ν ν
ν ν
+
+
=∂
+
=
+ ++ +
=
+ + +
=
= + ∆
− + ∆
+ +
∫ ν R B R dRi i
( )
)
( )( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( )
( )
1 ( )2
( ) ( )
( ) ( )
y
z
nzz
y y
z y
M
n Mn nzz zz z
n n M n Mnyy yyy y
n M nn M nzz zzz z
t z
B t z
B t y B t y
B t z B t z
ν
ν ν
ν ν
ν ν
+
+
=
+ +
+ +
∆
− + ∆
= ∆ − ∆
+ ∆ − ∆
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3-D FIT – Derivation of the Discrete Grid Equations / 3D-FIT – Ableitung der diskreten Gittergleichungen
ed ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( , )d S C S S
t t tt =∂
= − ∫∫ ∫ ∫∫ε R E R dS ν R B R dR J R dSi i i i i
integration cell / -Integrationszelle( )mxE
I ( )mxE
I
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )e
( ) ( )( ) ( ) ( )e
d ( ) ( ) ( )d
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
z z
y y
z y
n n n M n Mn nxx yy yyx y y
n M nn M n nzz zzz z x
n nn n nyy zzM y M z x
E t y z B t y B t yt
B t z B t z J t y z
I S B t y S I B t z J t y z
ε ν ν
ν ν
ν ν
+ +
+ +
∆ ∆ = ∆ − ∆
+ ∆ − ∆ − ∆ ∆
= − ∆ + − ∆ − ∆ ∆
Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - Lecture 9 / Vorlesung 9 - WS 2005 / 2006 14
3-D FIT – Derivation of the Discrete Grid Equations / 3D-FIT – Ableitung der diskreten Gittergleichungen
1x x=3z x=2y x=
( )nzB
( )xn MzB+
( )nm
( )zn Mm +
( )xn Mm +
( )x zn M Mm + +
ed ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( , )d S C S S
t t tt =∂
= − ∫∫ ∫ ∫∫ε R E R dS ν R B R dR J R dSi i i i i
( )nyE
( )nxB
( )zn MxB+
( )nzB
( )xn MzB+
( )nyE
( )nxB
( )zn MxB+
( )xn Mm +( )nm
( )zn Mm + ( )x zn M Mm + +
( )
( )
n
n
ε
ν
( )
( )
x
x
n M
n M
+
+
ε
ν
( )
( )
z
z
n M
n M
+
+
ε
ν
( )
( )
x z
x z
n M M
n M M
+ +
+ +
ε
ν
integration cell / -Integrationszelle( )myE
I ( )myE
I
1x x=3z x=2y x=
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Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - Lecture 9 / Vorlesung 9 - WS 2005 / 2006 15
3-D FIT – Derivation of the Discrete Grid Equations / 3D-FIT – Ableitung der diskreten Gittergleichungen
1x x=3z x=2y x=
( )nzE
( )nyB ( )xn M
yB+
( )nm
( )yn Mm + ( )x yn M Mm + +
ed ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( , )d S C S S
t t tt =∂
= − ∫∫ ∫ ∫∫ε R E R dS ν R B R dR J R dSi i i i i
( )xn Mm +
( )nxB
( )yn MxB+
( )nyB
( )xn MyB+
( )nzE
( )yn MxB+
( )nxB
( )x yn M Mm + +( )yn Mm +
( )xn Mm +
( )
( )
x x
x x
n M M
n M M
+ +
+ +
ε
ν
( )
( )
y
y
n M
n M
+
+
ε
ν
( )
( )
x
x
n M
n M
+
+
ε
ν
1x x=
2y x=
3z x=
( )nm
( )
( )
n
n
ε
ν
integration cell / -Integrationszelle( )mzE
I ( )mzE
I
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3-D FIT – Derivation of the Discrete Grid Equations / 3D-FIT – Ableitung der diskreten Gittergleichungen
ed ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( , )d S C S S
t t tt =∂
= − ∫∫ ∫ ∫∫ε R E R dS ν R B R dR J R dSi i i i i
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )e
( ) ( )( ) ( ) ( )e
( ) (( )
d ( ) ( ) ( )d
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
d ( )d
z z
y y
z y
n n n M n Mn nxx yy yyx y y
n M nn M n nzz zzz z x
n nn n nyy zzM y M z x
n nnyy xxy
E t y z B t y B t yt
B t z B t z J t y z
I S B t y S I B t z J t y z
E t x zt
ε ν ν
ν ν
ν ν
ε ν
+ +
+ +
∆ ∆ = ∆ − ∆
+ ∆ − ∆ − ∆ ∆
= − ∆ + − ∆ − ∆ ∆
∆ ∆ =
( ) ( )
3 3) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( )ey
( ) ( )( ) ( ) ( )e
( ) ( ) ( ) (( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
d ( ) ( )d
z
x x
z x
y
M nn M nxxx x
n n M n Mn nzz zzz z
n nn n nxx zzM x M z y
n n n M nn nzz xx xxz x x
B t x B t x
B t z B t z J t x z
S I B t x I S B t z J t y z
E t x y B t x Bt
ν
ν ν
ν ν
ε ν ν
+ +
+ +
+ +
∆ − ∆
+ ∆ − ∆ − ∆ ∆
= − ∆ + − ∆ − ∆ ∆
∆ ∆ = ∆ −
( ) ( )
)
( ) ( )( ) ( ) ( )e
( ) ( )( ) ( ) ( )e
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
y
x x
y x
M
n M nn M n nyy yyy y z
n nn n nxx yyM x M y x
t x
B t y B t y J t x y
I S B t x S I B t y J t x y
ν ν
ν ν
+ +
∆
+ ∆ − ∆ − ∆ ∆
= − ∆ + − ∆ − ∆ ∆
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3-D FIT – … Discrete Grid Equations in Local Matrix Form / 3D-FIT – ... diskreten Gittergleichungen in lokaler Matrixform
[ ][ ] { }
[ ]
( )( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
curl
( )d ( )d
( )
0
0
0
nn
z y
z x
y x
n nxx xn nyy y
n nzz z
SE t
M M
M M
M M
E ty zx z E t
tx y E t
I S S I
S I i S
I S S I
ε
ε
ε
ε=
==
=
∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆
− − = − − − −
[ ][ ] { } [ ]( )
( )
( ) ( ) ( )e
( ) ( ) ( )e
( ) ( )( )e
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )( )n
n
n n nxx x xn n nyy y x
n nnxzz z
R SB t
B t J tx y zy B t x z J t
z x y J tB t
ν
ν
ν
ν= =
==
∆ ∆ ∆ ∆ − ∆ ∆ ∆ ∆ ∆
{ }( )e ( )nJ t=
[ ]
0 0
0 0 curl
0 0
z y z y
z x z x
y x y x
M M M M
M M M M
M M M M
I S S I P P
S I i S P P
I S S I P P
− − − − − = − = − − −
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3-D FIT – … Discrete Grid Equations in Local Matrix Form / 3D-FIT – ... diskreten Gittergleichungen in lokaler Matrixform
[ ][ ] { } [ ]
( )( )
( ) ( )( )
( ) (( )
( ) ( )
( ) curl
0( )
( ) 0
( ) 0
z y
z x
y xn
n
n nnxx xxM Mxn nyy yyy M M
n nzz z M M
SE t
P PE ty zdx z E t P Pdt
x y E t P P
ε
ε ν
ε ν
ε=
= ==
− ∆ ∆ ∆ ∆ = − ∆ ∆ −
[ ][ ] { } [ ] { }( ) ( )
( ) e
( ) ( )e
) ( ) ( )e
( ) ( )( )e
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )( )n n
n
n nx x
n n ny x
n nnxzz z
R SB t J t
B t J tx y zy B t x z J t
z x y J tB t
ν
ν= =
= ==
∆ ∆ ∆ ∆ − ∆ ∆ ∆ ∆ ∆
[ ] [ ] { } [ ][ ] [ ]{ } [ ]{ }( ) ( ) ( )( ) ( )
ed ( ) curl ( ) ( )d
n n nn nS E t R B t S J tt
ε ν= −
[ ]
[ ]
( ) 3 3
3 3
Diagonal matrix of permittivities on the grid /
Diagonalmatrix der Permittivitäten auf dem Gitter
Diagonal matrix of elementary surfaces on the grid /
Diagonalmatrix der Elementarflä
n G
G
GS
ε ×
×
∈
∈
{ }
[ ]
( ) 3
3 3
chen auf dem Gitter Algebraic electric field strength vector /
( )Algebraischer elektrischer Feldstärkevektor
Topological curl operator in matrix form on the grid /curl
Topologischer Rota
n
G
E t
G×
∈
∈
[ ]
[ ]
( ) 3 3
3 3
tionsoperator in Matrixform auf dem Gitter
Diagonal matrix of impermeabilities on the grid /
Diagonalmatrix der Impermeabilitäten auf dem Gitter
Diagonal matrix of elementary lines o
n
G
G
G
R
ν ×
×
∈
∈
{ }
{ }
( ) 3
( ) 3e
n the grid /
Diagonalmatrix der Elementarstrecken auf dem Gitter Algebraic magnetic flux density vector /
( )Algebraischer magnetischer FlussdichtevektorAlgebraic electric current d
( )
n
n
G
G
B t
J t
∈
∈ensity vector /
Algebraischer elektrischer Stromdichtevektor
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Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - Lecture 9 / Vorlesung 9 - WS 2005 / 2006 19
3-D FIT – … Discrete Grid Equations in Local and Global Matrix Form / 3D-FIT – ... diskreten Gittergleichungen in lokaler und globaler Matrixform
[ ] { } [ ][ ]{ } [ ]{ }
[ ] [ ] { } [ ][ ] [ ]{ } [ ]{ }
( ) ( ) ( )m
( ) ( ) ( )( ) ( )e
d ( ) curl ( ) ( )dd ( ) curl ( ) ( )d
n n n
n n nn n
S B t R E t S J tt
S E t R B t S J tt
ε ν
= − −
= −
Discrete grid equations in local matrix form / Diskrete Gittergleichungen in lokaler Matrixform
[ ] { } [ ][ ]{ } [ ]{ }
[ ][ ] { } [ ][ ][ ]{ } [ ]{ }
m
e
d ( ) ( ) ( )dd ( ) ( ) ( )d
t t tt
t t tt
= − −
= −
S B curl R E S J
ε S E curl ν R B S J
Discrete grid equations in global matrix form / Diskrete Gittergleichungen in globaler Matrixform
m
e
d ( , ) ( , ) ( , )dd ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( , )d
S C S S
S C S S
t t tt
t t tt
=∂
=∂
= − −
= −
∫∫ ∫ ∫∫
∫∫ ∫ ∫∫
B R dS E R dR J R dS
ε R E R dS ν R B R dR J R dS
i i i
i i i i i
Maxwell’s equations in integral form / Maxwellsche Gleichungen in Integralform
Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - Lecture 9 / Vorlesung 9 - WS 2005 / 2006 20
Elementary Difference Matrix [Pi] (P Matrix) / Elementare Differenzmatrix [Pi] (P-Matrix)
Elementary difference operator in global matrix form (P matrix) / Elementarer Differenzoperator in globaler Matrixform (P-
Matrix)
[ ] [ ]( )
[ ]( )
: , {1,2, , }
11 or / bzw. ; , , ; {1,2, , }
0 else / sonst
i i jk
i i ijk
j,k N
j = kj = k M k = j M i x y z j,k N
± ±
±
= ∈
= ± ± = ∈
P P
P
…
∓∓ …
[ ]
i
N N×
=
P
1
1−
iM
The P matrix has only two bands / Die P-Matrix hat nur zwei Bänder
Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - Lecture 9 / Vorlesung 9 - WS 2005 / 2006 11
Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - Lecture 9 / Vorlesung 9 - WS 2005 / 2006 21
Elementary Difference Matrix [Pi] (P Matrix) (…) / Elementare Differenzmatrix [Pi] (P-Matrix) (…)
[ ]
N N×
=
I 1
[ ] [ ] [ ]
[ ]( )
[ ]( )
: , { , , }
, {1,2, , }
1 or / bzw. 0 else / sonst
, , ; {1,2, , }
i i
ijij
i ii jk
i x y z
i j N
j = k M k = j M
i x y z j,k N
δ
± ±
±
= ± =
= ∈
±=
= ∈
P I B
I
B
∓
…
∓
…
Identity matrix / Einheitsmatrix (Identitätsmatrix)
Band matrix / Bandmatrix
The P matrix can be represented by a sum of an identity matrix [I] and a band matrix [B] / Die P-Matrix kann als Summe aus einer Einheitsmatrix (Identitätsmatrix) [I] und Bandmatrix [B]
dargestellt werden
[ ]
i
N N×
=
B
1
iM
[ ]
i
N N×
=
P
1
1−
iM
Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - Lecture 9 / Vorlesung 9 - WS 2005 / 2006 22
Properties of the Difference Matrix [Pi] (P Matrix) / Eigenschaften der Differenzmatrix [Pi] (P-Matrix)
[ ]
i
N N
−
×
=
P1−
1
iM
[ ] [ ]Ti i−− =P PProperty / Eigenschaft Property / Eigenschaft
[ ] [ ] [ ]: , { , , }i i i x y z± ±= ± =P I B∓
[ ]
i
N N×
=
P
1
1−
iM
[ ]T
i
N N×
=
P1
1−
iM
[ ]T
i
N N×
− =
P1−
1
iM
[ ] [ ] [ ]: , { , , }i i i x y z= − + =P I B [ ] [ ] [ ]: , { , , }i i i x y z− −= − =P I B
[ ]
i
N N
−
×
=
P1−
1
iM
Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - Lecture 9 / Vorlesung 9 - WS 2005 / 2006 12
Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - Lecture 9 / Vorlesung 9 - WS 2005 / 2006 23
Discrete Global Gradient, Divergence, and Curl Operator / Diskreter globaler Gradienten-, Divergenz- und Rotationsoperator
Discrete gradient operator / Diskreter GradientenoperatorDiscrete gradient operator / Diskreter Gradientenoperator
[ ][ ]
[ ]
[ ][ ]
[ ]
T
T
T
3
3
x
y
z N N
x
y
z N N
×
×
− = − −
=
P
grad P
P
P
grad P
P
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]
TT T
3
3
: , ,
: , ,
x y zN N
x y z N N
×
×
= − − −
=
div P P P
div P P P
Discrete divergence operator / Diskreter Divergenzoperator
Discrete divergence operator / Diskreter Divergenzoperator
[ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ] [ ][ ] [ ]
[ ][ ] [ ][ ] [ ] [ ]
[ ] [ ]
TT
TT
T T
3 3
3 3
z y
z x
y xN N
z y
z x
y x N N
×
×
−
= − −
− = − −
0 P P
curl P 0 P
P P 0
0 P P
curl P 0 P
P P 0
Discrete curl operator / Diskreter Rotationsoperator
Discrete curl operator / Diskreter Rotationsoperator
[ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ]
grad grad
div div
curl curl
The matrix operators / Die Matrixoperatoren
The matrix operators / Die Matrixoperatoren
are global matrix operators / sind globale Matrixoperatorenare global matrix operators / sind globale Matrixoperatoren
Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - Lecture 9 / Vorlesung 9 - WS 2005 / 2006 24
Properties of the Global Matrix Operators / Eigenschaften der globalen Matrixoperatoren
[ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
T
T
T
− =
=
=
div grad
grad div
curl curl
curl grad div curl 0
= ∇×∇ == ∇ ∇ =
0i
Some properties of the global matrix operators of the dual grid system / Einige Eigenschaften der globalen Matrixoperatoren des dualen Gittersystems
Some properties of the global matrix operators of the dual grid system / Einige Eigenschaften der globalen Matrixoperatoren des dualen Gittersystems
Vector identities / Vektoridentitäten
Vector identities / Vektoridentitäten
[ ][ ] [ ][ ][ ] [ ][ ][ ] [ ][ ][ ] [ ]
=
=
=
=
curl grad 0
curl grad 0
div curl 0
div curl 0
are conserved in the dual grid system / bleiben im dualen Gittersystem erhaltenare conserved in the dual grid system / bleiben im dualen Gittersystem erhalten
Conservation of important vector identities / Erhaltung von wichtigen Vektoridentitäten
Conservation of important vector identities / Erhaltung von wichtigen Vektoridentitäten
Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - Lecture 9 / Vorlesung 9 - WS 2005 / 2006 13
Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - Lecture 9 / Vorlesung 9 - WS 2005 / 2006 25
Properties of the Global Matrix Operators / Eigenschaften der globalen Matrixoperatoren
Consistency test / KonsistenztestConsistency test / Konsistenztest
[ ][ ][ ] [ ][ ] [ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ]
[ ]
[ ] [ ][ ][ ] [ ][ ][ ] [ ]
z y x
z x y
y x z
y z z y
z x x z
x y y x
− = − −
− = −
−
0 P P P
curl grad P 0 P P
P P 0 P
P P P P
P P P P
P P P P
[ ] [ ] [ ] [ ]( ) [ ]( ) [ ]( ) [ ] [ ]( )[ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ]( )[ ][ ] [ ][ ] [ ] [ ]( )[ ] [ ] [ ]( )[ ] [ ] [ ]( )[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
[ ]
i j j i i j j i
j i i j
i j j i
j i i j
i j j i
j i i j i j j i
i j j
− = − + − + − − + − +
= − − − +
− − − − +
= − − − +
− − − − +
= − − − + + + + − = −
P P P P I B I B I B I B
I I I B B I B B
I I I B B I B B
I B B B B
I B B B B
I B B B B I B B B B
B B B [ ]iB
Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - Lecture 9 / Vorlesung 9 - WS 2005 / 2006 26
Properties of the Global Matrix Operators / Eigenschaften der globalen Matrixoperatoren
[ ]( ) 1
0 else / sonsti j
i j kl
k l M M± ±
= = B B
∓ ∓With the property / Mit der EigenschaftWith the property / Mit der Eigenschaft
i and j can be arbitrarily interchanged / i und j können beliebig vertauscht werdeni and j can be arbitrarily interchanged /
i und j können beliebig vertauscht werden
This means that the matricesDas bedeutet, dass die MatrizenThis means that the matrices
Das bedeutet, dass die Matrizen
[ ] [ ]i j j i± ± ± ± = B B B B
andundandund
[ ] [ ]i j j i± ± ± ± = P P P P
are commutative! kommutativ sind!
are commutative! kommutativ sind!
[ ]i±B j± B
as well asals auch
as well asals auch
andundandund[ ]i±P j± P
[ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ]
[ ]
[ ] [ ][ ]
i j
i j j i
i j j i
i j i j
=
= − = −
= − =
B B
curl grad P P P P
B B B B
B B B B
0
Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - Lecture 9 / Vorlesung 9 - WS 2005 / 2006 14
Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - Lecture 9 / Vorlesung 9 - WS 2005 / 2006 27
3-D FIT – … Discrete Grid Equations in Local and Global Matrix Form / 3D-FIT – ... diskrete Gittergleichungen in lokaler und globaler Matrixform
[ ] { } [ ][ ]{ } [ ]{ }
[ ] [ ] { } [ ][ ] [ ]{ } [ ]{ }
( ) ( ) ( )m
( ) ( ) ( )( ) ( )e
d ( ) curl ( ) ( )dd ( ) curl ( ) ( )d
n n n
n n nn n
S B t R E t S J tt
S E t R B t S J tt
ε ν
= − −
= −
Discrete grid equations in local matrix form / Diskrete Gittergleichungen in lokaler MatrixformDiscrete grid equations in local matrix form /
Diskrete Gittergleichungen in lokaler Matrixform
[ ] { } [ ][ ]{ } [ ]{ }
[ ][ ] { } [ ][ ][ ]{ } [ ]{ }
m
e
d ( ) ( ) ( )dd ( ) ( ) ( )d
t t tt
t t tt
= − −
= −
S B curl R E S J
ε S E curl ν R B S J
Discrete grid equations in global matrix form / Diskrete Gittergleichungen in globaler MatrixformDiscrete grid equations in global matrix form /
Diskrete Gittergleichungen in globaler Matrixform
m
e
d ( , ) ( , ) ( , )dd ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( , )d
S C S S
S C S S
t t tt
t t tt
=∂
=∂
= − −
= −
∫∫ ∫ ∫∫
∫∫ ∫ ∫∫
B R dS E R dR J R dS
ε R E R dS ν R B R dR J R dS
i i i
i i i i i
Maxwell’s equations in integral form / Maxwellsche Gleichungen in Integralform
1, 2, ,n N= …
Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - Lecture 9 / Vorlesung 9 - WS 2005 / 2006 28
3-D FIT – … Discrete Grid Equations in Global Matrix Form / 3D-FIT – ... diskrete Gittergleichungen in globaler Matrixform
[ ]
{ }
3 3
3
Diagonal matrix of elementary surfaces on the grid /Diagonalmatrix der Elementarflächen auf dem Gitter Algebraic magnetic flux density vector /
( )Algebraischer magnetischer Flussdichte
N N
N
GG
t
×∈
∈
S
B
[ ]
[ ]
3 3
3 3
vektor Topological curl operator in matrix form on the grid /Topologischer Rotationsoperator in Matrixform auf dem Gitter Diagonal matrix of elementary lines on the grid /Diago
N N
N N
GG
G
×
×
∈
∈
curl
R
{ }
{ }
3
3m
nalmatrix der Elementarstrecken auf dem Gitter Algebraic electric field strength vector /
( )Algebraischer elektrische FeldstärkevektorAlgebraic magnetic current density vector /
( )Algebrai
N
N
G
t
t
∈
∈
E
Jscher magnetischer Stromdichtevektor
[ ] { } [ ][ ]{ } [ ]{ }md ( ) ( ) ( )d
t t tt
= − −S B curl R E S J
Faraday’s induction law in global matrix form / Faradaysches Induktionsgesetz in globaler Matrixform
Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - Lecture 9 / Vorlesung 9 - WS 2005 / 2006 15
Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - Lecture 9 / Vorlesung 9 - WS 2005 / 2006 29
3-D FIT – … Discrete Grid Equations in Global Matrix Form / 3D-FIT – ... diskrete Gittergleichungen in globaler Matrixform
[ ] { } [ ][ ]{ } [ ]{ }md ( ) ( ) ( )d
t t tt
= − −S B curl R E S J
[ ]
[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]
3 3
3 3
diag{ } 0 0
0 diag{ } 0
0 0 diag{ }
N N
N N
N N
N N N N
y z
y zx y
x yx y
x y
y z
x z
x y
×
×
×
× ×
∆ ∆ ∆ ∆
∆ ∆ =
∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆
∆ ∆
= ∆ ∆
∆ ∆
S
[ ]
[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]
3 3
3 3
diag{ } 0 0
0 diag{ } 0
0 0 diag{ }
N N
N N
N N
N N N N
x
xy
yz
z
x
y
z
×
×
×
× ×
∆ ∆
∆ =
∆ ∆ ∆
∆
= ∆
∆
R
{ }{ }
(1)
(2)
( )3
( ){ }( )( ){ }( ) ( ) { }( ) , ,
( )( )
ix
iy i
z NNi N
B tB tB tt B t B t i x y z
B tB t
= = =
B
[ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ] [ ][ ] [ ]
TT
TT
T T
3 3
z y
z x
y xN N×
−
= − −
0 P P
curl P 0 P
P P 0
Faraday’s induction law in global matrix form / Faradaysches Induktionsgesetz in globaler Matrixform
Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - Lecture 9 / Vorlesung 9 - WS 2005 / 2006 30
3-D FIT – … Discrete Grid Equations in Global Matrix Form / 3D-FIT – ... diskrete Gittergleichungen in globaler Matrixform
[ ] { } [ ][ ]{ } [ ]{ }md ( ) ( ) ( )d
t t tt
= − −S B curl R E S J
{ } { }{ }
(1)m
m (2)m
m m m
m ( )3m
( ){ }( )( )( ) ( ) { }( ) , ,
( )( )
ix
iy i
z NNi N
J tJ tJ tt J t J t i x y z
J tJ t
= = =
J{ }{ }
(1)
(2)
( )3
( ){ }( )( ){ }( ) ( ) { }( ) , ,
( )( )
ix
iy i
z NNi N
E tE tE tt E t E t i x y z
E tE t
= = =
E
Faraday’s induction law in global matrix form / Faradaysches Induktionsgesetz in globaler Matrixform
Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - Lecture 9 / Vorlesung 9 - WS 2005 / 2006 16
Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - Lecture 9 / Vorlesung 9 - WS 2005 / 2006 31
3-D FIT – … Discrete Grid Equations in Global Matrix Form / 3D-FIT – ... diskrete Gittergleichungen in globaler Matrixform
[ ]
[ ]
3 3
3 3
Diagonal matrix of permittivities on the grid /
Diagonalmatrix der Permittivitäten auf dem Gitter
Diagonal matrix of elementary surfaces on the grid /
Diagonalmatrix der Elementarfl
N N
N N
G
G
G
×
×
∈
∈
ε
S
{ }
[ ]
3
3 3
ächen auf dem Gitter Algebraic electric field strength vector /
( )Algebraischer elektrischer Feldstärkevektor
Topological curl operator in matrix form on the grid /curl
Topologischer Rot
N
N N
G
t
G×
∈
∈
E
[ ]
[ ]
3 3
3 3
ationsoperator in Matrixform auf dem Gitter
Diagonal matrix of impermeabilities on the grid /
Diagonalmatrix der Impermeabilitäten auf dem Gitter
Diagonal matrix of elementary lines
N N
N N
G
G
G×
×
∈
∈
ν
R
{ }
{ }
3
3e
on the grid /
Diagonalmatrix der Elementarstrecken auf dem Gitter Algebraic magnetic flux density vector /
( )Algebraischer magnetischer FlussdichtevektorAlgebraic electric current den
( )
N
N
G
G
t
t
∈
∈
B
Jsity vector /
Algebraischer elektrischer Stromdichtevektor
[ ][ ] { } [ ][ ][ ]{ } [ ]{ }ed ( ) ( ) ( )d
t t tt
= −ε S E curl ν R B S J
Ampère-Maxwell’s circuital law in global matrix form / Ampère-Maxwellsches Durchflutungsgesetz in globaler Matrixform
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3-D FIT – … Discrete Grid Equations in Global Matrix Form / 3D-FIT – ... diskrete Gittergleichungen in globaler Matrixform
[ ][ ] { } [ ][ ][ ]{ } [ ]{ }ed ( ) ( ) ( )d
t t tt
= −ε S E curl ν R B S J
[ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
(1)
( )
(1)
( )
(1)
( )3 3
(1) (2) ( )
(1) (2) ( )
(1) (2) ( )
diag{ , , , } 0 0
0 diag{ , , , } 0
0 0 diag{ , , , }
xx
Nxx
yy
Nyy
zz
Nzz N N
Nxx xx xx
N NN
yy yy yy NN N
Nzz zz zz N
N
ε
ε
εε
ε
ε
ε
ε ε ε
ε ε ε
ε ε ε
×
×
×
=
=
…
…
…3 3N N N× ×
Ampère-Maxwell’s circuital law in global matrix form / Ampère-Maxwellsches Durchflutungsgesetz in globaler Matrixform
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3-D FIT – … Discrete Grid Equations in Global Matrix Form / 3D-FIT – ... diskrete Gittergleichungen in globaler Matrixform
[ ][ ] { } [ ][ ][ ]{ } [ ]{ }ed ( ) ( ) ( )d
t t tt
= −ε S E curl ν R B S J
[ ]
[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]
3 3
3 3
diag{ } 0 0
0 diag{ } 0
0 0 diag{ }
N N
N N
N N
N N N N
y z
y zx z
x zx y
y z
y z
x z
x y
×
×
×
× ×
∆ ∆ ∆ ∆
∆ ∆ =
∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆
∆ ∆
= ∆ ∆
∆ ∆
S
[ ][ ] [ ][ ] [ ] [ ]
[ ] [ ]3 3
z y
z x
y x N N×
− = − −
0 P P
curl P 0 P
P P 0
[ ]
[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]
3 3
3 3
diag{ } 0 0
0 diag{ } 0
0 0 diag{ }
N N
N N
N N
N N N N
x
xy
yz
z
x
y
z
×
×
×
× ×
∆ ∆
∆ =
∆ ∆ ∆
∆
= ∆
∆
R
{ } { }{ }
(1)e
e (2)e
e e e
e ( )3e
( ){ }( )( )( ) ( ) { }( ) , ,
( )( )
ix
iy i
z NNi N
J tJ tJ tt J t J t i x y z
J tJ t
= = =
J
Ampère-Maxwell’s circuital law in global matrix form / Ampère-Maxwellsches Durchflutungsgesetz in globaler Matrixform
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3-D FIT – … Discrete Grid Equations in Global Matrix Form / 3D-FIT – ... diskrete Gittergleichungen in globaler Matrixform
[ ][ ] { } [ ][ ][ ]{ } [ ]{ }ed ( ) ( ) ( )d
t t tt
= −ε S E curl ν R B S J
[ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
(1)
( )
(1)
( )
(1)
( )3 3
(1) (2) ( )
(1) (2) ( )
(1) (2) ( )
diag{ , , , } 0 0
0 diag{ , , , } 0
0 0 diag{ , , , }
xx
Nxx
yy
Nyy
zz
Nzz N N
Nxx xx xx
N NN
yy yy yy NN N
Nzz zz zz N
N
ν
ν
νν
ν
ν
ν
ν ν ν
ν ν ν
ν ν ν
×
×
×
=
=
…
…
…3 3N N N× ×
Ampère-Maxwell’s circuital law in global matrix form / Ampère-Maxwellsches Durchflutungsgesetz in globaler Matrixform
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3-D FIT – … Discrete Grid Equations in Local and Global Matrix Form / 3D-FIT – ... diskrete Gittergleichungen in lokaler und globaler Matrixform
[ ] { } [ ][ ]{ } [ ]{ }
[ ][ ] { } [ ][ ][ ]{ } [ ]{ }
m
e
d ( ) ( ) ( )dd ( ) ( ) ( )d
t t tt
t t tt
= − −
= −
S B curl R E S J
ε S E curl ν R B S J
The two discrete grid equations in global matrix form read / Die beiden diskreten Gittergleichungen in globaler Matrixform lauten
The two discrete grid equations in global matrix form read / Die beiden diskreten Gittergleichungen in globaler Matrixform lauten
{ } [ ] [ ] [ ]{ } [ ] [ ]{ }
{ } [ ] [ ] [ ][ ][ ]{ } [ ] [ ] [ ]{ }
1 1m
1 1 1 1e
d ( ) ( ) ( )dd ( ) ( ) ( )d
t t tt
t t tt
− −
− − − −
= − −
= −
B S curl R E S S J
E S ε curl ν R B S ε S J
{ } [ ] [ ] [ ]{ } { }
{ } [ ] [ ] [ ][ ][ ]{ } [ ] { }
1m
1 1 1e
d ( ) ( ) ( )dd ( ) ( ) ( )d
t t tt
t t tt
−
− − −
= − −
= −
B S curl R E J
E S ε curl ν R B ε J
We arrange the last equations in the form / Wir bringen die letzten beiden Gleichungen in die Form
We arrange the last equations in the form / Wir bringen die letzten beiden Gleichungen in die Form
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ]
[ ] [ ]
1
1 1 1 1 1
−
− − − − −
=
=
= =
I
S S I
S ε S S S ε ε
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3-D FIT – … Discrete Grid Equations in Local and Global Matrix Form / 3D-FIT – ... diskrete Gittergleichungen in lokaler und globaler Matrixform
[ ] { } [ ][ ]{ } [ ]{ }
[ ][ ] { } [ ][ ][ ]{ } [ ]{ }
m
e
d ( ) ( ) ( )dd ( ) ( ) ( )d
t t tt
t t tt
= − −
= −
S B curl R E S J
ε S E curl ν R B S J
The two discrete grid equations in global matrix form read / Die beiden diskreten Gittergleichungen in globaler Matrixform lauten
The two discrete grid equations in global matrix form read / Die beiden diskreten Gittergleichungen in globaler Matrixform lauten
{ } [ ] [ ] [ ]{ } [ ] [ ]{ }
{ } [ ] [ ] [ ][ ][ ]{ } [ ] [ ] [ ]{ }
1 1m
1 1 1 1e
d ( ) ( ) ( )dd ( ) ( ) ( )d
t t tt
t t tt
− −
− − − −
= − −
= −
B S curl R E S S J
E S ε curl ν R B S ε S J
{ } [ ] [ ] [ ]{ } { }
{ } [ ] [ ] [ ][ ][ ]{ } [ ] { }
1m
1 1 1e
d ( ) ( ) ( )dd ( ) ( ) ( )d
t t tt
t t tt
−
− − −
= − −
= −
B S curl R E J
E S ε curl ν R B ε J
We arrange the last equations in the form / Wir bringen die letzten beiden Gleichungen in die Form
We arrange the last equations in the form / Wir bringen die letzten beiden Gleichungen in die Form
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ]
[ ] [ ]
1
1 1 1 1 1
−
− − − − −
=
=
= =
I
S S I
S ε S S S ε ε
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3-D FIT – … Discrete Grid Equations in Local and Global Matrix Form / 3D-FIT – ... diskrete Gittergleichungen in lokaler und globaler Matrixform
The two discrete grid equations in global matrix form read / Die beiden diskreten Gittergleichungen in globaler Matrixform lauten
{ } [ ] [ ] [ ]{ } { }
{ } [ ] [ ] [ ][ ][ ]{ } [ ] { }
1m
1 1 1e
d ( ) ( ) ( )dd ( ) ( ) ( )d
t t tt
t t tt
−
− − −
= − −
= −
B S curl R E J
E S ε curl ν R B ε J
Now we write these two matrix equations in matrix form and find a first-order system of differential equations / Nun schreiben wir die beiden Matrixgleichungen in Matrixform und finden das folgende
System von Differentialgleichungen erster Ordnung
{ } [ ]{ } { }d ( ) ( ) ( )d
t t tt
= +y A y q
with / mit
{ } { }{ }
[ ][ ] [ ] [ ][ ]
[ ] [ ] [ ][ ][ ] [ ]
{ }{ }
[ ] { }
1
1 1
m1
e
Solution vector /Lösungsvektor
System matrix /Systemmat
( )( )
( )
0
0
rix
Source ve ( )(
ctor /Quellvekt
)( )or
tt
t
tt
t
−
− −
−
=
= − = −
By
E
S curl RA
S ε curl ν R
Jq
ε J
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3-D FIT – … Solution of the Initial Value Problem (IVP) / 3D-FIT – Lösung des Anfangswertproblems (AWP)
A general solution of the initial value problem (IVP) with the initial value {y}(t0) is / Eine allgemeine Lösung des Anfangswertproblems (AWP) mit dem Anfangswert {y}(t0) ist
A general solution of the initial value problem (IVP) with the initial value {y}(t0) is / Eine allgemeine Lösung des Anfangswertproblems (AWP) mit dem Anfangswert {y}(t0) ist
• implicit time integration / implizierte Zeitintegration• explicit time integration / explizite Zeitintegration• implicit time integration / implizierte Zeitintegration• explicit time integration / explizite Zeitintegration
{ } { } [ ]{ } { }{ }{ }
0
time integration /zeitliche Integratio
0
( )
n
( ) ( ) ( ) ( ) dt
t tt
t t t t t′=
=
= + +∫y
y y A y qi
Explicit time integration / Explizite ZeitintegrationExplicit time integration / Explizite Zeitintegration
time interval to be simulatedzu simulierend
[0, ]; es Zeit
i r
:nte val
t T T=
Initial value / Anfangswert
Initial value / Anfangswert
{ } { } { }
{ } { } { }
0
0
0
0
( ) ( ) ( ) d
( ) ( ) ( ) d
t
t t
t
t t
t t t t
t t t t
′=
′=
′ ′= +
′ ′= +
∫
∫
B B B
E E E
i
i
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3-D FIT – … Solution of the Initial Value Problem (IVP) / 3D-FIT – Lösung des Anfangswertproblems (AWP)
Discretization in time on a staggered grid in time / Diskretisierung in der Zeit auf einem versetzten Gitter in der Zeit
Discretization in time on a staggered grid in time / Diskretisierung in der Zeit auf einem versetzten Gitter in der Zeit
Mid point rule / MittelpunktsregelMid point rule / Mittelpunktsregel
{ } { } { }
{ } { } { }
( )
( 1/ 2)
( ) ( )
1( )2
t
t
nt
nt
t n t
t n t +
→ ∆ →
→ + ∆ →
B B B
E E E
{ } { } { }
{ } { } { }( )
( )
( ) ( 1)
( 1)
1/ 2( 1/ 2) ( 1/ 2)
1/ 2
( ) d
( ) d
tt t
t
tt t
t
n tn n
t n t
n tn n
t n t
t t
t t
∆−
′= − ∆
+ ∆+ −
′= − ∆
′ ′= +
′ ′= +
∫
∫
B B B
E E E
i
i
{ } { }[ ] { }
{ }( )
( ){ }( ) { }
( 1/ 2)
( 1)
1/ 2 ( )
1/ 2
( ) d ( 1/ 2)
( ) d
B B B
E E E
tt
t
t t
t
nn t
tt n t
n t n
tt n t
t t n t t t
t t n t t t
−∆
′= − ∆
+ ∆
′= − ∆
′ ′ = − ∆ ∆ = ∆
′ ′ = ∆ ∆ = ∆
∫
∫
i i i
i i i
{ } { } { }
{ } { } { }
0
0
0
0
( ) ( ) ( ) d
( ) ( ) ( ) d
t
t t
t
t t
t t t t
t t t t
′=
′=
′ ′= +
′ ′= +
∫
∫
B B B
E E E
i
i
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3-D FIT – … Solution of the Initial Value Problem (IVP) / 3D-FIT – Lösung des Anfangswertproblems (AWP)
{ } { }
{ } { }
( ) ( 1) ( 1/ 2)
( 1/ 2) ( 1/ 2) ( )
+ { }
{ }
t t t
t t t
n n n
n n n
t
t
− −
+ −
= ∆
= + ∆
B B B
E E E
i
i
{ }( 1)tn −B { }( )tnB1( )2{ } tn −
Bi
{ }1( )2tn +E{ }
1( )2tn −E ( ){ } tnE
i
tt n t= ∆
The leapfrog structure of the algorithm in time / Die Bocksprung-Struktur des Algorithmus in der Zeit
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3-D FIT – … Solution of the Initial Value Problem (IVP) / 3D-FIT – Lösung des Anfangswertproblems (AWP)
Electromagnetic grid equations (EMGE) of the so-called Electromagnetic Finite Integration Technique (EMFIT) algorithm /Elektromagnetische Gittergleichungen (EMGG) des so genannten
Elektromagnetischen Finite Integrationstechnik (EMFIT) Algorithmus
Electromagnetic grid equations (EMGE) of the so-called Electromagnetic Finite Integration Technique (EMFIT) algorithm /Elektromagnetische Gittergleichungen (EMGG) des so genannten
Elektromagnetischen Finite Integrationstechnik (EMFIT) Algorithmus
[ ] [ ][ ]{ } { }
{ } { }
[ ] [ ] [ ][ ][ ]{ } [ ] { }
{ } { }
1 ( 1/ 2) ( 1/ 2)( 1/ 2)m
( ) ( 1) ( 1/ 2)
1 1 1 ( )( )(e
( 1/ 2) ( 1/ 2) ( )
{ }
+ { }
{ }
{ }
t tt
t t t
ttt
t t t
n nn
n n n
nnn
n n n
t
t
− − −−
− −
− − −
+ −
= − −
= ∆
= −
= + ∆
B S curl R E J
B B B
E S ε curl ν R B ε J
E E E
i
i
i
i
Time integration / ZeitintegrationTime integration / Zeitintegration
Time integration / ZeitintegrationTime integration / Zeitintegration
Faraday’s induction grid equation / Faradaysche InduktionsgittergleichungFaraday’s induction grid equation / Faradaysche Induktionsgittergleichung
Ampère-Maxwell’s circuital grid equation / Ampère-Maxwellsche DurchflutungsgittergleichungAmpère-Maxwell’s circuital grid equation / Ampère-Maxwellsche Durchflutungsgittergleichung
Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - Lecture 9 / Vorlesung 9 - WS 2005 / 2006 42
3-D FIT – … Solution of the Initial Value Problem (IVP) / 3D-FIT – Lösung des Anfangswertproblems (AWP)
Electromagnetic grid equations (EMGE) of the so-called EMFIT algorithm / Elektromagnetische Gittergleichungen (EMGG) des so genannten EMFIT-Algorithmus
Electromagnetic grid equations (EMGE) of the so-called EMFIT algorithm / Elektromagnetische Gittergleichungen (EMGG) des so genannten EMFIT-Algorithmus
{ } { } [ ] [ ][ ]{ } { }
{ } { } [ ] [ ] [ ][ ][ ]{ } [ ] { }
1( ) ( 1) ( 1/ 2) ( 1/ 2)m
1 1 1 ( )( 1/ 2) ( 1/ 2) ( )e
+
t t t t
tt t t
n n n n
nn n n
t
t
−− − −
− − −+ −
= ∆ − −
= + ∆ −
B B S curl R E J
E E S ε curl ν R B ε J
Time-integrated Faraday’s induction grid equation / Zeitlich integrierte Faradaysche Induktionsgittergleichung
Time-integrated Faraday’s induction grid equation / Zeitlich integrierte Faradaysche Induktionsgittergleichung
Time-integrated Ampère-Maxwell’s circuital grid equation / Zeitlich integrierte Ampère-Maxwellsche Durchflutungsgittergleichung
Time-integrated Ampère-Maxwell’s circuital grid equation / Zeitlich integrierte Ampère-Maxwellsche Durchflutungsgittergleichung
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3-D FIT Algorithm – Flow Chart / 3D-FIT-Algorithmus – Flussdiagramm
Start
Stop
1t tn n= +
t tn N≥
1tn =
Electric current density excitation: For all excitation nodes n:
NoNo YesYes
Boundary condition: For all PEC boundary nodes n:
3-D Ampère-Maxwell’s circuital grid equation: For all nodes n inside the simulation region:
{ } { } [ ] [ ][ ]{ }1( ) ( 1) ( 1/ 2)t t tn n nt −− −= − ∆B B S curl R E
{ } { } [ ] [ ] [ ][ ][ ]{ }1 1( 1/ 2) ( 1/ 2) ( ) t t tn n nt− −+ −= + ∆E E S ε curl ν R B
{ } { } [ ] { }1 ( )( 1/ 2) ( 1/ 2)
ett t nn n t
−+ += − ∆E E ε J
{ } { }( 1/ 2)tn + =E 0
3-D Faraday‘s induction grid equation: For all nodes n inside the simulation region:
Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - Lecture 9 / Vorlesung 9 - WS 2005 / 2006 44
3-D FIT Algorithm – Flow Chart / 3D-FIT-Algorithmus – Flussdiagramm
Start
Stopp
1t tn n= +
t tn N≥
1tn =
NeinNein JaJa
{ } { } [ ] [ ][ ]{ }1( ) ( 1) ( 1/ 2)t t tn n nt −− −= − ∆B B S curl R E
{ } { } [ ] [ ] [ ][ ][ ]{ }1 1( 1/ 2) ( 1/ 2) ( ) t t tn n nt− −+ −= + ∆E E S ε curl ν R B
{ } { } [ ] { }1 ( )( 1/ 2) ( 1/ 2)
ett t nn n t
−+ += − ∆E E ε J
{ } { }( 1/ 2)tn + =E 0
3D-Faraday-Gittergleichung: Für alle Knoten n im Simulationsgebiet:
Elektrische Stromdichteanregung: Für alle Anregungsknoten n:
Randbedingungen: Für alle IEL-Randknoten n :
3D-Ampère-Maxwell-Gittergleichung: Für alle Knoten n im Simulationsgebiet:
Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - Lecture 9 / Vorlesung 9 - WS 2005 / 2006 23
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3-D FIT – … Normalized … Grid Equations / 3D-FIT – ... normierte ... Gittergleichungen
Normalized electromagnetic grid equations (EMGE) of the so-called EMFIT algorithm / Normierte elektromagnetische Gittergleichungen (EMGG) des so genannten EMFIT-Algorithmus
Normalized electromagnetic grid equations (EMGE) of the so-called EMFIT algorithm / Normierte elektromagnetische Gittergleichungen (EMGG) des so genannten EMFIT-Algorithmus
{ } { } [ ] [ ] { } { }
{ } { } [ ] [ ] [ ][ ][ ]{ } [ ] { }
( 1/ 2)( ) ( 1) ( 1/ 2)1m
1 11 ( )( 1/ 2) ( 1/ 2) ( )e
+
tt t t
tt t t
nn n n
nn n n
t
t
−− −−
− −−+ −
= ∆ − −
= + ∆ −
B B S curl R E J
E E S ε curl ν R B ε J
Normalized time-integrated Faraday’s induction grid equation / Normierte zeitlich integrierte Faradaysche Induktionsgittergleichung
Normalized time-integrated Faraday’s induction grid equation / Normierte zeitlich integrierte Faradaysche Induktionsgittergleichung
Normalized time-integrated Ampère-Maxwell’s circuital grid equation / Normierte zeitlich integrierte Ampère-Maxwellsche Durchflutungsgittergleichung
Normalized time-integrated Ampère-Maxwell’s circuital grid equation / Normierte zeitlich integrierte Ampère-Maxwellsche Durchflutungsgittergleichung
In a computer implementation we can neglect the integer time step counter nt. / In der Rechnerimplementierung kann der ganzzahlige Zeitschrittzähler nt unterdrückt werden.
In a computer implementation we can neglect the integer time step counter nt. / In der Rechnerimplementierung kann der ganzzahlige Zeitschrittzähler nt unterdrückt werden.
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3-D FIT Algorithm – Flow Chart / 3D-FIT-Algorithmus – Flussdiagramm
Start
Stop
1t tn n= +
t tn N≥
1tn =
Electric current density excitation: For all excitation nodes n:
NoNo YesYes
Boundary condition: For all PEC boundary nodes n:
3-D Ampère-Maxwell’s circuital grid equation: For all nodes n inside the simulation region:
{ } { } [ ] { }1 ( )
etnt
−= − ∆E E ε J
{ } { }=E 0
3-D Faraday‘s induction grid equation: For all nodes n inside the simulation region:
{ } { } [ ] [ ] { }1t
− = − ∆ B B S curl R E
{ } { } [ ] [ ] [ ][ ][ ]{ }11 ( )
tnt−−
= + ∆E E S ε curl ν R B
Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - Lecture 9 / Vorlesung 9 - WS 2005 / 2006 24
Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - Lecture 9 / Vorlesung 9 - WS 2005 / 2006 47
3-D FIT Algorithm – Flow Chart / 3D-FIT-Algorithmus – Flussdiagramm
Start
Stopp
1t tn n= +
t tn N≥
1tn =
NeinNein JaJa
3D-Faraday-Gittergleichung: Für alle Knoten n im Simulationsgebiet:
Elektrische Stromdichteanregung: Für alle Anregungsknoten n:
Randbedingungen: Für alle IEL-Randknoten n :
3D-Ampère-Maxwell-Gittergleichung: Für alle Knoten n im Simulationsgebiet:
{ } { } [ ] { }1 ( )
etnt
−= − ∆E E ε J
{ } { }=E 0
{ } { } [ ] [ ] { }1t
− = − ∆ B B S curl R E
{ } { } [ ] [ ] [ ][ ][ ]{ }11 ( )
tnt−−
= + ∆E E S ε curl ν R B
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FIT Discretization of the 3rd and 4th Maxwell’s Equation /FIT-Diskretisierung der 3. und 4. Maxwellschen Gleichung
m
e
e
m
d ( , ) ( , ) ( , )d
d ( , ) ( , ) ( , )d
( , ) ( , )
( , ) ( , )
S C S S
S C S S
S V V
S V V
t t tt
t t tt
t t dV
t t dV
ρ
ρ
=∂
=∂
=∂
=∂
= − −
= −
=
=
∫∫ ∫ ∫∫
∫∫ ∫ ∫∫
∫∫ ∫∫∫
∫∫ ∫∫∫
B R dS E R dR J R dS
D R dS H R dR J R dS
D R dS R
B R dS R
i i i
i i i
i
i
Maxwell’s equations in integral form / Maxwellsche Gleichungen in Integralform
FITMaxwell’s grid equations /
Maxwellsche Gittergleichungen
[ ] { } [ ][ ]{ } [ ]{ }
[ ][ ] { } [ ][ ][ ]{ } [ ]{ }
m
e
d ( ) ( ) ( )d
d ( ) ( ) ( )d
t t tt
t t tt
= − −
= −
S B curl R E S J
ε S E curl ν R B S J
?
Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - Lecture 9 / Vorlesung 9 - WS 2005 / 2006 25
Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - Lecture 9 / Vorlesung 9 - WS 2005 / 2006 49
End of Lecture 9 /Ende der 9. Vorlesung