Download - DOS 2 - Z-Transformacija
5/12/2018 DOS 2 - Z-Transformacija - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/dos-2-z-transformacija 1/20
Z -TRANSFORMACIJA
5/12/2018 DOS 2 - Z-Transformacija - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/dos-2-z-transformacija 2/20
Laplaceova transformacija
• Omoguduje lakši rad sa analognim signalima i
sistemima
• Laplaceova transformacija impulsnog odziva LVN
analognog sistema je njegova prenosna funkcija
j γ
j γ
st
st
dses X j π
s X t x
dt et x t x s X
)(2
1)(L)(
)()(L)(
}{
}{
1
PIERRE-SIMON LAPLACE
(1749-1827)
2
5/12/2018 DOS 2 - Z-Transformacija - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/dos-2-z-transformacija 3/20
Z -transformacija
• Z -transformacija predstavlja preslikavanjediskretnog signala u kompleksni red
• Postoji i unilateralna z-transformacija
0
)()(Z)( }{n
n
uzn x n x z X
3
5/12/2018 DOS 2 - Z-Transformacija - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/dos-2-z-transformacija 4/20
Region konvergencije
0,32)(
)2()1(3)(2)(
21zzzz X
nδnδnδn x
5,0,5,01
1
5,0)(
)(5,0)(5,0)(
01
0
zzzz X
nuk nδn x
n
nn
k
nk
n
x(n)
0 1 4 532
1
2
3
−1−2
n
x(n)
0 1 4 532
1
−1−2
• Region konvergencije je skup tačaka u kojima
definiciona suma z-transformacije konvergira
4
5/12/2018 DOS 2 - Z-Transformacija - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/dos-2-z-transformacija 5/20
Nule i polovi z-transformacije
• Za široku klasu signala z-transformacija se možedovesti u oblik
•Nule ZT su one vrednosti z za koje
• Polovi ZT su one vrednosti z za koje
• Ako je signal realan, nule i polovi su ili realni ili se javljaju u konjugovano kompleksnim parovima
N
i
i
i
M
i
i
i
n
n
za
zb
zn x z X
1
0
1)()(
)(z X 0)(z X
5
5/12/2018 DOS 2 - Z-Transformacija - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/dos-2-z-transformacija 6/20
Osobine z-transformacije
Linearnost
Vremenski pomeraj
Množenje eksponencijalnim nizom
)()()()(Z }{ zbY zaX nby nax
)()(Z }{ z X zmn x m
)()(Z1}{ za X n x
na
6
5/12/2018 DOS 2 - Z-Transformacija - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/dos-2-z-transformacija 7/20
Osobine z-transformacije
Inverzija u vremenu
Množenje sa n
Transformacija konvolucije
)(Z1)}({ z X n x
dz
zdX zn x n
)()(Z }{
)()()()(Z }{ zY z X ny n x
7
5/12/2018 DOS 2 - Z-Transformacija - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/dos-2-z-transformacija 8/20
Inverzna z-transformacija
• Inverzna z-transformacija data je izrazom
• C je bilo koja kriva koja leži u oblasti konvergencije a obuhvata
koorinatni početak
• Signal x (n) se češde nalazi tabelarno ili primenom teorije
reziduuma
i
i
pz
nm
i m
m
pz
nzz X pz
dz
d
m
zz X 1
1
1
1)()(
)!1(
1})(Res{
0,})(Res{
0,})(Res{
)( 1
1
nzz X
nzz X
n x
C van p pz
nC unutar p
pz
n
i
i
i
i
8
5/12/2018 DOS 2 - Z-Transformacija - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/dos-2-z-transformacija 9/20
Prenosna funkcija
• Z -transformacija impulsnog odziva LVN sistema
• Ako RUI ima oblik linearne iferencne jenačine s
konačnim koeficijentima, H(z) se može ovesti u oblik
racionalne funkcije:
)()()(
)()()(
zY zHz X
ny nhn x
n
nznhzH )()(
N
i
i
i
M
i
i i
n
n
za
zbznhzH
1
0
1
)()(
9
5/12/2018 DOS 2 - Z-Transformacija - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/dos-2-z-transformacija 10/20
Izgled regiona konvergencije
1,1
11
)()(
)()(
10
1
1
zz
z
zz
znuz X
nun x
n
n
n
n
1,11
11
1
)1()(
)1()(
01
1
2
2
zz
z
z
zz
zznuz X
nun x
n
n
n
n
n
n
n
n
n
u(n)
1 . . .
1Re
Im
n
−u(−n−1)
−1. . .
1Re
Im
10
5/12/2018 DOS 2 - Z-Transformacija - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/dos-2-z-transformacija 11/20
Izgled regiona konvergencije
• Ko signala konačnog trajanja beskonačna suma prelazi u konačnu
Ova suma može a ne konvergira jeino za
ili
Ove polove nazivamo trivijalnim polovima
z-transformacije
2
1)()()(
N
Nn
n
n
n
zn x zn x z X
0z z
11
5/12/2018 DOS 2 - Z-Transformacija - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/dos-2-z-transformacija 12/20
Izgled regiona konvergencije
• Ko kauzalnih signala beskonačnog trajanja
)(...)()()(2211
nu p Anu p Anu p An x n
NN
nn
Re
Im
p5 p1
p3
p2
p4
12
5/12/2018 DOS 2 - Z-Transformacija - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/dos-2-z-transformacija 13/20
Izgled regiona konvergencije
• Ko antikauzalnih signala beskonačnogtrajanja
)1(...)1()1()(2211
nuqBnuqBnuqBn x n
MM
nn
Re
Im
q2
q3
q1
q4
q5
13
5/12/2018 DOS 2 - Z-Transformacija - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/dos-2-z-transformacija 14/20
Izgled regiona konvergencije
• U opštem slučaju
)1(...)1()1(
)(...)()()(
2211
2211
nuqBnuqBnuqB
nu p Anu p Anu p An x
n
MM
nn
n
NN
nn
Re
Im
q2
q3
q1
p1 p2
p4
p3
q4
q5
14
5/12/2018 DOS 2 - Z-Transformacija - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/dos-2-z-transformacija 15/20
Stabilnost
• BIBO (Bounded Input Bounded Output) Sistem je stabilan akko je oziv na svaku ograničenu
pobuu takođe ograničen
•LVN sistem je stabilan akko je njegov impulsniodziv apsolutno sumabilan
• LVN sistem je stabilan akko jeinična kružnica u
z-ravni leži u regionu konvergencije
n
nh )(
15
5/12/2018 DOS 2 - Z-Transformacija - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/dos-2-z-transformacija 16/20
Stabilnost
• Kod FIR sistema Impulsni odziv je apsolutno
sumabilan, pa su uvek stabilni
Nema povratnih veza ukanonskoj blok- šemi realizacije
Nema polova u prenosnoj
funkciji (osim moža trivijalnih)
M
i
i
i N
i
i
i
M
i
i
i
zb
za
zb
zH0
1
0
1
)(
0
M
i i
i n x bny 0
)()(
x (n)
z−1
b0
b1
z−1
b2
bM−1
z−1
bM
. .
.
.
.
.
y (n)
16
5/12/2018 DOS 2 - Z-Transformacija - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/dos-2-z-transformacija 17/20
Stabilnost
• Kod kauzalnih IIR sistema
)(...)()()(2211
nu p Anu p Anu p Anh n
NN
nn
1Re
Im
p1 p2
p4
p3
Re
Im
p1 p2
p4
p3
1
stabilan nestabilan
17
5/12/2018 DOS 2 - Z-Transformacija - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/dos-2-z-transformacija 18/20
Stabilnost
• Kod antikauzalnih IIR sistema
)1(...)1()1()(2211
nuqBnuqBnuqBnh n
MM
nn
1Re
Im
q2
q3
q1
Re
Im
q2
1
stabilan nestabilan
q1
q3
18
5/12/2018 DOS 2 - Z-Transformacija - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/dos-2-z-transformacija 19/20
Stabilnost
• U opštem slučaju
)1(...)1()1(
)(...)()()(
2211
2211
nuqBnuqBnuqB
nu p Anu p Anu p Anh
n
MM
nn
n
NN
nn
1 Re
Im
q2
q3
q1
Re
Im
q2
1
stabilan nestabilan
q1
q3
p1 p2
p4
p3
p1
p2
19
5/12/2018 DOS 2 - Z-Transformacija - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/dos-2-z-transformacija 20/20
Granična stabilnost
• Ako jeinična kružnica prestavlja rub regionakonvergencije
• Ovakvi sistemi nisu stabilni u BIBO smislu
•Primer granično stabilnog sistema je sistem čiji je impulsni odziv h(n)=u(n)
n
u(n)
1 . . .
1Re
Im
20