CAPITULO IV TEXTO GUIA HIDRAULICA I
DINAMICA DE FLUIDO
148
DINAMICA DE FLUIDOS
El capitulo trata sobre el estudio de los fluidos, tomando en cuenta las condiciones de
inicio de movimiento. Para este estudio se analizaran lo fluidos como ideales y reales; es
decir, en los ideales no se toman en cuenta conceptos como los de viscosidad, considerando
así solo fuerzas como las de corte y fricción, en el caso de los reales se tomaran todos los
aspectos a modo de asemejar del mayor modo posible el análisis a la realidad.
El agua en movimiento presenta problemas de solución más difícil e incierta que los
problemas tratados en la estática y cinemática de fluidos a causa de la presencia de
resistencias debidas a la fricción y otras causas perturbantes cuya acción muchas veces es
difícil o imposible expresar matemáticamente. La mayoría de los problemas concernientes a
la dinámica de fluidos; es decir, al flujo de fluidos en conductos y tubos implican la
predicción de las condiciones en una sección de un sistema, cuando se conocen las
condiciones de alguna otra sección (Fig4-1), la figura muestra una parte de un sistema de
distribución de fluido con el flujo corriendo de la sección 1, en el fondo, a la sección 2, en la
parte superior. En cualquier sección de dicho sistema, generalmente nos preocupa la presión
del fluido, la velocidad y la elevación de la sección. Recuerde que la elevación es el término
usado para definir la distancia vertical desde algún nivel de referencia a un punto de interés,
y se representa con la letra z. Cuando se tratan conductos y tubos, se mide la elevación a la
línea central de la sección de interés.
CAPITULO IV TEXTO GUIA HIDRAULICA I
DINAMICA DE FLUIDO
149
IV.1 OBJETIVOS DEL CAPITULO
El capitulo a continuación abarca todo lo que implica la dinámica de fluido por lo que
al finalizar el mismo al alumno podrá:
i. Definir rapidez de flujo de volumen, de peso, de masa y sus respectivas
unidades.
ii. Definir la dinámica de fluidos en fluidos incompresibles ideales y las
diferentes ecuaciones.
iii. Escribir la ecuación de Bernoulli, y sus aplicaciones.
iv. Escribir la ecuación de la energía.
v. Definir flujo por orificios y sus ecuaciones fundamentales.
vi. Escribir la ecuación de cantidad de movimiento.
vii. Definir la dinámica de fluidos reales.
viii. Describir el efecto de la viscosidad y definir lo que es el número de
Reynolds.
ix. Escribir la ecuación de Navier-stokes.
x. Definir flujo uniforme y turbulento, así como la teoría de la capa limite.
xi. Definir distribución de velocidades y pérdidas de energía.
CAPITULO IV TEXTO GUIA HIDRAULICA I
DINAMICA DE FLUIDO
150
IV.2 DINAMICA DE FLUIDOS IDEALES INCOMPRESBLES
Estos flujos cumplen el llamado teorema de Bernoulli, enunciado por el matemático y
científico suizo Daniel Bernoulli. El teorema afirma que la energía mecánica total de un flujo
incompresible y no viscoso (sin rozamiento) es constante a lo largo de una línea de corriente.
Las líneas de corriente son líneas de flujo imaginarias que siempre son paralelas a la
dirección del flujo en cada punto, y en el caso de flujo uniforme coinciden con la trayectoria
de las partículas individuales de fluido. El teorema de Bernoulli implica una relación entre
los efectos de la presión, la velocidad y la gravedad, e indica que la velocidad aumenta
cuando la presión disminuye. Para el autor John Muller: "Este principio es importante para la
medida de flujos, y también puede emplearse para predecir la fuerza de sustentación de un
ala en vuelo. En el caso de la dinámica de fluidos, el autor R.L Streeter, menciona que: "las
únicas fuerzas de superficie son las provocadas por la presión, que sumadas a las demás
fuerzas, o de gravedad, son las responsables del movimiento del fluido". Bajo estas
condicione Newton represento su segunda ley, aplicada a un elemento fluido, o ecuación de
cantidad de movimiento, la que se conoce como ecuación de Euler.
IV.2.1 ECUACION DE EULER
Euler amplió y perfeccionó la geometría plana y de los sólidos, introdujo el método
analítico a la trigonometría y a él se debe el tratamiento moderno de las funciones log (x) y
exp (x). Creó una consistente teoría de logaritmos de números negativos e imaginarios y
descubrió que log (x) tiene un número infinito de valores.
En el campo de la hidráulica podemos desarrollar las ecuaciones de movimiento de
fluidos ideales (Fig.4-2), en la figura se observan las fuerzas de presión sobre un volumen de
control, la presión que siente el elemento en sus lados debido al fluido que no tomamos en
cuenta, para tomarla como fuerza debe multiplicarse por el área en contacto. Estas fuerzas
estarán en cada lado del mismo. Estas fuerzas de presione desbalanceadas en cada eje son:
CAPITULO IV TEXTO GUIA HIDRAULICA I
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151
xyzx
PFzxy
y
PFzyx
x
PF z
z
y
yx
x
; ;
Dividiendo todas estas fuerza por unidad de masa: zyxm
1
; 1
; 1
z
PF
y
PF
x
PF zyx
zyxPe 4.2.1
Tomando esta fuerza por unidad de masa tendremos:
z
PF
y
PF
x
PF
gzyx
zyx
m
P
zyx
c
1 ;
1 ;
1
La segunda ley de Newton dice: la sumatoria de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo
deben ser igual a su masa por su aceleración: amF , en el análisis previo pusimos
todas las fuerzas por unidad de masa, por esa razón las fuerzas que hallamos precisamente
serán iguales a la aceleración en ese sentido:
CAPITULO IV TEXTO GUIA HIDRAULICA I
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152
x
PV
z
VV
y
vV
x
V
t
Vz
xy
xx
xx
1 4.2.2
y
PV
z
VV
y
vV
x
V
t
Vz
y
y
y
x
yy
1 4.2.3
z
PV
z
VV
y
vV
x
V
t
Vz
zy
zx
zz
1 4.2.4
Estas últimas son las ecuaciones de Euler del movimiento de fluidos ideales. Estas
ecuaciones se interpretan de la siguiente manera: En los ejes X e Y las aceleraciones locales
o convectivas se traducen en un cambio de presiones en esa misma dirección, es decir que
una aceleración en este sentido provoca presión. En el sentido Z toda aceleración provoca un
cambio en la presión ayudada por el peso del cuerpo, por esto se introduce un cambio en la
altura piezométrica zP /
IV.3 RAPIDEZ DE FLUJO FLUIDO
La cantidad de flujo que fluye en un sistema por unidad de tiempo, se puede expresar
mediante tres términos:
Q La rapidez de flujo de volumen, es el volumen del flujo de fluido
que pasa por una sección por unidad de tiempo.
W La rapidez de flujo de peso, es la masa de fluido que fluye por
una sección por unidad de tiempo.
M La rapidez de flujo de masa, es la masa de fluido que fluye por
una sección por unidad de tiempo.
El más importante de estos tres es la rapidez de flujo de volumen, con la cual se
establece la siguiente relación:
AvQ 4.3.1
donde A es el área de la sección y v es la velocidad promedio del flujo. Las unidades de Q se
pueden derivar de la siguiente manera:
smsmmAvQ //* 32
RAPIDEZ DE
FLUJO DE
VOLUMEN
[m3/s]
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153
el peso w, esta relacionada con Q y γ, donde las unidades derivan de la siguiente manera:
sNsmmNQw //*/ 33
la masa m, esta relacionada con Q y la densidad ρ, y las unidades se derivan de la siguiente
manera:
skgsmmkgQm //*/ 33
IV.4 TEOREMA DE BERNOULLI-(Ecuación)
Daniel Bernoulli, en 1738, demostró un teorema general, referente al movimiento de
los fluidos, que es probablemente el más importante de la hidráulica. Toda la Hidrodinámica
reposa prácticamente en dicho teorema; y gran número de problemas hidráulicos pueden ser
resueltos con la única ayuda de dicho teorema. Al enunciarlo y demostrarlo, será mas simple
despreciar, al principio, todas las resistencias de fricción e investigar después de la influencia
de estas resistencias en los resultados.
De acuerdo con el teorema de Bernoulli, la carga absoluta en cualquier sección
transversal es igual a la carga absoluta en una sección de aguas abajo más las perdidas de
cargas intermedias. La carga de energía en todas las secciones es constante para corriente
uniforme y variable para corriente no uniforme.
Estrictamente hablando, el teorema de Bernoulli solo puede aplicarse a la sección
transversal de una corriente cuando la dirección transversal cuando la dirección de ésta sea
horizontal. Su deducción se basa en la hipótesis de que todas las velocidades son iguales y
que cada punto de la sección tiene el mismo contenido de energía.
Para efectos de demostración, vamos a considerar un flujo ideal, irrotacional,
permanente y unidimensional; en el que, analizaremos una línea de corriente, que coincida
con el eje de un filete o tubo de corriente, en la que consideramos un elemento diferencial de
fluido (Fig4-3).
RAPIDEZ DE
FLUJO DE PESO
RAPIDEZ DE
FLUJO DE MASA
CAPITULO IV TEXTO GUIA HIDRAULICA I
DINAMICA DE FLUIDO
154
ds
dza
s
p
adAdsdAdAdss
pppdApdA
adAdsdAdAdss
pppdAmaF
cos0)(cos
0)(cos
)(cos
En la vena liquida considerada, ésta tiene un elemento diferencial de área ´dA´ y un
elemento longitudinal diferencial ´ds´, por lo que el peso de ella será γdAds. La fuerza que
produce la presión en la base inferior del filete será PdA y en el incremento ds la fuerza que
produce la presión en la base superior del filete será:
dAdss
pp
Entonces se puede hacer la sumatoria de fuerzas a través del eje ‘s’ considerado, y
aplicamos la segunda ley de Newton:
CAPITULO IV TEXTO GUIA HIDRAULICA I
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155
02
ordenandoy fluido del especifico peso el entre dividiendo
02
V
:tendremos
eequivalent coseno ely n aceleracio la deecuacion esta doreemplazan
2
Vd
a
:finalmente obtiene se que lo de
dt
dVa
:comoexpresar puede sen aceleracio la
2
2
2
ds
zg
V
γ
pd
ds
d
ds
dz
s
p
ds
dt
dsVa
dt
dsa
ds
ds
cttezg
Vp
2
2
4.4.1
La ecuación obtenida es la ecuación de Bernoulli; la constante de integración (conocida
como constante de Bernoulli) generalmente varía de una línea de corriente a otra, pero
permanece constante a lo largo de una línea de corriente en flujo permanente, sin fricción e
incompresible. Estas cuatro suposiciones con necesarias y se deben tener presentes al aplicar
este ecuación. Cada término tiene dimensiones de (L/T2) o unidades de metros-newtons por
kilogramo.
2
22/
s
m
kg
smkgm
kg
Nm
Debido a que 1N=1Kg*m/s2, por consiguiente la Ec-1 se interpreta como energía por
unidad de masa.
Puede interpretarse como energía por unidad de peso, metros-newtons por newton.
Esta forma es particularmente conveniente para desarrollar problemas de líquidos con una
superficie libre.
Cada uno de los términos de la ecuación de Bernoulli puede interpretarse como una
forma de energía disponible.
Ec. Bernoulli
CAPITULO IV TEXTO GUIA HIDRAULICA I
DINAMICA DE FLUIDO
156
Esta ecuación también se conoce como la ecuación de conservación de energía
mecánica. Es particularmente importante notar que esta ecuación de energía se dedujo de la
ecuación de momentum.
Las perdidas de energía debida a la fricción y a la transferencia de calor solamente
pueden incorporarse a la ecuación diferencial de energía completa.
Al aplicar la ecuación a dos puntos sobre una línea de corriente se obtiene,
g
vpz
g
vpz
22
2
222
2
111
4.4.2
Esta ecuación (4.4.2) muestra que lo importante es la diferencia en energía potencial,
energía de flujo y energía cinética. Por consiguiente, z1-z2 es independiente del nivel de
referencia particular, al igual que la diferencia en la elevación de los dos puntos.
Similarmente, p1/γ y –p2/γ es la diferencia en las cabezas de presión, expresada en unidades
de longitud del fluido fluyendo, y no se altera por la presión de referencia particular
seleccionada. Debido a que los términos de velocidad son no lineales, su nivel de referencia
es fijo.
Por tanto los términos de la ecuación de Bernoulli se conocen, a menudo, como
cabezas refiriéndose a una altura por encima de un nivel de referencia. El termino Z se le
llama cabeza de elevación, y el termino gv 2/2 se le conoce como cabeza de velocidad. La
suma de las tres se la conoce como cabeza total. Debido a que cada término representa una
altura, un diagrama como se presenta en la Fig4-4, la cual es la utilidad para visualizar la
relación entre los tres tipos de energía. Se observa que, debido a la suposición de que no se
pierde o se agrega energía, la cabeza total permanece a un nivel constante. Entonces, la
altura relativa de cada término de cabeza varía según lo establecido por la ecuación de
Bernoulli.
Ec. Bernoulli
desarrollada
CAPITULO IV TEXTO GUIA HIDRAULICA I
DINAMICA DE FLUIDO
157
Como se muestra en la Fig4-3, la cabeza de velocidad en la sección 2 será menor que
en la sección 1. Esto se puede mostrar mediante la ecuación de continuidad,
)/( 2112
2211
AAvv
vAvA
4.4.3
Puesto que A1<A2, y 12 vv , como la velocidad está al cuadrado en el término
correspondiente a la cabeza de velocidad, gv 2/2
2 es mucho menor gv 2/2
1 . Así mismo
cuando se expande el tamaño de la sección como pasa en la Fig4-4, la cabeza de presión
aumenta debido a que disminuye la cabeza de velocidad. Sin embargo, el cambio real
también se ve afectado.
En resumen, la ecuación de Bernoulli explica el cambio en las cabezas de elevación,
de presión y de velocidad entre dos puntos en un sistema de flujo de fluido. Se supone que
no existen pérdidas o ganancias de energía entre los dos puntos, de modo que la cabeza total
permanece constante. Es esencial que la presión en los dos puntos de referencia se expresen,
ambas como presiones absolutas o como presiones manométricas. Es decir, deben tener las
dos la misma presión de referencia.
CAPITULO IV TEXTO GUIA HIDRAULICA I
DINAMICA DE FLUIDO
158
IV.4.1 RESTRICCIONES A LA ECUACION DE BERNOULLI
Aunque la ecuación es aplicable a un gran número de problemas, es necesario
mencionar ciertas limitaciones con el fin de aplicar correctamente la ecuación.
Está será valida solo para fluidos incompresibles, dado que el peso especifico es el
mismo para las dos secciones.
No pueden haber dispositivos mecánicos entre las dos secciones tomadas en cuenta
para el análisis, estos pueden agregar o disminuir energía.
No puede haber transferencia de calor hacia adentro o fuera del fluido.
No debe haber pérdidas de energía debido a la fricción.
En la realidad ninguno de los sistemas satisfacen todas las restricciones. Sin embargo
existen muchos sistemas para los cuales solamente se tendrá un error pequeño y despreciable
al aplicar la ecuación.
PROCEDIMIENTO PARA LA APLICACIÓN DE LA ECUACION
DE BERNOULLI EN FLUJO PERMANENTE
Determine qué elementos son conocidos y qué se va a encontrar.
Decidir cuales dos secciones del sistema se utilizaran cuando se escriba la
ecuación. Se escoge una sección de la cual se conocen muchos datos.
La segunda es, por lo general, la sección en la cual se debe calcular algo.
Escriba la ecuación para las dos secciones elegidas en el sistema. Es
importante que la ecuación que la ecuación se escriba en la dirección del
flujo. Es decir, el flujo debe ir de la sección de la parte izquierda de la
ecuación a la parte derecha.
Simplifique la ecuación, si es posible, mediante la cancelación de los términos
cuyo valor es cero o de aquellos que son los mismos en ambos lados de la
ecuación.
Resuelva la ecuación algebraicamente para el término deseado.
Sustituya las cantidades conocidas y calcule el resultado, tome la precaución
de asegurar el uso de unidades consistentes a lo largo del cálculo.
CAPITULO IV TEXTO GUIA HIDRAULICA I
DINAMICA DE FLUIDO
159
EJEMPLO DE APLICACIÓN La figura 4-4 muestra agua fluyendo a 10 ºC de
la sección 1 a la sección 2. En la sección 1, que tiene 25mm de diámetro, la
presión manométrica es de 345 Kpa y la velocidad de flujo es de 3.0 m/s. La
sección 2, que tiene 50mm de diámetro, esta a 2.0 m sobre la sección 1.
Suponiendo que no hay pérdidas de energía en el sistema, calcule la presión P2.
Solución.
mZZ
Kpap
smv
mmD
mmD
0.2
345
/0.3
50
25
12
2
1
2
1
Debe encontrarse la presión P2. Es decir debemos calcular la presión en la
sección 2, que es diferente de la sección 1, debido al cambio de elevación y de
área de flujo entre las dos secciones.
Se conoce P1, v1 y z1. Tenemos la ecuación de Bernoulli
g
vz
P
g
vz
P
22
2
22
2
2
11
1
Despejando P2 de la ecuación tenemos:
g
vz
g
vz
PP
g
vz
g
vz
PP
22
22
2
22
2
11
12
2
22
2
11
12
Sin embargo, es conveniente agrupar las cabezas de elevación y las cabezas de
velocidad. También, como 11 )/( PP , la solución final para P2 será:
g
vvzzPP
2
2
2
2
12112
CAPITULO IV TEXTO GUIA HIDRAULICA I
DINAMICA DE FLUIDO
160
Sabemos que g=9.81Kn/m3, además sabemos que esta fluyendo agua a 10ºC en
el sistema, por tanto γ =9.81KN/m3. Nos queda por determinar 2v , para esto
recurrimos ala ecuación de continuidad vista en el capitulo anterior.
m/s.v
m/s. v A
Avv
mm/mmπ/ ππ A
mm/mmπ/πD A vAvA
750
03
19634504
4914254
2
12
112
222
22
222
112211
Ahora sustituyendo en la ecuación despejada en un principio tendremos:
2
22
32/81.92
/75.0/0.30.2
81.9345
sm
smsmm
m
KnKpaP
Se sabe que mzz 0.221 , debido a que z2 es mayor a z1
KpaP
KpaKpamKNKpaP
6.329
4.15345/4.15345
2
2
2
la presión encontrada es manométrica debido a que fue calculada con respecto de
P1, que también es una presión manométrica. En siguientes ejercicios
supondremos que estas presiones son manométricas a menos que se diga otra
cosa.
EJEMPLO DE APLICACIÓN Por la tubería mostrada en la figura 4-5, circula
agua, siendo la relación entre el diámetro en el punto 1 y el diámetro en el punto
2 igual a 2 .
En 1 la presión es de 0.5Kg/cm2 y la elevación 100 m. En 2 la presión es
3.38kg/cm2 y la elevación 70 m. Calcular la velocidad en dichos puntos
despreciando las pérdidas por rozamiento.
CAPITULO IV TEXTO GUIA HIDRAULICA I
DINAMICA DE FLUIDO
161
(1) 2
1
:luego
2
1)(
:ndosimplifica
)4
4(
:donde de
: tienese dcontinuidaPor
2
1
2
21
2
2
1
2
221
2
1
2
221
2211
vv
vvd
dvv
d
dvv
AvAv
agua de 8.33
agua de 5
2
1
mw
p
mw
p
:(1)en valor este
segmv
segmv
/ 80.2
/ 60.5
1
2
Solución.
mz
mz
cmkg
cmkg
zzw
p
w
p
g
v
g
v
zw
p
g
vz
w
p
g
v
70
100
/38.3p
/5.0p
:problema del datos losSegun
(2) 22
:dotrasponien
22
:Bernuollipor
2
1
2
2
2
1
212112
22
2
21
1
2
1
segmv
g.v
).g(vv
..g
v
g
v
/ 60.536.313
6.98.9
693
2184
2170100833582
(2)en (1)y datos estos doreemplazan
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
CAPITULO IV TEXTO GUIA HIDRAULICA I
DINAMICA DE FLUIDO
162
APLICACIÓN DEL TEOREMA DE BERNOULLI EN FLUJO
NO PERMANENTE
Se requiere a veces determinar el tiempo necesario para vaciar un reservorio, o
el tiempo empleado para que el nivel del liquido baje una cierta altura; es por ello que
es necesario determinar una expresión matemática que nos que nos determine el
mencionado tiempo. Para efectos didácticos se elige un orificio con carga variable.
Como ejemplo de aplicación de este caso podemos mencionar la aplicación del
teorema en el gasto de un orificio con carga variable.
Sea h1 la carga del orificio en el momento inicial, como se muestra en la figura
4-6, y h2 la carga, al final de cierto tiempo “t”. Supondremos como constante la sección
transversal horizontal del reservorio.
En cualquier instante determinado, la velocidad del chorro será:
ghCV v 2
donde h es la carga variable en el instante considerado. El gasto que seria descargado
por el orificio será:
ghaCQ d 2
En un tiempo infinitesimal “dt” se descargará un volumen dVol, por lo que el
caudal que desciende en el reservorio será:
dt
dVolQ
CAPITULO IV TEXTO GUIA HIDRAULICA I
DINAMICA DE FLUIDO
163
dhhghaC
Adt
ghaCdt
Adh
dt
AdhQ
d
d
21
2
2
anteriores dos las igualando
Pero en ese mismo instante, la carga habrá disminuido una cantidad
infinitesimal dh; entonces este caudal puede ser expresado por la siguiente ecuación:
si en esta ultima ecuación, integramos en el tiempo de 0 a t e integramos h de h1 a h2,
tendremos entonces:
gaC
hhAT
d 22 21 4.4.4
EJEMPLO DE APLICACIÓN En los primeros cinco minutos un recipiente
que tiene un orificio en el fondo desciende 1 metro de su nivel inicial y en los
siguientes 6 minutos desciende otro metro. Determinar cual es el nivel inicial
del recipiente.
Solución. Se considerará como punto de referencia la altura intermedia del
recipiente entre los dos tiempos dados por el problema
21
21
12
2300 HH
gaC
A
d
21
21
12
2360 HH
gaC
A
d
Dividiendo las dos ecuaciones se obtiene:
11H1/2
-5(H-1)1/2
= 6(H+1)1/2
despejando esta ecuación obtendremos la altura del nivel inicial:
mH 82.2
[s] Tiempo de descarga
CAPITULO IV TEXTO GUIA HIDRAULICA I
DINAMICA DE FLUIDO
164
IV.5 FLUJO EN ORIFICIOS-TEOREMA DE TORRICELLI
El termino orificio, según se usa en hidráulica, se aplica a cualquier abertura, con
perímetro cerrado, practicada en una pared o tabique que permite el derrame del agua
contenida en un recipiente. Los orificios entran en el diseño de muchas estructuras
hidráulicas; y se usan frecuentemente en la medición de caudales de las corrientes fluidas.
Los mas usados son lo circulares, El agua que fluye por orificios de conforme va
abandonando el orificio, el chorro va contrayéndose gradualmente, hasta formar un chorro
cuya área transversal es algo menor que el área transversal del orificio. Esto se debe a la
convergencia de las trayectorias seguidas por las diferentes partículas, conforme se acercan
al orificio. Supóngase un deposito de liquido (Fig4-7), este tiene en la parte inferior un
orificio por el que sale el liquido; el área del orificio es pequeño y el de el deposito es
suficientemente grande, y siendo el flujo permanente, de manera que el gasto que sale por el
orificio es igual al gasto que entrara en el deposito, por lo que se tendrá una altura del liquido
“h”.
Suponiendo el flujo ideal, podemos partir de la ecuación de Bernoulli entre el punto
“0” en la superficie del deposito y el punto de salida del orificio.
sss zg
VPz
g
VP
220
00
Vemos que P0=Ps; V0 =es aproximadamente cero y zs =0, tendremos:
ss
s
zzgV
g
Vh
0
2
2
2
ghVs 2 4.5.1
esta última ecuación (4.5.1) se conoce como Teorema de Torricelli.
[m/s]
CAPITULO IV TEXTO GUIA HIDRAULICA I
DINAMICA DE FLUIDO
165
Donde la velocidad es igual a la que adquiriría una partícula de fluido al caer
libremente desde una altura “h” (velocidad ideal) y esta es independiente del peso especifico
del fluido; con alcohol y mercurio la velocidad seria la misma.
En un orificio situado en un plano horizontal (Fig4-8), todas sus partes estarán bajo las
mismas cargas, y la velocidad de todas las partículas será igual, al llegar a la sección
contraída. en este caso el chorro de agua se elevaría hasta una altura igual a la carga que
produce. Por supuesto, que la resistencia del aire impide que esto suceda en la realidad,
como también lo impiden la fricción entre el agua y el orificio, y la fricción de las partículas
de agua. Los experimentos han enseñado que, para cargas bajas (< 2 y 2.5 metros), la
discrepancia es muy pequeña, aumentando conforme aumenta la carga.
Para desarrollar este caso podemos partir de Bernoulli. Primero obtenemos una
expresión para la velocidad del chorro en el punto 2.
g
vz
P
g
vz
P
22
2
22
2
2
11
1
ghv 22
ahora se escribe la ecuación de Bernoulli entre los puntos 2 y 3 en el nivel de la superficie
libre del fluido:
g
vz
P
g
vz
P
22
2
33
3
2
22
2
CAPITULO IV TEXTO GUIA HIDRAULICA I
DINAMICA DE FLUIDO
166
Pero 032 PP . Entonces para 3v , tendremos:
hzz
ghv
zzgvv
)(
2
)(2
32
2
2
32
2
23
Tenemos:
0)(223 hgghv 4.5.2
este resultado verifica que la corriente alcanza justamente la altura de la superficie libre de
fluido en el tanque.
Para alcanzar una altura mayor (fuentes), se puede desarrollar una mayor presión por
encima del fluido en el recipiente, o se puede utilizar una bomba para obtener una mayor
presión.
EJEMPLO DE APLICACIÓN Para el tanque de la figura, calcular la
velocidad de flujo que sale de la boquilla para una profundidad de fluido de 3.0
m.
Solución. Esta es una aplicación directa del teorema de Torricelli:
smv
msmv
ghv
s
s
s
/67.7
)0.3)(/81.9(2
2
2
[m/s]
CAPITULO IV TEXTO GUIA HIDRAULICA I
DINAMICA DE FLUIDO
167
EJEMPLO DE APLICACIÓN Para el sistema ilustrado en la figura 4-9,
calcular la presión de aire requerida por encima del agua para hacer que el
chorro suba 40.0 desde la boquilla. La profundidad es de 6.0 pies.
Solución. Usamos la ecuación de Bernoulli para obtener una expresión para la
velocidad de flujo en la boquilla como función de la presión de aire:
g
vz
P
g
vz
P
22
2
22
2
2
11
1
vemos que 01 v y que P2 =0, tendremos:
)()/(2 2112 zzPgv
hPgv )/(2 12
Esta ecuación es parecida a la del teorema de Torricelli. Por analogía, el
sistema presurizado hará que el chorro se eleve a una altura hP /1 .
Entonces, en este problema, si deseamos una altura de 40 pies y h = 6 pies
piesP 34640/1
)34(1 piesP
)lg144/()34)(/4.62( 23
1 pupiespieslbP
relativapulbP lg/73.14 2
1
IV.5.1 TRAYECTORIA DE LA VENA LIQUIDA
En la Figura 4-10 se ilustra una vena que se derrama por un orificio vertical bajo una
carga h. La abscisa y la ordenada de un punto m, situado en la trayectoria del chorro son
respectivamente x e y. Si v es la velocidad en la vena contracta, al final del tiempo t,
entonces
vtx
por la ley de la caída de los cuerpos,
2
21 gty
igualando a t y reemplazando
yg
vx
22 2 4.5.3
CAPITULO IV TEXTO GUIA HIDRAULICA I
DINAMICA DE FLUIDO
168
Esta es la ecuación de una parábola con su vértice en el orificio, como
ghCv v 2
la ecuación (4.5.3) podrá escribirse en la forma:
hyCx v
22 4 4.5.4
IV.5.2 COEFICIENTE DE VELOCIDAD
Este se obtiene generalmente haciendo una serie de mediciones de trayectoria del
chorro. Si una partícula sale del orificio con una velocidad Vr, y después de “t” segundos se
halla la posición en un punto determinado de la trayectoria de la vena liquida (4.5.4), de
donde tomando las ecuaciones del punto anterior,
ghCv vr 2
despejando obtendremos:
gh
y
gx
Cv2
2 4.5.5
o Vr ; velocidad real de la partícula fluida
o Cv ; coeficiente de velocidad
Ec. para calcular la velocidad real de la
partícula fluida.
Ec. de una parábola
CAPITULO IV TEXTO GUIA HIDRAULICA I
DINAMICA DE FLUIDO
169
IV.5.3 COEFICIENTE DE CONTRACION
Como se comento anteriormente el chorro de liquido al salir del orificio se contrae de
manera que el área efectiva del chorro es ligeramente menor que el área del orificio,
entonces podemos hacer una relación de áreas, esta relación se denomina coeficiente de
contracción (Cc), este coeficiente varía ligeramente con el tamaño del orificio y con la carga
de líquido, tienen un valor promedio de 0.62 aproximadamente, para orificios Standard. Su
uso principal se halla en la determinación del área transversal de la vena liquida, en la
sección contraída (Fig4-11).
Este coeficiente será:
cc ACaA
aC 4.5.6
o a ; área de la vena liquida
o A ; área del orificio
o Cc ; coeficiente de contracción
Por relación entre las formulas vistas anteriormente, podemos relacionar directamente
los tres coeficientes vistos:
vcd CCC
se muestra a continuación una tabla donde se observan las variaciones de estos coeficientes
con el uso de esta ecuación
Cv 1 0,99 0,98 0,97 0,96 0,95
Cc 0,586 0,6 0,615 0,31 0,47 0,664
Cd 0,586 0,594 0,603 0,12 0,621 0,631
Fuente: Introducción a la Hidráulica-
Texto auxiliar de la materia
CAPITULO IV TEXTO GUIA HIDRAULICA I
DINAMICA DE FLUIDO
170
IV.5.4 COEFICIENTE DE GASTO O DESCARGA
La cantidad o volumen “Vol” que fluye del orificio, por unidad de tiempo “t”, puede
expresarse por el producto del área efectiva “a” de la sección contraída, por la velocidad
efectiva “Vr”, adquirida por el agua al pasar por dicha sección; tenemos:
ghACCghCACaVQ vcvcrr 2)2)(( 4.5.7
Donde CcCv = Cd , por lo que la ecuación (4.5.7) puede escribirse como:
ghACQ dr 2 4.5.8
t
rd
Q
QC 4.5.9
o Qr ; caudal real
o Qt = A(2gh)1/2
; caudal teórico
este caudal teórico tendría lugar si no hubiera fricción, ni contracción de la vena liquida.
IV.5.5 PERDIDA DE CARGA EN UN ORIFICIO
A causa del rozamiento y de la viscosidad, la velocidad del agua que se derrama por un
orificio es menor que gh2 , o sea:
ghCv v 2
la carga total que produce el derrame es, por lo tanto,
g
v
Ch
v2
1 2
2 4.5.10
la carga perdida es igual a la cara total menos la carga de velocidad, o sea, si ho es la carga
perdida,
g
v
Cg
v
g
v
Ch
vv
o2
11
22
1 2
2
22
2
4.5.11
[m3/s]
[m]
[m]
CAPITULO IV TEXTO GUIA HIDRAULICA I
DINAMICA DE FLUIDO
171
como tvvCv ; donde teoricavelocidadvt ,
hCh vo )1(2
4.5.12
Si, para un orificio de arista viva, Cv =0.98, se obtiene la siguiente relación:
hg
vho 040.0
2041.0
2
4.5.13
IV.5.6 ORIFICIO SUJETO A CARGAS BAJAS
Se tiene que, ghACQ c 2 , bajo la hipótesis de que la carga que produce el derrame
es la que obra en el centro del orificio. Cuando en un orificio vertical éste es pequeño en
relación con la altura del mismo, hay una diferencia apreciable entre el derrame teórico
verdadero y el dado por la ecuación ghACQ c 2 .
En la figura 4-12 se ilustra un orificio rectangular de ancho L y altura M. Las cargas
respectivas sobre los bordes superior e inferior del orificio son h1 y h2. Despreciando la
velocidad de llegada o acceso, el derrame teórico a través de una faja elemental de área Ldy,
bajo una carga y, es
dygyLdQt 2 4.5.14
integrada entre los límites h1 y h2,
)(2 2/3
1
2/3
232 hhgLQt 4.5.15
[m]
[m]
[m3/s]
CAPITULO IV TEXTO GUIA HIDRAULICA I
DINAMICA DE FLUIDO
172
Cuando h1 es cero tendremos:
)(2 2/3
232 hgLQt 4.5.16
esta es la formula teórica, sin corrección Por velocidad de acceso, para el derrame de un
vertedero. La ecuación (4.5.15) es el derrame teórico para orificios rectangulares. Para
orificios circulares se puede deducir una formula semejante pero mas complicada.
IV.5.7 ORIFICIOS SUMERGIDOS O AHOGADOS
Si un orificio descarga completamente dentro del agua, recibe el nombre de
“sumergido”. Estos orificios son de uso frecuente en las obras de ingeniería como en las
esclusas, canales de escape, compuertas de marea, y muchas otras construcciones (Fig4-13).
Supóngase dos recipientes como se muestra en la figura 4-12, expuestos a la presión
atmosférica. Se tendrá entonces para los puntos “o” y “s”
2
2
1 33.102
33.100 Hg
VH s
de donde:
)(2 21 HHgVs
gHVs 2 4.5.17
Se demuestra entonces fácilmente que el valor teórico de la velocidad es gH2 ,
donde H es la diferencia entre los niveles de agua. El gasto será, como antes:
ghACQ d 2 4.5.18
[m3/s]
[m/s]
[m3/s]
CAPITULO IV TEXTO GUIA HIDRAULICA I
DINAMICA DE FLUIDO
173
IV.5.8 ORIFICIO EN LAS TUBERIAS
En la figura 4-14 se ilustra un orificio circular de arista viva dentro de un tubo. La
velocidad en la vena contracta “2”, se obtiene por la formula,
1
2
1212
22 h
g
v
w
p
w
pgv
reemplazando el término de pérdida de energía, h1, por Cv , esta ecuación se transforma en:
g
v
w
p
w
pgCv v
22
2
1212
En los orificios de los tubos no puede omitirse el factor de corrección por velocidad de
acceso ( gv 2/2
1 ). Nuevamente, haciendo ACA c2 y vc CCC , la expresión para el
derrame o gasto se transforma en,
g
v
w
p
w
pgCAQ
22
2
121 4.5.19
En esta forma la ecuación (4.5.19) requiere una solución por aproximaciones sucesivas.
Sin embargo, sustituyendo 2
1v por su valor obtenido de la ecuación de continuidad 1/ AQ ,
donde A1, es el área del tubo, se deduce la siguiente expresión:
2
1
2
21
1
2
A
AC
w
p
w
pg
CAQ 4.5.20
CAPITULO IV TEXTO GUIA HIDRAULICA I
DINAMICA DE FLUIDO
174
El valor de C varia no solamente con los factores que afectan a los orificios de los
depósitos, sino también con la relación del diámetro del orificio, d, al del tubo, d1, y con el
lugar donde se efectúan las tomas de presión. Los experimentos indican que la vena
contracta esta aproximadamente a la mitad del diámetro del tubo, aguas abajo del orificio.
Cuando el orificio esta en el extremo del tubo, p2 es igual a cero en la formula (4.5.20) y
solamente se requiere un injerto o toma de presión. En la figura 4-15 se muestran dos curvas
que ilustran la relación entre C y el número de Reynolds. Algunas partes de la curva
aparecen de trazos porque los valores de R son inciertos, debido a los escasos datos de que se
dispone en esta región. En los anexos del presente capitulo se presenta información adicional
relativa a los coeficientes de gato o derrame para las tomas de presión en la vena contracta y
para los injertos de brida.
IV.5.9 GASTO EN ORIFICIOS DE PARED GRUESA
Cuando el contorno del orificio en estudio no tiene aristas afiladas, se dice que el
orificio es de pared gruesa. En este tipo de orificios podemos notar que después de la sección
contraída, el chorro aun tiene espacio dentro del tubo para expandirse y llenar la totalidad de
la sección (Fig4-16). Ver Anexos
Fuente: Manual de Hidráulica-H.W. King,
E.F. Brater
CAPITULO IV TEXTO GUIA HIDRAULICA I
DINAMICA DE FLUIDO
175
Entre la vena contraída y el final del tubo ocurre un rápido descenso en la velocidad,
acompañado de una turbulencia y una fuerte perdida de energía, en este caso la velocidad
será:
ghCV v 2 4.5.21
Donde:
o Cv =0.82 para e/D=3
o Cc =1
o Cd =0.82
Por lo que el gasto es aproximadamente, un tercio mayor que en un orificio de pared
delgada. Este se debe a que el la sección contraída se forma un vació parcial con presión
ligeramente menor a la atmosférica, lo que aumenta el valor efectivo de la carga H.
IV.6 ECUACION GENERAL DE LA ENERGIA
Cuando se desarrollo la ecuación de Bernoulli, y se mencionaron algunas restricciones,
por lo que se menciono un pequeño error despreciable en el resultado obtenido. Sin embargo
para un sistema donde existen, algunas perdidas y adiciones de energía entre las secciones de
interés, esto sucede generalmente cuando intervienen dispositivos mecánicos tales como
bombas, válvulas, conectores, etc. Para este tipo de sistemas la ecuación de Bernoulli ya no
es valida. Con respecto al efecto que tienen los dispositivo mecánicos sobre el flujo, pueden
clasificarse como dispositivos que añaden energía o succionan energía (Fig4-17)
CAPITULO IV TEXTO GUIA HIDRAULICA I
DINAMICA DE FLUIDO
176
Los motores de fluido, turbinas, accionadores giratorios y lineales son ejemplos de
dispositivos que toman energía de un fluido y la transfieren en forma de trabajo, ocasionando
la rotación de un eje o el movimiento lineal de un pistón.
Muchos motores de fluido tienen la misma configuración básica que las bombas; la
principal diferencia entre una bomba y un motor de fluido es que cuando se pone en
funcionamiento un motor, el fluido pone elementos giratorios en funcionamiento. Las
bombas funcionan a la inversa (Fig4-18). En algunos diseños, como el de los engranajes la
bomba podría actuar como motor.
Un fluido ofrece una resistencia de fricción al fluido. Parte de la energía del sistema se
convierte en energía térmica (calor), el cual se disipa a través de las paredes del conducto en
el que el fluido se desplaza. La magnitud de la pérdida de energía depende de las
propiedades del fluido, la velocidad de flujo, el tamaño del conducto, la rugosidad de la
pared del conducto y la longitud del tubo.
Los elementos que controlan la dirección o la rapidez de flujo de un fluido en un
sistema, típicamente establecen turbulencias locales en el fluido, ocasionando que la energía
se disipe en forma de calor (Fig4-19), estas perdidas de energía se presentan siempre que
haya una restricción, un cambio de velocidad de flujo o un cambio en su dirección.
CAPITULO IV TEXTO GUIA HIDRAULICA I
DINAMICA DE FLUIDO
177
En un sistema grande, las pérdidas debidas a la presencia de válvulas y conectores es
pequeña en comparación con las pérdidas por fricción en los conductos, estas son
denominadas perdidas menores.
IV.6.1 NOMENCLATURA DE PÉRDIDAS Y ADICIONES DE ENERGIA
Se explican las perdidas y las adiciones de energía en un sistema en términos de
energía por unidad de peso o de fluido que fluye en el sistema. A esto también se le conoce
como “cabeza”. Como un símbolo para el término cabeza usaremos la letra h, cuando se
hable de pérdidas y adiciones de energía. Específicamente, utilizaremos los términos
siguientes:
hA = energía añadida o agregada al fluido mediante un dispositivo mecánico
como puede ser una bomba.
hR = energía removida o retirada del fluido mediante un dispositivo
mecánico como podría ser un motor de fluido.
hL = perdidas de energía por parte del sistema, debidas a fricción en los
conductos, o perdidas menores debida a la presencia de válvulas y
conectores.
CAPITULO IV TEXTO GUIA HIDRAULICA I
DINAMICA DE FLUIDO
178
No tomaremos en cuenta los efectos de la transferencia de calor hacia o fuera del
fluido, ya que son despreciables en los tipos de problemas que estamos tratando. La
magnitud de las perdidas de energía producidas por muchos tipos de válvulas y de
conectores es directamente proporcional a la velocidad del fluido. Lo anterior se puede
expresar de manera matemática como:
)2/( 2 gvKhL 4.6.1
El termino K es el coeficiente de resistencia, que por lo general se le encuentra
experimentalmente.
IV.6.2 ECUACION DE LA ENERGIA
La ecuación general de la energía, es una expansión de la ecuación de Bernoulli, que
hace posible resolver problemas en los que se presentan pérdidas y adiciones de energía.
La interpretación lógica de la ecuación de energía se puede ver en la figura 4-20, que
representa un sistema de flujo.
Los términos '
1E y '
2E denotan la energía que posee el fluido por unidad de peso en las
secciones 1 y 2, respectivamente. También se muestra las adiciones, remociones y
pérdidas de energía, hA, hR y hL. Para tal sistema, la expresión del principio de
conservación de energía es:
'
2
'
1 EhhhE LRA
la energía que posee el fluido por unidad de peso es:
g
vz
PE
2
2'
4.6.2
[m]
CAPITULO IV TEXTO GUIA HIDRAULICA I
DINAMICA DE FLUIDO
179
la ecuación 4.6.2 queda entonces:
g
vz
Phhh
g
vz
PLRA
22
2
22
2
2
11
1
4.6.3
Esta es la forma de la ecuación de energía que utilizaremos con más frecuencia en
el libro. Al igual que la ecuación de Bernoulli, cada término de la ecuación representa una
cantidad de energía por unidad de peso de fluido que fluye en el sistema. Las unidades SI
típicas son N. m/N o metros. Las unidades en el Sistema Británico de Unidades son lb-
pie/lb o pie.
Es de suma importancia que la ecuación general de energía esté escrita en la
dirección de flujo, es decir, desde el punto de referencia, en la parte izquierda de la
ecuación, al punto correspondiente, en el lado derecho. Los signos algebraicos juegan un
papel crítico, debido a que el lado izquierdo de la ecuación establece que un elemento de
fluido que tenga una cierta cantidad de energía por unidad de peso en la sección 1, pueda
tener una adición de energía (+hA), una remoción de energía (-hR) o una pérdida de energía
(-hL), antes de que alcance la sección 2. En tal punto contiene una cantidad diferente de
energía por unidad de peso según lo indican los términos de la parte derecha de la
ecuación.
Por ejemplo, en la figura 4-20, los puntos de referencia son 1 y 2, y en cada uno de
estos se indican las cabezas de presión, de velocidad y de elevación. Después de que el
fluido abandona el punto 1, entra a la bomba, donde se le agrega energía. Un movilizador
principal, que podría ser un motor eléctrico, hace funcionar la bomba y su movilizador
transfiere la energía al fluido (+hA). Entonces el fluido fluye por un sistema de conductos
compuesto por una válvula, codos y tramos de conducto en los que la energía se disipa (-
hL). Ante de alcanzar el punto 2, el fluido fluye a través de un motor de fluido que retira
algo de la energía para hacer funcionar un dispositivo externo (-hR). La ecuación general
de la energía toma en cuenta todas esas energías. En caso de no tener alguno de los
dispositivos, estos serán cero, y pueden sacarse de la ecuación.
EJEMPLO DE APLICACIÓN De un recipiente grande fluye agua con una
rapidez de 1.2 pies3/s a través de un sistema de conductos (Fig4-21). Calcular la
cantidad total de energía perdida en el sistema debido a la presencia de la
válvula, los codos, la entrada del tubo y la fricción del fluido.
CAPITULO IV TEXTO GUIA HIDRAULICA I
DINAMICA DE FLUIDO
180
Utilizando un planteamiento similar al usado con la ecuación de Bernoulli, elija
las dos secciones de interés (1 y 2).
Las secciones en las que conocemos la mayor información sobre presión,
velocidad y elevación son la superficie del recipiente y la corriente libre del
fluido a la salida del conducto, determinamos cuales términos de la ecuación de
la energía son cero:
g
vz
Phhh
g
vz
PLRA
22
2
22
2
2
11
1
o P1 = 0 ; superficie del recipiente expuesta a la atmósfera
o P2 = 0 ; corriente libre de fluido expuesta a la atmósfera
o V1= 0 ; (aproximado) el área superficial del recipiente es grande
o hA = hR = 0 ; no hay dispositivos mecánicos
Entonces nuestra ecuación se resume a:
g
vzhz L
2
2
221
Puesto que estamos buscando la perdida de energía total del sistema hallamos
hL
g
vzzhL
2)(
2
221
pieszz 2521
22 / AQv
CAPITULO IV TEXTO GUIA HIDRAULICA I
DINAMICA DE FLUIDO
181
Puesto que Q = 1.2pies3/s y el área de un chorro de 3 pulgadas de diámetro es
de 0.0491 pies2,
spiespiess
pies
A
Qv /4.24
0491.0
1*
2.12
3
2
2
piesg
v25.9
)2.32(2
)4.24(
2
22
2
Entonces la cantidad total de energía perdida por el sistema será:
piespiesgvzzhL 25.9252/)( 2
221
pieshL 75.15
IV.7 FLUJO LAMINAR Y FLUJO TURBULENTO
Cuando se analiza un fluido en una corriente de flujo, es importante ser capaces de
determinar el carácter de este flujo. En algunas condiciones, el fluido parecerá que fluye en
capas, de una manera uniforme y regular. Además se puede observar este fenómeno cuando
se abre un grifo de agua lentamente, hasta que el chorro es uniforme y estable. Este tipo de
flujo se lo conoce como flujo laminar.
Dirección del flujo por láminas
CAPITULO IV TEXTO GUIA HIDRAULICA I
DINAMICA DE FLUIDO
182
Experimento para determinar flujo laminar
En la figura 4-24, se muestra una manera de ver al flujo laminar, en un conducto
circular. Anillos concéntricos de fluido se trasladan siguiendo una trayectoria recta y
uniforme. Hay poca mezcla del fluido a través de los “limites” de capa a capa, conforme el
flujo se desplaza por el conducto.
En realidad, el fluido esta conformado por un numero infinito de capas. Otra forma de
ver al flujo laminar es en un tubo de vidrio donde fluye agua, donde se inyecta una partícula
o una corriente de otro fluido (Fig4-25), esta se desplazara en una línea recta no se mezclara
con el volumen del fluido siempre y cuando este flujo siga siendo laminar. El flujo laminar
en un canal abierto (Fig4-26), se le llama flujo tranquilo. Un flujo tranquilo sobre un muro
aparece como una lamina uniforme de fluido, lo cal se utiliza a menudo en fuentes de ornato.
Flujo laminar en canal abierto
CAPITULO IV TEXTO GUIA HIDRAULICA I
DINAMICA DE FLUIDO
183
Experimento para determinar flujo turbulento
El flujo laminar esta gobernado por la ley que relaciona la tensión cortante con la
velocidad de deformación angular, es decir, la tensión cortante es igual al producto de la
viscosidad del fluido por el gradiente de las velocidades o bien dydv / . La viscosidad
es la magnitud física predominante y su acción amortigua cualquier tendencia a la tubería.
El flujo turbulento es un movimiento no uniforme de las partículas, de forma
desordenada en todas las direcciones. Es imposible conocer la trayectoria de una partícula
individualmente (Fig4-27). La tensión cortante en el flujo turbulento puede expresarse como:
dy
dv 4.7.1
Donde η(eta) = un factor que depende de la densidad del fluido y de las características
del movimiento. El primer término entre paréntesis (μ) representa los efectos debidos a la
turbulencia.
Mediante los resultados obtenidos experimentalmente puede obtenerse la solución de
las tensiones cortantes en el caso de flujos turbulentos. Prandtl sugirió:
2
2
dy
dvl 4.7.2
Para expresar las tensiones cortantes en flujos turbulentos. Esta formula tiene el
inconveniente de que la longitud de mezcla (l) es función de y. Cuanto mayor es y, distancia
de la pared a la tubería, mayor es el valor de l. Posteriormente Von Karman sugirió:
222
4
2
0
0
/
/1
dyvd
dydvk
r
y
4.7.3
Aunque k no es una constante, este número adimensional se mantiene
aproximadamente igual a 0.40.
CAPITULO IV TEXTO GUIA HIDRAULICA I
DINAMICA DE FLUIDO
184
IV.8 NÚMERO DE REYNOLDS
El comportamiento de un fluido, particularmente con respecto a las perdidas de
energía, depende bastante de si el flujo es laminar o turbulento. Por esta razón deseamos
tener medios para predecir el tipo de flujo sin necesidad de observarlo. En efecto, la
observación directa es imposible para fluidos que se encuentran en conductos opacos. Se
puede mostrar experimentalmente y analíticamente que el carácter del flujo en un conducto
redondo depende de cuatro variables.
Este número viene de la relación entre las fuerzas inerciales (FI) y las fuerzas de
viscosidad (FV):
T
LV
T
L
T
LLMaF
dd
I
3
2
4
2
3
;
T
LL
L
T
L
Ady
dvAF
ddd
V
22
LV
T
LT
LV
F
F
V
I 2
3
VLLVRe 4.8.1
donde:
L ; longitud característica del campo de flujo, en caso de tuberías el diámetro, en caso
de placas paralelas, la separación entre ellas.
V ; velocidad media del campo de flujo.
ρ ; densidad del fluido.
μ ; viscosidad del fluido.
υ ; viscosidad cinemática del fluido.
IV.8.1 NUMEROS DE REYNOLDS CRITICOS
Para aplicaciones practicas en flujos de conductos, tenemos que si el numero de
Reynolds para el flujo es menor que 2000, el flujo será laminar. Tenemos también que si el
numero de Reynolds es mayor que 4000, se puede suponer que el flujo es turbulento. En el
intervalo de números de Reynolds comprendido entre 2000 y 4000, es imposible predecir
que tipo de flujo existe; por consiguiente, este intervalo se lo conoce como región critica.
Las aplicaciones típicas involucran flujos que e encuentran bien colocados en el intervalo de
los flujos laminares o en el intervalo de los flujos turbulentos, de modo que la existencia de
esta región de incertidumbre no ocasiona gran dificultad.
CAPITULO IV TEXTO GUIA HIDRAULICA I
DINAMICA DE FLUIDO
185
Mediante una cuidadosa minimización de las perturbaciones externas, es posible
mantener un flujo laminar para números de Reynolds hasta de 50000. Sin embargo, cuando
NR es mayor que aproximadamente 4000, una perturbación menor ocasionaría un cambio
súbito en el flujo de laminar a turbulento. Es por esta razón, y por que estamos tratando con
aplicaciones prácticas supondremos:
Si NR < 2000, el flujo es laminar
Si NR > 4000, el flujo es turbulento
EJEMPLO DE APLICACIÓN Determinar si el flujo es laminar o turbulento,
si fluye glicerina a 25 ºC en un conducto cuyo diámetro inferior es de 150 mm.
La velocidad promedio de flujo es de 3.6 m/s.
Solución. Se debe evaluar Reynolds,
dNR
)(1060.9
)(/1258
15.0
/6.3
1
3
anexossPa
anexosmkg
md
smv
Entonces tendremos:
7081060.9
)1258)(15.0)(6.3(1
RN
debido a que NR = 708, menor que 2000, el flujo será laminar. Obsérvese que
todos los términos fueron convertidos a unidades SI antes de evaluar NR.
IV.9 DINAMIC A DE FLUIDOS REALES
Al incluir el análisis del movimiento de los fluidos, se debe tomar en cuenta varios
factores que interviene en el movimiento de estos fluidos, uno de estos factores es la
viscosidad, está influye en la velocidad directamente, de tal manera que los flujos son
rotacionales, por lo tanto las deformaciones mencionadas anteriormente juegan un papel
importante en el estudio de estos.
Los fluidos reales se mueven generalmente bajo dos tipos de flujo, estos son el laminar
o viscoso, donde el flujo es dominado por las acciones de la viscosidad, es decir , esta se
mueve en capa paralelas, y el otro tipo de flujo turbulento (se vieron anteriormente en el
punto IV.9 del presente), además de las fuerzas debidas a la viscosidad, actúan otras
originadas por el intercambio aleatorio y permanente de cantidad de movimiento dentro del
campo de flujo, produciendo así un movimiento inestable.
CAPITULO IV TEXTO GUIA HIDRAULICA I
DINAMICA DE FLUIDO
186
IV.9.1 EFECTO DE LA VISCOSIDAD
Si se considera la deformación de dos fluidos newtonianos diferentes, por ejemplo,
glicerina y agua, se encontrará que se deforman con diferente rapidez para una misma fuerza
cortante. La glicerina ofrece mucha mayor resistencia a la deformación que el agua; se dice
entonces que es mucho más viscosa.
En la mecánica de fluidos se emplea muy frecuentemente el cociente de la viscosidad
absoluta, “μ”, entre la densidad, “ρ”. Este cociente recibe el nombre de viscosidad
cinemática y se representa mediante el símbolo v. Como la densidad tiene dimensiones
[M/Lt], las dimensiones que resultan para v son [L2/t]. En el sistema métrico absoluto de
unidades, la unidad para v recibe el nombre de stoke = cm2/s.
La viscosidad es una manifestación del movimiento molecular dentro del fluido. Las
moléculas de regiones con alta velocidad global chocan con las moléculas que se mueven
con una velocidad global menor, y viceversa. Estos choques permiten transportar cantidad de
movimiento de una región de fluido a otra. Ya que los movimientos moleculares aleatorios
se ven afectados por la temperatura del medio, la viscosidad resulta ser una función de la
temperatura.
Cuando el fluido se mueve, se desarrolla en él una tensión de corte, cuya magnitud
depende de la viscosidad del fluido. La tensión de corte, denota con “τ” (tao), puede
definirse como la fuerza requerida para deslizar una capa de área unitaria de una sustancia
sobre otra capo de la misma sustancia. Así pues, “τ” es una fuerza dividida entre un área y
puede medirse en unidades de newtons por metro cuadrado (Cap I). En un fluido como el
agua, aceite, alcohol o cualquier otro liquido común, encontramos que la magnitud de la
tensión de corte es directamente proporcional al cambio de velocidad entre diferentes
posiciones del fluido.
CAPITULO IV TEXTO GUIA HIDRAULICA I
DINAMICA DE FLUIDO
187
Se muestra en la figura 4-28 el concepto de cambio de velocidad en un fluido mediante
la exhibición de una capa delgada del fluido situada entre dos superficies, una de las cuales
esta estacionaria, mientras que la otra se esta moviendo.
Una condición fundamental que se presenta cuando tenemos un fluido real en contacto
con una superficie frontera, es que el fluido tiene la misma velocidad que la frontera, el
fluido que esta en contacto con la superficie inferior tiene velocidad cero y el que esta en
contacto con la superficie superior tiene velocidad v. Si la distancia entre las dos placas es
pequeña, entonces la rapidez de cambio de velocidad con respecto de la posición “y” es
lineal. El gradiente de velocidad es una medida del cambio de velocidad y se define como
yv
.
Conocida como rapidez de corte, el hecho de que la tensión de corte del fluido es
directamente proporcional al gradiente de velocidad puede establecerse, matemáticamente
como:
yv 4.9.1
En la que la constante de proporcionalidad “μ”, se conoce como viscosidad dinámica
del fluido. La acción de revolver hace que se cree un gradiente de viscosidad en el fluido. Se
requiere una mayor fuerza para revolver un aceite frió, que tiene una viscosidad mayor, que
la requerida para revolver agua, cuya viscosidad es menor. Esto es una indicación de la
mayor tensión de corte en el aceite frío.
IV.9.2 ECUACION DE NAVIER-STOKES
Navier y Stokes terminaron la deducción relacionando el campo de esfuerzos con la
deformación del campo resultante del campo de velocidad variable en el espacio y tiempo.
Aquí se invoca la ley de viscosidad de Stokes, una generalización de la ley de viscosidad de
Newton. Si se supone que el fluido es incompresible, entonces se pueden mantener las
siguientes relaciones:
xxx
2 ;
yyy
2 ;
zzz
2
x
v
y
uzyxxy 2 ;
z
u
x
wyzxxz 2
y
w
z
vxzyyz 2
CAPITULO IV TEXTO GUIA HIDRAULICA I
DINAMICA DE FLUIDO
188
Por consiguiente, el núcleo de la relación de esfuerzo cortante es la dependencia lineal
del esfuerzo cortante con respecto a la tasa de deformación, en donde el coeficiente de
proporcionalidad es el coeficiente de viscosidad de Newton.
vphgvvt
v
Dt
Dv 2)(
4.9.2
en forma de componentes:
2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u
x
p
x
hg
z
uw
y
uv
x
uu
t
u
Dt
D
2
2
2
2
2
2
z
v
y
v
x
v
y
p
y
hg
z
vw
y
vv
x
vu
t
v
Dt
Dv
2
2
2
2
2
2
z
w
y
w
x
w
z
p
z
hg
z
ww
y
wv
x
wu
t
w
Dt
Dw
Si todo el movimiento del fluido se detiene (v=0 ; a=0 ) y “z” se selecciona
verticalmente hacia arriba en la línea de acción de la gravedad, la ecuación hidrostática
emerge como un caso especial del caso general de un movimiento completo de fluidos.
Ciertamente, el estudio de las ecuaciones de Navier-Stokes se debe concentrar en conjuntos
de soluciones especializadas tales como esta para condiciones de flujo especificas por la
siguiente razón. Debido a la no linealidad de estas ecuaciones, existe una desconcertante
variedad de posibles resultados, tanto, que estas ecuaciones nunca han sido resueltas en
forma completa de manera analítica general.
IV.9.3 FLUJO ENTRE PLACAS PARALELAS
La figura 4-29 muestra dos placas paralelas separadas una distancia B e inclinadas un
ángulo “α”. En el sentido normal a la figura, las placas tienen una longitud infinita, entre
ellas se mueve un fluido de densidad y viscosidad constante y el gasto también constante.
Las líneas de corriente serán rectas y paralelas a los bordes y entre sí.
CAPITULO IV TEXTO GUIA HIDRAULICA I
DINAMICA DE FLUIDO
189
Dentro este flujo aislamos un volumen de control diferencial bidimensional de
dimensiones ds por dn. El equilibrio según las líneas de corriente:
0
dsdn
ndsendsdndnds
s
PPPdn
0
dnds
ndsdnsendsdn
s
P ;
s
zsen
0)(
dnds
ndsdnzP
s
P
si no existe aceleración normal entonces el valor zP es constante, si no hay movimiento
en el sentido normal no habrá variación longitudinal del esfuerzo de corte, por lo que la
ecuación será:
dn
d
ds
dh ; capiezométriAlturaz
Ph
Integrando la ecuación:
dnds
dhdn
dn
d
la expresión ds
dh no varia con n, entonces se tendrá:
Cnds
dh 4.9.3
El esfuerzo cortante varia linealmente con “n”, puesto que el flujo entre las dos placas
es simétrico, no queda otra que las magnitudes de los esfuerzos cortantes en los contornos
sean iguales, dado que en el punto medio n=B/2, el esfuerzo cortante es nulo:
CB
ds
dh
20
2
B
ds
dhC
CAPITULO IV TEXTO GUIA HIDRAULICA I
DINAMICA DE FLUIDO
190
Sustituyendo tendremos:
n
B
ds
dh
2 4.9.4
de la ecuación diferencial de la viscosidad y sustituyendo en la ecuación tendremos:
dy
dv
n
B
ds
dh
dn
dv
2
dnnB
ds
dhdv
2
dnnB
ds
dhdv
2
1
2
2CnBn
ds
dhv
4.9.5
la constante de integración puede obtenerse de la condición que en los contornos la
velocidad de estos y la del fluido es la misma, es decir, si son estos estacionarios, v= nula
para n =0 ó B, por lo que C1 también será cero, entonces:
2
2nBn
ds
dhv
4.9.6
Esto implica que la ecuación será parabólica.
Como la distribución de velocidades es parabólica, la velocidad máxima se dará en la
mitad de la separación “B/2”, por lo que la ecuación máxima será:
2
max8
Bds
dhv
4.9.7
en el caso de una distribución parabólica la velocidad media será 2/3 de la máxima:
2
max123
2B
ds
dhvv
2
12
B
V
ds
dh
ds
B
Vdh
2
1
2
2
1
12
CAPITULO IV TEXTO GUIA HIDRAULICA I
DINAMICA DE FLUIDO
191
Considerando que la velocidad media es un valor constante:
221
12
B
Vhhh
4.9.8
esta ecuación permite calcular la variación de la altura piezométrica a lo largo del conducto.
Si el flujo es uniforme energía de perdida la h .
IV.9.4 FLUJO EN TUBERIAS CIRCULARES DE SECCION CONSTANTE
Tomando un volumen de control concéntrico (Fig4-30) con el tubo de forma cilíndrica,
la ecuación de equilibrio en el sentido del flujo será:
0 2 222
srsensrrs
s
PPrP
El esfuerzo cortante a una distancia r del centro es constante, por cuanto el flujo es
axialmente simétrico, por tanto ds
dzsen , por lo que la ecuación se convierte en:
ds
dhrzP
ds
dr
2)(
2
igualando la ecuación:
ds
dhr
dn
dv
2
dnds
dhdv
2 4.9.9
integrando a lo largo de “n”, donde dndrds
dh y constante es .
CAPITULO IV TEXTO GUIA HIDRAULICA I
DINAMICA DE FLUIDO
192
IV.9.5 TEORIA DE LA CAPA LIMITE
La teoría de la capa limite fue introducida por Prandtl. Esta teoría establece que, para
un fluido en movimiento, toda las perdidas por fricción tienen lugar en una delgada capa
adyacente al contorno del solidó (llamada capa limite), y que el flujo exterior a dicha capa
puede considerarse como carente de viscosidad.
La distribución de velocidades en la zona próxima al contorno es influenciada por la
tensión cortante en el contorno. En general, la capa limite es muy delgada en la parte de
aguas arriba del contorno y va aumentando su espesor hacia aguas abajo por la acción
continuada de las tensiones cortantes.
Para números de Reynolds bajos, toda capa limite es gobernada por la acción de las
fuerzas viscosas y en su interior el flujo es laminar. Para valores intermedios del numero de
Reynolds la caspa limite es laminar cerca de la superficie del contorno y turbulenta en las
zonas algo mas alejadas. Para valores del números Reynolds muy elevados la capa limite es
totalmente turbulenta.
IV.10 TURBULENCIA
El fenómeno turbulento es ocasionado por la inestabilidad del flujo laminar, creando
pequeños remolinos que se mueven de manera aleatoria a lo largo y ancho del campo de
flujo. Esta situación ocasiona un cambio constante de la magnitud y dirección del vector
velocidad en cualquier punto. La turbulencia es un intercambio continuo y aleatorio de masa
entre las diferentes zonas del campo de flujo que propicia la mezcla. Esto implica que
materia de mayor energía cinética que pasa por el centro de la tubería pase a las zonas
laterales y viceversa ocasionado una mayor uniformidad de las velocidades promedio en
sentido del movimiento general (Fig4-31)
CAPITULO IV TEXTO GUIA HIDRAULICA I
DINAMICA DE FLUIDO
193
El flujo turbulento representa un incremento sustancial en la perdida de energía. En
resumen, la turbulencia se caracteriza por su condición aleatoria en el tiempo y en el espacio,
un rápido proceso de mezcla, la fluctuación tridimensional de las velocidades y la alta
disipación de energía, y por eso un fenómeno controlado por las características del flujo
como por las del fluido. La turbulencia se presenta para números de Reynolds elevados y es
un movimiento macroscópico de pequeños remolinos.
Para la determinación de esfuerzos cortantes en flujo turbulento se parte de la
ecuación,
dh
dV
pero esta deja de tener validez, por lo que debe definirse como un promedio, pues tiene
características aleatorias,
dh
Vd 4.10.1
o η ; viscosidad del remolino
o V ; velocidad promedio
La naturaleza de esta viscosidad de remolino “η”, presenta toda la dificultad del
análisis de flujo turbulento, pues este será función no solo del fluido, sino también de las
características del flujo.
Para situaciones intermedias donde la viscosidad y la turbulencia tiene influencia, el
esfuerzo cortante se puede expresar como:
dh
Vd)( 4.10.2
o μ ; viscosidad dinámica ya conocida
IV.11 DISTRIBUCION DE VELOCIDADES
La distribución de velocidades en una sección recta seguirá una ley de variación
parabólica en el flujo laminar. La velocidad máxima tiene lugar en el eje de la tubería y
es igual al doble de la velocidad media.
Para el flujo turbulento resulta una distribución de velocidades mas uniforme. A
partir de los datos experimentales de Nikuradse y otros investigadores, se dan a
continuación las ecuaciones de los perfiles de velocidades en función de la velocidad en
el eje de la tubería “ cv ” o en función de la velocidad de corte “ cortev ”
CAPITULO IV TEXTO GUIA HIDRAULICA I
DINAMICA DE FLUIDO
194
Una formula experimental es:
n
oc ryvv )/( 4.11.1
donde: n=1/7; para tuberías lisas hasta RE=100000
n=1/8; para tuberías lisas RE= 100000 a 400000
(a) Para tuberías lisas,
)/log75.55.5( vyvvv cortecorte 4.11.2
(b) Para tuberías lisas (5000 < RE < 3,000.000) y para tuberías rugosas en la zona de
exclusiva influencia de la rugosidad,
00 /ln/5.2)( ryvvvc 4.11.3
en función de la velocidad media, Vennard ha sugerido que cv
V puede escribirse como:
8/07.41
1)(
fvvc
4.11.4
(c) Para tuberías rugosas,
/log75.55.8( yvv c 4.11.5
Donde:
; rugosidad absoluta de la pared de la tubería.
(d) Para contornos rugosos o lisos,
32.1/log2 0
ryfV
Vv 4.11.6
donde: f ; Coeficiente de rozamiento de Darcy.